2.INTEGRALI ZADACI - I deo.pdf

INTEGRALI ZADACI (I – DEO)

∫ f ( x)dx = F ( x) + C

Ako je f(x) neprekidna funkcija i F `(x) = f(x) onda je

, gde je C proizvoljna konstanta.

Morate naučiti tablicu osnovnih integrala:

1.

∫ dx = x + C

2.

∫ xdx =

3.

x2 +C 2 x n +1 +C n +1

n ∫ x dx =

1

4.

∫ x dx = ln x + C

5.

x ∫ a dx =

6. 7. 8.

najčešće se koristi... ili da vas ne zbuni

12.

dx = ln x + C x

ax +C ln a

∫ e dx = e + C ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ cos xdx = sin x + C x

x

1

∫ sin

dx = −ctgx + C x 1 dx = tgx + C 10. ∫ cos 2 x arctgx + C ili 1 11. ∫ dx = 2 − arcctgx + C 1+ x 9.

∫

∫

2

1 1− x

2

dx =

arcsin x + C

∫a

to jest

ili

− arccocx + C

to jest

2

1 1 x dx = arctg + C 2 +x a a 1

∫

a −x 2

dx = arcsin

2

x +C a

Ovo su osnovni tablični integrali. Neki profesori dozvoljavaju da se kao tablični koriste i :

dx

13.

∫ 1− x

14.

∫

2

1 1+ x = ln +C 2 1− x

dx x ±1 2

odnosno

= ln x + x 2 ± 1 + C

odnosno

∫a

2

dx 1 a+x dx 1 x−a = ln + C to jest ∫ 2 = ln +C 2 2 −x 2a a − x x −a 2a x + a

∫

dx x ±a 2

2

= ln x + x 2 ± a 2 + C

1

Primeri: x5+1 x6 +C = +C 1. ∫ x dx = 5 +1 6 5

2.

x ∫ 7 dx =

3.

∫

7x +C ln 7

x n +1 ∫ x dx = n + 1 + C n

kao 3. tablični

kao 5. tablični

x ∫ a dx =

ax +C ln a

xdx = pogledamo i vidimo da ga ovaj integral nema u tablici osnovnih integrala... Ideja je da se kod ovakvih n m

integrala iskoristi pravilo za stepenovanje n ∫ x dx =

upotrebljavani tablični

x n = x m , odnosno

1

x = x 2 . Na ovaj način se integral svede na najčešće

x n +1 +C . n +1

Dakle: 1 2

∫

xdx = ∫ x dx =

4.

∫x

1 12

1 +1 2

3 2

3 2

x x 2x +C = +C = +C 1 3 3 +1 2 2

dx = I ovaj ga nema u tablici...Za njega ćemo upotrebiti pravilo za stepenovanje, da je

1 = x − n ... n x

1 x −12 +1 x −11 1 −12 dx = x dx = + C = +C = +C ∫ x12 ∫ −12 + 1 −11 −11x11

Najbolje je da se mi podsetimo svih pravila za stepenovanje i korenovanje:

1) a 0 = 1 1 an 3) a m ⋅ a n = a m + n 4) a m : a n = a m − n 5) (a m ) n = a m⋅n

2) a − n =

6) (a ⋅ b) = a n ⋅ b n n

an a 7)   = n b b a 8)   b

−n

b =  a

n

2

m

1)

n

am = a n

2)

n

a ⋅b = n a ⋅ n b

3)

n

a : n b = n a:b

4) 5) 6)

( a)

m

n

a = n ⋅m a

n m np

= n am

a

mp

= n am

Nastavimo sa primerima…

∫ x⋅

5.

3

xdx = Upotrebimo pravila za stepen i koren da “ pripremimo” podintegralnu funkciju : 1

1+

x ⋅ 3 x = x1 ⋅ x 3 = x

1 3

4

= x3 4

4 3

7

+1

7

x3 x3 3x 3 3 x ⋅ xdx = x dx = + C = + C = +C ∫ ∫ 4 7 7 +1 3 3 x

5 x   5 3 +C x −x x 1 5 3 5 ⋅ dx = ⋅ dx = dx = ∫ ∫ 3x ∫  3  5 ln    3

6.

7.

∫

x x x dx = ? 7

"Spakujemo" podintegralnu funkciju 7 7 8

+1

15

x x x = x

x2 ⋅ x = x 4 x3 =

4

x4 ⋅ x3 = 8 x7 = x 8

15

x8 x8 8x 8 x dx = + C = + C = +C ∫ 7 15 15 +1 8 8

Da se upoznamo i sa osnovnim svojstvima neodredjenog integrala:

1)

∫ A ⋅ f ( x)dx = A ⋅∫ f ( x)dx

gde je A konstanta (broj)

Dakle, slično kao i kod izvoda, konstanta (broj) izlazi ispred integrala...

