281468506-Solucionario-Estadistica-y-Muestreo-Ciro-Martinez-Bencardino.pdf
May 28, 2018 | Author: MeLi DiAz | Category: N/A
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Estadística y muestreo, 12ª.edición (Segunda reimpresión) - CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.1 Conceptos generales
1 Conceptos generales EJERCICIOS RESUELTOS 1. Solución: • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Estadística Estadísticas Estadística descriptiva Indiferencia estadística Población Muestra Variable discreta Variable continua Investigación parcial Investigación total Elemento Unidad Parámetro Estimador Muestreo aleatorio Muestreo no aleatorio Estadísticas primarias Estadísticas secundarias Estadísticas externas Estadísticas internas Error de muestreo Dominio de estudio Marco muestral Marco defectuoso Sustitución de unidades o elementos Finalidad de la estadística Preguntas de control Preguntas abiertas Preguntas filtro
Estadística y muestreo, 12ª.edición (Segunda reimpresión) - CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
• • • • • • • •
Cap.1 Conceptos generales
Muestreo aleatorio simple Muestreo aleatorio estratificado Muestreo doble Muestreo por conglomerado Error ajeno al muestreo Características Características cualitativas Características cuantitativas
2. Solución: •
Estadística: método aplicado en la recolección, organización, análisis y descripción numérica de la información y en la realización de inferencias.
•
Estadísticas: se refiere a un ordenamiento sistemático de datos presentados en forma de cuadros y gráficas, que permiten visualizar la información.
•
Estadística descriptiva: parte de lo general a lo particular, describiendo mediante cuadros, gráficas y medidas el comportamiento de un conjunto de datos.
•
Inferencia estadística: parte de lo particular a lo general. A través de una muestra se obtiene información para toda una población.
•
Población: objeto de la investigación. Es un conjunto de medidas o el recuento de todos los elementos que presentan una característica común.
•
Muestra: recuento de una parte de los elementos pertenecientes a una población. Los elementos se seleccionan aleatoriamente.
•
Variable discreta: son aquellas que admiten únicamente valores enteros.
•
Variable continua: son aquellas que admiten valores fraccionarios.
•
Investigación mayor: Se selecciona una muestra de la población cuyo resultado es generalizado a un grupo mayor.
•
Investigación total: es aquella, en la cual se selecciona la totalidad de elementos de una población.
•
Elemento: puede ser una entidad simple o compleja. Es indivisible.
•
Unidad: conjunto de elementos. Es divisible, como por ejemplo la familia, una empresa etc., se puede descomponer en personas, trabajadores… 2
Estadística y muestreo, 12ª.edición (Segunda reimpresión) Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.1 Conceptos generales
•
Parámetro: son medidas que describen numéricamente la característica de los elementos de una población.
•
Estimador: la descripción de una característica correspondiente a los elementos de una muestra, a través de la aplicación de medidas.
•
Muestreo aleatorio: cuando todos los elementos que constituyen una población, tienen las mismas posibilidades de ser seleccionadas. Se realiza al azar.
•
Muestreo no aleatorio: cuando los elementos son elegidos por métodos no aleatorios, es decir, a juicio o voluntad, generalmente a juicio del investigador o en forma caprichosa o por conveniencia.
•
Estadísticas primarias: son aquellas que las personas o las empresas realizan directamente a fin de obtener información.
•
Estadísticas secundarias: son informaciones que fueron producidas por otras personas o entidades y que en un estudio o en algún momento son utilizadas.
•
Estadística externas: registros originados fuera de la empresa. Encuestas sobre la opinión que tienen los consumidores sobre un producto.
•
Estadísticas internas: registros originados dentro de la empresa. El departamento de producción; de Recursos Humanos, etc., producen información.
•
Error de muestreo: error que se puede cometer al realizar una investigación por muestreo. Es la diferencia que hay entre parámetro y estimador. Generalmente lo establece el investigador.
•
Dominio de estudio: manejo inadecuado de la estadística. Cuando no se tiene la totalidad de los informantes y se trabaja con la información suministrada por un número de informantes, menores al tamaño de la muestra. Cuando está mal diseñada la muestra. Por ejemplo se establece un número óptimo de alumnos matriculados en la universidad y finalmente se analizan únicamente aquellas que trabajan. En cada caso la población y la muestra deben corresponder a alumnos matriculados que trabajan.
•
Marco muestral: la lista o mapa completamente actualizada, que contenga las unidades o los elementos perfectamente identificadas de la cual se selecciona la muestra.
3
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Cap.1 Conceptos generales
•
Marco defectuoso: cuando contiene elementos que no corresponden a la población que se va a investigar.
•
Sustitución de unidades o elementos que no informaron: - Seleccionar un número de elementos superior al tamaño de la muestra. - Seleccionar del número total que informaron, un número igual a aquellos que no informaron y duplicamos la información. - Sustituir el elemento que no informó por el siguiente que si informó, y que estaba en la lista de los seleccionados. - De la población que no fue seleccionada, se extrae un número de elementos igual a los que no informaron.
•
Finalidad de la estadística: suministrar información, y su utilidad dependerá en gran parte del fin que se propongan y de la forma como se obtengan los datos.
•
Preguntas de control: determinan la veracidad de la información.
•
Preguntas cerradas: cuando se responde únicamente si o no.
•
Preguntas abiertas: cuando se pide una opinión.
•
Preguntas filtro: determinar si se debe dar por terminada la entrevista o si hay necesidad de pasar a otras preguntas del formulario.
•
Muestreo aleatorio simple: cuando la población no es numerosa, las unidades se concentran en un área pequeña, la característica investigada presenta muy poca variabilidad, además, es fácil la elaboración del marco de elementos.
•
Muestreo aleatorio estratificado: implica una división de la población en grupos denominados estratos, en tal forma que el elemento presente una característica tan definida que solo le permitirá pertenecer a un único estrato.
•
Muestreo sistemático: se aplica, cuando la característica a investigar se encuentra ordenada de mayor a menor o de menor a mayor de acuerdo al valor, tiempo o cantidad. La selección se hace a intervalos regulares
•
Muestreo doble: es aplicado de preferencia, cuando no existe información auxiliar que permita conocer los tamaños proporcionales de los estratos y hay dificultad para llegar al elemento o unidad que debe informar.
•
Error ajeno al muestreo: errores o fallas que se cometen durante todo el proceso de investigación.
4
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•
Características: lo que se estudia en cada elemento o unidad.
•
Características cualitativas: se expresan mediante palabras.
•
Características cuantitativas: se expresan mediante números.
Cap.1 Conceptos generales
3. Solución: a. Población: supongamos que nos situamos en un departamento del país: Cundinamarca y se desea hacer una investigación sobre el consumo de un determinado artículo, la población podría estar constituida por todas las amas de casa del departamento. También se podría hacer investigación sobre la totalidad de empresas; sobre los vehículos de transporte, particular o de servicio público o intermunicipal que operan en el departamento. b. Población finita: cuando la población está constituida por un número limitado de elementos, por ejemplo la totalidad de trabajadores del sector industrial textilero del país. c. Muestra: se investiga una parte de la población, en este caso sería extraer una muestra aleatorio, de los trabajadores del sector textilero del país. d. Características: tanto en la población como en la muestra, el ejemplo dado correspondería al trabajador (como elemento) del sector textilero del país, donde las características a estudiar son múltiples, algunas de ellas podrían ser: sexo, edad, tiempo de servicio, estado civil, composición familiar, propietario de vivienda, salario, etc.
4. Solución: Estadística descriptiva: un ejemplo podría ser, la investigación sobre rendimiento académico de los estudiantes de una facultad, en una de las universidades de la capital del país. Para ello, recolectamos información sobre la totalidad de los alumnos de la facultad luego, la procesamos para la elaboración de cuadros y gráficas, con la aplicación de algunas medidas, que puede estar acompañada de comentarios y conclusiones. Estadística inductiva: solamente se obtiene información para una parte de los estudiantes, cuyos resultados son considerados como válidos para el total de alumnos matriculados en esa facultad, de esa universidad.
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Estadística y muestreo, 12ª.edición (Segunda reimpresión) - CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.1 Conceptos generales
5. Solución: Tener la información diaria, semanal o mensual, sobre la producción de un artículo en la empresa donde trabajó, además de otros factores que el proceso involucra. La lectura e interpretación de ese mundo de información, que constantemente se produce, a todo nivel, en cada área del saber, obliga el conocimiento y uso de la estadística.
6. Solución: Conocer la realidad de la producción de un artículo específico, en una empresa. Determinar los cambios que presentan la demanda, la producción, las ventas y los precios en una empresa ya que estos originan cambios constantemente. Determinar las causas que han llevado a la empresa a exportar un artículo; puede estar dado por un mejoramiento del precio en el mercado interno, por un volumen superior a la demanda interna, etc.
7. Solución: Hechos no repetitivos o aislados. La caída de un meteorito en una zona del país. Los hechos cualitativos que no se pueden cuantificar, como el amor a la patria; el grado de religiosidad, etc. Hechos individuales, aquellos que le ocurren a una sola persona, a una empresa, a una entidad, etc.
8. Solución: La estadística se preocupa únicamente por el estado de grupos de personas, cosas, animales, empresas, etc., de ahí que rechaza los estudios individuales, ya que no es propiamente su campo de acción.
9. Solución: 9.1 9.2 9.3
c a d
(verdadero) (verdadero) (verdadero)
6
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Cap.1 Conceptos generales
10. Solución: 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5
Falso Verdadero Falso Cierto Falso
11. Solución: 11.1
d
11.2
a
11.3
b
11.4
Falso 12.7 Falso
Falso
c
12. Solución: 12.1 12.2
Falso 12.3 Falso 12.4
Verdadero Verdadero
12.5 12.6
13. Solución: A Planeamiento B Recolección C Procesamiento, análisis y publicación A. Planeamiento - Objetivo o finalidad - Definición del elemento o unidad - Formulación de hipótesis - Método de investigación (censo o muestra) - Método de recolección - Elaboración del presupuesto - Selección y preparación del personal - Actualización o preparación del marco - Examen de la documentación y metodología - Elaboración del cuestionario - Encuesta preliminar B. Recolección - Distribución de los formularios - Recolección propiamente dicha 7
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Cap.1 Conceptos generales
- Revisión de las informaciones - Control sobre el número de formularios recolectados C. Procesamiento – análisis y publicación - Proceso de crítica de la información recibida - Elaboración de cuadros de salida y cruce de información - Procesamiento - Revisión de los cuadros y gráficos - Análisis de la información - Publicación
14. Solución: Aspectos materiales - Tamaño del papel utilizado - Color del mismo - Tipo de impresión - Calidad del papel Aspectos técnicos: - Incluir únicamente las preguntas necesarias - No incluir preguntas que no van a ser contestadas - Comenzar por las preguntas fáciles hasta llegar a las más difíciles - No hacer preguntas que conlleve engorrosos cálculos - Evitar preguntas de difícil recordatorio - Utilizar el lenguaje del informante - No usar abreviaturas
15. Solución: (d)
Ocupación
16. Solución: (e)
Que todas tengan la misma posibilidad de ser seleccionados
17. Solución: (d)
Un conjunto de medidas o el recuento de todos los elementos que tiene una característica común. 8
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Cap.1 Conceptos generales
18. Solución: (a)
Parámetro
19. Solución: (d)
Los individuales
20. Solución: (e)
Efectuar comparaciones sin sacar conclusiones
21. Solución: a. Verdadero
b. Cualitativo
c. Inferencial
d. Igual
e. Descriptiva
22. Solución: Objetivo o finalidad a) Costos b) Tiempo c) Recursos humanos
d) e) f) g)
Grado de homogeneidad Destrucción del elemento Población infinita Población demasiado grande
b) Es un listado o puede ser un croquis, donde aparezcan todos los elementos o unidades que constituyen la población que va a ser objeto de la investigación, por lo tanto deben estar plenamente identificados y actualizados. a) b) c) d) e)
Los colectivos Los que se registran Se repiten Distinta frecuencia Cualitativos cuantificables
f) g) h) i) j)
Individuales No registrados Aislados Constantes Los que no son cuantificables
23. Solución: a) Población: hogares de clase media de la ciudad Bellavista 9
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Cap.1 Conceptos generales
Muestra: 350 hogares de clase media de dicha ciudad Unidad: hogares de clase media de dicha ciudad Característica: tipo de aceite o grasa usada en la cocina Característica: cualitativa Característica: ninguna de las dos, dado que es un atributo b) Población: plantas infestadas de un jardín Muestra: 50 plantas infestadas de dicho jardín Elemento: planta infestada en dicho jardín Característica: tiempo Característica: cuantitativa Característica: variable continua c) Población: 800 alumnos de un plantel de ambos sexos de 5 a 12 años Muestra: 20 alumnos de ese plantel, de ambos sexos, de 5 a 12 años Elemento: alumnos de ese plantel, de ambos sexos, de 5 a 12 años Característica: escala de medición, de 0 a 10 puntos Característica: cuantitativa Característica: discreta 24. Solución: a) Parámetro: medidas aplicadas a las características de los elementos o unidades en una población. Estimador: lo mismo, pero aplicado a la muestra. b) Población: conjunto de medidas o recuento de todos los elementos que constituyen la población que es objeto de investigación. Muestra: lo mismo, pero solo es una parte de los elementos de la población. c) Atributo: la característica cualitativa, se expresa mediante palabras y se cuantifica mediante el conteo. Variable: característica cuantitativa se expresa numéricamente, ya sea por conteo, como sucede con la variable discreta o mediante la medición, como ocurre con la variable continua. d) Muestreo aleatorio: todos los elementos que constituyen la población a investigar, todos los elementos o unidades que lo conforman, tiene la misma posibilidad de ser seleccionados. También todas las muestras posibles que se pueden obtener de una población, tiene la misma posibilidad de ser seleccionados. Muestreo no aleatorio: los elementos o unidades son seleccionados caprichosamente, por conveniencia, en forma voluntaria o a juicio del investigador.
