2._Factores_rev1

Análisis Económico de Decisiones

FACTORES Notación estándar para todos los factores 

La notación incluye dos símbolos de flujo de caja, la tasa de interés y el número de periodos. Siempre está en la forma general: (X/Y, i, n) Siendo X = lo que se busca Y= lo que está dado i= tasa de interés en porcentaje n= número de periodos implicados Ejemplo: F/P F/P significa encuentre F cuando P está dado (cuando P es conocido) P/F significa encuentre P dado F (conocido)

FACTORES DE PAGO ÚNICO (F (F/P y P/F) Factor de cantidad compuesta de pago único (F/P) −

El factor fundamental de la Ingeniería Económica es el que determina la canti antida dad d de di dine nerro F que que se acu cumu mula la de desspué pués de n años años (o periodos), a partir de un valor único P con interés compuesto una vez por año (o por periodo).

−

El diagrama de flujo para este factor es el siguiente: F=?

i= dado

0

1

P= dado

2

…

n-2

n- 1

n

FACTORES DE PAGO ÚNICO (F/P y P/F) Derivación del factor de cantidad compuesta de pago único (F/P) Final del 1er periodo

F1 = P + P i = P (1 + i)

Final del 2do periodo

F2 = F1 + F1 i = P (1 + i) + P (1 + i) i = P (1 + i)2

Final del 3er periodo

F3 = F2 + F2 i = P (1 + i)3

Final de n periodos

F = P (1 + i) n

(F/P; i%, n)= Factor de conversión F/P que cuando se multiplica por P, produce la cantidad F de una inversión inicial P después de n periodos, a la tasa de interés i.

FACTORES DE PAGO ÚNICO (F/P y P/F) Factor de valor presente de pago único (P/F) −

Es aquel que determina el valor presente P de una cantidad futura F, después de n periodos a una tasa de interés i.

−

El diagrama de flujo para este factor es el siguiente: F = dado

i= dado

1

0

2

…

n-2

n- 1

n

P= ? −

Para determinar el valor P dada una cantidad F que ocurre n periodos en el futuro:

P

F

1

(1 i) n

(P/F, i%, n)=Factor de conversión P/F que cuando se multiplica por F,  produce la cantidad P de un valor   futuro F después de n periodos, a la tasa de interés i.

FACTORES DE PAGO ÚNICO (F/P y P/F) Para los factores vistos anteriormente la notación es la siguiente : Notación (F/P, i, n) (P/F, i, n)

−

Nombre Cantidad compuesta de pago único Valor presente de pago único

Encontrar /dado

Ecuación en notación estándar

Ecuación con fórmula de factor

Funciones de Excel

F/P

F= P (F/P, i, n)

F= P (1+ i) n

VF(i%,n,,P)

P/F

P= F (P/F, i, n)

P= F [1/(1+ i)n]

VA(i%,n,,F)

Para simplificar cálculos se han elaborado tablas de valores de factores, las cuales se encuentran al final del libro (Blank y Tarquin).

¿Cómo se utiliza esta tabla de factores? 

Para un factor, tasa de interés y tiempo dados, el valor correcto del factor se encuentra en la intersección del nombre del factor y n.

FACTORES DE PAGO ÚNICO (F/P y P/F) Por ejemplo: Encuentre el valor del factor (P/F, 5%, 10) −

La tabla a utilizar es la que corresponde a la tasa de interés i = 5%.

−

Luego interceptando: n = 10 con (P/F) se obtiene que: (P/F, 5%, 10) = 0,6139

−

Este mismo valor se obtiene aplicando la fórmula antes vista:

(P/F, i%, n)

1 (1 i)

n

1 (1 0,05)10

0,6139

FACTORES DE PAGO ÚNICO (F/P y P/F) Ejemplo 1 Si F = $100.000 después de 9 años. ¿Cuál es el valor equivalente hoy de este valor si la tasa de interés es 15% anual? Solución: El diagrama de flujo de caja es el siguiente: F = 100.000

i= 15%

1

0

2

…

8

9

P= ?

P0 = $100.000(P/F, 15%,9) = $100.000(1/(1.15) 9) = $100.000(0,28426) =

P0 = $28.426 en t = 0

FACTORES PARA SERIES UNIFORMES (P/A y A/P) Factor de valor presente de serie uniforme (P/A) −

Es aquel que determina el valor presente P equivalente de una serie uniforme A de flujo de efectivo al final del periodo.