3

Primeri: 8.

∫ 4 x dx = ? 3

3 3 ∫ 4 x dx = 4∫ x dx = 4

x4 + C = x4 + C 4

9. 1

∫ 4 xdx = ? 1

1

1

1

∫ 4 xdx = 4 ⋅ ∫ x dx = 4 ⋅ ln x + C 10.

∫ 2π sin xdx = ? ∫ 2π sin xdx =2π ⋅ ∫ sin xdx =2π ⋅ (− cos x) + C = −2π cos x + C 2)

∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx

Opet slično kao kod izvoda: Ako imamo zbir ili razliku više funkcija od svake tražimo posebno integral... 11. 2 ∫ (4 x + 2 x − 3)dx = ?

∫ (4 x

2

+ 2 x − 3)dx = ∫ 4 x 2 dx + ∫ 2 xdx − ∫ 3dx = konstante izbacimo ispred integrala... = 4 ∫ x 2 dx + 2 ∫ xdx − 3∫ dx =4

x3 x2 x3 +2 − 3x + C = 4 +x 2 − 3 x + C 3 2 3

12.

1

4 23 − 2 + 2 ⋅ 5 x )dx = ? x sin x 1 x 4 23 1 1 dx 3 x x 3 x ∫ (5cos x + 3e − 2 x + x − sin 2 x + 2 ⋅ 5 )dx = 5∫ cos xdx + 3 ∫ e dx − 2∫ x dx + 4∫ x dx − 23∫ sin 2 x + 2 ⋅ ∫ 5 dx = 1 x4 5x = 5 sin x + e x − 2 + 4 ln x − 23(−ctgx) + 2 +C 3 4 ln 5

∫ (5cos x + 3e

x

− 2 x3 +

4

13.

∫

x−2 dx = ? x3

Kod ovog i sličnih integrala ćemo upotrebiti

∫

A± B A B = ± C C C

x−2 x 2 dx = ∫ ( 3 − 3 )dx = ∫ ( x −2 − 2 x −3 )dx = ∫ x −2 dx − 2 ∫ x −3 dx 3 x x x x −2+1 x −3+1 = −2 +C −2 + 1 −3 + 1 1 1 = − + 2 +C x x

14. 2 x +1 − 5 x −1 ∫ 10 x dx = ? Da prisredimo najpre malo podintegralnu funkciju... 2 x +1 − 5 x −1 = 10 x

5x 5x x x x x 1 x 51 = 2 ⋅ 2 − 51 = 2 ⋅  2  − 1 ⋅  5  = 2 ⋅  1  − 1 ⋅  1          10 x 10 x 10 x  10  5  10  5 5  2

2 x ⋅ 21 −

x

x

x

x

2 x +1 − 5 x −1 1 1 1 1 1 1 ∫ 10 x dx = ∫ [2 ⋅  5  − 5 ⋅  2  ]dx = ∫ 2 ⋅  5  dx − ∫ 5 ⋅  2  dx = x

x

1 1 x x    1 1 1 2 5 1 = 2 ⋅ ∫   dx − ⋅ ∫   dx =2 ⋅   −   + C 1 5 1 5 2 5 ln ln 5 2

15. x2 ∫ x 2 + 1dx = ? Ovo je tip integrala koji najlakše rešavamo malim ''trikom'' ( dodamo 1 i oduzmemo 1) x2 x2 + 1 −1 x2 + 1 1 x2 + 1 1 dx = dx = dx − dx = ∫ x2 + 1 ∫ x2 + 1 ∫ x 2 + 1 ∫ x 2 + 1 ∫ x 2 + 1 dx − ∫ x 2 + 1dx

= ∫ dx − ∫

1 dx = x − arctgx + C x +1 2

I ovde će nam trebati znanje iz trigonometrije. Da se podsetimo nekih najvažnijih formula: 5

Osnovni trigonometrijski indetiteti 1) sin 2 α + cos 2 α = 1 sin α 2) tgα = cos α cos α 3) ctgα = sin α 4) tgα ⋅ ctgα = 1

