2B Mates CCSS 2008 Libro

February 7, 2018 | Author: Sofia Catalina | Category: Linear Programming, Matrix (Mathematics), Determinant, Integral, Algebra

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Matemáticas BACHILLERATO

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aplicadas a las Ciencias Sociales María José Ruiz Jesús Llorente Carlos González

Matemáticas

aplicadas a las Ciencias Sociales

BACHILLERATO

2

Carlos González García Jesús Llorente Medrano María José Ruiz Jiménez

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Edición: Encarna Alonso Diseño de cubierta: Paso de Zebra Fotocomposición y maquetación: MT Color & Diseño, S. L. Fotografías: Age fotostock, Jupiterimages Unlimited, Matton Images y archivo Editex Dibujos: Ángel Ovejero, FER Fotocomposición, S. A. y archivo Editex Preimpresión: José Ciria Producción editorial: Francisco Antón Dirección editorial: Carlos Rodríguez Editorial Editex, S. A. ha puesto todos los medios a su alcance para reconocer en citas y referencias los eventuales derechos de terceros y cumplir todos los requisitos establecidos por la Ley de Propiedad Intelectual. Por las posibles omisiones o errores, se excusa anticipadamente y está dispuesta a introducir las correcciones precisas en posteriores ediciones o reimpresiones de esta obra.

Este material de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales está dirigido al alumnado de 2o de Bachillerato y ha sido elaborado atendiendo a las exigencias curriculares establecidas.

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c

El presente material didáctico ha sido creado por iniciativa y bajo la coordinación de Editorial Editex, S. A., conforme a su propio proyecto editorial. © Carlos González García Jesús Llorente Medrano María José Ruiz Jiménez © Editorial Editex, S. A. Vía Dos Castillas, 33. C.E. Ática 7, edificio 3, planta 3ª, oficina B 28224 Pozuelo de Alarcón (Madrid) ISBN: 978-84-9771-531-7 ISBNebook: 978-84-9771-587-4 Depósito Legal: M-22101-2009 Imprime: Fernández Ciudad Coto de Doñana, 10. A. E. Andalucía, Sector 1 28320 Pinto (Madrid) Impreso en España - Printed in Spain Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra.

ÍNDICE 1. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1 2 3 4 5

Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Tipos de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Producto de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Trasposición de matrices. Matriz simétrica y antisimétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6 Matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 7 Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 8 Las matrices en la vida real . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Nuevas tecnologías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Actividades finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1 Determinantes de orden 2 y 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Desarrollo de un determinante por adjuntos . . . 3 Propiedades de los determinantes. Método de Chío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Cálculo de la matriz inversa por determinantes . . 5 Cálculo del rango de una matriz por determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nuevas tecnologías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividades finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34 36 37 40 42 44 46 50

3. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . 54 1 Sistemas de ecuaciones lineales. Clases . . . . . . . . 2 Teorema de Rouché-Fröbenius . . . . . . . . . . . . . . . 3 Interpretación geométrica de los sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Métodos de resolución de sistemas. Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Sistemas homogéneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nuevas tecnologías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividades finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56 58 60 62 64 66 68 70 74

4. Programación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 1 Inecuaciones lineales con dos incógnitas . . . . . . . 2 Programación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Programación lineal para dos variables. Métodos de resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 El problema del transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nuevas tecnologías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividades finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80 82 84 88 90 92 98

5. Límites de funciones. Continuidad . . . . . . 104 1 2 3 4

Límite de una función. Funciones convergentes . Límites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propiedades de las funciones convergentes . . . Límites infinitos cuando x tiende a un número real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Límites finitos en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Límites infinitos en el infinito . . . . . . . . . . . . . . 7 Operaciones con límites de funciones. . . . . . . . 8 Resolución de indeterminaciones . . . . . . . . . . . 9 Asíntotas y ramas infinitas de una función . . . 10 Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Continuidad lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Discontinuidad de una función. Tipos . . . . . . . . Resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nuevas tecnologías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividades finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

106 107 108 110 111 112 113 114 116 118 120 122 124 126 130

6. Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 1 Tasas de variación media e instantánea . . . . . . . 2 Derivada de una función en un punto . . . . . . . . 3 Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Interpretación geométrica de la derivada . . . . . 5 Continuidad de las funciones derivables . . . . . . 6 Función derivada. Derivadas sucesivas . . . . . . . . 7 Derivadas de las operaciones con funciones . . . 8 Derivadas de las funciones elementales . . . . . . . Resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nuevas tecnologías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividades finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

136 138 139 140 142 144 146 148 154 156 160

7. Aplicaciones de las derivadas . . . . . . . . . . 164 1 Monotonía: crecimiento y decrecimiento de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Extremos relativos. Determinación . . . . . . . . . . . 3 Optimización de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Concavidad o curvatura de una función . . . . . . . 5 Puntos de inflexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nuevas tecnologías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividades finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

166 168 170 172 174 176 178 182

8. Representación gráfica de funciones . . . . 186 1 Dominio y recorrido de una función . . . . . . . . . . 188 2 Puntos de corte con los ejes. Simetría. Periodicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 3 Asíntotas y ramas infinitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

4 Monotonía. Extremos relativos. Concavidad. Puntos de inflexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Intervalos de signo constante. Regiones . . . . . . 6 Representación gráfica de funciones . . . . . . . . . Resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nuevas tecnologías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividades finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

194 195 196 202 204 208

5 Regla de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Experimentos compuestos. Diagramas de árbol . 7 Sucesos dependientes e independientes . . . . . Resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nuevas tecnologías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividades finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

288 290 292 294 296 300

13. Probabilidad condicionada . . . . . . . . . . . . 304 9. Integrales indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 1 Primitiva de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Integral indefinida. Propiedades . . . . . . . . . . . . . 3 Métodos de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nuevas tecnologías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividades finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

214 215 216 224 226 230

1 Probabilidad condicionada . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Probabilidad en tablas de contingencia y diagramas de árbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Probabilidad total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Teorema de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nuevas tecnologías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividades finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

306 308 310 312 314 316 320

10. Integrales definidas. Aplicaciones . . . . . . 234 1 Cálculo de áreas por el método exhaustivo . . . 2 Áreas de recintos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Integral definida. Propiedades . . . . . . . . . . . . . 4 Regla de Barrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Área encerrada por una curva . . . . . . . . . . . . . 6 Área encerrada por dos curvas . . . . . . . . . . . . . Resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nuevas tecnologías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividades finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

236 238 240 242 244 246 248 250 254

11. Formas de contar. Números para contar . . 258 1 Principios para contar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Variaciones con repetición . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Variaciones ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Permutaciones ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Permutaciones con repetición . . . . . . . . . . . . . . 6 Combinaciones ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Números combinatorios. Propiedades . . . . . . . 8 Resolución de problemas de contar . . . . . . . . . Resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nuevas tecnologías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividades finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

260 262 263 264 265 266 267 268 270 272 276

12. Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 1 2 3 4

Experimentos aleatorios. Espacio muestral . . . Sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operaciones con sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

282 283 284 286

14. Estadística inferencial. Muestreo. Estimación puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 1 Estadística inferencial. Muestreo . . . . . . . . . . . 2 Muestreos aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Distribución normal estándar . . . . . . . . . . . . . . 4 Distribuciones muestrales . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Estimación de parámetros. Estimación puntual . Resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nuevas tecnologías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividades finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

328 330 332 335 341 342 344 348

15. Estadística inferencial. Estimación por intervalos. Pruebas de hipótesis . . . . 352 1 Estimación por intervalos de confianza . . . . . . 2 Tamaño de las muestras. Error máximo admisible . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Estadística deductiva. Hipótesis estadísticas . . 4 Contrastes de hipótesis. Etapas . . . . . . . . . . . . . 5 Errores en los contrastes de hipótesis . . . . . . . . 6 Contrastes de hipótesis para la media . . . . . . . 7 Contrastes de hipótesis para las proporciones . 8 Contrastes de hipótesis para la diferencia de medias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Usos de la inferencia estadística . . . . . . . . . . . . Resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nuevas tecnologías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividades finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

354 358 360 361 362 363 364 365 366 368 370 374

Soluciones de las autoevaluaciones . . . . . . . 383 Y

CÓMO SE USA ESTE LIBRO Una gran imagen y una breve introducción nos presentan la Unidad. Las Cuestiones iniciales son un recordatorio y una preparación para enfrentarnos a los contenidos de una manera segura.

u4

79

Programación lineal

unidad 4

Las Matemáticas proporcionan a la Economía métodos y modelos de optimización que constituyen la programación lineal, con el propósito de ayudar a las empresas a la utilización óptima de los recursos, que siempre son limitados, minimizando costes de producción y maximizando los beneficios.

contenidos

1. Inecuaciones lineales con dos incógnitas 2. Programación lineal

El matemático ruso Leonid Vitalevich Kantorovich (1912-1986), premio Nobel de Economía en 1975, en su libro Métodos matemáticos para la organización y la producción sentó las bases de la programación lineal, que fue desarrollada posteriormente por el matemático estadounidense George B. Dantzig (1914-2005).

3. Programación lineal para dos variables. Métodos de resolución 4. El problema del transporte

Entre las múltiples aplicaciones de la programación lineal podemos citar el problema de la dieta, que consiste en determinar la mejor combinación de alimentos que debe incluir una dieta con el mínimo coste, el problema del transporte o de la distribución de mercancías, minimizando los costes de distribución y los tiempos empleados en la misma y el problema de la producción, que consiste en combinar recursos que maximicen beneficios o minimicen costes.

cuestiones iniciales 1. Representa en el plano el conjunto de puntos que cumplen las siguientes condiciones: ¯y f 2 ² a) ° y v 1 ² ±x < y

¯0 f x f 3 ² b) °0 f y f 2 ² ±x + y f 3

2. Escribe el sistema de inecuaciones cuya solución es el conjunto de puntos de la figura sombreada.

3 2 1

1

2

3

Y

A lo largo de las páginas de teoría, el bloque principal de la Unidad, nos encontramos con tablas y cuadros sombreados que resaltan las ideas principales. Los márgenes incluyen textos e imágenes de apoyo y ampliación.

Unidad 12 Y

284

En el espacio de sucesos S asociado al espacio muestral E correspondiente a un experimento aleatorio cualquiera, las operaciones unión, intersección y complementación (contrario) verifican las propiedades: PROPIEDADES

Un suceso A está incluido (contenido) en otro suceso B si todo suceso elemental de A pertenece también a B. Se representa por A B.

1. Conmutativa

Dos sucesos A y B son iguales si están formados por los mismos sucesos elementales. Se representa por A = B.

3. Idempotente

E

5. Distributiva

• Si tenemos dos sucesos A y B de un mismo experimento aleatorio, llamamos suceso unión de A y B al suceso que se realiza cuando lo hacen A o B. Se representa por A B. A

UNIÓN

INTERSECCIÓN

AB=BA

AB=BA

A (B C) = (A B) C

AB E

• Si tenemos dos sucesos A y B de un mismo experimento aleatorio, llamamos suceso intersección de A y B al suceso que se realiza cuando lo hacen A y B. Se representa por A B.

Andrei M. Kolmogorov (1903-1987)

George Boole (1815-1864)

AA=A A (B A) = A A (B C) = (A B) (A C)

6. Elemento neutro

AØ=A

AE=A

7. Absorción

AE=E

A=

A las familias de conjuntos que verifican las propiedades anteriores se les denomina álgebras de Boole. Por tanto, al espacio de sucesos S con las operaciones unión, intersección y complementación se le llama álgebra de Boole de los sucesos aleatorios.

Matemático inglés que destacó por su gran contribución a la lógica matemática. Su obra más importante lleva por título Investigación sobre las leyes del pensamiento.

En el álgebra de Boole anterior se verifican las siguientes propiedades, conocidas como leyes de Morgan:

Ocurre a veces que la intersección de dos sucesos, A y B, es el suceso imposible; en este caso decimos que los sucesos A y B son incompatibles. Cuando no sucede esto, decimos que A y B son compatibles.

1. El suceso contrario de la unión de dos sucesos es la intersección de sus sucesos contrarios:

3.4. Sucesos contrarios

2. El suceso contrario de la intersección de dos sucesos es la unión de sus sucesos contrarios:

AB= AB

B

A (B C) = (A B) C

AA=A A (B A) = A A (B C) = (A B) (A C)

B

3.3. Intersección de sucesos

A

2. Asociativa

4. Simplificación

3.2. Unión de sucesos

La aplicación práctica de los conceptos que vamos estudiando se plasma en las Actividades Resueltas.

285

3.5. Álgebra de Boole de sucesos

En este apartado vamos a desarrollar los conceptos básicos asociados a los sucesos y a algunas de las operaciones que suelen realizarse con ellos.

3.1. Inclusión e igualdad de sucesos

AB

Probabilidad

3. Operaciones con sucesos

Existen situaciones en las que la unión de dos conjuntos nos da el espacio muestral y la intersección de los mismos conjuntos da el conjunto imposible. En estos casos decimos que ambos conjuntos son contrarios o complementarios. • Para un suceso cualquiera A de un experimento aleatorio, llamamos suceso contrario del suceso A al suceso que se verifica cuando no se ve– rifica A, y recíprocamente. Se representa por A . En cualquier experimento aleatorio, todo suceso que consideremos tiene su contrario. Las propiedades más significativas de los sucesos contrarios son: – – – – 1. A A = E 2. A A = 3. E = 4. = E

AB= AB

ACTIVIDADES RESUELTAS 2. Tenemos una urna con nueve bolas numeradas del 1 al 9. Realizamos un experimento, que consiste en sacar una bola de la urna, anotar el número y devolverla a la urna. Consideramos estos dos sucesos: A = {salir un número primo} y B = {salir un número cuadrado}. Responde a las cuestiones siguientes: a) Calcula los sucesos A B y A B. b) Los sucesos A y B, ¿son compatibles o incompatibles? c) Encuentra los sucesos contrarios de A y B.

– A

Los sucesos A y B están formados por los sucesos elementales siguientes: A = {2, 3, 5, 7} y B = {1, 4, 9}. A partir de estos conjuntos, tenemos:

E

a) La unión e intersección de A y B son: A B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9} y A B = Ø. b) Al ser A B = Ø, los sucesos A y B son incompatibles. – = {1, 4, 6, 8, 9}. c) El suceso contrario de A es A

Este matemático ruso trabajó en la Universidad de Moscú, y concentró sus estudios e investigaciones en análisis y cálculo de probabilidades.

El suceso contrario de B es B– = {2, 3, 5, 6, 7, 8}. A Y

La sección Resolución de problemas nos muestra pautas, estrategias y modelos para resolver problemas. A partir del protocolo de resolución de un problema ponemos en práctica los pasos a seguir y la estrategia a utilizar. Para practicar estas técnicas, se incluyen varias Actividades.

Unidad 2 Y

44

Determinantes

45

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Aparcamiento

Fases de resolución de un problema

En un aparcamiento hay estacionados coches negros, blancos y rojos. Algunos de ellos son todoterrenos. Hay dos veces más coches negros que blancos y dos veces más blancos que rojos. Hay tantos coches todeterreno blancos como rojos no todoterrenos; estos últimos son tres veces más numerosos que los todoterreno negros. Los coches blancos que no son todoterrenos son el triple que los todoterrenos negros. ¿Cuántos todoterrenos rojos hay en el aparcamiento?

FAMILIARIZACIÓN CON EL PROBLEMA El enunciado del problema incluye muchos datos y condiciones, por lo que nos es necesario leerlo más de una vez para comprender el mismo.

BÚSQUEDA DE ESTRATEGIAS Nos damos cuenta de que en este problema hemos de hacernos un diagrama o una tabla para ir incluyendo todas las condiciones que en él se explicitan.

LLEVAR ADELANTE LA ESTRATEGIA Hacemos una tabla. Llamamos x al número total de coches rojos, e y al número de coches rojos que no son todoterrenos, y con estas variables vamos rellenando la tabla imponiendo las condiciones del enunciado: Coches blancos

Coches rojos

Todoterrenos

y/3

y

x–y

No todoterrenos

4x – y/3

2x – y

y

TOTAL

Coches negros

4x

2x

x

En la resolución de problemas existe una regla de oro que debemos tener siempre presente: lo que importa es el camino. Es decir, no importa tanto llegar a obtener la solución del problema como el proceso seguido en el mismo, pues es el que realmente nos ayuda a potenciar nuestra forma de pensar. Este proceso lo podemos sistematizar en cuatro etapas o fases: • Fase de familiarización con el problema. El objetivo que pretendemos en esta fase es interiorizar el problema, es decir, ser capaces de escribir o contar el problema de forma más sencilla. • Fase de búsqueda de estrategias. En esta fase pretendemos encontrar varias estrategias que nos sirvan para abordar el problema. Algunas de estas pueden ser: simplificar o particularizar, ensayo y error, escoger un lenguaje o notación adecuados, trabajar marcha atrás, etc. • Fase de llevar adelante la estrategia. En esta fase hemos de poner en práctica la estrategia elegida, con tesón, orden y confianza. • Fase de revisar el proceso y sacar conclusiones de él. Esta fase consiste en llevar a cabo una visión retrospectiva y crítica del proceso que hemos seguido en la resolución del problema, así como en interrogarnos sobre lo que pasaría si variásemos los datos del problema, si se podría generalizar, etc. En la resolución del problema propuesto en la página anterior, el haber seguido con constancia las cuatro fases o etapas nos ha llevado a obtener la solución del mismo. En la revisión del proceso observamos que para resolver problemas con mucha información es útil la estrategia de organizar esta mediante un diagrama, tabla, etc., que nos permite tener al alcance todos los datos del problema.

a

El poeta, de Pablo Picasso.

De la última condición del enunciado obtenemos: «Coches blancos no todoterrenos = triple de negros todoterrenos» Es decir: 2x y = 3

y ¡ 2x = 2 y ¡ x = y 3

Por lo tanto, no hay ningún coche rojo todoterreno.

REVISAR EL PROCESO Y SACAR CONSECUENCIAS DE ÉL A la vista del resultado volvemos a leer el problema y observamos que se cumplen las condiciones impuestas en el mismo. Nos damos cuenta de que el haber hecho una tabla ha sido fundamental para poder manejar toda la información que daba el problema y para haber llegado a la solución.

A C T I V I D A D E S 䊏 Practica las fases anteriores en la resolución de los siguientes problemas: 1. Parejas. Tres amigos Juan, José y Jesús van de compras con sus parejas María, Merche y Marina, aunque no necesariamente en ese orden. Cada uno de los seis compra uno o varios objetos y paga por cada objeto tantos euros como objetos compra. José compra 23 objetos más que María y Juan 11 más que Merche. Cada hombre gastó 63 euros más que su pareja. ¿Cuál es la pareja de cada uno? 2. Pirámides de bolas. Un mago apila bolas, todas iguales, para formar dos pirámides tetraédricas. De pronto se da cuenta de que juntando las bolas de ambas pirámides, puede formar una sola pirámide tetraédrica mayor. ¿Cuál es el mínimo número de bolas de las que tendría que disponer el mago inicialmente?

Y

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales 2 El apartado Nuevas tecnologías nos muestra cómo utilizar distintos recursos informáticos, como Matemáticas de Microsoft, Derive o la calculadora gráfica, que nos pueden ser útiles para trabajar la Unidad.

Unidad 10 Y

250

Matrices

NUEVAS TECNOLOGÍAS

25

EN RESUMEN RECTANGULARES

Integrales con Matemáticas de Microsoft

Matemáticas de Microsoft es un programa informático que permite resolver la integral indefinida de cualquier función así como calcular integrales definidas y hallar áreas de recintos planos.

TRIANGULARES CUADRADAS DIAGONALES

SON CUADROS O TABLAS DE NÚMEROS Am × n = (aij)

RESOLUCIÓN DE INTEGRALES INDEFINIDAS

µ

Vamos a calcular la siguiente integral: (3x 2 – 6) e2x dx. Como vemos al margen, en la barra de herramientas de «Cálculo» de la Calculadora se encuentra la tecla correspondiente a las integrales indefinidas. Con esta tecla podemos escribir, en la ventana de entrada de datos, la integral de la función que queremos hallar, y pulsando la tecla aparece la solución de la integral en el área de trabajo:

SUMA algunos tipos

(aij) + (bij) = (aij + bij) PRODUCTO POR UN NÚMERO

definición

Como cierre de la teoría, el cuadro En resumen nos presenta un esquema conceptual muy práctico para organizar los contenidos de la Unidad.

k(aij) = (kaij) PRODUCTO

operaciones

MATRICES

(aij) · (bjk) = (cik) n

c ik = se realizan en ellas

Podemos comprobar fácilmente que la solución es correcta sin más que hallar la derivada de esta función, mediante la opción que nos da esta misma ventana.

ä j =1

ij

b jk SIMÉTRICAS At = A

TRANSPOSICIÓN

clases

(aij)t = (aji)

ANTISIMÉTRICAS

CÁLCULO DE ÁREAS DE RECINTOS PLANOS y = x3

y = 2x – x 2

Primero representamos gráficamente ambas funciones y observamos el recinto comprendido entre ellas, cuya área queremos calcular. En la barra de herramientas de «Cálculo» elegimos la tecla de la integral definida, y la escribimos tal como vemos en la imagen:

Si queremos ampliar nuestros conocimientos, en el apartado Amplía con… se incluye la referencia a un libro relacionado con el mundo de las Matemáticas.

At = –A

OPERACIONES ELEMENTALES FOR FILAS (COLUMNAS)

Vamos a calcular el área limitada por las gráficas de las funciones:

aplicaciones

,

CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA (MÉTODO DE GAUSS-JORDAN)

CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ

AMPLÍA CON… Los diez magníficos (Maeva Ediciones) de Anna Cesaroli tiene por subtítulo Un niño en el mundo de las Matemáticas y sus dos protagonistas, un niño (Filippo) y su abuelo, nos invitan a realizar un viaje a través de algunos conceptos matemáticos. En el libro aparecen los números naturales, el ábaco, las cifras, la división, los conejos de Fibonacci, el alfabeto Morse, los números negativos, la proporcionalidad geométrica, el teorema de Pitágoras, el número de oro, y así hasta concluir con uno de los conceptos más de moda actualmente: los objetos fractales.

PRACTICA con Matemáticas de Microsoft la resolución de las tres primeras filas de la actividad 3 y la actividad 14.

Y

Se inicia la parte más práctica de la Unidad con las Pruebas de acceso a la Universidad resueltas, que además de reforzar los contenidos, sirven de ayuda y preparación para esta prueba.

Unidad 4 Y

96

Programación lineal

97

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD RESUELTAS En un almacén se guarda aceite de girasol y de oliva. Para atender a los clientes se ha de tener almacenado un mínimo de 20 bidones de aceite de girasol y 40 de aceite de oliva y, además, el número de bidones de aceite de oliva no debe ser inferior a la mitad del número de bidones de aceite de girasol. La capacidad total del almacén es de 150 bidones. Sabiendo que el gasto de almacenaje de un bidón de aceite de oliva es de 1 euro y de uno de girasol de 0,5 euros, ¿cuántos bidones de cada tipo habrá que almacenar para que el gasto sea mínimo? ¿Y para que el gasto sea máximo? Llamamos x al número de bidones de aceite de girasol e y a los de aceite de oliva que se almacenan. Las restricciones del enunciado son: x v 20 (bidones de aceite de girasol)

¯x ² ²y ² Optimizar z = 0,5x + y sujeta a: ° y ²x ² ²± x

b) Para obtener los máximos beneficios, ¿de cuánto ha de ser la producción de cada uno de ellos si uno se vende a un precio que es el triple que el del otro?

x = 20 150

v x /2 + y f 150

100

Los valores de la función objetivo en los vértices P(20, 40), Q(80, 40), R(100, 50) y S(20, 130) son:

R

50

P 0

zP = 50, zQ = 80, zR = 100 y zS = 140

y = 40

La producción puede organizarse según los valores siguientes:

100

150

200

X

x + y = 150

Por tanto, el mínimo de la función objetivo se alcanza para x = 20, y = 40; y el máximo para x = 20, y = 130.

En la dieta de un equipo de fútbol se utiliza una composición mínima de 15 unidades de vitamina A y de 15 de vitamina B. En el mercado hay sólo dos compuestos, el tipo X, con 1 unidad de A y 5 de B, y el tipo Y, con 5 unidades de A y 1 de B. El precio del compuesto X es de 10 euros y el de Y de 30 euros.

b) Si se vende el segundo producto a un precio triple que el primero, el beneficio será z = x + 3y; y, según el gráfico, de esta forma se deberán fabricar 2 000 del primer producto y 3 000 del segundo.

Una empresa dedicada a la fabricación de piezas de automóvil tiene dos factorías que producen, respectivamente, 8 000 y 15 000 piezas mensuales. Estas piezas han de ser transportadas a tres fábricas que necesitan 10 000, 7 000 y 6 000 piezas, respectivamente. Los costes del transporte, en euros, Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 por pieza, son los que aparecen en la tabla adjunta. ¿Cómo debe orFactoría 1 6 13 2 ganizarse el transporte para que el coste sea mínimo?

¿Qué cantidad hemos de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades de la dieta con un coste mínimo? Llamamos x a la cantidad de compuesto X e y a la de compuesto Y. En la tabla podemos ver la información del problema. La función objetivo, que da el coste de la dieta, es z = 10x + 30y y está sujeta a las restricciones:

A B Precio

¯ x v 0, y v 0 ² ° x + 5 y v 15 ²5 x + y v 15 ±

Cantidad

X

Y

1 5

5 15 1 15

10 30 x

Minimizar z = 12x + 19y + 60 000 sujeta a:

B 3

A(0, 15) C 15

X

B(5/2, 5/2)

12 8 000 – x – y –2 000 + x + y

Y (miles)

y = 10 000 y = 7 000

C D 6

El valor mínimo de la función objetivo, zA = 84 000, se obtiene en el vértice A(2 000, 0) y la organización del transporte es la que aparece en la tabla siguiente:

C(15,0)

zA = 450; zB = 100; zC = 150 Por tanto, el coste mínimo de la dieta está en el vértice B. Necesitamos comprar 2,5 del compuesto X y 2,5 del compuesto Y.

4 y

7 000 – y

4

Los valores de la función objetivo en estos vértices son:

x + 5y = 15

5x + y = 15

4

x 10 000 – x

8

¯ x f 10000; y f 7000 ² ² x + y f 8000 ° ² x + y v 2000 ² ± x v 0; y v 0

y

Representamos en el gráfico la región factible.

3

Factoría 2

Si llamamos x al número de piezas que entrega la factoría 1 a la fábrica 1, e y al número de piezas que entrega la factoría 1 a la fábrica 2, la distribución de piezas queda según se recoge en el cuadro adjunto y da lugar al programa lineal siguiente:

Los vértices de la región factible, que es no acotada, son:

0

X x+y=6

x+y=3

(2 000, 2 000), (3 000, 2 000) y (2 000, 3 000)

Q 50

2y = x

a) La organización de la producción son los valores correspondientes a los puntos de coordenadas enteras situados en el interior de la región factible del gráfico. Debe advertirse que las desigualdades de las restricciones son estrictas.

x y=— 2

S

v 0; y v 0; x , y

Y

y x=— 2

¯ x v 0, y v 0; x , y Las restricciones son: ° ±² x + y > 3; x + y < 6; 2 y > x ; x > y / 2

Y

v 20 v 40

15 A

Y

x + y f 150 (bidones)

La función objetivo, que refleja el gasto de almacenaje, es z = 0,5x + y. El programa lineal a resolver es:

a) ¿De cuántos modos puede organizar la producción?

Las cantidades de los productos deben ser números enteros. Llamamos a estos, expresados en miles, x al primer producto e y al segundo.

y v 40 (bidones de aceite de oliva)

y v x/2 (relación entre bidones de aceites diferentes)

Una empresa elabora dos productos, cada uno de ellos en una cantidad que es múltiplo de 1 000. Conoce que la demanda, de ambos productos conjuntamente, es mayor que 3 000 unidades y menor que 6 000 unidades. Asimismo, sabe que la cantidad que se demanda de un producto es mayor que la mitad y menor que el doble de la del otro. Si la empresa desea vender toda la producción:

2 000

0

6 000

8 000

7 000

0

x + y = 8 000

2 E

0

A 2

4

6

x + y = 2 000

B 8

X (miles)

Y

Las Actividades finales incluyen ejercicios y problemas fundamentales para entender y dominar los contenidos teóricos tratados. También se proponen actividades de pruebas de acceso a la Universidad.

Unidad 11 Y

278

Formas de contar. Números para contar

279

ACTIVIDADES FINALES ACCESO A LA UNIVERSIDAD 26. ¿Cuántos números enteros del 1 al 1 000 no son divisibles por 3, 7 u 11? 27. Un byte es una secuencia de 8 dígitos que son ceros o unos. ¿Cuántos bytes distintos se pueden formar? ¿Cuántos tendrán 6 ceros y 2 unos? 28. A un congreso internacional asisten 4 franceses, 3 ingleses y 5 españoles. Para hacerse una foto se colocan en línea recta. a) ¿Cuántas fotos diferentes se pueden hacer?

AUTOEVALUACIÓN 1. Un agente comercial dedicado a la venta de tejidos tiene asignadas las capitales de provincia de Castilla y León. Si cada semana visita tres cualesquiera, el número de itinerarios diferentes que puede realizar es: a) 84

b) 504

c) 729

2. La cantidad de números de siete cifras que tienen las tres primeras impares y las otras cuatro pares es: a) 16 807

b) 70 000

c) 78 125

b) ¿Cuántas, si han de estar juntos los de la misma nacionalidad? c) ¿Cuántas, si los españoles han de estar juntos?

Para finalizar la Unidad se plantea una Autoevaluación con ejercicios tipo test con el fin de comprobar si se han adquirido los conocimientos y procedimientos descritos en la Unidad. Las soluciones de estas autoevaluaciones se encuentran al final del libro.

29. Un examen consta de doce preguntas y en cada pregunta se contesta con verdadero, V, o falso, F. ¿De cuántas formas distintas se puede contestar el examen? 30. A la cumbre de una montaña conducen 8 caminos distintos. ¿De cuántas formas distintas podemos hacer el ascenso y el descenso? 31. Con los diez dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 formamos números de seis cifras. ¿Cuántos de ellos tienen alguna cifra repetida? ¿Cuántos tienen las cifras distintas y terminan y empiezan en cifra impar? 32. ¿De cuántas formas diferentes podemos ver un dado cúbico apoyado sobre una mesa? 33. Tenemos tres números distintos positivos y dos distintos negativos. a) ¿Cuántos productos diferentes de tres factores podemos formar?

3. El número de formas en las que pueden quedar repartidos cuatro premios distintos, entre 22 estudiantes de un curso, de manera que ninguno pueda llevarse más de un premio es: a) 175 560

b) 517 560

c) 675 150

4. El número de palabras que se pueden formar con las letras de la palabra AMELIO sin que haya dos consonantes juntas es: a) 840

b) 720

c) 480

5. Un matrimonio tiene 5 hijos de los cuales 3 son chicas y 2 son chicos. El número de formas diferentes de sentarse todos los hijos estando juntos los del mismo sexo es: a) 24

b) 10

c) 60

6. Un tribunal de oposiciones formado por cinco miembros toma decisiones por mayoría. El número de posibles coaliciones para ganar es: a) 12

b) 16

c) 120

b) ¿Cuántos de ellos serán negativos? c) ¿Cuántos productos positivos de cuatro factores se pueden formar? 34. A un congreso internacional asisten 20 ingleses, 12 franceses y 18 españoles. Si se quiere formar un comité en el que entren 3 ingleses, 2 franceses y 4 españoles, ¿cuántos comités distintos se pueden formar? 35. Todas las casas de una urbanización están comunicadas entre sí por medio de un camino. Si en total hay 153 caminos, ¿cuántas casas tiene la urbanización?

7. La solución de la ecuación Vx +1, 2 + Vx, 2 = Vx + 3, 2 es: a) 4

c) 6

8. El valor de x que permite establecer la igualdad a) 9

b) 11

冢 2冣 + 冢 x

冣冢

冣

x 1 x2 + = 136 es: 2 2 c) 13

9. Formamos todas las palabras posibles, con o sin significado, de siete letras que se pueden escribir con las letras de la palabra PATATAS. El número de las que tienen las tres letras A juntas es: a) 60

36. Para hacer una apuesta de la Lotería Primitiva hay que marcar con cruces 6 números de un boleto en el que figuran números del 1 al 49. ¿Cuántas apuestas diferentes se pueden hacer?

b) 5

b) 120

c) 720

10. Un conjunto tiene 84 subconjuntos de tres elementos. El número de elementos del conjunto es: a) 9

b) 10

c) 11

Z

Y

u1 unidad 1 contenidos 1. Matrices

2. Tipos de matrices 3. Operaciones con matrices 4. Producto de matrices 5. Trasposición de matrices. Matriz simétrica y antisimétrica 6. Matriz inversa 7. Rango de una matriz 8. Las matrices en la vida real

Matrices

7

Número y forma son los conceptos básicos sobre los que se asientan las ramas más antiguas de las Matemáticas: la aritmética y la geometría. El desarrollo de los acontecimientos históricos hizo que los procedimientos propios de la aritmética diesen lugar a la creación de un lenguaje con símbolos y de una rama de las Matemáticas que llamamos álgebra. El álgebra, que fue cultivada y enriquecida desde tiempos antiguos (babilonios, egipcios y griegos), alcanzó una de sus cimas en el siglo XIX. Una de sus numerosas ramas, denominada álgebra lineal, ofrece instrumentos de aplicación muy diversos. Entre las herramientas del álgebra lineal se encuentran las matrices. Este concepto fue introducido, hacia 1850, por el matemático inglés James Joseph Sylvester (1814-1897) y su teoría desarrollada por Arthur Cayley (1821-1895) y William Rowan Hamilton (1805-1865). En la vida diaria nos encontramos con matrices en todas aquellas situaciones en las que aparecen gran cantidad de datos como en los paneles de horarios de aviones, horarios de trenes, autobuses, cotizaciones de la bolsa, cambio de divisas, etc. Esto es debido a que la notación matricial nos permite una mejor visualización de los datos. Las matrices se utilizan en diversos ámbitos del saber: Comercio, Economía, Sociología, Informática, Física, Geografía, etc.

cuestiones iniciales 1. Expresa en notación matricial y resuelve por el método de Gauss los sistemas de ecuaciones siguientes: ¯ x – 3y + 4z = 9 ¯²2x + 3 y = 28 ²² a) ° b) °3 x + 5 y – z = 17 ²±3 x – 2 y = 3 ² ²± – 2x + 6 y + z = 18 2. Si se cumple que PQ = P y QP = Q, prueba que P 2 = P. 3. El grafo siguiente nos muestra las relaciones que se establecen en un grupo de ocho personas. Construye una tabla que indique las relaciones anteriores, indicando con 1 la existencia de relación entre dos personas y con 0 la no existencia de relación.

Y

Unidad 1

8

1. Matrices Cuadrados mágicos

4 9 2 3 5 7 8 1 6

El concepto de matriz como cuadro o tabla de números es una de las herramientas con mayor número de aplicaciones. Así, encontramos matrices en Sociología (matriz asociada a un gráfico), en Economía (matriz de input-output, matriz de un juego), Demografía (matriz de evolución de la población) y en otros ámbitos. La idea intuitiva de matriz de números no presenta dificultad: una matriz es un cuadro o tabla de números ordenados. • Se llama matriz de dimensión m × n a un conjunto de números reales dispuestos en m filas y n columnas de la siguiente forma:

Una disposición de números en un cuadro que, al ser sumados en filas, columnas y diagonales, dan el mismo resultado se llama cuadrado mágico (matriz mágica). El primer cuadrado mágico del que se tiene conocimiento es el que figura arriba. Grandes matemáticos como Euler (1707-1783) y Cayley (1821-1895) dedicaron parte de su tiempo a estudiarlos.

冢

© a11 ªa ª 21 A = ª a 31 ª ... ª ª« a m1

a12 a 22 a 32 ... a m2

a13 a 23 a 33 ... am3

... ... .... ... ...

冣

a1 n ¹ a2n º º a 3n º ... ºº a mn º»

La matriz A se puede designar también como: A = (aij)

donde:

i = 1, 2, ... m

冦 j = 1, 2, ... n

• Un elemento genérico de la matriz se designa por aij, donde el subíndice i representa el número de fila que ocupa el elemento y el subíndice j el número de columna.

Conjuntos de matrices • El conjunto de matrices de dimensión m × n se denota por: Mm × n • El conjunto de matrices de dimensión n × n, también llamadas de orden n, se denota por: Mn Las matrices de este conjunto se llaman matrices cuadradas y en ellas definimos: — la diagonal principal formada por los elementos aii ; — la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma aij que cumplen i + j = n + 1.

a

Cuadrado mágico de constante 798 y en el cual todos sus elementos son números primos acabados en 7.

冢

a11 a21 A= a31 a41

a12 a22 a32 a42

a13 a23 a33 a43

a14 a24 a34 a44

Diagonal principal

冣

冢

a11 a A = 21 a31 a41

a12 a22 a32 a42

a13 a23 a33 a43

a14 a24 a34 a44

冣

Diagonal secundaria

Y

Matrices

9

2. Tipos de matrices 2.1. Matrices rectangulares • Matriz rectangular es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas (m | n). 1 2 3 A= o matriz rectangular 2 × 3 0 –4 5

冢

Arthur Cayley (1821-1895)

冣

• Matriz fila es toda matriz rectangular con una sola fila, de dimensión 1 × n. B = (0

1

–1

2) o matriz fila 1 × 4

• Matriz columna es toda matriz rectangular con una sola columna, de dimensión m × 1. C = 1 o matriz columna 2 × 1 4 • Matriz nula es una matriz con todos sus elementos nulos. Se denota por 0. 0 0 0 = 0 0 o matriz nula 3 × 2 0 0

冢冣

冢冣

2.2. Matrices cuadradas • Matriz cuadrada de orden n es aquella que tiene igual número de filas que de columnas (m = n). 1 2 C= o matriz cuadrada de orden 2 3 4

冢

冣

Matemático británico, profesor de la Universidad de Cambridge. Fue el creador de la teoría de matrices tal como se conoce en la actualidad.

• Matriz triangular es aquella que tiene nulos todos los términos situados por debajo (triangular superior) o por encima (triangular inferior) de la diagonal principal. 2 0 5 D = 0 4 6 o matriz triangular superior de orden 3 0 0 –3

冣

冢

冢

1 0 0 0 2 3 0 0 E= 4 5 6 0 7 8 9 10

冣

James J. Sylvester (1814-1897)

o matriz triangular inferior de orden 4

• Matriz diagonal es toda matriz cuadrada en la que todos los elementos no situados en la diagonal principal son ceros.

冢

冣

1 0 0 F = 0 2 0 o matriz diagonal de orden 3 0 0 3 • Matriz escalar es toda matriz diagonal en la que todos los términos de la diagonal principal son iguales. 4 0 o matriz escalar de orden 2 G= 0 4

冢

冣

• Matriz unidad es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal son todos unos. Se designa por I.

冢

冣

1 0 0 I = 0 1 0 o matriz unidad de orden 3 0 0 1

Matemático británico, amigo de Arthur Cayley. Ambos pusieron los cimientos de la llamada álgebra lineal. Fue profesor de la Universidad de Oxford. Y

Unidad 1

10

3. Operaciones con matrices 3.1. Igualdad de matrices De igual forma que en cursos anteriores se hizo en conceptos como polinomios, sucesión, función, etc., al definir la igualdad entre estos objetos matemáticos, establecemos la igualdad de matrices. • Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y si los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.

3.2. Suma de matrices

Propiedades de la suma 1. Asociativa A + (B + C) = (A + B) + C 2. Elemento neutro La matriz nula, 0, de la dimensión correspondiente es el elemento neutro para la suma, ya que: A+0=A 3. Elemento opuesto Para la matriz A existe otra matriz que denotamos por –A y que llamamos matriz opuesta de A, que cumple: A + (–A) = 0

• Para dos matrices A = (a ij) y B = (b ij) de la misma dimensión m × n, la suma de A y B es la matriz de la misma dimensión m × n dada por: A + B = (a ij) + (b ij) = (a ij + b ij) Es decir, la suma de A + B se obtiene sumando los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas matrices. A+B=

冢

a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 2×3

冣冢 +

b11 b12 b13 b21 b22 b23

冣冢 =

a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13 a 21 + b21 a 22 + b22 a 23 + b23

2×3

冣

2×3

La suma de matrices está, en definitiva, íntimamente ligada a la suma de números reales y, por tanto, todas las propiedades de la suma de números reales dan lugar a propiedades de la suma de matrices. Estas pueden verse en el margen.

4. Conmutativa A+B=B+A

3.3. Producto por un número (escalar) • Para un número real k y una matriz A = (a ij) de dimensión m × n, el producto de un número real por una matriz es la matriz de la misma dimensión m × n dada por: k · A = k · (a ij) = (k · a ij) Es decir, el producto k · A se obtiene multiplicando el número real por cada uno de los elementos de la matriz.

Propiedades del producto por un número 1. k · (A + B) = k · A + k · B 2. (k + t) · A = k · A + t · A 3. k · (t · A) = (kt) · A 4. 1 · A = A

El número real k que multiplica a la matriz se denomina escalar. Esta operación siempre tiene sentido, es decir, puede efectuarse para matrices de cualquier dimensión. Para un número real k y una matriz A, el producto kA se realiza así:

冢冣冢

a11 a12 kA = k a 21 a 22 a 31 a 32 3×2

ka11 ka12 = ka 21 ka 22 ka 31 ka 32

冣

3×2

Las principales propiedades que posee el producto de un número por una matriz pueden verse en el margen.

Y

Matrices

11

ACTIVIDADES RESUELTAS

冢

冣冢冣

冢

冣

© 1 2¹ © 0 3¹ © 1 3 ¹ 1. Dadas las matrices A = ª ,B=ª ,yC=ª , calcula: « 2 3 º» « 1 2º» « 0 2º» a) A + B – C

b) A – 2B + 3C

冢12 32 冣 + 冢 01 32冣冢 01 32冣 = 冢21 72冣 1 2 0 6 3 9 2 5 b) A 2B + 3C = 冢 + = 2 3 冣冢 2 4 冣冢 0 6冣冢 4 7冣 a) A + B C =

2. Halla una matriz A = (aij ) de orden o dimensión 3 × 2 y cuyos elementos verifiquen: aij = (–1) i + j · (2i – 3j). La matriz A será:

冢冣冢 a11 a12

A = a21 a22 a31 a32

冣冢冣

( 1)2 (2 3) ( 1)3 (2 6) 1 4 3 4 = ( 1) ( 4 3) ( 1) ( 4 6) = 1 2 ( 1)4 (6 3) ( 1)5 (6 6) 3 0

3. Halla la matriz A que satisface la igualdad: 3

冢

冢12 58 64 冣 = 冢12

0 4 7 3

冣+A

冣

©a a a ¹ Sea la matriz A = ª 11 12 13 º ; sustituyendo en la expresión del enunciado y operando, obtenemos: « a21 a22 a23 »

冢

冣冢

冣

a12 4 + a13 ¹ © 3 15 18 ¹ © 1 + a11 ª« 6 24 12 º» = ª 2 + a 7 + a 3 + a º « 21 22 23 »

冢

冣

© 2 15 14¹ Igualando ambas matrices y resolviendo el sistema, se tiene que A = ª .. « 8 17 9 º»

4. Determina las matrices X e Y si se cumple:

冢

冣

冢

冣

© 5 12 7 ¹ © 11 25 0 ¹ 2X + Y = ª y 3 X + 2Y = ª º « 4 2 7» « 20 10 35º»

冢

冣

冢

冣

© 5 12 7 ¹ © 11 25 0 ¹ Llamamos A = ª y B=ª .. El sistema de ecuaciones matricial queda: º « 4 2 7» « 20 10 35º» ¯²2X + Y = A ° ²±3 X + 2Y = B Resolviendo el sistema por reducción, obtenemos como expresiones para X e Y las siguientes: X = 2A – B

e

Y = –3A + 2B

Sustituyendo A y B, las matrices buscadas son:

冢54 122 77 冣冢1120 1025 350冣 = 冢121 61 1421冣 5 12 2 7 11 25 0 7 14 21 Y = 3 冢 + 2冢 = 4 2 7冣 20 10 35 冣冢 28 14 49 冣 X =2

Y

Unidad 1

12

4. Producto de matrices Definiremos una operación entre matrices que no es tan natural como las que se han visto en las páginas anteriores. Esta operación, que llamaremos producto de matrices, no siempre puede realizarse, y en los casos en que sí tenga sentido, no cumplirá una propiedad tan usual como la conmutatividad.

Forma práctica de multiplicar matrices Para multiplicar dos matrices: • Tomamos la primera fila de la primera matriz y la multiplicamos por todas las columnas de la segunda, obteniendo así la primera fila de la matriz producto.

冢冣

●

■

Am × n · Bn × p = Cm × p

冢冣=冢冣 ●■◆

冢冣=冢冣 ●■◆

●

• El producto de dos matrices, A = (a ij) de dimensión m × n y B = (b jk) de dimensión n × p, es la matriz A · B de dimensión m × p dada por:

●■◆

■

o bien (a ij) · (b jk) = (c ik) con:

◆

• Tomamos la segunda fila de la primera matriz y la multiplicamos por todas las columnas de la segunda, obteniendo así la segunda fila de la matriz producto.

冢冣

Al carecer esta operación de la propiedad conmutativa se hace necesario precisar el orden de multiplicación de las matrices. Para poder multiplicar dos matrices va a ser necesario que el número de columnas de la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda matriz.

◆

• Y así sucesivamente con el resto de las filas de la primera matriz.

c ik =

n

ä

ij

b ji

j =1

Es decir, cada elemento c ik se obtiene multiplicando ordenadamente los elementos de la fila i-ésima de la primera matriz por los elementos de la columna k-ésima de la segunda matriz y sumando los resultados. Ejemplos de productos de matrices:

冢冣冢冣冢

冣冢冣

© 1 2 3¹ © 1 ¹ © 1 1 + 2 0 + 3 (1) ¹ © 2¹ • ª 4 5 6º ª 0 º = ª 4 1 + 5 0 + 6 (1)º = ª 2º ª º ª º ª º ª º ª« 7 8 9º» ª« 1º» ª« 7 1 + 8 0 + 9 (1)º» ª« 2º» 3×3

3×1

3×1

冢冣

© 1 0¹ © 1 2 3¹ ª © 1 1 + 2 7 + 3 3 1 0 + 2 2 + 3 (4) ¹ © 24 8 ¹ • ª 7 2º = ª = º º « 4 1 + 5 7 + 6 3 4 0 + 5 2 + 6 (4)»º» ª« 57 14 º» « 4 5 6» ªª « 3 4 º»

冢

冣

2×3

冢

冣冢

3× 2

2×2

Propiedades del producto de matrices cuadradas • El producto de matrices cuadradas es asociativo: A · (B · C) = (A · B) · C Así por ejemplo: © 0 ¹ © 0 1¹ 冢ª ½ ½ = 冢ª º º 冢©ª« 13 42冣¹º» ®©ª«冢1 冣冣 3 1 » « 2 2» ¾ ®« 3 4冣º» 冢ª« 3 1冣º» ¾ 冢ª« 2 2冣º» ¬

冢冣冢

冣

© 1 2 ¹ © 0 1¹ ª« 3 4 º» ª« 2 1º»

冢

冣

冣

© 4 3¹ ª« 8 7º»

¬ 1 2 ¹ © 1 0 ¹ ¼ © 0 1¹

¼

=

=

7 2 ¹ © 0 1¹ 冢©ª«15 4 冣º» ª«冢 2 2冣º»

冢

冣

© 4 3¹ ª« 8 7º»

Y

Matrices

13

• El producto de matrices cuadradas de orden n posee como elemento neutro la matriz unidad o identidad de orden n, I, ya que: A·I=I·A=A • El producto de matrices cuadradas es distributivo respecto de la suma de matrices: A · (B + C) = A · B + A · C

冢ª« 31 42冣º» 冢ª« 01 01º»冣 = 冢ª« 31 42冣º» ; 冢©ª« 01 01¹º»冣冢©ª« 31 42¹º»冣 = 冢©ª« 31 42冣¹º» ; ©

¹ ©

¹

©

¹

AI = A IA= A

Así por ejemplo: 0 ¹ © 0 1¹ © 1 2 ¹ © 1 0 ¹ © 1 2 ¹ © 0 1¹ + + 冢ª ½ = 冢ª º º 冢©ª« 13 42¹º»冣 ®冢©ª« 1 冣冣 3 1 » « 2 2» ¾ « 3 4冣º» 冢ª« 3 1 冣º» 冢ª« 3 4冣º» 冢ª« 2 2冣º» ¬

¼

冢ª«3 4冣º» 冢ª« 5 1º»冣

=

+ ª«冢 8 5冣º» 冢ª«15 4 冣º»

冢©ª« 1123 95 冣¹º»

=

冢©ª« 1123 95 ¹º»冣

© 1 2 ¹ © 1 1¹

© 4 3¹

© 7 2¹

• El producto de matrices cuadradas es, en general, no conmutativo: A·B|B·A En el caso en el que existan dos matrices A y B que cumplan que AB = BA, se dice que A y B conmutan.

56 56 12 | 冢ª 冢ª º º 冢ª«3142冣º» 冢ª« 冣冣 7 8» « 7 8» « 3 4º»冣 ©

¹ ©

¹

冢©ª« 1943 5022¹º»冣

©

|

¹ ©

¹

冢©ª« 2331 3446冣¹º»

ACTIVIDADES RESUELTAS

冢冣冢冣

© 0 1 2¹ © 1 2 0¹ ª º 5. Calcula A – B y (A – B) dadas las matrices A = ª 0 1 1º y B = ªª 1 1 0 ºº . ª« 0 2 1 »º ª« 2 1 1º» Operando obtenemos: 2

2

2

冢冣冢冣冢冣冢冣冢冣冢冢冣冢冣冢冣冢冣冢冣冢冣冢冣冢冣冢冣

© 1 2 0¹ A = A A = ªª 0 1 1ºº ª« 2 1 1º» 2

© 1 2 0¹ © 1 4 2 ¹ ªª 0 1 1ºº = ªª 2 2 0 ºº ª« 2 1 1º» ª« 0 4 2 º»

冣

© 0 1 2 ¹ © 0 1 2 ¹ © 1 5 2 ¹ B = B B = ªª 1 1 0 ºº ªª 1 1 0 ºº = ªª 1 0 2ºº ª« 0 2 1 º» ª« 0 2 1 º» ª« 2 4 1 º» 2

© 1 4 2 ¹ © 1 5 2 ¹ © 2 1 0 ¹ A2 B 2 = ªª 2 2 0 ºº ªª 1 0 2ºº = ªª 3 2 2 ºº ª« 0 4 2 º» ª« 2 4 1 º» ª« 2 0 1 º» © 1 2 0¹ © 0 1 2 ¹ © 1 1 2¹ A B = ªª 0 1 1ºº ªª 1 1 0 ºº = ªª 1 0 1 ºº ª« 2 1 1º» ª« 0 2 1 º» ª« 2 1 2»º

© 1 1 2¹ © 1 1 2¹ © 2 3 3 ¹ ( A B )2 = ( A B )( A B ) = ªª 1 0 1 ºº ªª 1 0 1 ºº = ªª 3 0 4ºº ª« 2 1 2º» ª« 2 1 2º» ª« 3 4 1º»

Y

Unidad 1

14

5. Trasposición de matrices. Matriz simétrica y antisimétrica A=

冢

冣

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3×4

At =

冢冣 1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

4×3

• Se llama matriz traspuesta de una matriz A de dimensión m × n a la matriz que se obtiene al cambiar en A las filas por columnas o las columnas por filas. Se representa por At y su dimensión es n × m. Si la matriz es cuadrada su traspuesta tiene el mismo orden. Las principales propiedades de la trasposición de matrices son: • (At)t = A • (A + B)t = At + Bt • (k · A)t = k · At con t

t

kR

t

• (A · B) = B · A

La trasposición de matrices nos permite definir dos nuevos tipos de matrices: matrices simétricas y matrices antisimétricas. La matriz simétrica se puede definir de dos formas: • Se llama matriz simétrica a toda matriz cuadrada A que coincide con su traspuesta: A = At • Se llama matriz simétrica a toda matriz cuadrada que tiene iguales los elementos simétricos respecto a la diagonal principal.

Las matrices simétricas son de la forma: William R. Hamilton (1805-1865)

冢冣

a x y A= x b z y z c

La matriz antisimétrica (hemisimétrica) se puede definir de dos formas: • Se llama matriz antisimétrica (o hemisimétrica) a toda matriz cuadrada A que coincide con la opuesta de su traspuesta: A = –At • Se llama matriz antisimétrica a toda matriz cuadrada que tiene opuestos los elementos simétricos respecto a la diagonal principal y nulos los elementos de esta. Matemático, físico y astrónomo irlandés, considerado el creador del álgebra moderna. Fue el fundador de una escuela británica de grandes algebristas.

Las matrices antisimétricas son de la forma:

冢

0 x A= y z

x 0 t r

y t 0 s

z r s 0

冣

Y

Matrices

15

ACTIVIDADES RESUELTAS 6. Dadas las matrices A =

冢21 43 冣

yB=

冢 43

冣

0 2 , comprueba que (A · B)t = B t · At. 1 1

Comprobamos que se cumple (A · B)t = B t · At : AB =

冢冣冢

冣冢

冣

1 3 4 0 2 5 3 1 = 2 4 3 1 1 20 4 8

B t At =

冢冣冢

( A B )t =

冢冣 5 20 3 4 1 8

冢冣

4 3 5 20 1 2 0 1 = 3 4 3 4 2 1 1 8

冣

Observamos que la igualdad matricial es cierta. 7. Comprueba que cualquier matriz cuadrada A puede descomponerse como suma de una matriz simétrica y otra antisi-

冢冣

1 2 3 métrica. Aplícalo a la matriz A = 4 5 6 . 7 8 9 Llamamos S a la matriz simétrica y T a la antisimétrica que cumplan A = S + T. Trasponiendo la igualdad anterior, obtenemos A t = (S + T ) t = S t + T t = S – T. ¯² S + T = A Resolviendo el sistema matricial ° , obtenemos S y T: t ²± S – T = A S=

A + At 2

T =

A At 2

Para la matriz A del enunciado, la descomposición A = S + T es:

冢冣冢冣冢 1 2 3 1 3 5 4 5 6 = 3 5 7 + 7 8 9 5 7 9

8. Encuentra todas las matrices que conmutan con A =

0 1 2 1 0 1 2 1 0

冣

冢11 02冣 .

冢ca db 冣 y deberán cumplir: 1 2 a b a b 1 2 = A·B=B·A 冢 1 0 冣冢 c d 冣冢 c d 冣冢 1 0 冣

Las matrices que conmuten con A serán de la forma B =

Efectuando los productos obtenemos:

冢

冣冢

冣

a + 2c b + 2d a b 2a = a b c d 2c

De la igualdad de estas matrices tenemos el siguiente sistema: a + 2c = a b ¿ ² b + 2d = 2a ² b = 2c ¿ À ¡ À ¡ Las matrices B son de la forma: B = a = c d ² d = a + c Á² b = 2c ²Á

冢 ca

2c a+c

冣 Y

Unidad 1

16

6. Matriz inversa Karl F. Gauss (1777-1855)

• La matriz inversa de una matriz cuadrada A de orden n es la matriz A–1 de orden n que verifica: A · A –1 = A –1 · A = I • Las matrices que tienen inversa se llaman matrices regulares y las que no tienen inversa matrices singulares.

6.1. Cálculo de la matriz inversa Para calcular la matriz inversa de una matriz regular podemos utilizar dos procedimientos: • Mediante la definición. Por ejemplo, para hallar la matriz inversa de la 1 2 matriz A = utilizamos la definición y obtenemos: 37

冢冣

Gauss dio un fuerte impulso a la resolución de sistemas de ecuaciones con el método que lleva su nombre.

A A 1 = I Operando: a + 2c

冢 3a + 7c

b + 2d 3b + 7d

冢3 7冣冢 c d 冣 = 冢 0 1 冣 1 2

a b

a + 2c 1 0 3a + 7c = 0 1 b + 2d 3b + 7d

冣冢冣

1 0

= = = =

1¿ a = ² 0² b = À 0² c= 1 ²Á d =

7 2 3 1

Luego la matriz inversa es: Camille Jordan (1838-1922)

A 1 =

冢3 1 冣 7 2

• Método de Gauss-Jordan La inversa de una matriz regular A se calcula transformando la matriz (A|I), mediante operaciones elementales por filas, en la matriz (I|A–1): elementales (A | I) operaciones q (I | A 1) por filas

6.2. Operaciones elementales por filas Las operaciones elementales por filas en una matriz nos permiten, entre otras cosas, calcular matrices inversas y estudiar rangos de matrices. Este matemático francés trabajó sobre ecuaciones algebraicas, fue un gran defensor de las teorías de Galois y publicó un Tratado sobre las sustituciones y las ecuaciones algebraicas.

• Se denominan operaciones elementales por filas en una matriz a las siguientes: • Intercambiar las filas i y j, que designaremos por Fi n Fj. • Multiplicar la fila i por el número k | 0 y sustituirla por el resultado; lo designamos por Fi q kFi. • Sumar las filas i y j, multiplicadas por sendos números, y llevar el resultado a la fila i o j. Lo designamos por Fj q kFi + t Fj.

Y

Matrices

17

ACTIVIDADES RESUELTAS 9. Calcula las matrices inversas de: A=

冢

1 0 0 B = 1 2 3 0 1 2

冢冣 12 37

冣

• Utilizamos el método de Gauss-Jordan: ( A | I ) q ( I | A1 )

冢 31

冣

2 1 0 F q F2 3 F1 2 q 7 0 1

Por lo que, finalmente, queda: A1 =

冢 01

2 1 0 1 3 1

冣 q 冢 01 F1q F1 2F2

0 7 2 1 3 1

冣

冢73 12冣

• Utilizando el mismo procedimiento calculamos B –1:

冢

1 0 0 1 0 0 1 2 3 0 1 0 0 1 2 0 0 1

冣

冢

1 0 0 1 0 0 F q F3 3 q 0 2 3 1 1 0 0 0 1 1 1 2

Por lo que, finalmente, queda: B

冢

冣

1 0 0 1 0 0 F q F2 2F3 q 0 2 3 1 1 0 3 q 0 1 2 0 0 1 F2 q F1+ F2

1

冣

F q F 3 F

2 3 2 q

冢

1 0 0 = 2 2 3 1 1 2

冢

冢

冣

1 0 0 1 0 0 F q F3 0 2 3 1 1 0 3 q 0 0 1 1 1 2

冣

1 0 0 1 0 0 1 F2 q F2 2 0 2 0 4 4 6 q 0 0 1 1 1 2

冢

1 0 0 1 0 0 0 1 0 2 2 3 0 0 1 1 1 2

冣

冣

Fácilmente podemos comprobar que B · B –1 = B –1 · B = I.

10. Dadas la matrices:

冢

1 0 0 B = 1 2 3 0 1 2

冣

冢

0 0 1 C= 0 1 0 1 0 0

冣

resuelve la siguiente ecuación matricial despejando en primer lugar la matriz X: BX + 3C = C (B + 3I ) Operando en la ecuación obtenemos: BX = CB + 3CI – 3C ¡ BX = CB multiplicamos por–1la ¡ B –1 BX = B –1 CB ¡ X = B –1 CB izquierda por B

Y operando las matrices obtenemos:

X =

冢

1 0 0 2 2 3 1 1 2

冣冢

0 0 1 0 1 0 1 0 0

冣冢

冣冢

冣冢

1 0 0 0 0 1 1 2 3 = 3 2 2 0 1 2 2 1 1

冣冢

1 0 0 0 1 2 1 2 3 = 5 6 10 0 1 2 3 3 5

冣 Y

Unidad 1

18

7. Rango de una matriz Sea la matriz: A=

冢

1 2 1 1 0 3

3 0 3

冣

Sus filas F1, F2 y F3 verifican: F1 = (1 2 3)

F2 = (–1 1 0)

F3 = (0 3 3)

F3 = F1 + F2 Es decir, F1 y F2 son independientes y F3 depende de F1 y F2. • En una matriz, una fila Fi no nula depende linealmente de las filas Fj, Fk, …, Ft si se verifica: Fi = x1 Fj + x2 Fk + ... + xn Ft con x1, x2, ..., x n R • En una matriz, una fila Fi no nula es linealmente independiente de las filas Fj, Fk, …, Ft si no se puede escribir en la forma anterior. Un concepto importante asociado a una matriz es su rango o característica, que está relacionado con el número de filas o columnas linealmente independientes. a

Curvas de Lissajous. Matriz cuadrada de orden 5 cuyos elementos son curvas de Lissajous o las trayectorias producidas por diferentes combinaciones armónicas de la cuerda de un piano.

• El rango o característica de una matriz es el número de filas o de columnas no nulas y linealmente independientes que tiene esa matriz. Para calcular el rango de una matriz utilizamos las operaciones elementales por filas, ya que dejan invariante el rango de la matriz resultante. Las filas que dependen de otras se reducen a filas nulas mediante estas transformaciones. De forma similar existen operaciones elementales por columnas que también dejan invariante el rango de la matriz.

ACTIVIDADES RESUELTAS 11. Calcula el rango de la matriz A =

冢

冣

1 1 0 2 1 1 . 1 1 2

Transformamos la matriz A con operaciones elementales por filas en una matriz triangular, y obtenemos:

冢

冣

1 1 0 F q F2 2F1 2 1 1 F2 q 3 q F3 + F1 1 1 2

冢

冣

冢

1 1 0 1 1 0 F q F3 + 2F2 0 1 1 3 q 0 1 1 0 2 2 0 0 0

El rango de A es 2, ya que han quedado dos filas no nulas tras el proceso de triangulación. Fácilmente podemos comprobar que F3 depende linealmente de F1 y de F2, puesto que: F3 = 3F1 – 2F2

冣

Y

Matrices

19

ACTIVIDADES RESUELTAS 12. Calcula el rango de las siguientes matrices:

冢冣

1 2 A= 2 4

2 3 4 1

B=

冢

1 2 3 4 2 4 6 9 3 6 9 1

冣

• El rango de la matriz A valdrá 2 como máximo puesto que, aunque tiene 4 filas, solo cuenta con 2 columnas. Transformamos la matriz A con operaciones elementales por filas y obtenemos:

冢冣 1 2 2 3 2 4 4 1

F2 q F2 2F1 F3 q F3 2F1 F4 q F4 4 F1

q

冢冣冢冣

1 2 1 2 0 7 0 7 F4 q F4 + F2 q ¡ rango A = 2 0 0 0 0 0 7 0 0

• El rango de la matriz B valdrá 3 como máximo aunque tenga 4 columnas, ya que solo tiene 3 filas. Transformamos la matriz B con operaciones elementales por filas y obtenemos:

冢

冣

冢

冣

冢

冣

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 F3 q F3 13 F2 F q F2 2F1 q 0 0 1 q 0 0 0 1 ¡ rango B = 2 2 4 6 9 F2 0 3 q F3 +3 F1 3 6 9 1 0 0 0 13 0 0 0 0

13. Demuestra en la matriz B de la actividad anterior que la tercera fila depende linealmente de las filas primera y segunda. Veamos que podemos escribir: F3 = xF1 + yF2 (–3 –6 –9 1) = x (1 2 3 4) + y (2 4 6 9) Operando obtenemos: x + 2y = –3¿ ² 2x + 4 y = – 6 ² x = – 29 À¡ 3x + 6 y = –9² y = 13 ² 4x + 9y = 1 Á con lo cual: F3 = –29F1 + 13F2

14. Calcula el rango, según los valores de k, de la matriz A =

冢

冣

1 2 1 1 1 3 . 5 1 k

Transformamos la matriz A en una matriz triangular:

冢

冣

1 2 1 F2 q F2 F1 1 1 3 F q 3 q F3 5 F1 5 1 k

冢

1 0 0

冣

2 1 F q F3 3 F2 3 2 3 q 9 k 5

冢

1 0 0

2 3 0

冣

1 2 k 11

Se observa en la matriz triangular que: • Si k = 11, el rango de la matriz A es 2. • Si k | 11, el rango de la matriz A es 3.

Y

Unidad 1

20

8. Las matrices en la vida real En muchas situaciones de la vida real se nos presentan gran cantidad de datos. Para cuantificar la información y operar con ella resulta muy útil el uso de las matrices y sus operaciones. A continuación podemos ver algunos ejemplos prácticos que muestran la utilidad de las matrices en la vida real.

ACTIVIDADES RESUELTAS 15. Dos tiendas de una misma cadena poseen el siguiente stock de pantalones vaqueros:

Marcas

León

q

Zorro q Lobo q

冢

TIENDA B

38

40

42

44

46

48

2

3

5

3

2

1

2

2

3

1

2

0

3

4

6

2

3

1

0

2

4

0

1

2

38

40

42

44

46

48

1

3

6

8

3

1

2

1

2

2

2

1

0

1

4

4

1

1

3

2

2

3

1

0

冣冢

冣

Ambas tiendas se fusionan: a) ¿Cuál es el stock disponible? b) La ganancia en cada marca en la talla 44 es de 7, 6, 9 y 4 euros respectivamente. Si se venden todas las existencias relativas a esta talla, ¿qué ganancias se obtienen? c) Si las ganancias de cualquier talla son como las de la talla 44, ¿cuál es la matriz que da las ganancias por talla? a) La suma de ambas matrices, A + B, nos da el stock disponible en la fusión de las tiendas: 3 2 4 2

5 3 6 4

3 1 2 0

2 2 3 1

冣冢

1 1 3 0 2 1 + 1 0 1 2 3 2

6 2 4 2

8 2 4 3

3 2 1 1

冣冢

1 1 = 1 0

q

冢

2 2 A+B = 3 0

44

3 4 3 3

6 11 11 5 2 3 5 3 4 1 5 10 6 4 2 4 6 3 2 2

冣

b) Las ganancias que se obtienen en la venta de todos los vaqueros de la talla 44 son:

(

冢冣

11 3 7 6 9 4 6 3

)

= 161 euros

84

121

221

161 103

46

q

(

q

冣

q

冢

6 11 11 5 2 ¹ 3 5 3 4 1 ºº = 5 10 6 4 2 º º 4 6 3 2 2»

q

)

3 4 3 3

q

(

© ª 7 6 9 4 ª ª ª «

q

c) La primera matriz nos da las ganancias por talla y la segunda por marca:

38

40

42

44

46

48

)

q Talla q Puma q León q Zorro q Lobo

Marcas

TIENDA A

q Puma q Talla

Y

Matrices

21

ACTIVIDADES RESUELTAS 16. En una academia de idiomas se imparte inglés y alemán en cuatro niveles y dos modalidades distintas: grupos normales y grupos reducidos. La matriz A expresa el número de personas por grupo, donde la primera columna corresponde a los cursos de inglés, la segunda a los de alemán, y las filas, a los niveles primero, segundo, tercero y cuarto, respectivamente: 130 160 120 80 A= 210 130 100 60

冢冣

Las columnas de la matriz B reflejan el porcentaje de estudiantes (común para ambos idiomas) que siguen curso reducido (primera fila) y curso normal (segunda fila) para cada uno de los niveles: B=

冢 00,,28

0, 25 0, 4 0, 75 0, 75 0, 6 0, 25

冣

a) Obtén la matriz que proporciona el número de estudiantes por modalidad e idioma. b) Sabiendo que la academia cobra 20 € por persona en grupos reducidos y 15 € por persona en grupo normal, halla la cantidad en cada uno de los idiomas. a) La matriz que nos da el número de estudiantes por modalidad e idioma es:

80

2 nivel

210

130

3 nivel

100

60

4 nivel

q

inglés I

alemán A

er

er

=

冢

o

冣

215 149 345 281

q

o

q

o

4 nivel

er

3 nivel

120

q

o

2 nivel

冢冣

q

0,6

0, 25 冣 0,75

q

0,75

q

q

0, 4

q

er

1 nivel

0, 25

q

al N norm

冢 q 0, 8

0, 2

1 nivel

q

BA=

160

q

R reduci do q

130

I

A

q q

R N

b) La cantidad que ingresa la academia por cada uno de estos idiomas viene dada por:

冣

(

q

215 149 = 9475 7195 345 281 I

A

17. El gráfico adjunto representa los caminos que comunican diversas localidades, con sus respectivas distancias. Encuentra la matriz de las distancias más cortas.

)

55 km

A

120 km

60 + 55

0

55

70 + 55

60

55

0

70

128

55 + 70

70

0

A

B

C

D

E

冣冢

175

120

0

115

60

115

0

55

60

55

0

128

125

70

q

q

128

120

q

E

60

¹ © 0 º ª º ª 120 º ª º = ª 175 º ª º ª 120 º ª º ª » « 50

C

B

q

q

50 + 60

0 ª ª 120 ª ª 50 + 70 + 55 ª ª 50 + 70 ª ª 50 «

60 km

q

D

0

q

q

50

q

C

50 + 70

q

q

50 + 70 + 55

q

B

120

q

冢

q ©

128 km

50 km

La matriz de las distancias es de orden 5 y es la siguiente: A

D

70 km

E

A

B

C

D

冣

50 ¹ º 128 º º 125 º º 70 ºº º 0 »

q

冢

q

(20 15)

qA qB qC qD qE

E

Y

Unidad 1

22

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Ciudad futurista El siguiente dibujo representa el plano bidimensional de un barrio perteneciente a una gran ciudad del futuro. Una persona se encuentra en X y desea llegar hasta Y. ¿Cuántos caminos de longitud mínima puede seguir?

Y

X

FAMILIARIZACIÓN CON EL PROBLEMA Necesitamos leer varias veces el problema para entender lo que en él se pide. El término o expresión camino de longitud mínima no nos resulta fácil de comprender a primera vista, por lo que pintamos en el dibujo varias trayectorias posibles. Observando las trayectorias trazadas, nos damos cuenta de lo que significa camino de longitud mínima: es cualquier camino que va desde X hasta Y y en el cual sólo se permiten dos movimientos, avanzar una longitud a la derecha o avanzar hacia arriba una longitud.

BÚSQUEDA DE ESTRATEGIAS Para operativizar este problema, necesitamos buscar una notación adecuada. Denotamos por D el avance de una longitud hacia la derecha y por A el avance de una longitud hacia arriba. Utilizando esta notación, las trayectorias trazadas en el dibujo se escribirían así: ADADDADDA

DDADDAAAD

Esta notación nos permite ver que todos los caminos de longitud mínima contienen cinco D y cuatro A. Nuestro problema se reduce a encontrar todas las secuencias de nueve letras que contengan cinco D y cuatro A.

LLEVAR ADELANTE LA ESTRATEGIA Cada secuencia o camino de longitud mínima es una permutación con repetición de nueve elementos en la cual uno se repite cinco veces y el otro cuatro veces. Por esto, el número de caminos de longitud mínima que van desde X hasta Y es: P95,4 =

9! = 126 5! · 4!

REVISAR EL PROCESO Y SACAR CONSECUENCIAS DE ÉL Al revisar el problema, se nos ocurre que podemos calcular el número de caminos de longitud mínima que llegan a cada cruce. También se nos ocurre la pregunta siguiente: ¿tendrán alguna relación o relaciones entre sí estos números representativos de cada cruce?

Y

Matrices

23

Protocolo de un problema Un problema es una situación que plantea una meta a la que hay que llegar. Al intentar resolverlo, hay que tomar una serie de decisiones, ya que de entrada no existe una receta o procedimiento que nos lleve a su solución.

Observamos que, si presentamos la solución de forma escueta, nos privamos de la riqueza de pensamiento que utiliza el que lo resuelve, así como de la posibilidad de plantearnos cuestiones al revisar el proceso que describe el protocolo.

La expresión escrita de las decisiones que va tomando quien resuelve o intenta resolver el problema, así como de los estados de ánimo por los que este va pasando, es lo que constituye el protocolo de resolución del problema. El hecho de sentarnos con calma, papel y un bolígrafo ante un problema e ir escribiendo el protocolo de resolución del mismo es esencial, pues ello nos ayudará a: • Superar el miedo a empezar. • Tener presente las ideas que nos van surgiendo. • Perseverar en la resolución del mismo, no quedándonos atascados sin saber qué hacer, ya que el escribir obliga a estar activos y concentrados. • Facilitar la revisión del proceso seguido al tener éste escrito. La solución del problema planteado en la página anterior consistiría en afirmar que el número de caminos de longitud mínima que nos conducen desde el punto X al punto Y es 126. a

El pensador, de A. Rodin.

BIBLIOGRAFÍA SOBRE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS • CALLEJO, M. L. (1994). Un club matemático para la diversidad. Narcea. Madrid. • CERO, Grupo (1984). De 12 a 16. Un proyecto de currículum de Matemáticas. Edición propia. Valencia. • FERNÁNDEZ, S.; ALAYO, F.; BASARRATE, A.; FOUZ, F. (1991). Revista Sigma nº 10. Servicio Central de Publicaciones del Gobierno Vasco. Bilbao. • GARDNER, M. Varios títulos. Labor y Alianza. • GUZMÁN, M. de (1991). Para pensar mejor. Labor. Barcelona. • MASON, J.; BURTON, L. STACEY, K. (1988). Pensar matemáticamente. Labor-MEC. Barcelona. • WOOD, L. E. (1987). Estrategias de pensamiento. Labor. Barcelona.

A C T I V I D A D E S 䊏 Con el fin de que te acostumbres a escribir los protocolos de resolución de los problemas, escribe los protocolos de los siguientes problemas: 1. Las edades de la familia. Una madre de familia, que ronda la cuarentena, observa que, si escribe tres veces seguidas su edad, obtiene un número que es igual al producto de su edad multiplicada por la de su marido y las edades de sus cuatro hijos. ¿Qué edad tiene cada uno de los miembros de la familia? 2. Dos números. Encuentra dos números tales que su suma, su producto y su cociente sean iguales.

Y

Unidad 1

24

NUEVAS TECNOLOGÍAS Matrices con Derive Derive es fácil de manejar. En la parte inferior del área de trabajo se encuentra una barra con una serie de herramientas y el editor de expresiones que utilizaremos para escribir y editar cada una de las expresiones matemáticas con las que trabajemos.

Derive es un programa informático que permite realizar todo tipo de problemas de álgebra lineal como los cálculos y operaciones con matrices (y determinantes, que estudiaremos en la siguiente unidad).

INTRODUCCIÓN DE UNA MATRIZ Para definir una matriz hemos de seguir los siguientes pasos: 1. Elegimos Introducir>Matriz en el menú, o pulsamos el botón , y aparece una ventana donde introducimos el número de filas y de columnas de la matriz que queremos escribir. 2. Tras pulsar en «Sí» aparece otra ventana donde introducimos los valores de la matriz. Una vez escritos, pulsamos «Sí» y la matriz aparece en el área de trabajo. Si queremos corregirla la llevamos al editor seleccionándola y pulsando la tecla F3 .

OPERACIONES CON MATRICES Derive permite operar con matrices y calcular la matriz traspuesta o la matriz inversa. Para ello: 1. Introducimos la matriz o las matrices que queremos operar y las pasamos al editor (pulsando F3 ) para añadir la operación que deseemos realizar.

2. Pulsando INTRO aparece la operación en el área de trabajo y mediante el signo igual, , obtenemos la matriz solución. En la siguiente tabla vemos las operaciones con matrices que permite realizar Derive: OPERACIONES Suma de matrices Producto de un número real por una matriz

PRACTICA con Derive la resolución de las actividades números 3, 13 y 25.

SÍMBOLOS [A]+[B] t*[A]

Producto de matrices

[A]*[B]

Potencia enésima

[A]^n

Matriz inversa

[A]^-1

Matriz traspuesta Determinante de una matriz

[A]` DET([A])

Y

Matrices

25

EN RESUMEN RECTANGULARES TRIANGULARES CUADRADAS DIAGONALES

SON CUADROS O TABLAS DE NÚMEROS Am × n = (aij)

SUMA algunos tipos

(aij) + (bij) = (aij + bij) PRODUCTO POR UN NÚMERO

definición

k(aij) = (kaij)

MATRICES

operaciones

PRODUCTO (aij) · (bjk) = (cik) c ik =

se realizan en ellas

n

ä j =1

ij

b jk

TRANSPOSICIÓN (aij)t = (aji)

OPERACIONES ELEMENTALES FOR FILAS (COLUMNAS)

SIMÉTRICAS At = A clases

ANTISIMÉTRICAS At = –A

aplicaciones

CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA (MÉTODO DE GAUSS-JORDAN)

CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ

AMPLÍA CON… Los diez magníficos (Maeva Ediciones) de Anna Cesaroli tiene por subtítulo Un niño en el mundo de las Matemáticas y sus dos protagonistas, un niño (Filippo) y su abuelo, nos invitan a realizar un viaje a través de algunos conceptos matemáticos. En el libro aparecen los números naturales, el ábaco, las cifras, la división, los conejos de Fibonacci, el alfabeto Morse, los números negativos, la proporcionalidad geométrica, el teorema de Pitágoras, el número de oro, y así hasta concluir con uno de los conceptos más de moda actualmente: los objetos fractales.

Y

Unidad 1

26

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD RESUELTAS Una matriz A se llama antisimétrica cuando su traspuesta es igual a su opuesta. Obtén la forma general de una matriz A de orden 2 que sea antisimétrica. Calcula A2, A4 y A33. Para una matriz de orden 2, A =

冢c d 冣, la igualdad A = –A permite obtener o relacionar los elementos a, b, c, d. La anterior a b

t

igualdad nos permite concluir: ¯a ² ²c a b a c t = ° A = A c d b d ²b ² ±d

冢冣冢

冣

= a

¯a = 0 ²² °d = 0 = c ² ²± c = b = d = b

Por tanto, todas las matrices antisimétricas de orden 2 son de la forma A =

冢b 0 冣 . 0

b

Calculamos las potencias de A indicadas y obtenemos: A2 = A A =

冢0b 0b 冣冢0b 0b 冣 = 冢0b 0b 冣 = b 冢 01 01冣 = b l 2

2

2

2

A 4 = A2 A2 = ( b 2 l ) ( b 2 l ) = b 4 l l = b 4 l A8 = b8 l 2 = b8 l , A12 = b12l 2 = b12l , …, A32 = b32l Por tanto, A33 = A32 · A = b32I · A = b32A = b32

冢0b 0b冣 = b 冢 01 01冣 . 33

Tres familias van a una heladería. La primera pide dos helados grandes, uno mediano y uno pequeño; la segunda pide uno grande, dos medianos y dos pequeños y la tercera familia pide dos grandes y tres pequeños. a) Expresa esta información mediante una matriz 3 × 3. b) Si la primera familia paga 4,75 euros, la segunda 5 euros y la tercera 5,25 euros, calcula el precio de un helado grande, el de uno mediano y el de uno pequeño. a) La siguiente matriz muestra la información del problema, en las filas el número de helados de cada familia y en las columnas el tipo de helados: 1ª A = 2ª 3ª

冢

2

1

1

1

2

2

2

0

3

G

M

P

冣

b) Llamando x, y, z al precio de cada helado grande, mediano y pequeño, respectivamente, obtenemos:

冢冣冢冣冢冣 2 1 1 1 2 2 2 0 3

x y z

=

4,75 5 5, 25

2x + y + z = 4,75¿ x = 1,5 euros ² ¡ x + 2 y + 2z = 5À ¡ y = 1 euro ² 2x + 3z = 5, 25Á z = 0,75 euros

Y

Matrices

27

冢

冣

0 3 4 Consideramos la matriz A = 1 4 5 . Se pide: 1 3 4 a) Demuestra que se verifica la igualdad A3 + I = O, siendo I la matriz unidad y O la matriz nula. b) Calcula razonadamente A10. a) Comprobamos que es cierta la igualdad A3 + I = O. Operando: A2 =

冢

0 3 4 1 4 5 1 3 4

冣冢

冣冢

0 3 4 1 0 1 1 4 5 = 1 4 4 1 3 4 1 3 3

冣

A3 =

冢

0 3 4 1 4 5 1 3 4

冣冢

冣冢

1 0 1 1 0 0 1 4 4 = 0 1 0 1 3 3 0 0 1

冣

Como A3 = –I, se cumple A3 + I = O. b) Tenemos que A10 = (A3)3 · A = (–I)3 · A = –I · A = –A.

Sea M la matriz

冢

1 1 0 0 1 1 0 0 1

冣

e I la matriz identidad de orden 3. Calcula la matriz J tal que M = J + I. Calcula tam-

bién las matrices J 2, J 3 y J 1994.

冢

0 1 0 J=MI = 0 0 1 0 0 0

冣

Las sucesivas potencias de J son: J = JJ = 2

冢

0 1 0 0 0 1 0 0 0

冣冢

0 1 0 0 0 1 0 0 0

冣冢 =

0 0 1 0 0 0 0 0 0

冣

J = J J = 3

2

冢

0 0 1 0 0 0 0 0 0

冣冢

0 1 0 0 0 1 0 0 0

冣冢 =

0 0 0 0 0 0 0 0 0

冣

Todas las restantes potencias dan por resultado la matriz nula y por tanto J 1994 = J 1991 · J 3 = 0.

Halla la matriz X 2 + Y 2 si X e Y son dos matrices cuadradas, que verifican: 5 X + 3Y =

Llamamos A =

冢24 150 冣

y B=

冢4 15冣 2

0

3 X + 2Y =

冢 2 9 冣 1 1

¯5 X + 3Y = A

冢12 91冣 y resolvemos el sistema matricial ²°²±3X + 2Y = B .

Utilizando el método de reducción obtenemos las soluciones: X = 2A – 3B, Y = –3A + 5B Sustituyendo A y B por las correspondientes matrices: X =2

冢 24 150 冣 3 冢 12 91冣 = 冢12 33 冣

Y = 3

冢 24 150 冣 + 5 冢 12 91冣 = 冢21 05 冣

Operando para obtener X 2 + Y 2 obtenemos: X2 =

冢8 3 冣 5 12

Y2 =

冢2 10 冣 9

5

X2 + Y2 =

冢10 7冣 14 17

Y

Unidad 1

28

ACTIVIDADES FINALES EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1. Calcula a, b, c y d para que se cumpla 2

冢 ca db 冣 = 冢a2 37d 冣 + 冢 c +5 d a +4 b冣.

冢 0 3 冣, B = 冢1 2冣 y C = 冢2 3 冣 , calcula: 1 1

2. Dadas las matrices A = a) A + B

b) A – B – C

冢冣 1 1 2 3 0 4

3. Para las matrices A =

1 2

4 0

yB=

c) 3A + 5B – 6C

冢0

d) AB – BC

e) 2AB + 3AC – 5BC

冣

4 1 2 , calcula AB y BA. 5 3

冢

冣冢冣

1 2 3 1 4. Calcula los productos posibles entre las matrices A = 1 1 1 , B = 2 0 1 1 1

yC =

冢32 41 05冣.

5. Si A y B son dos matrices cuadradas de orden n, ¿son ciertas, en general, las igualdades siguientes?: a) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

b) (A – B)2 = A2 – 2AB + B2

c) (A + B)(A – B) = A2 – B2

6. Encuentra todas las matrices, del orden correspondiente, que conmuten, respectivamente, con las matrices siguientes: A=

冢 01 11冣

B=

冢01 21冣

7. Obtén las matrices X e Y que verifiquen los siguientes sistemas matriciales:

冢冢

¯ © 1 2 ²2 X + Y = ª « 2 1 ² a) ° © 4 3 ² ² X 3Y = ª« 1 0 ±

冣 2¹ 1 º»冣

冢冣冢冣

冢

冢冢

冣冢

冣

冣冣

¯ © 3 1¹ ²2 X + Y = ª « 0 2º» ² c) ° © 1 0¹ ² ² X + 2Y = ª« 2 4 º» ±

¯ © 2 1¹ ²X + Y = ª « 3 0º» ² b) ° © 6 2¹ ² ² X Y = ª« 0 1º» ±

2¹ 0 º»

(

)

© 1 1 2 ¹ © 0 3¹ 8. Para las matrices A = ª ,B=ª y C = 2 1 3 , efectúa las siguientes operaciones: º « 4 0 3» « 1 2º» a) C · At

b) At · Bt

c) 2 · C t · C

d) B · A · C t

9. Descompón en suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica las matrices siguientes:

冢

冣

© 1 4¹ a) ª « 2 5 º»

10. Para la matriz A = matriz

冢b 1 冣 . a 0

b)

冢1 0 冣 , calcula A 0 1

50

冢

冣

1 0 1 0 4 2 5 3 4

y A97. Encuentra los valores de a y b para que la matriz A conmute con la

Y

Matrices

29

11. Utilizando las operaciones elementales por filas, obtén matrices triangulares equivalentes a las siguientes matrices:

a)

冢冣

冢

© 1 0 1 ¹ b) ªª 1 2 2 ºº ª« 2 1 1 º»

冢冣 1 2 3 4

冣

© 1 2 1¹ c) ªª 3 2 1 ºº ª« 4 0 2 º»

d)

冢

1 2 1 3

1 2 0 1 1 2 2 1

1 3 1 2

冣

12. Calcula las matrices inversas, si existen, de las siguientes matrices:

冢冣

冢冣

冢冣

© 1 2¹ c) ª « 4 8º»

© 1 2¹ b) ª « 3 4º»

© 0 1¹ a) ª « 2 0º»

d)

冢冣 1 1 2 1 0 3 4 1 1

e)

冢冣 2 1 0 3 1 2 4 0 1

13. Resuelve la ecuación matricial A · X = B · X + C, siendo: A=

冢冣

冢2 0 冣 1 2

B=

冢 1 2冣 3 1

C =

冢1冣 0

冢冣

© 1 2¹ © 3 1¹ 14. Dadas las matrices A = ª yB=ª , calcula (AB)t y (AB)–1. « 1 0º» « 2 3º»

15. Sea B = (b ij ) una matriz cuadrada de orden 3 tal que: b ij = (i – j) · (–1)i + j con j | 2 y b ij = 1 si j = 2 Encuentra la matriz B y resuelve la ecuación X · B = 3B. 16. Calcula el rango de las siguientes matrices:

A=

冢

1 0 1 2 1 0

冣

冢

冣

0 2 1 B = 1 0 1 0 4 2

C =

冢

2 1 1 1 5 1 3 6 1

冣

冢冣

0 1 3 D= 2 2 1 2 4 7

17. a) Escribe tres matrices de dimensión 3 × 3 que tengan, respectivamente, rango 3, 2 y 1. b) Escribe tres matrices 3 × 2 que tengan, respectivamente, rango 1, 2 y 3. 18. Sean X, Y, Z tres matrices tales que es posible efectuar Z t – XY. ¿Es posible efectuar (Y · Z)t + X? 19. Una pizzería hace tres tipos de pizza, calidad extra, calidad superior y calidad normal. Emplea en cada una de ellas 150 g de masa, 200 g de ingredientes y 250 g de queso; 200 g de masa, 200 g de ingredientes y 200 g de queso; 250 g de masa, 150 g de ingredientes y 100 g de queso, respectivamente a las calidades extra, superior y normal. a) ¿Qué cantidad de masa, ingredientes y queso necesita la pizzería para hacer 100 pizzas de calidad extra,120 de calidad superior y 200 de calidad normal? b) Sabiendo que el kilo de masa vale a 1,5 euros, el de ingredientes a 3 euros y el de queso a 2,75 euros, ¿a cómo vale cada pizza?

Y

Unidad 1

30

ACTIVIDADES FINALES ACCESO A LA UNIVERSIDAD

冢

冣冢冣

0 1 2 1 0 0 20. Dadas las matrices A = 1 0 2 , I = 0 1 0 , determina, si es posible, un valor de k para que la matriz (A – kI)2 1 1 3 0 0 1 sea la matriz nula.

21. Resuelve la ecuación matricial B(2A + I ) = AXA + B, siendo

冢

冣

3 2 1 A = 4 1 1 2 0 1

y

冢冣

1 1 2 B = 1 0 1 0 1 1

冢冣

1 2 1 22. Obtén la matriz inversa de A + At, siendo A = 0 1 0 . 2 0 3

冢 2冣º» , construye la matriz Y = 3A A – 2I, y resuelve la ecuación AX = 冢0 1冣 .

©3 23. Dada la matriz A = ª «5

1¹

20

t

24. Prueba que A2 – A – 2I = 0, siendo A = cualquier otra forma.

冢冣冢冣

0 1 1 1 0 0 1 0 1 , I = 0 1 0 . Calcula A–1 utilizando la igualdad anterior o de 1 1 0 0 0 1

25. Una fábrica decide distribuir sus excedentes en tres productos alimenticios A, B y C a cuatro países de África P1, P2, P3 y P4 según se muestra en la matriz M (cantidades en toneladas). La fábrica ha recibido presupuestos de dos empresas de transporte E1 y E2, como indica la matriz T (en euros por tonelada). A P1 M=

P2 P3 P4

冢

B

C

200 100 120 110 130 200 220 200 100 150 160 150

冣

P1 T =

E1 E2

冢

P2

P3

P4

500 450 375 350 510 400 400 350

冣

Efectúa el producto de ambas matrices y responde: a) ¿Qué representa el elemento a11 de la matriz producto? ¿Qué elementos de esta matriz nos indican lo que nos cuesta transportar el producto C con la empresa E2? b) Indica qué elementos de esa matriz te permiten decidir la empresa que resulta más barata. 26. Sea A una matriz cuadrada de orden n, tal que A2 = A, I la matriz unidad de orden n y B = 2A – I. Calcula B 2.

27. Calcula la matriz B–1A2B, siendo A =

冢03 03冣 y B = 冢43 54冣 .

28. Halla todas las matrices que conmuten con la matriz: X =

冢 21 31冣.

Y

Matrices

31

AUTOEVALUACIÓN 1. La matriz A = (a ij ) de dimensión 2 × 3 cuyos elementos verifican a ij = (i – j )3 es: a)

冢 1 0 1 冣 0 1 8

b)

2. Dadas las matrices A = a)

冢 1412 1327 冣

冢 1 1 0 冣 1 1 2

c)

冢1

0 1 8 0 1

冣

冢1 2冣, B = 冢 0 5冣 y C = 冢3 2冣, el resultado de operar 2A + 3B – 4C es: b) c) 冢1412 1327 冣冢 1412 2713 冣 2 3

1 0

2 1

3. Para las matrices de la actividad anterior, el resultado de operar AB – BC es: a)

冢 137

7 17

冣

b)

冢137 177 冣

冢3 1 0冣, el resultado de (A · A ) es: a) b) 冢4534 10945冣冢3445 10945 冣

4. Dada la matriz A =

1

0 2

5. Los valores de x e y que satisfacen

6. Los valores de a y b para que las matrices a) a = 2; b = 2

0 1

a

冢89 92冣 ; 1 1 b) 冢0 3冣

1 1

2

c) a = –2; b = 2 A + 2B =

冢56 51冣 es: c)

b) –I

9. La solución de la ecuación A · X + B = C, siendo A =

冢 11 22 冣

b)

冢

冢1 3 冣 1 0

冢01 01冣 es:

a) –A

a) 1

c) x = 0; y = 0

b) a = 2; b = –2

冢 3 0冣

10. El rango de la matriz

冢3445 10945 冣

冢 1 0 冣 y 冢 2 b 冣 conmuten son:

7. La matriz A que verifica el sistema 2A + 3B =

a)

c)

冢34 0x 冣冢 04 2y 冣 = 冢04 32冣 son: b) x = 1; y = –1

8. La potencia A2007 de la matriz A =

冢137 177 冣

t 2

a) x = –1; y = 1

a)

c)

2 1 3 5 4 2 5 3 2 1 1 9

冣

冢12 21冣

c) A

冢31 21冣,

B=

冢21 03冣

冢01 41 冣 es: c) 冢 21 12 冣

y C =

es: b) 2

c) 3

Z

u2 unidad 2 contenidos

1. Determinantes de orden 2 y 3

2. Desarrollo de un determinante por adjuntos 3. Propiedades de los determinantes. Método de Chío 4. Cálculo de la matriz inversa por determinantes 5. Cálculo del rango de una matriz por determinantes

Determinantes

33

En los textos actuales aparece el concepto de determinante y sus aplicaciones con posterioridad al concepto de matriz. Históricamente se estudiaron antes los determinantes que las matrices, y las propiedades de estas surgieron del desarrollo de los determinantes. El primero en utilizar el término determinante fue Karl F. Gauss (1777-1855) y tanto las propiedades como las aplicaciones de los determinantes se deben al trabajo, entre otros, de Gabriel Cramer (1704-1752), Alexandre Vandermonde (1735-1796), Joseph L. Lagrange (1736-1813), Pierre S. Laplace (1749-1827), Augustin L. Cauchy (1789-1857), Arthur Cayley (1821- 1895) y James J. Sylvester (1814-1897). Los determinantes y las matrices han resultado ser herramientas muy útiles en numerosos ámbitos de las Matemáticas, de la Física, de la Aeronáutica, de la Mecánica y otras ciencias. Asimismo son una buena herramienta para trabajar con muchos datos como, por ejemplo, en los programas que rigen el funcionamiento de los semáforos de una ciudad, en los paneles de llegadas y salidas de vuelos en los aeropuertos, y en todas aquellas situaciones en las que aparecen gran cantidad de datos relacionados unos con otros.

cuestiones iniciales 1. Calcula las matrices inversas de las siguientes matrices:

a)

冢冣 12 25

b)

冢冣 1 2 3 0 1 2 1 3 1

2. Calcula el rango de las siguientes matrices:

a)

冢

124 36 7

冣

b)

冢冣 0 4 1 4 8 7 17 3

c)

冢冣 2 0 2 0

0 2 1 1

2 0 0 0

0 2 2 1

2 0 1 0

Y

Unidad 2

34

1. Determinantes de orden 2 y 3 A una matriz cuadrada le podemos asociar un número que, como veremos con posterioridad, nos permitirá estudiar y resolver un sistema de ecuaciones lineales y examinar si una matriz dada posee matriz inversa y calcularla.

Pierre F. Sarrus (1798-1861) Matemático francés, profesor de la Universidad de Estrasburgo entre 1826 y 1856. Escribió numerosas obras sobre resolución de ecuaciones numéricas y sobre la determinación de las órbitas de los cometas. Es muy conocido por la regla de cálculo de determinantes de orden 3 que lleva su nombre. a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

Los productos de los elementos de igual color son los sumandos de signo positivo. Los productos de los elementos de igual color son los sumandos de signo negativo.

Este número que vamos a asociar a una matriz cuadrada lo llamaremos determinante de dicha matriz. Aprenderemos su cálculo para matrices cuadradas de orden 2 y 3, y después calcularemos determinantes de matrices cuadradas de cualquier orden.

冢

冣

a11 a12 • Para una matriz cuadrada de orden 2, A = , se llama determia 21 a 22 nante de A al número real: det (A) = |A| =

a11 a12 = a11 a22 – a12 a 21 a 21 a 22

Como vemos , el determinante de una matriz cuadrada de orden 2 es igual al producto de los elementos de la diagonal principal, menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria.

冢

冣

a11 a12 a13 • Para una matriz cuadrada de orden 3, A = a 21 a 22 a 23 , se llama determinante de A al número real: a 31 a 32 a 33 a11 a12 a13 det (A) = |A| = a 21 a 22 a 23 = a 31 a 32 a 33 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31 Para recordar con más facilidad el desarrollo del determinante anterior, se utiliza la denominada regla de Sarrus. • Regla de Sarrus: el desarrollo del determinante de una matriz de orden tres es igual a la suma de los productos de los elementos de la diagonal principal y los de las líneas paralelas a ella, multiplicados por el elemento del vértice opuesto, menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria y el producto de los elementos de las líneas paralelas a ella, multiplicados por el elemento del vértice opuesto. El esquema gráfico de los sumandos positivos y negativos del desarrollo del determinante es el siguiente:

SUMANDOS CON SIGNO +

SUMANDOS CON SIGNO –

Y

Determinantes

35

ACTIVIDADES RESUELTAS 1. Calcula los siguientes determinantes: a)

4 1 2 1

b)

1 2 2 4

c)

2 1 1 2

d)

1+ 2 2 3 0

1 2

Aplicando la definición, obtenemos: a)

4 1 = 4 · (–1) – 1 · 2 = –6 2 1

c)

b)

1 2 =1·4–2·2=0 2 4

d)

2 1 = (–2) · 2 – 1(–1) = –3 1 2 1+ 2 2 3 0

1 2

= (1 + 兹2 苶)(1 – 兹2苶) – 0 = –1

2. Calcula los siguientes determinantes de orden 3: 1 2 7 a) 1 0 1 4 5 7

2 1 3 b) 5 7 12 2 1 3

c)

5 3 1 2 0 4 6 5 9

Según la regla de Sarrus, el desarrollo de los determinantes es el siguiente: 1 2 7 a) 1 0 1 = 1 · 0 · 7 + 2 · 1 · 4 + 7 · (–1) · 5 – 1 · 1 · 5 – 2 · (–1) · 7 – 7 · 0 · 4 = –18 4 5 7 2 1 3 b) 5 7 12 = 2 · 7 · 3 + 1 · 12 · 2 + 3 · 5 · 1 – 2 · 12 · 1 – 1 · 5 · 3 – 3 · 7 · 2 = 0 2 1 3

c)

5 3 1 2 0 4 = 5 · 0 · 9 + 3 · (–4) · 6 + 1 · 2 · 5 – 5 · 5 · (–4) – 3 · 2 · 9 – 1 · 0 · 6 = –16 6 5 9

3. Resuelve las ecuaciones que se indican: 5 x 2 a) 4 3 9 = 0 1 0 7

b)

x 1 1 1 0 x+2 1 =0 0 0 x

Desarrollamos los determinantes por la regla de Sarrus y después resolvemos las ecuaciones resultantes. Así: 5 x 2 a) 4 3 9 = –37x + 111. La solución de –37x + 111 = 0 es x = 3. 1 0 7 x 1 1 1 b) 0 x + 2 1 = x(x – 1) (x + 2). Las soluciones de x(x – 1) (x + 2) son los valores x = 0; x = 1; x = –2. 0 0 x

Y

Unidad 2

36

2. Desarrollo de un determinante por adjuntos

Ya conocemos procedimientos para calcular determinantes de orden 2 y de orden 3; a continuación vamos a ver un procedimiento que nos permite calcular determinantes de cualquier orden.

Menores complementarios, adjuntos y matriz adjunta Para la matriz

冢

1 2 3 A= 4 5 6 7 8 9

冣

2.1. Menor complementario

sus menores complementarios son:

冨

冨

α12 = 4 6 = –6 7 9

冨

冨

α21 = 2 3 = –6 8 9

冨

冨

冨

冨

α11 = 5 6 = –3 8 9 α13 = 4 5 = –3 7 8

冨

冨

冨

冨

冨

冨

冨

冨

α22 = 1 3 = –12 α23 = 1 2 = –6 7 9 7 8 α31 = 2 3 = –3 5 6

冨

α32 = 1 3 = –6 4 6

冨

α33 = 1 2 = –3 4 5 Los adjuntos de la matriz A son: A 11 = –3 A 21 = 6 A 31 = –3

A 12 = 6 A 22 = –12 A 32 = 6

A 13 = –3 A 23 = 6 A 33 = –3

que son los elementos de la matriz adjunta de la matriz A: Adj (A) =

冢 a

冢

–3 6 –3 6 –12 6 –3 6 –3

+

–

+

–

–

+

–

+

+

–

+

–

–

+

–

+

冣

• Para una matriz cuadrada de orden n, A = (aij), se llama menor complementario del elemento a ij , y lo representamos por αij , al determinante de la matriz cuadrada de orden n – 1 que resulta de suprimir la fila i y la columna j de la matriz A. En el margen hemos calculado los menores complementarios de todos los elementos de una matriz.

2.2. Adjunto y matriz adjunta • Para una matriz cuadrada de orden n, A = (ai j ), se llama adjunto del elemento a ij , y lo representamos por Aij , al menor complementario de a i j , anteponiendo el signo más o el signo menos según la suma de los subíndices, i + j, sea par o impar. Ai j = (–1)i + j · αij La matriz cuyos elementos son los adjuntos de los elementos de una matriz cuadrada A se llama matriz adjunta de A y se denota por Adj (A). En el margen vemos el cálculo de la matriz adjunta de una matriz dada.

2.3. Desarrollo de un determinante por adjuntos

冣

• El determinante de una matriz cuadrada de orden n es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea (fila o columna) cualquiera por sus adjuntos respectivos: • det (A) = ai 1 A i 1 + a i 2 Ai 2 + ... + ain Ain i+j

Signos de los adjuntos (–1) .

• det (A) = a 1j A1j + a 2j A 2j + ... + anj Anj

ACTIVIDADES RESUELTAS

冢

冣

1 −2 3 4. Dada la matriz A = 5 0 6 , calcula su determinante: a) Por la regla de Sarrus. b) Desarrollando por la primer fila. −1 2 −4 c) Desarrollando por la segunda columna. a) det (A) = 0 + 12 + 30 – 0 – 12 – 40 = –10 b) det ( A) = 1⋅

c) det ( A) = −( − 2) ⋅

0 6 5 6 5 0 − ( − 2) ⋅ + 3⋅ = − 12 − 28 + 30 0 = − 10 2 −4 −1 −4 −1 2

5 6 1 3 13 +0⋅ − 2⋅ = − 28 + 0 + 18 8 = − 10 −1 −4 −1 −4 56

Y

Determinantes

37

3. Propiedades de los determinantes. Método de Chío Consideramos A como una matriz cuadrada de orden n; y Fi y Cj una fila o columna cualquiera de esa matriz. El determinante de la matriz A vendrá dado por:

|A| = det (A) = det (F1, F2, ..., Fn) = det (C1, C2, ..., Cn) A continuación vemos las propiedades más importantes de los determinantes. 1. El determinante de una matriz cuadrada es igual al determinante de su matriz traspuesta: det (A) = det (At ) En virtud de esta propiedad en todas las propiedades de los determinantes hablaremos de líneas para referirnos a filas o columnas. 2. Si los elementos de una línea de una matriz se multiplican por un número, el determinante de la matriz queda multiplicado por dicho número: det (F1, F2, ..., k · Fi , ..., Fn) = k · det (F1, F2, ..., Fi , ..., Fn) det (C1, C2, ..., t · Cj, ..., Cn) = t · det (C1, C2, ..., Cj, ..., Cn) Esta propiedad permite sacar fuera del determinante el factor común de los elementos de una línea del mismo. Así por ejemplo:

¿ 1 2 3 ² A = 4 0 1 = 3² ² 0 9 15 ² t ÀA = A 1 4 0 ² At = 2 0 9 = 3 ² ² 3 1 15 Á²

Generalización de la propiedad 2 Si todas las líneas de una matriz de orden n están multiplicadas por un mismo número t, el determinante de la matriz queda multiplicado por t n. • |t · A| = t n · |A| • det (tF1, ..., tFn ) = t n · det (F1, ..., Fn ) • det (tC1, ..., tCn) = t n · det (C1, ..., Cn)

¿ ² ² À 180 = 10 (18) ² ² det (C1 , C2 , 10 C3 ) = 10 det (C1 , C2 , C3 )Á 1 2 10 1 2 1 4 0 20 = 10 4 0 2 0 3 30 0 3 3

3. Si los elementos de una línea de una matriz se pueden descomponer en dos sumandos, su determinante es igual a la suma de dos determinantes que tienen iguales todas las líneas excepto dicha línea cuyos sumandos pasan, respectivamente, a cada uno de los determinantes: det (F1, ..., Fi + F.i, ..., Fn) = det (F1, ..., Fi, ..., Fn) + det (F1, ..., F.i, ..., Fn) Así por ejemplo: 1 2+5 3 4 0 + 7 1 = 0 3+6 5

¿ ² + ² À12 = 1 + 13 ² ² det (C1 , C2 + C.2 , C3) = det (C1 , C2 , C3) + det (C1 , C.2 , C3)Á 1 2 3 4 0 1 0 3 5

1 5 3 4 7 1 0 6 5

4. El determinante del producto de dos matrices cuadradas es igual al producto de los determinantes de ambas matrices: det (A · B) = det (A) · det (B)

A · B = AB 1 2 0 0 11 2 5 1 3 0 4 1 2 0 = 16 3 17 0 6 5 405 26 12 25

冢冣冢冣冢

冣

A B = ( 6) ( 13) ¿² À A B = AB A B = 78 ²Á

Y

Unidad 2

38

5. Si en una matriz cuadrada se permutan dos líneas, su determinante cambia de signo: det (F1, ..., Fi, ..., F j, ..., Fn) = –det (F1, ..., Fj, ..., Fi, ..., Fn) ¿ ² ² À 6 = (+6) ² ² det (C1 , C2 , C3) = det (C3 , C2 , C1)Á 1 2 0 0 2 1 3 0 4 = 4 0 3 0 6 5 5 6 0

6. Si una matriz cuadrada tiene dos líneas iguales o proporcionales su determinante es cero.

1 2 3 4 5 6 =0 7 8 9 det ( F1, F2 , F1 + 2F2 ) = 0

1 4 0 2 0 3 =0 2 0 3

1 4 0 2 8 3 =0 2 8 8

det (F1 , F2 , F2 ) = 0

det (C1 , 4C1 , C3 ) = 0

7. Si los elementos de una línea de una matriz cuadrada son combinación lineal de las líneas restantes, es decir, son el resultado de sumar los elementos de otras líneas multiplicadas por números reales, su determinante es cero. En el cálculo de determinantes de orden superior a 3, la propiedad más utilizada es la que figura a continuación.

• Por regla de Sarrus: 1 3 2 1 2 1 = 10 2 1 1

• Por método de Chío: 1 3 2 1 2 1 2 1 1 = 1

F2 q F2 + F1 F3 q F3 2F1

1 3 2 = 0 5 3 = 0 5 5

5 3 = 10 5 5

8. Si a los elementos de una línea de una matriz cuadrada se les suma una combinación lineal de otras líneas, su determinante no varía: det (F1, F2, ..., Fi, ..., Fn) = det (F1, F2, ..., aF1 + bF2 + Fi, ..., Fn) Consecuencia inmediata de esta propiedad es que: Si una matriz tiene una línea de ceros su determinante es cero.

Método de Chío Este método, también conocido como hacer ceros, nos permite calcular determinantes de cualquier orden usando la propiedad 8 y el desarrollo de un determinante por adjuntos. • El método de Chío consiste en hacer cero el mayor número posible de elementos de una línea utilizando las propiedades de los determinantes y posteriormente desarrollar el determinante por los adjuntos de los elementos de esa línea en la que hemos hecho ceros. Este método simplifica el cálculo de determinantes de orden superior a 3. En el margen vemos el cálculo de un determinante de orden 3 aplicando la regla de Sarrus y aplicando el método de Chío.

Y

Determinantes

39

ACTIVIDADES RESUELTAS 5. Utilizando las propiedades de los determinantes y el valor del determinante de la matriz A, calcula el valor de los determinantes de las matrices B y C. x y z A = m p q = 4; t u s

p 2m q B = u 2t s ; y 2x z

C =

x + 3t y + 3u z + 3s t u s m p q

Calculamos el determinante de la matriz B: p 2m q B = u 2t s y 2x z

Propiedad 5 C1 n C2

2x y = 2m p 2t u

z q s

2m p = 2t u 2x y

q s z

Propiedad 5 F1 n F3

2x y = + 2t u 2m p

z s q

Propiedad 5 F2 n F3

=

x y z Propiedad 2 = 2 m p q = 2 A = 2 4 = 8 t u s

Calculamos el determinante de la matriz C: C =

x + 3t y + 3u z + 3s t u s m p q

=

Propiedad 3

x y z t u s m p q

=

x y z 3t 3u 3s t u s + t u s m p q m p q

F2 n F3 Propiedad 3

Propiedad 6

=

x y z =+ m p q = A =4 t u s

6. Halla, utilizando el método de Chío, los siguientes determinantes: 2 2 b) B = 1 1

1 2 3 a) A = 2 5 4 1 1 13

2 3 3 0

3 2 2 4

0 4 3 2

a) Hacemos ceros en los elementos de la primera columna: 1 2 3 A = 2 5 4 1 1 13

F2 q F2 – 2F1 = F3 q F3 + F1

1 2 3 1 10 =0 0 1 10 = 1 ( 1)1+1 1 10 0 1 10

b) Hacemos ceros en los elementos de la última fila: 2 2 B = 1 1

2 3 3 0

3 2 2 4

0 4 3 2

2 2 11 2 3 10 C3 q C3 – 4C1 = C4 q C4 – 2C1 1 3 6 1 0 0

4 2 11 4 0 4 +1 = 1 ( 1) 3 10 0 1 3 6 1 0

F1 q F1 + 4F3 =

14 35 0 14 35 = 35 = 3 10 0 = 1 ( 1)3+3 3 10 3 6 1

Y

Unidad 2

40

4. Cálculo de la matriz inversa por determinantes Matrices mágicas y sus inversas La matriz mágica de constante 15: A=

冢冣 4 9 2 3 5 7 8 1 6

4.1. Condición de inversibilidad Recordamos que la matriz inversa de una matriz cuadrada A de orden n es la matriz A –1 de orden n que verifica:

tiene por inversa: A1 =

1 360

冢

En la unidad didáctica anterior definimos matriz inversa y vimos dos procedimientos de cálculo de la misma. En este epígrafe veremos otro procedimiento muy práctico de cálculo de la matriz inversa utilizando determinantes.

23 52 53 38 8 22 37 68 7

冣

que es una matriz mágica de constante 1/15.

A · A –1 = A –1 · A = I Las matrices que tienen inversa se llaman matrices regulares y las que no tienen inversa matrices singulares. Antes de calcular la matriz inversa de una dada hemos de asegurarnos de que efectivamente existe una matriz inversa. Para ello utilizamos la siguiente propiedad: A 1 o ¿ À A |0 A es regular Á

4.2. Cálculo de la matriz inversa

Una vez que nos hemos asegurado de la existencia de la matriz inversa, calculamos esta mediante la siguiente expresión:

Propiedad La matriz adjunta de la traspuesta de una matriz A es igual a la traspuesta de la matriz adjunta de A:

A 1 =

t

1 1 t [ Adj (A)] = Adj (A t ) A A

Adj (At ) = [Adj (A)]

4.3. Propiedades Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa son: 1. Si existe A–1 es única. 2. (A–1)–1 = A 3. (A · B)–1 = B –1 · A –1 1 4. A 1 = A

ACTIVIDADES RESUELTAS 7. Demuestra las propiedades 3 y 4 anteriores. • Propiedad 3: Hemos de probar que (A · B) · (B–1 · A–1) = I. (A · B) · (B–1 · A–1) = A(B B–1) A–1 = A · I · A–1 = A · A–1 = I • Propiedad 4: A partir de la definición de matriz inversa y tomando determinantes obtenemos: A · A–1 = I ¡ | A · A–1| = | A| · | A–1| = | I | = 1 ¡ | A–1| =

1 A

Y

Determinantes

41

ACTIVIDADES RESUELTAS 8. Calcula las inversas de las siguientes matrices:

冢

2 7 1 3

A=

冢冣

1 0 0 B= 4 1 0 3 1 1

冣

C=

冢

1 2 3 5 0 6 3 6 9

冣

Nos aseguramos previamente de la existencia de las respectivas matrices inversas: • A = 1 | 0 ¡ A1

• C = 0 ¡ / C 1

• B = 1 | 0 ¡ B 1

La matriz C –1 no existe. Calculamos entonces A –1 y B –1:

冢冣冢 t

A1 =

B

9. Dada la matriz A = do m = 0.

冢

1

t 3 7 1 1 3 1 ¬® Adj ( A) ¼¾ = = 1 7 2 1 2 A

t 1 1 = ¬® Adj ( B ) ¼¾ = 1 B

冢

冣冢 t

冣

1 4 1 1 0 0 0 1 1 = 4 1 0 0 0 1 1 1 1

冣

冣

m 1 4 3 m 0 , averigua para qué valores de m la matriz no tiene inversa. Calcula la inversa cuan1 0 1

El determinante de A es det (A) = m 2 + 4m + 3 = (m + 3) (m + 1). Este determinante se anula cuando m = –1 y m = –3. Para estos valores, la matriz A no posee inversa. En el caso de que m = 0, la matriz A =

A 1 =

冢

冢

0 1 4 3 0 0 1 0 1

冣

t 1 1 ¬® Adj ( A) ¼¾ = 3 A

冣冢冣

1 0 2 10. Sean las matrices A = 0 1 2 , B = 2 3 1 lugar la matriz X.

