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___________________________________________________________________________ Pruebas de Hipótesis
UNIDAD 4
Pruebas de Hipótesis OBJETIVO EDUCACIONAL Al término de esta unidad el alumno:
Aplicará la metodología de la prueba de hipótesis para inferir el comportamiento de alguna característica de la población o de un proceso para la toma de decisiones.
4.1 Introducción Hipótesis Estadística. Es una afirmación o conjetura respecto a una o más poblaciones. Hipótesis Nula. Establece que no hay diferencia significativa entre el valor supuesto y el valor verdadero del parámetro, se representa por H0 : 0. Hipótesis Alternativa. El rechazo de la hipótesis nula da como resultado la aceptación de una hipótesis alternativa, que se representa por H1 y que admite la posibilidad de que el verdadero valor del parámetro sea diferente, mayor que o menor que el valor supuesto 0 . Error tipo I. Consiste en rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera. P(Error Tipo I ) = Error Tipo II. Consiste en aceptar la hipótesis nula cuando en realidad es falsa. P(Error Tipo II ) = Procedimiento general Para Pruebas de Hipótesis 1. Establecer las Hipótesis Nula y Alternativa. 2. Seleccionar el Estadístico de Prueba adecuado. 3. Establecer la Regla de Decisión para el nivel de significancia seleccionado ( ). 4. Evaluar el estadístico de prueba para los valores observados en la muestra. 5. Tomar una Decisión: Rechazar o No rechazar la hipótesis Nula. 6. Conclusión: escribir en lenguaje común la consecuencia del rechazo o no rechazo de la
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Estadística I ___________________________________________________________________________________
hipótesis nula.
Pruebas Bilaterales y Unilaterales i) Pruebas de dos Extremos: H 0 : 0 Región de rechazo
H 1 : 0
vs
Región de Aceptación
Región de
Normal Distribution
rechazo
0.4
Mean,Std. dev.
d e n s ity
0,1
Regla de decisión:
0.3
Regla de Decisión
1 - 1-
x C1 Rechazar H 0 si ó x C 2
0.2
Rechazar H 0.1
/2
0 -5
-4
-3
-2
/2
C1
-1
0
0
1
x
2
C2
3
4
5
ii) Pruebas de Extremo Izquierdo: H 0 : 0 Región de rechazo
vs
H 1 : 0
Región de Aceptación
Normal Distribution
0.4
Mean,Std. dev.
d e n s ity
0,1
Regla de decisión:
0.3
Regla de Decisión
1 - 1-
Rechazar H 0 si x C 1
0.2
Rechazar H 0.1
0 -5
-4
-3
-2
C1
-1
0
0
1
2
3
4
5
x
iii) Pruebas de Extremo derecho: H 0 : 0
vs
H 1 : 0
Región de Aceptación
Región de
Normal Distribution
rechazo
0.4
Mean,Std. dev.
d e n s ity
0,1 0.3
Regla de Decisión
0.2
Regla de decisión:
1 - 1-
Rechazar H 0 si x C 2
Rechazar H
0.1
/2
0 -5
-4
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-3
-2
-1
00
x
C2
1
2
3
4
5
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___________________________________________________________________________ Pruebas de Hipótesis
Errores Tipo I y II Ejemplo 4.1 Se desarrolla una nueva cura para cierto tipo de concreto que tiene como resultado un coeficiente de compresión de 5000 kg / cm2 y una desviación estándar de 120 kg / cm2. Para probar la hipótesis de que 5000 contra la alternativa de que
5000 , se prueba una
muestra aleatoria de 50 piezas de concreto y se rechaza la hipótesis nula si x 4970 . Evaluar: a) el riesgo de cometer error tipo I cuando H0 es verdadera b) el riesgo de cometer error tipo II para la alternativa 4960
Solución a) P (error tipo I) P(rechazar H 0 0 ) P( x 4970 5000 ) 4970 5000 F ( z 1.77 ) 0.0384 3.84% F z 120 / 50
el 3.84% de las muestras de tamaño 50, obtenidas de la población con media de 5000 tendrán una media menor de 4970, por lo que se cometerá el error de rechazar la hipótesis de que 5000 siendo verdadera.
b) P (error tipo II) P(aceptar H 0 0 ) P( x 4970 4960 ) 4970 4960 1 F ( z 0.59 ) 1 0.7224 0.2776 27.76% 1 F z 120 / 50
el 27.76% de las muestras de tamaño 50, obtenidas de la población con media de 4960 tendrán una media mayor de 4970, por lo que se cometerá el error de aceptar la hipótesis de que 5000 siendo falsa.
EJERCICIOS 4.1 M.C. Moisés Muñoz Díaz
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Estadística I ___________________________________________________________________________________
1. Suponga que un alergólogo desea probar la hipótesis de que al menos 30% del público es alérgico a algunos productos de queso. Explique cómo el alergólogo podría cometer a) un error tipo I b) un error tipo II 2. Una socióloga se interesa en la eficacia de un curso de entrenamiento diseñado para lograr que más conductores utilicen los cinturones de seguridad en los automóviles. a) ¿Qué hipótesis prueba si comete un error del tipo I al concluir de forma errónea que el curso de entrenamiento no es efectivo? b) ¿Qué hipótesis prueba si comete un error del tipo II al concluir de forma errónea que el curso de entrenamiento es efectivo? 3. Se acusa a una empresa de discriminación en sus prácticas de contratación a) ¿Qué hipótesis se está probando si un jurado comete un error tipo I al encontrar que la compañía es culpable? b) ¿Qué hipótesis se está probando si un jurado comete un error tipo II al encontrar culpable a la empresa? 4. Se estima que la proporción de adultos que viven en un pequeño pueblo y que son egresados universitarios es p = 0.3. Para probar esta hipótesis, se selecciona una muestra aleatoria de 15 adultos. Si el número de graduados en la muestra es una cantidad cualquiera entre 2 y 1, se aceptará la hipótesis nula de que p =0.3; de otra forma, se concluirá que p 0.3. a) Evalúe suponiendo que p = 0.3. b) Evalúe para las alternativas p = 0.2 y p = 0.4. c) ¿Es éste un buen procedimiento de prueba?
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5. Repita el ejercicio 4 cuando se seleccionan 200 adultos y se define que la región de aceptación es 48 x 72, donde x es el número de egresados universitarios en la muestra. 6. La proporción de familias que compra leche de la compañía A en una ciudad se cree que es p = 0.6. Si una muestra aleatoria de 10 familias indica que 3 o menos compran leche de la compañía A, se rechazará la hipótesis de que p = 0.6 en favor de la alternativa p < 0.6. a) Encuentre la probabilidad de cometer un error tipo 1 si la proporción verdadera es p = 0.6. b) Encuentre la probabilidad de cometer un error tipo II para las alternativas p = 0.3, p = 0.4 y p = 0.5. 7. Repita el ejercicio 6 cuando se seleccionan 50 familias y se determina que la región crítica es x 24. donde x es el número de familias de la muestra que compran leche de la compañía A. 8. Un establecimiento para lavado en seco afirma que un nuevo removedor de manchas eliminará más del 70% de las manchas a las cuales se le aplique. Para verificar esta afirmación, el producto se utilizará en 12 manchas que se escogieron al azar. Si se eliminan menos de 11 manchas, se aceptará la hipótesis nula de que p = 0.7; de lo contrario, se concluirá que p> 0.7. a) Evalúe suponiendo que p = .7. b) Evalúe para la alternativa p = 0.9. 9. Repita el ejercicio 8 cuando se tratan de eliminar 100 manchas y se determina que la región crítica es x > 82, donde x es la cantidad de manchas borradas. 10. En la publicación Relief from Arthritis de Thorson Publishers, Ltd. (1979), John E.