−

El diagrama de flujo para este factor es el siguiente:

A = dado i= dado

1

0

P= ?

2

…

n-2

n- 1

n

FACTORES PARA SERIES UNIFORMES (P/A y A/P) Determinación del Factor de valor presente de serie uniforme (P/A) −

El valor presente P de una serie uniforme A, puede obtenerse considerando cada valor de A como un valor futuro F y luego sumar estos resultados: P

−

A

A

(1 i)1

1

A

(1 i) 2

1 (1 i)3

... A

1 (1 i) n

Los términos entre corchetes representan los factores P/F durante los años 1 hasta n. Si se factoriza A se obtiene:

P −

1

A

1

1 1

(1 i)

(1 i)

1 2

(1 i)

3

...

[1]

1 (1 i) n

Para simplificar la ecuación 1 y obtener el factor P/A, se debe multiplicar esta ecuación por el factor 1/(1+i): P (1 i) n

A

1

1

1

(1 i) 2

(1 i)3

(1 i) 4

...

1 (1 i) n

1

[2]

FACTORES PARA SERIES UNIFORMES (P/A y A/P) Determinación del Factor de valor presente de serie uniforme (P/A) −

Para obtener P en función de A, se debe restar la ecuación [1] de la [2], resultando:

-i P 1 i

−

1 A (1 i) n

1 1

[3]

(1 i)

Simplificando aún más la ecuación 3 se obtiene la siguiente expresión:

P

A 1 i (1 i) n

1

1

P

(1 i) n 1 A i(1 i) n

(P/A; i%, n)= Factor de conversión P/A que calcula el valor P equivalente en el año 0 para una serie uniforme de final de periodo de valores A, que empiezan al final del periodo 1 y se extienden durante n periodos.

FACTORES PARA SERIES UNIFORMES (P/A y A/P) Factor de recuperación de capital (A/P) −

De la ecuación (3) obtenida anteriormente despejar A en términos de P:

A

i(1 i) n P (1 i) n 1

(A/P; i%, n)= Factor de recuperación de capital A/P calcula el valor anual uniforme equivalente A durante n años de una P dada en el año 0 cuando la tasa de interés es i.

−

IMPORTANTE: Las fórmulas de ambos factores se derivan con el valor presente P y la primera cantidad anual uniforme A, con un año (o un periodo) de diferencia. Es decir, el valor presente P siempre debe localizarse un periodo antes de la primera A.

FACTORES PARA SERIES UNIFORMES (P/A y A/P) Para los factores vistos anteriormente la notación es la siguiente : Ecuación en notación estándar

Ecuación con fórmula de factor

Funciones de Excel

Notación

Nombre

Encontrar /dado

(P/A, i, n)

Series uniformes de valor presente

P/A

P= A (P/A, i, n)

P= A [(1+ i)n-1 / i(1+i)n]

VA(i%,n,PAGO,F)

(A/P, i, n)

Recuperación de capital

A/P

A= P (A/P, i, n)

A= P [i(1+i)n / (1+ i)n-1]

PAGO(i%,n, P,F)

FACTORES PARA SERIES UNIFORMES (P/A y A/P) Ejemplo 2 ¿Cuánto dinero debería ahorrarse hoy para recibir $6.000 anuales durante 9 años, a partir del próximo año, si la tasa de rendimiento es 16% anual? Solución: El diagrama de flujo de caja es el siguiente: A = $ 6.000 i= 16%

1

0

2

7

8

9

P= ?

El valor presente es: P = A(P/A, 16%,9)

P

(1 0,16 ) 9 1 6.000 0,16(1 0,16 ) 9

6.000 x 4,6065

$27 .639

FACTORES PARA SERIES UNIFORMES (A/F y F/A) Factor de fondo de amortización (A/F) −

Es aquel que determina la serie de valor anual uniforme A que sería equivalente a un valor futuro determinado F.

−

El diagrama de flujo de caja para este factor es el siguiente: F= dado i= dado

0

1

2

n-2

n- 1

n

A=? −

IMPORTANTE: la serie uniforme A se inicia al final del periodo 1 y continua a lo largo del periodo de la F dada. Es decir, la cantidad

futura F siempre debe localizarse durante el mismo periodo que la última A.