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Cap.1 Conceptos generales
25. Solución: El alumno podrá contribuir en la solución de este punto, consultando otros autores, con lo cual va a tener una mejor visión sobre estos términos, aun en muchos casos, encontrar definiciones diferentes a las dadas en este libro.
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Cap.2 Elaboración de cuadros
2 Elaboración de cuadros de frecuencias EJERCICIOS RESUELTOS 1. Solución: Tabla de frecuencias yi
ni
hi
Ni
Hi
0 2 4 6 7 Σ
2 3 7 4 4 20
0,10 0,15 0,35 0,20 0,20 1,00
2 5 12 16 20 -
0,10 0,25 0,60 0,80 1,00 -
Xi
fi
fi
Fi
Fi
n
2. Solución:
a. b. c. d. e. f.
Cierto ( ) (X) ( ) (X) ( ) ( )
Falso (X) ( ) (X) ( ) (X) (X)
n
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Cap.2 Elaboración de cuadros
3. Solución: yi
ni
Ni
hi
Hi
10 20 30 40 50 Σ
6 10 18 10 6 50
6 16 34 44 50 -
Xi
fi
Fi
0,12 0,20 0,36 0,20 0,12 1,00 fi n
0,12 0,32 0,68 0,88 1,00 Fi n
hi =
ni n
h1 =
n1 n
n2 = n(h2 ) = 50(0,20) = 10
n=
n1 = 6 = 50 h1 0,12
h2 = H 2 − H1 h2 = 0,32 − 0,12 = 0,20
f f 2 = n 2 = 50(0,20) = 10 n
n=
f1 f1
n
=
6 = 50 0,12
f 2 F2 F1 = − n n n
f2 = 0,32 − 0,12 = 0,20 n
4. Solución: a. b. c. d. e. f. g. h.
Hogares de clase media en la ciudad de Guayaquil 150 hogares de clase media en esta ciudad Atributo Tipo de aceite y grasas usados en la cocina 7 clases. Hábitos de consumo de aceites y grasas Manteca de cerdo Algunos hogares informaron que usaban más de un tipo de aceite o grasa.
Tipo
No. de hogares
2
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Aceite de maíz Aceite de soya Aceite de ajonjolí Aceite sin especificar Manteca de cerdo Grasas de origen vegetal Aceite de oliva
Cap.2 Elaboración de cuadros
14 65 21 17 21 6 13
5. Solución: a. Niños de 5 a 12 años de edad de ambos sexos, residentes en el barrio de San Eduardo de la ciudad de Maracaibo; b. 15 niños y 15 niñas de 5 a 12 años; c. Es cuantitativa; d. Puntos de aceptación del nuevo sabor; e. Discreta; f. Numérica (puntuación de 0 a 10); g. Test de aceptación
h. 8 clases
Puntos 2 3 4 5 6 7 8 10
No. de niños 3 1 2 3 7 9 4 1
Total
30
yi
ni
hi
Ni
Hi
2 3 4 5 6 7 8 10 Σ
3 1 2 3 7 9 4 1 30
3 4 6 9 16 25 29 30 -
Xi
fi
0,10 0,03 0,07 0,10 0,23 0,30 0,14 0,03 1,00 fi n
0,10 0,13 0,20 0,30 0,53 0,83 0,97 1,00 Fi n
Fi
6. Solución: a.
(h1 + h2 + h3 ) + (h1 + h2 + h3 + h4 ) = 1,9
h3 = 0,25
∑ hi > 1 Falso
(0,2 + 0,4 + h3 ) + (0,2 + 0,4 + h3 + 0,2) = 1,9 b. Verdadero
h2 = 0,20 = 16 80
c. Falso
n = 50 ≠ 60
7. Solución:
3
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Cap.2 Elaboración de cuadros
a. Cualitativo b. Cuantitativo – discreta d. Cualitativo e. Cuantitativo – continua g. Cuantitativo - continua
c. Cualitativo f. Cualitativo
8. Solución: Se deja al alumno para que investigue en otros libros a fin de determinar una definición apropiada, diferente a la dada en este libro. 9. Solución: yi
Tabulación
ni
Ni
hi
Hi
3 4 5 7 8 10 12 Σ
III IIII IIII II II IIII II IIII II -
3 4 7 2 7 5 2 30
3 7 14 16 23 28 30 -
Xi
-
fi
Fi
0,10 0,13 0,23 0,07 0,23 0,17 0,07 1,00 fi n
0,10 0,23 0,46 0,53 0,76 0,93 1,00 Fi n
10. Solución: se deja al estudiante 11. Solución: a. Falso, es atributo
b. Falso
c. Cierto
12. Solución: yi,−1 − yi,
yi
ni
Ni
hi
Hi
y i ni
5,1 – 15 15,1 – 25 25,1 – 35 35,1 – 45 45,1 – 55 55,1 – 65 65,1 – 75 Σ
10 20 30 40 50 60 70 -
8 20 42 60 42 20 8 200
8 28 70 130 172 192 200 -
0,04 0,10 0,21 0,30 0,21 0,10 0,04 1,00
0,04 0,14 0,35 0,65 0,86 0,96 1,00 -
80 400 1.260 2.400 2.100 1.200 560 8.000
X i'−1 − X i'
Xi
fi
Fi
fi / n
Fi / n
X i fi
4
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Cap.2 Elaboración de cuadros
Proceso a seguir: hi =
a.
ni n
→ 0,04 =
8 8 → n= = 200 n 0,04
b. H 7 = H 6 + h7 → 1,00 = 0,96 + h7 → h7 = 1,00 − 0,96 = 0,04 c. h3 =
n3 n
→ h3n = n3 → 0,21( 200) = 42
d. n2 + n5 = 62 → n2 + 42 = 62 → n2 = 62 − 42 = 20 e.
y3 n3 = 1.260 → y3 (42) = 1.260 → y 3 =
f.
y 0, = y1 −
c ; 2
y0, = 10 − 10 = 10 − 5 = 5 ; 2
1.260 = 30 42 y1, = y2 −
c ; 2
y1, = 20 −
10 = 20 − 5 = 15 2
13. Solución: xmax = 160
c=
xmin = 122
38 38 c= = 6,33 m 6
rango = xmax − xmin 38 = 160 − 122
c=7
7 = 42 Se incrementó el rango en 4 unidades y el nuevo recorrido será: 42 = xmax − xmin 6 42 = 162 − 120 yi' −1 − yi'
ni
yi
Ni
hi
Hi
120,1 – 127 127,1 – 134 134,1 – 141 141,1 – 148 148,1 – 155 155,1 – 162 Σ
4 9 13 15 5 4 50
123,5 130,5 137,5 144,5 151,5 158,5 -
4 13 26 41 46 50 -
X i'−1 − X i'
fi
Xi
Fi
0,08 0,18 0,26 0,30 0,10 0,08 1,00 fi n
0,08 0,26 0,52 0,82 0,92 1,00 Fi n
5
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Cap.2 Elaboración de cuadros
14. Solución: yi' −1 − yi'
yi
ni
Ni
hi
Hi
2,75 – 4,25
3,5
4
4
0,08
0,08
4,25 – 5,75
5,0
16
20
0,32
0,40
5,75 – 7,25
6,5
25
45
0,50
0,90
7,25 – 8,75 Σ
8,0 -
5 50
50 -
0,10 1,00
1,00 -
− X i'
Xi
fi
Fi
fi / n
Fi / n
X i'−1
y o' +
1 c = y1 2
X o' + 4i = X 4'
y o' + 4c = y 4'
Reemplazando tenemos: y o' + 0,5c = 3,5 y o' + 4c = −
y o'
X o' + 4i = 8,75
y o' + 4c = 8,75 8,75
− 0,5c = − 3,50 3,5 c = 5,25
c=
5,25 = 1,5 = i 3,5
15. Solución: a. Amas de casa del barrio El recuerdo c. Tiempo d. Cuantitativa yi : ni :
3 3
4 7
5 10
6 16
b. 50 amas de casa del barrio El Recuerdo e. Continua. 7 9
8 5
=
50
16. Solución: a. Personal de una empresa
b. Tiempo
c. Continua
d. m = 7
6
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e.
Cap.2 Elaboración de cuadros
y3 = 5
n2 = 7
H 5 = 0,90
h4 = 0,32
X3 = 5
f2 = 7
F5 / n = 0,90
f 4 / n = 0,32
17. Solución: b. rango = 84 − 31 = 53
xmax = 84 xmin = 31
a.
d. amplitud = 53 ≅ 9
c. m = 1 + 3,3 log 40 = 6,29 ≅ 6
6
y i' −1 − y i'
ni
Ni
hi
Hi
yi
30,1 – 39
4
4
0,10
0,10
34,5
39,1 – 48
4
8
0,10
0,20
43,5
48,1 – 57
5
13
0,12
0,32
52,5
57,1 – 66
7
20
0,18
0,50
61,5
66,1 – 75
12
32
0,30
0,80
70,5
75,1 – 84
8 40
40 -
0,20 1,00
1,00 -
79,5 -
fi
Fi
fi / n
Fi / n
Xi
Σ X i'−1
− X i'
' y3' = X 3 = 57
X 5 = Y5 = 70,5 F4
n = H 4 = 0,50
F5 = N 5 = 32
i=c=9
7
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Cap.2 Elaboración de cuadros
18. Solución: yi' −1 − yi'
yi
ni
hi
Ni
Hi
10,1 – 18
14
20
0,13
20
0,13
18,1 – 26
22
25
0,17
45
0,30
26,1 – 34
30
30
0,20
75
0,50
34,1 – 42
38
30
0,20
105
0,70
42,1 – 50
46
25
0,17
130
0,87
50,1 – 58
54 -
20 150
150 -
Xi
fi
0,13 1,00 fi n
1,00 Fi n
Σ X i'−1
− X i'
Fi
Primera parte: n1 + n2 + n3 + n4 + n5 + n6 = 150
f1 + f 2 + f 3 + f 4 + f 5 + f 6 = 150
n1 + (n1 + 5) + 30 + 30 + (n1 + 5) + n1 = 150 4 f1 + 70 = 150
4n1 + 70 = 150 n1 = 150 − 70 = 20 4
Segunda parte: (1) y 2' + 0,5c = 22 (2) y 2' + 4c = 50 (2) y 2' + 4 c = 50 (1) − y 2' − 0,5c = − 22 3,5c = 28
c=
28 =8 3,5
Luego se le va sumando este valor a partir del 22. Siendo: 22 + 8 = 30; 30 + 8 = 38, etc.
8
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.2 Elaboración de cuadros
Tercera parte: c = 8 = 4 Ahora le restamos a y y tenemos el límite inferior por ejemplo 10 y si le i 2 2
sumamos formamos el límite superior que sería 18. Luego: 22-4 = 18 y 22 + 4 = 26, etc.
19. Solución: a. m = 7
b. m = 9
c. m = 11
d. Si
20. Solución: a. No se debe utilizar este número de marcas de clase, pues la información quedaría muy concentrada en dos intervalos, cuando lo recomendado son 5 como mínimo. b. Tampoco es aconsejable un número mayor a 16, pues la amplitud se reduce y nos quedaría casi igual a una variable discreta, además, una distribución en su presentación es larga. c. Está dentro de las recomendaciones.
21. Solución: a. Falso
b. Falso
c. Falso
d. Cierto
22. Solución: a.
(h1 + h2 ( f1 / n
+ h3 ) + (h1 + h2 + h3 + h4 ) = 1,9 + f2 / n + f3 / n ) +
( f1 / n + f 2 / n +
f 3 / n + f 4 / n ) = 1,9
(0,2 + 0,4 + h3 ) + (0,2 + 0,4 + h3 + 0,2) = 1,9 1,4 + 2 h3 = 1,9 ⇒ 2h3 = 0,5 ⇒ h3 = 0,25
Cierto h3 = 0,25 b. La frecuencia relativa no puede tener signo negativo (falso). c. Falso
m = no puede ser 4, a lo sumo igual a 6.
9
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.2 Elaboración de cuadros
23. Solución: a. El 30% de las observaciones
b. El 50%
c. El 74%
c. Falso
d. Falso
24. Solución: a. Verdadero
b. Cierto
25. Solución: ni
Ni
3 4 5 7 8 10 12 Σ Xi
3 4 7 2 7 5 2 30
3 7 14 16 23 28 30 -
fi
Fi
Diagramas de frecuencias absolutas y acumuladas
ni 7 6
Frecuencias
yi
5 4 3 2 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
8
9 10 11 12
Variable
Ni 30
Frecuencias
25 20 15 10 5
0
1
2
3
4
5
6
7
Variable
26. Solución:
10
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.2 Elaboración de cuadros
Histógrama y polígono de frecuencias
Ojiva
ni
Ni
15
50
Frecuencias
Frecuencias
40 10
5
30 20
10
0
120
127
134
141
148
Estaturas (cm)
155
0
162
y 'i −1 − y'i
120
127
134
141
148
155
Estatura (cm)
27. Solución:
162
y'i −1 − y'i
Diagrama de frecuencias absolutas acumuladas
ni
Ni
3 4 5 6 7 8 Σ Xi
3 7 10 16 9 5 50
3 10 20 36 45 50 -
fi
Fi
ni 16 14
Frecuencias
yi
12 10 8 6 4 2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Variable
Diagrama de frecuencias absolutas acumuladas Ni
Frecuencias
50 40 30 20 10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Variable
28. Solución:
11
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
yi' −1 − yi' 10,1 – 18 18,1 – 26 26,1 – 34 34,1 – 42 42,1 – 50 50,1 – 58 Σ
ni
Ni
20 25 30 30 25 20 150
20 45 75 105 130 150 -
X i'−1 − X i'
fi
Fi
Cap.2 Elaboración de cuadros
Histógrama y polígono de frecuencias
Ojiva
ni
Ni
30
150
Frecuencias
Frecuencias
25 20 15 10
100
50
5
0
10
18
26
34
42
50
Variable
58
0
y'i−1 − y'i
10
18
26
34
42
50
58
Variable
y'i−1 − y'i
29. Solución: Histógrama y polígono de frecuencias
ni
Ni
ci
ni ci
4,1 – 20 20,1 – 24 24,1 – 32 32,1 – 40 40,1 – 52 Σ
30 16 20 10 24 100
30 46 66 76 100 -
1,88 4,00 2,50 1,25 2,00 -
X i'−1 − X i'
fi
Fi
16 4 8 8 12 i
fi / i
ni
ci
4
Frecuencias
y i' −1 − y i'
3
2
1
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52
Variable
y'i−1 − y'i
30. Solución: a. Es el promedio que se obtiene entre el límite inferior y el límite superior de cada intervalo.
12
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.2 Elaboración de cuadros
b. Variable que toma valores fraccionarios, se trabaja con decimales. c. La diferencia que hay entre el límite superior y el inferior en cada intervalo. d. Es una gráfica de áreas representado por medio de rectángulos cuando la amplitud es constante, en una variable continua. e. Es otra gráfica de línea poligonal, utilizando marcas de clase y las frecuencias. f. Es el mismo intervalo de clase.
