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Didáctica de matemáticas Aportes y reflexiones

Cecilia Parra e Irma Saiz (comps.)

Editorial Paidós Educador

Primera edición, 1994 Quinta reimpresión, 1997 Buenos Aires

Este material se utiliza con fines exclusivamente didácticos

ÍNDICE Lista de autores ............................................................................................................................9 Prólogo ......................................................................................................................................11 1. Matemática para no matemáticos , por Luis A. Santaló ............................................................21 2. La didáctica de las matemáticas,   por Grecia Gálvez................................................................39 3.Aprender (por medio de) la resolución de problemas, por   Roland Charnay..............................51 4. Los diferentes roles del maestro, por Guy Brousseau ...............................................................65 5. El sistema de numeración: un problema didáctico , por Delia Lerner y Patricia Sadovsky ........95 6.Dividir con dificultad o la dificultad de dividir, por Irma Saiz ................................................185 7.Cálculo mental en la escuela primaria, por Cecilia Parra.......................................................219 8.La geometría, la psicogénesis de l as nociones es paciales y l a enseñanza de la geometría en la escuela elemental,   por Grecia Gálvez................................................................................273

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CAPÍTULO II. LA DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS 1 Grecia Gálvez Nuestro trabajo se inscribe en una perspectiva teórica que propone el desarrollo de una rama del conocimiento relativamente autónoma, designada como Didáctica de las Matemáticas. Esta propuesta tuvo su origen a raíz de la actividad desplegada, básicamente por matemáticos, en los Institutos de Investigación sobre la Enseñanza de las Matemáticas (IREM) creados en Francia luego de la Reforma Educativa de fines de los años 60, con la que se impuso la enseñanza de la “Mat emática moderna”. Inicialmente, los IREM se dedicaron a complementar la formación matemática de los maestros, incidiendo tanto en el reciclaje de los maestros en servicio como en los programas y la preparación de nuevos maestros, en las escuelas normales. Otro ámbito importante de su actividad fue la producción de materiales de apoyo para el trabajo de los maestros en el aula: texto de matemáticas, fichas de trabajo para los alumno s, juegos y juguetes didáctico s, colecciones de problemas y de ejercicios, secuencias de lecciones, etcétera. La producción de estos materiales solía acompañarse de una experimentación rudimentaria, concebida como prueba de su factibilidad y como antecedente para introducir ajustes mínimos, antes de pro ceder a su difusión dentro del sistema educat ivo, urgentem ente requerida. Las prácticas descritas más arriba han sido rotuladas como “innovación”, término que genera peligrosas confusiones, como lo advierte Chevallard (1982), con los procesos de socialización de adquisiciones científicas y técnicas que tienen lugar en otros campos de la actividad humana. En educación, cualquier transformación de las normas vigentes puede ser catalogada como “innovación”, aun cuando su único aval sea el prestigio social de quien la propone. Chevallard atribuye este fenómeno a la ausencia de una historia en el dominio educativo, de un tiempo endógeno que permita constituir en progresión la simple sucesión cronológica de los hechos, lo que equivale a mencionar la ausencia de tradición en la elaboración científica de la problemática. A partir de la reflexión sobre la validez de las acciones desarrolladas, en los propios IREM fue surgiendo otra clase de actividades, destinadas ya no a la producción de medios para actuar sobre la enseñanza, sino a la producción de conocimientos para controlar y producir tales acciones sobre la enseñanza. Se plantea, en otros términos, la investigación científica de los procesos que tienen lugar en el dominio de la enseñanza escolar de las matemáticas. Uno de los investigadores que han liderado tanto la promoción como el desarrollo de este proyecto ha sido Guy Brousseau, profesor e investigador del IREM de Burdeos. Brousseau propone el estudio de las condiciones en las cuales se constituyen los conocimientos; el control de estas condiciones permitirá reproducir y optimizar los procesos de adquisición escolar de conocimientos. Se parte de la base de que el conocimiento de los fenómenos relativos a la enseñanza de las matemáticas no es un resultado de la simple fusión de conocimientos provenientes de dominios independientes, como son las matemát icas, la psicología y la pedagogía, sino que requiere de investigaciones específicas. Jean Brun (1980) plantea que la idea de aplicar modelos generales de los procesos de aprendizaje o del desarrollo intelectual para organizar ya sea la adquisición de conocimientos matemáticos o la de cualesquiera otros contenidos escolares, indistintamente, conlleva un aislamiento de los modelos psicológicos de la realidad a partir de la cual fueron construidos. Se los traspone a otra realidad, como si fuesen entidades autónomas, asignándoles un funcionamiento ideológico y no científico. En otro texto, el mismo Brun (1981) previniendo sobre la aplicación deductiva de una teoría psicológica a la educación, afirma:

  No se trata de una mera precaución, sino que es el centro del problema, dado que la enseñanza de las matemáticas se ha mostrado particularmente sensible a la confusión de niveles, a menudo provocada por una concepción estructuralista en la que las matemáticas y la psicología aparecen mezcladas. 1

Capítulo 1 de la tesis de doctorado “ El aprendizaje de la orientación en el espacio urbano. Una proposición para la enseñanza de la geometría en la escuela primaria”, presentada por la autora para obtener el grado de doctor en Ciencias en la Especialidad de Educación en el Departamento de Innovaciones Educativas del Centro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional, México, en 1985. El director de Tesis fue el profesor Guy Brousseau. La bibliografí a correspondiente a este capítulo se incluye en el capítulo 8 “La geometría, la psicogénesis de las nociones espacial es y la enseñanza de la geometría en la escu ela element al”, de la misma autora.

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Por otra parte, la investigación de los fenómenos relativos a la enseñanza de las matemáticas tampoco puede reducirse a la observación y análisis de los procesos que tienen lugar cotidianamente en las aulas, puest o que su objet ivo es la determinación de las condiciones en las que se produce la apropiación del saber por los alumnos, y para esto necesita ejercer un cierto grado de control sobre ellas, lo que implica que el investigador debe participar en la producción (o diseño) de las situaciones didácticas que analiza. De aquí  la necesidad de constit uir mont ajes experimentales o, en la terminología de Chevallard (1982), de desarrollar una “ingeniería didáctica” subordinada a la investigación, en Didáctica de las Matemáticas:

El control de nuestro conocimiento del fenómeno pasa por el proyecto de su producción, y esta p roducción compromete nuestra teoría del fenómeno en una técnica de su producción. El objeto de estudio de la Didáct ica de Mat emáticas es la situación didáctica, definida por Brousseau (1982b) como

