299004 Modulo Procesamiento Senales Digitales

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA PROGRAMA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA

299004 – PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES FAIBER ROBAYO BETANCOURT Director Nacional

ALFREDO LÓPEZ RENDÓN Acreditador

NEIVA Enero de 2013

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ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO El presente módulo es actualizado en el año 2013 por el Ing. Faiber Robayo Betancourt, tutor de la UNAD, y ubicado en el CCAV de Neiva. El Ing. Robayo es Ingeniero Electrónico, y Magister en Ingeniería de Control Industrial, se ha desempeñado como tutor de la UNAD desde el 2005. El presente módulo tiene su primera actualización este año por parte del ingeniero Robayo quien se desempeña actualmente como director del cuso a nivel nacional. La primera versión fue realizada por la ingeniera Indira Cassaleth Garrido y se llamó “Procesamiento de Señales Digitales”.

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INTRODUCCIÓN El curso de Procesamiento Digital de Señales es de tipo teórico y es ofrecido dentro del portafolio de cursos para el programa de ingeniería electrónica de la Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD. Tiene como objetivo principal dotar al estudiante de los conocimientos necesarios para el diseño y la implementación de filtros digitales de características frecuenciales específicas; todo esto a través de la estrategia de educación abierta y a distancia. El procesamiento digital de señales es una disciplina que abarca la representación, transformación y manipulación de señales y de la información que contienen. En este curso se presenta una introducción a las técnicas computacionales y herramientas básicas para el análisis y diseño de sistemas de procesamiento digital de señales, haciendo énfasis en los filtros selectivos en frecuencia. El curso es complementado con simulaciones prácticas para la exploración a fondo de los conceptos analizados en la parte teórica. El curso tiene 3 créditos académicos, los cuales comprenden el estudio independiente y el acompañamiento tutorial, con de abordar las unidades didácticas: Unidad 1: Señales y sistemas discretos Unidad 2: Diseño de Filtros Digitales Unidad 3: Aplicaciones de Filtros digitales La metodología a seguir será bajo la estrategia de educación a distancia. Por tal razón, será importante planificar los procesos de: • Estudio Independiente: este se desarrollará a través del trabajo personal y del trabajo en pequeños grupos colaborativos de aprendizaje. • Acompañamiento tutorial: corresponde al acompañamiento que el tutor realiza al estudiante para potenciar el aprendizaje y la formación. Este acompañamiento se puede adelantar de forma individual, en pequeños grupos o a nivel de grupo de curso. La evaluación del curso se define como cualitativa - participativa, y mide la calidad de los procesos y productos de aprendizaje. Se evidencia desde las formas de:

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• Autoevaluación: evaluación que realiza el estudiante para valorar su propio proceso de aprendizaje. • Coevaluación: se realiza a través de los grupos colaborativos, y pretende la socialización de los resultados del trabajo personal. • Heteroevaluación: Es la valoración que realiza el tutor del proceso de aprendizaje. Para el desarrollo del curso es importante el papel que juegan los recursos didácticos y tecnológicos como medio activo e interactivo, buscando la interlocución durante todo el proceso de diálogo tutor-estudiante. Se tienen diferentes opciones y tecnologías, las cuáles deben ser empleadas de la mejor forma de acuerdo al espacio, y a los objetivos propuestos en cada curso. Algunas de las más empleadas, son: • Materiales virtuales: Son el soporte fundamental para el curso y para favorecer los procesos de aprendizaje auto-dirigido. Estos contenidos serán publicados en la plataforma virtual de la UNAD. • Sitios Web: propician el acercamiento al conocimiento, la interacción y la producción de nuevas dinámicas educativas. • Sistemas de interactividades sincrónicas: permite la comunicación a través de encuentros presénciales directos o de encuentros mediados (Chat, audio conferencias, videoconferencias, tutorías telefónicas). • Sistemas de interactividades asincrónicas: permite la comunicación en forma diferida favoreciendo la disposición del tiempo del estudiante para su proceso de aprendizaje (correo electrónico, foros, grupos de discusión, entre otros).

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INDICE DE CONTENIDO UNIDAD 1 SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS ............................................................................ 11 INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................... 12 CAPITULO 1: INTRODUCCIÓN AL PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES………………………………... 13 Lección 1: SISTEMAS DSP ................................................................................................................. 13 Proceso de conversión de análogo a digital (ADC)............................................................................ 14 Teorema del muestreo ...................................................................................................................... 14 Lección 2: SEÑALES EN TIEMPO DISCRETO ...................................................................................... 19 Señales elementales en tiempo discreto .......................................................................................... 21 Lección 3: SISTEMAS LTI ................................................................................................................... 24 Lección 4: PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS DISCRETOS .................................................................. 25 Lección 5: RESPUESTA IMPULSO ...................................................................................................... 29 CAPITULO 2: TRANSFORMADA DE FOURIER………………………………………….………………………………... 32 Lección 6: SERIES DE FOURIER ......................................................................................................... 32 Series de Fourier para señales periódicas ......................................................................................... 32 Series de Fourier para señales discretas periódicas ......................................................................... 33 Lección 7: TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER........................................................................ 36 Introducción ...................................................................................................................................... 36 Lección 8: PROPIEDADES DE LA DFT ................................................................................................ 38 Linealidad .......................................................................................................................................... 38 Periodicidad....................................................................................................................................... 38 Simetría ............................................................................................................................................. 38 Lección 9: CORRELACIÓN DE SEÑALES EN TIEMPO DISCRETO ......................................................... 39 Introducción ...................................................................................................................................... 39 Correlación ........................................................................................................................................ 39 Lección 10: CORRELACIÓN CON AYUDA COMPUTACIONAL ............................................................ 47 CAPITULO 3: TRANSFORMADA Z……………….………………………………………….………………………………... 50 Lección 11: TRANSFORMADA Z BILATERAL DIRECTA ....................................................................... 50 Lección 12: PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z BILATERAL .................................................... 53 Linealidad .......................................................................................................................................... 53 Desplazamiento en el tiempo ........................................................................................................... 55 Escalado en el dominio Z ................................................................................................................... 55 Conjugación ...................................................................................................................................... 56 Inversión temporal ........................................................................................................................... 57 Lección 13: TRANSFORMADA Z INVERSA ......................................................................................... 58 Definición ......................................................................................................................................... 58 Lección 14: TRANSFORMADA Z UNILATERAL, DEFINICIÓN Y PROPIEDADES ................................... 60 Retardo temporal .............................................................................................................................. 61 Adelanto temporal ............................................................................................................................ 61 Teorema del valor final ..................................................................................................................... 62 Lección 15: RESPUESTA NATURAL Y FORZADA ................................................................................ 64

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ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD 1 ............................................................. 66 FUENTES DOCUMENTALES DE LA UNIDAD 1 ............................................................................ 67

UNIDAD 2 DISEÑO DE FILTROS DIGITALES ................................................................................ 68 INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................... 69 CAPITULO 4: DISEÑO DE FILTROS DIGITALES…………………………………………………………………………... 70 Lección 16: CONSIDERACIONES GENERALES .................................................................................... 70 Lección 17: CAUSALIDAD Y SUS IMPLICACIONES .............................................................................. 71 Lección 18: TEOREMA DE PALEY WIENER ......................................................................................... 72 Lección 19: RELACIÓN ENTRE PARTE REAL E IMAGINARIA DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA....... 74 Lección 20: CARACTERÍSTICAS DE FILTROS PRÁCTICOS .................................................................... 76 CAPITULO 5: FILTROS DIGITALES IIR…………..…………………………………………………………………………... 77 Lección 21: TERMINOLOGÍA Y CLASIFICACIÓN................................................................................. 77 Polos y ceros...................................................................................................................................... 79 Diseño de filtros IIR ........................................................................................................................... 79 Lección 22: DISEÑO DE FILTROS IIR .................................................................................................. 80 Diseño de filtros IIR mediante la transformación bilineal ................................................................. 80 Lección 23: DISEÑO DE FILTROS IIR CON MATLAB ........................................................................... 86 Filtro Butterworth ............................................................................................................................. 86 Lección 24: FILTRO CHEBYSHEV ....................................................................................................... 90 Lección 25: FILTROS ELÍPTICOS ........................................................................................................ 95 Requerimientos y especificaciones de filtrado ................................................................................. 97 CAPITULO 6: FILTROS FIR………………….………..…………………………………………………………………………... 99 Lección 26: FILTROS DE RESPUESTA INFINITA.................................................................................. 99 Estructura .......................................................................................................................................... 99 Diseño de filtros FIR ........................................................................................................................ 100 Lección 27: FUNCIONES PARA REALIZAR FIR.................................................................................. 101 La función FIR1 ................................................................................................................................ 101 La función FIR2 ................................................................................................................................ 101 Lección 28: ANÁLISIS DE FIR CON HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES ...................................... 103 Lección 29: ANÁLISIS DE RECHAZABANDA FIR ............................................................................... 107 Lección 30: COMANDOS PARA GENERAR FILTROS MEDIANTE VENTANAS ................................... 111 ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD 2 ............................................................112 FUENTES DOCUMENTALES DE LA UNIDAD 2 ...........................................................................113

