2.Operadores.doc

15 Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco

OPERADOR MATEMÁTICO Se de nomina operador matemático a un símbolo cualquiera, que por si solo no tiene significado. I) OPERADORES CONOCIDOS: Símbolos utilizados en las operaciones clásicas. ,  ,  ,  , Log ,Sen ,



, etc.

II) OPERADORES DESCONOCIDOS: Cualquier representar matemático. ,

*

símbolo un

puede operador

, # , % ,  ,  ,  , ....... , etc.

Ejemplo: Si: a * b  a  b  1 ; Hallar 3 * 5 Resolución Si: a * b  a  b  1 



3 * 5  3 51 3 * 5  6 Rpta.

 Operación Simple: presenta un solo     operador por lo tanto existe una sola operación. Ejemplo: Si: a  b  a2  b  1 Hallar: 7  1  ? Resolución: 2

a  b  a  b 1 



2

7  1  7  1 1 7  1  49 Rpta.  Operación Compuesta: Presenta dos o mas operaciones. Ejemplo: Se sabe que: 2

a  a 1

Hallar: S = 3 + 3

TIPOS DE OPERACIONES

 2

Resolución: a  a a  2

OPERACIÓN MATEMÁTICA Es una estructura matemática que relaciona operadores matemáticos con cantidades mediante una ley de formación. 3 6  9 3  2=? 20  4=5 9 * 2=? Log1010=1 f  8  ?

a  a  a  2

;

2

a  1  a a  2 2

a  a a  2  1

a  a  a  2  1  a  a1

 a  1 2



16 Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco 2



S   3  1   4  1  2  1 S  6 Rpta.

 Operación Condicional: Cuando una misma operación tiene dos o mas reglas de correspondencia, condicionados por la relación de sus términos. Ejemplo: Dada la operación

 *

se define

como: a

 2a  b

* b   a2  b 

Hallar:

A) PROPIEDAD CONMUTATIVA

;

si: a < b

Se verifica con dos elementos, al invertir los términos la operación toma el mismo valor.

3

* 1  3 3   1  8

6

2 * 2  6  2  34

5 8  * 34

2

5 * 8  5  8  17 5 * 8 17   34 34

1 2

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES

si: a > b

Resolución: 2 * 1  2 2  1  5

 6 * 2

5* 5  6 5* 6  5 6* 6  6 6* 5  5

;

 2 * 1 *  3 * 1  6 * 2

Reemplazando:  2 * 1 *  3 * 1

La ley de formación nos dará:

Rpta.

a  b b  a

 a b c a a b c b b c a c c a b Se observa que en ambos lados de la diagonal quedan los mismos elementos por lo tanto, dicha diagonal actúa como un eje de simetría, por esto se afirma que la operación es conmutativa. B) PROPIEDAD ASOCIATIVA

OPERACIÓN TABULAR: La operación y sus resultados son presentados en una operación de doble entrada, teniendo en cuenta Fila de Entrada la siguiente figura:

Se verifica con 3 elementos, al agrupar el primero con el segundo debe resultar el mismo valor de agrupar el segundo con el tercero.

* 5 6

Por lo general no es posible su

Columna de entrada

5 6 5 Campo de la tabla 6 5 6

a   b  c    a  b  c

17 Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco verificación en tablas ni en regla Hallar: 5 * 8 de correspondencia. 2

a) 25 d) 26

2

* b a  b 2 *  1 * 1   2 * 1  * 1 2 * 2 5* 1

a

8  26 (No es conmutativa) C) ELEMENTO NEUTRO ELEMENTO IDENTIDAD  N 



O

aN  a ó B N  B ó C N  C

Es decir para cualquier elemento que uno elija, debe ser el mismo elemento neutro. Hallar el elemento neutro de la operación * sabiendo que: a * b  a b 1 Aplicando el principio de: a *N a a N 1 a N 1

D) ELELEMNTO ABSORVENTE (T) B T  T , C T  T

E) ELEMENTO INVERSO (I) A  I  N ; N=Elemento Neutro



5 * 8  3 5   8  23 5 8  23 Rpta.

*

2 Se define: A   2A 2  5A  3 Calcular:  2   a) 23 b) 21 N.A. d) 20 e) 16

c)

Resolución: A   2A 2  5A  3

 2    2 2  2  5 2   3  2   

21

Rpta.