FACTORES PARA SERIES UNIFORMES (A/F y F/A) Determinación de A/F −

Recuerde que:

P −

F

1 (1 i)

Sustituyendo P:

A

−

A

n

F

1 (1 i) n

i(1 i) n P (1 i) n 1

i(1 i) n (1 i) n 1

Simplificando esta expresión se obtiene:

A

i F (1 i) n 1

(A/F; i%, n)= Factor de fondo de amortización A/F cuando se multiplica por F produce el valor anual uniforme equivalente  A durante n años de un valor F en el año n, cuando la tasa de interés es i.

FACTORES PARA SERIES UNIFORMES (A/F y F/A) Factor cantidad compuesta de serie uniforme (F/A) −

Es aquel que determina el valor futuro F de una serie uniforme A.

−

El diagrama de flujo de caja para este factor es el siguiente: F= ? i= dado

0

1

2

n-2

n- 1

n

A = dado −

La cantidad futura F ocurre durante el mismo periodo que la última A.

FACTORES PARA SERIES UNIFORMES (A/F y F/A) Determinación de F/A −

Considerando la expresión obtenida anteriormente:

A −

F

i (1 i) n 1

Y reordenándola se obtiene:

F

(1 i) n 1 A i

(F/A; i%, n)= Factor cantidad compuesta de serie uniforme F/A cuando se multiplica por la cantidad anual uniforme A dada, produce el valor futuro F de la serie uniforme

FACTORES PARA SERIES UNIFORMES (A/F y F/A) Para los factores vistos anteriormente la notación es la siguiente : Ecuación en notación estándar

Ecuación con fórmula de factor

Funciones de Excel

Notación

Nombre

Encontrar /dado

(F/A, i, n)

Cantidad compuesta serie uniforme

F/A

F= A (F/A, i, n)

F= A [ [(1+ i) n -1]/i]

VF(i%,n,,A)

(A/F, i, n)

Fondo de amortización

A/F

A= F (A/F, i, n)

A= F[i/ [(1+i)n - 1]]

PAGO(i%,n,,F)

FACTORES PARA SERIES UNIFORMES (A/F y F/A) Ejemplo 3 El presidente de la empresa F&P quiere saber el valor futuro equivalente de una inversión de capital de $1.000.000 cada año durante 8 años, empezando a partir de hoy. El capital de la empresa gana a una tasa de 14% anual. Solución: El diagrama de flujo de caja es el siguiente:

F= ?

i= 14%

0

1

2

… 6

7

8

A = $ 1.000.000

El valor F en 8 años es: F = A(F/A, 14%,8)

F 1.10

6

(1 0,14 ) 8 1 0,14

1.10 6 x 13,2328

$13 .232 .800

FACTORES PARA SERIES UNIFORMES (A/F y F/A) Ejemplo 4 ¿Cuánto dinero necesita depositar Carolina cada año, después de un año a partir de hoy, a una tasa de 5,5% anual, para que pueda acumular $6.000 en 7 años?. Solución: El diagrama de flujo de caja es el siguiente: F= $6.000 i= 5,5%

0

1

2

… 5

6

7

A=?

El valor A es: A = F(A/F, 5,5%,7)

F

6.000

0,055 (1 0,055 ) 7 1

6.000 x 0,12096

$725,76

FACTORES DE GRADIENTE ARITMÉTICO (P/G, A/G y F/G) Gradiente Aritmético Es una serie de flujos de efectivo que aumenta o disminuye en una cantidad constante durante n periodos de tiempo. La cantidad de aumento o disminución se denomina GRADIENTE. − Siempre

está constituido por dos componentes: a) La cantidad anual base, A b) El cambio aritmético constante, G (positivo o negativo)

−

El diagrama de flujo de caja de una serie de gradiente aritmético creciente se muestra a continuación:

2

FACTORES DE GRADIENTE ARITMÉTICO (P/G, A/G y F/G) Ejemplo 5 Una persona compra un automóvil usado con un año de garantía, por lo que durante el primer año sólo debe pagar $150.000 correspondiente a la gasolina y el seguro. A partir del segundo año esta persona debe solventar además las reparaciones, costo que se espera que aumentará cada año en $5.000. ¿Cuál será el diagrama de flujo de efectivo de esta situación para n años? Solución: Considerando que los valores para A y G son $150.000 y $5.000 respectivamente, el diagrama de flujo de caja de serie aritmética sería el siguiente: 0