UNIDAD 3 APLICACIONES DE FILTROS DIGITALES ....................................................................114 INTRODUCCIÓN .....................................................................................................................115 CAPITULO 7: DISEÑO Y APLICACIONES DE FILTROS…………………………………………………………….... 116 Lección 31: ESPECIFICACIONES DE DISEÑO .................................................................................... 116 Lección 32: ELECCIÓN DE LA APROXIMACIÓN ............................................................................... 118 Lección 33: REALIZACIÓN ............................................................................................................... 120 Lección 34: EFECTOS DE LA LONGITUD DE LA PALABRA FINITA .................................................... 122 Lección 35: IMPLEMENTACIÓN ...................................................................................................... 126

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CAPITULO 8: PROCESAMIENTO DE IMÁGENES…………………………………………………………………….... 127 Lección 36: MODELO DE IMAGEN SIMPLE ..................................................................................... 127 Etapas fundamentales en procesamiento de imágenes ................................................................. 128 Lección 37: TEORÍA DE HERING ...................................................................................................... 132 Lección 38: TRANSFORMACIONES ................................................................................................. 135 Transformaciones geométricas ....................................................................................................... 135 Transformación del histograma ...................................................................................................... 135 Filtrado espacial y frecuencial ......................................................................................................... 135 Lección 39: CÁLCULO DE CARACTERÍSTICAS .................................................................................. 138 Centroide ......................................................................................................................................... 139 Lección 40: ANÁLISIS DE IMAGEN USANDO MEDIOS COMPUTACIONALES ................................... 140

CAPITULO 9: PROCESAMIENTO DIGITAL DE AUDIO…………………………………………………………….... 144 Lección 41: EFECTOS QUE UTILIZAN RETARDOS ............................................................................ 144 Naturaleza del eco y la reverberación ............................................................................................ 144 Reverberación y eco digitales ......................................................................................................... 145 Flanger y phaser .............................................................................................................................. 146 La realimentación o el feedback ..................................................................................................... 146 El chorus .......................................................................................................................................... 147 Lección 42: PROCESADORES DE RANGO DINÁMICO ...................................................................... 148 Los compresores y los limitadores .................................................................................................. 149 Los expansores ................................................................................................................................ 149 La distorsión .................................................................................................................................... 149 Lección 43: LOS FILTROS................................................................................................................. 150 Espectro de una señal ..................................................................................................................... 150 Lección 44: ECUALIZACIÓN Y APLICACIONES DEL FILTRADO ......................................................... 153 Implementación de filtros en los editores de audio ....................................................................... 153 Aplicaciones de filtrado digital ........................................................................................................ 153 Lección 45: ANÁLISIS DE AUDIO USANDO MEDIOS COMPUTACIONALES ..................................... 155 ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD 3 ............................................................159 FUENTES DOCUMENTALES DE LA UNIDAD 3 ...........................................................................160

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LISTADO DE TABLAS Tabla 3.1 Transformada z bilateral de algunas funciones comunes ................................................. 54 Tabla 7.1 Comparación Filtros digitales .......................................................................................... 119

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LISTADO DE GRÁFICOS Y FIGURAS

Figura 1.1 Sistema DSP ...................................................................................................................... 13 Figura 1.2 Sistema DSP completo...................................................................................................... 13 Figura 1.3 Diagrama de bloques del proceso de conversión análogo a digital ................................. 14 Figura 1.4 Muestreo de una señal análoga ....................................................................................... 15 Figura 1.5 Tren de pulsos .................................................................................................................. 15 Figura 1.6 Espectro de la señal antes del muestreo ......................................................................... 17 Figura 1.7 Espectro de la señal después del muestreo ..................................................................... 17 Figura 1.8 Espectro con aliasing de una señal muestreada .............................................................. 18 Figura 1.9 Espectro resultante con la frecuencia mínima de muestreo ........................................... 18 Figura 1.10 Función impulso unitario................................................................................................ 21 Figura 1.11 Función escalón unitario ................................................................................................ 22 Figura 1.12 Función rampa unitaria .................................................................................................. 23 Figura 1.13 Señal sinusoidal .............................................................................................................. 24 Figura 1.14 Sistemas LTI .................................................................................................................... 25 Figura 1.15 Efecto tiempo invariante Sistemas LTI ........................................................................... 25 Figura 1.16 Principio de superposición ............................................................................................. 25 Figura 1.17 Diagrama de bloques de un sistema discreto ................................................................ 26 Figura 1.18 Representación gráfica de un retardador ...................................................................... 26 Figura 1.19 Representación gráfica de un retardador 2 ................................................................... 26 Figura 1.20 Representación gráfica de un adelantador .................................................................... 27 Figura 1.21 Diagrama de un multiplicador ........................................................................................ 27 Figura 1.22 Diagrama de un modulador ........................................................................................... 27 Figura 1.23 Diagrama de bloques de una ecuación discreta ............................................................ 28 Figura 1.24 Gráfica de la función x(n) = {2, 3, 0,1} ............................................................................ 30 Figura 1.25 a) Función impulso unitario, b) Respuesta al impulso, h (k) ......................................... 31 Figura 1.26 a) -1), b) Respuesta al impulso, h (k-1)............................ 31 Figura 2.1 Señales para correlacionar x(n), y(n)................................................................................ 41 Figura 2.2 Correlacionar r xy (0) ....................................................................................................... 42 Figura 2.3 Señales para autocorrelacionar x(n), x1(n) ...................................................................... 45 Figura 2.4 Función autocorrelación r xx ........................................................................................... 46 Figura 3.1 Representación gráfica de la ROC para r suficientemente pequeños.............................. 52 Figura 3.2 Propiedades de la Transformada Z bilateral .................................................................... 53 Figura 4.1 Características generales de un filtro pasabajas .............................................................. 76 Figura 5.1 Estructura de un filtro IIR ................................................................................................. 78 Figura 5.2 Relación entre la frecuencia en el plano s y el plano z en la transformación bilineal ..... 82 Figura 5.3 Respuesta en frecuencia del filtro análogo del ejemplo .................................................. 84 Figura 5.4 Respuesta en frecuencia del filtro digital del ejemplo ..................................................... 85 Figura 5.5 Respuesta filtro Butter pasaalta segundo orden ............................................................. 87 Figura 5.6 Respuesta filtro Butter pasaalta orden 10 ....................................................................... 88 Figura 5.7 Respuesta filtro Butter pasabanda orden 4 ..................................................................... 89

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Figura 5.8 Respuesta filtro Butter rechazabanda orden 4 ................................................................ 90 Figura 5.9 Respuesta filtro Cheby tipo I ............................................................................................ 92 Figura 5.10 Respuesta filtro Cheby tipo II orden 9............................................................................ 93 Figura 5.11 Respuesta impulso filtro Cheby tipo II orden 5 .............................................................. 94 Figura 5.12 Respuesta filtro elíptico pasabajo orden 6..................................................................... 95 Figura 5.13 Respuesta impulso filtro elíptico pasabajo orden 6 ....................................................... 96 Figura 5.14 Respuesta filtro elíptico pasaalto orden 12 ................................................................... 97 Figura 5.15 Respuesta impulso filtro elíptico pasaalto orden 12...................................................... 97 Figura 6.1 Estructura de un filtro FIR ............................................................................................. 100 Figura 6.2 Respuesta filtro FIR1 pasabajo orden 4.......................................................................... 103 Figura 6.3 Respuesta filtro FIR1 pasabajo orden 6.......................................................................... 104 Figura 6.4 Respuesta filtro FIR1 pasabajo orden 10........................................................................ 104 Figura 6.5 Respuesta filtro FIR1 pasaalto orden 4 .......................................................................... 105 Figura 6.6 Respuesta filtro FIR1 pasaalto orden 6 .......................................................................... 105 Figura 6.7 Respuesta filtro FIR1 pasaalto orden 10 ........................................................................ 106 Figura 6.8 Respuesta filtro FIR1 rechazabanda orden 6 ................................................................. 107 Figura 6.9 Respuesta filtro FIR1 rechazabanda orden 30, Hamming .............................................. 108 Figura 6.10 Respuesta filtro FIR1 rechazabanda orden 30, Boxcar................................................. 108 Figura 6.11 Respuesta filtro FIR1 rechazabanda orden 30, Barlett ................................................ 109 Figura 6.12 Respuesta filtro FIR1 rechazabanda orden 30, Chebwin ............................................. 109 Figura 6.13 Comparación respuestas filtros FIR .............................................................................. 110 Figura 7.1 Bandas de tolerancia del filtro ....................................................................................... 117 Figura 7.2 Comparación de los patrones de polos y ceros de una implementación en forma directa I (a) y en secciones de segundo orden, cada una de ellas en forma directa (b) ......................................................................................................................................................... 121 Figura 7.3 Respuesta en frecuencia del filtro del Ejemplo implementado con una estructura tipo forma directa II. (-) filtro prototipo; (- -) filtro con coeficientes cuantizados. ................................ 123 Figura 7.4 Respuesta en frecuencia del filtro del Ejemplo implementado con una cascada de dos bloques de segundo orden. ( - ) filtro prototipo; (- -) filtro con coeficientes cuantizados.. 124 Figura 8.1 Valores del pixel ............................................................................................................. 128 Figura 8.2 Etapas del procesamiento de imágenes......................................................................... 129 Figura 8.3 Imagen binaria y filtros................................................................................................... 131 Figura 8.4 Diagrama de cromaticidad ............................................................................................. 133 Figura 8.5 Ilustración del comportamiento de las celdas detectoras ante la presencia de colores oponentes ....................................................................................................................................... 134 Figura 8.6 Histograma bimodal ....................................................................................................... 136 Figura 8.7 Histograma aproximadamente bimodal ........................................................................ 137 Figura 8.8 (a) Una región (S) y su deficiencia convexa (sombreada); (b) contorno dividido ............................................................................................................................................ 140 Figura 8.9 Imagen original ............................................................................................................... 141 Figura 8.10 Valores de pixeles en RGB de la imagen ...................................................................... 142 Figura 8.11 Planos para los diferentes colores ............................................................................... 143 Figura 8.12 Contribución de planos ................................................................................................ 144 Figura 9.1 Funciones de transferencia y sus efectos....................................................................... 148 Figura 9.2 Ejemplos de filtrado con la evolución temporal del espectro de frecuencias, su aspecto en el instante t=0 y el sonido resultante .................................................. 152 Figura 9.3 Ejemplo de procesamiento digital de audio................................................................... 158