Adicione formule sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β

sin(α − β ) = sin α cos β − cos α sin β

cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β

cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β tgα − tgβ 1 + tgα ⋅ tgβ ctgα ⋅ ctgβ + 1 ctg (α − β ) = ctgβ − ctgα

tgα + tg β 1 − tgα ⋅ tg β ctgα ⋅ ctg β − 1 ctg (α + β ) = ctg β + ctgα

tg (α − β ) =

tg (α + β ) =

Polovina ugla 1. sin

α

2. cos

2

α

1 − cos α 2

=±

1 + cos α α 1 + cos 2 x ili 2 cos 2 = 1 + cos α odnosno cos 2 x = 2 2 2

ili

2 sin 2

α 2

= 1 − cos α odnosno sin 2 x =

1 − cos 2 x 2

1 − cos α 2 1 + cos α 1 + cos α α 4. ctg = ± 2 1 − cos α 3. tg

α

2

=±

=±

Transformacije zbira i razlike u proizvod α +β α −β 1. sin α + sin β = 2 sin cos 2 2 α +β α −β 2. sin α − sin β = 2 cos sin 2 2 α +β α −β 3. cos α + cos β = 2 cos cos 2 2 α +β α −β 4. cos α − cos β = −2 sin sin 2 2 sin(α ± β ) 5. tgα ± tgβ = cos α cos β sin(α ± β ) 6. ctgα ± ctgβ = sin α sin β

Dvostruki ugao 1. sin 2α = 2 sin α cos α 2. cos 2α = cos 2 α − sin 2 α 3. tg 2α =

2tgα 1 − tg 2α

4. ctg 2α =

ctg 2α − 1 2ctgα

6

16. cos 2 x dx = ? treba nam formula cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x x ⋅ cos 2 x cos 2 x cos 2 x − sin 2 x ∫ sin 2 x ⋅ cos2 xdx = ∫ sin 2 x ⋅ cos2 x dx = rastavimo na dva integrala... cos 2 x sin 2 x dx − ∫ sin 2 x ⋅ cos2 x ∫ sin 2 x ⋅ cos2 xdx = skratimo...

∫ sin

∫ sin

2

cos 2 x

x ⋅ cos 2 x

2

1

∫ sin

2

x

dx − ∫

sin 2 x

dx − ∫

sin 2 x ⋅ cos 2 x

dx = i dobijamo dva tablična integrala...

1 dx = −ctgx − tgx + C cos 2 x

17. dx =? treba nam formula sin 2 x + cos 2 x = 1 x ⋅ cos 2 x 1 ⋅ dx 1 sin 2 x + cos 2 x ∫ sin 2 x ⋅ cos2 x = uz dx je 1, zar ne?= ∫ sin 2 x ⋅ cos2 xdx = ∫ sin 2 x ⋅ cos2 x dx = rastavimo na dva integrala... sin 2 x cos 2 x dx + ∫ sin 2 x ⋅ cos2 x ∫ sin 2 x ⋅ cos2 xdx = skratimo...

∫ sin

2

∫ sin

sin 2 x 2

x ⋅ cos 2 x

1

∫ cos

2

x

dx + ∫

dx + ∫

cos 2 x sin 2 x ⋅ cos 2 x

dx = i dobijamo dva tablična integrala...

1 dx = tgx − ctgx + C sin 2 x

18.

∫ tg

2

xdx = ?

Ovde koristimo tgx = 2 ∫ tg xdx = ∫

=∫

sin x cos x

sin 2 x dx = kako je sin 2 α + cos 2 α = 1 → sin 2 α = 1 − cos 2 α , pa je 2 cos x

1 1 − cos 2 α 1 cos 2 α dx dx dx = ∫ dx − ∫ dx = tgx − x + C = − 2 2 2 ∫ ∫ cos x cos x cos x cos 2 x

7

19. 18 x 2 − 2 ∫ 3x − 1 dx = ? Probamo da sredimo podintegralnu funkciju, ako neće, mora se koristiti neki drugi trik( druga metoda)...

18 x 2 − 2 2(9 x 2 − 1) 2 (3 x − 1) (3 x + 1) = 2(3 x + 1) = 6 x + 2 = = 3x − 1 3x − 1 3x − 1

Sad je već lakše...

18 x 2 − 2 x2 (6 2) 6 2 6 dx = x + dx = xdx + dx = + 2 x + C = 3x 2 + 2 x + C ∫ 3x − 1 ∫ ∫ ∫ 2

20.

4− x dx = ? x

∫ 2+

1 4− x 22 − ( x ) 2 (2 − x )(2 + x ) (2 − x ) (2 + x ) = = = = 2 − x = 2 − x2 2+ x 2+ x 2+ x 2+ x 3

3

1 1 4− x 2x2 x2 2 2 (2 ) 2 2 2 dx = − x dx = dx − x dx = x − + C = x − +C ∫ 2+ x ∫ ∫ ∫ 3 3 2

8