1 3 2 1 2 1

tiene inversa, puesto que det (A) = 3, y esta es:

冢

0 3 0 1 4 1 0 12 3

冣冢 t

0 1 0 1 = 3 4 12 3 0 1 3

冢冣

冣

冢冣 1 3 4 1 3 1 0 3 0

=

0

4

1

1 2 y C = 0 1 . Resuelve la ecuación AX + B = C despejando en primer 1 2

Como | A| = –1 | 0 ¡ A–1. Esto nos permite despejar la matriz X. Operando: AX + B = C ¡ AX = C – B Para despejar la matriz X hemos de multiplicar en ambos miembros, y a la izquierda, por A–1: A–1 · AX = A–1 · (C – B) ¡ I · X = A–1 · (C – B) ¡ X = A–1 · (C – B) Ahora calculamos X, hallando A–1 y (C – B): X = A1 (C B ) =

冢

冣冢冣冢冣

5 6 2 0 1 4 5 2 2 0 = 2 3 1 3 3

6 1 4 2 3 1

Y

Unidad 2

42

5. Cálculo del rango de una matriz por determinantes En la unidad didáctica anterior definimos rango de una matriz como el número de filas o de columnas no nulas y linealmente independientes que tiene esa matriz y vimos el procedimiento de cálculo de este rango a partir de las operaciones elementales por filas. En este epígrafe vamos a ver otro procedimento para calcular el rango de una matriz mediante determinantes.

冢

© 1 2 3 ª 6 7 8 A=ª ª 11 12 13 ª « 16 17 18

4 9 14 19

冣

5¹ 10 ºº 15 º º 20 »

5.1. Menor de orden k • Se llama menor de orden k de una matriz Am × n al determinante de orden k que está formado por los elementos que pertenecen a k filas y a k columnas de la matriz A.

6 q menor de orden 1 3 4 5 8 9 10 q menor de orden 3

En el margen podemos ver menores de distintos órdenes para una matriz dada.

18 19 20

5.2. Rango de una matriz y propiedades

11 12 q menor de orde n 2 16 17

• El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo que podemos obtener de esta matriz. Las propiedades más características relativas al rango de una matriz son:

• Si el rango de una matriz es k, entonces todos los menores de orden superior a k son nulos.

Rango de matrices cuadradas En las matrices A cuadradas de orden n se verifica:

• Si el rango de una matriz es k, las k filas y k columnas que forman el menor de orden k no nulo son linealmente independientes y se llaman líneas principales.

• Si | A| | 0 ¡ rango (A) = n • Si | A| = 0 ¡ rango (A) < n

• Las líneas no principales de una matriz dependen linealmente de las líneas principales. En las siguientes actividades podemos ver el procedimiento que nos permite calcular el rango de una matriz mediante menores.

ACTIVIDADES RESUELTAS

冢

冣

© 2 2 0 ¹ ª º 11. Calcula el rango de la matriz A = ª 4 2 2 º . ª« 2 2 4º» Pueden encontrarse menores de órdenes 1, 2 y 3 distintos de cero. Así: 2 =2|0

2 2 = 12 | 0 4 2

2 2 0 4 2 2 = 48 | 0 2 2 4

El menor de mayor orden distinto de cero es el propio determinante de la matriz; por tanto, el rango de la matriz A es 3. Es decir, sus tres filas son linealmente independientes y sus tres columnas son linealmente independientes.

Y

Determinantes

43

ACTIVIDADES RESUELTAS

冢

冣

1 2 3 4 12. Calcula el rango de la matriz A = 2 4 6 9 : 3 6 9 1 a) Mediante operaciones elementales por filas.

b) Mediante menores.

a) El rango de la matriz A es como máximo 3, pues aunque tiene 4 columnas sólo tiene 3 filas. Transformamos la matriz con operaciones elementales por filas:

冢

冣

1 2 3 4 F q F2 2F1 2 4 6 9 F2 q 3 q F3 +3 F1 3 6 9 1

冢

冣

冢冣

1 2 3 4 123 4 F3 q F3 13 F2 0 0 0 1 q 0 0 0 1 0 0 0 13 000 0

El rango de esta matriz es 2, pues sólo tiene dos filas linealmente independientes. b) Calculamos el rango por menores: • Comenzamos viendo que hay un menor de orden 1 distinto de cero: |1| | 0, con lo cual, rango (A) v 1. • Utilizando los elementos de la segunda columna ordenamos el menor anterior para conseguir menores de orden 2:

冢

12 1 2 = =0 24 3 6

1 2 3 4 2 4 6 9 3 6 9 1

冣

冢

1 2 3 4 2 4 6 9 3 6 9 1

冣

La segunda columna depende linealmente de la primera, por lo cual se desecha en el cálculo del rango. • Haciendo lo mismo con la tercera columna observamos: 13 1 3 = =0 26 3 9 por lo que esta columna depende linealmente de la primera y también se desecha. • Repitiendo el proceso con la cuarta columna obtenemos un menor de orden 2 no nulo:

冢

14 |0 29

1 2 3 4 2 4 6 9 3 6 9 1

冣

Por lo tanto, rango (A) v 2. Como hemos desechado las columnas 2 y 3, el rango no puede ser 3, con lo que: rango (A) = 2.

13. Calcula el rango, según los valores de m, de la matriz A =

Al ser |1| | 0 y

冢

冣

1 2 1 1 m 3 . 5 1 m

11 = 2 | 0, el rango de la matriz es, al menos, 2, independientemente del parámetro m. 13

El determinante de la matriz A es: det (A) = m2 – 3m – 28 = (m + 4) (m – 7). Este determinante se anula cuando m = –4 y m = 7. Según los valores anteriores: • Si m es distinto de –4 y 7, el rango de la matriz A vale 3, pues | A| | 0. • Si m es –4, el rango de la matriz A es 2. • Si m es 7, el rango de la matriz A es 2.

Y

Unidad 2

44

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Aparcamiento En un aparcamiento hay estacionados coches negros, blancos y rojos. Algunos de ellos son todoterrenos. Hay dos veces más coches negros que blancos y dos veces más blancos que rojos. Hay tantos coches todeterreno blancos como rojos no todoterrenos; estos últimos son tres veces más numerosos que los todoterreno negros. Los coches blancos que no son todoterrenos son el triple que los todoterrenos negros. ¿Cuántos todoterrenos rojos hay en el aparcamiento?

FAMILIARIZACIÓN CON EL PROBLEMA El enunciado del problema incluye muchos datos y condiciones, por lo que nos es necesario leerlo más de una vez para comprender el mismo.

BÚSQUEDA DE ESTRATEGIAS Nos damos cuenta de que en este problema hemos de hacernos un diagrama o una tabla para ir incluyendo todas las condiciones que en él se explicitan.

LLEVAR ADELANTE LA ESTRATEGIA Hacemos una tabla. Llamamos x al número total de coches rojos, e y al número de coches rojos que no son todoterrenos, y con estas variables vamos rellenando la tabla imponiendo las condiciones del enunciado: Coches negros

Coches blancos

Coches rojos

Todoterrenos

y/3

y

x–y

No todoterrenos

4x – y/3

2x – y

y

TOTAL

4x

2x

x

De la última condición del enunciado obtenemos: «Coches blancos no todoterrenos = triple de negros todoterrenos» Es decir: 2x y = 3

y ¡ 2x = 2 y ¡ x = y 3

Por lo tanto, no hay ningún coche rojo todoterreno.

REVISAR EL PROCESO Y SACAR CONSECUENCIAS DE ÉL A la vista del resultado volvemos a leer el problema y observamos que se cumplen las condiciones impuestas en el mismo. Nos damos cuenta de que el haber hecho una tabla ha sido fundamental para poder manejar toda la información que daba el problema y para haber llegado a la solución.

Y

Determinantes

45

Fases de resolución de un problema En la resolución de problemas existe una regla de oro que debemos tener siempre presente: lo que importa es el camino. Es decir, no importa tanto llegar a obtener la solución del problema como el proceso seguido en el mismo, pues es el que realmente nos ayuda a potenciar nuestra forma de pensar. Este proceso lo podemos sistematizar en cuatro etapas o fases: • Fase de familiarización con el problema. El objetivo que pretendemos en esta fase es interiorizar el problema, es decir, ser capaces de escribir o contar el problema de forma más sencilla. • Fase de búsqueda de estrategias. En esta fase pretendemos encontrar varias estrategias que nos sirvan para abordar el problema. Algunas de estas pueden ser: simplificar o particularizar, ensayo y error, escoger un lenguaje o notación adecuados, trabajar marcha atrás, etc. • Fase de llevar adelante la estrategia. En esta fase hemos de poner en práctica la estrategia elegida, con tesón, orden y confianza. • Fase de revisar el proceso y sacar conclusiones de él. Esta fase consiste en llevar a cabo una visión retrospectiva y crítica del proceso que hemos seguido en la resolución del problema, así como en interrogarnos sobre lo que pasaría si variásemos los datos del problema, si se podría generalizar, etc. En la resolución del problema propuesto en la página anterior, el haber seguido con constancia las cuatro fases o etapas nos ha llevado a obtener la solución del mismo. En la revisión del proceso observamos que para resolver problemas con mucha información es útil la estrategia de organizar esta mediante un diagrama, tabla, etc., que nos permite tener al alcance todos los datos del problema.

a

El poeta, de Pablo Picasso.

A C T I V I D A D E S 䊏 Practica las fases anteriores en la resolución de los siguientes problemas: 1. Parejas. Tres amigos Juan, José y Jesús van de compras con sus parejas María, Merche y Marina, aunque no necesariamente en ese orden. Cada uno de los seis compra uno o varios objetos y paga por cada objeto tantos euros como objetos compra. José compra 23 objetos más que María y Juan 11 más que Merche. Cada hombre gastó 63 euros más que su pareja. ¿Cuál es la pareja de cada uno? 2. Pirámides de bolas. Un mago apila bolas, todas iguales, para formar dos pirámides tetraédricas. De pronto se da cuenta de que juntando las bolas de ambas pirámides, puede formar una sola pirámide tetraédrica mayor. ¿Cuál es el mínimo número de bolas de las que tendría que disponer el mago inicialmente?

Y

Unidad 2

46

NUEVAS TECNOLOGÍAS Matemáticas de Microsoft es un programa informático que permite operar con matrices, calcular determinantes y resolver problemas de álgebra lineal.

Matrices y Determinantes con Matemáticas de Microsoft Matemáticas de Microsoft es un programa fácil de manejar. Al abrirlo aparece una ventana con la barra de menús, el teclado de la calculadora, la Hoja de cálculo y la ventana de Herramientas.

CREACIÓN DE UNA MATRIZ Para crear una matriz hemos de seguir los siguientes pasos: 1. Desplegamos el menú de «Álgebra lineal» en la Calculadora y pulsamos el botón . Aparece una ventana en la que introducimos el número de filas y columnas de la matriz. 2. En la ventana de entrada de datos aparece la matriz para introducir sus elementos:

DETERMINANTES Y OPERACIONES CON MATRICES Para operar con matrices basta con crearlas y añadir las operaciones que queremos hacer. Dentro del menú de «Álgebra lineal», vemos los distintos botones que nos permiten, por ejemplo, hallar la traspuesta de una matriz, el determinante y la matriz inversa. Además podemos ver los pasos de resolución en cada una de las operaciones que realicemos. En la imagen aparecen algunas de estas operaciones:

PRACTICA con Matemáticas de Microsoft la resolución de las actividades números 11, 13 y 22.

Y

Determinantes

47

EN RESUMEN orden 2

desarrollo según el orden de la matriz

orden 3 otros órdenes

a11 a12 a21 a22

= a11a22 a12 a21

REGLA DE SARRUS DESARROLLOS POR LOS ELEMENTOS DE UNA LÍNEA

det (A) = det (At )

DETERMINANTE de una matriz A = (aij)

algunas propiedades

det (F1, F2, ..., k · Fi , ..., Fn) = = k · det (F1, F2, ..., Fi , ..., Fn) det (F1, ..., Fi + F .i, ..., Fn) = = det (F1, ..., Fi, ..., Fn) + det (F1, ..., F ’i, ..., Fn)

aplicaciones

det (F1, ..., Fi, ..., F j, ..., Fn) = = –det (F1, ..., Fj, ..., Fi, ..., Fn)

MATRIZ INVERSA

RANGO DE UNA MATRIZ

det (F1, ..., 0, ..., Fn) = 0 det (F1, ..., Fi, ..., F i, ..., Fn) = 0

definición

A1 =

(

1 Adj ( A) det ( A)

definición

)

t

det (A · B) = det (A) · det (B)

EL ORDEN DEL MAYOR MENOR NO NULO

AMPLÍA CON… El misterio de las cifras (Editorial Robinbook), de Marc-Alain Ouaknin, nos presenta un recorrido a través de la historia de las cifras, los números y sus relaciones. Debemos tener en cuenta que nuestro sistema de numeración decimal, para nosotros tan conocido, simple y natural, es el resultado de siglos de evolución; en ese tiempo, las diversas culturas han ido moldeando, no sin grandes esfuerzos, sus diferentes sistemas de representación, hasta llegar al que ahora disfrutamos y que ha posibilitado el actual desarrollo científico. En este trabajo de investigación sobre las cifras, el autor incluye también aspectos esotéricos o mágicos que sin duda acompañaron a los números en su evolución.

Y

Unidad 2

48

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD RESUELTAS a+1 a a a a a+1 a a . Calcula el valor del determinante a a a+1 a a a a a+1 Sumamos todas las columnas y colocamos el resultado en la primera columna. Restamos de todas las filas la primera y después lo desarrollamos por la primera columna, obteniendo: a +1 a a a 4a + 1 a a a 4a + 1 a a +1 a a 4a + 1 a + 1 a a 0 = = a a a +1 a 4a + 1 a a + 1 a 0 a a a a +1 4a + 1 a a a +1 0

Resuelve la ecuación det (A – xI) = 0, siendo A = La ecuación a resolver es:

冢冣 1 0 0 2 2 4 1 1 2

a 1 0 0

a 0 1 0

a 0 = 4a + 1 0 1

, I la matriz unidad de dimensión 3, y x la incógnita.

1 x 0 0 2 2 x 4 = 0 1 1 2 x

Desarrollando el determinante, obtenemos la ecuación (1 – x) [(2 – x)2 – 4] = 0. Operamos y obtenemos –x3 + 5x2 – 4x = 0; y factorizando: x(x – 1) (x – 4) = 0. Por tanto, las soluciones de la ecuación son: x = 0, x = 1 y x = 4.

Sea A =

冢冣

a 1 0 0 1 1 . Halla el valor o valores de a para los que la matriz A no tiene inversa. Halla A–1 para a = 2. 1 a 0

Sabemos que una matriz no tiene inversa si su determinante es nulo. El determinante de la matriz A es det A = 1 – a2. Dicho determinante se anula para a = 1 y a = –1. Por tanto, la matriz A no tiene inversa si a vale 1 o –1. Para los otros valores de a existe la matriz inversa de A. Si a = 2, la matriz es A =

At =

冢冣

2 1 0 0 1 1 . Ahora calculamos A–1 a través de las siguientes matrices: 1 2 0

冢冣

20 1 1 1 2 q Adj ( At ) = 0 10

冢

冣

2 0 1 1 0 2 q A1 1 3 2

冢冣

2 1 0 3 3 1 ( Adj ( At )) = 31 0 32 = dett A 1 2 1 3 3

1 1 0 m m + 1 m . Determina los valores de m que anulan el determinante 2m 2m + 1 2m + 1 Desarrollando el determinante por la regla de Sarrus y simplificando, obtenemos 3m + 1. La expresión anterior, y por tanto 1 el determinante, se anula para m = . 3

Y

Determinantes

49

Sea A una matriz cuadrada tal que A3 = I (matriz identidad). ¿Cuánto vale det A? Si An = I, ¿cuánto vale det A? Utilizando la propiedad de los determinantes relativa a la multiplicación de matrices, det (A · B) = det (A) · det (B), obtenemos: 3

3

• det (A3) = det (A) · det (A) · det (A) = (det (A)) , y como det (A3) = det I = 1, (det (A)) = 1 y det (A) = 1. n

• En el caso An = I, (det (A)) = 1 y det (A) es 1 o –1 si n es par y únicamente 1 si n es impar.

Determina, según los valores de a, el rango de las siguientes matrices:

冢冣

1 2 3 a) A = 7 1 1 a 2 3

b) B =

冢

3 1 4 6 1 1 4 4 1 0 4 a

冣

Calculamos el rango de ambas matrices utilizando menores complementarios: a) Al ser

12 = 13 | 0, el rango de A es, al menos, 2. 7 1

El determinante de A es det (A) = –a + 1. Si a vale 1, el rango de A será 2. Para cualquier otro valor de a, el rango de la matriz A es 3.

b) Como

31 = 2 | 0, el rango de B es, al menos, 2. 11

Dos posibles menores de orden 3 son: 3 1 4 1 1 4 =0 1 0 4

3 16 1 1 4 = 2a 2 10 a

Si a vale 1, el rango de B es 2 y para cualquier otro valor de a, el rango de la matriz B es 3.

Halla el valor que debe tener x para que la matriz A – x · I sea la inversa de de orden 3 y A =

冢冣

1 · (A – I), siendo I la matriz unidad x

1 1 1 1 1 1 . 1 1 1

La matriz A – x · I es la inversa de

1 · (A – I) si se cumple: x 1 (A – x · I) · · (A – I) = I ¡ (A – x · I) (A – I) = x · I x

Y operando obtenemos: A2 – A · I – x · I · A + x · I · I = x · I ¡ A2 – A = x · A En esta última igualdad no podemos multiplicar por A–1, pues | A| = 0, es decir, no existe A–1. Operando y despejando x tenemos:

冢冣冢冣冢冣 3 3 3 3 3 3 3 3 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1

=

x x x x x x x x x

¡ x=2

Y

Unidad 2

50

ACTIVIDADES FINALES EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1. Calcula los determinantes de las siguientes matrices:

冢冣

© 1 2¹ a) ª « 3 4º»

冢冣

© 2 3¹ b) ª « 4 5 º»

冢冣

© a 5¹ c) ª « 5 a º»

冢

冣

冢冣

© a b¹ e) ª « b a º»

© 3 4¹ d) ª « 2 5º»

f)

冢

冣

© m2 m¹ ª º « m 1»

2. Calcula los determinantes de las matrices que siguen, utilizando la regla de Sarrus:

冢冣

© 1 1 0¹ a) ªª 1 0 1ºº ª« 0 1 1º»

冢冣

© 1 0 1¹ b) ªª 0 1 0ºº ª« 3 4 5º»

冢冣冢冣

© 1 2 3¹ c) ªª 0 3 4ºº ª« 4 1 5 º»

冢冣冢

© a 1 1¹ d) ªª 1 a 1ºº ª« 1 1 aº»

© m 1 3¹ e) ªª 1 1 1ºº ª« 5 3 m º»

冣

© m +1 1 0 ¹ f) ªª 0 m +1 1 ºº ª« 1 0 m +1º»

a b c 3. Si 3 0 2 = 5, calcula, sin desarrollar, los siguientes determinantes: 1 1 1

a)

2a 2b 2c 3 0 1 2 1 1 1

a b c b) 3a + 3 3b 3c + 2 a +1 b +1 c +1

c)

a 1 b 1 c 1 4 1 3 1 1 1

4. Sea A una matriz cuyas filas son F1, F2, F3, y su determinante vale 4. ¿Cuánto vale el determinante de la matriz B cuyas filas son F3, F1 – 2F2, – F1? 5. Sea A una matriz cuadrada de orden 3 y sea |A| = 4. Halla: a) | I · A |

b) | A2|

c) | 2 · A |

d) | A–1|

6. Demuestra, mediante las propiedades de los determinantes, las siguientes igualdades:

a)

x z +t y x y +t z = 0 x y+z t

bc 2 / a a b) ac 2 /b b = 0 ab 2 /c c

7. Comprueba que el determinante A1 vale 0 y que el determinante A2 es divisible por 5, sin calcularlos, a partir de las propiedades de los determinantes, siendo: 8 25 40 2 3 2 A1 = 5 0 27 0

5 2 1 A2 = 4 7 6 6 3 9

8. Prueba, sin desarrollar, que los determinantes siguientes son múltiplos de 11: 12 1 a) 1 9 8 506

1 2 b) 2 1

9 13 6 18 213 5 19

c)

3 9 2 4

0 7 3 0

1 2 5 5

4 4 4 9

Y

Determinantes

51

9. Sean las matrices: A=

冢

冢

1 0 C = 1 0

冣

2 1 0 B = 1 1 1 1 0 1

冢冣 1 1 3 0

1 1 1 0

冣

1 1 2 1 0 1 0 1

a) Halla los menores complementarios de los elementos a11, a23, a32 y a41 en ellas, cuando existan. b) Halla, en los casos en que existan, A11, A23, A32 y A41. 10. Halla las matrices adjuntas de las matrices: a)

冢冣 2 4 1 5

冢

b)

1 2 3 3 5 1 5 0 4

冣

c)

冢冣 1 2 3 1 1 2 1 3 4

11. Resuelve los siguientes determinantes por el método de Chío: 1 1 1 2 1 1 0 2 1

a)

2 3 1 2 0 0 2 1

b)

1 2 0 1

1 1 3 2

c)

1 1 1 1

1 1 2 3 4 9 8 27

c)

1 0 0 x

0 1 x 0

1 4 16 64

12. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a)

x 2 2 2 x 2 =0 2 2 x

1 1 1 b) 2 x x +1 =0 4 x 2 x 2 + 2x + 1

0 x 1 0

x 0 =0 0 1

13. Calcula las matrices inversas de las siguientes matrices: a)

冢

冣

1 2 3 4

冢

冣

0 3 1 2

b)

c)

冢冣 4 2 2 1

d)

冢

2 4 5

冣冢冣

1 4 1 2 5 0

e)

1 2 2 1 1 1 1 0 1

f)

冢

冣

1 2 2 0 2 3 0 3 2

14. Determina, según los valores de m, el rango de las siguientes matrices:

a)

冢冣 1 2 3 7 1 1 m 1 2

b)

冢

m 1 m 1 m m m m 1

冣

c)

冢冣 1 1 1 1

1 2 2 2

1 2 3 3

1 2 3 m

d)

冢

1 1 1 1 1 2 3 2

0 1 4 4

2 3 2 m

冣

15. Si A es una matriz de orden n tal que det (A) = 2, calcula det (A–1), det (5A) y det (2A–1).

16. Dada la matriz A =

冢

冣

1 1 1 1 1 0 a) Calcula A–1. b) Resuelve la ecuación det (A–1 – xI) = 0. 1 0 1

17. ¿Para qué valores del parámetro no es invertible la matriz A =

冢冣

4 1 7 1 3 2 ? a 2 5

Y

Unidad 2

52

ACTIVIDADES FINALES ACCESO A LA UNIVERSIDAD 18. Calcula el valor de los determinantes siguientes:

a)

3 x x x

x 3 x x

x x 3 x

x x x 3

1 1 0 0

b)

19. Dadas la matrices A = a) Halla A2.

冢

1 0 1 1

0 0 1 0

0 1 0 1

c)

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 0 3

1 0 0 1

d)

0 a b c

a 0 c b

b c 0 a

c b a 0

冣冢冣

0 0 1 0 1 0 y B= 1 0 0

0 0 1 0 1 0 : 1 0 0

b) Resuelve la ecuación A2 · X + A · B = B.

20. Dada la matriz A =

冢冣

1 0 1 k 1 1 : k 1 k

a) Calcula los valores de k para los cuales no existe la inversa de A. b) Para k = 3, calcula la inversa de A. 21. De una matriz X cuadrada se sabe que | X | = 3 y | 2 · X | = 48. Halla el orden de la matriz X y | X –1| .

22. Sea la matriz A =

冢冣

0 0 1 1 0 0 : 0 1 0

a) Comprueba que A–1 = At. b) Utilizando el resultado anterior, calcula (At · A)1999. 23. Resuelve la ecuación matricial A · X · B = C, siendo A=

冢01 01冣

B=

冢21 53冣

C =

冢01 01冣

24. Sean las matrices A y B de orden 4 con | A| = 3 y | B | = 2. Calcula | A–1| ; | B t · A| ; | (A · B–1)t | . 2 a 5 25. El determinante 4 a2 13 vale cero para a = 3. Comprueba esta afirmación sin desarrollarlo e indicando las propiedades 8 a3 35 de los determinantes que apliques.

26. Halla el rango de la matriz

冢

冣

1 a2 1 a 1 2a2 2 2a 1 según sea el valor del parámetro a. Halla, si existe, la matriz inversa de A 1 0 a2

en los casos en que a = 0 y a = 1.

Y

Determinantes

53

AUTOEVALUACIÓN 1. Las soluciones de la ecuación a) 1 y 2

x2 2 = 10 son: 3 4 b) –2 y 2

c) –1 y –2

m 1 1 2. El valor del determinante 1 m 1 es: 1 1 m a) m3 + 3m – 2 b) m2 + 2m – 3

c) m3 – 3m + 2

1 1 1 3. Las soluciones de la ecuación 3 x x 1 = 0 son: 9 x 2 ( x 1)2 a) 3 y 4

b) –3 y –4

c) 0 y 2

4. Dadas las matrices A y B de orden 3 con det (A) = 4 y det (B) = 6, el valor de det [(A–1 · B 2)t ] es: a) –6

b) 9

5. La matriz adjunta de la matriz a)

冢24 31冣

b)

6. La matriz inversa de la matriz

a)

冢

5 2 2 1 0 1 1 1 0

冣

冢冣 1 2 2 1 2 3 1 3 2

冢31 42冣 y

B=

冢43 32冣

冢42 13冣

冢

a) 1

冢冣

B=

冢11

1 0 2 1

1 1 a 1 a 1 , el valor de a para que el rango sea 2 es: a 1 1 b) –1

冢

1 1 2 3 10. El rango de la matriz 3 2 1 1 5 5 4 4 a) 1

冣

冢 42 31 冣

c)

冢

冣

5 2 2 1 0 1 1 1 0

冢42 31冣 , la solución de la ecuación matricial B + X · A = I es: 3 / 2 3 / 2 3 / 2 3 / 2 b) 冢 c) 冢冣 4 2 4 2 冣冢21 11冣 , 1 1 b) 冢 2 1冣

冢21 11 01冣

9. Dada la matriz

冣

5 1 1 2 0 1 2 1 0

8. La matriz X que cumple AX + B = C, siendo A = a)

c)

es:

b)

7. Dadas las matrices A = a)

冢13 42冣 es:

c) –24

冣

冢01 11 31冣 es: 1 1 1 c) 冢 2 1 10 冣

y C =

c) –2

es: b) 2

c) 3

Z

u3 unidad 3 contenidos

1. Sistemas de ecuaciones lineales. Clases

2. Teorema de Rouché-Fröbenius 3. Interpretación geométrica de los sistemas de ecuaciones lineales. 4. Métodos de resolución de sistemas. Regla de Cramer 5. Sistemas homogéneos 6. Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones lineales

55

El estudio y la resolución de ecuaciones lineales aparecen en los documentos más antiguos de los que tenemos noticias: papiros egipcios de Rhind (1650 a.C.) y Moscú (1850 a.C.); tablillas babilónicas (600 a.C. a 300 d.C.); texto chino Nueve capítulos de arte matemático (siglo III a.C.); textos de Diofanto de Alejandría (siglo III d.C.), y textos hindúes (siglo III d.C. a siglo VII d.C.). Una parte de este legado llegó a Europa de la mano de los árabes, que lo enriquecieron con aportaciones propias. En Occidente fueron François Viète (1540-1603) y Leonhard Euler (17071783), entre otros, los que iniciaron el proceso de escribir sistemas y resolverlos tal como lo hacemos nosotros. En el estudio de un sistema de ecuaciones lineales habrá que responder a una primera cuestión: ¿el sistema tiene solución? La respuesta se obtiene, como aplicación de las matrices y los determinantes, mediante el llamado teorema de Rouché-Fröbenius. En caso afirmativo se podrán encontrar las soluciones con los métodos conocidos o con la regla de Cramer. El estudio de la existencia de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales encuentra aplicación en el estudio de la posición de rectas en el plano y de rectas y planos en el espacio. Los sistemas de ecuaciones lineales son las herramientas perfectas para plantear y resolver problemas en muy diversos ámbitos, como en Arquitectura e Ingeniería, por ejemplo, en la construcción de los grandes laboratorios y naves espaciales.

cuestiones iniciales 1. Resuelve los sistemas de ecuaciones lineales siguientes: ¯ x + 2 y = 10 a) ° ²±2x + 5 y = 23

¯3 x + 2 y + z = 5 ² b) °2x + 3 y + z = 1 ²2x + y + 3z = 11 ±

2. En una fiesta cierta parte de los presentes está jugando a las cartas, otra parte está charlando y el resto, que es la cuarta parte, está bailando. Al cabo de un rato, cuatro cambian el juego por el baile, uno deja la charla y se pone a jugar, y dos dejan el baile y se ponen a charlar. Tras estos cambios hay igual número de personas en cada una de las actividades. ¿Cuántas personas había en la reunión?

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Unidad 3

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1. Sistemas de ecuaciones lineales. Clases Comenzamos revisando los conceptos que se van a utilizar en esta unidad didáctica. En el margen se recuerdan algunos de los conceptos asociados a una ecuación lineal o de primer grado. Veamos ahora el concepto de sistema de ecuaciones lineales.

Conceptos asociados a una ecuación lineal Se llama ecuación lineal o de primer grado a una ecuación de la forma: a1 x1 + a 2 x 2 + … + an xn = b En la ecuación anterior podemos encontrar los elementos siguientes: • Incógnitas. Son los términos x 1, x 2, …, x n que deben ser calculados. • Coeficientes de las incógnitas. Son los números reales a 1, a2, …, an . En cada ecuación son fijos. • Término independiente. Es el número real b y en cada ecuación es un número fijo. Además, no conviene olvidar que: • Solución de una ecuación, son los valores x 1 = n 1, x 2 = n 2, …, x n = nn de las incógnitas que transforman la igualdad de la ecuación en una identidad numérica. • Resolver una ecuación es encontrar las soluciones de la misma. • Comprobar una ecuación es el procedimiento que utilizamos al sustituir las soluciones en las incógnitas y ver si la igualdad que resulta es cierta. Es conveniente realizar la comprobación de todas las ecuaciones y sistemas de ecuaciones que se resuelvan.

• Se llama sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas al conjunto formado por m ecuaciones lineales con las mismas n incógnitas en cada una de ellas. Podemos escribirlo en la forma: ¯ a11x1 + a12 x 2 + … + a1n x n = ²² a x + a x + … + a x = 21 1 22 2 2n n ° … … … … ² + + … + a x a x a ²± m1 1 m2 2 mn x n =

b1 b2 … bm

En el sistema anterior llamamos: • coeficientes del sistema a los números reales aij . • términos independientes a los números reales bi. • incógnitas a los términos x1, x2, …, xn que deben ser calculados. Al resolver un sistema intentamos encontrar las posibles soluciones del mismo. Estas son los valores x1 = n1, x2 = n2, …, xn = nn de las incógnitas que convierten las igualdades del sistema en identidades numéricas. Además, decimos que dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

1.1. Clases de sistemas de ecuaciones lineales Los sistemas de ecuaciones lineales suelen clasificarse atendiendo a ciertos criterios, como el valor de los términos independientes o la solución del sistema. En función del valor de los términos independientes, los sistemas de ecuaciones se clasifican en: • Homogéneos, si todos los términos independientes son nulos. • No homogéneos, si alguno de los términos independientes es distinto de cero. Según su solución, los sistemas pueden ser: • Incompatibles, si no tienen solución. • Compatibles, si tienen solución. Estos, a su vez, pueden ser: — Determinados, cuando la solución es única. — Indeterminados, cuando poseen infinitas soluciones.

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Sistemas de ecuaciones lineales

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1.2. Expresiones de los sistemas de ecuaciones lineales En el estudio y posterior resolución de un sistema de ecuaciones lineales es conveniente adoptar notaciones que simplifiquen la escritura. Además, estas permiten economizar esfuerzo en las operaciones a realizar. Veamos algunas de estas expresiones haciendo uso de las matrices. Expresión matricial • El sistema anterior de m ecuaciones lineales con n incógnitas se puede escribir matricialmente de la siguiente forma:

冢

冣冢冣冢冣

a11 a12 … a1n a 21 a 22 … a 2 n … … … … a m1 a m 2 … a mn matriz priincipal o matriz de los coeficientes

b1 x1 b2 x2 = … … bm xn

matriz de las incógnitas

mattriz de los términos independientes

A·X=B Por ejemplo: ¯x y + 2z = 0 ²²2x z = 0 q °2 y = 4 ² ²±y 2z = 5

冢冣冢冣冢冣 1 1 2 2 0 1 0 2 0 0 1 2

x y = z

0 0 4 5

En la práctica relativa a la resolución de sistemas es muy útil la matriz ampliada cuyos elementos son los coeficientes de las incógnitas y la columna formada por los términos independientes: a11 a A* = 21 … a m1

a12 a 22 … a m2

… … … …

a1n a2n … a mn

b1 b2 … bm

a

Los sistemas de ecuaciones lineales se usan en la resolución de problemas relacionadas con rectas y planos.

Expresión vectorial • Llamando A1, A2, ..., An a las columnas de la matriz de los coeficientes, el sistema anterior de m ecuaciones lineales con n incógnitas puede escribirse de la siguiente forma:

冢冣冢冣冢冣冢冣 a11 a12 a 21 a 22 x + x +…+ … 1 … 2 a m1 a m2

a1n b1 a2n b2 x = … n … a mn bm

A1 · x 1 + A 2 · x 2 + ... + An · xn = B El sistema del ejemplo anterior lo podemos expresar en forma vectorial así:

冢冣冢冣冢冣冢冣 1 0 2 1 1 0 0 2 x+ y+ z = 4 0 2 0 5 2 1 0

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2. Teorema de Rouché-Fröbenius En el estudio de un sistema de ecuaciones lineales, la primera cuestión a la que hay que responder es: ¿el sistema tiene solución? La respuesta afirmativa dará paso a la resolución de dicho sistema por uno de los métodos que veremos con posterioridad.

Eugène Rouché (1832-1910) Matemático francés que trabajó sobre aspectos diversos: análisis funcional, teoría de ecuaciones y geometría descriptiva.

Si la respuesta es negativa, nuestro trabajo con el sistema de ecuaciones habrá concluido. Sea el sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas: ⎧ a11x1 + a12 x 2 + … + a1n x n = ⎪ ⎪ a 21x1 + a 22 x 2 + … + a 2 n x n = ⎨ … … … ⎪ … ⎪⎩a m1x1 + a m 2 x 2 + … + a mn x n =

Fue durante muchos años profesor de geometría descriptiva en el Conservatorio de Artes y Oficios de la Escuela Central de París.

b1 b2 … bm

cuyas matrices asociadas, A matriz principal o de los coeficientes y A* matriz ampliada, son:

冢

a11 a 21 A= … a m1

F. Georg Fröbenius (1849-1917)

a12 a 22 … a m2

… … … …

a1n a2n … a mn

冣

冢

a11 a 21 A* = … a m1

a12 a 22 … a m2

… … … …

a1n a2n … a mn

冣

b1 b2 … bm

La discusión de este sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas o el estudio de la existencia o no de soluciones se hace mediante el teorema de Rouché-Fröbenius. • Teorema de Rouché-Fröbenius Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es compatible (tiene solución) si, y sólo si, el rango de la matriz de los coeficientes, A, coincide con el rango de la matriz ampliada, A*. Simbólicamente: El sistema es compatible ⇔ rango (A) = rango (A*)

2.1. Consecuencias del teorema Matemático alemán cuyos principales trabajos están relacionados con el estudio de estructuras algebraicas: grupos y cuerpos; y con la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Vivió en la época de mayor esplendor de la matemática alemana. Fue discípulo de Karl Weierstrass y amigo de Leopold Kronecker. Trabajó desde el año 1882 hasta el final de sus días como profesor de la Universidad de Berlín.

En la práctica discutimos sistemas de ecuaciones lineales utilizando las consecuencias que se deducen del teorema anterior. • Consecuencias del teorema de Rouché-Fröbenius: • Si rango (A) ≠ rango (A*), entonces el sistema es incompatible. • Si rango (A) = rango (A*) = r, entonces el sistema es compatible: – si r = n, entonces el sistema es determinado; – si r < n, entonces el sistema es indeterminado; (siendo n el número de incógnitas del sistema).

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2.2. Sistemas de ecuaciones lineales cuadrados En los sistemas de ecuaciones lineales cuadrados, es decir, sistemas con igual número de ecuaciones que de incógnitas, se verifica: A | 0 ¡ rango (A) = rango (A*) = número de incógnitaas Es decir, el sistema es compatible determinado. Esta es la consecuencia del teorema anterior para el caso particular de que el sistema sea cuadrado. • Un sistema cuadrado es compatible determinado si A | 0 .

ACTIVIDADES RESUELTAS ¯2 x – 5 y + 4 z + u = – 3 ² 1. Estudia la existencia de soluciones del sistema siguiente: ° x – 2 y + z – u = 5 ² x – 4 y + 6z + 2u = 10 ± 2 5 4 Como 1 2 1 = 1 | 0, los rangos de la matriz de los coeficientes, A, y de la matriz ampliada, A*, valen 3, lo que hace que el 1 4 6 sistema sea compatible. Al tener cuatro incógnitas y valer el rango 3, el sistema es indeterminado. ¯ax + y = a2 2. Discute el siguiente sistema en función del parámetro a: ²° ²± x + ay = 1 Es un sistema cuadrado. El determinante de la matriz de los coeficientes A =

冢 a1 1a冣 es det A = a

2

– 1 = ( a – 1) ( a + 1).

Los posibles valores del anterior determinante nos llevan a la siguiente conclusión: • Si a | 1 y a | –1, entonces rg (A) = 2 y rg (A*) = 2. El sistema es compatible determinado. • Si a = 1, entonces rg (A) = 1 y rg (A*) = 1. El sistema es compatible indeterminado. • Si a = –1, entonces rg (A) = 1 y rg (A*) = 2. El sistema es incompatible.

3. Estudia la existencia de soluciones del siguiente sistema de ecuaciones lineales dependientes del parámetro a: ¯2 x + y – z = 0 ² °ax – y – z = a – 1 ²3 x – 2az = a – 1 ± Es un sistema cuadrado. El determinante de la matriz de los coeficientes A =

冢

2 1 1 a 1 1 3 0 2a

冣

es:

det (A) = 2a2 + 4a – 6 = 2(a – 1) (a + 3) La posible anulación del determinante anterior conduce a la discusión siguiente: • Si a | –3 y a | 1, entonces rg (A) = 3 y rg (A*) = 3. El sistema es compatible determinado. • Si a = –3, entonces rg (A) = 2 y rg (A*) = 3. El sistema es incompatible. • Si a = 1, entonces rg (A) = 2 y rg (A*) = 2. El sistema es compatible indeterminado.

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Unidad 3

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3. Interpretación geométrica de los sistemas de ecuaciones lineales Y

3.1. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

2x – y = 1

3

2x – y = 3

Son sistemas de la forma:

2 1 –3 –2 –1 –1 –2

1

2

y = –2

–3

x = –2

X

3

P

x+y=0

¯ a1x + b1y = c1 ° ±a 2 x + b2 y = c2 en los que cada una de las ecuaciones representa una recta en el plano. La discusión de este tipo de sistemas, mediante el teorema de Rouché-Fröbenius, nos conduce a la interpretación geométrica del mismo, es decir, al estudio de las posiciones relativas de dos rectas en el plano.

Rectas que se cortan en el punto P (2, –2): ¯x + y = 0 ° ±² y = 2

Las matrices asociadas a estos sistemas son: a b A = 1 1 a 2 b2

冢冣

A* =

冢a

冣

a1 b1 c1 2 b2 c2

Utilizando el teorema de Rouché-Fröbenius podemos considerar los siguientes casos, según sea el rango de la matriz de los coeficientes (A) y de la matriz ampliada (A*):

Rectas paralelas: ¯2 x y = 1 ° ±²2x y = 3

Rango A = Rango A* = 2

Rango A = 1; Rango A* = 2

Rango A = Rango A* = 1

• Sistema compatible determinado; con una única solución.

• Sistema incompatible; no tiene solución.

• Sistema compatible indeterminado; con infinitas soluciones.

• La rectas son paralelas.

• Las rectas se cortan en el punto P solución del sistema.

r1

• Las rectas son coincidentes. r1

r2

r2 r1

r2

P

ACTIVIDADES RESUELTAS 4. Dada la ecuación 3x + 2y = 5, añade otra ecuación que forme con ella un sistema: a) Incompatible. b) Compatible determinado.

¯ a) El sistema °3 x + 2 y = 5 es incompatible. ±6 x + 4 y = 3

¯ b) El sistema °3 x + 2 y = 5 es compatible determinado con solución x = 1, y = 1. ± x 2y = 1

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3.2. Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas

U2

U1

Son sistemas de la forma:

Planos coincidentes

¯ a1x + b1x + c1x = d1 ² °a 2 x + b2 x + c2 x = d 2 ²a x + b x + c x = d 3 3 3 ± 3

U1 U2

en los que cada una de las ecuaciones que los forman representa un plano en el espacio.

Planos paralelos

La discusión de este tipo de sistemas, mediante el teorema de Rouché-Fröbenius, nos conduce a la interpretación geométrica del mismo, es decir, al estudio de las posiciones relativas de tres planos en el espacio.

U1 U2

Las matrices asociadas a estos sistemas son:

Planos secantes

冢冣

冢

a1 b1 c1 A = a 2 b2 c2 a 3 b3 c3

a

Posiciones relativas de dos planos en el espacio.

冣

a1 b1 c1 d1 A* = a 2 b 2 c 2 d 2 a 3 b3 c3 d 3

Utilizando el teorema de Rouché-Fröbenius podemos considerar los siguientes casos, según sea el rango de la matriz de los coeficientes (A) y de la matriz ampliada (A*):

Rg A = Rg A* = 3

• Sistema compatible determinado. • Los planos se cortan en un punto P que es la solución del sistema.

Rango A = 2; Rango A* = 3

• Sistema incompatible. • Los tres planos no tienen nada en común. Pueden cortarse dos a dos o ser dos paralelos y el tercero cortar a ambos.

U1 U2 U3

P

Rango A = 1; Rango A* = 2

Rg A = Rg A* = 2

• Sistema compatible indeterminado. • Los tres planos se cortan en una recta. Pueden ser los tres secantes o dos coincidentes y el tercero secante con ellos.

U1

• Sistema incompatible. • Los tres planos son paralelos. Pueden ser los tres paralelos o dos coincidentes y el tercero paralelo con ellos.

Rg A = Rg A* = 1

• Sistema compatible indeterminado. • Los tres planos son coincidentes.

U1 U 2

U3

U1

U2 U3

U1

U2 U3

U2 U3

U1 U1

U2

U1 U2

U3

U3 U3

U2

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Unidad 3

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4. Métodos de resolución de sistemas. Regla de Cramer El teorema de Rouché-Fröbenius nos sirve para discutir un sistema de ecuaciones lineales. En los casos en los que el sistema sea compatible necesitamos métodos de resolución. Tres de estos métodos son el método de Gauss, el de la matriz inversa y la regla de Cramer, que vemos a continuación.

4.1. Método de Gauss

• El método de Gauss es una generalización del método de reducción y consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente.

Operaciones elementales por filas • Intercambiar las filas i y j: Fi n Fj • Multiplicar la fila i por un número k | 0 y sustituirla por el resultado: Fi q k · Fi • Sumar las filas i y j, multiplicadas por sendos números, y llevar el resultado a la fila i o j: F i o Fj q k · F i + t · F j

Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales por filas la transformamos en una matriz escalonada en ceros, es decir, con ceros bajo la diagonal. De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial, en el que se pueden dar tres casos: • Que el sistema sea incompatible, en cuyo caso no hay solución. • Que el sistema sea compatible y determinado, en cuyo caso se resuelve fácilmente por sustitución de forma escalonada. • Que el sistema sea compatible indeterminado, en cuyo caso nos quedarán menos ecuaciones que incógnitas. Para resolverlo lo convertimos en un sistema cuadrado pasando al segundo miembro las incógnitas necesarias.

4.2. Método de la matriz inversa • Este método consiste en escribir el sistema en forma matricial A·X=B y despejar la matriz X, siempre que exista A–1: X = A –1 · B

ACTIVIDADES RESUELTAS ¯x + y + z = 2 ² 5. Resuelve por el método de la matriz inversa el sistema: ° x + 2 y – 3z = 8 ² x – y + z = –2 ± Como el sistema puede expresarse en la forma obtenemos:

La solución del sistema es:

冢

冣冢冣冢冣冢冣冢冣冢冣

1 1 1 1 2 3 1 1 1 x y = z

冢冣冢 x y = z

1/8 1/4 5/8 1/2 0 –1/2 3/8 –2/8 –1/8

x 2 y = 8 , multiplicando por la matriz inversa de los coeficientes, z 2

1 1 1 1 2 3 1 1 1

冣冢冣冢冣 2 1 8 = 2 2 1

1

2 8 2

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4.3. Regla de Cramer Se llama sistema de Cramer al sistema de ecuaciones lineales con igual número de ecuaciones que de incógnitas, y en el que el determinante de la matriz principal (A) es distinto de cero:

Gabriel Cramer (1704-1752)

¯• núm. de ecuaciones = núm. de incógnitas Un sistema ¿ ° À es de Cramer Á ±• A | 0 Los sistemas de Cramer son, por definición, compatibles y la solución se obtiene mediante la llamada regla de Cramer. • Regla de Cramer El valor de cada incógnita es el cociente de dividir el determinante formado por la matriz de los coeficientes sustituyendo en ella la columna correspondiente a los coeficientes de la incógnita buscada por la columna de los términos independientes, por el determinante de la matriz de los coeficientes. Matemático suizo conocido por sus trabajos sobre probabilidad, teoría de determinantes y curvas algebraicas.

Así, en el sistema: ¯ a11x1 + a12 x 2 + ² ² a 21x1 + a 22 x 2 + ° … ² … ²±a n1x1 + a n 2 x 2 +

… + a1n x n = b1 … + a 2 n x n = b2 … … … … + a nn x n = b n

Fue el primer matemático nombrado académico por la Royal Society de Londres y por la Academia de Berlín. Impartió clases de matemáticas y filosofía en la Universidad de Ginebra. La regla que lleva su nombre aparece publicada en 1750 en su libro Introducción al análisis de las curvas algebraicas.

el valor de las incógnitas viene dado por:

x1 =

b1 b2 … bn

a12 … a 22 … … … a n2 … A

a1n a2n … a nn

……………… x n =

a11 a 21 … a n1

a12 … b1 a 22 … b2 … …… a n 2 … bn A

ACTIVIDADES RESUELTAS ¯ x – y + 5z = 13 ² 6. Resuelve, aplicando la regla de Cramer, el sistema: °3 x – 2 y + z = 12 ² x + y + 2z = 9 ± 1 –1 5 El sistema es de Cramer al ser 3 –2 1 = 25 | 0. 1 1 2

冨

冨

Aplicando la regla de Cramer, la solución es:

x =

13 1 5 12 2 1 9 1 2 1 1 5 3 2 1 1 1 2

=

100 =4 25

y =

1 13 5 3 12 1 1 9 2 1 1 5 3 2 1 1 1 2

=

25 =1 25

z =

1 1 13 3 2 12 1 1 9 1 1 5 3 2 1 1 1 2

=

50 =2 25

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Unidad 3

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5. Sistemas homogéneos Los sistemas que denominamos homogéneos son un caso particular de los sistemas de ecuaciones lineales. Son aquellos en los que todos los términos independientes son nulos. La expresión de un sistema homogéneo de m ecuaciones con n incógnitas es la siguiente: ¯ a11x1 + a12 x 2 + … + a1n x n = 0 ²² a x + a x + … + a x = 0 21 1 22 2 2n n ° … … … … ² + + … + a x a x a ²± m1 1 m2 2 mn x n = 0

Soluciones con parámetros En los sistemas de ecuaciones lineales con n incógnitas que cumplen: rango (A) = rango (A*) = r < n, es decir, en los sistemas compatibles indeterminados, con infinitas soluciones, estas pueden expresarse en función de n – r parámetros.

Una de las características más relevantes de los sistemas homogéneos es que todos ellos son compatibles, es decir, siempre tienen solución, ya que la última columna de la matriz ampliada, A*, tiene todos sus elementos nulos, lo cual deja invariable el rango de la matriz de los coeficientes y, por lo tanto, rango (A) = rango (A*). Al ser todos los sistemas homogéneos compatibles tienen siempre, como una de sus soluciones, la solución x1 = 0, x2 = 0, …, xn = 0, que se denomina trivial o impropia. Esta solución suele carecer de interés práctico en las situaciones que se resuelven con estos sistemas. Para discutir los sistemas homogéneos seguiremos el siguiente esquema: • Sea rango (A) = rango (A*) = r, y n el número de incógnitas del sistema. — Si r = n, entonces el sistema es determinado (solución trivial). — Si r < n, entonces el sistema es indeterminado (infinitas soluciones).

ACTIVIDADES RESUELTAS 7. Estudia y resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: ¯²2 x – y = 0 a) ° ±²4 x – 2 y = 0

a) El determinante de la matriz de los coeficientes es: det ( A) =

¯ x + 3y + z = 0 ² b) °2 x + 6 y – 5z = 0 ²3 x + y + z = 0 ± 2 1 = 0. 4 2

El rango de la matriz de los coeficientes es uno, y es menor que el número de incógnitas. Por tanto, el sistema es compatible indeterminado. El sistema queda reducido a la ecuación 2x – y = 0. Sus soluciones son y = 2x. 1 3 1 b) El determinante de la matriz de los coeficientes es: det ( A) = 2 6 5 = 56 | 0. 3 1 1 El rango de la matriz de los coeficientes es 3, y coincide con el número de incógnitas, por tanto, la única solución del sistema es la solución trivial x = 0, y = 0, z = 0, al ser el sistema determinado.

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Sistemas de ecuaciones lineales

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ACTIVIDADES RESUELTAS 8. Discute y resuelve el siguiente sistema: ¯ x – 2 y + 3z = 0 ² ° 2 x – 3z = 0 ²3 x – 2 y = 0 ± 1 2 3 El determinante de la matriz de los coeficientes, A, vale cero: A = 2 0 3 = 0. 3 2 0 Al ser el menor

1 2 = 4 | 0, el rango de la matriz es 2 y el sistema es indeterminado, con infinitas soluciones. 2 0

¯ x – 2 y = – 3z Eliminando la tercera ecuación, el sistema a resolver es ° ±²2x = 3z Las soluciones son: x =

3 9 z , y = z , que también podemos expresarlas en la forma paramétrica siguiente: 2 4 x = 6t

y = 9t

z = 4t

con t R

9. Discute el siguiente sistema, según los valores de a, y resuelve en su caso: ¯ax + y + z = 0 ² °( a + 1) x + y – az = 0 ² x + ( a + 1) y = 0 ± a 1 1 a + 1 1 a = a3 + 2a2 + a = a (a + 1)2. 1 a +1 0

El determinante de la matriz de los coeficientes es:

La posible anulación de dicho determinante da lugar a la siguiente discusión: • Si a | 0 y a | –1, entonces rg (A) = 3 y el sistema es compatible determinado. La solución en todos estos casos es la trivial: x = 0, y = 0, z = 0. • Si a = 0, entonces rg (A) = 2 y el sistema es compatible indeterminado. Al ser

¯y = –z 0 1 = 1 | 0, el sistema a resolver es: ° 11 ±² x + y = 0

Las soluciones son x = z, y = –z. Expresadas en forma paramétrica: x=t

y = –t

z=t

con t R

• Si a = –1, entonces rg (A) = 2 y el sistema es compatible indeterminado. Al ser

1 1 = 1 | 0, el sistema a resolver es: 0 1

¯– x + y = – z ° ²± y = – z

Las soluciones son x = 0, y = –z. Expresadas en forma paramétrica: x=0

y = –t

z=t

con t R

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Unidad 3

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6. Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones El lenguaje algebraico es una de las herramientas más potentes que nos ofrece las Matemáticas. Esto se pone de manifiesto en la resolución de problemas mediante la obtención y posterior resolución de sistemas de ecuaciones. • En todo problema de carácter algebraico debemos de tener en cuenta: • Los datos o valores conocidos. • Los valores desconocidos que deberemos obtener, llamados incógnitas. • Las relaciones entre datos e incógitas que dan lugar a ecuaciones. En la resolución de todo problema de carácter algebraico conviene seguir los siguientes pasos o etapas: 1. Familiarización con el problema Antes de hacer, trataremos de entender con claridad la situación que propone el enunciado. Debemos tener en cuenta la situación de partida, la de llegada y lo que debemos lograr. Emplearemos para ello una o varias lecturas del enunciado del problema.

2. Búsqueda de estrategias Resolución de problemas algebraicos • Familiarización con el problema. Reconocimiento de los datos o valores conocidos. • Búsqueda de estrategias. Elección de las incógnitas. • Llevar adelante la estrategia. Planteamiento del sistema y resolución del mismo. • Revisar el proceso y sacar conclusiones de él. Comprobación de las ecuaciones en el sistema y verificación de las condiciones del enunciado del problema.

En este tipo de problemas, el camino a recorrer será menos dificultoso si realizamos una buena elección de incógnitas. Es conveniente elegir el menor número posible de incógnitas, dándonos cuenta de que muchas veces están relacionadas de forma sencilla unas con otras. 3. Llevar adelante la estrategia Después de la elección de las incógnitas realizamos lo que se conoce como planteamiento del problema, que consiste en expresar, mediante ecuaciones, las relaciones que existen entre los datos y las incógnitas del problema. Resolvemos el sistema de ecuaciones, según los métodos descritos en las páginas anteriores de esta unidad didáctica. 4. Revisar el proceso y sacar conclusiones Comprobamos las soluciones obtenidas en la resolución del sistema, sustituyendo los valores numéricos obtenidos como soluciones en las ecuaciones y viendo si estas quedan satisfechas o no. Por último, debemos realizar la discusión del problema, consistente en el examen de las soluciones obtenidas en función de las condiciones que ofrece el enunciado. Debemos tener en cuenta que los enunciados de los problemas ofrecen muchas veces información que suele pasar inadvertida; por ejemplo, si el problema habla de número de personas, número de animales, etc., el resultado debe ser un número natural.

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ACTIVIDADES RESUELTAS 10. Si la altura de Carlos aumenta el triple de la diferencia de las alturas de Antonio y Juan, Carlos sería igual de alto que Juan. Las alturas de los tres suman 515 centímetros. Ocho veces la altura de Antonio equivale a nueve veces la de Carlos. Halla las tres alturas. Llamamos x, y y z a las alturas, en centímetros, de Antonio, Carlos y Juan, respectivamente. ¯ y + 3( x z ) = z ² El enunciado nos permite plantear el siguiente sistema de ecuaciones lineales: ° x + y + z = 515 ²8 x = 9 y ± ¯3 x + y 4 z = 0 ² La solución del anterior sistema, escrito en la forma habitual ° x + y + z = 515 , es ²8 x 9 y = 0 ± x = 180

y = 160

z = 175

Podemos comprobar sin dificultad que los valores numéricos anteriores cumplen las tres ecuaciones del sistema. Por tanto, las alturas de Antonio, Carlos y Juan son 180 cm, 160 cm y 175 cm, respectivamente. 11. Invirtiendo 1 millón de euros en acciones de tipo A y 2 millones en acciones de tipo B, una empresa obtiene unos intereses totales (anuales) de 280 000 euros, y si invierte 2 millones en A y 1 millón en B, obtiene 260 000 euros. ¿Cuáles serían los intereses si se invirtieran 3 millones en A y 5 millones en B? Llamamos x e y a los réditos (tanto por 1) de las acciones de tipo A y de tipo B, respectivamente. De las condiciones del enunciado podemos plantear las dos ecuaciones del sistema siguiente: ¯1000000 x + 2000000 y = 280000 ° ±²2000000 x + 1000000 y = 260000 La solución de este sistema es: x = 0,08; y = 0,1 Observamos que las acciones de tipo A producen 80 000 euros por millón invertido y las de tipo B, 100 000 euros por millón invertido. Por tanto, los intereses que producirán 3 millones en acciones de tipo A y 5 millones en acciones de tipo B son: 3 · 80 000 + 5 · 100 000 = 740 000 euros 12. De un número de tres cifras se sabe que la suma de estas es 13. Si se intercambian las cifras de las unidades y las centenas, el número disminuye en 198, y si se intercambian las de las unidades y decenas, el número aumenta en 36. Encuentra el número. Debemos tener en cuenta que la expresión polinómica, en el sistema de notación decimal del número xyz es 100x + 10y + z. Llamando xyz, al número buscado, obtenemos, atendiendo a las condiciones del enunciado, el siguiente sistema de ecuaciones lineales: ¯ x + y + z = 13 ² °100 x + 10 y + z (100 z + 10 y + x ) = 198 ²100 x + 10 z + y (100 x + 10 y + z ) = 36 ± ¯ x + y + z = 13 ² Escribimos este sistema en su forma habitual ° x z = 2 , y hallamos sus soluciones, que son: ² y + z = 4 ± x=7

y=1

z=5

El número buscado, que podemos comprobar que cumple todas las ecuaciones, es 715.

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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Sistema de ecuaciones Discute, en función del parámetro b, el siguiente sistema de ecuaciones: ¯²4 x 2 – y 2 = 0 ° 2 2 ±² x + ( y – b ) = 1

FAMILIARIZACIÓN CON EL PROBLEMA Está muy claro el enunciado del problema y lo que se nos pide.

BÚSQUEDA DE ESTRATEGIAS La primera idea que tenemos es resolver el problema utilizando métodos algebraicos, pero, al observar el sistema, vemos que la primera ecuación representa dos rectas en el plano: 4x2 – y2 = (2x + y) (2x – y) = 0, y la segunda ecuación representa una circunferencia de centro (O, b) y radio unidad. Debido a nuestra experiencia en la resolución de problemas, sabemos que los métodos geométricos suelen resultar más potentes y elegantes que los algebraicos, por lo que nos decidimos por geometrizar el problema.

LLEVAR ADELANTE LA ESTRATEGIA Al resolver el problema por métodos geométricos, comenzamos por representar gráficamente el par de rectas y = 2x, y = –2x, y la circunferencia x2 + (y – b)2 = 1. Los puntos de corte de la circunferencia con ambas rectas serán las soluciones del sistema. Haciendo unos cálculos algebraicos muy sencillos y desplazando el centro de la circunferencia sobre el eje OY según los diferentes valores de b, obtenemos las gráficas siguientes, que nos permiten encontrar en cada caso las soluciones del sistema.

4

1 y = 2x

3 2 1 –1

1 –1 –2 –3

y = –2x 1

–4

b ( h, 5 ) ( 5, +h )

b { 5, 5 }

b ( 5, 5 ) { 11 , }

b { 11 , }

ninguna solución

dos soluciones

cuatro soluciones

tres soluciones

REVISAR EL PROCESO Y SACAR CONSECUENCIAS DE ÉL A la vista del proceso seguido, nos damos cuenta de que el haber utilizado el lenguaje geométrico ha sido la clave en la resolución del mismo.

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Sistemas de ecuaciones lineales

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Elección del lenguaje y notación adecuados Muchos problemas, en apariencia difíciles, se simplifican o se resuelven utilizando una notación y/o un lenguaje adecuados. La resolución de un problema está muy condicionada por el enfoque mental con que se aborde el mismo. Este enfoque nos lleva a la utilización de un lenguaje determinado, el cual lleva implícito el uso de una notación adecuada.

lenguaje, encontramos los casos de: ninguna solución, dos soluciones y cuatro soluciones; sin embargo, el de tres soluciones, nos pasa inadvertido. Este hecho no ocurre cuando resolvemos el problema geométricamente.

En la resolución de un problema podemos utilizar diversos tipos de lenguajes. Por ejemplo, el lenguaje de la lógica; el lenguaje pictórico, que trabaja con figuras, esquemas o diagramas; el lenguaje analógico, que se sirve del modelo; el lenguaje matemático, que puede ser algebraico, geométrico, estadístico o probabilístico; etc. Cada uno de estos lenguajes lleva consigo una notación, y en la elección de esta debemos tener en cuenta los siguientes aspectos: • Debe ser clara, concisa y fácil de retener en la memoria. • Debe utilizar signos que no sean ambiguos; fáciles de recordar y reconocer. • El orden y la relación de los signos sugieren el orden y la relación de los objetos. Para resolver el problema de la página anterior, hemos elegido el lenguaje geométrico. También se puede resolver este problema usando el lenguaje algebraico. Si utilizamos este segundo

A C T I V I D A D E S 䊏 Encuentra el lenguaje y la notación adecuados en la resolución de los problemas siguientes: 1. Pesada difícil. Cuatro amigos, Arturo, Berta, Carlos y Diana, encuentran una antigua báscula que sólo pesa objetos de entre 50 y 100 kg. Estos amigos, individualmente, pesan menos de 50 kg y tres juntos, más de 100 kg, por lo que deciden pesarse de dos en dos de la siguiente manera: Arturo y Berta, 69 kg; Berta y Carlos, 79 kg; Carlos y Diana, 74 kg; Diana y Arturo, 64 kg. Con estos datos, ¿se puede determinar el peso de cada uno? Si no fuera posible determinar los pesos individualmente, ¿qué parejas deben pesarse para encontrar la solución? 2. Curiosa elección. En una clase hacen la elección de delegados de una forma muy original. Se piden tres alumnos voluntarios, que resultan ser Ana, Luis y Clara. Se les venda los ojos a cada uno de ellos y se les coloca en la cabeza una cinta, como la que llevan algunos tenistas. Estas tres cintas se toman de una bolsa que contiene tres cintas rojas y dos amarillas. Se les retira la venda de los ojos y de esta forma cada uno puede ver las cintas de sus compañeros, pero no la suya propia. Será elegido quien acierte el color de la cinta que lleva. Primero se pregunta a Ana y responde que no puede saberlo; lo mismo sucede con Luis. Por último, Clara dice que su cinta es roja, por lo que resulta ser elegida delegada. ¿Cómo lo supo? 3. Suma de cubos. ¿Cuánto suman los cubos de los n primeros números naturales?

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NUEVAS TECNOLOGÍAS Derive es un programa informático que permite realizar todo tipo de problemas de álgebra lineal, y discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Sistemas de ecuaciones con Derive SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES Para resolver sistemas de ecuaciones lineales hemos de seguir los siguientes pasos: 1. En la barra de menús elegimos Resolver-Sistema y aparece la ventana en la que introducir el número de ecuaciones del sistema, y después otra en la que escribir las ecuaciones del mismo:

2. Pulsamos Resolver y obtenemos la solución del sistema. Si queremos corregir algo del sistema lo pasamos al editor mediante la tecla F3 . En la imagen siguiente podemos ver la solución de tres sistemas: el primero compatible indeterminado, el segundo compatible determinado y el tercero incompatible, por lo que aparece el símbolo [ ]:

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DEPENDIENTES DE UN PARÁMETRO m Vamos a considerar el caso de que el sistema sea cuadrado, es decir, de igual número de ecuaciones que de incógnitas. En este caso hallamos las raíces del determinante de la matriz principal mediante Det [A] = 0. PRACTICA con Derive la resolución de las actividades números 1, 4, 15 y 24.

• Para m | raíces, el sistema es compatible determinado. • Para m = raíces hallamos para cada una de ellas el rango de la matriz principal A y de la matriz ampliada A* mediante la opción Row-reduce [A*] y discutimos el sistema utilizando el teorema de Rouché-Fröbenius.

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EN RESUMEN

冢

¯ a11x1 + a12 x 2 + … + a1n x n = b1 ² … … … … ° … ² am1x1 + am 2 x 2 + … + amn x n = bm ±

a11 a12 … a1n

… … … … am1 am 2 … amn

estándar

冣冢冣冢冣 x1

b1

… = … xn bm

A1x1 + A2x2 + … + Anxn = B

matricial

vectorial

expresiones

existencia soluciones

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

clases según

todos bi = 0

HOMOGÉNEOS

algún bi | 0

NO HOMOGÉNEOS

valor de los bi

TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS Un sistema es compatible si y sólo si rango (A) = rango (A*)

no

INCOMPATIBLES

soluciones sí

nos permite

una

DETERMINADOS

infinitas

INDETERMINADOS

COMPATIBLES

INTERPRETAR GEOMÉTRICAMENTE UN SISTEMA procedimiento de resolución

MÉTODO DE GAUSS

MÉTODO MATRICIAL O DE LA MATRIZ INVERSA

REGLA DE CRAMER

consiste en

consiste en

se calcula

ESCALONAR LA MATRIZ AMPLIADA

RESOLVER LA ECUACIÓN MATRICIAL AX = B MEDIANTE X = A–1 B

xi =

det ( A1, A2 , …, B, …, An ) det ( A1, A2 , …, Ai , …, An )

AMPLÍA CON… Hypatia de Alejandría es la primera mujer que aparece en la historia de las matemáticas, si exceptuamos a Teano, mujer de Pitágoras. Era hija de Teón, matemático, astrónomo y último director del Museo de Alejandría. Vivió en el siglo IV de nuestra era. Muy pronto dio muestras de su gran capacidad intelectual, lo que le permitió superar en conocimientos a su padre y ser maestra de un selecto grupo de estudiantes. Sus trabajos más importantes son los comentarios a la Aritmética de Diofanto y a las Secciones cónicas de Apolonio. Destacó también en medicina y filosofía. Su vida y sus obras han permitido reconocer a Hypatia, además, como una mujer que luchó por el derecho a la igualdad entre hombres y mujeres. En esta novela que recomendamos, Hypatia. La mujer que amó la ciencia (Editorial Lumen) de Pedro Gálvez, se describe con maestría el ambiente que reinaba en Alejandría en la época de Hypatia. Contrastará el helenismo que vive Hypatia con el fanatismo religioso de entonces.

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PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD RESUELTAS ¯ 3 x – 2 y + 3z = 2 ² Dado el sistema de ecuaciones lineales °4 x – 3 y + z = – 1 ² x + 5 y – 6z = 5 ± a) Escríbelo en forma matricial. a) La expresión matricial del sistema es

b) Resuélvelo por el método de Gauss.

冢

3 2 3 4 3 1 1 5 6

冣冢冣冢冣

x 2 y = 1 . z 5

b) Efectuando las operaciones elementales por filas que se indican, se obtiene el siguiente sistema equivalente:

冢

冣

3 2 3 2 F q 4 F13 F2 4 3 1 1 F2 q 3 q F13 F3 1 5 6 5

冢

3 0 0

冣

2 3 2 F q F3 +17 F2 q 1 9 11 3 17 21 13

冢

3 0 0

冣

¯3 x – 2 y + 3z = 2 3 2 ² 1 9 11 ¡ ° y + 9 z = 11 ²174 z = 174 0 174 174 ±

2

La solución es x = 1, y = 2, z = 1. ¯2 x + y = m ² Dado el sistema de ecuaciones lineales ° – 2 x + y = – 1 , discútelo para los distintos valores del parámetro y resuélvelo ² x – my = – 2 cuando sea compatible. ± El determinante de la matriz ampliada A* es: 2 1 m 3 det A* = 2 1 1 = 2m2 – 3m – 9 = 2(m – 3) m + 2 1 m 2

冢

冣

Los valores del parámetro dan lugar a la siguiente discusión: 3 • Si m | 3 y m | , entonces rg (A*) = 3 y rg (A) = 2, y el sistema es incompatible. 2 • Si m = 3, entonces rg (A) = 2 y rg (A*) = 2, y el sistema es compatible determinado. En este caso la solución única es: x = 1, y = 1. 3 • Si m = , entonces rg (A) = 2 y rg (A*) = 2, y el sistema es compatible determinado. 2 1 5 Para este valor del parámetro, la solución única es: x = , y = . 8 4 ¯ax + y + z = 4 ² Discute en función del parámetro a, el siguiente sistema ° x ay + z = 1 . Interpreta geométricamente los re²x + y + z = a + 2 sultados. ± El determinante de la matriz de los coeficientes A es det (A) = –a2 + 1 = –(a + 1) (a – 1). Los valores del parámetro dan lugar a los tipos de sistemas siguientes: • Si a | 1 y a | –1, entonces rg (A) = 3 y rg (A*) = 3, y el sistema es compatible determinado. • Si a = 1, entonces rg (A) = 2 y rg (A*) = 3, y el sistema es incompatible. • Si a = –1, entonces rg (A) = 2 y rg (A*) = 2, y el sistema es compatible indeterminado. En el primer caso los planos se cortan en un punto. En el segundo caso los 3 planos no tienen nada en común; el primero y tercero son paralelos y el segundo se corta con ellos. En el tercer caso los planos se cortan dando una recta.

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Los sueldos del padre, la madre y un hijo sumados dan 3 250 euros. La madre gana el doble que el hijo. El padre gana 2/3 de lo que gana la madre. Calcula cuánto gana cada uno. Llamamos x, y y z a los sueldos del padre, la madre y el hijo, respectivamente. ¯ x + y + z = 3 250 ² Las condiciones del enunciado nos permiten plantear el siguiente sistema: ° y 2z = 0 ²3 x 2 y = 0 ± La solución del sistema es: x = 1 000, y = 1 500, z = 750. Los sueldos del padre, la madre y el hijo son 1 000, 1 500 y 750 euros, respectivamente.

Se tienen 9,50 euros en monedas de 5 céntimos, de 10 céntimos y de 50 céntimos. El número de monedas de 10 céntimos excede en 9 unidades al número de monedas de 50 céntimos, y por cada 3 monedas de 10 céntimos se tienen 4 de 5 céntimos. ¿Cuántas monedas se tienen de cada valor? Llamamos x, y y z al número de monedas de 5, 10 y 50 céntimos, respectivamente. Imponiendo las condiciones del problema obtenemos el siguiente sistema: ¯0, 05 x + 0,10 y + 0,50 z = 9,50 ² ²y = 9 + z ° ²y = x ²± 3 4 La solución del sistema es: x = 28, y = 21, z = 12. Por tanto, hay 28 monedas de 5 céntimos, 21 monedas de 10 céntimos y 12 monedas de 50 céntimos.

Se dispone de un recipiente de 24 litros de capacidad y de tres medidas, A, B y C. Se sabe que el volumen de A es el doble que el de B, que las tres medidas llenan el depósito y que las dos primeras lo llenan hasta la mitad. ¿Qué capacidad tiene cada medida? Sean x, y y z las capacidades de los recipientes A, B y C, respectivamente. ¯ x + y + z = 24 ² Las condiciones del enunciado nos conducen al sistema ° x 2 y = 0 , cuya solución es: x = 8, y = 4, z = 12. ² x + y = 12 ± Las capacidades de los recipientes A, B y C son 8 litros, 4 litros y 12 litros, respectivamente.

Un cocinero adquirió en el mercado ciertas cantidades de patatas, manzanas y naranjas a un precio de 0,5; 0,75 y 1 euro/kg, respectivamente. El importe total de la compra fue de 7,25 euros. En total realizó una compra de 9 kg y, además, compró 1 kg más de naranjas que de manzanas. ¿Cuántos kilogramos compró de cada uno de los productos? Llamamos x, y y z a los kilogramos de patatas, manzanas y naranjas, respectivamente. ¯0,5 x + 0,75 y + z = 7, 25 ² El enunciado nos permite plantear el siguiente sistema de ecuaciones lineales: ° x + y + z = 9 ² y + z = 1 ± La solución del sistema es: x = 2, y = 3, z = 4. La compra realizada por el cocinero fue de 2 kg de patatas, 3 kg de manzanas y 4 kg de naranjas.

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ACTIVIDADES FINALES EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1. Resuelve los siguientes sistemas e indica de qué clase son: ¯7 x – 2 y = 12 ² a) ° x – 2 = 0 ²2 x – y = 3 ±

¯2 x – y = 3 c) ° ±²4 x – 2 y = 6

¯ x + y + 2z = 3 ² e) °2x + 3 y – z = 4 ²3 x + 4 y + z = 7 ±

¯ x – y = –1 ² b) ° x + y = 7 ² x – 5y = 5 ±

¯x + y = 1 ² d) ° y + z = – 2 ²x + z = 3 ±

¯3 x + y + 2z = 3 ² f) ° – y + z = 1 ² x + 2y – z = 2 ±

¯2 x – y + z = 3 2. Dado el sistema ° : ²± x + y + z = – 1 a) Añade una ecuación para que el sistema sea incompatible. b) Añade una ecuación para que el sistema tenga infinitas soluciones. ¯mx – y = 1 3. Dado el sistema ° , halla m para que: ±² x – my = 2m – 1 a) No tenga soluciones.

c) Tenga solución única.

b) Tenga infinitas soluciones.

d) Tenga una solución en la que x = 3.

4. Discute, según los valores del parámetro a, los siguientes sistemas y resuelve en los casos que sea posible: ¯x + z = 8 ² a) °2x + y + z = 10 ²3 x + 2 y + az = 5 ±

¯x + y = 5 ² b) ° y + 3z = a ²x + z = 1 ±

¯2 x y = a ² c) ° ax + 3 y = 4 ²3 x y = 2 ±

5. Interpreta geométricamente cada uno de lo siguientes sistemas: ¯ x 2y = 1 a) ° ²±2x + y = 3

¯ x 2y + z = 3 ² b) °2x 3 y 2z = 5 ² x 3 y + 5z = 4 ±

¯x + y z = 3 ² c) °3 x + 4 y z = 5 ² x 2 y + 3z = 1 ±

6. Interpreta geométricamente cada uno de los siguientes sistemas en función de los valores del parámetro a: ¯x + y + z = 2 ² a) ° ax y z = 1 ² x y + z = 2 ±

¯x + y + z = a ² b) ° x + y + az = 1 ² x + ay + z = 0 ±

¯² ax + y = a2 c) ° 2 ±² x + a y = 1

7. Discute los siguientes sistemas en función de k y resuélvelos cuando sean compatibles: ¯x + y + z = 0 ² a) °kx + 2z = 0 ²2x y + kz = 0 ±

¯ 2 x 3 y + 2z = z ² b) °2x ky 3z = x ²5 x + 3 y z = y ±

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8. Cierta marca de pintura es elaborada con tres ingredientes, A, B y C, comercializándose en tres tonos diferentes. El primero se prepara con 2 unidades de A, 2 de B y 1 de C; el segundo, con 1 unidad de A, 2 de B y 2 de C; y el tercero con una unidad de cada ingrediente. El bote del primer tono se vende a 23 euros, el del segundo a 17 euros y el del tercero a 14 euros. Sabiendo que el margen comercial (o ganancia) es de 3 euros por bote, ¿qué precio por unidad le cuesta a dicha marca de pintura cada uno de los tres ingredientes?

9. Una fábrica de chocolates emplea, para una determinada marca, leche, cacao y almendras, siendo la proporción de leche el doble que la de cacao y almendras juntas. Los precios de los ingredientes por kilo son: leche, 0,80 euros; cacao, 4 euros; y almendra, 10 euros. En un día se fabrican 9 000 kg de chocolate de dicha marca con un coste total de 22 800 euros. ¿Cuántos kilogramos se utilizan de cada componente?

10. Para un determinado partido de fútbol se ponen a la venta tres tipos de localidades: fondo, general y tribuna. Se sabe que la relación entre los precios de las localidades de tribuna y general es de 19/18, y entre general y fondo es de 6/5. Si al comprar tres localidades, una de cada clase, se pagan en total 52 euros, ¿cuál es el precio de cada tipo de localidad?

11. Un tren transporta 500 viajeros y la recaudación de sus billetes asciende a 2 142 euros. Calcula cuántos viajeros han pagado el importe total del billete, que vale 9 euros; cuántos han pagado el 20 % del billete y cuántos el 50 %, sabiendo que el número de viajeros que han pagado el 20 % del billete es el doble del número de viajeros que pagan el billete entero.

12. Andrés, Juan y Luis son tres amigos. Hablando un buen día sobre sus edades observan que: «El doble de la edad de Andrés más el triple de la edad de Juan es tres años superior a cuatro veces la edad de Luis. El triple de la edad de Luis menos el doble de la edad de Juan es siete años inferior al doble de la edad de Andrés. El doble de las edades de Andrés y Luis es tres años inferior a cinco veces la edad de Juan». ¿Cuál es la edad de cada uno de los amigos?

13. Un país importa 21 000 vehículos mensuales de 3 marcas A, B, C, al precio de 7 500; 9 100 y 12 000 euros, respectivamente. Si el total de la importación asciende a 201,8 millones de euros y de la marca A importa el 40 % de las otras dos marcas juntas, ¿cuántos vehículos de cada marca entran en el país?

14. En una tienda, por comprar dos chaquetas y una blusa nos cobran 200 euros. Volvemos a la tienda y compramos una chaqueta, un pantalón y devolvemos la blusa, y nos cobran 100 euros. En una tercera visita a la tienda compramos cinco chaquetas, un pantalón y una blusa, ¿cuánto nos cobrarán?

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ACTIVIDADES FINALES ACCESO A LA UNIVERSIDAD

¯3 x 2 y + 4 z = 8 ² 15. Resuelve por el método de Gauss el siguiente sistema de ecuaciones lineales: ° x + y + 2z = 1 ²7 x 8 y + 8 z = 22 ± 16. Resuelve y clasifica el sistema de ecuaciones lineales: 2x + y = 3

y – 2x = –6

3y – 6x = –3

Representa e interpreta gráficamente la situación relativa de las rectas cuyas ecuaciones forman el sistema. ¯3 x + (2m + 3) y = 1 17. Sea el siguiente sistema de ecuaciones, en función del parámetro m : ° ²± 3mx + y = 1 a) Exprésalo en forma matricial, siendo los elementos de una de las matrices que intervienen las variables x e y. b) Discútelo según los valores del parámetro m. c) Determina su solución para m = 5. ¯ x 2y = 3 18. Dado el sistema: ° ±² 2x + 3 y + z = 4 a) Clasifícalo y resuélvelo. b) Añade una ecuación de modo que el sistema resultante represente las ecuaciones de tres planos que se cortan en una recta. 19. La edad de una madre es, en la actualidad, el triple que la de su hijo. La suma de las edades de padre, madre e hijo es 80 años, y dentro de 5 años, la suma de las edades de la madre y del hijo será 5 años más que la del padre. ¿Cuántos años tienen el padre, la madre y el hijo en la actualidad? 20. Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de hombres. Averigua cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión. 21. Si a un número de dos cifras se le suma 18, se obtiene el número con las cifras intercambiadas. Sabiendo que la suma de las cifras del número es 16, encuentra dicho número. 22. Dada la matriz A =

冢2 1 1冣 , resuelve por el método de Gauss: 1 0 1

a) El sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de coeficientes es A · At. b) El sistema de ecuaciones lineales no homogéneo cuya matriz ampliada es At · A, siendo la última columna los términos independientes. 23. Un cine proyecta una película sólo tres días: lunes, martes y miércoles. Se sabe que el número de espectadores del martes se incrementó un 12 % respecto al del lunes, el miércoles ese número disminuyó un 12 % respecto al martes y el lunes ese número superó en 36 espectadores el del miércoles. ¿Cuántos espectadores vieron la película cada uno de los días? 24. Discute, según los valores de t y resuelve cuando sea posible, encontrando la solución para la cual z = 1, el siguiente sistema: ¯x + y + z = 0 ² °tx + 2z = 0 ²2x y + tz = 0 ±

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Sistemas de ecuaciones lineales

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AUTOEVALUACIÓN ¯x + y = 1 ² 1. Se considera el sistema °my + z = 0 . Para m = 0, el sistema es: ² x + ( m + 1) y + mz = m + 1 ± a) Compatible determinado

b) Compatible indeterminado

c) Incompatible

2. Para m = 1, el sistema de la actividad anterior es: a) Compatible determinado

b) Compatible indeterminado

c) Incompatible

3. Para m = 2, el sistema de la actividad número 1 es: a) Compatible determinado

b) Compatible indeterminado

c) Incompatible

¯2 x 3 y = 7 4. Las rectas cuyas ecuaciones forman el sistema ° son: ±² 8 x + 12 y = 21 a) Coincidentes

b) Secantes

c) Paralelas

¯3 x + 2 y z = 3 ² 5. Los planos cuyas ecuaciones forman el sistema ° x + y 2z = 5 son: ²2x + y + 3z = 16 ± a) Coincidentes

b) Secantes en un punto

c) Paralelos

¯ x + y = 1 ² 6. Sea el sistema ° x + z = 8 . Si lo resolvemos por Cramer o por Gauss, obtenemos: ²y + z = 1 ± a) x = 4; y = –5; z = 6

b) x = 3; y = – 4; z = 5

c) x = 5; y = –6; z = 8

¯2 x 3 y + z = 0 ² 5. La solución para la cual z = 38 en el sistema ° x + 8 y 3z = 0 es: ²5 x + 2 y z = 0 ± a) x = 2; y = 14; z = 38

b) x = 14; y = 2; z = 38

c) x = –2; y = 2; z = 38

8. La suma de las tres cifras de un determinado número es 13. La cifra de las centenas excede en 4 unidades a la de las decenas. Si se intercambia la cifra de las unidades con la de las centenas, el número aumenta en 495 unidades. El número buscado es: a) 409

b) 904

c) 625

9. Comprar dos refrescos (r), un bocadillo (b) y dos dulces (d), nos cuesta 14 euros. Si compramos siete refrescos, tres bocadillos y cuatro dulces, el importe es 17 euros. El precio de un bocadillo y de un refresco en función del precio de un dulce es: a) r = 25 – 2d; b = 6d – 64

b) r = 2d; b = 6d

c) r = 2d – 25; b = 64 – 6d

10. Por cuatro batidos, un helado y dos sándwiches nos cobraron en una cafetería 13 euros. Otro día, por cuatro helados y cuatro sándwiches nos cobraron 20 euros. Un tercer día tuvimos que pagar 9 euros por un sándwich y cuatro batidos. ¿Algún día nos presentaron una factura incorrecta? a) Sí

b) No

c) No se puede saber

Z

u4 unidad 4 contenidos

1. Inecuaciones lineales con dos incógnitas 2. Programación lineal

3. Programación lineal para dos variables. Métodos de resolución 4. El problema del transporte

Programación lineal

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Las Matemáticas proporcionan a la Economía métodos y modelos de optimización que constituyen la programación lineal, con el propósito de ayudar a las empresas a la utilización óptima de los recursos, que siempre son limitados, minimizando costes de producción y maximizando los beneficios. El matemático ruso Leonid Vitalevich Kantorovich (1912-1986), premio Nobel de Economía en 1975, en su libro Métodos matemáticos para la organización y la producción sentó las bases de la programación lineal, que fue desarrollada posteriormente por el matemático estadounidense George B. Dantzig (1914-2005). Entre las múltiples aplicaciones de la programación lineal podemos citar el problema de la dieta, que consiste en determinar la mejor combinación de alimentos que debe incluir una dieta con el mínimo coste, el problema del transporte o de la distribución de mercancías, minimizando los costes de distribución y los tiempos empleados en la misma y el problema de la producción, que consiste en combinar recursos que maximicen beneficios o minimicen costes.

cuestiones iniciales 1. Representa en el plano el conjunto de puntos que cumplen las siguientes condiciones: ¯y f 2 ² a) ° y v 1 ²x < y ±

¯0 f x f 3 ² b) °0 f y f 2 ²x + y f 3 ±

2. Escribe el sistema de inecuaciones cuya solución es el conjunto de puntos de la figura sombreada.

3 2 1

1

2

3

Y

Unidad 4

80

1. Inecuaciones lineales con dos incógnitas

Regiones importantes del plano Y x>0 O

X

En cursos anteriores estudiamos las inecuaciones de primer grado con una o dos incógnitas. En este curso vamos a revisar algunos de estos conceptos que nos van a ser imprescindibles para el desarrollo de esta unidad didáctica. • Una inecuación de primer grado con dos incógnitas es una desigualdad algebraica que se puede transformar en otra equivalente a una de las siguientes formas: • ax + by v c • ax + by f c

• ax + by > c • ax + by < c

Y

En la resolución de las inecuaciones de primer grado con dos incógnitas conviene seguir los pasos que figuran a continuación.

x0 O

X

Y

O

X

y c • ax + by < c no se incluye la recta o frontera. • En las inecuaciones del tipo: • ax + by v c • ax + by f c se incluye la recta o frontera.

ACTIVIDADES RESUELTAS 1. Resuelve la inecuación x v 3y – 3 y estudia cuáles de los siguientes puntos son solución de la misma: A(9, 4); B(1, 3); C(4, 2); D(–3, 0) y E(3, 3). Y 7

En la gráfica está representada la región de soluciones de la inecuación. La recta o frontera forma parte de la citada región.

6 5

El punto A(9, 4) es solución, ya que 9 = 3 · 4 – 3.

4

El punto B(1, 3) no es solución al ser 1 < 3 · 3 – 3.

3

El punto C (4, 2) es solución pues 4 > 3 · 2 – 3.

2

El punto D(–3, 0) es solución pues –3 = 3 · 0 – 3.

1

El punto E(3, 3) no es solución pues 3 < 3 · 3 – 3.

-6 -5 -4 -3 -2 -1

1 -1 -2

2

3

4

5

6

7

8

9 10 X

Y

Programación lineal

81

Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas

• Un sistema de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas es un conjunto de inecuaciones de primer grado de la forma:

Polígono convexo Z

¯a1 x + b1 y f c1 ²²a x + b y f c 2 2 2 °............... ... ² ±²a n x + b n y f c n

T Y

B B

El conjunto solución de un sistema de inecuaciones está formado por las soluciones que verifican a la vez todas las inecuaciones. Al conjunto solución también se le llama región factible.

A A O

Para resolver un sistema de inecuaciones se procede de la siguiente manera:

X

Se llama polígono convexo o región convexa a toda región del plano que cumple la siguiente condición:

• Se resuelve cada inecuación por separado, indicando en cada una de ellas, mediante unas flechas o sombreando, el semiplano solución.

• Para dos puntos cualesquiera de dicha región, el segmento que los une está contenido todo él en su interior.

• El conjunto solución o región factible está formado por las soluciones comunes a todas las inecuaciones. Un sistema de inecuaciones lineales puede tener o no solución. Cuando la solución es una región acotada, sus puntos están encerrados en un polígono convexo.

Los puntos O, X, Y, Z, T son los vértices del polígono convexo.

ACTIVIDADES RESUELTAS 2. Dibuja las regiones factibles de los sistemas siguientes: ¯x > 0 ² a) ° y > 0 ² x + 2y < 8 ±

¯x > 0 ² b) ° y > 0 ²2 x + 3 y > 6 ±

¯x > 0 ² c) ° y > 0 ² x + y < 1 ±

En cada uno de los casos representamos las rectas asociadas a cada inecuación. Buscamos para cada una de las inecuaciones su semiplano de soluciones y, por último, la región común a todos los semiplanos. En las representaciones gráficas que siguen podemos ver la región factible o región de soluciones de cada uno de los sistemas; las fronteras no están incluidas en la solución. a) Solución acotada en región convexa.

b) Solución no acotada.

Y

c) No posee solución.

Y

Y

x

4

4

=

8

–1

2y =

y

x+

+

4 2

2

2

X 0

2

4

6

8

0

2

4 2x +

6 3y =

X

–2

0

2

4

X

–2 6

Y

Unidad 4

82

2. Programación lineal

George B. Dantzig (1914-2005)

La programación lineal es un instrumento matemático que permite resolver múltiples problemas en los campos económico, social y tecnológico. Consiste en optimizar una función, minimizando costes o maximizando beneficios, utilizando unos recursos que siempre son limitados. • La programación lineal es un conjunto de técnicas que pretende optimizar (maximizar o minimizar) una función lineal de varias variables llamada función objetivo sujeta a una serie de restricciones expresadas por medio de ecuaciones o inecuaciones lineales. Los programas lineales más habituales se expresan de una de las siguientes formas: • Maximizar una función Maximizar la función: z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn

Matemático estadounidense que desarrolló potentes algoritmos basados en el uso de inecuaciones para resolver problemas relacionados con la organización y planificación de la producción. Con posterioridad, sus descubrimientos fueron la base de nuevas investigaciones que han contribuido a que las matemáticas aplicadas hayan resuelto numerosos problemas en los más variados ámbitos de la ocupación humana.

sujeta a las restricciones: ¯a11x1 + a12 x 2 + … + a1n x n f b1 ²a 21x + a 22 x + … + a x f b 2 2n n 2 ² 1 °..................................................... ²a m1x1 + a m 2 x2 + … + a mn x n f b m ² ±x1 v 0, x2 v 0, …, x n v 0 • Minimizar una función Minimizar la función: z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn sujeta a las restricciones: ¯a11x1 + a12 x 2 + … + a1n x n v b1 ²a 21x + a 22 x + … + a x v b 2 2n n 2 ² 1 .......................................... . .......... ° ²a m1x1 + a m 2 x2 + … + a mn x n v b m ² ±x1 v 0, x2 v 0, …, x n v 0 En los programas lineales anteriores llamamos: — Variables de decisión a los términos x1, x2, …, xn. — Restricciones a las inecuaciones lineales expresadas en las variables de decisión. — Función objetivo a la función z, función lineal que hay que optimizar. — Región factible o conjunto de soluciones que verifican todas las restricciones. Esta puede ser acotada o no acotada.

a

Cadena de montaje.

— Solución óptima o conjunto de valores de las variables que verifican todas las restricciones y optimizan la función objetivo.

Y

Programación lineal

83

2.1. Clases de programas lineales Los programas lineales suelen clasificarse atendiendo al tipo de solución que presentan. Estos pueden ser: • Factibles, si existe el conjunto de soluciones o valores que satisfacen las restricciones. A su vez, pueden ser: — Con solución única, si existe una única solución óptima. — Con solución múltiple, si existe más de una solución óptima.

• No factibles, cuando no existe el conjunto de soluciones que cumplen las restricciones, es decir, las restricciones son inconsistentes.

Elementos de un programa lineal

2.2. Etapas en la formulación de un programa lineal

Factores

Productos

P1 P2 … Pn

Recursos

…

a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n ...................

b1 b2 …

Fm

am1 am2 … amn

bm

Beneficios o costes

c1 c1 … cn

F1 F2

Con objeto de simplificar la formulación de un programa lineal, es conveniente realizar el planteamiento algebraico de un enunciado a través de los pasos o etapas siguientes: 1. Recoger la información relativa a los elementos del problema en una tabla, como la que figura en el margen.

Producción x1 x1 … xn

2. Determinar las variables de decisión y darles nombre. 3. Escribir las restricciones, expresadas como inecuaciones lineales de las variables de decisión. 4. Expresar analíticamente la función objetivo, función lineal de las variables de decisión, que hay que optimizar.

ACTIVIDADES RESUELTAS 3. Una fábrica produce frigoríficos con un congelador o con dos congeladores. Los de un congelador necesitan de 3 horas de montaje y 3 horas de acabado y los de dos congeladores necesitan 3 horas de montaje y el doble de estas horas de acabado. El máximo número de horas diarias de que dispone la empresa es de 120 en montaje y 180 en acabado. El beneficio es de 300 euros por cada frigorífico con congelador y 400 euros por cada uno con dos congeladores. Plantea el programa lineal para que la empresa obtenga máximo beneficio diario. Formulamos el programa lineal siguiendo las etapas antes señaladas: 1. Hacemos una tabla:

2. Las variables son:

Frigorífico con 1 congelador Horas diarias de montaje Horas diarias de acabado Beneficio por cada frigorífico Número de frigoríficos diarios

Frigorífico con 2 congeladores

x = número de frigoríficos fabricados a diario con 1 congelador. Horas diarias

3

3

120

3

6

180

300

400

x

y

y = número de frigoríficos fabricados a diario con 2 congeladores. 3. Las restricciones son: ¯ x v 0, y v 0, enteras ² °3 x + 3 y f 120 ²3 x + 6 y f 180 ± 4. La función objetivo a maximizar es: z = 300 · x + 400 · y

Y

Unidad 4

84

3. Programación lineal para dos variables. Métodos de resolución Hoy en día se han complicado mucho los programas de programación lineal debido a que en ellos intervienen varias variables. La resolución de estos complejos programas se hace mediante el método del simplex y con ayuda de ordenador. En este curso no vamos a utilizar este método, que corresponde a cursos más avanzados; vamos a resolver problemas de programación lineal con dos únicas variables, que llamaremos x e y.

Programación entera Los conjuntos numéricos en los que toman valores las variables de decisión quedan condicionados por la naturaleza del problema. Si los valores solo pueden ser números enteros, estamos ante una rama de la programación lineal: la programación entera. En la programación entera, el óptimo no será necesariamente un vértice a no ser que este tenga coordenadas enteras, es decir, el óptimo puede no estar en la frontera. Con frecuencia sucede que al existir restricciones de signo para las variables de decisión, estas toman valores naturales.

• Un programa lineal en dos variables x e y viene formulado de una de las siguientes formas: • Maximizar la función objetivo z = c1x + c2 y sujeta a las siguientes restricciones: ¯x v 0; y v 0 ² ²a11x + a12 y f b1 °a 21x + a 22 y f b2 ²............................. ² ± a m 1x + a m 2 y f b m • Minimizar la función objetivo z = c1x + c2 y sujeta a las siguientes restricciones: ¯x v 0; y v 0 ² ²a11x + a12 y v b1 °a 21x + a 22 y v b2 ²............................. ² ± a m 1x + a m 2 y v b m Para resolver un problema de programación lineal en dos variables utilizamos las siguientes propiedades: • Si existe una única solución que optimice la función objetivo esta se encuentra en un vértice de la región factible acotada, nunca en el interior de la misma. Esta propiedad se conoce con el nombre de principio de las esquinas. • Si la función objetivo toma el mismo valor óptimo en dos vértices, también toma idéntico valor en los puntos del segmento que determinan esos vértices. En este caso el programa tiene solución múltiple. • Si la región factible no está acotada, el programa lineal puede carecer de solución, pero si existe solución esta se encuentra en los vértices de la región factible. Veamos dos métodos para resolver este tipo de programas lineales: método analítico y método gráfico.

Y

Programación lineal

85

3.1. Método analítico Para encontrar las soluciones de un problema de programación lineal en dos variables por el método analítico hemos de seguir los siguientes pasos: 1. Formular el programa lineal siguiendo las etapas señaladas en el epígrafe 2.2. Es decir: hacer una tabla, determinar las variables, escribir las restricciones y encontrar la función objetivo. 2. Representar la región factible y encontrar los vértices de la misma resolviendo los sistemas de ecuaciones asociadas a las restricciones. 3. Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices de la región factible y determinar el que la optimiza, es decir, la solución óptima.

ACTIVIDADES RESUELTAS 4. Una fábrica de cajas de cartón hace dos tipos de cajas: unas con base cuadrada que vende a 0,12 euros unidad y en las que gasta 2 m de cinta adhesiva y 0,5 m de rollo de cartón, y otras de base rectangular que vende a 0,08 euros unidad y en las que gasta 4 m de cinta adhesiva y 0,25 m de rollo de cartón. Si la fábrica dispone de 440 m de cinta adhesiva y de 65 m de rollo de cartón, ¿cuántas cajas de cada tipo debe fabricar para que el valor de la producción sea máximo? Resolvemos el problema por el método analítico siguiendo los pasos anteriores. 1. Hacemos una tabla con la información: Caja cuadrada Cinta (m)

Caja rectangular

2

4

440 m

Cartón (m)

0,5

0,25

65 m

Precio (euros/unidad)

0,12

0,08

x

y

Número de cajas

• Llamamos x al número de cajas de base cuadrada e y al número de cajas de base rectangular. Son variables enteras y como han de ser positivas son números naturales. • Las restricciones son: ¯ x v 0, y v 0, enteras ² °2x + 4 y f 440 ²0,5 x + 0, 25 y f 65 ±

Y 260

• La función objetivo a maximizar es: z = 0,12x + 0,08y 2. Representamos la región factible. Los vértices de la misma son los puntos de corte de las distintas rectas y son: O (0, 0); A(130, 0); B (100, 60); C(0, 110)

La fábrica debe hacer 100 cajas cuadradas y 60 rectangulares.

110 C 100

B 50

A O

50

100

x + 2y = 220

0 13

3. La función objetivo toma en estos vértices los siguientes valores: zO = 0; zA = 15,60; zB = 16,80; zC = 8,80; y alcanza el máximo en B.

150

X 0,5 x + 0,25 y = 65

Y

Unidad 4

86

3.2. Método gráfico Líneas de nivel de la función objetivo

Para encontrar las soluciones de un problema de programación lineal en dos variables por el método gráfico hemos de seguir los siguientes pasos:

Se llaman líneas de nivel de la función objetivo z = c1x + c2y, o rectas de beneficio constante, a aquellas expresiones en las que la función objetivo toma un determinado valor constante.

1. Formular el programa lineal, siguiendo las etapas señaladas en el epígrafe 2.2. Es decir: hacer una tabla, determinar la variables, escribir las restricciones y encontrar la función objetivo. 2. Representar la región factible y encontrar los vértices de la misma resolviendo los sistemas de ecuaciones asociadas a las restricciones.

En el método gráfico de resolución se suele dibujar la línea de nivel de valor nulo, o recta de beneficio nulo, cuya ecuación es: c1x + c2y = 0.

3. Representar la recta de beneficio nulo, c1x + c2y = 0, correspondiente a la función objetivo de valor cero, z = 0.

Esta recta se mueve paralelamente a su dirección buscando barrer la región factible de soluciones.

4. Recorrer la región factible con las líneas de nivel c1x + c2y = k, rectas paralelas a la recta de beneficio nulo.

La recta paralela a la anterior que solamente toque en un punto a la región factible es la que proporciona la solución buscada del programa lineal correspondiente, en el caso de que la solución sea única. Si la recta de nivel toca en varios puntos, el programa presenta solución múltiple.

5. De todas estas líneas buscar la que da lugar al valor óptimo de la función objetivo, que pasará por un vértice de la región factible. 6. Discusión de la solución óptima pudiéndonos encontrar con uno de los siguientes casos:

CASO 1

CASO 2

CASO 3

CASO 4

CASO 5

MAXIMIZAR Y MINIMIZAR

MAXIMIZAR MÚLTIPLE MINIMIZAR ÚNICO

MINIMIZAR ÚNICO

MINIMIZAR MÚLTIPLE

NINGUNA

a

a

Región factible acotada con solución única

Región factible acotada con solución múltiple

a

Región factible no acotada con solución única

a

Región factible no acotada con solución múltiple

a

Región factible no acotada y sin solución

ACTIVIDADES RESUELTAS 5. Halla el valor máximo de la función z = 2x + 2y cuando x e y están sujetas a las restricciones: x v 0; x + 2y v 4; 6x + 5y f 30; y v 0. Y

Representamos la región factible y la recta 2x + 2y = 0, recta de beneficio nulo. C

Los vértices de la región factible son: A (4, 0)

B (5, 0)

C(0, 6)

D(0, 2)

La función objetivo z = 2x + 2y toma en estos vértices los valores: zA = 8; zB = 10; zC = 12; zD = 4 El valor máximo lo alcanza en el vértice C (0, 6) y vale 12. Gráficamente se observa con la línea de nivel que pasa por C. En este caso la región factible es acotada con solución única.

w

6x + 5y = 30

2 x + 2y = 0

B A x + 2y = 4

D

O

X

Y

Programación lineal

87

ACTIVIDADES RESUELTAS 6. Para la desinfección de una piscina es necesario un mínimo de 24 litros de un producto A y un mínimo de 25 litros de otro producto B. En el mercado se comercializan dos preparados M y N al precio de 10 y 30 euros el litro, respectivamente. En la composición de M hay un 10% de A y un 50% de B; en la de N hay un 40% de A y un 10% de B. ¿Cuántos litros de M y N necesitamos para desinfectar la piscina con el mínimo coste posible? • En la tabla figura la información que da el problema. • Las variables son: x = no– de litros de M; y = n–o litros de N. A

• Las restricciones son:

B

¯ x v 0, y v 0 ² °0,1x + 0, 4 y v 24 ²0,5 x + 0,1y v 25 ±

Precio litro Nº litros

M

N

10 100 50 100

40 100 10 100

10

30

x

y

24 25

• La función objetivo a minimizar es z = 10x + 30y. • En la gráfica aparece marcada la región factible, sus vértices y la línea de nivel z = 0.

Y 250

C (0, 250)

Desplazando la línea de nivel se observa que:

200

La función z = 10x + 30y toma el valor mínimo en el vértice B(40, 50).

x + 3y = 0 100

Por tanto, se necesitan para desinfectar la piscina 40 litros de preparado M y 50 litros de preparado N. El coste es 1900 euros.

B (40, 50) 60

A (240, 0)

50

O

100

X

200 240

La región factible es no acotada con solución única.

x + 4y = 240

5x + y = 250

7. Se quiere elaborar una dieta diaria para ganado que satisfaga unas condiciones mínimas de contenidos vitamínicos al día: 2 mg de vitamina A, 3 mg de vitamina B, 30 de la C y 2 de la D. Para ello se van a mezclar piensos de dos tipos, P y Q, cuyo precio por kilogramo es para ambos de 3 euros, y cuyo contenido vitamínico por kilogramo se recoge en la tabla adjunta. ¿Cómo deben mezclarse los piensos para que el gasto sea mínimo? ¿Cuál es este gasto mínimo? Si llamamos x a los kilogramos de P e y a los de Q, se tendrá el siguiente programa lineal: Minimizar z = 3x + 3y sujeto a: ¯x + y v 2 ² ²² x + 3 y v 3 °20 x + 7,5 y v 30 ²2 x v 2 ² ²± x v 0, y v 0 Evaluando la función objetivo en los vértices P(3, 0), Q(1,5; 0,5), R(1,2; 0,8) y S(1; 1,33) de la región factible, obtenemos: zP = 9, zQ = 6, zR = 6 y zS = 6,99 Las coordenadas de cualquier punto del segmento de extremos Q y R es solución del problema, proporcionando un gasto mínimo de 6 euros. La región factible es no acotada con solución múltiple.

Vitamina Pienso

A

B

C

D

P Q

1 mg 1 mg

1 mg 3 mg

20 mg 7,5 mg

2 mg 0 mg

Y 4

x+y=2

2x = 2

3

x + 3y = 3 2

S R

1 0

Q 1

2

P 3

4 5

X

20x + 7,5y = 30

Y

Unidad 4

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4. El problema del transporte Un problema particular que se resuelve con los procedimientos de la programación lineal es la situación conocida como problema del transporte o problema de la distribución de mercancías. La estructura que presentan estos problemas es la siguiente:

Destinos 1

2

…

n

Ofertas

1

c11

c12

…

c1n

a1

2

c21

c22

…

c2n

a2

…

…

…

…

…

…

m

cm1 cm2 … cmn

am

Orígenes

Demandas

b1

b2

…

bn

Se dispone de m centros de producción u orígenes, con sus respectivas ofertas; y n centros de consumo o destinos, con sus demandas correspondientes. A su vez, son conocidos los costes de envío, desde cada origen hasta cada destino. Todos los datos anteriores suelen expresarse a través de una tabla o matriz de costes como la que podemos ver en el margen. • El objetivo de todo problema de transporte es determinar cuántas unidades de producto deben enviarse desde cada origen hasta cada destino de forma que se minimicen los costes totales de distribución, se satisfaga la demanda de cada destino y no se exceda la capacidad de oferta de cada uno de los orígenes. En las actividades resueltas que siguen vemos la resolución de distintas situaciones de transporte o distribución.

ACTIVIDADES RESUELTAS 8. Para abastecer de madera a tres aserraderos, A1 , A2 y A 3 , hay dos bosques, B1 y B2 , que producen 26 toneladas y 30 toneladas, respectivamente. Las necesidades de cada aserradero son: 20, 22 y 14 toneladas, respectivamente. Si los costes de transporte por tonelada de los bosques a los aserraderos son, en cientos de euros, los que se indican en la tabla adjunta, propón el transporte con el coste mínimo.

Aserraderos A1

A2

A3

B1

1

3

1

B2

2

1

1

Bosques

Si llamamos x a la cantidad de madera que proporciona el bosque B1 al destino A1 , e y a la cantidad de madera que proporciona el bosque B1 al destino A2, toda la distribución de madera queda, en función de las variables anteriores, en la forma que se recoge en la tabla.

x

y

26 – x – y

20 – x

22 – y

–12 + x + y

Las cantidades de entrega de los bosques a los aserraderos deben ser no negativas, es decir, deben cumplir las desigualdades siguientes: x v 0, y v 0, 20 – x v 0, 22 – y v 0, 26 – x – y v 0, –12 + x + y v 0 Simplificando las desigualdades anteriores, obtenemos las siguientes inecuaciones: x v 0, y v 0, x f 20, y f 22, x + y f 26, x + y v 12 Teniendo en cuenta la tabla de costes del enunciado y la tabla anterior, resulta la siguiente función objetivo que se ha de minimizar: z = 1 · x + 3 · y + 1 · (26 – x – y) + 2 · (20 – x) + 1 · (22 – y) + 1 · (–12 + x + y) Operando y simplificando, obtenemos la función z = –x + 2y + 76.

Y

Programación lineal

89

ACTIVIDADES RESUELTAS El programa lineal a resolver es:

Y T

Minimizar la función z = –x + 2y + 76 sujeta a: ¯x ² ²² y °x ²x ² ²± x

S

y = 22

20

f 20 f 22 + y f 26 + y v 12 v 0, y v 0

16

x = 20

12 U 8

R

4

Los valores de la función objetivo en los vértices P (12, 0), Q(20, 0), R(20, 6), S(4, 22), T(0, 22) y U(0, 12) de la región factible son:

0

4

P 12

8

x + y = 26 Q 20 24

16

zP = 64, zQ = 56, zR = 68, zS = 116, zT = 120 y zU = 100

x + y = 12

Observamos que en el vértice Q se minimiza la función objetivo; por tanto, la solución es x = 20, y = 0, es decir, las cantidades a transportar son las que se recogen en la tabla adjunta.

9. Desde dos almacenes, A y B, se tiene que distribuir fruta a tres mercados de la ciudad. El almacén A dispone de 10 toneladas de fruta diarias y el B de 15 toneladas, que se reparten en su totalidad. Los dos primeros mercados necesitan, diariamente, 8 toneladas de fruta, mientras que el tercero necesita 9 toneladas diarias. El coste del transporte de cada almacén a cada mercado viene dado en la tabla. Planifica el transporte para que el coste sea mínimo.

0

6

0

22

8

Mercado 1

Mercado 2

Mercado 3

A

10

15

20

B

15

10

10

Almacén

Expresamos las restricciones dadas por las condiciones de no negatividad, y formulamos la función objetivo, obteniendo el programa lineal siguiente:

Y

Minimizar la función z = 390 – 15x – 5y sujeta a:

T

f8 f8 + y f 10 + y v1 v 0, y v 0

20

Mercado

Procediendo como en el problema anterior y llamando x a la cantidad de mercancía que entrega el almacén A al mercado 1, e y a la mercancía que entrega el almacén A al mercado 2, el resto de la mercancía se distribuye en la forma que se recoge en la tabla.

¯x ² ²² y °x ²x ² ±² x

X

x

y

10 – x – y

8–x

8–y

–1 + x + y

S

y=8 x=8

6 4

R

2

U 0 P

Los valores de la función objetivo z = 390 – 15x – 5y en los vértices P(1, 0), Q(8, 0), R(8, 2), S(2, 8), T(0, 8) y U(0, 1) de la región factible son los siguientes:

2

4

6

Q 8

X x + y = 10

x+y=1

zP = 375, zQ = 270, zR = 260, zS = 320, zT = 350 y zU = 385 Observamos que en el vértice R se minimiza la función objetivo; por tanto, la solución es x = 8, y = 2, es decir, las cantidades a transportar son las que se recogen en la tabla adjunta.

8

2

0

0

6

9

Y

Unidad 4

90

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Dados Juan observa los dados que tiene cada uno de sus amigos y dice: «cada uno de nosotros tiene 12 dados y también cada uno tiene menos verdes que azules y menos azules que rojos, y cada uno tenemos sólo de estos tres colores». Jaime afirma: «yo soy el único que tiene 4 dados azules y todos tenemos combinaciones diferentes». Paula sacó uno de sus dados verdes y lo mostró a los demás. Sabiendo que en total había 26 dados rojos, ¿cuántos amigos hay en total?

FAMILIARIZACIÓN CON EL PROBLEMA Nos resulta muy difícil asimilar los datos que nos da el problema, por lo que optamos por hacer una tabla donde recojamos toda la información que nos proporciona el enunciado. DATOS RELATIVOS A LOS AMIGOS • Mínimo 3 amigos: – Juan. – Jaime (el único con 4 azules). – Paula (tiene más de 1 verde).

DATOS GLOBALES • Cada amigo tiene 12 dados. • Cada amigo tiene dados verdes, rojos y azules y para cada uno se cumple: nº de verdes < nº de azules < nº de rojos • Todos los amigos tienen combinaciones diferentes. • Número total de dados rojos, 26.

BÚSQUEDA DE ESTRATEGIAS Pensamos que la forma más adecuada de resolver el problema es utilizar la estrategia de ensayo y error.

LLEVAR ADELANTE LA ESTRATEGIA Máx. núm. de amigos, 7 Verdes 1 1 1 1 2 2 3 Azules 2 3 4 5 3 4 4 Rojos

9 8 7 6 7 6 5

Utilizamos tres de los datos que nos proporciona el problema: 12 dados cada amigo; cada amigo tiene menos verdes que azules y menos azules que rojos; todos tienen combinaciones diferentes. Con estos datos, obtenemos que las diferentes combinaciones de dados correspondientes al número máximo de amigos que puede haber son las que figuran en la tabla adjunta. Como Jaime es el único que tiene 4 dados azules y Paula tiene más de 1 verde, entonces la combinación de Paula es (2, 3, 7). De las combinaciones (1, 4, 7), (2, 4, 6) y (3, 4, 5) solamente una es válida, pues Jaime es el único que tiene 4 azules. Para que la suma de los dados rojos sea 19, excluidos los de Paula, las combinaciones que lo verifican son (1, 3, 8), (1, 5, 6) y la de Jaime (3, 4, 5). Por tanto, hay 4 amigos.

REVISAR EL PROCESO Y SACAR CONSECUENCIAS DE ÉL La idea clave en la resolución de este problema ha sido el haber encontrado las combinaciones posibles de dados que figuran en la tabla adjunta. Podemos comprobar que las combinaciones solución al problema verifican todas las condiciones impuestas por el mismo. Paula (2, 3, 7); Jaime (3, 4, 5); Juan y el 4º amigo (1, 3, 8), (1, 5, 6). No podemos saber cuál es la combinación de Juan y cuál la del 4º amigo.