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UNIDAD 1

Nombre de la Unidad

Introducción

Justificación

SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS La Unidad 1 trata en primer lugar, los aspectos introductorios y la terminología referente al procesamiento digital de señales; en segundo lugar, introduce y refuerza el manejo matemático necesario como lo es la transformada de Fourier y la transformada Z. Dada la importancia que tiene el manejo de las señales en todos los ámbitos de la electrónica, el procesamiento digital de señales se vuelve una necesidad para poder comprenderlas y manejarlas a través de sus bases matemáticas, como son las transformadas de Fourier y la Transformada Z.

Entenderá la diferencia entre señales continuas y discretas, Intencionalidades comprenderá la relación entre la Transformada de Fourier y la Transformada Z, así mismo podrá escribir una señal dada en Formativas una ecuación en diferencias que la produce y podrá obtener las señales que produce una ecuación en diferencias dada. Denominación de • Capítulo 1: Introducción al Procesamiento Digital de Señales Capítulos • Capítulo 2: Transformada de Fourier • Capítulo 3: Transformada Z

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INTRODUCCIÓN

La Ingeniería electrónica se define como la rama de la ciencia que se encarga de la transmisión de información por medio de señales eléctricas. El uso de tales señales se debe fundamentalmente a la velocidad con la que viajan (cercana a la de la luz) y a la facilidad con la que pueden ser manipuladas. Los procesos de análisis y síntesis pueden realizarse en dos ambientes diferentes: ·

ANALOGO: La señal existe (O sea tiene importancia) en todos los instantes de tiempo y tiene infinitos posibles valores dentro de un rango determinado (Rango dinámico de la señal). El sistema se construye exclusivamente de hardware (Activo y pasivo) y maneja infinitos posibles estados (ASP), para realizar operaciones sobre la señal tales como el filtrado, la amplificación, la modulación, etc.

·

DIGITAL: La señal existe (O tiene importancia) sólo en momentos discretos del tiempo y tiene un número finito de valores dentro de un rango determinado. El sistema es una mezcla de hardware y software digital con interfaces análogas con el mundo real (DSP), que realizan operaciones de cálculo y lógicas para extraer información de una señal digital o modificarla.

En algunos casos los sistemas son híbridos en el sentido de que a pesar de que manejan señales digitales utilizan una representación análoga de esas señales para su transmisión, por ejemplo con el uso de señales sinusoidales de diferentes frecuencias (FSK) o fases (PSK). La tendencia en este momento va en la dirección de realizar todas las operaciones que antes se hacían en ASP, y otras nuevas, con dispositivos o sistemas DSP, debido a las ventajas que presentan estos últimos.

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CAPITULO 1: INTRODUCCIÓN AL PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES

Lección 1: SISTEMAS DSP

Un procesador DSP (Ya sea un procesador de propósito general o especializado más software) requiere a su entrada una señal digital o sea discreta en el tiempo (que sólo exista en instantes discretos del tiempo) y discreta en amplitud (solo tiene un número finito de niveles), denotada por x(n) y produce a la salida, luego de procesada una señal que es también de naturaleza discreta. Tal procesador de DSP ”puro” no está en capacidad de procesar señales provenientes de fenómenos del mundo real, las cuales son esencialmente análogas porque están definidos en todo instante del tiempo y tienen un continuo de amplitudes en cualquier intervalo finito.

Figura 1.1 Sistema DSP

Se requiere, entonces, que hayan interfaces entre el mundo real y el DSP que conviertan las señales análogas en discretas (Dispositivos ADC) y viceversa (Dispositivos DAC), tal como se muestra en la figura 1.2; aunque en algunos casos es posible que no se necesiten uno o ambos procesos.

Figura 1.2 Sistema DSP completo

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PROCESO DE CONVERSION DE ANALOGO A DIGITAL (ADC)

En este caso el sistema ADC toma una señal análoga proveniente de algún fenómeno físico y entrega una discreta o digital al sistema DSP. De manera teórica, el proceso de conversión ADC requiere de cuatro pasos como se muestra en la figura 1.3.

Figura 1.3 Diagrama de bloques del proceso de conversión análogo a digital.

La idea fundamental es que en este proceso se conserve la información de la señal de entrada; la herramienta que permite predecir que en efecto esto se da se llama el teorema del muestreo el cual se enuncia a continuación.

TEOREMA DEL MUESTREO “Una señal de banda limitada a B Hz (Es decir sin contenido espectral apreciable por encima de esta frecuencia) puede determinarse de manera unívoca a partir de sus muestras tomadas a intervalos no mayores a Ts = 1/ 2B s”. Esto significa que para que no haya pérdida de la información contenida en la señal se deben tomar muestras a una rata mayor a fs = 2B muestras/s.

En la figura 1.4 se muestran la señal análoga y sus respectivas muestras.

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Figura 1.4 Muestreo de una señal análoga

El proceso de muestreo puede verse como el producto de la señal por un tren periódico de pulsos como el que se muestra a continuación en la figura 1.5:

Figura 1.5 Tren de pulsos

Esta señal puede representarse por medio de una serie de Fourier así:

Con:

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Y,

La señal muestreada estará dada, entonces, por la siguiente expresión:

Se debe recordar que el espectro de x(t) está dado por:

Y el espectro de xs (t) por:

Intercambiando el orden de la integral y la sumatoria se tiene:

La última integral representa a

o sea el espectro de la señal

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desplazado alrededor de la frecuencia de muestreo Fs = 1/Ts y sus infinitos armónicos. De esta manera:

Si el espectro original de x(t) tiene la forma mostrada en la figura 1.6,

Figura 1.6 Espectro de la señal antes del muestreo

La forma del espectro de la señal resultante, luego del muestreo, será como se muestra en la figura 1.7:

Figura 1.7 Espectro de la señal después del muestreo

Se observa que, en este caso, se puede recuperar el espectro de la señal original (Y por tanto la señal) usando un filtrado pasabajos ideal que elimine los componentes espectrales que aparecieron en el muestreo, dado que no hubo

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superposición de estos con el original porque se escogió adecuadamente la frecuencia de muestreo Fs. Si la frecuencia de muestreo no hubiese sido escogida adecuadamente, el espectro resultante pudiera haber quedado como se muestra en la figura 1.8:

Figura 1.8 Espectro con aliasing de una señal muestreada

En este caso es imposible recuperar el espectro original por medio del filtrado pasabajos ya que se produjo lo que se denomina “aliasing” o solapamiento en la frecuencia. La frecuencia mínima de muestreo hará que las distintas componentes espectrales queden juntas como se muestra en la figura 1.9:

Figura 1.9 Espectro resultante con la frecuencia mínima de muestreo

Esta frecuencia mínima se puede calcular así:

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Esto nos indica que la frecuencia mínima de muestreo (Frecuencia de Nyquist) será:

Por ejemplo, en telefonía se limita en banda a 3.4 KHz y se utiliza una rata de muestreo de 8000 muestras/s, lo que da una banda de guarda de 1200 Hz. En la práctica siempre ocurrirá aliasing debido a que las señales nunca son de banda limitada y también a que siempre hay ruido presente, el cual tiene un gran ancho de banda. La idea es mantener el aliasing tan bajo como sea posible y también reducir la rata de muestreo al mínimo para bajar las exigencias de velocidad al conversor análogo digital y del procesador, y disminuir las exigencias de ancho de banda del sistema, lo cual se logra filtrando la señal antes del muestreo.

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Lección 2: SEÑALES EN TIEMPO DISCRETO Las señales en tiempo discreto pueden originarse de dos maneras: 1. Tomando muestras de una señal análoga y luego cuantificándola.

2. Acumulando una variable a lo largo de un determinado período de tiempo. (Ver figura 1.7, página 10 del libro de Proakis).

En ambos casos se genera una secuencia de números en función de la variable independiente n (número de muestra) el cual es el equivalente discreto del tiempo. La señal x(n) puede representarse de varias maneras: · Representación funcional:

· Representación tabular:

· Representación como secuencia:

En este caso la flecha ( ) indica el origen de coordenadas (Es decir, n = 0).

