2.S12 MI Integración por Sustitución Algebraica 2017-1 - copia.pdf

CÁLCULO 1 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN ALGEBRAICA

CASO: FÁBRICA DE CALZADOS El costo marginal (en dólares) de una compañía que fabrica zapatos está dado por

C ' ( x ) 

 x 100

x 2  2500

En donde  x   es el número de pares de zapatos producidos. Si los costos fijos son de $100, ¿podrías ayudar a determinar la función costo?, ¿cómo lo harías?.

SABERES PREVIOS

1) Fó Fórm rmul ulas as Bá Bási sica cas s de Integración. 2) Di Dife fere renc ncia iall de un una a función.

LOGRO DE LA SESIÓN

 Al finalizar la sesión de aprendizaje, el estudiante resuelve problemas vinculados a gestión e Ingeniería empleando el método de integración por sustitución algebraica.

TEMARIO

1)

Proced Pro cedimi imient ento o de la inte integra gració ción n por por sustit sustituci ución ón alge algebra braica ica..

2)

Eje Ej erci cici cio os y pr pro oble lema mas. s.

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN I. SUSTITUCIÓN ALGEBRA ALGEBRAICA ICA Esta técnica se usa cuando se tiene una función que no se puede integrar de forma inmediata y es de la forma:

  f ( g ( x)) g ' ( x) dx La elección de la nueva variable depende muchas veces de la habilidad del estudiante para transformar la integral dada en una simple e inmediata. Es decir decir,,

u   g ( x)  du   g ' ( x) dx

  f  ( g ( x)) g ' ( x) dx    f  (u ) du

EJEMPLOS: EJEMPLO 1: Calcular:



x2

 I   e  x dx

Solución: En este caso se debe elegir la nueva variable

u   x

2

1

 du  ( x )' dx  du  2 x dx  du   x dx 2

2

1

u  e du   I    e  x dx 

x

2

2

1

2

Regresando a la variable inicial, se tiene:  x

  e x  xdx  2

e

2

2

c

u e du 

eu 2

c

EJEMPLO 2:



 I    senx cos  x dx

Calcular:

Solución: En este caso se debe elegir la nueva variable

u   senx 



du



 ( senx )' dx



 I    senx cos x dx  u du



u

du

2

2

c

Regresando a la variable inicial, se tiene:

   senx cos  xdx 

2

 sen  x

2

c

 cos  x dx

EJEMPLO 3:

 I  

Calcular:

1

  x ln  x dx 3

Solución: En este caso se debe elegir la nueva variable

u  ln x  I  

1

 du  dx

 du  (ln x)' dx

1

  x ln  x 3

1

u

dx 

3

du

 x

  u du  3

Regresando a la variable inicial, se tiene:



1 3

 x ln  x

dx



1 2 ln

2

 x

c

1 2u

2

c

EJEMPLO 4: Calcular:



 I    x 5 sen( x 6  2) dx

Solución: En este caso se debe elegir la nueva variable

u  x6  2



 du  ( x 6  2)' dx  du  6 x 5 dx

 I    x  sen ( x 5

6

 2) dx 

1  senu du 6





 cos u 6

c

Regresando a la variable inicial, se tiene:

   x  sen( x  2)dx   5

6

cos( x  2) 6

6

c

PROBLEMAS DEPRECIACIÓN. El valor de reventa de una máquina industrial disminuye a una tasa que depende de su edad. Cuando la máquina tiene t años, la tasa a la cual cambia su valor es

V '  t   960e t /5 dólares por año. a) Exprese el valor de la máquina en términos de su edad y de su valor inicial. b) Si originalmente la máquina valía $5200, ¿Cuánto valdrá cuando tenga 10 años?

Solución: a) El valor de la máquina en términos de su s u edad y de su valor inicial Integrando tenemos:



 t 

V (t )  960 e 5 dt 

 t 

 4800e 5  C 

Del enunciado tenemos: V(0) = 5200. Entonces:

5200  4800e 0  c 

C  

400

Entonces:  t 

V  (t )

 4800e 5  400

b) Si originalmente la máquina valía $5200, ¿Cuánto valdrá cuando tenga 10 años?

V (10)  48 4 8 0 0 e 2  4 0 0

 1049.6 Respuesta: La maquina des pues de 10 años tendrá un valor de $ 1049.6

CASO: FÁBRICA DE CALZADOS El costo marginal (en dólares) de una compañía que fabrica zapatos está dado por

C ' ( x) 

 x 100

x 2  2500

En donde  x  es  es el número de pares de zapatos producidos. Si los costos fijos son de $100, ¿podrías ayudar a determinar la función costo?, ¿cómo lo harías?

Solución: El costo se obtiene integrando la función costo marginal, es decir: C ( x )

  C  ' ( x ) dx   

 x

 x

2

100

 2500

dx

En este caso se debe elegir la nueva variable:

u



x

2

 2500 

du

 2 x dx 

1 du   x dx 2

La integral con la nueva variable es:

C ( x )



 x

100

 x

2

 2500dx 

1

100 

u

1 2

du



1

200 

u

1/ 2

du



1 2 200 3

u

3/ 2

c

Regresando a la variable inicial tenemos:

C ( x )



 x

100 10 0

 x

2

( x 2  2500) 3 c 300 30 0

 2500 dx 

Pero por dato se tiene que los costos c ostos fijos es de $100, entonces:

C (0)

 100 

2500 3  c  100  300

c



950 3

Por lo tanto, la función costo es:  x

 100

 x

2

 2500 dx 

x

2

 2500 300



950 3

GRACIAS

Material elaborado para uso exclusivo de las sesiones de aprendizaje del curso de Cálculo 1, semestre 2017  – 1. Universidad Privada del Norte.