Y

Programación lineal

91

Ensayo y error La técnica de ensayo y error es muy útil en la resolución de problemas, y consiste en: • Elegir un resultado, operación, combinación o propiedad posible. • Imponer al resultado, operación, combinación o propiedad las condiciones dadas en el problema. • Comprobar si hemos resuelto el problema. Cuando el problema no queda resuelto, se repite todo el proceso anterior tomando otro resultado, operación, combinación o propiedad diferente. Existen dos tipos de ensayo y error: • Ensayo y error fortuito, cuando los resultados, operaciones, combinaciones o propiedades se eligen al azar. • Ensayo y error dirigido, cuando los resultados, operaciones, combinaciones o propiedades no se eligen al azar, sino sometidos a alguna restricción impuesta por el problema. En el problema de la página anterior hemos utilizado la estrategia de ensayo y error dirigido, tomando las diferentes combinaciones de dados sujetas a tres condiciones impuestas por el problema. a

Libro de Juegos mandado realizar por Alfonso X El Sabio.

A C T I V I D A D E S 䊏 Aplica la técnica de ensayo y error en la resolución de los siguientes problemas: 1. Lentejas y garbanzos. En un puesto del mercado tienen 5 sacos de garbanzos y uno de lentejas. Un cliente se lleva una cierta cantidad de garbanzos; después, otro cliente se lleva el doble de garbanzos que el cliente anterior, quedándose sólo el saco de lentejas. El vendedor sólo vende sacos completos. Sabiendo que los diferentes sacos son de 19, 18, 31, 16, 15 y 20 kg, ¿de cuántos kilogramos es el saco de lentejas? 2. Tres cartas. De una baraja española de 40 cartas, extraemos 3 y las colocamos en una fila horizontal. Las cartas verifican las condiciones siguientes: a la derecha del caballo hay 1 o 2 sotas; a la izquierda de la sota, hay 1 o 2 sotas; a la izquierda de un oro, hay una o dos copas; y a la derecha de una copa, hay una o dos copas. ¿De qué tres cartas se trata? 3. Primas. Dos amigos, Pedro y Luisa, se encuentran una tarde y Pedro le dice a Luisa: «Ayer estuve con mis tres primas». Luisa le pregunta: «¿qué edad tienen?», a lo que Pedro contesta: «el producto de sus edades es 2 450 y la suma de las mismas es el doble de tu edad». Luisa dijo que con estos datos no podía saber las edades. Pedro añadió: «yo soy por lo menos un año más joven que la más vieja». Por supuesto, Luisa conoce la edad de Pedro. ¿Cuáles son las edades de las primas de Pedro y cuál es la edad de Luisa?

Y

Unidad 4

92

NUEVAS TECNOLOGÍAS Programación lineal con ProLin para Windows ProLin para Windows es un programa informático que permite resolver problemas de programación lineal representando las inecuaciones, encontrando la región factible y calculando los extremos asociados a la función objetivo. Al arrancar el programa nos aparece la ventana PROGRAMACIÓN LINEAL - Entrada de datos, como vemos en la imagen adjunta, que nos permite elegir las inecuaciones a representar y la función objetivo, F(x, y), así como el origen, final y escala de cada uno de los ejes coordenados. Podemos escribir un máximo de cinco inecuaciones a la vez. Una vez escritas las inecuaciones y la función objetivo pulsamos y nos aparece una ventana con el dibujo de la región factible. En esta ventana hay una barra de menús con las siguientes opciones: • Menú Archivo, con las opciones habituales de este menú en todo programa. • Menú Programación Lineal, con las opciones: – Marcar solución: señala con un color la región solución de cada inecuación. – Puntos de corte: indica los puntos de corte entre todas las rectas y entre estas y los ejes. – Copiar la solución en el portapapeles: coloca en formato texto en el portapapeles los puntos de corte entre las distintas rectas, así como si cumplen (S) o no (N) las distintas inecuaciones y los valores que toma la función objetivo en cada uno de estos puntos. • Menú Opciones, que nos permite trabajar sobre el área de dibujo. En la imagen siguiente aparece la ventana correspondiente a la solución del programa lineal: Optimizar F (x) = 6x + 5y sujeta a las restricciones: {x – 3y f –4; 2x – y v 2; x + 2y f 16} F(0, 1.333333) = 6.666667; S N S F(-4, 0) = -24; S N S F(2, 2) = 22; S S S F(8, 4) = 68; S S S F(0, -2) = -10; N S S F(1, 0) = 6; N S S F(4, 6) = 54; S S S F(0, 8) = 40; S N S F(16, 0) = 96; N S S Máx(8, 4) = 68 Mín(2, 2) = 22

PRACTICA con ProLin la resolución de las actividades números 4, 8, 11 y 18.

A la derecha de esta imagen aparecen una de serie de igualdades asociadas a los valores que toma la función objetivo en los puntos de corte, así como los valores óptimos que toma esta función, y que se obtienen mediante la opción del menú Programación lineal: Copiar la solución en el portapapeles, y pegando en cualquier procesador de textos.

Y

Programación lineal

93

EN RESUMEN Maximizar z = ci xi sujeto a Axi f bi , xi v 0 OPTIMIZAR UNA FUNCIÓN LINEAL SOMETIDA A UNA SERIE DE RESTRICCIONES LINEALES

formulación

Minimizar z = ci xi sujeto a Axi v bi , xi v 0 1. Recoger la información en una tabla consiste en

Solución múltiple

etapas formulación

2. Determinar las variables 3. Escribir las restricciones

FACTIBLES CON SOLUCIÓN

4. Expresar la función objetivo clases de programas

Solución única

PROGRAMACIÓN LINEAL

NO FACTIBLES SIN SOLUCIÓN

aplicaciones

PROBLEMA DE LA PRODUCCIÓN

PROBLEMA DEL TRANSPORTE

PROBLEMA DE LA DIETA

métodos de resolución gráfico

analítico

1. Dibujar sistema de coordenadas y escalas

1. Dibujar sistema de coordenadas y escalas

2. Obtener la región factible

2. Obtener la región factible

3. Barrer la región factible con las líneas de nivel

3. Calcular las coordenadas de los vértices de la región factible

4. Buscar la línea de nivel de valor óptimo

4. Buscar el vértice que proporciona el valor óptimo

AMPLÍA CON… Son pocos los matemáticos que se deciden a escribir sobre sus trabajos en primera persona. En Aventuras de un matemático (Nivola Ediciones), el autor, el matemático polaco-estadounidense Stanislaw M. Ulam (1909-1984), nos relata los avatares de su vida personal y profesional. El libro recorre buena parte del siglo XX, en especial el periodo correspondiente a la Segunda Guerra Mundial. Cabe destacar de Ulam su trabajo en grupos científicos, sus aportaciones en cuestiones biológicas, como el funcionamiento del cerebro, y el haber sido uno de los pioneros en utilizar ordenadores en sus investigaciones. Con este libro, de agradable lectura, conoceremos las aportaciones de Ulam a las matemáticas del siglo XX y sus aplicaciones en otras ciencias.

Y

Unidad 4

94

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD RESUELTAS Halla los vértices del recinto del plano formado por las soluciones del sistema de inecuaciones: ¯x v 0 ² ²² y v 0 °x f 4 ² x + 2y v 2 ² ²±2 y f x + 2 Dibujamos en un diagrama cartesiano OXY las rectas resultantes de convertir las inecuaciones en ecuaciones.

Y

x=4

4

R

3

2y = x + 2

x + 2y = 2 2

Estas son:

S

x = 0, y = 0, x = 4, x + 2y = 2, 2y = x + 2 Para cada una de las desigualdades del sistema determinamos su conjunto de soluciones. La intersección de todos estos semiplanos da la región factible o región de soluciones del sistema.

Q –2

–1

0

P

1

3

4

X

P 4

X

• La intersección de y = 0; x + 2y = 2 es el punto P(2, 0). • La intersección de y = 0; x = 4 es el punto Q(4, 0). • La intersección de x = 4; 2y = x + 2 es el punto R(4, 3). • La intersección de x + 2y = 2; 2y = x + 2 es el punto S(0, 1). Por tanto, los vértices de la citada región factible son los puntos P(2, 0), Q(4, 0), R(4, 3) y S(0, 1).

Determina, mediante inecuaciones lineales, la región del plano del dibujo: Los vértices de la región dada son O(0, 0), P(4, 0), Q(2, 2), R(1, 2) y S(0, 1). Determinamos las aristas de la región, es decir, las ecuaciones de las rectas determinadas por los vértices y, para cada una de ellas, la inecuación correspondiente.

Y

2

• La ecuación de la recta que pasa por los vértices O y P es y = 0, y la inecuación asociada es y v 0.

S 1

• La ecuación de la recta que pasa por los vértices P y Q es x + y – 4 = 0. Al cumplirse 0 + 0 – 4 < 0, el punto (0, 0) está en el semiplano definido por la inecuación x + y – 4 f 0.

O

R

1

Q

2

3

• La ecuación de la recta que pasa por los vértices Q y R es y = 2, y la inecuación asociada es y f 2. • La ecuación de la recta que pasa por los vértices R y S es x – y + 1 = 0. Al cumplirse 0 – 0 + 1 > 0, el punto (0, 0) está en el semiplano definido por la inecuación x – y + 1 v 0. • La ecuación de la recta que pasa por los vértices S y O es x = 0, y la inecuación asociada es x v 0.

Juntando todos los resultados anteriores, obtenemos que la región del plano del dibujo está definida por el siguiente sistema de inecuaciones:

¯x ² ²² y °x ²y ² ²± x

v0 v0 y + 1v 0 f2 + y4f0

Y

Programación lineal

95

Determina los valores máximo y mínimo de la función z = 2x – 8y sometida a las restricciones: 3x – 2y f 12

x – 4y v –20

3x + 2y f 24

En el gráfico podemos ver la región factible que proporcionan las restricciones. La región convexa está definida por los vértices de coordenadas: A(4, 0)

B(6, 3)

C(4, 6)

D(0, 5)

x + 2y v 4 Y

xv0

x – 4y

C

z = –48 z = –40 z = –32 z = –24 z = –16 z = –8

B

z=0 z=8

E

z = 16 A

O

X x + 2y = 4

Determina los valores máximo y mínimo de la función z = 5x – 3y sujeta a las restricciones: ¯x + y f 3 ² ²2 x + y v 8 ° ²x v 0 ²± y v 0

= –20

D

Observamos que la línea de nivel que proporciona el valor máximo es la recta de ecuación 2x – 8y = 8. Esta recta pasa por el vértice A(4, 0).

Por tanto, la función objetivo alcanza el máximo en el punto A(4, 0) y el mínimo en cualquiera de los puntos del segmento determinado por los vértices C(4, 6) y D(0, 5).

3x – 2y = 12

3x + 2y = 24

E(0, 2)

La línea de nivel que proporciona el valor mínimo es la recta de ecuación 2x – 8y = –40, que pasa por los vértices C(4, 6) y D(0, 5).

yv0

Y

x+y=3

2x + y = 8

Podemos ver en el gráfico que las restricciones no proporcionan ningún punto en la región factible. Nos encontramos ante un programa lineal no factible, es decir, que carece de soluciones.

0

X

Determina los valores máximo y mínimo de la función z = 2x + y sometida a las restricciones: 0fxf6

0 f y f 10

8 f 2x + y f 16

Y

La región factible que delimitan las restricciones podemos observarla en el gráfico. Esta región está delimitada por los vértices: C(6, 4)

D(3, 10)

E(0, 10)

F(0, 8)

F

=1 6

La línea de nivel que alcanza el valor máximo es la recta de ecuación 2x + y = 16. Observamos que pasa por los vértices C(6, 4) y D(3, 10).

2x +y

C

=8

La línea de nivel que alcanza el valor mínimo es la recta de ecuación 2x + y = 8. Observamos que pasa por los vértices A(4, 0) y F(0, 8). Por tanto, la función objetivo alcanza el máximo en cualquiera de los puntos del segmento determinado por los vértices C(6, 4) y D(3, 10), y el valor mínimo en cualquiera de los puntos del segmento determinado por los vértices A(4, 0) y F(0, 8).

+y

B(6, 0)

x=6 2x

A(4, 0)

y = 10

D E

B O

A

X

Y

Unidad 4

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PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD RESUELTAS En un almacén se guarda aceite de girasol y de oliva. Para atender a los clientes se ha de tener almacenado un mínimo de 20 bidones de aceite de girasol y 40 de aceite de oliva y, además, el número de bidones de aceite de oliva no debe ser inferior a la mitad del número de bidones de aceite de girasol. La capacidad total del almacén es de 150 bidones. Sabiendo que el gasto de almacenaje de un bidón de aceite de oliva es de 1 euro y de uno de girasol de 0,5 euros, ¿cuántos bidones de cada tipo habrá que almacenar para que el gasto sea mínimo? ¿Y para que el gasto sea máximo? Llamamos x al número de bidones de aceite de girasol e y a los de aceite de oliva que se almacenan. Las restricciones del enunciado son: x v 20 (bidones de aceite de girasol)

y v 40 (bidones de aceite de oliva)

y v x/2 (relación entre bidones de aceites diferentes)

x + y f 150 (bidones)

La función objetivo, que refleja el gasto de almacenaje, es z = 0,5x + y. El programa lineal a resolver es:

¯x ² ²y ² Optimizar z = 0,5x + y sujeta a: ° y ²x ² ²± x

Y x = 20

v 20 v 40 v x /2

150

+ y f 150

100

x y=— 2

S

v 0; y v 0; x , y

Los valores de la función objetivo en los vértices P (20, 40), Q(80, 40), R(100, 50) y S(20, 130) son:

P 0

zP = 50, zQ = 80, zR = 100 y zS = 140

R

50

y = 40

Q 50

100

150

200

X

x + y = 150

Por tanto, el mínimo de la función objetivo se alcanza para x = 20, y = 40; y el máximo para x = 20, y = 130.

En la dieta de un equipo de fútbol se utiliza una composición mínima de 15 unidades de vitamina A y de 15 de vitamina B. En el mercado hay sólo dos compuestos, el tipo X, con 1 unidad de A y 5 de B, y el tipo Y, con 5 unidades de A y 1 de B. El precio del compuesto X es de 10 euros y el de Y de 30 euros. ¿Qué cantidad hemos de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades de la dieta con un coste mínimo? Llamamos x a la cantidad de compuesto X e y a la de compuesto Y. En la tabla podemos ver la información del problema. La función objetivo, que da el coste de la dieta, es z = 10x + 30y y está sujeta a las restricciones:

Precio

¯ x v 0, y v 0 ² ° x + 5 y v 15 ²5 x + y v 15 ±

Y 15 A

A B

Cantidad

X

Y

1 5

5 15 1 15

10 30 x

y

Representamos en el gráfico la región factible. Los vértices de la región factible, que es no acotada, son: 3

A (0, 15)

B C

0

3

15 5x + y = 15

X x + 5y = 15

B(5/2, 5/2)

C(15,0)

Los valores de la función objetivo en estos vértices son: zA = 450; zB = 100; zC = 150 Por tanto, el coste mínimo de la dieta está en el vértice B. Necesitamos comprar 2,5 del compuesto X y 2,5 del compuesto Y.

Y

Programación lineal

97

Una empresa elabora dos productos, cada uno de ellos en una cantidad que es múltiplo de 1 000. Conoce que la demanda, de ambos productos conjuntamente, es mayor que 3 000 unidades y menor que 6 000 unidades. Asimismo, sabe que la cantidad que se demanda de un producto es mayor que la mitad y menor que el doble de la del otro. Si la empresa desea vender toda la producción: a) ¿De cuántos modos puede organizar la producción? b) Para obtener los máximos beneficios, ¿de cuánto ha de ser la producción de cada uno de ellos si uno se vende a un precio que es el triple que el del otro? Y

Las cantidades de los productos deben ser números enteros. Llamamos a estos, expresados en miles, x al primer producto e y al segundo.

y x=— 2

¯ x v 0, y v 0; x , y Las restricciones son: ° ±² x + y > 3; x + y < 6; 2 y > x ; x > y / 2 2y = x

a) La organización de la producción son los valores correspondientes a los puntos de coordenadas enteras situados en el interior de la región factible del gráfico. Debe advertirse que las desigualdades de las restricciones son estrictas. La producción puede organizarse según los valores siguientes:

X x+y=6

x+y=3

(2 000, 2 000), (3 000, 2 000) y (2 000, 3 000) b) Si se vende el segundo producto a un precio triple que el primero, el beneficio será z = x + 3y; y, según el gráfico, de esta forma se deberán fabricar 2 000 del primer producto y 3 000 del segundo.

Una empresa dedicada a la fabricación de piezas de automóvil tiene dos factorías que producen, respectivamente, 8 000 y 15 000 piezas mensuales. Estas piezas han de ser transportadas a tres fábricas que necesitan 10 000, 7 000 y 6 000 piezas, respectivamente. Los costes del transporte, en euros, Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 por pieza, son los que aparecen en la tabla adjunta. ¿Cómo debe orFactoría 1 6 13 2 ganizarse el transporte para que el coste sea mínimo? Factoría 2

Si llamamos x al número de piezas que entrega la factoría 1 a la fábrica 1, e y al número de piezas que entrega la factoría 1 a la fábrica 2, la distribución de piezas queda según se recoge en el cuadro adjunto y da lugar al programa lineal siguiente: Minimizar z = 12x + 19y + 60 000 sujeta a: ¯x ² ²x ° ²x ² ±x

4

4

12

x

y

8 000 – x – y

10 000 – x

7 000 – y

–2 000 + x + y

Y (miles)

f 10000; y f 7000 + y f 8000 + y v 2000

y = 10 000

8

y = 7 000

C D 6

v 0; y v 0 4

El valor mínimo de la función objetivo, zA = 84 000, se obtiene en el vértice A(2 000, 0) y la organización del transporte es la que aparece en la tabla siguiente: 2 000

0

6 000

8 000

7 000

0

x + y = 8 000

2 E

0

A 2

4

6

x + y = 2 000

B 8

X (miles)

Y

Unidad 4

98

ACTIVIDADES FINALES EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1. Encuentra el conjunto de soluciones de las inecuaciones siguientes: a) x + y – 7 f 0

b) 2x – y + 3 v 0

c) y v 3

d) x f 5

2. Dibuja las regiones factibles de los siguientes sistemas: ¯0,3 x + 0, 4 y f 0,9 a) ° ±²0, 2x 0,1y v 1, 2

¯ y + 3x 7 f 0 b) ° ±² y 6 x + 11 f 0

3. Encuentra el conjunto de puntos del plano que verifica el siguiente sistema de inecuaciones: ¯6 f y f 30 ² ²5 x + 2 y f 100 ° ²6 x + y v 30 ²± x + 2 y v 20 ¯x v 0 ² ²0 f y f 5 4. Representa la región factible solución del sistema de inecuaciones: ° . Encuentra los vértices de la misma. ² x 2 y f 10 ²± x + y v 10 5. Encuentra el sistema de inecuaciones cuya región factible es el triángulo de vértices (1, 1), (2, 3) y (3, 1). 6. ¿Qué sistemas de inecuaciones tienen por solución la región rayada en cada uno de los gráficos siguientes? Y

Y 4

3

3

2

2

1

1

O

1

2

3

X

O

1

2

3

7. Calcula el valor máximo y el mínimo de la función f(x, y) = x + 2y, sometida a las restricciones: y f 4;

x f 3;

x – y f 3;

x–yv0

8. Maximiza la función z = 3x + 2y en el dominio definido por las inecuaciones siguientes: {y + 2x v 0; 3y – x f 1; 0 f x f 2}

4

5

X

Y

Programación lineal

99

9. Representa el conjunto definido por las siguientes inecuaciones y calcula sus vértices: ¯ x + y f 2 ² °x + y f 4 ² x + 2 y v 1 ± a) Calcula el valor máximo y mínimo que alcanza la función f (x, y) = 4x + 2y en este conjunto. b) Determina en qué puntos alcanza dichos valores. 10. Maximiza la función f (x, y) = x + y + 1 sujeta a las restricciones: 0 f y;

0 f x f 10;

x f y;

y – 2x f 6;

3x + 4y v 24

11. Encuentra el mínimo de la función z = 3x + 4y cuando se verifican las siguientes desigualdades: x + 2y v 8;

2x + 3y v 12;

x + y v 6;

x v 0;

yv0

12. Considera el triángulo de vértices (0, 0), (2, 8) y (10, 3). Determina razonadamente: a) El punto del triángulo donde la función f (x, y) = – 4x + y + 9 alcanza el máximo. b) El punto del triángulo donde la función g (x, y) = 4x + y + 12 alcanza el máximo. 13. Un fabricante de coches lanza una oferta especial en dos de sus modelos, ofreciendo el modelo A a un precio de 9 000 euros y el modelo B a 12 000 euros. La oferta está limitada por las existencias, que son 20 coches del modelo A y 10 del modelo B, queriendo vender al menos tantas unidades del modelo A como del modelo B. Por otra parte, para cubrir los gastos de esta campaña, los ingresos obtenidos con ella deben ser, al menos, de 36 000 euros. a) ¿Cuántas unidades de cada modelo puede vender? Plantea el problema y representa su conjunto de soluciones. b) ¿Cuántos coches deberá vender de cada modelo para maximizar sus ingresos? ¿Cuál es su importe? 14. En una región se dispone de una área máxima de 600 ha para el cultivo de trigo y algodón. Las disponibilidades de agua en la zona son, sin embargo, limitadas, calculándose que el consumo global dedicado a estos cultivos no puede exceder en el presente año los 3 000 000 de m3. Razones de regulación de los precios obligan a una asignación mínima de 200 ha de trigo y 100 de algodón, y se estima que cada hectárea cultivada de trigo precisa de 6 000 m 3 por año siendo 4 000 m3 los precisados por la de algodón. Las ganancias que se espera obtener por hectárea cultivada de trigo son de 15 000 euros, mientras que la de algodón producirá 12 000 euros. ¿Cuántas hectáreas deberán dedicarse a cada cultivo para obtener la máxima ganancia? 15. La capacidad de producción de una factoría permite elaborar diariamente 120 artículos del tipo A y 360 del tipo B. Las reglamentaciones existentes obligan a que al menos el 80 % de la producción total se destine a exportación, pero la capacidad de inspección en la aduana es de solo 200 artículos diarios. El precio de los artículos del tipo A es cuatro veces el de los de tipo B. Planifica la producción diaria para maximizar los beneficios.

Y

Unidad 4

100

ACTIVIDADES FINALES 16. Un almacenista tiene en su almacén 150 kg de caramelos de limón y 180 kg de caramelos de menta. Decide venderlos haciendo dos mezclas: una está formada por la mitad de caramelos de cada clase y la vende a 2 euros/kg, y la otra contiene la tercera parte de caramelos de limón y el resto de menta, vendiéndola a 1,5 euros/kg. ¿Cuántos kilos de cada mezcla deberá preparar para maximizar sus ingresos? 17. Una empresa tiene dos centros de producción en los que se fabrican tres tipos de productos, A, B y C. Debe entregar semanalmente un mínimo de 18 unidades de A, 16 de B y 6 de C. El primer centro le cuesta diariamente 104 euros y produce cada día 9 unidades de A, 4 de B y 1 de C. El segundo centro le cuesta diariamente 8 · 103 euros y produce cada día 3 unidades de A, 4 de B y 3 de C. ¿Cuántos días por semana debe trabajar cada centro para cumplir los compromisos comerciales y que los costes de producción sean mínimos? 18. El veterinario ha recomendado al dueño de un perro que el animal tome diariamente al menos 4 unidades de hidratos, 23 de proteínas y 6 de grasas. En el mercado venden un producto en bolsas verdes que contiene 4 unidades de hidratos, 6 de proteínas y 1 de grasas, y otro producto en bolsas blancas que contiene 1 unidad de hidratos, 10 de proteínas y 6 de grasas. La bolsa verde cuesta 1 euro y la blanca 1,5 euros. ¿Cómo debe combinar el dueño ambos productos para dar la dieta necesaria a su perro con menor precio? 19. Para cubrir cierto trayecto, una compañía aérea tiene dos aviones A y B. El número total de vuelos de los aviones no debe ser inferior a 60 ni superior a 200. Además, el avión A no puede sobrepasar los 120 vuelos, pero debe hacer, al menos, tantos como el B. Cada viaje de A supone un consumo de 900 litros de combustible y proporciona a la compañía un beneficio de 2 000 euros. En el caso del avión B, el consumo es de 800 litros y el beneficio es de 1 600 euros por viaje. a) ¿Cuántos vuelos debe hacer cada avión para que el beneficio sea máximo? b) ¿Y si lo que se desea es que el consumo de combustible sea mínimo?

20. Un agricultor, para abonar una finca, necesita al menos 9 kg de nitrógeno y 15 kg de fósforo. En el mercado venden un producto A que contiene un 20% de nitrógeno y un 40% de fósforo, y otro producto B que contiene un 30% de nitrógeno y un 30% de fósforo. El precio del producto A es de 4 euros/kg y el del B de 5 euros/kg. ¿Qué cantidad de cada producto ha de comprar el agricultor para abonar la finca con el menor gasto posible?

Y

Programación lineal

101

21. Las necesidades vitamínicas diarias de una persona son de un mínimo de 36 mg de vitamina A, 28 mg de vitamina C y 34 mg de vitamina D. Estas necesidades se podrían cubrir tomando complejos vitamínicos de la marca Y y de la marca Z. Cada pastilla de la primera marca cuesta 0,03 euros y proporciona 2 mg de vitamina A, 2 mg de vitamina C y 8 mg de vitamina D. Cada pastilla de la segunda marca cuesta 0,04 euros y proporciona 3 mg de vitamina A, 2 mg de vitamina C y 2 mg de vitamina D. ¿Cuántas pastillas de cada marca se han de tomar diariamente si se desean cubrir las necesidades vitamínicas básicas con el menor coste posible? Determina dicho coste. 22. En una empresa se fabrican dos tipos de piezas de recambio, A y B. Para fabricar una pieza del tipo A se necesitan 2 kg de un metal y para hacer una del tipo B, 4 kg del mismo metal. La empresa dispone, como máximo, de 100 kg de metal y no puede fabricar más de 40 piezas del tipo A ni más de 20 del tipo B. a) Plantea un sistema de inecuaciones que represente las restricciones en la fabricación de la empresa. b) Determina gráficamente los puntos del plano que verifican este sistema. c) De entre las soluciones obtenidas, ¿cuáles son los posibles valores de las piezas de cada tipo (han de ser enteros) si se quieren gastar los 100 kg de metal? 23. Un mayorista vende productos congelados que presenta en envases de dos tamaños: pequeño y grande. La capacidad de sus congeladores no le permite almacenar más de 1 000 envases en total. En función de la demanda sabe que debe mantener un stock mínimo de 100 envases pequeños y 200 grandes. La demanda de envases grandes es igual o superior a la de envases pequeños. El coste por almacenaje es de 10 céntimos de euro por cada envase pequeño y de 20 céntimos de euro por cada uno de los grandes. ¿Qué cantidad de cada tipo de envases proporciona el mínimo gasto de almacenaje? Obtén dicho mínimo. 24. Encuentra la distribución de coste mínimo para los problemas de transporte de cada una de las tablas: a)

Hiper A

Hiper B

Hiper C

Ofertas

Fábrica A

4

4

6

600

Fábrica B

8

2

5

400

Demandas

500

300

200

A Bilbao

A Santander

A Zaragoza

Ofertas

De Madrid

2

3

1

40

De Barcelona

1

4

2

80

Demandas

20

40

60

b)

25. Un camión de 9 toneladas debe transportar mercancías de dos tipos: A y B. La cantidad de A no puede ser inferior a 4 toneladas ni superior al doble de la cantidad de B. Si el transportista gana 0,03 euros por cada kilogramo de A y 0,02 euros por cada kilogramo de B, ¿cómo debe cargar el camión para obtener la máxima ganancia? ¿A cuánto ascendería esa ganancia?

Y

Unidad 4

102

ACTIVIDADES FINALES ACCESO A LA UNIVERSIDAD ¯ x v 0; y v 0 ² ² x + 4 y f 16 26. Dado el siguiente sistema de desigualdades lineales: ° ² x + 2 y f 10 ²±2x + y f 14 a) Represéntalo gráficamente. b) Maximiza f = 3x + 5y sujeta a las restricciones anteriores. c) Discute razonadamente si el resultado obtenido en el apartado b) seguirá siendo el mismo al añadir la condición x f 5. 27. Una fábrica produce chaquetas y pantalones. Tres máquinas diferentes (de cortar, coser y tintar) son empleadas en la producción. Fabricar una chaqueta supone utilizar la máquina de cortar una hora, la de coser tres horas y la de tintar una hora, y, para unos pantalones, la máquina de cortar una hora, la de coser una hora y la tintar no se utiliza. La máquina de tintar se puede usar durante tres horas, la de coser doce y la de cortar siete. Todo lo que se fabrica es vendido y se saca un beneficio de ocho euros por cada chaqueta y de cinco por cada pantalón. ¿Cómo emplearemos las máquinas si queremos sacar el máximo beneficio posible? Da la respuesta en números enteros. 28. Un orfebre fabrica dos tipos de joyas. Cada joya tipo A se hace con 1 g de oro y 1,5 g de plata y se vende a 24 euros. La de tipo B se vende a 30 euros y lleva 1,5 g de oro y 1 g de plata. Si el orfebre sólo dispone de 750 g de cada metal, ¿cuántas joyas ha de fabricar de cada tipo para obtener el máximo beneficio? 29. Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble del de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornadas es de 150 euros por electricista y 120 euros por mecánico. ¿Cuántos trabajadores de cada especialidad deben elegirse para obtener beneficio máximo? 30. Una empresa compra 5 autobuses a una factoría francesa y 7 a una alemana. Quiere proveer al menos de 6 autobuses a la estación de Palma y al menos de 3 a la de Inca. ¿Cuántos autobuses de cada tipo colocará la empresa en cada estación si desea que el coste sea mínimo, siendo el coste del tipo de autobús, según destino, el indicado en la tabla?

Palma Inca

Francés

Alemán

4 9

16 17

31. Una fábrica produce gasolina y gasóleo en las siguientes condiciones: puede producir como máximo una tonelada de cada producto y el mínimo operativo es de 100 kg por producto. Los precios de venta son de 0,25 euros/kg la gasolina y de 0,2 euros/kg el gasóleo. Si produce en total 1 700 kg, ¿cuál será la producción que maximiza los ingresos?

Y

Programación lineal

103

AUTOEVALUACIÓN 1. El punto que pertenece a la región de soluciones de la inecuación 5x – 4y < 40 es: a) (4, –5)

b) (5, –5)

c) (2, 2)

2. El punto que pertenece a la región de soluciones del sistema de inecuaciones siguiente es: {5x – 3y v –2; x – 2y f –6; 2x + 3y f 37} a) (2, 8)

b) (6, 6)

c) (4, 4)

3. Los vértices de la región de soluciones de la actividad anterior son: a) (2, 4); (5, 9) y (8, 7)

b) (4, 2); (9, 5) y (8, 7)

c) (2, 4); (5, 0) y (7, 8) Y

4. El sistema de inecuaciones cuya región factible aparece en el dibujo (zona rayada) es:

8 7 6 5 4 3 2 1

a) {3x – y f –4; x – 2y v 2; x + 2y f 16} b) {x – 3y f 4;

2x – y f 2; 2x + y f 16}

c) {x – 3y f –4; 2x – y v 2; x + 2y f 16}

0

5. La representación gráfica de la región factible asociada al sistema de inecuaciones siguiente es: {2x + y f 4; a)

b)

Y 8 7 6 5 4 3 2 1 0

x + 3y f 7;

x v 0;

8 7 6 5 4 3 2 1 1

2 3 4 5 6 7 8

X

0

X

y v 0} c)

Y

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Y 8 7 6 5 4 3 2 1

1

2 3 4 5 6 7 8

X

0

1

2 3 4 5 6 7 8

X

6. La función z = x + 3y alcanza un valor mínimo en la región factible de la actividad anterior, en el vértice de coordenadas: a) (2, 0)

b) (0, 0)

c) (0, 4)

7. La función z = x + 3y alcanza un valor máximo en la región factible de la actividad número 5, en todos los puntos del segmento de vértices: a) (0, 7/3) y (1, 2)

b) (1, 2) y (2, 0)

c) (0, 0) y (0, 4)

8. Una librería dispone de 60 cuadernos, 50 carpetas y 40 bolígrafos para formar lotes del tipo A, con 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos, y lotes del tipo B, con 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Un lote del tipo A produce un beneficio de 1,6 euros y un lote del tipo B da un beneficio de 1,8 euros. Llamando x al número de lotes del tipo A e y a los del tipo B, la función a optimizar será: a) z = 2x + 3y

b) z = 3x + 2y

c) z = 1,6x + 1,8y

9. El número de lotes de cada tipo, de la actividad anterior, que deben formarse para maximizar el beneficio es: a) 10 de A y 15 de B.

b) 15 de A y 10 de B.

c) 20 de A y 20 de B.

10. En un almacén se guarda aceite de soja y de oliva. Para atender a los clientes han de tener un mínimo de 20 bidones de aceite de soja y 60 bidones de aceite de oliva. Los gastos de almacenaje son de 2,4 euros para un bidón de aceite de soja y de 1,8 euros para un bidón de aceite de oliva. Teniendo en cuenta que la capacidad total del almacén es de 100 bidones, el gasto mínimo de almacenaje es de: a) 156 euros

b) 204 euros

c) 192 euros

Z

u5 unidad 5 contenidos

1. Límite de una función. Funciones convergentes 2. Límites laterales

3. Propiedades de las funciones convergentes 4. Límites infinitos cuando x tiende a un número real 5. Límites finitos en el infinito 6. Límites infinitos en el infinito 7. Operaciones con límites de funciones 8. Resolución de indeterminaciones 9. Asíntotas y ramas infinitas de una función 10. Funciones continuas 11. Continuidad lateral 12. Discontinuidad de una función. Tipos

Límites de funciones. Continuidad

105

Las primeras definiciones de límite aparecen en la obra de John Wallis (1616-1703) Arithmética Infinitorum; además, en ella se utiliza por primera vez el símbolo para designar el infinito, es decir, el símbolo h. Jean Le Roud D’Alembert (1717-1783) perfeccionó la definición de límite y fue Augustin Louis Cauchy (1789-1857), en su famoso texto Cours d’Analyse (1821), quien dio la definición de límite tal como la utilizamos hoy día. Si buscamos en el diccionario la palabra continuidad, encontramos que por continuidad se entiende la cualidad de todo aquello que se extiende sin interrupción. Esta idea está íntimamente relacionada con el concepto matemático de función continua. La idea más primitiva de función continua es la que nos lleva a dibujar su respectiva gráfica sin levantar el lápiz del papel. La definición matemática de continuidad está íntimamente ligada al concepto de límite, y esta unidad didáctica la dedicaremos al estudio de los límites funcionales y la continuidad. En la gran obra del arquitecto Santiago Calatrava BCE Place Galleria (en la imagen), de la ciudad de Toronto, la sucesión de arcos nos acerca a la idea intuitiva de tendencia y de límite.

cuestiones iniciales 1. En la función y = f(x), cuya gráfica se adjunta, calcula: Y

• lím f ( x ); lím+ f ( x ); lím f ( x ) x q 2

x q 2

x q 2

4

• lím f ( x ); lím+ f ( x ); lím f ( x ) x q0

x q0

y = f (x )

3

x q0

2

• lím f ( x ); lím+ f ( x ) x q1

1

x q1

–2

–1 0

1

X

• lím f ( x ); lím x q h

x q +h

• f(–2); f(0) • Asíntotas horizontales, verticales y oblicuas. 2. Dada la función f ( x ) = • lím f ( x ) xq 1

2x 2 + 2x , halla: x2 1 • lím f ( x ) xq +h

• lím f ( x ) xq0

Y

Unidad 5

106

1. Límite de una función. Funciones convergentes Intuitivamente la idea que tenemos de límite de una función en un punto es el número hacia el que tienden o se aproximan los valores que toma la función cuando la variable independiente se acerca o se aproxima a ese punto.

Y 4

f (x ) = |x – 1|

3

Así, la función f(x) = |x – 1|, que aparece representada en el margen, tiende a 2 cuando x tiende o se aproxima a 3. Decimos entonces que esta función tiene por límite 2 cuando x tiende a 3.

2 1 –2

–1

0

1

2

3

La idea de tendencia o aproximación queda recogida mediante el uso de entornos.

X

4

lím x 1 = 2 xq3

• Una función f tiene por límite L cuando x tiende a x0 si para todo entorno E(L, J) existe un entorno E(x0, I ), de modo que para todo x perteneciente al entorno reducido E*(x0, I ) se cumple que f(x) pertenece al entorno E(L, J).

Función convergente en x0

Simbólicamente se escribe:

Y

lím f(x) = L

y = f (x )

x q x0

L +J L

Para que una función tenga límite en un punto de abscisa x0 no es necesario que la función esté definida en ese punto.

f (x ) L –J O

x0 – I x

x0

• Una función f es convergente en un punto de abcisa x0 cuando existe el límite de f cuando x tiende a x0.

x0 + I X

lím f ( x ) = L

x q x0

ACTIVIDADES RESUELTAS 1. Estudia la convergencia de la siguiente función en los puntos que se indican y calcula los valores que toma la función en ellos. Y

De la observación de la gráfica de la función obtenemos:

3

• lím f ( x ) = 2,5; f ( 1) = 2,5 xq 1

2

• lím f ( x ) = 2; f (2) = 1 xq2

1

• lím f ( x ) no existe; f ( 4) = 0 xq 4

–1

0

1

2

3

4

5

X

• lím f ( x ) = 1; no existe f (5) xq5

–1

La función es convergente en los puntos de abscisa –1, 2 y 5. –2

y = f (x )

La función no es convergente en el punto de abscisa 4.

Y

Límites de funciones. Continuidad

107

2. Límites laterales Existen funciones, como las que figuran en el margen, en las cuales no es posible calcular directamente el límite en algún punto. Esto es debido a que estas funciones están definidas de diferente manera a la izquierda y a la derecha de ese punto. Para estudiar estos límites, necesitamos recurrir a los límites laterales. • Una función f tiene por límite L cuando x tiende a x0 por la izquierda si para todo entorno E(L, J) existe un entorno lateral a la izquierda de x0, E – (x0, I ), de modo que para todo x perteneciente a este entorno lateral se verifica que f(x) pertenece al entorno E(L, J). Simbólicamente se escribe:

Función parte entera de x f(x) = E[x] Se define como el número entero inmediatamente inferior a x o igual que él. Y 2 1 –2

–1 0

lím f(x) = L

x q x 0

1

2

3 X

–1 –2

Y L +J

Para cualquier entero z, se verifica: • lím E [ x ] = z 1

f (x )

xqz

• lím+ E [ x ] = z

lím – f (x ) = L

L

xqz

x qx0

L –J y = f (x )

O

x0 – I

x

x0

X

• Una función f tiene por límite L cuando x tiende a x0 por la derecha si para todo entorno E(L, J) existe un entorno lateral a la derecha de x0, E +(x0, I ), de modo que para todo x perteneciente a ese entorno lateral se verifica que f(x) pertenece al entorno E(L, J). Simbólicamente se escribe: lím f(x) = L

x q x 0+

Función sierra Se define como la distancia entre cada valor x y el número entero más próximo. Esta distancia se toma positiva. Se puede definir también de la siguiente manera: ¯ x E [ x ] si x [ z ; z + 0,5] ² g( x ) = ° x + E [ x ] + 1 si ² x [ z + 0,5;; z + 1] ± siendo z cualquier entero. Y

Y

1

L+J

lím + f (x ) = L

x qx0

f (x ) L

–2

–1

0

1

2 X

Para cualquier entero z, se verifica: y = f (x )

L–J

• lím g( x ) = lím [ x + E [ x ] + 1] = xqz

xqz

= z + ( z 1) + 1 = 0 • lím+ g( x ) = lím+ [ x E [ x ]] = xqz

O

x0

x

x0 + I

X

xqz

=zz=0 Y

Unidad 5

108

3. Propiedades de las funciones convergentes

Veamos tres propiedades de los límites, o lo que es lo mismo, tres propiedades que cumplen las funciones convergentes.

Operaciones con las funciones convergentes

Condición necesaria y suficiente de convergencia

Si f y g son dos funciones convergentes en x0 :

• La condición necesaria y suficiente para que una función f tenga límite en un punto de abscisa xo es que tenga límite lateral por la izquierda, tenga límite lateral por la derecha y ambos sean iguales.

lím f ( x ) = L

x q x0

lím g( x ) = M

x q x0

lím f (x) = L lím f(x) = L = lím+ f (x)

se verifican las siguientes propiedades:

x q x0

x q x0

• lím [f – g ](x) = L – M

lím E[x] = z – 1; lím+ E[x] = z ¡ lím E[x]

x q x0

xqz

• lím [tf](x) = t · L; t R

xqz

xqz

donde z es cualquier número entero, z Z.

x q x0

• lím [f · g](x) = L · M

En cambio, la función sierra, definida en la misma página, tiene límite en todos los puntos, en particular también en los puntos de abscisa entera:

x q x0

¬f ¼ L • lím ½ ( x ) = ; si M | 0 x q x0 g M ® ¾ x q x0

x q x0

Observamos que la función f(x) = E[x] definida en la página anterior no tiene límite en los puntos de abscisa entera, pues existen límites laterales pero son distintos:

• lím [f + g](x) = L + M

• lím f ( x ) =

x q x0

lím g(x) = lím [ x + E[ x ] + 1] = z + (z 1) + 1 = 0 ¿ xqz ² g(x) = 0 À ¡ xlím qz lím+ g(x) = lím+ [ x E[ x ]] = z z = 0 ² xqz xqz Á xqz

L si L > 0

o f (x) es positiva en un E*(x0 , I ) • lím [f (x)]g(x) = LM; L > 0

Unicidad del límite

x q x0

• Si una función es convergente o tiene límite en un punto, este es único. Acotación • Una función que tiene límite en un punto está acotada en un entorno de ese punto.

ACTIVIDADES RESUELTAS 2. Sean f ( x ) = x 2 + 1; g( x ) =

3 ; lím f ( x ) = 5; lím g( x ) = 1. Halla: x q2 x 2 1 x q2

¬f ¼ b) lím ½ ( x ) c) lím [f ( x )]g( x ) x q2 xq 2 g ® ¾ Como f(x) y g(x) son funciones convergentes en x = 2, utilizando las propiedades de las funciones convergentes obtenemos: a) lím [f ( x ) g( x )] xq 2

a) lím [f ( x ) g( x )] = lím f ( x ) lím g( x ) = 5 1 = 4. x q2

x q2

x q2

lím f ( x )

¬f ¼ 5 b) lím ½ ( x ) = x q2 = = 5. x q2 lím g( x ) 1 ®g¾ x q2 lím g ( x )

f ( x ) ¼ x q2 c) lím [f ( x )]g ( x ) = ¬® lím ¾ x q2 x q2

= 51 = 5.

Y

Límites de funciones. Continuidad

109

ACTIVIDADES RESUELTAS 3. Estudia, en cada una de las siguientes funciones, los límites que se indican: Y 2

f (x ) = (–1)E [x ]

Y

1

1 –1 –3

–2

–1

1

0

2

3

4

0

X

–1

1

2

3

X

–1

g (x ) = 2 E [x ] – x –2

Y h (x ) = sig(x ) =

1 si x > 0 0 si x = 0 –1 si x < 0

Y

1

1

0

–1

X Función signo

0

1

X k (x ) = sig(x 2 – 1)

–1

a) límf ( x )

b) lím g( x )

xq2

c) lím h( x )

xq1

xq0

d) lím k ( x ) xq 1

Para calcular el límite de estas funciones, es necesario recurrir a los límites laterales. a) lím f(x) = –1; lím+ f (x) = 1 ¡ No existe lím f(x) xq2

xq2

xq2

b) lím g (x) = –1; lím+ g (x) = 1 ¡ No existe lím g(x) xq1

xq1

xq1

c) lím h(x) = –1; lím+ h (x) = 1 ¡ No existe lím h(x) xq0

xq0

xq0

d) lím k (x) = 1; lím + k(x) = –1 ¡ No existe lím k (x) xq 1

xq 1

xq 1

4. Halla, si existe, el límite de las siguientes funciones cuando x tiende a 0. a) f ( x ) =

x x 2

b) g( x ) =

x2 + x x

En primer lugar escribimos las funciones de forma más adecuada: ¯ 0 si x v 0 f (x) = ° ²± x si x < 0

¯ x + 1 si x > 0 g( x ) = ° ²± x 1 si x < 0

Por estar definidas ambas funciones a trozos, calculamos los límites laterales. a) lím f ( x ) = lím ( x ) = 0; lím+ f ( x ) = lím+ 0 = 0 ¡ lím f ( x ) = 0 x q0

x q0

x q0

x q0

x q0

b) lím g( x ) = lím ( x 1) = 1; lím+ g( x ) = lím+ ( x + 1) = 1 ¡ No existe lím g( x ) x q0

x q0

x q0

x q0

x q0

Y

Unidad 5

110

4. Límites infinitos cuando x tiende a un número real Y

x0 – I x

x0

X

0

M f (x )

Observamos en la figura adjunta que, a medida que nos aproximamos a x0 por la izquierda, los valores correspondientes que toma la función son cada vez mayores.

Y lím f (x ) = +h

x qx 0–

f (x ) K

Afirmamos que cuando x tiende a x0 por la izquierda, f(x) tiende a +h.

y = f (x )

y = f (x )

O

x

x0 – I

X

x0

• Una función f (x) tiene por límite +h cuando x tiende a x0 por la izquierda si para todo número real K existe un entorno lateral a la izquierda de x0, E – (x0, I ) = (x0 – I, x0), de modo que, para todo x que pertenece a ese entorno, se verifica que f(x) es mayor que K. Se escribe:

lím f ( x ) = h

x q x0

lím f(x) = +h

x q x 0

Y x0

x

x0 + I

O

X y = f (x )

En esta figura observamos que, a medida que nos aproximamos a x0 por la derecha, los valores correspondientes que toma la función son cada vez mayores.

Y lím f (x ) = +h

x qx 0+

f (x ) y = f (x )

K

Afirmamos que cuando x tiende a x0 por la derecha, f(x) tiende a +h.

M

O

f (x )

x0

x x +I 0

X

• Una función f (x) tiene por límite +h cuando x tiende a x0 por la derecha si para todo número real K existe un entorno lateral a la derecha de x0, E +(x0, I) = (x0, x0 + I), de modo que, para todo x que pertenece a ese entorno, se verifica que f(x) es mayor que K. Se escribe:

lím f(x) = –h

x q x0+

lím f(x) = +h

x q x 0+

En esta figura observamos que, a medida que nos aproximamos a x0, los valores correspondientes que toma la función son cada vez mayores.

Y x0 – I x

x0

x0 + I

O

X

Afirmamos que cuando x tiende a x0, f(x) tiende a +h.

y = f (x )

M

Y lím f (x ) = +h

x qx 0

f (x ) y = f (x ) K

O

x0 – I

x

x0

x0 + I

X

• Una función f (x) tiene por límite +h cuando x tiende a x0 si para todo número real K existe un entorno reducido de x0, E*(x0, I), de modo que, para todo x que pertenece a ese entorno, se verifica que f(x) es mayor que K. Se escribe:

f (x )

lím f(x) = +h

x q x0

lím f(x) = –h x q x0

Cuando existe alguno de los seis límites que figuran en esta página, decimos que la función f (x) tiene una asíntota vertical de ecuación x = x0.

Y

Límites de funciones. Continuidad

111

5. Límites finitos en el infinito En la figura del margen observamos que, para valores positivos y muy grandes de x, los valores correspondientes que toma la función se aproximan cada vez más hacia un valor L. Por esta razón, decimos que cuando x tiende a +h, f(x) tiende a L.

Y y = f (x )

L+J f (x ) L

• Una función f tiene por límite un número real L cuando x tiende a +h si para todo J positivo existe un número real K, de modo que para cualquier valor de x mayor que K se verifica que f(x) está en el entorno E(L, J). Se escribe:

L–J

O

K

lím f(x) = L

x

X

lím f ( x ) = L

xq+h

xq +h

En la figura adjunta observamos que, para valores negativos y muy grandes, en valor absoluto, de x, los valores correspondientes que toma la función se aproximan cada vez más hacia un valor L. Por esta razón, decimos que cuando x tiende a –h, f(x) tiende a L.

Y y = f (x ) L +J

• Una función f tiene por límite un número real L cuando x tiende a –h si para todo J positivo existe un número real M, de modo que para cualquier valor de x menor que M se verifica que f(x) está en el entorno E(L, J). Se escribe:

L f (x ) L –J

lím f(x) = L

x

xqh

M

O

X

lím f ( x ) = L

Cuando una función f tiene alguno de los límites anteriores, decimos que la función tiene una asíntota horizontal de ecuación y = L.

xq h

ACTIVIDADES RESUELTAS 5. Calcula, en la función f(x), que aparece representada a continuación, los límites infinitos cuando x q –2 y cuando x q 2 y los límites finitos en el infinito. Encuentra las asíntotas verticales y horizontales. Límites infinitos cuando x q –2 y x q 2:

Y

• lím f(x) = +h xq 2

x f (x ) = — 2 – |x |

xq2

xq2

O

–2

No existe lím f(x) • lím f(x) = +h

1 2

X

lím f(x) = –h

xq 2+

lím f(x) = –h

xq2+

No existe lím f (x) xq2

–1

Límites finitos en el infinito: • lím f(x) = 1 xqh

• lím f(x) = –1 xq+h

Esta función tiene dos asíntotas verticales de ecuaciones x = –2 y x = 2, y dos asíntotas horizontales de ecuaciones y = 1 e y = –1.

Y

Unidad 5

112

6. Límites infinitos en el infinito En la siguiente figura observamos que, para valores positivos y muy grandes de x, los correspondientes valores f(x) que toma la función se hacen cada vez más grandes. Por esta razón, decimos que cuando x tiende a +h, f(x) tiende a +h. Y

Y M

x

O

y = f (x )

X f (x ) y = f (x )

lím f (x ) = +h

K

x q+h

K

f (x )

O

M

x

X

lím f(x) = –h

xq +h

• Una función f tiende a +h cuando x tiende a +h si para todo número real K existe un número real M, de modo que para cualquier x mayor que M se verifica que f(x) es mayor que K. Se escribe: lím f(x) = +h

xq+h

En la figura siguiente observamos que, para valores negativos y muy grandes, en valor absoluto, de x, los correspondientes valores f(x) que toma la función se hacen cada vez más grandes. Por esta razón, decimos que cuando x tiende a –h, f(x) tiende a +h. Y y = f (x )

Y x

M

O f (x )

X y = f (x ) K

lím f (x ) = +h x q –h

K

f (x )

x

lím f(x) = –h

xq h

M

O

X

• Una función f tiende a +h cuando x tiende a –h si para todo número real K existe un número real M, de modo que para cualquier x menor que M se verifica que f(x) es mayor que K. Se escribe: lím f(x) = +h

xqh

Cuando esxiste alguno de los cuatro límites que aparecen en esta página, y la función no tiene asíntotas oblicuas, decimos que la función f(x) tiene una rama parabólica.

Y

Límites de funciones. Continuidad

113

7. Operaciones con límites de funciones La siguiente tabla muestra todos los casos posibles de cálculo de límites funcionales, cuando la variable x tiende a x0, pudiendo ser x0 un número real, +h o –h. Los recuadros de color azul claro corresponden a los casos en los cuales no es posible hallar directamente el límite. Por esta razón, se llaman indeterminaciones y hay que resolverlas de forma particular.

lím [f (x) + g(x)] lím [f (x) – g(x)] lím [f (x) · g(x)]

lím f(x) = L lím g(x) = M

[ ]

f (x) lím — g(x)

L/0 si L | 0 L+M

L–M

L·M

L/M si M | 0

Funciones potencial-exponenciales

0/0 si L = M = 0 lím [f(x)][ g(x)]

lím f(x) = +h lím g(x) = M

+h

+h

+h si M > 0

+h si M > 0

–h si M < 0

–h si M < 0

0 si M > 0 lím f(x) = 0 lím g(x) = M

lím f(x) = –h lím g(x) = M lím f(x) = L lím g(x) = +h

–h

+h

–h

–h

–h si M > 0

–h si M > 0

+h si M < 0

+h si M < 0

+h si L > 0 –h si L < 0

00 si M = 0 +h si M > 0 lím f(x) = +h lím g(x) = M

lím g(x) = –h

–h

+h

–h si L > 0 +h si L < 0

+h si L > 1 lím g(x) = +h

lím g(x) = 0 lím f(x) = 0 lím g(x) = ± h lím f(x) = +h lím g(x) = +h lím f(x) = –h lím g(x) = –h lím f(x) = +h lím g(x) = –h lím f(x) = –h lím g(x) = +h

0 si 0 < L < 1 1[+h] si M = 1

0

0 si L > 1 lím f(x) = L

lím f(x) = ± h

0 si M < 0 [+h]0 si M = 0

0 lím f(x) = L

lím f(x) = L

+h si M < 0

±h

±h

[± h] · 0

±h 0

±h

∓h

0 · [± h]

0

+h

[+h] – [+h]

+h

+h +h

–h

[–h] – [–h]

+h

h h

[+h] + [–h]

+h

–h

+h h

[–h] + [+h]

–h

–h

h +h

lím g(x) = –h

+h si 0 < L < 1 1[–h] si L = 1

Y

Unidad 5

114

8. Resolución de indeterminaciones

h h Aparecen al calcular límites de cocientes de funciones polinómicas. Indeterminaciones del tipo

Tipos de indeterminaciones Las indeterminaciones que aparecen en el epígrafe 7 se pueden agrupar en los tipos siguientes: INDETERMINACIÓN

TIPO

+h +h h h +h h

h h

h +h

0h 0 · (±h)

±h 0 0 0

El resultado depende de los grados de los polinomios numerador y denominador, de forma que: • Si n > m, el límite es infinito. • Si n = m, el límite es an /bm. • Si n < m, el límite es cero. Por ejemplo:

(±h) · 0

L 0

• Estas indeterminaciones se resuelven dividiendo numerador y denominador por la máxima potencia del cociente polinómico o utilizando la siguiente expresión: a x n + … + a 1x + a 0 a xn lím n m = lím n m x q ±h b x x q ±h b x + … + b1x + b0 m m

3x 4 + 2x 2 5 x q+h 4x 4 7

• lím

K 0 0 0

(–h) – (–h)

hh

0 0 Aparecen al calcular límites de cocientes de funciones polinómicas o de funciones irracionales. • Las indeterminaciones de cocientes de funciones polinómicas se resuelven factorizando los polinomios numerador y denominador mediante la regla de Ruffini. • Las indeterminaciones de cocientes de funciones irracionales se resuelven multiplicando numerador y denominador por la expresión conjugada de la función que lleve raíz.

(+h) + (–h)

Por ejemplo:

(–h) + (+h)

• lím

2x 2 8 x q2 x 2 + x 2

00

• lím

xq0

(+h)0

3x 4 3 = 4 x q+h 4 x 4

= lím

Indeterminaciones del tipo

(+h) – (+h)

00

h h

h0

x2 x x+42

0 0

= lím

0 0

= lím

x q2

xq0

2(x + 2)(x 2) 2(2 2) 8 = = 2 1 3 (x + 2)(xx 1) (x 2 x)( x + 4 + 2)

( x + 4 2)( x + 4 + 2)

=

(x 2 x)( x + 4 + 2) 0 x(x 1)( x + 4 + 2) = = lím xq0 x q 0 0 x x = lím (x 1)( x + 4 + 2) = 1 4 = 4 = lím

1–h

1h

xq0

1+h

Indeterminaciones del tipo

K 0

• Estas indeterminaciones se resuelven estudiando los límites laterales de los cocientes de funciones que los generan.

Y

Límites de funciones. Continuidad

115

Por ejemplo: • lím

x→ 3

x+5 x−3

K . Estudiamos los límites laterales: 0 x x→3 x x lím+ x→3 x lím−

+ − + −

5 ⎫ = −∞ ⎪ x+5 ⎪ 3 lím ⎬ ⇒ No existe x→ 3x − 3 5 = +∞ ⎪ ⎪⎭ 3

Indeterminaciones del tipo 0 · ∞ ∞ • Estas indeterminaciones se resuelven transformándolas en las del tipo , ∞ o en las del tipo 0 . 0 Por ejemplo: • lím

x →−∞

3 x −2 4

⋅ (2x − 3) 0⋅∞ = lím

x →−∞

6x − 9 x −2 4

6 9 − 2 = lím x x = 0 x →−∞ 2 1− 4 x

∞ ∞

Indeterminaciones del tipo ∞ – ∞ Aparecen al calcular límites de funciones racionales o de funciones irracionales.

a Portada del libro de Augustin L. Cauchy publicado en 1821.

En él aparece por vez primera la formulación del concepto de límite tal y como se conoce en la actualidad. Este Cours d’Analyse está considerado como el primer libro de texto de Matemáticas además de ser el primer manual universitario que se publicó.

• Las indeterminaciones con funciones racionales se resuelven operando convenientemente. • Las indeterminaciones con funciones irracionales se resuelven multiplicando el numerador y el denominador por la expresión conjugada de la función que lleve raíz. Por ejemplo: ⎡ x 2 + 5 − (x + 2)⎤ ⎡ x 2 + 5 + (x + 2)⎤ ⎦⎣ ⎦= • lím ⎡⎣ x 2 + 5 − (x + 2)⎤⎦ ∞ − ∞ = lím ⎣ 2 x →+∞ x →+∞ x + 5 + (x + 2) 1 −4 + −4 x + 1 −4 ∞ x = lím = lím = = −2 ∞ 2 x →+∞ x →+∞ 2 x +5+x+2 5 2 1+ 2 +1+ x x Indeterminaciones del tipo 1∞ • Este tipo de indeterminaciones se resuelve aplicando la siguiente propiedad, que es válida para x0 real, +∞ o –∞: lím f (x) = 1 ⎫ lím g (x ) ⎪ = ex → x f (x)] [ ⎬ ⇒ xlím → x0 lím g(x) = ±∞ ⎪ x → x0 ⎭ x → x0

0

g ( x ) [ f ( x ) − 1]

Por ejemplo: ⎡ x2 + 3 ⎤ • lím ⎢ 2 x →+∞ ⎣ x − 1 ⎥ ⎦

2x ∞

1

=e

⎡ x2 + 3 ⎤ lím 2 x ⎢ 2 − 1⎥ ⎣ x −1 ⎦

x → +∞

lím

8x

== e x → +∞ x2 −1 = e 0 = 1 Y

Unidad 5

116

9. Asíntotas y ramas infinitas de una función Vamos a estudiar las gráficas de las funciones cuando x crece infinitamente, y crece infinitamente o cuando ambas crecen infinitamente. Ya hemos visto algunos casos que incluimos también aquí.

9.1. Asíntotas verticales

Y

En la función f(x) representada en el margen vemos que, cuando x tiende a U /2 por la izquierda o por la derecha, la y crece infinitamente. Por esta razón, decimos que la función tiene dos ramas infinitas verticales. f (x ) = tg x

Estas ramas se aproximan a la recta vertical de ecuación x = U /2, que se llama asíntota vertical. X

U —

O

U

• La recta x = x0 es una asíntota vertical de la función f cuando existe al menos uno de los seis límites siguientes:

2

• lím f(x) = +h

• lím f (x) = –h

• lím+ f (x) = +h

• lím+ f (x) = –h

• lím f (x) = –h

• lím f(x) = +h

x q x0

x q x0

x q x0 x q x0

x q x0

x q x0

9.2. Asíntotas horizontales En la función g(x) representada en el margen vemos que, cuando x crece infinitamente, y tiende a una constante, y = 2. Por esta razón, decimos que esta función tiene dos ramas infinitas horizontales.

Y

Estas ramas se aproximan a la recta horizontal de ecuación y = 2, que se llama asíntota horizontal.

2 1

O

X 2x 2 g (x ) = — 1 + x2

• La recta y = y0 es una asíntota horizontal de la función f cuando existe al menos uno de los siguientes límites: • lím f(x) = y0 xq+h

• lím f (x) = y0 xqh

9.3. Ramas parabólicas

Y 6

En la función h(x) representada en el margen vemos que, cuando x crece infinitamente, la y crece también infinitamente, pero los puntos de la gráfica no se aproximan a ninguna recta. Por esta razón, decimos que esta función tiene dos ramas infinitas oblicuas parabólicas. Las funciones con ramas infinitas parabólicas carecen de asíntotas oblicuas.

5 4 3

• La función f tiene una rama parabólica cuando existe al menos uno de los siguientes límites y no existen asíntotas oblicuas:

2 1

h (x ) = e x + e –x –2

–1

O

1

2 X

• lím f(x) = –h

• lím f(x) = +h

• lím f(x) = –h

• lím f(x) = +h

xqh

xq+h

xqh

xq+h

Y

Límites de funciones. Continuidad

117

9.4. Asíntotas oblicuas

Y

En la función j(x) representada en el margen vemos que, cuando x crece infinitamente, la y crece también infinitamente, aproximándose los puntos de la gráfica a una recta oblicua. Por esta razón, decimos que esta función tiene dos ramas infinitas oblicuas hiperbólicas.

2 1

Estas ramas se aproximan a la recta de ecuación y = x, que se llama asíntota oblicua.

–2

–1

O 1

Determinación de asíntotas oblicuas

2

X

–1

La recta y = mx + b, con m | 0, es una asíntota oblicua de la función f cuando al tender x a +h o –h, la diferencia de ordenadas para una misma abscisa, entre la función y la asíntota, tiende a cero.

–2

x2 + 1 j (x ) = — x

Es decir: ¬ f (x) ¼ lím [ f (x) mx b ] = 0 lím [ f (x) mx ] = b lím x m½ = b x q ±h x q ±h ® x ¾

x q ±h

Y

y = f (x ) Q

Para que el límite anterior sea un número real b, ha de ocurrir:

y = mx + b

f (x) ¬ f (x) ¼ lím m ½ = 0 m = lím x q ±h x q ±h x x ® ¾ • La recta y = mx + b es una asíntota oblicua de la función f cuando la pendiente m y la ordenada en el origen b pueden obtenerse mediante los siguientes límites: f (x) m = lím b = lím [ f (x) mx ] x q ±h x x q ±h

P

x

O

X

lím QP = 0

xq +h

lím [f(x) – mx – b] = 0

xq +h

ACTIVIDADES RESUELTAS 6. Calcula las asíntotas de la función f ( x ) =

x2 1 . x2

• Asíntotas verticales. Como es una función racional, sus asíntotas verticales son los ceros del denominador: x – 2 = 0 ¡ x = 2. lím

x q2

x2 1 x2 1 = h ; lím+ = +h ¡ x = 2 es asíntota vertical x q2 x 2 x2

• Asíntotas horizontales. x2 1 x2 1 = +h ; lím = h ¡ No hay asíntotas horizontales x q+h x 2 x qh x 2 lím

• Asíntotas oblicuas. f (x) x2 1 = lím 2 =1 x q±h x x q±h x 2 x ¬ x2 1 ¼ 2x 1 = x ½ = lím b = lím [f ( x ) mx ] = lím x q±h x q±h ® x 2 x q±h ¾ x2

m = lím

¿ ² ² À ¡ y = x + 2 es asíntota oblicua 2² ²Á

Y

Unidad 5

118

10. Funciones continuas

La función f se puede dibujar, en un entorno de x = 2, sin levantar el lápiz del papel. Esta función tiene límite cuando x tiende a 2 y el valor de este límite coincide con el valor de la función en x = 2. Por esta razón, decimos que esta función es continua en x = 2.

Continuidad de algunas funciones 1

• Función f ( x ) = 2 x

La función g no es continua en x = 1, pues, aunque existe el límite y la función está definida en x = 1, no coinciden ambos valores.

Y

Y

Y

4

4

y = g (x )

y = f (x ) 3

3

2

2

1

O

1

X O

1

2

O

X

1

X

No es continua en x = 0: 1

• lím 2 x

• lím f (x) = 4

• lím g(x) = 2

• f (0)

• f(2) = 4

• g(1) = 0

xq 2

x q0

• Función h( x ) =

sen x x

Y

–2U

–U

0

La función h no es continua en x = 2, pues no existe el límite cuando x tiende a 2, aunque sí está definida en x = 2. x y = sen — x

1

U

xq1

La función k no es continua en x = 3, pues no tiene límite finito cuando x tiende a 3 y no está definida en x = 3.

2U 3U X

Y

No es continua en x = 0:

Y

3

y = h (x )

y = k (x )

2 1

O

O

1

2

1

2

3

X

X

Continuidad de las funciones elementales Las funciones elementales: • funciones constantes • funciones lineales • funciones afines • funciones cuadráticas • funciones potenciales de exponente entero • funciones inversas de las potenciales de exponente entero • funciones exponenciales • funciones logarítmicas son continuas en sus respectivos dominios de definición.

• lím h(x) = 1

• lím k(x) en

• lím+ h(x) = 3

• k(3)

xq2

xq3

xq2

• h(2) = 3 • Una función f es continua en un punto de abscisa x0 si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes: 1. Existe el límite de f cuando x tiende a x0. 2. La función está definida en x0. 3. Los dos valores anteriores coinciden: lím f (x) = f (x 0 ). x q x0

Y

Límites de funciones. Continuidad

119

ACTIVIDADES RESUELTAS 7. Estudia la continuidad de las siguientes funciones, de las cuales conocemos su respectiva gráfica y expresión algebraica. Y

Y

2 1 1 –3 –2

–1

0

1

–2

–1

0

1

2

3

X

X –1

–1

f(x) = x +

g( x ) = ( 1)E [ x ] ( x E[ x ])

x x

• Observando la gráfica de la función f, vemos que es continua en todos los puntos excepto en x = 0. En este punto no es continua porque no existe el límite y la función no está definida: • lím f ( x ) = 1; lím+ f ( x ) = 1 ¡ lím f ( x ) x q0

x q0

x q0

• f (0) • La función g es continua en todos los puntos excepto en aquellos que tienen abscisa entera. En estos últimos ocurre: — En los puntos de abscisa entera par o cero, la función está definida pero no existe límite: • lím g( x ) = 1; x q x0

• g( x0 ) = 0

lím g( x ) = 0 ¡ lím g( x ) ¿² x q x0 À x0 ..., 4, 2, 0, 2, 4, ... Á²

{

x q x0+

}

— En los puntos de abscisa entera impar, la función está definida pero no existe límite: • lím g( x ) = 1; x q x0

• g( x0 ) = 0

lím g( x ) = 0 ¡ lím g( x ) ¿² x q x0 À x0 ..., 3, 1, 1, 3, ... ²Á

{

x q x0+

}

8. Estudia la continuidad de la función f (x) = | x – 3 | .

Y

Comenzamos reescribiendo la función como: 4

¯x 3 ¯ x 3 si x v 3 si x 3 v 0 f (x) = ° ¡ f (x) = ° ±²( x 3) si x 3 < 0 ±² – x + 3 si x < 3

3 2 1

La función es continua en (–h, 3) (3, +h). Estudiamos la continuidad en x = 3 que es el punto en el que cambia la definición: • lím f ( x ) = lím ( x + 3) = 0 ; lím+ f ( x ) = lím+ ( x 3) = 0 x q3

x q3

x q3

xq3

–3 –2 –1 0

1 –1

2

3

4

X

–2

• f (3) = 0 Luego se verifica: lím f(x) = f(3) = 0, por lo que la función es continua también en x = 3. xq3

Y

Unidad 5

120

11. Continuidad lateral Continuidad en un intervalo • Intervalo abierto. Una función f es continua en un intervalo abierto (a, b) si lo es en todos y cada uno de sus puntos.

La función f no es continua en x = 0, sin embargo, tiene límite finito cuando x tiende a 0 por la izquierda y coincide con el valor que toma la función en x = 0. Por esta razón, afirmamos que esta función es continua por la izquierda en x = 0. Y

Y 1 —

x f (x ) = e si x | 0 0 si x = 0

1

O

a

b X

• Intervalo cerrado. Una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones: 1. f es continua en el intervalo abierto (a, b). 2. f es continua por la derecha en x = a. 3. f es continua por la izquierda en x = b. Y

0

X

• Una función f es continua por la izquierda en un punto de abscisa x0 si existe límite por la izquierda en ese punto y coincide con el valor de la función en x0. f es continua por la izquierda en x 0 lím f (x) = f (x 0 ) x q x0

La función g no es continua en x = 0, sin embargo, tiene límite finito cuando x tiende a 0 por la derecha y coincide con el valor que toma la función en x = 0. Por esta razón, afirmamos que esta función es continua por la derecha en x = 0. Y g (x ) =

si x = 0

1

O

a

3

1 x· 1+— x si x | 0

2

b X

1 –3

–2

–1 0

1

2

X

–1

–2

• Una función f es continua por la derecha en un punto de abscisa x0 si existe límite por la derecha en ese punto y coincide con el valor de la función en x0. f es continua por la derecha en x 0 lím+ f (x) = f (x 0 ) x q x0

Y

Límites de funciones. Continuidad

121

ACTIVIDADES RESUELTAS 9. Estudia la continuidad de cada una de las siguientes funciones en los intervalos que se indican: Y

Y

1 1

–1

0

1

X

–2

0

–1

1

2

3

X

–1 –1

f (x) = sig (x2 – 1)

g(x) = (–1)E[x]

Intervalo [–1, 1] Y

Intervalo [1, 2] Y

4

2 0 –2

0

2

X

X

–2

¯ 2 si x < 2 ² 2 h( x ) = ° x + 4 si 2 f x f 2 ²2 si x > 2 ±

Interva alo [2, 2]

k( x ) =

1 x

Intervalo [ 3, 2]

• La función f es continua en el intervalo abierto (–1, 1). • La función g es continua en el intervalo semicerrado [1, 2), pues es continua en el abierto (1, 2) y continua por la derecha en x = 1. • La función h es continua en el cerrado [–2, 2], pues es continua en el abierto (–2, 2) y continua por la derecha en x = –2 y continua por la izquierda en x = 2. • La función k es continua en el cerrado [–3, –2].

10. Estudia la continuidad de la siguiente función en el intervalo [1, 3]: ¯ x 2 2 si x < 1 ² f ( x ) = °2 x + 1 si 1 f x < 3 ²2 si x v 3 ± La función es continua en el intervalo abierto (1, 3). Estudiamos las respectivas continuidades laterales en los extremos: • lím+ f ( x ) = lím+ (2x + 1) = 3 = f (1) x q1

x q1

• lím f ( x ) = lím (2x + 1) = 7; f (3) = 2 x q3

x q3

Luego f es continua por la derecha en x = 1, pero no es continua por la izquierda en x = 3. Por tanto, la función dada es continua en el intervalo [1, 3).

Y

Unidad 5

122

12. Discontinuidad de una función. Tipos

Discontinuidad no evitable de primera especie • f (x) presenta discontinuidad no evitable de primera especie con salto finito en x = 0: Y –1 si x < 0 0 si x = 0 1 si x > 0

2 f (x ) = sg(x ) = 1

–2

0

–1

1

2

3

Una función que no es continua en un punto de abscisa x0, decimos que es discontinua en ese punto. Dependiendo de la condición o condiciones de continuidad que fallen, podemos clasificar las discontinuidades en distintos tipos, según vemos a continuación.

12.1. Discontinuidad evitable • Una función presenta una discontinuidad evitable en un punto de abscisa x0, cuando el límite de la función en x0 existe y es finito, pero no coincide con el valor de la función en x0, o bien la función no está definida en x0.

X

–1

Por ejemplo, la función f presenta discontinuidad evitable en x = 2: Y

• lím f ( x )

• lím+ f ( x )

x q0

5

x q0

• lím f ( x ) | lím+ f ( x ) x q0

x q0

• lím f (x)

4

• f (2)

2

xq2

• g(x) presenta discontinuidad no evitable de primera especie con salto infinito en x = 0:

f (x ) =

3

x2 – 4 ——— si x | 2 x–2 1 si x = 2

1

• lím f (x) | f (2) xq2

Y

–4 –3 –2 –1

1 g(x ) = — x

0 1 –1

2

3

4 X

–2

O

X

Esta discontinuidad se evita redefiniendo la función en x = 2 y haciendo que en este punto tome el valor del límite, es decir, definiendo f(2) = 4.

12.2. Discontinuidad no evitable o esencial

1 • lím = h x q0 x

• lím+ g( x ) = +h x q0

La discontinuidad no evitable o esencial puede ser de primera especie, con salto finito o infinito, o de segunda especie. De primera especie

Discontinuidad no evitable de segunda especie

• Con salto finito

h(x) presenta discontinuidad no evitable de segunda especie en x = 0: U h senU— h((xx )) == sen xx

Y

• Con salto infinito

1 1 —

2 3

—

3

0

• Una función presenta una discontinuidad no evitable de primera especie con salto finito en un punto de abscisa x0, cuando existen los límites laterales, son finitos y distintos.

1 — 2

1

–1

U x q0 x U • lím+ sen x q0 x • lím sen

3 — 2

2

X

• Una función presenta discontinuidad no evitable de primera especie con salto infinito en un punto de abscisa x0, cuando los límites laterales son +h o –h, o bien cuando uno es finito y el otro es +h o –h. De segunda especie • Una función presenta una discontinuidad no evitable de segunda especie en un punto de abscisa x0, cuando uno o los dos límites laterales no existen.

Y

Límites de funciones. Continuidad

123

ACTIVIDADES RESUELTAS 11. Clasifica las discontinuidades que presenta la siguiente función: Y 4

y = f (x )

3

2 1

–6

–5

–4

–3

–2

0

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

X

–1

• En x = –4, la función es discontinua no evitable de primera especie con salto infinito, al cumplirse: lím f ( x ) = +h

x q 4

lím f ( x ) = h

x q 4+

• En x = –2, la función es discontinua no evitable de primera especie con salto finito, de valor 2, por existir los límites laterales, ser finitos y distintos. • En x = 1, la función es continua por la izquierda. Podría decirse que presenta una discontinuidad no evitable de segunda especie al carecer de límite lateral por la derecha. • En x = 3, la función es continua por la derecha. Como el caso anterior podría ser considerada como discontinua de segunda especie al no tener límite lateral por la izquierda. • En x = 5, la función es discontinua evitable. Evitamos la discontinuidad redefiniendo la función en x = 5, haciendo f (5) = 4. • En x = 8, la función es discontinua no evitable de primera especie con salto infinito al ser un límite lateral finito y otro infinito. • En x = 10, la función es discontinua evitable. Evitaremos la discontinuidad definiendo f(10) = 2.

12. Estudia la continuidad de la función f ( x ) =

x 2 3x + 2 en x = 2. x2

En x = 2 la función presenta una discontinuidad evitable, ya que: • No existe f (2)

• lím x q2

( x 2)( x 1) x 2 3x + 2 = lím =1 x q2 x2 x2

Evitamos la discontinuidad redefiniendo la función de la siguiente manera: ¯ si x = 2 1 ² f ( x ) = ° x 2 3x + 2 si x | 2 ² ± x2

Y

Unidad 5

124

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Trama triangular En la resolución de un problema, muchas veces el comenzar por casos más sencillos nos facilita la comprensión y la resolución del mismo. Observa la aplicación de esta técnica en la resolución del siguiente problema:

n =1

n=2

En la figura tenemos representada una trama triangular de 5 unidades de lado, formada por triángulos equiláteros. ¿Cuántos triángulos equiláteros, con el vértice hacia arriba, podemos contar en una trama triangular de n unidades de lado? ¿Cuántos de ellos tienen 1 unidad de lado? ¿Cuántos tienen 2 unidades de lado? ¿Cuántos tienen n unidades de lado?

n=3

FAMILIARIZACIÓN CON EL PROBLEMA Comenzamos jugando con el problema y contando el número de triángulos equiláteros con el vértice hacia arriba en las tramas de 1, 2, 3, 4 y 5 unidades de lado. n=4

De esta manera, obtenemos la siguiente tabla:

n=5

Nº de triángulos Nº de triángulos Nº de triángulos Nº de triángulos Nº de triángulos de lado 1 de lado 2 de lado 3 de lado 4 de lado 5 Trama n = 1

1

Trama n = 2

3

1 1

4

Trama n = 3

6

3

1

Trama n = 4

10

6

3

1

Trama n = 5

15

10

6

3

1 1 1

1 1 1 1

5 6

7

1 2

3 4

10 20 1

35

BÚSQUEDA DE ESTRATEGIAS

k = 1, 2, …, n

(n +n 2– –k k ) ( nn +– 12 )

Total de triángulos

Los números de las filas de la tabla anterior y los números referentes al total de triángulos nos recuerdan al triángulo de Pascal.

1 3

6

1 4

LLEVAR ADELANTE LA ESTRATEGIA 1

10 10

5

15 20 15 21 35 35 21

Observando el triángulo de Pascal, nos quedamos sorprendidos al ver que los números de las filas y de la columna de la tabla anterior aparecen en las diagonales remarcadas en el triángulo. Por tanto, una trama triangular de n unidades de lado tiene el siguiente número de triángulos equiláteros con el vértice hacia arriba:

1 6

1 7

1

n+2 n( n + 1) ( n + 2) = 6 n 1 Y en esta trama, el número de triángulos de las diferentes unidades de lado aparece en la siguiente tabla:

Nº de triángulos de lado k

Nº de triángulos de lado 1 k = 1

Nº de triángulos de lado 2 k = 2

Nº de triángulos de lado 3 k = 3

冢n n+ 2k k冣 dek varía 1an

冢 nn + 11冣

冢n n 2冣

冢nn 31冣

Nº de triángulos Nº de triángulos de lado n–1 k = n–1 de lado n k = n

冢 31冣

REVISAR EL PROCESO Y SACAR CONSECUENCIAS DE ÉL Valoramos muy positivamente el haber comenzado particularizando el problema, pues ello nos ha llevado a encontrar la estrategia basada en el triángulo de Pascal.

Y

Límites de funciones. Continuidad

125

Simplificar. Particularizar La mayoría de los problemas nos resultan difíciles al principio por varias razones. Entre ellas podemos citar: gran número de datos presentes en el enunciado, muchas relaciones entre los datos y cuestiones o preguntas muy generales. Parece lógico comenzar haciendo más sencillos, o más fáciles, estos problemas, lo cual muy probablemente nos sugerirá el camino para resolver el problema original.

El número total de triángulos en la trama de n unidades de lado es la suma de los triángulos de lado 1 más los triángulos de lado 2, y así hasta los triángulos de lado n. Por tanto, debe verificarse: k

¨

n =1

Existen dos procedimientos básicos para hacer más fácil el problema: • Simplificar el problema, es decir, fraccionarlo en partes y resolver cada una de ellas por separado.

冢n n+ 2 k k 冣 = 冢nn + 11冣 + 冢n n 2冣 + 冢nn 31冣 + … + 3 2 n+2 +冢冣 +冢冣 = 冢 1 0 n 1冣

Nos preguntamos, ¿cómo podemos demostrarlo?

• Particularizar el problema, es decir, comenzar con un problema parecido al propuesto con un número más asequible de datos. La dificultad inicial que planteaba el problema de la trama triangular era contar todos los triángulos equiláteros que tienen el vértice hacia arriba. Esta dificultad se ha salvado al particularizar el problema a tramas triangulares más sencillas. Esta particularización nos ha hecho visualizar la estrategia que nos ha resuelto el problema.

d

Para hacer el estudio de este mosaico de M. Escher (1898-1972) es necesario simplificarlo descubriendo el elemento mínimo que lo genera.

A C T I V I D A D E S 䊏 Utiliza la estrategia de simplificar y/o particularizar en la resolución de los siguientes problemas:

B

1. Sumas. Demuestra:

1 1 1 1 + + +…+ = 0, 498501 1 3 3 5 5 7 999 1001

2. Plano de ciudad. La figura representa el plano de una ciudad. ¿De cuántas formas se puede ir desde A hasta B de manera que nunca retrocedamos? 3. Trama triangular. Resuelve el problema análogo al que figura en la página anterior, considerando que en este caso los triángulos equiláteros que debes contar son los que tienen el vértice hacia abajo. 4. Primos. Demuestra que la diferencia de cuadrados de dos números primos mayores que 3 es siempre un número múltiplo de 24.

A

5. Tablero de ajedrez. ¿Cuántos rectángulos de lados desiguales hay en un tablero de ajedrez?

Y

Unidad 5

126

NUEVAS TECNOLOGÍAS Derive nos permite calcular todo tipo de límites de funciones tanto en un punto como en el infinito, así como estudiar la continuidad de una función.

Límites y continuidad con Derive CÁLCULO DE LÍMITES DE FORMA ANALÍTICA Vamos a calcular con Derive el siguiente límite: lím xq2

ln( x 1) 2x 4

Para ello seguimos estos pasos: 1. En el editor de expresiones introducimos la expresión cuyo límite queramos hallar y pulsando la tecla INTRO aparece esta expresión en el área de trabajo. 2. En la barra de Menú elegimos , y aparece en pantalla una ventana, como la del margen, que nos permite elegir la variable, el punto en el que calcular el límite y la tendencia (Izquierda, Derecha o Ambas). En nuestro caso hemos elegido Izquierda. 3. Pulsando aparece el resultado del límite en el área de trabajo, como podemos ver en la pantalla adjunta.

CÁLCULO DE LÍMITES A PARTIR DE LA GRÁFICA También podemos calcular límites a partir de la gráfica de la función. Así, para hallar: lím+

x q0

ex x

o

ex x q h x lím

introducimos la función en el editor y, tras abrir una Nueva Ventana 2D, la representamos gráficamente mediante la tecla . En la gráfica observamos los límites.

CONTINUIDAD ANALÍTICA Para estudiar la continuidad de la función:

PRACTICA con Derive la resolución de las actividades números 5 y 9.

¯ x2 + x ² f ( x ) = ° 2x + 2 ²x + 2 ±

si x > 1 si x f 1

hallamos los límites laterales en el punto de abcisa –1 y observamos que son distintos, por lo que la función dada no es continua en ese punto.

Y

Límites de funciones. Continuidad

127

EN RESUMEN lím f ( x ) = L lím f ( x ) = L = lím+ f ( x )

x q x0

FUNCIONES CONVERGENTES

x q x0

x q x0

UNICIDAD DEL LÍMITE propiedades

lím f ( x ) = L

ACOTACIÓN

x q x0

LÍMITES INFINITOS CUANDO x TIENDE A UN NÚMERO FINITO

LÍMITES

LÍMITES FINITOS EN EL INFINITO

según tendencia

LÍMITES INFINITOS EN EL INFINITO

• lím f ( x ) = +h

• lím+ f ( x ) = +h

• lím f ( x ) = h

• lím+ f ( x ) = h

• lím f ( x ) = +h

• lím f ( x ) = h

x q x0

x q x0

x q x0

• lím f ( x ) = L x q +h

x q x0

x q x0

ASÍNTOTAS HORIZONTALES

• lím f ( x ) = L x q h

• lím f ( x ) = +h

• lím f ( x ) = h

• lím f ( x ) = h

x q +h

Si existe alguno de estos seis límites

x q x0

• lím f ( x ) = +h x q +h

ASÍNTOTAS VERTICALES

Si existe alguno de estos dos límites

x q h

x q h

si existe alguno de estos límites, pueden existir

al calcular límites surgen

ASÍNTOTAS OBLÍCUAS: y = mx + b

se puede verificar

• b = lím [f ( x ) mx ]

¬f (x) ¼ • m = lím ½ x q ±h ® x ¾

h h

0h

INDETERMINACIONES 0 K hh 00 0 0

h0

x q ±h

1h

sí

FUNCIONES CONTINUAS

no

FUNCIONES DISCONTINUAS

• lím f ( x ) = f ( x0 )

se resuelven mediante

• Técnicas matemáticas • El número e • Evitable

x q x0

• No evitable o esencial

AMPLÍA CON… Son numerosos los libros que tratan sobre la historia de las matemáticas, desde biografías o memorias de matemáticos, hasta el estudio de periodos concretos o de determinadas disciplinas como el álgebra, la geometría o la probabilidad. Hemos elegido el libro Historia de las matemáticas (Proyecto Sur de Ediciones), de José Luis Carlavilla Fernández y Gabriel Fernández García, por múltiples razones, una de ellas el hecho de que se trata de una historia de las matemáticas en cómic. Los autores han recurrido a problemas, juegos y anécdotas para situarnos en cada época de la evolución de las matemáticas. Mediante ingenuos dibujos plantean situaciones complejas que han ocupado a los matemáticos a lo largo de los tiempos; todo ello con rigor y acierto de las situaciones tratadas.

Y

Unidad 5

128

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD RESUELTAS Calcula los valores de k de modo que sean ciertas las siguientes igualdades: 2kx 2 7 x + 5 = 1 xq +h 7x 2 3

kx 2 k =4 xq 1 x + 3 x + 2

a) lím

b) lím

2

a) El límite de una función racional, cuando x tiende a +h o –h, es igual al límite del cociente de los términos de mayor grado: lím

x q +h

7 2kx 2 7 x + 5 2kx 2 2k = lím = = 1 ¡ k = 2 x q +h 2 7 7x 3 7x 2

0 b) El cálculo de este límite nos conduce a una indeterminación del tipo . Se resuelve factorizando los polinomios nume0 rador y denominador por medio de la regla de Ruffini: kx 2 k k ( x 1) 2k k ( x 1) ( x + 1) = lím = = 4 ¡ k = 2 = lím x q 1 x + 3 x + 2 x q 1 ( x + 1) ( x + 2) x q 1 x + 2 1 lím

2

²¯ x 3 x si x f 0 Si la función f está definida mediante: f ( x ) = ° , calcula a y b para que sea continua. ±²ax + b si x > 0 La función es continua en (–h, 0) (0, +h), pues en este conjunto la función es polinómica. Estudiamos la continuidad en x = 0: • lím f ( x ) = lím ( x 3 x ) = 0

• f (0) = 03 – 0 = 0

x q0

x q0

• lím+ f ( x ) = lím+ ( ax + b) = b x q0

x q0

La función es continua por la izquierda en x = 0. Para que sea continua por la derecha, ha de cumplir que b = 0 y a cualquier número real. Por tanto, para estos valores la función dada es continua en R y quedaría definida de la forma: ¯² x 3 x si x f 0 f (x) = ° si x > 0 ²± ax Sea f : ⺢ q ⺢ una función que cumple las siguientes condiciones: I) f es continua en todos los puntos excepto en x = 3. II) lím+ f ( x ) = +h ; lím f ( x ) = h x q3

x q3

III) lím f ( x ) = 2; lím f ( x ) = 2 x q +h

x q h

Dibuja la gráfica de una función f (x) que verifique las tres condiciones anteriores. Una posible solución es la siguiente: Y y = f (x ) 2

0

3

X

Y

Límites de funciones. Continuidad

129

Cierta empresa de material fotográfico oferta una máquina que es capaz de revelar y pasar a papel 15,5 fotografías por minuto. Sin embargo, sus cualidades se van deteriorando con el tiempo, de forma que el número de fotografías por minuto será función de la antigüedad de la máquina de acuerdo a la siguiente expresión (F(x) representa el número de fotografías por minuto cuando la máquina tiene x años): ¯15,5 1,1x ² F ( x ) = ° 5 x + 45 ² ± x+2

0f x f5 x >5

a) Estudia la continuidad de la función F. b) Justifica que, por muy vieja que sea la máquina, no revelará menos de 5 fotografías por minuto. a) Estudiamos la continuidad de F(x) en los distintos intervalos en los que está definida: Entre 0 f x f 5 la función es continua por ser una función polinómica. En el intervalo x > 5 también es continua, ya que

5 x + 45 sólo sería discontinua en x = –2 y está fuera del intervalo. x+2

Estudiamos la continuidad en x = 5. , x ) = 10 • lím F ( x ) = lím (15,5 11 x q5

x q5

lím F ( x ) = lím+

x q5+

x q5

5 x + 45 = 10 x+2

Como los límites laterales coinciden, lím F ( x ) = 10. xq5

• F (5) = 15,5 – 1,1 (5) = 10 • Como F (5) = lím F ( x ) = 10, decimos que F(x) es continua en x = 5. x q5

b) Hallamos lím F ( x ) = lím x q +h

x q +h

5 x + 45 h = 5. x+2 h

Por tanto, como el valor del límite es 5, no revelará menos de 5 fotografías por minuto.

Halla el valor (o los valores) del parámetro a para que la función: x ²¯e f(x) = ° 2 ±²( a + 2a) x + e

si x < 1 si x v 1

sea continua en el punto x = 1. (e es la base de los logaritmos neperianos.) Para que f sea continua en x = 1 ha de ocurrir que lím f ( x ) = f (1). Luego: xq1

¯ lím f ( x ) = f (1) ² lím f ( x ) = f (1) ° x q1 x q1 f ( x ) = f (1) ²± xlím q1 + Determinamos los límites laterales: lím f ( x ) = lím e x = e

x q1

x q1

lím+ f ( x ) = lím+ [ (aa2 + 2a) x + e ] = a2 + 2a + e

x q1

x q1

2

Por tanto, f es continua en x = 1 si y sólo si a + 2a + e = e. Luego, las soluciones buscadas son a = 0 y a = –2.

Y

Unidad 5

130

ACTIVIDADES FINALES EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1. Determina, en las siguientes funciones, los datos pedidos: Y

Y y = g (x ) 3

y = f (x ) 1

2

2

3

O 1

–4 –3

–2

• f(–3)

–1

–1

O

• f(–2)

• lím f ( x )

• lím f ( x )

xq 3

xq0

• lím f ( x )

• lím+ f ( x )

xq1

1

2

3

4

X

5

• f (0)

–2

• f(4)

• lím g( x )

• lím+ g( x )

xq3

xq2

• lím f ( x )

• lím f ( x )

• lím g( x )

• lím g( x )

• lím f ( x )

• lím f ( x )

• lím g( x )

• lím+ g( x )

xq1

xq1

xq +h

xq3

xq3

xq2

xq h

xq0

xq0

2. Representa gráficamente funciones que satisfagan, respectivamente, las siguientes condiciones: a)

lím f ( x ) = 2 ; lím + f ( x ) = 2 ; f(–3) = –2 ; Dom f = R ; Im f = [–3, +h).

xq 3

xq 3

b) g estrictamente decreciente en (0, 6); asíntota vertical en x = 6; lím g( x ) = 2 ; no existe g(3). xq3

c) h acotada inferiormente por 2; lím h( x ) = 2 ; asíntota vertical en x = 2; lím h( x ) = +h . xq +h

xq h

3. Calcula los siguientes límites: a) lím x 4

¬ x5 ¼ e) lím ½ xq0 ®3¾

b) lím 4 x 4

f)

¬3¼ c) lím+ 3 ½ xq0 ®x ¾

¬ 2 3 ¼ g) lím 2 + ½ xq +h ® x + 1 x + 2¾

k) lím

¬ x 2 ¼ d) lím ½ xq0 ® 5 ¾

h) lím 3 x

l) lím

xq +h

xq h

¬2¼ lím ½ xq h ® x 5 ¾

x q+h

i) lím 3 x x q h

¬ 2¼ j) lím ½ x q +h 3 ® ¾ xq +h

x

x3 x2 2

2x 4 3 x 1 xq h x3 + 3

4. Determina, si existen, las asíntotas de cada una de las siguientes funciones: a) f ( x ) =

x x 1

c) h( x ) =

x2 4 x2 + 4

e) j ( x ) =

x2 + x 5 x2

b) g( x ) =

x2 x+2

d) i ( x ) =

2x 2 + 3 x3 9x

f) k ( x ) =

x2 3 2x 4

2

X

Y

Límites de funciones. Continuidad

131

5. Calcula los siguientes límites: m) lím ( x + 2

x2 1 xq+h x 3 1

g) lím

x3 x + 6 xq+h x 2 + 3 x + 2

h) lím

x3 1 xq+h x 2 + 1

i) lím

x2 1 xq1 x 3 1

j) lím

e) lím

x2 x 6 3 xq 2 x + 3 x 2 + 2 x

k) lím

x 2 5x + 6 f) lím 2 xq2 x 4 x + 4

2x 2 + x 3 l) lím 2 xq1 x 5 x + 4

a) lím

xq1

b) lím

x 2)

(

x2 + x + 1 x

ñ) lím

(

x 2 x 2x 2 + 1

x 2 + 6x + 9 xq3 x 3

o) lím

冢 55xx + 11冣

2x 2 + 6 x 3 xq0 2x 2 + 5 x

p) lím

冢

x3 + 1 x2 + 1

q) lím

冢

x 2 + 2x + 1 x2

xq0

d) lím

xq+h

x 1

n) lím

xq0

c) lím

x 1

2 4 x x

xq+h

x 1+ x 1 x

xq+h

) )

3 x +2

x q+h

x q1

x q+h

冣

3 x 1

冣

x 2 +1 x 1

6. Estudia la continuidad de las siguientes funciones: ¯ x ²5 a) f ( x ) = ° x ²5 ± ²¯ x 2 1 b) g( x ) = ° ²± x + 1

si x = 0

¯ x2 9 ² c) h( x ) = ° x 3 ²6 ±

si x f 2 si x > 2

¯2 x 1 d) i ( x ) = ° ²±3

si x | 0

si x | 3 si x = 3 si x > 1 si x f 1

7. Calcula k, en cada caso, de modo que las siguientes funciones sean continuas en todo ⺢: ¯²kx 3 a) f ( x ) = ° 2 ²± x + 10 x 13

¯ 2x 2 ² b) g( x ) = ° x 2 1 ²k ±

si x < 4 si x v 4

si x | 1 si x = 1

¯1 ² 2 + b si x f 1 ²x 8. Sea la función f ( x ) = ° 2 ²3 x + 4 si 1 < x < 1 ²± x 3 + 8 si x v 1 Halla el valor del parámetro b para el cual la función f(x) es continua en x = –1 y en x = 1. 9. Halla los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones y clasifícalos: x2 4 a) f ( x ) = 2 x 2x

¯²2 x b) f ( x ) = ° x ±²e

si x f 0 si x > 0

¯e x ² c) f ( x ) = °1 x 2 ² ±x

si x f 0 si 0 < x < 1 si x v 1

Y

Unidad 5

132

ACTIVIDADES FINALES ACCESO A LA UNIVERSIDAD 10. Calcula lím f ( x ) cuando: x q ±h

a) f ( x ) =

2x + 3 4x 5

b) f ( x ) =

x x +5

c) f ( x ) =

2

11. Obtén las asíntotas verticales y oblicuas de la función f ( x ) =

e x + 1 e x 1

x3 . x 1 2

12. Estudia la continuidad de las siguientes funciones: ¯0 ² a) f ( x ) = ° x + 1 ²x2 5 ±

si x f 1 si 1 < x f 3

x ²¯e b) g( x ) = ° 2 ±² x + 2x + 1

si x > 3

¯0 ² 13. Dada la función f ( x ) = ° x 2 ²x ±

si x < 0 si x v 0

si x < 0 si 0 < x < 2, represéntala y estudia la continuidad en x = 0, x = 1 y x = 2. si x v 2

14. Dibuja la gráfica y escribe las ecuaciones de una función real que cumpla: sea continua en todos los puntos; sea lineal si x < –3, cuadrática en el intervalo [–3, 3] y tienda a 0 cuando x q +h. ¯e ax ² 15. Dada la función f ( x ) = ° x + 2a ² x + b ±

si x < 0 si 0 f x f 2, calcula los valores de a y b para que f(x) sea continua. si 2 < x

16. En la oficina central de Correos de cierto país están expuestas las tarifas del servicio de cartas, que son las siguientes: – Cartas hasta 20 g de peso: 0,35 euros. – Por cada 10 g o fracción de exceso de peso hay que añadir 0,05 euros más. a) Escribe la fórmula de la función y = f(x) (donde x representa el peso de cada carta e y el precio que tenemos que pagar para enviarla), hasta 50 g. b) Representa gráficamente la función f. Indica en qué puntos de su dominio es discontinua y por qué.

17. La puntuación obtenida por un estudiante en un examen depende del tiempo que haya dedicado a su preparación (x, expresado en horas) en los siguientes términos: ¯x si 0 f x f 15 ²² 3 P(x) = ° ² 2x si x > 15 ²± 0, 2x + 3 a) Representa gráficamente la función y estudia su continuidad. b) ¿Cuántas horas debe dedicar a preparar dicho examen para obtener una puntuación de 7,5? c) Justifica que la puntuación nunca puede superar los 10 puntos.

Y

Límites de funciones. Continuidad

133

AUTOEVALUACIÓN ¯²3 x 2 si x f 2 1. El valor de k para que la función f ( x ) = ° tenga límite cuando x tienda a 2 es: 2 ±²4 x kx si x > 2 a) –1 2. El valor de lím xq3

b) 1

c) 2

b) 1

c) 2

x 2 + 4 x 21 es: x 2 11x + 24

a) –2

x2 a 1 = es: xq 2 x 2 4 x 12 2

3. El valor de a para que sea cierta la igualdad lím a) 2

b) 4

c) 1

20 + 6t 2 , siendo t el (2t 3)2 número de años transcurridos. Si la función fuese válida indefinidamente, el tamaño de la población a largo plazo sería de:

4. El número de individuos, en miles, de una población de aves, viene dado por la expresión N (t ) =

a) 1 000 individuos 5. El valor de lím xq0

b) 6 000 individuos x

3 9 x

a) 1/3

es:

b) 1

6. El valor de lím

x q +h

冢

冣

3x 2 3x + 2

a) e–8

c) 1 500 individuos

c) 6 6 x 1

es:

b) e6

c) e–2

7. Las asíntotas vertical y oblicua de la función f ( x ) = a) x = –2; y = x – 2

3x 2 + 5 son, respectivamente: 3x + 6

b) x = –2; y = x + 2

c) x = 2; y = x – 2

8. Los valores de los parámetros a y b para que la función siguiente sea continua, son: ¯ 3 x + 1 si x < 2 ² f ( x ) = ° ax + 5 si 2 f x f 2 ² x 2 + b si x v 2 ± a) a = 1 y b = –1

9. La función f ( x ) = a) Evitable

b) a = –1 y b = –1 x2 4 tiene en x = 2 una discontinuidad: x 2 2x b) De primera especie

²¯ x 10. La función f ( x ) = ° 2 ±²1 x a) Evitable

si x f 1 si x > 1

c) a = –1 y b = 1

c) De segunda especie

presenta en x = –1 una discontinuidad: b) De primera especie

c) De segunda especie

Z

u6 unidad 6 contenidos

1. Tasas de variación media e instantánea

2. Derivada de una función en un punto 3. Derivadas laterales 4. Interpretación geométrica de la derivada 5. Continuidad de las funciones derivables 6. Función derivada. Derivadas sucesivas 7. Derivadas de las operaciones con funciones 8. Derivadas de las funciones elementales

Derivadas

135

El análisis matemático, o estudio de las funciones, se deriva del cálculo infinitesimal, cuyo origen estuvo ligado a la resolución de dos problemas: el problema de encontrar la velocidad de un móvil que se desplaza con movimiento no uniforme y el de hallar la tangente a una curva en un punto de la misma. Ambos problemas fueron resueltos, de forma independiente, por el matemático y físico inglés Isaac Newton (1642-1727) y por el matemático y filósofo alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Los dos problemas anteriores se resolvieron mediante la derivación. Este concepto tiene grandes aplicaciones dentro de las Matemáticas, y también en las Ciencias Naturales y Ciencias Sociales. Dedicamos esta unidad didáctica al concepto de derivada de una función en un punto, su interpretación geométrica como pendiente de la recta tangente y las reglas más importantes para el cálculo de derivadas de funciones elementales. dx para indicar la derivada de y con dy respecto a x. Nosotros utilizaremos además la notación f.(x), introducida en el siglo XVII por el matemático y físico italiano Joseph Louis Lagrange (1736 –1813). Leibniz utilizó la notación

cuestiones iniciales 1. Calcula los siguientes límites: a) f ( x ) = 3 x 2 + 5; lím hq 0

f (2 + h) f (2) h

b) g( x ) = 3 x + 1; lím hq 0

g( x + h) g( x ) h

2. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2, –3) y su pendiente vale –1/5. Halla la perpendicular a esta recta en el punto A. 3. Calcula la tasa de variación media en los intervalos [0, 2] y [2, 4] para cada una de las siguientes funciones: a) f1(x) = 3x

b) f2(x) = 3x + 2

c) f3(x) = x3

d) f4(x) = 3x

4. Dada la función f ( x ) = 2x 4 , calcula: lím

hq 0 +

f (2 + h) f (2) h

lím

hq 0

f (2 + h) f (2) h

Y

Unidad 6

136

1. Tasas de variación media e instantánea

(Miles de unidades) 400 369,3 350

En muchas situaciones reales interesa conocer propiedades dinámicas de las funciones, es decir, propiedades relativas al cambio o variación que experimenta una variable respecto de otra. Parece que, de forma natural, esta variación se puede evaluar a través del cociente entre el incremento que sufre la variable dependiente y el incremento de la variable independiente. A este cociente le llamamos tasa de variación media de la función.

300 285,8 248,6

250

196,1

200

180,2

186,1

Así, podemos calcular las siguientes tasas de variación media, referidas a la gráfica del margen:

167,2

150

149,8 144,5

142,8

t vm ¬® Jun, Jul ¼¾ =

135,7

100 Jun. Jul. Ago.Sep. Oct. Nov. Dic. Ene. Feb. Mar. Abr. 2005

2006

248, 6 186,1 62, 5 = = 62, 5 1 1

t vm ¬® Sep, Nov ¼¾ =

135, 7 149, 8 14,1 = = 7, 05 2 2

t vm ¬® Feb, Abr ¼¾ =

180, 2 142, 8 37, 4 = = 18, 7 2 2

a El

mercado de las cámaras digitales en España.

Otras veces las tasas de variación tienen significado físico: la velocidad de un móvil es una tasa de variación.

En la gráfica del margen, en la que se describe el espacio que recorre un móvil, con movimiento uniforme, en función del tiempo, podemos calcular las siguientes velocidades medias:

Movimiento uniforme e (km)

• Entre los instantes 1 y 1,5:

e = 4t

6 )e 4

)e e(1, 5) e(1) 2 = = = 4 km/h )t 1, 5 1 0, 5

v m = t vm [1; 1,5] =

)t

2

• Entre los instantes 1 y 2: 0

1 1,5 2

3

t (h)

v m = t vm [1; 2 ] =

Caída libre de un cuerpo: movimiento uniformemente acelerado e (m) 11,025

En la gráfica que describe la caída libre de un cuerpo, que se produce con movimiento uniformemente acelerado, podemos calcular también las siguientes velocidades medias: • Entre los instantes 1 y 1,5:

e = 4,9 t 2

v m = t vm [1; 1,5] =

)e

4,9

)t

1 1,5 2

)e e(1, 5) e(1) 6,125 = 12, 25 m/s = = )t 1, 5 1 0,, 5

• Entre los instantes 1 y 2: v m = t vm [1; 2 ] =

0

)e e(2) e(1) 4 = = = 4 km/h )t 21 1

3

t (s)

)e e(2) e(1) 14,7 = = = 14,7 m/s )t 21 1

Y

Derivadas

137

Para cualquier función puede darse la siguiente definición de tasa de variación media. • Llamamos tasa de variación media de una función f entre los valores x0 y x 0 + h al cociente entre el incremento que experimenta la variable dependiente y el de la variable independiente: f (x 0 + h) f (x 0 ) ¬ )f ¼ = t vm [ x 0 , x 0 + h ] = ½ h ® )x ¾[ x0 ,x0 + h ] Y y = f (x )

f (x0 + h)

)f

f (x0 )

a En los campeonatos del mundo de atletismo celebrados en Atenas en 1997, el atleta español Abel Antón se proclamó campeón del mundo de maratón recorriendo los 42,195 km de que consta la prueba en un tiempo de 2 h 13 min 16 s.

)x

0

x0

h

x0 + h

X

Observamos que si h es muy pequeño, o próximo a cero, obtenemos una información más precisa sobre cómo varía la función en el punto de abscisa x0. Por esta razón, cuando h tiende a cero, la tasa de variación correspondiente se llama tasa de variación instantánea.

La velocidad media del atleta expresada en km/h fue: vm =

42,195 km = 19 km/h 2,22 h

y expresada en m/s fue: v m = 19

1000 = 5,28 m/s 3 600

• Llamamos tasa de variación instantánea de una función f en un punto de abscisa x 0 al límite, cuando h tiende a cero, de la tasa de variación media. t vi [ x 0 ] = lím t vm [ x 0 , x 0 + h ] hq0

f (x 0 + h) f (x 0 ) ¬ )f ¼ t vi [ x 0 ] = lím ½ = lím hq0 h q 0 ® )x ¾ h [ x0 ,x0 + h ]

Calculamos la tasa de variación instantánea, que recibe el nombre de velocidad instantánea, en los movimientos de móviles de la página anterior, en el instante t = 1. En el movimiento uniforme: v i = t vi [1] = lím

hq0

e(1 + h) e(1) 4(1 + h) 4 1 = lím = 4 km/h q 0 h h h

En el movimiento uniformemente acelerado: v i = t vi [1] = lím

hq0

e(1 + h) e(1) 4, 9(1 + h)2 4, 9 12 = lím = 9, 8 m/s hq0 h h Y

Unidad 6

138

2. Derivada de una función en un punto

La tasa de variación instantánea de una función f en un punto de abscisa x0 se llama derivada de la función f en el punto de abscisa x0.

Diferentes notaciones df [ x ] = y .( x0 ) = f .( x0 ) = D ¬®f ( x0 ) ¼¾ dx 0 •

• La derivada de una función f en un punto de abscisa x0 es el límite, cuando h tiende a cero, del cociente incremental f (x0 + h) – f (x0) entre h :

df [ x ] : debida a Gottfried Wilhelm dx 0 Leibniz (1646-1716).

f (x 0 + h) f (x 0 ) hq0 h

f .(x 0 ) = D [ f (x 0 )] = lím

• y.(x0); f.(x0): debidas a Joseph Louis Lagrange (1736-1813). • D ¬®f ( x0 ) ¼¾ : debida a Augustin Louis Cauchy (1789-1857).

Cuando una función tiene derivada en un punto, se dice que es derivable en ese punto.

ACTIVIDADES RESUELTAS 1. Dada la función f(x) = 3x – 2, calcula la derivada en los puntos de abscisa x0 = –1 y x0 = 2. D [f ( 1) ] = f .( 1) = lím hq0

f ( 1 + h) f ( 1) 3h 5 ( 5) 3h = lím = lím =3 hq0 hq0 h h h

D [f (2) ] = f .(2) = lím hq0

f (2 + h) f (2) 3h + 4 4 3h = lím = lím =3 h q 0 h q 0 h h h

2. Calcula la derivada de la función f(x) = x2 + 2x – 3 en los puntos de abscisa –2 y 1. D [f ( 2) ] = f .( 2) = lím hq0

= lím hq0

f ( 2 + h) f ( 2) ( 2 + h)2 + 2( 2 + h) 3 ( 3) = lím = h q 0 h h h(h 2) h2 2h = lím (h 2) = 2 = lím hq q0 hq0 h h

D [f (1) ] = f .(1) = lím hq0

= lím hq0

3. Siendo f ( x ) =

f (1 + h) f (1) (1 + h)2 + 2(1 + h) 3 0 = lím = hq0 h h

h 2 4h h( h + 4 ) = lím = lím (h + 4) = 4 hq0 hq0 h h

2 , calcula D[f(2)]. x3 2 2 2 +2 f (2 + h) f (2) + h 3 2 3 2 h D [f (2) ] = f .(2) = lím = lím = lím 1 = hq0 hq0 hq0 h h h 2h 2h 2 h = lím = 2 = lím 1 = lím 0 h q 0 hq0 h q ( ) 1 h h 1 h h

Y

Derivadas

139

3. Derivadas laterales Como la derivada de una función en un punto viene dada por un límite cuando h tiende a cero, podemos calcular límites laterales, es decir, el límite cuando h tiende a cero por la derecha y el límite cuando h tiende a cero por la izquierda. Estos límites dan lugar a las derivadas laterales, que podemos definir de la siguiente manera: • La derivada lateral por la derecha de una función f en un punto de abscisa x0 se define como: f (x 0 + h) f (x 0 ) D [ f (x 0+ )] = f .(x 0+ ) = lím+ hq0 h • La derivada lateral por la izquierda de una función f en un punto de abscisa x0 se define como: f (x 0 + h) f (x 0 ) D [ f (x 0 )] = f .(x 0 ) = lím hq0 h

Derivabilidad en un intervalo • Una función f es derivable en un intervalo abierto (a, b) si lo es en todos y cada uno de sus puntos. • Una función f es derivable en un intervalo cerrado [a, b] si y sólo si se cumple: — f es derivable en (a, b). — f es derivable por la derecha de a. — f es derivable por la izquierda de b.

De la propiedad relativa a la condición necesaria y suficiente de convergencia de funciones se deduce la propiedad relativa a la existencia de derivada de una función en un punto. • La condición necesaria y suficiente para que una función f sea derivable en un punto de abscisa x0 es que existan las derivadas laterales y que sean iguales: ¯² D [ f (x 0+ )] y D [ f (x 0 )] D [ f (x 0 )] ° + ±²D [ f (x 0 )] = D [ f (x 0 )]

ACTIVIDADES RESUELTAS 4. Estudia la derivabilidad de la siguiente función en el punto de abscisa x0 = 1:

Y

2

²¯ x 2 x si x f 1 f(x) = ° si x > 1 ²± x 2 Por ser una función definida a trozos y estar definida de forma diferente a la izquierda que a la derecha de x = 1, estudiamos las derivadas laterales:

8 6

y = f (x )

4

h2 f (1 + h) f (1) (1 + h)2 2(1 + h) ( 1) • f .(1 ) = lím = lím = lím h = 0 = lím hq0 hq0 hq0 h hq0 h h • f .(1+ ) = lím+ hq0

h f (1 + h) f (1) (1 + h) 2 ( 1) = lím+ = lím+ 1 = 1 = lím+ hq0 hq0 h hq0 h h

2 1 –1 0 –1

3

X

Las derivadas laterales son finitas y distintas. Por tanto, la función no es derivable en el punto de abscisa x0 = 1; sin embargo, es continua en él.

Y

Unidad 6

140

4. Interpretación geométrica de la derivada

Ecuación punto pendiente de la recta r

Y y0

P (x0, y0)

Intentaremos ahora dar un sentido geométrico a la derivada. Para ello, consideramos una función f y tomamos en ella dos puntos, P ( x 0 , f (x 0 )) y Q ( x 0 + h, f (x 0 + h)) . La tasa de variación media en el intervalo [x0, x0 + h] coincide con la pendiente de la recta secante a la curva que pasa por P y Q:

F x0

O

t vm [ x 0 , x 0 + h ] =

X

m = tg F

f (x 0 + h) f (x 0 ) = tg G h

Y

r : y – y0 = m (x – x0)

Q

f (x 0 + h )

y = f (x )

)f

F G

Recta perpendicular a una dada en el punto P(x0, y0)

P

f (x0)

)x

r

Y y0

F

G

s

O x0

O

X

Y

h

x0 + h

X

Cuando h tiende a cero, la recta secante se convierte en la recta tangente a la curva en el punto P, y la pendiente de la recta secante en la pendiente de la recta tangente.

r C s mr · ms = –1

s: y y 0 =

x0

1 ( x x0 ) mr

f (x 0 + h) f (x 0 ) = lím tg G hq0 hq 0 h lím

D [ f (x 0 )] = f .(x 0 ) = tg F

t y = f (x )

• La derivada de una función f en un punto x0 coincide con la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa x0:

f (x0)

D[f (x0)] = f .(x0) = mrecta tangente en x0 n

F O

x0

X

mrecta tangente = tg F • t: recta tangente a f en el punto

(x0 , f (x0 )) • n: recta normal a f en el punto

(x0 , f (x0 ))

Ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de una función en un punto • Las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de la función f en el punto P(x0, f (x0)) son: • recta tangente: y – f (x0) = f .(x0) (x – x0) • recta normal:

y – f (x0) =

1 (x – x0) f .(x 0 )

Y

Derivadas

141

ACTIVIDADES RESUELTAS 5. Calcula el punto de corte de las tangentes a las curvas f (x) = x2 – 5x + 11

Y

1 y g( x ) = en x = 1. x

11

Al ser la derivada de f (x) = x2 – 5x + 11 igual a f .(x) = 2x – 5, tenemos que la ecuación de la recta tangente a la citada función en el punto (1, 7) es:

10 9

y – 7 = –3 (x – 1)

¡

y = –3x + 10 8

1 1 De igual forma, la derivada de g( x ) = es g’( x ) = 2 y la recta tangente en el x x punto (1, 1) es:

7

y = x 2 – 5x + 11

6

y – 1 = –1 (x – 1)

¡

y = –x + 2 5

El punto de corte de las dos tangentes lo encontramos al resolver el sistema cuyas ecuaciones son las de las tangentes, es decir:

4

y = 1/x

3

y = 3 x + 10 ¿ À y = x + 2 Á²

y = – 3x + 10

2 1

La solución del sistema es x = 4, y = –2, y por tanto, el punto de corte de ambas tangentes es (4, –2).