31. Solución: a) yi' −1 − yi'
hi
Hi
ni
Ni
ci
ni ci
8,1 – 18 18,1 – 48 48,1 – 98 98,1 – 148 148,1 – 198 Σ
0,30 0,25 0,18 0,14 0,13 1,00 fi n
0,30 0,55 0,73 0,87 1,00 Fi n
240 200 144 112 104 800
240 440 584 696 800 -
10 30 50 50 50 -
fi
Fi
i
24,00 6,67 2,88 2,24 2,08 fi n
X i'−1 − X i'
b. El 73% de las empresas venden menos de 98 millones de pesos. ni
ci 25
Frecuencias
20
15
10
5
0
8 18 28 38 48 58 68 78 88 98 108 118 128 138 148 158 168 178 188 198
Variable
13
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.2 Elaboración de cuadros
32. Solución: Rango = 190 − 151 = 39
m = 1 + 3,3 log 50 = 6,6
Amplitud = 39 = 7 6
Redefinición del rango = 192 − 150 = 42
(6 ó 7)
yi' −1 − yi'
ni
hi
Ni
Hi
yi
150,1 – 157
4
0,08
4
0,08
153,5
157,1 – 164
13
0,26
17
0,34
160,5
164,1 – 171
19
0,38
36
0,72
167,5
171,1 – 178
9
0,18
45
0,90
174,5
178,1 – 185
3
0,06
48
0,96
181,5
185,1 – 192
2 50
0,04 1,00 fi n
50 -
1,00 Fi n
188,5 -
Σ − X i'
fi
Fi
Xi
Histógrama y polígono 20 18
Frecuencias
X i'−1
16 14 12 10 8 6 4 2 0 150
157
164
171
178
185
192
14
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.2 Elaboración de cuadros
Ojiva ascendente 60
Frecuencia
50
40 30
20 10
y'i −1 − y'i
0 150
157
164
171
178
185
192
Estatura (cm)
33. Solución: Rango = 84 − 31 = 53
m = 1 + 3,3 log 40 ≅ 7 (no importa si trabajamos con 7 o 6)
Amplitud = 53 = 8 7
Redefinición del rango = 56 ⇒ 86 − 30 = 56
yi' −1 − yi'
ni
hi
30,1 – 38
4
0,100
38,1 – 46
2
46,1 – 54
Ni
Hi
yi
4
0,100
34
0,050
6
0,150
42
5
0,125
11
0,275
50
54,1 – 62
5
0,125
16
0,400
58
62,1 – 70
12
0,300
28
0,700
66
70,1 – 78
9
0,225
37
0,925
74
78,1 – 86 Σ
3 40
40 -
fi
1,000 Fi n
82 -
X i'−1 − X i'
0,075 1,000 fi n
Fi
Xi
15
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.2 Elaboración de cuadros
Ojiva ascendente Ni 40
Frecuencias
35 30 25 20 15 10 5 0
30
38
46
54
62
70
78
86
y'i −1 − y'i
Rangos
34. Solución: a) Falso (Gráfica)
b) Falso (Cualitativo)
c) Falso
d) Cierto
(Cartagena)
e) Falso (Continua)
f) Falso (Muestra)
35. Solución: Costo estimado (Cientos de $)
2,22% 2,27% 5,10%
12 ,71% CONVENCIONES
63 ,55%
14 ,15%
depreciación mantenimiento gasolina seguros esta cionamiento impuesto
36. Solución: Además de ser un complemento del cuadro, tiene la virtud de visualizar mejor la información.
16
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.2 Elaboración de cuadros
Ventas
Ventas
(mill de $)
(mill de $)
9.000
9.000
8.000
8.000
7.000
7.000
Millones $
Millones $
37. Solución:
6.000 5.000 4.000
6.000 5.000 4.000
3.000
3.000
2.000
2.000
1.000
1.000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2001
2002
Años
2003
2004
2005
2006
Años
(Gráfica lineal)
(Gráfica de barras)
38. Solución: Costos y ventas
Costos y ventas
(mill de $)
(mill de $)
250
200 200
Millones $
Millones $
250
150
100
50
150
100
50
2002
2003
2004
2005
Años
(Gráfica lineal)
2006
2001
ventas costos
2002
2003
2004
2005
Años
ventas costos
(Gráfica de barras dobles)
17
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.2 Elaboración de cuadros
39. Solución: Opinión porcentual de posibles votos (positivos y negativos) para congreso y presidente
Negativo 77,76%
Positivo 22,24%
Negativo 51,68%
Positivo 48,32% CONVENCIONES
voto negativo voto positivo
Congreso
Presidente
40. Solución: Valor producción y ventas
Valor producción y ventas
(mill Tons)
(mill Tons)
800
Millones de toneladas
Millones de toneladas
800
700 600 500 400 300 200 100
700 600 500 400 300 200 100
2001
2002
2003
Años
2004
2005
2001
producción ventas
2002
2003
Años
2004
2005 producción ventas
18
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.2 Elaboración de cuadros
41. Solución: y i' −1 − y i'
ni
ci
ni ci
yi
4,1 – 24 24,1 – 32 32,1 – 36 36,1 – 48 48,1 – 52 Σ
36 20 18 22 14 110
20 8 4 12 4 -
14 28 34 42 50 -
X i'−1 − X i'
fi
i
1,8 2,5 4,5 1,83 3,50 fi i
Xi
Histógrama y polígono ni
ci
4,5
Frecuencias
4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52
Variable
y'i −1 − y'i
42. Solución: % 40 30 20 10 0
CONVENCIONES Taxis
-10 -20
Computadores Betamax Teléfono celular
-30 Automóvil particular -40
19
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.2 Elaboración de cuadros
43. Solución: Encuesta realizada para conocer la opinión sobre contratación de un supervisor
RESULTADOS DE LA ENCUESTA SOBRE LA CONTRATACIÓN DE UN SUPERVISOR
a)
b) 250
25,64% No está seguro
Votos
200
23,7% Si
150
14 ,78% No
100
35 ,88% No responde
50
No
No está seguro
No respondió
CONVENCIONES
Si No No esta seguro No respo nde
c. Resultados: 35,88% no respondió; Respondió afirmativamente el 23,7%; No está seguro, el 25,64%; 14,78% Respondió negativamente. TOTAL: 100%
44. Solución: a. Tiempo que se gasta en una transacción bancaria y i' −1 − y i'
ni
hi
Ni
Hi
14,0 – 22 22,1 – 30 30,1 – 38 38,1 – 46 46,1 – 54 54,1 – 62 Σ
9 5 5 5 4 2 30
9 14 19 24 28 30 -
Xi
fi
0,30 0,17 0,17 0,17 0,13 0,06 1,00 fi n
0,30 0,47 0,64 0,81 0,94 1,00 Fi n
Fi
Rango = 62 − 14 = 48
m = 1 + 3,3 log 30 = 6 Amplitud = 48 = 8 6
20
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.2 Elaboración de cuadros
b. Histógrama y Polígono de frecuencias
ni 9 8
Frecuencias
7 6 5 4 3 2 1
y'i −1 − y'i 0
14
22
30
38
46
54
62
Variable
45. Solución: a. Ventas y costos compañía x (mil mill $)
Años
Ventas netas
Costos ventas
2001 2002 2003 2004 2005 2006
19.116 15.586 13.534 21.344 27.342 30.620
15.776 12.895 18.287 18.476 20.698 25.382
21
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.2 Elaboración de cuadros
Ventas y costos compañía x
Ventas y costos compañía x
2001 - 2006
2001 - 2006
30.000
30.000
25.000
25.000
Miles de millones $
Miles de millones $
b.
20.000 15.000 10.000 5.000
20.000 15.000 10.000 5.000 0
0
2001
2002
2003
2004
2005
2001
2006
2002
2004
2005
2006 ventas costos
Años
ventas costos
Años
2003
46. Solución: yi
ni
Ni
2 4 6 8 10 12 Σ Xi
7 15 8 10 16 4 60
7 22 30 40 56 60 -
fi
Fi
Diagrama frecuencias absolutas
ni
Diagrama frecuencias absolutas acumuladas
20
Ni 60
15
50 40
10 30 20
5 10
y'i −1 − y'i
yi 0
2
4
6
8
Variable
10
12
0
2
4
6
8
10
12
Variable
22
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.2 Elaboración de cuadros
47. Solución:
Artículos Camisas Corbatas Calcetines Pantalones Otros Total
Porcentajes 42 8 5 34 11 100
Ventas porcentuales Almacén x (agosto 2006)
Ventas Porcentuales almacén x (agosto 2006)
Porcentajes
50
42%
11% CONVENCIONES
5%
42%
40
34% 30 20
8%
10
11% 5%
camisas
34%
Otros
Pantalo nes
otro
Calcetines
calcetines
0
Corb atas
pantalones corbata s
Camisas
8%
Artículos
23
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.2 Elaboración de cuadros
48. Solución: yi
ni
Ni
hi
Hi
0 1 2 3 4 5 6 7 8 Σ
7 3 10 9 5 3 1 1 1 40
7 10 20 29 34 37 38 39 40 -
Xi
fi
Fi
0,18 0,07 0,25 0,22 0,12 0,07 0,03 0,03 0,03 1,00 fi n
0,18 0,25 0,50 0,72 0,84 0,91 0,94 0,97 1,00 Fi n
Diagrama de frecuencias absolutas acumuladas
ni
Diagrama de frecuencias absolutas
10
Ni
9
40
8 7
30
6 5 4
20
3 2
10
1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Variable
Variable
49. Solución: Rango : 94 − 39 = 55 Amplitud = (10 × 6 = 6)
m = 1 + 3,3 log 30 = 6
55 ≅ 60 Se aproximó a 60, por lo tanto se incrementó el nuevo rango en 5; 6
24
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.2 Elaboración de cuadros
yi' −1 − yi'
ni
Ni
hi
Hi
yi
36,1 – 46
5
5
0,17
0,17
41
46,1 – 56
4
9
0,13
0,30
51
56,1 – 66
7
16
0,23
0,53
61
66,1 – 76
6
22
0,20
0,73
71
76,1 – 86
5
27
0,17
0,90
81
86,1 – 96
3 30
30 -
0,10 1,00
1,00 -
91 -
fi
Fi
fi / n
Fi / n
Xi
Σ X i'−1
− X i'
Ojiva ascendente
ni
Ni
7
30
6
25
Frecuencias
Frecuencias
Histógrama y polígono de frecuencias
5 4 3 2
20 15 10 5
1
36
46
56
66
Variable
76
86
96
y'i −1 − y'i
y'i −1 − y'i 36
46
56
66
76
86
96
Variable
25
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.2 Elaboración de cuadros
50. Solución:
a. Gráfica circular
Ventas porcentuales por almacenes y jornadas
33,67% Vivero 16,33% Carulla 21,99% Exito
15,29% Carrefour
20,81% Vivero
19,89% Vivero
28,01% Carrefour
28,81% Carrefour
Jornada mañana de 9 a 11 am
Jornada tarde de 1 a 5 pm
Ventas porcentuales Jornada 9 a 11 am
Ventas porcentuales Jornada 5 a 10 pm
30
22,5 20
40
36,8 32,8
30
20
% Ventas (valor)
30,3
50
45,4 42,6
% Ventas (valor)
38,6
Carrulla Exito Carrefour Vivero
Jornada noche de 5 a 10 pm
50
46,4 40
CO NVEN CION ES
31,45% Exito
Ventas porcentuales Jornada 1 a 5 pm
50
% Ventas (valor)
33,37% Carulla
27,03% Carulla 23,36% Exito
40
34,9
32,9
30
20,8 20
16,0 10
10
Vivero
Exito
Carreofo ur
Carulla
Almacenes
Vivero
Exito
Carreofour
Carulla
Vivero
Exito
Carreofo ur
Carulla
Almacenes
10
Almacenes
51. Solución:
26
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.2 Elaboración de cuadros
a. Producción y ventas (miles mill $) 2002 - 2006 800 700
Valores
600 500 400 300 200 100 0 2002
2003
2004
2005
2006 producción ventas
b. Producción y ventas (miles mill $) 2002 - 2006
Millones de toneladas
800 700 600 500 400 300 200 100
2002
2003
2004
Años
2005
2006 ventas producción
52. Solución:
27
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.2 Elaboración de cuadros
La mayoría, equivocadamente realiza una gráfica circular, sin darse cuenta que un alumno puede practicar más de un deporte y el porcentaje se obtiene sobre el número de alumnos encuestados en este caso son 120.
