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UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERIA 2do. Examen Final de Estadística – 19 / julio / 03 – duración: 125 minutos Tema 1: De un grupo de 100 estudiantes se sabe que: 32 estudian matemáticas; 20 estudian física; 45 estudian biología; 15 estudian matemáticas y biología; 7 estudian matemáticas y física; 10 estudian física y biología; 30 no estudian ninguna de las tres materias. Si se selecciona un estudiante al azar, hallar la probabilidad de que sea: a) estudiante de una sola y solo una materia b) estudiante de las tres materias. Tema 2: Suponga que el manuscrito para un libro de texto tiene en total 50 errores de mecanografía en el total de las 500 páginas que conforman el material, y que los errores están distribuidos en forma aleatoria en todo el texto. ¿Cuál es la probabilidad de que: a- un capitulo que cubre 30 páginas tenga dos o más errores? b- un capitulo que tiene 50 paginas tenga dos o más errores? c- una página elegida al azar no tenga error? Tema 3: Un artículo publicado en la revista The Enginer ( junio 1999), notificó los resultados de una investigación sobre los errores en el cableado en aeroplanos comerciales que pueden producir información falsa a la tripulación. Es posible que tales tipos de errores de cableado hayan sido responsables del desastre de la British Airways en enero de 1989 al provocar que el piloto apagara el motor equivocado. De 1600 aeroplanos seleccionados al azar, se encontró que el 8% tenían errores en el cableado que podían mostrar información falsa a la tripulación. a) Encontrar un intervalo de confianza del 99% para la proporción de aeroplanos que tienen este tipo de cableado. Interpretar la respuesta. b) Suponiendo que se utiliza este ejemplo para proporcionar una estimación preliminar de p, ¿ de qué tamaño debe se la muestra para producir una estimación de p que difiera, con una confianza de 99% del verdadero valor a lo más en 1%?. Interpretar. c) ¿ De que tamaño debe ser la muestra si se desea tener una confianza de al menos 99% de que la proporción muestral difiera de la proporción verdadera a lo más en 1%, sin importar cual sea el valor verdadero de p ? Interpretar. Tema 4: El Ingeniero Pedro Ferreira propone a sus alumnos 10 cuestiones verdadero-falso. Para comprobar la hipótesis de que los estudiantes contestan al azar, adopta la siguiente regla de desición:  Si al menos 7 respuestas son acertadas, el estudiante no ha contestado al azar  Si hay menos de 7 correctas, ha contestado al azar. Hallar la probabilidad de rechazar la hipótesis cuando sea correcta. Hallar la probabilidad de aceptar la hipótesis p = 0,5 cuando en realidad p = 0,7. Tema 5: Las cantidades Y de una sustancia no transformada en 6 reacciones químicas similares después de X minutos son: X (minutos) 1 2 2 3 5 5

Y (miligramos) 23,5 16,9 17,5 14,0 9,8 8,9

a) dibujar el diagrama de dispersión b) ajustar una curva exponencial y graficar. c) estimar la cantidad de sustancia no transformada después de un periodo de 4 minutos.

De un grupo de 100 estudiantes se sabe que: 32 estudian matemáticas; 20 estudian física; 45 estudian biología; 15 estudian matemáticas y biología; 7 estudian matemáticas y física; 10 estudian física y biología; 30 no estudian ninguna de las tres materias. Si se selecciona un estudiante al azar, hallar la probabilidad de que sea: c) estudiante de una sola y solo una materia d) estudiante de las tres materias. Solución: Sean los eventos: M: estudiante de matemática ; F: estudiante de física ; B: estudiante de biología Entonces: p(M  F  B)  p(M)  p(F)  p(B)  p(M.F)  p(M.B)  p(F.B)  p(M.F.B) 70 32 20 45 donde: p(M  F  B)  ; p(M)  ; p(F)  ; p(B)  100 100 100 100 7 15 10 p(M.F)  ; p(M.B)  ; p(F.B)  100 100 100 con estos números: 70 32 20 45 7 15 10        p(M.F.B) 100 100 100 100 100 100 100 70 65 5   p(M.F.B) ; p(M.F.B)  100 100 100 Respuesta: si se selecciona un estudiante al azar, la probabilidad de que sea estudiante de las tres materias es del 5%.

M F

M.F.B

B

Del diagrama podemos concluir: 32 15 7 5 15 20 7 10 5 8 ; p(F.M.B)  p(M.F.B)          100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 45 15 10 5 25 p(B.M.F)      100 100 100 100 100 La probabilidad de que un estudiante elegido al azar sea estudiante de una y sólo una materia está dada por: 15 8 25 48 p(M.F.B)  p(F.M.B)  p(B.M.F)     100 100 100 100 Respuesta: la probabilidad de que un estudiante elegido al azar sea estudiante de una y sólo una materia es del 48%.

