282-298 estatica

PROBLEMA N° 5.23: La viga curvada está sometida a una fuerza p cuya intensidad en kilogramos por metro de longitud del arco varia linealmente con

π

Ө desde cero en la base de la viga hasta p®en el extremo en donde Ө= 2 . Determinar la fuerza cortante Q, el momento flector M y el momento torsor T inducidos por p en la base de la viga. SOLUCIÓN: Variación de la carga

{

Ө=0, p=0→ b=0 p=aӨ+b π 2 p. Ө= , p= p .→ a= 2 π Entonces

p=

2 p.Ө π

En la base de la viga Fuerza cortante: π 2

Q=∫ pd l =∫ O

2 p .Ө ( rdӨ ) π

π 2

¿

2 p .Ө p.r π ( Ө dӨ) = Kg ∫ π O 4

´ ò Q=

−πp . r ´ i kg Rpta . 4

Momentos:

flector

´ =∫ r´ × d F= ´ ∫ ´r ×d Q ´ M

donde r´ =r ( 1cos θ ) ´j+sin θ k´

y

torsor

}

´ ´i =−prdθ ´i = −2 p . θrdθ ´i d Q=−pdl π ´ =−∫ ⌈r ( 1−cos θ ) ´j+r sin θ k´ ⌈× 2 p . θrdθ ´i M π

(

2 p.r ¿− π

2

) {∫ [ ( 1−cos θ ) θdθ (−k´ )+sin θ .θdθ ´j ]} 2π

0

2π

2

2

π 2

( 2 pπ. r ) ´k ∫ ( 1−cos θ ) θdθ−( 2 pπ. r ) ´j∫ sin θθdθ 0

0

Integrando y dando limites 2 2 2 ´ = 2 p . r k´ π +1− π − 2 p . r ´j M π π 2 π

(

)

π2 2 2 ¿ p.r −1+ k´ − p . r 2 ´j m−kg 4 π π 2

(

)

Ò

M=

2 2 p . r m−kg π

T = p .r 2

( π4 −1+ 2π ) m−kg Rpta .

PROBLEMA Nº5.24: El cable ABC soporta dos cargas de 300 kg como esta indicado. Determinar las distancias a y b cuando se aplica una carga horizontal de 200 kg en C. Despréciese el peso del cable.

SOLUCION: En el total del cable

+

∑ M A =0

−a300−b 300+6 ( 200 )=0 ¿ ¿ ¿ ¿ a+b 4¿ En el tramo BC del cable +

①

∑ M B =0 ;−300 ( b−a ) +3 ( 200 )=0

¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ② ¿ ¿ b−a=2¿ De ①

y

② : a = 1m.

b = 3m.

Rpta.

PROBLEMA Nº 5.25: Determinar las distancias a y b si la posición BC del cable es horizontal y si su máxima tensión es 650 kg.

SOLUCION: En el diagrama de cuerpo libre del cable completo, hay tanto se hallaran 6 ecuaciones:

k´ 6

incognitas, por lo

Cable completo:

∑ F x =0 , A x =E X

___________________ ①

¿ ¿ ¿ ¿ F y =0 , A y + E y =350 ¿ ∑¿

∑ M A =0, 32 E

y−a E x −8 (100 )−16 (150 )−24 (100 )=0

¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ x+ 32 E y =5600¿ −a E¿ Por condición del problema:

¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 2 2 E x + E y =6502¿

④

Tramo CDE:

∑ M c =0 ,−8 ( 100 )−b E x +16 E y =0

②

③

¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ x−16 E y =−800 ¿ b E¿

⑤

Tramo BA:

∑ M B =0 ,−8 A y +( b−a ) A x =0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ( b−a ) A x =8 A y

⑥

¿

Resolviendo las 6 ecuaciones:

③+⑤:

¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ( b−a ) E x +16 E y =4800¿

De ① :

E x =A x

De ② :

E y=350− A

⑦

y

Reemplazando en ⑦ :

( b−a ) A x +16 ( 350−A y ) =4800

¿ ¿ ¿ ¿ ( b−a ) A x −16 A x −16 A y =−800¿ ⑥

en ⑧ :

8 A y−16 A =−800

⑧

A y =100 kg .

y

A y=100 en② : E =350−100=250kg . y

2

2

E y =250 en ④ : E x + 250 =650

2

E x =600 kg .

E y =250 y E x =600 en ③ y en ④ : a = 4m b = 5.33m. PROBLEMA Nº 5.26: Dos cables del mismo diámetro están sujetos a una torre en B. como la torre es esbelta, la componente horizontal de la resultante de las fuerzas ejercidas por los cables en B ha de ser nula. Suponiendo que los cables tienen forma parabólica, calcular la flecha necesaria h del cable AB. SOLUCION: Por enunciado del problema, en B no hay componente horizontal de la resultante, por lo tanto las componentes horizontales de las tensiones de los cables en B son iguales. Esto también indica que las tensiones de los 2 cables en el punto más bajo son iguales. Diagrama de cuerpo libre de la mitad del cable BC (EC).