Deportes Ajedrez Baloncesto Balompie Natación Ciclismo Tenis
No. de alumnos 13 47 62 34 20 8
% 10,83 39,17 51,67 28,33 16,67 6,67
13 = 0,1083 = 10,83% 120 47 = 0,3917 = 39,17% 120 etc.
Porcentaje de alumnos que practican un determinado deporte 60
51,67
Porcentajes
50
39,17
40
28,33
30 20
16,67
10,83 10
6,67
0
Tenis
Ciclismo
Natación
Balompie
Baloncesto
Ajedrez
Deportes
Gráfica mal elaborada Si la distribución de alumnos por práctica deportiva, se hace mediante una gráfica circular, queda mal elaborada, ya que la sumatoria de alumnos no es igual al tamaño de la muestra.
28
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.2 Elaboración de cuadros
Distribución de alumnos por deporte Tenis 4,35%
Balompié 33,7 0
Ajedrez 7,0 7%
Natación 10,48 % CONVENCIONES
ajedrez baloncesto balompié
Ciclis mo 10,87%
ciclismo nata ción tenis
Baloncesto 25,54 %
53. Solución:
(h1 + h2 + h3 ) + (h1 + h2 + h3 + h4 ) = 0,95 (0,10 + 0,15 + h3 ) + (0,10 + 0,15 + h3 + 0,20) = 0,95 2 h3 + 0,70 = 0,95 ⇒ 2h3 = 0,25
⇒ h3 = 0,125
yi' −1 − yi'
yi
hi
ni
35,1 – 45 45,1 – 55 55,1 – 65 65,1 – 75 75,1 – 85 85,5 – 95 Σ
40 50 60 70 80 90 -
4 6 5 8 9 8 40
X i'−1 − X i'
Xi
0,100 0,150 0,125 0,200 0,225 0,200 1,000 fi n
fi
H 2 = h1 + h2 = 0,25 → H 2 = 0,10 + h2 ⇒ h2 = 0,15 h6 = 2 (0,10 ) = 0,20
0,10 =
4 4 = 40 ⇒ n = 0,10 n
n2 = 0,15 (40) = 6
n3 = 0,125 ( 40) = 5
n5 = 0,225 (40) = 9
Histograma y polígono
29
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.2 Elaboración de cuadros
ni 10
Frecuencias
8
6
4
2
y'i −1 − y'i 0
35
45
55
65
75
85
95
Variable
30
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Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
3 Medidas de posición o de tendencia central EJERCICIOS RESUELTOS MEDIA ARITMÉTICA 1. Solución:
6 10 18 10 6 50
Z i'' -2 -1 0 1 2 -
Z i'' ni -12 -10 0 10 12 0
fi
di '
di ' fi
Yi
ni
10 20 y → 30 40 50 Σ Xi ''
Z '' =
∑Zi
d i' =
C
∑ Z i ni
Xi − A i
''
y = Ot + C
n
∑ d 'i f i X = A+i = 30 n
Ot = A = 30
y = 30 + 10 (0) = 30
NOTA: en una distribución SIMÉTRICA como la del ejercicio, la Media se localiza en el centro de la distribución
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
2. Solución: 2.1 x =
Σx i = 7.063 = 141.26 n 50
2.2 m = 1 + 3,3 log 50 = 6,61 (6 o 7); C = 160 − 123 = 6,17 ≅ 7 6
yi' −1 − yi'
ni
yi
y i ni
hi
y i hi
Zi
Z i ni
120,1 – 127 127,1 – 134 134,1 – 141 141,1 – 148 148,1 – 155 155,1 – 162 Σ
4 9 13 15 5 4 50
123,5 130,5 137,5 144,5 151,5 158,5 -
494,0 1.174,5 1.787,5 2.167,5 757,5 634,0 7.015,0
9,88 23,49 35,75 43,35 15,15 12,68 140,30
-16,8 -9,8 -2,8 4,2 11,2 18,2 -
-67,2 -88,2 -36,4 63,0 56,0 72,8 0
X i'−1 − X i'
fi
Xi
X i fi
0,08 0,18 0,26 0,30 0,10 0,08 1,00 fi n
f X i i ni
di
di fi
Nuevo rango = 162 – 120 = 42 2.3 Σ y i ni n
ΣX i f i n
y = 7.015 = 140,3 50
(a)
y=
(b)
y = Σy i hi
X = ΣX i ( f i / n )
y = 140,3
(c)
ΣZ i ni = Σ ( y i − y )ni = 0
Σ di fi = 0
(Ver última columna)
(d)
y = Ot + C
X =
∑ Z i ni ''
n
X = A+
∑ d i fi
Z i' = y i − Ot
di = X i − A
Ot = 150
A = 150
y = 150 + − 485 50
n
Z i' -26,5 -19,5 -12,5 -5,5 1,5 8,5 Σ Xi − A
4 9 13 15 5 4 50
Z i' ni -106,0 -175,5 -162,5 -82,5 7,5 34,0 -485,0
fi
di fi
ni
2
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
X = 140,3
y = 150 − 9,7 = 140,3
Ot = 134 = A
Cuando:
y = 134 + 315 50
y = 134 + 6,3 = 140,3 X = 140,3
yi − ot
ni
-10,5 -3,5 3,5 10,5 17,5 24,5 Σ Xi − A
4 9 13 15 5 4 50 fi
( yi − ot ) ni
-42,0 -31,5 45,5 157,5 87,5 98,0 315,0 di fi
2.4 Z i' 3,5 10,5 17,5 24,5 31,5 38,5 Σ Xi − A
Z i'' 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 -
ni
4 9 13 15 5 4 50
Z i'' ni 2,0 13,5 32,5 52,5 22,5 22,0 145,0
di '
fi
di ' fi
∑ Z i ni y = Ot + c ''
n
Z i'' =
Z i' c
Z i' = y i − Ot
∑ d i' f i X = A+i n
d i' =
Xi − A i
di = X i − A
Cuando: Ot = 120
A = 120
y = 120 + 7 145 50
X = 140,3
3
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
y = 120 + 7 (2,9) = 140,3 Z i' -38,5 -31,0 -24,5 -17,5 -10,5 -3,5 Σ Xi − A
Ot = 162
Cuando
∑ Z i ni ''
y = Ot + c
n
y = 162 + 7 − 155 50 y = 162 + 7(− 3,1)
Z i'' -5,5 -4,5 -3,5 -2,5 -1,5 -0,5 -
ni
4 9 13 15 5 4 50
Z i'' ni -22,0 -40,5 -45,5 -37,5 -7,5 -2,0 -155,0
di '
fi
di ' fi
A = 162
y = 162 − 21,7 = 140,3
∑ d i' f i X = A+i n X = 140,3
2.5 Este punto se deja para que sea solucionado por el estudiante
3. Solución: a) Primera submuestra
b) Segunda submuestra
yi
ni
y i ni
yi
123,5 130,5 137,5 Σ Xi
4 9 13 26
494,0 1.174,5 1.787,5 3.456,0
fi
X i fi
144,5 151,5 158,5 Σ Xi
ni
y i ni
15 5 4 24
2.167,5 757,5 634,0 3.559,0
fi
X i fi
Σ y i ni = 132,923 n
y2 =
Σ y i ni = 148,291 n2
y1 = 3.456 = 132,923 26
y2 =
3.559,0 = 148,29 24
y1 =
4
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
X1 =
X =
X 1 w1 + Xw2 ∑ wi
X =
X 1 f1 + X 2 f 2 n
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
Σ X i fi = 132,923 n X2 =
y=
Σ X i fi = 148,291 n
132,923(26) + 148,291(24) y1 n1 + y2 n2 = = 140,3 26 + 24 n1 + n2
b) M [KX ] = Kx M [KX ] = 2(140,3) = 280,6 La propiedad se refiere a: “La media aritmética del producto de una constante por una variable es igual a la media de la variable, multiplicado por la constante”. yi
yi K
ni
Ky i ni
123,5 130,5 137,5 144,5 151,5 158,5 Σ Xi
247 261 275 289 303 317 -
4 9 13 15 5 4 50
988 2.349 3.575 4.335 1.515 1.268 14.030
KX i
fi
KX i f i
M [KY ] = KM [Y ] ⇒
M [KX ] = KM [ X ]
M [KY ] = Ky
M [KX ] = KX
⇒
M [KY ] = 2 (140,30) = 280,60
M [KY ] = 14.030 = 280,60 50
5
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
4. Solución 7
7
i =1
i =1
' ∑ d i = ∑ Z i' = 7
Ot = 55
C = 10
A = 55
i = 10
7 40 ∑ hi = h5 + h6 + h7 =
110
i=5
7
∑
i=5
=
f5 f f + 6 + 7 = 40 n n n 110
7 40 ∑ hi = h5 + h6 + h7 =
110
i=5
7
∑
i=5
=
n5 n6 n7 + + = 40 n n n 110
n = 110
n5 + n6 + n7 = 40
n5 + 15 + 1 = 40
n5 = 40 − 16 = 24
Otra solución posible: 7
∑ hi = 1
i =1
h1 + h2 + h3 = 40 110 h5 + h6 + h7 = 40 110
h1 + h2 + h3 + h4 = 70 = H 4 110
h4 = 30 110
H4 =
N4 n
n=
H4 = 70 = 110 N 4 0,6363
Por este método permite encontrar, que n puede ser cualquier valor diferente a 110.
6
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
yi' −1 − yi' 30,1 – 40 40,1 – 50 50,1 – 60 60,1 – 70 70,1 – 80 80,1 – 90 90,1 – 100 Σ
yi
ni
Ni
y i ni
35 45 55 65 75 85 95 -
1 15 24 30 24 15 1 110
1 16 40 70 94 109 110 -
X i'−1 − X i'
Xi
fi
Ni
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
35 675 1.320 1.950 1.800 1.275 95 7.150
Z i'' -2 -1 0 1 2 3 4 7
Z i' -20 -10 0 10 20 30 40 -
X i fi
di '
di
Z i' ni -20 -150 − 170
1.270
Z i'' ni -2 -15 − 17
127
300 480 450 40 1.100
30 48 45 4 110
di fi
di ' fi
Calculamos la media aritmética, aplicando algunas fórmulas ya vistas a) y =
Σ y i ni n
7.150 = 65 110
=
∑ Z i ni '
b) y = Ot +
n
∑ Z i ni ''
c) y = Ot + c
n
= 55 +
X=
1.100 = 55 + 10 = 65 110
X = A+
110 = 55 + 10 = 55 + 10 = 65 110
Σ X i fi = 65 n
∑ d i fi n
= 65
∑ d i' f i X = A+i = 65 n
NOTA: Como la distribución es SIMETRICA, la media ubica en la mitad de la variable (marcas de clase) 5. Solución: yi' −1 − yi' 6,1 – 12 12,1 – 18 18,1 – 24 24,1 – 30 30,1 – 36 36,1 – 42 Σ
Ni
yi
ni
8 12 40 70 90 100 -
9 15 21 27 33 39 -
8 4 28 30 20 10 100
X i'−1 − X i'
Ni
Xi
fi
72 60 588 810 660 390 2.580
Z i'' -3 -2 -1 0 1 2 -
X i fi
di '
y i ni
Z i'' ni -24 -8 -28 − 60
40
20 20 -20 di ' fi
Z i' -21 -15 -9 -3 3 9 0
Z i'' -3,5 -2,5 -1,5 -0,5 0,5 1,5 0
Z i'' ni -28,0 -10,0 -42,0 -15,0 10,0 15,0 -70,0
di
di '
di ' fi
7
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
a) y =
Σ y i ni n
=
2.580 = 25,80 100
∑ Z i ni ''
y = Ot + c
X=
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
− 20 120 = 27 + 6 = 27 − = 25,80 100 100
n
∑ d i' f i X = A+i = 25,80 n
Σ X i fi = 25,80 n
b) y = 30 + 6 − 70 = 30 − 420 = 25,80
y = 25,80
100
100
A = 27
Ot = A = 30
6. Solución: n = 100
n1 = 75
x=
x1 = 52,6
n2 = 25
x 2 = 48,4
52,6 (75) + 48,4 (25) = 51,55 galones 100
7. Solución: n = 500 x =
n1 = 150
x1 n1 + x 2 n 2 n
1,57 =
n2 = 350
x = 1,57
1,52 (150) + x 2 (350) 500
x1 = 1,52
X=
x1 w1 + x 2 w2 ∑ wi
1,57(500) = 228 + 350 x 2 785 − 228 = x 2 = 1,59 Mts de estatura media 350
8. Solución: n = 200
n1 = ?
n2 = ?
n1 + n2 = 200
n1 = 200 − n2
8
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
x = 160,96 160,96 =
x1 = 163,4
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
x 2 = 157,3
163,4n1 + 157,3n 2 ; 32.192 = 163,4(200 − n2 ) + 157,3n2 200 32.192 = 32.680 − 163,4n 2 + 157,3n 2 6,1 n2 = 488
n 2 = 488 = 80 Estudiantes 6,1 n1 = 200 − 80 = 120 Estudiantes
9. Solución: n=?
n1 = 27
n2 = ?
x = 60,98 60,98 =
x1 = 57,30
x2 = 65,30
57,3 (27 ) + 65,3n2 27 + n2
1.646,46 + 60,98n2 = 1.547,1 + 65,3n2
99,36 = 4,32n2 n2 = 23 Estudiantes
10. Solución: n = 45
n1 = 20
n2 = 25
x = 55
x1 = 48,4
x2 = ?