Suponga que el manuscrito para un libro de texto tiene en total 50 errores de mecanografía en el total de las 500 páginas que conforman el material, y que los errores están distribuidos en forma aleatoria en todo el texto. ¿Cuál es la probabilidad de que: d- un capitulo que cubre 30 páginas tenga dos o más errores? e- un capitulo que tiene 50 paginas tenga dos o más errores? f- una página elegida al azar no tenga error? Solución λ = n.p = 50x30/500=3  30 e 3 31 e 3  P(X  2) = 1 – [P(X=0)+P(X=1)] = 1      1  0,1991  0,8008 1!   0! Respuesta: la probabilidad de que un capitulo que cubre 30 páginas tenga dos o más errores es del 80, 085%.

-

λ = n.p = 50x50/500=5

 50 e5 51 e5    1  0,04042  0,9596 - P(X  2) = 1 – [P(X=0)+P(X=1)] = 1   1!   0! Respuesta: la probabilidad de que un capitulo que tiene 50 paginas tenga dos o más errores es del 95,96%. λ = n.p = 50/500=0,1  0,10 e0,1  - P(X = 0) =    0,9048  0!  Respuesta: la probabilidad de que una página elegida al azar no tenga error es del 90,48%.

Un artículo publicado en la revista The Enginer ( junio 1999), notificó los resultados de una investigación sobre los errores en el cableado en aeroplanos comerciales que pueden producir información falsa a la tripulación. Es posible que tales tipos de errores de cableado hayan sido responsables del desastre de la British Airways en enero de 1989 al provocar que el piloto apagara el motor equivocado. De 1600 aeroplanos seleccionados al azar, se encontró que el 8% tenían errores en el cableado que podían mostrar información falsa a la tripulación. d) Encontrar un intervalo de confianza del 99% para la proporción de aeroplanos que tienen este tipo de cableado. Interpretar la respuesta. e) Suponiendo que se utiliza este ejemplo para proporcionar una estimación preliminar de p, ¿ de qué tamaño debe se la muestra para producir una estimación de p que difiera, con una confianza de 99% del verdadero valor a lo más en 1%?. Interpretar. f) ¿ De que tamaño debe ser la muestra si se desea tener una confianza de al menos 99% de que la proporción muestral difiera de la proporción verdadera a lo más en 1%, sin importar cual sea el valor verdadero de p ? Interpretar. Solución:

a) N = 1600 aeroplanos ; p(error) = 0.08 ; p/ 99% de confianza: zc = 2,58

pq 0,08  0,92 ; 0,08  2,58 ; 0,08  0,017 N 1600 Respuesta: Con un 99% de confianza, podemos afirmar que la proporción de aeroplanos que tienen este tipo de error se encuentran entre el 6,3% y 9,7%. p  zc

2

2

pq  2,58  z  ; N   c  pq ; N    0,08  0,92  4899 N e  0,01  Respuesta: El tamaño de la muestra debe ser de al menos 4899 aeroplanos, para que la proporción muestral no difiera del verdadero a lo más en 1%. c) Si no conocemos el valor de p tomamos p = 0,5 y q = 0,5 ya que estos son los valores que pueden producir el mayor error posible: b) e  zc

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pq  2,58  z  ; N   c  pq ; N    0,5  0,5  16641 N  e   0,01  Respuesta: Si no conocemos el valor de p, y tomamos p = 0,5, entonces el tamaño de la muestra debe ser de al menos 16641 aeroplanos. Esto es aproximadamente 3 veces mayor que si conocemos el valor de p. e  zc

El Ingeniero Pedro Ferreira propone a sus alumnos 10 cuestiones verdadero-falso. Para comprobar la hipótesis de que los estudiantes contestan al azar, adopta la siguiente regla de desición:  Si al menos 7 respuestas son acertadas, el estudiante no ha contestado al azar  Si hay menos de 7 correctas, ha contestado al azar. Hallar la probabilidad de rechazar la hipótesis cuando sea correcta. Hallar la probabilidad de aceptar la hipótesis p = 0,5 cuando en realidad p = 0,7. Solución: Sea p la probabilidad de que una cuestión sea acertada correctamente. La probabilidad de lograr X X correctas de las 10 es p(X)  C10 p X q10X . Bajo la hipótesis p = 0,5 ( o sea, el estudiante responde al azar), p(7 o mas correctas )  p(7)  p(8)  p(9)  p(10)  7 8 9 10 1010  C10 0,5 7 0,5107  C10 0,58 0,5108  C10 0,59 0,5109  C10  0,1719 10 0,5 0,5 Respuesta: la probabilidad de concluir de que no contestaban al azar cuando realmente lo hacían es del 17,19%.

Bajo la hipótesis p = 0,7 p(menos de 7 correctas)  1  p(7 o mas correctas) 





7 8 9 10 1010  1  C10 0,7 7 0,3107  C10 0,7 8 0,3108  C10 0,7 9 0,3109  C10  0,3504 10 0,7 0,3

Respuesta: la probabilidad de aceptar la hipótesis p = 0,5 cuando en realidad p = 0,7 es del 35,04%.