Suponiendo que el peso del cable es

δ

kg . m

Pd=20 δ

∑ M c =0 , 10 Pd −2T 0=0 ¿ ¿ ¿ ① T 0 =100 δ ¿ Diagrama de cuerpo libre de la mitad del cable BC (EC). Suponiendo que el peso del cable es

δ

kg . m

Pi=30 δ

∑ M A =0 ;−15 Pi +h T 0=0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 450 γ T0= ② h¿

Igualando ① y ② PROBLEMA

:

100 γ =

450 γ h=4.5 m Rpta . h

Nº 5.27:

Una tubería de vapor que pesa 45 kg/m pasa por un edificio a otro separando de el 20m y es à soportado por el sistema de cables indicado. Suponiendo que

el peso del sistema de cables es equivalente a una carga uniformemente distribuida de 5kg/m, hallar la situación del punto mas bajo C del cable, tensión máxima y la longitud total de dicho cable.

SOLUCION Carga distribuida uniformemente; w = 45+5 = 50kg/m. a) Diagrama del cable AC:

Pi=50

x

x

∑ M A =0 ; 4.5 T 0− 2 P i=0 ¿ ¿ ¿ ① 50 x 2 T0= 9¿ Diagrama del cable CB:

Pd =50 (20−x ) P −2 T 0 =0 ∑ M B =0 ;( 20−x 2 ) d

¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ② 2 50 ( 20−x ) T0= 4¿ Igualando ① y ②

x 2 20−x 2 = x=12 m Rpta . 3 2

() (

)

b) La tensión máxima se produce en A

TA Pi

Θ T0

Si

50 ( 12 )2 T0= =800 9

Pi=50 ( 12 )=600 T A =√ T 20+ P 2i =√ 6002+ 8002=√ 106

T A =T

màx

=10 3=1000kg.

Cuya dirección es:

Pi 600 3 = = =tan θ T 0 800 4

θ=36 ° 53 Rpta .

c) Longitud del cable.

Cable CB

:

Cable CA

Total:

[ ( )] [

2 YB S CB =X B 1+ 3 XB

S CA =X A

:

2

[ ( )] [ 2 YA 1+ 3 XA

2

( ) ]=8.35 m. 2

2 2 =8 1+ 3 8

( ) ]=13.1 m .

2 4.5 =12 1+ 3 12

2

S=SCB + SCA =8.35+13.1=21.45 m. Rpta .

PROBLEMA Nº 5.28: El peso total del cable AC es 30kg. Suponiendo que el peso del cable esta uniformemente repartido a lo largo de la horizontal, calcular la flecha h y la pendiente del cable en A y C. SOLUCION: En el diagrama de cuerpos libres barra BC:

M B=¿ 0; 5( 480 )+8 C =0 Y

∑¿ CY =300 kg . Cable AC:

∑ M A =0 ; 6 C x −8 C y −4 ( 30 )=0 C x =420 kg . F X =¿ 0 ; C X − A X =0 ∑¿ A X =420 kg .

∑ F Y =0 ; A y −30−C y =0 A y =33 o kg . Cable DA:

∑ M D=0 : y A x +2 ( 15 )−4 AY =0

Problema Nº 5 29: La carga de un Cable varía linealmente Desde uno de los apoyos hasta W . en el punto mas bajo, tal. Determinar La ecuación de la curva Para cada mitad del cable y la

Tensión en el punto mas bajo. Diagrama de cuerpo libre, cable CB: L Si P = wo ( 2 )

∑MB

=

1 2 L 3

0;

=

w.L 4

P - hTo = 0

W. L2

To = 12h

Rpta.

La ecuación de la curva: Tomando un punto del cable D(x, y) W1

=

2w. x L

;

W2 = W0 -2W0 X/L

P1

X2 2

= W1

= W0 X2/L

P2 = w2x = (w0-2w0x/L) x ∑MD 2x 3

P1 +

x 2

=

P2 – yT

0 =

0

Reemplazando valores de P1 y P2

2

w . x−2 w . x / L

x 2

12h w.L2

2x w. x +¿ 3 ¿ 2

y =

L Luego para x > 0 Y

= 2h

[( ) ( )] 3.

x x 2−2 3 L L

Rpta.

PROBLEMA Nº 5. 30: El cable ligero Tiene pendiente nula en Su punto de amarre inferior y soporta La carga que varía según q= kx2 como indica en la figura. Deducir la expresión de la tensión T. del cable en el origen.