3 Se define: a  b  a  b ; si a>b a  b  ab

; si a < b Calcular: R   2  1   1  2  a) 7 b) 6 c) 1 d) 8 e) 5 Resolución: 2 1  2 1  3 1  2   1  2   2 R   2  1   1  2  R  3 2 R  3 2  5 R  5 Rpta.

1 Si: a * b  3a  b

c) 23

Resolución: a * b  3a  b

Es un elemento único para la operación dada que no altera al elemento que se elija.

A T  T

b) 21 e) 24

4 Si: a # b  2a  5b

18 Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco

5 a) 2 7 d) 8

Hallar “x” si: x # 3  8 3 23 b) c) 5 2 22 e) 3

Resolución: a # b  2a  5b x # 3  2 x   5  3   8 2 x   5 3   8 23 2

x

a)

3 2

b)

 3 * 4  . 5 * 3   2 * 3  . 2 * 5  8 15

3 8 d)

14 8 M  15  7 15 12

c)

Rpta.

a  4a  3b b

Hallar:

5 Si: a b  a1  b1 *

8

6 10

6 Si

Rpta.

Hallar: M 

7

 3 * 4  . 5 * 3  12  15 M  5 7  2 * 3  . 2 * 5  

4 1 3

a) 91 d) 92



5 3 2

b) 62 e) 63

c) 64

Resolución: 1  4  1  3  3  5 3

7 15

e) N.A.

Resolución: 1 1 7 3* 4  3  4    3 4 12 1 1 8 5 * 3  51  31    5 3 15 1 1 5 2 * 3  21  31    2 3 6 1 1 7 2 * 5  21  51    2 5 10 Reemplazando en “M” 1

1

3  4  3  3 2  6 2 Luego: 4 5

4 5 4 1 3



5   4  4  3 5     4  5  3  6  6

5  62 6





5 3 2

 62 62

7 Si: a * b  3a  2b Calcular:

Rpta .

19 Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco R   2 * 5 *  3 * 7  2x  2  32  x  4x  3 

a) 1 d) 2

b) 3 e) –3

c) –2

Resolución: Con la definición: 3a  2b R   3 2   2 5   *  3 3   2 7  

4x2  9  4x2  3x x  3 Rpta. 10 Se definen: a*  3a  2 , si: a  2

R   4  *  5  R  3 4   2 5 

a*  2a  1 , si: a  2 Calcular: E   3 * 2 *  *   3  * a) 15 b) 18 d) 14 e) 17

R  12  10  R=  2 Rpta. 2a  3b a b 4 Hallar “x” en: x  2  3 a) –13 b) 12 13 d) 2 e) –12

c) 19

8 Se define: a  b 

c)

Resolución: 2 x   3 2  Con: x  2  x 2 2x  6 4  Luego: x 2 3 6x  18  4x  8 2x  26  x=  13 Rpta. 9 Si: a2  b2  a

E   3 4   2  7  17 Rpta. 11 Se define la operación  *  , en el Conjunto  6 , 4 , 2  mediante:

* b , Calcular:

d) 4 Resolución:

b) 5 1 e) 2

2  2 : 2*  2 2   1  3 3  2 :  3  *  2 3   1  7 Luego: E   7  3 *    7  E   4 *  7

“x” si: 2x * 3  x  4x  3  a) 2

Resolución: Con las definiciones 3  2 : 3*  3 3   2  7

c) 3

* 6

6 4

4 2

2 6

4 24 26 46 2 6 4 2

Calcular: E 

  6 * 2 *  2 * 4    4 * 2

20 Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco a)

1 13

b) 13

3 23 d) 1

c)

e) 2

Resolución: Forma de ubicar valores en la tabla: *  b .  a * b R  .

con: x  3  5 3  2  10 3   1  16 con: x  3  5 3  2  10 3   1 x  16 Rpta. 13 Si: b a Calcular:

E

46

3 23



3

a) 27 d) 28

2

Rpta.

b2  2a 10 Además: 4  x  1,7 Calcular: 5x2  10x  1 b) 73 e) 16

c) 18

Resolución: Con la definición en: 4  x  1,7 x2  2 4   1,7 10 x2  8  17  x 2=9 x 3

2

1 b) 26 e) 29

3

Resolución: 3  3 2   2 3   1  1 2 1 1  3 3   2 1  2  9 3 2 2  3 1  2 2   3  2 1 3

6 46

12 Si: a  b 

a) 74 d) 78

1

1

Con la tabla: 6 * 2 6 2* 44 4 * 2  46 Luego:

 6 * 2

3 2

a ...... R

E

 3a  2b  c c

Luego con el total: 1  3 9   2 1  2  27 9 2 27

Rpta.