Un conjunto de relaciones establecidas explícita y/o implícitamente entre un alumno o un grupo de alumnos, un cierto medio (que comprende eventualmente instrumentos u objetos) y un sistema educativo (representado por el profesor) con la finalidad de lograr que estos alumnos se apropien de un saber constituido o en vía s de constitución. Estas relaciones se est ablecen a través de una negociación entre maestro y alumnos cuyo resultado ha sido designado como contrato didáctico. Este contrato, con componentes explícitos e implícitos, define las reglas de funcionamiento dentro de la situación: distribución de responsabilidades, asignación de plazos temporales a diferentes actividades, permiso o prohibición del uso de determinados recursos de acción, etcétera. La presencia de un contexto escolar no es esencial en la definición de una situación didáct ica; lo que sí es esencial es su carácter intencional, el haber sido construida con el propósito explícito de que alguien aprenda algo. El objetivo fundamental de la Didáctica de las Matemáticas es averiguar cómo funcionan las situaciones didácticas, es decir, cuáles de las características de cada situación resultan determinantes para la evolución del comportamiento de los alumnos y, subsecuentemente, de sus conocimientos. Esto no significa que sólo interese analizar las situaciones didácticas exitosas. Incluso si una situación didáctica fracasa en su propósito de enseñar algo, su análisis puede constituir un aporte a la Didáctica, si permite identificar los aspectos de la situación que resultaron det erminantes de su fracaso. Siendo las situaciones didácticas el objeto de estudio de la Didáctica de las Matemáticas ha sido necesario desarrollar una metodología para analizarlas. Es frecuente que los investigadores que han llegado a la experimentación educativa con una formación previa en psicología diseñen situaciones didácticas, las pongan a prueba en una o varias aulas, y luego centren su interés en los comportamientos manifestados por los alumnos, dentro de la situación experimental. No intentan explicar estos comportamientos, o su evolución, en función de las características particulares de la situación en la que se produjeron. Ignoran si, variando algunas con diciones de la situación, volverían a aparecer los mismos comportamientos. Para Brousseau, en cambio, un momento fundamental de la investigación en Didáctica lo constituye el análisis a priori de la situación. El investigador en Didáctica debe ser capaz de prever los efectos de la situación que ha elaborado, antes de ponerla a prueba en el aula; sólo posteriormente podrá contrastar sus previsiones con los comportamientos observados. Para analizar las situaciones didácticas, Brousseau las modeliza, utilizando elementos de la teoría de los juegos y de la teoría de la información. Para una situación didáctica determinada se identifica un estado inicial y el conjunto de los diversos estados posibles, entre los que se encuentra el estado final que corresponde a la solución del problema involucrado en la situación. Se explicitan las reglas que permiten pasar de un estado a otro. La situación es descrita, entonces, en términos de las decisiones que los jugadores (alumnos) pueden tomar en cada momento y de las diferentes estrategias que pueden adoptar para llegar al estado final. Otro aspecto que facilita el análisis de las situaciones didácticas es su clasificación. Brousseau distingue, entre las situaciones que él produce para su estudio experimental, cuatro tipos, cuya secuencia, en los procesos didáct icos que organiza, es la siguiente:

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1. Las situaciones de acción, en las que se genera una interacción entre los alumnos y el medio físico. Los alumnos deben tomar las decisiones que hagan falta para organizar su actividad de resolución del problema planteado. 2. Las situaciones de formulación, cuyo objetivo es la comunicación de informaciones, entre alumnos. Para esto deben modificar el lenguaje que utilizan habitualmente, precisándolo y adecuándolo a las informaciones que deben comunicar. 3. Las situaciones de validación, en las que se t rata de convencer a uno o varios interlocutores de la validez de las afirmaciones que se hacen. En este caso, los alumnos deben elaborar pruebas para demostrar sus afirmaciones. No basta la comprobación empírica de que lo que dicen es cierto; hay que explicar que, necesariament e, debe ser así. 4. Las situaciones de institucionalización, destinadas a establecer convenciones sociales. En estas situaciones se intenta que el conjunto de alumnos de una clase asuma la significación socialmente establecida de un saber que ha sido elaborado por ellos en situaciones de acción, de formulación y de validación. Una parte importante del análisis de una situación didáctica lo constituye la identificación de las variables didácticas y el estudio, tanto teórico como experimental, de sus efectos. Lo que interesa son los intervalos de valores de estas variables que resultan determinantes para la aparición del conocimiento que la situación didáctica pretende enseñar. Se trata de precisar las condiciones de las que depende que sea ése el conocimiento que interviene y no otro. Entre las variables que intervienen en una situación hay algunas, denominadas variables de comando, que pueden ser manipuladas por el maestro para hacer evolucionar los comportamientos de los alumnos. Su identificación resulta particularmente importante. Artigue (1984) destaca el rol de la manipulación de variables en Didáctica, en relación con el estudio del desarrollo psicogenético del niño:

Para el especialista en didáctica, determinar cómo el uso de variables de comando de la situación puede provocar, en la clase, cambios de estrategia, cómo se podría controlar en el seno de un proceso, por la manipulación de estos comandos, una génesis escolar del concepto, aparece como mucho más importante que tratar de precisar en sus menores detalles las etapas del desarrollo  psicogenético. El análisis de una situación didáctica pasa por su comparación con otras situaciones didácticas, obtenidas mediante transformaciones de la primera. Por ejemplo, el esfuerzo de modelización de una situación didáctica est á subordinado al propósito de ident ificar los elementos que podrían variarse para lograr efectos didácticos diferentes de los que se obtendrían con la situación original. Se constituye así toda una familia de situaciones didácticas, relativas al conocimiento específico que se quiere enseñar, en la hipótesis de que cada una de ellas hará funcionar dicho conocimiento bajo una modalidad diferente. Se postula que entre est as situaciones existe una, a la que se designa como sit uación fundament al, que es capaz de engendrar a todas las demás, a través de la asignación de diversos rangos de variación o valores particulares a las variables que la caracterizan. Una situación es fundamental, respecto del conocimiento que interesa enseñar, cuando es posible, mediante el juego de las variables presentes en ella, hacerla coincidir con cualquier situación en la cual intervenga ese conocimiento. Como ya ha sido señalado, la finalidad de la Didáctica de las Matemáticas es el conocimiento de los fenómenos y procesos relativos a la enseñanza de las matemáticas para controlarlos y, a través de este control, optimizar el apren dizaje de los alumnos. No se plantea, de ninguna manera, promover a priori un cierto tipo de pedagogía, por razones ideológicas, sin el aval de los resultados experimentales correspondientes. Sin embargo, las situaciones didáct icas diseñadas y somet idas a experimentación o bedecen a ciertas características en función de los presupuestos epist emológicos subyacentes a su producción. En efecto, se considera que todo conocimiento es una respuest a, una adaptación que la h umanidad ha logrado ante situaciones que ha enfrentado o ante problemas que se ha planteado. Los conocimientos, que han surgido en contextos funcionales, como útiles o instrumentos para la adaptación, son transformados post eriorment e con el propósito de relacionarlos con otros conocimientos, de conservarlos y de transmit irlos, adoptando la modalidad de objetos culturales. Un saber cultural que se encuentre desligado de su génesis, constituye un producto descontextualizado y despersonalizado. Es a partir de esta modalidad que los conocimientos ingresan en los programas escolares. La forma como los sistemas educativos organizan la enseñanza de los temas incluidos en los programas escolares implica una determinada concepción de los procesos de adquisición de los 5

conocimientos. Hasta la fecha ha predominado una concepción según la cual basta con descomponer un saber, en su modalidad cultural, en pequeños trocitos aislados, y luego organizar su ingestión por los alumnos, en perío dos breves y bien delimitados, según secuencias det erminadas sobre la base del análisis del propio saber. Esta manera de organizar la enseñanza no atribuye importancia al contexto específico (situación) donde los conocimientos son adquiridos, ni a su significación y valor funcional, durante su adquisición. Brousseau ha mostrado la importancia de la situación para la actualización y funcionalización de los conocimientos escolares. Por ejemplo, hay niños que, al inicio de la escuela primaria, saben contar hasta determinado número y que, sin embargo, son incapaces de utilizar este conocimiento para constituir una colección de objetos equipotente a una colección dada, bajo una consigna del tipo: “Ve al fondo del salón a buscar las tapas que hagan falta par a t apar todas est as botellas” (de Villegas, 1983). Estos niños saben asignar un término de una serie ordenada a cada objeto de una colección, sin repetir ni omitir ninguno: poseen un saber cultural del cómputo numérico. No obstante, no han aprendido a utilizar este saber como medio para controlar una sit uación o para resolver un problema (no lo han funcionalizado). Brousseau plantea que es preciso diseñar situaciones didácticas que hagan funcionar el saber, a partir de los saberes definidos culturalment e en los programas escolares. Este planteamiento se apoya en la tesis de que el sujeto que aprende necesita construir por sí mismo sus conocimientos mediante un proceso adapt ativo (Piaget, 1975) similar al que realizaron los productores originales de los conocimientos que se quiere enseñar. Se trata, entonces, de producir una génesis artificial de los conocimientos, de que los alumnos aprendan haciendo funcionar el saber o, más bien, de que el saber aparezca, para el alumno, como un medio de seleccionar, anticipar, ejecutar y controlar las estrategias que aplica a la resolución del problema planteado por la situación didáctica. Peres (1982) caracteriza esta génesis artificial de la siguiente manera:

El camino que hemos seguido consiste en construir un proceso de aprendizaje en el que el conocimiento no es ni directa ni indirectamente enseñado por el maestro, sino que debe aparecer    progresivamente en el niño a partir de múltiples condicionantes estructurales: es el resultado de confrontaciones con cierto tipo de obstáculos encontrados durante la actividad. Son las múltiples interacciones en el seno de la situación las que deben provocar las modificaciones en el alumno y  favorecer la aparición de los conceptos deseados... Si el conocimiento que se quiere que los alumnos aprendan debe aparecer en la exacta medida en que llega a ser un instrumento necesario para adaptarse a una situación problemática (las estrategias utilizadas espontáneamente se revelan ineficaces), todo el esfuerzo del análisis en didáctica debe concentrarse en esta situación. El énfasis en la interacción sujeto-situación corresponde a una primera etapa de los trabajos realizados o dirigidos por Brousseau, a la experimentación de situaciones cuasiaisladas, en las que los alumnos se enfrentan a una situación problemática mientras que el maestro prácticamente no interviene. Las características principales de estas situaciones son: •

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Los alumnos se responsabilizan de la organización de su actividad para tratar de resolver el problema propuesto, es decir, formulan proyectos p ersonales. La actividad de los alumnos está orientada hacia la obtención de un resultado preciso, previamente explicitado y que puede ser identificado fácilmente por los propios alumnos. Los alumnos deben anticipar y luego verificar los resultados de su act ividad. La resolución del problema planteado implica la toma de múltiples decisiones por parte de los alumnos, y la posibilidad de conocer directamente las consecuencias de sus decisiones a fin de modificarlas, para adecuarlas al logro del objetivo perseguido. Es decir, se permite que los alumnos intenten resolver el problema varias veces.

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Los alumnos pueden recurrir a diferentes estrategias para resolver el problema planteado, estrategias que corresponden a diversos puntos de vista sobre el p roblema. Es indispensable que, en el momento de plantear el problema, los alumnos dispongan al menos de una estrategia (estrategia de base) para que puedan comprender la consigna y comenzar su actividad de búsqueda de la solución.

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La manipulación de las variables de comando permite modificar las situaciones didácticas bloqueando el uso de algunas estrategias y generando condiciones para la aparición y estabilización de otras (subyacentes al conocimient o que se quiere enseñar).

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Los alumnos establecen relaciones sociales diversas: comunicaciones, debates o negociaciones con otros alumnos y con el maestro, etcétera.

En síntesis, se trata de enfrentar a los alumnos a una situación que evolucione de tal manera que el conocimiento que se quiere que aprendan sea el único medio eficaz para controlar dicha situación. La situación proporciona la significación del conocimiento para el alumno, en la medida en que lo convierte en un instrumento de control de los resultados de su actividad. El alumno construye, así, un conocimiento contextualizado, a diferencia de la secuenciación escolar habitual, donde la búsqueda de aplicaciones de los conocimientos sucede a su presentación, descontextualizada. Un ejemplo de situación didáctica diseñada por Brousseau (1981) con las características que acabamos de enumerar es el siguiente:

Consigna: “Este es el dibujo de un rompecabezas con algunas medidas de sus partes. Hay que fabricar un rompecabezas que sea igual a éste pero más grande, de manera que un lado que en este rompecabezas mide 3 cent ímetros, en el ot ro mida 5 centímetros”. La consigna es fácilmente comprendida por niños del último grado de primaria y pone en juego, en primera instancia, la estrategia de base que consiste en agregar 2 centímetros (puesto que 3 + 2 = 5) a cada uno de los lados de las figuras que componen el rompecabezas dado. El fracaso de esta estrategia constituye una gran sorpresa para los niños. Vuelven a insistir en ella, procurando efectuar las medidas con mayor precisión. Hasta que caen en la cuenta de que deben buscar otra estrategia, cuyo desarrollo contribuirá a la construcción del concepto de número racional (puesto que 3 x 5 / 3 = 5). Una variable de comando de esta situación es la relación numérica entre los t amaños de los rompecabezas. Si se pide que aument en el lado de 3 centímetros a 6 centímetros gran parte de los alumnos recurrirá a un modelo multiplicativo (3 x 2 = 6) en vez del modelo aditivo que emplearon en el caso anterior (3 + 3 = 6), debido a que, en este caso, el factor descon ocido es un número entero. Pensamos que la breve caracterización que hemos hecho de las situaciones didácticas cuasiaisladas es suficiente para dar una idea de su complejidad. Est e tipo de situaciones no se encuentra frecuent emente al observar clases organizadas de una manera tradicional, en las que el maestro provoca, recibe, corrige e interpreta todas las respuestas significativas de cada uno de los alumnos. Se justifica, pues, el trabajo del investigador en Didáctica, de producción e implementación experimental de las situaciones didácticas que necesita estudiar. Una consecuencia directa de lo anterior es la dificultad para proponer a los maestros las situaciones utilizadas en la experimentación didáctica. La identificación y reproducción de una situación didáctica específica, diferenciándola de otros miembros de su misma familia, requiere de un alto grado de comprensión de las condiciones variables que ejercen influencia sobre el saber producido. La gestión de estas situaciones, por parte del maestro que con duce las clases experimentales, es difícil, en la medida en que implica el abandono de prácticas fuertemente arraigadas en su quehacer cotidiano. Se ha observado, por 7

ejemplo, que cuando un maestro conduce una misma situación didáctica durante varios años sucesivos, su gestión empeora debido a que realiza cambios sutiles en la situación para reproducir la historia de los comportamientos de los alumnos, obstaculizando así el curso natural de los procesos intelectuales subyacentes a estos comportamientos. Este fenómeno ha sido descrito con el término “obsolescencia”. Ultimamente se ha probado el recurrir a una microcomputadora para presentar una situación didáctica a los alumnos, con el propósit o de facilitar la reproduct ibilidad de la situación. Un comentario que nos parece conveniente hacer se refiere a la difusión de los resultados de la Didáctica de las Matemáticas entre los maestros. Puesto que el est udio de las sit uaciones didácticas tiene por finalidad conocer y controlar los fenómenos relativos a la enseñanza de las matemáticas, es la comunicación de sus resultados lo que permitirá al maestro de base una mayor comprensión de su práctica laboral y un incremento de su control. Sin embargo, es un hecho que la difusión pasa también por el intento de repetir las situaciones didácticas que han sido construidas con fines experimentales. Cabe aquí aludir a la distinción entre la experimentación de laboratorio, en física, y la innovación de los procesos productivos, en la industria. Nadie osaría criticar, en la actualidad, un diseño experimental realizado en un laboratorio, argumentando que eso no se puede llevar a la práctica en la industria. 2 En cambio, es frecuente pensar que todo lo que se hace en un salón de clases con carácter experimental debe poder repetirse en un “aula cualquiera”. Nuestro punto de vista al respecto es impulsar la réplica de las situaciones “broussonianas” en condiciones lo más controladas po sibles y utilizarlas como modelo para fomentar la reflexión de los maestros sobre las condiciones que influyen en el aprendizaje de los alumnos. Evidentemente, estas situaciones coexistirán, durante un largo tiempo con otras, organizadas de una manera tradicional, que posibilitarán el cumplimiento de programas y normas instituidas oficialmente en el sistema educativo, independientemente de los juicios sobre su eficacia que podamo s emitir, desde una perspectiva técnica.

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Hace un par de siglos, no obstante, los trabajos de Newton sobre la descomposición de la luz fueron criticados por su elevado costo, ya que requerían de espacios muy amplios. Se afirmó que Newton hacía “ física para ricos”.

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