48,4 (20) + x 2 (25) 45 2.475 = 968 + 25 x 2
55 =
x2 = 60,28 Puntos
9
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
11. Solución: n = 100
n1 = 40
n2 = 60
x =186,3
x1 = ?
x 2 = x1 − 10
186,3 =
x1 (40) + 60 ( x1 − 10) 100
186,3 =
x1 (40) + 60 x1 − 600 100
18.630 = 40 x1 + 60 x1 − 600 19.230 = x = 192,30 1 100 x 2 = 192,30 − 10 = 182,30 Libras
12. Solución: n = 91
n1 = n2
n3 = n1 − 5
x = 69,3
x1 = 70,4
x 2 = 64,2
x3 = ?
n1 + n2 + n3 = 91 2n1 + (n1 − 5) = 91 3n1 − 5 = 91
3n1 = 96 69,3 =
n1 = 96 = 32 3
70,4 (32) + 64,2 (32) + 27 x3 ; 91
n2 = 32 x3 =
n3 = 27
1.999,1 = 74,04 Promedio de calificación 27
13. Solución: x = 920.000
x1 = 970.000
x 2 = 840.000
h1 = ?
h2 = ?
10
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
x=
x1n1 + x2 n2 n
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
x = x1 h1 + x2 h2
x = x1 (1 − h2 ) + x2 h2
1 = h1 + h2
h1 = 1 − h2
920.000 = 970.000 (1 − h2 ) + 840.000h2 920.000 = 970.000 − 970.000h2 + 840.000h2
130.000h2 = 50.000
h2 = 50.000 = 0,3846 = 38,46% Hombres 130.000
h1 = 80.000 = 0,6154 = 61,54% Mujeres 130.000
14. Solución: x = 938.000
M [K + X ] = K + x
K = 78.000
K + x = 78.000 + 938.000 = 1.016.000 Salario promedio
15. Solución: x = 70,0
70 =
x1 = 68,4
68,4n1 + 71,2n2 n1 + n2
x 2 = 71,2
→
n1 = ?
n2 = ?
70n1 + 70n2 = 68,4n1 + 71,2 n2
70n1 − 68,4n1 = 71,2n2 − 70n2 1,6n1 = 1,2n 2
n1 1,2 = = 0,75 Es la relación n2 1,6
16. Solución: n1 = 35
n2 = 15
n = 50
x =?
11
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
17,5 × 22 = 3,85 100
x1 = 17,5
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
x 2 = x1 − 22% x1 ;
x 2 = 17,5 − 3,85 = 13,65
x=
x1n1 + x2 n2 n
x=
17,5 (35) + 13,65 (15) 612,5 + 204,75 = = 16,345 Edad media del curso 50 50
17. Solución: n = 100
n1 = ?
x = 18.750 18.750 =
n2 = ?
x1 = 17.580
n1 + n2 = 100
n1 = 100 − n2
x 2 = 19.780
17.580n1 + 19.780n2 100
18.750 (100 ) = 17.580 (100 − n 2 ) + 19.780n 2 1.875.000 = 1.758.000 − 17.580n 2 + 19.780n 2
n 2 = 117.000 = 53 Artículos 2.200
n1 = 47 Artículos
18. Solución: y = Σyi hi = 18,15 x = Σxi ( f i / n ) =18,15
Promedio de empleados por sucursal
yi
hi
17 18 19 Σ Xi
0,10 0,65 0,25 1,00
fi / n
yi hi
1,70 11,70 4,75 18,15
X i ( fi n)
12
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
19. Solución: a)
x=
xi
560 640 380 600 420 280 550 700 420 630 5.180
y=
c)
Σ xi n
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
b) x = 83.000
x = 5.180 = 518 10 $51.800 x = 51.800 + 83.000 + 180.000 = $314.800 Costo total promedio mensual
1.800 = 180 10
$180.000
y i' −1 − y i' 80,1 – 120 120,1 – 160 160,1 – 200 200,1 – 240 240,1 – 280 Σ
ni
yi
y i ni
1 3 2 3 1 10
100 140 180 220 260 -
100 420 360 660 260 1.800
X i'−1 − X i'
fi
Xi
X i fi
20. Solución: yi
500 600 700 800 900 Σ Xi
ni
y i ni
10 16 35 26 13 100
5.000 9.600 24.500 20.800 11.700 71.600
fi
X i fi
yi + 7%
yi +49
535
549
642 749 ←igual → 856 favorable 963
favorable
649 749 849
13
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
949
21. Solución: a) Falso
b) Falso
c) Falso
d) Falso
(no puede ser mayor a 1)
Se le deja al alumno investigar el por qué
22. Solución: a)
5,8 =
25(3,8) + 6,4n2 25 + n2
5,8 (25) + 5,8n2 = 25(3,8) + 6,4n2 145 + 5,8n2 = 95 + 6,4 n2
145 − 95 = 6,4n2 − 5,8n2 50 = 0,6n2
n2 = 50 = 83 (Redondeamos) 0,6 n 2 + n1 = 83 + 25 = 108
Cierto, el curso tiene más de 90 alumnos.
yi
ni
Hi
– – –
– – – –
– – –
y4
0,3 _
=
14
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
– b)
H 6 = 0,7
y6
H 4 = 0,3
– –
– – – –
Xi
Xi
– –
R / cierto 40% H 6 − H 4 = 0,7 − 0,3 = 0,4
c) Siendo: n1 = n2 = n3 x=
f1 = f 2 = f 3
es falso
635.000 + 754.000 + 864.000 = 751.000 3
751.000 ≠ 754.000
Siendo: n1 ≠ n2 ≠ n3 puede ser posible. Cuando n1 = n2 = n3 no es posible. x =
635.000n1 + 754.000n 2 + 864.000n3 = 254.000 n
(Procedimiento válido cuando
n1 ≠ n2 ≠ n3
f1 ≠ f 2 ≠ f 3 )
d) Falso. En el cálculo de la media geométrica no se necesita de la amplitud. e) 75% Hombres empleados públicos 25% Mujeres empleados públicos 100%
81% Hombres sector privado 19% Mujeres sector privado 100%
x = 25 + 19 = 44 = 22% Mujeres en ambos sectores 2 2
(Cierto)
15
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
f) Cierto. Si normalmente ∑ hi = 1 o 100% , al multiplicar la frecuencia relativa por 2 nos por lo tanto la media se duplica. queda: ∑ 2hi = 2 ; ∑ hi = 2,00 = 200%
23. Solución: a) Cierto
b) Falso
c) Cierto
24. Solución: a) El total de apartamentos de esa urbanización b) Los 50 apartamentos de esa urbanización c) Tiempo de permanencia del aroma d) Tiempo: horas, minutos, segundos, corresponde a una variable continua. e) yi
ni
yi ni
3 4 5 6 8 10 Σ Xi
3 7 10 16 9 5 50
9 28 50 96 72 50 305
fi
X i fi
y=
Σ y i ni n
X=
Σ X i fi = 6,1 Horas n
y = 305 = 6,1 Horas 50
f) Se le deja al estudiante la elaboración de la gráfica.
25. Solución: x = 655.000
Para el conjunto de personal se tiene: a) Un aumento de 8% ⇒ x = 655.000 (1,08) = $707.400 También se puede resolver: M [K + X ] = 52.400 + 655.000 = $707.400
16
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
655.000 × 0,08 = $52.400 correspondiente al aumento del 8%
b) Un aumento del 5% ⇒ x = 655.000 (1,05) = $ 687.750 M [K + X ] = K + x = 32.750 + 655.000 = $687.750
Para el grupo es más conveniente la primera alternativa del 8% de aumento.
26. Solución: x = 662.000 + (30 × 3.000) = 662.000 + 90.000 = $752.000
Será el nuevo promedio de salario mensual.
27. Solución: Σx
a) x = n i
x=
12,6 + 5,8 + 9,3 + 4,6 = 8,075% Es el margen de utilidad 4
b) yi
ni
y i ni
y=
0,126 0,058 0,093 0,046 Σ Xi
214.000 90.000 183.000 75.000 562.000
26.964 5.220 17.019 3.450 52.653
Σ y i ni n
X=
Σ X i fi = 0,0937 n
fi
X i fi
⇒ y = 52.653 = 0,0937 562.000
El margen de utilidad es del 9,37%
c) La más representativa es 9,37% y no de 8,075% dado que es ponderada, teniendo en cuenta la totalidad de las ventas por cada línea de producto.
28. Solución: a)
x=
Σ xi n
⇒ x=
0,8 + 1,1 + 2,6 + 1,4 5,9 = = 1,475% 4 4
17
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
Porcentaje de artículos defectuosos. Este cálculo se hace para que el alumno note la diferencia con la media ponderada
b) yi
ni
y i ni
y=
0,008 0,011 0,026 0,014 Σ Xi
8.300 12.600 24.300 15.800 61.000
66,4 138,6 631,8 221,2 1.058,0
Σ y i ni n
X=
Σ X i fi n
fi
X i fi
y = 1.058 = 0,0173 = 1,73% 61.000
Son 1.058 (miles de unidades) producidas en forma defectuosa, para un porcentaje de 1,73% de la producción.
29. Solución: n1 = 80
n2 = 120
f1 = 80
f 2 = 120
620.000 =
x = 620.000
(x2 + 58.500)80 +
x1 = x 2 + 58.500
x 2 (120)
200
200 (620.000) = 80 x 2 + (58.500 × 80) + 120 x 2 124.000.000 − 4.680.000 = 200 x 2 119.320.000 = 200 x 2
x 2 = 119.320.000 = 596.600 Promedio salarial mensual 200 x1 = 596.600 + 58.500 x1 = 655.100 Promedio mensual de salario
18
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
30. Solución: n = 400
x = 980.600
n1 = f1 = ? 980.600 =
x1 = 725.730
x 2 = 1.076.500
n2 = f 2 = ?
725.730 (400 − n2 ) + 1.076.500 n2 400
980.600 (400) = 725.730 (400 ) − 725.730 n2 + 1.076.500 n2 392.240.000 = 290.292.000 − 725.730 n2 + 1.076.500 n2
392.240.000 − 290.292.000 = 1.076.500 n2 − 725.730 n2
101.948.000 = 350.770 n2
⇒
n2 = 101.948.000 = 291 Operarios 350.770
n1 = 400 − 291 = 109 Técnicos
31. Solución: n = 80
x1 = 925.000
n1 + n2 + n3 = 80
⇒
x 2 = 870.000
x3 = ?
n1 + n1 + n1 − 10 = 80
f1 + f 2 + f 3 = 80 f1 = 30
3n1 − 10 = 80
f 2 = 30
90 = 3n1
f 3 = 20
n1 = 30
890.000 =
n2 = 30
n3 = 20 empleados
925.000 (30) + 870.000 (30) + x3 (20) 80
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Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
890.000 (80) = 27.750.000 + 26.100.000 + 20 x3 x3 =
71.200.00 0 − 27.750.000 − 26.100.000 = $867.500 promedio salarial mensual 20
32. Solución: x=
Σ xi ⇒ x = 5.770 = 641.111,11 (miles) n 9
a) x = 641.111,11 (1,15) = $737.277,78 b) x = 641.111,11(1,10) = $705.222.22 + 20.000 = $725.222,22 Para el obrero la mejor decisión es la primera; para el empresario es la segunda alternativa.
33. Solución: a) Promedio, intenta resumir o representar las características de un conjunto de valores. Es un valor típico o representativo. b) Ventajas: más fácil de calcular, conocido, entendido por todos, el más utilizado. Desventajas: se ve afectado por valores extremos grandes; sensibles a cualquier cambio que se haga en sus datos. c) En datos sin agrupar no hay ponderación; en tablas de frecuencias se hace con el fin de abreviar los cálculos, y se le denomina media ponderada.
34. Solución: yi
ni
y i ni
2.500 5.800 10.000 800 Σ Xi
500 1.200 600 2.500 4.800
1.250.000 6.960.000 6.000.000 2.000.000 16.210.000
fi
X i fi
a) Inversión total
Σ y i ni
= $16.210.000
X = Σ X i f i = 16.210.000
b) y = 16.210.000 = $3.377,083 4.800
El valor promedio por acción.
20
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
35. Solución: a) x =
3,6 + 4,1 + 3,2 + 3,8 + 4,6 = 3,86 Es la calificación promedio de los 5 cursos o 5
grupos, cuando cada uno de ellos tiene el mismo número de alumnos.
b) yi
ni
y i ni
y=
3,2 3,6 3,8 4,1 4,6 Σ Xi
26 32 34 40 15 147
83,2 115,2 129,2 164,0 69,0 560,6
Σ y i ni n
X=
Σ X i fi n
fi
X i fi
y= X =
560,6 = 3,81 calificación ponderada 147
36. Solución:
20 30 40
y i' −1 − y i' 15,1 – 25 25,1 – 35 35,1 – 45
2 12 37
50
45,1 – 55
62 → N j
Z i'' 1 2 3
Z i'' ni 2 20 75
ni
yi
2 10 25 → n j −1
4
100
25 → n j
Ni
→ N j −1
21
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
5 6 Σ di '
15 → n j +1
75 18 290 di ' fi
60 70 − Xi
3 80 fi
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
55,1 – 65 65,1 – 75 -
77 80 -
X i'−1 − X i'
Fi
NOTA: Para Z i'' =
0, le corresponderá el valor de Ot a y0 en este caso será 10. Ahora a 10 le agregamos el valor de c, siendo y1 = 20 .