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___________________________________________________________________________ Pruebas de Hipótesis
Croft afirma que más del 40% de los que padecen de artritis ósea experimentaban cierto alivio con el uso de un ingrediente producido por una especie particular de almeja encontrada en las costas de Nueva Zelanda. Para probar esta afirmación, el extracto de almeja se les administrará a 7 pacientes artríticos. Si 3 o más de ellos tienen un alivio. Se aceptará la hipótesis nula de que p = 0.4; de lo contrario, se concluirá que p < 0.4. a) Evalúe , suponiendo que p = 0.4. b) Evalúe para la alternativa p = 0.3. 11. Repita el ejercicio 10 cuando a 70 pacientes se les da el extracto de almeja y se define que la región crítica es x < 24, donde x es el número de enfermos de artritis ósea que alcanzan cierta mejoría. 12. A una muestra aleatoria de 400 votantes de una cierta ciudad se le pregunta si está a favor de un impuesto adicional a la venta de gasolina para proporcionar ingresos necesarios para efectuar trabajos de reparación de calles. Si más de 220 pero menos de 260 están a favor del impuesto, se concluirá que el 60% de los votantes está a favor. a) Encuentre la probabilidad de cometer un error tipo I si 60% de los votantes está a favor del nuevo impuesto. b) ¿Cuál es la probabilidad de cometer un error tipo II al utilizar este procedimiento de prueba si sólo 48% de los votantes está a favor del nuevo impuesto?
incrementar . 14. Un fabricante ha desarrollado un nuevo hilo para pesca. del cual afirma que tiene un coeficiente promedio de ruptura de 15 kg con una desviación estándar de 0.5 Kg. Para probar la hipótesis de que = 15 contra la alternativa de que < 15, se probará una muestra de 50 hilos de pesca. La región crítica se define como x 14.9 . a) Encuentre la probabilidad de cometer un error tipo I cuando H0 es verdadera. b) Evalúe para las alternativas = 14.8 y = 14.9 Kg. 15. Una máquina despachadora de refrescos ubicada en Longhorn Steak House se ajusta de tal forma que la cantidad de refresco servida esta distribuida aproximadamente en forma normal con una media de 200 mil y una desviación estándar de 15ml. Se verifica la máquina periódicamente tomando una muestra de 9 refrescos y calculando su contenido promedio. Si x cae en el intervalo 191 x 209 , se piensa que la máquina está operando de forma satisfactoria; de lo contrario, se concluye que 200 ml. a) Encuentre la probabilidad de cometer un error tipo I cuando 200 ml. b) Encuentre la probabilidad de cometer un error tipo II cuando 215 ml. 16. Repita el ejercicio 15 para muestras de tamaño n = 25. Utilice la misma región crítica.
13. Suponga, en el ejercicio 12, que se concluye que el 60% de los votantes está a favor del nuevo impuesto a la gasolina, si más de 214 pero menos de 266 votantes en el ejemplo están a favor. Demuestre que esta nueva región de aceptación resulta en un valor más pequeño para a costa de
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17. Se ha desarrollado una nueva preparación para un cierto tipo de cemento que da como resultado un coeficiente de compresión de 5000 Kg / cm2 y una desviación estándar de 120. Para probar la hipótesis de que 5000 en contraposición de la alternativa de que 5000 , se verifica una muestra aleatoria de 50 piezas de cemento. Se determina que la región crítica es x 4970 . a) Encuentre la probabilidad de cometer un error tipo I cuando H0 es verdadera. b) Evalúe 4970
18.
para
las
y 4960 .
alternativas
obtiene la curva característica de operación del criterio de prueba o simplemente la curva OC. Note que la probabilidad de aceptar H0 cuando es verdadera es simplemente 1 . Las curvas características de operación son muy utilizadas en aplicaciones industriales para proporcionar una imagen visual de los méritos del criterio de prueba. Con referencia al ejercicio 15, encuentre las probabilidades de aceptar H0 para los siguientes 9 valores de y grafique la curva OC: 184, 188, 192, 196, 200, 204, 208, 212, y 216.
Si se grafican las probabilidades de aceptar H0 correspondientes a varias alternativas para (incluyendo el valor especificado por H0) y se dibuja una línea continua que una todos los puntos, se
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___________________________________________________________________________ Pruebas de Hipótesis
Procedimientos de Pruebas de Hipótesis de un Parámetro 4.3.1 Pruebas Relacionadas con la Media. Con Conocida Ejemplo 4.2 Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que está distribuida aproximadamente en forma normal con una media de 800 horas y una desviación estándar de 40 horas. Pruebe la hipótesis de que 800 horas en contraposición de la alternativa de que 800 horas, si una muestra aleatoria de 30 focos tiene una duración promedio de 788 horas.
Utilice un nivel de significancia de 0.04. Solución 1) Hipótesis H0 :
800
H 1 : 800 z0
2) Estadístico de prueba:
x 0
/ n
3) Regla de decisión para 0.04 . De la Tabla 1, z / 2 2.05 Rechazar H 0 si z 0 2.05 ó z 0 2.05 4) Evaluar el estadístico de prueba: z0
x 0
/
n
788 800 40 /
30
5) Tomar una decisión: como
1.643 z 0 1.643
es mayor de 2.05
pero menor que
2.05
NO Se Rechaza H0 6) Conclusión: La evidencia de la muestra apoya la hipótesis de que la duración promedio de los focos producidos por este fabricante es de 800 horas.
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4.3.2 Pruebas Relacionadas con la Media. Con Desconocida Ejemplo 3.3 Pruebe la hipótesis de que el contenido promedio en recipientes de un lubricante en particular es de 10 litros si los contenidos de una muestra aleatoria de 10 recipientes son 10.2, 9.7, 10.1, 10.3, 10.1, 9.8, 9.9. 10.4, 10.3 y 9.8 litros. Utilice un nivel de significancia de 0.01 y suponga que: la distribución de los contenidos es normal. Solución 1) Hipótesis H 0 : 10 (El contenido promedio de los recipientes es de 10 litros)
H 1 : 10 (El contenido promedio de los recipientes NO es de 10 litros)
2) Estadístico de prueba:
t0
x 0 s/ n
con v = n -1 grados de libertad
3) Regla de decisión para 0.01 y v = 10 -1= 9 gl. De la Tabla 3, t 0.005 , 9 3.25 Rechazar H 0 si t 0 3.25 ó t 0 3.25 4) Evaluar el estadístico de prueba para los valores de la muestra: n = 10,
x 10.06 y
s 0.2458
t0
x 0 10.06 10 0.7719 s / n 0.2458 / 10
5) Tomar una decisión: como t 0 0.7719 No es mayor de 3.25 NO Se Rechaza H0 6) Conclusión: La evidencia de la muestra apoya la hipótesis de que el contenido promedio de los recipientes de este lubricante es de 10 litros.
