2.semana-Notacion Sigma

 

NOTACION SIGMA: CALCULO INTEGRAL

DOCENTE:

GEORG FRIEDRICH BERNHARD RIEMANN   (1826-1866) (1826-1866)..

Matemático

alemán, sus estudios aportaron numerosas contribuciones a varias ramas de las matemáticas, siendo las más conocidas en Geometría no Euclídea, ecuaciones ecuacione s diferenciales y teoría de números. Los hallazgos realizados por Riemann fueron fundamentales para el desarrollo posterior de la Teoría Especial de la Relatividad de Einstein.  Cuan Cu ando do se ha habl bla a de dell Cál Cálcu cullo co como mo ra rama ma de la las s ma mate tem mátic ática as, se menc me ncio iona nan n va vari rios os de lo los s pr prob oble lema mas s qu que e di dier eron on luga lugarr a su or orig igen en y desarrollo. Uno de ellos es el problema de determinar el área de una re regi gión ón pl plan ana a ba bajo jo un una a cu curv rva. a. Trab Trabaj ajar arem emos os el co conc ncep epto to de inte integr gral al definida como instrumento fundamental para el cálculo de dicha área. Se parte del concepto de sumatorio y la notación sigma

(debe su nombre

a la letra mayúscula del alfabeto griego con la que se representa) para expresar estos sumatorios.

NOTACIÓN SIGMA Ésta se puede representar como la suma de los

primeros términos con la n notación otación

de suma sumato tori ria a o nota hacien endo do us uso o de la le letr tra a grie griega ga notación ción sigma, haci

(sig (sigma ma

mayúscula, que corresponde a nuestra S de "suma”). Su representación es la siguiente:

Para Pa ra es escr crib ibir ir la su suma ma de n té térm rmin inos os

se util utiliz iza a

 donde tenemos que 

a: representa los términos de la sumatoria.



ak: representa el término k-ésimo de la sumatoria.



an: representa el termino n-ésimo y último de la sumatoria.





1: es el límite inferior de la sumatoria.  n: es el límite superior de la sumatoria 1

 

NOTACION SIGMA: CALCULO INTEGRAL  

 

 

DOCENTE:

El símbolo ∑ se leerá mayúscula griega sigma.  Al termino ∑ ak   se le llama notac notación ión de sumato sumatoria ria o notación s sigma igma

La variable k se le llama índice sumatorio o índice de la suma, también se conoce como ficticio ya que puede cambiar.

Ejercicios resueltos:  Calcular el valor de las siguientes sumatorias.   6

1. ∑ n = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21   n=1   3 2. ∑4n   n=1

= 4(1) + 4(2) + 4(3) = 4 + 8 + 12 = 24

4 3. ∑ (2k+1) = [2(2)+1] + [2(3)+1] + [2(4)+1] K=2 = (4+1) + (6+1) + (8 + 1 )   = 5+7+9   = 21   2 4. ∑ (5i / 2) = 5(1) / 2 + 5(2) / 2   i=1 = 5 / 2 + 10 / 2   = 15 / 2

5. 

6.

7.

2

 

NOTACION SIGMA: CALCULO INTEGRAL

DOCENTE:

Ejercicios propuestos: Calcular el valor de las siguientes sumatorias.   5 1. ∑ 9n = n=1   7 2. ∑ 5e² = e=3

7 3. ∑ (6 n² + 2) =   n=1

  4.

8 ∑ (8e  + 3e – 5) = e=2 2

  5 5. ∑ (3m²  m=1

2 3

m) =

En la notac notación ión sig sigma ma podem podemos os establ establece ecerr las sig siguie uiente ntess reg reglas las o propie propiedad dades es fundamentales, donde dados los enteros positivos m, n, tenemos que 3

 

NOTACION SIGMA: CALCULO INTEGRAL

DOCENTE:

Ejercicios resueltos: Calcular el valor de las siguientes sumatorias aplicando cada una de las reglas anteriores

  4

4 1. ∑ 5k= 5 ∑ k= 5(1+2+3+4) = 5(10) = 50 K=1 K=1 3 3 3 2   2 2. ∑ ( k  + K ) = ∑ k + ∑ K = ( 1+4+9 ) + ( 1+2+3 ) K=1

K=1

K=1

= 14+6

 

= 20

6 3 6 3. ∑ 2k = ∑ 2k + ∑ 2k = (2+4+6) + (8+10+12) K=1 K=1 K=4 = 12+30 = 42

4

 

NOTACION SIGMA: CALCULO INTEGRAL

DOCENTE:

Ejercicios Ejerc icios propuestos: propuestos: Calcular el valor de las siguientes sumatorias aplicando cada una de las reglas anteriores.   8 1. ∑ 12k= K=3 5 2. ∑ (2n+5)3 = n=1

11 3. ∑ 7e = e=1

6 4. ∑ [ (k+1)  - k2 ] =   k=1

8  5. ∑ (3 k + 4 k²) =   k=2

5

 

NOTACION SIGMA: CALCULO INTEGRAL

DOCENTE:

FORMULAS DE SUMATORIAS: Para calcular el valor de las sumatorias sin necesidad de abrirlas podemos utilizar algunas formulas que nos permite resolverlas de una manera practica TEOREMA: Sea C una constante y n un entero positivo entonces

EJEMPLOS.

6

 

NOTACION SIGMA: CALCULO INTEGRAL

DOCENTE:

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NOTACION SIGMA: CALCULO INTEGRAL

DOCENTE:

EJERCICIOS: Re Reso solv lver er las las si sigu guiiente entess suma sumato tori rias as apli aplica cand ndo o las las formulas dadas.   32 1. ∑ 7 = k=1 22 2. ∑ n = n=1

14   3. ∑ [3 k + 6]  k=1

  26   4. ∑ k2 =   k=1

14   5. ∑ k3 =   k=1

3 6. ∑ (n+2) 2 = n=1

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NOTACION SIGMA: CALCULO INTEGRAL

DOCENTE:

SUMA DE RIEMANN (MATEMÁTICO ALEMAN BERNHARD RIEMANN)

Es una operación sobre una función continua y limitada en un intervalo [ a, b] que nos permite determinar en forma aproximada el área bajo una curva, es decir  consiste en hallar el límite de la suma de Riemann de productos entre el valor de la función en un punto xi* y el ancho Δx del subintervalo contenido en el punto.

Para calcular el valor del área bajo la curva podemos realizar una partición, es decir  dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos de igual longitud con la ayuda de la

expresión

, la la cual  cual corresponde a la longitud de la base de cada uno

de los n rectángulos.

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NOTACION SIGMA: CALCULO INTEGRAL TRIVIÑO

DOCENTE:

CARLOS ESPITIA

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En cada subintervalo subintervalo escogemo escogemoss un valor especial que se representara ccomo omo   de tal forma que

es la altura del rectá rectángulo ngulo en ese subi subinterv ntervalo, alo,

luego el área de un rectángulo es áreas de los n rectángulos se tiene que

de tal forma que si sumamos las

La cual se conoce como sumatoria de Riemann, por último aplicamos el limite cuando n tiende al infinito.

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