0

1

2

3

4

5

6

X

–1

Todos los elementos que figuran en la actividad aparecen representados en la gráfica.

–2

y = –x + 2

(4, –2)

6. Halla en qué punto (puntos) la recta tangente a la curva y = x3 – 3x + 1 es paralela al eje OX, y encuentra la ecuación de esa (o esas) recta (rectas). La derivada de f(x) = x 3 – 3x + 1 es: f. (x) = 3x 2 – 3 Las pendientes de las rectas paralelas al eje OX son nulas, y tendrá que ser f.(x) = 0. Las abscisas para las que f .(x) = 0 son las soluciones de la ecuación 3x 2 – 3 = 0; es decir, x 1 = 1 y x2 = –1.

4

En estos valores las ordenadas son:

y = 3

3 2

• x1 = 1 ¡ y1 = f (1) = 13 – 3 + 1 = –1 • x2 = –1 ¡ y2 = f (–1) = (–1)3 – 3(–1) + 1 = 3

y = x 3 – 3x + 1

Y

1 –5 –4 –3 –2 –1 0

1

En los puntos P(1, –1) y Q(–1, 3) la recta tangente a la curva es paralela al eje OX.

–1 –2

Las ecuaciones de las rectas tangentes buscadas son y = –1 e y = 3, como podemos ver en la gráfica.

–4

2

3

4

5 X y = –1

–3

Y

Unidad 6

142

5. Continuidad de las funciones derivables Hasta ahora hemos definido y trabajado con dos conceptos fundamentales del cálculo infinitesimal, que son continuidad y derivabilidad de una función. A continuación vemos la relación que existe entre ambos conceptos.

• Toda función f derivable en un punto, con derivada finita, es continua en ese punto.

Continuidad y derivabilidad a través de las gráficas • Vemos la continuidad de una función en un punto de abscisa x0, observando que en un entorno del mismo se puede seguir o dibujar la gráfica con un lápiz sin levantarlo del papel.

Demostración: Si f es derivable en un punto de abscisa x0, con derivada finita, se verifica: f (x 0 + h) f (x 0 ) ; hq0 h

f .(x 0 ) = lím

Y f (x ) = x – E [ x ] 1

–1

0

1

2

Hemos de probar que f es continua en x0. Para ello, razonamos como sigue: lím [ f (x 0 + h) f (x 0 )] = lím

hq0

3 X

La función f es discontinua en todos los puntos de abscisa entera y es continua en todos los demás puntos. • Vemos la derivabilidad de una función en un punto de abscisa x0, observando que en un entorno del mismo es continua y no presenta en x0 un pico.

f .(x 0 )

[ f (x

0

+ h) f (x 0 )] h h

hq 0

=

¬ f (x + h) f (x 0 ) ¼ = lím 0 h = f .((x 0 ) 0 = 0 ½¾ hlím hq0 ® q0 h Luego hemos probado que: lím [ f (x 0 + h) f (x 0 )] = 0 ¡

hq0

lím f (x 0 + h) = f (x 0 )

hq 0

y haciendo x = x0 + h, se tiene que si h q 0, entonces x q x0, por lo que: lím f (x) = f (x 0 )

x q x0

Y

con lo cual queda probado que f es continua en x0.

f (x ) = |x 2 – 4|

Observa que el recíproco de esta propiedad o teorema no es cierto. Es decir, existen funciones continuas en un punto y no son derivables en él.

4

Por ejemplo, f(x) = |x – 1| es continua en x = 1 y no es derivable en ese punto; 2

2

–2

–1

0

g(x) = ¬® 3 x ¼¾ es continua en x = 0 y no es derivable en ese punto. 1

2

Y

X

La función f es continua en todo R y no es derivable en x = –2 y x = 2. En estos puntos presenta sendos picos. Observa que tanto en los puntos de discontinuidad de una gráfica como en los puntos en los que aparecen picos no puede trazarse la recta tangente.

Y f (x ) = |x – 1|

3

3

1

0

3

2

2

2

–1

g (x ) = [ x ]

1 1

2

3

• continua en x = 1 • no derivable en x = 1 • f .(1+) = 1; f .(1–) = –1

X

–2

–1

0

1

2

• continua en x = 0 • no derivable en x = 0 • g.(0+) = +h; g .(0 –) = –h

X

Y

Derivadas

143

ACTIVIDADES RESUELTAS 7. Una función f(x) está definida de la siguiente forma: ¯² x 2 + x si x f 0 f(x) = ° 2 ±² x + ax + b si x > 0 Halla a y b para que f(x) sea continua y derivable en x = 0. Para que la función sea continua en x = 0, debe cumplirse: lím f ( x ) = f (0). Calculamos los límites laterales y f(0): xq0

• lím f ( x ) = lím ( x + x ) = 0 2

x q0

x q0

• lím+ f ( x ) = lím+ ( x 2 + ax + b) = b x q0

x q0

• f(0) = 0 Luego, la función es continua para b = 0. –

+

Para que la función sea derivable en x = 0, debe cumplirse que f.(0 ) = f.(0 ): • f .(0 ) = lím

f (0 + h) f (0) h(h + 1) = lím =1 h q 0 h h

• f .(0+ ) = lím+

f (0 + h) f (0) h2 + ah = lím+ =a hq0 h h

hq0

hq0

Luego, la función es derivable para a = 1. 2 ²¯ x + x La función queda definida de la siguiente manera: f ( x ) = ° 2 ±² x + x

si x f 0 si x > 0

8. Calcula los valores que deben tomar los parámetros a y c para que la función f (x) sea derivable en x = 1: ¯²ax 2 + c si x f 1 f(x) = ° si x > 1 ±²ln x Da, en ese caso, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en x = 1. • Para que la función sea derivable en x = 1, debe ser continua en el punto citado. En este caso, los límites laterales deben coincidir entre ellos y con el valor de la función en el punto: f (1) = lím ( ax 2 + c ) = lím+ ln x a + c = 0 x q1

x q1

Y

• Para que la función sea derivable en x = 1, las derivadas laterales deben coincidir, por tanto: f.(1 ) = f .(1 ) 2a = 1 –

3

y = x –1

+

1 1 x2 – — y =— 2 2

y = ln x

• De las ecuaciones a + c = 0 y 2a = 1 obtenemos a = 1/2 y c = –1/2 como valores de los parámetros. Para estos valores: f (1) = 0 y f.(1) = 1. • La ecuación de la recta tangente es y = x – 1. En la gráfica adjunta aparecen representadas la función y la tangente.

2 1

–2

–1

O

1

2

3

X

–1 –2

Y

Unidad 6

144

6. Función derivada. Derivadas sucesivas La función f asocia a cada elemento x del dominio, Dom f, la correspondiente imagen f(x). Cuando f es derivable en x, podemos asociar a x su correspondiente derivada f .(x). De esta forma, podemos considerar dos funciones: f : R q R

f .: R q R x q f .(x)

x q f (x)

Ambigüedad de la palabra derivada • No se deben confundir los conceptos de derivada de una función en un punto, que es un número real, y de función derivada o derivada, que es una función. • Por comodidad, en el lenguaje se suele utilizar la palabra derivada para nombrar a la función derivada y a la derivada de la función en un punto. Es el contexto el que nos indicará si derivada se refiere a una u otra acepción.

de manera que si Dom f es el dominio de la función dada, Dom f. es el conjunto donde la función f es derivable. A la función f . la llamamos función derivada de la función dada o simplemente derivada. • La función derivada de una función f dada, o simplemente derivada, es una función que asocia a cada x, donde la función es derivable, su derivada f .(x): f .: R q R x q f . (x) f (x + h) f (x) h q0 h

f .(x) = D [ f (x)] = lím

El conjunto Dom f . o dominio de derivabilidad de f está formado por todos los elementos de Dom f en los cuales f es derivable; por tanto, Dom f . Dom f.

Derivadas sucesivas Si una función f es derivable, la función derivada de f o función derivada primera de f es la función f .. Si f . es derivable, la función derivada de f. o función derivada segunda de f es la función (f . )., que se denota f ... Este proceso, a veces, se puede continuar indefinidamente. Si llegamos a derivar n veces, la función que obtenemos se llama función derivada n-ésima de f y es la función (f (n–1))., que se denota por f (n). DERIVADAS SUCESIVAS Derivada primera de f

f .(x)

Derivada segunda de f

f ..(x) = (f . ).(x)

Derivada tercera de f

f ...(x) = (f ..). (x)

Derivada cuarta de f

f (4)(x) = (f ... ). (x)

… Derivada n-ésima de f …

… f (n)(x) = (f (n – 1)).(x) …

Y

Derivadas

145

ACTIVIDADES RESUELTAS 9. Dada la función f (x) = 3x – 2x 2, calcula su función derivada, aplicando la definición. f .( x ) = D [3 x 2x 2 ] = lím hq0

= lím hq0

f ( x + h) f ( x ) 3( x + h) 2( x + h)2 (3 x 2x 2 ) = = lím hq0 h h

3 x + 3h 2x 2 4 xh 2h2 3 x + 2x 2 h(3 4 x 2h) = lím = 3 4x hq0 h h

Luego la derivada es: f.(x) = D [3x – 2x 2] = 3 – 4x ¯ x + 6 si x [ 6, 3) ² 10. Representa la función f ( x ) = °3 si x [ 3, 3) . Halla el conjunto de puntos donde está definida la derivada y re²6 x si x [3, 6] ± presenta la función f. (x). ¯ 1 si x ( 6, 3) ² El dominio de definición de la función derivada f .( x ) = ° 0 si x ( 3, 3) es (–6, –3) (–3, 3) (3, 6). ² 1 si x (3, 6) ± En los puntos –3 y 3 la función derivada no está definida, ya que las derivadas laterales existen pero son distintas: f. (–3–) = 1

y

f. (–3+) = 0;

f.(3–) = 0

y

f. (3+) = –1

Las gráficas de la función y = f(x) y la de la función derivada, y . = f.(x), son las siguientes: Y

Y 4

4

y = f ( x) 2

–8

–6

–4

–2

0

y . = f . (x)

2

2

4

6

–6

X

–4

–2

–2

0

2

4

6

X

–2

11. Siendo f (x) = 2x 4, calcula sus derivadas sucesivas. • f .( x ) = lím hq0

2( x + h)4 2x 4 f ( x + h) f ( x ) = lím = 8x3 hq0 h h

• f ..( x ) = (f .).( x ) = lím hq0

f .( x + h ) f .( x ) 8( x + h)3 8 x 3 = lím = 24 x 2 hq0 h h

• f ...( x ) = (f ..).( x ) = lím hq0

24( x + h)2 24 x 2 f ..( x + h) f ..( x ) = lím = 48 x hq0 h h

• f ( 4 ) ( x ) = (f ...).( x ) = lím

48( x + h) 48 x f ...( x + h) f ...( x ) = lím = 48 hq0 h h

• f (5) ( x ) = (f ( 4 ) ).( x ) = lím

48 48 0 f ( 4 ) ( x + h) f ( 4 ) ( x ) = lím = lím = lím 0 = 0 0 h q h q 0 h h hq0 h

• f (6 ) ( x ) = (f (5) ).( x ) = lím

00 0 f (5 ) ( x + h ) f (5 ) ( x ) = lím = lím = lím 0 = 0 hq0 hq0 h hq0 h h

hq0

hq0

hq0

Por tanto, las derivadas sucesivas de esta función son: • f .(x) = 8x 3

• f .. (x) = 24x 2

• f... (x) = 48x

• f (4)(x) = 48

• f (5)(x) = f (6)(x) = … = f (n)(x) = … = 0

Y

Unidad 6

146

7. Derivadas de las operaciones con funciones 7.1. Derivada de la suma de dos funciones

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

• La derivada de una suma de dos funciones es la suma de las derivadas de estas funciones: D [ f (x) + g(x)] = D [ f (x)] + D [ g (x)] Demostración: D [ f (x) + g(x)] = lím

[ f (x + h) + g(x + h)] [ f (x) + g(x)] =

h f (x + h) f (x) g(x + h) g(x) = D [ f (x)] + D [ g(x)] = lím + lím hq0 hq 0 h h h q0

7.2. Derivada del producto de un número real por una función Este matemático y filósofo alemán fue uno de los descubridores del concepto de derivada de una función en un punto, y la notación de derivada dy se debe también a él. dx

• La derivada del producto de un número real por una función es igual al número real por la derivada de la función: D [ t f (x)] = t · D [ f (x)]; t R Demostración: D [ t f (x)] = lím

hq0

t f (x + h) t f (x) f (x + h) f (x) = t lím = t D [ f (x)] h q 0 h h

7.3. Derivada del producto de dos funciones • La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera función por la segunda sin derivar más la primera función sin derivar por la derivada de la segunda: D [ f (x) · g(x)] = D [ f (x)] · g (x) + f(x) · D [ g (x)] Demostración: f (x + h) g(x + h) f (x) g(x) = h q0 h f (x + h) g(x + h) f (x) g(x + h) + f (x) g(x + h) f (x) g(x) = = lím hq0 h g(x + h) g(x) f (x + h) f (x) = = lím lím g(x + h) + f (x) lím hq0 hq 0 h q0 h h D [ f (x) g(x)] = lím

= D [ f (x)] g(x) + f (x) D [ g(x)]

Y

Derivadas

147

7.4. Derivada de un cociente de funciones • La derivada de un cociente de funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, y todo ello, dividido por el denominador sin derivar al cuadrado. ¬ f (x) ¼ D [ f (x)] g(x) f (x) D [ g(x)] D ½= ® g(x) ¾ [ g(x)]2 Demostración: f (x + h) f (x) f (x + h) g(x) f (x) g(x + h) ¬ f (x) ¼ g(x + h) g(x) = D = lím = lím ½ h q0 h h g(x + h) g(xx) ® g(x) ¾ h q0 = lím

h q0

f (x + h) g(x) f (x) g(x) + f (x) g(x) f (x) g(x + h) = h g(x + h) g(x)

g(x + h) g(x) ¼ g(x) f (x) ¬ ¬ f (x + h) f (x) ¼ = lím lím ½= ½ h q0 h q0 h h g(x + h) g(x) ¾ ® g(x + h) g(x) ¾ ® = D [ f (x)]

g(x)

[ g(x)]

2

f (x)

[ g(x)]

2

D [ g(x)] =

D [ f (x)] g(x) f (x) D [ g(x)]

[ g(x)]2

7.5. Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena • La derivada de la función compuesta de la función f con la función g es igual a la derivada de la función g por la derivada de la función f : D [ (g ° f )(x)] = D [ g [ f(x)]] · D [ f (x)]

ACTIVIDADES RESUELTAS 12. Conocidas las funciones f(x) = 3x 4 + 5 y g(x) = sen 2x, así como sus derivadas D [f (x)] = 12x3 y D [g(x)] = 2 cos 2x, halla la derivada de la función compuesta de f con g. En primer lugar determinamos la función f compuesta con g: (g ° f )(x) = g [f(x)] = g(3x 4 + 5) = sen [2(3x 4 + 5)] = sen (6x 4 + 10) g°f f

g

R q R q R x q f(x) = 3x 4 + 5 q g(3x 4 + 5) = sen [2(3x 4 + 5)] La derivada de la función (g ° f )(x) = sen (6x 4 + 10) es: D [(g ° f )(x)] = D [g [f(x)]] · D [f(x)] = D[g(3x 4 + 5)] · D [f(x)] = 2 · cos [2 · (3x 4 + 5)] · 12x3 = 24x3 · cos [6x 4 + 10]

Y

Unidad 6

148

8. Derivadas de las funciones elementales 8.1. Derivada de la función constante y de la función identidad

Isaac Newton (1642-1727)

• La derivada de la función constante es 0, y la de la función identidad 1: D [K ] = 0

D [x] = 1

8.2. Derivada de la función potencial de exponente real • La derivada de la función potencial simple x a es igual al exponente por la base elevada al exponente menos una unidad: D[x a ] = a · x a–1 • La derivada de la función potencial compuesta f a es igual al exponente por la base elevada al exponente menos una unidad por la derivada de la base: D [ f a ] = a · f a–1 · f .

8.3. Derivada de la función irracional Físico y matemático inglés, considerado uno de los científicos más importantes que han existido, fue junto a Leibniz el descubridor del concepto de derivada de una función en un punto. En su obra cumbre ya hace uso del concepto de derivada.

Las funciones irracionales de la forma 1 n

n

x o

n

f se pueden expresar como

1 n

funciones potenciales x o f y, por tanto, se pueden derivar usando las reglas de derivación de las funciones potenciales. Sin embargo, y dado que estas funciones se presentan con mucha frecuencia, resulta útil conocer las reglas específicas de derivación. • La derivada de la función irracional simple n x es igual a la expresión inversa del producto del índice por la raíz del mismo índice de la potencia de exponente n – 1 del radicando x: D ¬® n x ¼¾ =

1 n n x n 1

• La derivada de la función compuesta n f es igual a la expresión inversa del producto del índice por la raíz del mismo índice de la potencia de exponente n – 1 del radicando f, multiplicada por la derivada de f : D ¬® n f ¼¾ =

f. n f n 1 n

8.4. Derivada de la función exponencial • La derivada de la función exponencial simple a x es igual a la misma por el logaritmo neperiano de la base: D [a x ] = a x · ln a D [ex ] = ex • La derivada de la función exponencial compuesta a f es igual a la misma por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada de la función exponente: D [a f ] = a f · ln a · f .

D[ef] = ef· f .

Y

Derivadas

149

8.5. Derivada de la función logarítmica • La derivada de la función logarítmica simple loga x es igual a uno dividido por el producto de x por el logaritmo neperiano de la base: 1 D [ log a x ] = x ln a

1 D [ln x ] = x

• La derivada de la función logarítmica compuesta loga f es igual a la derivada de la función f dividida por el producto de la función f por el logaritmo neperiano de la base: D [ log a f ] =

f. f ln a

D [ ln f ] =

f. f

Método de derivación logarítmica Para derivar la función y = f g : • Tomamos logaritmos en ambos miembros: ln y = ln f g ln y = g · ln f • Derivamos en ambos miembros: f. y. = g. · ln f + g · f y • Despejamos y .: y . = f g · g. · ln f + f g · g ·

f. f

ACTIVIDADES RESUELTAS 13. Calcula las derivadas de las funciones que se indican: •• DD[[66]] == 00 •• DD[[33xx]] == 33 ¬¬ 22 ¼¼ 8 •• DD 44 ½½ == D D[ 22x 4 ] = 8 x 5 = 5 ®®xx ¾¾ x 3 3 •• DD¬®¬®55 xx33 ¼¾¼¾ == D D[ xx 3/ 5 ] = x 2/5 = 5 5 5 x2 ¬¬55 ¼¼ 55 5 •• DD xx44 ½½ == D D[ x 4 ] = 4 x 3 = 10 x 3 ®®22 ¾¾ 22 2 ¬¬55xx 1¼ D [5 x 11]]((55x + 1) (5 x 1)D(5 x + 1) 5(5 x + 1) (5 x 1) 5 10 •• DD = = ½= ®®55xx + 1¾ (5 x + 1)2 (5 x + 1)2 (5 x + 1)2 ¼ ¬6¼ ¬¬ 6 •• DD33xx22 + 3 3 x 2 7 ½ = D [3 x 2 ] D ½ + D ¬®3 3 x 2 ¼¾ D [7] = 3D [ x 2 ] 6D [ x 1 ] + 3D [ x 2/ 3 ] 0 = ¾ ®x¾ ®® xx = 3 2x 6( 1) x 2 + 3

2 1/ 3 6 2 x = 6x + 2 + 3 3 x x

•• DD[[33xx ]] == 33xx ln 3 33 33 •• DD¬®¬®ee44xx ¼¾¼¾ == ee44xx 12 x 2

•• DD[[22 xx ] == 22 xx ln 2

1 2 x

log x ¼¾ == 66DD¬®¬®llog og x ¼¾ = •• DD¬®¬®66 log •• DD¬®[ln (3 xx33))]¼¾ =

6 x ln 10

9 xx22 33 == 3 xx33 xx

ln ((2 x 3) ] == •• DD[[ln

22 22xx 33

Y

Unidad 6

150

8.6. Derivadas de las funciones trigonométricas Derivada de la función seno • La derivada de la función simple sen x es cos x: D [sen x] = cos x • La derivada de la función compuesta sen f es cos f por la derivada de la función f : D [ sen f ] = cos f · f . Derivada de la función coseno

Émile de Breteuil, marquesa de Châtelet (1706-1749)

• La derivada de la función simple cos x es el menos sen x: D [cos x] = –sen x • La derivada de la función compuesta cos f es el menos seno de la función f por la derivada de la función f : D [ cos f ] = –sen f · f . Derivada de la función tangente • La derivada de la función simple tg x es igual a uno más el cuadrado de la tangente: 1 D[tg x] = 1 + tg 2 x = cos 2 x

Matemática francesa que estudió a Newton y Leibniz, tradujo al francés la obra cumbre de Newton, los Principia Mathematica, y contribuyó a divulgar por toda Europa los conceptos del cálculo diferencial e integral.

• La derivada de la función compuesta tg f es igual a uno más el cuadrado de la tangente de la función y, todo ello, multiplicado por la derivada de la función f : f. D [ tg f ] = (1 + tg 2 f ) · f . = cos 2 f

8.7. Derivadas de las funciones inversas de las trigonométricas Derivada de la función arco seno • La derivada de la función simple arcsen x es igual a uno dividido por la raíz cuadrada de uno menos x al cuadrado: D[arcsen x] =

1 1 x2

• La derivada de la función compuesta arcsen f es igual a la derivada de la función f dividida por la raíz cuadrada de uno menos el cuadrado de f : D [ arcsen f ] =

f. 1 f2

Y

Derivadas

151

Derivada de la función arco coseno • La derivada de la función arccos x es la opuesta de la derivada de la función arco seno: 1 f. D[arccos x ] = D [ arccos f ] = 2 1 x 1 f2 Derivada de la función arco tangente • La derivada de la función simple arctg x es igual a uno dividido por uno más el cuadrado de x: 1 D[arctg x ] = 1 + x2 • La derivada de la función compuesta arctg f es igual a la derivada de la función dividida por uno más el cuadrado de f : D [ arctg f ] =

Función arco cotangente La derivada de la función arccotg f es la opuesta de la derivada de la función arco tangente: D [arccotg f ] = –D [arctg f ]

f. 1 + f2

ACTIVIDADES RESUELTAS 14. Calcula las derivadas de las funciones que se indican a continuación: a) D[sen 3x] = cos 3x · 3 = 3 cos 3x b) D[sen x 3] = cos x 3 · 3x 2 = 3x 2 cos x 3 c) D[sen 2x + cos 5x 2] = 2 cos 2x – 10x sen 5x 2 d) D[3 + tg5 x 3] = D [(tg x 3)5] = 5 tg 4 x 3 (1 + tg 2 x 3) · 3x 2 = 15x 2 tg 4 x 3 (1 + tg 2 x 3) ¬ 1 ¼ sen f f . e) D[sec f ] = D = D[cos –1 f ] = –1 · cos –2 f · (–sen f ) · f. = ½ cos2 f ® cos f ¾ ¬ 1 ¼ cos f f . –1 –2 f) D[cosec f ] = D ½ = D[sen f ] = –1 · sen f · cos f · f. = senf sen2 f ® ¾

[

g) D cotg

¬ cos 3 x 2 + 2 ¼ sen2 3 x 2 + 2 D ¬® 3 x 2 + 2 ¼¾ cos2 3 x 2 + 2 D ¬® 3 x 2 + 2 ¼¾ D ¬® 3 x 2 + 2 ¼¾ ½= = = 3x 2 + 2 = D ® sen 3 x 2 + 2 ½¾ sen2 3 x 2 + 2 sen2 3 x 2 + 2 3x = 2 3 x + 2 sen2 3 x 2 + 2

h) D[arcsen x 2] =

i) D[arctg 2x ] =

[

]

2x 1 x 4 2x ln 2 1 + 22 x

]

j) D arcsen 1 x 2 =

D ¬® 1 x 2 ¼¾ 1

k) D [arctg (5 – 2x 2)] =

(

)

2

1 x 2

=

2x 2

2 1 x x

=

1 1 x 2

4 x 2 1 + (5 2x 2 )

Y

Unidad 6

152

ACTIVIDADES RESUELTAS 15. Obtén las derivadas que se indican a continuación: a) D [ e 2 x ] = e 2 x ( 2) = 2 e 2 x b) D ¬®3 x ¼¾ = 3

x

ln 3

1 2 x

c) D ¬® x 3 ( x 2 + 5)4 ¼¾ = D [ x 3 ] ( x 2 + 5)4 + x 3 D [ ( x 2 + 5)4 ] = 3 x 2 ( x 2 + 5)4 + 8 x 4 ( x 2 + 5)3 = x 2 ( x 2 + 5)3 (11x 2 + 15) ¬ 1 d) D 4 ® x

¬ 41 ¼ ¼ 1 1 54 ½ = D®x ¾ = 4 x = 4 5 4 x ¾

1 1 ¼ 1 ¬ e) D ¬® 3 x 4 2 ¼¾ = D ®(3 x 4 2) 2 ½¾ = (3 x 4 2) 2 12x 3 = 2

f) D ¬®ln(3 x 2 + 5) ¼¾ =

6x3 3x 4 2

6x 3x 2 + 5

冢

冣

14 x 70 x = g) D ¬®ln(1 7 x 2 )5 ¼¾ = D ¬®5 ln (1 7 x 2 ) ¼¾ = 5 D ¬®ln (1 7 x 2 ) ¼¾ = 5 1 7x 2 1 7x 2 6x 15 x 2 2 60 x 2 10 x 3 14 + 60 x 3 70 x 3 14 +4 3 = + 3 = = h) D ¬®ln {3 x 2 (5 x 3 7)4 } ¼¾ = D ¬®ln (3 x 2 ) + 4 ln (5 x 3 7) ¼¾ = 2 3 x (5 x 7) 3x 5x 7 x 5x 7 x (5 x 3 7)

冢

冣

¬ 3x 2 3x 2 18 x 2 x3 + 3 ¼ 3 3 3 = 6 i) D ln 3 ½ = D ¬®ln ( x + 3) ¼¾ D ¬®ln ( x 3) ¼¾ = 3 x +3 x 3 x 9 x 3 ¾ ® 1 ¬ ¼ j) D ¬®log3 x + 1¼¾ = D 1 log3 ( x + 1) ½ = ®2 ¾ 2( x + 1)ln 3

16. Calcula las derivadas de las siguientes funciones trigonométricas y de sus inversas: a) D D ¬®33sen senxx¼¾¼¾ = 3D ¬® sen x ¼¾ = 3 cos x a) cos33 xx¼¾¼¾ = D ¬®(cos c x )3 ¼¾ = 3 cos2 x sen x b) D D ¬®cos b) c) D D ¬® sen sen33xx cos cosxx¼¾ ¼¾ = D ¬® sen 3 x ¼¾ cos x + sen 3 x D ¬®cos x ¼¾ = 3 cos 3 x cos x + sen 3 x ( sen x ) = 3 cos 3 x cos x sen 3 x sen x c) 1 1 + tg2 x t 2 x) d) D ¬® ttg = gg xx¼¾¼¾ = (1 ++ tg d) 2 x 2 x e) D D ¬®arcsen arcsen((22xx) )¼¾¼¾ == e)

2 1 (2 x )2

=

2 1 4x2

冢冣

¬ xx ¼¼ 1 f) f) D arcsen arcsen ½ = ® 22 ¾½¾ 2 4 x 2 g) D D ¬®arctge arctg ex x¼¾¼¾ = g)

ex ex = x 2 1 + (e ) 1 + e 2x

h) arccos((lnlnxx) ¼¾) ¼¾ = h) D D ¬®arccos

1 x 1 (ln x )2

Y

Derivadas

153

DERIVADAS FUNCIÓN

FUNCIÓN SIMPLE

FUNCIÓN COMPUESTA

Función constante

D[K] = 0,

Función identidad

Función potencial

Función irracional

K R

D[x] = 1

D [ f a ] = a · f a – 1 · f.

D[x a ] = a · x a – 1

D ¬® n x ¼¾ =

1 n

n x

D ¬® n f ¼¾ =

n 1

f. n

n f n1

D[e x ] = e x

D [ e f ] = e f · f.

D[a x ] = a x · ln a

D [ a f ] = a f · ln a · f.

Función exponencial

D [ln x ] =

D [lnf ] =

1 x

f. f

Función logarítmica D ¬®loga x ¼¾ =

1 x ln a

D ¬®loga f ¼¾ =

f. f ln a

Función seno

D[sen x] = cos x

D [ sen f ] = cos f · f.

Función coseno

D[cos x] = –sen x

D [ cos f ] = –sen f · f.

1 cos2 x

Función tangente

D ¬® tg x ¼¾ = 1 + tg2 x =

Función cotangente

D ¬®cotg x ¼¾ = 1 cotg2 x =

Función arco seno

D ¬®arcsen x ¼¾ =

Función arco coseno

D ¬®arccos x ¼¾ =

Función arco tangente

D ¬®arctg x ¼¾ =

1 1 x

1 1+ x 2

f. cos2 f

D ¬®cotg f ¼¾ = ( 1 cotg2 f ) f . =

2

D ¬®arcsen f ¼¾ =

2

D ¬®arccos f ¼¾ =

1 1 x

1 sen2 x

D ¬® tgf ¼¾ = (1 + tg2 f ) f . =

D ¬®arctg f ¼¾ =

f . sen2f

f. 1 f 2 f . 1 f 2 f. 1+ f 2

Y

Unidad 6

154

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Más cuadrados Para dibujar 215 cuadrados en un entramado, ¿cuál es el menor número de segmentos rectilíneos que has de trazar?

FAMILIARIZACIÓN CON EL PROBLEMA Entendemos perfectamente que lo que pide el problema es formar una trama en la que podamos visualizar o contar 215 cuadrados.

BÚSQUEDA DE ESTRATEGIAS tablero de 8 × 8 18 segmentos

El contar cuadrados nos recuerda al problema de determinar los cuadrados de un tablero de ajedrez. Esta idea nos sugiere resolver el problema por analogía.

LLEVAR ADELANTE LA ESTRATEGIA Sabemos que en un tablero n × n hay: 12 + 22 + 32 + … + n2 cuadrados Dando a n sucesivos valores, obtenemos que en un tablero de 8 × 8 hay 204 cuadrados y en un tablero de 9 × 9 hay 285 cuadrados. El problema nos dice que hemos de buscar un entramado con 215 cuadrados y el menor número posible de segmentos. tablero de 9 × 9 20 segmentos

Nos parece que la respuesta es trazar 20 segmentos rectilíneos, pero haciendo un entramado diferente al del tablero de 9 × 9. Partimos de un tablero de 8 × 8 y alargamos los 18 segmentos. Unos los alargamos longitudinalmente hacia la derecha y otros los alargamos verticalmente hacia abajo y añadimos dos segmentos más, tal como se muestra en la imagen. En este entramado tenemos 204 cuadrados del tablero de 8 × 8 más los cuadrados cuyos respectivos vértices superiores izquierda están señalados en el dibujo con un punto. Contabilizamos 11 de estos cuadrados, que sumados a los 204 totalizan 215 cuadrados. Por tanto, el menor número de segmentos rectilíneos que se necesitan para tener 215 cuadrados es 20.

REVISAR EL PROCESO Y SACAR CONSECUENCIAS DE ÉL El habernos dado cuenta de la analogía existente entre este problema y el problema del tablero de ajedrez ha sido la clave en la solución del mismo. Nos llama mucho la atención el entramado que hemos encontrado y pensamos si será posible conseguir, con un número mínimo de segmentos rectilíneos, un entramado que contenga 245 cuadrados. 20 segmentos rectilíneos 215 cuadrados

Y

Derivadas

155

Analogía. Semejanza Después de leer el enunciado del problema de la página anterior, el archivo de nuestra experiencia nos ha mostrado un problema que guarda estrecha relación con el problema propuesto. Esta analogía ha sido la llave en la resolución del mismo.

Nuestra experiencia diaria nos dice que en multitud de situaciones actuamos de forma análoga a como lo hicimos en otra con anterioridad. Esta forma de proceder se da también en el ámbito artístico, científico y, en general, en cualquier forma de pensamiento. Esta estrategia de analogía o semejanza es muy útil en la resolución de problemas y se basa en buscar semejanzas con situaciones, problemas o juegos que hayamos resuelto anteriormente. Ante cualquier situación o problema nuevo nos debemos de preguntar: ¿a qué nos recuerda?, ¿se parece a algún problema conocido?, ¿podemos utilizar alguna parte o partes de otro problema conocido? Por supuesto, cuanta más experiencia tengamos en la resolución de problemas, más fácilmente podremos encontrar situaciones o problemas análogos o semejantes.

A C T I V I D A D E S 䊏 Busca analogías en el archivo de tu experiencia que te sean útiles en la resolución de los siguientes problemas: 1. El manantial oculto. En una antigua ciudad amurallada, de forma rectangular, existía en un punto intramuros un manantial que se encontraba a 2 100 m de la esquina superior izquierda, a 600 m de la esquina superior derecha y a 1 800 m de la esquina inferior derecha. El manantial actualmente ha desaparecido. ¿A qué distancia se encontraría de la esquina inferior izquierda? 2. Número oculto. La siguiente expresión esconde un número conocido. ¿Sabes cuál es? 1

1+

1

1+ 1+

1 1+ …

3. Monedas. ¿Es posible colocar 18 monedas en 9 filas de manera que cada fila contenga 4 monedas? 4. Tantos por ciento. Parte de los 8 000 habitantes de un pueblo se va de vacaciones en verano. De los que quedan, al 63,636363…% les gusta la música y al 22,297297297…% les gusta usar pantalones vaqueros. ¿Cuántos habitantes se fueron de vacaciones en verano?

Y

Unidad 6

156

NUEVAS TECNOLOGÍAS Matemáticas de Microsoft es un programa informático que permite calcular derivadas de distinto orden de funciones dadas.

Derivadas con Matemáticas de Microsoft CÁLCULO DE DERIVADAS ex . x 1 Para ello podemos utilizar la sintaxis derivn(f,x,n), con n el orden de derivada, o las teclas correspondientes al cálculo de derivadas en el menú de «Cálculo» de la Calculadora. En este último caso, mediante la primera tecla podemos escribir, en la ventana de entrada de datos, la derivada de la función que queremos hallar (tal como aparece en el margen), y pulsando la tecla aparece la función derivada en el área de trabajo: Vamos a calcular la derivada de la función f ( x ) =

En esta pantalla, el programa, además de proporcionarnos la función derivada, nos permite seguir derivando o representar la derivada, como vemos en la siguiente imagen:

ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE PRACTICA con Matemáticas de Microsoft la resolución de las actividades números 12 y 13.

Una vez obtenida la derivada podemos hallar la recta tangente a la función en cualquier punto de la misma, y mediante la pestaña «Gráficas» representar la función y su tangente.

Y

Derivadas

157

EN RESUMEN la rapidez de cambio de la función en x0 se mide con la

FUNCIONES

TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA tvi [ x0 ] = lím hq0

f ( x0 + h) f ( x0 ) h

esta se llama

• f derivable en x0 ¢ f continua en x0 • el recíproco no es cierto

relación con la continuidad f .( x ) = D ¬f ( x ) ¼ = lím f ( x0 + h) f ( x0 ) 0 ® 0 ¾ hq0 h

f .( x ) = D [f ( x ) ] = lím h q0

y = f (x ) x0

D [f(x )] y D [f(x0–)]

f ( x + h) f ( x ) h

f .(x0) = tg F

X

derivadas de orden superior

cálculo de las derivadas

DERIVADAS SUCESIVAS

REGLAS DE LAS DERIVADAS

las ecuaciones de las rectas tangente y normal son

t : y f ( x 0 ) = f .( x 0 ) ( x x 0 ) n: y f ( x0 ) =

+ 0

FUNCIÓN DERIVADA

Y f (x 0)

D [f(x0)]

a partir de ella se define la

PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE EN [ x0, f(x0)]

O

condición necesaria y suficiente

y son iguales geométricamente la derivada es la

F

DERIVADAS LATERALES

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO DE ABSCISA x0

operaciones con las derivadas

• D ¬®f + g ¼¾ = D [f ] + D ¬® g ¼¾ • D ¬®t f ¼¾ = t D [f ]

• D ¬®f g ¼¾ = D [f ] g + f D ¬® g ¼¾

1 ( x x0 ) f .( x 0 )

¬ f ¼ D [f ] g f D ¬® g ¼¾ • D ½ = g2 ®g¾

• D ¬®f g ¼¾ = D ¬® g ¼¾ D [f ]

AMPLÍA CON… La incógnita Newton (Roca Editorial), de Catherine Shaw, es una novela que nos transporta a la ciudad universitaria de Cambridge a finales del siglo XIX. Los matemáticos intentan resolver el «problema de los tres cuerpos», planteado por primera vez por Isaac Newton. No sólo está en juego la solución del problema; además, los matemáticos aspiran a ganar un concurso, organizado por el matemático Gösta Mittag-Leffler, para el que el rey de Suecia ofrece un cuantioso premio. La protagonista, Vanesa Duncan, es una joven institutriz que, gracias a su trabajo, tiene ocasión de relacionarse con los ilustres matemáticos que dan clase en la universidad. La joven maestra se verá envuelta en una inesperada aventura que le hará recorrer media Europa, hasta entrevistarse con el rey de Suecia.

Y

Unidad 6

158

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD RESUELTAS Una piscina se vacía según la función V = t 2 + 10t donde V es el volumen expresado en m3 y t el tiempo en minutos. Halla la velocidad media de vaciado de la piscina en el intervalo de tiempo [2, 10]. La velocidad media de vaciado, o tasa de variación media, en el intervalo [2, 10] viene dada por: ¬ )V ¼ V (10) V (2) 200 24 Vm = tvm ¬®2, 10 ¼¾ = = = = 22 m3 /minuto ½ 10 2 8 ® ) t ¾ ¬®2, 10¼¾

Se ha lanzado verticalmente hacia arriba una piedra. La altura en metros alcanzada al cabo de t segundos viene dada por la expresión: e = f (t) = 20t – 2t2 a) Halla la velocidad media en el intervalo de tiempo comprendido entre t = 0 y t = 5. b) ¿En algún momento la velocidad de la piedra ha sido de 15 m/s? Si es así, ¿a qué altura sucedió? a) Para hallar la velocidad media en el intervalo [0, 5]: v m = tvm ¬®0, 5¼¾ =

) f (t ) f (5) f (0) 50 0 = = = 10 m/s )t 50 50

b) Hallaremos la derivada de f (t) y obtendremos la velocidad instantánea: velocidad (t) = f.(t) = –4t + 20 v (t) = –4t + 20 = 15 Para el tiempo t =

¡

t=

5 segundos 4

5 s, la velocidad de la piedra es de 15 m/s y la altura: 4 f

冢54冣= 20 54 2冢54冣

2

= 25

50 350 = = 21, 875 m 16 16

Aplicando la definición de derivada, calcula la derivada de la función f (x) = 2x 2 – 5x + 1. La función derivada o derivada viene dada por: f ( x + h) f ( x ) 2( x + h)2 5( x + h) + 1 (2x 2 5 x + 1) 2x 2 + 4 xh + 2h2 5 x 5h + 1 2x 2 + 5 x 1 = lím = = lím hq0 hq0 hq0 h h h

f .( x ) = lím

4 xh + 2h2 5h hq0 h

= lím

0 0

= lím hq0

h( 4 x + 2h 5) = lím ( 4 x + 2h 5) = 4 x 5 hq0 h

Halla un punto de la gráfica de y = x 2 + x + 5 en el cual la recta tangente sea paralela a la recta y = 3x – 8. La recta tangente, al ser paralela a la recta y = 3x – 8, tendrá igual pendiente, es decir, m = 3. Por la interpretación geométrica de la derivada sabemos que la pendiente de la recta tangente es la derivada en el punto de tangencia. Por tanto: f. (x) = 2x + 1 El punto pedido es: (x0, f (x 0)) = (1, f(1)) = (1, 7).

¡

3 = 2x0 + 1

¡

x0 = 1

Y

Derivadas

159

Dada la parábola de ecuación y = x 2 – 2x + 5 y la recta secante a ella por los puntos de abscisas x1 = 1 y x2 = 3, halla la ecuación de la tangente a la parábola que sea paralela a la recta secante dada. • La ecuación de la recta secante la determinamos teniendo en cuenta que pasa por los puntos (1, 4) y (3, 8):

Y 8

¯(1, 4) s ¡ 4 = m + b ¿ s : y = mx + b ° À ¡ m = 2; b = 2 ±²(3, 8) s ¡ 8 = 3m + b Á²

s 6

Luego, la ecuación de la recta secante es: s : y = 2x + 2

P

• La recta tangente, por ser paralela a la secante, tendrá la misma pendiente m = 2.

4

Para hallar la ecuación de la recta tangente necesitamos conocer el punto P de tangencia.

t

2

y .p= m recta tangente en P = 2 y = 2x + 1

¡

2x – 2 = 2

¡

x=2

P (2, y (2)) = P (2, 5)

La ecuación de la recta t tangente en P es: –1

0

1

2

y – 5 = 2(x – 2)

3 X

¡

t: y = 2x + 1

De un polinomio de tercer grado P3(x) se sabe que P3(1) = 0, P.3(1) = 2, P..3(1) = 4 y P...3 (1) = 12. Calcula P3(2). El polinomio P3(x) será de la forma: P3(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d Imponiéndole las condiciones del enunciado, obtenemos: • P3 ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ;

P3 (1) = 0

• P .3 ( x ) = 3ax + 2bx + c ;

P .3 (1) = 2

¡

• P ..3 ( x ) = 6a x + 2b;

P ..3 (1) = 4

¡

• P ...3 ( x ) = 6a;

P ...3 (1) = 12

¡

2

¡

a + b + c + d = 0¿ ² 3a + 2b + c = 2 ² À 6a + 2b = 4 ² ² 6a = 12 Á

Resolviendo el sistema, obtenemos: a=2

b = –4

c=4

d = –2

Por tanto, el polinomio pedido es: P3(x) = 2x 3 – 4x 2 + 4x – 2 Luego, P3(2) vale: P3(2) = 2 · 23 – 4 · 22 + 4 · 2 – 2 = 6

Y

Unidad 6

160

ACTIVIDADES FINALES EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1. Halla la tasa de variación media para las siguientes funciones en cada uno de los intervalos: [–2, 2]; [0, 3]; [4, 5]. a) f (x) = 6

c) h(x) = x 2 + 4

b) g (x) = –2x + 5

2. Calcula la tasa de variación media para la función f(x) = 3x 3 – 2, que es creciente en todo su dominio, en los intervalos [–1, 2], [0, 3] y [2, 5]. ¿En qué intervalo crece más rápidamente la función? 3. Se sabe que el crecimiento de bacterias en cierto cultivo preparado en un laboratorio viene dado por: N (t ) =

1000t + 50 100 + t 2

siendo t el tiempo en horas y N el número de bacterias al cabo de t horas. a) Halla la variación media del número de bacterias entre los instantes t = 2 horas y t = 5 horas. b) Halla la velocidad de crecimiento de esta población de bacterias y al cabo de 2,5 horas. 4. El volumen de ventas de ordenadores en un gran centro comercial y en una determinada época del año, en función del tiempo en días, viene dado por y = –2t 2 + 80t + 760. a) Halla la variación instantánea al cabo de 2, 10 y 28 días. b) ¿En qué momentos aumenta el número de ventas y en cuáles disminuye? 5. Calcula, mediante la definición, las derivadas siguientes en los puntos que se indican: a) f ( x ) = x 2 – 3 ; f .(1) b) f ( x ) =

c) f ( x ) = 10 ; f .(0)

2 ; D f (2) x 1

d) f ( x ) =

x 3 ; D f (7)

6. Haciendo uso del concepto de derivada lateral en un punto, estudia la derivabilidad de las siguientes funciones en x = 0. a)

b)

Y

c)

Y

Y

1 2

–1

0

X

1

–2

–1

0

f (x) = x

1

1

2

–1

X

¯² x 2 + 1 si x < 0 g( x ) = ° si x v 0 ²± 1

0

U 1 — 2

¯² x 2 x si x f 0 h( x ) = ° si x > 0 ²±sen x

U

X

Y

Derivadas

161

¯0 ² 7. Representa gráficamente la función f ( x ) = ° x + 1 ²x2 5 ±

si x f 1 si 1 < x f 3 si x > 3

a) ¿En qué puntos no es continua?

b) ¿En qué puntos no tiene derivada?

¯² x 3 12x + 1 8. Sea la función: f ( x ) = ° 2 ²±20 x + bx + c

si 0 f x f 1 . Halla b y c para que la función sea continua y derivable en (0, 2). si 1 < x f 2

9. Encuentra las ecuaciones de las rectas tangentes a las funciones en los puntos que se indican: 4 b) f ( x ) = en x = 2 a) f (x) = –(x2 – 4)(x – 4) en x = 0 x 10. Sea la curva de ecuación y = –x 3 + 26x. Halla las ecuaciones de sus rectas tangentes que sean paralelas a la recta de ecuación y = –x.

Y 4

y=4

11. En la gráfica adjunta está representada la función y = f (x). Calcula, de forma razonada: a) D f (–2)

b) D f (–1)

f (x) = y

3 2

c) D f (1) 1

12. Halla la función derivada de cada una de las siguientes funciones y representa, en un mismo diagrama, la función y su función derivada: a) f (x) = –2 b) g(x) = 2x 2 – 4x

–2

–1

¬ x ¼ j) D ½ ® x¾

r) D ¬® 4 1 4 x 2 ¼¾

b) D [ 25 x x 10 ]

¬ 2 ¼ k) D 2 x ½ ®4 ¾

¬ e x2 ¼ s) D ½ ® 3 ¾

2 l) D ¬®13x + 13x + 13¼¾

t) D ¬® 1 + 7e x ¼¾

d) D ¬®ln (7 x – 3) ¼¾

m) D ¬®ln (2x + 1) ¼¾

u) D ¬®ln (1 – 2x )5 ¼¾

¬ ¼ 1 e ) D ln ½ 2x + 3 ¾ ®

n) D ¬®ln ( x x ) ¼¾

v) D [ln2 x ]

f) D ¬®ln ( x 2 – 3) –5 ¼¾

¬ ex ¼ ñ) D ln x ½ ® 1+ e ¾

¬ cos x ¼ g) D ½ ®1 cos x ¾

o) D ¬®(sen x + cos x )2 ¼¾

x) D ¬®ln (cos 2x ) ¼¾

p) D [ cos2 ( x + 2) ]

y) D [ e tg x ]

q) D ¬®arctg x – 1¼¾

¬ x ¼ z) D arctg ½ ® 2 ¾

h) D ¬® tg x 2 ¼¾ i) D ¬®arcsen x 2 ¼¾

X

y = 9x + 18

¬ 2 ¼ a) D 3 ½ ® ( x 1) ¾

c) D[ (32 x – 5)3 ]

1

c) h (x) = 12x – x3 – 8 2x 6 d) t ( x ) = 3

13. Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

2

0

冢

冣

w) D[12 ln (2x + 4)]

Y

Unidad 6

162

ACTIVIDADES FINALES ACCESO A LA UNIVERSIDAD 14. Calcula b para que la tasa de variación media de la función f(x) = ln (x + b) en el intervalo [0, 2] valga ln 2. Calcula a continuación la tasa de variación instantánea en los extremos de dicho intervalo. 15. En un laboratorio depositamos en un producto una colonia inicial de 4 000 hongos. La función que nos da el número de hongos en la colonia en función del tiempo que transcurre, en días, es f(t) = 4 000 · 3t. Calcula: a) El número de hongos existentes en la colonia al cabo de 5 días. b) La tasa de variación instantánea o velocidad instantánea de crecimiento de la colonia al cabo de 5 días. c) ¿En qué momento la velocidad instantánea de crecimiento es de 9 610 660,3 hongos/día? 16. Dada la función f (x) = 1 – x + x 2: a) Mediante límites, calcula f.(2). b) ¿Qué significado tiene f.(2)? Deduce el punto de corte de la recta tangente a la curva en x = 2, con el eje OX. 17. Halla la ecuación de la recta tangente a y =

x +1 en x = 1. x2

18. Considérese la curva de ecuación y = kx 3 + 6x 2 – kx – 18. a) ¿Cuánto debe valer k si las tangentes en los puntos A = (1, y(1)) y B = (–2, y (–2)) son paralelas? b) Determina las ecuaciones de ambas tangentes. 19. Se ha investigado el tiempo (T, en minutos) que se tarda en realizar una prueba de atletismo en función del tiempo de entrenamiento (x, en días): ¯ 300 si 0 f x f 30 ²² x + 30 T (x) = ° 1125 ² + 2 si x > 30 ±² ( x 5) ( x 15) a) Estudia la continuidad y derivabilidad de T(x). b) ¿Algún deportista tardará más de 10 minutos en finalizar la prueba? 20. Calcula el valor de m para que la derivada de la función y =

1 mx 2 + 1 en x = valga 1. 2x + m 2

21. La primera gráfica corresponde a la función derivada de f(x). Y

Y

Y

Y

3

y = f' (x ) –3

2

0

2

3

X –3 0

3

0

3

X

0

5 X

–3

X

(A )

(B )

a) Obtén la expresión analítica de y = f.(x). b) Indica cuál de las gráficas, (A), (B ) o (C) corresponde a la función f(x). Justifica la respuesta.

(C )

Y

Derivadas

163

AUTOEVALUACIÓN 1. La función f(t) = 2,1t 2 – 0,8t – 1, para 0 f t f 9, en la que el tiempo está expresado en años, proporciona los beneficios de una empresa en miles de euros entre los años 1996 (t = 0) y 2005 (t = 9). La tasa de variación media del beneficio de esta empresa en los dos últimos años es: a) 44,3

b) 43,4

c) 34,4

2. La tasa de variación instantánea en x = 2 para la función f (x) = 1 + 8x + 2x2 es: a) 16

b) 8

c) 4

3. Las derivadas laterales por la izquierda y por la derecha, respectivamente, de la función siguiente, en x = –1, son: ¯²1 x f (x) = ° 2 ²±1 + x a) –1 y –2

si x f 1 si x > 1

b) 1 y –2

c) –1 y 2

2 ²¯( x 1) + b si x f 2 4. Los valores de a y b que hacen que la función f ( x ) = ° sea continua y derivable en x = 2 son: 2 ²± a( x ( 3) + 3) si x > 2

a) a = –1 y b = 5

b) a = 1 y b = 5

5. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f ( x ) = a) x + 4y = 1 6. El valor g.(3) siendo g( x ) = a)

e4 7

e3 3

c)

2 cos x

c) f .( x ) =

2 1 + cos x

ax 2 + 1 cumple f.(–1)= –5 es: x+a

b) a = 1

9. La primera derivada de la función f ( x ) = x arctg x a) f.(x)= ln (1 + x2)

e7 4

1 – cos x es: 1 + cos x

b) f .( x ) =

8. El valor de a para el cual la función f ( x ) = a) a = 0

c) x + 4y = –1

e 2 x +1 es: ( x 1)2 b)

2 sen x

x 1 en el punto de corte con el eje OX es: x +3

b) x – 4y = 1

7. La primera derivada de la función f ( x ) = ln a) f .( x ) =

c) a = 1 y b = –5

c) a = 2 1 ln(1 + x 2 ) es: 2

b) f.(x)= arctg x

c) f .( x ) =

1 1+ x 2

10. La segunda derivada de la función f(x) = ex · sen x es: a) f..(x) = 2ex · sen x

b) f..(x) = 2ex · cos x

c) f..(x) = –2ex · sen x

Z

u7 unidad 7 contenidos

1. Monotonía: crecimiento y decrecimiento de una función 2. Extremos relativos. Determinación

3. Optimización de funciones 4. Concavidad o curvatura de una función 5. Puntos de inflexión

Aplicaciones de las derivadas

165

De entre las aplicaciones de las derivadas, una de las más significativas es la optimización de funciones, por las muchas aplicaciones que tiene en la economía y las ciencias sociales. En la más remota antigüedad ya se encuentran problemas de optimización. Uno de los más famosos se refiere a la princesa Dido, fundadora de Cartago, y la leyenda nos lo presenta así: el rey Jarbas de Numidia daría a la princesa Dido toda la tierra que esta pudiera encerrar con una piel de buey. Este famoso problema fue resuelto por Jacques Bernoulli (1654-1705). Se llama problema isoperimétrico, y se puede enunciar de este modo: «De entre todas las curvas cerradas de igual perímetro, encontrar aquella que encierra área máxima». La solución es la circunferencia. Así pues, la princesa Dido hizo tiras la piel de buey y encerró una superficie circular. Otros problemas que resuelve el cálculo diferencial son todos los relativos a las curvas, su representación gráfica y el estudio de sus propiedades, como crecimiento, decrecimiento, curvatura, puntos de inflexión, extremos relativos y tangencias. En la imagen vemos la Casa Batlló, de Antoni Gaudí, en la que el arquitecto huyó de la línea recta, tal como se aprecia en las formas de los balcones, que constituyen una auténtica obra de arte vanguardista.

cuestiones iniciales 1. En una noche oscura y lluviosa, la temperatura T (en °C) varió con el tiempo t (en horas) según la función: T (t) = t 2 – 9t + 8, 0 f t f 12 a) ¿Qué temperatura había a las 2 de la mañana? b) ¿Cuál fue la temperatura máxima? ¿A qué hora se produjo? c) ¿A qué hora hubo una temperatura de cero grados? d) ¿Cuál fue el intervalo de variación de la temperatura desde las 0:00 h a las 12:00 h? e) Dibuja la gráfica de la función en el intervalo [0, 12]. 2. Expresa, en función de la longitud de la base, el área de un rectángulo cuyo perímetro vale 20. ¿Para qué valor de la base el área es máxima? 3. Dibuja una gráfica de una función que se ajuste a las siguientes características: a) Dom f = R – {–3, 6}; Im f = [–3, +h) b) Mínimo relativo en el punto (1, –3) y en el punto (–4, 1); máximo relativo en el punto (3, 2).

Y

Unidad 7

166

1. Monotonía: crecimiento y decrecimiento de una función La monotonía se basa en estudiar cómo aumenta o disminuye la variable dependiente y al aumentar o disminuir la variable independiente x. Las definiciones que siguen hacen referencia a la monotonía en un intervalo o en un punto del dominio de definición de la función.

1.1. Funciones estrictamente crecientes Función estrictamente creciente Y

f (x ) =

ex

f (x2) f (x1) O

x1

x2

X

La función f(x) = e x, representada en el margen, decimos que es una función estrictamente creciente en todo su dominio, pues al aumentar la variable independiente x también aumenta la variable dependiente y. • Una función f es estrictamente creciente en un intervalo (a, b) si y sólo si: x 1, x 2 (a, b) | x 1 < x 2 ¡ f (x1) < f (x 2) Otra definición equivalente es la siguiente: f es estrictamente creciente en (a, b)

Y y = f (x )

X x0 – J

O

x0

x0 + J

f (x 2 ) f (x1) > 0; x 2 x1 x 1, x2 (a, b); x 1 < x2

• Una función f es estrictamente creciente en un punto de abscisa x 0 si existe un entorno simétrico de x 0, E(x 0, J) = (x 0 – J, x 0 + J), en el cual la función es estrictamente creciente.

1.2. Funciones estrictamente decrecientes Función estrictamente decreciente

2 f (x ) = –– x

f (x1) f (x2) O

2 , representada en el margen, decimos que es una función x estrictamente decreciente en todo su dominio, pues al aumentar la variable independiente x disminuye la variable dependiente y. La función f(x) =

Y

x1

x2

X

• Una función f es estrictamente decreciente en un intervalo (a, b) si y sólo si: x 1, x 2 (a, b) | x 1 < x 2 ¡ f (x1) > f (x 2) Otra definición equivalente es la siguiente: f es estrictamente decreciente en (a, b)

Y y = f (x )

X O

x0 – J

x0

x0 + J

f (x 2 ) f (x1) < 0; x 2 x1 x 1, x 2 (a, b); x1 < x2

• Una función f es estrictamente decreciente en un punto de abscisa x 0 si existe un entorno simétrico de x 0, E(x 0, J) = (x 0 – J, x 0 + J), en el cual la función es estrictamente decreciente.

Y

Aplicaciones de las derivadas

167

1.3. Monotonía y derivada En la práctica, estudiamos el crecimiento y decrecimiento de una función mediante la derivada. La siguiente propiedad o teorema nos muestra la relación que existe entre el crecimiento y el decrecimiento y la derivada.

• Si f .(x0) > 0, entonces la función f es estrictamente creciente en x0.

Crecimiento estricto en un intervalo

• Si f .(x0) < 0, entonces la función f es estrictamente decreciente en x0.

Si f.(x) > 0 x (a, b)

La demostración de esta propiedad es inmediata a partir de la definición de derivada y de las definiciones de crecimiento estricto y de decrecimiento estricto.

¢ f es estrictamente creciente en (a, b)

Si la función tiene derivada nula en el punto x0, f .(x0) = 0, o tangente horizontal en x0, no podemos afirmar nada sobre el crecimiento y decrecimiento. Puede ocurrir que f sea estrictamente creciente en x0, estrictamente decreciente o ninguna de las dos cosas. Las tres funciones siguientes tienen derivada nula en x = 0 y, sin embargo, f es estrictamente creciente en x = 0; la función g es estrictamente decreciente en x = 0 y h no es estrictamente creciente ni estrictamente decreciente en x = 0. Y

Y

Si f.(x) < 0 x (a, b) h (x ) = –x 2

O O

X

Decrecimiento estricto en un intervalo

Y g (x ) = –x 3

O

X

¢ f es estrictamente decreciente en (a, b)

X

f (x ) = x 3

ACTIVIDADES RESUELTAS 1. Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función h(x) = –x 2 en los puntos x = 2 y x = –2. ¯h.( 2) = 4 > 0 ¡ h es estrictamente cree ciente en x = 2 h. ( x ) = 2 x ¡ ° ±²h.(2) = – 4 < 0 ¡ h es estrictame nte decreciente en x = 2 2. Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) = x 3 – 6x 2. Para resolver este problema hallamos la derivada primera de f y estudiamos su signo: f . (x) = 3x 2 – 12x Para estudiar el signo de f' calculamos sus ceros, que son x = 0 y x = 4. Representamos estos valores en la recta real, quedando dividida en 3 intervalos. Estudiamos el signo de f' en cada uno de ellos:

+ f' (–1) > 0

+

– 0

f' (1) < 0

4

f' (5) > 0

Por tanto, f es estrictamente creciente en (–h, 0) (4, +h) y estrictamente decreciente en (0, 4).

Y

Unidad 7

168

2. Extremos relativos. Determinación Máximo relativo Una función f tiene un máximo relativo en un punto de abscisa x0 si existe un entorno de x0, E(x0, J ) = = (x0 – J, x0 + J ), tal que para todo x que pertenece al entorno reducido E*(x0, J ) = (x0 – J, x0 + J ) – {x0 } se verifica que: f (x) < f (x0 ) Y f ( x0 )

P

En los cursos precedentes estudiamos y definimos los conceptos relacionados con los extremos relativos. Las definiciones correspondientes las recordamos en el margen. Como ocurría con la monotonía, en las funciones derivables, al menos dos veces, resulta muy sencillo la determinación de extremos relativos en base a la siguiente propiedad o teorema. • Si una función f tiene su derivada primera nula en un punto, de abscisa x0, y su derivada segunda en ese punto es negativa, entonces la función f presenta un máximo relativo en el punto (x0, f(x0)). • Si una función f tiene su derivada primera nula en un punto, de abscisa x0, y su derivada segunda en ese punto es positiva, entonces la función f presenta un mínimo relativo en el punto (x0, f (x0)).

y = f (x )

Simbólicamente: O

x0 – J

x0

x0 + J

X

¯² f ..(x 0 ) < 0 ¡ f tiene un máximo relativoo en ( x 0 , f (x 0 )) f .(x 0 ) = 0 ° ²± f ..(x 0 ) > 0 ¡ f tiene un mínimo relativo en ( x 0 , f (x 0 )) En las funciones derivables, las tangentes a la curva en los extremos relativos son horizontales, es decir, paralelas al eje de abscisas.

Mínimo relativo Una función f tiene un mínimo relativo en un punto de abscisa x0 si existe un entorno de x0, E(x0, J ) = = (x0 – J, x0 + J ), tal que para todo x que pertenece al entorno reducido E*(x0, J ) = (x0 – J, x0 + J ) – {x0 } se verifica que: f (x) > f (x0 )

Y

Y

MÁXIMO RELATIVO

O

Y y = f (x )

x0

X

f' (x0 ) = 0; f'' (x0 ) < 0

MÍNIMO RELATIVO

O

x0

X

f' (x0 ) = 0; f'' (x0 ) > 0

Cuando se anulan las primeras derivadas, existe extremo relativo si la primera derivada no nula es de orden par. f (x 0 ) O

M x0 – J

x0

x0 + J

X

f .(x0) = f ..(x0) = … = f (n–1) (x0) = 0

f (n) (x0) < 0; n par

f (n) (x0) > 0; n par

¢ f tiene máximo relativo en el punto (x0, f (x0))

¢ f tiene mínimo relativo en el punto (x0, f (x0))

Y

Aplicaciones de las derivadas

169

ACTIVIDADES RESUELTAS 3. Determina los extremos relativos de la función f (x) = x 3 – 3x. Calculamos previamente las derivadas primera y segunda de f : f.(x) = 3x 2 – 3

f .. (x) = 6x

Hallamos los ceros de la primera derivada, f., y estudiamos el signo que toma la derivada segunda para estos valores.

Y P

2

3x 2 – 3 = 0 ¡ x = 1; x = –1 • f.(1) = 0; f.. (1) > 0 ¡ f tiene un mínimo relativo en (1, f(1)).

1 –1

• f.(–1) = 0; f.. (–1) < 0 ¡ f tiene un máximo relativo en (–1, f(–1)).

X

0

–2

M

Por tanto, la función f tiene un mínimo relativo en el punto M (1, –2) y un máximo relativo en el punto P (–1, 2), como podemos ver en la gráfica.

4. Un club deportivo cuenta con un número de socios que viene dado (en miles de personas) por la función: s (x) = 2x 3 – 15x2 + 24x + 26 donde x indica el número de años desde la última remodelación. a) ¿Qué número de socios hay nada más hacer la remodelación? b) Halla el año en el que el club ha tenido el mayor número de socios. c) El cuarto año se remodeló de nuevo. Indica razonadamente si esta remodelación tuvo éxito o no. a) Hay s(0) = 26, es decir, 26 000 socios. b) Hallamos las dos primeras derivadas de la función s(x), para poder determinar el valor de x que la hace máxima: s.(x) = 6x 2 – 30x + 24 s..(x) = 12x – 30 Establecemos la condición necesaria para que existan valores extremos: s.(x) = 0. La ecuación 6x 2 – 30x + 24 = 0 tiene por soluciones x = 1 y x = 4. Estudiamos ahora el signo que toma la segunda derivada s..(x), para estos valores: • s..(1) = –18, así que x = 1 año después de la última modificación el club alcanzó el número máximo de socios. Este número fue de 37 000 socios. • s..(4) = 18, así que x = 4 años corresponde a un valor mínimo. En este caso el número de socios descendió a 10 000. c) Como ya hemos visto, 4 años después de la remodelación la función nos dice que hubo un número mínimo de socios; luego la nueva remodelación, es de suponer, que sí tuvo éxito.

Y

Unidad 7

170

3. Optimización de funciones En muchas situaciones sociales, políticas, económicas, tecnológicas, físicas, médicas, matemáticas, etc., se plantean problemas sobre optimización de funciones. Así, por ejemplo, en Economía se estudia cómo conseguir las empresas máximos beneficios con mínimos costes. En Física puede interesar, por ejemplo, el instante en que un cohete alcanza su máxima velocidad. En Matemáticas son numerosas las situaciones de optimización de funciones; por ejemplo, la determinación de la distancia a la que debemos colocarnos delante de un cuadro para verlo con el mayor ángulo posible. a

Las superficies matemáticas que forman las películas de las pompas de jabón son superficies de área mínima. Se utilizan modelos de películas jabonosas para determinar superficies de área mínima en estructuras de edificios, tejados, cubiertas, etc.

Los casos más sencillos de optimización de funciones son aquellos en los que la función a optimizar depende de una sola variable. Veamos los pasos a seguir para optimizar funciones. • Optimización de funciones 1. Expresar la función que deseamos optimizar. 2. Si la función tiene más de una variable, relacionar las variables con los datos del enunciado para conseguir una función de una variable. 3. Obtener los máximos y los mínimos de la función. 4. Comprobar que los resultados obtenidos tienen sentido y se adecuan a las condiciones del enunciado.

ACTIVIDADES RESUELTAS 5. Halla dos números positivos cuya suma es 30 y el producto de uno por el cuadrado del otro es máximo. Razona la respuesta. Si los números son x y 30 – x, la función a optimizar es: f (x) = x 2 (30 – x)

¡ f(x) = 30x 2 – x 3

Las derivadas de la función son: f .(x) = 60x – 3x 2 y f ..(x) = 60 – 6x. Los valores que anulan la primera derivada, es decir, 60x – 3x 2 = 0, son x = 0 y x = 20. Al ser f ..(0) = 60 > 0, tenemos un mínimo. El máximo se obtiene para x = 20, ya que f ..(20) = –60 < 0. Los números buscados son 20 y 10, y el producto máximo vale 4 000. 6. Halla las dimensiones del jardín rectangular de mayor área que se puede inscribir en un terreno circular de 100 m de radio. • La función a optimizar es A = x · y, que expresada en función de una sola variable resulta: y =

40000 x 2 ¡ A( x ) =

40000 x 2 x 4

• Optimizamos esta función: A.( x ) =

200 m

y

x

40000 2x 2 40000 x 2

; A.( x ) = 0 ¡ x = ± 100 2

A.. (100 2 ) < 0

La función presenta un máximo en x = 100 2 m, y = 100 2 m . Por lo que el rectángulo de mayor área es un cuadrado. El caso x = 100 2 no tiene sentido en el contexto del problema.

Y

Aplicaciones de las derivadas

171

ACTIVIDADES RESUELTAS 7. Un cultivador de frutas cítricas estima que si se plantan 60 naranjos en un huerto, la producción media por árbol será de 400 naranjas y esta disminuirá en un promedio de 5 naranjas por árbol por cada árbol adicional plantado en el huerto. Determina: a) La función de la producción total de naranjas. b) ¿Cuántos árboles se deben plantar en el huerto para maximizar la producción total de naranjas? ¿Cuál es esa producción máxima? a) Sea x el número de árboles que añadimos a 60; entonces la función de producción total de naranjas vendrá dada por: f (x) = (60 + x) (400 – 5x)

¡

f(x) = –5x 2 + 100x + 24 000

b) Para maximizar f (x) hallamos su derivada: f.(x) = 0 ¡ x = 10

f.(x) = –10x + 100; Veamos cuánto vale f..(x) para x = 10: f..(x) = –10;

f..(10) = –10 < 0 ¡

hay máximo en x = 10

Por tanto, para obtener la producción máxima tendremos que añadir 10 árboles a los 60 que ya estaban plantados. Con 70 árboles se obtienen f (10) = 24 500 naranjas. 8. Una hoja de papel debe tener 18 cm2 de texto impreso. Los márgenes superior e inferior han de ser de 2 cm de altura y los laterales de 1 cm de anchura. Halla las dimensiones de la hoja para que el coste del papel sea mínimo. La función a optimizar es el coste del papel o su superficie: A = (x + 2) (y + 4) 2 cm

Expresamos la función en una sola variable x: xy = 18 ¡ y = A(x) = (x + 2) y

冢x

18

18 x

冣

+ 4 = 26 + 4x +

36 x

Optimizamos esta función:

18 cm2

A.(x) = 4 –

36 ; A.(x) = 0 ¡ x = 3 ; x = –3 x2 A..(x) =

72 ; A..(3) > 0 x3

Luego, la función A(x) presenta un mínimo para x = 3 cm.

x

Las dimensiones que hacen mínima la superficie de la hoja, o coste de papel, son: 1 cm

ancho: x + 2 = 3 + 2 = 5 cm alto: y + 4 =

18 18 +4= + 4 = 10 cm 3 x

Las dimensiones del texto impreso son: ancho: x = 3 cm; alto: y =

18 = 6 cm 3 Y

Unidad 7

172

4. Concavidad o curvatura de una función

Concavidad hacia las y positivas Y

f (x 0 )

O

y = f (x )

La posición de los puntos de una curva, próximos al punto de abscisa x0 , respecto de la tangente a la curva en x0 , nos muestra la curvatura de la función, es decir, si la concavidad es hacia arriba o hacia abajo. • Una función f es cóncava hacia las y positivas o cóncava hacia arriba en un punto P, de abscisa x0, si todos los puntos de la curva próximos a P están situados por encima de la recta tangente en P.

P

x0

X

• Una función f es cóncava hacia las y negativas o cóncava hacia abajo en un punto Q, de abscisa x0, si todos los puntos de la curva próximos a Q están situados por debajo de la recta tangente en Q. Una función es cóncava hacia las y positivas o hacia las y negativas en un intervalo (a, b) cuando lo es en todos y cada uno de sus puntos.

Concavidad hacia las y negativas Y

f ( x0 )

O

y = f (x ) Q

x0

X

Cuando la función f admite, al menos, derivada segunda, resulta sencillo estudiar el tipo de concavidad de la misma mediante la siguiente propiedad o teorema: • Si f ..(x0) > 0, entonces f es cóncava hacia las y positivas en el punto (x0, f (x0)). • Si f ..(x0) < 0, entonces f es cóncava hacia las y negativas en el punto (x0, f (x0)).

ACTIVIDADES RESUELTAS 9. Estudia el tipo de concavidad que presenta la siguiente función:

Y

f (x) = x 3 – 6x 2 + 9x Para resolver este problema hallamos la derivada segunda de f y estudiamos su signo:

4

f . (x) = 3x 2 – 12x + 9 f.. (x) = 6x – 12

f (x ) = x 3 – 6x 2 + 9x 3

• f.. (x) = 6x – 12 > 0 ¡ x > 2 2

• f.. (x) = 6x – 12 < 0 ¡ x < 2 Por tanto, f es cóncava hacia las y positivas en el intervalo (2, +h) y f es cóncava hacia las y negativas en el intervalo (–h, 2). En x = 2, la función f no es cóncava hacia las y positivas ni cóncava hacia las y negativas. En la gráfica de la función podemos observar los resultados que hemos determinado sobre el tipo de concavidad.

1

0

1

2

3

X

Y

Aplicaciones de las derivadas

173

ACTIVIDADES RESUELTAS 10. Estudia la concavidad de la función f (x) = 2x2 + 4 ln x. Debemos tener en cuenta que el dominio de la citada función son los números reales positivos, es decir, R+ = (0, +h). Para estudiar la concavidad hallamos la derivada segunda y estudiamos su signo: f.(x) = 4x + f..(x) = 4 – La segunda derivada se anula, es decir, Estudiamos el signo de f..(x) en R+:

4 x2

¡

4x2 4 x2

f..(x) =

4x2 4 = 0, para x = –1 y x = 1. Al ser el dominio de la función R+, sólo consideramos x = 1. x2

+

– 0

4 x

f .. (0,5) < 0

f . .(5) > 0

1

La función es cóncava hacia las y negativas en el intervalo (0, 1). La función es cóncava hacia las y positivas en el intervalo (1, +h).

11. Estudia la monotonía y la concavidad de la función f (x) = (x – 1) e–x. Hallamos las dos primeras derivadas de la función y estudiamos su signo. • Estudio de la monotonía: f .(x) = (2 – x) e–x

+ f .(0) > 0

– f . (5) < 0

2

La función es creciente en (–h, 2) y decreciente en (2, +h). Alcanza un máximo en x = 2, con valor f(2) = e–2 = 0,14; el máximo está en el punto (2; 0,14). • Estudio de la concavidad: f ..(x) = (x – 3) e–x

+

– f ..(0) < 0

f . .(5) > 0

3

La función es cóncava hacia las y negativas en el intervalo (–h, 3) y cóncava hacia las y positivas en el intervalo (3, +h). • Un esbozo de la gráfica puede ser el siguiente: Y

1

0

2

3

4

X

–1 –2

Y

Unidad 7

174

5. Puntos de inflexión En la gráfica de la función f observamos que, a la izquierda del punto P, la función es cóncava hacia arriba y, a la derecha del punto P, es cóncava hacia abajo. En P cambia la concavidad de la función.

Y

Q

A la izquierda del punto Q, la función es cóncava hacia abajo y, a la derecha del punto Q, f es cóncava hacia arriba. En Q también cambia la concavidad.

y = f (x )

A los puntos, como P y Q, donde la función cambia el sentido de la concavidad, se les llama puntos de inflexión.

P

O

• Una función f tiene un punto de inflexión en un punto cuando en este punto cambia la concavidad de la función.

X

En las funciones derivables, al menos tres veces, resulta muy sencillo la determinación de los puntos de inflexión haciendo uso del siguiente teorema:

• Si una función f tiene su derivada segunda nula en un punto de abscisa x0 y su derivada tercera en ese punto es distinta de cero, entonces la función f tiene un punto de inflexión en el punto (x0 , f (x0)). Simbólicamente:

Tangente y punto de inflexión De la definición de punto de inflexión se deduce que en él la tangente atraviesa la curva.

f ..(x 0 ) = 0 ¿ À ¡ f tiene un punto de inflexión en (x0 , f (x0)) f ...(x 0 ) | 0 Á Cuando se anulan la segunda derivada, la tercera derivada, etc., en x0, siendo el orden de la primera derivada no nula impar, entonces f tiene un punto de inflexión en x = x0. f..(x0) = f ...(x0) = … = f (n – 1)(x0) = 0; f (n )(x0) | 0; n impar ¢ f tiene un punto de inflexión en (x0 , f (x0))

ACTIVIDADES RESUELTAS 12. Determina los puntos de inflexión de las siguientes funciones: f(x) = x 3 – 6x 2 + 9x

g(x) = x 5 – 2

• Puntos de inflexión de la función f : f.(x) = 3x 2 – 12x + 9

f..(x) = 6x – 12

6x – 12 = 0 ¡ x = 2;

f ... (x) = 6

f.. (2) = 0 y f ... (2) = 6 | 0

Luego, f tiene un punto de inflexión en (2, f(2)) = (2, 2). • Puntos de inflexión de la función g: g. (x) = 5x 4;

g .. (x) = 20x 3;

g... (x) = 60x 2;

g (4)(x) = 120x;

g ..(0) = g ... (0) = g (4)(0) = 0 y g (5)(0) = 120 | 0 Luego, g tiene un punto de inflexión en (0, g (0)) = (0, –2).

g (5)(x) = 120

Y

Aplicaciones de las derivadas

175

ACTIVIDADES RESUELTAS 13. Halla a, b y c de modo que la función y = x 3 + ax2 + bx + c tenga un mínimo para x = 3 y un punto de inflexión en (0, 2). Que la función tenga un mínimo para x = 3 significa que la derivada primera es 0 para x = 3, es decir: y . = 3x 2 + 2ax + b ¡

0 = 27 + 6a + b

Que tenga un punto de inflexión en (0, 2) significa: • Que pasa por (0, 2) ¡ 2 = c. • Que la derivada segunda es 0 para x = 0 ¡ y .. = 6x + 2a ¡ 0 = 2a. De estas condiciones obrenemos: a=0

b = –27

c=2

La función es: y = x 3 – 27x + 2. 14. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función y = x 3 + x + 2 en su punto de inflexión. Hallamos las tres primeras derivadas de la función y = f(x) = x 3 + x + 2: f.(x) = 3x 2 + 1 f..(x) = 6x f...(x) = 6 El punto de inflexión se obtiene al hacer: f..(x) = 6x = 0 ¡ x = 0 Por tanto, la gráfica de la función tiene un punto de inflexión en (0, 2). La pendiente de la recta tangente en (0, 2) es f.(0) = 1; y la ecuación de la recta tangente es: y – 2 = 1 · (x – 0) ¡

y=x+2

Representamos la gráfica de la función y la de la tangente en el punto (0, 2): Y 6

y=x +2

4

2

–6

–4

–2

0

2

4

6

X

Y

Unidad 7

176

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Juego al catorce En este juego se parte de un montón de catorce monedas. Juegan dos jugadores y cada uno de ellos toma alternativamente 1, 2 o 3 monedas del montón. El jugador que tome la última moneda pierde. ¿Qué estrategia debe seguir el jugador que inicia el juego para ganar la partida?

FAMILIARIZACIÓN CON EL PROBLEMA Con el fin de comprender mejor el juego que plantea el problema, simulemos una partida:

1ª

2ª

2

3ª

3

A 12

4ª

2

B9

5ª

1

A7

6ª

2

B6

7ª

3

A4

1

B1

A0

pierde A

En la primera jugada, el jugador A toma 2 monedas, por lo que en el montón quedan 12. Las monedas que toma cada jugador las ponemos como superíndice y las que quedan en el montón después de su jugada, como subíndice. Así, en la segunda jugada, vemos que B toma 3 monedas, quedando 9 en el montón. La partida continúa hasta la séptima jugada en la que A toma la última moneda, perdiendo la partida.

BÚSQUEDA DE ESTRATEGIAS Suponemos que A es el jugador que inicia la partida. El haber simulado algunas partidas nos ha servido para darnos cuenta que A debe dejarle al jugador B, en la última jugada, una única moneda para que este la tome y pierda la partida. Esto nos sugiere resolver el problema utilizando la estrategia de marcha atrás.

LLEVAR ADELANTE LA ESTRATEGIA Trabajando marcha atrás descubrimos que, para dejar a B una sola moneda en la última jugada, A debe conseguir que tres jugadas antes queden 5 monedas. De esta forma B no puede dejar a A con una sola moneda. Otro aspecto que descubrimos es que en cada par de jugadas podemos conseguir retirar 4 monedas exactamente. Como B retira la última moneda, y como en cada par de jugadas retiramos 4, resulta evidente que A debe retirar 1 moneda en la primera jugada, puesto que se verifica que • 14 = 1 + (4 + 1).

REVISAR EL PROCESO Y SACAR CONSECUENCIAS DE ÉL La revisión del proceso nos lleva a construir el diagrama siguiente, en el que mostramos que, si A sigue la estrategia encontrada, gana siempre la partida:

1ª

2ª

3ª

4ª

5ª

6ª

7ª

1 12

3 9

1 8

3 5

1 4

3 1

B 1

A 13

2

B 11 3

B 10

A

2

A9 1

A9

B

2

B7 3

B6

A

2

A5 1

A5

B

2

B3 3

B2

A

2

A1 1

A1

8ª

1

B0

Y

Aplicaciones de las derivadas

177

Trabajar marcha atrás La estrategia de trabajar marcha atrás también es conocida con el nombre de «suponer el problema resuelto». El punto de partida de esta estrategia consiste precisamente en suponer o imaginar el problema resuelto. De esta manera, los datos del problema se nos hacen más asequibles y, por tanto, podemos acercarnos más a la solución del mismo.

Si en el problema anterior hubiéramos usado la estrategia de ensayo y error, a través de la simulación de partidas, nos hubiera costado mucho tiempo llegar a la solución o, tal vez, no hubiéramos llegado a ella.

Trabajar marcha atrás es de gran utilidad en la resolución de aquellos problemas en los que conocemos la meta a la que hay que llegar. Sin embargo, no conocemos el punto de partida ni el camino que nos lleva a esa meta. Algunas veces, estos problemas se pueden resolver utilizando la estrategia de ensayo y error, pero este camino suele ser más largo y tedioso. En el problema del juego al catorce, resuelto en la página anterior, así como en otros muchos juegos, la forma de encontrar la estrategia ganadora es trabajar marcha atrás.

c Tablero para el juego el zorro y las ocas.

A C T I V I D A D E S 䊏 Resuelve los siguientes problemas utilizando la estrategia de marcha atrás: 1. Leche y té. Un par de amigos se junta a merendar y uno de ellos pide un vaso de leche y el otro, un vaso de té. Deciden hacer mezclas del siguiente modo: toman una cucharada de leche y la echan en el té; después toman una cucharada del té donde pusieron una cucharada de leche y la echan en la leche. ¿Habrá más leche en el té o más té en la leche? 2. Juego para dos. Dos amigas dicen, alternativamente, un número natural del 1 al 10. La primera dice un número y la segunda dice otro, sumándole a este el que dijo la anterior, y así sucesivamente. Gana la partida la primera jugadora que consiga llegar a 100. Encuentra la estrategia ganadora para la primera jugadora y para la segunda. 3. La sucesión de Fibonacci y las abejas. Las abejas macho (zánganos) nacen de huevos no fecundados, es decir, sólo tienen madre. Las abejas hembra (obreras) nacen de huevos fecundados, es decir, tienen madre y padre. ¿Cuántos antecesores tiene un zángano en la décima generación anterior a él? ¿Cuántos antecesores, en total, tiene un zángano en la vigésima generación anterior a él?, y de estos, ¿cuántos son machos y cuántas son hembras? ¿En qué generación anterior a este zángano tiene 17 711 antecesores?

Y

Unidad 7

178

NUEVAS TECNOLOGÍAS Calculadora gráfica y derivadas La calculadora gráfica dispone de un menú que nos permite efectuar cálculos con funciones definidas y representadas con anterioridad, y que aparece pulsando las teclas 2nd CALC . Veamos las opciones de este menú aplicadas, por ejemplo, a la función: f(x) = x 3 – 3x + 2 • 1: value, nos permite determinar la ordenada correspondiente a un valor de x dado. • 2: zero, nos permite calcular los puntos de corte de la gráfica con el eje de abscisas. Para ello nos situamos en la pantalla de la gráfica de la función dada. Pulsamos 2nd CALC y seleccionamos esta opción (2:zero); aparece en la pantalla un cursor parpadeante y la pregunta Left Bound? Movemos el cursor con las flechas y nos situamos próximos al punto de intersección, por la izquierda de él, y pulsamos ENTER .

Zero X = –2

Y=0

A continuación aparece otra pantalla con la pregunta Right Bound? Movemos el cursor con las flechas y nos situamos próximos al punto de intersección, por la derecha de él, y pulsamos ENTER , y en pantalla aparece la pregunta Guess? Pulsando ahora la tecla ENTER aparece la pantalla de la gráfica con las coordenadas del punto de corte con el eje de abscisas, como vemos en la imagen adjunta. De forma análoga obtendríamos los otros puntos de corte con el eje de abscisas. • 3: minimum y 4: maximum, nos permiten hallar los extremos relativos de la función. Para ello procedemos de forma análoga al apartado anterior y obtenemos: Minimum X=1 Y=0

Maximum X = -1 Y = 4

• 5: intersect, nos permite hallar los puntos de intersección de dos funciones. Para ello, introducimos las funciones a intersecar, por ejemplo: Y1 (x) = x 3 – 3x + 2

Y2 (x) = –x 2 + 4

Mediante la tecla GRAPH hacemos aparecer en pantalla las gráficas de ambas funciones. A continuación seleccionamos esta opción, 5: intersect. En pantalla aparece la pregunta First curve?, y con las flechas nos situamos en la primera curva. Después de la pregunta Second curve? nos situamos en la segunda curva, y próximos al punto de intersección. Pulsando ENTER aparece el punto de intersección:

Intersection X = 1.618034 PRACTICA con calculadora gráfica la resolución de las actividades números 1, 4 y 23.

Y = 1.301966

• 6: dy/dx, nos permite calcular la recta tangente a la curva en el punto en el que situemos el cursor.

Y

Aplicaciones de las derivadas

179

EN RESUMEN CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO • f .(x0 ) > 0 ¡ f es estrictamente creciente en x0 • f.(x0 ) < 0 ¡ f es estrictamente decreciente en x0

EXTREMOS RELATIVOS

( (

) )

¯²• f ..( x0 ) < 0 ¡ f tiene un máximo relativvo en x0 , f ( x0 ) f .( x 0 ) = 0 ° ²±• f ..( x0 ) > 0 ¡ f tiene un mínimo relativo en x0 , f ( x0 )

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

aplicación

OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES

CONCAVIDAD • f..(x0 ) > 0 ¡ f es cóncava hacias las y positivas en el punto ( x0, f(x0 )) • f..(x0 ) < 0 ¡ f es cóncava hacias las y negativas en el punto ( x0, f (x0 ))

PUNTOS DE INFLEXIÓN • f ..(x0 ) = 0 ; f...(x0 ) | 0 ¡ f tiene un punto de inflexión en el punto ( x0, f(x0 ))

AMPLÍA CON… El libro Para pensar mejor (Editorial Labor), del matemático español Miguel de Guzmán, ofrece una propuesta práctica y útil para cualquier persona que desee examinar y remodelar sus propios modos de pensamiento de forma sistemática, con el fin de eliminar obstáculos y llegar a establecer hábitos mentales verdaderamente eficaces en su propio campo de trabajo. Miguel de Guzmán tuvo una enorme influencia en la educación matemática española en las últimas décadas del siglo pasado. Generaciones de jóvenes aprendieron con sus libros, y sus obras pedagógicas han sido guías de reflexión y actuación para muchos profesores de enseñanza elemental y media. Los aspectos estéticos, lúdicos y creativos de las matemáticas los expuso en obras como Cuentos con cuentas y Aventuras matemáticas.

Y

Unidad 7

180

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD RESUELTAS Estudia el crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos de la función: f (x) = x 3 – 9x 2 + 24x – 20 • Para estudiar el crecimiento y decrecimiento hallamos la derivada primera de f y vemos cómo es su signo: f.(x) = 3x 2 – 18x + 24 Determinamos el signo de f . hallando sus ceros, que son x = 2 y x = 4. Representamos estos valores en la recta real y estudiamos el signo de f . en cada uno de los intervalos en que ha quedado dividida la recta:

+

+

–

f .(0) > 0

f .(3) < 0

2

estrictamente creciente

f .(5) > 0

4

estrictamente decreciente

estrictamente creciente

Por tanto, f es estrictamente creciente en (–h, 2) 傼 (4, +h) y es estrictamente decreciente en (2, 4). • Para encontrar los máximos y mínimos relativos de la función f calculamos f. y f..: f.(x) = 3x 2 – 18x + 24 ; f..(x) = 6x – 18 Hallamos los ceros de f. y estudiamos el signo que toma la derivada segunda para estos valores: f.(2) = 0 ; f..(2) < 0 ¡ f tiene un máximo relativo en (2, 0) f .(4) = 0 ; f ..(4) > 0 ¡ f tiene un mínimo relativo en (4, –4)

Se quiere construir el marco para una ventana rectangular de 8 m2. El metro de tramos horizontal cuesta a 2,5 euros y el de tramos vertical a 5 euros. Determina: a) Las dimensiones de la ventana para que el coste del marco sea mínimo. b) ¿Cuánto cuesta el marco? a) Llamamos x, y a las dimensiones de la ventana. La función a optimizar es: C = 2,5 · 2x + 5 · 2y = 5x + 10y y

Sabemos que x · y = 8 ¡ y = Luego: C = 5x +

x

8 x

80 x

Hallamos la derivada primera y vemos para qué valores se anula: C . = 5

Hallamos la derivada segunda: C .. =

160 . Para x = 4 m ¡ C .. > 0 ¡ es mínimo. x3

Por tanto, las dimensiones son: x = 4 m e y = 2 m. b) El marco cuesta: C = 5 · 4 + 10 · 2 = 40 euros.

80 = 0 ¡ x = ±4. x2

Y

Aplicaciones de las derivadas

181

Dada la función y = ax 3 + bx 2 + cx + d, halla los coeficientes a, b, c y d para que se cumplan las siguientes condiciones: La gráfica de la función tiene un punto de inflexión en (0, 0), siendo la tangente en este punto paralela a la recta 4x – y = 5, y, además, pasa por el punto (1, 1). En la resolución del problema necesitamos calcular y . e y..: y.(x) = 3ax 2 + 2bx + c ;

y..(x) = 6ax + 2b

Las condiciones impuestas en el problema las recogemos en el siguiente cuadro: Pendiente de la recta tangente en (0, 0) es 4

Punto de inflexión en (0, 0) • (0, 0) gráfica de y

[1]

• y ..(0) = 0

[2]

• y.(0) = 4

Pasa por (1, 1) [3]

• (1, 1) gráfica de y

[4]

Las condiciones [1], [2], [3] y [4] nos conducen al siguiente sistema: [1] [2] [3] [ 4]

¡ ¡ ¡ ¡

¿ d =0 ² 2b = 0 ² À c=4 ² a + b + c + d = 1 ²Á

Resolviendo el sistema, obtenemos: a = –3, b = 0, c = 4 y d = 0.

En una oficina de Correos solo se admiten paquetes con forma de paralelepípedo rectangular, tales que su anchura sea igual a su altura y, además, la suma de sus tres dimensiones debe ser de 72 cm. Halla las dimensiones del paralelepípedo para que el volumen sea máximo. • La función a optimizar es el volumen del paquete: V = x · y · x = x2y • Expresamos esta función en una sola variable: 2x + y = 72 ¡ y = 72 – 2x alto x

V (x) = x 2 (72 – 2x) = –2x 3 + 72x 2 • Optimizamos esta función:

x ancho

V .(x) = –6x + 144x ; V .(x) = 0 ¡ –6x + 144x = 0 ¡ x = 0 ; x = 24 2

2

V ..(x) = –12x + 144 ; V..(24) < 0

largo y

Luego, la función V (x) presenta un máximo para x = 24 cm. Las dimensiones del paralelepípedo de volumen máximo son: • ancho: x = 24 cm • alto: x = 24 cm • largo: y = 72 – 2x = 72 – 2 · 24 = 24 cm Por tanto, el paralelepípedo es un cubo de 24 cm de arista.

Y

Unidad 7

182

ACTIVIDADES FINALES EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1. Estudia la monotonía de las siguientes funciones: 2 a) f (x) = 4x – x 2 c) f(x) = x b) f (x) = 2 –x

d) f(x) = e3x

e) f(x) = x 3 – 3x 2 + 5 f) f (x) =

g) f(x) = x · ln x

x 3 x +3

h) f(x) =

x2 9

2. Estudia la monotonía de las siguientes funciones definidas a trozos: ¯ x 2 + 2x si x f 0 ² b) f(x) = °1/ x si 0 < x < 1 ²ln x si x v 1 ±

¯x2 1 si x f 1 ² 2 a) f(x) = ° x + 4 x 3 si 1 < x < 3 ² si x v 3 ±x 3

3. En 1980 se fundó una asociación ecologista. Se sabe que el número de sus miembros ha variado con los años de acuerdo con la función: N(x) = 50(2x 3 – 15x 2 + 36x + 2). a) ¿Cuántos fueron los socios fundadores? b) ¿En qué períodos de tiempo aumenta el número de sus socios? 4. Halla los extremos relativos de las siguientes funciones: a) y = –x 2 + 6x – 5

c) y = 2x 3 – 15x 2 + 36x – 12

b) y = x · ln x

d) y =

x ex

e) y =

2 1+ x 2

f) y =

x2 + 1 x

5. Halla el valor de a para que la función f(x) = x 2 – 6x + a tenga un mínimo de valor –1. 6. Halla b y c para que la curva y = –x 2 + bx + c tenga un máximo relativo en el punto (0, 4). 7. Halla a y b para que la función f(x) = a ln x + bx 2 + x tenga extremos en los puntos x = 1 y x = 2. Para estos valores de a y b, ¿qué tipo de extremos tiene la función en 1 y en 2? 8. El dueño de un manantial de agua llega a la conclusión de que, si el precio al que vende la caja de 10 botellas es de x euros, sus beneficios vendrán dados por la fórmula B(x) = 10x – x 2 – 21, en cientos de euros por día. Representa la función precio-beneficio e indica cuál será el precio de la botella para obtener el beneficio máximo. 9. En su modelo para costes de almacenamiento y transporte de materiales para un proceso de manufactura, una empresa obtiene la siguiente función de coste:

冢

C (x) = 100 100 + 9x +

144 x

冣

donde C (x) es el coste total (en euros) de almacenamiento y transporte (durante tres meses) de x toneladas de material. ¿Qué cantidades de material hacen que el coste sea mínimo?

Y

Aplicaciones de las derivadas

183

10. Descompón el número 48 en dos sumandos tales que el quíntuplo del cuadrado del primero más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea mínimo. 11. Halla el número positivo cuya suma, con 4 veces su recíproco, sea mínima. 12. Un rectángulo mide 8 dm de largo y 4 dm de ancho. De cada esquina se recorta un cuadrado de lado x con el fin de hacer una caja sin tapa. Halla x para que el volumen sea máximo. 13. Un fabricante de recipientes está diseñando una caja sin tapa y con base cuadrada que debe tener un volumen de 4 m3. Para que la caja requiera una cantidad mínima de material, ¿qué dimensiones debe tener? 14. Encuentra entre todos los rectángulos de perímetro 200 centímetros el que tiene diagonal mínima. 15. Con un alambre de 10 metros de longitud queremos hacer un rectángulo. ¿Cuáles han de ser sus medidas para que tenga área máxima? 16. La producción de cierta hortaliza en un invernadero (Q(x) en kg) depende de la temperatura (x en °C) según la función: Q(x) = (x + 1)2 (32 – x) a) Calcula la temperatura óptima a mantener en el invernadero. b) ¿Qué producción de hortaliza se obtendrá a esa temperatura? 17. Se desea construir una piscina de fondo cuadrado, con 32 m3 de capacidad, de manera que la superficie total (de las paredes más el fondo) sea mínima. ¿Qué dimensiones debe tener la piscina? 18. Halla las dimensiones de una ventana de 6 metros de perímetro para que tenga la máxima superficie posible y, así, produzca la máxima luminosidad. 19. Estudia el tipo de concavidad y la existencia o no de puntos de inflexión en las siguientes funciones: a) f(x) = 2x3 – 9x2 b) g(x) =

2 x

c) h(x) = x 4 – 12x 2 + 8

d) i (x) =

x2 + 4

g) l (x) = x 4 – x 2

e) j (x) = x · e–2x

h) m(x) = (x – 1) e x

f) k (x) = ln (x + 4)

i) n(x) = x 4 + 2x 3 – 12x 2 + 12x – 1

20. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = x 3 – 6x 2 + 16x – 11 en su punto de inflexión. 21. Dada la función f (x) = x 3 – 3ax 2 + 9x + 5; halla a para que la citada función tenga un punto de inflexión en x = 2. 22. En la función f(x) = ax 3 + bx + c, halla a, b y c para que la función tenga un máximo relativo en x = 1 y un punto de inflexión en (0, 0). 23. Estudia los máximos, mínimos y puntos de inflexión de las funciones: a) f(x) = x (x – 1)3

b) f(x) =

2x x2 + 1

c) f (x) =

3x 1 3x 2 + 1

Y

Unidad 7

184

ACTIVIDADES FINALES ACCESO A LA UNIVERSIDAD 24. De dos funciones f y g se sabe que la gráfica de sus funciones derivadas es una recta que pasa por los puntos (0, 2) y (2, 0) (para la derivada de f ) y una parábola que corta a OX en (0, 0) y (4, 0) y tiene por vértice (2, 1) (para la derivada de g). a) Haz las gráficas de tales derivadas y encuentra su expresión. b) Estudia a partir de la gráfica el crecimiento y decrecimiento de f y g. 25. Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función f (x) =

x +1 . x2 + x 2

26. Una productora de películas ha comprobado que el coste anual (en millones de euros) que le supone la contratación de actores secundarios para sus películas sigue una función del tipo: f (x) =

2x 2 + 60 x + 800 ,x>0 100 x

donde x denota el número de actores secundarios contratados. a) ¿Qué número de actores secundarios contratados origina el coste anual mínimo? b) ¿Cuál sería el coste mínimo? Justifica las respuestas. 27. La suma de tres números positivos es 60. El primero más el doble del segundo más el triple del tercero suman 120. Halla los números que verifican estas condiciones y cuyo producto es máximo. 28. Un granjero dispone de 3 000 euros para cercar un campo rectangular adyacente a un río. El coste de la cerca paralela al río es de 5 euros por metro instalado, y el de la cerca para cada uno de los lados restantes es de 3 euros por metro instalado. Halla las dimensiones del área máxima que puede ser cercada. 29. Una empresa estima que los ingresos y los gastos anuales (en euros) que genera la fabricación y venta de x unidades de un determinado producto, vienen dados por las funciones: Ingresos: I (x) = 28x 2 + 36 000x

Gastos: G(x) = 44x 2 + 12 000x + 700 000

a) Halla el número de unidades que ha de vender para que el beneficio sea máximo. b) Halla el valor de dicho beneficio máximo. 30. La función del coste total de producción de x unidades de un determinado producto es: C(x) =

1 2 x + 3x + 200 2

Definimos la función de coste medio por unidad: C ( x ) =

C(x) . x

¿A qué nivel de producción será mínimo el coste medio por unidad?

Y

Aplicaciones de las derivadas

185

AUTOEVALUACIÓN 1. En el intervalo [1, 2] la función f(x) = a) Monótona creciente

x es: ln x b) Monótona decreciente

c) Constante

x2 es creciente en: x 4

2. La función f(x) =

2

b) (–h, –2) (–2, 0)

a) (–h, 0)

c) (0, 2) (2, +h)

3. El número de personas que utiliza las instalaciones de una piscina de verano viene expresado por la función f (t) = 10t 3 – 120t 2 + 450t, en donde t expresa el tiempo transcurrido desde la apertura de la piscina, 12 de la mañana (instante t = 0), hasta el cierre, que se produce a las 19 horas. El período en el que el número de personas decrece es: a) De las 12 a las 15 horas 4. La función f(x) =

b) De las 14 a las 18 horas

c) De las 15 a las 17 horas

x2 en el punto (2, 2) tiene un: 2x 2

a) Mínimo relativo

b) Máximo relativo

5. El valor del parámetro k para que la función f(x) = a) k = 1

b) k = –4

c) Punto de inflexión

kx tenga un mínimo relativo en x = 1 es: 4x2 k c) k = 4

6. La concentración de ozono contaminante, en microgramos por metro cúbico, en una ciudad, viene dada por la función C (x) = 90 + 15x – 0,6x 2, donde x es el tiempo transcurrido desde el 1 de enero de 1990 contado en años. La concentración máxima de ozono, medida en microgramos por metro cúbico, que se alcanza en esa ciudad es: a) 318,75

b) 183,75

c) 831,75

7. Al descomponer el número 81 en dos sumandos positivos de manera que el producto del primer sumando por el cuadrado del segundo sea máximo, obtenemos los números: a) 40 y 41 8. La gráfica de la función f(x) = x 2 + a) (0, 1)

b) 27 y 54

c) 36 y 45

1 es cóncava hacia las y negativas en el intervalo: x b) (–1, 0)

c) (–h, 0)

9. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = x 3 – 4x + 2 en su punto de inflexión es: a) y = 4x – 2

b) y = x – 4

c) y = –4x + 2

10. El punto de inflexión de la gráfica de la función f(x) = x 3 + ax 2 + bx + c, que pasa por el punto (–1, 0) y tiene un máximo en el punto (0, 4) es: a) (1, 2)

b) (2, 1)

c) (0, 0)

Z

u8 unidad 8 contenidos

1. Dominio y recorrido de una función

2. Puntos de corte con los ejes. Simetría. Periodicidad 3. Asíntotas y ramas infinitas 4. Monotonía. Extremos relativos. Concavidad. Puntos de inflexión 5. Intervalos de signo constante. Regiones 6. Representación gráfica de funciones

Representación gráfica de funciones

187

El hombre, a lo largo de su historia, ha utilizado las representaciones gráficas como expresión o como interpretación de situaciones, objetos o fenómenos. En estas representaciones se perciben de forma clara las características o propiedades más notables de la situación, objeto o fenómeno representado. La representación gráfica de una función nos permite visualizar sus características asociadas más importantes en cuanto a continuidad, monotonía, extremos, etc. Por tanto, es fundamental hacer una buena representación gráfica con el fin de comprender mejor los fenómenos que describen las funciones. Uno de los objetivos perseguidos por los matemáticos de todos los tiempos ha sido la representación gráfica de sus descubrimientos. Los griegos estudiaron algunas curvas que les permitieron resolver problemas complejos. La aparición de los diagramas cartesianos, ideados por René Descartes (1596-1650) y publicados por primera vez en su obra Geométrie, revolucionaron las representaciones gráficas. En esta unidad didáctica se utilizan las características de las funciones (simetría, periodicidad, cortes con los ejes, asíntotas y ramas parabólicas, monotonía y extremos, curvatura y puntos de inflexión), ya conocidas, con el fin de construir sus respectivas representaciones gráficas sobre un diagrama cartesiano.

cuestiones iniciales 1. En las siguientes funciones, estudia sus características: dominio, los puntos de corte con los ejes, las simetrías, la periodicidad, las asíntotas, la monotonía, los extremos relativos, el tipo de concavidad y la existencia o no de puntos de inflexión. a) y = 2x 2 – 8x

b) y =

x3 x2 4

2. Estudia las características (dominio, recorrido, monotonía, extremos reex lativos, curvatura y asíntotas) de la función f ( x ) = , representada x en la gráfica. Y 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 -11 2 3 4 5 6 X -2

-3 -4 -5

Y

Unidad 8

188

1. Dominio y recorrido de una función 1.1. Dominio de una función

El matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) fue el primero que utilizó la notación y = f(x) para simbolizar una función, en su obra Introductio in analysin infinitorum. Fue el matemático alemán Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859), digno sucesor de Gauss en la cátedra de la Universidad de Gotinga, el que dio, en 1837, la definición de función tal como la conocemos hoy día.

• Dominio de una función f es el conjunto de valores de R que puede tomar la variable independiente para los cuales está definida la función: Dom f = { x R½ f (x) R } R

R f

x

y = f (x )

Dom f

Im f

Con el fin de poder determinar el dominio de una función real de variable real, que son las funciones con las que trabajamos normalmente, estudiamos el dominio de las funciones más usuales: • Funciones racionales enteras o polinómicas. El dominio de estas funciones coincide con el conjunto de los números reales. • Funciones racionales fraccionarias. El dominio de estas funciones es el conjunto de los números reales, excluidos los ceros o raíces de la ecuación del denominador. a

Portada de la obra de Euler.

• Funciones irracionales del tipo f (x) = n g(x) . Si n es impar, el dominio de f coincide con el dominio de g(x), y si n es par, el dominio de f es el conjunto de números reales tales que g(x) v 0. Dom f = Dom g si n impar; Dom f = {x R½ g(x) v 0} si n par • Funciones exponenciales. El dominio de estas funciones, f(x) = ag(x) con a > 0 y a | 1, coincide con el dominio de g(x). • Funciones logarítmicas. El dominio de este tipo de funciones, f(x) = loga [g(x)] con a > 0 y a | 1, es el subconjunto de los números reales tales que hacen g(x) positivo. Dom f = { x R½ g(x) > 0} • Funciones trigonométricas. Las del tipo f(x) = sen [g(x)] y f(x) = cos [g(x)] tienen por dominio el dominio de g(x). Las funciones del tipo f(x) = tg [g(x)] tienen por dominio: ¯ ¿ U Dom f = °x g(x) | + kU con k À 2 ± Á

Y

Representación gráfica de funciones

189

1.2. Conjunto imagen o recorrido de una función • Conjunto imagen o recorrido de una función f es el conjunto de valores de R que toma la variable dependiente: Im f = { y R½ x R con f(x) = y } La forma más sencilla y usual de determinar el recorrido de una función es a partir de su representación gráfica. El recorrido está formado por el conjunto de valores del eje de ordenadas, o eje OY, que son alcanzados por la función.

ACTIVIDADES RESUELTAS 1. Analiza y describe, en las siguientes funciones, el dominio y el recorrido o conjunto imagen. Y

Y

5

y = f (x ) X –3

O

3

X O

4

y = g (x ) –7 –5

Función y = f (x):

Función y = g(x):

• Dom f = (–h, –3] [3, +h)

• Dom g = R – {4}

• Im f = (–7, 5]

• Im g = [–5, +h)

2. Determina el dominio de las funciones dadas a continuación: a) f (x) = x 2 4

b) g(x) =

x x2

c) h(x) = tg(3x – 6)

a) Dom f = {x R | x 2 – 4 v 0}. Estudiamos el signo de la función f1(x) = x 2 – 4:

+ f1(–3) > 0

– –2

f1(0) < 0

+ 2

f1(3) > 0

El dominio de la función es: Dom f = (–h, –2] [2, +h) b) Dom g = R – {2}, ya que esta función es racional fraccionaria y el número 2 es el cero o raíz del denominador.

U ²¯ ²¿ c) Dom h = ° x 3 x 6 | + kU , k À = 2 ²± ²Á

U kU ²¯ ²¿ , k À °x x | 2 + + 6 3 ²± ²Á

Y

Unidad 8

190

2. Puntos de corte con los ejes. Periodicidad. Simetría 2.1. Puntos de corte con los ejes

Son los puntos en los cuales la gráfica de la función f corta el eje de abscisas y/o el eje de ordenadas.

Cortes con los ejes Y y1 x1

f (x )

x2

O

Cortes con OX: (x1, 0); (x2, 0); …; (xn, 0) Cortes con OY: (0, y1)

xn X

• Para determinar los puntos de corte con el eje de abscisas OX se resuelve el sistema: y = f (x)¿ À y=0 Á Las soluciones de la ecuación f(x) = 0, x1, x2, …, xn, proporcionan los cortes con OX: (x1, 0), (x2, 0), …, (xn, 0). • Para determinar los puntos de corte con el eje de ordenadas OY se resuelve el sistema: y = f (x)¿ À x=0 Á La solución y1 proporciona el punto de corte con OY: (0, y1), según vemos en el margen.

2.2. Periodicidad La gráfica de la función mantisa, f(x) = x – E[x], o función que nos da la parte decimal de un número real, se repite a trozos. Cada unidad la gráfica se repite, es decir, la ordenada correspondiente a x, x + 1, x + 1 + 1, x + 1 + 1 + 1, ..., es la misma. Afirmamos que la función mantisa es una función periódica de período una unidad. Y f (x ) = x – E [x ]

X –1

0

1

x

2

x+1

3

x+2·1

4

x+3·1

T=1

• Una función es periódica de período T(T > 0) si verifica: f (x + kT ) = f (x), k Z

y x Dom f

Al menor valor que toma T se le llama período principal de la función. Cualquier múltiplo del período principal es también un período de la función.

Y

Representación gráfica de funciones

191

2.3. Simetrías Resulta de gran interés el estudio de las posibles simetrías que pueden presentarse en la representación gráfica de una función. Si una función es simétrica es suficiente representar la gráfica correspondiente a las abscisas positivas.

María Gaetana Agnesi (1718-1799)

Entre otras se describen las simetrías respecto del eje de ordenadas y respecto del origen de coordenadas. • Una función y = f (x) es simétrica respecto del eje de ordenadas o eje OY si verifica: f (–x) = f (x), x Dom f Las funciones simétricas respecto del eje de ordenadas se llaman funciones pares. La gráfica siguiente, la denominada curva de Agnesi, es simétrica respecto del eje de ordenadas: Y

Matemática italiana, profesora de Matemáticas en la Universidad de Bolonia. A

P B

a

Su libro Instituzioni Analitiche, traducido a varios idiomas, se convirtió durante 50 años en el material universitario más completo de todos los de su época.

T a3 f (x ) = — 2 x + a2

Q

O

X

• Una función y = f (x) es simétrica respecto del origen de coordenadas si verifica: f (–x) = –f (x), x Dom f Las funciones simétricas respecto del origen de coordenadas se llaman funciones impares. 4x es simétrica respecto del origen de x +4 coordenadas, tal como vemos en su representación: La gráfica de la función f(x) =

2

Y

1

Visualización de las simetrías • Simetría respecto del eje de ordenadas. Una función con este tipo de simetría define una simetría axial de eje OY, por lo que esta simetría se visualiza colocando un espejo con su canto coincidente con OY y perpendicular al plano OXY. • Simetría respecto del origen de coordenadas. Una función con este tipo de simetría define una simetría central o un giro de centro el origen de coordenadas y amplitud 180°, por lo que esta simetría se visualiza fácilmente mediante este giro.

–2 0

2

–1

4x f (x ) = — x2 + 4

X

Y

Unidad 8

192

3. Asíntotas y ramas infinitas

En la unidad didáctica 5 estudiamos las diversas asíntotas y ramas infinitas parabólicas de una función. Recordamos aquí las definiciones ya conocidas.

Cortes de la curva y la asíntota Para las asíntotas horizontales y oblicuas pueden darse las situaciones en las que estas y la curva se corten. Para localizar los citados puntos de corte hay que resolver el sistema de ecuaciones formado por la ecuación de la función y la ecuación de la asíntota. Cortes con asíntotas horizontales:

3.1. Asíntotas verticales • La recta x = x0 es una asíntota vertical de la función f cuando existe al menos uno de los seis límites siguientes: • lím f(x) = +h

• lím f (x) = –h

• lím+ f (x) = +h

• lím+ f (x) = –h

• lím f (x) = –h

• lím f(x) = +h

x q x0

x q x0

x q x0

x q x0

y = f ( x ) ¿² À y = y 0 Á²

x q x0 x q x0

Y

Cortes con asíntotas oblicuas: y = f (x) ¿ À y = mx + b Á²

–4

4

– 10

0

3

10

Función f (x) = ln (x2 – 9) Asíntotas verticales: x = –3; x = 3

3.2. Asíntotas horizontales

Y

• La recta y = y0 es una asíntota horizontal de la función f cuando existe al menos uno de los siguientes límites:

3 2

• lím f(x) = y0

1

xq+h

1 1 0 – 3

Función f(x) =

–3

X

2

x 2 3x + 2 x2 + 1

Asíntota horizontal: y = 1

X

• lím f (x) = y0 xqh

La posición de la curva y = f (x) respecto de la asíntota horizontal y = y0 depende del signo de la expresión f (x) – y0 para valores grandes de x : ¯0 + por encima ¯0 + por encima • lím ¬® f (x) y0 ¼¾ q ° • lím ¬® f (x) y0 ¼¾ q ° xq+h xqh ±0 por debajo ±0 por debajo

3.3. Asíntotas oblicuas • La recta y = mx + b es una asíntota oblicua de la función f cuando la pendiente m y la ordenada en el origen b pueden obtenerse mediante los siguientes límites: • m = lím

x q ±h

f (x) x

• b = lím [ f (x) mx ] x q ±h

La posición de la curva y = f(x) respecto de la asíntota oblicua y = mx + b depende del signo de la expresión f (x) – (mx + b) para valores grandes de x: ¯0 + por encima • lím ¬® f (x) ( mx + b ) ¼¾ q ° xq+h bajo ±0 por deb ¯0 + por encima • lím ¬® f (x) ( mx + b ) ¼¾ q ° xqh bajo ±0 por deb

Y

Representación gráfica de funciones

193

3.4. Ramas infinitas parabólicas

Y 6 5 4 3 2

• La función f tiene una rama infinita parabólica cuando existe al menos uno de los siguientes límites y la gráfica no se aproxima a ninguna recta: • lím f(x) = –h

1

• lím f(x) = +h

xqh

f (x ) = xe x

–3 –2 –1

xqh

0 1 –1

• lím f(x) = –h

• lím f(x) = +h

xq+h

a

xq+h

2

3

4

X

Rama parabólica cuando x q +h

ACTIVIDADES RESUELTAS 3. Encuentra las asíntotas de la función f(x) =

x3 . ( x 1)2

• Asíntotas verticales. Como la función f es una función racional, sus asíntotas verticales son los ceros del denominador: ( x 1)2 = 0 ¡ x = 1 lím

x q1

x3 x3 x3 = +h ; lím+ = +h ¡ lím = +h 2 2 x q1 ( x 1)2 x q1 ( x 1) ( x 1)

Luego, la asíntota vertical es x = 1. • Asíntotas horizontales. No existen, pues los límites siguientes son infinitos: x3 x3 = h ; lím = +h 2 x qh ( x 1) x q+h ( x 1)2 lím

• Asíntotas oblicuas. Calculamos los coeficientes de la asíntota y = mx + b: x3 =1 x q±h x ( x 1)2 ¬ x3 ¼ 2x 2 x = lím b = lím =2 x ½ 2 x q±h ( x 1)2 ¾ x q±h x 2x + 1 ® m = lím

Y 9

x3 f (x ) = — (x – 1)2

Luego, la asíntota oblicua es y = x + 2.