1

2

3

n-1

n

FACTORES DE GRADIENTE ARITMÉTICO (P/G, A/G y F/G) −

Ignorando la cantidad base, el diagrama de flujo de caja generalizado de gradiente aritmético creciente es el siguiente: 0

−

1

2

3

n-1

n

El flujo de efectivo en el año n (CFn) se calcula como: CFn=cantidad base+(n-1)G

−

El gradiente gradiente G se calcula mediante la ecuación:

G

aumento n -1

cantidad final - cantidad base n -1

FACTORES DE GRADIENTE ARITMÉTICO (P/G, A/G y F/G) Factor de Valor Presente de un Gradiente Aritmético o Factor P/G El factor P/G servirá para determinar el valor presente de la serie de gradiente gradiente aritmética sin considerar la cantidad anual base, es decir:

0

1

2

G (1 + i) n - 1 P= i i(1 + i) n

3

n (1 + i) n

4

…

n -1

n

(1 + i) n - in - 1 P=G i 2 (1 + i) n

Esta Esta ecu ecuaci ación ón expr expres esada ada como como una relac relación ión de ingeni ingenierí ería a ec econó onómic mica a Factor valor presente de un gradiente tiene la siguiente forma: P G P/G, i, n IMPORTANTE: el gradiente G empieza en el año 2 y P está ubicado en el

año 0.

FACTORES DE GRADIENTE ARITMÉTICO (P/G, A/G y F/G) Factor Fa ctor de Serie Uniforme de un u n Gradiente Aritmético A/G Este factor permite determinar determinar la serie anual uniforme equivalente (A) de un gradiente aritmético G.

A=G

1 i

n (1 + i) n

1

Esta Esta ec ecuaci uación ón expr expres esada ada como como una relac relación ión de ingeni ingenierí ería a ec econó onómic mica a tiene la siguiente forma : Fact actor seri serie e un unif ifor orme me de un A G A/G, i, n gradiente

IMPORTANTE: la anualidad A empieza en el año 1 y termina en n.

FACTORES DE GRADIENTE ARITMÉTICO (P/G, A/G y F/G) Factor de Valor Futuro de un Gradiente Aritmético F/G Este factor permite determinar el valor futuro (F) de un gradiente aritmético G.

1 (1 + i) n F=G i i

1

n

Esta ecuación expresada como una relación de ingeniería económica tiene la siguiente forma : Factor valor futuro de un F G F/G, i, n gradiente

FACTORES DE GRADIENTE ARITMÉTICO (P/G, A/G y F/G) Para series de flujos de caja que impliquen gradientes se debe tener presente: −

La cantidad base es la cantidad A de serie uniforme que empieza en el año 1 y se extiende hasta el año n. Su valor presente se simboliza con PA

−

Para un gradiente creciente, la cantidad gradiente debe agregarse a la cantidad de la serie uniforme. El valor presente es PG

−

Para un gradiente decreciente, la cantidad gradiente debe restarse a la cantidad de la serie uniforme. El valor presente es – PG

−

Por lo tanto, las ecuaciones generales para calcular el valor presente total PT de los gradientes aritméticos son: Gradientes crecientes Gradientes decreciente

PT= PA+PG PT= PA-PG

FACTORES DE GRADIENTE ARITMÉTICO (P/G, A/G y F/G) Ejemplo 6: Determine el valor PT del siguiente diagrama de flujo de caja :

0

1

2

3

4

5

Solución: Primero se debe calcular el valor presente de la cantidad base (PA)

0

1

2

PA = A(P/A,10%,5)

3

4

100(3,7908)

5

$379,08

FACTORES DE GRADIENTE ARITMÉTICO (P/G, A/G y F/G) Ejemplo 6: Luego se debe calcular el valor presente del gradiente (PG)

0

1

2

PG = G(P/G,10%,5)

3

100(6,8618)

Finalmente se debe calcular el valor presente total PT Para un gradiente creciente se tiene: PT = PA + PG

PT = $379,08 + $686,18 PT = $1.065,26

4

5

$686,18

FACTORES DE GRADIENTE ARITMÉTICO (P/G, A/G y F/G) Ejemplo 7: Halle el valor presente en t=0 del siguiente flujo de caja. Considere i= 10% 0

1

2

3

4

5

6

7

Solución:

En la figura es posible observar que: - El cambio es negativo, es decir, es un gradiente decreciente. - El valor presente PT está ubicado en t = 3 (no en t = 0). Por lo que, para determinar el valor presente PT en t = 0 se requiere conseguir el valor presente PT en t = 3.