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___________________________________________________________________________ Pruebas de Hipótesis
4.4
Pruebas Relacionadas con la Varianza
Ejemplo 3.3 Se sabe que el contenido de los recipientes de un determinado lubricante tiene distribución normal con una varianza de 0.03 litros2. Pruebe la hipótesis de que 2 0.03 en contraposición a la alternativa de que 2 0.03 litros2, si los contenidos de una muestra aleatoria de 10 recipientes son 10.2, 9.7, 10.1, 10.3, 10.1, 9.8, 9.9. 10.4, 10.3 y 9.8 litros. Utilice un nivel de significancia de 0.01 y suponga que: la distribución de los contenidos es normal. Solución 1) Hipótesis H 0 : 2 0.03 (la varianza del contenido de los recipientes es de 0.03 litros2)
H 1 : 2 0.03 (la varianza del contenido de los recipientes NO es de 0.03 litros2) 02
2) Estadístico de prueba:
( n 1 )S 2
02
con v = n -1 grados de libertad
3) Regla de decisión para 0.01 y v = 10 -1= 9 gl. De la Tabla 2, 0.005 , 9 1.73 y 0.995 , 9 23.59
Rechazar H 0 si 0 1.73 ó 0 23.59 4) Evaluar el estadístico de prueba para los valores de la muestra: n = 10, y s 0.2458
02
(n 1) S 2 9 * (0.2458) 2 18.1253 0.03 02
5) Tomar una decisión: como
0 18.1256 No es mayor de 23.59, Ni menor de 1.73 NO
Se Rechaza H0 6) Conclusión: La evidencia de la muestra apoya la hipótesis de que la varianza del contenido de los recipientes es de 0.03 litros2.
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4.5
Pruebas Relacionadas con la Proporción
Ejemplo 3.4 Suponga que, en el pasado, 40% de todos los adultos favorecía la pena capital. ¿Se tiene alguna razón para creer que la proporción de adultos que favorece la pena capital hoy en día ha aumentado si, en una muestra aleatoria de 150 adultos, 80 la favorecen? Utilice un nivel de significancia de 0.05.
Solución 2) Hipótesis H0 :
P 0.40 (40% de todos los adultos favorecía la pena capital)
H1 :
P 0.40 (más del 40% de adultos favorece la pena capital hoy en día)
2) Estadístico de prueba:
z0
x / n P0 P0 ( 1 P0 ) n
3) Regla de decisión para 0.05 : de la Tabla 1, z 0.05 1.645 Rechazar H 0 si z0 1.645 4) Evaluar el estadístico de prueba para los valores de la muestra: n = 150, y x = 80
80 0.40 x / n P0 150 z0 3.3333 P0 (1 P0 ) 0.4 * (1 0.4 ) 150 n 5) Tomar una decisión: como z 0 3.3333 es mayor de 3.3333 Se Rechaza H0 6) Conclusión: La evidencia de la muestra apoya la hipótesis de que proporción de adultos que favorece la pena capital hoy en día ha aumentado, más del 40% de los adultos favorece la pena capital.
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EJERCICIOS 4.2 Pruebas relacionadas con la media 1. Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que está distribuida aproximadamente en forma normal con una media de 800 horas y una desviación estándar de 40. Pruebe la hipótesis de que 800 horas en contraposición de la alternativa de que 800 horas si una muestra aleatoria de 30 focos tiene una duración promedio de 788 horas. Uti1ice un nivel de significancia de 0.04. 2. Una muestra aleatoria de 36 refrescos de una máquina despachadora automática tiene un contenido promedio de 21.9 decilitros, con una desviación estándar de 1.42 decilitros. Pruebe la hipótesis de que 22.2 decilitros en contraposición a ]a hipótesis alternativa, 22.2 , en el nivel de significancia 0.05. 3. En un informe de: una investigación de Richard H. Weindruch de la Escuela de Medicina de la UCLA, se afirma que ratones con una vida promedio de 32 meses llegarán hasta casi 40 cuando 40% de las calorías en su alimentación se reemplacen con vitaminas y proteínas. ¿,Hay alguna razón para creer que 40 si 64 ratones que se han sujetado a esta dieta tienen una vida promedio de 38 meses con una desviación estándar de 5.8 meses? Utilice un nivel de significancia de 0.025. 4. La estatura promedio de las mujeres en el grupo de primer año de una institución de enseñanza superior es de 162.5 centímetros con una desviación estándar de 6.9 centímetros. ¿Hay alguna razón para creer que existe un cambio en la estatura promedio si una muestra aleatoria de 50 mujeres del grupo actual tiene una estatura promedio de 165.2 centímetros? Utilice un valor de P en su conclusi6n.
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5. Se afirma que un automóvil recorre un promedio anual de más de 20 000 kilómetros. Para probar esta afirmación, se le solicita a una muestra aleatoria de 100 propietarios de automóvil que lleve un registro de los kilómetros que recorren. ¿Estaría usted de acuerdo con esta afirmación si en la muestra aleatoria resulta un promedio de 23 500 km y una desviación estándar de 3900 km? Utilice un valor P en su conclusión. 6. El Edison Electric /nstitute ha publicado cifras acerca de las horas anuales de uso de varios aparatos para el hogar. Afirma que un compactador de basura se usa un promedio de 125 horas al año. Si una muestra aleatoria de 49 hogares equipados con compactadores de basura indica un uso promedio anual de 126.9 horas con una desviación estándar de 8.4 horas, ¿sugiere esto que estos aparatos se utilizan, en promedio, más de 125 horas al año? Utilice un valor P en su conclusi6n. 7. Pruebe la hipótesis de que el contenido promedio en recipientes de un lubricante en particular es de 10 litros si los contenidos de una muestra aleatoria de 10 recipientes son 10.2, 9.7, 10.1, 10.3, 10.1, 9.8, 9.9. 10.4, 10.3 Y 9.8 litros. Utilice un nivel de significancia de 0.01 y suponga que la distribución de los contenidos es normal. 8. De acuerdo con el Dietary Goals for the United Sta/es (Metas dietéticas para Estados Unidos; 1977), la alta ingestión de sodio puede provocar (úlceras, cáncer estomacal y migraña (dolores de cabeza). El requerimiento humano de sal es de sólo 220 miligramos por día, el cual es sobrepasado en la mayoría de las porciones de cereales listos para comerse. Si una muestra aleatoria de 20 porciones similares de Special K tiene un contenido promedio de sodio de 244 mgr y una desviación estándar 77
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de 24.5 mgr, ¿sugiere esto, en el nivel de significancia de 0.05, que el contenido promedio de sodio en platillos de Special K es mayor que 220 mgr? Asuma que la distribución de contenidos de sodio es normal.
0.03 Iitros2. Pruebe la hipótesis de que 2 = 0.03 en contraposición a la alternativa de que 2 ≠ 0.03 para la muestra aleatoria de 10 recipientes del ejercicio 7 de la página 56. Utilice un nivel de significancia de 0.01.
9. Una muestra aleatoria de 8 cigarros de una marca determinada tiene un contenido promedio de nicotina de 4.2 mgr y una desviación estándar de 1.4 mgr. ¿Está esto de acuerdo con la afirmación del fabricante de que el contenido promedio de nicotina no excede de 3.5 miligramos? Utilice un valor P en su conclusión y suponga que la distribución de los contenidos de nicotina es normal.
2. Experiencias pasadas indican que el tiempo para que alumnos del último año realicen un examen estandarizado es una variable aleatoria normal con una desviación estándar de 6 minutos. Pruebe la hipótesis de que = 6 en contraposición a la alternativa de que < 6, si una muestra aleatoria de 20 estudiantes tiene una desviación estándar s = 4.51 al realizar este examen. Utilice un nivel de significancia de 0.05.