8 7

Veamos la posición de la curva respecto a su asíntota oblicua:

6

x3 3x 2 ( x + 2) = ( x 1)2 ( x 1)2 lím

xq+h

5

3x 2 = 0+ ¡ la curva va por encima de la asíntota cuando x q +h. ( x 1)2

4 8 – 3

3x 2 lím = 0 ¡ la curva va por debajo de la asíntota cuando x q –h. xqh ( x 1)2

3 2 1

Estudiamos si la gráfica interseca a la asíntota resolviendo el sistema: x3 ¿ 2 8 ² ( x 1)2 À ¡ x = ; y = 3 3 y = x + 2 ²Á y=

Por tanto, la gráfica de la función y la asíntota oblicua se cortan en el 2 8 punto , . 3 3

冢

冣

–5

–4

–3

–2

0 –1

1

2

3

4

5

6 X

2 – 3

–2 –3 –4

Y

Unidad 8

194

4. Monotonía. Extremos relativos. Concavidad. Puntos de inflexión

Monotonía Estudiamos la monotonía de una función f a través del signo de su derivada primera:

Sophie Germain (1776-1831)

• Si f .(x0 ) > 0 ¡ la función f es estrictamente creciente en x0 . • Si f .(x0 ) < 0 ¡ la función f es estrictamente decreciente en x0 . Extremos relativos Para el estudio de los extremos relativos de una función f utilizamos sus dos primeras derivadas:

Nacida en París, adquirió sus conocimientos de forma autodidacta en la biblioteca de su padre, ya que no pudo asistir a los centros habituales de formación. Mantuvo correspondencia con los grandes matemáticos de la época, como Gauss y Cauchy. Sus primeros trabajos los firmó bajo el seudónimo de M. le Blanc. La Academia de Ciencias de París premió sus trabajos sobre teoría de números y superficies elásticas.

¯² f ..(x 0 ) < 0 ¡ tiene un máximo relativo en ( x 0 , f (x 0 )) . • f .(x0 ) = 0 ° n ( x 0 , f (x 0 )) . ²± f ..(x 0 ) > 0 ¡ tiene un mínimo relativo en Concavidad Estudiamos la concavidad de una función f por el signo de su derivada segunda: • Si f ..(x0 ) > 0 ¡ f es cóncava hacia las y positivas en x0 . • Si f ..(x0 ) < 0 ¡ f es cóncava hacia las y negativas en x0 . Puntos de inflexión Para estudiar los puntos de inflexión de una función f utilizamos las derivadas segunda y tercera: • f ..(x0 ) = 0 y f ...(x0 ) | 0 ¡ f tiene un punto de inflexión en (x0 , f (x0 )).

ACTIVIDADES RESUELTAS 4. En un punto de inflexión, la tangente a la curva la atraviesa. Comprueba esta afirmación para la función f (x) = x3 – 6x2 + 9x.

Y 8

y = –3x + 8

Determinamos el punto de inflexión: f .(x) = 3x 2 – 12x + 9

f ..(x) = 6x – 12

f ..(2) = 0; f ...(2) | 0 ¡

f ...(x) = 6

6

f (x ) = x 3 – 6 x 2 + 9 x

f tiene un punto de inflexión en: (2, f (2)) = (2, 2)

Determinamos la recta tangente a la curva en su punto de inflexión: y – f (2) = f .(2) (x – 2)

¡

y = –3x + 8

Esta recta corta a la curva. Para ver que la atraviesa estudiamos la concavidad en un entorno lateral a la izquierda de 2 y en otro lateral a la derecha de 2. • f..(x) > 0, x (2, +h) ¡ • f..(x) < 0, x (–h, 2)

4

2

f es cóncava hacia las y positivas en (2, +h).

¡ f es cóncava hacia las y negativas en (–h, 2).

Por tanto, la tangente a la curva en su punto de inflexión la atraviesa.

0

1

2

3

4

X

Y

Representación gráfica de funciones

195

5. Intervalos de signo constante. Regiones

Sofía (Sonia) Kovalevky (1850-1891)

En la representación gráfica de funciones resulta muy útil el uso de la siguiente propiedad, que nos delimita las regiones del plano en las que está la gráfica de la función: • Si una función f es continua en R o sólo tiene discontinuidades de salto infinito, esta función conserva el signo en los siguientes intervalos: (–h, x1); (x1, x2); (x2, x3); … ; (xn, +h) siendo x1, x2, x3, … , xn los ceros y los puntos de discontinuidad de salto infinito de la función f, ordenados de forma creciente. Esta propiedad nos permite dividir el plano en regiones, cada una de las cuales está delimitada por el eje de abscisas y las rectas verticales de ecuaciones x = x i. Las regiones permitidas vienen determinadas por el signo que tiene la función en cada intervalo (x i , x i + 1).

Fue una de las primeras mujeres que tuvieron acceso a estudios universitarios. Se doctoró en la Universidad de Gotinga bajo la dirección de Karl Weierstrass.

Para calcular el signo de la función f en cada intervalo, se toma cualquier valor del mismo y se sustituye en la función.

Fue profesora en la Universidad de Estocolmo, y sus trabajos abarcaron diversos aspectos de las Matemáticas.

ACTIVIDADES RESUELTAS 5. Estudia las regiones en las cuales está definida la función f(x) =

x 4 9x 2 . x2 1

Esta función es continua en todo R excepto en los puntos de discontinuidad de salto infinito x = –1 y x = 1, en los cuales existen sendas asíntotas verticales. Por esto, podemos aplicar la propiedad o teorema anterior. Los ceros de f son x = –3, x = 0 y x = 3. Por tanto, los intervalos donde debemos estudiar el signo de f son:

Y

(–h, –3); (–3, –1); (–1, 0); (0, 1); (1, 3); (3, +h) Vemos el signo en cada uno: • f(–10) > 0 ¡ en (–h, –3) f es positiva. • f (–2) < 0

¡ en (–3, –1) f es negativa.

• f (–0,5) > 0 ¡ en (–1, 0) f es positiva. • f(0,5) > 0

¡ en (0, 1) f es positiva.

• f(2) < 0

¡ en (1, 3) f es negativa.

• f(4) > 0

¡ en (3, +h) f es positiva.

–3

–1

0

1

3

X

El signo de la función en cada uno de los intervalos nos permite conocer las regiones en las cuales existe la curva, como podemos ver en la figura.

Y

Unidad 8

196

6. Representación gráfica de funciones Hasta ahora, las funciones que sabemos representar son las funciones elementales. Sus gráficas las obtenemos a partir de sus respectivas propiedades y con ayuda de una tabla de valores. En general, para representar la gráfica de una función cualquiera, dada en su forma explícita, podemos hacer un estudio consistente en analizar las características que figuran en la siguiente tabla. Los resultados obtenidos se llevan a un sistema de ejes cartesianos y nos permiten obtener la gráfica de la función.

Representación gráfica de la banda de Möbius August Ferdinand Möbius (17901868), matemático y astrónomo alemán, descubrió la extraña figura que se conoce con el nombre de banda de Möbius. Su propiedad fundamental es que tiene dos bordes y una sola cara, de forma que un insecto podría caminar a lo largo de la tira central de la banda, alcanzando cualquier punto, sin atravesar nunca el borde. Esta propiedad inspiró al genial Maurits Cornelis Escher (18981972) la composición de la siguiente serigrafía.

• Dominio. • Recorrido o conjunto imagen. • Simetrías y periodicidad. • Puntos de corte con los ejes. • Asíntotas y ramas infinitas. • Monotonía: crecimiento y decrecimiento. • Extremos relativos: máximos y mínimos relativos. • Tipo de concavidad. • Puntos de inflexión. • Intervalos de signo constante. • Tabla de valores.

En la práctica no suele ser necesario hacer un estudio tan exhaustivo, siendo suficiente analizar las siguientes características: • Dominio. • Simetrías y periodicidad. • Puntos de corte con los ejes. • Asíntotas y ramas infinitas. • Extremos relativos: máximos y mínimos relativos. • Puntos de inflexión. • Intervalos de signo constante.

Y

Representación gráfica de funciones

197

ACTIVIDADES RESUELTAS 6. Representa gráficamente la función f(x) = x 3 – 3x + 2. • Dominio: como es una función polinómica, Dom f = R. • Simetrías y periodicidad: no tiene simetrías y no es periódica. • Puntos de corte con los ejes: — Cortes con el eje OX: y = x 3 3 x + 2²¿ À ¡ x 3 – 3x + 2 = 0 ¡ (x + 2) (x – 1) 2 = 0 y =0 Á²

¡

x = –2; x = 1

Luego, los puntos de corte con el eje OX son (–2, 0) y (1, 0). — Cortes con el eje OY : y = x 3 3 x + 2¿² À ¡ y=2 x=0 ²Á Luego, el punto de corte con el eje OY es (0, 2). • Asíntotas y ramas parabólicas: — No tiene asíntotas. — Tiene dos ramas infinitas parabólicas, pues se verifica: lím ( x 3 3 x + 2) = h ;

x q h

lím ( x 3 3 x + 2) = +h

x q+h

• Extremos relativos. Máximos y mínimos relativos: f .(x) = 3x 2 – 3 ¡ 3x 2 – 3 = 0 ¡ x = +1; x = –1 f ..(x) = 6x ¡ f ..(–1) < 0; f ..(1) > 0 Por tanto, la función tiene un máximo relativo en el punto (–1, f(–1)) = (–1, 4), y un mínimo relativo en el punto (1, f(1)) = (1, 0). • Puntos de inflexión: f ..(x) = 6x ¡ 6x = 0 ¡ x = 0 f ...(x) = 6 ¡ f ...(0) | 0 La función tiene un punto de inflexión en ( 0, f (0)) = (0, 2).

Y 4

• Intervalos de signo constante: según los datos obtenidos, los intervalos a considerar son: (–h, –2); (–2, 1); (1, +h) 2

y el signo que toma f es:

f ( x ) = x 3 – 3x + 2

— f (–10) < 0 ¡ f es negativa en (–h, –2). — f (0) > 0

¡ f es positiva en (–2, 1).

— f (2) > 0

¡ f es positiva en (1, +h).

–2

–1

0

1

X

Por último, llevamos todos los datos anteriores a un sistema cartesiano y obtenemos la gráfica de la función.

Y

Unidad 8

198

ACTIVIDADES RESUELTAS 7. Representa gráficamente la siguiente función: f (x) =

x2 . 2 x

• Dominio: como es una función racional, Dom f = R – {2}. • Simetrías y periodicidad: no tiene simetrías y no es periódica. • Puntos de corte con los ejes: — Cortes con el eje OX: x2 ¿ x2 ² = 0 ¡ x 2 = 0 ¡ x = 0 ¡ El punto de corte con el eje OX es (0, 0). 2 xÀ ¡ 2 x ² y =0 Á y =

— Cortes con el eje OY : x2 ¿ ² 2 x À ¡ y = 0 ¡ El punto de corte con el eje OY es (0, 0). ² x=0 Á y=

• Asíntotas y ramas parabólicas: — Asíntota vertical: es la recta x = 2, pues se verifica: lím

x q2

x2 = +h ; 2 x

lím+

x q2

x2 = h 2 x

— No tiene asíntota horizontal, y la oblicua es y = –x – 2, pues se verifica: x2 = 1; x q±h x (2 x )

m = lím

¬ x2 ¼ b = lím + x ½ = 2 x q±h ® 2 x ¾

— No tiene ramas parabólicas. • Extremos relativos: 4x x2 f .(x) = ; (2 x )2

8 f ..(x) = (2 x )3

Y 6

x2

f (x ) = — 2–x

f .(x) = 0 ¡ x = 0; x = 4

4

f ..(0) > 0; f ..(4) < 0 2

La función tiene un máximo relativo en (4, –8) y un mínimo relativo en (0, 0). • Puntos de inflexión: no tiene. • Intervalos de signo constante: los intervalos a considerar son:

–4

–2

0

2

4

X

–2

(–h, 0); (0, 2); (2, +h) y el signo que toma la función es: — f (–2) > 0 ¡ f es positiva en (–h, 0). — f (1) > 0

¡ f es positiva en (0, 2).

— f (4) < 0

¡ f es negativa en (2, +h).

Con todos estos elementos, obtenemos la gráfica de la función.

–4

–6

–8

y = –x – 2

Y

Representación gráfica de funciones

199

ACTIVIDADES RESUELTAS 8. Representa gráficamente la función f (x) = x +

x 2 1.

• Dominio: como es una función irracional de índice par, se tiene: Dom f = { x R | x 2 – 1 v 0} = (–h, –1] [1, +h) • Simetrías y periodicidad: no tiene simetrías y no es periódica. • Puntos de corte con los ejes: — Cortes con el eje OX: y=x+ y =0

x 2 1¿² À ¡ x+ ²Á

x 2 1 = 0 ¡ No tiene soluciones en R.

Luego, la gráfica no corta al eje OX. — Cortes con el eje OY: como la función no está definida en x = 0, no corta al eje OY. • Asíntotas y ramas infinitas: — Asíntotas verticales: no existen. — Asíntota horizontal: es la recta y = 0, pues se verifica: lím ¬® x +

x 2 1¼¾ = 0 ;

x q h

lím ¬® x +

x q+h

x 2 1¼¾ = +h

— Asíntota oblicua: es la recta de ecuación y = 2x, pues se verifica: lím

x+

x q h

x2 1 = 0; x

m = lím

x+

x q+h

x2 1 = 2; x

b = lím ¬® x + x q+h

x 2 1 2x ¼¾ = 0

• Extremos relativos. Máximos y mínimos relativos: f .( x ) = 1 +

x 2

;

x 1

f ..( x ) =

x Y

2

( x 1)3

No se anula la derivada primera; por tanto, la función no tiene extremos relativos. • Puntos de inflexión: 2

No se anula la derivada segunda; por tanto, la función no tiene puntos de inflexión.

1

• Intervalos de signo constante: los intervalos a considerar son: (–h, –1); (1, +h)

–1

0

1

X

y el signo que toma la función es: –1

— f(–2) < 0 ¡ f es negativa en (–h, –1). — f(2) > 0 ¡ f es positiva en (1, +h). f (x ) = x + x 2 – 1

Para representar la función resulta útil conocer los valores que toma en x = –1 y x = 1: f ( 1) = 1 + ( 1)2 1 = 1 f (1) = 1 + 12 1 = 1

Y

Unidad 8

200

ACTIVIDADES RESUELTAS 9. Representa gráficamente la función f (x) = ln (x 2 – 4). • Dominio: como es una función logarítmica, su dominio es: Dom f = { x R | x 2 – 4 > 0} = (–h, –2) (2, +h) • Simetrías y periodicidad: es una función par o simétrica respecto del eje de ordenadas, pues se verifica f(x) = f(–x), x Dom f. No es periódica. • Puntos de corte con los ejes. — Cortes con el eje OX: y = ln( x 2 4) ¿² À ¡ ln (x 2 – 4) = 0 ¡ x 2 – 4 = 1 ¡ x = ± 5 y =0 Á²

(

) (

Luego, los puntos de corte con el eje OX son: 5, 0 y

)

5, 0 .

— Cortes con el eje OY : Como la función no está definida en x = 0, su gráfica no corta al eje OY. • Asíntotas y ramas infinitas: — Asíntotas verticales: existen dos, de ecuaciones x = –2 y x = 2, pues se verifica: lím ln( x 2 4) = h ;

lím ln( x 2 4) = h

x q2+

x q2

— No tiene asíntotas horizontales ni oblicuas. Tiene dos ramas infinitas parabólicas, pues se verifica: lím ln( x 2 4) = +h ;

lím ln( x 2 4) = +h

x q h

x q+h

• Extremos relativos. Máximos y mínimos relativos: f .( x ) =

2x ; x 4 2

f ..( x ) =

2x 2 8 ( x 2 4 )2

Esta función no tiene extremos relativos, pues la derivada primera no se anula en Dom f. • Puntos de inflexión: no tiene puntos de inflexión, pues la derivada segunda no se anula.

Y

• Intervalos de signo constante: Los intervalos a considerar son:

( h, 5 ) ; (

y el signo que toma la función es: — f (–4) > 0

) (2, 5 ) ; (

5, 2 ;

5, +h

)

(

) f es negativa en ( 5, 2). f es negativa en ( 2, 5 ). f es positiva en ( 5, +h ).

¡ f es positiva en h, 5 .

— f (–2,1) < 0 ¡ — f (2,1) < 0

¡

— f (4) > 0

¡

Como la función es par, hubiera sido suficiente haber hecho el estudio para las abscisas positivas.

f (x ) = ln (x 2 – 4) – 5 –3

5 –2 –1 0

1

2

3

X

Y

Representación gráfica de funciones

201

ACTIVIDADES RESUELTAS 10. Construye la gráfica de la función f (x) = e 1/x. • Dominio: su dominio es Dom f = R – {0}. • Simetrías y periodicidad: no tiene simetrías y no es periódica. • Puntos de corte con los ejes: — Cortes con el eje OX: y = e1/ x ¿² À ¡ e 1/x = 0 ¡ No tiene soluciones. No hay cortes con el eje OX. y = 0 ²Á — Cortes con el eje OY: Como la función no está definida en x = 0, su gráfica no corta al eje OY. • Asíntotas y ramas infinitas: — Asíntotas verticales: tiene una asíntota vertical de ecuación x = 0, pues se verifica: lím [ e1/ x ] = 0 ;

lím [ e1/ x ] = +h

x q0+

x q0

— Asíntotas horizontales: tiene una asíntota horizontal de ecuación y = 1, pues se verifica: lím e1/ x = 1

x q±h

• Extremos relativos. Máximos y mínimos relativos: f .( x ) =

e1/ x x2

f ..( x ) =

e1/ x 2e1/ x + 3 x4 x

No se anula la derivada primera; por tanto, la función no tiene extremos relativos. • Puntos de inflexión: No se anula la derivada segunda; por tanto, la función no tiene puntos de inflexión. • Monotonía: Crecimiento y decrecimiento: Observando la expresión de la primera derivada deducimos que esta función es decreciente en todo su dominio. Y

• Intervalos de signo constante: Los intervalos a considerar son:

4

(–h, 1); (1, +h)

3

y el signo que toma la función es:

2

— f(–3) > 0 ¡ f es positiva en (–h, 1). — f(3) > 0

¡ f es positiva en (1, +h).

La gráfica de la función es la que aparece representada en la imagen.

1 —

f (x ) = e x

1 –3

–2

–1

0

1

2

3

X

Y

Unidad 8

202

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Cubos La suma de los cubos de tres números naturales consecutivos, ¿tiene alguna propiedad?

FAMILIARIZACIÓN CON EL PROBLEMA Por ser un enunciado con claro sabor matemático y, además, breve, no presenta ninguna dificultad la comprensión del mismo.

BÚSQUEDA DE ESTRATEGIAS Comenzamos experimentando con algunos casos particulares: 13 + 23 + 33 = 36 33 + 43 + 53 = 216 53 + 63 + 73 = 684

23 + 33 + 43 = 99 43 + 53 + 63 = 405 63 + 73 + 83 = 1 071

Observamos que los resultados obtenidos en estos seis casos presentan una característica común: son múltiplos de 9. Esto nos lleva a formular la siguiente conjetura: «La suma de los cubos de tres números naturales consecutivos es múltiplo de 9.»

LLEVAR ADELANTE LA ESTRATEGIA Intentamos ver si esta conjetura es una propiedad. Para ello, nos apoyamos en la divisibilidad. Hemos de demostrar que para tres números naturales consecutivos, n – 1, n y n + 1, con n v 2, se cumple: • (n – 1)3 + n3 + (n + 1)3 = 9 Operando, obtenemos: (n – 1)3 + n3 + (n + 1)3 = 3n(n2 + 2) Discutimos los casos que pueden darse: •

• Para n = 3, queda probada la conjetura y, por tanto, es propiedad. •

•

•

• Para n | 3, pueden ocurrir dos casos: n – 1 = 3 o n + 1 = 3. En cualquiera de los dos se verifica: • (n + 1) (n – 1) = n2 – 1 = 3 por lo cual: • • n2 + 2 = n2 – 1 + 3 = 3 + 3 = 3 •

con lo que para n | 3, obtenemos: •

•

(n – 1)3 + n3 + (n + 1)3 = 3n(n2 + 2) = 3 · n · 3 = 9 •

Por tanto, queda probada la conjetura para n | 3. Concluimos, pues, que la suma de los cubos de tres números naturales consecutivos es múltiplo de 9.

REVISAR EL PROCESO Y SACAR CONSECUENCIAS DE ÉL Destacamos en este problema el hecho de haber experimentado con casos particulares. Esta experimentación nos ha llevado a formular la conjetura, que posteriormente hemos demostrado que es cierta. Nos preguntamos si existirá alguna propiedad para la suma de las diferentes potencias de tres números naturales consecutivos.

Y

Representación gráfica de funciones

203

Experimentación. Conjetura En muchos problemas, la estrategia útil para intentar resolverlos es «jugar» con ellos o experimentar. A partir de esta experimentación podemos vislumbrar pautas o regularidades que nos conducen a la formulación de conjeturas.

• Conjetura de Fermat. Pierre de Fermat (1601-1665) conjeturó, en 1637, que no existen números enteros que verifiquen la siguiente ecuación para n > 2: xn + yn = zn

Algunas conjeturas se demuestran y se convierten, por tanto, en teoremas o propiedades; de otras, se demuestra su falsedad; y de unas terceras, no podemos demostrar ni su verdad ni su falsedad.

La conjetura de Fermat ha permanecido sin demostrar tres siglos y medio. En junio de 1993, el matemático británico Andrew Wiles anunció que había demostrado la conjetura de Fermat. Pero su demostración presentaba algunas lagunas, que se tardaron en resolver más de un año. Finalmente, la conjetura de Fermat quedó demostrada, convirtiéndose en el gran teorema de Fermat.

Comentamos a continuación algunas conjeturas famosas: • Conjetura de Goldbach. Christian Goldbach (1690-1764) conjeturó que todo número natural mayor que 2 y par es igual a la suma de dos números primos. Por ejemplo: 4=2+2

6=3+3

8=3+5

Esta conjetura ha sido comprobada, con ayuda del ordenador, para números pares de más de 15 cifras, pero todavía no ha sido demostrada; por tanto, sigue siendo conjetura.

En el problema de la página anterior hemos formulado la conjetura de que la suma de tres números naturales consecutivos es múltiplo de 9. Posteriormente, hemos demostrado la validez de la conjetura, con lo cual se ha convertido en una propiedad.

• Conjetura de Collatz. El matemático alemán Lothar Collatz (1910-1990) enunció en 1937 la conjetura (aún no se ha demostrado) que lleva su nombre y que dice: Sea la función f: N q N definida por ¯n / 2 si n es par f (n) = ° ²±3n + 1 si n es impar Si tomamos un número natural n y le aplicamos esta función de forma iterativa, siempre acabamos en 1, es decir, en la secuencia 4, 2, 1. Por ejemplo, para n = 6: f(6) = 3; f(f(6)) = f(3) = 10; f(f(f(6))) = = f(10) = 5; f(f(f(f(6)))) = f(5) = 16; f(f(f(f(f(6))))) = f(16) = 8; f (f (f (f (f (f (6)))))) = f (8) = 4; f (f (f (f (f (f (f (6))))))) = f (4) = 2; f(f (f (f (f (f(f(f(6)))))))) = f(2) = 1.

a

Andrew Wiles recibió el premio Fermat en 1995.

A C T I V I D A D E S 䊏 Reflexiona sobre las siguientes conjeturas: 1. Primos gemelos. Hay infinitos pares de números primos gemelos, es decir, de primos cuya diferencia es igual a 2. Ejemplo: 7 y 5 son primos gemelos, ya que 7 – 5 = 2. Encuentra cuatro pares de números primos gemelos. 2. Números primos generados. El polinomio n 2 – n + 41, cuya indeterminada n es entera, genera números primos cuando n va desde –40 hasta 40. Este polinomio, ¿genera primos para cualquier entero n? 3. Número mágico. Toma un número de tres cifras. Forma el número que se obtiene al escribir a la derecha del anterior el número repetido. Este número de 6 cifras lo dividimos por 7 y al cociente obtenido, por 11, y al último cociente, por 13. ¿Qué se observa? 4. Conjetura de Collatz o (3n + 1). Compruébala para los valores de n: 7, 12, 17 y 30.

Y

Unidad 8

204

NUEVAS TECNOLOGÍAS Calculadora gráfica y funciones Entre las múltiples utilidades de la calculadora gráfica se encuentra la representación gráfica de funciones. Vamos a representar las siguientes funciones y1( x ) = x 3 3 x + 2

y2 ( x ) =

x 4 9x 2 x2 1

Para ello seguimos los siguientes pasos:

Y1 = X^3–3 * X+2 Y2 = (X^4–9 * X 2 )/(X 2 –1) Y3 = Y4 = Y5 = Y6 = Y7 =

1. Introducimos las funciones en el editor Y = , y obtenemos en la pantalla del editor las funciones tal y como vemos en la figura adjunta. Podemos observar que, en ambas funciones, los signos = aparecen resaltados, lo que nos indica que estas funciones están activadas. Para activar o desactivar una función colocamos el cursor sobre el signo = y pulsamos la tecla ENTER . Hemos de tener en cuenta que para representar funciones, estas deben de estar activadas. 2. Una vez editadas las funciones, pulsamos la tecla GRAPH y obtenemos la representación gráfica de las funciones activadas:

Y1 = X^3–3 * X+2 2

WINDOW

Xmin = –5 Xmax = 5

X = 3.8297872

Y = 6.0819302

Xscl = 1 Ymin = –7 Ymax = 7 Yscl = 2 Xres = 1

3. Para rastrear o movernos sobre las gráficas pulsamos la tecla TRACE y aparece, en el ángulo superior derecho, un número que indica la curva sobre la que está actuando el cursor. Para cambiar el cursor de una curva a otra utilizamos las flechas de dirección. 4. Podemos modificar el aspecto de las gráficas cambiando las escalas de los ejes coordenados. Esto se consigue pulsando la tecla WINDOW , con lo que aparece una pantalla como la de la figura adjunta en la que, moviéndonos con las flechas y utilizando la tecla ENTER , introducimos el mínimo valor para x (Xmin), el máximo valor para x (Xmax), la escala en el eje de abscisas (Xscl) y, análogamente, en el de ordenadas.

PRACTICA con calculadora gráfica la resolución de las actividades números 8 y 9.

5. Para modificar la visión de la gráfica o tomar una parte ampliada de la misma utilizamos la tecla ZOOM , que nos permite seleccionar la zona gráfica que queremos ampliar.

Y

Representación gráfica de funciones

205

EN RESUMEN DOMINIO Dom f = { x R½ f(x) R } CONJUNTO IMAGEN O RECORRIDO Im f = { y R½ x R con f(x) = y } PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES y = f ( x )¿ • Eje OX: À y =0 Á

• Eje OY:

y = f ( x )¿ À x =0 Á

SIMETRÍAS • Función par o simétrica respecto de OY :

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

f (x) = f (–x); x Dom f • Función impar o simétrica respecto del origen:

estudiando

f(x) = –f (–x); x Dom f PERIODICIDAD f(x) = f(x + K · T ); K Z T es el período principal ASÍNTOTAS • Verticales: x = x0

• Horizontales: y = y0

• Oblicuas: y = mx + b

MONOTONÍA Y EXTREMOS RELATIVOS TIPOS DE CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN INTERVALOS DE SIGNO CONSTANTE

AMPLÍA CON… Alicia anotada (Ediciones Akal) de Lewis Carroll, en la edición de Martin Gardner, es un libro que contiene los relatos clásicos Alicia en el país de las maravillas y A través del espejo. Lewis Carroll es el seudónimo de Charles Lutwidge Dodgson (1832-1898), profesor de matemáticas de Oxford. Estos relatos crean una nueva corriente literaria que podríamos llamar literatura fantástica para niños. Lewis Carroll los escribió para entretenimiento de tres niñas amigas suyas. Hemos elegido esta edición con notas de Martin Gardner, extraordinario creador y comentarista de cuestiones relacionadas con las matemáticas creativas, por múltiples razones, entre ellas las magistrales ilustraciones de John Tenniel, la excelente traducción de Francisco Torres Oliver y los comentarios y notas de Gardner.

Y

Unidad 8

206

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD RESUELTAS Se da la función f (x) =

16 . x ( x 4) 2

a) Determina su dominio de existencia y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Calcula sus asíntotas y extremos. c) Representa gráficamente la función. a) • Dominio: como es una función racional, Dom f = R – {0, 4}. • Intervalos de crecimiento y de decrecimiento: La primera derivada es: f.(x) =

16(3 x 8) x 3 ( x 4 )2

Para estudiar el signo de f .(x) calculamos sus ceros, x = 8/3, y sus puntos de discontinuidad de salto infinito, x = 0 y x = 4. Representamos estos valores en la recta real, quedando dividida esta en los intervalos (–h, 0), (0, 8/3), (8/3, 4) y (4, +h). En cada uno de estos intervalos, el signo de la primera derivada f.(x) se mantiene constante, por lo que basta determinar el signo de un valor cualquiera de cada intervalo:

+

– f .(–1) < 0

f .(1) > 0

0

– 8 — 3

–

f .(3) < 0

f .(5) < 0

4

Por tanto, la función f es: — estrictamente creciente en

冢0, 83 冣 ;

— estrictamente decreciente en (–h, 0) (4, +h).

冢 83 , 4冣

Y

b) • Asíntotas: 16 f (x ) = — x 2(x – 4)

— Asíntotas verticales: Tiene dos asíntotas verticales de ecuaciones x = 0 y x = 4, pues se verifica: lím f ( x ) = h ;

lím f ( x ) = h

x q0

x q0 +

lím f ( x ) = h ;

lím+ f ( x ) = +h

4 x q4

xq 4

— Asíntotas horizontales: Tiene una asíntota horizontal de ecuación y = 0, pues se verifica: y = lím f ( x ) = 0 x q±h

— No tiene asíntotas oblicuas.

0 27 –— 16

8 — 3

X

Y

Representación gráfica de funciones

207

• Extremos relativos. Máximos y mínimos relativos: Por ser complejo el cálculo de la derivada segunda, estudiamos los extremos relativos utilizando los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento. Como la función es estrictamente creciente en (0, 8/3) y estrictamente decreciente en (8/3, 4), y además en x = 8/3 la función está definida, entonces, esta función presenta un máximo relativo en el punto (8/3, f (8/3)) = (8/3, –27/16). c) • Representación gráfica: Utilizando toda la información que hemos obtenido hasta ahora representamos la gráfica de la función tal como figura en la página anterior.

Las ganancias y pérdidas f (x), en millones de euros, de una empresa fundada hace 2 años, siguen la evolución siguiente: ¯1 2 ²² x 2 si 2 f x < 1 f (x) = °2 ² 3x si x v 1 ²± 2 x + 4 donde x indica el número de años transcurridos, si consideramos x = 0, como el momento actual. a) Representa gráficamente la función f(x) y estudia la continuidad. b) Indica el momento en que las pérdidas de la empresa han sido más grandes y la situación económica en que se encuentra la empresa hoy. a) Siguiendo las pautas indicadas para la representación gráfica de funciones, obtenemos la gráfica de la parábola (en trazo discontinuo): y=

1 2 x –2 2

y la gráfica de la hipérbola (en trazo continuo): Y

y=

3x 2x + 4

1 y = —x 2 – 2 2

La gráfica de la función y = f(x) está representada en la imagen con trazo grueso rojo. La función dada es continua en todo su dominio de definición:

4 3x y =— 2x + 4

2 3/2

y = f (x )

Dom f = [–2, +h) b) Observando la gráfica de la función, deducimos que las pérdidas mayores se produjeron hace un año, en x = –1, y fueron de

–4

–2

0

2

4

X

–2

f (–1) = –1,5 millones de euros La situación de la empresa en el momento actual es una situación de equilibrio, es decir, no existen ni ganancias ni pérdidas, puesto que f (0) = 0.

Y

Unidad 8

208

ACTIVIDADES FINALES EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1. Encuentra las asíntotas de las siguientes funciones: a) f (x) =

x 2 x 16

b) f(x) =

( x 2)2 x 3

c) f(x) =

1 e +1 x

2. Sea la función f(x) = 2x 3 + bx 2 + ax – 5. a) Halla los valores de a y b de forma que f tenga un máximo en x = 1 y un mínimo en x = 2. b) Representa gráficamente la función. 3. El consumo de agua (expresado en millares de litros) en cierta población, en función de la hora del día, viene dado a través de la expresión: ¯1 ² ² 5 + t f(t ) = ° 2 ² At + Bt + C ²±25 t

si 0 f t < 6 si 6 f t < 9 si 9 f t < 21 si 21 f t < 24

Sabiendo que es una función continua, y que a las 15 horas se alcanza el consumo máximo de 40 millares de litros: a) Determina, justificando la respuesta, los valores de A, B y C. b) Representa la función. 4. Un publicista diseña un panel publicitario que tiene la siguiente forma: base horizontal de 10 m de longitud y el resto del contorno limitado por la función: ²¯ x 2 + 6 x si 0 f x f 5 g(x) = ° ±² x + 10 si 5 < x f 10 Dibuja la gráfica del recinto correspondiente al cartel publicitario. 5. Representa gráficamente las siguientes funciones: a) y = x(x + 2)(x – 2)

c) y = 2x 3 + 5x 2 – 4x

e) y = 3x – x 3 – 2

b) y = x 4 + 2x 2

d) y = | x2 – 4x + 3|

f) y = x 4 – 2x 2 – 8 Y

6. La gráfica adjunta representa el consumo de electricidad (en miles de kWh) de una empresa en función de la hora del día. Determina su expresión analítica.

10 8

7. La gráfica de la función y = x 3 + ax 2 + bc + c tiene un punto de inflexión en x = 1 y un máximo en (0, 4). a) Halla los coeficientes a, b y c.

6 4

b) Halla los máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión.

2 1

c) Representa la función.

0

X 2

8

14

20

24

Y

Representación gráfica de funciones

209

8. Representa gráficamente las siguientes funciones: a) y =

x2 4 x

d) y =

x2 + 1 x

g) y =

4 x2 4

b) y =

x ( x 1)2

e) y =

x x2 + 1

h) y =

8 x2 + 4

c) y =

x x +1

f) y =

x x2 1

i) y =

x +2 x +1

9. Representa gráficamente las siguientes funciones: a) y = ln (x – 2) b) y = e x

2

x2 1

c) y = d) y =

e) y = x · ex

ln x x

f) y =

ex ex 1

10. El rendimiento físico de un determinado esfuerzo muscular (evaluado en una escala de 0 a 100) de un cierto deportista de élite durante 60 minutos viene dado por: ¯t (t 20) si 0 f t < 15 ² ²75 si 15 f t < 30 f(t) = ° ²100 5 t si 30 f t < 60 ²± 6

冢冣

Representa gráficamete la función e interprétala.

Y

11. El esquema adjunto representa el gráfico de la función y = f(x): a) Haz otro esquema que represente el gráfico de la función y = –f (x).

0

X

b) Haz otro esquema que represente conjuntamente las gráficas de y = f(x) e y = 2f(x). Explica el fundamento para la construcción de estos esquemas.

Y

12. Dada la gráfica de la función f (x), que podemos ver en la imagen, halla (justificando la respuesta):

2

a) Dominio de f(x). 1

b) Valores de x0 que hacen f.(x0) = 0. c) Valores de x para los que f .(x) > 0.

–5/2 –2

d) Asíntotas de la función.

–2/3

0

1

X

–1

13. A partir de la gráfica de la función f(x) = ln x, dibuja de forma razonada las gráficas de las funciones: a) f (x) = ln | x |

b) f(x) = | ln x |

c) f (x) = ln (x – 2)

Y

Unidad 8

210

ACTIVIDADES FINALES ACCESO A LA UNIVERSIDAD 14. Dada la función y = | x 2 – 7 | : a) Represéntala gráficamente. b) Calcula la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa x = 1. c) Halla sus máximos y mínimos relativos. 15. Una fábrica arroja diariamente material contaminante a una balsa según el ritmo dado por la siguiente función: m(t) = 0,01t 3 – 0,2t 2 + t + 1 siendo m la cantidad de material en kilogramos y t la hora del día. a) ¿A qué hora del día arroja la mínima cantidad? b) Representa gráficamente la función. 16. La siguiente función indica el comportamiento de los beneficios obtenidos por una empresa desde el momento en que va a comenzar: 60 x f(x) = 2 x +9 donde f (x) representa los beneficios de la empresa en millones de euros; x los años y x = 0 indica el momento de constitución de la empresa. a) Haz una representación gráfica aproximada de la función e indica el dominio matemático y el dominio válido en el contexto del problema. b) ¿Al cabo de cuánto tiempo obtiene la empresa el beneficio máximo? ¿Cuál es ese beneficio? c) ¿Perderá dinero la empresa en algún momento? ¿Es posible que llegue un momento en que no obtenga beneficios ni pérdidas? Razona las respuestas. 17. Se considera la función f(x) = xe– ax siendo a un parámetro real: a) Determina el valor del parámetro a para que f(x) tenga un máximo en x = 1. b) Representa gráficamente la función resultante al sustituir el valor del parámetro obtenido en el apartado anterior. 2x 4 18. Las pérdidas o ganancias, y, de una empresa, siguen una ley: y = , en la cual x representa los años de vida de la x+2 empresa. a) Determina el año en que la empresa deja de tener pérdidas. b) ¿Están sus beneficios limitados? Si lo están, ¿cuál es su límite? 19. Sea la función f (x) =

x2 + 2 . 2x + 1

a) Calcula sus asíntotas. b) Calcula sus máximos y mínimos. c) Represéntala gráficamente.

Y

Representación gráfica de funciones

211

AUTOEVALUACIÓN 1. El dominio de la función f(x) =

x es el conjunto: 2 x

a) (0, 2]

c) (–h, –2) [0, +h)

b) [0, 2)

2. Los puntos de corte de la gráfica de la función f (x) = a) (–1, 0); (2, 0) y (3, 0)

x 3 2x 2 5 x + 6 con el eje de abscisas OX son: x +1

b) (–3, 0); (1, 0) y (2, 0)

3. La gráfica de la función f(x) = ln

c) (–2, 0); (1, 0) y (3, 0)

x 2 9 tiene una simetría respecto del:

a) Origen O

b) Eje OX

4. Las asíntotas de la gráfica de la función f(x) = a) x = 0; y = 0 e y = –1

c) Eje OY

1 son las rectas de ecuación: ex 1

b) x = 1; y = 0 e y = 1

c) x = 0; y = 1 e y = –1

5. El número de ramas parabólicas de la gráfica de la función f (x) = ln (x 2 + 1) es: a) 0

b) 1

c) 2

6. El índice de audiencia (evaluado en la escala de 0 a 10) de cierto programa de televisión de 30 minutos de duración se comporta de acuerdo con la función: I (t) = At 2 + Bt + C, 0 f t f 30 (A | 0) donde A, B y C son constantes a determinar. Sabiendo que a los 20 minutos de comenzar se alcanza el índice de audiencia 10 y que el programa se inicia con un índice de audiencia 6, el período en el que el citado índice decrece es: a) Del minuto 20 al 25

b) Del minuto 20 al 30

c) Del minuto 10 al 20

7. Para que la función f(x) = a ln x + bx 2 + x tenga extremos en los puntos de abscisa x = 1 y x = 2, los valores de los parámetros a y b son: 2 1 a) a = ; b = 3 6

2 1 b) a = ; b = 3 6

c) a =

8. La gráfica de la función f(x) = x 3 – 3x + 5 es cóncava hacia las y positivas en el intervalo: a) (0, +h)

b) (– h, 0)

Y 5 4 3 2 1

c) (1, +h)

9. La gráfica de la función f(x) = x · e x tiene una inflexión en el punto de abscisa: a) x = 0

b) x = –1

-6 -5 -4

c) x = –2

10. La gráfica de la imagen corresponde a la función: a) f(x) =

1 2 x 4

b) f(x) =

x 2 x 4

c) f(x) =

x2 4 x

2 1 ;b= 3 6

-3

-2 -1

-1 -2 -3 -4 -5

1

2

3

4

5

6

X

Z

u9 unidad 9 contenidos

1. Primitiva de una función 2. Integral indefinida. Propiedades 3. Métodos de integración

Integrales indefinidas

213

El origen de la parte de las Matemáticas llamada cálculo infinitesimal, en sus aspectos diferencial e integral, está en los problemas de la determinación de la tangente a la gráfica de una función en un punto y del cálculo del área bajo una curva. Una de las curvas más bellas son los fractales, formas generadas por un proceso recursivo sobre una estructura que produce estructuras similares, y de cada trozo se puede reproducir el total. Tienen propiedades características, como ocupar un área finita dentro de un perímetro infinito y no poder trazar la tangente a la curva en ningún punto de su contorno. Para encontrar fractales en la naturaleza es suficiente con alzar la vista al cielo y observar las nubes, las galaxias, las ramas de los árboles, … El cálculo diferencial y el cálculo integral están íntimamente relacionados, a pesar de ocuparse de problemas tan distintos, pues la integración representa un proceso inverso a la derivación. Este hecho tan excepcional fue descubierto de forma independiente por Newton (1642-1727) y Leibniz (1646-1716), con la ayuda de otros grandes matemáticos del siglo XVII como Isaac Barrow (1630-1677), Bonaventura Cavalieri (1598-1647), Gilles P. de Roberval (1602-1675) y John Wallis (1616-1703). Los conceptos y procedimientos aportados por el cálculo infinitesimal representaron una revolución para las Matemáticas, y constituyeron unas herramientas poderosísimas para abarcar una amplia gama de problemas emanados de las ciencias experimentales, tanto de índole natural como económico o social.

cuestiones iniciales 1. Una función F es primitiva de otra f siempre y cuando la derivada de F sea f, es decir: F es primitiva de f F . = f Encuentra dos primitivas de cada una de las siguientes funciones: a) f(x) = 2x

c) f (x) = e–x

b) f (x) = sen x

d) f(x) =

3 x+2

2. Comprueba, en cada caso, que F es primitiva de f: x 4 2 287 ; f ( x ) =

x3

a) F ( x ) =

4

b) F ( x ) =

1 1 x 2 + ln ; f (x) = 1+ x 1+ x (1 + x )2

冢

4

( x 4 2)3

冣

Y

Unidad 9

214

1. Primitiva de una función Como hemos visto, la derivación es una técnica que nos permite encontrar la derivada de una función dada. Así, dada la función F(x) = x3 + 2, su derivada es la función f (x) = F.(x) = 3x2.

Función

F (x ) =

x3

+2

Derivación

Derivada

f (x ) = F .(x ) = 3x 2

El diagrama anterior sugiere plantearnos el proceso o técnica contraria, es decir, dada la derivada f(x) = F.(x) encontrar una función F(x) o primitiva de f(x) de la que procede la derivada dada. Se trata, pues, de, dada f (x) = F .(x) = 3x2, hallar una primitiva de ella o F(x) = x3 + 2, de manera que la derivada de esta coincida con la función dada.

Función primitiva

• Una función F es primitiva de otra función f dada, si la derivada de F es f: F es primitiva de f F . = f

F es primitiva de f F. = f

La técnica o proceso contrario a la derivación recibe el nombre de integración.

Primitiva de f (x )

F (x ) =

Una función f dada tiene infinitas primitivas Primitivas de f = { F + C | F. = f, C R}

x3

+2

Integración

Derivada

f (x ) = F .(x ) = 3x 2

En el esquema anterior hemos hallado una primitiva F(x) = x3 + 2 de la función f(x) = 3x2. Ahora bien, las funciones F1(x) = x3 – 5; F2(x) = x3 + 5 , etc., son también funciones primitivas de f(x) = 3x2. De esto se deduce que una función f dada tiene infinitas primitivas y la única diferencia entre dos cualesquiera de ellas es una constante aditiva. Por tanto, si F(x) es una primitiva de f(x), todas las demás primitivas son de la forma: F(x) + C con C = constante

ACTIVIDADES RESUELTAS 1. Encuentra dos primitivas de la función f (x) = 5x 4 – 2. De todas las primitivas halla la que pasa por el punto (0, 0). Dos primitivas de f son: F1 (x) = x 5 – 2x + 7

F2 (x) = x 5 – 2x – 3,5

Son ambas primitivas de f, pues F.1 (x) = F .2 (x) = f (x). Todas las primitivas de la función f(x) = 5x 4 – 2 son F(x) = x 5 – 2x + C. De todas ellas, la que pasa por el origen es la que cumple F (0) = 0 – 0 + C = 0 ¡ C = 0. Por tanto, F (x) = x 5 – 2x es la primitiva de f(x) = 5x 4 – 2 que pasa por el punto (0, 0).

Y

Integrales indefinidas

215

2. Integral indefinida. Propiedades En el epígrafe anterior hemos visto que una función f tiene infinitas primitivas. Al conjunto de todas ellas se le llama integral indefinida de la función f . • La integral indefinida de una función f es el conjunto de todas las primitivas de f, y se representa por:

µ f (x) dx = F(x) + C

El matemático y filósofo alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) contribuyó notablemente al desarrollo del cálculo integral. A él se debe el símbolo µ .

Se lee integral de f(x) diferencial de x. C es un número real cualquiera y se llama constante de integración. El símbolo integral

µ siempre va acompañado del factor dx, cuyo significado

es indicar la variable respecto de la que se integra.

Propiedades de la integral indefinida Integral del producto de un número real por una función • La integral del producto de un número real por una función es igual al número real por la integral de la función:

µ af(x) dx = a µ f(x) dx ;

a R

Integral de la suma de funciones • La integral de la suma (diferencia) de dos funciones es igual a la suma (diferencia) de las integrales de dichas funciones:

µ [ f(x) ± g (x)] dx = µ f(x) dx ± µ g(x) dx ACTIVIDADES RESUELTAS 2. Halla la primitiva de f (x) = 2 sen (2x) que valga 4 para x = U. Las primitivas de f (x) son de la forma F(x) = –cos (2x) + C con C R. Como F (U ) = 4, tenemos: F(U ) = 4 ¡ –cos (2U ) + C = 4 ¡ C = 5 Por lo que la primitiva buscada es: F (x) = –cos (2x) + 5

3. Calcula las integrales indefinidas que figuran a continuación: a) b) c)

µ – 3x

µ µ

2

dx = x 3 + C

¬ x 2¼ 2 1 x os x dx + dx = 5 e x dx cos x dx + 2 dx = 5e x sen x + 2ln x + C ®5e – cos x + x ½¾ dx = 5e dx co x x

µ

µ

µ

µ

µ

µ

¬ 3 ¼ 3 1 – 2½ dx = dx 2 dx = 3 dx 2 dx = 3 tg x 2x + C 2 2 cos x cos2 x ® cos x ¾

µ

µ

µ

µ

Y

Unidad 9

216

3. Métodos de integración El cálculo de la integral indefinida de una función, µ f(x) dx, depende del tipo de función que integramos. Por este motivo, existe una gran variedad de métodos de integración. En este curso vamos a estudiar los métodos de integración por integrales inmediatas, por partes, de funciones racionales y por cambio de variable.

3.1. Método de integración por integrales inmediatas El método de integración por integrales inmediatas consiste en transformar la función dada, mediante las propiedades de la integral indefinida, en funciones cuyas primitivas pueden calcularse de forma inmediata, es decir, como las que figuran en la tabla de la página siguiente. De esta forma, podemos calcular la integral indefinida aplicando las fórmulas o expresiones que aparecen en la mencionada tabla.

ACTIVIDADES RESUELTAS 4. Calcula las integrales indefinidas que figuran a continuación: a)

b)

µ

1 ¬ 2 ¼ x3 x 3 x 4 /3 2 3 2 4 3 5 x + 4 – 3 x ½ dx = 5 x dx + 2 x dx 3 x dx = 5 3 + 2 3 3 4 / 3 + C ¾ ® x

µ

52 [ µ [2x 2 – 7] 4 x dx = 2x

dx =

7] 53

2

µ

µ

53

+C

1 1 e3x e 3 x 3 dx = e 3 x + C = +C 3 3 3

c)

µe

d)

µ

2x

µ

5 5x 2 dx = 3 12 4x – 3

f)

µ

cos ( x 2 – 2 x ) ( x – 1) dx =

g)

µ

sen x 4

µ µ

¬ 1+ tg2 x ¼ 1 dx = 2 tg x + C ½ dx = 2 ¬®1 + tg2 x ¼¾ ½¾ ® 2 x x

µ

sen2 x cos x dx = (sen x )2 cos x dx =

µ

¬ln x ¼¾ 1 1 ln x ln2 x +C dx = ¬®ln x ¼¾ dx = ® +C = 2 2 x x

3x

µ

2 1 1 2x +1 2x 2x +1 2 x dx = +C = +C 2 2 ln 2 ln 2 2

e)

h)

i)

j)

2

+1

x dx =

µ

µ

12 x 2 5 ln 4 x 3 3 + C dx = 3 12 4x 3

1 x3 dx = 3 3 4

µ

1 sen( x 2 2x ) cos ( x 2 2x ) 2 ( x 1) dx = +C 2 2

µ

sen x 4 4 x 3 dx =

cos x 4 +C 12

µ

1 1 dx = 7 cos2 7 x

µ

tg 7 x 7 +C dx = 7 cos2 7 x

µ

2

k)

2

µ

sen3 x +C 3

Y

Integrales indefinidas

217

INTEGRALES INMEDIATAS TIPO DE FUNCIÓN PRIMITIVA

PRIMITIVA SIMPLE

Función potencial

µx

a | –1

dx =

a

µe

x

PRIMITIVA COMPUESTA

x a +1 +C a +1

µf

dx = e x + C

f . dx =

a

µe

f a +1 +C a +1

f . dx = e f + C

f

Función exponencial

µ a x dx =

µ

1 dx = ln x + C x

µ

Función logarítmica

ax +C ln a

a f f . dx =

µ

af +C ln a

f. dx = ln f + C f

Función seno

µ cos x dx = sen x + C

µ cos f f . dx = sen f + C

Función coseno

µ sen x dx = cos x + C

µ sen f f . dx = cos f + C

µ (1 + tg

µ (1 + tg

2

x) dx = tg x + C

2

f ) f . dx = tg f + C

Función tangente

µ

1 dx = tg x + C cos 2 x

µ (1 + cotg x) dx = cotg x + C 2

µ

f. dx = tg f + C cos 2 f

µ (1 + cotg f ) f . dx = cotg f + C 2

Función cotangente

f.

1

µ sen f dx = –cotg f + C

µ sen x dx = –cotg x + C

2

2

Función arco seno

Función arco tangente

µ

1 1 x2 1

µ 1+ x

2

dx = arcsen x + C

dx = arctg x + C

µ

f. 1 f2 f.

µ 1+ f

2

dx = arcsen f + C

dx = arctg f + C

Y

Unidad 9

218

3.2. Método de integración por partes

El método de integración por partes se basa en la utilización de la siguiente fórmula:

Ada Lovelace (1815-1852)

µ u · dv = u · v – µ v · du Demostración: La demostración de esta fórmula se basa en la diferencial del producto de dos funciones: d(u · v) = D[u · v] dx = (u. · v + u · v.) dx = = (u. · dx) · v + u · (v. · dx) = du · v + u · dv con lo cual podemos escribir: u · dv = d(u · v) – v · du e integrando en ambos miembros, obtenemos la fórmula de integración por partes que queríamos demostrar: Hija del célebre poeta inglés Lord Byron, fue educada en temas científicos por su madre y por el matemático británico Charles Babbage.

µ u · dv = µ [ d(u · v) – v · du ] = µ d(u · v) – µ v · du = u · v – µ v · du Este método es útil en el cálculo de integrales de los siguientes tipos:

Alcanzó gran notoriedad en su época por sus ideas sobre las máquinas analíticas, las precursoras más inmediatas de los actuales ordenadores.

• • • • •

Q(x)

µ P(x) · a dx µ P(x) · sen Q(x) dx µ P(x) · cos Q(x) dx µ a · sen P(x) dx µ a · cos P(x) dx Q(x) Q(x)

siendo P(x) y Q(x) polinomios. Muchas veces es preciso aplicar reiteradamente la fórmula de la integración por partes.

ACTIVIDADES RESUELTAS 5. Calcula la integral

µ (x – 3) e

x

dx.

Hacemos: u = x – 3 ¡ du = dx dv = e x dx ¡ v =

µe

x

dx = e x

Aplicando la fórmula de integración por partes, obtenemos:

µ (x – 3) u

ex dx = u · v – dv

µ v · du = (x – 3)e – µ e

µ (x – 3)e

x

x

x

dx = (x – 4)e x + C

dx = (x – 3)e x – e x + C

Y

Integrales indefinidas

219

ACTIVIDADES RESUELTAS 6. Calcula las primitivas de la función f(x) = (7x 2 – 5) sen (2x). Para calcular las primitivas de esta función, resolvemos la integral:

µ (7x

2

– 5) sen (2x) dx

Utilizando el método de integración por partes, hacemos: u = 7x 2 – 5 ¡ du = 14x dx

µ sen (2x) dx =

dv = sen (2x) dx ¡ v =

cos (2x ) 2

Aplicando la fórmula de integración por partes, obtenemos:

µ

(7x2 – 5) u

sen (2x) dx = uv – dv

µ

vdu =

(7 x 2 5) cos (2x ) + 2

µ 7x cos (2x) dx

Volvemos a aplicar el método de integración por partes a la última integral: u = 7x ¡ du = 7 dx dv = cos (2x) dx ¡ v =

µ

(7x 2 – 5) sen 2x dx = =

µ cos (2x) dx =

sen(2x ) 2

(7 x 2 5) cos (2x ) 7 x sen(2x ) + 2 2

µ

sen(2x ) · 7 dx = 2

(7 x 2 5) cos (2x ) 7 x sen(2x ) 7 cos (2x ) + + +C 2 2 4

La integral indefinida nos da todas las primitivas de f, diferenciándose una de otra en una constante aditiva.

7. Calcula la integral

µ cos x · e

2x

dx.

Utilizamos el método de integración por partes: u = e 2 x ¡ du = 2e 2 x dx

¿² À ¡ I= dv = cos x dx ¡ v = sen x Á²

µ cos x · e

2x

dx = sen x · e 2x –

µ sen x · 2e

2x

dx

2x

dx ]

Aplicamos nuevamente el método de integración por partes a la última integral: u = 2e 2 x ¡ du = 4e 2 x dx

¿² À ¡ I = sen x · e 2x – [–2 cos x · e 2x – dv = sen x dx ¡ v = cos x Á²

µ –cos x 4e

Operando, obtenemos: I = sen x · e 2x + 2 cos x · e 2x – 4I ¡ 5I = e 2x (sen x + 2 cos x) Por tanto, despejando I y añadiendo la constante de integración, obtenemos la integral buscada: I=

µ

cos x · e 2x dx =

e 2 x (sen x + 2 cos x ) +C 5

Y

Unidad 9

220

3.3. Método de integración de funciones racionales El método de integración de funciones racionales se utiliza para resolver integrales del tipo: P(x) dx Q(x)

µ

siendo P(x) y Q(x) polinomios con coeficientes reales. División de polinomios grado [P(x)] v grado [Q(x)]: Q(x) C(x)

(

P(x) R(x)

Al resolver este tipo de integrales puede ocurrir que el grado del numerador sea mayor o igual que el grado del denominador. En este caso, dividimos el numerador por el denominador, según vemos en el margen, y obtenemos:

Propiedades:

µ

• grado [R(x)] < grado [Q(x)] • P(x) = C(x) · Q(x) + R(x) Si en la segunda propiedad dividimos en ambos miembros por Q(x), obtenemos: P(x) R( x ) = C(x) + Q( x ) Q( x )

P(x) dx = Q(x)

µ

C(x) dx +

µ

R(x) dx Q(x)

Por tanto, la integral dada se ha descompuesto en una integral polinómica, que es inmediata, y otra racional en la cual el grado del numerador es menor que el grado del denominador. Al resolver una integral racional, también puede ocurrir que el grado del numerador sea menor que el grado del denominador. Ahora, en ambas situaciones, el problema queda reducido a resolver integrales racionales en las cuales el grado del numerador es menor que el grado del denominador. Estas integrales se resuelven descomponiendo la fracción integrando en suma de fracciones simples.

Método de cálculo de los coeficientes de los numeradores de las fracciones simples Para determinar estos coeficientes podemos utilizar dos procedimientos: • Procedimiento basado en la definición de igualdad de polinomios, y que dice: dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y sus coeficientes respectivos son iguales. • Procedimiento basado en el principio de identidad de polinomios, y que dice: si dos polinomios toman iguales valores numéricos para un número de valores x superior al grado de ambos, los polinomios son idénticos.

El siguiente teorema nos permite descomponer una fracción en suma de fracciones simples. • El teorema de descomposición de una fracción en suma de fracciones simples dice que si se descompone el denominador en producto de factores: Q(x) = (x – a1)n · … · (x – am)n 1

m

P(x) , con P(x) y Q(x) polinomios con coeficientes reales y Q(x) con grado [P (x)] < grado [Q (x)], se descompone en suma de fracciones simples cuyos denominadores son esos factores y los numeradores son números reales:

la fracción

A n1 P(x) A1 A2 = + + … + +…+ Q(x) x a1 (x a1)2 (x a1)n1 Bn m B1 B2 + +…+ + 2 x a m (x a m ) (x a m )n m Las integrales racionales, una vez descompuesta la función integrando en la forma anteriormente vista, se reducen al cálculo de integrales potenciales y logarítmicas.

Y

Integrales indefinidas

221

ACTIVIDADES RESUELTAS 8. Descompón en suma de fracciones simples la fracción f (x) =

x+7 . x x2 2

Aplicando el teorema de descomposición de una fracción en suma de fracciones simples, podemos escribir: x +7 x +7 A B = = + x 2 x 2 ( x + 1) ( x 2) x + 1 x 2 Determinamos A y B sumando estas fracciones y aplicando el principio de identidad de polinomios a los respectivos numeradores: x +7 A( x 2) + B( x + 1) = ¡ A( x 2) + B( x + 1) = x + 7 ( x + 1) ( x 2) ( x + 1) ( x 2) Dando valores a la variable x obtenemos: x = 2 ¡ 3B = 9 ¡ B = 3

¿² x +7 2 3 + = À ¡ 2 x x 2 x +1 x 2 x = 1 ¡ 3 A = 6 ¡ A = 2Á² Con lo cual hemos descompuesto la fracción dada en suma de dos fracciones simples.

9. Calcula la integral I =

µ

2x 2 1 dx . x2

Es una integral racional en la cual el grado del polinomio numerador es mayor que el grado del polinomio denominador, por tanto, dividimos numerador por denominador y obtenemos: 2x 2 – 1

x–2

–2x 2 + 4x ——————— 4x – 1 –4x + 8 ———— 7

µ

2x 2 1 dx = x2

2x + 4

µ 冢2x + 4 + x 2 冣 dx = µ (2x + 4) dx + µ x 2 dx 7

7

Estas últimas integrales son inmediatas, por tanto: I=

10. Calcula la integral I =

µ

2x 2 1 dx = x 2 + 4x + 7 ln | x – 2| + C x2

3x 1 dx . 3 x

µx

Es una integral racional en la cual el grado del numerador es menor que el grado del denominador. Directamente descomponemos la fracción dada en suma de fracciones simples y obtenemos: 3x 1 A B C A( x 1) ( x + 1) + Bx ( x + 1) + Cx ( x 1) 3x 1 = = + + = x ( x 1) ( x + 1) x x 1 x +1 x ( x 1) ( x + 1) x3 x Aplicando el principio de identidad de polinomios a los polinomios del numerador obtenemos: A = 1; B = –2; C = 1. La integral pedida es: I=

3x 1 dx = 3 x

µx

1

2

1

x ( x + 1)

µ x dx µ x 1dx + µ x + 1dx = ln |x| – 2 ln |x – 1| + ln |x + 1| + C = ln ( x 1)

2

+C

Y

Unidad 9

222

3.4. Método de integración por cambio de variable

Este método se basa en la utilización de la derivada de la función compuesta o regla de la cadena.

Un cambio de variable muy utilizado

El método consiste en expresar la función integrando dada en función de otra variable de modo que la integral resultante sea inmediata.

En integrales de los tipos:

µ

µ

a2 b2 x 2 dx 1 a2 b 2 x 2

Esto se consigue mediante un cambio de variable, y procediendo de la siguiente forma:

dx

se hace uno de los cambios siguientes:

x = g(t ) ¡ dx = g.(t)dt

bx = a sen t

µ f(x )dx = µ f [g(t )] · g.(t)dt

bx = a cos t

Una vez obtenidas las primitivas de la última integral en función de t, se deshace el cambio de variable y así obtenemos la integral buscada. Este método abarca una gran tipología de casos, por lo cual, en este curso, consideramos algunos de los más sencillos.

ACTIVIDADES RESUELTAS 11. Calcula la integral I =

µ

3x 1 + 7x 2

dx de dos formas diferentes.

Esta integral la podemos resolver por el método de integrales inmediatas: 1

µ

3x 1+ 7x 2

dx = 3 (1 + 7 x )

µ

2

1 2

3 x dx = 14

µ (1+ 7x ) 2

1 2

3 1+ 7x 2 3 (1 + 7 x 2 ) 2 +C = +C 14 x dx = 7 14 1 2

También la podemos resolver haciendo un cambio de variable: 1 + 7x 2 = t 2 ¡ 14x dx = 2t dt ¡ dx =

µ

3x 1+ 7x

2

µ

dx =

3x t

2

t dt 3 = 7x 7

t dt 7x

3t

µ dt = 7 + C

Deshaciendo el cambio de variable, obtenemos: 1 + 7x 2 = t 2 ¡ t =

12. Calcula la integral I =

1+ 7x 2 ¡ I =

µ

3x 1+ 7x

2

dx =

3 1+ 7x 2 +C 7

5

µ x ln x dx.

Haciendo el siguiente cambio de variable, obtenemos: ln x = t ¡ 5

5

dx = dt ¡ dx = x dt x dt

µ x ln x dx = µ x t x dt = 5 µ t Y deshaciendo el cambio de variable: I = 5 ln | ln x | + C

= 5 ln | t | + C

Y

Integrales indefinidas

223

ACTIVIDADES RESUELTAS 13. Calcula la integral I =

x 1+ 3

µ

x 1+1

dx .

Resolvemos esta integral haciendo el siguiente cambio de variable: x – 1 = t 2 ¡ dx = 2t dt x 1+ 3

µ

x 1+1

dx =

t +3 2t dt = t +1

µ

µ

2t 2 + 6t dt t +1

Esta última integral es una integral racional con el grado del numerador mayor que el grado del denominador. La resolvemos dividiendo el numerador por el denominador: 2t 2 + 6t

t+1

2

–2t – 2t

¿ ² ² ² 2t 2 + 6t 4 = 2t + 4 À ¡ t +1 t +1 ² ² ²Á

2t + 4

4t –4t – 4 –4 I=

µ

2t 2 + 6t dt = t +1

µ 冢2t + 4 – t + 1冣 dt = t + 4t – 4 ln |t + 1| + C 4

2

Deshaciendo el cambio de variable, obtenemos: I=

14. Resuelve la integral I =

5 dx

µ

9 4x2

x 1+ 3

µ

x 1+1

dx = x 1 + 4 x 1 4 ln

x 1+1 + C

por dos métodos distintos.

La resolvemos primero como inmediata de tipo arco seno:

µ

5 dx 9 4x

2

Dividimos por 3 en el numerador = y en el denominador

5 3 = 3 2

µ

2 3 ¬ 2x ¼ 1 ½ ®3 ¾

2

dx =

µ

5 5 3 dx = 2 3 4x 1 9

µ

dx ¬ 2x ¼ 1 ½ ®3 ¾

2

=

¬ 2x ¼ 5 arcsen ½ + C 2 ®3 ¾

En segundo lugar la resolvemos por el método de cambio de variable: 2x = 3 sen t ¡ x =

µ

5 dx 9 4x

2

=

µ

5

3 15 cos t dt = 2 2 9 9 sen t 2

3 3 sen t ¡ dx = cos t dt 2 2

µ

cos t dt 2

9 1 sen t

=

¬ 2x ¼ 5 5 5 dt = t + C = arcsen ½ + C 2 2 2 ®3 ¾

µ

Y

Unidad 9

224

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Par e impar Demuestra que: Si n es un número impar, entonces m = 3n3 + 5n2 – 13n + 1, es un número par.

FAMILIARIZACIÓN CON EL PROBLEMA El enunciado se entiende con facilidad; en él aparecen conceptos básicos como número par e impar, operaciones elementales y el signo de igualdad.

BÚSQUEDA DE ESTRATEGIAS Comenzamos experimentando con números impares sencillos: • Si n = 1, entonces m = 3 · 13 + 5 · 12 – 13 · 1 + 1 = –4, que es par. • Si n = 3, entonces m = 3 · 33 + 5 · 32 – 13 · 3 + 1 = 88, que es par. • Si n = 5, entonces m = 3 · 53 + 5 · 52 – 13 · 5 + 1 = 436, que es par. Observamos que en estos casos particulares el enunciado se cumple. Veamos si es así para el caso general, es decir, cuando consideramos un número impar cualquiera como n = 2k + 1, siendo k un número entero.

LLEVAR ADELANTE LA ESTRATEGIA Sustituimos en la expresión del enunciado, m = 3n3 + 5n2 – 13n + 1, el valor de n, considerado impar (n = 2k +1), y operando obtenemos: m = 3(2k + 1)3 + 5(2k + 1)2 – 13(2k + 1) + 1 m = 3(8k 3 + 12k 2 + 6k + 1) + 5(4k 2 + 4k + 1) – 13(2k + 1) + 1 m = 24k 3 + 36k 2 + 18k + 3 + 20k 2 + 20k + 5 – 26k – 13 + 1 m = 24k 3 + 56k 2 + 12k – 4 m = 2 · (12k 3 + 28k 2 + 6k – 2) El poder expresar m en esta última forma significa que es par, con lo que queda demostrado el problema.

REVISAR EL PROCESO Y SACAR CONSECUENCIAS DE ÉL Nos damos cuenta que debemos poner en claro las conexiones del punto de partida (hipótesis) con el punto de llegada (tesis). Para ello nos ayudaremos de todas las herramientas que estén a nuestro alcance: fórmulas, figuras, cálculos, casos sencillos..., que nos puedan proporcionar pistas sobre estas conexiones. Debemos tener en cuenta que demostrar propiedades, relaciones, teoremas..., es la acción más genuina del quehacer matemático; es lo que caracteriza la creatividad y el progreso en matemáticas. A partir de unos postulados o axiomas, o a partir de resultados ya verificados, y aplicando con rigor el método lógico-deductivo, se prueban nuevos resultados, que pasan a formar parte del gran edificio que constituyen las matemáticas.

Y

Integrales indefinidas

225

Lenguaje matemático apoyándose en 27 axiomas. En pleno siglo XX, el matemático ruso Andrei Nikolaievitch Kolmogorov (1903-1987) axiomatizó el cálculo de probabilidades.

Las matemáticas tienen un lenguaje que se caracteriza por su precisión y brevedad. Es un lenguaje preciso porque cada término contiene la relación de que se trata con todas sus propiedades. Y es breve porque utiliza solamente las palabras necesarias para poner en marcha los procesos de razonamiento, que son mucho más rápidos que el propio lenguaje.

— Teoremas. Mediante los símbolos, los conceptos primitivos, las definiciones y los axiomas, podemos descubrir propiedades que tienen los conceptos, que no están incluidas en sus respectivas definiciones. Estas propiedades no son evidentes, siendo necesaria su demostración, y se las conoce con el nombre de teoremas.

El lenguaje matemático está formado por un vocabulario y un conjunto de símbolos peculiares. • Símbolos. Algunos de los símbolos matemáticos más usuales son: 5 — Símbolos numéricos: 2; 3,7; ; U ; e; K ; … 3 — Símbolos para designar conjuntos numéricos: Q (conjunto de los números racionales); R (conjunto de los números reales); … — Símbolos para operaciones: + ; – ; · ; : ; D ®¬ ¾¼ ; …

Un teorema es una propiedad que se justifica o se demuestra mediante un razonamiento o deducción lógica. En el enunciado de un teorema distinguimos dos partes: la hipótesis, o condiciones de partida, y la tesis, o conclusión. HIPÓTESIS

µ

; ; ; ;

(Condiciones de partida)

— Símbolos para expresar relaciones: = ; < ; > ; f ; v ; ; ; ; ; ; …

¡

TESIS (Conclusión)

La tesis se deduce o es consecuencia lógica de la hipótesis. También se dice que la hipótesis implica la tesis.

• Vocabulario. Las palabras más utilizadas en la terminología matemática son las siguientes: — Conceptos primitivos. Son ideas esenciales que no admiten definición, porque no se pueden reducir a otras más simples, como, por ejemplo, punto, conjunto, … — Definiciones. Una definición es una explicación del significado de un concepto, señalando o indicando el contenido del mismo, como, por ejemplo, la de número primo. — Axiomas. El axioma es un enunciado que se admite sin demostración por considerarlo evidente. Los primeros axiomas de Geometría fueron enunciados por Euclides (315?255? a.C.). Los trabajos de Euclides constituyeron la base sobre la que el matemático alemán David Hilbert (18621943) hizo una construcción rigurosa de la Geometría,

a

A. N. Kolmogorov (1903-1987).

A C T I V I D A D E S 䊏 Utiliza el lenguaje matemático en la resolución de los siguientes problemas: 1. Números impares. Demuestra que la suma de dos números naturales impares es un número par. 2. Números cuadrados. Demuestra que si a, b, c y d son números naturales, tales que P = a2 + b2

y

Q = c2 + d 2

entonces el producto PQ es también suma de los cuadrados de dos números naturales.

Y

Unidad 9

226

NUEVAS TECNOLOGÍAS Integrales con Derive Derive permite resolver la integral indefinida de cualquier función, así como calcular integrales definidas y hallar áreas de recintos planos.

CÁLCULO DE INTEGRALES INDEFINIDAS Vamos a calcular la siguiente integral:

µ

4 x 2 dx

Para ello seguimos los siguientes pasos: 1. En el editor de expresiones (parte inferior del área de trabajo) introducimos la función cuya integral queremos hallar y pulsando la tecla INTRO aparece la función en el área de trabajo. 2. Si la expresión no es correcta la corregimos en el editor de expresiones, y si es correcta elegimos en el menú Cálculo>Integrales, o pinchamos en , y aparece en pantalla una ventana como la de la imagen, que nos permite elegir la variable respecto a la que vamos a integrar, en nuestro caso la x, el tipo de integral, en nuestro caso indefinida, y el valor que asignamos a la constante de integración:

3. Pulsando aparece el resultado de la integral en el área de trabajo, tal como vemos en la pantalla de la imagen adjunta.

CÁLCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS Vamos a calcular la siguiente integral: 2

µ ln x dx 1

Para ello seguimos los pasos del apartado anterior, eligiendo en el segundo paso (en la ventana de la imagen superior) el tipo Definida y los límites de integración, Límite Superior 2 y Límite Inferior 1. Así obtenemos el valor de esta integral, como vemos en la imagen adjunta. PRACTICA con Derive la resolución de las actividades números 4, 6 y 10.

También podemos, mediante la opción Gráfica, representar la función y observar el área que queremos hallar.

Y

Integrales indefinidas

227

EN RESUMEN DERIVACIÓN

FUNCIÓN PRIMITIVA

FUNCIÓN DERIVADA

INTEGRACIÓN

• af dx = a f dx ; a R

µ µ • µ (f ± g) dx = µ f dx ± µ g dx

INTEGRAL INDEFINIDA

µ f ( x ) dx = F ( x ) + C

F .( x ) = f ( x ) ; C R

propiedades

se resuelve por

MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR INTEGRALES INMEDIATAS

MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES

MÉTODO DE INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES

MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE

utiliza la

utiliza la fórmula

utiliza la

utiliza la propiedad

Tabla de integrales inmediatas

µ u dv = uv – µ v du

Descomposición de la función racional en suma de fracciones

µ f (x) dx = µ f [ g(t)] g.(t) dt x = g(t)

AMPLÍA CON… Una mente prodigiosa (Editorial Mondadori) de Sylvia Nasar es una biografía del matemático estadounidense John Forbes Nash, nacido en 1928. Su infancia y su juventud aparecen marcadas por un comportamiento y una inquietud que ya revelan su extraordinaria capacidad intelectual y sus dificultades para relacionarse con los demás. Durante sus años de universidad, rodeado de genios como Albert Einstein o John von Neumann, Nash desarrolló importantes trabajos en los ámbitos más diversos de las matemáticas. La autora nos habla también en el libro de su terrible enfermedad, la esquizofrenia, que lo mantuvo alejado del mundo durante treinta años, de su curación y su vuelta a la actividad intelectual, para finalmente, recibir el Premio Nobel de Economía en 1994.

Y

Unidad 9

228

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD RESUELTAS Se sabe que la gráfica de una función f pasa por el punto (1, 1) y que f.(1) = 2. Se conoce también que su derivada segunda es la función g(x) = 2. Calcula razonadamente la función f. Sabemos que g(x) es la derivada segunda de f : g(x) = f..(x) = 2 La función f. es primitiva de la función f .., pues [ f. ]. = f... Tenemos entonces: f.(x) =

µ f..(x) dx = µ 2dx = 2x + C

Pero como f.(1) = 2, resulta que 2 = 2 · 1 + C, con lo que C = 0. Por otra parte, f es una primitiva de la función f., con lo cual: f.(x) = 2x; f(x) =

µ f.(x) dx = µ 2x dx = x

2

+K

Como la gráfica de f pasa por (1, 1), tenemos que 1 = 12 + K, con lo que K = 0. Por lo tanto, la función f buscada es f (x) = x 2.

Calcula la integral

µ x · ln x dx.

Resolvemos esta integral por el método de integración por partes: u = ln x ¡ du =

1 · dx x

dv = x dx ¡ v =

µ

x

Calcula la integral

ln x dx = uv – u

dv

µ

1 x1 e dx. x2

µ v du =

x 2 ln x 2

µ

x2 2

x2 1 x 2 ln x 1 x 2 ln x x 2 x dx = dx = +C 2 x 2 2 2 4

µ

Resolvemos esta integral por el método de integrales inmediatas:

µ

1 x1 1 e dx = 2 1 x

1

1 1 1 x x = 1 + = +C dx e C e x2

µ 冢冣 ex

También podemos resolver esta integral por el método de cambio de variable: 1 1 = t ¡ 2 dx = dt ¡ dx = x 2 dt x x

µ

1 x1 e dx = x2

µ

1 t e ( x 2 dt ) = x2

µ

1

e t dt = e t + C = e x + C

Y

Integrales indefinidas

Calcula I =

229

x dx

µ ( x 1)( x

2

1)

.

Esta integral la resolvemos por el método de integración de funciones racionales. x x A B C = = + + ( x 1) ( x 2 1) ( x 1)2 ( x + 1) x 1 ( x 1)2 x + 1 Determinamos los coeficientes A, B y C sumando las fracciones simples y aplicando el principio de identidad de polinomios a los respectivos numeradores: x A( x 1) ( x + 1) + B( x + 1) + C ( x 1)2 = ( x 1) ( x 2 1) ( x 1)2 ( x + 1) x = 1 ¡ 1 = 2B ¡ B =

1 2

x = 1 ¡ 1 = 4C ¡ C =

1 4

x = 0 ¡ 0 = A + B + C ¡ A =

1 4

La integral pedida vale: I=

x dx

µ ( x 1) ( x

2

1)

=

1 4

dx

1

dx

µ x 1 + 2 µ ( x 1)

2

1 4

dx

1

1

Halla una primitiva de la función y = (2x + 1)3 que tome el valor 500 para x =

7 . 2 Y

El conjunto de todas las primitivas de y = (2x + 1)3 viene dado por: F(x) =

µ (2x + 1)

3

1

µ x + 1 = 4 ln x 1 2( x 1) 4 ln x + 1 + C

500

dx

(2x + 1) 4 F (x ) = — – 12 8

Esta integral es inmediata de tipo potencial: F (x) = =

µ (2x + 1)

3

dx =

1 2

µ (2x + 1)

3

2 dx =

(2x + 1)4 1 (2x + 1)4 +C = +C 2 4 8 F(x) =

(2x + 1)4 +C 8

La primitiva pedida ha de cumplir: F

7 (7 + 1)4 = 500 ¡ + C = 500 ¡ C = 12 2 8

冢冣

Por tanto, la primitiva que satisface el enunciado del problema es: (2x + 1)4 F(x) = 12 8

O

X 7 — 2

Y

Unidad 9

230

ACTIVIDADES FINALES EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1. Halla tres primitivas de cada una de las siguientes funciones: b) f 2 (x) = 4x 3 – 5

a) f 1 (x) = x

2. Halla la primitiva de la función f(x) =

d) f 4 (x) = e2x

c) f 3 (x) = 2

1 que valga 3 para x = 0. x +1

3. Encuentra una función y = f(x) cuya derivada sea f.(x) = 3x 2 y pase por el punto (2, 10). 4. Calcula las siguientes integrales, cuyas funciones primitivas son potenciales: e)

µ (3x – 2) dx

i)

µ (2x + 1)

dx

f)

µ x (x

j)

µ sen x · cos x dx

x 4 dx

g)

µ (5x – 3)

dx

k)

µ cos x

x 2 dx x3

h)

µ

6 9 x dx

l)

µ 4x

µ 5x

b)

µx

c)

µ

d)

7

2

µ

1

dx

a)

3

6

5

2

– 1) dx

12

tg x 2

dx

2

dx

1 x 3 dx

2

5. Calcula las siguientes integrales, cuyas funciones primitivas son exponenciales: a)

µ

b)

µe

32x dx

sen x

· cos x dx

c)

µ

d)

µ2

4x

2

+1

x/2

· x dx

dx

e ln x dx x

e)

µ

f)

µe

–x

dx

6. Calcula las siguientes integrales, cuyas funciones primitivas son logarítmicas: a)

b)

µ

2 dx 3x + 5

c)

µ

tg x dx

d)

µ

3x + 6 dx x + 4x + 5

e)

µ

µ

2x 2 dx 3x 3 7

f)

µ x ln x

e x ] · e x dx

e)

µ 5 · sen 2x · dx

dx

f)

µ

2

ex dx 2e x 3 5

dx

7. Calcula las siguientes integrales, cuyas funciones primitivas son trigonométricas: a)

µ sen (3x + 1) dx

c)

µ [1 + tg

b)

µ 2x · cos (3x ) dx

d)

µ cos x

2

2

3x 2

2

sen x x

dx

Y

Integrales indefinidas

231

8. Calcula las siguientes integrales, cuyas funciones primitivas son inversas de las funciones trigonométricas: a)

µ

5 dx 1+ 9x 2

b)

µ

1 25 x 2

7

dx

c)

µ

d)

µ

3x dx 16 + 9 x 4 8

dx

4 9x 2

ex dx 1 + e 2x

e)

µ

f)

µ 4x

14 dx 2 +7

9. Resuelve las siguientes integrales por el método de integración de integrales inmediatas: a)

µ (2x

b)

µ冢

c)

µ (x

d)

µ 3 2e

2

5 x

冣 dx

µx

¬ x 4 3x x + 2 ¼ ½ dx ® ¾ x

j)

µ (2x

x +1 dx + 4x 7

k)

2 µ x 冢x

l)

µx

5x 2 dx 3 +8

g)

µx

cos x dx

h)

µ (x – 2) · sen 2x · dx

i)

µe

x3

冣

f)

µ

g)

µ 2x

h)

µ ( 9x x ) dx

1 x2

dx

– 4x + 4)2 dx

4e x

x

dx

3x dx + 16

i)

4

e)

3x +

2

µ 冢2

– 4x + 5) dx

2

3

2

2

– 3) 2 5x dx

3

2

冣

5 7 x+ dx 3 5

10. Resuelve las siguientes integrales por el método de integración por partes: a)

µ ln x · dx

d)

µ (1 – 3x)3

b)

µx

e)

µx

c)

µ 5x · e

f)

µ (2x + 5) · sen x · dx

3

· ln x dx x

dx

2

x

dx

· e –x · dx

2

x

· sen x dx

11. Resuelve las siguientes integrales por el método de integración de funciones racionales: a)

b)

µ

3x dx x2

c)

µ

4 dx 2 x 3x + 2

d)

µ

x3 dx x2 + 4

e)

µ

x3 + x + 3 dx x2 + 1

f)

µ

x2 + 1 dx x2 1

µ

4 x 2 3x + 1 dx x 3 2x 2 + x

12. Resuelve las siguientes integrales por el método de integración de cambio de variable: a)

µx

b)

µ

c)

µ

x 2 1 dx

e x dx 1+ e x 3

1 + ln x dx x

2x 3

µ

2x 3 + 1

e)

µ

x2 + 1 dx x

f)

µ x ln x

d)

dx

2

dx

g)

h)

i)

1

µ x+ µe

dx x

dx 3

x

µ 1

x x +1

dx

Y

Unidad 9

232

ACTIVIDADES FINALES ACCESO A LA UNIVERSIDAD 13. Determina la función f (x) sabiendo que su gráfica pasa por el punto (2, 4) y su derivada es: f.(x) =

14. Calcula

µ

1 + 2x x4

x (x 2 + 2x) dx.

15. Halla una función cuya segunda derivada es 6x 2 + 2x + 2, tal que en x = 0 vale 5 y su primera derivada pasa por (–1, 0). 16. Resuelve las siguientes integrales: a)

b)

µ (x – 1)(2x – 3) dx

µ

c)

2x dx x +5

d)

2

µ

x dx ( x + 1)2

µ

x2 dx 4 x

17. Sabiendo que la función y = f(x) es continua, que f(0) = 0 y, además, que su derivada es: ¯1 2x si x < 1 f .( x ) = ° si x > 1 ±²1 a) Calcula f (x). b) Esboza su gráfica. 18. Encuentra la primitiva de la función f(x) = (x – 2) e2x que se anule para x = 2. 19. Una función f(x) tiene como derivada f.(x) =

x 1 x 2

y verifica f (0) = 3.

Encuentra la función f(x). 20. Una función f (x) verifica f..(x) = 2. Halla f (x) sabiendo que su gráfica pasa por (2, 0) y la pendiente de la tangente en (2, 0) es 10. 21. Calcula

µ

x +1 dx. x2 x

22. Halla f(x) si sabemos que f(0) = 1, f.(0) = 2 y f..(x) = 3x. 23. Calcula una función real f : R q R que cumple las condiciones siguientes: f.(0) = 5,

f..(0) = 1,

f(0) = 0 y

24. Halla dos primitivas de la siguiente función: f ( x ) = e x (1 + e x )3

f ...(x) = 24x – 12

Y

Integrales indefinidas

233

AUTOEVALUACIÓN 1. La primitiva de la función f(x) = 1 1 x+2 2

a) F(x) =

1 1 que valga para x = 2 es: 4 ( x + 2)2 1 1 b) F (x) = + 3 2 ( x + 2)

c) F(x) =

2. La gráfica adjunta corresponde a la función derivada y = f.(x) de una cierta función y = f (x). La expresión de esta, sabiendo que pasa por el punto (2, 4), es: a) f(x) = –x 2 + 4x

b) f(x) = x 2 – 4x

1 1 + x+2 2

Y 6 5

c) f(x) = –x 2 + 2x + 4

4

3. La expresión de la función y = f (x) que cumple f ...(x) = 24x; f..(0) = 2; f.(0) = 1 y f(0) = 0 es: 4

3 2

2

a) f(x) = x – x + x

1

b) f(x) = x 4 + x 2 – x 4

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

X

-1

2

c) f(x) = x + x + x 4. Las primitivas de f(x) = x · sen x 2 son: a) F(x) =

cos2 x +C 2

5. Al calcular

µx

2

b) F(x) =

cos x 2 +C 2

c) F (x) = x 2 · sen x + C

· sen x dx, obtenemos:

a) F (x) = (–x 2 + 2) · cos x + 2x · sen x + C b) F (x) = (x 2 – 2) · cos x – 2x · sen x + C c) F (x) = (x 2 + 2) · cos x – 2x · sen x + C 6. Las primitivas de f(x) = a) F (x) = 7. Al calcular

x3 son: x 1 2

x2 1 + ln | x 2 – 1| + C 2 2

µ

x 2 ( x 2 1)2 + +C 2 2

b) F(x) =

1 ln | x 2 – 1| + C 2

c) F(x) =

b) F (x) =

1 ln (3e2x + 5) + C 6

c) F (x) = 3e2x + 5x + C

e 2x dx, obtenemos: 3e 2 x + 5

a) F (x) = arctg e 2x + C 8. Las primitivas de la función f (x) = a) F (x) = ln (1 + e2x ) + C

ex son: 1 + e 2x b) F(x) = (1 + e2x )2 + C

c) F (x) = arctg e x + C

9. Las funciones F(x) que verifican x 5 F .(x) + x 3 + 2x = 3, con x | 0, son: a) F(x) =

1 2 +C x 3x 3

b) F(x) =

1 2 3 +C + 3 x 3x 4x4

c) F (x) =

1 3 +C + x 4x3

2a + 5, con x | 0, donde a es una constante. Sabiendo que cierta función F (x) es x3 una primitiva de f y que verifica F(1) = 6 y F(2) = 42, el valor de a es:

10. Se considera la función f(x) = 3ax 2 +

a) 4

b) 5

c) 6

Z

u10

Integrales definidas. unidad 10 Aplicaciones contenidos

1. Cálculo de áreas por el método exhaustivo

2. Áreas de recintos planos 3. Integral definida. Propiedades 4. Regla de Barrow 5. Área encerrada por una curva 6. Área encerrada por dos curvas

235

La noción de integral definida se remonta al mundo griego unida al problema de la determinación de áreas y volúmenes. Fue Eudoxo de Cnido (siglo IV a.C.), discípulo de Platón, el primero en demostrar que el volumen de un cono es igual a un tercio del volumen del cilindro que tiene la misma base y la misma altura, además de calcular el área del círculo y el volumen de una esfera. Arquímedes (siglo III a.C.) calculó el área del recinto limitado por un arco de parábola y una cuerda, así como volúmenes de cuerpos limitados por superficies curvas. El método utilizado por los griegos para calcular las magnitudes citadas recibe el nombre de método exhaustivo. Las ideas de Eudoxo y Arquímedes permanecieron estancadas hasta que se tradujeron las obras de Arquímedes, en el siglo XVI. Estas ideas interesaron a los científicos de la época, en especial a Galileo (1564-1642) y Kepler (1571-1630). En el siglo XVII, el matemático inglés Isaac Barrow (1630-1677) fue el precursor en el cálculo de integrales definidas, enunciando la regla que lleva su nombre y que conecta la integral definida con las indefinidas y, por tanto, con las derivadas. En esta unidad didáctica se analiza el cálculo de áreas por el método exhaustivo, el concepto de integral definida debido a Bernhard Riemann (1826-1866), sus propiedades, el cálculo de integrales definidas mediante la regla de Barrow y la aplicación relativa al cálculo de áreas de recintos planos, limitados por una o más curvas. Mediante la integral definida es posible resolver también otro tipo de problemas, como el cálculo de las longitudes de arcos de curvas, que aunque no sean objeto de estudio de este curso, tienen gran utilidad, por ejemplo, en arquitectura y escultura.

cuestiones iniciales 1. Calcula el área de los recintos planos A1, A2 y A3: Y 3

Y 3

2

2

y=x+1

Y 3

1 3 y = —x + — 2 2

2

A2 1

1

A3

1

A1 0

1

2

X

0

1

2

3 X

0

1

2

3

X

2. Halla el área del recinto limitado por las rectas de ecuaciones: y = –x – 3; x = 1; x = 4; y = –2.

Y

Unidad 10

236

1. Cálculo de áreas por el método exhaustivo

Y a2

B

Desde la más remota antigüedad, el ser humano se preocupó del problema relativo al cálculo de áreas de recintos planos.

y=

Algunos de estos recintos están limitados por segmentos rectilíneos, y sus correspondientes áreas se calculan fácilmente. El problema surge al calcular áreas de recintos limitados por segmentos rectilíneos y curvilíneos.

x2

Los griegos resolvieron algunos de estos problemas. Así, Arquímedes (286 a.C.212 a.C.) calculó el área del recinto que figura en el margen, limitado por un segmento parabólico, el eje de abscisas y la recta x = a. Utilizó el método exhaustivo, que consiste en aproximar sucesivamente (exhaustivamente) la superficie cuya área se desea calcular mediante rectángulos. O

a

X

Área del recinto OaB =

Y

3

a 3

y=

x2

a2

Arquímedes demostró que el área del recinto limitado por la curva y = x 2, el a3 eje OX y las rectas x = 0 y x = a es A = , es decir, la tercera parte del área 3 del rectángulo de base a y altura a2. A continuación describimos el procedimiento. Dividimos el intervalo [ 0, a ] en n partes iguales o subintervalos de amplitud o longitud a/n, como se aprecia en la figura del margen. Sobre cada uno de estos subintervalos construimos dos rectángulos, uno de altura igual a la ordenada del extremo inferior del subintervalo y otro de altura igual a la ordenada del extremo superior. Calculamos la suma de las áreas de estas dos familias de rectángulos, rectángulos superiores (S) y rectángulos inferiores (s). 2

a a ¬a ¼ a s = 0+ ½ + n n ®n¾ n S=

2

a n

a ¬a ¼ ½ + ®n¾ n

2

a ¬ (n 1)a ¼ ¬ 2a ¼ ½ +…+ ®n¾ n ® n ½¾

2

a ¬ 2a ¼ ½ + ®n¾ n

2

2

a ¬n a¼ ¬ 3a ¼ ½ +…+ ®n¾ n ® n ½¾

2

El área A del recinto está comprendida entre s y S:

…

sfAfS X O

a 2a 3a 4a — — — — … n n n n

n·a —=a n

3

3

¬a ¼ 2 ¬a ¼ 2 2 2 2 2 ® n ½¾ [1 + 2 + … + (n 1) ] f A f ® n ½¾ [1 + 2 + … + n ] Utilizando la suma de los primeros cuadrados, obtenemos: 3

Suma de los h primeros cuadrados Por el principio de inducción matemática o inducción completa, se puede obtener fácilmente la expresión: h(h + 1) (2h + 1) 1 + 2 +…+ h = 6 que da la suma de los cuadrados de los h primeros números naturales. 2

2

2

3

¬ a ¼ (n 1) n (2 n 1) ¬ a ¼ n(n + 1) (2 n + 1) fAf ½ ® n ½¾ ®n¾ 6 6 Tomando límites cuando n q +h, lo cual equivale a tomar infinitos subintervalos, obtenemos: ¬ a 3 (n 1) (2 n 1) ¼ ¬ a 3 (n + 1) (2 n + 1) ¼ lím A lím f f ½¾ ½¾ ; n q+h ® n q+h 6n 2 6n 2 ® Por tanto, el área del recinto vale A =

a3 . 3

a3 a3 fAf 3 3

Y

Integrales definidas. Aplicaciones

237

ACTIVIDADES RESUELTAS 1. Calcula, mediante el método exhaustivo, el área del recinto limitado por la gráfica de la función y = x3, el eje OX, y las rectas x = 0 y x = a. Dividimos el intervalo [0, a] en n subintervalos iguales de amplitud

a . n

La suma de las áreas, S, de los rectángulos superiores viene dada por: 3

S=

3

3

a ¬a¼ a ¬ 2a ¼ a ¬ 3a ¼ a ¬n a¼ + ½ + ½ +…+ n ® n ½¾ n ® n ½¾ n® n ¾ n® n ¾

3

y la suma de las áreas, s, de los rectángulos inferiores viene dada por: 3

s=

3

a a ¬a¼ a ¬ 2a ¼ a ¬ (n 1) a ¼ 0 + ½ + ½ +…+ ½¾ n n ®n¾ n® n ¾ n® n

3

El área A del recinto está comprendida entre s y S: sfAfS 3

3

3

3

3

3

a a ¬a¼ a ¬ 2a ¼ a ¬ (n 1) a ¼ a ¬a¼ a ¬ 2a ¼ a ¬ 3a ¼ a ¬n a¼ 0 + ½ + ½ +…+ ½¾ f A f n ® n ½¾ + n ® n ½¾ + n ® n ½¾ + … + n ® n ½¾ n n ®n¾ n® n ¾ n® n

3

Sacando factor común en los miembros de la desigualdad, obtenemos: 4

4

¬a¼ 3 ¬a¼ 3 3 3 3 3 3 3 ® n ½¾ [0 + 1 + 2 + … + ( n 1) ] f A f ® n ½¾ [1 + 2 + 3 + … + n ] Por el principio de inducción completa, obtenemos que la suma de los cubos de los h primeros números naturales es: 13 + 23 + 33 + … + h3 =

h2 (h + 1)2 4

y aplicando esta igualdad a la expresión anterior, obtenemos: 4

Y a3

4

¬ a ¼ n2 ( n + 1)2 ¬ a ¼ ( n 1)2 n2 f A f ® n ½¾ ® n ½¾ 4 4 Tomando ahora límites cuando n q +h, lo que equivale a tomar infinitos subintervalos, obtenemos: ¬ ¬ a ¼ 4 ( n 1)2 n2 ¼ ¬ ¬ a ¼ 4 n2 ( n + 1)2 ¼ ½ f A f lím ½ ½ lím ½ nq+h ® ® n ¾ nq+h ® ® n ¾ 4 4 ¾ ¾ 4

y = x3

4

a a fAf 4 4 Por tanto, el área vale: A=

a4 4

Es decir, el área del recinto es la cuarta parte del área del rectángulo de base a y altura a 3. O

a

X

Y

Unidad 10

238

2. Áreas de recintos planos Vamos a aplicar el método utilizado por Arquímedes, el método exhaustivo, para calcular el área o superficie del recinto limitado por la gráfica de una función f, el eje OX y las rectas de ecuaciones x = a y x = b. La función f es continua y definida positiva en el intervalo [a, b].

Y

Partición de un intervalo [a, b] Partición de un intervalo [a, b] es el conjunto ordenado y finito de números reales:

y = f (x )

P = {x0, x1, x2, …, xn } de manera que se verifica: a = x0 < x1 < x2 < … < xn = b Una partición con n + 1 puntos divide al intervalo [a, b] en n subintervalos:

M1

[x0, x1] [x1, x2 ] [x2, x3 ] . . . [xn – 1, xn ] cuyas amplitudes no tienen por qué ser iguales.

…

m1

O

a = x0 x1

x2 x3

x4

x5

x6

…

xn –1

xn = b

X

Dividimos el intervalo [a, b], mediante una partición P, en n subintervalos de amplitudes no necesariamente iguales. Cada uno de estos subintervalos [xi, xi+1] da lugar a dos rectángulos de igual base, la amplitud del intervalo, y de altura el valor mínimo mi y el máximo Mi que toma la función en ese subintervalo, y que existen por ser continua la función. Calculamos la suma de las áreas, S(P), de los rectángulos superiores, llamada suma superior de f asociada a la partición P: S(P) = (x1 – x0)M1 + (x2 – x1)M2 + (x3 – x2)M3 + … + (xn – xn – 1)Mn = =

n

¨ (x

i

i =1

x i 1 ) Mi

y la suma de las áreas, s(P), de los rectángulos inferiores, llamada suma inferior de f asociada a la partición P: s(P) = (x1 – x0)m1 + (x2 – x1)m2 + (x3 – x2)m3 + … + (xn – xn – 1)mn = =

n

¨ (x i =1

i

x i 1 )m i

Los valores s(P ) y S(P) son valores aproximados por defecto y por exceso del área A del recinto, es decir: s(P ) f A f S(P ) Con el fin de mejorar las aproximaciones s(P ) y S(P ), construimos una sucesión de particiones tales que cada una esté contenida en la siguiente, lo que quiere decir que cada nueva partición contiene más subintervalos: P1 P2 … Pn …

Y

Integrales definidas. Aplicaciones

239

Para cada partición Pi , obtenemos la suma de las áreas S(Pi ) de los rectángulos superiores y la suma de las áreas s(Pi ) de los rectángulos inferiores.

Convergencia de las sucesiones monótonas y acotadas

Debido a la forma en que hemos construido la sucesión de las particiones, (Pn ) = (P1, P2, …, Pn , …), la sucesión (S(Pn )) = (S(P1), S(P2), …, S(Pn ), …) es decreciente y la sucesión (s(Pn )) = (s(P1), s(P2), …, s(Pn ), …) es creciente:

• Toda sucesión monótona creciente y acotada superiormente tiene límite, es decir, es convergente. • Toda sucesión monótona decreciente y acotada inferiormente tiene límite, es decir, es convergente.

S(P1) v S(P2) v … v S(Pn ) v … s(P1) f s(P2) f … f s(Pn ) f … La sucesión (S(Pn)), además de ser decreciente, está acotada inferiormente por A; por tanto, esta sucesión es convergente. La sucesión (s(Pn)), además de ser creciente, está acotada superiormente por A; por tanto, también es convergente. Además, los límites a los que tienden ambas sucesiones son iguales y coinciden con el área A del recinto definido: lím s(Pn ) = A = lím S(Pn )

n q+h

n q+h

ACTIVIDADES RESUELTAS 2. Consideramos el intervalo [0, 2] y la partición en el intervalo P = {0; 0,5; 1; 1,5; 2} para la función: y =

1 3 9 x 3x 2 + x + 2 2 2

a) Representa gráficamente estos datos. b) Halla las sumas inferior y superior de esta función asociadas a la partición P. a) La función dada pasa por el punto (0, 2) y tiene un mínimo relativo en el punto (3, 2) y un máximo relativo en el punto (1, 4).

4

Y

3

Su gráfica y los rectángulos a que da lugar la partición del enunciado están representados en la imagen adjunta. b) Hacemos una tabla de valores para la partición dada: x

0

0,5

1

1,5

2

y

2

3,56

4

3,69

3

De modo que las sumas inferiores y superiores de esta función asociadas a la partición P vienen representadas en la gráfica por los rectángulos rayados y tramados y valen:

2

1

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

X

s(P) = (0,5 – 0) · 2 + (1 – 0,5) · 3,56 + (1,5 – 1) · 3,69 + (2 – 1,5) · 3 = 6,125 S(P) = (0,5 – 0) · 3,56 + (1 – 0,5) · 4 + (1,5 – 1) · 4 + (2 – 1,5) · 3,69 = 7,625

Y

Unidad 10

240

3. Integral definida. Propiedades

Acabamos de ver que para una función continua en [a, b] y definida positiva en el mismo intervalo, el área del recinto limitado por la gráfica de la función, el eje OX y las rectas de ecuaciones x = a y x = b, viene dada por:

Función definida positiva en [a, b] Y

A = lím S(Pn ) = lím s(Pn )

y = f (x )

n q+h

donde S(Pn ) es la suma de las áreas de los rectángulos superiores y s(Pn ) es la suma de las áreas de los rectángulos inferiores para la partición Pn .

A O

n q+h

a

b

X

f(x) > 0 x [a, b]

Manteniendo todas las hipótesis, excepto la de ser f definida positiva en [a, b], se puede demostrar que se sigue manteniendo la igualdad de los dos límites. El número A se llama integral definida de la función f en el intervalo [a, b].

b

A=

µ f (x) dx

• Para una función f continua en el intervalo [a, b] definimos la integral definida de la función f en el intervalo [a, b] de la siguiente forma:

a

µ Función definida negativa en [a, b] a

a

f (x) dx = lím S(Pn ) = lím s(Pn ) n q+h

n q+h

El número b se llama límite superior de integración y el número a se llama límite inferior de integración. La función f(x) se denomina función integrando.

Y

b

b

O

X

A continuación vamos a estudiar las principales propiedades de la integral definida.

A

Propiedades y = f (x )

1. Si los límites de integración son iguales, la integral es nula: a

f (x) < 0 x [a, b]

µ f (x) dx = 0 a

b

µ

A = – f (x) dx a

2. Si f es definida positiva en [a, b], la integral definida en este intervalo representa el área del recinto correspondiente y la integral es positiva: b

µ f (x) dx > 0

a

Función que cambia el signo en [a, b]

Si f es definida negativa en [a, b], el valor opuesto de la integral definida en este intervalo representa el área del recinto correspondiente y la integral es negativa:

Y y = f (x )

b

A1 O

a

A = – µ f (x) dx a

A3 c

d

b

A2

X

A = A1 + A2 + A3 A=

c

d

b

a

c

d

µ f(x) dx – µ f (x) dx + µ f(x) dx

con

b

µ f (x) dx < 0 a

Si f cambia de signo en el intervalo [a, b], la integral definida de f en este intervalo representa la suma algebraica de las áreas de los recintos correspondientes. Es decir, la suma de las respectivas integrales definidas, afectadas del signo correspondiente, nos da el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje OX y las rectas de ecuaciones x = a y x = b, tal y como podemos ver en el margen.

Y

Integrales definidas. Aplicaciones

241

3. Si c es un punto interior al intervalo [a, b], se verifica: c

b

b

a

c

a

µ f (x) dx + µ f (x) dx = µ f (x) dx Mediante la interpretación geométrica de la integral definida y si f es definida positiva en [a, b], fácilmente puede visualizarse esta propiedad, pues equivale a afirmar que el área del recinto total es la suma de las áreas de los recintos parciales. Y

y = f (x ) A2

Bernhard Riemann (1826-1866)

A1 O

a

c

A = A1 + A2

b

c

b

b

a

c

a

X

µ f (x) dx + µ f (x) dx = µ f (x) dx

Esta propiedad es generalizable al tomar más puntos interiores en el intervalo [a, b]. 4. Al intercambiar los límites de integración, la integral definida cambia de signo: b

a

a

b

µ f (x) dx = – µ f (x) dx Esta propiedad se puede demostrar fácilmente a partir de las propiedades 1 y 3 que acabamos de ver: b

a

a

b

µ f (x) dx + µ f (x) dx

(3)

a

µ f (x) dx

=

a

(1)

= 0

5. La integral definida de la suma o diferencia de dos funciones es la suma o diferencia de las integrales definidas de ambas funciones: b

b

b

a

a

a

Matemático alemán, uno de los alumnos aventajados de Gauss. Su principal contribución a las matemáticas consistió en el desarrollo de una de las geometrías no euclídeas. Su nombre también aparece ligado al concepto de integral.

µ [ f (x) ± g(x)] dx = µ f (x) dx ± µ g (x) dx 6. Si K es un número real, se verifica: b

b

a

a

µ K · f (x) dx = K · µ f (x) dx 7. Si f(x) f g(x) x [a, b], entonces se verifica: b

b

a

a

µ f (x) dx f µ g(x) dx Y

Unidad 10

242

Isaac Barrow (1630-1677), matemático inglés, el primero en ocupar la prestigiosa Cátedra Lucasiana. Esta cátedra fue creada en 1663 por el comerciante inglés Henry Lucas (1610-1663) en la Universidad de Cambridge. Barrow fue profesor de Newton, y en 1669 renunció a su cátedra en favor de este. A Barrow se le debe la famosa frase: «La Matemática: el inconmovible Fundamento de todas las Ciencias y la generosa Fuente de Beneficios para los asuntos humanos». En la imagen, la portada de una de las publicaciones matemáticas de Barrow.

6. Regla de Barrow En el epígrafe anterior hemos visto el concepto de integral definida como suma algebraica de áreas de recintos planos. En la práctica necesitamos un procedimiento que nos permita calcular integrales definidas. En el siglo XVII, el matemático inglés Isaac Barrow dio una regla que lleva su nombre y que permite calcular integrales definidas a partir de las indefinidas. La regla de Barrow dice: • La integral definida de una función f continua en el intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia de los valores que toma una primitiva F cualquiera en los extremos superior e inferior del intervalo [a, b]. Se denota por: b

b

a

a

µ f (x) dx = [F(x)]

= F(b) – F(a)

F(x) es una primitiva cualquiera de f(x). Cálculo de integrales definidas • Para calcular integrales definidas

b

µ f (x)dx, seguimos estos pasos: a

1. Calculamos la integral indefinida correspondiente µ f (x) dx = F(x) + C. 2. Tomamos una primitiva cualquiera, en particular podemos hacer C = 0 y tomar F(x). 3. Calculamos la integral definida aplicando la regla de Barrow.

ACTIVIDADES RESUELTAS 3. Calcula

µ

4 0

(4x – x2)dx.

Para calcular la integral definida pedida seguimos los siguientes pasos:

4

• Calculamos la integral indefinida correspondiente:

2

• Tomamos, por comodidad, la primitiva que resulta de hacer C = 0, y que es:

1

( 4 x – x 2 )dx = 2x 2

F ( x ) = 2x 2

3

x 3

0

• Calculamos la integral pedida aplicando la regla de Barrow: 4

µ

4 0

冢

冣冢

冣

¬ x3 ¼ 43 03 32 2 (4x – x2)dx = 2x 2 2 02 = = 10, 7 ½ = 2 4 3 3 3 3 ® ¾0

Este valor es el área del recinto sombreado de la figura.

y = 4x – x2

3

x3 +C 3

µ

Y

1

2

3

4

X

Y

Integrales definidas. Aplicaciones

243

ACTIVIDADES RESUELTAS 4. Calcula

µ

3 –2

(3x 2 – 2x + 7) dx.

µ

La integral indefinida correspondiente es: (3x 2 – 2x + 7) dx = x 3 – x 2 + 7x + C. Tomamos la primitiva que resulta de hacer C = 0 y aplicamos la regla de Barrow:

µ

3 –2

3

(3x 2 – 2x + 7) dx = [ x 3 – x 2 + 7x ] –2 = (33 – 32 + 7 · 3) – [ (–2)3 – (–2)2 + 7(–2)] = 39 + 26 = 65

5. Calcula la integral definida

µ

1 0

4x · 2x dx.

Determinamos la integral indefinida por el método de integración por partes: 2x dx =

µ 4x u

dv

4 x 2x ln 2

µ

4 2x 4 x 2x 4 2x 2 +C dx = ln 2 ln 2 ln 2

u = 4x ¡ du = 4 dx dv = 2x dx ¡ v =

2x ln 2

Tomando C = 0, aplicamos la regla de Barrow a la primitiva correspondiente: 1

µ

¬ 4 x 2x 4 2x ¼ 4x · 2x dx = 2 ½ = 0 ln 2 ¾0 ® ln 2 1

6. Calcula la integral definida

µ

10

5

x

冢 4 ln 12 2 4ln 22 冣冢 4 ln0 2 2 1

1

0

2

4 20 ln2 2

冣 = 8 lnln2 2 4 2

dx .

x 1

Calculamos la integral indefinida por el método de integración de cambio de variable: x – 1 = t 2 ¡ dx = 2t dt x

µ

x 1

dx =

x

µ

t2

2t dt =

µ 2(t

2

+ 1) dt =

2t 3 2 ( x 1)3 + 2t + C = + 2 x 1+ C 3 3

Aplicamos la regla de Barrow:

µ

10

5

10

¬ 2 ( x 1)3 ¼ dx = + 2 x 1½ = 3 ® ¾5 x 1 x

冢 2 33

冣冢 2 32

3

+ 23

冣

3

+ 22 =

44 3

También puede resolverse la integral definida en función de la nueva variable, cambiando los límites de integración. Operando de esta forma obtenemos: x 1= t2 ¡ t =

µ

10

5

x x 1

dx =

µ

3

¯² x = 10 ¡ t = 10 1 = 3 x 1 ¡ ° ²± x = 5 ¡ t = 5 1 = 2 3

¬ 2t 3 ¼ 2(t 2 + 1) dt = + 2t ½ = 3 ® ¾2 2

冢 2 33

3

冣冢 2 32

+ 23

3

冣

+ 22 =

44 3

Y

Unidad 10

244

5. Área encerrada por una curva Para determinar el área del recinto limitado por la gráfica de una función, el eje OX y las rectas de ecuación x = a y x = b, consideramos tres casos distintos según como sea el signo de la función en el intervalo [a, b]. Tenemos en cuenta la propiedad segunda de la integral definida. • Si f es definida positiva en [a, b], el área del recinto correspondiente es: Y y = f (x )

A=

O

a

b

X

Puntos a tener en cuenta en el cálculo del área bajo una curva 1. Representación gráfica de la función f.

• Si f es definida negativa en [a, b], el área del recinto correspondiente es: Y

2. Delimitación del recinto cuya área deseamos calcular.

a

b

O

X

3. Estudio del signo de la función f en el intervalo correspondiente.

A

b

A = – µ f (x) dx

4. Utilización, en el caso de que exista, de la simetría en el recinto.

a

f (x) f 0 x [a, b]

Ejemplo: y = f (x )

Y

f par

A1 –a

a

f (x) v 0 x [a, b]

A

b

µ f (x) dx

A2 a X

0

• Si f cambia de signo en el intervalo [a, b], el área del recinto correspondiente es la suma de las integrales definidas afectadas de los respectivos signos. Y

A = A1 + A2 =

µ

0

–a

a

f dx +

µ f dx

y = f (x )

0

Utilizando la simetría:

A3

A1 a

A = 2A2 = 2

µ f dx

O

c

0

d

a

b A2

A = A1 + A2 + A3 A=

c

d

b

a

c

d

µ f (x) dx – µ f (x) dx + µ f (x) dx

X

Y

Integrales definidas. Aplicaciones

245

ACTIVIDADES RESUELTAS 7. Halla el área del recinto limitado por la gráfica de la función f (x) = –x 2 + 4x y el eje OX.

Y y = –x 2 + 4 x 4

Una vez representada la función, obtenemos el recinto cuya área queremos hallar. Este recinto está delimitado por la gráfica de la función, el eje OX y las rectas de ecuaciones x = 0 y x = 4. 2

Como f es definida positiva en [0, 4], el área del recinto es: A=

µ

4 0

4

3

¬ x ¼ (–x 2 + 4x) dx = + 2x 2 ½ = ® 3 ¾0 =

A

冢 3 + 2 4 冣冢 3 + 2 0 冣 = 4

3

3

0

2

2

32 unidades cuadradas (u2) 3

0

2

8. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) = x3 – 3x y el eje OX.