SOLUCION: Si x = L

q0 =

KL2

k

= q0 /L2

Peso de la carga variable L

P1

=

∫ qdx=∫ q . x 2=q . L /3 0

L2 Concentrado a la distancia L

X =

∫

qdP1

¿∫ xqdx P1

=

∫ q . x 3=¿ 0

P1

*****

= L2

3 4

L

Peso de la carga uniforme P2 = q1L Aplicado en

x =

L 2

∑MB L 4

(

q.L L 4 )+ 2

=

0

(q1 L) – f T0 = 0

T0 = L2 (q0 + 6q1)

Rpta.

12f

PROBLEMA Nº 5.31: Un gran número de cuerdas están atadas a un Alambre ligero, que está suspendido de dos puntos A y B al mismo nivel. Demostrar que, si los extremos inferiores De las cuerdas se han cortado de modo que queden la misma Horizontal u si las cuerdas están espaciadas uniformemente, La curva cuya forma adquiere el alambre ABC es Y+d = dcosh (w…../T.e) Siendo w ….. el peso por unidad

1/2

x

De longitud de las cuerdas, d la distancia de la cuerda mas Corta y ……la distancia horizontal entre cuerdas adyacentes. SOLUCION Peso de cada cable w….. (y+d) por unidad de longitud, es

Solución: Peso de cada cable wr (y+ d) por unidad De longitud, es W

= wr (

y+d ) e

Si la ecuación diferencial del Cable flexible es d2 y dx 2 d2 y dx 2

=

w

r

w T.

( y +d ) T .e

d2 y dx 2 Cuya solución es

=

-

Wr wr d y= To e T❑

( )

Y

=

Rxosh

√ wr x−d T.e

Condición de contorno, si x = 0,

y = 0, R – d = o

R=d Por lo tanto wr x −¿ √¿

Y + d = dcosh

T.e

PROBLEMA Nº 5. 32: Un cable de 500 m de longitud Que pesa 3Kg/m está suspendido Por dos puntos a la misma Altura, tal como se muestra En el cable está limitado a 1500Kg, cuál debe ser la luz L del cable y la flecha f. SOLUCION: Es en cable catenario Si w

= 3Kg/m.,

Tmax =

1500Kg

Tmax = T. +wf T. =1500-wf_________________1 Tambien Tmax

wL 0 T.cosh ( 2 T . )

Rpta.

wL 1500 = T. cosh (( 2 T . ) 1500 2 TO

wL cosh2 ( 2 T . ) =

2

②

La longitude de la mitad del cable T. w

S=

wL senh ( 2 T . )

T. w

250 =

wL senh( 2 T . )

wL senh2 ( 2 T . ¿

=

250 2 T O2

③ 2 y 3 en la formula fundamental de la trigonometría hiperbólica senh2 x+1 = cosh2x 2

2

250 w 1500 +1= 2 2 To TO

Si w = 3, Como

L 2

2

T. = =

750

T. w

√3

senh

Kg -1

wS ( 2 T . ) = ___________4

Donde wS Senh-1 ( 2 T . )

wS Senh α ( 2 T . )

wS = arc senh ( 2 T . ) = α

=

3 (500) ws = 2 T o ( 2 ) 750 √ 3

=

√3 3

= 0.5771

Entonces α = o.549 Reemplazando valores es L = 2

(4)

750 √ 3 (0.549) = 500 3

L = 475. 4m

√3

(0.549)

Rpta.

Asi mismo reemplazando el valor de T. en 1 750 F =

√3

= 67m.

1500-3f Rpta.

PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBLEMA 5.1: Un varilla semicircular de peso w y radio r está articulada en A; se sujeta un peso w1 a la varilla en el punto B. Obtener una expresión del valor de θ en funcioin de w y w1.

Rpta: tgø =

PROBLEMA 5. 2: Hallar la situación del centro de gravedad del área representada cuando b tiende al infinito. Rpta:

w+ 2 w1 π¿ 2w ¿

X = c a 4

Y =

PROBLEMA 5. 3: Hallar el centro de gravedad de una copa delgada semiesférica de radio r y espesor t. Rpta.:

1 r 2

sobre la base

PROBLEMA 5.4: Una copa semiesférica de radio a esta parcialmente llena de agua. Utilizando el resultado obtenido en el problema 5.3, hallar para que altura de agua coincidirán el centro de gravedad del agua y el centro de gravedad de la copa. Rpta. : 0.785 a PROBLEMA 5.5: Hallar el centroide del volumen que se muestra En la figura, donde la parte inferior es la cuarta parte de un cilindro.