10. El año pasado, los empleados del Departamento de Sanidad de una ciudad donaron un promedio de $10.00 a la patrulla de voluntarios de rescate. Pruebe la hipótesis, en el nivel de significancia de 0.01, de que la, contribución promedio este año es aún de $10.00 si una muestra aleatoria de 12 empleados indicó una donación promedio de $10.90 con una desviación estándar de $1.75. Suponga que las donaciones tienen distribución aproximadamente normal. 11. Por experiencias pasadas se ha encontrado que el tiempo para que realicen un examen los estudiantes del último año escolar es una variable aleatoria normal con una media de 35 minutos. Si a una muestra aleatoria de 20 estudiantes del último año le tomó un promedio de 33.1 minutos realizar este examen con una desviación estándar de 4.3 minutos, pruebe la hipótesis en el nivel de significancia de 0.025 que 35 minutos en contraposición a la alternativa de que 35 minutos. Pruebas relacionadas con la varianza 1. Se sabe que la capacidad de los recipientes de un determinado lubricante tiene distribución normal con una variancia de
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3. Se sabe que el contenido de nicotina de una marca de cigarros tiene distribución aproximadamente normal con una variancia de 1.3 miligramos. Pruebe la hipótesis de que 2 = 1.3, en contraposición a la alternativa de que 2 ≠ 1.3 si una muestra aleatoria de 8 de estos cigarros tiene una desviación estándar s = 1.8. Utilice un nivel de significancia de 0.05. 4. Datos pasados indican que la cantidad de dinero con la que contribuyeron los residentes trabajadores de una gran ciudad para un escuadrón de rescate de voluntarios es una variable aleatoria normal con una desviación estándar de $1.40. Se ha sugerido que las contribuciones para el escuadrón de rescate, sólo de los empleados del departamento de sanidad, son mucho más variables. Si las contribuciones de una muestra aleatoria de 12 empleados del departamento de sanidad tuvo una desviación estándar de $1.75. ¿se puede concluir en el nivel de significancia de 0.01 que la desviación estándar de las contribuciones de todos los trabajadores de ese departamento es mayor que la de todos los trabajadores que viven en esta ciudad?
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5. Se afirma que una máquina despachadora de refrescos está fuera de control si la variancia de los contenidos excede 1.15 decilitros. Si una muestra aleatoria de 25 refrescos de esta máquina tiene una variancia de 2.03 decilitros. ¿Indica esto en el nivel de significancia de 0.05 que la máquina está fuera de control? Suponga que los contenidos tienen distribución aproximadamente normal. Pruebas relacionadas con la proporción 1. Un distribuidor de cigarros asegura que más del 20% de los fumadores en Miami prefiere: los cigarros Kent. Para probar esta afirmación, se seleccionan al azar 200 fumadores de cigarros y se les pregunta qué marca prefieren. Si 60 de los 200 contestan que su marca preferida es Kent, ¿qué conclusión se saca? Utilice un nivel de significancia de 0.05. 2. Suponga que, en el pasado, 40% de todos los adultos favorecía la pena capital. ¿Se tiene alguna razón para creer que "la proporción de adultos que favorece la pena capital hoy en día ha aumentado si, en una muestra aleatoria de 150 adultos, 80 la favorecen? Utilice un nivel de significancia de 0.05. 3.
Una moneda se lanza 200 veces, obteniéndose 50 águilas. ¿Es esto evidencia suficiente para rechazar la hipótesis de que la moneda esté desbalanceada en favor de que las águilas ocurren menos que el 50% del tiempo? Utilice un valor P.
de esta afirmación si, en una muestra aleatoria de 1000 hogares en esta ciudad, se encuentra que 236 se calientan con petróleo? Utilice un nivel de significancia de 0.01. 6. En un colegio se estima que cuando mucho 25% de los estudiantes se traslada a clases en bicicleta. ¿Parecería esta ser una estimación válida si, en una muestra aleatoria de 90 estudiantes, se encuentra que 28 utilizan este transporte? Utilice un nivel de significancia de 0.05. 7. Se está considerando utilizar un nuevo sistema de radar para un misil de defensa. El sistema está" verificándose mediante la experimentación con un simulador en el cual se fingen las situaciones de muerte o no muerte. Si en 300 intentos, ocurren 250 muertes, acepte o rechace, en el nivel de significancia de 0.04, la afirmación de que la probabilidad de una muerte con el nuevo sistema no excede la probabilidad de 0.8 del sistema existente. 8.
En un experimento controlado de laboratorio, científicos de la Universidad de Minnesota descubrieron que 25% de una camada de ratas sujetas a una dieta de 20% de grano de café desarrollaron tumores cancerosos. ¿Se tendría alguna razón para creer que la proporción de ratas que desarrollan tumores de este tipo cuando se sujetan a esta dieta se ha incrementado, si el experimento se repitiera y 16 de 48 ratas desarrollaran tumores? Utilice un nivel de significancia de 0.05.
4. Se cree que al menos 60% de los residentes en una cierta área favorece una demanda de anexión de una ciudad vecina. ¿Qué conclusión sacaría usted si sólo 110 en una muestra de 200 votantes favorecen el acta? Utilice un nivel de significancia de 0.04. 5. Una compañía productora de combustible asegura que una quinta parte de los hogares en una cierta ciudad se calientan con petróleo. ¿Se tiene alguna razón para dudar M.C. Moisés Muñoz Díaz
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4.6 Procedimientos de Pruebas de Hipótesis de dos Parámetros 4.6.1
Pruebas sobre dos medias
Ejemplo 4.5 ( 1 y 2 conocidas) Un diseñador de productos está interesado en reducir el tiempo de secado de un pintura tapaporos. Se prueban dos fórmulas de pintura; la fórmula 1 tiene el contenido químico estándar, y la fórmula 2 tienen un nuevo ingrediente secante que debe de reducir el tiempo de secado. De la experiencia se sabe que la desviación estándar del tiempo de secado es 8 minutos, y esta variabilidad inherente no debe verse afectada por la adición del nuevo ingrediente. Se pintan 10 especimenes con la fórmula 1, y otros 10 con la fórmula 2. Los dos tiempos promedio de secado son x 1 121 min
y
x 2 112 min , respectivamente. ¿A qué
conclusiones puede llegar el diseñador del producto sobre la eficacia del nuevo ingrediente, utilizando 0.05 ? Solución 1)
Hipótesis H0 :
1 2 0 (el tiempo promedio de secado es mismo para las dos fórmulas)
H 1 : 1 2 0 (el nuevo ingrediente disminuye el tiempo promedio de secado)
z0
x1 x 2 d0
12 22 n1 n2
2)
Estadístico de prueba:
3)
Regla de decisión para 0.05 . De la Tabla 1, z / 2 1.645 Rechazar H 0 si z0 1.645
4)
Evaluar el estadístico de prueba: z0
121 112 0 (8 ) 2 (8 ) 2 10 10
5) Tomar una decisión: como z0 2.52
2.52
es mayor de 1.645 Se Rechaza H0
6) Conclusión: La evidencia de la muestra apoya la hipótesis de que el nuevo ingrediente disminuye el tiempo promedio de secado.