4

Y 2

Una vez representada la gráfica de la función f (x) = x3 – 3x, señalamos el recinto cuya área queremos hallar y obtenemos que el área buscada es:

y = x 3 – 3x

1

A = A1 + A2 =

µ

0

3

3

(x – 3x) dx –

0

¬ x 4 3x 2 ¼ = ½ ®4 2 ¾

µ

3

0

A1

3

(x – 3x) dx =

1 –2

3

3

¬ x 4 3x 2 ¼ 9 2 ½ = u ®4 2 ¾0 2

–1

– 3

También podemos calcular el área utilizando la simetría de la función: A = 2A 1 = 2

X

0

2

A2 –1

X

3

–2

9 9 2 = u 4 2

9. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) = sen x, el eje OX y las rectas de ecuaciones x = –U y x = 2U. Una vez representada la gráfica de la función f(x) = sen x, señalamos el recinto cuya área queremos hallar. Y 1 y = sen x

A2 –U

U

0

A1

A3

2U X

–1

Y obtenemos que el área buscada es: A = A1 + A2 + A3 = –

µ

0 –U

sen x dx +

µ

U 0

sen x dx –

µ

2U

U

sen x dx = 6 u2

Utilizando la simetría de la función, también podemos calcular el área: A = 3A2 = 3

µ

U 0

U

sen x dx = 3[ – cos x ]0 = 3[ (– cos U ) – (– cos 0)] = 3 · 2 = 6 u2

Y

Unidad 10

246

6. Área encerrada por dos curvas El área del recinto limitado por las gráficas de dos curvas, f y g, y las rectas de ecuaciones x = a y x = b, siendo f (x) v g(x) x [a, b], viene dada por: A=

b

µ [ f (x) – g(x)] dx; a

f (x) v g (x) x [a, b]

Y y = f (x )

O

a

b

X

A

y = g (x ) Y B y = f (x )

Demostración Consideramos dos casos:

D

• Cuando f(x) v g(x) v 0 x [a, b], es decir, ambas funciones son definidas positivas en [a, b]. A

En este caso, según vemos al margen, el área A del recinto es: A = área del recinto (abDB) – área del recinto (abCB) =

C y = g (x ) O

a

b

=

X

Y

b

b

b

a

a

a

µ f (x) dx – µ g (x) dx = µ [ f (x) – g(x)] dx

• Cuando f(x) v g(x) x [a, b] y no necesariamente las funciones positivas en [a, b].

y = F (x ) = f (x ) + C

En este caso definimos dos funciones en [a, b] sin más que ha positivas cer una traslación de vector v = 0 i + C j con C suficientemente grande para que las funciones resultantes F y G sean definidas positivas en [a, b]. Entonces:

A.

y = G (x ) = g (x ) + C

F(x) = f (x) + C ¿ À F(x) v G(x) v 0 x [ a , b ] G(x) = g(x) + C Á De esta forma, y teniendo en cuenta el caso anterior, podemos poner:

y = f (x ) O

a

A = A. = b X

A

b

b

a

a

µ [ F(x) – G(x)] dx = µ [ (f (x) + C) – (g (x) + C)] dx = =

b

µ [ f (x) – g(x)] dx a

Es decir, queda demostrado también en este caso que: y = g (x )

A=

b

µ [ f (x) – g(x)] dx a

Y

Integrales definidas. Aplicaciones

247

ACTIVIDADES RESUELTAS 10. Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f (x) = –x 2 + 4x y g(x) = 3.

Y f (x ) = – x 2 + 4 x

4

Representamos las gráficas de ambas funciones y observamos que para calcular el área del recinto necesitamos conocer los puntos de corte de ambas gráficas:

A 3

y = x 2 + 4 x ¿² 2 À ¡ x + 4 x = 3 ¡ x = 1, x = 3 y =3 Á²

g (x ) = 3

2

1

Como en el intervalo [1, 3] es f (x) v g (x), el área del recinto vale: A=

µ

3 1

[f(x) – g (x)] dx = 3

¬ x3 ¼ = + 2x 2 3 x ½ = ® 3 ¾1

冢 33 + 2 3

µ

3 1

1

2

3

4

X

冣冢 13 + 2 1 3 1冣 = 43 u

3

2

0

[(–x 2 + 4x) – 3] dx = 3

33

2

2

11. Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f (x) = x 2 – 9 y g(x) = x 4 – 9x 2. Representamos las funciones gráficamente. Por ser ambas funciones pares o simétricas respecto del eje OY, el problema se reduce al cálculo de las áreas A1 y A2.

Y –3

–2

–1

1

0

2

X

Determinamos las abscisas de los puntos de corte de ambas gráficas: y = x2 9

¿² 2 4 2 À ¡ x 9 = x 9x 4 2 y = x 9 x Á²

3

y = x2 – 9

Las soluciones de esta ecuación bicuadrada son x = –1, x = 1, x = –3, x = 3 y, por tanto, los puntos de corte son:

–3

(–3, 0) ; (–1, –8) ; (1, –8) ; (3, 0) Las áreas A1 y A2 valen: A1 + A2 =

µ

1 0

[g (x) – f (x)] dx +

µ

3 1

[f(x) – g(x)] dx = –6

392 2 = [(x 4 – 9x 2) – (x 2 – 9)] dx + [(x 2 – 9) – (x 4 – 9x 2)] dx = u 0 1 15

µ

1

µ

3

A.1

A1

El área del recinto vale: A = A1 + A.1 + A2 + A.2 = 2(A1 + A2) = 2 ·

392 784 2 = u = 52, 26 u2 15 15

A.2

A2 –9

También se podría haber calculado el área de este recinto de la siguiente forma: A= +

µ

1 0

µ

–1 –3

[(x 2 – 9) – (x 4 – 9x 2)] dx +

[(x 4 – 9x 2) – (x 2 – 9)] dx +

µ

3 1

µ

0 –1

[(x 4 – 9x 2) – (x 2 – 9)] dx +

[(x 2 – 9) – (x 4 – 9x 2)] dx = 52,27 u2 y = x 4 – 9x 2

Y

Unidad 10

248

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Medias aritmética y geométrica Demuestra que si a y b son dos números reales positivos, entonces

ab f

a+b . 2

FAMILIARIZACIÓN CON EL PROBLEMA El enunciado no deja lugar a dudas. Experimentamos en la desigualdad con algunos casos particulares: • Si a = 3 y b = 12, tenemos: ab = 3 12 = 36 = 6 y

a + b 3 + 12 15 = = = 7,5 2 2 2

• Si a = b, tenemos: ab =

aa =

a2 = a y

a + b a + a 2a = = =a 2 2 2

Observamos que las expresiones solo coinciden cuando los números son iguales.

BÚSQUEDA DE ESTRATEGIAS Nos resulta difícil llegar de la hipótesis (dos números reales positivos cualesquiera) a la tesis (la desigualdad). En este caso vamos a intentar transformar la tesis sin perder de vista la hipótesis.

LLEVAR ADELANTE LA ESTRATEGIA Partimos de la desigualdad que queremos demostrar, y trasponiendo el término de la izquierda obtenemos una desigualdad equivalente: a+b ab v 0 2 Y eliminando el denominador: a + b 2 ab v 0 Como en la hipótesis nos dicen que a y b son dos números reales positivos, podemos poner m = a y n = b ; así, la última expresión obtenida es igual a: m2 + n2 – 2mn v 0 Evidentemente, esta es cierta ya que: m2 + n2 – 2mn = (m – n)2 Por tanto, recorriendo el camino inverso, vemos que de la última desigualdad llegamos a lo que nos piden.

REVISAR EL PROCESO Y SACAR CONSECUENCIAS DE ÉL

a+b 2 ab

Observamos que en la demostración no hemos recorrido el camino directo que nos lleva de las hipótesis a la tesis, sino que hemos ido variando la expresión de la tesis a otras equivalentes, y una de estas es la que hemos conseguido demostrar. Este procedimiento tiene un cierto parecido con la estrategia de resolución de problemas que denominamos trabajar marcha atrás, que estudiamos en la unidad didáctica 7. Analizando la desigualdad observamos que, dados dos números a y b cualesquiera, la exa+b presión es su media aritmética y ab es su media geométrica. La desigualdad que 2 hemos probado se denomina desigualdad aritmético-geométrica, y podemos observarla en la figura del margen.

Y

Integrales definidas. Aplicaciones

249

Teoremas Todo teorema tiene dos partes bien diferenciadas, el enunciado y la demostración. A su vez, en el enunciado distinguimos también dos partes, la hipótesis, o conjunto de condiciones previas, y la tesis, o conclusión. ¯ ¯Hipótesis ²Enunciado ° Teorema ° ²±Tesis ² ±Demostración

Teoremas asociados a uno dado. A partir de un teorema, que llamamos directo, cuya hipótesis denotamos por H y la tesis por T, encontramos los siguientes teoremas relacionados con él: • Teorema directo. Si se verifica H, entonces se verificará T; se escribe: H ¡ T. • Teorema contrario. Si no se verifica H, entonces no se verificará T; se escribe: no H ¡ no T.

La demostración de un teorema es un conjunto de razonamientos, o deducción lógica, que nos lleva de la hipótesis a la tesis.

• Teorema recíproco. Si se verifica T, entonces se verificará H; se escribe: T ¡ H. • Teorema contrarrecíproco. Si no se verifica T, entonces no se verificará H; se escribe: no T ¡ no H.

TEOREMA DIRECTO H¡T

RECÍPROCOS

CONTRARIOS

CONTRARRECÍPROCOS

CONTRARIOS

En el esquema vemos la relación entre estos teoremas:

TEOREMA CONTRARIO no H ¡ no T

RECÍPROCOS

TEOREMA CONTRARRECÍPROCO no T ¡ no H

Relaciones entre los teoremas asociados. Las relaciones que se verifican entre los teoremas asociados son las siguientes: • El teorema directo y el contrarrecíproco son ambos ciertos o ambos falsos.

TEOREMA RECÍPROCO T¡H

• El teorema recíproco y el contrario son ambos ciertos o ambos falsos. Ambas relaciones se pueden unificar en una que afirma que dos teoremas contrarrecíprocos son equivalentes, es decir, la validez (o no validez) de uno de ellos implica la validez (o no validez) del otro, y viceversa.

A C T I V I D A D E S 䊏 Utiliza los conceptos asociados a los teoremas en la resolución de los siguientes problemas: 1. Teoremas. A partir del siguiente enunciado, que es un teorema directo, enuncia el recíproco, el contrario y el contrarrecíproco: «La suma de dos números naturales impares es un número par.» 2. Desigualdad. Demuestra que si a y b son dos números reales positivos, entonces se verifica la siguiente desigualdad: 2 f 1 1 + a b

ab

Y

Unidad 10

250

NUEVAS TECNOLOGÍAS Matemáticas de Microsoft es un programa informático que permite resolver la integral indefinida de cualquier función así como calcular integrales definidas y hallar áreas de recintos planos.

Integrales con Matemáticas de Microsoft RESOLUCIÓN DE INTEGRALES INDEFINIDAS Vamos a calcular la siguiente integral:

µ (3x

2

– 6) e2x dx.

Como vemos al margen, en la barra de herramientas de «Cálculo» de la Calculadora se encuentra la tecla correspondiente a las integrales indefinidas. Con esta tecla podemos escribir, en la ventana de entrada de datos, la integral de la función que queremos hallar, y pulsando la tecla aparece la solución de la integral en el área de trabajo:

Podemos comprobar fácilmente que la solución es correcta sin más que hallar la derivada de esta función, mediante la opción que nos da esta misma ventana.

CÁLCULO DE ÁREAS DE RECINTOS PLANOS Vamos a calcular el área limitada por las gráficas de las funciones: y = x3

y = 2x – x 2

Primero representamos gráficamente ambas funciones y observamos el recinto comprendido entre ellas, cuya área queremos calcular. En la barra de herramientas de «Cálculo» elegimos la tecla de la integral definida, y la escribimos tal como vemos en la imagen:

PRACTICA con Matemáticas de Microsoft la resolución de las tres primeras filas de la actividad 3 y la actividad 14.

,

Y

Integrales definidas. Aplicaciones

251

EN RESUMEN 1

a

µ f(x) dx = 0 a

2 Y

Y O

a

b X

A

a

b

X

f (x) v 0 x [a, b] A= 3

5 6

A O

µ µ µ

4

µ

b a

f (x) f 0 x [a, b]

f(x) dx

A=–

c

b

b

a

c

a

µ f(x) dx + µ f (x) dx = µ

µ

b a

b a b

f (x) dx = –

µ

a b

f (x) dx

[ f (x) ± g(x)] dx = a

b

b

a

a

b

b

a

µ f (x) dx ± µ g(x) dx [ K · f(x)] dx = K · µ f(x) dx K R a

7 Si f (x) f g(x) x [a, b], se verifica:

µ

f(x) dx = 0

b a

f(x) dx f

µ

b a

g(x) dx

f(x) dx c [a, b] propiedades

INTEGRAL DEFINIDA se calcula con la

REGLA DE BARROW f continua en [a, b] ¡

µ

b a

f(x) dx =

b

= [ F(x)] a = F(b) – F(a); F es una primitiva cualquiera de f ÁREA ENCERRADA POR UNA CURVA Y

ÁREA ENCERRADA POR DOS CURVAS Y

y = f (x)

A3

A1 a O

aplicaciones

y = f (x)

c

A2

d

b X

a

O

b

A

X

y = g (x)

A = A1 + A2 + A3 = =

c

d

b

a

c

d

µ f (x) dx – µ f(x) dx + µ

f(x) dx

f(x) v g(x) x [a, b] A =

b

µ [f(x) – g(x)] dx a

AMPLÍA CON… En el libro Carnaval matemático (Alianza Editorial), de Martin Gardner, nos encontramos trucos de naipes, juegos con monedas, el hipercubo de cuatro dimensiones, estrellas mágicas, el arte de Escher, empaquetamientos de cuadrados, el triángulo de Pascal, juegos de tableros y fichas, la superelipse del creador de juegos Piet Hein o algunas soluciones ingeniosas al problema clásico de la trisección de un ángulo. Martin Gardner fue, durante más de veinte años, el autor de las páginas de juegos y pasatiempos matemáticos de la revista Investigación y Ciencia. Considerado uno de los mejores creadores y comentaristas de cuestiones relacionadas con las matemáticas recreativas, sus desafíos y divertimentos en forma de problemas, rompecabezas, trucos y paradojas llenan miles de páginas.

Y

Unidad 10

252

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD RESUELTAS Dada la función f ( x ) = x +

a donde a es una constante, encuentra a sabiendo que: x3

µ

2 1

f (x) dx = 1,5

Encontramos las primitivas de f(x):

µ

a x2 a dx = +C 2 2x 2 x3

µ冢冣 x+

f (x) dx =

Imponemos la condición del enunciado, a través de la regla de Barrow: 2

µ

2 1

¬ x2 a ¼ f ( x ) dx = 15 , ¡ 2 ½ = 15 , 2 ® 2x ¾ 1

Sustituyendo los valores correspondientes, obtenemos:

冢2 8冣冢 2 2冣 = 15, a

Calcula

µ

1

0

1

a

¡a=0

x2 dx . ¿Cuál es el significado geométrico del valor de esa integral? x +1

Obteniendo una primitiva del integrando y aplicando la regla de Barrow:

µ

1

0

x2 dx = x +1

1

µ冢

x 1+

0

Como en el intervalo [0, 1] la función f ( x ) =

1

¬ x2 ¼ 1 1 dx = x + In x + 1 ½ = + In 2 = 0,193 ®2 ¾0 2 x +1

冣

x2 es positiva, la integral x +1

el eje OX y las rectas x = 0 y x = 1.

1

µ f (x) dx representa el área encerrada por la función, 0

Un objeto cae desde un avión con velocidad de caída vertical v = 10 + 32t metros por segundo (t = tiempo en segundos). A los 10 segundos todavía no ha llegado al suelo. ¿Qué se puede afirmar sobre la altura a la que vuela el avión? La velocidad es la derivada del espacio respecto del tiempo; por tanto, se verifica: v = h.(t) donde h es el espacio recorrido por el objeto desde el instante en que se cae del avión (t = 0), hasta el momento t que consideremos. El problema afirma que a los 10 segundos el objeto no ha llegado al suelo, por lo cual la altura a la que vuela el avión será mayor que el espacio recorrido por el objeto hasta ese instante. Este espacio vale: v = h.(t) = 10 + 32t

¡

h(10) =

µ

10 0

h.(t) dt =

µ

10 0

(10 + 32t) dt

Resolvemos esta integral definida: h(10) =

µ

10 0

2 (10 + 32t) dt = [10t + 16t 2]10 0 = 10 · 10 + 16 · 10 = 1 700 metros

Es decir, el avión vuela a una altura superior a los 1 700 metros.

Y

Integrales definidas. Aplicaciones

253

Una empresa estima que la tasa de variación de gastos de mantenimiento y renovación por informáticos viene dada por la función m(t) = 4t2 + 10t + 10 donde t se mide en años y m en cientos de euros/año. a) Dibuja la gráfica y haz una interpretación. m (t)

b) Halla el área encerrada entre la curva anterior y el eje de abscisas, entre los valores t = 0 y t = 5. ¿Qué representa el resultado?

cientos euros/año 150

a) La gráfica de la función es una parábola que:

100

– corta al eje de ordenadas en (0, 10); – su vértice es el punto (–1,25; 3,75).

50

La gráfica de la función solo tiene sentido para valores de t v 0, por ser t el tiempo en años.

10

En t = 0, m(t) = 1 000 euros, que son los gastos iniciales y, a medida que van pasando los años, la tasa de variación de gastos aumenta según la parábola de la gráfica.

–5

0

5

X

10

b) El área buscada es: 5

µ

¬ 4t 3 ¼ + 5t 2 + 10t ½ = 3417 , cientos de euros (4t 2 + 10t + 10) dt = 0 ® 3 ¾0 5

En los cinco primeros años la empresa se ha gastado en el mantenimiento de sus equipos informáticos 34 170 euros.

Y

Calcula el área del recinto de R2 limitado por dos parábolas de ecuaciones y = x 2 – 2x y y = –x 2 + 4x.

y = f (x ) = – x 2 + 4 x

4

Representamos gráficamente las dos parábolas y delimitamos el recinto cuya área queremos calcular. Determinamos los puntos de corte de ambas parábolas: 2

y = x 2 2x ¿² ¯x = 0 2 2 À ¡ x 2x = x + 4 x ¡ ° 2 y = x + 4 x Á² ±² x = 3

A

Por tanto, los puntos de corte son (0, 0) y (3, 3). –1

Por ser f(x) v g(x) x [0, 3]: A=

3

3

0

0

µ [f(x) – g(x)] dx = µ [(–x 3

¬ 2x 3 ¼ = + 3x 2 ½ = ® 3 ¾0

冢

2

+ 4x) – (x2 – 2x)] dx =

2 33 + 3 32 3

冣冢

3

µ (–2x 0

2 03 + 3 02 3

2

0

1 –1

+ 6x) dx =

2

3

4

X

y = g (x ) = x 2 – 2 x

冣 = 18 + 27 = 9 u

2

Es decir, el área del recinto limitado por estas dos parábolas vale 9 unidades cuadradas.

Y

Unidad 10

254

ACTIVIDADES FINALES EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1. Se considera la función f (x) = 16 – x 2 en el intervalo I = [–1, 4] y la partición de dicho intervalo dada por P = {–1, 0, 2, 4}. Encuentra de forma razonada el valor de las sumas superior e inferior correspondientes a f y a dicha partición P.

2. Una función creciente verifica que f (1) = 1, f (2) = 3 y f (13) = 10. Halla de forma razonada la suma superior y la inferior correspondientes a la función f en el intervalo [1, 3] respecto a la partición P = {1, 2, 3}.

3. Calcula las siguientes integrales definidas: a)

b)

µ µ

6

1

4 dx

f)

x +3

2

3 x 3 x 2 3dx

g)

–2

c)

d)

e)

µ µ µ

µ µ

5

ln x dx x 3 1

0

h)

ex dx ex + 2

i)

1

4x 4 dx 2 ( x + 2) –1

¯²1 x 4. Dada la función f ( x ) = ° 2 ²± x

j)

si x < 0 si x v 0

µ

µ µ

2x + 4 dx x2 1

k)

µ

0

x2 + 1 dx x3 x

l)

µ

–50

m)

µ

0

dx con b > 0 x+b

n)

µ

–1

x dx x+2

ñ)

4

2 5

2

4

9 + 4 x dx

0

b

0 2

–1

µ

, halla

3

–1

2

4x 2 (1 + x 3)5 dx

50

1

0

3

µ

2

(x63 + x11) dx

24 · 2x dx

x · e x dx

dx x x +1

f(x) dx. 1

5. El polinomio de grado dos P(x) = x2 + Ax + B verifica que se anula para x = 2 y, además, se sabe que Halla los coeficientes A y B razonadamente.

6. Calcula las siguientes integrales definidas; puedes ayudarte de las representaciones gráficas: 2

a)

µ

0

b)

µ

0

3 · dx

c)

µ

2x · dx

d)

µ

3

3 1

2x · dx

e)

µ

|x| · dx

f)

µ

2

–2

2U 0

3 –3

sen x · dx

x3 dx

7. Sea la función F(x) = x4 + ax3 + bx. Calcula a y b sabiendo que: • El punto (1, 2) pertenece a la gráfica de F(x). • F(x) es función primitiva de cierta función f (x) cuya integral en el intervalo [1, 2] es igual a 10.

µ P(x) dx = 4. 0

Y

Integrales definidas. Aplicaciones

255

8. Obtén el área de cada una de las siguientes regiones sombreadas: Y

Y y = x2

y = x2

y=1

2

0

X

0

1

3

X

9. Halla el área del recinto limitado por la recta y = 3x + 2, el eje OX y las rectas x = 1 y x = 3. Comprueba el resultado por métodos geométricos. 10. Calcula el área del recinto limitado por la parábola y = x2 – 4x y el eje OX. 11. Calcula el área del recinto limitado por la parábola y = 4x – x2 y el eje OX. 12. Halla el área de la región limitada por la curva y = x3 – 8x2 + 7x, el eje OX y las rectas x = 2 y x = 7. 13. Calcula el área de la región limitada por la hipérbola xy = 36, el eje OX y las rectas de ecuaciones x = 6 y x = 12. 14. Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de las siguientes funciones: a) y = x2 y = 16

c) y = |x2 – 4| y=4

e) y = x2 y = 2x

b) y = 6x – x2 y = x2 – 2x

d) y = 4 – x2 y=x+2

f) y = x3 y = –x2 + 2x

15. Calcula la superficie de un panel publicitario que tiene la siguiente forma: base horizontal de 10 metros de longitud y resto del contorno limitado por la función: ²¯ x 2 + 6 x si 0 f x f 5 g( x ) = ° ±² x + 10 si 5 < x f 10 16. La parábola y = a(x2 – 2x), con a > 0, delimita con el eje OX un recinto de 12 unidades de superficie. Halla el valor de a. 17. La entrada de un nuevo producto alimenticio en el mercado crece de forma exponencial de modo que la cantidad, en gramos, vendida diariamente en un establecimiento se ajusta a la función: t

f (t ) = 100 e 30 en la cual t representa el tiempo, en días, desde que el producto es lanzado al mercado. Calcula el total de gramos vendidos en los 90 primeros días, es decir:

µ

90 0

f(t ) dt

Y

Unidad 10

256

ACTIVIDADES FINALES ACCESO A LA UNIVERSIDAD 18. Calcula el valor de a para que se cumpla

µ

U /2 0

(x + a) cos x dx =

U 1. 2

19. Dada la función f(x) = 4x3 + 10x + 8: a) Calcula una primitiva F(x) que cumpla la condición F(1) = 20. b) Enuncia la regla de Barrow y aplícala para calcular la integral de la función f (x) en el intervalo [1, 2]. 20. Dada la función f (x) = ax 3 + bx + c, calcula los valores de a, b y c sabiendo que: I) F(x) = x4 – 2x2 + cx es una primitiva de f(x). II) La integral de f(x) en el intervalo [0, 1] es igual a 1. 21. Durante un cierto período de tiempo, las hojas de una especie vegetal transpiran a razón de 2 miligramos de agua por centímetro cuadrado. Los bordes de una de dichas hojas coinciden con los del recinto acotado del plano limitado por las curvas de ecuaciones: 1 y = 5x y = x2 5 donde x e y están expresados en centímetros. Calcula la cantidad total de agua transpirada por esa hoja en el período de tiempo citado. 22. La gráfica adjunta representa una función polinómica de grado 2 con máximo en (3, 9). Determina la expresión de la función y calcula el área del recinto sombreado. x

23. Dada la función f ( x ) = a e 3 + a) Calcula

µ

Y

(3, 9)

1 ( x | 0 y a constante): x2

2 1

f (x) dx. ¿Qué representa geométricamente su valor absoluto?

b) Se sabe que F es una primitiva de f. Calcula a si F(1) = 0 y F(2) =

1 . 2

0

X

24. Halla el área limitada por f (x), el eje OX y las rectas x = 0 y x = 4, siendo: ¯1 ² ²x ² f ( x ) = ° x 2 + 3 x ² ²x +3 ² ±

si x <

1 2

1 f x f3 2 si x > 3 si

25. Los vértices de una ventana rectangular tienen, respecto a un sistema de ejes cartesianos, las siguientes coordenadas: A(–4, 0), B(–4, 3), C (4, 3) y D (4, 0). La sustituimos por una ventana de forma parabólica, tal que la parábola de segundo grado que la define pasa por los puntos A = (–4, 0) y D(4, 0) y es tal que su tangente en el punto E (0, 3) es horizontal. Determina: a) La ecuación de la parábola que define la ventana. b) El porcentaje de luminosidad que hemos perdido si la luminosidad viene definida por el área de la ventana.

Y

Integrales definidas. Aplicaciones

257

AUTOEVALUACIÓN 1. Se considera la función f(x) = | x2 – 4| en el intervalo I = [0, 6] y se considera la partición de dicho intervalo dada por P = {0; 1,5; 2; 3,5; 4; 5,5; 6}. Los valores de las sumas superior e inferior correspondientes a f y a dicha partición P son, respectivamente: a) 50 y 30 2. Al calcular

b) –20,5 y –35,5 1

µ

–1

(| x| + x +1) dx, obtenemos:

a) 4

b) 3

3. El valor de a)

c) 80,625 y 20,675

1

µ

0

2x dx es: ( x 2 2)3

3 8

4. La integral

b)

µ

0

–2

c) 2

8 3

c)

(3 + 4x) e–x dx vale:

a) 7 + e2

b) –7 – e2

c) 1 + e –2

5. La función cuadrática y = f(x) que cumple f(0) = 0; f(1) = 0 y a) f(x) = 6x2 – 6x ¯x + 2 ² 6. Sea la función f ( x ) = ° x 2 4 ²4 x 8 ± a) 32 u2

3 8

µ

1 0

f(x) dx = 1, es:

b) f(x) = 6x2 + 6x

c) f(x) = –6x2 + 6x

si x f 2 si 2 < x f 2. El valor del área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje OX es: si x > 2 b)

3 2 u 32

c)

32 2 u 3

7. El área de la figura ABCDA del dibujo, sabiendo que la curva ADC es parte de la gráfica de una función cuadrática, es: 38 2 u a) 3

38 2 u b) 5

Y 3

38 2 u c) 7

B 2 1

8. En un mapa, cuyas medidas vienen dadas en decámetros, un solar urbano está limitado por las gráficas de las funciones f(x) = x2 – 2 y g(x) = 2x + 1. Si el valor del metro cuadrado es de 300 euros, el valor del solar, en euros, es: a) 30 000

b) 32 000

-3

A -2

-1

1

C 2

3

X

-1 -2 -3

c) 34 000

D -4

9. Se considera la parábola y = x2 y la recta y = mx, con m un número real positivo. Si el área de la región cerrada delimitada por las gráficas de la parábola y la recta es 288, el valor de m es: a) 10

b) 12

10. El área del recinto limitado por las curvas y = 2x e y = a)

4 2 u 3

b)

3 2 u 4

c) 14 2

x es: 2 c) 4 u2

Z

u11

Formas de contar. unidad 11 Números para contar contenidos

1. Principios para contar

2. Variaciones con repetición 3. Variaciones ordinarias 4. Permutaciones ordinarias 5. Permutaciones con repetición 6. Combinaciones ordinarias 7. Números combinatorios. Propiedades 8. Resolución de problemas de contar

259

En el estudio de situaciones matemáticas de enumeración o conteo habrá que responder a cuestiones como estas: ¿cómo podemos realizar una tarea que nos proponemos?, ¿de cuántas formas diferentes puede realizarse esa tarea? En los casos en que los objetos a manejar sean pocos, podemos intentar formarlos todos y, a la vez, contarlos. Cuando el número de objetos sea grande, la formación de todos los casos y el posterior recuento será problemático y pocas veces podremos hacerlo directamente. Para las situaciones en las que no es posible contar directamente, habrá que acudir a la parte de las matemáticas denominada combinatoria o análisis combinatorio, que nos ayuda a contar de forma planificada y ordenada. La combinatoria es un conjunto de procedimientos y resultados que estudian las diferentes formas en que puede llevarse a cabo una tarea de ordenación o agrupamiento de ciertos objetos, de modo que los grupos que se puedan formar difieran unos de otros por el orden, el número, situación o naturaleza de sus elementos componentes. Entre los precursores del cálculo combinatorio se encuentran Bhaskara Akaria (1114-1185), que ya conocía la expresión general de los números combinatorios, y Leví ben Gerson (siglo XIII), que obtuvo las fórmulas para el cálculo de variaciones. Pero fueron P. Fermat (1601-1665) y B. Pascal (1623-1662) los que redescubrieron los números combinatorios en cálculos basados en la búsqueda de la probabilidad de ciertos sucesos. También J. Wallis (1616-1703), Jacques Bernoulli (1654-1705), J. Stirling (1692-1770) y P. S. Laplace (1749-1827) contribuyeron notablemente al desarrollo del análisis combinatorio. En su origen, la combinatoria y las técnicas de contar han estado íntimamente ligadas al desarrollo de la probabilidad y, por tanto, a todo lo relacionado con los juegos de azar y las posibilidades de ganar en ellos.

cuestiones iniciales 1. Un sistema de señales marino se desarrolla utilizando banderas. ¿Cuántas señales se pueden hacer izando cinco banderas diferentes si pueden enarbolarse simultáneamente cualquier número de ellas? 2. ¿Cuántos números capicúas hay de ocho cifras? 3. Una familia formada por los padres y cuatro hijos van al cine. Se sientan en seis butacas consecutivas. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse? ¿Y si los padres se sientan en los extremos? ¿Y si los padres deciden no sentarse en los extremos?

Y

Unidad 11

260

1. Principios para contar

Recordamos dos principios de gran utilidad a la hora de contar. Suelen utilizarse para contar situaciones complejas o aquellas otras en las que el número de objetos es muy grande.

Karl F. Gauss (1777-1855)

Los principios que se enuncian a continuación son el principio de adición y el principio de multiplicación. Principio de adición • Si un procedimiento de contar puede separarse en dos o más conjuntos que no tengan elementos comunes dos a dos, entonces el número de elementos que existen en todos los conjuntos es la suma de los elementos que tiene cada uno de ellos por separado. Principio de multiplicación Considerado por los historiadores como uno de los matemáticos más grandes que han existido, Gauss decía que a la hora de contar había que tener en cuenta dos consideraciones: • Hacer tentativas planificadas.

• Si un procedimiento de contar se puede separar en r etapas o pruebas, tales que el resultado de una de ellas no influya en el resultado de las otras y estas etapas o pruebas tienen n1, n2, ..., n r resultados, respectivamente, entonces el procedimiento o experiencia global conduce a n1 · n2 · ... · n r resultados posibles.

• Contar inteligentemente.

ACTIVIDADES RESUELTAS 1. Lanzamos al aire 3 monedas: una de 2 euros, otra de 1 euro y otra de 0,5 euros. ¿De cuántas formas diferentes se pueden obtener 1, 2 o 3 caras? Describiendo los resultados con C2, C1, C0,5 para la obtención de cara en las monedas de 2, 1 y 0,5 euros, respectivamente, y con X2, X1 y X0,5 para la obtención de cruces, obtenemos: • Obtenemos una cara en: A = {C2 X1 X0,5 ;

X2 C1 X0,5 ;

X2 X1 C0,5 }

• Obtenemos dos caras en: B = {C2 C1 X0,5 ;

C2 X1 C0,5 ;

X2 C1 C0,5 }

• Obtenemos tres caras en: C = {C2 C1 C0,5 } Por tanto, las formas de obtener una cara son 3, las de obtener dos caras son 3 y tres caras, 1.

moneda de 2 euros

Además ningún resultado pertenece a dos conjuntos distintos. Utilizando el principio de adición tenemos que las formas de obtener 1, 2 o 3 caras son:

moneda de 1 euro C2 C1

C2 C2 X1

3 + 3 + 1 = 7 formas

X2 C1 X2

En el diagrama de árbol adjunto vemos otra forma de resolver el problema. En la última columna del diagrama vemos las siete formas de obtener 1, 2 o 3 caras.

X2 X1

moneda de 0,5 euros C2 C1 C0,5 C2 C1 X0,5 C2 X1 C0,5 C2 X1 X0,5 X2 C1 C0,5 X2 C1 X0,5 X2 X1 C0,5 X2 X1 X0,5

Y

Formas de contar. Números para contar

261

ACTIVIDADES RESUELTAS 2. Lanzamos tres dados al aire, ¿cuántos resultados diferentes podemos obtener? En la cara superior del primer dado pueden darse 6 resultados distintos, en el segundo dado otros 6 y en el tercero otros 6. Por tanto, aplicando el principio de la multiplicación, los resultados distintos que podemos obtener son: 6 · 6 · 6 = 63 = 216 resultados diferentes

3. Se dispone de una baraja de 40 cartas y se extraen 4 cartas por dos procedimientos diferentes: a) Sin devolución de cada carta extraída. b) Con devolución de cada extracción. Calcula en cada caso el número de formas diferentes de obtener cuatro cartas. a) En este caso disponemos para la primera extracción de 40 cartas diferentes. Como la carta extraída no se devuelve, para la segunda extracción disponemos de 39 cartas y, por tanto, de 38 y 37 para las otras dos extracciones. Así pues, el número buscado será: 40 · 39 · 38 · 37 = 2 193 360 b) En este caso, la carta extraída se devuelve al mazo. Para las cuatro extracciones disponemos de 40 cartas. Por tanto, el número buscado será: 40 · 40 · 40 · 40 = 2 560 000

4. Supongamos que las placas de matrícula de los vehículos de un cierto país consisten en cuatro letras (de un alfabeto de 27 letras) seguidas de tres números, por ejemplo, BPHT994. ¿Cuántas placas distintas pueden formarse con este procedimiento? Observamos que para la elección de la primera letra disponemos de 27 letras del alfabeto, e igualmente para la segunda, tercera y cuarta elección. Para las tres últimas disponemos de los dígitos 0, 1, 2, ..., 9. Aplicando el principio de multiplicación, obtenemos: 27 · 27 · 27 · 27 · 10 · 10 · 10 = 531 441 000 matrículas distintas

5. ¿Cuántos números capicúas hay de seis cifras? Un número capicúa de seis cifras responde al siguiente esquema: abccba. Si obtenemos las ordenaciones de las tres primeras cifras (a,b,c), las otras tres vienen obligadas, de tal forma que tenemos un número capicúa por cada ordenación de las tres primeras cifras. Teniendo en cuenta que las cifras 0, 1, 2, 3, …, 9 pueden repetirse y que en la primera posición no puede ir la cifra cero, el número total de números capicúas de seis cifras, aplicando el principio de multiplicación, será: 9 · 10 · 10 = 900

Y

Unidad 11

262

2. Variaciones con repetición Posibles números de 1 cifra

Posibles números de 2 cifras 11

1 12 21 2 22

Posibles números de 3 cifras

Los posibles números de una, dos o tres cifras que podemos obtener con los dígitos 1 y 2 son los que aparecen en el margen. Las situaciones análogas a esta, en las que pueden aparecer elementos ordenados sin límite, se denominan variaciones con repetición.

111 112 121 122 211 212 221 222

• Variaciones con repetición de n elementos tomados r a r son las distintas agrupaciones que se pueden formar con n elementos, tales que: • En cada agrupación entren r elementos, repetidos o no. • Dos agrupaciones son distintas si difieren en algún elemento o en el orden de colocación de los mismos. El número de variaciones con repetición de n elementos tomados r a r se representa por VRn,r . Podemos ver en el margen que el número de resultados distintos en la formación de números con los dos dígitos 1 y 2 es: • De una cifra: VR2,1 = 2 • De dos cifras: VR2,2 = 2 · 2 = 22 = 4 • De tres cifras: VR2,3 = 2 · 2 · 2 = 23 = 8 En general, si queremos hallar el número de variaciones con repetición de n elementos tomados r a r, obtenemos: VRn,r = n · n · n · … · n = nr

ACTIVIDADES RESUELTAS 6. Para una quiniela de fútbol, ¿cuál es el número mínimo de columnas que han de rellenarse para acertar con seguridad los catorce resultados? En cada uno de los partidos podemos poner uno de los tres signos: 1, X, 2. Disponemos de 14 posiciones para cada una de las columnas. Se trata de hallar el número de variaciones con repetición de 3 elementos tomados de 14 en 14. Habrá que rellenar: VR3,14 = 314 = 4 782 969 columnas

7. Resuelve: VRn,2 – VR n –1,2 = 7. Como VR n,2 = n2 y VRn –1,2 = (n – 1)2, sustituyendo: n2 – (n – 1)2 = 7 ¡ n2 – (n2 – 2n + 1) = 7 ¡ 2n – 1 = 7 ¡ n = 4

8. ¿Cuántos resultados posibles podemos obtener al lanzar 3 monedas al aire y observar sus caras superiores? En cada moneda podemos obtener dos resultados distintos, C y X. Disponemos de tres monedas, por lo que el número de resultados posibles es: VR2, 3 = 23 = 8

Y

Formas de contar. Números para contar

263

3. Variaciones ordinarias Los posibles números de 1, 2 o 3 cifras distintas que podemos obtener con los dígitos pares 2, 4, 6 y 8 son los que aparecen en el diagrama de árbol del margen.

246 248 264 268 284 286 426 428 462 468 482 486 624 628 642 648 682 684 824 826 842 846 862 864

24 2

Las situaciones análogas a esta, en las que deben aparecer los elementos ordenados y sin repetición, se denominan variaciones ordinarias o variaciones sin repetición.

26 28 42

• Variaciones ordinarias de n elementos tomados r a r (r f n) son las distintas agrupaciones que se pueden formar con n elementos, tales que: • En cada agrupación entren r elementos distintos. • Dos agrupaciones son distintas si difieren en algún elemento o en el orden de colocación de los mismos. El número de variaciones ordinarias de n elementos tomados r a r se representa por Vn,r .

4

46 48 62

6

64 68 82

Podemos contar en el diagrama de árbol que el número de variaciones ordinarias en la formación de estos números es:

8

84

• De una cifra: V4,1 = 4

86

• De dos cifras: V4,2 = 4 · 3 = 12

• De tres cifras: V4,3 = 4 · 3 · 2 = 24 En general, si queremos hallar el número de variaciones ordinarias de n elementos tomados r a r, obtenemos: Vn , r = n (n – 1) (n – 2) ( n – 3) … (n – r + 1) r factoress

Calculadora y variaciones ordinarias El cálculo del número de variaciones ordinarias de n elementos tomados r a r se realiza con la tecla:

En la práctica, a veces, se nos pide hallar cuál de todas las variaciones ordinarias cumple una determinada condición. Por ejemplo, en el caso anterior, ¿cuántos de los números pedidos empiezan por 6? Serán números de la forma: 6 –– –– ––

Así, para calcular el número de variaciones ordinarias de 8 elementos tomados de 4 en 4 (V8,4 ) pulsamos:

y el número de ellos será V3,2 = 3 · 2 = 6, como podemos ver en el diagrama de árbol anterior.

y obtenemos 1 680.

8

SHIFT

nPr

4

=

ACTIVIDADES RESUELTAS 9. a) ¿Cuántos números diferentes pueden formarse usando cuatro de las cifras 1, 2, 3, 4, 5 y 6 si las cifras no pueden repetirse? b) ¿Cuántos acaban en 45? a) La formación de números son muestras ordenadas y, en este caso, sin repetición, es decir, variaciones ordinarias. Disponemos de 6 cifras y formamos números de 4 cifras, por tanto, podemos formar: V6,4 = 6 · 5 · 4 · 3 = 360 4 5 b) Los números que acaban en 45 serán de la forma: — — — — Tenemos dos lugares por ocupar con 4 cifras distintas. Es decir, son: V4,2 = 4 · 3 = 12

Y

Unidad 11

264

4. Permutaciones ordinarias Los números que podemos formar con los dígitos 2, 4, 6 y 8 de manera que entren todos los dígitos y no se repita ninguno son V4,4, también llamados permutaciones ordinarias de 4 elementos. • Permutaciones ordinarias de n elementos son las distintas agrupaciones que se pueden formar de manera que: • En cada agrupación estén los n elementos. • Una agrupación se diferencia de otra únicamente en el orden de colocación de los elementos. El número de permutaciones ordinarias de n elementos se dice que es Pn y verifica Pn = Vn, n .

El número de permutaciones ordinarias posibles con las cifras {2, 4, 6, 8} es: Calculadora y permutaciones ordinarias El cálculo del número de permutaciones ordinarias de n elementos, es decir, Pn = n!, se realiza directamente con la tecla:

Para calcular P8 = 8! pulsamos: 8

SHIFT

x!

y obtenemos 40 320.

P4 = V4,4 = 4 · 3 · 2 · 1 = 24

Números factoriales • Para un número natural n mayor que 1, llamamos factorial de n al producto de los n primeros números naturales. El factorial de n se representa por n ! n! = n · (n – 1) · (n – 2) · (n – 3) · … · 3 · 2 · 1 Para n = 0 y n = 1, definimos: 0! = 1 y 1! = 1 El número de variaciones y permutaciones ordinarias, en función de los números factoriales, toman las formas: Vn , r =

n! (n r)!

Pn = Vn, n = n!

ACTIVIDADES RESUELTAS 10. En una carrera de 1 500 m participan ocho atletas. ¿De cuántas formas distintas pueden llegar a la meta, suponiendo que no hay llegadas simultáneas? Disponemos de 8 elementos (8 atletas). En cada forma de llegar a la meta influye el orden en que lleguen los atletas, por lo que calculamos el número de permutaciones ordinarias de 8 elementos: P8 = 8! = 40 320 Es decir, los ocho atletas pueden llegar a la meta de 40 320 formas diferentes, suponiendo que no hay llegadas simultáneas.

Y

Formas de contar. Números para contar

265

5. Permutaciones con repetición ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 2 de forma que entren todos en cada número?

1

Resolvemos esta situación considerando que tenemos tres dígitos diferentes: 1, 2a, 2b, con lo que los números pedidos serían:

2a

P3 = 3! = 3 · 2 · 1 = 6 como podemos ver en el margen.

2b

12a

12a2b

12b

12b2a

2a1

2a12b

2a2b

2a2b1

2b1

2b12a

2b2a

2b2a1

122

212 221

Como los 2a y 2b son indistinguibles, cada número aparece 2! = 2 veces, por lo que los números de tres cifras buscados son: 3! 6 = = 3 números 1! 2 ! 2 Las ordenaciones 122, 212 y 221 se llaman permutaciones con repetición. • Permutaciones con repetición de n elementos en las que el primer elemento se repite a veces, el segundo b veces, …, el último z veces (a + b + … + z = n), son las distintas agrupaciones que se pueden formar, de manera que: • En cada agrupación de n elementos el primer elemento está a veces, el segundo elemento está b veces, … • Una agrupación se diferencia de otra únicamente en el orden de colocación de los elementos. El número de permutaciones con repetición de n elementos en las condiciones definidas con anterioridad se representa por P na, b, …, z. El número de permutaciones con repetición se calcula: Pna ,b ,…,z =

n! a! b! … z!

siendo a + b + … + z = n.

ACTIVIDADES RESUELTAS 11. Deseamos colocar en una estantería 3 libros de inglés idénticos, 2 de francés idénticos y 4 de alemán idénticos. a) ¿De cuántas formas distintas se pueden colocar? b) ¿De cuántas formas, si han de estar junto a los de la misma materia? c) ¿De cuántas formas, si han de estar en primer lugar y juntos los de inglés? a) P 93, 2, 4 =

9! = 1 260 formas distintas. 3! 2! 4!

b) Las formas diferentes siguen el modelo: III ____ FF _______ AAAA ; _____ III _______ AAAA _____ FF ; ...... ____ y son: P3 = 3! = 6. FFAAAA III c) Las diferentes formas de ordenación obedecen al modelo: ____ __ __ ____ __ __ 6 ! y son: P 62,4 = = 15. 2! 4! Y

Unidad 11

266

6. Combinaciones ordinarias Comités de 3 personas Comités de 2 personas Comités de 1 persona

LMB LMA

LM

LMJ L

LBA

LB

De un grupo con cinco estudiantes: Luis (L), María (M), Beatriz (B), Ana (A) y Javier (J), se quiere elegir un comité de 3 personas. ¿De cuántas formas distintas se puede elegir este comité? ¿Y si el comité está formado por 2 personas? ¿Y si está formado por una? • En este problema disponemos de 5 personas para elegir 3.

MBA

En las formas de contar que hemos visto hasta ahora influía el orden de los elementos en las distintas agrupaciones; sin embargo, en este problema las agrupaciones son distintas por los elementos que contienen, no por el orden en que estén tomados.

MBJ

Así, por ejemplo, la agrupación Luis, María y Beatriz (LMB) es la misma que:

MAJ

LBM, BLM, BML, MLB, MBL

LBJ

LA

LAJ

LJ MB MA

M

MJ

Para calcular el número de estas agrupaciones procedemos de la siguiente manera: V5, 3 54 3 = = 10 comités de tres personas distintas P3 3 2 1

BAJ

BA B BJ AJ

A

• Análogamente, para comités de 2 personas:

J

V5,2 P2

=

54 = 10 comités distintos 2 1

• Evidentemente, el número de comités de una persona es 5. Las agrupaciones de este tipo, en las que no influye el orden, se denominan combinaciones ordinarias.

Calculadora y combinaciones ordinarias El cálculo del número de combinaciones ordinarias de n elementos tomados r a r se realiza con la tecla:

Para calcular el número de combinaciones ordinarias de 8 elementos tomados de 4 en 4, es decir, C8,4, pulsamos: 8

SHIFT

nCr

4

• Combinaciones ordinarias o sin repetición de n elementos tomados r a r (r f n) son las distintas agrupaciones que se pueden formar con los n elementos, de manera que: • En cada agrupación entren r elementos distintos. • Dos agrupaciones son distintas si se diferencian en algún elemento, pero no en el orden de colocación. El número de combinaciones de n elementos tomados r a r se representa por Cn,r . En general, para calcular el número de combinaciones ordinarias de n elementos tomados r a r utilizamos la siguiente expresión:

=

Cn , r =

y obtenemos 70.

Vn , r Pr

=

n! r ! (n r)!

Demostramos que ambas expresiones son iguales: Vn , r Pr =

=

n (n 1) (n 2) … (n r + 1) multiplicamos numerador = y denominador por (n – r)! r!

n! n (n 1) (n 2) … (n r + 1) (n r) (n r 1) … 2 1 = r ! (n r)! r ! (n r)!

Y

Formas de contar. Números para contar

267

7. Números combinatorios. Propiedades El número de combinaciones de n elementos tomados r a r, Cn,r, también se llama número combinatorio.

Cn,r =

n

冢 r 冣 , que

• Un número combinatorio es un número que se representa por se lee «n sobre r» y que se define como:

Triángulo de Pascal 1

n n! = r r ! (n r)!

冢冣

1 1

Propiedades de los números combinatorios • Cualquier número combinatorio sobre 0 o sobre sí mismo vale 1. n 0

n n

冢冣冢冣 =

n!

n

n!

n!

n

n!

n

冢 r 冣 = 冢 n r冣冢冣

=

冢

n nr

冣

• La suma de dos números combinatorios de igual numerador y cuyos denominadores son consecutivos es igual al número combinatorio cuyo numerador es una unidad más que el numerador común y cuyo denominador es el mayor de los denominadores.

冢 r 1冣 + 冢 r 冣 = 冢 n

1

4

6

4

1

x Xx X x X x X

1

5

10

10

5

1

• Todas las filas comienzan y terminan en 1. • Todas las filas son simétricas. • Cada número se obtiene sumando los dos que tiene encima, excepto los extremos, que son 1.

冢01冣冢 11冣 2

n! n! = = r ! (n r)! [ n (n r)]! (n r)!

n

3

冢0冣冢1冣冢2冣

Demostración: n r

3

x Xx X x X

Propiedades:

• Dos números combinatorios, con igual numerador y denominadores complementarios (suma de ellos igual al numerador) son iguales. n

1

Línea de simetría

冢 n冣 = n ! (n n)! = n ! = 1

y

2

x Xx X

=1

Demostración:

冢 0冣 = 0 ! (n 0)! = n ! = 1

1

1

xX

2

2

冢 03冣冢31冣冢32冣冢33冣冢04冣冢41冣冢42冣冢43冣冢44冣冢 50冣冢51冣冢52冣冢53冣冢54冣冢55冣

n +1 r

冣

Demostración: n

n

n!

n!

冢r 1 冣 + 冢 r 冣 = (n r + 1)! (r 1)! + (n r)! r ! = =

n! r n ! (n r + 1) n ! (r + n + 1 r) = + = (n + 1 r)! r ! (n r + 1)! r ! (n r + 1)! r ! =

n ! (n + 1) (n + 1)! n +1 = = r (n + 1 r)! r ! (n + 1 r)! r !

冢

冣

Las tres propiedades anteriores se corresponden con las tres propiedades del triángulo de Pascal citadas en el margen. Y

Unidad 11

268

8. Resolución de problemas de contar Muchos problemas de la vida real se resuelven mediante el uso de las técnicas de contar, como por ejemplo el siguiente: Con todas las letras de la palabra CIERVO, ¿cuántas palabras de seis letras pueden formarse con la condición de que no figuren dos consonantes seguidas ni tres vocales seguidas? En la resolución de este problema seguimos los siguientes pasos: • Vemos que no podemos resolver directamente el problema con las técnicas de contar anteriormente vistas. • Convertimos el problema en subproblemas considerando las situaciones permitidas, que son: V ___

C ___

V ___

C ___

V ___

C ___

V ___

C ___

V ___

C ___

C ___

V ___

V ___

C ___

V ___

C ___

V ___

C ___

V ___

V ___

C ¿ ___ ² V ²² V q vocal ___ À C ² C q consonante ___ ² C ² ___ Á

• Calculamos las agrupaciones posibles en cada subproblema. Son permutaciones ordinarias pues influye el orden y no se repiten los elementos. Luego el número de agrupaciones en cada uno del los cuatro subproblemas anteriores es: P3 · P3 • Utilizamos los principios para contar, en este caso el principio de adición, para resolver el problema: P3 · P3 + P3 · P3 + P3 · P3 + P3 · P3 = 4 · P3 · P3 = 144 Podemos formar 144 palabras distintas. • Pasos a seguir en la resolución de problemas de contar: 1. Ver si podemos resolver directamente el problema con las técnicas de contar. En este caso pasamos directamente al punto 3. 2. Si no podemos resolver directamente el problema, lo dividimos en subproblemas. 3. Calculamos las agrupaciones posibles en cada situación utilizando el siguiente diagrama:

sí

sí

PERMUTACIONES

¿Entran ¿Entran todos todos los loselementos? elementos? no

¿Influye el orden?

¿Se repiten los elementos?

¿Se repiten los elementos?

VARIACIONES

no COMBINACIONES ORDINARIAS

Cn ,r =

4. Utilizamos los principios para contar.

Vn ,r Pr

sí

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

Pna ,b , …,z =

no

PERMUTACIONES ORDINARIAS

Pn = n!

sí

VARIACIONES CON REPETICIÓN

VRn,r = n r

no

VARIACIONES ORDINARIAS

n! a ! b ! … z !

Vn,r = n · (n – 1) · … · (n – r + 1)

Y

Formas de contar. Números para contar

269

ACTIVIDADES RESUELTAS 12. Con las letras de la palabra AURELIO, ¿cuántas palabras distintas de siete letras, de manera que cada palabra contenga todas las letras, se pueden formar? Colocadas las palabras en orden alfabético, ¿qué lugar ocupa AURELIO? • La primera parte del problema se puede resolver directamente mediante las técnicas de contar. Como en cada palabra influye el orden, entran todos los elementos y no se repiten, son permutaciones ordinarias: P7 = 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5 040 palabras diferentes • La segunda parte del problema no se puede resolver directamente, hay que dividir en subproblemas. Los grupos de palabras que hay hasta llegar a AURELIO son: 1 A

2 E

1 A

3 I

1 A

6 R

1 A

7 U

2 E

1 A

7 U

1 A

7 U

6 R

5 O

2 E

3 I

1 A

4 L

1 A

7 U

3 I

1 A

7 U

6 R

2 E

4 L

3 I

1 A

5 O

1 A

7 U

4 L

5 O

Hemos asignado a cada letra el número que le corresponde en orden alfabético: A q 1, E q 2, I q 3, L q 4, O q 5, R q 6, U q 7 En cada grupo calculamos el número de palabras y aplicando los principios para contar obtenemos: 5 · P5 + 4 · P4 + P2 + 1 = 699 Es decir, colocadas las palabras en orden alfabético, la palabra AURELIO ocupa el lugar 699.

13. ¿Cuántas fichas tiene un juego de dominó? Consideramos las 7 fichas dobles:

Cada una de las restantes fichas es una combinación ordinaria de 7 elementos tomados 2 a 2. En total hay: 7 + C 7,2 = 7 +

7! = 7 + 21 = 28 fichas de dominó 2!(7 – 2)!

14. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar en un heptágono regular? Este problema se puede resolver directamente. Cada diagonal es una C7,2 puesto que no influye el orden. Hay que tener en cuenta que de esta forma contaríamos los lados del heptágono como diagonales, por lo que tendríamos que restarlos, esto es: nº diagonales del heptágono regular = C 7,2 7 =

7! 7 = 21 7 = 14 2!(7 – 2)!

Y

Unidad 11

270

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Números felices 28 es un número feliz porque: 28 q 22 + 82 = 68 q 62 + 82 = 100 q 12 + 02 + 02 = 1 Investiga sobre números felices.

FAMILIARIZACIÓN CON EL PROBLEMA Observamos en el enunciado cierta ambigüedad: no se indica, por ejemplo, cuántas cifras ha de tener el número; más aún, no se da una definición precisa de lo que es un número feliz, aunque parece que al sumar los cuadrados de sus cifras y continuar así el proceso, obtenemos 1. Lo anterior no tiene que ser óbice para aceptar el reto que supone investigar sobre los números felices.

BÚSQUEDA DE ESTRATEGIAS Ante el desconocimiento que tenemos de esta situación y la ausencia de información en el enunciado, tenemos que comenzar experimentando con los primeros números naturales. A partir de los resultados que vayamos obteniendo con los números de una y dos cifras intentaremos conjeturar los resultados con números de más cifras.

LLEVAR ADELANTE LA ESTRATEGIA Comenzamos con los primeros números: 2 q 22 = 4 q 42 = 16 q 12 + 62 = 37 q 32 + 72 = 58 q 52 + 82 = 89 q 82 + 92 = 145 q 12 + 42 + 52 = 42 q 42 + 22 = 20 q 22 + 02 = 4 3 q 32 = 9 q 92 = 81 q 82 + 12 = 65 q 62 + 52 = 61 q 62 + 12 = 37 q 32 + 72 = 58 q 52 + 82 = 89 q 82 + 92 = 145 q 12 + 42 + 52 = 42 q 42 + 22 = 20 q 22 + 02 = 4 5 q 52 = 25 q 22 + 52 = 29 q 22 + 92 = 85 q 82 + 52 = 89 q 82 + 92 = 145 q 12 + 42 + 52 = 42 q 42 + 22 = 20 q 22 + 02 = 4 Después de analizar si 2, 3 y 5 son números felices concluimos: • Estos números no son felices, y los números que no son felices, después del proceso de sumar los cuadrados de sus cifras, acaban en 4. • Los números que aparecen a lo largo de los procedimientos citados, como 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20... no son felices. • También serían números no felices los números que resultan de intercambiar las cifras de los números no felices, como 61, 73, 85, 98, 154, 415, 24... Trabajando en la misma línea, obtenemos los números felices de una y dos cifras: 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94 y 97.

REVISAR EL PROCESO Y SACAR CONSECUENCIAS DE ÉL ¿Qué ocurre con los números de tres o más cifras? Una ley general podría enunciarse en la forma: «Si después del proceso de la suma de los cuadrados obtenemos un número feliz, el número de partida será feliz; lo mismo ocurrirá en caso contrario.» Por ejemplo: • El número 5 128 es feliz, al cumplirse: 5 128 q 52 + 12 + 22 + 82 = 94, y este es feliz. • El número 7 232 no es feliz, al cumplirse: 7 232 q 72 + 22 + 32 + 22 = 66, y este no es feliz.

Y

Formas de contar. Números para contar

271

Razonamiento inductivo – Razonamiento deductivo Felix Klein (1849-1925), destacado matemático alemán y profesor de la prestigiosa Universidad de Gotinga, afirmó: «En cierto sentido, las matemáticas han progresado más gracias a las personas que se han distinguido por la intuición y no por los métodos rigurosos de demostración.» En términos parecidos se pronunció George Polya (1887-1985), matemático húngaro nacionalizado estadounidense, en 1947: «Las matemáticas en su forma final aparecen como puramente deductivas y solo contienen demostraciones; sin embargo, en su proceso de elaboración se parecen a cualquier otro conocimiento humano.» • Razonamiento inductivo Razonar inductivamente consiste en buscar regularidades, patrones, semejanzas, propiedades comunes y hacer conjeturas. Las conjeturas o conclusiones a las que se llegan son solamente probables y pueden ser validadas, no validadas o permanecer durante mucho tiempo como conjetura.

b a

• Razonamiento deductivo Razonar deductivamente consiste en demostrar las conclusiones o tesis que formula una conjetura. Las demostraciones son secuencias lógicas de pasos apoyados en propiedades ya demostradas. Las demostraciones garantizan la verdad de la tesis si la hipótesis de la que se parte es verdadera. La primera demostración de la historia de las matemáticas la dio Tales de Mileto unos 600 a.C. Demostró que el diámetro divide al círculo en dos partes iguales. El teorema más famoso en matemáticas es el de Pitágoras, el cual figura en el libro I de los Elementos de Euclides. De este teorema se conocen alrededor de 400 demostraciones. En el dibujo podemos ver una demostración del citado teorema; al igualar las dos expresiones, obtenemos el teorema de Pitágoras: a2 + b2 + 4

ab ab = c2 + 4 2 2

a

a

a2 + b2 = c 2

¡

b

a

c

a b

c

c b

b

c a

b

( a + b )2 = a 2 + b 2 + 4

a

ab 2

b

c b

( a + b )2 = c 2 + 4

a

ab 2

A C T I V I D A D E S 䊏 Utiliza los dos tipos de razonamiento en la resolución de las siguientes situaciones matemáticas: 1. Diagonal y cuadrados. En el rectángulo del dibujo, de orden 5 × 4, la diagonal corta en 8 cuadrados pequeños. ¿Podrías enunciar una ley que determine el número de cuadrados que cortará la diagonal de un rectángulo de orden a × b? 2. Producto de tres números. Demuestra que el producto de tres números naturales consecutivos no puede ser el cubo de un número natural.

Y

Unidad 11

272

NUEVAS TECNOLOGÍAS Combinatoria con Matemáticas de Microsoft Matemáticas de Microsoft es un programa informático que permite hallar el factorial de un número y calcular variaciones, permutaciones y combinaciones.

FACTORIAL DE UN NÚMERO Y COMBINATORIA En el menú de “Estadísticas” de la Calculadora están las teclas correspondientes al factorial de un número y a los cálculos combinatorios, combination o permutation, como vemos en la imagen. Para calcular el factorial de un número, escribimos el número en la ventana de entrada de datos, pulsamos la tecla factorial y a continuación INTRO ; obtenemos así el resultado en el área de trabajo. Para el resto de cálculos combinatorios utilizamos las siguientes sintaxis: • combination (n, r): permite calcular el número de combinaciones de n elementos tomados de r en r. Hay que tener en cuenta que n y r deben ser enteros no negativos. • combination ({n,m}, r): permite calcular el número de combinaciones de n elementos tomados de r en r, y de m elementos tomados r a r. Los valores de n, m y r deben ser enteros positivos. • combination (n, {r,p}): permite calcular el número de combinaciones de n elementos tomados de r en r, y tomados p a p. • permutation (n, r): permite calcular el número de variaciones de n elementos tomados de r en r. Si n = r, permite calcular el número de permutaciones de n elementos. Hay que tener en cuenta que n y r deben ser enteros no negativos. • permutation ({n,m}, r): permite calcular el número de variaciones de n elementos tomados de r en r, y de m elementos tomados r a r. Los valores de n, m y r deben ser enteros positivos. • permutation (n, {r,p}): permite calcular el número de variaciones de n elementos tomados de r en r, y tomados p a p. En las imágenes vemos algunos de estos cálculos.

PRACTICA con Matemáticas de Microsoft los cálculos correspondientes a la resolución de las actividades de esta unidad.

Y

Formas de contar. Números para contar

273

EN RESUMEN FORMAS DE CONTAR técnicas básicas

PRINCIPIO DE ADICIÓN

PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN aplicaciones

AGRUPACIONES tipos

¿Influye el orden? ¿Intervienen todos los elementos?

sí sí

no

no

¿Repetición? sí

¿Intervienen todos los elementos?

no

¿Repetición?

no

no

sí

VARIACIONES CON REPETICIÓN

VARIACIONES ORDINARIAS

PERMUTACIONES ORDINARIAS

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

COMBINADAS ORDINARIAS

número

número

número

número

número

VRn,r = nr

Vn,r =

n! ( n – r )!

Pn = n!

Pna,b,…,z =

aparecen

NÚMEROS FACTORIALES

n! a! b! ... z !

C n ,r =

冢r 冣 = (n r )! r ! n

n!

aparecen

NÚMEROS COMBINATORIOS

AMPLÍA CON… Los números han acompañado al ser humano desde que este se organizó en sociedades. En la antigüedad los utilizó para censar los bienes, fijar los impuestos, reclutar ejércitos, comerciar, etc. Fue a partir de la revolución científica del siglo XVII cuando los números relacionados con aspectos sociales empezaron a estudiarse y a adquirir, por medio de las estadísticas, un papel fundamental en áreas como la ciencia, el comercio, la sanidad, los seguros y otros muchos aspectos de la vida diaria. En este ensayo titulado El triunfo de los números (Alianza Editorial) de I. B. Cohen se describe una amena historia de los números, la relación que algunos personajes célebres tuvieron con los números y el nacimiento de la estadística como ciencia. Entre los numerosos personajes que aparecen en el libro cabe destacar a Adolphe Quetelet, como iniciador de numerosos procedimientos estadísticos, y a Florence Nightingale, como reformadora de la sanidad y precursora de la enfermería moderna.

Y

Unidad 11

274

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD RESUELTAS Un grupo de cinco amigos, tres chicas y dos chicos, deciden ir al cine. Si van a ocupar cinco butacas contiguas, ¿de cuántas maneras se pueden sentar? ¿Y si las tres chicas quieren estar juntas? Los cinco amigos se pueden sentar de 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5! = 120 maneras distintas en cinco butacas contiguas. Si las chicas quieren estar juntas, se pueden colocar en la forma: HHHVV

VHHHV

VVHHH

siendo H una chica y V un chico. Las chicas pueden permutar entre sí y los chicos también. Luego en total se pueden colocar de 3 · P3 · P2 = 3 · 3! · 2! = 36 maneras diferentes.

Un jurado de selección entrevista a cinco candidatos para un puesto de trabajo. El jurado entrega al final una lista con las personas que propone. ¿Cuántas listas distintas puede entregar en los siguientes casos?: a) La lista entregada contiene a los cinco candidatos ordenados. b) El jurado selecciona un primer candidato, un segundo y un tercero. c) El jurado indica un grupo de tres candidatos aceptables. a) El número de listas en estas condiciones coincide con el número de ordenaciones posibles de un conjunto de 5 elementos, es decir, es el número de permutaciones de 5 elementos: 5! = 120. b) En este caso se seleccionan ordenadamente tres personas del conjunto de cinco. El número de formas posibles, por el principio de multiplicación, es: 5 · 4 · 3 = 60. c) El número buscado coincide con el número de subconjuntos de tres elementos que se pueden formar con un conjunto 5 = 10. de cinco elementos, esto es: 3

冢冣

Con seis pesas de 1, 2, 5, 10, 20 y 50 kg, ¿cuántas pesadas diferentes se pueden obtener? Observamos que el número de pesas a utilizar en cada pesada puede ser variable. Así, tenemos: Utilizando una pesa, podemos hacer

冢1冣 = 6 pesadas. 6

Utilizando dos pesas, podemos hacer

冢2冣 = 15 pesadas.

Utilizando tres pesas, podemos hacer

冢3冣 = 20 pesadas.

6

6

Utilizando cuatro pesas, podemos hacer

Utilizando cinco pesas, podemos hacer

Utilizando seis pesas, podemos hacer

冢4冣 = 15 pesadas. 6

冢5冣 = 6 pesadas. 6

冢6冣 = 1 pesada. 6

En total, podemos hacer 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 63 pesadas diferentes.

Y

Formas de contar. Números para contar

275

Una escuela de idiomas tiene 100 alumnos, de los cuales 60 estudian inglés; 20, francés; 20, alemán; 10, cada par de lenguas anteriores; y 5, las tres lenguas. Halla: a) El número de estudiantes que estudian alguna de las tres lenguas. b) El número de estudiantes que no estudian dichas lenguas. Este tipo de problemas se resuelve utilizando diagramas de Venn. • Definimos los tres conjuntos que aparecen en este caso: Inglés (I), Francés (F ), Alemán (A)

I F 20 X

60 x

• Vamos colocando los cardinales, o número de elementos, en cada uno de los subconjuntos comenzando por el común a los tres I F A, y continuando por los otros. De esta forma obtenemos los datos numéricos del diagrama adjunto.

45

5 5

a) El número de estudiantes que estudian alguna de estas lenguas es:

5

5

5

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 45 = 75 estudiantes 5

25

x

b) El número de estudiantes que no estudian dichas lenguas es, como vemos en el diagrama, 25.

A 20 j 100

¿Cuántos números de 4 cifras contienen exactamente dos veces la cifra 7? • No podemos resolver el problema directamente por lo que convertimos el problema en subproblemas, considerando las situaciones posibles. • Los subproblemas son: 7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

• Cada subproblema de la columna de la izquierda contiene VR9,2 = 92 = 81 números, puesto que influye el orden y se repiten los elementos. Cada subproblema de la columna de la derecha se puede resolver utilizando el principio de la multiplicación, teniendo en cuenta que la primera cifra no puede ser un 0; de esta forma resulta que cada subproblema contiene 8 · 9 = 72 números. • Utilizando el principio de adición obtenemos que los números de 4 cifras que contienen dos veces exactamente la cifra 7 son: 81 + 81 + 81 + 72 + 72 + 72 = 3 · (81 + 72) = 459 números distintos

Y

Unidad 11

276

ACTIVIDADES FINALES EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1. Una urna contiene 10 bolas numeradas del 1 al 10. Sacamos dos bolas a la vez y sumamos los valores de los números marcados. ¿De cuántas formas se pueden obtener nueve, diez u once? 2. En el lanzamiento de tres dados, ¿de cuántas formas diferentes se pueden tener siete o doce puntos? 3. Las matrículas de los vehículos de un determinado país están formadas por dos letras seguidas de cuatro números, por ejemplo, BP-0441. ¿Cuántas placas distintas se pueden formar por este procedimiento? 4. ¿Cuántos números naturales existen mayores que 5 000 y menores que 10 000 en los siguientes casos?: a) Con todas las cifras diferentes. b) Se pueden repetir cifras. 5. ¿De cuántas formas diferentes se puede responder a un test de 20 preguntas, sabiendo que cada respuesta admite tres variantes: sí, no, no lo sé? 6. El alfabeto Morse utiliza los símbolos punto (•) y raya (–) para formar palabras y números. ¿Cuántas palabras diferentes de 6 letras podemos formar? 7. Con los dígitos impares, ¿cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar? ¿Cuántos de ellos serán múltiplos de 5? 8. Si con los 7 colores del arco iris construimos banderas con tres franjas horizontales de colores diferentes, ¿cuántas banderas podemos formar? 9. ¿De cuántas maneras pueden ser perseguidos 5 ratones por 5 gatos? ¿Y si el gato pequeño siempre persigue al ratón pequeño? 10. Un concesionario de coches expone en línea recta 12 coches. ¿De cuántas formas diferentes puede colocarlos? 11. A ocho personas les han tocado en un sorteo 3 viajes a Londres, 2 viajes a Roma y 3 viajes a Viena. ¿De cuántas formas diferentes se los pueden repartir? 12. ¿Cuántos banderines diferentes se pueden pintar con 3 franjas verdes, 2 rojas y 1 azul? 13. Una colección de tebeos está formada por 12 números. Si solo disponemos de dinero para comprar tres de ellos, ¿de cuántas formas diferentes podemos hacerlo? 14. ¿Cuántas pesadas diferentes podemos hacer con 8 pesas distintas? 15. En un plano tenemos 9 puntos, de los cuales nunca hay 3 en línea recta. ¿Cuántos triángulos diferentes podemos formar? 16. Un heladero dispone de 12 tipos de sabores distintos. Si vende helados de 2 sabores, ¿cuántos helados diferentes puede vender? ¿Y si fuesen de 1 o 3 sabores?

Y

Formas de contar. Números para contar

277

17. Para formar un equipo de baloncesto de 5 jugadores disponemos de 10 jugadores. ¿Cuántos equipos distintos podemos formar? ¿Cuántos si solo uno de ellos es el capitán y ha de jugar siempre? 18. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) Vn,2 + Vn –2, 2 + Vn –4, 2 = 98

d) 16 + Vn,2 = Vn +1,2

b) Vx,2 = 190 + Cx,2

e) Px = 6 · Px –1

c)

冢n + 4冣 = 冢2n 1冣 9

9

f)

冢 10 冣 = 冢 16 冣 3n 1

3n 1

19. Resuelve las siguientes cuestiones: a) ¿Cuántos números pares de tres cifras se pueden formar usando las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6? b) ¿Cuántos números de cuatro cifras pueden formarse con las cifras 1, 5, 6 y 7? c) ¿Cuántos números de dos cifras, con ambas pares, existen? 20. En una final olímpica de 100 metros lisos participan 8 atletas. No consideramos llegadas simultáneas. a) ¿Cuántas clasificaciones posibles puede haber? b) ¿De cuántas maneras diferentes se pueden repartir las medallas de oro, plata y bronce? c) Si de los 8 atletas 5 son americanos y 3 europeos, ¿cuántas clasificaciones posibles se pueden hacer, si solo tenemos en cuenta la nacionalidad de los participantes? d) ¿Cuántas clasificaciones diferentes puede haber si han de llegar seguidos los de la misma nacionalidad? 21. Un estudiante tiene que responder a 8 de 10 preguntas de un examen. a) ¿De cuántas formas distintas puede contestar? b) ¿De cuántas, si las tres primeras son obligatorias? c) ¿De cuántas, si de las cuatro primeras ha de contestar a 2? 22. Con los alumnos de una clase hemos formado todos los grupos posibles de dos alumnos; si en total obtenemos 378 grupos, ¿cuántos alumnos hay en esa clase? 23. Con las letras de la palabra MATEMÁTICAS, ¿cuántas palabras distintas, entrando todas las letras, se pueden formar? ¿Cuántas de ellas empiezan por consonante? Si ordenamos todas las palabras por orden alfabético, ¿qué lugar ocupa la palabra dada? 24. En una clase de 30 alumnos hay 12 chicos y 18 chicas. Se quiere formar un grupo de cinco personas para hablar con el jefe de estudios. a) ¿Cuántos grupos distintos se pueden hacer? b) ¿Cuántos, si en cada uno de ellos han de entrar 2 chicos y 3 chicas? 25. ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar, en una fila, 4 botellas de agua mineral, 3 de refresco de naranja y 2 de refresco de limón?

Y

Unidad 11

278

ACTIVIDADES FINALES ACCESO A LA UNIVERSIDAD 26. ¿Cuántos números enteros del 1 al 1 000 no son divisibles por 3, 7 u 11? 27. Un byte es una secuencia de 8 dígitos que son ceros o unos. ¿Cuántos bytes distintos se pueden formar? ¿Cuántos tendrán 6 ceros y 2 unos? 28. A un congreso internacional asisten 4 franceses, 3 ingleses y 5 españoles. Para hacerse una foto se colocan en línea recta. a) ¿Cuántas fotos diferentes se pueden hacer? b) ¿Cuántas, si han de estar juntos los de la misma nacionalidad? c) ¿Cuántas, si los españoles han de estar juntos? 29. Un examen consta de doce preguntas y en cada pregunta se contesta con verdadero, V, o falso, F. ¿De cuántas formas distintas se puede contestar el examen? 30. A la cumbre de una montaña conducen 8 caminos distintos. ¿De cuántas formas distintas podemos hacer el ascenso y el descenso? 31. Con los diez dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 formamos números de seis cifras. ¿Cuántos de ellos tienen alguna cifra repetida? ¿Cuántos tienen las cifras distintas y terminan y empiezan en cifra impar? 32. ¿De cuántas formas diferentes podemos ver un dado cúbico apoyado sobre una mesa? 33. Tenemos tres números distintos positivos y dos distintos negativos. a) ¿Cuántos productos diferentes de tres factores podemos formar? b) ¿Cuántos de ellos serán negativos? c) ¿Cuántos productos positivos de cuatro factores se pueden formar? 34. A un congreso internacional asisten 20 ingleses, 12 franceses y 18 españoles. Si se quiere formar un comité en el que entren 3 ingleses, 2 franceses y 4 españoles, ¿cuántos comités distintos se pueden formar? 35. Todas las casas de una urbanización están comunicadas entre sí por medio de un camino. Si en total hay 153 caminos, ¿cuántas casas tiene la urbanización? 36. Para hacer una apuesta de la Lotería Primitiva hay que marcar con cruces 6 números de un boleto en el que figuran números del 1 al 49. ¿Cuántas apuestas diferentes se pueden hacer?

Y

Formas de contar. Números para contar

279

AUTOEVALUACIÓN 1. Un agente comercial dedicado a la venta de tejidos tiene asignadas las capitales de provincia de Castilla y León. Si cada semana visita tres cualesquiera, el número de itinerarios diferentes que puede realizar es: a) 84

b) 504

c) 729

2. La cantidad de números de siete cifras que tienen las tres primeras impares y las otras cuatro pares es: a) 16 807

b) 70 000

c) 78 125

3. El número de formas en las que pueden quedar repartidos cuatro premios distintos, entre 22 estudiantes de un curso, de manera que ninguno pueda llevarse más de un premio es: a) 175 560

b) 517 560

c) 675 150

4. El número de palabras que se pueden formar con las letras de la palabra AMELIO sin que haya dos consonantes juntas es: a) 840

b) 720

c) 480

5. Un matrimonio tiene 5 hijos de los cuales 3 son chicas y 2 son chicos. El número de formas diferentes de sentarse todos los hijos estando juntos los del mismo sexo es: a) 24

b) 10

c) 60

6. Un tribunal de oposiciones formado por cinco miembros toma decisiones por mayoría. El número de posibles coaliciones para ganar es: a) 12

b) 16

c) 120

7. La solución de la ecuación Vx +1, 2 + Vx, 2 = Vx + 3, 2 es: a) 4

b) 5

c) 6

8. El valor de x que permite establecer la igualdad a) 9

b) 11

冢 2冣 + 冢 x

冣冢

冣

x 1 x2 + = 136 es: 2 2 c) 13

9. Formamos todas las palabras posibles, con o sin significado, de siete letras que se pueden escribir con las letras de la palabra PATATAS. El número de las que tienen las tres letras A juntas es: a) 60

b) 120

c) 720

10. Un conjunto tiene 84 subconjuntos de tres elementos. El número de elementos del conjunto es: a) 9

b) 10

c) 11

Z

u12 unidad 12 contenidos

1. Experimentos aleatorios. Espacio muestral 2. Sucesos

3. Operaciones con sucesos 4. Probabilidad 5. Regla de Laplace 6. Experimentos compuestos. Diagramas de árbol 7. Sucesos dependientes e independientes

Probabilidad

281

Muchos aspectos de nuestra vida están influidos por el azar. Nuestra propia constitución física viene determinada por un agrupamiento impredecible de genes. En el mundo que nos rodea nos encontramos con multitud de manifestaciones asociadas al azar: el tiempo que hará los días próximos, la evolución de los índices bursátiles, la eficacia de los medicamentos, los resultados de determinados juegos y deportes, etc. Desde tiempo inmemorial tratamos de evaluar la posibilidad de que ocurra un suceso particular cada vez que estudiamos un suceso asociado a un fenómeno o experimento que todavía no se ha realizado y, por ello, hacemos un cálculo de su probabilidad. En muchas de nuestras acciones o decisiones calculamos las posibilidades de un buen resultado. A partir de las primeras consideraciones sobre la teoría de la probabilidad de Blaise Pascal (1623-1662) y de Pierre de Fermat (16011665), las propiedades de la probabilidad y sus aplicaciones fueron desarrolladas por otros grandes matemáticos, entre ellos, Jacques Bernoulli (1654-1705), A. de Moivre (1667-1754), P. S. Laplace (17491827), K. F. Gauss (1777-1855) y A. N. Kolmogorov (1903-1987). Dedicamos esta unidad didáctica al estudio de los sucesos y las operaciones con sucesos de las experiencias aleatorias, al análisis del concepto de probabilidad y sus propiedades, al cálculo de probabilidades mediante la regla de Laplace y al desarrollo de los experimentos aleatorios compuestos.

cuestiones iniciales 1. Estás jugando a cara o cruz con una moneda y las diez últimas tiradas han salido cara. ¿Por qué resultado apostarías en la próxima tirada? Razona la respuesta. 2. La probabilidad de que nazca un varón es 1/2. ¿Cuál es la probabilidad de que, entre cuatro nacimientos, dos sean niñas? a) 1/2

b) 3/8

c) 3/4

d) No puede saberse

3. En un experimento se lanzan al aire cuatro monedas juntas. Si el experimento se repite muchas veces, ¿cuál de los siguientes resultados se producirá más a menudo? a) 2 caras y 2 cruces

b) 1 cara y 3 cruces

c) 3 caras y 1 cruz

4. María y Carlos juegan con un dado. María gana un euro si sale 2, 3, 4 o 5. Si sale un 1, gana Carlos. ¿Cuánto debería ganar Carlos, cuando obtiene un 1, para que el juego sea justo?

Y

Unidad 12

282

1. Experimentos aleatorios. Espacio muestral Como ya es conocido, denominamos fenómenos o experimentos deterministas a aquellos en los cuales los resultados producidos se pueden prever. En ocasiones, se les llama también fenómenos causales, porque la causa determina el efecto. Por contra, existen muchas situaciones (el tiempo que hará mañana, el volumen de agua de un embalse, la duración de un televisor, las preguntas del próximo examen, el ganador del próximo partido, etc.) en las que no puede saberse el resultado con antelación. Todas ellas provienen de los fenómenos o experimentos aleatorios. • Experimentos o fenómenos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de estos va a ser observado en la realización del experimento.

Aleatorio y azar Aleatorio, que depende de la suerte o el azar. En latín, alea significa dado y, también, suerte o azar.

A la colección de resultados que se obtiene en los experimentos aleatorios se le llama espacio muestral.

La palabra azar proviene del vocablo árabe zahr, que significa flor, por lo que solía pintarse una flor en una de las caras de un dado.

• Espacio muestral es el conjunto formado por todos los resultados de un experimento o fenómeno aleatorio. A este conjunto lo denotamos con la letra E.

ACTIVIDADES RESUELTAS 1. Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios: a) Lanzar tres monedas. b) Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos. c) Extraer dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras. d) El tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días consecutivos. a) Llamando C a obtener cara y X a la obtención de cruz, obtenemos el siguiente espacio muestral: E = {(CCC ), (CCX ), (CXC ), (XCC ), (CXX ), (XCX), (XXC), (XXX)} b) En este caso, el espacio muestral es: E = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18} c) Llamando B a sacar bola blanca y N a sacar bola negra, tenemos: E = {BB, BN, NN} d) Si llamamos Ll al día lluvioso y no Ll al día sin lluvia, para tres días consecutivos se obtiene el siguiente espacio muestral: E = {(Ll, Ll, Ll ); (Ll, Ll, no Ll); (Ll, no Ll, Ll ); (no Ll, Ll, Ll ); (Ll, no Ll, no Ll); (no Ll, Ll, no Ll); (no Ll, no Ll, Ll ); (no Ll, no Ll, no Ll)}

Y

Probabilidad

283

2. Sucesos En la actividad resuelta de la página anterior hemos visto que el espacio muestral asociado al lanzamiento de tres dados y la anotación de la suma de los puntos obtenidos es: E = { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18} Podemos considerar algunos subconjuntos de E, por ejemplo: • Salir múltiplo de 5: A = {5, 10, 15} • Salir número primo: C = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17} • Salir mayor o igual que 12: D = {12, 13, 14, 15, 16, 17, 18} A todos estos subconjuntos contenidos en el espacio muestral E los denominamos sucesos. • Suceso de un fenómeno o experimento aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral E.

Espacio muestral y espacio de sucesos En el experimento aleatorio de lanzar una moneda al aire y anotar cara (C) o cruz (X), tenemos que: • El espacio muestral es: E = {C, X} •

El espacio de sucesos es: S = {{}, {C}, {X}, {E}}

Debes tener en cuenta que: Si el espacio muestral E, asociado a un experimento aleatorio, tiene n elementos, el espacio de sucesos correspondiente S tiene 2n elementos.

Para designar cualquier suceso, también llamado suceso aleatorio, de un experimento aleatorio utilizaremos letras mayúsculas. Al conjunto de todos los sucesos que ocurren en un experimento aleatorio se le llama espacio de sucesos y se designa por S.

Algunos tipos de sucesos Analicemos los tipos más frecuentes de sucesos aleatorios: • Sucesos elementales son los que están formados por un solo resultado del experimento. • Sucesos compuestos son los que están formados por dos o más resultados del experimento; es decir, por dos o más sucesos elementales. • Suceso seguro es el que se verifica al realizar el experimento aleatorio. Está formado por todos los resultados posibles del experimento y, por tanto, coincide con el espacio muestral. • Suceso imposible es el que nunca se verifica. Se representa con el símbolo del conjunto vacío, . En el apartado d) de la actividad de la página anterior tenemos, por ejemplo, los siguientes sucesos: • El suceso A: {llueva los tres días} = {(Ll, Ll, Ll)} que es un suceso elemental. • El suceso B: {no llueva el tercer día} = {(Ll, Ll, no Ll); (Ll, no Ll, no Ll); (no Ll, Ll, no Ll); (no Ll, no Ll, no Ll)} que es un suceso compuesto que está formado por 4 sucesos elementales. Y

Unidad 12

284

3. Operaciones con sucesos En este apartado vamos a desarrollar los conceptos básicos asociados a los sucesos y a algunas de las operaciones que suelen realizarse con ellos.

3.1. Inclusión e igualdad de sucesos Un suceso A está incluido (contenido) en otro suceso B si todo suceso elemental de A pertenece también a B. Se representa por A B. Dos sucesos A y B son iguales si están formados por los mismos sucesos elementales. Se representa por A = B.

AB E

3.2. Unión de sucesos • Si tenemos dos sucesos A y B de un mismo experimento aleatorio, llamamos suceso unión de A y B al suceso que se realiza cuando lo hacen A o B. Se representa por A B. A

B

3.3. Intersección de sucesos AB E

• Si tenemos dos sucesos A y B de un mismo experimento aleatorio, llamamos suceso intersección de A y B al suceso que se realiza cuando lo hacen A y B. Se representa por A B. Ocurre a veces que la intersección de dos sucesos, A y B, es el suceso imposible; en este caso decimos que los sucesos A y B son incompatibles. Cuando no sucede esto, decimos que A y B son compatibles.

A

B

3.4. Sucesos contrarios

Andrei M. Kolmogorov (1903-1987)

Existen situaciones en las que la unión de dos conjuntos nos da el espacio muestral y la intersección de los mismos conjuntos da el conjunto imposible. En estos casos decimos que ambos conjuntos son contrarios o complementarios. • Para un suceso cualquiera A de un experimento aleatorio, llamamos suceso contrario del suceso A al suceso que se verifica cuando no se ve– rifica A, y recíprocamente. Se representa por A . En cualquier experimento aleatorio, todo suceso que consideremos tiene su contrario. Las propiedades más significativas de los sucesos contrarios son: – – – – 1. A A = E 2. A A = 3. E = 4. = E – A

E

Este matemático ruso trabajó en la Universidad de Moscú, y concentró sus estudios e investigaciones en análisis y cálculo de probabilidades.

A

Y

Probabilidad

285

3.5. Álgebra de Boole de sucesos En el espacio de sucesos S asociado al espacio muestral E correspondiente a un experimento aleatorio cualquiera, las operaciones unión, intersección y complementación (contrario) verifican las propiedades: PROPIEDADES

UNIÓN

INTERSECCIÓN

AB=BA

AB=BA

A (B C) = (A B) C

A (B C) = (A B) C

3. Idempotente

AA=A

AA=A

4. Simplificación

A (B A) = A

A (B A) = A

A (B C) = (A B) (A C)

A (B C) = (A B) (A C)

6. Elemento neutro

AØ=A

AE=A

7. Absorción

AE=E

A=

1. Conmutativa 2. Asociativa

5. Distributiva

A las familias de conjuntos que verifican las propiedades anteriores se les denomina álgebras de Boole. Por tanto, al espacio de sucesos S con las operaciones unión, intersección y complementación se le llama álgebra de Boole de los sucesos aleatorios.

George Boole (1815-1864)

Matemático inglés que destacó por su gran contribución a la lógica matemática. Su obra más importante lleva por título Investigación sobre las leyes del pensamiento.

En el álgebra de Boole anterior se verifican las siguientes propiedades, conocidas como leyes de Morgan: 1. El suceso contrario de la unión de dos sucesos es la intersección de sus sucesos contrarios: AB= AB 2. El suceso contrario de la intersección de dos sucesos es la unión de sus sucesos contrarios: AB= AB

ACTIVIDADES RESUELTAS 2. Tenemos una urna con nueve bolas numeradas del 1 al 9. Realizamos un experimento, que consiste en sacar una bola de la urna, anotar el número y devolverla a la urna. Consideramos estos dos sucesos: A = {salir un número primo} y B = {salir un número cuadrado}. Responde a las cuestiones siguientes: a) Calcula los sucesos A B y A B. b) Los sucesos A y B, ¿son compatibles o incompatibles? c) Encuentra los sucesos contrarios de A y B. Los sucesos A y B están formados por los sucesos elementales siguientes: A = {2, 3, 5, 7} y B = {1, 4, 9}. A partir de estos conjuntos, tenemos: a) La unión e intersección de A y B son: A B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9} y A B = Ø. b) Al ser A B = Ø, los sucesos A y B son incompatibles. – = {1, 4, 6, 8, 9}. c) El suceso contrario de A es A El suceso contrario de B es B– = {2, 3, 5, 6, 7, 8}.

Y

Unidad 12

286

4. Probabilidad Leyes de los grandes números En cursos anteriores realizamos o propusimos varios experimentos en los que era necesario realizar un número muy elevado de experiencias. A partir del estudio de los resultados obtenidos, enunciamos dos leyes que nos permiten definir el concepto de probabilidad y que son:

El concepto de probabilidad admite varias definiciones, según el punto de partida que se tome. La definición que vamos a adoptar es la que dio el matemático ruso Andrei Kolmogorov (1903-1987), en el año 1933, basando sus axiomas en las propiedades de las frecuencias relativas de los sucesos. Sea E el espacio muestral de un cierto experimento aleatorio y S el álgebra de Boole de los sucesos aleatorios asociado a dicho espacio muestral. • Llamamos probabilidad a toda aplicación P definida entre los conjuntos S y ⺢ (conjunto de los números reales): P: S q ⺢

• Primera ley de los grandes números: Cuando el número de realizaciones de un experimento aleatorio crece mucho, la frecuencia relativa del suceso asociado se va acercando más y más hacia un cierto valor. Este valor se llama probabilidad del suceso. • Segunda ley de los grandes números: Cuanto mayor es el número de realizaciones de un experimento aleatorio, mayor tiende a ser el valor absoluto entre la frecuencia absoluta del suceso y su frecuencia absoluta esperada.

ACTIVIDADES RESUELTAS

A q P(A) que verifica los axiomas siguientes: • Axioma 1. La probabilidad del suceso seguro o espacio muestral es 1. P(E) = 1 • Axioma 2. Cualquiera que sea el suceso A, su probabilidad es un número no negativo. P(A) v 0 • Axioma 3. Si A y B son dos sucesos incompatibles, A B = , entonces la probabilidad del suceso unión es la suma de las probabilidades. P(A B) = P(A) + P(B) Llamamos espacio probabilístico a la terna formada por (E, S, P), en la cual E es el espacio muestral, S el álgebra de Boole de los sucesos aleatorios y P la aplicación de probabilidad.

3. ¿Cuáles de las siguientes funciones definen una probabilidad en E = {A, B, C}? a) P(A) = 1/4, P(B) = 1/3, P(C ) = 1/2

c) P(A) = 1/6, P(B) = 1/3, P(C) = 1/2

b) P(A) = 2/3, P(B) = –1/3, P (C ) = 2/3

d) P(A) = 0, P(B) = 1/3, P(C) = 2/3

a) P no es una probabilidad, ya que P(E) = P(A) + P(B) + P(C) = 1/4 + 1/3 + 1/2 = 13/12 | 1 b) P no es una probabilidad, al ser P(B) = –1/3 y no cumplir el axioma 2. c) P es una probabilidad. Puede comprobarse sin dificultad que cumple los tres axiomas. d) Ocurre la misma circunstancia que en el caso anterior. 4. Sea P una probabilidad definida en E = {A, B, C}. Encuentra P(A) en los casos: a) P(B) = 1/3 y P(C) = 1/4

b) P(A) = 2P(B) y P(C) = 1/4

c) P(C) = 2P(B) y P(B) = 3P(A)

a) Según los axiomas 1 y 3, debe ser: P(A) = 1 – 1/3 – 1/4; luego P(A) = 5/12. b) Si llamamos P(A) = x, la aplicación de los axiomas 1 y 3 nos lleva a la ecuación: x + x/2 + 1/4 = 1. La solución es x = 1/2 y, por tanto, P(A) = 1/2. c) Procediendo como en el caso anterior, llamando P(A) = x, las condiciones del enunciado llevan a la ecuación: x + 3x + 6x = 1. La solución es x = 1/10, luego P(A) = 1/10.

Y

Probabilidad

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Propiedades de la probabilidad De la anterior definición axiomática de probabilidad de un suceso, vamos a enunciar y demostrar varias propiedades de gran utilidad en el cálculo de probabilidades de sucesos cualesquiera.

Sucesos contrarios E

– • Para sucesos contrarios A y A se cumple: – P(A) = 1 – P(A)

– A

– – – Dos sucesos contrarios A y A verifican: E = A A y A A = . Teniendo en cuenta los axiomas 1 y 3, obtenemos: – – P(E) = P(A A) = P(A) + P(A) – – Por tanto, P(A) + P(A) = 1 y P(A) = 1 – P(A).

A

• La probabilidad del suceso imposible, , es 0, es decir: P()= 0 – Los sucesos seguro e imposible son contrarios, = E. Según la propiedad an– terior, P(Ø) = P(E) = 1 – P(E) = 1 – 1 = 0. • Si A y B son sucesos compatibles, A B | , entonces la probabilidad de la unión es:

Diferencia de sucesos – A – B = A B

E

P(A B) = P(A) + P(B) – P (A B) Descomponemos los sucesos A y A B en unión de dos sucesos que sean incompatibles: A = (A – B) (A B) y A B = (A – B) B

A–B

A

B

Teniendo en cuenta en ambos casos el axioma 3, obtenemos: P(A) = P(A – B) + P(A B) y P(A B) = P(A – B) + P(B) Por tanto, P(A B) = P(A – B) + P(B) = P(A) + P(B) – P(A B).

ACTIVIDADES RESUELTAS 5. Por una encuesta realizada entre los estudiantes de Bachillerato de un instituto, se sabe que el 40 % lee el periódico y el 30 % lee alguna revista de información general. Además, el 20 % lee periódicos y revistas. Con estos datos, ¿cuál es la probabilidad de que un estudiante, elegido al azar, lea el periódico o revistas?

Llamamos PE al suceso «lee el periódico» y R al suceso «lee revista». Las probabilidades que proporciona el enunciado son: P(PE) = 0,4

P(R) = 0,3

P(PE R) = 0,2

Para calcular la probabilidad pedida, con la tercera propiedad de esta página, tenemos: P(PE R) = P(PE) + P(R) – P(PE R) = 0,4 + 0,3 – 0,2 = 0,5

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5. Regla de Laplace

Consideramos un espacio muestral E con n sucesos elementales: Pierre Simon Laplace (1749-1827)

E = {A1, A2, A3, …, An } Si todos estos sucesos son equiprobables, es decir, tienen la misma probabilidad, la regla de Laplace dice: • La probabilidad de un suceso A formado por h sucesos elementales es igual al cociente entre el número de resultados favorables y el número de resultados posibles. Así, P(A) =

número de casos favorables al suceso núm mero de casos posibles

Veamos la justificación de esta regla. Al ser los sucesos elementales incompatibles dos a dos y formar su unión todo el espacio muestral, se tiene: Gran científico francés. Entre sus numerosas actividades destaca su dedicación a las Matemáticas y, en particular, al cálculo de probabilidades. Las obras que recogen sus trabajos son: La teoría analítica de las probabilidades y Ensayo filosófico sobre las probabilidades.

1= P(E) = P(A1 A2 … An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An) = nP(Ai) Por tanto: 1 n Sea A = A1 A2 … Ah el suceso formado por los h primeros sucesos elementales. Se verifica: h P(A) = P(A1 A2 … Ah) = P(A1)+ P(A2) + … + P(Ah) = hP(Ai) = n En este cociente, h representa el número de resultados favorables y n el número de resultados posibles. P(Ai) =

ACTIVIDADES RESUELTAS 6. En una bolsa hay tres bolas numeradas del 1 al 3. Consideramos el siguiente experimento aleatorio: sacamos una bola y anotamos su número, sin devolverla a la bolsa sacamos otra bola y anotamos su número y sin devolver esta a la bolsa sacamos la tercera bola y anotamos su número. Calcula la probabilidad de sacar los números en orden creciente o decreciente. El espacio muestral, E, lo determinamos mediante un diagrama de árbol: 1ª bola 1 2 3

2ª bola

3ª bola

12 13 21 23 31 32

123 132 213 231 312 321

Por tanto, el espacio muestral y el suceso A = {sacar los números en orden}, son: E = {123, 132, 213, 231, 312, 321} A = {123, 321} y la probabilidad pedida es: P ( A) =

2 1 = 6 3

Y

Probabilidad

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ACTIVIDADES RESUELTAS 7. Se lanzan dos dados de seis caras. Halla:

DIFERENCIA 3 Segundo dado

a) La probabilidad de obtener suma 8 en las caras superiores. b) La probabilidad de que los valores obtenidos en las caras superiores difieran en 3 unidades. Para determinar el espacio muestral y los sucesos en el experimento aleatorio de «tirar dos dados» es corriente hacer una representación o diagrama similar al de la figura.

6

5

4 DIFERENCIA 3 3

El espacio muestral está formado por 36 sucesos elementales y equiprobables.

2

a) Observamos que el suceso A = { obtener suma 8 } está formado por 5 sucesos elementales:

SUMA 8 1

A= {(2, 6); (3, 5); (4, 4); (5, 3); (6, 2)} Utilizando la regla de Laplace, la probabilidad pedida es: P ( A) =

1

5 36

2

3

4

5

6

Primer dado

b) Análogamente, la probabilidad del suceso B = {valores obtenidos difieren en 3 unidades} es: P (B ) =

6 1 = 36 6

8. En una caja tenemos 15 bolas blancas, 30 bolas negras y 45 bolas verdes. Si extraemos tres bolas simultáneamente, ¿cuál es la probabilidad de que salga una bola de cada color? Para resolver el problema calcularemos los casos posibles del experimento y los casos favorables al suceso del enunciado para aplicar la regla de Laplace. Los casos posibles son las distintas formas de extraer 3 bolas entre 90. Como el orden no debe tenerse en cuenta, estos casos son:

冢 3 冣= 90

90 89 88 = 117480 1 2 3

Los casos favorables son 15 · 30 · 45 = 20 250. Estas son todas las formas posibles de agrupar tres bolas de distinto color. Resulta entonces que la probabilidad pedida es: P(tres bolas del mismo color) =

20250 = 0,,1724 117480

9. Demuestra que si A B entonces P(A) f P(B). E

Como A B existe un suceso C, de modo que: AC=

B=AC

y

B

Por lo que: P(B) = P(A C) = P(A) + P(C)

con

P(C) v 0

A

C

Con lo cual P(B) v P(A), es decir: AB

P(A) f P(B)

Y

Unidad 12

290

6. Experimentos compuestos. Diagramas de árbol Son numerosas las experiencias aleatorias que consisten en la realización consecutiva de dos o más experiencias simples. Estas experiencias reciben el nombre de experimentos compuestos. • Llamamos experimentos compuestos a los formados por varios experimentos simples que se efectúan consecutivamente. El espacio muestral del experimento compuesto se obtiene a partir de los espacios muestrales de los experimentos simples que lo componen. • Llamamos espacio compuesto o espacio producto al conjunto de todos los resultados elementales que tienen lugar en un experimento compuesto. El cálculo de probabilidades de los sucesos que ocurren en los experimentos compuestos se efectúa en función de las probabilidades de los sucesos elementales de las experiencias simples que forman el experimento compuesto. • La probabilidad de un suceso elemental de un espacio compuesto puede calcularse multiplicando las probabilidades de los sucesos elementales que conforman la experiencia compuesta. Los diagramas de árbol, como ya se puso de manifiesto en la unidad dedicada a las formas de contar, son una herramienta inmejorable en la descripción de los experimentos compuestos y en el cálculo de probabilidades asociadas a estas experiencias. Veremos algunos ejemplos en las actividades resueltas que siguen.

ACTIVIDADES RESUELTAS 10. Dos personas, A y B, organizan el siguiente juego: tiran un dado tres veces; si sale algún 1, gana A; si no sale ningún 1, gana B. ¿Cuál de las dos personas tiene más probabilidades de ganar?

1/6

1/6

Salir 1

5/6

No salir 1

Salir 1

Salir 1

Calculamos las probabilidades de ganar de cada una de las personas. Las probabilidades asociadas a cada una de las tiradas pueden verse en el diagrama de árbol adjunto. La probabilidad de que no salga el número 1 al tirar un dado es 5/6, y la probabilidad de que no salga ningún 1 al tirar el dado tres veces es

冢冣

5 5 5 5 = 6 6 6 6

1/6

5/6

5/6

1/6

3

1/6

Salir 1

5/6

No salir 1

No salir 1

1/6

Salir 1

5/6

No salir 1

Salir 1

No salir 1 5/6

De esta forma tenemos que: La probabilidad de que gane B es: P(no sale ningún 1) =

冢56 冣

La probabilidad de que gane A es: P( sale algún 1) = 1

冢冣 5 6

3

3

= 0, 5787 = 1 0, 5787 = 0, 4213

A partir de estos resultados vemos que tiene más probabilidades de ganar el jugador B.

1/6

Salir 1

5/6

No salir 1

No salir 1

Y

Probabilidad

291

ACTIVIDADES RESUELTAS 11. Una casa tiene dos escaleras. La escalera A tiene 10 pisos, y cuatro de ellos tienen alarma; en la escalera B, cinco pisos tienen alarma y cinco no. Una persona despistada entra en una de las escaleras y luego intenta entrar en uno de los pisos. ¿Cuál es la probabilidad de que intente entrar en un piso con alarma? 4/10

Alarma

1/2

6/10

No alarma

1/2

5/10

Alarma

5/10

No alarma

Teniendo en cuenta el diagrama de árbol con las probabilidades que aparecen en sus ramas, se obtiene la probabilidad siguiente:

Escalera A

P (alarma) = P (alarma en escalera A) + P(alarma en escalera B) = 1 4 1 5 4 5 9 + = + = = 0, 45 = 2 10 2 10 20 20 20

Escalera B

12. Una urna, A, contiene 5 bolas rojas y 3 bolas blancas. Otra urna, B, contiene 2 bolas blancas y 6 rojas. Si se saca una bola de cada urna, ¿cuál es la probabilidad de que sean de igual color? Procediendo como en la actividad anterior, los datos que aparecen en el diagrama de árbol nos permiten calcular la probabilidad de que las dos bolas sean del mismo color, es decir, las dos bolas rojas (RR) o las dos blancas (BB):

6/8

Roja B

5/8

2/8

Blanca B

3/8

6/8

Roja B

2/8

Blanca B

Roja A

P (bolas mismo color) = P (RR o BB ) = P(RR) + P (BB ) = = =

5 6 3 2 + = 8 8 8 8

Blanca A

30 6 36 + = = 0, 5625 64 64 64

13. En una casa hay tres llaveros A, B y C, el primero con 5 llaves, el segundo con 7 y el tercero con 8, de las que solo una de cada llavero abre la puerta del trastero. Se escoge al azar un llavero y, de él, una llave para intentar abrir el trastero. a) ¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave? b) ¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el tercero y la llave no abra? Los datos del diagrama de árbol adjunto nos permiten calcular las probabilidades del enunciado.

=

1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + = + + = 3 5 3 7 3 8 15 21 24

=

56 40 35 131 + + = = 0,1560 840 840 840 840

1 7 7 = 0, 2916 b) P (no acierte con C ) = = 3 8 24

Acierte

4/5

No acierte

1/7

Acierte

6/7

No acierte

1/8

Acierte

7/8

No acierte

Llavero A

a) La probabilidad de acertar con la llave es: P (acierte) = P (acierte con A) + P (acierte con B) + P(acierte con C ) =

1/5

1/3

1/3

Llavero B

1/3

Llavero C

Y

Unidad 12

292

7. Sucesos dependientes e independientes Tres sucesos independientes Tres sucesos A, B y C, son independientes si cumplen todas las condiciones siguientes: P(A B C) = P(A) · P(B) · P(C) P(A B) = P(A) · P(B) P(A C) = P(A) · P(C) P(B C) = P(B) · P(C)

Son numerosos los experimentos compuestos que se realizan con reemplazamiento o devolución de las experiencias previas; en estos casos, estas no influyen o condicionan las experiencias que siguen. En estas situaciones decimos que los sucesos que ocurren son independientes. Por contra, en los experimentos compuestos sin devolución o reemplazamiento, los resultados de unas experiencias influyen o condicionan a las otras. En estas situaciones decimos que los sucesos son dependientes. Estas situaciones nos permiten dar las siguientes definiciones:

Observa la actividad resuelta número 17 de la página siguiente sobre la independencia de tres sucesos.

• Para dos sucesos A y B que pueden provenir de experiencias compuestas, decimos que A y B son independientes si cumplen: P(A B) = P(A) · P(B) • Para dos sucesos A y B que pueden provenir de experiencias compuestas, decimos que A y B son dependientes si cumplen: P(A B) | P(A) · P(B) Los sucesos A y B, cuando son dependientes, cumplen: P(A B) = P(A) · P(B supuesto que ha ocurrido A)

ACTIVIDADES RESUELTAS

A la probabilidad P(B supuesto que ha ocurrido A) le llamamos probabilidad de B condicionada a A y la escribimos P(B/A). El estudio de la probabilidad condicionada se realiza en la siguiente unidad. – – Si dos sucesos A y B son independientes, sus sucesos contrarios, A y B, también son independientes. Una prueba de este hecho la veremos en las actividades resueltas que siguen.

14. Lanzamos un dado cúbico con las caras numeradas del uno al seis y leemos el número que aparece en la cara superior. Consideramos los sucesos siguientes: A = {obtener un número primo}; B = {obtener un múltiplo de 2}, y C = {obtener un múltiplo de 3}. Estudia la independencia de los sucesos: a) A y B; b) B y C Los sucesos del enunciado y sus intersecciones están formados por los sucesos elementales siguientes: A = {2, 3, 5};

B = {2, 4, 6};

A B = {2}

C = {3, 6};

y

Veamos, en cada caso, si los sucesos pedidos cumplen la condición de independencia: a) Las probabilidades son: P ( A) P ( B ) =

3 3 1 = 6 6 4

y

P ( A B) =

1 6

P (B C ) =

1 6

Los sucesos A y B no son independientes, es decir, son dependientes. b) Las probabilidades son: P ( B ) P (C ) = Los sucesos B y C son independientes.

3 2 1 = 6 6 6

y

B C = {6}

Y

Probabilidad

293

ACTIVIDADES RESUELTAS – y B. – 15. Se consideran dos sucesos A y B independientes. Prueba que son independientes entre sí los sucesos A – B– ) = P(A) – · P( B). – Esta puede verse en la siguiente cadena de igualdades: Debemos establecer la condición P(A P ( A B ) = P ( A B ) = 1 – P(A B) = 1 – P(A) – P(B) + P(A B) = (1)

(2)

(3)

(4)

– · P( B) – = 1 – P(A) – P(B ) + P(A) · P(B) = (1 – P(A)) · (1 – P(B)) = P(A) (4)

(5)

(6)

La igualdad (1) se establece por las leyes de Morgan; la (2) y la (6) por la probabilidad del suceso contrario; la igualdad (3) por la probabilidad del suceso unión; la (4) por la hipótesis de ser A y B independientes, y la (5) al operar las expresiones.

16. Determina si los sucesos A y B son compatibles o incompatibles, dependientes o independientes, sabiendo que: P(A) =

Al ser P(A) + P(B ) =

1 ; 2

P(B) =

1 ; 2

P(A B) =

3 4

1 1 + = 1 | P(A B ), los sucesos A y B son compatibles, es decir, su intersección es distinta del suceso 2 2

imposible, A B | . La probabilidad de la intersección de los sucesos A y B se obtiene de la forma siguiente: P(A B ) = P(A) + P(B) – P(A B) = Al ser P(A) · P(B ) =

1 1 3 1 + – = 2 2 4 4

1 1 1 · = = P(A B ), los sucesos A y B son independientes. 2 2 4

17. Se arroja al aire tres veces consecutivas una moneda. En cada uno de los lanzamientos denominamos C al suceso obtener cara y X al suceso obtener cruz. Consideramos los sucesos: H = {(CCC ), (CCX ), (CXX ), (XXX )} I = {(CCC ), (CXC ), (XCX ), (XXX )} J = {(CCC ), (XCC ), (XXC ), (XXX )} ¿Son independientes H, I y J ? Los sucesos elementales de todas las intersecciones de los sucesos son: H I = H J = I J = H I J = {(CCC ), (XXX )} Calculando las probabilidades de todos los sucesos que aparecen en la actividad, obtenemos: • Al ser P(H) · P(I ) = 1/2 · 1/2 = 1/4 = P(H I ), los sucesos H e I son independientes. • Al ser P(H ) · P( J) = 1/2 · 1/2 = 1/4 = P(H J ), los sucesos H y J son independientes. • Al ser P(I) · P( J) = 1/2 · 1/2 = 1/4 = P(I J ), los sucesos I y J son independientes. • Al ser P(H) · P(I ) · P( J) = 1/2 · 1/2 · 1/2 = 1/8 | 1/4 = P(H I J ), los sucesos H, I y J no son independientes. Observamos, a partir de estos resultados, que tres sucesos que son independientes dos a dos pueden no ser independientes los tres a la vez.

Y

Unidad 12

294

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Un número irracional Demuestra que el número

2 es irracional.

FAMILIARIZACIÓN CON EL PROBLEMA Al leer el enunciado pensamos en la definición de número irracional. Después tratamos de hallar el valor de 2 con la calculadora y obtenemos: 2 = 1,414213562… Observamos un número decimal con muchas cifras decimales y, en principio, no periódico.

BÚSQUEDA DE ESTRATEGIAS Seguimos intentándolo y calculamos

2 con el ordenador:

2 = 1,41421356237309504880168872420… Vemos que no parece ser un decimal periódico, es decir, no es un número racional. Pensamos cómo demostrar lo que parece una conjetura y creemos que lo mejor es utilizar el método de demostración por reducción al absurdo, una especie de marcha atrás.

LLEVAR ADELANTE LA ESTRATEGIA Suponemos que 2 no es irracional, por tanto, poner en forma de fracción de este modo: 2=

2 será racional, con lo que se puede

a con a, b Z, y primos entre sí. b

De esta igualdad obtenemos: a = 2 b. Elevando ambos miembros al cuadrado nos queda: a2 = 2b2. De aquí deducimos que a2 es par. Si a2 es par, entonces a también es par puesto que el cuadrado de un número impar es impar. Como a es par podemos escribir: a = 2p con p Z y sustituyendo en la igualdad a2 = 2b2 obtenemos: (2p)2 = 2b2 4p2 = 2b2 2p2 = b2 Con lo que b2 es par y, por tanto, b también es un número par. Con esto hemos llegado a que a y b son pares. Este resultado contradice el hecho de que a y b son primos entre sí. Por tanto, hemos llegado a una contradicción o absurdo, por lo que concluimos afirmando que 2 no es un número racional, es decir, es un número irracional.

REVISAR EL PROCESO Y SACAR CONSECUENCIAS DE ÉL

a

Pitágoras de Samos.

Observamos que en la demostración no hemos recorrido el camino directo que nos lleva de la hipótesis a la tesis, sino que hemos supuesto que la tesis es falsa y a través de un razonamiento lógico hemos llegado a una contradicción. Esta propiedad fue demostrada por Pitágoras o alguno de sus discípulos, y ya aparece escrita en los Elementos de Euclides.

Y

Probabilidad

295

Demostración por reducción al absurdo El método de demostración por reducción al absurdo, también llamado método de reductio ad absurdum, fue un método muy utilizado por Euclides. Consiste en suponer que la tesis es falsa y, a través de un razonamiento lógico, llegar a una contradicción o absurdo. De este hecho se deduce que la tesis del teorema es verdadera, con lo que queda probado el teorema o la propiedad. El matemático inglés Godfrey Harold Hardy (1877-1947) decía sobre este método: «Es una de las más poderosas armas de un matemático. Es un gambito mucho más hermoso que cualquiera de los que pueda ofrecer el juego del ajedrez: un jugador de ajedrez puede ofrecer en sacrificio un peón o incluso una pieza mayor, pero un matemático ofrece el juego completo.» Esta cita ilustra perfectamente la pasión por el descubrimiento científico, y la belleza de las matemáticas.

Hardy en su libro Autojustificación de un matemático recoge dos famosos teoremas de la matemática griega clásica. Uno de ellos es el que hemos desarrollado en la página anterior, y que dice que 2 es un número irracional. El otro afirma que existen infinitos números primos. Con el fin de familiarizarnos con este método, veamos la demostración que hizo Euclides de este último teorema. Tenemos que probar que hay infinitos números primos, es decir, que el conjunto de números: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, … tiene infinitos elementos. Para ello, suponemos que este conjunto tiene un número finito de elementos, es decir, que existe un último número primo P. Sobre esta hipótesis definimos el número Q como: Q = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · …· P + 1 Evidentemente Q no es divisible por ninguno de los números primos 2, 3, 5, 7, …, P, ya que al dividirlo por cualquiera de ellos siempre nos da 1 de resto. Deducimos que Q es un número primo, y como Q es mayor que P, llegamos a una contradicción de la hipótesis de partida, que decía que P era el mayor primo. En consecuencia hemos llegado a un absurdo y podemos afirmar que la hipótesis de partida es falsa y, por tanto, el conjunto de los números primos tiene infinitos elementos.

c

Godfrey Harold Hardy.