Mediana =
y 'j −1
n − N j −1 +c2 nj
n = 80 = 40 2 2
M e = 45 + 10 40 − 37 = 45 + 10 3 = 45 + 30 = 45 + 1,20 = 46,20 25 25 25 Modo = y J' −1 + c
n J +1 n J +1 + n J −1
M d = 45 + 10 15 45 + 150 = 48,75 40 15 + 25
37. Solución: yi
ni
y i ni
0 2
2 3
0 6
4 6 7 Σ
7 4 4 20
28 24 28 86
Ni
2 5 → N j −1 12 → N j 16 20 -
22
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Xi
fi
X i fi
Fi
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
y = 86 = 4,3 20
a) Media aritmética:
X = 4,3
b) La mediana: N j −1 < n
Me = yj = 4
2
c) El modo: M d = y j = 4
38. Solución: yi' −1 − yi' 2,75 – 4,25 4,25 – 5,75
5,75 – 7,25 7,25 – 8,75 Σ X i'−1
−
X i'
yi
ni
y i ni
Ni
3,5 5,0
4 16
14,00 80,00
4 20 → N j −1
6,5 8,0 − Xi
25 5 50
162,50 40,00 296,50
fi
X i fi
45 → N j 50 -
a) Media aritmética y=
296,50 = 5,93 50
b) La mediana: N j −1 < n
2
Fi M e = y j = 6,5
c) El modo: M d = y j = 6,5
b) M e =
y 'j −1
n − N j −1 + c 2 nj
M e = 5,75 + 1,5 25 − 20 = 5,75 + 0,30 = 6,05 25 (Trabajando con intervalos iguales)
39. Solución: a) La media aritmética: 8.675 b) La mediana: 3.625
x = 86.750 = 8.675 10
M e = 3.250 + 4.000 = 3.625 2
23
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
M d = 3.000 , ya que se repite dos veces el valor de 3.000
c) La moda: 3.000 d) El valor de 50.000
e) Mediana, ya que no se afecta por valores extremos 40. Solución: yi
ni
y i ni
a) Media = 56.278.000 = 803.971,43
Ni
642.000 751.000 758.000 794.000
2 12 8 10
1.284.000 9.012.000 6.064.000 7.940.000
801.000 911.000 Σ Xi
24 14 70
19.224.000 12.754.000 56.278.000
70 -
fi
X i fi
Fi
70
2 14 22 32 → N j −1
Salario promedio mensual b) Mediana ⇒ n 2 = 35
56 → N j
M e = y J = 801.000
Salario promedio mensual c) Modo → M d = 801.000 Salario promedio mensual
41. Solución: yi' −1 − yi' 10,1 – 20 20,1 – 30
hi
yi
y i hi
0,20 0,28
15 25
3,00 7,00
30,1 – 40 40,1 – 50 Σ
0,40 0,12 1,00
35 45 -
fi
Xi
X i'−1
−
X i'
n
14,00 5,40 29,40 f X i i n
Hi
y2 h2 + y3h3 = 29,4 − 8,40
0,20 0,48 → H j −1
25h2 + 35h3 = 21
0,88 → H j
25 (0,68 − h3 ) + 35 h3 = 21
1,00 Fi
17 − 25h3 + 35h3 = 21
n
h3 =
4 = 0,40 10
h2 + h3 = 1 − 0,32 h2 + h3 = 0,68 h2 = 0,68 − h3
h2 = 0,28
24
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Mediana:
∑ hi
= 1 = 0,5 2
2
H j −1 < 0,5
a) M e = y j = 35 Kgrs/mm
b) M e =
y J' −1
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
2
1 − h j −1 + c 2 hj 2
c) M d = y j = 35 Kgrs/mm
2 1 / 2 − 0,48 0,02 M e = 30 + 10 = 30 + 10 = 30,5 Kgrs/mm 0,4 0,40
42. Solución:
yi' −1 − yi' Menos de 600 600,1 – 800 800,1 – 1.000 1.000,1 – 1.200 1.200,1 y más Σ Xi
ni
30 60
Ni
30 90 → N j −1
n = 200 = 100 2 2
45 15 50 200
135 → N j
N j −1 < n 2
150 200 -
Me =
fi
Fi
y J' −1
n − N j −1 + c 2 nj
M e = 800 + 200 100 − 90 = 844,44 = 45
$844.444 Moda = y j = 700 . Se toma la marca de clase o sea
Salario mensual
600 + 800 = 700 ⇒ $700.000 2 Salario mensual
Media aritmética. No es recomendable su cálculo en este ejercicio, dado que las frecuencias absolutas localizadas en los extremos de la variable no definidas, tienen un peso o importancia que no se puede desechar, estas ponderaciones son 30 y 50 respectivamente.
25
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
En el caso de que obligatoriamente se requiera calcular, deberá prescindirse de los valores extremos, es decir:
y i' −1 − y i' 600,1 – 800 800,1 – 1.000 1.000,1 – 1.200 Σ
60 45 15 120
700 900 1.100 -
42.000 40.500 16.500 99.000
X i'−1 − X i'
fi
Xi
X i fi
ni
yi
y i ni
X=
Σ X i fi = 825 n
y=
Σ y i ni 120
=
99.000 = 825 120
$825.000 Salario mensual
43. Solución: yi' −1 − yi' 648.000,1 – 668.000 668.000,1 – 688.000 688.000,1 – 708.000 708.000,1 – 728.000 728.000,1 – 748.000 748.000,1 – 768.000 Σ X i'−1 − X i'
ni
Ni
120 38 22 10 6 4 200
120 158 180 190 196 200 -
fi
Fi
yi
658.000 678.000 698.000 718.000 738.000 758.000 Xi
a) M d = y J = 658.000 n J = 120 n J +1 = 38 n J −1 = 0
38 b) M d = 648.000 + 20.000 = 668.000 0 + 38
c) M d = 648.000 + 20.000
120 − 38
(120 − 0) + (120 − 38)
= 656.118,18
38 − 0 = 652.634,15 2(120 − 0 − 38)
d) M d = 648.000 + 20.000
0 − 38 = 647.951,19 120 + 0 + 38
e) M d = 648.000 + 20.000
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(b) M d = 668.000 *
(c) M d = 656.118,18
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
(d) M d = 652.634,15
(e) 647.951,19
Esta fórmula no es aplicable en este ejercicio, ya que el promedio debe localizarse entre el límite inferior y límite superior del recorrido.
44. Solución: a) 68 < 74 < 80 Asimetría negativa;
b) 80 > 74 > 68 Asimetría positiva
c) 74 = 74 = 74 Simétrica
d) 74 = 74 > 60 Ligeramente asimétrica positiva
45. Solución: a) x = 61,67
M e = 62,5
M d = 65
b) x = 60,67
M e = 62
M d = No hay
c) x = 49
M e = 38
M d = 35
d) En (a) y (b) la Media y en (c) la Mediana
46. Solución: a) 4
4
6
6 6 6
7
10
15
x =
64 = 7,11 ; 9
Me = 6 ;
Md = 6
Me = 6
8
10 10 12 18
20
x = 78 = 13,0 ; M e = 11 ; 6
M d = 10
M e = 11
b) x =
7,1111(9 ) + 6 (13) 64 + 78 = = 9,47 15 15
47. Solución:
27
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
y i' −1 − y i' 3,1 – 8 8,1 – 10 10,1 – 16 16,1 – 24 24,1 – 30 30,1 – 32 Σ
ni
yi
Ni
ci
8 8 14 16 18 10 74
5,5 9,0 13,0 20,0 27,0 31,0 -
8 16 30 46 64 74 -
5 2 6 8 6 2 -
1,60 4,00 2,33 2,00 3,00 5,00 -
44 72 182 320 486 310 1.414
X i'−1 − X i'
fi
Xi
Fi
i
fi / i
X i fi
Mediana ⇒ n = 74 = 37 2 2
N J −1 = 30
ni ci
y i ni
N J = 46
M e = 16 + 8 37 − 30 = 16 + 3,5 = 19,5 16 Modo ⇒ Como la amplitud de los intervalos no es constante, lo recomendable es no n f calcularlo, pero si lo exigen se debe establecer el mayor valor de i = i y al frente en y i ci i n se obtendrá el valor del Modo. M d = 31 dado que i = 5,0 el valor más alto. c Media ⇒ 1.414 = 19,11 74
48. Solución: 720
720
720
720
Media = 11.310 = 942,5 ; 12
750
810
M d = 720 ;
810
840
840
900
1.680
1.800
M e = 810 + 810 = 810 2
El mejor promedio es la mediana, por ser el centro, eliminando los extremos, correspondiente al salario más bajo y al más alto. Media = $942.500
Modo = $720.000
Mediana = $810.000
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Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
49. Solución: a) y = 41
M e = 37
M d = 28
b) y = 432
M e = 384
a) x = 36 + 5 = 41
M e = 32 + 5 = 37
M d = 23 + 5 = 28
b) x = 36(12) = 432
M e = 32(12 ) = 384
M d = 23 (12) = 276 meses
M d = 276
50. Solución: Media =
7,9 + 8,3 + 6,1 + 6,8 + 7,4 + 8,6 + 8,2 + 7,6 + 8,0 68,9 = = 7,66% 9 9
Mediana:
6,1
6,8
7,6 7,9 8,0
7,4
8,2
8,3
8,6
Me
Mediana = 7,9 %
Modo ⇒ No hay, ningún valor se repite
51. Solución: Media =
− 15 = − 1,875 minutos 8
Mediana ⇒ -18 -12 -8
(1 minuto y 52 segundos)
-8 -6
M e = − 14 = − 7 minutos 2
10 12 15;
Me = − 7 Moda = − 8 (8 minutos de anticipación)
52. Solución: y i' −1 − y i' 2,1 – 5
ni
yi
y i ni
Ni
ci
120
3,5
420,0
120
3
ni ci
40,0
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Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
5,1 – 9 9,1 – 16 16,1 – 20 20,1 – 28 28,1 – 36 Σ
15 8 6 6 5 160
7,0 12,5 18,0 24,0 32,0 -
105,0 100,0 108,0 144,0 160,0 1.037,0
135 143 149 155 160 -
4 7 4 8 8 -
3,75 1,14 1,50 0,75 0,63 -
X i'−1 − X i'
fi
Xi
X i fi
Fi
i
fi / i
Media = 1.037 = 6,48 160 Modo = 3,5
Mediana = N J −1 = 0
N J = 120
n = 80 2
M e = 2 + 3 80 − 0 = 2 + 2 = 4 120
53. Solución: n1 + n2 + n3 + n4 + n5 + n6 = n
f1 + f 2 + f 3 + f 4 + f 5 + f 6 = n
→
n1 + (n1 + 5) + 30 + 30 + (n1 + 5) + n1 = 150 4n1 + 70 = 150
4n1 = 80 → n1 = 80 = 20 4
20
ni
20
n2 = 25
n3 = 30
n4 = 30
n5 = 25
n6 = 20
∑ Z i'' ni y = Ot + c n
Sabiendo que:
yi
n1 = 20
Z i'' -4
⇒
∑ d i' f i X = A + i n
Z i'' ni -80
30
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
30 40 50 60 70 Σ Xi
25 30 30 25 20 150
-3 -2 -1 0 1
-75 -60 -30 0 20 -225
fi
di '
di ' fi
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
(1)
Se toma como Ot = A = 60
(2)
De acuerdo a lo visto en la teoría al frente de Ot se coloca cero, cuando c = i es constante para Z i'' = d i'
(3)
Luego hacia arriba se colocará − 1 ; − 2 etc., y hacia abajo 1, 2, etc.
(4)
Reemplazamos en la fórmula inicial 45 = 60 + c − 225
(5)
Despejamos el valor de la amplitud c = i , siendo 45 − 60 = − 15 ⇒ c =
(6)
Ahora completamos la columna de X i
150
yi
ni
20 30 40 50 60 70 Σ
20 25 30 30 25 20 150
Xi
fi
ni
yi 1,00 0,83 0,75 0,60 0,42 0,29 3,89
fi
Xi
− 15 = 10 − 1,5
= yi
log yi
ni log y i
1,30103 1,47712 1,60206 1,69897 1,77815 1,84510 -
26,02060 36,92803 48,06180 50,96910 44,45375 36,90196 243,33524
log X i
f i Σ log X i
M H = M −1 (Media armónica)
MH =
150 = 38,56 3,89
M g = G = Mo (M. Geométrica) log M g =
243,33524 = 1,622234933 150
M g = antilog (1,622234933)
M g = 41,90
31
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Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
54. Solución: Media = 29,83
Mediana =
13 + 22 = 17,5 2
M d = No hay
Media geométrica = 6 3 × 6 × 13 × 22 × 46 × 89 = 16,62
La mediana es el valor central, el que mejor representa a ese conjunto de observaciones.
55. Solución: a) Media = 47 = 9,4 5
Media geométrica =
Media armónica =
9,4 > 7,19 > 5,22
b) Media = 9,4 9,4 > 8 > No hay
5
2 × 5 × 8 × 12 × 20 = 7,19
5 5 = = 5,22 1 + 1 + 1 + 1 + 1 0,958333 2 5 8 12 20
Se cumple la relación ⇒ M 1 > M o > M −1 Mediana = 8
Modo = No hay
⇒ M1 > M e > M d
Se cumple la relación
56. Solución: m
yi' −1 − yi'
(1) (2) (3) (4)
−
3,75 – 4,25 4,25 – 5,75 5,75 – 7,25 7,25 – 8,75 Σ
-
X i'−1 − X i'
yi
ni
Ni
3,5 5,0 6,5 8,0 − Xi
4 16 25 5 50
4 20 45 50 -
fi
Fi
Se observa que m = 4 número de intervalos
(1)
Sombreado aparecen los datos del problema
(2)
Determinamos la 1ª ecuación, recordando las propiedades de las frecuencias y marcas de clases.
(3)
32
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
y o' + c = 3,5 2 ' b) y o + 4c = 8,75 a)
b)
y o' + 4c = −
y o'
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
' Eliminamos a y o
8,75
− 0,5c = − 3,50 ⇒c= i =
3,5 c = 5,25
(4) Dividimos a la amplitud entre 2 ⇒
5,25 = 1,5 Completamos la columna yi = X i 3,5
1,5 = 0,75 , restándolo a la marca de clase formamos 2
el límite inferior del intervalo y sumándolos, el límite superior.
y i ni
log yi
ni log y i
14,0 80,0 162,5 40,0 296,5 X i fi
0,54407 0,69897 0,81291 0,90309 log X i
2,17627 11,18352 20,32283 4,51545 38,19807 f i log X i
Media =
296,5 = 5,93 50
log Media geométrica =
38,19807 = 0,7639614 50
Media geométrica = anti log (0,7639614) Media geométrica = 5,81
57. Solución: Vm =
∑ Si S ∑ Vi i
70 =
400 120 + 120 + 100 + 60 60 100 80 V4
V4 = 47,457 k . p.h.