14 Si: a * b  a  b a b 1 ab   3 2 Hallar “n” en la expresión: n 2  n * 2

c) 24

21 Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco a)

13 2

b)

11 2

Hallar “x” en: a) 1,5 c) 3 d) 6,5

13 4

c) d) 11

11 4

e)

e) 4,5

13  2 6   1 , luego: 13  6 II) a 6 le damos la forma : 2a  1 Luego se tiene que:  5 6  2   1 , luego: 6=  2

2n  4  3  6n  12 13 4

b) 3,5

Resolución: I) a 13 le damos la forma: 2a  1

Resolución: n 2  n * 2 n 2 1   n 2 3 2 2 n  2   3  6 n  2  n

Rpta.

Se definen:

a  b  2ab  b a  b  3a  b a # b  2a  b Hallar: “x” en:  x #1   2 # 3   2  1 1 1 1 a)  b) c)  3 3 6 d) 6 e) 3

 2x  1   2 2   3  2 2  1  1  2x  1   1  4  1 3 2x  1   1  3

16 Se define:

a  2a  1

5 2

x 2 

De donde: x  2 

5 5  x=2+ 2 2

x  4,5 Rpta. ¡Interesante! Ahora te toca a ti resolver los ejercicios 17 y 18

Resolución:  x # 1    2 # 3   2  1

1 6x  3  1  3  x=  6

Luego:

5 2

5 2

Finalmente: 13  15

x  2  13

Rpta.

17 Si:

a  1  3a Hallar: “x” x1 a) 2 d) 5

 13 b) 3 e) 6

c) 4

22 Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco

Calcular: E  # 2  *  3

18 Se define:

n  n  n  2

n R

;

Resolución: Calculo de: # 2 x  2  2  x=0 Luego: # 2  2 0  5  5 Calculo de *  2



Hallar “x” en: 4x  1 a) 5  1 d) 4

=24

b) 3  1 e) –4

c)

5

19 Se definen en los reales: #

a

21 Se define en Z : 3 n  n n

2

 3a  4 , si: a2 Hallar el valor de: #

#

#

S   3  8  4   1 a) 486 b) 476 c) 496 d) 0 e) –1 Resolución:

  3 #  3  3 2  4  31

b) 8 e) 16 3

210  6  6  6

Pero: 6  23  2  2

a  8  2  a= 10 Rpta.

 9  4   55

  1 #  3  1 2  4  7 Luego: S  31    503    55   7 S  486 Rpta. Se define: # x  2  2x  5 *  x  2  5x  2

c) 12

Resolución:

3

 9  8   503

20

a) 10 d) 14

Luego: 210  2 Comparando:

#

4

#

3

#

8

Hallar “a” en: a  8  210

22 Si: 3 5 3 5 3 5 35 55

*

a) 355 5353 d) 3553

; Calcular: 353 * 555 b) 533 e) 3555

c)

23 Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco

9n  6  4n 13n  6 2n n  6n  4 6n  4 2n

Resolución: 353 * 555 ; 3535 5* 5  55  coloco 5 y llevo 5 

2

6n  4n  13n  6 2

3* 5  5 * 3 35

6n  9n  6  0  6n  3  n  2 1  n=  y n= 2 Rpta. 2

353 * 555  3535 Rpta.

24

Se define en los R a  a a  24 

23 Sea la operación 3n  2 n  2n Entonces el valor de “n” en: n n a) 1 d) 4

;

es:

b) 2 e) 5

Resolución: De la condición: 3n  2 n  2n Calculemos: n

n 



x

c) 3

.......  I 

3 n 2

 4x  40

Calcular: 23 a) 1 d) 2

b) 3 e) 4

c) 5

Resolución: Al no tener definida la operación triángulo debemos despejar de la segunda expresión, aplicando la primera.