80
M.C. Moisés Muñoz Díaz
___________________________________________________________________________ Pruebas de Hipótesis
Ejemplo 4.6
(Observaciones pareadas) Los siguientes datos son las horas-hombre que
semanalmente se pierden en promedio por accidentes en 10 plantas industriales antes y después de que se implantará cierto programa de seguridad. Utilice un nivel de significancia, 0.05 para probar si el programa de seguridad es eficaz. Planta
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Antes
45
73
46
124
33
57
83
34
26
17
Después
36
60
44
119
35
51
77
29
24
11
Diferencia, di
9
13
2
5
-2
6
6
5
2
6
Solución 1) Hipótesis H 0 : d 0 (Las horas-hombre que se pierden en promedio por accidentes en plantas
industriales antes y después de cierto programa de seguridad son iguales) H 1 : d 0 (Las horas-hombre que se pierden en promedio por accidentes en plantas
industriales disminuyeron después de cierto programa de seguridad) 2) Estadístico de prueba:
t0
d d0 Sd / n
3) Regla de decisión para 0.05 y v = 10 – 1 = 9 gl. De la Tabla 3, t 0.05 , 9 1.83 Rechazar H 0 si t 0 1.83 4) Evaluar el estadístico de prueba para: n = 10, d 5.2 y Sd = 4.0770 t0
d d0 5 .2 0 4.0333 S d / n 4.0770 / 10
5) Tomar una decisión: como t 0 4.0333
es mayor de 1.83 Se Rechaza H0
6) Conclusión: La evidencia de la muestra apoya la hipótesis de que las horas-hombre que se pierden en promedio por accidentes en plantas industriales disminuyeron después de cierto programa de seguridad.
M.C. Moisés Muñoz Díaz
81
Estadística I ___________________________________________________________________________________
Pruebas para la Diferencia entre dos Proporciones Ejemplo 4.7 Se evalúan dos tipos diferentes de soluciones para pulir, para su posible uso en una operación de pulido en la fabricación de lentes intraoculares utilizados en el ojo humano después de una cirugía de cataratas. Se pulen 300 lentes con la primera solución y, de estos, 253 no presentaron defectos inducidos por el pulido. Después se pulen otros 300 lentes con la segunda solución, de los cuales 196 resultan satisfactorios. ¿Existe alguna razón para creer que las dos soluciones son diferentes? Utilice un nivel de significancia, 0.01 . Solución 2) Hipótesis H0 :
P1 P2 0 (Las dos soluciones para pulir son iguales)
H 1 : P1 P2 0 (Las dos soluciones para pulir son diferentes) z0
2) Estadístico de prueba: donde
pˆ ( x 1 x 2 ) /( n1 n2 )
ˆp1 ˆp2 d 0 ˆ qˆ [( 1 / n1 ) ( 1 / n2 )] p
y
ˆ qˆ 1 p
3) Regla de decisión para 0.01 . De la Tabla 1, z / 2 2.575 Rechazar H 0 si z 0 2.575 ó z 0 2.575 253 196 0.7483 y 4) Evaluar el estadístico de prueba para: pˆ 300 300
z0
253
300
196
300
1 1 0.7483(0.2517 ) 300 300
5) Tomar una decisión: como z 0 5.3619
qˆ 1 0.7483 0.2517
5.3619
es mayor de 2.575 Se Rechaza H0
6) Conclusión: La evidencia de las muestras apoya la hipótesis de que las dos soluciones para pulir son diferentes. La primera solución produce una fracción significativamente mayor de lentes no defectuosos.
4.10 Pruebas Relacionadas con Varianzas 82
M.C. Moisés Muñoz Díaz
___________________________________________________________________________ Pruebas de Hipótesis
Los siguientes datos representan los tiempos de duración de las películas producidas por 2 compañías cinematográficas: Compañía
Tiempo (minutos)
1
102
86
98
109
92
2
81
165
97
134
92
87
114
Pruebe la hipótesis de que 12 22 en contraposición a la alternativa 12 22 , donde 12 y 22 son las variancias para los tiempos de duración de las películas producidas por las compañías 1 y 2, respectivamente. Utilice un nivel de significancia de 0.10. Solución 1) Hipótesis H 0 : 12 22 (Las variancias para los tiempos de duración de las películas producidas
por las compañías 1 y 2, son iguales) H 1 : 12 22 (Las variancias para los tiempos de duración de las películas producidas
por las compañías 1 y 2, son diferentes) 2) Estadístico de prueba:
S 12 f0 2 S2
con v1= n1 -1 y v2= n2 -1 grados de libertad
3) Regla de decisión para 0.10 . De la Tabla 4, f vv21, / 2
1 1 0.1623 6.16 f 46, 0.95
y
f 0 f vv21,1 / 2 f 64,0.95 4.53
Rechazar H0 si f 0 0.1623 ó f 0 4.53 4) Evaluar el estadístico de prueba para: n1 = 5, S1= 8.8769 y n2 = 7, S2= 30.2214
S 12 (8.8769 ) 2 f0 2 0.0863 S 2 ( 30.2214 ) 2 5) Tomar una decisión: como
f 0 0.0863
es menor de 0.1623 Se Rechaza H0
6) Conclusión: La evidencia de las muestras apoya la hipótesis de que las variancias para los tiempos de duración de las películas producidas por las compañías 1 y 2, son diferentes. EJERCICIOS 4.3
M.C. Moisés Muñoz Díaz
83
Estadística I ___________________________________________________________________________________
Pruebas sobre dos medias 12. Una muestra aleatoria de tamaño n1 = 25 tomada de una población normal con una desviación estándar de 1 5.2 , tiene una media x 1 81 . Una segunda muestra aleatoria de tamaño n2 = 36, tomada de una diferente población normal con una desviación estándar de 2 3.4 , tiene una media x 2 76 . Pruebe la hipótesis de que 1 2 en contraposición a la alternativa 1 2 . Utilice un = 0.05. 13. Un fabricante afirma que la resistencia promedio a la tensión de los tornillos A exceden la de los tomillos B al menos en 12 kg. Para probar esta afirmación, se examinan 50 piezas de cada tipo de tornillo bajo condiciones similares. El tornillo tipo A tuvo una resistencia promedio a la tensión de 86.7 kg con una desviación estándar de 6.28 kg, mientras para el tornillo tipo B, estos mismos estadísticos fueron de 77.8 kg y 5.61 kg, respectivamente. Compruebe la afirmación del fabricante utilizando un nivel de significancia de 0.05. 14. Se realizó un estudio para estimar la diferencia de salarios de los profesores de escuela en universidades privadas y públicas; de Carolina del Norte. Una muestra aleatoria de 100 profesores de universidades privadas indicó un salario promedio, durante 9 meses, de $32 000 con una desviación estándar de $1300. Una muestra aleatoria de 200 profesores de universidades estatales mostró un sa1ario promedio de $32 900 con una desviación estándar de $1400. Pruebe la hipótesis de que el salario promedio para profesores trabajando en universidades del estado no excede el promedio para profesores de instituciones privadas por más de $500. Utilice un nivel de significancia de 0.01. 15. Se realizó un estudio para saber si el 84
incremento en la concentración de sustrato tiene un efecto apreciable en la velocidad de una reacción química. La reacción se realizó) 5 veces con una concentración de sustrato de 1.5 moles por litro, con una velocidad promedio de 7.5 micromoles por 30 minutos y una desviación estándar de 1.5. Con una concentración de sustrato de 2.0 moles por litro, se corrieron 12 pruebas, resultando una velocidad promedio de 8.8 micromoles por 30 minutos con una desviación estándar de 1.2. ¿Hay suficiente razón para creer que este incremento en la concentración de sustrato ocasiona un aumento en la velocidad promedio por más de 0.5 micromoles por 30 minutos? Utilice un nivel de significancia de 0.01 Y suponga que las poblaciones tienen distribución aproximadamente normal con variancias iguales. 16. Se realizó un estudio para determinar si el material que se trata en un curso de física se entiende mejor cuando un laboratorio forma parte del curso. Se seleccionaron aleatoriamente estudiantes para participar en, ya sea, un curso de 3 semestres/hora sin laboratorio o un curso de 4 semestres/hora con laboratorio. En la sección con laboratorio 11 estudiantes tuvieron una calificación promedio de 85 con una desviación estándar de 4.7, y en la sección sin laboratorio, 17 tuvieron una calificación promedio de 79, con una desviación estándar de 6.1. ¿Diría usted que el curso con laboratorio incrementa la calificación promedio hasta 8 puntos como máximo? Utilice un valor P en su conclusión y suponga que las poblaciones tienen distribución aproximadamente normal con variancias iguales. 17. Para determinar si un nuevo suero detiene la leucemia. Se seleccionan 9 ratones, los cuales ya la han contraído y están en una etapa avanzada de la enfermedad. Cinco reciben el tratamiento y 4 no. Los tiempos de supervivencia, en años, desde el momenM.C. Moisés Muñoz Díaz
___________________________________________________________________________ Pruebas de Hipótesis
to en que comenzó el experimento son los siguientes: Con 2.1 5.3 1.4 4.6 0.9 Tratamiento Sin Tratamiento 1.9 0.5 2.8 3.1 ¿En el nivel de significancia 0.05, puede afirmarse que el suero es eficaz? Asuma que las dos distribuciones son normales con variancias iguales. 18. Una gran compañía manufacturera de automóviles está por decidir si comprar una marca A o una marca B de neumáticos para sus nuevos modelos. Para ayudarle a optar por una de ellas, se lleva a cabo un experimento utilizando 12 de cada marca. Los neumáticos se "corren" hasta que se dañan. Los resultados son: Marca A
x 1 37900 Km s1 5100 Km
x 2 39800 Km Marca B s 2 5900 Km Pruebe la hipótesis, en el nivel de significancia 0.05. de que no hay diferencia en las dos marcas de neumáticos. Asuma que las poblaciones tienen distribución aproximadamente normal.