58. Solución: Vm =
900 = 264,706 300 300 300 + + 250 250 300
Vm = 264,706 k . p.h.
33
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
59. Solución: Vm =
800 = 53,44 200 + 200 + 200 + 200 50 55 60 50
Vm = 53,44 k . p.h.
60. Solución: Vm =
2 = 48 1 + 1 40 60
Vm = 48 k . p.m.
61. Solución: A
C
B
Vm =
3 = 3 = 38,30 k . p.h. 1 + 1 + 1 0,078 30 40 50
62. Solución: ni
Z i''
Z i'' N i
Ni
ni
yi
3 4 5 6 7 8 Σ di '
15 80 225 450 665 800 -
5 20 45 75 95 100 -
5 15 25 30 20 5 100
28 34 40 46 52 58 -
yi 0,18 0,44 0,63 0,65 0,38 0,09 2,37
di ' fi
Fi
fi
Xi
X i fi
A = Ot = 10
M −1 =
n n ∑ yi i
i =c=6
MH =
n f ∑ Xi i
M H = 100 = 42,194 2,37
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Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
63. Solución:
xi: 4,824
10,184
x = 26,8
20,502
32,830
M e = 20,502
M −1 =12,501
65,660 M o =18,507
64. Solución: MH =
2 = 44,44 Minutos 1 + 1 50 40
65. Solución: MH =
x = 14 + 10 = 12 Papeleras diarias 2
2 = 11,67 Papeleras diarias 1 + 1 14 10
66. Solución: a) Media = 2.250 + 2.830 + 2.570 = $2.550 Promedio por paquete 3
b) M . armónica =
3 = $2.527,58 Valor promedio por paquete 1 + 1 + 1 2.250 2.830 2.570
67. Solución:
4 20 45 50 -
Z i'' -1 0 1 2 -
Z i'' ni -4 0 25 10 31
0,1333 0,3200 0,3571 0,0555 0,8659
Fi
di '
di ' fi
-
m
yi
ni
Ni
(1) (2) (3) (4)
30 50 70 90 Σ Xi
4 16 25 5 50 fi
−
-
ni / y i
35
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Σ Z '' n y = Ot + c i i n
⇒
Σd ' f X = A +i i i n
y = 62,4 = 50 + c 31 50
12,4 = 0,62c
c=
Mediana ⇒
12,4 = 20 0,62
n 50 = = 25 ⇒ N J −1 = 20 2 2
Mediana = y J = X J Media armónica =
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
y
N J = 45 (No aparece n ) 2
= 70
50 = 57,74 0,8659
68. Solución: Media armónica =
2 = 144,83 1 + 1 150 140
69. Solución: Media armónica =
3 = $1.800 1 + 1 + 1 1.200 1.800 3.600
Precio promedio pagado por el fabricante
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Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
70. Solución: yi' −1 − yi'
10,1 – 15 15,1 – 20 20,1 – 25 25,1 – 30 30,1 – 35 Σ X i'−1 − X i'
ni
ni
yi
3 7 15 25 10 60 fi
12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 Xi
Mediana ⇒ 60 = 30 2
Ni
yi 0,240 0,400 0,667 0,909 0,308 2,524
3 10 25 50 60 -
fi / X i
Fi
N J −1 = 25
N J = 50
Mediana (V .C.) = 25 + 5 30 − 25 = 25 + 1 = 26 25
Mediana (VD) = 27,5 Media armónica =
60 = 23,77 2,524
71. Solución: Media, mediana y moda a) Media → x =
143 = 14,3 minutos de retardo 10
Mediana → −4 − 3 − 1
2 Me =
Moda → M d = xJ = 4 minutos
4
4
6
10
124
6 = 3 minutos de retardo 2
La más representativa es la moda, la que más se repite. b) En este caso se utilizó la mediana, por ser el menor valor de los tres, de esta manera se muestra que hay un buen servicio. Para mostrar un mal servicio, se utilizó la media aritmética por ser el de mayor valor.
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Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
72. Solución: d) Cuando la distribución es simétrica. x = M e = M d Los puntos a), b) y c) se le dejan al estudiante. 73. Solución: y ' i −1 − y 'i
ni
NJ
6,1 - 12 12,1 - 15 15,1 - 20 20,1 - 28 28,1 - 36 36,1 - 40 40,1 - 50 Σ
2 14 5 3 7 16 3 50
2 16 21 NJ −1 24 NJ 31 47 50 -
a) Media:
y=
ni / ci
0,33 4,67 1,00 0,38 0,88 4,00 0,30 -
yi
9,0 13,5 17,5 24,0 32,0 38,0 45,0 -
y i ni
18,0 189,0 87,5 72,0 224,0 608,0 135,0 1.333,5
1.333,5 = 26,67 50 25 − 24 = 28 + 1,14 = 29,14 7
b) Mediana: M e = 28 + 8 N 50 = = 25 2 2
c) Moda:
N J −1 = 24 N J = 31
M d = y J = 13,5
(ni / ci ) = 4,67 Es el de mayor valor
d) Tercer decil:
3n 3 ( 50) = = 15 10 10
N J −1 = 2
N J = 16
15 − 2 D3 = 12 + 3 = 12 + 2,79 = 14,79 14
e) Segundo cuartil: N J −1 = 24 y
2n = 2 ( 50) = 25 ⇒ Q = M = 29,14 2 e 4 4 N J = 31
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Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
f) Percentil sesenta: 60n 60 ( 50) = = 30 100 100
N J −1 = 24
N J = 31
30 − 24 P60 = 28 + 8 = 28 + 6,86 = 34,86 7
74. Solución: 1.260.960 =
857.300 (400 − n2 ) + 1.320.856n2 400
504.384.000 = 857.300 (400) − 857.300n2 + 1.320.856n2 504.384.000 − 342.920.000 = 1.320.856n2 − 857.300n2
161.464.000 = 463.556n2 n2 = 161.464.000 = 348 Operarios 463.556
n1 = 400 − 348 = 52 Técnicos
75. Solución: Lo debe investigar el estudiante.
76. Solución: Con los datos del ejercicio No. 47, se pide calcular la media cuadrática, cúbica y el séptimo decil.
39
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
yi' −1 − yi' 3,1 – 8 8,1 – 10 10,1 – 16 16,1 – 24 24,1 – 30 30,1 – 32 Σ
yi
ni
5,5 9,0 13,0 20,0 27,0 31,0 −
X i'−1 − X i'
Xi
Media cuadrática =
Media cúbica =
3
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
8 8 14 16 18 10 74
y i2 ni 242 648 2.366 6.400 13.122 9.610 32.388
y i3 ni 1.331 5.832 30.758 128.000 354.294 297.910 818.125
8 16 30 46 64 74 -
fi
X i2 f i
X i3 f i
Fi
Ni
32.388 = 20,92 74
818.125 = 22,28 74
Séptimo decil = D7 ⇒
7(74) = 51,8 10
N J −1 = 46
N J = 64
51,8 − 46 D7 = 24 + 6 = 24 + 1,93 = 25,93 18
77. Solución: x=
40 = 6,67 6
Md = 4
4
4
6
10
12
Me = 5
Media Cuadrática ⇒ M 2 =
Media Cúbica ⇒ M 3 =
Me ⇒ 4
3
Media Armónica ⇒ M −1 =
42 + 102 + 62 + 42 + 42 + 122 = 54,67 = 7,39 6
43 + 103 + 63 + 43 + 43 + 123 3 = 522,67 = 8,06 6 6 6 = = 5,45 1 / 4 + 1 / 10 + 1 / 6 + 1 / 4 + 1 / 4 + 1 / 12 1,1
40
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Media Geométrica ⇒ M o =
a)
6
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
4 . 10 . 6 . 4 . 4 . 12 = 6 46.080 = 5,99
M −1 < M o < M 1 < M 2 < M 3 5,45 < 5,99 < 6,67 < 7,39 < 8,06
Se cumple la propiedad b) M 1 = 6,67
Md = 4
Me = 5
4 < 5 < 6,67 M d < M e < M1
Asimétrica positiva
78. Solución: yi
1.930.000 1.510.000 1.370.000 1.350.000 646.000 590.000 Σ Xi
ni
y i ni
Ni
2 4 6 4 26 110 152
3.860.000 6.040.000 8.220.000 5.400.000 16.796.000 64.900.000 105.216.000
2 6 12 16 42 152 -
fi
X i fi
Fi
a) Media = 105.216.000 = $692.210,53 152
Modo = $590.000
Mediana ⇒ n = 152 = 76 2 2
N J −1 = 42
N J = 152
Mediana = $590.000 = y J
b) Tanto la Mediana como la Moda, podrían ser representativas, sin embargo al escoger una de ellas, como mejor promedio nos inclinamos por la última.
79. Solución: n1 = 120
x = 240
n2 = 180
x2 = 216
226,7 =
x = 226,7 días n3 = ?
x3 = 230
120 (240) + 180 (216) + n3 (230) 300 + n3
226,7 (300) + 226,7 n3 = 28.800 + 38.880 + 230 n3 68.010 − 28.800 − 38.880 = 230 n3 − 226,7 n3 330 = 3,3 n3 ⇒ n3 = 100 (sección c)
41
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
80. Solución: => Número de vehículos vendidos en 10 días es de 34 => Valor total de las ventas: 34(18.500.000) = $629.000.000 => el 0,5% = 0,005 gana por cada vehículo 629.000.000 (0,005) = $3.145.000 + 270.000 = $3.415.000 sería el sueldo promedio en los 10 días.
81. Solución: Se le deja al estudiante para su solución.
82. Solución: M o = 873.374 (1.083.998) = 973.003 M o = 322.867 (240.776) = 278.816 Mo =
204.903 (267.358) = 234.057
M o = 345.604 (575.864) = 446.118
83. Solución: yi' −1 − 800,1 1.000,1 1.200,1 1.400,1 1.600,1 Σ
yi' 1.000 1.200 1.400 1.600 1.800
ni
Ni
5 13 17 8 7 50
5 18 35 43 50 -
yi
900 1.100 1.300 1.500 1.700 -
yi ni
4.500 14.300 22.100 12.000 11.900 64.800
42
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
2
3
yi ni
yi ni
4.050.000
3.645.000.000
15.730.000
17.303.000.000
28.730.000
37.349.000.000
18.000.000
27.000.000.000
20.230.000
34.391.000.000
86.740.000
119.688.000.000
a) Media: Moda:
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
⇒ y=
64.800 = 1.296 50
⇒ M d = 1.300 n 50 = = 25 2 2 N J −1 = 18
Mediana: ⇒
N J = 35
25 − 18 M e = 1.200 + 200 = 1.200 + 82,35 = 1.282,35 17
b) Media cuadrática: ⇒ M 2
M2 =
⇒ M3
M3 =
Media cúbica:
ni
yi
0,005556 0,011818 0,013077 0,005333 0,004118 0,039902
log yi
2,95424 3,04139 3,11394 3,17609 3,17609 -
86.740.000 = 1.317,12 50 3
119.688.000.000 = 50
3
2.393.760.000 = 1.337,70
ni log yi
14,77121 39,53810 52,93704 25,40873 22,61314 155,26822
43
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Media Armónica:
M −1 =
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
50 = 1.250,07 0,039902
Media Geométrica: log M o =
155,26822 = 3,1053644 50
M o = anti log 3,1053644 = 1.274,57
84. Solución: a) La mediana
b) La media geométrica
c) Verdadero
d) Verdadero
e) Población
85. Solución: se le deja al estudiante. 86. Solución: x1 + x2 2
= 5 =x
x1 + x2 = 10 x1 x 2 = 4 = M o x1 x2 = 16 x1 =
16 x2
Reemplazamos en
x1 + x2 = 5
16 + x2 − 10 = 0 x2
16 + x 22 − 10 x 2 = 0 x 22 − 10 x 2 + 16 = 0
44
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
x1 = 2 M3 =
3
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
x2 = 8 2 3 + 83 = 6,38 2
87. Solución: a) 169.000 (1,06) = $179.140, es el salario semanal b) 169.000 (1,04) = $175.760 + 5.800 = $181.560 La mayor es (b) con salario semanal de $181.560 89. Solución: x2 = 4,2
x1 = 3,4
x
= 3,4 (1 − h2 ) + 4,2 h2 = 3,7
3,7 = 3,4 − 3,4 h2 + 4,2 h2 0,3 0,3 = 0,8 h2 ⇒ h2 = = 0,375; h2 = 37,5% ; h1 = 62,5% 0,8
1 = h1 + h2 h1 = 1 − h2
90. Solución: yi' −1 − yi' 10,1 - 18 18,1 - 26 26,1 - 34 34,1 - 42 42,1 - 50 50,1 - 58 Σ
yi
ni
14 22 30 38 46 54 −
8 7 17 8 2 8 50
yi3 ni 21.952 74.536 459.000 438.976 194.672 1.259.712 2.448.848
ni / yi
0,5714 0,3182 0,5667 0,2105 0,0435 0,1481 1,8584
n = n1 + n2 + n3 + n4 + n5 + n6 = 50 8
+ 7
+ 17 + 8 + 2 + 8 = 50
n1 + n3 = 25 8 + n3 = 25 n6 + 2 = 10 n3 = 17 n6 = 8
45
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
n2 + n4 = 15 7 + n4 = 15 n4 = 8
y 2 + 4 C = 50 − y 2 − 0,5 C = − 22
y 2 + 0,5 C = 22 y 2 + 4 C = 50
C =
3,5 C =
28
28 =8 3,5
Media cúbica ⇒ M 3 =
3
2.448.844 = 50
Media armónica ⇒ M −1 =
3
48.976,88
≅ 36,59
50 = 26,90 1,8584
91. Solución: a) Falso ya que: x > M e > M d
y se da 68 como M d , que debe ser menor o igual a 62
68 > 62 > ?
b) M3 >
M2
> x >
76,8 > 72,50 > 70 >
Mo
> M −1
65
> 63
Se cumple la relación.