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SEÑALES ELEMENTALES EN TIEMPO DISCRETO · Impulso

unitario:

Figura 1.10 Función impulso unitario

La figura 1.10 se puede obtener en Matlab empleando una función como la del ejemplo M2:

Ejemplo M2: function x=impulse(long,k) %La señal x generada por esta función es un impulso de longitud long %y desplazado k unidades de tiempo. if k y = conv(x,h) o Hace la convolución de los vectores x y h. El vector resultante y tiene un tamaño igual a length(x)+length(h)-1



>> rxy = xcorr(x,y) o Hace la correlación de los vectores de M elementos x e y. Devuelve un vector de 2M-1 elementos.



>> rxx = xcorr(x) o Hace la autocorrelación del vector x de M elementos. Devuelve un vector de 2M-1 elementos.

El comando “xcorr” calcula la secuencia de correlación cruzada de un proceso aleatorio. Autocorrelación se trata como un caso especial. La verdadera correlación cruzada secuencia es

donde xn y yn son procesos aleatorios conjuntamente estacionarios, - ∞ < n < ∞ y E {·} es el operador valor esperado. xcorr debe estimar la secuencia, ya que, en la práctica, sólo un segmento finito de una realización del proceso aleatorio de longitud infinita está disponible. c = xcorr (x, y) devuelve la secuencia de correlación cruzada en una longitud de 2 * N-1 vector, donde x e y son vectores de longitud N (N> 1). Si x e y no tienen la misma longitud, el vector más corto es rellenado con ceros a la longitud del vector más largo. Por defecto, xcorr calcula las correlaciones primas sin normalización.

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El vector de salida c tiene elementos propuestos por c (m) = Rxy (m-N), m = 1, ..., 2N-1. En general, la función de correlación requiere la normalización para producir una estimación precisa (véase más adelante). c = xcorr (x) es la secuencia de autocorrelación para el vector x. Si x es una matriz N por P, C es una matriz con 2N-1 filas cuyos P2 columnas contienen las secuencias de correlación cruzada para todas las combinaciones de las columnas de xcorr produce correlaciones idénticamente igual a 1,0 en cero lag sólo cuando se realiza una autocorrelación y sólo cuando se establece el "coeficiente" opción. Por ejemplo, x=0:0.01:10; X = sin(x); [r,lags]=xcorr(X,'coeff'); max(r) c = xcorr (x, y, 'option') especifica una opción de normalización para la correlación cruzada, donde 'opción' es

 'biased': Biased estimate of the cross-correlation function

 'unbiased': Unbiased estimate of the cross-correlation function

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 'coeff': Normalizes the sequence so the autocorrelations at zero lag are identically 1.0.

Ejemplos

La primera aplicación de la autocorrelación de una señal es determinar las posibles repeticiones de patrones en la señal. Para comprobar este punto se va a generar una sinusoide de frecuencia igual a 100 Hz con amplitud uno y muestreada a 1 kHz (consideremos una secuencia de 100 puntos). Determine la autocorrelación de esta señal normalizada a uno y represéntela junto a la secuencia.

El programa en Matlab que implementa lo que nos piden es: %Generación de la señal n = 0:99; x = cos (2*pi*n*0.1); %Cálculo de la autocorrelación normalizada y = xcorr(x,'coeff'); %Representación de las dos señales subplot(221), stem(x,'k'), title('(a)') subplot(222), plot(x,'k'), title('(b)') subplot(223), stem(y,'k'),title('(c)') subplot(224), plot(y,'k'), title('(d)')

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CAPITULO 3: TRANSFORMADA Z

Lección 11: TRANSFORMADA Z BILATERAL DIRECTA La transformada z es a los sistemas en tiempo discreto lo que la transformada de Laplace es a los sistemas en tiempo continuo. Ambas representan herramientas para el análisis de ciertas propiedades de las señales, que en el dominio del tiempo sólo pueden ser evaluadas con mayor dificultad: la convolución es transformada otra vez en un producto, y las ecuaciones de diferencias, que son el equivalente discreto de las ecuaciones diferenciales, pueden ser solucionadas de forma más sencilla en el dominio de la frecuencia compleja que en el dominio del tiempo discreto. Tómese ahora la representación transformada de Laplace es

de

una

señal

muestreada,

su

Si se define z = esT y considerando que x(n) = xa (nT) se obtiene

que es la definición de la transformada z bilateral para la secuencia discreta x(n), que considera tanto valores positivos como negativos de n. La relación entre la secuencia discreta x(n) y su representación X(z) en el dominio z se denota como:

Como la transformada z es una serie infinita de potencias, ésta existe solo para los valores de z en que la serie converge. La región de convergencia (ROC, región of convergence) de X (z) es entonces el conjunto de valores de z para los que X (z) es finita.

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Nótese que la sustitución de variable z = esT puede interpretarse como un mapeo conforme del plano al plano complejo z. Debido a que

entonces una línea vertical en el plano s, para la cual es constante, es transformada en un círculo de radio . Se deduce que una banda vertical entre es transformada en un anillo delimitado por un círculo interno de radio y un círculo externo de radio . Puesto que X (z) corresponde a una transformada de Laplace cuya ROC es alguna banda vertical en el plano s, se concluye que las regiones de convergencia de la transformada z equivalen a anillos (de posible extensión infinita) en el plano z. Si la señal es derecha, entonces la ROC sería según lo anterior el exterior de un círculo. Si la señal es izquierda, sería el interior de un círculo. Al igual que con la transformada bilateral de Laplace, cuando se haga referencia a la transformada z de una señal discreta x(n) debe también incluirse su ROC. Ejemplo: Calcule la transformada z de:

Solución:

La ROC de señales finitas es todo el plano z excepto z = 0 y/o z =

Ejemplo: Determine la transformada z de:

.

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Solución:

Si se expresa z en su forma polar

, con r = |z| y

entonces:

Dentro de la ROC de X (z), |X (z)| < 1, por lo que:

es decir, si x(n)r−n es absolutamente sumable entonces |X(z)| es finita. Para encontrar la ROC se debe entonces encontrar el rango de valores de r para los que la secuencia x(n)r−n es absolutamente sumable. Ahora bien, la ecuación anterior puede reescribirse como:

y ambas sumatorias deben converger si |X(z)| ha de ser finito. Para la primera suma deben existir valores de r suficientemente pequeños para que x(−n)rn sea absolutamente sumable (r < r1) como se aprecia en la siguiente figura.

Figura 3.1 Representación gráfica de la ROC para r suficientemente pequeños

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Lección 12: PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z BILATERAL Linealidad Si

, entonces

Figura 3.2 Propiedades de la Transformada Z bilateral

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Tabla 3.1 Transformada z bilateral de algunas funciones comunes Ejemplo: Determine la transformada z de x(n) = [3(2n) − 4(3n)] u(n). Solución: Si x1(n) = 2nu(n) y x2(n) = 3nu(n), entonces x(n) = 3x1(n) − 4x2(n) Se conoce que:

con lo que se obtiene:

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y la transformada de x(n) es:

Nótese que la ROC final debe ser al menos la intersección de las dos ROC individuales. Desplazamiento en el tiempo

La ROC de z−kX(z) es la misma de X(z) excepto z = 0 si k > 0 y z = 1 si k < 0. Esto se demuestra fácilmente con un cambio de variable del índice de la suma:

y con m = n − k

Ya que el coeficiente de z−n es el valor de la muestra en el instante n, se aprecia que retrasar una señal en k muestras (k > 0) es equivalente a multiplicar todos los términos de la transformada z por z−k. Escalado en el dominio z

Ejemplo: Determine la transformada z de la señal Solución: Con la identidad de Euler se obtiene primero que:

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y con transformación:

se obtiene con

y la linealidad de la

Por lo que

Conjugación Si x(n) tiene como transformada z a X (z) con ROC R entonces

Esto se demuestra utilizando las propiedades de conjugación:

De lo anterior se deduce que si x(n) es real, entonces , lo que implica que si X(z) tiene un polo o cero en z = z0, también lo tendrá en . En otras palabras, los polos y ceros aparecen como pares complejos conjugados en

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la transformada z de secuencias reales x(n). Obsérvese que la relación para funciones reales indica que si se hace un corte paralelo al eje Im{z} de la superficie correspondiente a |X(z)|, entonces la función en ese corte presenta simetría par. Por otro lado, la fase tiene un comportamiento impar en los cortes paralelos al eje Im{z}.

Inversión temporal

Demostración:

Ejemplo: Determine la transformada z de u(−n). Solución: Puesto que

Entonces

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Lección 13: TRANSFORMADA Z INVERSA Definición El procedimiento de encontrar la señal en el dominio del tiempo correspondiente a la expresión algebraica en el dominio z para una determinada región de convergencia se denomina transformada z inversa. Utilizando el teorema integral de Cauchy y la fórmula integral de Cauchy se demuestra que se cumple:

para un contorno de integración C que rodea al origen. A partir de la definición de la transformada z para una señal de variable discreta x(k)

se obtiene multiplicando ambos lados por zn−1, e integrando en un contorno cerrado que contiene al origen, y que está dentro de la ROC:

Como la serie converge dentro de C, la integral y la sumatoria pueden ser intercambiadas:

que con el resultado anterior sólo es diferente de cero para k = n, es decir:

Ejemplo: Encuentre la transformada z inversa de la expresión

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si se sabe que la señal correspondiente es causal.