FACTORES DE GRADIENTE ARITMÉTICO (P/G, A/G y F/G) Ejemplo 7: El valor presente de la cantidad base PA es:

0

1

2

3

4

5

6

7

0

1

2

3

4

5

6

7

PA = A(P/A,10%,4)(P/F, 10%,3) PA

600(3,1699)(0,7513)

PA

$1.428,93

El valor presente del gradiente PG es:

PG = G(P/G,10%,4)(P/F, 10%,3) PG

50(4,3781)(0 ,7513)

PG

$164,46

Para un gradiente decreciente se tiene PT = PA - PG P = $1428,93 $164,46 = $1.264,47

FACTORES DE GRADIENTE GEOMÉTRICO Gradiente Aritmético vs. Gradiente Geométrico

Gradiente Geométrico

Gradiente Aritmético

Serie

de flujos de caja que cambia en una cantidad constante cada periodo de tiempo

Serie

G:

g:

cambio aritmético constante en la magnitud de los ingresos o desembolsos de un periodo al siguiente; G puede ser positivo o negativo

de flujos de caja que cambia en un porcentaje constante cada periodo de tiempo tasa de cambio constante, en forma decimal, mediante la cual las cantidades aumentan o disminuyen de un periodo al siguiente

FACTORES DE GRADIENTE GEOMÉTRICO Diagrama de flujo de caja para series de gradiente geométrico con tasas uniformes crecientes.

Diagrama de flujo de caja para series de gradiente geométrico con tasas uniformes decrecientes.

0

1

0

2

1

3

2

4

3

…

4

…

n -1

n -1

n

n

FACTORES DE GRADIENTE GEOMÉTRICO Consideraciones que se deben tener presente para series de Gradiente Geométrico: A1 NO se considera una cantidad base. NO EXISTE una cantidad base para series de gradiente geométrico. El objetivo es determinar el valor presente P g un periodo a la izquierda del primer flujo de efectivo A1. Para determinar Pg se requieren los siguientes parámetros: •

La tasa de interés por periodo: i

•

La tasa de cambio constante: g

•

Nº de periodos de tiempo: n

•

El flujo de caja inicial: A1

FACTORES DE GRADIENTE GEOMÉTRICO Para determinar Pg en el periodo t=0 para una serie gradiente geométrico que inicia en el periodo 1 en la cantidad A1 y aumenta por una tasa constante de g cada periodo:

1Si g ≠ i

Si g = i

Pg = A1

Pg = A1

1 g 1 i i g

n

n 1 i

IMPORTANTE: la serie gradiente geométrico empieza en el año 1 a una

cantidad inicial A1, la cual no se considera una cantidad base como en el gradiente aritmético.

FACTORES DE GRADIENTE GEOMÉTRICO Ejemplo 8: Asuma que los costos de mantenimiento para una actividad particular serán de $170.000 el primer año y que aumentarán un 11% anual en un periodo de 6 años. Si la tasa de interés es de 8% anual, determine el valor presente de los costos de mantenimiento futuros en t = 0. Dibuje el diagrama de flujo de caja que representa esta situación. Solución: Para g = 11% por año; A1 = $170.000 e i = 8% 0

Como g

1

2

3

4

5

6

i, esta expresión es equivalente a:

1 0,11 11 0,08 Por lo tanto, el valor de Pg es: Pg = 170.000 0,08 0,11

6

170.000 x 5,9559

$1.012.503

FACTORES DE GRADIENTE GEOMÉTRICO Ejemplo 9: Considere el siguiente problema con una tasa de crecimiento negativa g = 10% ; i = 8% anual; n = 4 años y los siguientes flujos de caja

0

Solución: Como g

1

i y g