2.HOMOGENE DIFERENCIJALNE JEDNACINE.pdf

HOMOGENE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE  y Jednačina oblika M ( x, y ) dx + N ( x, y ) = 0 koju možemo da spakujemo u oblik y`= f   naziva se homogena x diferencijalna jednačina.

Rešavamo je smenom : y = z to jest y = z ⋅ x x Odavde je: y = z⋅x y`= z `⋅ x + x`⋅z y`= z `⋅ x + 1 ⋅ z y`= z`⋅x + z

Posle smene ova jednačina se svodi na diferencijalnu jednačinu koja razdvaja promenljive. Da Vas ne zbuni , neki profesori ne uzimaju za smenu slovo z, već slovo u. y = u to jest y = u ⋅ x x Odavde je: y = u⋅x y`= u `⋅x + x`⋅u y`= u `⋅x + 1 ⋅ u y`= u `⋅ x + u Sve jedno je koje ćemo slovo uzeti za smenu, postupak rada je isti..... Primer 1. Rešiti diferencijalnu jednačinu y`=

2x + y 2x

Rešenje: 2x + y izvučemo gore x ispred zagrade 2x y x (2 + ) x y`= 2x y 2+ x y`= Napravili smo oblik homogene d.j. pa sad uzimamo smenu 2 y`=

Smena:

y = z ⇒ y = zx ⇒ y`= z`x + z , vraćamo se u zadatak x 2+ z z`x + z = 2

1

z`x =

2+ z −z 2

2 + z − 2z 2 2− z dz z`x = ovo je diferencijalna jednačina koja razdvaja promenljive , gde je z `= 2 dx dz 2−z x= dx 2 z`x =

dz 1 dx = 2−z 2 x dz = 2−z

∫

integralimo 1 dx 2 x

∫

− ln 2 − z =

1 ln x + ln c 2

“trik“ je da kada su sva rešenja po ln da se doda lnc umesto c

1

ln 2 − z

−1

= ln x 2 + ln c spakujemo malo

ln 2 − z

−1

= ln x 2 c

2−z

−1

2−

y x

antilogaritmujemo

1 2

= x c

1 = xc 2−z 1

1

vratimo smenu

y =z x

= xc ovo je opšte rešenje, ako zahteva vaš profesor odavde izrazite y

y 1 = x c x y 1 = 2− .......................... / *x x c x x y = 2x − c x

2−

y = 2x −

x c

ako stavimo

1 =C c

y = 2x − C x

2

Primer 2. Rešiti diferencijalnu jednačinu xy`− y = x 2 + y 2 Rešenje: xy`− y = x 2 + y 2 xy`= x 2 + y 2 + y xy`= x 2 (1 +

y2 )+y x2 2

 y xy`= x 1 +   + y............................/ : x  x

(x ≠ 0)

2

 y x 1+   y x y`= + x x 2

y  y y`= 1 +   + x x Napakovali smo oblik koji nam treba, uvodimo smenu :

y = z ⇒ y = zx ⇒ y`= z`x + z x

2

y  y y`= 1 +   + x x   z `x + z = 1 + z 2 + z z `x = 1 + z 2 → d.j. koja razdvaja promenljive dz ⋅ x = 1+ z2 dx dz dx = → integralimo 2 x 1+ z

∫

dz 1+ z

( ln ( z +

2

=∫

dx x

) 1 + z ) = ln x ⋅ c

ln z + 1 + z 2 = ln x + ln c 2

z + 1 + z 2 = xc → vratimo smenu 2

y y  y = 1 +   = xc → ako malo prisredimo → = x x  x

x2 + y2 y = xc → = 2 x x

x2 + y2 = xc....... / *x x

y + x 2 + y 2 = x 2c

3

Primer 3. Rešiti diferencijalnu jednačinu Rešenje:

xy2dy = (x3 + y3)dx

xy2dy = (x3 + y3)dx dy x 3 + y 3 = dx xy 2

gore izvlačimo x3

y3 y3 3 + ) x (1 ) x3 x 3 → y`= y`= xy 2 x y2 y3 x 2 (1 + 3 ) x spustimo x2 dole ispod y2 y`= y2 x 3 (1 +

(1 + y`=

y3 ) x3

y2 x2

y 3 ) x jasno je da je ovo homogena d.j. y`= y 2 ( ) x 1+ (

Uzimamo smenu : 1+ z3 z2 1+ z3 z`x = −z z2 1+ z3 − z3 z`x = z2 1 z`x = 2 z dz 1 x= 2 dx z dx z 2 dz = x dx 2 ∫ z dz = ∫ x

y = z ⇒ y = zx ⇒ y`= z`x + z x

z`x + z =

z3 = ln x + c 3

razdvaja promenljive z`=

y vratimo smenu =z x

dz dx

pa je

y ( )3 x = ln x + c 3

opšte rešenje

4

Primer 4. Rešiti diferencijalnu jednačinu

xy`− y = ( x + y ) ln

x+ y x

Rešenje: x+ y x x y   xy`= ( x + y ) ln  +  + y x x   y  xy`= ( x + y ) ln 1 +  + y............................../ : x  x xy`− y = ( x + y ) ln