Solución: Aplicando las ecuaciones obtenidas se tiene

Como C debe estar dentro de la ROC, y la señal es causal, entonces se escoge una circunferencia de radio mayor que Para n > 0 se tiene un cero de orden n en z = 0, o ningún cero cuando n = 0, y en ambos casos hay un polo en En estos casos se puede aplicar la fórmula integral de Cauchy para obtener directamente

Para n < 0 la función f(z) tiene un polo de orden n en z = 0, que también está dentro de C, por lo que dos polos z1 = 0 y z2 = a contribuyen al valor de la integral. Con n = −1:

Con n = −2:

Esto se puede repetir para todo n < −2 resultando en x(n) = 0. Por tanto, resumiendo ambos casos en una ecuación se obtiene: x(n) = an u(n)

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Lección 14: TRANSFORMADA Z UNILATERAL, DEFINICIÓN Y PROPIEDADES La transformada z unilateral se define como:

y la relación se denota como La transformada z unilateral y la bilateral se diferencian en el límite inferior de la sumatoria, y presenta por lo tanto las siguientes características: 1. No contiene información sobre la señal x(n) para los valores negativos de n. 2. Es única sólo para señales causales, puesto que éstas son las únicas señales que son cero para n < 0. 3. Puesto que x(n)u(n) es causal, la ROC de su transformada X(z) es siempre exterior a un círculo. Por lo tanto, cuando se trate con transformada z unilateral, no es necesario referirse a su región de convergencia. Ejemplo: Determine la transformada z unilateral de:

Nótese que la transformada z unilateral no es única para señales con componentes anticausales diferentes (por ejemplo X2(z) = X3(z), aun cuando Para señales anticausales, X(z) siempre será cero.

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Las propiedades de esta transformada son similares a las de la transformada z bilateral, pero el desplazamiento merece especial atención.

Retardo temporal Si

, entonces

para k > 0. Si x(n) es causal entonces x(n − k) = z−kX(z). Demostración:

Nótese que si se desplaza x(n) hacia la derecha entonces aparecen k nuevas muestras que deben considerarse. Adelanto temporal Si

, entonces

para k > 0. Demostración:

Nótese que si la señal se desplaza a la izquierda, entonces k muestras de la transformada X(z) deben desaparecer.

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Ejemplo: Calcule la transformada z unilateral de: 1. x(n) = an. 2. x2(n) = x(n − 2). 3. x3(n) = x(n + 2). Solución: 1. Se cumple 2.

3.

La propiedad de desplazamiento de la transformada z unilateral se utiliza en la solución de ecuaciones de diferencias con coeficientes constantes y condiciones iniciales no nulas.

Teorema del valor final Se tiene que:

y además:

con lo que se tiene:

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con lo que se deduce:

y aplicando el límite cuando z tiende a 1 a ambos lados se obtiene: lo que se conoce como teorema del valor final. En la demostración se ha asumido que la ROC de (z − 1) X(z) incluye a |z| = 1. Este teorema se utiliza para calcular el valor asintótico de la señal x(n) cuando n tiende a infinito, si se conoce X(z) pero no x(n). Ejemplo: Determine la respuesta del sistema con respuesta impulsional h(n) = anu(n), |a| < 1, ante un escalón unitario, cuando Solución: La salida del sistema ante la entrada dada se calcula en el dominio z como:

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Lección 15: RESPUESTA NATURAL Y FORZADA Las propiedades de desplazamiento en el tiempo de la transformada z unilateral permiten evaluar el comportamiento de un sistema cuando las condiciones iniciales no son nulas. En general, si se asume que el sistema está en reposo, es decir, si se asume que todas las condiciones iniciales del sistema son nulas, entonces la respuesta y(n) del sistema ante la entrada causal x(n) se conoce como respuesta forzada del sistema. Si por otro lado la entrada x(n) es nula, pero el sistema tiene condiciones iniciales no nulas, entonces a la reacción del sistema a partir de la muestra cero y(n) se le conoce como respuesta natural del sistema. La respuesta total del sistema es entonces aquella conformada por las respuestas natural y forzada. El siguiente ejemplo ilustra estos conceptos. Ejemplo: Un sistema LTI en tiempo discreto está descrito por la ecuación de diferencias:

Encuentre la respuesta natural del sistema ante las condiciones iniciales y (−1) = 0 y y (−2) = −4, y la respuesta forzada del sistema ante un escalón unitario. Solución: Aplicando la transformada z unilateral, sus propiedades de retraso en el tiempo, y considerando que la entrada x(n) es causal, se cumple:

Obsérvese que ambas componentes, la natural y la forzada, comparten los mismos polos, y determinan así la forma de las señales en cuanto a atenuación/amplificación exponenciales y la frecuencia de las componentes

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oscilatorias. Los ceros serán responsables de la fase y amplitud de las señales resultantes. La respuesta natural del sistema se obtiene haciendo X (z) = 0:

y con las condiciones iniciales dadas

y por lo tanto

La respuesta forzada ante un escalón unitario estará dada por la transformada z inversa de

El cero en 1 se cancela con el polo en el mismo sitio. El lector puede demostrar por descomposición en fracciones parciales que: expresión se puede reescribir como:

que corresponde a la señal

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ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD 1 1. Mencione las principales ventajas y desventajas de los sistemas DSP. 2. ¿Qué es el Teorema del muestreo? Proponga un ejemplo. 3. Proponga un código en un lenguaje de programación adecuada para generar una señal impulso unitario. 4. ¿Qué es un sistema LTI? 5. ¿Cuáles son las propiedades de los sistemas discretos? 6. Proponga un ejercicio de aplicación donde se muestre la respuesta impulso. 7. ¿Para qué se utilizan las Series de Fourier en este curso? 8. Mencione las propiedades de la DFT. 9. ¿En qué campos de la ciencia se puede aplicar la correlación cruzada? 10. ¿Qué es la Transformada Z? muestre su importancia en el Procesamiento Digital de Señales

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FUENTES DOCUMENTALES DE LA UNIDAD 1 DOCUMENTOS IMPRESOS D. K. LINDNER. Introduction to Signals and Systems, McGraw Hill, 1999. F. J. TAYLOR. Principles of Signals and Systems. McGraw Hill, 1a Ed. 1994 MITRA, S. Procesamiento de Señales Digitales. McGraw-Hill, 2007. M. S. RODEN. Analog and Digital Communication Systems. Prentice Hall, 4a Ed. 1996 OPPENHEIM, A. y SCHAFER, R. Tratamiento de señales en tiempo discreto. Madrid: Prentice Hall – Pearson Education, 2000. PROAKIS, J. G. y MANOLAKIS, D.G.Tratamiento Digital de Señales. Principios, algoritmos y aplicaciones. España: Prentice Hall., 2000. SOLIMAN, S. S. y SRINATHMS, D. Señales y Sistemas Continuos y Discretos. España: Prentice Hall, 1999.

DIRECCIONES DE SITIOS WEB Procesamiento Digital de Señales con Matlab http://es.scribd.com/doc/46935329/PROCESAMIENTO-DIGITAL-DESENALES-CON-MATLAB http://www.iit.upcomillas.es/palacios/dip/

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UNIDAD 2

DISEÑO DE FILTROS DIGITALES

Nombre de la Unidad

Introducción

Justificación

La Unidad 2 trata en primer lugar, las consideraciones generales al diseño de filtros digitales, las características de los filtros, así como los conceptos básicos y el diseño de Filtros IIR y FIR. Al finalizar cada capítulo se presentar ejemplos de desarrollo de estos filtros mediante medios computacionales. La tendencia actual es la migración de la tecnología analógica a la digital, en nuestro caso el filtrado digital ofrece varias ventajas con respecto a los filtrados analógicos: 



El ancho de banda de un filtro digital está limitado por la frecuencia de muestreo, mientras que en un filtro analógico, este parámetro depende de las características de los componentes físicos.

Se pueden implementar tanto en software como en hardware. El estudiante asimilará los aspectos fundamentales en el Intencionalidades diseño de filtros digitales, conocerá las bases teóricas para el diseño de filtros IIR y FIR, aplicará el uso de herramientas Formativas computacionales para el diseño de filtros digitales. Denominación de • Capítulo 4: Diseño de filtros digitales Capítulos • Capítulo 5: Filtros digitales IIR • Capítulo 6: Filtros FIR

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INTRODUCCIÓN

El filtro digital se emplea en el procesado de señales para la eliminación de las partes no deseadas de la misma, las cuales pueden ser la disminución de ruido o la eliminación de alguna frecuencia determinada. Los filtros pueden ser analógicos o digitales. En los filtros analógicos se emplean componentes discretos tales como condensadores, resistencias, condensadores, amplificadores operacionales, etc. Un filtro digital emplea un procesador digital que efectúa operaciones matemáticas en valores muestreados. En general el proceso de filtrado consiste en el muestreo digital de la señal de entrada, el procesamiento considerando el valor actual de entrada y considerando las entradas anteriores. El último paso es la reconstrucción de la señal de salida. En general la mecánica del procesamiento es:  Tomar las muestras actuales y algunas muestras anteriores (que previamente habían sido almacenadas) para multiplicadas por unos coeficientes definidos.  También se podría tomar valores de la salida en instantes pasados y multiplicarlos por otros coeficientes.  Finalmente todos los resultados de todas estas multiplicaciones son sumados, dando una salida para el instante actual.