2 n

3 n 2 2 n

x

........  II 

Reemplazando I en II  3n  2 3  2 n   2n   3n  2 2   2n 

 x  x  24

Pero por definición de la segunda operación tenemos. 4x  40  x  x +24 2

x  24 x  4 x  40 2

x  24 x  144  4x  40  144

24 Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco

 x  12 x  12 

2

x+210 d) x–200

 4x  104

4x  104

Resolución: De la condición

x  2 x  26  12 Aplicando la regla de formación: 23  2 23  26  12

2

* Para un operador * Para dos operadores x  7  x  6  1  x  8  1  x  5  2  2

Rpta.

* Para 3 operadores 3

25 Siendo a  b  a  2a Calcular: E  3   4   5   .......   1 4 4 42 4 4 43 100 parentesis

a) 32 d) 33

x1  x1 x  5  x  6  1  x  6  1  x  5  2 1

23  2 7  12 23 

e) x–201

b) 34 e) 35

c) 36

Resolución:

x  9  x  10  1  x  10  1  x  5  2 3 . . . . . . . . . . . .

* Para 100 operadores Para 100 Operadores = x  5  2 100 = x  205 Rpta. 27

E  3   4   5   ......   144424443

Si:



2

x = x +2x+2

x x

E  3  Donde “3” trabaja como “a”

2

; Hallar el valor de

“x”

" " trabaja como “b” 3

E  3    3  2 3 E  27  6  33 Rpta.

tal que: x

26 Si x  1  x  1 ; Calcular:

100 operadores

b) x+205

a) –1

b) 0

d) 1

e)  2

c)

2

Resolución: De la definición:

..... x  5 ..... 1 4 4 4 2 4 4 43 a) x+200

1

c)

x 

2

x  2x  2 

 x  1 2  1

25 Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco x x

2

Nos piden el valor de “x” en: x

=1





 x  1 2  1  x { 1

De donde: x 

1

0

2

1 0

Además conocemos que: 10 10 1  Z  299    10 299 Z Analizando “Z” puede tomar valores: 1 y 1 R  10 ó R=0 Puede tomar 2 valores Rpta.

Rpta.

28 Se define el operador  , tal que.   N   10 ; si: N>1   N   0 ; si: N  1 Determine el número de valores que puede tomar la operación R, si Z   1 , 299 .     300  Z  Z a) 1 b) 3 d) 2 e) 149

29 Si:  xb 

bx

b1

y

2 3 f  x  1   x    3 x  f x Calcular: sabiendo que f  2 f 4  2 a) –85 b) –120 c) 125 d) –105 e) –40

Resolución: Por dato:

R

Resolución: Por dato   N   10 ;  N  0 ;

 10   Z

Si:   300  Z  10  R= 

c) 298

 xb 

bx

b1

; Entonces:

2 3 f  x  1   x    3 x 

f x

2

 2x  9x  f  x  Luego: * Para x  3 , se tiene:

N>1 N1

        1f 243  12434 294 34 3  f 3 2

1  Z  299 1  300  Z  299   300  Z  10 ó 0 Si:   300  Z  0    300  Z  R=     Z

2

87

Luego: f  3   85 * Para x  2 , se tiene:

        1f 233  12424 294 24 3  f 2 2

   0  0

85

Luego: f  2 

40

 125

Rpta.

26 Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco 30 Se define el operador W  N  ; tal que: Si : N   0 ; 9  W  N   0 Si : N   9 ; 99  W  N   1

Resolución Dado la forma y resolviendo:

 16  27



2

3

 4 3



  16  27  2 4   3   4  2  32

 16  27

Si : N   99 ; 999  W  N   2 Hallar el valor de R. W  345   W  50  W  5 R W  70  W  22 a) 0,5 b) 1,0 c) 1,5 d) 3,0 e) 2,0

 24  16  9  17





 9  64 

 3 4

 9  64   9  64   9  64 

 2 3   4   3  4

2

3

2

2

 24  9  16  31

17  31  48

Rpta.