Rpta.: X = 0.374 pies Y = 2 pies Z = 1.87 pies

PROBLEMA 5.6: En la figura se muestra un cohete Saturno C-5. Determinar el área de la superficie del cohete Excluyendo las aletas y las toberas en la base y la sonda en

La punta. Usar los teoremas de Pappus y Guldin.

Rpta.:

39,900 pies2

PROBLEMA 5. 7: ¿Cuáles son las coordenadas centroidales de la Superficie que se muestra en la figura?. La frontera exterior es una circunferencia de 0. 5m de radio.

Rpta. : X = 0.085m Y = 0. 180m

PROBLEMA 5.8:¿Cuál es el centroide de la superficie del medio cilindro que se muestra en la figura?

Rpta.: X = 0 Y = L/2 Z = 2R/ π PROBLEMA 5.9: Localizar el centroide de la curva que se muestra en la figura

Rpta.:

X = 0.668

Y

= 0.459 PROBLEMA 5.10: Hallar la razón de wA a wB para que la reacción en B, de la viga mostrada, sea igual a (a) Una fuerza única sin par, (b) un par único, sin fuerza. En cada caso expresar la reacción en función de wB y L.

Rpta.: 1 wB 4 L, MB = 0 b) 1.0; RB = 0, MB =

a) 0.5; RB =

1 6 PROBLEMA 5.11: Una viga uniforme (w Kg/m) está apoyada como se indica. Hallar la distancia a, si el máximo valor absoluto del momento flector ha de ser tan pequeño

w B L2

como sea posible. Rpta. : = 0. 293L

a

PROBLEMA 5. 12: Para la viga AB mostrada en la figura, dibujar aproximadamente los diagramas de esfuerzo cortante y momento flector.

PROBLEMA 5. 13: Dibujar los diagramas de esfuerzo cortante y momento flector del sistema de cargas para la AOB.

PROBLEMA 5. 14: Dibujar los diagramas de esfuerzo cortante y momento flector para el arco triarticulado que se muestra. Rpta. :

ø 0 300 600 900 1200 1500 1800

V (Kg) M (m – Kg) 1. 5wr 0 0 -0 12 wr2 -0. 05 wr2 0 018wr -0. 05 wr2 0 -0. 12 wr2 1. 18 0 0 -0. 5wr PROBLEMA 5. 15: Hallar la relación b/a si el tramos del cable BC es horizontal. Rpta.: B/a

=

4 3

PROBLEMA 5. 16: Determinar la tensión máxima del cable, si sobre este actúa una carga uniforme de 100Kg/m, tal como se presenta en la figura. Rpta.: 2864 Kg

PROBLEMA 5.17: Un globo tiene una fuerza de flotación de 40Kg. El globo esta sostenido por un cable de 60m que pesa 0.5Kg/m. ¿Cuál es la altura h del globo por encima de la superficie terrestre, cuando un ciento constante lo obliga a adoptar la posición que se muestra en la figura? ¿Cuál es la tensión máxima del cable?

Rpta.: h = 46m. T máx. = 43. 6Kg PROBLEMA 5.18: El cable de 10 pies y 20 libras de peso esta sujeto a dos collarines en A y B que pueden deslizar libremente sobre las varillas, como está indicado. Despreciando el peso de los collarines, determinar (a) el valor De la fuerza horizontal F que haga que h=a, (b) los valores Correspondientes de h y a, y (c) la tensión máxima en el cable.

Rpta.: a) F = 8. 28 b. b) h = a = 6. 69 pies c) T máx. = 21.64 b.

PROBLEMA 5.19: En la figura se muestra den cable uniforme que pesa 1Kg/m, unido en B a una barra uniforme. La barra está libre de girar alrededor del pasador C. Si en El punto A se ejerce una fuerza de 80Kg como se muestra, ¿Cuál es el ángulo o de inclinación que resultar? La longitud Del cable es 20m. y la longitud de la barra 8m. ¿Cuál es el Peso de la barra?

Rpta.: α

= 30° 22. 8Kg.

PROBLEMA 5. 20.- Presión hidrostática sobre una superficie sumergida: a) Superficie plana: F = Pg.A = Ᵽ0 g Yg 0 A C

y

= Yg +

2

sen YgA ∝.

Ig

b) Superficie Curva La fuerza de presión total es La suma vectorial del peso del Fluido w1, la fuerza de presión …….sobre la proyección En el plano vertical y la fuerza ……proyección en el plano Horizontal

PROBLEMA 5. 21.- Se emplea como dique provisional un recipiente cilíndrico de 5m de largo. Hallar la fuerza total que actúa sobre el barril para: a) H = r y b) h = 2r Rpta. A) 3,397 Kg.-ʄ B) 12,700 Kg.- ʄ