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CAPITULO 4: DISEÑO DE FILTROS DIGITALES

Lección 16: CONSIDERACIONES GENERALES

Para proceder al diseño de un filtro digital se realizan los siguientes pasos:  Se especifica la característica deseada en el dominio de la frecuencia.  Se elige el tipo de filtro (FIR o IIR) dependiendo de la naturaleza del problema y de las características en frecuencia deseadas: Filtros FIR Se usan donde se desea desfase lineal con la frecuencia, Sin embargo si no es esto lo que se desea, entonces se puede usar un FIR o un IIR. Filtros IIR Este tipo de filtros tiene lóbulos laterales menores en la banda de rechazo que los FIR y se prefieren porque involucran menos parámetros, menos memoria y menor complejidad computacional.  Se determinan los coeficientes del filtro que aproximan las especificaciones de respuesta en frecuencia.  Se escoge la estructura adecuada que tenga en cuenta lo siguiente:    

Efectos de cuantificación (Longitud finita de palabra). Complejidad computacional. Requisitos de memoria. Tipo de aritmética.

En los apartes que siguen se muestra por qué un filtro ideal, a pesar de tener una respuesta en frecuencia deseable no puede realizarse físicamente.

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Lección 17: CAUSALIDAD Y SUS IMPLICACIONES

Sea un filtro ideal pasabajo con una respuesta en frecuencia dada por:

Su correspondiente respuesta al impulso está dada por:

Este filtro es no causal y por tanto no realizable, además requiere infinitos coeficientes y posiciones de memoria. A continuación, basados en el teorema de Paley-Wiener se plantean las condiciones necesarias y suficientes para que una respuesta en frecuencia dada H (w) produzca un filtro causal.

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Lección 18: TEOREMA DE PALEY WIENER Si h(n) tiene energía finita y h(n) = 0 para n < 0, entonces:

Recíprocamente, si H (w) es cuadráticamente integrable y si la integral previa es finita, entonces se puede asociar a H (w) una respuesta en fase q (w) tal que el filtro con respuesta en frecuencia:

es causal. De este teorema se puede concluir que H (w) puede ser cero en algunas frecuencias pero no en un intervalo de frecuencias y también que cualquier filtro ideal es no causal. Por otro lado se puede probar que hay una fuerte dependencia entre H R (w) y HI (w) o de manera equivalente, entre la magnitud y la fase y por lo tantos éstas no se pueden especificar independientemente. Sea:

De tal manera que si h(n) es causal:

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Pero,

Luego,

Entonces:

Además,

Como ho (0) = 0 no se puede recuperar h (0) de ho (n) y por tanto se debe conocer también h (0). De lo anterior se concluye que ho(n) = he(n) para n ≥ 1 o sea, hay una fuerte relación entre ho (n) y he (n). Si h(n) es absolutamente sumable, existe la correspondiente respuesta en frecuencia dada por: H(w ) = HR (w ) + jHI (w ) Si se supone que h(n) es real y causal, se tiene que:

Y por lo tanto, puesto que h(n) está completamente especificado por h e (n), entonces H (w) se determina completamente por HR (w) o, de igual forma, H (w) se especifica completamente por HI (w) y h (0), en conclusión, HR (w) y HI (w) o la magnitud y la fase de H (w) no se pueden especificar independientemente si el sistema es causal.

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Lección 19: RELACIÓN ENTRE PARTE REAL E IMAGINARIA DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA

A continuación se muestra la relación entre la parte real e imaginaria de la respuesta en frecuencia de un sistema con h(n) real, causal y absolutamente sumable:

En donde,

Remplazando en la ecuación para H (w) se tiene:

la cual se denomina Transformada de Hilbert Discreta de HR (w). En resumen: · H(w) no puede ser cero, excepto en un conjunto finito de frecuencias. · Las componentes HR (w) y HI (w) no son independientes. · La magnitud y la fase de H(w) no se pueden elegir arbitrariamente. · La magnitud de H(w) no puede ser constante en ningún rango finito de frecuencias. · La transición de la banda de paso a la banda de rechazo no puede ser infinitamente abrupta.

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Las dos últimas conclusiones se deben al fenómeno de Gibbs porque se debe recortar la respuesta al impulso para lograr causalidad. En los métodos de diseño de filtros que se propondrán posteriormente se trabajará sobre sistemas LTI especificados por la ecuación:

que son causales y físicamente realizables y que tienen una respuesta en frecuencia dada por:

El problema del diseño consiste en seleccionar los {ak} y {bk} tal que se aproxime la respuesta en frecuencia H(w ) deseada.

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Lección 20: CARACTERÍSTICAS DE FILTROS PRÁCTICOS Las características de un filtro ideal son deseables pero no son absolutamente necesarias y se pueden aproximar tanto como se desee. Normalmente se tolera un pequeño rizado en la banda de paso y un valor pequeño distinto de cero en la de rechazo, como se muestra en la figura 4.1.

Figura 4.1 Características generales de un filtro pasabajas

En esta figura: 

El rizado en la banda de paso es decibelios,



La anchura de banda es

 

La banda de transición está dada por El rizado en la banda de rechazo es decibelios.

o expresado en

expresado en

En el proceso de diseño se especifican:    

El máximo rizado tolerable en la banda de paso: . El máximo rizado tolerable en la banda de rechazo: La frecuencia de corte: La frecuencia de rechazo:

.

Por último se calculan los {ak} y {bk} en H(w) que mejor aproximen estas especificaciones, lo cual depende del criterio usado en la selección de los coeficientes así como de su número (M, N).

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CAPITULO 5: FILTROS DIGITALES IIR

Lección 21: TERMINOLOGÍA Y CLASIFICACIÓN

Hay varios tipos de filtros así como distintas clasificaciones para estos filtros: De acuerdo con la parte del espectro que dejan pasar y que atenúan hay: • Filtros pasa alto. • Filtros pasa bajo. • Filtros pasa banda. · Banda eliminada. · Multibanda. · Pasa todo. · Resonador. · Oscilador. · Filtro peine (Comb filter). · Filtro ranura o filtro rechaza banda (Notch filter). ·

De acuerdo con su orden:  

Primer orden Segundo orden, etc.

De acuerdo con el tipo de respuesta ante entrada unitaria:   

FIR (Finite Impulse Response) IIR (Infinite Impulse Response) TIIR (Truncated Infinite Impulse Response)

De acuerdo con la estructura con que se implementa:   

Laticce Varios en cascada Varios en paralelo

En el presente curso nos centraremos en los filtros de acuerdo con el tipo de respuesta ante la entrada unitaria o impulso unitario. IIR es una sigla en inglés que representa Infinite Impulse Response o Respuesta infinita al impulso. Se trata de un tipo de filtros digitales en el que, como su nombre

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indica, si la entrada es una señal impulso, la salida tendrá un número infinito de términos no nulos, es decir, nunca vuelve al reposo. La salida de los filtros IIR depende de las entradas actuales y pasadas, y además de las salidas en instantes anteriores. Esto se consigue mediante el uso de realimentación de la salida.

Donde a y b son los coeficientes del filtro. El orden es el máximo entre los valores de M y N. Aplicando la transformada Z a la expresión anterior:

Hay numerosas formas de implementar los filtros IIR. La estructura afecta a las características finales que presentará el filtro como la estabilidad. Otros parámetros a tener en cuenta a la hora de elegir una estructura es el gasto computacional que presenta. En la figura 5.1 se representa el modelo de una estructura de un filtro IIR.

Figura 5.1 Estructura de un filtro IIR

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Polos y ceros Este tipo de filtros presenta polos y ceros que determinan la estabilidad y la causalidad del sistema. Cuando todos los ceros están en el interior de la circunferencia unidad se dice que es fase mínima. Si todos están en el exterior es fase máxima. Si algún polo está fuera de la circunferencia unidad el sistema es inestable. Diseño de filtros IIR Las formas habituales de diseñar este tipo de filtros son:  Indirecta (a partir de prototipos analógicos) · Impulso invariante · Aproximación de derivadas · Transformación bilineal ·

 Directa · · ·

Aproximación de Padé Aproximación de mínimos cuadrados Características

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Lección 22: DISEÑO DE FILTROS IIR DISEÑO DE FILTROS IIR MEDIANTE LA TRANSFORMACIÓN BILINEAL Existen diversos métodos, tales como: A partir de filtros analógicos, mediante la aproximación en derivadas, mediante invarianza impulsional, sin embargo, los métodos anteriores sólo permiten diseñar filtros pasabajos y una clase restringida de filtros pasabanda; la solución a estas limitaciones la ofrece la transformación bilineal mapeando el eje jΩ en la circunferencia unidad en el plano z sólo una vez, con lo cual se evita el aliasing en frecuencia; esta transformación está relacionada con la fórmula trapezoidal utilizada para integración numérica y se explicará con el siguiente ejemplo:

El filtro analógico con una función de transferencia dada por:

Está caracterizado en el tiempo por una relación entrada-salida dada por la ecuación diferencial:

Si se integra la derivada se tiene:

La aproximación de esta integral mediante la fórmula trapezoidal en t = nT y t0 = nT – T está dada por:

La ecuación diferencial en t = nT queda así:

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Con y(n) ≡ y (nT) y x(n) ≡ x (nT), y reemplazando, se tiene:

Se concluye de esta manera que la función de transferencia está dada en este caso por:

Comparando con la función de transferencia del filtro análogo se tiene, entonces, que:

A esta relación se le denomina la transformación bilineal y es igualmente válida para una ecuación diferencial de N-ésimo orden. Como, además:

Entonces:

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Por tanto,

Se concluye que si:

O de forma equivalente,

Dicha relación puede apreciarse por medio de la figura 5.2:

Figura 5.2 Relación entre la frecuencia en el plano s y el plano z en la transformación bilineal

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En esta figura se observa que:  El rango completo de frecuencias en tiempo continuo W se corresponde de forma unívoca con el rango en tiempo discreto w, sin embargo hay deformación en frecuencia.  Además, la transformación bilineal hace corresponder s = ∞ con z = -1. Normalmente el diseño de un filtro digital empieza con especificaciones en frecuencia en el dominio digital que implica a w, las cuales se convierten al dominio analógico por medio de la transformación Ω = (2 / T) tan (w / 2), luego se diseña el filtro analógico y se convierte a un filtro digital por medio de la transformación bilineal. En este proceso T es transparente y se puede poner en cualquier valor, por ejemplo 1. De manera similar al método anterior, Matlab cuenta con la función bilinear que permite trasformar un filtro análogo en uno digital usando la transformación bilineal. Se puede consultar el help de este programa y ejecutar la búsqueda para el comando “bilinear”

Ejemplo: Convierta el filtro analógico con función de transferencia

En un filtro IIR digital por medio de la transformación bilineal. El filtro digital tiene que tener una frecuencia resonante wr = π/2. Solución: · Calculo de la respuesta en frecuencia del filtro análogo: num = [ 1.0000 0.1000] den = [ 1.0000 0.2000 16.0100] freqs (num, den)

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Figura 5.3 Respuesta en frecuencia del filtro análogo del ejemplo

Como se observa en la figura 200 el filtro análogo tiene una frecuencia de resonancia de 4 Hz. La transformación bilineal requiere que la frecuencia de muestreo sea Fs = 2 para que la frecuencia análoga Ωr = 4 y la digital wr = π/2 se cumplan ya que,

[B, A] = bilinear (num, den, 2) B = [0.1250 0.0061 - 0.1189] A = [1.0000 0.0006 0.9512] · Cálculo de la respuesta en frecuencia digital, ver figura 5.4: freqz (B, A)

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Figura 5.4 Respuesta en frecuencia del filtro digital del ejemplo

Como se observa en la figura se ha logrado con la transformación bilineal la frecuencia resonante que se deseaba (wr = π/2 normalizado 1/2).

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Lección 23: DISEÑO DE FILTROS IIR CON MATLAB Uno de los software más importantes a nivel del procesamiento de señales es el software MatLab, el cual permite brindarle información rápida y precisa de los sistemas diseñados tanto en forma análoga como en forma digital. Dentro de los trabajos desarrollados en el curso se explicarán los filtros más prácticos y de fácil implementación. Filtro Butterworth En Matlab se puede encontrar la instrucción Butter, este comando diseña filtros Butterwoth pasa-bajas, pasa-altas, pasa-bandas y rechaza bandas tanto en forma digital como analógica. Este filtro se caracteriza por una respuesta plana en la banda de transición. El parámetro del filtro esta descrito en MatLab de la siguiente forma [B,A] = butter(N,Wn) donde B y A son los coeficientes del numerador y del denominador respectivamente, en orden decreciente de un filtro de Butterworth digital. N es el orden del filtro (calculado previamente) y Wn es la frecuencia de corte. El valor de Wn debe estar normalizado con la frecuencia de Nyquist. Para diseñar un filtro pasobajas Wn es un escalar entre (0,1). La pasa banda es (0,Wn) y el rechaza banda es (Wn,1). Para diseñar un filtro de pasa-alto, el comando a escribir es: [B,A] = butter(N,Wn,’high’) en donde Wn es un escalar. Ejemplo: Diseñar un filtro butter de segundo orden con frecuencia de corte de 300Hz. Para este ejercicio implementamos en MatLab con las especificaciones anteriormente mostradas: [b,a]=butter (2,300/500,'high') Para conocer los valores de los coeficientes a y b, simplemente se colocan las variables en la barra de trabajo y se oprime enter. El software inmediatamente le mostrará los valores correspondientes a las variables.

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b = 0.2066 -0.4131 0.2066 a = 1.0000 0.3695 0.1958 Como se puede observar el filtro generó en a y b los coeficientes del proceso de filtrado. Ahora es necesario representar este resultado en los componentes en magnitud y fase, como se describen a continuación. freqz (b,a,128,1000)

Figura 5.5 Respuesta filtro Butter pasaalta segundo orden

Como se puede observar que al llegar a 300Hz se encuentra el primer polo y se empieza a atenuar las frecuencias arriba de éste punto. De la misma forma en la gráfica de fase se puede ver que tiene una respuesta lineal. Realizando el mismo sistema cambiándolo a orden 10 tenemos [b,a]=butter (10,300/500,'high') b = Columns 1 through 7 0.0005 -0.0050 0.0225 -0.0599 0.1049 -0.1259 0.1049 Columns 8 through 11 -0.0599 0.0225 -0.0050 0.0005

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a = Columns 1 through 7 1.0000 1.9924 3.0195 2.8185 2.0387 1.0545 0.4144 Columns 8 through 11 0

Figura 5.6 Respuesta filtro Butter pasaalta orden 10

Al compararlo con el ejercicio anterior se puede evidenciar que el polo del sistema se precisa a los 300 Hz a medida que el orden del filtro aumenta. Para analizar los filtros pasabanda y rechaza banda se analizara en primera instancia el filtro pasabanda. Se debe recordar que los filtros pasabanda tienen la característica de dejar pasar las frecuencias en la banda estipulada y rechazar las frecuencias que no se encuentren dentro de las especificadas. De igual forma, los filtros rechaza banda rechazan las frecuencias en la banda estipulada y permitirán pasar las otras frecuencias. A manera de ejemplo se pide diseñar por medio de software MatLab un filtro pasabanda con frecuencias entre los 100 y 200Hz, de orden cuatro. La nomenclatura del software le permite diseñar el butter de la siguiente forma: [B, A] = butter(N, [W1 W2]) Es decir, Wn es en este caso un vector que especifica las frecuencias de la banda pasante. También la respuesta del filtro variará de acuerdo a la aplicación en donde se requiera y el orden del filtro estipulado.

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» n=4; » Wn= [100 200]/500; » [b,a]=butter(n,Wn,'bandpass'); » freqz (b,a,128,1000)

Figura 5.7 Respuesta filtro Butter pasabanda orden 4

Al observar la respuesta en magnitud y fase se evidencia que la respuesta plana del filtro se encuentra entre los 100 y 200Hz. Realicemos el mismo ejemplo para un filtro rechazabanda » n=4; » Wn=[100 200]/500; » [b,a]=butter(n,Wn,'stop'); » freqz (b,a,128,1000);

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Figura 5.8 Respuesta filtro Butter rechazabanda orden 4

La respuesta plana del sistema nos indica la frecuencia que el filtro deja pasar.

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Lección 24: FILTRO CHEBYSHEV Como pudo observarse para frecuencias de cercanas a las de corte la respuesta del filtro Butterworth no es aceptable, especialmente si el filtro es de orden bajo. Los filtros Chebyshev poseen mejor respuesta para este tipo de frecuencias pero presentan un rizado (RIPPLES) en la banda pasante, es decir, en la respuesta plana del filtro. En MatLab se encuentran el filtro Chebyshev de tipo I y II. El Chebyshev de tipo I presenta el rizado en la banda pasante y el Chebyshev de tipo II, presenta el rizado en la banda de rechazo. Ambos tipos se pueden implementar tanto en filtros Chebyshev análogos como digitales. Una de las características fundamentales del filtro tipo I es que la frecuencia de corte Wn (la cual es la frecuencia a la cual la respuesta de magnitud del filtro es igual a –Rp decibelios) oscila entre 0 y 1, donde 1 corresponde a la mitad de la frecuencia de muestreo (frecuencia de Nyquist). Si Wn es un vector de dos elementos el filtro se vuelve un filtro pasa banda de 2*n. Ejemplo: Para los datos muestreados a 1000Hz, diseñar un filtro Chevyshev tipo I paso baja de noveno orden con 0.5 dB de rizado en la banda pasante y frecuencia de corte de 300 Hz. % Programa que permite analizar el comportamiento del filtro Cheby [b,a] = cheby1(9,0.5,300/500); freqz(b,a,512,1000); Siguiendo la estructura dada por MatLab se obtiene la siguiente respuesta del filtro Cheby de tipo I.