Resolución: De la definición: 345   99 ; 999  W  345  2 50   9 ; 99  W  50   1

1

5   0 ; 9  W  5  0

Se define: 2

70   9 ; 99  W  70   1 22   9 ; 99  W  22  1

E   5#6 *  4#9

Calcular:

Luego nos piden: R

2

a * b  a  3b  b a#b   b  a a) 10 d) 13

W  345   W  50  W  5 W  70  W  22

b) 11 e) 15

c) 12

2  1 0 3   1,5 2 1 2 Rpta. R  1,5

Si: M  N  M 2  N 2 ; Calcular el valor de:  22202222  22202221 a) 44404443 b) 88808884 c) 44404441 d) 44404442 e) 1

31 Hallar:  16  27   9  64  Si se conoce que:

3

2

R

a a) 40 d) 36

2

3

b

  2ab  a b) 50 e) 65

2

Si: b

3

b

c 3a  2b  c

a c) 48

Calcular: 8 6

5



7

5

3

+

4 6

0

27 Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco a) 5 d) 8 4

b) 6 e) 9

c) 7

Sabiendo que: 



Calcular: x  5 * a) 14 d) 12

b) 15 e) 10

c) 13

5 En: A   1 , 2 , 3 , 4 , se define la operación  *  1 1 2 3 4

*

1 2 3 4

2 2 1 1 2

3 3 1 1 3

6

2

2

a  b   b  3a a  b  3b  2a además: x * x6

Si: a * b  2a  b a  b  2b  a Hallar “x” en: 8

a) 5 d) 8

b) 6 e) 4

c) 7

9 Se define:

c) VVV

En el conjunto N, se define:

a* b  b  a

En ¢ , se define: b a a b a* b  y a#b  2 2 Resolver: 2 *  3#x    x#11 * 6 a) 2 b) 3 c) –2 d) –3 e) 1

 2 * x    2 * 3  4 * x

4 4 1 4 4

Hallar el valor de verdad de: I) x * 2  1 ; tiene 1 raíz II)  x, y  A: x * y=y * x III)  2 * 3 *  1* 4  4 a) VFF b) FFF d) FFV e) VVF

c) 14

7

1

* b   a  b  5 2 además: 3 x  14 * a

y  y  4 Calcular: x  y a) 12 b) 13 d) 20 e) 18

 2

3 2 3 2 3 3 24 4 23 3

4 43 2 4

Calcular: 22234  24344 a) 33422 b) 33224 42234 d) 33234 e) 34434 10 Si: x*  2x  1 Además:  x *  #  4x  7 Calcular: R  3*   5*  #   2#  *

c)

a) 20 d) 21

28 Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco c) 18 Hallar:  2 * 2   4#3

b) 19 e) 22

a) 5,1 c) 5,5 d) 5,8

11 Sabiendo que: m%n  2m  n ; si: m>n m%n  m  n

; si: m  n

Calcular:  3 %4  %  5 % 2 a) 12 b) 16 c) 10 d) 15 e) 18 12 Se definen: 2

a#b  a  b

; si: a>b

2

3

a#b  2a  b

; si: a  b Calcular: R   3#2   2#3 a) 0 b) 12 c) –12 d) 26 e) 30 13 Si:    2 2 2

Calcular: a)



d) 4

c) 1

e)

8

 x  4  #  20  x 

a) 3 d) 8 y 3

1 2

1 2

  x  4  #  x  6

b) –3 e) 8 y –3

15 Se definen: x* y  x

2

x # y  4x

 45y

2

17 Siendo: 2

a  b  2a  3b  ab a %b  6a  3b  ab a # b  4ab  6a  6b Calcular: 6   2 %  3#1  b) 109 e) 130

18 Si: # x   x 2  1

c) 8

a) x3  x  1

b) x3  x  4 

c) x3  x  3

d) x3  x  1

e) x3  x  2 19 Se define: m n 

2

2

2

a  2b 2

2

a b

7 34 Calcular: E  n n  2  5 Además: 5  n 

2

y

1

2

a b  a b  b a Hallar: E    5  1  6   8 * 6 a) 63647 b) 6557 c) 6374 d) 6485 e) N.A.

3

2 2 a  b ; Hallar “x”

1 2

16 Si: a b  a2  1  2b *

  x  x  1 Efectuar: #   x    ?