A C T I V I D A D E S 䊏 Utiliza el método de demostración por reducción al absurdo para resolver las siguientes actividades: 1. Número irracional. Demuestra que

3 es un número irracional.

2. Implicación lógica. Demuestra que si P ¡ Q entonces no P ¡ no Q.

Y

Unidad 12

296

NUEVAS TECNOLOGÍAS Probabilidad con Derive El programa Derive nos permite trabajar la probabilidad mediante la regla de Laplace, utilizando cálculos combinatorios.

Para resolver problemas de probabilidad usaremos las siguientes funciones que nos ofrece Derive: • PERM(m, n): permite calcular el número de variaciones, sin repetición, de m elementos tomados n a n. • COMB(m, n): permite calcular el número de combinaciones, sin repetición, de m elementos tomados de n en n. • PERM(n, n): calcula las permutaciones, sin repetición, de n elementos. Resolvemos el siguiente problema de probabilidad: En un cofre tenemos 20 monedas de oro, 25 monedas de plata y 35 monedas de bronce. a) Si extraemos 3 monedas, una detrás de otra, sin reemplazamiento, ¿cuál es la probabilidad de que salga una moneda de cada metal? b) Si extraemos 3 monedas con reemplazamiento de la moneda extraída, ¿cuál es la probabilidad de que salga una moneda de cada metal? a) Calculamos el número de casos favorables: 20 25 35 = 20 25 35 = 17500 1 1 1

冢冣冢冣冢冣

y el número de casos posibles: 80 80 79 78 = = 82160 3 2 1 3

冢冣

La probabilidad viene dada por: P(3 monedas distintas) =

17500 = 0, 2130 82160

b) Calculamos el número de casos favorables: 20 25 35 3! = 20 25 35 6 = 105000 1 1 1

冢冣冢冣冢冣

y el número de casos posibles: 80 80 80 = 80 80 80 = 512000 1 1 1

冢冣冢冣冢冣

La probabilidad viene dada por: P(3 monedas distintas) =

105000 = 0, 2051 512000

En la imagen vemos la resolución de este problema utilizando algunas de las expresiones anteriores:

PRACTICA con Derive la resolución de las actividades números 10, 15 y 27.

Y

Probabilidad

297

EN RESUMEN EXPERIMENTOS ALEATORIOS todos los posibles resultados es el

ELEMENTAL ESPACIO MUESTRAL COMPUESTO cada subconjunto es un

UNIÓN COMPLEMENTACIÓN

SEGURO operaciones

INTERSECCIÓN

clases

SUCESO

IMPOSIBLE

con propiedades forman

– P(A) + P(A) = 1 P() = 0, 0 f P(A) f 1 P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

Ax 1: P(E) = 1 algunas propiedaes

ÁLGEBRA DE BOOLE DE LOS SUCESOS

a través de

Ax 2: P(A) v 0 Ax 3: Si A y B son incompatibles:

sobre ella se define

P(A B) = P(A) + P(B)

PROBABILIDAD algunos resultados importantes

REGLA DE LAPLACE P ( A) =

Nº de casos favorables a A Nº de casos posibles

INDEPENDENCIA DE SUCESOS A y B son independientes si P(A B) = P(A) · P(B) A y B son dependientes si P(A B) | P(A) · P(B)

AMPLÍA CON… El teorema (Editorial Planeta) de Adam Fawer es una novela de acción en la que los acontecimientos se suceden de forma vertiginosa. El protagonista padece ataques de epilepsia y estos son la causa de que pierda su trabajo como profesor de estadística en la Universidad. Su habilidad con el cálculo de probabilidades le hace caer en el juego, y este en manos de la mafia. El protagonista decide arriesgarse con un medicamento en pruebas para curar su enfermedad y obtener dinero para saldar sus deudas. Este medicamento le proporciona visiones del futuro, y el médico que se lo suministra quiere probar una teoría matemática propuesta por Laplace sobre la predicción del futuro. Es una novela de acción y aventuras que mantiene el interés del lector de principio a fin.

Y

Unidad 12

298

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD RESUELTAS Sea E = {a1, a2, a3} el espacio de sucesos elementales de un experimento aleatorio. Observa cuáles de las funciones siguientes definen una función de probabilidad: a) P(a1) = 1/2; P(a2) = 1/3; P(a3) = 1/6

c) P(a1) = 1/2; P(a2) = 0; P(a3) = 1/2

b) P(a1) = 3/4; P(a2) = –1/4; P(a3) = 1/4

d) P(a1) = 2/3; P(a2) = 1/3; P(a3) = 1/3

a) La función definida en este caso es una probabilidad ya que puede comprobarse que cumple los tres axiomas de la definición. En particular puede verse que: P ( E ) = P ( a1 ) + P ( a2 ) + P ( a3 ) =

1 1 1 + + =1 2 3 6

b) No es una función de probabilidad, ya que una de las probabilidades es negativa. c) En este caso puede comprobarse que se cumplen los tres axiomas de probabilidad. d) No es una función de probabilidad, ya que la suma de las probabilidades de los sucesos elementales es superior a uno: P ( a1 ) + P ( a2 ) + P ( a3 ) =

2 1 1 4 + + = >1 3 3 3 3

Una urna contiene 3 bolas rojas, 2 blancas y 1 azul, y otra urna contiene 2 bolas rojas, 2 blancas y 1 amarilla. Se saca, al azar, una bola de cada urna y se anota el color. Se pide: a) Construye un espacio muestral adecuado a esta experiencia. b) Escribe, a partir de los elementos del espacio muestral, los siguientes casos: A = {las dos bolas son rojas}, B = {las dos bolas son del mismo color} c) Calcula P(A), P(B), P(A B ) y P(A B). Denotando los colores rojo (r), blanco (b), azul (az) y amarillo (am), obtenemos: a) El espacio muestral está formado de los siguientes nueve sucesos elementales: E = {(r, r), (r, b), (r, am), (b, r), (b, b), (b, am), (az, r), (az, b), (az, am)} b) El suceso A (las dos bolas son rojas) es A = {(r, r)} y el suceso B (las dos bolas son del mismo color) es B = {(r, r), (b, b)}. c) Las probabilidades pedidas son: P ( A) = P ({( r , r )}) =

3 2 1 = 6 5 5

P ( B ) = P ({( r , r ), ( b, b) } ) = P [( r , r )] + P [( b, b)] = P ( A B ) = P (B ) =

Si A y B son dos sucesos tales que: P ( A) =

1 3

y

1 3 2 2 2 1 2 5 = + = + = 5 3 6 5 6 5 5 15 15 P ( A B ) = P ( A) =

1 5

3 1 1 – B) – y P( A B). – , P (B ) = , P ( A B ) = , halla P(A 8 2 4

¬3 1 1¼ 3 P ( A B ) = P ( A B ) = 1 P ( A B ) = 1 [ P ( A) + P ( B ) P ( A B ) ] = 1 + ½ = ®8 2 4 ¾ 8 P ( A B ) = P ( A) P ( A B ) =

3 1 1 = 8 4 8

Y

Probabilidad

299

Se lanzan 5 dados sobre una mesa. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan solo números pares? ¿Y de que salga al menos un 6? La probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par es 3/6 = 1/2. Teniendo en cuenta que los resultados de cada uno de los dados es independiente de los demás, se tiene que la probabilidad de que al lanzar 5 dados salgan solo números pares es: P1 =

5

冢冣 1 2

=

1 = 0, 03125 32

La probabilidad de que al lanzar un dado no obtengamos un 6 es 5/6, y la probabilidad de que al lanzar 5 dados no se obtenga en ninguno de ellos 6 es (5/6)5 = 0,4019. Como el suceso «obtener al menos un 6» es el suceso contrario de «no obtener ningún 6», se tiene que la probabilidad buscada es: 5 5 P2 = 1 = 1 0, 4019 = 0, 5981 6

冢冣

Se extrae una carta de una baraja española de 40 cartas. Si la carta extraída es un rey, sacamos una bola de la urna I que contiene 7 bolas blancas y 5 negras. Si la carta extraída no es un rey sacamos una bola de la urna II que contiene 6 bolas blancas y 4 negras. Halla: a) La probabilidad de sacar bola blanca y de la urna II. b) La probabilidad de sacar bola negra. a) Para sacar bola de la urna II hemos debido no sacar un rey de la baraja. La probabilidad de sacar bola blanca de II es: P(blanca II) =

36 6 = 0,54 40 10

b) La probabilidad de sacar bola negra viene dada por la de sacar un rey y bola negra de I o no sacar rey y sacar bola negra de II, es decir: 4 5 36 4 241 P(negra) = + = = 0, 40 40 12 40 10 600

Si se elige al azar una permutación de las cifras 1, 2, 3, 4, 5, ¿cuál es la probabilidad de que no encontremos cifras impares juntas? El número de casos posibles de permutar esas cifras es: P5 = 5! = 120 El número de casos favorables de que no encontremos cifras impares juntas es que se presente la situación: I P I P I

(I, impar; P, par)

Son P2 · P3 = 2 · 6 = 12 casos favorables. La probabilidad pedida es: P(no impares junos) =

12 1 = 120 10

Y

Unidad 12

300

ACTIVIDADES FINALES EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1. Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios: a) Se lanzan al aire 3 monedas y se anotan los resultados de las caras obtenidas. b) Se lanzan 3 dados y se anota la suma de los puntos de las caras superiores. c) Se lanzan al aire 2 dados y se anota la suma de los puntos de las caras superiores. d) Extracción de dos bolas en una urna que contiene 5 bolas blancas, 6 negras y 7 verdes, si la extracción se efectúa con reemplazamiento o sin reemplazamiento. e) Sacar, con y sin reposición, 3 cartas de una baraja española de 40 cartas. 2. Consideramos el fenómeno aleatorio extraer una carta de una baraja de cuarenta y anotarla, y los sucesos A = {sacar oro}, B = {sacar rey}, C = {sacar el rey de bastos}. Determina los sucesos siguientes: – a) A C b) A B C c) A B C d) A B 3. Sea E un espacio muestral con cuatro elementos, E = {A, B, C, D}. ¿Cuál de las siguientes funciones es una probabilidad? a) P(A) = 1/2, P(B) = 1/3, P(C ) = 1/4, P(D) = 1/5 b) P(A) = 1/2, P(B) = 1/4, P(C ) = –1/4, P(D) = 1/5 c) P(A) = 1/2, P(B) = 1/4, P(C ) = 1/8, P(D) = 1/8 4. Sea el espacio muestral E = {A, B, C, D} y P una función de probabilidad sobre E. Calcula P(A) en los casos siguientes: a) P(B) = 1/3, P(C ) = 1/6 y P(D) = 1/9

c) P(A) = 3P(B), P(B) = 2P(C) y P(D) = 2P(B)

b) P({B, C}) = 2/3, P({B, D}) = 1/2 y P(B) = 1/3

d) P(B) = P(A), P(C) = 2P(A) y P(D) = 4P(A)

5. Considera el espacio muestral E = {a, b, c, d} en el que los cuatro sucesos tienen la misma probabilidad. Sean S1 = {a, b} y S2 = {a, c}. a) ¿Son S1 y S2 sucesos incompatibles? b) Calcula la probabilidad del suceso S1 S2 y la probabilidad del suceso contrario de S2. 6. Dados dos sucesos A y B, si P(A) = 0,4 y P(B) = 0,5, ¿es posible que P(A B) = 0,7? Razona la respuesta. – Consideramos A y B dos sucesos tales 7. Sabemos que la diferencia de dos sucesos A y B se define como A – B = A B. que P(A B) = P(A B). ¿Cuánto valen P(A – B) y P(B – A)? 1 Si P(A B) = , ¿cuánto valen P(A) y P(B)? 2 8. Una moneda está fabricada de manera que la probabilidad de obtener cara es triple que la de obtener cruz. Calcula la probabilidad de obtener cara y de obtener cruz en el lanzamiento de dicha moneda. 9. En el lanzamiento de cuatro monedas, calcula la probabilidad de que: a) Salga, al menos, una cruz. b) Dos sean caras y dos cruces.

Y

Probabilidad

301

10. Resuelve las cuestiones siguientes referidas al lanzamiento de dados: a) Se lanzan tres dados. Halla la probabilidad de obtener por lo menos un cuatro. b) Se lanzan dos dados. Halla la probabilidad de que la suma de los puntos sea menor que seis. c) ¿Por qué es más frecuente, en el lanzamiento de tres dados, obtener suma 10 que suma 9? 11. Se lanzan dos dados una sola vez en un juego en el que participan dos jugadores. El primer jugador gana cuando la suma de las puntuaciones en las caras superiores de los dados es igual a un número impar, mientras que el segundo jugador gana cuando la citada suma es un número par múltiplo de 3. Halla: a) Probabilidad de que gane el primer jugador b) Probabilidad de que gane el segundo jugador. c) Probabilidad de que ninguno gane. 12. De una baraja española de 40 cartas se extrae una al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea bastos o menor de cinco? 13. De una baraja de 40 cartas se extraen 3 naipes consecutivamente sin reemplazamiento. Calcula la probabilidad de obtener la secuencia sota, caballo, rey. 14. De una urna que contiene 8 bolas rojas, 5 amarillas y 7 verdes se extrae una bola al azar. Calcula la probabilidad de que: a) Sea una bola roja.

b) Sea una bola verde.

c) Sea una bola roja o verde. d) No sea roja.

15. De una urna que contiene 9 bolas rojas y 5 negras se extraen, sucesivamente, dos bolas. Halla la probabilidad de que sean: a) Las dos negras.

c) La primera roja y la segunda negra.

b) Las dos rojas.

d) Una roja y otra negra.

16. Una urna contiene 5 bolas blancas y 7 negras. Se sacan al azar tres bolas. Calcula la probabilidad de que, al menos, una sea blanca. 17. Se tienen dos urnas. La primera contiene 6 bolas blancas y 8 negras, y la segunda, 4 blancas y 12 negras. Se extrae al azar una bola de cada urna. ¿Cuál es la probabilidad de que sean del mismo color? 18. Ana, Juan y Raúl, que están esperando para realizar una consulta médica, deciden sortear el orden en que van a entrar. a) Calcula la probabilidad de que los dos últimos en entrar sean hombres. b) Determina si son independientes los sucesos S1 y S2, siendo: S1: «la mujer entra antes que alguno de los hombres». S2: «los dos hombres entran consecutivamente». 19. Sean A y B dos sucesos tales que P(A) = 1/2 y P(B) = 3/5. Calcula, razonadamente, para qué valor de P(A B) los sucesos A y B son independientes. 20. ¿Son independientes los sucesos de sacar múltiplo de tres y sacar múltiplo de cuatro al lanzar al aire un dado en forma de dodecaedro regular? 21. Determina si son dependientes o independientes, compatibles o incompatibles, los sucesos A y B que cumplen las condiciones siguientes: a) P(A) = 1/4, P(B) = 1/2, P(A B ) = 5/8

b) P(A) = 1/6, P(B) = 1/3, P(A B) = 1/2

Y

Unidad 12

302

ACTIVIDADES FINALES ACCESO A LA UNIVERSIDAD 22. La probabilidad de que un alumno apruebe Matemáticas es de 0,6, la de que apruebe Lengua es de 0,5 y la de que apruebe las dos es de 0,2. a) ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe al menos una asignatura? b) ¿Y de que no apruebe ninguna? c) ¿Y la de que apruebe Matemáticas y no Lengua? 23. Se lanza un dado dos veces. Calcula la probabilidad de que en la segunda tirada se obtenga un número mayor que en la primera. 24. Un estudiante se presenta a un examen tipo test compuesto por cien preguntas, cada una de las cuales va acompañada de cuatro respuestas (y sólo una es correcta). Sesenta de las preguntas corresponden a la parte del programa que el alumno ha preparado y en las que tiene una probabilidad del 80 % de contestar acertadamente. En el resto de las preguntas contestará al azar. Si elige al azar una pregunta, ¿cuál es la probabilidad de que la respuesta sea correcta? 25. Dos personas piensan cada una en un número del 0 al 9. Calcula la probabilidad de que las dos personas no piensen el mismo número. 26. Se escuchan tres CD de música y se guardan al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los CD haya sido guardado en su caja? 27. Con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5 se forman todos los números posibles de tres cifras distintas. ¿Cuál es la probabilidad de que uno de ellos, elegido al azar, sea múltiplo de 4? 28. En un centro escolar los alumnos de segundo de Bachillerato pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el 90 % de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30 % de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40 %. Elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica? 29. En una universidad en la que sólo hay estudiantes de Arquitectura, Ciencias y Letras, terminan la carrera el 5 % de Arquitectura, el 30 % de Ciencias y el 50 % de Letras. Elegido un estudiante al azar, se pide: a) Probabilidad de que sea de Arquitectura y haya terminado. b) Probabilidad de que haya terminado sus estudios. 30. Se tienen dos urnas U1 y U2 cuyo contenido es: en la urna U1, 4 bolas azules, 3 bolas rojas y 3 verdes; en la urna U2, 4 rojas, 5 azules y 1 verde. Se lanzan tres monedas y si se obtienen exactamente dos caras se extrae una bola de la urna U1, en otro caso se extrae de la urna U2. a) Haz un diagrama para el experimento aleatorio de lanzar tres monedas. b) Calcula la probabilidad de que la bola extraída sea azul. – B) – = 0,58. 31. Se consideran dos sucesos, A y B, asociados a un experimento aleatorio, con P(A) = 0,7, P(B) = 0,9 y P( A ¿Son independientes A y B ?

Y

Probabilidad

303

AUTOEVALUACIÓN 1. Lanzamos un dado y cogemos una ficha de dominó, anotando el resultado de la cara superior del dado y la suma de puntos de la ficha de dominó. El número de elementos del espacio muestral de esta experiencia aleatoria es: a) 3

b) 78

c) 168

2. Sea P una probabilidad definida en el espacio muestral E = {A, B, C, D} . Si se cumple P(A B) = 4/15, P(A C) = 3/5 y P(B) = 5 · P(D); el valor de P(C ) es: a)

3 15

b)

4 15

c)

6 15

3. Sean los sucesos A y B que cumplen P(A) = 0,6; P(B) = 0,7 y P(A B) – P(A B) = 0,3. ¿Podemos afirmar que los sucesos son incompatibles? a) Sí

b) No

c) No se puede saber

4. A unas elecciones se presentan seis candidatos: A, B, C, D, E y F. Se estima que B, C y D tienen la misma probabilidad de ganar, que es la mitad de la probabilidad de que gane A, y que E y F tienen la misma probabilidad de ganar, que es el triple de la probabilidad de que gane A. Entonces la probabilidad de que gane A o F es: a)

8 17

b)

9 17

c)

10 17

– B) – es: 5. Sean A y B dos sucesos que cumplen P(A) = 3/8; P(B) = 1/2 y P(A B) = 1/4. El valor de P( A a)

1 8

b)

3 8

c)

5 8

6. Marta y José escriben, al azar, una vocal cada uno en papeles distintos. La probabilidad de que no escriban la misma vocal es: a)

2 5

b)

3 5

c)

4 5

7. En una clase hay 12 alumnos y 16 alumnas. El profesor saca consecutivamente a 4, diferentes, a la pizarra. La probabilidad de que sean dos alumnos y dos alumnas es: a)

176 455

b)

267 455

c)

276 455

8. En un centro de secundaria, aprueban Biología 4 de cada 5 alumnos, Matemáticas aprueban 2 de cada 3 alumnos y 3 de cada 5 alumnos aprueban Lengua. Elegido un alumno matriculado en esas asignaturas en ese centro, la probabilidad de que suspenda sólo una de ellas es: a)

24 75

b)

34 75

c)

44 75

9. El 60% de las personas que visitaron un determinado museo durante el mes de mayo eran españolas. De ellas, el 40% eran menores de 20 años. En cambio, de los visitantes no españoles, tenían menos de 20 años el 30%. La posibilidad de que un visitante elegido al azar tenga menos de 20 años es: a) 0,12

b) 0,24

c) 0,36

10. Un estuche contiene 5 lápices de igual forma y tamaño: 2 de color azul y 3 de color verde. Se extrae un lápiz del estuche y a continuación, sin reemplazamiento, se extrae otro lápiz. Definimos los sucesos A = {sólo ha salido un lápiz de color verde} y B = {el segundo lápiz extraído es de color azul} . ¿Son independientes los sucesos A y B? a) Sí

b) No

c) No se puede saber

Z

u13

Probabilidad unidad 13 condicionada contenidos

1. Probabilidad condicionada 2. Probabilidad en tablas de contingencia y diagramas de árbol 3. Probabilidad total 4. Teorema de Bayes

305

Las situaciones relacionadas con el azar vistas hasta ahora se componían en la mayoría de los casos de sucesos que eran independientes unos de otros. La posibilidad de ocurrencia de una situación no influía en la posibilidad de ocurrencia de otra. Eran las situaciones asociadas a los lanzamientos de dados, monedas, extracciones de bolas de una bolsa o cartas de una baraja, etc. En esta unidad vamos a estudiar fenómenos en los cuales la ocurrencia de un suceso simple influye en otro efectuado con posterioridad. Diremos que los sucesos son entre sí dependientes o que la ocurrencia de un suceso influye, modifica o condiciona la ocurrencia de otro. Estudiaremos los experimentos con sucesos dependientes y calcularemos la probabilidad condicionada de que ocurra o haya ocurrido uno de los sucesos, sabiendo que el otro se producirá o se ha producido ya. Al tratar con probabilidades condicionadas hay que ser muy cuidadoso. Siempre deberá tenerse en cuenta la información previa sobre la ocurrencia de los sucesos.

cuestiones iniciales 1. En una bolsa hay 4 canicas rojas, 4 azules y 2 verdes. Se agita bien la bolsa y se sacan 3 canicas: 2 rojas y 1 azul. Después se extrae otra canica. ¿De qué color es más probable que sea? Elige la respuesta correcta: a) Roja.

b) Azul.

c) Verde.

d) Todos los colores son igualmente probables. 2. Calcula el valor de la probabilidad del siguiente suceso: «La suma de las caras de dos dados es 10, 11 o 12 habiendo salido 6 en el primer dado». 3. Extraemos dos cortes de una baraja de 40 cartas. Halla la probabilidad: a) De sacar dos copas. b) De sacar dos cartas de palos distintos. NOTA: Considera los dos problemas con reemplazamiento de la primera carta y sin reemplazamiento.

4. Se tienen dos cajas, la primera con 4 bolas blancas y 2 rojas y la segunda con 3 bolas blancas y 3 rojas. Se abre una caja al azar y se extrae una bola. Calcula: a) La probabilidad de que la caja sea la segunda y la bola blanca. b) La probabilidad de que la caja sea la primera sabiendo que la bola es blanca.

Y

Unidad 13

306

1. Probabilidad condicionada

Sangre española La distribución, en porcentajes, de la sangre española en grupos sanguíneos y factores Rhesus es: O

AB Tot.

En el cálculo de las probabilidades de algunos sucesos, el valor de dichas probabilidades varía en función del conocimiento de determinadas informaciones relativas a estos sucesos. Veamos algunos ejemplos. En la tabla del margen podemos observar la distribución aproximada en grupos sanguíneos (O, A, B y AB) y en factor Rhesus (Rh+ y Rh–) de la sangre de la población española. Elegido un individuo al azar:

A

B

Rh+

35 40

4

2

81

• La probabilidad de que su sangre sea del grupo B es del 7 %.

Rh–

6

9

3

1

19

• La probabilidad de que tenga el factor Rh+ es del 81 %.

Total

41 49

7

3 100

• Si pertenece al grupo B, la probabilidad de tener el factor Rh+ es: P(Rh+/B) = 4/7 = 57,14 % • Si tiene el factor Rh+, la probabilidad de pertenecer al grupo B es: P(B/Rh+) = 4/81 = 4,49 % Los sucesos Rh+/B y B/Rh+ se leen «Rh+ condicionado a B» y «B condicionado a Rh+», respectivamente. Estas situaciones y otras análogas nos conducen al concepto de probabilidad condicionada. • Llamamos probabilidad condicionada del suceso B respecto del (condicionado al) suceso A, y lo denotamos por P(B/A) al cociente P(B A) =

P(A B) P(A)

En la práctica resulta útil calcular la probabilidad de la forma: P(B A) =

nº de sucesos elementales de A B nº de sucesos elementales de A

ACTIVIDADES RESUELTAS 1. Se lanzan dos dados al aire: a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de puntos igual a 7? b) Si la suma de puntos ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que en alguno de los dados haya salido un tres? Sean los sucesos: A = {la suma de los puntos es 7}

B = {en alguno de los dados ha salido un tres}

a) Los casos posibles al lanzar dos dados son 36 y los casos favorables al suceso A son los seis siguientes: (1, 6) (2, 5) (3, 4) (4, 3) (5, 2) (6, 1) Por tanto: 6 1 = 36 6 b) En este caso, el suceso B/A es salir en algún dado 3, si la suma ha sido 7. Observamos que esta situación ocurre en las parejas (3,4) y (4,3). Por tanto: 2 1 P ( B / A) = = 6 3 P ( A) =

Y

Probabilidad condicionada

307

1.1. Probabilidad compuesta o del producto Si en la expresión que aparece en la definición de probabilidad condicionada despejamos P(A B), obtenemos: P(A B) = P(A) · P(B/A) P(A B) = P(B) · P(A/B) Cualquiera de estas dos expresiones recibe el nombre de probabilidad compuesta o del producto.

1.2. Sucesos dependientes e independientes

Generalización de la probabilidad compuesta Para tres sucesos, A, B, C, la expresión de la probabilidad compuesta o del producto es: P(A B C) = = P(A) · P(B/A) · P(C/A B) Esta fórmula se puede generalizar para n sucesos.

El conocimiento de que ha ocurrido el suceso A modifica, en algunas ocasiones, la probabilidad del suceso B, pero en otras no. Los sucesos en los que, conociendo que uno ha ocurrido, no se modifica la probabilidad del otro, decimos que son independientes y, si se modifica, decimos que son dependientes entre sí. • Decimos que dos sucesos A y B son independientes entre sí si la ocurrencia de uno de ellos no modifica la probabilidad del otro, es decir, si P(B/A) = P(B) o P(A/B) = P(A) o lo que es lo mismo: A y B son independientes

P (A B) = P(A) · P(B)

Dos sucesos que no son independientes son dependientes. • Decimos que dos sucesos A y B son dependientes entre sí si la ocurrencia de uno de ellos modifica la probabilidad del otro, es decir, si P(B/A) | P(B) o P(A/B) | P(A) o lo que es lo mismo: A y B son dependientes

P(A B) | P (A) · P (B)

ACTIVIDADES RESUELTAS 2. a) Calcula la probabilidad de que al extraer 3 cartas, sucesivamente, de una baraja española de 40 cartas, sean todas copas. b) Calcula la probabilidad de que al extraer 3 cartas, con reemplazamiento, de una baraja española, sean todas copas. Consideremos el siguiente suceso: Ci = {salir copas en la extracción número i } a) Hemos de calcular P(C1 C2 C3), utilizando la probabilidad compuesta o del producto: P(C1 C2 C3) = P(C1) · P(C2/C1) · P(C3 /C1 C2) = 10/40 · 9/39 · 8/38 = 0,012 b) Como la carta extraída se vuelve a introducir, los sucesos son independientes y la probabilidad buscada es: P(C1 C2 C3) = P(C1) · P(C2) · P(C3) = 10/40 · 10/40 · 10/40 = 0,016

Y

Unidad 13

308

2. Probabilidad en tablas de contingencia y diagramas de árbol

Probabilidades en diagramas de árbol

En los problemas de probabilidad, y en especial en los de probabilidad condicionada, resulta interesante y práctico organizar la información en una tabla de contingencia o en un diagrama de árbol.

Debe tenerse en cuenta que para calcular la probabilidad de los sucesos que se obtienen como resultado de recorrer las ramas del diagrama de árbol – A –yBoA – y B) – (A y B, A y B,

Las tablas de contingencia y los diagramas de árbol están íntimamente relacionados, de forma que dado uno de ellos podemos construir el otro. Unas veces, los datos del problema permiten construir fácilmente uno de ellos y a partir de él podemos construir el otro, que nos ayudará en la resolución del problema.

hay que multiplicar las probabilidades que se indican de las ramas recorridas.

2.1. Conversión de una tabla en diagrama de árbol

La suma de las probabilidades asociadas a todas las ramas que parten de un suceso es 1.

Las tablas de contingencia están referidas a dos características que presentan cada una dos o más sucesos. – En el caso de los sucesos A, A, B y – B, expresados en frecuencias absolutas, relativas o probabilidades, la tabla adopta la forma adjunta.

A B – B

P(A B) – P(A B)

TOTAL

P(A)

– A – P( A B) – – P( A B) – P(A)

TOTAL P(B) – P( B) 1

Dicha tabla adopta la forma del diagrama de árbol siguiente; en este, a cada – – uno de los sucesos A y A se les ha asociado los sucesos B, B. P (B/A)

B

A P (A)

P (A)

P (B/A)

B

P (B/A)

B

P (B/A)

B

A

Sobre las ramas del diagrama de árbol se han anotado las probabilidades condicionadas correspondientes, deducidas de las relaciones análogas a: P(B A) =

P(A B) P(A)

2.2. Conversión de un diagrama en tabla de contingencia De manera recíproca, dado el diagrama de árbol podemos construir la tabla de contingencia equivalente sin más que utilizar la expresión P(A B ) = P(A) · P(B/A) para calcular las probabilidades de las intersecciones de sucesos que forman la tabla.

Y

Probabilidad condicionada

309

ACTIVIDADES RESUELTAS 3. En una universidad hay tres facultades A, B y C. En total hay matriculados 1000 alumnos de los que 400 son chicos. En la facultad A hay un 20% del total de alumnos y de ellos 50 son chicos. En la facultad B hay 300 chicas y 200 chicos matriculados. a) ¿Qué tanto por ciento de los alumnos de esta universidad estudia en la facultad C? b) ¿Qué tanto por ciento de los alumnos estudian en la facultad A y son chicas? Recogemos en la tabla de contingencia los datos del enunciado: A

B

C

TOTAL

Chicas

150

300

150

600

Chicos

50

200

150

400

TOTAL

200

500

300

1 000

a) Estudian en la facultad C un: 300 = 30 % de alumnos 1000 b) Estudian en la facultad A y son chicas un: 150 = 15 % de alumnos 1000

4. Se estima que solo un 20% de los que compran acciones en Bolsa tienen conocimientos bursátiles. De ellos, el 80% obtienen beneficios. De los que compran acciones sin conocimientos bursátiles, solo un 10% obtiene beneficios. Halla: a) El tanto por ciento de los que compran acciones en Bolsa que obtienen beneficios. b) ¿Cuál es la probabilidad de elegir una persona al azar que no tenga conocimientos bursátiles y no obtenga beneficios? Tanto en la siguiente tabla de contingencia como en el diagrama de árbol podemos ver reflejados los datos del problema.

Sabe de Bolsa Beneficios No Beneficios TOTAL

No sabe de Bolsa

TOTAL

16

8

24

4

72

76

20

80

100

20 100

80 100

80/100

Beneficios

20/100

No beneficios

10/100

Beneficios

90/100

No beneficios

Sabe

No sabe

a) En la tabla de contingencia vemos, que el tanto por ciento de los que compran acciones y obtienen beneficio es 24%. En el diagrama sería: 20 80 80 10 24 + = ¡ el 24% 100 100 100 100 100 b) En la tabla: P(no sabe de Bolsa y no beneficios) =

72 = 0,72 100

En el diagrama de árbol: P(no sabe de Bolsa y no beneficios) =

80 90 72 = = 0,72 100 100 100

Y

Unidad 13

310

3. Probabilidad total

Sistema completo de sucesos E

Veamos un resultado interesante que nos permite calcular la probabilidad de un suceso en función de la suma de probabilidades condicionadas. Previamente definamos los que se conocen como sistemas completos de sucesos. Sea E el espacio muestral de un experimento aleatorio y A1, A2, …., An una familia de sucesos.

A1 A2

• Llamamos sistema completo de sucesos a una familia A1, A2, …, An de sucesos que cumplen:

A3 • • •

• Son incompatibles dos a dos: Ai Aj =

An

• La unión de todos ellos es el suceso seguro: n

Ai = E

i =1

Teorema de la probabilidad total E

A1

A1 B

A2

A2 B

A3

A3 B

• • •

An

B

• • •

An B

• Sea A1, A2, …, An un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai); entonces la probabilidad del suceso B viene dada por la expresión: P(B) = P (A1) · P (B/A1) + P (A2) · P (B/A2) + … + P (An) · P (B/An) Al ser los sucesos A1, A2, …, An incompatibles dos a dos, también lo son los sucesos A1 B, A2 B, …, An B, con lo que tenemos: n

P(B) = P(B E) = P[B ( Ai )] = P[B (A1 A2 … An)] = i =1

= P[(A1 B) (A2 B) … (An B)] = = P(A1 B) + P(A2 B) + … + P(An B) = = P(A1) · P(B/A1) + P(A2) · P(B/A2) + … + P(An) · P(B/An)

ACTIVIDADES RESUELTAS 5. Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas de una ciudad, de forma que el 60% de los autobuses cubre el servicio de la primera línea, el 30% cubre la segunda y el 10% cubre el servicio de la tercera línea. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 4% y 1%, respectivamente, para cada línea. Determina la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería. El suceso Av = {sufrir una avería} puede producirse en las tres líneas, (L1, L2, L3). Según el teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama de árbol adjunto, tenemos:

0,6

P(Av) = P(L1) · P(Av/L1) + P(L2) · P(Av/L2) + P(L3) · P(Av/L3) =

0,1

= 0,6 · 0,02 + 0,3 · 0,04 + 0,1 · 0,01 = 0,012 + 0,012 + 0,001 = 0,025

L1 0,3

L2 L3

0,02

Av

0,98

no Av

0,04

Av

0,96

no Av

0,01

Av

0,99

no Av

Y

Probabilidad condicionada

311

ACTIVIDADES RESUELTAS 6. Una empresa del ramo de la alimentación elabora sus productos en cuatro factorías: F1, F2, F3 y F4. El porcentaje de producción total que se fabrica en cada factoría es del 40%, 30%, 20% y 10%, respectivamente, y además el porcentaje de envasado incorrecto en cada factoría es del 1%, 2%, 7% y 4%. Tomamos un producto de la empresa al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre defectuosamente envasado? Sea el suceso M = {el producto está defectuosamente envasado}. Este producto puede proceder de cada una de las cuatro factorías y, por tanto:

F1 0,4

M = (F1 M) (F2 M) (F3 M) (F4 M)

0,3

F2

Al ser los cuatro sucesos de los paréntesis incompatibles: 0,2

P(M) = P(F1 M) + P(F2 M) + P(F3 M) + P(F4 M)

F3

Y por la expresión de la probabilidad compuesta, tenemos, para cada una de las factorías:

0,1

P(Fi M) = P(Fi) · P(M/Fi)

F4

0,99

B

0,01

M

0,98

B

0,02

M

0,93

B

0,07

M

0,96

B

0,04

M

Teniendo en cuenta la última expresión y las probabilidades del enunciado que pueden verse en el diagrama de árbol adjunto, obtenemos: P(M) = P(F1) · P(M/F1) + P(F2) · P(M/F2) + P(F3) · P(M/F3) + P(F4) · P(M/F4) = = 0,4 · 0,01 + 0,3 · 0,02 + 0,2 · 0,07 + 0,1 · 0,04 = 0,004 + 0,006 + 0,014 + 0,004 = 0,028

7. Se tiene una urna vacía y se lanza una moneda al aire. Si sale cara, se introduce en la urna una bola blanca y, si sale cruz, se introduce una bola negra. El experimento se repite tres veces y, a continuación, se introduce la mano en la urna, retirando una bola. ¿Cuál es la probabilidad de que en la urna queden una bola blanca y otra negra? Sean los sucesos B = {obtener bola blanca} y N = {obtener bola negra}. En el diagrama de árbol pueden verse las configuraciones posibles de las urnas, después del lanzamiento de las monedas, y las urnas finales, así como las probabilidades para cada una de ellas.

URNAS INICIALES

BBB 1/8

Atendiendo a la notación expresada en el diagrama de árbol y según el teorema de la probabilidad total, obtenemos: P ( BN ) = P ( BN BBN ) + P ( BN BNN ) = P ( BBN ) P ( BN / BBN ) + P ( BNN ) P ( BN / BBN ) = =

3/8 BBN 3/8

URNAS FINALES

1

BB

1/3

BB

2/3

BN

2/3

BN

1/3 1

NN

BNN 1/8

NNN

3 2 3 2 1 1 1 + = + = 8 3 8 3 4 4 2

NN

8. Se lanzan dos monedas al aire. Si salen dos caras, se extrae una bola de una urna I, que contiene 2 bolas blancas y 3 negras. Si sale cara y cruz, se extrae una bola de una urna II, que contiene 4 bolas blancas y 1 negra. Si salen dos cruces, se extrae una bola de una urna III, que contiene 3 bolas blancas y 2 negras. ¿Cuál es la probabilidad de extraer bola blanca después de lanzar las monedas y sacar la bola? El diagrama de árbol muestra, primero, las probabilidades correspondientes a la elección de la urna y, después, a la extracción de la bola.

UI 1/4

La probabilidad total de sacar bola blanca la calculamos caminando por todas las ramas que terminan en sacar bola blanca: P ( B ) = P ( B / UI ) P (UI ) + P ( B / UII ) P (UII ) + P ( B / UIII ) P (UIII ) = =

2 1 4 2 3 1 13 + + = 5 4 5 4 5 4 20

2/4

UII

1/4

UIII

2/5

B

3/5

N

4/5

B

1/5

N

3/5

B

2/5

N

Y

Unidad 13

312

4. Teorema de Bayes

Thomas Bayes (1702-1761)

En 1763, dos años después de la muerte de Thomas Bayes (1702-1761), se publicó una memoria en la que aparece, por vez primera, el problema de la determinación de la probabilidad de las causas a partir de los efectos que han podido ser observados. El cálculo de dichas probabilidades recibe el nombre de teorema de Bayes. • Teorema de Bayes Sean los siguientes sucesos: • A1, A2, …, An un sistema completo de sucesos, tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. • B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionadas P(B/Ai).

Matemático británico, uno de los primeros en utilizar la probabilidad inductivamente y en establecer una base matemática para la inferencia probabilística. Perteneció a la Royal Society desde 1742. En 1763, dos años después de su muerte, se publicó su obra Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances, donde se enuncia el teorema que lleva su nombre.

Entonces las probabilidades P(Ai /B) vienen dada por la expresión: P(Ai B) =

P(Ai ) P(B/Ai ) P(A1) P(B/A1) + P(A2 ) P(B /A2 ) + … + P(A n ) P(B /A n )

Teniendo en cuenta que para cualquier suceso Ai, por definición de probabilidad condicionada, se cumple siempre que: P(Ai B) = P(Ai) · P(B/Ai) = P(B) · P(Ai /B) despejando P(Ai /B), tenemos: P(Ai B) =

P(Ai ) P(B Ai ) P(B)

La probabilidad P(B), por el teorema de la probabilidad total, es: P(B) = P(A1) · P(B/A1) + P(A2) · P(B/A2) + … + P(An) · P(B/An) Y sustituyendo en la ecuación anterior, obtenemos la fórmula de Bayes: P(Ai B) =

P(Ai ) P(B/Ai ) P(A1) P(B/A1) + P(A2 ) P(B /A2 ) + … + P(A n ) P(B /A n )

Las probabilidades P(Ai) reciben el nombre de probabilidades a priori, P(Ai /B) son las probabilidades a posteriori y P(B/Ai) se denominan verosimilitudes. La fórmula de Bayes nos permite calcular las probabilidades a posteriori, siempre y cuando conozcamos las probabilidades a priori y las verosimilitudes. En los problemas relacionados con la probabilidad, y en particular con la probabilidad condicionada, así como con la probabilidad total y el teorema de Bayes, es aconsejable que, con la información del problema, construyamos una tabla de contingencia o un diagrama de árbol, que serán muy útiles en la resolución del problema.

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Probabilidad condicionada

313

ACTIVIDADES RESUELTAS 9. Tres máquinas, M1, M2 y M3, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%. a) Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa. b) Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina M2. c) ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa? Sean los sucesos D = {la pieza es defectuosa} y N = {la pieza no es defectuosa}. La información del problema puede expresarse en el diagrama de árbol adjunto.

M1 0,45

a) Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, P(D), por la propiedad de la probabilidad total: P(D) = P(M1) · P(D/M1) + P(M2) · P(D/M2) + P(M3) · P(D/M3) =

0,30

M2

0,25

M3

= 0,45 · 0,03 + 0,30 · 0,04 + 0,25 · 0,05 = 0,038

0,03

D

0,97

N

0,04

D

0,96

N

0,05

D

0,95

N

b) Debemos calcular P(M2/D). Por el teorema de Bayes: P (M2 /D ) = =

P (M2 ) P ( D /M2 ) = P (M1 ) P ( D /M1 ) + P (M2 ) P ( D /M2 ) + P (M3 ) P ( D /M3 )

0,30 0,04 120 = = 0,316 0, 45 0,03 + 0,30 0,04 + 0, 25 0,05 380

c) Calculamos P(M1/D) y P(M3 /D), comparándolas con el valor de P(M2/D) ya calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos lo siguiente: P (M1 /D ) =

0, 45 0,03 135 = = 0,355 0, 45 0,03 + 0,30 0,04 + 0, 25 0,05 380

P (M3 /D ) =

0, 25 0,05 125 = = 0,329 0, 45 0,03 + 0,30 0,04 + 0, 25 0,05 380

La máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es M1.

10. Tenemos tres urnas: U1 con 3 bolas rojas y 5 negras, U2 con 2 bolas rojas y 1 negra y U3 con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna U1? Sean los sucesos R = {sacar bola roja} y N = {sacar bola negra}. En el diagrama de árbol adjunto pueden verse las distintas probabilidades de ocurrencia de los sucesos R o N para cada una de las tres urnas.

U1 1/3 1/3

La probabilidad pedida es P(U1/R). Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:

U2

1/3

P (U1 / R ) = =

P (U1 ) P ( R / U1 ) = P (U1 ) P ( R / U1 ) + P (U2 ) P ( R / U2 ) + P (U3 ) P ( R / U3 )

U3

3/8

R

5/8

N

2/3

R

1/3

N

2/5

R

3/5

N

45 (1 3) (3 8) = = 0, 260 173 (1 3) (3 8) + (1 3) (2 3) + (1 3) (2 5)

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Unidad 13

314

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Suma de las potencias de 2 Demuestra que para todo n N se verifica que: 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + … + 2n = 2n + 1 – 1

FAMILIARIZACIÓN CON EL PROBLEMA Fácilmente entendemos lo que pide el problema, demostrar una igualdad.

BÚSQUEDA DE ESTRATEGIAS Comenzamos comprobando si la igualdad es cierta para valores pequeños de n: • Para n = 0 ¡ 1 = 20 + 1 – 1 ¡ 1 = 1. • Para n = 1 ¡ 1 + 2 = 21 +1 – 1 ¡ 3 = 3. • Para n = 2 ¡ 1 + 2 + 22 = 22 +1 – 1 ¡ 7 = 7. Vemos que la igualdad se cumple para estos tres primeros valores. Este proceso nos sugiere utilizar el método de inducción para demostrar la igualdad.

LLEVAR ADELANTE LA ESTRATEGIA Vamos a seguir el método de inducción: sabiendo que la igualdad es cierta para valores pequeños de n, damos por supuesto que es cierta para un valor cualquiera y demostramos que también lo es para el siguiente. De esta forma quedaría probado que la igualdad es válida para cualquier número natural. • Para n = 1 hemos visto que la igualdad es cierta. • Suponemos que es cierta para n = p, es decir: 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + … + 2p = 2p +1 – 1 • Hemos de ver que también es cierta para n = p + 1, es decir, hemos de probar que: 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + … + 2p +1 = 2p +2 – 1 Para ello utilizamos la expresión anterior y obtenemos: (1 + 2 + 22 + 23 + 24 + … + 2p ) + 2p +1 = (2p +1 – 1) + 2p +1 = 2 · 2p +1 – 1 = 2p +2 – 1 Con esto hemos demostrado que la igualdad es cierta para p + 1. Por tanto, podemos afirmar que la igualdad es cierta para todo n N.

REVISAR EL PROCESO Y SACAR CONSECUENCIAS DE ÉL El desarrollo de este problema nos ha mostrado la potencia y la belleza de las demostraciones por el método de inducción.

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Probabilidad condicionada

315

Método de Inducción • Método de demostración por inducción

• Axiomas de Peano La teoría de conjuntos junto a los axiomas del matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932) nos acercan al conjunto N de los números naturales. Los axiomas de Peano son:

Colocamos en el suelo una fila de soldaditos de plomo, o de fichas de dominó, uno detrás de otro y lo suficientemente separados para que si cae uno de ellos, este haga caer al siguiente. Así podemos asegurar:

I) En N hay un primer elemento que es 1.

1. Cae el primer soldadito o ficha.

II) A cada número natural n, le corresponde un número natural siguiente a él, que llamamos sg n.

2. La caída de uno cualquiera de ellos obliga a caer al siguiente.

III) El 1 no es el siguiente de ningún número.

Entonces, podemos afirmar que todos los soldaditos de plomo, o fichas de dominó, caen.

IV) Si sg n = sg m, entonces n = m. V) Axioma de inducción completa o de inducción matemática. Si un subconjunto C de números naturales verifica que: — 1 C — Si h C ¡ sg h C entonces este subconjunto C coincide con N.

Esta situación nos permite entender el método de demostración por inducción, considerando cada soldadito o ficha como un número natural. Este método nos permite afirmar que una determinada propiedad P (n) es cierta para todos los números naturales. El método de demostración por inducción se basa en el quinto axioma de Peano y consiste en: — Comprobar que el número 1 verifica la propiedad, es decir, que P (1) es verdadera. — Suponer que P (h) también es verdadera. — Poder demostrar que P (h + 1) es verdadera. Con esto concluimos afirmando que la propiedad es verdadera para cualquier número natural.

A C T I V I D A D E S 䊏 Utiliza el método de inducción para resolver las siguientes actividades:

冢冣

1 1 1 1. Matrices. Sea la matriz A = 1 1 1 . Demuestra que An = 3n –1 · A. 1 1 1 2. Múltiplo de 5. Demostrar que n5 – n es múltiplo de 5 para cualquier valor de n. n

3. Suma de cubos. Demuestra que para cualquier número natural n se verifica:

ï i =1

3

=

n2 ( n + 1)2 . 4

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Unidad 13

316

NUEVAS TECNOLOGÍAS Derive nos permite calcular probabilidades mediante la distribución normal.

Distribuciones de probabilidad con Derive Con Derive podemos calcular cualquier probabilidad mediante la distribución normal. Para calcular P(Z f k) mediante la N(0, 1) utilizamos NORMAL(k) y para calcular P(Z f k) mediante N(R, X ) utilizamos NORMAL(k, m, s). Las posibilidades gráficas de Derive nos permiten comparar funciones de densidad de distribuciones normales con distintos parámetros: • Gráficas correspondientes a funciones normales con distintas medias e igual varianza. Vamos a representar las funciones de densidad de distribuciones normales con varianza 1 y medias entre –3 y 3. Definimos la función VECTOR (f (x), x, n, m) que nos da los valores de f(n), f(n+1),…, f(m) a partir de la función f(x). Introducimos: d N(x, m, s): = NORMAL (x, m, s) y con: VECTOR (N(x, m, 1), m, –3, 3) hallamos dx las expresiones de las distintas funciones de densidad, y representándolas gráficamente obtenemos la siguiente imagen:

• Gráficas correspondientes a funciones normales con igual media y distinta varianza. Vamos a representar las funciones de densidad de distribuciones normales con media 0 y desviación típica 0,25; 0,5; 0,75; 1; 1,25; 1,5. Para ello utilizamos: VECTOR (N(x, 0, s), s, 0.25, 1.5, 0.25) y obtenemos las gráficas de la imagen:

PRACTICA con Derive la resolución de las actividades números 6, 17, 31 y 34.

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Probabilidad condicionada

317

EN RESUMEN PROBABILIDAD CONDICIONADA

Probabilidad del suceso B, supuesto que ha ocurrido A: P ( A B) P ( B / A) = P ( A)

definición

aplicada a

SUCESOS COMPUESTOS

TABLAS DE CONTINGENCIA O DIAGRAMAS DE ÁRBOL

su información se organiza en

una prueba no afecta a la otra

SUCESOS INDEPENDIENTES

verifica

P(A B) = P(A) · P(B)

una prueba afecta a la otra

SUCESOS DEPENDIENTES

verifica

P(A B) = P(A) · P(B/A)

algunos resultados importantes

PROBABILIDAD COMPUESTA

PROBABILIDAD TOTAL

P(A B) = P(A) · P(B/A) P(A B C) = P(A) · P(B/A) · P(C/A B)

P (B ) =

n

¨ P ( A ) P (B /A ) i =1

i

i

TEOREMA DE BAYES P ( Ai / B ) =

P ( Ai ) P ( B / Ai ) n

¨ P ( A ) P (B / A ) i

i

i =1

AMPLÍA CON… El número de Dios (Círculo de lectores) de José Luis Corral Lafuente es un libro que nos lleva al siglo XIII, a los tiempos de la construcción de las grandes catedrales góticas en Francia y en España. La novela nos muestra las tres culturas que convivían en la Península Ibérica: cristiana, musulmana y judía. El autor describe la construcción de la catedral de Burgos y, posteriormente, de la de León. Los protagonistas de estas construcciones son la luz y las formas geométricas. El número de Dios es el valor de la secreta proporción que manejaban los maestros constructores de estas catedrales y que trasmitían de generación en generación, conscientes que de ella dependía el equilibrio final de las obras.

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Unidad 13

318

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD RESUELTAS En una caja hay x bolas blancas y 1 bola roja. Al extraer de la caja dos bolas al azar sin reemplazamiento, la probabilidad de que sean blancas es 1/2. Calcula el número de bolas blancas que debe tener la caja. Sean los sucesos B1 = {la primera bola extraída es blanca} y B2 = {la segunda bola extraída es blanca}. Siendo x el número de bolas blancas que tiene la caja, su cálculo lo realizamos de la forma siguiente: P ( B1 B2 ) = P ( B1 ) P ( B2 /B1 ) =

x x 1 1 = x +1 x 2

Operando y resolviendo la última ecuación, obtenemos: x 1 1 = x +1 2

¡

2x 2 = x + 1

x = 3

¡

La caja contiene 3 bolas blancas.

El 35% de los créditos de un banco es para vivienda, el 50% para industrias y el 15% para consumo diverso. Resultan fallidos el 20% de los créditos para vivienda, el 15% de los créditos para industrias y el 70% de los créditos para consumo. Calcula la probabilidad de que se pague un crédito elegido al azar. En la tabla de contingencia adjunta puede verse resumida toda la información referida a esta actividad. Observamos que la probabilidad de elegir al azar un crédito no fallido es la suma de las probabilidades de los créditos no fallidos referidos a la vivienda, la industria y el consumo. Por tanto:

Vivienda

Industria

Consumo

TOTAL

Fallidos

0,070

0,075

0,105

0,250

No fallidos

0,280

0,425

0,045

0,750

TOTAL

0,350

0,500

0,150

1,000

P(crédito No fallido) = 0,28 + 0,425 + 0,045 = 0,75

El volumen de producción en tres plantas diferentes de una fábrica es de 500 unidades en la primera, 1 000 unidades en la segunda y 2 000 en la tercera. Sabiendo que el porcentaje de unidades defectuosas producidas en cada planta es del 1%, 0,8% y 2%, respectivamente: a) Calcula la probabilidad de que al seleccionar una unidad al azar sea defectuosa. b) Sabiendo que hemos elegido una pieza defectuosa ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la planta 2ª? En la tabla de contingencia puede verse resumida toda la información referida a la producción de piezas defectuosas y no defectuosas en cada una de las plantas. a) La probabilidad de elegir al azar una pieza defectuosa será el cociente entre el total de piezas defectuosas y el número total de piezas producidas. Por tanto: P(Defectuosa) =

Planta 1

Planta 2

Planta 3

TOTAL

Defectuosas

5

8

40

53

No defectuosas

495

992

1 960

3 447

TOTAL

500

1 000

2 000

3 500

5 + 8 + 40 53 = = 0,0151 3500 3500

b) La probabilidad de que la pieza defectuosa elegida proceda de la 2ª planta es: P(Planta 2 / Defectuosa) =

8 = 0,151 53

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Probabilidad condicionada

319

El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que de los no ingenieros y no economistas solamente el 20% ocupan un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero? Observando las probabilidades que aparecen en el diagrama de árbol, obtenemos: P (ingeniero / directivo) = =

0,2

P (ingeniero y directi vo) = P (directivo)

0,15 0, 2 0, 75 = = 0, 4054 0, 37 0, 2 0, 75 + 0, 2 0, 5 + 0, 6 0, 2

0,75

Directivo

0,25

No directivo

Ingeniero

0,2

0,5

Directivo

0,5

No directivo

Economista

0,6

0,2

Directivo

0,8

No directivo

Otros

En un cierto edificio se usan dos ascensores; el primero lo usa el 45% de los inquilinos y el resto usa el segundo. El porcentaje de fallos del primero es del 5%, mientras que el del segundo es del 8%. Si un cierto día un inquilino queda «atrapado» en un ascensor, halla la probabilidad de que haya sido en el primero. Sean los sucesos A1 = {usar el ascensor primero}, A2 = {usar el ascensor segundo} y F = {falla el ascensor}. Debemos calcular la probabilidad de que se haya usado el ascensor primero, sabiendo que se ha producido un fallo, es decir, hay que calcular P(A1/F ). 0,45

Observando el diagrama de árbol adjunto, obtenemos: P ( A1 /F ) =

P ( A1 F ) P ( A1 ) P ( A1 /F ) = = P (F ) P ( A1 ) P ( A1 /F ) + P ( A2 ) P ( A2 /F )

0,05

Falla

0,95

No falla

0,08

Falla

0,92

No falla

A1

0,55

A2

0, 45 0,05 0,0225 0,0225 = = = = 0,3383 0, 45 0,05 + 0,55 0,08 0,0225 + 0,0440 0,0665

Se toman dos barajas españolas de 40 cartas. Se extrae al azar una carta de la primera baraja y se introduce en la segunda baraja. Se mezclan las cartas de esta segunda baraja y se extrae una carta, que resulta ser el dos de oros. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera carta extraída fuese una espada? En el diagrama de árbol adjunto se ponen de manifiesto las principales opciones que tiene cada una de las extracciones. Hay que tener en cuenta que los sucesos relevantes en la primera extracción son «espadas» y «dos de oros», y el suceso relevante en la segunda extracción es «dos de oros». Teniendo en cuenta la probabilidad de cada una de las opciones, tenemos que la probabilidad pedida es: P (espadas / 2 de oros) =

P (espadas y 2 de oros) = P (2 de oros)

10 1 10 10 40 41 = = = 0, 2439 = 10 1 1 2 29 1 10 + 2 + 29 41 + + 40 41 40 41 40 0 41

1/41

2 de oros

40/41

Otra carta

2/41

2 de oros

39/41

Otra carta

1/41

2 de oros

40/41

Otra carta

Espadas 10/40

1/40

2 de oros

29/40

Otra carta

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Unidad 13

320

ACTIVIDADES FINALES EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1. Se supone que 25 de cada 100 hombres y 600 de cada 1 000 mujeres usan gafas. Si el número de mujeres es cuatro veces superior al de hombres, calcula la probabilidad de encontrarnos: a) con una persona sin gafas;

b) con una mujer con gafas.

2. Se lanza un dado numerado de 1 a 6: a) Encuentra la probabilidad de que salga 3, si se sabe que salió impar. b) Calcula la probabilidad de que salga par, si se sabe que salió mayor que tres. 3. A un congreso asiste el mismo número de hombres que de mujeres. El 60% de los hombres tiene 40 años o más y el 30% de las mujeres tiene menos de 40 años. a) Si se elige al azar una persona que asiste al congreso, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? b) Si se elige al azar una persona que asiste al congreso, ¿cuál es la probabilidad de que tenga menos de 40 años? c) Si se elige un asistente al azar y se observa que tiene más de 40 años, ¿cuál es la probabilidad de que dicha persona sea mujer? 4. En una ciudad en la que hay doble número de hombres que de mujeres, hay una epidemia. El 6% de los hombres y el 11% de las mujeres están enfermos. Se elige al azar un individuo. Calcula la probabilidad de que: a) sea hombre;

b) esté enfermo;

c) sea hombre, sabiendo que está enfermo.

5. Un estudiante hace dos pruebas en un mismo día. La probabilidad de que pase la primera prueba es del 0,6. La probabilidad de que pase la segunda es del 0,8 y la de que pase ambas es del 0,5. Se pide: a) La probabilidad de que pase, al menos, una prueba. b) La probabilidad de que no pase ninguna prueba. c) ¿Son las pruebas independientes? d) La probabilidad de que pase la segunda prueba en el caso de no haber superado la primera. 6. La producción de una empresa la realizan a partes iguales tres turnos, de los que dos son diurnos y uno nocturno. El porcentaje de piezas defectuosas producidas en cada turno diurno es el 2%, en tanto que el porcentaje de piezas defectuosas producidas por el turno nocturno es del 8%. a) Si se toma una pieza al azar de un turno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuosa? b) Si se toma una pieza al azar de un turno al azar y resulta ser defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que la pieza haya sido fabricada en el turno nocturno? ¿Y cuál es la probabilidad de que haya sido fabricada en el turno diurno? 7. Una fábrica de coches tiene tres cadenas de producción, A, B y C. La cadena A fabrica el 50% del total de coches producidos, la B el 25% y la C el resto. La probabilidad de que un coche resulte defectuoso es: en la cadena A, 1/2; en la B, 1/4 y en la C, 1/6. Calcula razonadamente: a) La probabilidad de que un coche sea defectuoso y haya sido fabricado por la cadena A. b) La probabilidad de que un coche sea defectuoso. c) Si un coche no es defectuoso, ¿cuál es probabilidad de que haya sido producido por la cadena C?

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Probabilidad condicionada

321

8. En un hospital, la probabilidad de que un enfermo tenga fiebre es 0,76 y de que tenga tensión alta es 0,58. Además, se sabe que la probabilidad de que tenga fiebre o tensión alta es 0,62. Halla la probabilidad de que un enfermo de ese hospital: a) Tenga fiebre y tensión alta. b) No tenga ni fiebre ni tensión alta.

9. ¿Son independientes los sucesos de sacar una figura (sota, caballo o rey) y sacar un oro al tomar una carta de una baraja española? – B) – = 0,7. ¿Son 10. Se consideran dos sucesos, A y B, asociados a un experimento aleatorio, con P(A) = 0,2; P(B) = 0,6; P(A independientes A y B ? Calcula P(A B).

11. La ruleta de un casino consta de 40 casillas, numeradas de 1 a 40. Los números acabados en 1, 2, 3, 4 o 5 son rojos, y el resto negros. Puesta en marcha la ruleta, se consideran los sucesos siguientes: A = {el resultado es un número de la primera decena}, B = {el resultado es un número par}, C = {el resultado es un número rojo}. Averigua: a) La probabilidad P(C – A). b) La probabilidad de que el número sea de la primera decena, sabiendo que es rojo. c) ¿Son independientes los sucesos A y B ? ¿Y los sucesos A y C ?

12. Una urna contiene 5 bolas rojas y 3 blancas. Se selecciona una bola al azar, se descarta y se colocan dos bolas del otro color en la urna. Luego, se saca una segunda bola. Determina la probabilidad de que: a) la segunda sea roja; b) ambas bolas sean del mismo color; c) la primera sea roja, si la segunda lo es.

13. Un empresario tiene dos negocios en funcionamiento, N1 y N2. El primero produce pérdidas en el 20% de sus balances y el segundo, sólo en el 4%. Suponiendo que el volumen de negocios es el mismo para N1 y N2 y que analizando un balance al azar arrojó pérdidas, ¿cuál es la probabilidad de que sea del primer negocio?

14. Se sabe que, en cierta población, la probabilidad de ser hombre daltónico es de un doceavo y la probabilidad de ser mujer y daltónica es de un veinticincoavo. La proporción de personas de ambos sexos es la misma. Se elige una persona al azar. a) Si la persona elegida es hombre, halla la probabilidad de que sea daltónica. b) Si la persona elegida es mujer, halla la probabilidad de que sea daltónica. c) ¿Cuál es la probabilidad de que la persona elegida padezca daltonismo?

15. De todos los alumnos del último curso de bachillerato de una ciudad, el 80% cursa inglés y el 20%, francés. Se sabe, además, que el 53% de dichos alumnos son mujeres. Se elige al azar uno de dichos alumnos de último curso y resulta ser mujer. ¿Cuál es la probabilidad de que esta alumna curse francés?

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Unidad 13

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ACTIVIDADES FINALES 16. Una fábrica tiene tres máquinas, A, B y C, que producen tornillos. Del total de tornillos se producen, respectivamente, el 50%, 30% y el 20%. La máquina A produce un 5% de tornillos defectuosos, la B un 4% y la C un 2%. a) Calcula la probabilidad de que un tornillo, elegido al azar, sea defectuoso. b) Si un tornillo elegido al azar resulta defectuoso, calcula la probabilidad de que lo haya producido la máquina C. 17. El 25% de las familias de cierta comunidad autónoma no sale fuera de la misma durante las vacaciones de verano. El 65% veranea por el resto de España y el 10% restante se va al extranjero. De los que se quedan en la comunidad, sólo un 10% no utiliza el coche en sus desplazamientos. Esta cantidad aumenta al 30% en los que salen por el resto de España y al 90% entre los que viajan al extranjero. a) Calcula el porcentaje de familias de esa comunidad que utiliza el coche en sus desplazamientos de vacaciones de verano. b) Una familia no usa coche en sus vacaciones de verano. ¿Cuál es la probabilidad de que salga de su comunidad moviéndose por el resto de España? 18. En el tribunal X se examinan el instituto A, con 123 alumnos, y el colegio B, con 77. De A aprueba el 75% y de B el 67%. El alumno Y no ha aprobado. Halla qué probabilidad hay de que pertenezca a cada uno de los centros examinados por el tribunal. 19. Una urna contiene 2 bolas blancas y 2 rojas, y otra urna 3 blancas y 2 rojas. Se pasa una bola de la primera a la segunda urna y después se extrae una bola de la segunda urna, que resulta ser blanca. Determina la probabilidad de que la bola trasladada hubiese sido blanca. 20. Se tienen dos urnas, una con 8 bolas blancas y 4 verdes; la otra, con 6 blancas y 10 verdes. Se extrae una bola de cada urna. Calcula la probabilidad de que sean del mismo color. 21. Un joyero compra los relojes a dos casas proveedoras. La primera le sirve el 60% de los relojes, de los cuales el 0,4% es defectuoso. La segunda le proporciona el resto, siendo defectuoso el 1,5%. Un día, el joyero, al vender un reloj, observa que este no funciona. Halla la probabilidad de que el reloj proceda de la primera casa proveedora. 22. Una urna contiene 5 bolas rojas y 8 verdes. Se extrae una bola y se reemplaza por dos del mismo color. A continuación, se extrae una segunda bola. Calcula: a) La probabilidad de que la segunda bola sea verde. b) La probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color. 23. En una bolsa A hay 4 bolas negras y 5 blancas. En otra bolsa B hay 2 negras y 3 blancas. Se elige al azar una bolsa y se extrae de ella una bola. a) Halla la probabilidad de que la bola extraída sea negra. b) Halla la probabilidad de que la bola extraída sea blanca. 24. Una urna contiene 3 bolas rojas y 1 blanca; otra urna contiene 4 bolas rojas y 2 blancas, y una tercera contiene 1 roja y 2 blancas. Se extrae una bola de una de ellas y se comprueba que es roja. Halla la probabilidad de que haya sido extraída de la primera urna.

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Probabilidad condicionada

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25. En una empresa de auditoría se ha contratado a tres personas para revisar la contabilidad de unas empresas bancarias. La primera de ellas se encarga de efectuar el 30% de los controles, la segunda el 45% y la tercera el 25% restante. Se ha comprobado que de las inspecciones realizadas por la primera persona, el 1% son erróneas; la segunda comete errores en el 3% de los casos y la tercera en el 2% de los casos. a) Calcula la probabilidad de que, al elegir una inspección, esta sea errónea. b) Al elegir una inspección correcta, ¿cuál es la probabilidad de que la haya realizado la segunda persona? 26. Dados dos sucesos aleatorios A y B, se sabe que: P (B ) =

3 4

P ( A) = P ( A / B ) =

1 3

a) Razona si los sucesos A y B son independientes. b) Calcula P(A B). – c) Determina P( A/ B ). 27. La plantilla de empleados de unos grandes almacenes está formada por 200 hombres y 300 mujeres. La cuarta parte de los hombres y la tercera parte de las mujeres solo trabajan en el turno de mañana. Elegido uno de los empleados al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre o solo trabaje en el turno de mañana? b) Sabiendo que no solo trabaja en el turno de mañana, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? 28. Se sabe que dado A, la probabilidad de que ocurra B es 0,3; es decir, P(B/A) = 0,3. ¿Cuánto vale la probabilidad de que – dado A no ocurra B: P( B/A)? 29. Un test para detectar si una persona es portadora del virus de la varicela da positivo en el 86% de los que la padecen y da negativo en el 92% de los que no la padecen. Se sabe que un 2% es portador del virus. Una persona se somete a un test. Halla: a) La probabilidad de que el test le dé positivo. b) La probabilidad de que sea portadora del virus de la varicela sabiendo que el test le ha dado positivo. 30. Dos sucesos A y B se sabe que son independientes, que la probabilidad de que ocurra alguno de ellos es 5/6 y que la probabilidad de que ocurran ambos simultáneamente es 1/3. Halla las probabilidades de A y de B. 31. En un grupo de personas, al 50% les han puesto alguna vez una multa de tráfico. Por otro lado, al 12,5% no les han puesto nunca una multa, pero sí han sufrido alguna vez un accidente. Finalmente, al 60% de quienes nunca han tenido un accidente no les han puesto nunca una multa. a) ¿Qué porcentaje no ha tenido nunca un accidente ni le han puesto nunca una multa? b) ¿Qué porcentaje no ha tenido nunca un accidente? c) Entre las personas que nunca les han puesto una multa, ¿qué porcentaje no ha tenido nunca un accidente? 32. En una asignatura de primer curso de universidad, asisten a clase, regularmente, 210 alumnos, de los 300 que hay matriculados. Además, se sabe que aprueban el 80% de los alumnos que asisten a clase y el 50% de los que no asisten. a) Se elige al azar un alumno matriculado. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya asistido a clase y haya aprobado? b) Se elige al azar un alumno de entre los que han aprobado. ¿Cuál es la probabilidad de que haya asistido a clase?

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Unidad 13

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ACTIVIDADES FINALES ACCESO A LA UNIVERSIDAD 33. Si se lanzan dos dados, calcula la probabilidad de que la suma de los puntos obtenidos sea par, condicionado a que en uno de los dados el resultado obtenido haya sido el número tres. 34. Una urna contiene 25 bolas blancas sin marcar, 75 bolas blancas marcadas, 125 bolas negras sin marcar y 175 bolas negras marcadas. Se extrae al azar una bola. a) Calcula la probabilidad de que sea blanca. b) Se extrae al azar una bola y está marcada. ¿Cuál es la probabilidad de que sea blanca? 35. En el lanzamiento de un dado se consideran los tres sucesos siguientes: A, sale un número impar; B, sale un número par; C, sale el 1 o el 2. Se pide: a) ¿Son independientes A y B ? b) ¿Son independientes A y C ? c) Calcula P(A/C ). 36. Una bolsa contiene tres monedas, una de las cuales está acuñada con dos caras, mientras que las otras dos monedas son normales. Se escoge una moneda al azar y se lanza sucesivamente obteniéndose cuatro caras. ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda elegida sea la de dos caras? 37. En una ciudad el 55% de los habitantes consume pan integral, el 30% pan multicereales y el 20% ambos. Se pide: a) Sabiendo que un habitante consume pan integral, ¿cuál es la probabilidad de que coma pan multicereales? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de esa ciudad no consuma ninguno de estos panes? 38. Una urna contiene dos bolas. Se sabe que la urna se llenó tirando una moneda al aire dos veces y poniendo una bola blanca en la urna por cada cara y una negra por cada cruz. Se extrae una bola de la urna y resulta ser blanca. Calcula la probabilidad de que la otra bola de la urna sea también blanca. 39. Tenemos tres cajas, una verde, una roja y una amarilla y, en cada caja, hay una moneda. La de la caja verde está trucada y la probabilidad de que salga cara es doble de la probabilidad de que salga cruz; la moneda de la caja roja tiene dos caras y la de la caja amarilla no está trucada. Se toma una caja al azar y se lanza la moneda que está en esa caja. Calcula razonadamente: a) La probabilidad de que salga cara. b) La probabilidad de que, sabiendo que ha salido cara, se haya lanzado la moneda de la caja roja. 40. Una fábrica produce tres tipos diferentes de bolígrafos, A, B y C. El número total de unidades producidas de cada uno de ellos es el mismo (un tercio del total). Salen defectuosos, sin embargo, un 15‰ de todos los del tipo A, un 3‰ de todos los del tipo B y un 7‰ de todos los del tipo C. En un control de calidad se detectan el 70% de todos los bolígrafos defectuosos de tipo A, el 80% de los del tipo B y el 90% de los de tipo C. Los bolígrafos defectuosos detectados en dicho control se tiran. Si se saca al azar uno de estos bolígrafos defectuosos que se han tirado, calcula la probabilidad de que sea de tipo A. 41. Tres cajas idénticas contienen cada una dos fichas. En una, las fichas son blancas; en otra, de color rojo, y en la tercera, una roja y otra blanca. Se extrae una ficha, que resulta ser blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que la otra ficha que queda en la caja escogida sea también blanca?

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Probabilidad condicionada

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AUTOEVALUACIÓN 1. Los resultados de cierto curso muestran que la probabilidad de aprobar la asignatura de Matemáticas es 0,8 y Dibujo 0,7. Además, la probabilidad de aprobar ambas es 0,6. Se elige un alumno al azar y se sabe que ha aprobado Matemáticas; la probabilidad de que haya aprobado Dibujo es: a) 0,25

b) 0,5

c) 0,75

2. Teniendo en cuenta la información que aparece en la actividad anterior, ¿es independiente aprobar Matemáticas de aprobar Dibujo? a) Sí

b) No

c) No se puede saber

3. En un aula hay 100 sillas de las cuales 60 tienen brazo y el resto no. El 80% de estas últimas son nuevas. Sabiendo que en total hay 20 sillas viejas, la probabilidad de elegir en esa aula una silla nueva con brazo es: a) 12/25

b) 3/5

c) 4/5

4. A partir del enunciado de la actividad anterior, si sabemos que hemos elegido en esa aula una silla nueva, la probabilidad de que no tenga brazo es: a) 2/5

b) 4/5

c) 8/25

5. En una empresa el 20% de los trabajadores son mayores de 45 años, el 8% desempeña algún puesto directivo y el 6% es mayor de 45 años y desempeña algún cargo directivo. Si la empresa tiene 150 trabajadores, el número de los que son directivos y no tienen más de 45 años es: a) 2

b) 3

c) 4

– – 6. Sean A y B dos sucesos tales que P(A) = 0,6 y P(B) = 0,3. Si P(A/B) = 0,1 y B es el contrario del suceso B, el valor de P(B/A) es: a) 0,90

b) 0,95

c) 0,99

7. En una pequeña ciudad hay dos bibliotecas. En la primera el 50% de los libros son novelas mientras que en la segunda son el 70%. Un lector elige al azar una biblioteca siguiendo un método que implica que la probabilidad de elegir la primera biblioteca es el triple que la de elegir la segunda. Una vez llega a la biblioteca seleccionada, elige al azar un libro, novela o no. La probabilidad de que elija una novela es: a) 0,35

b) 0,45

c) 0,55

8. Se tienen dos urnas A y B. La A contiene 4 bolas azules y 3 rojas, y la B, 4 azules y 6 rojas. Se extrae una bola de la urna A y se introduce en la B y a continuación se extrae una bola de la urna B. La probabilidad de que la bola extraída sea roja es: 45 55 65 a) b) c) 77 77 77 9. Una ciudad A tiene el doble de habitantes que una ciudad B. El 30% de los ciudadanos de B lee literatura, en tanto que solo un 10% de ciudadanos de A lee literatura. Nos presentan a un ciudadano que vive en una de las dos ciudades y sabemos que lee literatura; la probabilidad de que sea de la ciudad B es: a) 0,4

b) 0,5

c) 0,6

10. Una persona puede ir desde su casa al trabajo andando, en autobús o en taxi. El 60% de las veces va andando, y el resto, a partes iguales, en taxi y autobús. Si va andando, llega tarde al trabajo 4 veces de cada 10; si va en autobús llega tarde 1 vez de cada 3, y si va en taxi, el 90% de las veces es puntual. Sabiendo que un determinado día ha sido puntual, la probabilidad de que ese día haya ido andando al trabajo es: a) 0,35

b) 0,53

c) 0,75

Z

u14 unidad 14 contenidos

1. Estadística inferencial. Muestreo 2. Muestreos aleatorios

3. Distribución normal estándar 4. Distribuciones muestrales 5. Estimación de parámetros. Estimación puntual

Estadística inferencial. Muestreo. Estimación puntual

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Puede decirse que la Estadística es la ciencia que trata de la recogida de datos, su organización y análisis, así como de las predicciones que, a partir de estos datos, pueden hacerse. Los aspectos anteriores hacen que pueda hablarse de dos tipos: estadística descriptiva y estadística inferencial. La estadística descriptiva se ocupa de tomar los datos de un conjunto dado, organizarlos en tablas o representaciones gráficas, y del cálculo de unos números que nos informen de manera global del conjunto estudiado. La estadística inferencial trata sobre la elaboración de conclusiones para una población, partiendo de los resultados de una muestra y del grado de fiabilidad de las conclusiones. Esta se aplica en muy diversos campos: en Medicina, para investigar sobre los resultados de un tratamiento; en Sociología, para conocer la opinión de los ciudadanos sobre un determinado tema; en Biología, para conocer comportamientos de especies; o en la industria, para mejorar la calidad de sus productos mediante técnicas de control de calidad.

cuestiones iniciales 1. ¿Cómo elegirías una muestra de 50 alumnos entre los 1 500 alumnos de un centro escolar con el fin de hacer un sondeo sobre las elecciones al Consejo Escolar? 2. En un centro de la UNED se sabe que el 30% de los alumnos tiene entre 18 y 22 años; el 45% entre 22 y 40 años, y el resto más de 40 años. ¿Cómo extraeríamos una muestra de 150 alumnos para hacer una estadística sobre el número semanal de horas que dedican al estudio? 3. Una máquina realiza piezas de precisión con un diámetro medio de 8 mm y una desviación típica de 0,5 mm. Suponiendo que la distribución es normal, calcula la probabilidad de que una pieza tomada al azar tenga un diámetro: a) Mayor que 8,5 mm. b) Menor que 7,5 mm. c) Comprendido entre 7 y 9 mm. 4. Un agente de seguros vende pólizas a cinco individuos, todos de la misma edad. De acuerdo con las tablas actuales, la probabilidad de que un individuo con esa edad viva 30 años más es de 3/5. Determina la probabilidad de que dentro de 30 años vivan: a) Los cinco individuos. b) Al menos tres. c) Solo dos.

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Unidad 14

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1. Estadística inferencial. Muestreo ESTADÍSTICA

DESCRIPTIVA INFERENCIAL

El curso pasado estudiamos la estadística descriptiva, que se ocupa de tomar datos sobre una población, ordenarlos y calcular parámetros centrales y de dispersión que nos informen de forma global sobre las características de la población. En ocasiones el tamaño de la población es muy grande y necesitamos tomar una muestra de esa población y sobre ella calcular las medidas centrales y de dispersión más significativas. Frecuentemente no es posible estudiar todos los elementos de una población por razones de tiempo, economía, inexistencia real o porque el estudio requiere su destrucción. Por esto, lo que nos interesa es tomar una muestra y deducir o inferir las características de la población a partir de las de la muestra.

Algunos términos estadísticos • Población: es el conjunto de elementos sobre los que se hace un determinado estudio. • Individuo: es cada elemento de la población. • Muestra: es el subconjunto de elementos de la población que tomamos para hacer el estudio. • Tamaño de la muestra: es el número de individuos que la componen.

• La estadística inferencial se ocupa de deducir o inferir las características de la población a partir de las de la muestra. La estadística inferencial se divide en: • Estadística inductiva, cuyo fin es estimar los parámetros de una población, bien: – mediante un único valor o estimación puntual; – mediante un intervalo o estimación por intervalos. • Estadística deductiva, cuyo fin es comprobar si la información que proporciona la muestra concuerda o no con la hipótesis estadística formulada: – mediante los contrastes de hipótesis. En esta unidad didáctica nos vamos a ocupar de la estimación de parámetros por puntos. Para ello hemos de distinguir las parámetros poblacionales y los muestrales. • Parámetros poblacionales o parámetros son los índices centrales, de posición, de dispersión… que definen a una población.

INFERENCIA ESTADÍSTICA

ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS

PRUEBAS DE HIPÓTESIS

• Parámetros muestrales o estadísticos son los índices centrales, de posición, de dispersión… que definen a una muestra y son función de la misma. Los estadísticos que más vamos a utilizar son: – – = –x (media muestral) R x

X–x– = s (desviación típica muestral)

1.1. Muestreo ESTIMACIÓN POR PUNTOS

ESTIMACIÓN POR INTERVALOS

La estadística inferencial utiliza muestras, y la primera cuestión que se nos plantea es la forma de elegir estas de modo que sean representativas de la población y nos permitan con un alto grado de fiabilidad inferir o predecir las características de la población. Para elegir estas muestras utilizamos el muestreo y los distintos tipos de muestreo.

Y

Estadística inferencial. Muestreo. Estimación puntual

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1.2. Tipos de muestreo En el esquema que sigue podemos ver las clases o tipos de muestreo más habituales en la práctica. De cada uno de ellos realizamos seguidamente una breve descripción. MUESTREO los elementos se eligen de forma aleatoria

reemplazamos los elementos

sí

MUESTREO CON REEMPLAZAMIENTO

no

no

MUESTREO SIN REEMPLAZAMIENTO

MUESTREOS NO ALEATORIOS O NO PROBABILÍSTICOS

sí

MUESTREOS ALEATORIOS, AL AZAR O PROBABILÍSTICOS

tipos

SIMPLE

SISTEMÁTICO

ESTRATIFICADO

CONGLOMERADOS

• Muestreo con reemplazamiento es el que se realiza cuando un elemento tomado de la población vuelve de nuevo a ella para poder volver a ser elegido. En esta situación, cada miembro de la población puede seleccionarse más de una vez. Este tipo de muestreo hace que una población finita pueda ser considerada, al menos en su aspecto teórico, como una «población infinita». • Muestreo sin reemplazamiento es el que se efectúa sin devolver a la población los elementos que se van eligiendo para construir la muestra. En este caso, cada miembro de la población no puede seleccionarse más de una vez. • Muestreo no aleatorio, o no probabilístico, es el que se realiza de forma que todos los elementos de la población no tienen la misma probabilidad de ser incluidos en la muestra. En este tipo de muestreo suele ser muy escasa la representatividad de la muestra y poco válidas las inferencias que puedan hacerse. Dentro de este tipo de muestreo pueden encontrarse clases diferentes. Sólo citaremos sus nombres: sin norma, opinático por cuotas o por rutas. • Muestreo aleatorio, al azar o probabilístico, es el que se efectúa teniendo en cuenta que cada miembro de la población tiene la misma probabilidad de ser elegido en la muestra. Con este tipo de muestreo, las muestras suelen ser representativas, es posible conocer los posibles errores cometidos y pueden hacerse inferencias estadísticas. En la práctica, el muestreo que más se utiliza es el muestreo aleatorio, ya que presenta mayor grado de fiabilidad. A continuación estudiamos con más detalle este tipo de muestreo. Y

Unidad 14

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2. Muestreos aleatorios MUESTREO ALEATORIO

Los tipos fundamentales de muestreos aleatorios son: el muestreo aleatorio simple (m.a.s.), que sirve de base para todos los demás, el muestreo aleatorio sistemático, el muestreo aleatorio estratificado y el muestreo aleatorio por conglomerados.

SIMPLE

• El muestreo aleatorio simple consiste en listar todos los elementos de la población y seleccionar aleatoriamente los n elementos de la muestra. SISTEMÁTICO

ESTRATIFICADO

CONGLOMERADOS

La elección se puede hacer asignando un número a cada elemento de la población e introduciendo estos en una urna, para luego extraer n elementos; o bien mediante una tabla de números aleatorios (en el Anexo al final del libro se muestra una tabla de números aleatorios, así como la forma de utilizarla). • El muestreo aleatorio sistemático consiste en seleccionar los n elementos de la muestra de k en k siendo: k=

N Nº de elementos de población = n Tamaño de muesstra

La elección de los n elementos de la muestra se realiza eligiendo al azar el primer número entre los k primeros y los restantes de k en k, hasta completar todos los elementos que componen la muestra. • El muestreo aleatorio estratificado consiste en dividir la población en subgrupos o estratos homogéneos y en cada uno de ellos tomar muestras aleatorias simples.

Números aleatorios La tabla de números aleatorios, que puede verse al final del libro, en el Anexo, forma parte del libro, publicado en Estados Unidos en el año 1955, A million random digits.

En el caso que haya k estratos y que el número de elementos de cada estrato sea N1, N2, …, Nk ; si n1, n2, …, nk son los elementos de cada una de las muestras de los estratos, el tamaño total de la muestra n = n1 + n2 … + nk se calcula de la manera más eficaz eligiendo los números n1, n2, …, nk proporcionales a los tamaños de los estratos N1, N2, …, Nk , es decir: n1 n n n = 2 =…= k = N1 N2 Nk N Este proceso recibe el nombre de muestreo estratificado proporcional.

Las calculadoras científicas proporcionan números aleatorios por medio de la tecla RAN.

Cuando además de tener en cuenta la proporcionalidad se considera la variabilidad de cada estrato el muestreo se llama muestreo estratificado óptimo.

Con dicha tecla se generan números decimales de tres cifras comprendidos entre 0 y 1.

• El muestreo aleatorio por conglomerados consiste en dividir la población en conjuntos o conglomerados.

Las calculadoras gráficas, mediante la funcion RAND, proporcionan números aleatorios comprendidos entre 0 y 1 con diez cifras decimales.

Se eligen al azar unos pocos de estos conglomerados y la muestra estará formada por todos los elementos de ellos o por muestras aleatorias simples de estos conglomerados.

Los microordenadores poseen la función RANDOM o RND que permite la obtención de números aleatorios y la simulación de múltiples experiencias aleatorias.

La diferencia entre estos dos últimos muestreos es que en el muestreo estratificado los grupos son homogéneos internamente respecto a un carácter y a su vez heterogéneos entre ellos y en cambio en el muestreo por conglomerados los grupos son heterogéneos internamente y homogéneos entre sí.

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Estadística inferencial. Muestreo. Estimación puntual

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2.1. Número de muestras Consideramos una población de N elementos y vamos a tomar muestras de tamaño n. • El número de muestras de tamaño n, sin reemplazamiento, que podemos N tomar de una población de N elementos es: . n

冢冣

• El número de muestras de tamaño n, con reemplazamiento, que podemos tomar de una población de N elementos es: N n.

2.2. Error en el muestreo El error cometido al tomar una muestra da lugar a que los resultados de la muestra no coincidan con los de la población. Pueden darse dos tipos de errores: • Error aleatorio muestral. Para reducir este error hay que aumentar el tamaño de la muestra. • Error sistemático o sesgo. Este va asociado al proceso de selección de la muestra y se reduce mejorando esta selección.

ACTIVIDADES RESUELTAS 1. En cierta población habitan 1 500 niños y jóvenes, 7 500 adultos y 1 000 ancianos. Se desea realizar un estudio para conocer el tipo de actividades de ocio que se desean incluir en el nuevo parque en construcción. Para ello, van a ser encuestados 200 individuos elegidos al azar. a) Explica qué procedimiento de selección sería más adecuado utilizar: muestreo con o sin reemplazamiento. b) Si se utiliza muestreo estratificado, ¿cuál será el tamaño muestral correspondiente a cada estrato? a) Sería conveniente seleccionar la muestra sin reemplazamiento, de esta forma se evita la posibilidad de que la opinión de alguna persona se tenga en cuenta más de una vez. b) En el muestreo estratificado deben considerarse los estratos formados por niños y jóvenes, adultos y ancianos. El tamaño muestral de cada uno de los estratos sebe ser proporcional a la cantidad de individuos de cada uno de ellos. Así, se tiene que: x y z 200 1 = = = = 1500 7500 1000 10 000 50 De donde obtenemos: x =

1500 7500 1000 = 20 ancianos = 30 niiños y jóvenes; y = = 150 adultos; z = 50 50 50

La muestra debe estar formada por 30 niños y jóvenes, 150 adultos y 20 ancianos elegidos aleatoriamente entre sus respectivos colectivos.

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Unidad 14

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3. Distribución normal estándar Como recordarás del curso pasado, cualquier distribución de media R y desviación típica X puede asociarse a una distribución normal de media 0 y desviación típica 1. Esta distribución es la distribución normal estándar, y se designa con N(0, 1).

P (Z f a ) av0

–a

a

En esta distribución, la variable aleatoria se designa con Z y se llama variable normal estándar o tipificada. En la tabla de la distribución normal N(0, 1), que vemos en la página siguiente, encontramos los valores correspondientes a P(Z f a), a v 0, que es el área del recinto sombreado del margen; en los demás casos de cálculo de probabilidades hemos de llegar a este, que se puede tabular:

Z

• P(Z v a) = 1 – P(Z < a). • P(Z f – a) = 1 – P(Z < a). • P(Z v – a) = P(Z f a). • P(a f Z f b) = P(Z f b) – P(Z < a). • P(Z f – a) = P(Z v a).

3.1. Tipificación de la variable N(R, X)

La distribución normal N(0, 1) se encuentra tabulada, y resulta sencillo calcular las probabilidades que se corresponden con las áreas encerradas bajo la función de densidad.

N(0, 1) XR X aR X Z =

X a

Cuando la variable X no sigue una distribución normal N(0, 1) sino una distribución N(R, X), hay que tipificar la variable, es decir, transformarla en una variable estándar que siga una distribución normal N(0, 1). Para ello se hace el siguiente cambio: Z=

R– X

R

XR X

Con lo cual, el cálculo de probabilidades se reduce a:

R+X

P(X f a) = P

冢

冣冢

冣

XR aR aR f = P Zf X X X

y éstas se encuentran tabuladas.

ACTIVIDADES RESUELTAS 2. En una distribución N(14, 4) halla P(8 f X f 20). Tipificamos la variable X mediante Z =

X 14 y obtenemos: 4

冢8 414

冣

20 14 = P(–1,5 f Z f 1,5) = 4 = P(Z f 1,5) – P(Z f –1,5) = P(Z f 1,5) – [1 – P(Z f 1,5)] = P(Z f 1,5) – 1 + P(Z f 1,5) = 2P(Z f 1,5) – 1 = 0,8664 P(8 f X f 20) = P

fZf

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Estadística inferencial. Muestreo. Estimación puntual

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TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL N (0, 1)

función de densidad

P (Z f a) =

coloreado 冦 ᎏᎏ 冧 Área del recinto

–h

O

a

+h

a

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5

0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,7257 0,7580 0,7881 0,8159 0,8413 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192 0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713 0,9772 0,9821 0,9861 0,9893 0,9918 0,9938 0,9953 0,9965 0,9974 0,9981 0,9987 0,9990 0,9993 0,9995 0,9997 0,9998

0,5040 0,5438 0,5832 0,6217 0,6591 0,6950 0,7291 0,7611 0,7910 0,8186 0,8438 0,8665 0,8869 0,9049 0,9207 0,9345 0,9463 0,9564 0,9646 0,9719 0,9778 0,9826 0,9864 0,9896 0,9920 0,9940 0,9955 0,9966 0,9975 0,9982 0,9987 0,9991 0,9993 0,9995 0,9997 0,9998

0,5080 0,5478 0,5871 0,6255 0,6628 0,6985 0,7324 0,7642 0,7939 0,8212 0,8461 0,8686 0,8888 0,9066 0,9222 0,9357 0,9474 0,9573 0,9656 0,9726 0,9783 0,9830 0,9868 0,9898 0,9922 0,9941 0,9956 0,9967 0,9976 0,9982 0,9987 0,9991 0,9994 0,9995 0,9997 0,9998

0,5120 0,5517 0,5910 0,6293 0,6664 0,7019 0,7357 0,7673 0,7967 0,8238 0,8485 0,8708 0,8907 0,9082 0,9236 0,9370 0,9484 0,9582 0,9664 0,9732 0,9788 0,9834 0,9871 0,9901 0,9925 0,9943 0,9957 0,9968 0,9977 0,9983 0,9988 0,9991 0,9994 0,9996 0,9997 0,9998

0,5160 0,5557 0,5948 0,6331 0,6700 0,7054 0,7389 0,7704 0,7995 0,8264 0,8508 0,8729 0,8925 0,9099 0,9251 0,9382 0,9495 0,9591 0,9671 0,9738 0,9793 0,9838 0,9875 0,9904 0,9927 0,9945 0,9959 0,9969 0,9977 0,9984 0,9988 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997 0,9998

0,5199 0,5596 0,5987 0,6368 0,6736 0,7088 0,7422 0,7734 0,8023 0,8289 0,8531 0,8749 0,8944 0,9115 0,9265 0,9394 0,9505 0,9599 0,9678 0,9744 0,9798 0,9842 0,9878 0,9906 0,9929 0,9946 0,9960 0,9970 0,9978 0,9984 0,9989 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997 0,9998

0,5239 0,5636 0,6026 0,6406 0,6772 0,7123 0,7454 0,7764 0,8051 0,8315 0,8554 0,8770 0,8962 0,9131 0,9279 0,9406 0,9515 0,9608 0,9686 0,9750 0,9803 0,9846 0,9881 0,9909 0,9931 0,9948 0,9961 0,9971 0,9979 0,9985 0,9989 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997 0,9998

0,5279 0,5675 0,6064 0,6443 0,6808 0,7157 0,7486 0,7794 0,8078 0,8340 0,8577 0,8790 0,8980 0,9147 0,9292 0,9418 0,9525 0,9616 0,9693 0,9756 0,9808 0,9850 0,9884 0,9911 0,9932 0,9949 0,9962 0,9972 0,9979 0,9985 0,9989 0,9992 0,9995 0,9996 0,9997 0,9998

0,5319 0,5714 0,6103 0,6480 0,6844 0,7190 0,7517 0,7823 0,8106 0,8365 0,8599 0,8810 0,8997 0,9162 0,9306 0,9429 0,9535 0,9625 0,9699 0,9761 0,9812 0,9854 0,9887 0,9913 0,9934 0,9951 0,9963 0,9973 0,9980 0,9986 0,9990 0,9993 0,9995 0,9996 0,9997 0,9998

0,5359 0,5753 0,6141 0,6517 0,6879 0,7224 0,7549 0,7852 0,8133 0,8389 0,8621 0,8830 0,9015 0,9177 0,9319 0,9441 0,9545 0,9633 0,9706 0,9767 0,9817 0,9857 0,9890 0,9916 0,9936 0,9952 0,9964 0,9974 0,9981 0,9986 0,9990 0,9993 0,9995 0,9997 0,9998 0,9998 Y

Unidad 14

334

3.2. La distribución binomial se aproxima a la normal Corrección de Yates Cuando aproximamos una distribución binomial mediante una normal, estamos convirtiendo una variable discreta en continua. Los valores de la probabilidad para valores fijos de la variable son cero en las variables continuas. Para evitar este problema, en la aproximación de los valores fijos, estos se corrigen (corrección en Yates) sustituyéndolos por un intervalo centrado en el valor y de longitud la unidad.

En el curso anterior se estudiaron también las distribuciones binomiales B(n, p). Dichas distribuciones responden a las funciones de probabilidad n r n–r P (X = r) = p q r

冢冣

siendo la media R = np y la desviación típica X =

n pq .

El cálculo de expresiones y sumas de expresiones de la forma

n

冢r 冣 p q r

n–r

resulta

muy laborioso y complicado cuando n es grande. El matemático Abraham de Moivre (1667-1754) demostró el siguiente resultado, que permite conseguir, bajo ciertas condiciones, una buena aproximación de la distribución binomial mediante una distribución normal:

Así, X = a se considera: a – 0,5 f X f a + 0,5

• Si X es una variable aleatoria discreta que sigue una distribución binomial X np de parámetros n y p, entonces la variable Z = se aproxima a la van pq riable normal N (0,1). La bondad de la aproximación es tanto mejor cuanto mayor sea n y cuanto más próximo está p de 0,5. a

Esta aproximación está especialmente indicada cuando n es mayor de 10, ya que las tablas de las distribuciones binomiales ofrecen sus valores hasta n igual a 10.

Frank Yates (1902-1994).

ACTIVIDADES RESUELTAS 3. Se efectúan 15 lanzamientos de una moneda. Calcula la probabilidad de que: a) Salgan exactamente 9 caras. b) Salgan entre 8 y 12 caras, ambas inclusive. Utilizando la distribución binomial B (15, 1/2), obtenemos: a) P (X = 9) =

9

6

冢冣冢冣冢冣 15 9

1 2

1 2

=

5005 = 0,1527 32768

b) P (8 f X f 12) = P (X = 8) + P (X = 9) + P (X = 10) + P (X = 11) + P (X = 12) = 0,4963 Utilizando la aproximación mediante la normal, como n = 15 y p = 0,5, tenemos que

R = np = 15 0,5 = 7,5 y X = npq = 15 0,5 0,5 = 3,75 = 193 , a) Con la corrección de Yates, obtenemos: P (X = 9) = P (8,5 f X f 9,5) = P

冢

冣

8,5 7,5 9,5 7,5 = P (0,52 f Z f 1,04) = 0,1523 fZ f 193 , 193 ,

b) Con la corrección de Yates, obtenemos: P (8 f X f 12) = P (7,5 f X f 12,5) = P

7,5 12,5 7,5 fZ f 冢7,5193 冣 = P (0 f Z f 2,59) = , 193 ,

= P (Z f 2,59) – P (Z f 0) = 0,9952 – 0,5000 = 0,4952

Y

Estadística inferencial. Muestreo. Estimación puntual

335

4. Distribuciones muestrales

Distribución muestral de medias

)

Distribución de la población

N (R, X)

R

Para solucionar de manera satisfactoria los problemas anteriores, es necesario el conocimiento de las relaciones existentes entre los estadísticos muestrales y los parámetros de la población. Como estos últimos se infieren de los estadísticos es necesario conocer la distribución muestral de estos estadísticos.

4.1. Distribución muestral de medias

X

(

N R, — n

El estudio de determinadas características de una población se efectúa a través de diversas muestras que pueden extraerse de ella. Los estadísticos (media aritmética, mediana, desviación típica, proporción, etc.) obtenidos de las muestras nos van a permitir decidir sobre la aproximación apropiada del correspondiente parámetro de la población.

X X

— n

Observamos que cuanto mayor es n menor es la desviación típica y más alta y estrecha es la curva correspondiente.

Comenzamos con la situación de obtener conclusiones sobre la media de la población a partir del estudio de las medias obtenidas de las muestras.

Distribución muestral de medias

Consideramos una población y de ella extraemos muestras de tamaño n; cada – una de estas muestras tendrá una media. Llamamos Xn a la variable aleatoria que asigna a cada muestra su media; podemos estudiar su distribución denominada distribución muestral de medias.

Distribución de la población

Cuando la población sigue una distribución cualquiera, utilizamos el teorema central del límite. • Teorema central del límite Si tomamos una muestra aleatoria simple de tamaño n de una variable aleatoria X con media R y desviación típica X, para n suficientemente grande (en la práctica se considera n suficientemente grande cuando n v 30) la dis– tribución muestral de medias Xn se aproxima a una distribución normal: X N R, n – • La media de Xn es la de la población, R –X n = R. X X – : X Xn = . • La desviación típica de Xn es n n A la desviación típica de una distribución muestral también se le llama X error típico del estadístico muestral considerado. Es decir, X Xn = – n es el error típico de Xn.

冢

冣

Si la población sigue una distribución normal, la distribución muestral de medias sigue también una distribución normal (independientemente del tamaño de la muestra). • Si tenemos una población con distribución normal N(R, X) y extraemos de ella muestras de tamaño n, la distribución muestral de medias sigue también una distribución normal: X N R, n

冢

冣

En la práctica ocurre que la desviación típica de la población es desconocida. En estos casos se aproxima por la desviación típica de la muestra siempre que el tamaño de esta sea suficientemente grande (en la práctica n v 100).

R En ambos gráficos pueden observarse las analogías y diferencias entre las gráficas de la distribución de la población y la de la distribución muestral de medias. Se ponen de manifiesto los casos en los que la población sigue una distribución normal y en cualquier otra situación.

Intervalos de probabilidad Como la distribución de medias muesX , trales sigue una normal N R, n se verifica: X X P R 1, 34) = 0, 09 901 1, 7

冢

冣

8,5 b) Si las muestras se toman de tamaño 100, se tiene para el gasto medio una distribución normal N 142,32; = N(142,32; 0,85). 100 La probabilidad pedida es:

冢

P ( X > 144, 6) = P Z >

冣

144, 6 142, 32 = P ( Z > 2, 68) = 0, 0037 0, 85

Podemos observar cómo el tamaño de la muestra influye en la probabilidad de obtener un gasto medio ligeramente separado del gasto medio de la población.

Y

Unidad 14

338

4.2. Distribución muestral de proporciones

Relaciones Distribución binomial • R = np • X =

Distribución muestral de proporciones • pˆ = p

n pq • X = pˆ

pq n

La columna de la derecha se obtiene dividiendo por n en la de la izquierda.

Cuando en una población estudiamos una determinada característica o variable que solo puede tomar dos valores: sí (éxito) o no (fracaso), la población, objeto del estudio, sigue una distribución binomial. Cada una de las muestras que extraigamos de esa población tendrá un porcentaje de individuos con esa misma característica. Llamamos p al parámetro poblacional que es la proporción de uno de los valores que presenta la variable aleatoria en la población; el parámetro poblacional para el otro valor se denomina q, siendo q = 1 – p. Consideramos todas las muestras de tamaño n que pueden extraerse de esa población. En cada una de estas muestras habrá una proporción, pˆ , de individuos con una característica dada. La distribución asociada a la variable aleatoria que asocia a cada muestra su proporción es la distribución muestral de proporciones. Como para poblaciones grandes la distribución binomial se aproxima a una normal, la distribución muestral de proporciones también sigue una distribución normal. • Si se toman muestras de tamaño n v 30 de una población con una distribución binomial de parámetros p y q, la distribución muestral de proporciones se aproxima a una distribución normal:

冢

N p, a

W. S. Gosset (Student) (1876-1937) fue discípulo del matemático bitánico Karl Pearson. Sus trabajos sobre el estudio de la fermentación de la cerveza le llevaron a profundizar en los métodos estadísticos. En 1908 creó la llamada teoría de pequeñas muestras, que hizo progresar la inferencia estadística.

pq n

冣

(Esto se verifica para n suficientemente grande; en la práctica aplicaremos este resultado cuando: n v 30, n · p v 5 y n · q v 5.) En la práctica ocurre que las proporciones p y q de la población son desconocidas. En estos casos se aproximan por las respectivas de una muestra, pˆ = p, por ser pˆ un estimador insesgado (como veremos en el epígrafe 5 de esta unidad). En el Anexo de final del libro aparece la tabla de distribución binomial.

ACTIVIDADES RESUELTAS 7. Una compañía de seguros ha hecho un estudio sobre accidentes de tráfico y ha concluido que tres de cada cinco personas accidentadas son menores de 25 años. Si al año se contabilizan, por término medio, 1000 accidentes de tráfico, encuentra los elementos de la distribución de proporciones y halla el número esperado, por término medio, de jóvenes accidentados ese año. La distribución muestral de proporciones admite como media y desviación típica: pˆ = R ( p) = p = 0, 6

X pˆ =

pq = n

0, 6 0, 4 = 0, 015 1000

El número de jóvenes accidentados, por término medio, cada año, sigue una binomial B(0,6; 1 000) y el número esperado es de 0,6 · 1 000 = 600.

Y

Estadística inferencial. Muestreo. Estimación puntual

339

ACTIVIDADES RESUELTAS 8. Una población está formada por los elementos 1, 2, 4 y 6. a) Calcula la proporción p de cifras impares. b) Para cada una de las muestras con reemplazamiento de tamaño dos, calcula la proporción de cifras impares. c) Calcula la media y la desviación típica de la distribución muestral de proporciones. a) La proporción de cifras impares es: p=

1 = 0, 25 4

b) La proporción de cifras impares de cada una de las muestras puede verse en la tabla. El número de muestras con reemplazamiento de tamaño dos es 42 = 16. Muestra

11 12 14 16 21 22 24 26 41 42 44 46 61 62 64 66

Proporción (p)

1 0,5 0,5 0,5 0,5 0

0

0 0,5 0

0

0 0,5 0

0

0

c) La media de las proporciones anteriores es: pˆ = R ( p) =

1 + 0,5 + 0,5 + 0,5 + 0,5 + 0,5 + 0,5 + 0 + ... + 0 = 0, 25 16

La desviación típica de la distribución de proporciones es:

X ( p) =

12 + 0,52 + 0,52 + 0,52 + 0,52 + 0,52 + 0,52 + 02 + ... + 02 (0, 25)2 = 0,3062 16

Cuando la población es infinita o las muestras se extraen con reemplazamiento en una población finita con proporciones p y q, se verifican las relaciones siguientes: pˆ = p = 0, 25 y X pˆ =

pq = 0, 3062 n

9. Una máquina fabrica piezas de precisión. En su producción habitual fabrica un 3% de piezas defectuosas. Un cliente recibe una caja de 500 piezas procedentes de la fábrica. a) ¿Cuál es la probabilidad de que encuentre más del 5% de piezas defectuosas en la caja? b) ¿Cuál es la probabilidad de que encuentre menos de un 1% de piezas defectuosas? La distribución muestral de proporciones admite como media y desviación típica: pˆ = R ( p) = p = 0, 03 y X p =

pq = n

(0, 03) (0, 97) = 0, 0076 500

La distribución muestral se distribuye según la normal N(0,03; 0,0076), dado que el tamaño de las muestras es superior a 30. Las probabilidades pedidas son: a) P ( pˆ > 0, 05) = 1 P ( pˆ f 0, 05) = 1 P

b) P ( pˆ < 0, 01) = P

0, 03 0, 05 0, 03 f = 1 P ( Z f 2, 63) = 1 0, 9957 = 0, 0043 冢pˆ0,0076 0, 0076 冣

0, 03 0, 01 0, 03 < 冢pˆ0,0076 冣 = P ( Z < 2,63) = 1 P ( Z < 2,63) = 1 0,9957 = 0,0043 0, 0076

Y

Unidad 14

340

4.3. Distribución muestral de diferencia de medias Cuando estudiamos dos colectivos conjunta y comparativamente se consideran: R1 la media del primer colectivo, X1 su desviación típica y n1 el número de elementos de una muestra; así como R2, X2 y n2 las del segundo colectivo. Las relaciones existentes entre los estadísticos de la distribución muestral y los parámetros de las poblaciones, así como la relación entre las distribuciones de las poblaciones y la distribución muestral de diferencia de medias se muestran a continuación. • Si dos poblaciones siguen sendas distribuciones normales N(R1, X1) y N(R2, X2), o bien, si ambas poblaciones tienen distribuciones cualesquiera con medias R1 y R2, desviaciones típicas X1 y X2 y las respectivas muestras son de tamaños n1 y n2 suficientemente grandes, entonces la distribución muestral de diferencia de medias sigue una distribución normal:

冢

N R1 R2 ;

X 12 X 22 + n1 n2

冣

y la variable tipificada viene dada por la expresión: z=

(x1 x2 ) (R1 R2 ) X x1 x2

ACTIVIDADES RESUELTAS 10. Un pequeño electrodoméstico fabricado por la empresa A tiene una duración media de vida de 2 500 horas, con una desviación típica de 500 horas.Otra empresa B fabrica también este electrodoméstico con una duración media de vida de 2 300 horas, con una desviación típica de 800 horas. Se toman 300 aparatos de la empresa A y 200 de la empresa B. Calcula la probabilidad de que la duración media de vida de la muestra de A no sea superior en más de 100 horas a la duración media de vida de la muestra de B. – – La distribución muestral de medias de las poblaciones A y B, XA y XB, está caracterizada por:

R A = 2500, R B = 2300 y X A =

500 300

, XB =

800 200

; n1 = 300, n2 = 200

– – La distribución muestral de diferencia de medias, XA – XB, admite como media y desviación típica:

R A R B = 2500 2300 = 200 y X =

(500)2 (800)2 + = 63,5 300 200

– – La probabilidad de que XA – XB f 100 es:

冢

P ( X A X B f 100) = P Z f

冣

100 200 = P( Z f 1, 57) = 1 P ( Z f 157 , ) = 0,0582 63,5

Y

Estadística inferencial. Muestreo. Estimación puntual

341

5. Estimación de parámetros. Estimación puntual Hemos comenzado esta unidad didáctica estudiando la teoría de muestras y hemos visto cómo la estadística inferencial, utilizando muestras aleatorias de una población, trata de inferir información sobre una población a partir de las muestras extraídas de ella. Dentro de la estadística inferencial está la estadística inductiva, que se basa en la estimación de parámetros poblacionales a partir de los correspondientes estadísticos muestrales.

Distribución asociada a un estimador insesgado (en este caso la media)

Esta estimación puede hacerse de dos formas: • Estimación puntual. • Estimación por intervalos. Por ejemplo, cuando decimos que la altura media de los adolescentes es de 1,75 m estamos haciendo una estimación puntual; en cambio, si decimos que la altura media de los adolescentes está entre 1,73 y 1,77 m estamos haciendo una estimación por intervalos.

R=x

• La estimación puntual consiste en estimar mediante un único valor el parámetro poblacional desconocido.

Estimación puntual Las estimaciones puntuales son más precisas que las estimaciones por intervalos, que veremos en la próxima unidad didáctica, sin embargo, son menos fiables que estas últimas. En la estimación puntual el estadístico que utilizamos para la estimación se llama estimador puntual. Los estimadores puntuales pueden ser: • Estimador puntual insesgado: si la media de la distribución muestral de un estadístico es igual a su correspondiente parámetro poblacional. Son estimadores puntuales insesgados:

Distribución asociada a un estimador sesgado (en este caso la varianza)

– La media muestral, estimador insesgado de la media poblacional. – La proporción muestral, estimador insesgado de la proporción poblacional. – La diferencia de medias muestrales, estimador insesgado de la diferencia de medias poblacionales. • Estimador puntual sesgado: si la media de la distribución muestral de un estadístico no es igual a su correspondiente parámetro poblacional. En general debemos escoger estimadores insesgados. A veces ocurre que hay más de un estimador insesgado para un determinado parámetro; en estos casos hay que tomar el más eficiente, es decir, el que su distribución muestral tenga menor dispersión.

X^ 2 = s 2 En este caso la media de la varianza muestral s2, no coincide con la varianza poblacional X 2; sino que es:

RS2 =

n 1 2 X n Y

Unidad 14

342

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Triángulo equilátero Sea ABC un triángulo equilátero con AB = 1 cm. Prueba que si se seleccionan 10 puntos de su interior, debe haber al menos dos que disten menos de 1/3 cm.

C

FAMILIARIZACIÓN CON EL PROBLEMA El enunciado se entiende con facilidad. Los conceptos que aparecen son elementales: triángulo equilátero, medida de los lados, puntos y distancias.

BÚSQUEDA DE ESTRATEGIAS A

B

AB = 1

Observamos que los puntos más alejados que podemos dibujar en un triángulo equilátero son dos de sus tres vértices. Determinamos otras distancias. Calculamos la distancia desde un vértice, por ejemplo C, al punto medio del lado opuesto AB; esta distancia es la medida de la altura del triángulo. Teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras, la altura, h, mide: h2 +

2

冢冣 =1 1 2

2

¡ h2 =

3 3 ¡ h= % 0, 866 4 2

Estos cálculos no nos aportan ningún dato esclarecedor, parece que no nos conducen a ninguna parte. Veamos qué ocurre si dividimos el triángulo en regiones o triángulos iguales.

LLEVAR ADELANTE LA ESTRATEGIA En el triángulo ABC dividimos cada lado en tres partes iguales y, al unir los puntos, vemos que se forman nueve triángulos equiláteros iguales. Los lados de estos nuevos triángulos equiláteros miden 1/3 cm.

C

Sea T1 el interior del triángulo CDE junto con los puntos del segmento DE, excluyendo a D y E.

D

Sea T2 el interior del triángulo DFH junto con los puntos de los segmentos DH y FH, excluyendo a D y F.

E

F

Sea T3 el interior del triángulo DEH junto con los puntos del segmento EH, excluyendo a E y H.

I H

A

J

K

B

Los triángulos T4, ..., T9 se definen de forma análoga; así, el interior del triángulo ABC es la unión de estos nueve triángulos, que no tienen puntos comunes dos a dos. Teniendo en cuenta esta partición del triángulo ABC del enunciado, si seleccionamos 10 puntos de su interior, al menos dos de ellos están en alguno de los triángulos pequeños, y se encuentran a una distancia de menos de 1/3 cm.

REVISAR EL PROCESO Y SACAR CONSECUENCIAS DE ÉL En la resolución de este problema hemos tenido que hacer uso de una herramienta matemática muy particular: el principio de distribución, ideado por el matemático alemán Peter G. L. Dirichlet.

Y

Estadística inferencial. Muestreo. Estimación puntual

343

Principio de distribución Supongamos que una bandada de 101 palomas se dirige a su palomar, en el que hay 100 nidos. Es seguro que al ocupar los nidos, al menos dos palomas se colocarán en el mismo nido. Este principio, conocido con los nombres de principio de distribución, principio de Dirichlet o principio del palomar, fue enunciado por Dirichlet y se aplica en la resolución de múltiples situaciones, especialmente en problemas de teoría de números.

• Una oficina tiene 13 empleados. Prueba que al menos dos de ellos celebran su cumpleaños el mismo mes. Podemos considerar los empleados como las palomas, por tanto, n = 13, y los meses del año como los nidos, es decir, r = 12. Aplicando el principio de distribución, podemos asegurar que al menos dos empleados cumplen años en el mismo mes. • Un pianista ha ensayado durante 112 horas a lo largo de 12 días (suponemos que cada día lo ha hecho un número entero de horas). Demuestra que hubo un par de días consecutivos en los cuales ensayó, al menos, 19 horas en total.

Podemos enunciar este principio en la forma siguiente: Si n palomas ocupan r nidos, y n > r, entonces hay, al menos, un nido con dos o más palomas.

Los doce días pueden distribuirse en seis grupos de días consecutivos:

Veamos algunos ejemplos en los cuales aplicamos el principio de distribución.

{1, 2}; {3, 4}; {5, 6}; {7, 8}; {9, 10}; {11, 12} que podemos considerar como nidos, es decir, r = 6. Las 112 horas se pueden expresar como 112 = 6 · 18 + 4, con lo cual podemos considerar 7 palomas, cada una de ellas con el siguiente número de horas: 18; 18; 18; 18; 18; 18; 4 Aplicando el principio de distribución, es seguro que hay al menos dos palomas en un mismo nido. Las palomas pueden ser de 18 y 18 (18 + 18 = 36) o de 18 y 4 (18 + 4 = 22), lo que nos permite afirmar que, efectivamente, hubo al menos un par de días consecutivos en los cuales ensayó, al menos, 19 horas.

c El matemático alemán Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) fue un digno sucesor de Gauss en la cátedra de la Universidad de Gotinga y a él le sucedió otro gran matemático, Bernhard Riemann.