19. En el ejercicio 8 de la página 37, pruebe la hipótesis de que los minivehículos Volkswagen. en promedio, exceden a los minivehículos Toyota equipados de modo semejante, por 4 kilómetros por litro. Utilice un nivel de significancia de 0.10. 20. Un investigador de la Universidad de UCLA asegura que la vida promedio de ratones puede extenderse hasta por 8 meses cuando las calorías en sus alimentos se reducen aproximadamente 40% desde el momento en que son destetados. Las dietas restringidas son enriquecidas a niveles normales con vitaminas y proteínas. Suponga que una muestra aleatoria de 10 ratones se alimenta con una dieta normal y vive un promedio de 32.1 meses con una desviación estándar de 3.2 meses, mientras M.C. Moisés Muñoz Díaz
que una muestra aleatoría de 15 ratones come la dieta restringida y vive un promedio de 37.6 meses con una desviación estándar de 2.8. Pruebe la hipótesis, en el nivel de significancia de 0.05, de que la vida promedio de los ratones bajo esta dieta restringida se incrementa en 8 meses, en contraposición a la alternativa de que el incremento es menor que 8 meses. Suponga que las distribuciones de las vidas para las dietas regular y restringida son aproximadamente normales con variancias iguales. 21. Los siguientes datos representan los tiempos de duración de las películas producidas por 2 compañías cinematográficas: Compañía Tiempo (minutos) 1 102 86 98 109 92 2 81 165 97 134 92 87 114
Pruebe la hipótesis de que el tiempo de duración promedio de las películas producidas por la compañía 2 excede al de las de la compañía 1 en 10 minutos, en contraposición a la alternativa unilateral de que la diferencia es superior. Utilice un nivel de significancia de 0.1 y asuma que las distribuciones de los tiempos son aproximadamente normales con variancias iguales. 22. En el estudio "lnterrelationships Between Stress, Dietary Intake, and Plasma Ascorbic Acid During Pregnancy" que se realizó en la Virginia Polytcchnic Institutc and State University, en mayo de 1983. se compararon los niveles de ácido ascórbico en plasma de mujeres embarazadas entre fumadoras y no fumadoras. Para el estudio se seleccionaron treinta y dos mujeres en los últimos tres meses de embarazo, libres de cualquier padecimiento importante y con edades entre 15 y 32 años. Antes de tomarles una muestra de sangre de 20 ml, se les solicitó a las participantes no desayunar, privarse de sus complementos vitamínicas y 85
Estadística I ___________________________________________________________________________________
evitar alimentos con un alto contenido de ácido ascórbico. De las muestras de sangre, se determinaron los siguientes valores de ácido ascórbico, en gramos por mi1ilitro, en el plasma de cada sujeto: Valores de ácido ascórbico en plasma No fumadoras 0.97 0.72 1.00 0.81 0.62 1.32 1.24 0.99 0.90 0.74 0.88 0.94
1.16 0.86 0.85 0.58 0.57 0.64 0.98 1.09 0.92 0.78 1.24 1.18
Fumadoras 0.48 0.71 0.98 0.68 1.18 1.36 0.78 1.64
¿Existe suficiente evidencia para concluir que hay una diferencia entre los niveles de ácido ascórbico en la sangre de mujeres fumadoras y no fumadoras? Suponga que los dos conjuntos de datos se toman de poblaciones normales con variancias diferentes. Utilice un valor P. 23. Un estudio en el "Nutrienr Reten/ion and Macroinverlebrale Community Response lO Sewage Stress in a Slream Ecosyslem" se llevó a cabo, en 1980, en el Departamento de Zoología de la Virginia Polytechnic Institute and State University para determinar si existe una diferencia significativa en la densidad de organismos en dos estaciones diferentes ubicadas en Cedar Run, un segundo ramal localizado en la cuenca del Roanoke River. Las aguas del drenaje de una planta de tratamiento de agua y la salida del estanque de sedimentación de la Federal Mogul Corporation que entran a la corriente principal cerca de las aguas de la cabecera del río. Los siguientes datos dan las 86
mediciones de densidad, en número de organismos por metro cuadrado, de las dos estaciones colectoras: Cantidad de organismos por metro cuadrado Estaci6n 1
Estación 2
5030
4980
2800
2810
13700
1 t 910
4670
1330
10730
8130
6890
3320
11400
26.850
7720
1230
860
17 660
7030
2130
2200
22800
7330
2190
4250
1130
15040
1690
¿Puede
concluirse, en el nivel de significancia de 0.05, que las densidades promedio en las dos estaciones son iguales? Suponga que las observaciones vienen de poblaciones normales con variancias diferentes. 24. Cinco muestras de una sustancia tipo ferrosa se utilizan para determinar si existe una diferencia entre un análisis químico de laboratorio y un análisis de fluorescencia de rayos X. Cada muestra se divide en dos submuestras y se aplican los dos tipos de análisis. Los siguientes son los datos codificados que muestran los análisis de contenido de fierro: Análisis
Muestras 1
2
3
4
5
Rayos X
2.0
2.0
2.3
2.1
2.4
Químico
2.2
1.9
2..5
2.3
2.4
Si se supone que las poblaciones son normales, pruebe, al nivel de significancia de 0.05, si los dos métodos de análisis dan, en promedio, el mismo resultado. 25. Una compañía de taxis está tratando de decidir si el uso de neumáticos radiales en
M.C. Moisés Muñoz Díaz
___________________________________________________________________________ Pruebas de Hipótesis
lugar de otros comunes con cinturón mejora la economía del combustible. Se equiparon doce automóviles con neumáticos radiales y recorrieron una trayectoria de prueba prescrita. Sin cambiar de conductores. se equip6 a los mismos vehículos con neumáticos regulares y de nuevo recorrieron el mismo trayecto. Se registró el consumo de gasolina. en kilómetros por litro, como sigue: Kilómetros por litro
pesos de siete mujeres que siguieron esta dieta se registraron antes y después de un periodo de dos semanas. Utilice un valor P. Mujer
Peso Antes
Después
1
58.5
60.0
2
60.3
54.9
3
61.7
58.1
4
69.0
62.1
5
64.0
58.5
Auto-
Neumáticos
Neumáticos
6
62.6
59.9
móvil
radiales
normales
7
56.7
54.4
I
4.2
4.1
2
4.7
4.9
3
6.6
6.2
4
7.0
6.9
S
.6.7
6.8
6
4.5
4.4
1
5.7
S.7
8
6.0
5.8
9
7.4
6.9
10
4.9
4.7
11
6.1
6.0
12
5.2
4.9