(x ≠ 0)

( x + y)  y y ln 1 +  + x  x x y  y y  y`= 1 +  ln  1 +  +  x  x x y`=

Sad smena:

y = z ⇒ y = zx ⇒ y`= z`x + z x

y  y y  y`= 1 +  ln  1 +  +  x  x x z`x + z = (1 + z ) ln (1 + z ) + z z`x = (1 + z ) ln (1 + z ) dz x = (1 + z ) ln (1 + z ) dx dz dx = (1 + z ) ln (1 + z ) x dz

∫ (1 + z ) ln (1 + z ) = ∫

dx x

dz “Rešimo” na stranu integral sa leve strane: ∫ = (1 + z ) ln (1 + z )

ln (1 + z ) = t

dt = ∫ = ln t = ln ln (1 + z ) 1 t dz = dt 1+ z

ln ln (1 + z ) = ln x + ln c ln ln (1 + z ) = ln xc ln (1 + z ) = xc 1 + z = e xc z = e xc − 1 y = e xc − 1 x y = x ( ecx − 1)

5

Primer 5. Rešiti diferencijalnu jednačinu

y`=

x − y +1 x + y −3

Rešenje: Evo ovde malog problema! Smetaju nam ovi brojevi gore i dole. Kako rešavamo ovu situaciju?

 a x + b1 y + c1  Jednačina oblika y`= f  1  svodi se na homogenu prenošenjem koordinatnog početka u tačku  a2 x + b2 y + c2  preseka pravih a1 x + b1 y + c1 = 0 ∧ a2 x + b2 y + c2 = 0 . Ustvari, mi rešimo sistem od ove dve jednačine , i dobijemo rešenja ( x, y ) = (α , β ) Uvodimo smene:

x = X +α y =Y +β

i dobijemo poznatu homogenu diferencijalnu jednačinu.

Ako se desi da se prave ne seku , onda je a1 x + b1 y = k (a2 x + b2 y ) pa diferencijalna jednačina ima oblik y`= F (ax + by ) koji se smenom z = ax + by ili z = ax + by + c svodi na diferencijalnu jednačinu koja razdvaja

promenljive. Da se vratimo na naš primer:

y`=

x − y +1 x + y −3

x − y +1 = 0  + x + y − 3 = 0 2x − 2 = 0 → x = 1 x − y +1 = 0 →1− y +1 = 0 → y = 2 (α , β ) = (1, 2) smena x = X +1 y =Y +2 y`=

x − y +1 X +1− Y − 2 +1 X −Y → Y `= → Y `= x + y −3 X +1+ Y + 2 − 3 X +Y

Sad je ovo obična homogena d.j. Samo da je upakujemo!

6

Y `=

X −Y X +Y

Y ) X Y `= Y X (1 + ) X Y 1− X → Smena: Y = Z → Y `= Z `X + Z Y `= Y X 1+ X 1− Z Z `X + Z = 1+ Z 1− Z −Z Z `X = 1+ Z 1− Z − Z − Z 2 Z `X = 1+ Z 1 − 2Z − Z 2 Z `X = 1+ Z 1+ Z dZ 1 − 2 Z − Z 2 = → dZ = dX 1+ Z 1 − 2Z − Z 2 dX X (1 −

1+ Z dZ = dX 1 − 2Z − Z 2 1+ Z ∫ 1 − 2Z − Z 2 dZ = ∫ dX Z 2 + 2Z − 1 = t

( 2Z + 2 ) dZ = dt Z +1 1+ Z 1 dt 1 1 2 ∫ 1 − 2Z − Z 2 dZ = − ∫ Z 2 + 2Z − 1 dZ = 2 ( Z + 1) dZ = dt = − 2 ∫ t = − 2 ln t = − 2 ln Z + 2Z − 1 dt ( Z + 1) dZ = 2 1 − ln Z 2 + 2 Z − 1 = ln X + ln c....................... / *(−2) 2 ln Z 2 + 2Z − 1 = −2 ln X + ( −2 ln c ) 2

ln Z 2 + 2Z − 1 = − ln X + ln c −2 2

ln Z 2 + 2Z − 1 + ln X = ln c −2 2

ln Z 2 + 2Z − 1 ⋅ X = ln c −2

(Z (Z

2

+ 2Z − 1) ⋅ X 2 = c −2 → stavimo da je c −2 = C

2

+ 2Z − 1) ⋅ X 2 = C

 Y2  2 Y  2 + 2 − 1 ⋅ X = C X X   Y 2 + 2 XY − X 2  2  ⋅ X = C X2   Y 2 + 2 XY − X 2 = C

Sad još imamo posao da vratimo smene sa početka zadatka: 7

Y 2 + 2 XY − X 2 = C smena x = X + 1 → X = x −1 y =Y +2 →Y = y−2

( y − 2)

2

+ 2 ( x − 1)( y − 2 ) − ( x − 1) = C 2

Evo opšteg rešenja.

www.matematiranje.in.rs

8