14 Se define en los ¡ : a#b 

e) 4,8

a) 100 c) 108 d) 120

2

b) 2

2

b) 4,7

29 Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco a) 6 d) 9

b) 7 e) 10

20 Si: a %b 

1 2 a  4b 2

c) 8

24 Se definen: 3 2

x   x

2

a # b  a b b 1 Hallar “P” 4 %P   5 # P  3 a) 1 b) 3 c) 4 d) 2 e) 5 21 Si: 5#5  50 5#0  5 0#5  5 Hallar la suma de 5055 # 505 a) 6 b) 15 d) 25 e) 50

cifras

de:

c) 5

22 Se define: m n  3m  m2 * Calcular: R  1 *  2 *  3 *  ......   a) 1 d) 4

b) 2 e) –2

c) 3

5a 4b *  x  y   x . y

a) 8 d) 4

b) 7 e) 6

c) 9

25 Se define: 26 a b   a2  b2   a2  b2  * 6 Además: 6 * n  5 11 Calcular:  2n  5  2 a) 4 b) 16 d) 256 e) 225

1

c) 64

27 Si: x   x  1 2   x  1 2 Hallar: P   x  1    x  1  a) 6 b) 0 c) 8x d) 6x e) 8 28

Siendo:

2M  N M  2N M #N   2 3 5 Además: x # 5  11 6 7 #y 7

23 En la tabla  *  se define:

* c a b c c a b a a b c b b c a Podemos afirmar que: I) Es conmutativa II) Es interna III) Es asociativa a) FFF b) VVV FFV d) FVV E) VVF

2 3

x y  x y ; x * y=x y Hallar “ a  b ” en:

Calcular: 12 y # x  a) 140 b) 162 d) 142 e) 150 c)

29 Si:

c) 182

30 Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco 2 1 2 4 6 1 3 1

*

Calcular:  4 * 40    3 * 13 a) 24 b) 25 d) 28 e) 32

Calcular: 5153 * 1335 a) 8133 b) 8131 d) 8313 e) 3131 c) 26

30 Se define: a %b  5b  3a

34 Si: a  b  a  3b  b

Calcular: PAPA ,si:

 2 4  %  31  PAZ a) 1818 2424 d) 1919

b) 1313

c)

e) 1414

2a  b a  3 2   Calcular: 4b  3 , a partir de:

31 Se define: a  b 

b 2  2

2

a) –4 d) 1

b) –5 e) –6

c) –1

* 1 3 5 1 53 31 51 3 1

5

3

5 5

3

1

a*  3a  2

;

Si: a>2

a*  2a  1

;

Si: a  2

Calcular: R   3 *  1*  * 2 *

 7  x c) 15

33 Se define:

35 Se define en los ¡ :

b) 15 e) 20

36 Si:   5  x2 

2

a * b  2a  b  3b Calcular: S     2 # 1  *  1* 2 b) 13 e) 12

Además: a  x  1 Calcular:  1  3a  x a) 1 b) –1 c) 1–3a d) 1–a e) 1+a

a) 10 d) 13

32 Si: a # b  2a  b2  3b

a) 11 d) 10

c) 3133

3



c) 14

 2x  3

 3x  2x  1 } 2

Calcular: S  11  20 a) 21 d) 27

b) 22 e) 32

37 Se define  *  tabla:

c) 29

mediante la

31 Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco 2 2 20 5 5 3 2

5 5 10 23

*

3 3 23 50

Hallar: "bc" , si:

b) 53 e) 35

c) 32

 m  n   m n

2

c) 4

d) 5

a

39 Si: a  b  ab ; Hallar “x” 1 22

1 2

b)

d) 2

e)

a)

7.

8.

9.

b

b

b

d

d

e

e

a

c

b

d

13 a

14. 15. 16. 17. 18. d

e

c

1 4

c)

1 8

2

40 Se define: x  z 

x

z

x

Hallar “a” en: a x5  32 a) 1 b) 2 c) 4 e) 5

d) 8

c

d

19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. c

c

Calcular: 4  3

 1   2

6.

d

c

b

d

a

d

37. 38. 39. 40.

2

m #n 

xx  

5.

b

2

Si:

4

b

a

a

28. 29. 30. 31. 32. 33. 34.

x #y xy   y  1 # x  2

b) 3

3.

d

38 Sabiendo que:

a) 2 e) 1

2.

10. 11. 12.

 235 * 523   3 * 3  bbc a) 52 d) 23

1.

b

b

e

e

d

b

e

d

35

36.

d

b