En el nivel de significancia de 0.025. ¿puede concluirse que los vehículos equipados con neumáticos radiales dan una mejor economía de combustible que aquellos equipados con neumáticos normales? Suponga que las poblaciones están normalmente distribuidas. 26. Utilice la distribución t para probar la hipótesis de que la dieta reduce el peso de una persona en 4.5 kilogramos en promedio, en contraposición a la hipótesis alternativa de que la diferencia promedio de peso es menor que 4.5 kilogramos. Si los M.C. Moisés Muñoz Díaz
27. De acuerdo con el artículo "Practice and Fatigue Effecls on Ihe Programming ola Coincident Timing Response", que se pubHc6 en el Journal of Human Movement Studies, en 1976, la práctica bajo condiciones de fatiga distorsiona los mecanismos que gobiernan el comportamiento. Se llevó a cabo un experimento con 15 estudiantes hombres, a quienes se les entrenó para realizar un movimiento horizontal continuo del brazo, de derecha a izquierda, desde un microinterruptor hasta una barrera, golpeándola coincidentemente a la llegada de la manecilla de un reloj a la posición de las 6 en punto. Se registró el valor absoluto de la diferencia entre el tiempo, en milisegundos, que toma el golpear la barrera y el momento en el que la manecilla llega a la posición de las 6 en punto (500 milisegundos). Cada participante realizó la prueba cinco veces bajo condiciones de no fatiga y con fatiga, y las sumas de las diferencias absolutas de los cinco intentos se registró como sigue: Diferencias absolutas de tiempo (mseg) Sujeto
Sin fatiga
Con fatiga
1
158
91
87
Estadística I ___________________________________________________________________________________
2
92
59
nada
almacenarse
almacenarse
3
65
215
1
224
116
4
98
226
2
270
96
5
33
223
3
400
239
6
89
91
4
444
329
7
148
92
5
590'
437
8
58
177
6
660
591
9
142
134
7
1400
689
10
111
116
8
680
576
11
74
153
12
66
219
13
109
143
14
57
164
15
85
100
Un incremento de la diferencia absoluta de tiempo promedio cuando la tarea se lleva a cabo bajo condiciones de fatiga respaldaría la afirmación de que la práctica bajo condiciones de fatiga distorsiona los mecanismos que gobiernan el comportamiento. Suponga que las poblaciones están normalmente distribuidas y compruebe esta afirmación. 28. En el estudio "Comparison 01 Sorblc Acid in Count1)' Ham Before and Alter Slorage", que se llevó a cabo en 1983, en el Department of Human Nutrition and Foods en la Virginia Polytechnic Institute and State University, se registraron los siguientes datos en la comparación de residuos de ácido sórbico. en partes por millón, en jamón inmediatamente después de sumergirlo en la solución ácida y 60 días después de almacenado: Residuos de ácido sórbico en jamón Reba -
88
Antes de
Después de
Si se supone que la población tiene distribución normal, ¿se tiene suficiente evidencia, en el nivel de significancia de 0.05, como para afirmar que el periodo de almacenamiento afecta las concentraciones residuales de ácido sórbico? 29. ¿Qué tan grande se requiere una muestra en el ejercicio 2 si la potencia de la prueba debe ser 0.90 cuando la media verdadera es 21.31 Asuma que 1.42 . 30. Si la distribución de los alcances de vida en el ejercicio 3 es aproximadamente normal, ¿qué tan grande se requiere una muestra para que la probabilidad de cometer un error tipo II sea 0.1, cuando la media verdadera es 35.9 meses? Asuma que 5.8 meses. 31. ¿Qué tan grande se requiere una muestra en el ejercicio 4 si la potencia de la prueba es 0.95, cuando la altura promedio real difiere de 162.5 por 3.1 centímetros? 32. ¿Qué tan grandes deben ser las muestras en el ejercicio 13 si la potencia de la prueba es 0.95, cuando la diferencia real entre tipos A y B de cuerda de tornillo es de 8 kilogramos? 33. ¿Qué tan grande se requiere una muestra en el ejercicio 9 si la potencia de la prueba es 0.8, cuando el contenido real de nicotina excede el valor hipotético por 1.201
M.C. Moisés Muñoz Díaz
___________________________________________________________________________ Pruebas de Hipótesis
34. Para probar: H0 :
14 ,
H1 :
14
b) Pruebe la hipótesis utilizando una prueba t pareada. Utilice un valor P en su conclusión.
se está considerando una prueba t de nivel a = 0.05. ¿Cuál es el tamaño de muestra necesario con objeto de que la probabilidad de aceptar erróneamente Ho sea 0.1, cuando la media poblacional real difiere de 14 por 0.51? De una muestra preliminar, se estima que es 1.25. 35. Se llevó a cabo un estudio en el Department of Veterinary Medicine (Departamento de Medicina Veterinaria) en la Virginia Polytechnic Institutc and State University para determinar si la "resistencia" de una herida por incisión quirúrgica era afectada por la temperatura del cuchillo. Se utilizaron ocho perros en el experimento. La incisión se hizo en el abdomen de los animales. Se realizó una incisión "caliente" y una "fría" en cada perro y enseguida se midió la resistencia. Los datos resultantes aparecen abajo. Perro
Cuchillo
Resistencia
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8
Caliente Frío Caliente Frío Caliente Frío Caliente Frío Caliente Frío Caliente Frío Caliente Frío Caliente Frío
5 120 8 200 10 000 8 600 10 000 9 200 10 000 6 200 10 000 10 000 7 900 5 200 510 885 1 020 460
a) Escriba una hipótesis apropiada para determinar si hay una diferencia significativa entre las incisiones calientes y frías. M.C. Moisés Muñoz Díaz
36. Se utilizan nueve sujetos en un experimento para determinar si una atmósfera que contiene monóxido de carbono tiene impacto en la capacidad de respiración. Los datos los recopila el personal del Health and Physical Education Department de la Virginia Polytechnic Institute and State Universty. Los datos se analizaron en el Statistics Consulting Center de la VPI & SU. Los sujetos fueron colocados en cámaras de respiración, una de las cuales contenía una alta concentración de CO. Se tomaron varias mediciones respiratorias de cada sujeto en cada cámara. Se colocó en las cámaras en secuencia aleatoria. Los siguientes datos dan la frecuencia respiratoria, en número de aspiraciones por minuto.