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Figura 5.9 Respuesta filtro Cheby tipo I

Analizando la respuesta del filtro se puede observar el comportamiento del filtro en la parte plana de la banda pasante y la atenuación que sufre a partir de la frecuencia de corte de 300 Hz. Ahora se diseñará un filtro Chebyshev tipo II pasabaja de noveno orden de atenuación de la banda de rechazo de 20dB por debajo de la banda pasante y frecuencia de corte de 300Hz, cuyos datos están muestreados a una frecuencia de 1000Hz. % Programa que permite analizar el comportamiento del filtro cheby2 [b,a] = cheby2(9,20,300/500); freqz(b,a,512,1000); Se puede observar los valores generados en b y a b = Columns 1 through 7 0.2957 1.6448 4.7316 8.9479 12.1138 12.1138 8.9479 Columns 8 through 10 4.7316 1.6448 0.2957

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a = Columns 1 through 7 1.0 3.7380 8.0423 11.6797 12.3844 9.7817 5.7220 Columns 8 through 10 2.3861 0.6459 0.087x4

Figura 5.10 Respuesta filtro Cheby tipo II orden 9

Como se había mencionado anteriormente el filtro presente un rizado en la banda de rechazo de Rs decibelios por debajo del valor pico de la banda pasante. Ahora se realizará un diseño de un Cheby tipo II de banda pasante de quinto orden con banda pasante de 100 a 200 Hz y además se deberá dibujar la respuesta al impulso del filtro. % Programa que permite analizar el comportamiento del filtro cheby2 n=5; r=20; Wn=[100 200]/500 [b,a]= cheby2(n,r,Wn); freqz(b,a,512,1000);

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Se sigue observando el rizado del filtro en las bandas de rechazo y se muestra los picos máximos y mínimos arrojados por él, los cuales están comprendidos en la banda pasante de 100 a 200 Hz. Para dibujar la respuesta al impulso del filtro se realiza a través del siguiente comando. [y,t] = impz(b,a,101); stem(t,y);

Figura 5.11 Respuesta impulso filtro Cheby tipo II orden 5

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Lección 25: FILTROS ELÍPTICOS Los filtros elípticos tienen la propiedad de ofrecer características ‘rolloff’ más abruptas que los filtros Butterworth y Chebyshev, pero son equirrizados tanto en la banda pasante como en la banda de rechazo. Los filtros elípticos cumplen especificaciones de funcionamiento con un orden más bajo que cualquier otro filtro. Para datos muestreados a 1000 Hz, diseñar un filtro elíptico pasa bajos de sexto orden con una frecuencia de corte de 300 Hz, 3 dB de rizado en la banda pasante y 50 dB de rizado en la banda de rechazo. % Programa que permite analizar el comportamiento del filtro elíptico [b,a]= ellip(6,3,50,300/500); freqz(b,a,512,1000); n=12; Rp=0.5; Rs=20; Wn=[100 200]/500 [b,a]= ellip(n,Rp,Rs,Wn); [y,t]= impz(b,a,101); stem(t,y);

Figura 5.12 Respuesta filtro elíptico pasabajo orden 6

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Figura 5.13 Respuesta impulso filtro elíptico pasabajo orden 6

Realicemos el mismo ejercicio para un filtro elíptico pasa altos de orden 12 con frecuencia de corte de 200 Hz. % Programa que permite analizar el comportamiento del filtro elíptico n=12; Rp=0.5; Rs=20; Wn=[200]/500 [b,a]= ellip(n,Rp,Rs,Wn,'high'); freqz(b,a,512,1000); figure [y,t]= impz(b,a,101); stem(t,y);

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Figura 5.14 Respuesta filtro elíptico pasaalto orden 12

Figura 5.15 Respuesta impulso filtro elíptico pasaalto orden 12

La gráfica muestra una respuesta más plana en la banda pasante debido al aumento del orden del filtro.

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Requerimientos y especificaciones de filtrado. El objetivo de diseño de un filtro es producir una alteración dependiente de la frecuencia sobre una secuencia de datos. Otras especificaciones más precisas marcan el rizado de la banda de paso (Rp), el rechazo a la banda atenuada (Rs) y la anchura de la banda de transición (Ws - Wp). Una de las ventajas de los filtros IIR es que al tener ceros y polos es necesario un menor número de coeficientes para realizar un determinado filtrado. Dentro de los inconvenientes encontramos que la presencia de polos puede producir inestabilidades, ellos no garantizan que la fase de su función de transferencia sea lineal y además, la implementación hardware es más compleja que en el caso de filtros FIR.

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CAPITULO 6: FILTROS FIR

Lección 26: FILTROS DE RESPUESTA INFINITA FIR es un acrónimo en inglés para Finite Impulse Response o Respuesta finita al impulso. Se trata de un tipo de filtros digitales en el que, como su nombre indica, si la entrada es una señal impulso, la salida tendrá un número finito de términos no nulos. Para obtener la salida sólo se basan en entradas actuales y anteriores. Su expresión en el dominio n es:

En la expresión anterior N es el orden del filtro, que también coincide con el número de términos no nulos y con el número de coeficientes del filtro. Los coeficientes son bk. La salida también puede expresarse como la convolución de la señal de entrada x (n) con la respuesta impulsional h (n):

Aplicando la transformada Z a la expresión anterior:

Estructura La estructura básica de un FIR es:

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Figura 6.1 Estructura de un filtro FIR http://es.wikipedia.org/wiki/FIR

En la figura 6.1 los términos h(n) son los coeficientes y los T son retardos. Pueden hacerse multitud de variaciones de esta estructura. Hacerlo como varios filtros en serie, en cascada, etc. Estos filtros tienen todos los polos en el origen, por lo que son estables. Los ceros se presentan en pares de recíprocos si el filtro se diseña para tener fase lineal Los filtros FIR tienen la gran ventaja de que pueden diseñarse para ser de fase lineal, lo cual hace que presenten ciertas propiedades en la simetría de los coeficientes. Este tipo de filtros tiene especial interés en aplicaciones de audio. Además son siempre estables. Diseño de filtros FIR Hay tres métodos básicos para diseñar este tipo de filtros: • Método de las ventanas. Las más habituales son:  Ventana rectangular  Ventana de Barlett  Ventana de Hanning  Ventana de Hamming  Ventana de Blackman  Ventana de Kaiser • Muestreo en frecuencia. • Rizado constante (Aproximación de Cheby y algoritmo de intercambio de Remez). • Mínimos Cuadrados Los filtros FIR tienen la desventaja de necesitar un orden mayor respecto a los filtros IIR para cumplir las mismas características. Esto se traduce en un mayor gasto computacional.

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Lección 27: FUNCIONES PARA REALIZAR FIR De la forma más interesantes de entender las aplicaciones de las técnicas de ventaneo es realizar las prácticas a través del software MatLab. La Función FIR1 >> B = fir1(N,Wn,type,window); Diseña un filtro FIR pasobajo de orden N (longitud N+1) y frecuencia de corte Wn (normalizada con respecto a la frecuencia de Nyquist, 0 < Wn < 1). Se pueden especificar otro tipo de filtros de la misma forma que con los filtros IIR mediante el parámetro type. Por ejemplo, diseñar un filtro rechazabanda: >> B = fir1(N,[W1 W2],'stop'); Por defecto la función FIR usa la ventana de Hamming. Otro tipo de ventanas pueden también especificarse: >> B = fir1(N,Wn,bartlett(N+1)); >> B = fir1(N,Wn,'high',chebwin(N+1,R));

La Función FIR2 >> B = fir2(N,F,M,window); Diseña un filtro FIR utilizando el método del muestreo frecuencial. Los parámetros de entrada es el orden del filtro N, la (longitud N+1) y dos vectores F y M que especifican la frecuencia y la magnitud, de forma que “plot (F,M)” es una gráfica de la respuesta deseada del filtro. Se pueden indicar saltos bruscos en la respuesta frecuencial duplicando el valor de la frecuencia de corte. F debe estar entre 0 y 1, en orden creciente, siendo el primer elemento igual a 0 y el último 1. El parámetro window indica el tipo de ventana a utilizar. Por defecto, usa la ventana de Hamming. >> B = fir2(N,F,M,’bartlett(N+1)’); Se pueden especificar más parámetros en esta función, >> B = fir2(N,F,M,npt,lap,window);

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La función fir2 interpola la respuesta frecuencial deseada (F,M) con n puntos (por defecto, npt=512). Si dos valores sucesivos de F son iguales, se crea una región de lap puntos alrededor de este punto (por defecto, lap=25). Función FIRLS >> B = firls(N,F,M); Diseño de filtros FIR usando la minimización del error por mínimos cuadrados. Los argumentos de entrada son el orden del filtro N, y dos vectores F y M, cuyo formato difiere de los análogos en la función fir2. El filtro obtenido es la mejor aproximación a (F,M) por mínimos cuadrados Dentro de las Ventajas de los filtros FIR están: • Pueden diseñarse con fase perfectamente lineal. • Son incondicionalmente estables. • Implementación hardware es sencilla Dentro de los Inconvenientes de los filtros FIR se encuentra que es necesario un gran número de coeficientes para conseguir las prestaciones que daría un filtro IIR de orden mucho menor.

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Lección 28: ANÁLISIS DE FIR CON HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES A continuación se desarrollarán una serie de filtros prácticos que permitirán aprender los procesos de diseño y los conceptos fundamentales que lo encierran. En esta primera parte se utilizará la función fir1, la cual ya se explicó anteriormente, se podrán observar la importancia del orden de los filtros y al mismo tiempo el tipo del filtro. % Ejercicios de la función FIR1 Diseñar un filtro de orden 4, basabajos. Determinar el espectro en magnitud y fase del filtro. N=4; Wn=100/1000; B = fir1(N,Wn,'stop'); freqz(B);title('filtro FIR1, de orden 4. Pasa Bajo');

Figura 6.2 Respuesta filtro FIR1 pasabajo orden 4

Como se puede apreciar este tipo de filtro presenta una caída muy suave y no presenta rizado en su decaimiento. También se debe analizar que es necesario normalizar la frecuencia angular para cumplir que 0< Wn