A C T I V I D A D E S 䊏 Utiliza el principio de distribución de Dirichlet en la resolución de los problemas que siguen. 1. Iniciales repetidas. ¿Cuántos habitantes debe tener una ciudad para asegurar que hay al menos dos habitantes cuyas tres iniciales, del nombre y de los dos apellidos, coinciden? Suponemos que sólo se considera el primer nombre propio y 26 letras del alfabeto. 2. Correspondencia. Diecisiete personas mantienen correspondencia por carta, cada una con todas las demás. En sus cartas solamente tratan 3 temas. Cada par de personas trata en sus cartas sólo uno de estos temas. Demuestra que hay, al menos, 3 personas que se escriben sobre el mismo tema.

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Unidad 14

344

NUEVAS TECNOLOGÍAS Números aleatorios con calculadora gráfica La calculadora gráfica nos ofrece muchas posibilidades de generar números aleatorios. Dentro del menú Math elegimos PRB, y aquí encontramos las opciones para generar estos números: • rand, genera y muestra números aleatorios entre 0 y 1. Cada vez que pulsamos la tecla ENTER obtenemos un nuevo número aleatorio. Si queremos varios números aleatorios basta pulsar la tecla anterior varias veces. Una sucesión de n números aleatorios se genera mediante la opción rand(n). • randk, genera y muestra números aleatorios entre 0 y k. • randInt(a,b,n), genera y muestra n números aleatorios, enteros, entre a y b. • randNorm(R,X,n), genera y muestra n números aleatorios reales correspondientes a la distribución normal N(R, X). Cada número generado puede ser cualquier número real, pero la mayoría están en el intervalo (R – 3X, R + 3X). • ranBin(n,p,k), genera y muestra k números aleatorios reales correspondientes a la distribución binomial B(n, p). Utilizando las opciones anteriores vamos a calcular: – Un número aleatorio entre 0 y 8 y otro entre 0 y 15. – Cinco números aleatorios enteros entre 6 y 11 y doce entre 3 y 7. – Cuatro números aleatorios correspondientes a la distribución normal N(0; 1) y cinco correspondientes a la distribución normal N(10; 2). – Siete números aleatorios correspondientes a la distribución binomial B(6; 0,3) y nueve números aleatorios correspondientes a la distribución binomial B(6; 0,8).

rand8

randInt(6,11,5) 3.828537025

rand15

randInt(3,7,12) 1.027886077

randNorm(0,1,4) {.8667030478 .1...} PRACTICA con calculadora gráfica la resolución de las actividades números 1 y 2.

{6 10 7 8 11}

randNorm(10,2,5) {14.9613211 13.80...}

{4 5 3 3 4 3 3 ...}

randBin(6,0.3,7) {2 1 3 2 2 3 2} randBin(6,0.8,9) {3 6 6 5 5 6 4 6 6}

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Estadística inferencial. Muestreo. Estimación puntual

345

EN RESUMEN SIMPLE SISTEMÁTICO ALEATORIOS

ESTADÍSTICA INFERENCIAL

logra sus objetivos a partir del

MUESTREO

ESTRATIFICADO

según toma de elementos

CONGLOMERADOS NO ALEATORIOS

ESTADÍSTICA DEDUCTIVA

ESTADÍSTICA INDUCTIVA

sí

CON REEMPLAZAMIENTO

no

SIN REEMPLAZAMIENTO

reemplazamos los elementos

mediante

ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS

sus resultados provienen de las

DISTRIBUCIONES MUESTRALES

puede ser

ESTIMACIÓN PUNTUAL

ESTIMACIÓN POR INTERVALOS

MEDIAS

冢

N R,

X n

de

PROPORCIONES

冣

冢

N p,

pq n

冣

DIFERENCIA DE MEDIAS

冢

N R1 R2 ;

X 12 X 22 + n1 n2

冣

AMPLÍA CON… Los crímenes de Oxford (Ediciones Destino) de Guillermo Martínez es una novela que nos propone toda una fascinante indagación detectivesca con Oxford como escenario. Los crímenes comienzan pocos días después de llegar a Oxford un joven estudiante de matemáticas, quien encuentra el cadáver de una anciana que ha sido asesinada. El crimen resulta ser un desafío intelectual lanzado a uno de los profesores de lógica más eminentes del siglo. Mientras la policía investiga a una serie de sospechosos, maestro y discípulo llevan adelante su propia investigación, amenazados por los resultados cada vez más arriesgados de sus descubrimientos. El desenlace nos lleva a un acto magistral de prestidigitación.

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Unidad 14

346

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD RESUELTAS Se sabe que el cociente intelectual de los alumnos de una universidad se distribuye según la ley normal de media 100 y desviación típica 27. a) Halla la probabilidad de que la muestra de 81 alumnos tenga un cociente intelectual medio inferior a 109. b) Halla la probabilidad de que la muestra de 36 alumnos tenga un cociente intelectual medio superior a 109. Hemos de tener muy presente que nos piden probabilidades correspondientes a distribuciones de medias muestrales. Por tanto, X si una distribución es N(m, s), las medias de las muestras de tamaño n se distribuyen: N R, n

冢

冢

a) Las medias de las muestras de tamaño 81 se distribuyen: N 100, En esta distribución:

冢

P ( X < 109) = P Z <

27

冣

109 100 = P ( Z < 3) = 0, 9987 3

冢

La probabilidad es:

冢

冣 = N(100, 3)

81

b) Análogamente, las muestras de tamaño 36 se distribuyen: N 100,

P ( X > 109) = P Z >

冣

27 36

冣 = N(100; 4,5)

冣

109 100 = P ( Z > 2) = 1 P ( Z f 2) = 1 0, 9772 = 0, 0228 4,5

Los 6 000 huevos de una gran partida tienen masas que están distribuidas normalmente. Se escogen al azar 10 huevos y se halla que sus masas son: 40, 36, 44, 42, 48, 49, 38, 50, 38 y 35 gramos, respectivamente. a) Halla la media y la desviación de la muestra. b) Suponiendo que la masa media de los huevos de la partida es la misma que la calculada en a), pero que la desviación típica de la masa es de 5,5 gramos, demuestra que el número de huevos de la partida con masa superior a 50 gramos es aproximadamente 440. c) Sabiendo que 5 000 de los 6 000 huevos tienen masas superiores a a gramos, estima el valor de a. a) La media y la desviación de la muestra de 10 huevos son: –x = 42 g; s = 5,23 g. b) La población tiene masa media R = 42 gramos y desviación X = 5,5 gramos. X 42 – La variable X se distribuye según la normal N(42; 5,5) y la variable tipificada Z = según la normal N(0, 1). 5,5 Obtenemos:

冢

P ( X > 50) = P Z >

冣

50 42 = P ( Z > 1, 45) = 1 P ( Z f 1, 45) = 1 0, 9265 = 0, 073 5,5

Como N = 6 000, el número de huevos con masa superior a 50 gramos será: 6 000 · 0,0735 = 441 huevos Al tomar la distribución de la población se puede saber el número de huevos de más de 50 g. 5000 c) La proporción es: p = = 0, 8333 6000 Debemos calcular a, tal que:

冢

P ( X > a) = P Z >

Buscando en las tablas tenemos que:

冣

a 42 = 0, 8333 5,5

¡

冢

冣

¬ a 42 ¼ P Z < ½ = 0, 8333 5,5 ¾ ®

a 42 = 0,97 5,5

Operando obtenemos: a = –0,97 · 5,5 + 42. Por tanto: a = 36,665 gramos.

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Estadística inferencial. Muestreo. Estimación puntual

347

Una comunidad de vecinos desea conocer la opinión de los mismos sobre la instalación en el tejado de una antena de TV. Para ello realiza una encuesta a 25 de los vecinos, seleccionados en función de su edad. La composición de esta comunidad es: Edad

Menores de 30

Entre 30 y 50

Entre 50 y 70

Mayores de 70

Nº vecinos

24

104

56

16

a) ¿Qué tipo de muestreo se debería utilizar para seleccionar la muestra de modo que incluya vecinos de todas las edades? b) ¿Cuántos vecinos habría que seleccionar en cada grupo de edad atendiendo a un criterio de proporcionalidad? a) La selección de la muestra se debe realizar con un muestreo aleatorio estratificado con reparto proporcional. Los estratos deben ser los diferentes grupos de edades. b) El número total de vecinos es: 24 + 104 + 56 + 16 = 200. Llamando n1, n2, n3 y n4 al número de vecinos a elegir en cada uno de los grupos de edades y resolviendo la serie de razones, obtenemos: n n n n 25 = 1 = 2 = 3 = 4 ¡ n1 = 3; n2 = 13; n3 = 7 y n4 = 2 200 24 104 56 16 Es decir, habría que seleccionar a 3 vecinos menores de 30 años, a 13 vecinos de entre 30 y 50 años, a 7 con edades comprendidas entre los 50 y los 70 años, y a 2 vecinos mayores de 70 años.

El 2% de los DVD que vende un hipermercado son defectuosos. En un lote de 800 DVD: a) Halla la media y la desviación típica de la proporción de DVD defectuosos. b) ¿Cuál es la probabilidad de que en el lote haya como máximo 12 defectuosos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que en el lote haya entre 14 y 18 defectuosos? a) La media y la desviación típica de la distribución muestral son:

R pˆ = p = 0, 02

X pˆ =

pq = n

0, 02 0, 98 = 0, 005 800

b) La distribución muestral se distribuye según la normal N(0,02; 0,005); la probabilidad pedida es:

冢

P pˆ f

冣冢

冣

12 pˆ 0, 02 0, 015 0, 02 =P f = P ( z f 1) = 1 P ( z f 1) = 1 0, 8413 = 0,1587 800 0, 005 0, 005

c) Operando de forma análoga al apartado anterior, obtenemos que la probabilidad pedida es: P

冢

冣冢

冣

14 18 0, 0175 0, 02 pˆ 0, 02 0, 0225 0, 02 < = < pˆ < =P < 005 0, 005 800 800 0, 005 0,0 = P ( 0,5 < z < 0,5) = 2 P ( z < 0,5) 1 = 2 0, 6915 1 = 0, 3830

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Unidad 14

348

ACTIVIDADES FINALES EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1. Toma tu libro de texto y considera el número de páginas que tiene. Utiliza la tabla de números aleatorios para seleccionar una muestra de 15 páginas en el libro.

2. A un centro de enseñanza asisten 500 alumnos y se desea extraer una muestra aleatoria de tamaño 25. Describe la elección de dicha muestra en los casos de utilizar el muestreo aleatorio.

3. En cierto centro de enseñanza se va a realizar un estudio para conocer el tipo de actividades extraescolares que gustan más a los alumnos. Para ello, van a ser encuestados 60 alumnos elegidos al azar. Al centro asisten 250 alumnos de 3º de ESO, 200 de 4º de ESO, 100 de 1º de Bachillerato y 50 de 2º de Bachillerato. Se decide elegir la muestra utilizando muestreo estratificado. Define los estratos y determina el tamaño muestral de cada estrato.

4. Una población está formada por solo seis elementos, con valores 2, 4, 6, 8, 10 y 12. Consideramos todas las muestras de tamaño 2 con reemplazamiento que pueden extraerse de esta población. Calcula: a) La media de la población. b) La desviación típica de la población. c) La media de la distribución muestral de medias. d) La desviación típica de la distribución muestral de medias.

5. Una biblioteca pública está organizada en 5 secciones, en cada una de las cuales hay un determinado número de libros, como muestra la tabla: Sección

Sección 1

Sección 2

Sección 3

Sección 4

Sección 5

Nº libros

500

860

1200

700

740

Con objeto de estimar el porcentaje de libros de edición española se quiere seleccionar una muestra del 5% del número total de libros a través del muestreo estratificado aleatorio considerando como estratos cada una de las secciones. Determina el número de libros a seleccionar en cada sección.

6. Se toma una muestra aleatoria de 64 personas en una población de 100 000, de forma que una de sus características se distribuye normalmente con media R = 10 y desviación típica X = 3. Calcula: a) La probabilidad de que la media de la muestra esté comprendida entre 9 y 11. b) La probabilidad de que la media de la muestra sea mayor que 11.

7. Si se sabe que la distribución muestral de medias para muestras de tamaño 36 tiene varianza 8, ¿cuál será la desviación típica de la población original?

8. Ciertas pilas eléctricas fabricadas por una compañía tienen una duración media de 900 horas y una desviación típica de 80 horas. La compañía vende todas las semanas 1 000 lotes de 100 pilas cada uno. Calcula: a) ¿En cuántos lotes cabe esperar que la media de las duraciones sobrepase las 910 horas? b) La probabilidad de que una muestra al azar de 64 pilas tenga una duración media mayor de 910 horas.

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Estadística inferencial. Muestreo. Estimación puntual

349

9. La estatura media de la población, comprendida entre 20 y 30 años, de cierto barrio, es de 176 cm, con desviación típica de 10 cm. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de 36 personas tenga una estatura media de 176 cm o más? b) ¿Y cuál es la probabilidad de que la media de esta muestra sea menor de 170 cm?

10. Sabiendo que de cada cinco accidentes de tráfico, uno es de moto, calcula la probabilidad de que en los próximos 200 accidentes: a) Sean de moto menos del 30%. b) Sean de moto más del 80%. c) El número de accidentes de moto esté comprendido entre el 40% y el 60%.

11. Se sabe que el 60% de los adultos de un área geográfica asiste regularmente a programas culturales. Se obtiene una muestra aleatoria de 150 adultos. Se desea conocer cuál es la probabilidad de que la proporción muestral esté comprendida entre los valores 0,5 y 0,7.

12. De un grupo de 120 estudiantes, la proporción de que tengan dos o más hermanos es de 48/120. Encuentra los parámetros de la distribución a la que se ajustarán las muestras de tamaño 40.

13. Los resultados de una elección mostraron que un cierto candidato obtuvo el 46 % de los votos. Halla la probabilidad de que de 1 000 individuos elegidos al azar de entre la población votante se obtuviera mayoría de votos para dicho candidato.

14. Las calificaciones en los exámenes de Geología que se han realizado los últimos 25 años en cierta facultad siguen una distribución normal con media 53 y desviación típica 12. a) Calcula la media y la desviación típica de la distribución muestral de las muestras de tamaño 30 que se pueden obtener. b) Halla la probabilidad de que una muestra de tamaño 100 tenga la media entre 53 y 57.

15. Se toman muestras de tamaño 50 de una población normal de media 18,1 y desviación típica 2,3. Halla la probabilidad de obtener: a) Una muestra cuya media no sea inferior a 16. b) Una muestra cuya media sea inferior a 16 o superior a 19.

16. El cociente intelectual de los estudiantes de un instituto se distribuye con media 110 y desviación típica desconocida X. Si se sabe que el 25,46% de las muestras de 36 alumnos tienen un cociente intelectual medio superior a 112, halla el valor de X.

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Unidad 14

350

ACTIVIDADES FINALES ACCESO A LA UNIVERSIDAD 17. Supongamos que una población se compone de 5 niños de edades 2, 3, 6, 8 y 11 años. Considera todas las muestras posibles de 3 niños, con reemplazamiento, que puedan formarse. Halla: a) La media y la desviación típica de la población. b) La media y la desviación típica de la distribución muestral de medias. c) ¿Qué relaciones hay entre los resultados obtenidos en los apartados a) y b)?

18. Suponiendo que las puntuaciones de un test de inteligencia se distribuyen según una normal N (100, 15), calcula la probabilidad de que una muestra de tamaño 49, extraída de esa población, tenga una media inferior a 98. Calcula la probabilidad de que una muestra de tamaño 81, extraída de esa población, tenga una media superior a 105.

19. El diámetro medio interior de una muestra de 200 tubos producidos por una máquina es de 0,502 cm y la desviación típica es de 0,05 cm. El uso de los tubos permite una tolerancia en el diámetro de 0,496 a 0,508 cm; de otro modo se considerarán defectuosos. Determina el porcentaje de tubos defectuosos, supuesto que los tubos producidos por esa máquina están normalmente distribuidos.

20. Se ha tomado una muestra de los precios de un mismo producto alimenticio en 16 comercios, elegidos al azar en un barrio de una ciudad, y se han encontrado los siguientes precios: 95; 108; 97; 112; 99; 106; 105; 100; 99; 98; 104; 110; 107; 111; 103; 110 Suponiendo que los precios de este producto se distribuyen normalmente según una ley de varianza 25 y media desconocida, ¿cuál es la distribución de la media muestral?

21. Se supone que la estatura de los jóvenes de 18 años de cierta población sigue una distribución normal de media 162 cm y desviación típica 12 cm. En una muestra, tomada al azar, de 100 de estos jóvenes encuestados: a) ¿Cuál es la probabilidad de que esta media esté entre 159 y 165 cm? b) ¿Cuántos de estos jóvenes tienen su estatura entre esos valores?

22. En una determinada población se sabe que el 20% de las personas usan gafas graduadas y el resto no. Tomamos una muestra de 256 personas. ¿Cuál es la probabilidad de que el porcentaje de personas que usan gafas graduadas esté entre el 15% y el 25%?

23. Se sabe que el tiempo de retraso de los trenes de largo recorrido con llegada a una determinada estación sigue una distribución normal de media 15 minutos y desviación típica 3 minutos, y para los trenes de corto recorrido la media es de 25 minutos y la desviación típica de 5 minutos. En muestras de 150 trenes tomadas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la diferencia en los tiempos medios de retraso no supere los 9 minutos?

24. En una prueba de aptitud, la puntuación media de los estudiantes era de 72 puntos, con una desviación típica de 8 puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que dos grupos de estudiantes, formados por 50 y 70 estudiantes, respectivamente, difieran su media entre 3 y 5 puntos?

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Estadística inferencial. Muestreo. Estimación puntual

351

AUTOEVALUACIÓN 1. A un centro de enseñanza asisten 800 alumnos y se desea extraer una muestra de tamaño 25 mediante muestreo aleatorio sistemático. La selección de los 25 alumnos de la muestra se hace seleccionando uno al azar y los 24 restantes de k en k, siendo este valor: a) 32

b) 25

c) 80

2. En cierto barrio se quiere hacer un estudio para conocer mejor el tipo de actividades de ocio que más gustan a sus habitantes. Para ello van a ser encuestados 100 individuos elegidos al azar. Como los gustos cambian con la edad y se sabe que en el barrio viven 2 500 niños, 7 000 adultos y 500 ancianos, se decide elegir la muestra utilizando muestreo aleatorio estratificado proporcional. El número de adultos de la muestra es: a) 60

b) 70

c) 80

3. Una variable aleatoria X sigue una distribución normal de media 4 y varianza 9. El valor de a para que se cumpla P(4 – 6a f X f 4 + 6a) = 0,75 es: a) 0,375

b) 0,475

c) 0,575

4. Sea la población de elementos {22, 24, 26}. Consideramos todas las muestras con reemplazamiento de tamaño 2. Los valores de las varianzas de la población y de las medias muestrales son, respectivamente: a) 2,66 y 1,32

b) 1,32 y 2,66

c) 1,66 y 2,32

5. Se supone que la distribución de la temperatura del cuerpo humano en la población tiene de media 37°C y de desviación típica 0,85°C. Se elige una muestra al azar de 105 personas y la probabilidad de que la temperatura media sea menor de 36,9°C es: a) 0,1151

b) 0,1511

c) 0,5111

6. En un centro comercial se sabe que el 35% de los clientes pagan con tarjeta. Si en una caja han pagado 200 clientes, la probabilidad de que hayan pagado con tarjeta entre 60 y 85 clientes es: a) 0,73

b) 0,83

c) 0,93

7. En un servicio de atención al cliente, el tiempo de espera hasta ser atendido es una variable aleatoria normal de media 10 minutos y desviación típica 2 minutos. Se toman muestras aleatorias del tiempo de espera de los clientes que llegan en un día concreto. Los parámetros de la distribución de la media muestral, si se toman muestras aleatorias de 64 clientes son, respectivamente: a) 10 y 0,05

b) 10 y 0,15

c) 10 y 0,25

8. Sabemos que la distribución muestral de medias para muestras de tamaño 72 de una determinada variable estadística, tiene varianza 2; entonces la desviación típica de la población original será: a) 2

b) 12

c) 15

9. Un fabricante de medicamentos afirma que cierta medicina cura una enfermedad de la sangre en el 80% de los casos. Los inspectores de sanidad utilizan el medicamento en una muestra de 100 pacientes y deciden aceptar dicha afirmación si se curan 75 o más. Si lo que afirma el fabricante es realmente cierto, la probabilidad de que los inspectores rechacen dicha afirmación es: a) 0,1056

b) 0,1560

c) 0,1605

10. Teniendo en cuenta los resultados de elecciones anteriores se sabe que en una localidad hay un 15% de votantes de un partido X. Elegimos una muestra aleatoria de 200 personas con capacidad de votar; la probabilidad de que la muestra contenga entre un 12% y un 18% de personas que votarían al partido X es: a) 0,6760

b) 0,6670

c) 0,7660

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u15 unidad 15 contenidos

1. Estimación por intervalos de confianza 2. Tamaño de las muestras. Error máximo admisible 3. Estadística deductiva. Hipótesis estadísticas 4. Contrastes de hipótesis. Etapas

5. Errores en los contrastes de hipótesis 6. Contrastes de hipótesis para la media 7. Contrastes de hipótesis para las proporciones 8. Contrastes de hipótesis para la diferencia de medias 9. Usos de la inferencia estadística

Estadística inferencial. Estimación por intervalos. Pruebas de hipótesis

353

En la unidad didáctica anterior comenzamos a ver cómo se distribuían las medias de las muestras a partir de la media y la desviación típica de la población. En la realidad no es fácil conocer la media y la desviación típica de la población y sí en cambio las de las muestras. En esta unidad didáctica vamos a trabajar sobre el problema estadístico fundamental que es la deducción de información sobre una población a partir de los datos de muestras extraídas de ella. Este es el problema que plantea la estadística inferencial y que trata de resolver de dos formas: – Buscando estadísticos muestrales que puedan considerarse buenos estimadores de los parámetros poblacionales, que es lo que hace la estadística inductiva a través de las estimación de parámetros. – Planteando hipótesis sobre la población y utilizando los datos de una muestra para saber si son aceptables o no, que es lo que hace la estadística deductiva a través de los contrastes de hipótesis. La estadística inferencial nos proporciona técnicas básicas para analizar datos y tomar decisiones en estudios sociológicos, en controles de calidad relacionados con la industria, en investigaciones relativas a las ciencias experimentales, estudios asociados a la naturaleza, etc.

cuestiones iniciales 1. Una confitura puede ser calificada de almíbar si contiene entre 420 y 520 gramos de azúcar por kilo de confitura. Un fabricante comprueba 200 botes de confitura de 1 kilogramo. Encuentra que el peso medio de azúcar es de 465 gramos con una desviación típica de 30 gramos. Sabiendo que el contenido de azúcar se distribuye normalmente, calcula el porcentaje de la producción del fabricante que no debe llevar la mención de almíbar, considerando la muestra como representativa de la producción total. 2. Se tira al aire 400 veces una moneda equilibrada. Sea X el número de veces que en la moneda se obtiene cara. Se pide: a) Halla la ley de probabilidad de X. Calcula su esperanza matemática y su varianza. b) Aproxima las probabilidades de la variable X mediante una distribución normal. c) Calcula las probabilidades P(X > 220) y P (180 < X < 220). d) Calcula las probabilidades P(X = 220) y P(X = 190).

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Unidad 15

354

1. Estimación por intervalos de confianza

Si queremos estimar la altura de un determinado jugador de baloncesto y decimos «1,85 m», estamos haciendo estimación puntual que no dice nada sobre la seguridad o duda de que esto sea así.

Nivel de significación Es la diferencia que existe entre la certeza y el nivel de confianza; se designa por Ns y vale F.

En cambio, si decimos: «estoy seguro que mide entre 1,80 y 1,90 m», o «estoy casi seguro que mide entre 1,82 y 1,87 m», en estos casos tenemos un cierto grado de confianza de que la altura esté entre esos valores. Lógicamente cuanto mayor sea el intervalo, mayor será el grado de confianza que podemos tener, aunque también es mayor el error con el que hacemos la estimación.

Ns = 1 – Nc = 1 – (1 – F) = F

F /2

F /2

1–F

1.1. Intervalos de confianza

zF /2

–zF /2

Nc = 1 – F

Consideremos una larga serie de muestras de tamaño n, de una población de media R y desviación típica X. X La distribución muestral de medias sabemos que sigue una normal N(R, ). n X X f X f R + 2, 58 = 0, 99 estamos diciendo que la Si P R 2, 58 n n probabilidad de que, extraída una muestra de tamaño n al azar, la media de esta

Ns = F

冢

冣

冢

esté en el intervalo R ± 2, 58

X

冣

es del 99%. n Esto quiere decir que el valor del parámetro R se encontrará en el intervalo de confianza del 99%. Es decir, que si obtuvié冢X ± 2, 58 n 冣 con un grado ramos un gran número de muestras de tamaño n en

X

las mismas condiciones, en el 99% de los casos el intervalo, similar al dado, incluiría el verdadero valor del parámetro R y en el 1% de los casos no incluiría al parámetro. error muestral al 99%

R – 2,58 · Xx x0 – 2,58 · Xx

R

x x

R + 2,58 · Xx

Estos intervalos se llaman intervalos de confianza para un nivel de confianza del 99%, al que corresponde un valor crítico de 2,58, que obtenemos en la tabla de la distribución normal.

x0 + 2,58 · Xx

• Intervalo de confianza es el intervalo que contiene al parámetro que se está estimando con un cierto nivel de confianza. • Nivel de confianza (1 – F), significa que el (1 – F) · 100% de los intervalos de confianza contienen el parámetro poblacional que se está estimando. A cada nivel de confianza (Nc) le corresponde un valor crítico z F /2 correspondiente a la distribución normal N(0, 1) y que cumple: P (–zF /2 f z f zF /2) = 1 – F A los extremos del intervalo de confianza se les llama límites de confianza.

Y

Estadística inferencial. Estimación por intervalos. Pruebas de hipótesis

355

1.2. Construcción del intervalo de confianza Para encontrar el intervalo de confianza en el que se encuentra un parámetro poblacional con un nivel de confianza Nc hemos de seguir los siguientes pasos: • Determinar el estimador muestral.

Niveles de confianza Nc

Valores críticos o coeficientes de confianza zF/2

• Determinar la desviación típica correspondiente al estimador.

99,73%

3,00

• Determinar el valor crítico zF /2 correspondiente al nivel de confianza Nc.

99%

2,58

• El intervalo de confianza buscado es:

98%

2,33

96%

2,05

95,45%

2,00

95%

1,96

90%

1,645

80%

1,28

68,27%

1,00

50%

0,6745

(estimador – zF /2 · desviación típica, estimador + zF /2 · desviación típica) Los intervalos de confianza en función del parámetro poblacional que estimemos son: Parámetro

Intervalo de confianza

冢

Media R

冢

Proporción p

冢

Diferencia de medias R1 – R2

x zF / 2

pˆ zF / 2

x1 x 2 zF / 2

X n

, x + zF / 2

X n

冣

pˆ qˆ pˆ qˆ , pˆ + zF / 2 n n

冣

X 12 X 22 X2 X2 + , x1 x 2 + zF / 2 1 + 2 n1 n2 n1 n2

冣

1.3. Determinación del valor crítico zF /2

80%

10%

10%

Si, por ejemplo, fijamos un nivel de confianza Nc = 99% se verifica: P(–zF /2 f z f zF /2) = 0,99 de donde:

–zF /2

99%

P(–zF /2 f z f zF /2) = P(z f zF /2) – P(z f – zF /2) = P(z f zF /2) – [1 – P(z f zF /2)] = = 2 · P(z f zF /2) –1 = 0,99

zF /2 = 1,28

Nivel de confianza: Nc = 80% Valor crítico: zF /2 = 1,28

0,05%

0,05%

Despejando obtenemos:

1 + 0, 99 = 0, 995 2 y usando las tablas determinamos zF /2 = 2,58. P(z f zF / 2 ) =

–zF /2

zF /2 = 2,58

Nivel de confianza: Nc = 99% Valor crítico: zF /2 = 2,58

En general podemos decir que: • El valor crítico zF/2 correspondiente a un nivel de confianza Nc, en tanto por ciento, se calcula mediante la expresión: N 1+ c 100 P(z f zF / 2 ) = 2 y después usando las tablas de la distribución normal. Y

Unidad 15

356

ACTIVIDADES RESUELTAS 1. Una muestra aleatoria de 100 estudiantes que se presenta a las pruebas de selectividad revela que la media de edad es de 18,1 años. Halla un intervalo de confianza del 90% para la edad media de todos los estudiantes que se presentan a las pruebas, sabiendo que la desviación típica de la población es de 0,4. Vamos a construir el intervalo de confianza: • El estimador muestral es la media muestral –x = 18,1. • La desviación típica de la distribución muestral de medias es:

Xx =

X n

=

0, 4 100

= 0, 04

Es decir, las medias se distribuyen según la normal N(R, 0,04). • Al nivel de confianza Nc = 90% le corresponde un valor crítico zF /2 que hallamos:

P ( z f zF / 2 ) =

1+

90 100 = 0,95 ¡ z = 165 , F /2 2

• El intervalo de confianza en el que se encuentra la media R de todos los estudiantes es:

R (18,1 – 1,65 · 0,04; 18,1 + 1,65 · 0,04) = (18,034; 18,166)

2. Se ha extraído una muestra de 145 alumnos de una escuela de artes, a los que se les ha propuesto un test de habilidad. La media y la desviación típica obtenidas de la muestra son 82 y 14, respectivamente. A partir de estos datos, calcula el intervalo en el cual se hallará la media de la población al nivel de confianza del 95%. Calcula el intervalo de confianza para los mismos datos correspondientes al nivel de significación del 0,01. • El estimador muestral es la media –x = 82; s = 14. • La distribución muestral de medias sigue una distribución normal N(R, X x–). Como el tamaño de la muestra es n = 145 podemos aproximar la desviación típica de la población por la de la muestra, s:

Xx =

X n

%

s n

=

14 145

= 1162 ,

• El valor crítico correspondiente al nivel de confianza Nc = 95% es zF /2 = 1,96. • El intervalo de confianza en el que se encontrará la media poblacional R es:

R (82 – 1,96 · 1,162; 82 + 1,96 · 1,162) = (79,72; 84,28) Esto significa que este intervalo contendrá la media poblacional R con una probabilidad del 95%. Es decir, si tomamos un gran número de muestras de tamaño 145, el 95% de los intervalos correspondientes contendrán a la media poblacional y el 5% restante no. Para un nivel de significación del 0,01 le corresponde un nivel de confianza del 1 – 0,01 = 0,99 o 99% y un valor crítico zc = 2,58. Luego, el intervalo: (82 – 2,58 · 1,162; 82 + 2,58 · 1,162) = (79, 85) contendrá la media poblacional con una confianza del 99%.

Y

Estadística inferencial. Estimación por intervalos. Pruebas de hipótesis

357

ACTIVIDADES RESUELTAS 3. Para estimar la proporción de estudiantes de una universidad que está a favor de la reinserción social del delincuente, se entrevistó aleatoriamente a 500 estudiantes. El 58% estaba a favor. Calcula el intervalo de confianza, al nivel de confianza del 95%, en el cual se hallará la población universitaria que se encuentra a favor. Como el tamaño muestral es superior a 100, podemos aproximar P y Q de la población por las proporciones pˆ y qˆ de la muestra: pˆ = 0,58;

qˆ = 0, 42;

El intervalo de confianza para una proporción P es

冢

pˆ zF / 2

X ( pˆ ) =

PQ % n

pq = n

0,58 0, 42 = 0, 02 500

冣

pq pq , pˆ + zF / 2 . n n

Sustituyendo y operando con los datos anteriores y zc = 1,96 correspondiente al nivel de confianza del 95%, obtenemos: 0,58 – 1,96 · 0,02 < P < 0,58 + 1,96 · 0,02

0,5408 < P < 0,6192

El verdadero porcentaje poblacional P se encontrará en el intervalo (0,5408; 0,6192) con una probabilidad del 95%.

4. Se quiere dotar a un pabellón de deportes con un buen sistema de iluminación. A tal fin se analizan dos muestras de lámparas procedentes de dos fábricas diferentes. Examinada la primera muestra de 100 lámparas, se tiene una vida media de 1 500 horas con una desviación típica de 150 horas. La muestra de 130 bombillas del segundo fabricante ofrece una vida típica de 1380 horas, con una desviación típica de 70 horas. Halla los límites de confianza para la diferencia de medias al 99%. ¿Cuál será la lámpara elegida? Las medias para las fábricas son R1 y R2, ambas desconocidas, y las desviaciones típicas X1 y X2, tambien desconocidas. Por ser los tamaños muestrales n1 = 100 y n2 = 130, ambos mayores que 100, podemos aproximar las desviaciones típicas de las poblaciones por las respectivas desviaciones típicas de las muestras: X 1 % s1 = 150; X 2 % s2 = 70.

冢

La distribución muestral de diferencias de medias –x 1 – –x 2 es normal: N μ1 μ2 ; La desviación típica de esta distribución es:

X x x = 1

2

X 12 X 22 + % n1 n2

Luego, la variable aleatoria z =

s12 n1

+

s22 n2

=

X 12 X 22 + n1 n2

冣

1502 702 = 16, 21 + 100 130

( x1 x 2 ) ( μ1 μ2 ) 16, 21

es normal N(0, 1).

Para el nivel de confianza del 99 %, el valor crítico zF/2 corresponde a P(–zF/2 < z < zF/2) = = 0,99, y es zF /2 = 2,58. Luego: ( –x 1 – –x 2) – 2,58 · 16,21 < ( R1 – R2) < ( –x 1 – –x 2) + 2,58 · 16,21 Al ser –x 1 = 1 500 y –x 2 = 1 380 horas, tenemos –x 1 – –x 2 = 1 500 – 1 380 = 120 horas. Por tanto, los límites del intervalo de confianza son: 78,18 < ( R1 – R2) < 161,82 La diferencia de medias nula no está en el intervalo, hay una diferencia positiva de duración entre las dos lámparas. Por tanto, R1 es mayor que R2; luego, elegimos la primera lámpara.

Y

Unidad 15

358

2. Tamaño de las muestras. Error máximo admisible Al estuiar los intervalos de confianza hemos visto que su amplitud depende del siguiente factor:

X

zF / 2

zF / 2

o

n

pq n

Es decir, cuanto mayor sea el tamaño de la muestra más fiable es el intervalo elegido, pero también es mucho más caro el estudio. Por tanto, el objetivo es buscar un buen tamaño muestral que sin excesivo gasto nos proporcione resultados fiables y nos delimite el error máximo admisible. • El error máximo admisible para la estimación de medias o de proporciones viene dado, respectivamente, por:

X

E = zF / 2

n

pq n

E = zF / 2

o

De estas expresiones deducimos que el error máximo admisible verifica las siguientes propiedades: • A mayor nivel de confianza, mayor zF /2, por tanto, mayor es el error que cometemos. • A mayor tamaño muestral menor es el error cometido.

Tamaño de las muestras Hemos visto que el tamaño de las muestras es inversamente proporcional al error admisible. A partir de las expresiones del error obtenemos el valor «n» o tamaño de la muestra: • Para la estimación de medias: R

X R + zF/2 — n X E = zF /2 — n

X R – zF /2 — n

x

X x – zF /2 — n

E

X x + zF /2 — n

E = zF / 2

X

¡

n

n =

zF / 2X E

¡ n =

冢

zF / 2X E

冣

2

El tamaño de la muestra es: n=

冢

z F / 2X E

冣

2

y

zF / 2 =

n E2 X2

• Para la estimación de proporciones:

p – zF/2

pq — n

p

p + zF /2

E = zF /2

$ p – zF/2

$ pq p — n

pq — n $ p + zF /2

E

pq — n

E = zF / 2

pq ¡ n

n = zF / 2

z2 p q pq ¡ n = F /2 2 E E

El tamaño de la muestra es: pq — n

n=

zF2 / 2 p q E2

y

zF / 2 =

n E2 pq

Y

Estadística inferencial. Estimación por intervalos. Pruebas de hipótesis

359

ACTIVIDADES RESUELTAS 5. Se sabe que la dedicación media de los jóvenes al ocio sigue una distribución normal de media 400 minutos y desviación típica 63 minutos. Halla el tamaño mínimo de la muestra de jóvenes que garantiza con una probabilidad de 0,95 que el tiempo medio de ocio está entre 382 y 418 minutos. Para un nivel de confianza Nc = 95% tenemos un valor crítico zF /2 = 1,96. Entonces: P(–1,96 f z f 1,96) = 0,95 de donde:

冢

P 1, 96 f

冣冢

xR

X

f 1, 96 = P R 1, 96

n

冢

= P 400 1, 96

63 n

X n

f x f R + 1, 96

f x f 400 + 1, 96

63 n

冣

X n

冣

=

= 0, 95

Por lo tanto, se debe cumplir: 400 196 ,

63

= 382

n

400 + 196 ,

o bien

63 n

= 418

En cualquier caso, despejando n obtenemos n = 47,06. Es decir, el tamaño mínimo de la muestra es 48 jóvenes.

6. Deseamos conocer el número de personas mayores de edad que sería necesario incluir en una muestra nacional con un error absoluto de E = 0,04 y un nivel de confianza del 99,73%. Se dispone de una valor P = 0,45 del último censo. A un nivel de confianza Nc = 99,73% le corresponde un valor crítico zF /2 = 3. Además, si P = 0,45, entonces Q = 0,55. Con estos datos, llevados a la fórmula n =

zF2 / 2 P Q 2

, obtenemos: n =

E Se necesitan para la muestra, al menos, 1392 personas.

32 0, 45 0,55 = 1392 0, 042

7. Un psicólogo quiere medir el tiempo de reacción de sus pacientes y para ello toma una muestra de 175 pacientes y realiza la estimación con un nivel de confianza del 99%. Sabiendo que la desviación típica es de 0,05 segundos, ¿qué error máximo ha cometido? La variable tiempo de reacción tiene media R y desviación típica X = 0,05. El tamaño de la muestra es n = 175 pacientes, y al nivel de confianza Nc = 99% le corresponde un valor crítico zF /2 = 2,58. El error máximo admisible es: E = zF / 2

X n

= 2,58

0,05 175

= 0,0098 segundos

8. La duración de bombillas de una determinada marca sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica 50 horas. Para estimar la duración media se toma una muestra de 385 bombillas. ¿Con qué nivel de confianza realizaremos la estimación si el error cometido es inferior a 5 horas? – La duración de bombillas se distribuye N(R, 50). La duración media, x,de las bombillas de las muestras de tamaño 385 se distribuye 50 N R, . Sabiendo que el error máximo admisible es 5 horas, obtenemos: 385 X 5 385 , E = zF / 2 ¡ zF / 2 = = 196 50 n

冢

冣

El nivel de confianza correspondiente a ese valor crítico es: P ( z f 196 , )=

1+

Nc 100 = 0,9750 ¡ N = 95% c 2

Y

Unidad 15

360

3. Estadística deductiva. Hipótesis estadísticas En la unidad didáctica anterior y en el comienzo de esta unidad didáctica hemos estudiado la estadística inductiva, estimando parámetros e intentando obtener un valor o un intervalo que constituyesen la mejor estimación del parámetro desconocido a partir de la información muestral. A partir de ahora vamos a trabajar la estadística deductiva, que se basa en tomar decisiones sobre la población a partir de los datos obtenidos de una muestra. Estas decisiones se llaman decisiones estadísticas. Hay que tener en cuenta que estas decisiones están tomadas sobre una base probabilística, es decir, el acierto de la decisión se mide objetivamente en términos de probabilidad.

Hipótesis estadísticas En las situaciones en las que deseamos tomar decisiones es conveniente realizar determinados supuestos o conjeturas acerca de las poblaciones que se estudian. Estos supuestos, que pueden ser o no ciertos, se denominan hipótesis estadísticas. Las hipótesis estadísticas son comparables a la situación de un juicio en el cual el acusado se presupone inocente, hipótesis nula, y lo que se pretende es contrastar esta para rechazarla o admitirla; la hipótesis contraria de esta es la hipótesis alternativa. • Hipótesis nula: H0. Es la hipótesis que se desea contrastar. Inicialmente se considera que es verdadera y se mantiene o rechaza como consecuencia del contraste. • Hipótesis alternativa: H1. Es la hipótesis que recoge la situación contraria de la dada en la hipótesis nula H0. En la toma de decisiones estadísticas, toda hipótesis nula H0 ha de ir acompañada de una alternativa H1, que es la que aspira a desplazar a la nula. Para una hipótesis nula concreta puede haber diversas hipótesis alternativas.

d

Se puede deducir, a partir de un muestreo, si un fármaco es o no efectivo para curar una determinada enfermedad formulando las hipótesis correspondientes.

Y

Estadística inferencial. Estimación por intervalos. Pruebas de hipótesis

361

4. Contrastes de hipótesis. Etapas Con el fin de decidir si una hipótesis se mantiene, es decir, se acepta, o se modifica, es decir, se rechaza, seguimos una serie de procedimientos que son los contrastes de hipótesis. • Se llaman contrastes de hipótesis a los procedimientos que permiten decidir si una hipótesis se acepta o se rechaza, o el determinar si las muestras observadas difieren significativamente de los resultados esperados.

Zonas críticas para el nivel de significación Ns = 5% Las zonas de rechazo y aceptación están expresadas en términos de probabilidad (porcentaje) y en función de los valores críticos. Pruebas unilaterales

95 %

Etapas en los contrastes de hipótesis 5%

Los procesos a seguir en los contrastes de hipótesis llevan consigo las cuatro etapas siguientes: Etapa 1: Formular las hipótesis nula H0 y alternativa H1.

• H0: estimador = valor • H1: estimador | valor

z

0

zona de rechazo

Ambas hipótesis son excluyentes entre sí. La hipótesis nula, H0, es la que se desea contrastar y se suele formular con la idea de rechazarla. Según se formula la hipótesis alternativa, H1, la prueba de hipótesis será unilateral o bilateral. Prueba bilateral

zF = –1,645

zona de aceptación

95 % 5%

Prueba unilateral • H0: estimador v valor (f valor)

0

• H1: estimador < valor (> valor)

Etapa 2: Determinar las zonas de rechazo y aceptación (zonas críticas) para un nivel de significación.

Pruebas bilaterales

El nivel de significación, Ns, es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula siendo verdadera. Es un valor muy pequeño que se establece con anterioridad y se designa por F.

2,5 %

El nivel de significación se relaciona con el nivel de confianza por: Nc + Ns = 1. Este nivel de significación nos permite delimitar las zonas de rechazo y las zonas de aceptación.

zF = 1,645

zona de aceptación

z

zona de rechazo

95 % 2,5 %

zF /2 = –1,96 zona de rechazo

zF /2 = 1,96 z

0

zona de aceptación

zona de rechazo

Nivel de Nivel de Valores críticos Valores críticos confianza significación zF para pruebas zF /2 para pruebas Nc Ns unilaterales bilaterales 1– F

F /2

zona de rechazo

zona de aceptación

F /2

zona de rechazo

90%

10%

–1,28 o 1,28

–1,645 y 1,645

95%

5%

–1,645 o 1,645

–1,96 y 1,96

99%

1%

–2,33 o 2,33

–2,58 y 2,58

99,9%

0,1%

–3,09 o 3,09

–3,295 y 3,295

Etapa 3: Determinar el estadístico apropiado a la prueba. Los estadísticos que vamos a utilizar en los contrastes de hipótesis son la media muestral, las proporciones muestrales y la diferencia de medias muestrales. Todos ellos siguen una distribución normal. Una vez determinada la distribución muestral de la prueba definimos la zona de rechazo para la hipótesis nula. Etapa 4: Tomar la decisión e interpretarla. A la vista de los resultados en el cálculo del estadístico se acepta la hipótesis nula con un nivel de significación F si este estadístico cae dentro de la zona de aceptación, y si no es así se rechaza. Y

Unidad 15

362

5. Errores en los contrastes de hipótesis Cuando hacemos una prueba de hipótesis y contrastamos la hipótesis nula frente a la alternativa en base a la información suministrada por la muestra podemos cometer dos tipos de errores, debidos a la aleatoriedad del muestreo. • Error tipo I: se comete cuando se rechaza la hipótesis nula H0 siendo esta verdadera. Rechazar H0 siendo verdadera. • Error tipo II: se comete cuando se mantiene la hipótesis nula H0 siendo falsa, es decir, se rechaza la hipótesis alternativa H1 siendo verdadera. Rechazar H1 siendo verdadera. El cometer uno u otro tipo de error en un contraste de hipótesis nos conduce a tomar decisiones inadecuadas; según vemos en el siguiente cuadro: a La metodología de las pruebas de hi-

pótesis fue iniciada por R. A. Fisher (1890-1962) en la década de 1920 y fundamentada por J. Neyman (18941981) y E. S. Pearson (1857-1936) con una serie de trabajos aparecidos a partir de 1928.

J. Neyman nació en Rusia y estudió en la Universidad de Varsovia. Fue profesor en el University College de Londres, donde trabajó con Pearson en la teoría de los intervalos de confianza y en el contraste de hipótesis. Una larga polémica, mantenida con Fisher, condujo a la clarificación de la metodología estadística.

DECISIONES

Estos dos últimos estadísticos (Neyman a la izquierda en la fotografía y Pearson a la derecha) introdujeron nuevas bases para la construcción de contraste de hipótesis y encuadraron esta metodología dentro del marco más general de la teoría de la decisión.

SITUACIÓN H0 verdadera

H1 verdadera

Mantener H0

Decisión correcta No se comete error

Decisión incorrecta Error tipo II Probabilidad = G

Rechazar H0

Decisión incorrecta Error tipo I Probabilidad = F

Decisión correcta No se comete error

• La probabilidad de cometer un error tipo I viene dada por F, es decir, por el nivel de significación. Esta probabilidad no depende del tamaño de la muestra. P(error tipo I) = F • La probabilidad de cometer un error tipo II viene dada por G, y depende del verdadero valor del parámetro y del tamaño de la muestra, siendo menor el error cuanto mayor es el tamaño de la muestra. Si R es el valor de la media, por ejemplo, y definimos H0: R = R0, en la gráfica tenemos las distribuciones de las medias muestrales correspondientes y las zonas de aceptación y rechazo, así como los valores de F y G, que son las probabilidades de cometer un error tipo I o tipo II, respectivamente.

G R Se acepta H0

F R0 Se rechaza H0

Y

Estadística inferencial. Estimación por intervalos. Pruebas de hipótesis

363

6. Contrastes de hipótesis para la media En estas situaciones se comienza con una suposición a priori del valor de la media de la población, R. Después se utiliza –x, media de la muestra, calculada a partir de una muestra obtenida en forma aleatoria de la población para decidir si es probable esta suposición acerca de R. Seguimos las etapas señaladas para los contrastes de hipótesis: 1ª ETAPA H0

H1

R = R0

R | R0

R f R0

R > R0

R v R0

冢R

0

zF / 2

2ª ETAPA

3ª ETAPA

4ª ETAPA

Intervalo aceptación (I)

Determinación del estadístico

Decisión

X n

冢h, R 冢R

R < R0

0

, R0 + z F / 2

0

+ zF

zF

X n

X n

冣 o ( z

F /2

, zF / 2 )

o ( h, z ) n冣

X

,+ h

F

冣

• x– I se acepta H0 z =

xR Xx

• x– I se rechaza H0

o ( zF , + h )

ACTIVIDADES RESUELTAS 9. Una encuesta a 64 profesionales de una institución reveló que el tiempo medio de empleo en dicho campo era de 5 años, con una desviación típica de 4. Considerando un nivel de significación del 0,05, ¿sirven estos datos de soporte de que el tiempo medio de empleo de los profesionales de esta institución está por debajo de los 6 años? Suponemos que la población de profesionales se distribuye normalmente. A continuación se describen las etapas del contraste de hipótesis para la media: Etapa 1: Las hipótesis son: H0 : R v 6 y H1 : R < 6 Los datos de la muestra nos hacen intuir que el tiempo medio de empleo es menor de 6 años, lo que marca la dirección de la prueba. Etapa 2: El contraste es unilateral y para el nivel de significación Ns = 0,05 le corresponde un valor crítico zF = –1,645, que separa las zonas de aceptación y rechazo. El intervalo de aceptación es I = (5,1775; +h). Etapa 3: La distribución muestral de referencia se ajusta a la normal. Calculamos el valor tipificado de z correspondiente a la distribución normal N(0, 1) sabiendo que x– = 5, R = 6 y X H s = 4: z =

xR 56 = = 2 Xx 4 / 64

Etapa 4: Como podemos contemplar en la gráfica, el valor obtenido z = –2 se encuentra en la zona de rechazo. Por tanto, tomamos la decisión de rechazar la hipótesis nula, es decir, aceptamos la hipótesis alternativa, por la cual el tiempo medio de los empleados está por debajo de los 6 años. También vemos que x– I

¡ rechazamos H0.

La decisión también puede tomarse en términos de probabilidad, ya que la probabilidad de encontrar un valor z = –2 o inferior es:

zona de aceptación

zona de rechazo

P(z f –2) = 1 – 0,9772 = 0,0228 Al ser 0,0228 < 0,05, es decir, la probabilidad calculada es menor que el nivel de significación, rechazamos la hipótesis nula.

z = –2

zF = –1,645

Y

Unidad 15

364

7. Contrastes de hipótesis para las proporciones En el caso de las pruebas de hipótesis para proporciones o porcentajes, como en el caso de la media, se partirá de una suposición o porcentaje poblacional. Después utilizaremos la proporción de la muestra, calculada a partir de una sola muestra, obtenida de forma aleatoria, para comprobar si es cierta la suposición sobre la proporción poblacional y seguiremos las etapas dadas. 1ª ETAPA H0

H1

p = p0

p | p0

p f p0 p v p0

冢

p < p0

冢冢

3ª ETAPA

4ª ETAPA

Intervalo aceptación (I)

Determinación del estadístico

Decisión

p0 q0

p0 zF / 2

p > p0

2ª ETAPA

n

h, p0 + zF

p0 zF

p0 q0

, p0 + zF / 2

冣

p0 q0

p0 q0 n

n

n ,+ h

冣

冣

o ( zF / 2 , zF / 2 )

p I se acepta H0 • ^ pˆ p z = X pˆ

o ( h, zF )

• ^ p I se rechaza H0

o ( zF , + h )

ACTIVIDADES RESUELTAS 10. Se cree que en la Comunidad Autónoma de Castilla y León realizan estudios de nivel medio el mismo número de varones que de mujeres. Tomamos una muestra aleatoria de 1 000 expedientes escolares y encontramos que 532 corresponden a varones y 468 a mujeres. ¿Es este resultado poco probable o se ajusta a la gran mayoría del 99% de los resultados? Etapa 1: Las hipótesis son H0: p f 0,5 y H1: p > 0,5. Etapa 2: El nivel de significación es Ns = 0,01 al ser el nivel de confianza del 99%, y el contraste es unilateral hacia la derecha; por tanto, le corresponde un valor crítico zF = 2,33. Etapa 3: Se trata de una distribución binomial que por sus condiciones puede ser aproximada por una normal.

冢

Como podemos suponer que la distribución muestral de proporciones sigue una distribución normal N p, p = 0,5;

X =

pq = n

冣

pq , obtenemos: n

0,5 0,5 = 0, 0158 1000

El valor tipificado que proporciona la muestra de tamaño 1000 con 532 varones y 468 mujeres es: z =

obtenido a partir de z =

0,532 0,5 = 2, 025 0, 0158

pˆ p . X pˆ

Etapa 4: Al ser z = 2,025 < zF = 2,33 se acepta la hipótesis nula, es decir, con los resultados de la muestra no podemos rechazar la creencia de que estudian el mismo número de varones que de mujeres.

zona de aceptación

zona de rechazo

z F = 2,33 z = 2,025

Y

Estadística inferencial. Estimación por intervalos. Pruebas de hipótesis

365

8. Contrastes de hipótesis para la diferencia de medias En el caso del contraste de hipótesis para la diferencia de medias, como en el caso de la media, partimos de la suposición a priori de que las medias de las dos poblaciones son iguales, R1 = R2. Después se utilizan x–1 y x–2 correspondientes a las dos muestras extraídas de las respectivas poblaciones para decidir si es probable la suposición de R1 y R2. Seguimos las etapas para los contrastes de hipótesis: 1ª ETAPA H0

R1 = R2 R1 f R2 R1 v R2

H1

R1 | R2 R1 > R2 R1 < R2

冢

2ª ETAPA

3ª ETAPA

4ª ETAPA

Intervalo aceptación (I)

Determinación del estadístico

Decisión

x1 x 2 zF / 2

冢冢

X 12 X 22 X 12 X 22 + , x1 x 2 + zF / 2 + n2 n1 n2 n1

X 12 X 22 h, x1 x 2 + zF + n1 n2 x1 x 2 zF

2 1

2 2

X X + ,+ h n2 n1

冣

冣冣

• z I se acepta H0 z =

( x1 x 2 ) ( R1 R2 )

X x x 1

2

• z I se rechaza H0

ACTIVIDADES RESUELTAS 11. Estudiamos dos muestras de ciudadanos de la Comunidad Autónoma de Andalucía (A y B), de 80 miembros cada una, para conocer el sentimiento nacionalista. Sobre una escala de 1 a 10, la primera alcanzó una media de 7,2 con una desviación típica de 3,1, mientras que la segunda alcanzó una media de 8,1 con una desviación típica de 4,2. Nuestra hipótesis de investigación es que el colectivo B tiene un sentimiento nacionalista mayor que el colectivo A. Comprueba la hipótesis para un nivel de significación del 0,01. Etapa 1: Las hipótesis son: H0: R1 v R2 y H1: R1 < R2 Etapa 2: El nivel de significación es Ns = 0,01 y es unilateral; por tanto, le corresponde un valor crítico zF = –2,33. Etapa 3: Al ser las muestras suficientemente grandes, la prueba que podemos aplicar es la normal N(0, 1). El valor tipificado a determinar es: ( x x 2 ) ( R1 R2 ) z = 1 X x x 1

2

Tenemos que: x1 x 2 = 7, 2 8,1 = 0, 9 y X x x = 1

2

X 12 X 22 + % n1 n2

3,12 4, 22 + = 0,58 80 80

Con los datos anteriores obtenemos: z=

(7, 2 8,1) 0 = 155 , 0,58

Etapa 4: Podemos observar en la gráfica que el valor de la prueba z = –1,55 cae dentro de la zona de aceptación, luego se acepta la hipótesis nula y se rechaza la hipótesis alternativa. No existen diferencias significativas en cuanto al sentimiento nacionalista en los dos colectivos.

zona de aceptación

zona de rechazo

zF = –2,33

z = –1,55

Y

Unidad 15

366

9. Usos de la inferencia estadística Entre las múltiples aplicaciones de la inferencia estadística vamos a ver dos de las más usuales: los gráficos de control de calidad que se hacen dentro de las empresas y la lectura y análisis de una encuesta o sondeo.

9.1. Gráficos de control de calidad Una aplicación importante de la inferencia estadística es el control estadístico de la calidad en la industria, que se basa en revisar el proceso antes que el producto. El sistema más utilizado para efectuar este control de calidad es el gráfico de control. • Un gráfico de control es una representación que muestra el valor de un estadístico para muestras sucesivas (una muestra cada turno, una muestra cada día, etc.). Estos gráficos contienen: a

Las empresas utilizan el control de calidad con el fin de que los artículos fabricados den una proporción pequeña de defectuosos, manteniendo los niveles de calidad en la producción.

• Línea de control, que es una recta situada en el valor deseado para el parámetro del proceso. • Límites de control, a los que el estadístico raramente sobrepasa. El propósito de estos gráficos es el de controlar un proceso a lo largo del tiempo y darse cuenta de cuándo un factor interfiere en el proceso.

ACTIVIDADES RESUELTAS 12. Una máquina produce una determinada pieza para relojes, con un diámetro medio de 5,74 mm y una desviación típica de 0,08 mm. La producción de la citada máquina sigue una distribución normal. Se toma una muestra de 6 piezas cada hora y se observa el diámetro de la muestra. Diseña un gráfico sobre el que representar semanalmente los análisis efectuados y controlar la calidad del proceso. Los intervalos de confianza de las medidas de los diámetros son:

冢冢

5, 74 1, 96

5, 74 2,58

0, 08 6

; 5, 74 + 1, 96

0, 08 6

冣冣

0, 08 6

; 5, 74 + 2,58

0, 08 6

= (5, 676; 5, 804) = (5, 656; 5, 824)

El gráfico de control es: Límites de control

冦 5,676

Línea de control

冦

Límites de control

冦 5,824

5,656

LUNES

MARTES

MIÉRCOLES

JUEVES

VIERNES

5,74

5,804

Las marcas son los resultados de cada una de las muestras efectuadas. Pueden observarse anomalías en los últimos controles del martes y miércoles. Deberán analizarse las causas y tomar las medidas adecuadas.

Y

Estadística inferencial. Estimación por intervalos. Pruebas de hipótesis

367

9.2. Interpretación de la ficha técnica de una encuesta Otra aplicación de la inferencia estadística es la lectura y análisis de la ficha técnica de una encuesta o sondeo. En los medios de comunicación, sobre todo en épocas electorales, aparecen sondeos que se hacen sobre intención de voto u otros aspectos. De la lectura y análisis de estas fichas obtendremos una interpretación de la encuesta o sondeo. En la ficha técnica de una encuesta deben aparecer claros una serie de apartados, que vemos a continuación: • Una ficha técnica debe contener: • Ámbito geográfico de la encuesta. • Universo de elementos, personas objeto de la investigación. • Tipo de muestreo y forma de recogida de la información. • Error admisible y margen de confianza. • Tamaño de la muestra compatible con los datos anteriores. • Otros aspectos: fecha del trabajo de campo, empresa que realiza el sondeo, equipo técnico, etc.

TITULAR: «Siete de cada diez ciudadanos cree que el partido en el gobierno ganará de nuevo»

FICHA TÉCNICA Encuesta realizada por Demoscopia sobre una muestra de 15.000 personas mayores de 18 años y de ambos sexos, representativa de la población residente en la Península, Baleares y Canarias con distribución no proporcional. Se han realizado 5.200 entrevistas de afijación uniforme por circunscripción (100 en cada una) y 9.800 de afijación proporcional a la población electoral de cada provincia. La muestra provincial mayor es la de Madrid, con 1.348 entrevistas, y la menor, la de Melilla, con 114. Los datos referidos del total de la muestra, para un nivel de confianza del 95,5% y en la hipótesis más desfavorable, tienen un error de muestreo de ±0,84% (calculando el factor de ineficiencia muestral derivado de la afijación no proporcional). Trabajo de campo realizado entre los días 25 de febrero y 2 de marzo de 2000 (el trabajo de campo en Andalucía se realizó del 18 al 23 de febrero de 2000) mediante entrevista a domicilio, con selección final de entrevistados por sistema de rutas aleatorias. Fuente: El País. 5-III-2000

ACTIVIDADES RESUELTAS 13. Interpreta la ficha técnica del margen. • Ámbito: Península, Baleares y Canarias. • Universo: personas mayores de 18 años, de ambos sexos. • Tipo de muestreo: muestreo aleatorio estratificado, tomando como estratos las provincias y la población electoral de las mismas. La afijación en el muestreo estratificado ha sido parte uniforme y parte propocional. • Error admisible: ± 0,84% • Margen de confianza: 95,5% • Tamaño de la muestra: 15 000 personas. • Fecha del trabajo de campo: del 25-II al 2-III de 2000. • Empresa: Demoscopia. También podemos comprobar, a partir de los datos, que el número de entrevistados es correcto. La información de la ficha y del titular de la encuesta da p =

7 3 ;q= . 10 10

La muestra es de tamaño n; a un nivel de confianza del 95,5% le corresponde un valor crítico zF /2 = 2. 7 3 10 10 < 0, 84 ¡ n > 11904 El error posible es: 2 n 100 Por tanto, el tamaño n = 15 000 es correcto.

Y

Unidad 15

368

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Iguales o distintos Analiza el razonamiento que sigue y encuentra el error: • Para dos números a y b distintos, a | b, se cumple que a = b, es decir, son iguales. Partimos del supuesto a | b y podemos definir un número, distinto de cero, que es su diferencia. Sea la igualdad: a – b = c Elevamos al cuadrado ambos miembros y desarrollamos el cuadrado de la diferencia: a2 – 2 · a · b + b2 = c2 (I) Dado que c = a – b, tendremos que: c2 = (a – b) · c = a · c – b · c Sustituimos el resultado anterior en la igualdad (I): a2 – 2 · a · b + b2 = a · c – b · c Reordenamos convenientemente los términos: a2 – a · b – a · c = a · b – b2 – b · c Extraemos factor común: a · (a – b – c) = b · (a – b – c) Y simplificando el factor común: a = b

FAMILIARIZACIÓN CON EL PROBLEMA El enunciado nos produce cierta perplejidad; en él se afirma, y posteriormente se demuestra, que todos los números son el mismo.

BÚSQUEDA DE ESTRATEGIAS Tenemos pocas posibilidades de maniobra y, en este caso, la estrategia a seguir será analizar cada uno de los pasos de la demostración y tratar de encontrar el error o errores cometidos.

LLEVAR ADELANTE LA ESTRATEGIA Observamos con detenimiento cada uno de los pasos: • El primero es correcto, ya que si partimos de dos números a y b distintos, existe un tercer número c = a – b, que es la diferencia de los dos números iniciales. • Todos los pasos intermedios también son correctos, al ser manipulaciones algebraicas, como elevar al cuadrado, aplicar la propiedad distributiva, sustituir una expresión en otra, trasponer términos en una igualdad y sacar factor común. • El último paso es incorrecto: estamos simplificando o dividiendo por el factor común (a – b – c), estamos dividiendo por cero, ya que si a – b = c, entonces a – b – c = 0.

REVISAR EL PROCESO Y SACAR CONSECUENCIAS DE ÉL Estamos ante un razonamiento que, en apariencia, parece correcto y, sin embargo, carece de sentido, ya que dos números no pueden ser distintos e iguales a la vez. Este tipo de paradojas se denominan falacias y muchas de estas se originan al simplificar o dividir por cero.

Y

Estadística inferencial. Estimación por intervalos. Pruebas de hipótesis

369

Paradojas Este es un ejemplo de las paradojas sobre las cuales no podemos asegurar su veracidad ni su falsedad. La afirmación «todos los cretenses son mentirosos» no puede ser verdadera, pues como Epiménides, por ser cretense, sería mentiroso, lo que él nos dice sería falso. Tampoco esta frase puede ser falsa porque entonces los cretenses serían veraces y Epiménides diría la verdad.

Las paradojas son razonamientos o argumentaciones que contienen resultados que, por contrarios a la intuición y al sentido común, llegan a provocar de inmediato un sentimiento de sorpresa. Podemos clasificarlas en cuatro tipos: • Afirmaciones que parecen falsas, aunque en realidad son verdaderas. • Afirmaciones que parecen verdaderas, aunque en realidad son falsas.

– La siguiente cadena de razonamientos es un ejemplo de falacia. En apariencia, todo parece correcto, pero contiene un error:

• Razonamientos que en apariencia parecen correctos y, sin embargo, conducen a contradicciones. Este tipo de paradoja se llama falacia.

cos 300º = cos 60º cos 300º + cos120º = cos 60º + cos120º 2cos 210º cos 90º = 2cos 90º cos ( 30º )

• Declaraciones de las cuales no podemos asegurar su veracidad ni tampoco su falsedad.

cos 210º = cos 30º

Las paradojas matemáticas, sorprendentes y amenas, conducen también a nociones y descubrimientos importantes. Nos pueden servir de ejemplo las dos siguientes:

3 3 = –1 = 1 2 2

• A los matemáticos griegos les resultó tremendamente paradójico que la diagonal de un cuadrado de lado unidad no pudiera medirse exactamente. Sin embargo, a partir de esta paradoja surgieron los números irracionales. • A los matemáticos del siglo XIX también les resultó paradójico que los elementos de un conjunto infinito pudieran ponerse en biyección entre los elementos de un subconjunto del mismo. También observaron conjuntos infinitos entre los cuales no se podían establecer biyecciones. De esta aparente paradoja surgió la moderna teoría de conjuntos. • Algunas paradojas – Epiménides fue un poeta griego que vivió en Creta hacia el siglo VI a. C. y formuló la siguiente paradoja: «Todos los cretenses son mentirosos». Como él era cretense, nos preguntamos si Epiménides dice la verdad.

a Los escritos de Martin Gardner abarcan desde la matemática re-

creativa hasta la ficción. En su libro Paradojas muestra una gran variedad de ellas.

A C T I V I D A D E S 䊏 Resuelve los siguientes problemas: 1. Negativo y positivo. Analiza la última falacia y encuentra el error que nos lleva a la igualdad –1 = 1. 2. El mismo número. Analiza el razonamiento siguiente para demostrar: «todos los números son el mismo», y encuentra el error: a | b a + b = t ( a + b) ( a b) = t ( a b) a2 b2 = ta tb a2 ta = b2 tb a2 ta +

冢

t2 t2 t = b2 tb + a 4 4 2

2

冣冢

= b

t 2

2

冣 a 2= b 2a= b t

t

Y

Unidad 15

370

NUEVAS TECNOLOGÍAS Inferencia estadística y calculadora gráfica Dentro del menú STAT elegimos TEST, y aquí encontramos las diferentes opciones para trabajar en inferencia estadística; una de ellas es: Con la calculadora gráfica podemos realizar estimaciones calculando intervalos de confianza y haciendo contrastes de hipótesis.

• ZInterval..., calcula un intervalo de confianza para un valor desconocido de la media de la población R cuando se conoce la desviación típica X de la población. El intervalo de confianza calculado depende del nivel de confianza elegido. Vamos a utilizar esta opción en la resolución del siguiente problema: Determina el intervalo de confianza al 95% para la media poblacional si hemos tomado una muestra de los precios, en céntimos de euro, de una misma marca de leche en 16 supermercados distintos, elegidos al azar en una ciudad, obteniendo los siguientes precios: 95, 108, 97, 112, 99, 106, 105, 100, 99, 98, 104, 110, 107, 111, 103 y 110. Se supone que los precios de la leche se distribuyen según una ley normal de varianza 25 y media desconocida. Para resolver el problema comenzamos por introducir los precios anteriores en una lista. Para ello elegimos en el menú STAT la opción EDIT. Aparecen las listas, elegimos L1 y escribimos los datos del enunciado. Salimos de las listas y activamos STAT + TEST, y dentro de este último, Zinterval... Aparece la pantalla de la imagen inferior. En ella introducimos el valor de la desviación típica X del problema, en este caso 5; en List, la lista en la que hemos metido los datos, en este caso L1, y en C-Level, el nivel de confianza elegido, en este caso .95. Si seleccionamos Data aparecen las pantallas de la izquierda y si seleccionamos Stats aparecen las de la derecha; en ambas, los resultados se obtienen tras pulsar Calculate. Los resultados obtenidos son fácilmente identificables:

PRACTICA con la calculadora gráfica la resolución de las actividades números 5, 7, 9 y 11.

ZInterval Inpt:Data Stats X:5 List : L1 Freq : 1 C-Level : .95 Calculate

ZInterval Inpt:Data Stats X:5 – x : 104 n : 16 C-Level : .95 Calculate

ZInterval (101.55, 106.45) – x : 104 Sx : 5.465040409 n : 16

ZInterval (101.55, 106.45) – x : 104 n : 16

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Estadística inferencial. Estimación por intervalos. Pruebas de hipótesis

371

EN RESUMEN ESTADÍSTICA INFERENCIAL se divide en

ESTADÍSTICA INDUCTIVA

ESTADÍSTICA DEDUCTIVA

se basa en

se basa en

ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS

utilizando

puede ser

PUNTUAL

CONTRASTES DE HIPÓTESIS

MUESTRAS

algunas son para

de tamaño

POR INTERVALOS

mediante

冢

2

• La media

冣

z X • n = F /2 E 2 z pq • n = F /2 2 E

INTERVALOS DE CONFIANZA decisiones incorrectas conducen a

ERRORES

sus etapas son

• Las proporciones • La diferencia de medias

1. Enunciar la hipótesis nula (H0) y la alternativa o de investigación (H1) 2. Determinar la región crítica, prefijado el nivel de significación

Tipo I: rechazar H0 siendo verdadera

3. Determianr el estadístico apropiado para la prueba y calcularlo

Tipo II: mantener H0 siendo falsa

4. Tomar la decisión e interpretarla

AMPLÍA CON… El matemático del rey (Editorial Planeta), de Juan Carlos Arce, es una novela que nos sitúa en el reinado de Felipe IV, en pleno siglo XVII, y en la que el autor muestra las intrigas de la Corte, las pugnas políticas, el renacer científico de la época, ... El protagonista, Juan Lezuza, es un matemático que enseña ciencias al joven rey. Entre otras cosas, le enseña que la Tierra se mueve alrededor del Sol, una idea prohibida por la que algunos hombres serían quemados en la hoguera y otros muchos perseguidos. Este matemático del rey se convierte así en un hereje que es, a su vez, maestro del monarca.

Y

Unidad 15

372

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD RESUELTAS En una muestra aleatoria de 1 000 personas, están a favor de que el ministerio de Economía mantenga la presión fiscal el 65%. Halla el intervalo de confianza del 99%. En una encuesta realizada un año antes había resultado un 68% favorable al mantenimiento de la presión. ¿Cae este valor dentro del margen de confianza de la nueva encuesta? Llamamos p a la proporción de estar a favor de mantener la presión fiscal; es desconocida y debemos estimarla. Tomamos una muestra con n = 1 000 personas, para la cual p = 0,65, q = 0,35. La distribución muestral de proporciones sigue una normal de media p y desviación:

X pˆ =

pq % n

0,65 0,35 = 0,015 1000

La variable ^ p se distribuye según la N(p; 0,015) y la variable z =

pˆ p según la N(0, 1). 0, 015

Para un nivel de confianza del 99%, el valor zF /2 para que P(–zF /2 < z < zF /2) = 0,99 es zF /2 = 2,58. Luego, ^ p – 2,58 · 0,015 < p < ^ p + 2,58 · 0,015 y como ^ p = 0,65, obtenemos el siguiente intervalo de confianza: (0,6113; 0,6887). En una encuesta anterior, ^ p = 68% = 0,68; como podemos ver, este valor cae dentro del intervalo de confianza, lo que nos lleva a deducir que la población no ha cambiado de opinión de un año a otro. Se sabe que la desviación típica del peso de los individuos de una cierta población es 6 kg. Calcula el tamaño de la muestra que se ha de considerar para, con un nivel de confianza del 95%, estimar el peso medio de los individuos de la población con un error inferior a 1 kg. El peso de los individuos de esa población se distribuye N(R, 6). El peso medio xn de los individuos de las muestras de tamaño

冢

n se distribuyen N R,

6 n

冣.

Sabemos que el error máximo admitido es E = 1 kg. El nivel de confianza Nc = 95% da lugar a

un valor crítico zF /2 = 1,96. Ahora calculamos el tamaño de la muestra:

n=

冢

zF / 2 X E

2

冣冢 =

2

冣

196 , 6 1

= 138,30

Es decir, se ha de tomar una muestra con al menos 139 individuos. Tras 100 lanzamientos de una moneda se observa que tan solo en 35 ocasiones ha salido cara. Utilizando la aproximación normal, comprueba, al nivel de significación del 5%, si el resultado proporciona evidencia que permite rechazar la hipótesis de que la probabilidad de obtener cara con esta moneda es de 1/2. ¿Qué conclusión podemos sacar si en una nueva experiencia con la misma moneda hemos obtenido 41 caras? Etapa 1: Las hipótesis son: H0: p = 1/2 y H1: p | 1/2. La hipótesis nula asegura que la moneda es equilibrada, es decir, p = 1/2 es la probabilidad de cara. Etapa 2: El nivel de significación es Ns = 0,05 y la prueba es bilateral; por tanto zF /2 =1,96. Etapa 3: La variable número de caras obtenidas sigue una ley B(100, 1/2) y, como n > 30, la podemos aproximar mediante una variable x que se distribuye según la normal N(50, 5). Por tanto, la variable z =

x 50 se distribuye según la normal N(0, 1). 5

Al nivel de confianza del 95%, el valor crítico para pruebas bilaterales es zF /2 = 1,96. Con este valor y los datos anteriores se obtiene la siguiente región de aceptación: 50 – 1,96 · 5 < x < 50 + 1,96 · 5 (40,2; 59,8) Etapa 4: Como el número de caras obtenidas, 35, no está dentro del intervalo de aceptación, debemos rechazar la hipótesis nula, es decir, la probabilidad de obtener cara con esta moneda no es de 1/2. En el caso de la obtención de 41 caras, este valor cae dentro del intervalo de aceptación; podemos aceptar la hipótesis nula y concluir que la moneda no está trucada.

Y

Estadística inferencial. Estimación por intervalos. Pruebas de hipótesis

373

Un medicamento tradicional usado en la curación de enfermos reumáticos obtiene un 30% de resultados positivos. Se está probando un nuevo medicamento. Sobre una muestra de 20 enfermos reumáticos, se recuperaron 13 utilizando el nuevo medicamento. ¿Qué podemos deducir? Planteamos la siguiente prueba de hipótesis. Las hipótesis son: H0: p = 30% = 0,30 y H1: p | 0,3. Suponemos que los resultados son similares a los obtenidos con el medicamento anterior. El número de resultados positivos se distribuye según una ley binomial B(20; 0,30) con media R = 20 · 0,30 = 6 y desviación típica X =

20 0,3 0,7 = 2,04 .

No se puede aproximar la ley binomial anterior a la normal, ya que el tamaño de la muestra es pequeño, al ser n < 30. Sin embargo, realizamos la diferencia entre los enfermos recuperados con el nuevo medicamento y los que esperamos que se recuperen por término medio, obteniendo: 13 – 6 = 7. Con esta diferencia se tiene 7 > 2 · X = 2 · 2,04 = 4,08. Observamos que la diferencia es significativa, al 95% de confianza, por lo que debemos rechazar la hipótesis nula. Concluimos que el nuevo medicamento es mejor que el anterior.

Una empresa fabrica neumáticos mediante un proceso A. Un segundo proceso B, de reciente descubrimiento, se sospecha que puede dar lugar a un menor consumo de caucho. Para contrastar esta hipótesis, se hace uso de una muestra formada por 10 neumáticos fabricados por el procedimiento A y 15 fabricados por el procedimiento B, midiéndose en ambos casos la cantidad de caucho utilizado por neumático. Los resultados obtenidos fueron: x– A = 5 000 g, sA = 11 g; x– B = 4 980 g, sB = 12 g Bajo los supuestos de normalidad en la distribución de los consumos de caucho, contrasta al nivel de significación del 5% la hipótesis de igualdad de consumo en ambos procedimientos, frente a la alternativa de menor consumo en el procedimiento B. Etapa 1: Las hipótesis son: H0: RA f RB y H1: RA > RB . Etapa 2: El nivel de significación es Ns = 0,05 y la prueba es unilateral; por tanto, le corresponde un valor crítico zF = 1,645. Etapa 3: Al darse las condiciones de normalidad, la prueba que podemos aplicar es la normal N(0, 1). El valor tipificado a determinar es: z =

( x A x B ) ( R A RB ) Xx x A

B

Tenemos que:

x A x B = 5000 4 980 = 20

Xx

A

xB

=

112 122 + = 4,658 10 15

Con los datos anteriores obtenemos:

(5000 4 980) 0 z= = 4, 29 4,658 Etapa 4: Podemos observar en la gráfica que el valor de la prueba z = 4,29 cae dentro de la zona de rechazo, luego rechazaríamos la hipótesis nula de igual consumo en ambos procedimientos.

zona de aceptación

zona de rechazo

zF = 1,645 z = 4,29

Y

Unidad 15

374

ACTIVIDADES FINALES EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1. La vida media y la desviación típica de los diámetros de una muestra de 250 remaches manufacturados por una empresa son 0,7264 y 0,00058 cm, respectivamente. Halla los límites de confianza al 90% para el diámetro medio de los remaches producidos.

2. En una muestra de tamaño 30 hay 12 estudiantes con dos o más hermanos. Halla un intervalo de confianza del 75% para la proporción de dichos estudiantes en la población.

3. Doscientos votantes fueron seleccionados aleatoriamente y 110 se mostraron favorables al candidato A. Estima la proporción porcentual al candidato A en dicha población usando un intervalo de confianza con un nivel de confianza del 95%.

4. Se desea comparar dos métodos de enseñanza: el método A, tradicional, y el B, basado en sistemas audiovisuales. Para ello, se toman dos muestras aleatorias de 100 estudiantes cada una. Al cabo de un año de aprendizaje, se somete a los estudiantes a la misma prueba de aptitud. Los resultados son, para los estudiantes del sistema A: media 5, desviación típica 1; para los del sistema B, media 5,5, desviación típica 2. Al nivel de confianza del 99%, ¿tienen los métodos la misma eficacia?

5. Un estudio realizado sobre 40 aviones comerciales revela que la antigüedad media de estos es de 13,41 años con una desviación típica de 8,28 años. Calcula: a) ¿Entre qué valores, con un 90% de confianza, se encuentra la antigüedad media de la flota? b) Si se quisiera obtener un nivel de confianza del 95% cometiendo el mismo error de estimación que en el apartado anterior y suponiendo también que la desviación típica es de 8,28 años, ¿cuántos elementos deberían formar la muestra?

6. Se desea hacer un estudio de mercado para conocer el precio medio de los libros científicos. Para ello, se elige una muestra aleatoria formada por 34 libros y se determina que la media muestral es de 20 euros con una desviación típica de 3 euros. Halla el intervalo de confianza para el precio medio de los libros científicos al nivel del 99%.

7. Se ha medido la longitud de una muestra escogida al azar de 400 piezas de precisión hechas por una determinada máquina. Resultó una media de 1,3 cm y una desviación típica de 0,25 cm. a) Halla el intervalo de confianza para la media con un nivel de confianza del 95%. b) Con un nivel de confianza del 99%, calcula el intervalo de confianza para la media.

8. En una encuesta realizada a 50 personas, se ha encontrado que la proporción de una determinada característica es 0,25. Determina el intervalo de confianza, con un nivel de confianza del 95%, para la proporción de la misma característica de la población, supuesta muy grande.

Y

Estadística inferencial. Estimación por intervalos. Pruebas de hipótesis

375

9. Se quiere conocer la permanencia media de pacientes en un hospital. Se tienen datos referidos a la estancia, expresada en días, de 800 pacientes, de donde se han sacado los resultados siguientes: x– = 8,1 días, s = 9 días Halla un intervalo de confianza del 95% para la estancia media.

10. Se ha tomado una muestra de los precios de un mismo producto alimenticio en 16 comercios, elegidos al azar en un barrio de una ciudad, y se han encontrado los siguientes precios: 95, 108, 97, 112, 99, 106, 105, 100, 99, 98, 104, 110, 107, 111, 103, 110 Suponiendo que los precios de este producto se distribuyen según una ley normal de varianza 25 y media desconocida: a) ¿Cuál es la distribución de la media muestral? b) Determina el intervalo de confianza al 95% para la media poblacional.

11. Se seleccionó al azar una muestra de 100 personas cuya media de ingresos anual fue de 22 675 euros, en un determinado sector de población de Madrid, y la desviación típica de 1 600 euros. Halla el intervalo de confianza para la media con un nivel de confianza del 95%.

12. Una variable sigue una distribución normal de media 20 y desviación típica 5 en una determinada población. Halla el tamaño de una muestra extraída de la población de tal modo que se tenga la probabilidad del 95% de que la media de la muestra x– vaya a estar entre 19 y 21.

13. Un granjero estima que el peso medio de los pollos de su granja sigue una distribución normal con desviación típica 0,2 kg. Halla el tamaño mínimo de la muestra que debe tomar para que pueda estimar el peso medio con un nivel de confianza del 95% y un error máximo de 0,03.

14. Una muestra de 100 votantes elegidos aleatoriamente entre todos los de un distrito indicó que el 55% de ellos estaba a favor de un determinado candidato. Halla los intervalos de confianza correspondientes a los niveles de confianza del 95%, 99% y 99,73%, respectivamente, para la proporción de todos los votantes que estaban a favor de este candidato.

15. ¿Qué tamaño de muestra debe tomarse en la actividad anterior para que la confianza de que el candidato sea elegido sea del 95%, con un error máximo de 0,04?

16. Se sabe que 25 de cada 1 000 piezas elaboradas por una empresa son defectuosas. ¿De qué tamaño conviene tomar la muestra para que la proporción estimada de piezas defectuosas no difiera de la verdadera en más de un 5% con un nivel de confianza del 99%?

17. Un fabricante de electrodomésticos sabe que la vida media de estos sigue una distribución normal con media R = 100 meses y desviación típica X = 12 meses. ¿Cuál es el mínimo tamaño muestral que garantiza, con una probabilidad de 0,98, que la vida media de los electrodomésticos en dicha muestra se encuentra entre 90 y 110 meses?

Y

Unidad 15

376

ACTIVIDADES FINALES 18. Comprueba los valores críticos, que aparecen en esta tabla, para pruebas unilaterales y bilaterales para los niveles de confianza o significación dados en ella.

19. La vida media de las lámparas de 60 vatios está garantizada por lo menos en 800 horas, con una desviación típica de 120 horas.

Nivel de Nivel de Valores críticos Valores críticos confianza significación zF para pruebas zF /2 para pruebas Nc Ns unilaterales bilaterales 90%

10%

–1,28 o 1,28

–1,645 y 1,645

95%

5%

–1,645 o 1,645

–1,96 y 1,96

99%

1%

–2,33 o 2,33

–2,58 y 2,58

99,9%

0,1%

–3,09 o 3,09

–3,295 y 3,295

Si se escoge al azar una muestra de 25 lámparas de un grupo y después de comprobarla se calcula una vida media de la muestra de 750 horas, para un nivel de significación del 0,05, ¿habría que rechazar el grupo por no cumplir las garantías?

20. Una empresa especializada en temas militares ha realizado una encuesta a 500 personas. Se obtuvo que el 83% de dichas personas era contraria a la guerra, frente a un 17% que mostraba su aceptación. ¿Podemos interpretar a la luz de estos resultados y con un nivel de confianza del 99% que la situación ha cambiado significativamente respecto a estudios anteriores que registraron en torno al 78% las personas no partidarias?

21. Una fábrica produce 1 000 unidades por semana de cierto artículo y está satisfecha si, por término medio, el 3% de los artículos es defectuoso en una inspección. En una determinada semana, 38 artículos son rechazados por la inspección. Al nivel de significación del 5%, ¿habría que proceder a un examen de la cadena de producción o podría considerarse el excesivo número de rechazos dentro de los límites del azar que acompaña a las condiciones de trabajo normales?

22. Hace 10 años, el 52% de los ciudadanos estaba en contra de una ley. Recientemente, se ha elaborado una encuesta a 400 personas y 184 se mostraron contrarios a la misma ley. Con estos datos y con un nivel de significación del 0,01, ¿podemos afirmar que la proporción de contrarios a la ley ha disminuido?

23. El porcentaje de calificaciones sobresalientes dado en una asignatura de Matemáticas de un determinado centro de enseñanza, durante un largo período de tiempo, fue del 10%. En un determinado período de cursos hubo 40 sobresalientes en un grupo de 300 estudiantes. Decide la significación de estos resultados a los niveles de 0,05 y 0,01, respectivamente.

24. Una moneda se lanza 6 veces y se obtiene 6 veces cara. ¿Puede deducirse que a los niveles de significación 0,05 y 0,01, respectivamente, la moneda está trucada? Considera pruebas unilaterales y bilaterales.

25. Una muestra de 100 lámparas de una factoría A resultó con una duración media de 1 190 horas y una desviación típica de 90 horas. Una muestra de 75 lámparas de otra factoría B ofreció una duración media de 1230 horas con una desviación típica de 120 horas. ¿Hay diferencias entre duraciones medias de las lámparas de las dos factorías al nivel de significación del 0,05 o 0,01, respectivamente?

Y

Estadística inferencial. Estimación por intervalos. Pruebas de hipótesis

377

26. Un fabricante de pilas alcalinas sabe que el tiempo de duración, en horas, de las pilas que fabrica sigue una distribución normal de media desconocida y varianza 3600. Con una muestra de su producción, elegida al azar, y un nivel de significación del 95%, ha obtenido para la media el intervalo de confianza (372,6; 392,2). Calcula: a) El valor que obtuvo para la media de la muestra y el tamaño muestral utilizado. b) El error de su estimación, si hubiese utilizado una muestra de tamaño 225 y un nivel de confianza del 86,9%. 27. Se supone que la altura de los bebés de una determinada población sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica 6 cm. Para estimar la altura media se quiere utilizar una muestra de tamaño n. Calcula el valor mínimo de n de modo que, con un nivel de confianza del 99%, el error en la estimación sea menor que 1 cm. 28. Las tensiones de ruptura de los cables fabricados por una empresa tienen media de 1800 N y una desviación típica de 100 N. Se desea comprobar si un nuevo proceso de fabricación modifica dicha tensión media de ruptura. Para ello se toma una muestra de 50 cables y se encuentra que su tensión media de ruptura es de 1850 N. ¿Se puede afirmar que el nuevo proceso ha modificado la tensión media de ruptura, al nivel de significación del 5%? 29. En una población escolar se ha comprobado que la estatura sigue un modelo normal de probabilidad. A partir de una muestra de 81 escolares de dicha población se ha calculado una estatura media de 159 cm y una desviación típica de 12,9 cm. Teniendo en cuenta esta información: a) Determina el error máximo que cometeríamos, con una confianza del 99%, si estimamos en 159 cm la estatura media de esa población escolar. b) ¿Podríamos rechazar, con un nivel de confianza del 95%, la hipótesis de que la estatura media en esa población es de 160 cm? 30. Se conoce que cierta enfermedad del ganado afecta anualmente al 10% de las vacas de cierta zona. Para evaluar una nueva vacuna, se inyecta a 100 vacas, resultando que ese año solo 5 de ellas adquieren la enfermedad. Usando la aproximación normal, comprueba, al nivel de significación del 5%, si este resultado proporciona evidencia de que, tras la vacuna, la incidencia anual de la enfermedad no es del 10%. 31. El director de recursos humanos de una compañía afirma que las edades de sus empleados tienen una media de 40 años y una desviación típica de 5 años. Si se pregunta la edad a 25 empleados elegidos al azar y se observa que la media de las edades de esta muestra es de 41,35 años, ¿se puede aceptar la hipótesis de que la edad media de los empleados es de 40 años con un nivel de significación del 5%, o, más bien, nos debemos inclinar por aceptar que la edad media es mayor de 40 años? 32. Un electricista afirma que el 40% de las bombillas que ha comprado a un fabricante en una promoción son defectuosas. El fabricante eligió una muestra de 100 bombillas y observó que 30 tenían algún defecto. A un nivel de confianza del 95%, ¿se puede aceptar la hipótesis del electricista? 33. El peso medio de una muestra aleatoria de 100 naranjas de una determinada variedad es de 272 g. Se sabe que la desviación típica poblacional es de 20 g. A un nivel de significación de 0,05, ¿hay suficiente evidencia para refutar la afirmación de que el peso medio poblacional es de 275 g?

Y

Unidad 15

378

ACTIVIDADES FINALES ACCESO A LA UNIVERSIDAD 34. En una encuesta de opinión, durante una campaña electoral de una ciudad, se preguntó a una muestra aleatoria de 400 personas a cuál de los dos candidatos pensaban votar. Declararon 160 que votarían a un determinado partido. Obtén un estimador puntual y un intervalo de confianza del 95% para la proporción de la población de la ciudad que votará al citado partido en las elecciones. 35. La edad media de esperanza de vida de una población es de 50 años, con una desviación típica X = 10 años. Una compañía de seguros quiere determinar el número de individuos de la muestra para que la estimación difiera del valor 50, en al menos un 2% de este valor, tomando como nivel de confianza el 95%. Calcula el tamaño de dicha muestra. 36. Un experto, basándose en anteriores comicios, sostiene que si se celebran elecciones generales en este momento tan solo acudiría a votar el 48% de la población. No obstante, en un sondeo electoral realizado recientemente entre 1500 personas, 800 tienen intención de votar. ¿Supone esto, con un nivel de significación del 1%, que el experto se equivoca y la intención es mayor? 37. La desviación típica de la altura de los habitantes de un país es de 10 cm. Calcula el tamaño mínimo que ha de tener una muestra de habitantes de dicho país para que el error cometido al estimar la altura media sea inferior a 1 cm con un nivel de confianza del 99%. 38. El estudio de un test revela que la nota media que se obtiene es de 5,7 puntos con una desviación típica de 0,5. A 100 usuarios de la zona de influencia A y a 49 de la zona B se les pasa el test obteniéndose puntuaciones medias de 5,6 y 5,85 respectivamente. Con una confianza del 95%, ¿se puede afirmar que las diferencias entre las medias de cada muestra y de la población son debidas al azar, o se puede afirmar que son diferentes la nota media de la población y de la muestra? Formula las hipótesis y define error de tipo I y error de tipo II. 39. La nota obtenida en Estadística por los alumnos de una determinada facultad sigue una distribución normal. Seleccionados 125 alumnos al azar se observa que su nota media es 9 con una varianza de 9. Verifica con una confianza del 99% la hipótesis de que la nota media de dichos alumnos es inferior a 9,5. 40. La estatura media de los niños de 10 años en España es de 135 cm con una desviación típica de 8 cm. Calcula el tamaño de muestra necesario para que el intervalo de confianza al 95% de la media muestral tenga una amplitud de 2 cm. 41. Se realizan 64 lanzamientos de un dado. ¿Cuántos cincos debemos obtener, como mínimo y como máximo, para aceptar que el dado no está trucado con un nivel de confianza del 95%? 42. Según la ley electoral de cierto país, para obtener representación parlamentaria, un partido político ha de conseguir, en las elecciones, al menos un 5% de los votos. Próximas las elecciones, una encuesta realizada sobre 1000 ciudadanos elegidos al azar revela que 36 de ellos votarán a un partido determinado. ¿Puede estimarse con un nivel de significación del 5% que ese partido tendrá representación parlamentaria?

Y

Estadística inferencial. Estimación por intervalos. Pruebas de hipótesis

379

AUTOEVALUACIÓN 1. El tiempo que se tarda en un supermercado en cobrar a los clientes sigue una ley normal de media desconocida y desviación típica 0,5 minutos. Para una muestra aleatoria de 25 clientes se obtuvo un tiempo medio de 5,2 minutos. El intervalo de confianza al nivel del 95% para el tiempo medio que se tarda en cobrar a los clientes es: a) (5,010; 5,390)

b) (5,004; 5,396)

c) (5,002; 5,398)

2. En una encuesta se pregunta a 10 000 personas cuántos libros leen al año, obteniéndose una media de 5 libros. Se sabe que la población tiene una distribución normal con desviación típica 2. Para garantizar el error de estimación de la media poblacional no superior a 0,25 con un nivel de confianza del 95%, el número mínimo de personas que sería necesario entrevistar es: a) 246

b) 462

c) 642

3. En una encuesta entre 130 estudiantes universitarios, de los que 85 eran mujeres, sobre el estudio diario, resultó una media de 3,4 horas. El intervalo de confianza, al 90%, para la proporción de mujeres universitarias es: a) (0,6123; 0,6957)

b) (0,4752; 0,6123)

c) (0,5753; 0,6957)

4. En muestra de 100 alumnos, 62 han aprobado todas las asignaturas. Al repetir la experiencia para conseguir una cota de error de 0,03, con un nivel de confianza del 95%, el número mínimo de alumnos de la muestra debe ser: a) 303

b) 5 005

c) 1 006

5. Según una encuesta preelectoral, la intención de voto a cierto partido político está entre el 42% y el 48%. Se trata de un intervalo de confianza, pero en la ficha técnica no figura el tamaño de la muestra ni tampoco el nivel de confianza utilizado. Suponiendo que la muestra ha sido de 1 056 individuos, el nivel de confianza es del: a) 90%

b) 95%

c) 99%

6. Se sabe que el gasto semanal, en euros, en ocio para los jóvenes de una cierta ciudad sigue una distribución normal con desviación típica X conocida. Para una muestra aleatoria de 100 jóvenes de esa ciudad, el intervalo de confianza del 95% para el gasto medio semanal R es (27, 33). Los valores de la correspondiente media muestral x– y X son: b) x– = 33 y X =13,5 c) x– = 30 y X =15,3 a) x– = 27 y X =15,3 7. Un informe indica que el precio medio de un billete entre Canarias y la Península es, como máximo, de 120 euros con una desviación típica de 40 euros. Se toma una muestra de 100 viajeros y se obtiene una media de los precios de sus billetes, que es de 128 euros. ¿Se puede aceptar, con un nivel de significación del 0,1, la afirmación de partida? a) Sí

b) No

c) No se puede saber

8. El salario medio mensual correspondiente a una muestra de 900 personas de una población dada es de 725 euros. Se sabe que los salarios de esa población siguen una normal con desviación típica de 84 euros. ¿Se puede afirmar que el salario medio de dicha población es de 700 euros con un nivel de confianza del 95%? a) Sí

b) No

c) No se puede saber

9. Una marca de nueces afirma que, como máximo, el 6% de las nueces están vacías. Se eligieron 300 nueces al azar y se detectaron 21 vacías. Con un nivel de significación del 1%, ¿se puede aceptar la afirmación de la marca? a) Sí

b) No

c) No se puede saber

10. Al lanzar 5000 veces una moneda al aire salieron 3000 caras. ¿Se puede aceptar, con un nivel de significación del 0,05, que la moneda no está trucada? a) Sí

b) No

c) No se puede saber

Z

Números aleatorios

380

NÚMEROS ALEATORIOS 59391 99567 10363 86859 11258

58030 76364 97518 19558 24591

52098 77204 51400 64432 36863

82718 04615 25670 16706 55368

87024 27062 98342 99612 31721

82848 96621 61891 59798 94335

04190 43918 27101 32803 34936

96574 01896 37855 67708 02566

90464 83991 06235 15297 80972

29065 51141 33316 28612 08188

95068 54463 16874 92494 15669

88628 47237 62677 63157 56689

35911 73800 57412 76593 35682

14530 91017 13215 91316 40844

33020 36239 31389 03505 53256

80428 71824 62233 72389 81872

39936 83671 80827 96363 35213

31855 39892 73917 52887 09840

34334 60518 82802 01087 34471

64865 37092 84420 66091 74441

99116 15696 97720 11666 71628

75486 10703 15369 13841 73130

84989 65178 51269 71681 78783

23476 90637 69620 98000 75691

52967 63110 03388 35979 41632

67104 17622 13699 39719 09847

39495 53988 33423 81899 61547

39100 71087 67453 07449 18707

17217 84148 43269 47985 85489

74073 11670 56720 46967 69944

40501 22518 75112 80327 60251

51089 55576 30485 02671 45548

99943 98215 62173 98191 02146

91843 82068 02132 84342 05597

41995 10798 14878 90813 48228

88931 86211 92879 49268 81366

73631 36584 22281 95441 34598

69361 67466 16783 15496 72856

05375 69373 86352 20168 66762

15417 40054 00077 09271 17002

57430 73528 25991 78388 12477

82270 39559 65959 16638 09965

10421 34434 70769 09134 96657

00540 88596 64721 59980 57994

43648 54086 86413 63806 59439

75888 71693 33475 48472 76330

66049 43132 42740 39318 24596

21511 14414 06175 35434 77515

47676 79949 82758 24057 09577

33444 85193 66248 74739 91871

83266 76970 37074 83712 20287

32883 80876 65198 06514 56862

42451 10237 44785 30101 69727

15579 39515 68624 78295 94443

38155 79512 98336 54656 64936

29793 74798 84481 85417 08366

40914 39357 97610 43189 27227

65990 09054 78735 60048 05158

16255 73579 46703 71781 50326

17777 92359 98265 72606 59566

74261 64081 05617 26793 65988

32592 49863 75818 74951 72850

86538 08478 47750 95466 48737

27041 96001 67814 74307 54719

65172 18888 29575 13330 52056

85532 14810 10526 42664 01596

07571 70545 66192 85515 03845

80609 89755 44464 20632 35067

39285 59064 27058 05497 03134

65340 07210 40467 33625 70322

27366 56760 72880 77888 28440

42271 10909 43338 38100 07819

44300 98147 93643 03062 21580

73399 34736 58904 58103 51459

21105 33863 59543 47961 47971

03280 95256 23943 83841 29882

73457 12731 11231 25878 13990

43093 66598 83268 23746 29226

05192 50771 65938 55903 23608

48657 83665 81581 44115 15873

63525 47606 52669 16738 59348

94441 93410 45030 60159 11695

77033 16359 96279 07425 45751

12147 89033 14709 62369 15865

51054 89696 52372 07515 74739

49955 47231 87832 82721 05572

58312 64498 02735 37875 32688

76923 31776 50803 71153 20271

96071 05383 72744 21315 65128

05813 39902 88208 00132 14551

12900 75086 99495 26075 13636

71775 23537 51434 31671 93596

29845 49939 29181 45386 23377

60774 33595 09993 36583 51133

94924 13484 38190 93459 95126

21810 97588 42553 48599 61496

38636 28617 68922 52022 42474

33717 17979 52125 41330 45141

67598 70749 91077 60651 46660

82521 35234 40197 91321 42338

64249 26538 05845 74897 20872

63664 44249 00512 68373 54570

39652 04050 78630 67359 35017

40646 48174 55328 51014 88132

97306 65570 18116 33510 25730

31741 44072 69296 83048 22626

07294 40192 91705 17056 86723

84149 51153 86224 72506 91691

46797 11397 29503 82949 13191

82487 58212 57071 54600 77212

Y

anexo

Números aleatorios

31432 66890 41894 11303 54374

96156 61505 57790 87118 57325

89177 01240 79970 81471 16947

75541 00660 33106 52936 45356

81355 05873 86904 08555 78371

24480 13568 48119 28420 10563

77243 76082 52503 49416 97191

76690 79172 24130 44448 53798

42507 57913 72824 04269 12693

84362 93448 21627 27029 27928

64852 16309 42587 40177 82309

34421 20384 37065 98590 76128

61046 09491 24526 97161 93965

90849 91588 72602 41682 26743

13966 97720 57589 84533 24141

39810 89846 98131 67588 04838

42699 30376 37292 62036 40254

21753 76970 05967 49967 26065

76192 23063 26002 01990 07938

10508 35894 51945 72308 76236

79788 40538 64016 49767 76974

68243 79000 73598 12691 55108

59732 89559 18609 17903 29795

04257 25026 73150 93871 08404

27084 42274 62463 99721 82684

14743 23489 33102 79109 00497

17520 34502 45205 09425 51126

95401 75508 87440 26904 79935

55811 06059 96767 07419 57450

76099 86682 67042 76013 55671

23854 68973 36444 03003 17540

08480 70551 93600 87800 26188

85983 25098 65350 07391 36647

96025 78033 14971 11594 78386

50117 98573 25325 21196 04558

64610 79848 00427 00781 61463

99425 31778 52073 32550 57842

62291 29555 64280 57148 90382

86943 61446 18847 58887 77019

21541 23037 24768 73041 24210

38916 64288 86809 99800 92345

55809 19843 51564 99566 31890

47982 69122 38040 14742 95712

41982 42502 39418 05028 08279

69760 48508 49915 30033 91794

79422 28820 19000 94889 94068

80154 59933 58050 53381 49337

91486 72998 16899 23656 88674

19180 99942 79952 75787 35355

15100 10515 57849 59223 12267

90363 64437 91714 20902 12217

65162 32242 53662 17646 86007

32245 48431 28373 31391 70371

82279 04835 34333 31459 52281

79256 39070 55791 33315 14510

80834 59702 74758 03444 76094

06088 31508 51144 55743 96579

99462 60935 18827 74701 54853

56705 22390 10704 58851 78339

06118 52246 76803 27427 20839

45177 28325 29019 84979 50371

02863 90814 28776 81353 26347

42307 08804 56116 56219 48513

53571 52746 54791 67062 63915

22532 47913 64604 26146 11158

74921 54577 08815 82567 25563

17735 47525 46049 33122 91915

42201 77705 71186 14124 18431

80540 95330 34650 46240 92978

54721 21866 14994 92973 11591

53422 67453 07294 79544 64144

06825 35651 85353 00302 85442

69711 89316 74819 45338 82060

67950 41620 23445 16015 46471

64716 32048 68237 66613 24162

18003 70225 07202 88968 39500

49581 47597 99515 14595 87351

45378 33137 62282 63836 36637

99878 31443 53809 77716 42833

61130 51445 26685 79596 71875

90919 06670 36634 75101 05112

11883 57353 93976 72891 71222

58318 86275 52062 85745 72654

00042 92276 83678 67106 51583

52402 77591 41256 26010 05228

28210 46924 60948 62107 62056

34075 60839 18685 60885 57390

33272 55437 48992 37503 42746

00840 03183 19462 55461 39272

73268 13191 96062 71213 96659

381

Los números aleatorios permiten simular todo tipo de experiencias aleatorias: sorteos, lanzamiento de monedas, dados, extracción de bolas de una urna, rellenar una quiniela, etc. Además, facilitan la obtención de una muestra aleatoria. Veamos un ejemplo sencillo de obtención de una muestra aleatoria simple: Tenemos 40 elementos y queremos extraer 5 aleatoriamente. Para la obtención de la muestra se enumeran los 40 elementos de la siguiente manera: 00, 01, 02, 03, …, 38, 39. Se toma un dígito cualquiera como número inicial de la tabla y se van tomando las cifras siguientes de dos en dos cifras, de izquierda a derecha, de derecha a izquierda, de arriba a abajo, en diagonal, etc. Los números que superen a 40 se rechazan. Procediendo de izquierda a derecha, a partir del primer dígito de la fila 15 de la tabla anterior, se obtienen los números de dos cifras: 71, 62, 87, 31, 30, 78, 78, 37, 56, 91, 41, 63, 20, 98, 47, 61, 54, 71, 87, 07, 85, 48, … Los elementos que componen la muestra son los correspondientes a los números: 31, 30, 37, 20 y 07 Y

Anexo

382

TABLA DE LAS DISTRIBUCIONES BINOMINALES

冢冣

n P (X = r) = ᎏ p r q n – r r n 2

x 0 1 2 3 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,01 0,9801 0,0198 0,0001 0,9703 0,0294 0,0003 0,0000 0,9606 0,0388 0,0006 0,0000 0,0000 0,9510 0,0480 0,0010 0,0000 0,0000 0,0000 0,9415 0,0571 0,0014 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,9321 0,0659 0,0020 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,9227 0,0746 0,0026 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,9135 0,0830 0,0034 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,9044 0,0914 0,0042 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,05 0,9025 0,0950 0,0025 0,8574 0,1354 0,0071 0,0001 0,8145 0,1715 0,0135 0,0005 0,0000 0,7738 0,2036 0,0214 0,0011 0,0000 0,0000 0,7351 0,2321 0,0305 0,0021 0,0001 0,0000 0,0000 0,6983 0,2573 0,0406 0,0036 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,6634 0,2793 0,0515 0,0054 0,0004 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,6302 0,2985 0,0629 0,0077 0,0006 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,5987 0,3151 0,0746 0,0105 0,0010 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,10 0,8100 0,1800 0,0100 0,7290 0,2430 0,0270 0,0010 0,6561 0,2916 0,0486 0,0036 0,0001 0,5905 0,3280 0,0729 0,0081 0,0004 0,0000 0,5314 0,3543 0,0984 0,0146 0,0012 0,0001 0,0000 0,4783 0,3720 0,1240 0,0230 0,0026 0,0002 0,0000 0,0000 0,4305 0,3826 0,1488 0,0331 0,0046 0,0004 0,0000 0,0000 0,0000 0,3874 0,3874 0,1722 0,0446 0,0074 0,0008 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,3487 0,3874 0,1937 0,0574 0,0112 0,0015 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,15 0,7225 0,2550 0,0225 0,6141 0,3251 0,0574 0,0034 0,5220 0,3685 0,0975 0,0115 0,0005 0,4437 0,3915 0,1382 0,0244 0,0022 0,0001 0,3771 0,3993 0,1762 0,0415 0,0055 0,0004 0,0000 0,3206 0,3960 0,2097 0,0617 0,0109 0,0012 0,0001 0,0000 0,2725 0,3847 0,2376 0,0839 0,0185 0,0026 0,0002 0,0000 0,0000 0,2316 0,3679 0,2597 0,1069 0,0283 0,0050 0,0006 0,0000 0,0000 0,0000 0,1969 0,3474 0,2759 0,1298 0,0401 0,0085 0,0012 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000

0,20 0,6400 0,3200 0,0400 0,5120 0,3840 0,0960 0,0080 0,4096 0,4096 0,1536 0,0256 0,0016 0,3277 0,4096 0,2048 0,0512 0,0064 0,0003 0,2621 0,3932 0,2458 0,0819 0,0154 0,0015 0,0001 0,2097 0,3670 0,2753 0,1147 0,0287 0,0043 0,0004 0,0000 0,1678 0,3355 0,2936 0,1468 0,0459 0,0092 0,0011 0,0001 0,0000 0,1342 0,3020 0,3020 0,1762 0,0661 0,0165 0,0028 0,0003 0,0000 0,0000 0,1074 0,2684 0,3020 0,2013 0,0881 0,0264 0,0055 0,0008 0,0001 0,0000 0,0000

0,25 0,5625 0,3750 0,0625 0,4219 0,4219 0,1406 0,0156 0,3164 0,4219 0,2109 0,0469 0,0039 0,2373 0,3955 0,2637 0,0879 0,0146 0,0010 0,1780 0,3560 0,2966 0,1318 0,0330 0,0044 0,0002 0,1335 0,3115 0,3115 0,1730 0,0577 0,0115 0,0013 0,0001 0,1001 0,2670 0,3115 0,2076 0,0865 0,0231 0,0038 0,0004 0,0000 0,0751 0,2253 0,3003 0,2336 0,1168 0,0389 0,0087 0,0012 0,0001 0,0000 0,0563 0,1877 0,2816 0,2503 0,1460 0,0584 0,0162 0,0031 0,0004 0,0000 0,0000

0,30 0,4900 0,4200 0,0900 0,3430 0,4410 0,1890 0,0270 0,2401 0,4116 0,2646 0,0756 0,0081 0,1681 0,3602 0,3087 0,1323 0,0284 0,0024 0,1176 0,3025 0,3241 0,1852 0,0595 0,0102 0,0007 0,0824 0,2471 0,3177 0,2269 0,0972 0,0250 0,0036 0,0002 0,0576 0,1977 0,2965 0,2541 0,1361 0,0467 0,0100 0,0012 0,0001 0,0404 0,1556 0,2668 0,2668 0,1715 0,0735 0,0210 0,0039 0,0004 0,0000 0,0282 0,1211 0,2335 0,2668 0,2001 0,1029 0,0368 0,0090 0,0014 0,0001 0,0000

1/3 0,4444 0,4444 0,1111 0,2963 0,4444 0,2222 0,0370 0,1975 0,3951 0,2963 0,0988 0,0123 0,1317 0,3292 0,3292 0,1646 0,0412 0,0041 0,0878 0,2634 0,3292 0,2195 0,0823 0,0165 0,0014 0,0585 0,2048 0,3073 0,2561 0,1280 0,0384 0,0064 0,0005 0,0390 0,1561 0,2731 0,2731 0,1707 0,0683 0,0171 0,0024 0,0002 0,0260 0,1171 0,2341 0,2731 0,2048 0,1024 0,0341 0,0073 0,0009 0,0001 0,0173 0,0867 0,1951 0,2601 0,2276 0,1366 0,0569 0,0163 0,0030 0,0003 0,0000

0,35 0,4225 0,4550 0,1125 0,2746 0,4436 0,2389 0,0429 0,1785 0,3845 0,3105 0,1115 0,0150 0,1160 0,3124 0,3364 0,1811 0,0488 0,0053 0,0754 0,2437 0,3280 0,2355 0,0951 0,0205 0,0018 0,0490 0,1848 0,2985 0,2679 0,1442 0,0466 0,0084 0,0006 0,0319 0,1373 0,2587 0,2786 0,1875 0,0808 0,0217 0,0033 0,0002 0,0207 0,1004 0,2162 0,2716 0,2194 0,1181 0,0424 0,0098 0,0013 0,0001 0,0135 0,0725 0,1757 0,2522 0,2377 0,1536 0,0689 0,0212 0,0043 0,0005 0,0000

0,40 0,3600 0,4800 0,1600 0,2160 0,4320 0,2880 0,0640 0,1296 0,3456 0,3456 0,1536 0,0256 0,0778 0,2592 0,3456 0,2304 0,0768 0,0102 0,0467 0,1866 0,3110 0,2765 0,1382 0,0369 0,0041 0,0280 0,1306 0,2613 0,2903 0,1935 0,0774 0,0172 0,0016 0,0168 0,0896 0,2090 0,2787 0,2322 0,1239 0,0413 0,0079 0,0007 0,0101 0,0605 0,1612 0,2508 0,2508 0,1672 0,0743 0,0212 0,0035 0,0003 0,0060 0,0403 0,1209 0,2150 0,2508 0,2007 0,1115 0,0425 0,0106 0,0016 0,0001

0,45 0,3025 0,4950 0,2025 0,1664 0,4084 0,3341 0,0911 0,0915 0,2995 0,3675 0,2005 0,0410 0,0503 0,2059 0,3369 0,2757 0,1128 0,0185 0,0277 0,1359 0,2780 0,3032 0,1861 0,0609 0,0083 0,0152 0,0872 0,2140 0,2918 0,2388 0,1172 0,0320 0,0037 0,0084 0,0548 0,1569 0,2568 0,2627 0,1719 0,0703 0,0164 0,0017 0,0046 0,0339 0,1110 0,2119 0,2600 0,2128 0,1160 0,0407 0,0083 0,0008 0,0025 0,0207 0,0763 0,1665 0,2384 0,2340 0,1596 0,0746 0,0229 0,0042 0,0003

0,49 0,2601 0,4998 0,2401 0,1327 0,3823 0,3674 0,1176 0,0677 0,2600 0,3747 0,2400 0,0576 0,0345 0,1657 0,3185 0,3060 0,1470 0,0285 0,0176 0,1014 0,2437 0,3121 0,2249 0,0864 0,0139 0,0090 0,0603 0,1740 0,2786 0,2676 0,1543 0,0494 0,0068 0,0046 0,0352 0,1183 0,2273 0,2730 0,2098 0,1008 0,0277 0,0033 0,0023 0,0202 0,0776 0,1739 0,2506 0,2408 0,1542 0,0635 0,0153 0,0016 0,0012 0,0114 0,0495 0,1267 0,2130 0,2456 0,1966 0,1080 0,0389 0,0083 0,0008

0,50 0,2500 0,5000 0,2500 0,1250 0,3750 0,3750 0,1250 0,0625 0,2500 0,3750 0,2500 0,0625 0,0312 0,1562 0,3125 0,3125 0,1562 0,0312 0,0156 0,0938 0,2344 0,3125 0,2344 0,0938 0,0156 0,0078 0,0547 0,1641 0,2734 0,2734 0,1641 0,0547 0,0078 0,0039 0,0312 0,1094 0,2188 0,2734 0,2188 0,1094 0,0312 0,0039 0,0020 0,0176 0,0703 0,1641 0,2461 0,2461 0,1641 0,0703 0,0176 0,0020 0,0010 0,0098 0,0439 0,1172 0,2051 0,2461 0,2051 0,1172 0,0439 0,0098 0,0010

Y

383

SOLUCIONES DE LAS AUTOEVALUACIONES

ACTIVIDADES UNIDADES 1

2

3

4

5

6

7

8

9

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1

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Z

2B Mates CCSS 2008 Libro

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