Sujeto
Con CO
Sin CO
1
30
30
2
45
40
3
26
25
4
25
23
5
34
30
6
51
49
7
46
41
8
32
35
9
30
28
Realice una prueba de hipótesis unilateral de que la frecuencia respiratoria promedio es la misma para los dos medios ambientes. Utilice = 0.05. Pruebas para la Diferencia entre dos Proporciones 9. En un estudio para estimar la proporción de residentes de una ciudad y sus suburbios 89
Estadística I ___________________________________________________________________________________
que están de acuerdo con la construcción de una planta de energía nuclear, se encontr6 que 63 de 100 residentes urbanos favorecen la construcción mientras que 59 de 125 residentes suburbanos se oponen. ¿Existe alguna diferencia significativa entre las proporciones de residentes urbanos y suburbanos que favorecen la construcción de la planta nuclear? Haga uso de un valor P. 10. En un estudio acerca de la fertilidad de la mujer casada que condujeron Martin O'Conell y CaroJyn C. Rogers para el Census Bureau en 1979, dos grupos de esposas sin niños con edades de 25 a 29 años se seleccionaron al azar y a cada una se le preguntó si eventualmente planeaba tener un niño. De entre estas mujeres se seleccionó un grupo con menos de dos años de casadas y el otro de esposas con cinco años de casadas. Suponga que 240 de 300 esposas con menos de dos años de casadas planeaban tener hijos algún día en comparación con 288 de 400 esposas con cinco años de casadas. ¿Puede concluirse que la proporción de esposas con menos de dos años de casadas y que planeaba tener niños es significativamente más grande que la proporción de esposas con cinco años de casadas? haga uso de un valor P. 11. Una firma manufacturera de cigarros distribuye dos marcas. Si se encuentra que 56 de 200 fumadores prefieren la marca A y que 29 de 150 fumadores prefieren la marca B, ¿Puede concluirse en el nivel de significancia de 0.06 que la marca A aventaja en ventas a la marca B? Pruebas Relacionadas con Varianzas 7. Se lleva a cabo un estudio para comparar el tiempo que tardan hombres y mujeres en armar un producto determinado. Las experiencias anteriores indican que la
distribución de tiempos tanto para hombres como para mujeres es aproximadamente normal pero la variancia de los tiempos para las mujeres es menor que la de los hombres. Una muestra aleatoria de tiempos para 11 hombres y 14 mujeres arroja los siguientes datos: Hombres
Mujeres
n1 = 11
n2 = 14
S1 = 6.1
S2 = 5.3
Pruebe la hipótesis de que 12 22 en contraposición a la alternativa 12 22 . Utilice un nivel de significancia de 0.01. 8. En el ejercicio 23 de la página 65. Pruebe la hipótesis con un nivel de significancia de 0.02, que 12 22 en contraposición a la alternativa 12 22 donde 12 y 22 son las variancias para el número de organismos por metro cuadrado en las dos diferentes ubicaciones sobre el Cedar Run. 9. Con referencia al ejercicio 18 de la página 64. Pruebe la hipótesis de que 1 2 en contraposición a la alternativa 1 2 donde 1 y 2 son las desviaciones estándar de las distancias obtenidas por los neumáticos de las marcas A y B, respectivamente. Utilice un nivel de significancia de 0.05. 10. Con referencia al ejercicio 21 de la página 64. Pruebe la hipótesis de que 12 22 en contraposición a la alternativa 12 22 , donde 12 y 22 son las variancias para los tiempos de duración de las películas producidas por las compañías 1 y 2, respectivamente. Utilice un nivel de significancia de 0.10.
PRUEBAS DE HIPOTESIS
90
M.C. Moisés Muñoz Díaz
___________________________________________________________________________ Pruebas de Hipótesis
Pruebas Relacionadas con Medias H0
Estadístico de Prueba
1
z0
0
2
/ n conocida
z0
0
t0
z 0 z z 0 z z 0 z / 2
z 0 z z 0 z z 0 z / 2
t 0 t t 0 t t 0 t / 2
1 2 d0
z 0 z
1 2 d0
z 0 z / 2
1 2 d0
z 0 z
1 2 d0
z 0 z
1 2 d0
z 0 z / 2
1 2 d0
t 0 t
1 2 pero desconocidas v n1 n 2 2
1 2 d0
t 0 t
( n1 1 )S 12 ( n2 1 )S 22 n1 n 2 2
1 2 d0
t 0 t / 2
1 2 d0
t'0 t
1 2 d 0
t'0 t
1 2 d 0
t'0 t / 2
d d 0 d d 0 d d0
t 0 t t0 t
n1
22 n2
1 y 2 conocidas ( x x2 ) d0 z0 1 S 12 S 22 n1 n 2
1 y 2 desconocidas n1 y n2 >30 ( x x2 ) d0 t0 1 1 1 Sp n1 n 2
t'0
7
( x1 x 2 ) d 0 ( S 12 / n1 ) ( S 22 / n2 )
1 2 y desconocidas 1 2 d 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
z 0 z
Sp
8
S/ n
12
5
1 2 d 0
x 0
desconocida, n < 30 ( x x2 ) d0 z0 1
1 2 d0
6
S/ n
Rechazar H 0 si
1 2 d0
4
1 2 d0
x 0
desconocida, n >= 30
3
0
x 0
H1
v
( S12 / n1 S 22 / n2 )2 ( S12 / n1 )2 ( S 22 / n2 )2 n1 1 n2 1
d d0
t0
d d0 Sd / n
observaciones pareadas
t0 t / 2
PRUEBAS DE HIPOTESIS
M.C. Moisés Muñoz Díaz
91
Estadística I ___________________________________________________________________________________
Pruebas Relacionadas con Proporciones (Muestras Grandes) H0
Estadístico de Prueba
9 P P0
10
z0
P1 P2 d 0
x / n P0
z0
P0 ( 1 P0 ) n ˆp1 ˆp2 d 0
ˆp qˆ [( 1 / n1 ) ( 1 / n2 )]
donde: pˆ ( x1 x 2 ) /( n1 n2 ) ˆ qˆ 1 p
H1
Rechazar H 0 si
P P0 P P0 P P0
z0 z z0 z z0 z / 2
P1 P2 d 0 P1 P2 d 0 P1 P2 d 0
z0 z z0 z z0 z / 2
Pruebas Relacionadas con Varianzas 11
02 2 02
( n 1 )S 2
02
con v n 1 grados de libertad
2 02
02 2
2 02
02 12
2 02
12
12
f0
12
22
S 12
S 22 con v1 y v2 grados de libertad
22
02 2 / 2 ó 02 12 / 2
f 0 f vv 1, 2
12 22
f 0 f vv 1,1
12 22
f 0 f vv 1, / 2 ó 2
2
f 0 f vv 1,1 / 2 2
Pruebas de Bondad de Ajuste 13
Pruebas de Chi-cuadrada
Dist. Ob. = Dist. Esp.
02
k
( oi e i ) 2 ei i 1
Dist. Ob. Dist. Esp
02 12
Dist. Ob. Dist. Esp
D0 D ,n
con v = k – 1 grados de libertad Pruebas de Kolmogorov-Smirnov
14 Dist. Ob. = Dist. Esp 15 La clasificación en columnas es independiente de la clasificación en filas
92
D0 máx
F
obs
Fesp
Pruebas de Independencia. Tablas de contingencia 02
r
c
i1 j1
(o i j e i j ) 2 ei j
con v = (r – 1)( c – 1) grados de libertad
Si hay Relación o Son Dependientes
02 12
M.C. Moisés Muñoz Díaz
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