92. Solución: M g = 13,24
x = 14
a) Media armónica =
M 3 = 15,30
4 1 1 1 1 + + + 8 12 16 20
M 2 = 14,70
=
4 = 12,47 0,3208
46
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
93. Solución: a) Verdadero e) Verdadero
b) Sólo una f) Mediana
c) Geométrica g) Verdadero
d) Media aritmética
94. Solución: 1.026.328 =
200 x1 + 300 ( x1 − 86.400) 500
513.164.000 = 200 x1 + 300 x1 − 300 (86.400) 513.164.000 = 500 x1 − 25.920.000
x1 = 539.084.000 = 1.078.168 500
x 2 = 991.768
y
95. Solución: a) Media aritmética
Ot = 50 =
A
yi' −1 − yi'
ni
hi
yi
y i ni
Z i'
Z i' ni
15,1 – 25 25,1 – 35 35,1 – 45
8 20 42
0,04 0,10 0,21
20 30 40
160 600 1.680
-30 -20 -10
45,1 – 55
60
0,30
50
3.000
0
55,1 – 65 65,1 – 75 75,1 – 85 Σ
42 20 8 200
0,21 0,10 0,04 1,00
60 70 80 -
2.520 1.400 640 10.000
10 20 30 -
-240 -400 -420 − 1060 1060 420 400 240 0
fi
fi / n
Xi
X i fi
di
di fi
X i'−1 − X i'
47
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
(Primer método abreviado)
y=
Σ y i ni n
y = Ot +
10.000 = 50 200
=
Σ Z i' ni n
X=
Σ X i fi = 50 n X = A+
= 50 + 0 = 50
Σ d i' f i = 50 n
Ot = 50 = A
(Segundo método abreviado)
Z i'' -3 -2 -1 0 1 2 3 Σ di '
Z i'' ni -24 -40 -42 0 42 40 24 0
Σ Z i' ni y = Ot + c n
Σ d ' f X = A + i i i = 50 n
y = 50 + 10 (0 ) = 50
di ' fi
B) yi' −1 − yi'
ni
Ni
yi
y i ni
15,1 – 25 25,1 – 35 35,1 – 45 45,1 – 55 55,1 – 65 65,1 – 75 75,1 – 85 Σ
6 17 34 53 42 38 10 200
6 23 57 110 152 190 200 -
20 30 40 50 60 70 80 -
120 510 1.360 2.650 2.520 2.660 800 10.620
fi
Fi
Xi
X i fi
X i'−1 − X i'
Z i'
Z i' ni
-30 -20 -10 0 10 20 30 0
-180 -340 -340 0 420 760 300 620
di
di fi
A = Ot = 50
48
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
X=
Σ X i fi = 53,1 n
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
y = 50 + 620 = 50 + 3,10 = 53,1 200
Σ d ' f X = A + i i i = 53,1 n
Z i'' -3 -2 -1 0 1 2 3 Σ di '
Ot = 50
Z i'' ni -18 -34 -34 0 42 76 30 62
y=
Σ y i ni n
=
10.620 = 53,1 200
Σ Z '' n y = Ot + c i i n
62 y = 50 + 10 = 53,1 200
di ' fi
b) Mediana A) y i' −1 − y i' 15,1 – 25 25,1 – 35 35,1 – 45
ni
8 20 42 60
Ni
8 28 70 → N j −1 130 → N j
45,1 – 55 55,1 – 65 65,1 – 75 75,1 – 85 Σ
42 20 8 200
172 192 200 -
X i'−1 − X i'
fi
Fi
N j −1 < n 2
Me =
y 'j −1
70 < 100
n 2 − N j −1 + C nj
n −F j −1 M e = Li + i 2 fj 100 − 70 M e = 45 + 10 60
M e = 45 + 300 60
49
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
M e = 45 + 5 = 50
B) y i' −1 − y i' 15,1 – 25 25,1 – 35 35,1 – 45
45,1 – 55 55,1 – 65 65,1 – 75 75,1 – 85 Σ X i'−1
−
ni
Ni
6 17 34
6 23 57 → N J −1 110 → N J 152 190 200 -
53 → n J 42 38 18 200
X i'
fi
M e = 45 + 10 100 − 57 53 M e = 45 + 10 43 53 M e = 45 + 430 53 M e = 45 + 8,11 = 53,11
Fi
A) yj
nj
Nj
20 30 40
8 20 42
8 28 70 → N j −1
50 → y j 60 70 80 Σ XJ
130 → N j
60 42 20 8 200 fJ
172 192 200 FJ
nj
Nj
6 17 34
6 23 57 → N j −1
N j −1 < n 2 70 < 100
Me = yj = X j M e = 50
B) yj
20 30 40 50 → y j 60 70 80 Σ
53 42 38 10 200
110 → N j 152 190 200 -
50
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
XJ
fJ
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
N j −1 < n 2
FJ
57 < 100
Me = yj M e = 50
M e = y j = 50 (En ambos casos)
A) yi' −1 − yi' 15,1 – 25 25,1 – 35 35,1 – 45
8 20 42 → n j −1
45,1 – 55
60 → n j
55,1 – 65
42 → n j +1
65,1 – 75 75,1 – 85 Σ
20 8 200 fj
X i'−1 − X i'
c) Modo:
nj
n j −1 M e = y 'j −1 + c n j +1 + n j −1
A) M e = 45 + 10 42 = 45 + 420 = 50 42 + 42 84
B) M d = 45 + 10 42 = 45 + 420 = 50,53 76 34 + 42
(
)
n j − n j −1 M d = y 'j −1 + c n − n + n − n j −1 j j +1 j
(
) (
)
51
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
60 − 42 180 A) M d = 45 + 10 = 45 + 36 = 50 ( 60 − 42 ) + ( 60 − 42 )
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
f J −1 M d = Li + i f J +1 + f J −1
53 − 34 = 45 + 190 = 51,33 30 (53 − 34) + (53 − 42)
B) M d = 45 + 10
( f J − f J −1 ) M d = Li + i ( ) ( ) f − f + f − f J −1 J J +1 J B) yi
20 30 40 50 60 70 80 Σ Xi
ni
log yi
ni log y i
6 17 34 53 42 38 10 200
1,20103 1,47712 1,60206 1,69897 1,77815 1,84510 1,90309 -
7,20618 25,11104 54,47004 90,04541 74,68230 70,11380 19,03090 340,65967
fi
log X i
d) Media geométrica:
f i log X i
log M g =
340,65967 = 1,70329835 200
M g = antilog 1,70329835 = 50,5 log M g =
Σ ni log y i n
e) A) M d = 3M e − 2M 1
Σ f log X i M o = antilog i n
B) M d = 3M e − 2M 1
M d = 3 (50) − 2 (50)
M d = 3 (53,1) − 2 (53,1)
M d = 50
M d = 53,1
f) A) yi
ni
ni / y i
20 30 40
8 20 42
0,40 0,67 1,05
52
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
50 60 70 80 Σ Xi
60 42 20 8 200 fi
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
Media armónica
1,20 0,70 0,29 0,10 4,41
MH =
n n ∑ yi i
MH =
200 = 45,35 4,41
MH =
n n ∑ yi i
MH =
200 = 48,426 4,13
fi / X i
M H = 45,35
MH =
n = 45,35 f ∑ Xi i
B) yi 20 30 40 50 60 70 80 Σ Xi
ni
ni / y i
6 17 34 53 42 38 10 200
0,30 0,56 0,85 1,06 0,70 0,54 0,12 4,13
fi
fi / X i
M H = 48,426
B) ni
6 17 34 53 42 38 10 200 fi
y i2 ni 2.400 15.300 54.400 132.500 151.200 186.200 64.000 606.000
y i3 ni 48.000 459.000 2.176.000 6.625.000 9.072.000 13.034.000 5.120.000 36.534.000
X i2 f i
X i3 f i
Media cuadrática y cúbica M2 =
Σ yi2 ni n
M2 =
M3 = 3
Σ yi3 ni n
M3 =
606.000 = 55,04 200
3
36.534.000 200
M 3 = 3 182.670 = 56,74 M2 =
Σ xi2 f i = 55,04 n
M3 = 3
Σ X i3 f i = 56,74 n
53
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
97. Solución: M1 = 7
Siendo: 7=
x1 + x 2 + x3 3
M3 =
3
657 =
M 3 = 3 657
Me = 6 21 = x1 + 6 + x3
15 = x1 + x3
x1 = 15 − x3
x13 + 6 3 + x33 3
3
3 (657 ) = x13 + 216 + x33 1.971 − 216 = x13 + x33 1.755 = x13 + x33 1.755 = (15 − x3 ) + x33 3
1.755 = 3.375 − 675 x3 + 45 x32 − x33 + x33 1.755 = 3.375 − 675 x3 + 45 x32 1.620 − 675 x3 + 45 x32 = 0
(
)
45 36 − 15 x3 + x32 = 0
Dos números que sumados den 15 y multiplicados sean igual a 36, serán: 3 y 12. x1 = 3
Siendo:
x2 = 6
x3 = 12
98. Solución: 5=
x1 + x 2 2
Mo =
x1 . x2
→ →
10 = x1 + x 2 4=
x1 x 2
→
x1 = 10 − x 2
→ 16 = x1 x 2
→
x1 = 16 x2
54
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
x1 = 10 − x 2
→
16 = 10 − x 2 x2 x1 = 2
x 22 − 10 x 2 + 16 = 0
M −1 =
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
→ 16 = 10 x 2 − x 22
x2 = 8
n = 2 = 2 = 3,2 1 1 + 1 0,625 ∑x 2 8 1
99. Solución:
∑ xi2 = 64 + 4 + 36 + 100 + 4 + 36 + 64 + 100 + 4 + 36 = 448 M2 =
∑ xi2 = 448 = 44,8 = 6,69 n
10
100. Solución: yi
ni
4 8 12 16 20 Σ Xi
3 7 10 6 4 30
y i2 ni 48 448 1.440 1.536 1.600 5.072
fi
X i2 f i
M2 =
5.072 = 169,07 = 13,00 30
101. Solución: Variable discreta yi'
ni
Nj
55
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
2 4 6 8 10 12 14 Σ Xi
3 6 15 8 2 6 10 50
3 9 24 32 34 40 50 -
fi
Fi
Tercer cuartil ⇒
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
Primer cuartil = Q1 n = 50 = 12,5 Como no aparece N J −1 será 9 y 4 4 N J = 24
Q1 = y J = 6
→
Q3
3n 3 (50) 150 = = = 37,5 (Posición) 4 4 4
Como no aparece 37,5 se toma como N J −1 = 34 y N J = 40 Q3 = yJ = 12
6n = 6 (50) = 300 = 30 10 10 10
Sexto decil ⇒ D6 ⇒ Percentil 80
⇒
P80 ⇒
D6 = y J = 8
80 (n ) 80 (50) 4.000 = = = 40 100 100 100
Como aparece, se tendrá que: N j −1 = 40 P80 =
No aparece, por lo tanto
y
N j = 50
y J −1 + y j 12 + 14 = = 13 2 2
b) Variable continua y i' −1 − y i' 3,1 – 8 8,1 – 13 13,1 – 18 18,1 – 23 23,1 - 28 28,1 - 33 Σ
ni
14 15 8 6 7 10 60
Nj
14 29 37 43 50 60 -
56
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
X i'−1 − X i'
fi
60 = 15 no está ; 4
Fi
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
Primer cuartil
siendo: N J −1 = 14
N J = 29
Q1 = 8 + 5 15 − 14 = 8,33 15
Tercer cuartil Q3 ⇒
3 (60) 180 = = 45 no está 4 4
; siendo: N J −1 = 43 y N J = 50
Q3 = 23 + 5 45 − 43 = 24,43 7
Sexto decil D6 ⇒
6n = 6 (60) = 36 no está, por lo tanto N = 29 y N = 37 J −1 J 10 10 D6 = 13 + 5 36 − 29 = 17,38 8
Percentil 80 ⇒
80n 80 (60) = = 48 no está, por lo tanto N J −1 = 43 y N J = 50 100 100 P60 = 23 + 5 48 − 43 = 26,57 7
Veamos algunos modelos, cuando N J −1 < n / 2 FJ −1 < n / 2 El segundo cuartil (Mediana), es aquel valor de la variable que supera al 50% de las observaciones y es superado por el 50%.
Q2 =
y 'j −1
2n − N j −1 +c 4 nj
Cuando N j −1 < 2n 4
57
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central
El tercer cuartil, es aquel valor de la variable que supera al 75% y es superado por el 25% de las observaciones. Variable continua Q3 =
y 'j −1
3n − N j −1 + c 4 nj
Cuando N j −1 < 3n 4
El quinto decil y el 50 percentil corresponden a la mediana. 5n − N j −1 + c 10 nj
(Quinto decil)
D5 =
(50 percentil)
C 50 = P50 =
y 'j −1
y 'j −1
50n − N j −1 + c 100 nj
El cuarto decil, es aquel valor de la variable que supera al 40% de las observaciones y es superado por el 60% de las observaciones.
D4 =
y 'j −1
4n − N j −1 + c 10 nj
variable continua, cuando N j −1 < 4n 10
El 60 percentil, es aquel valor de la variable que supera al 60% de las observaciones y es superado por el 40% de las observaciones
P60 =
y 'j −1
60n − N j −1 + c 100 nj
variable continua, cuando N j −1 < 60n 100
58
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento Varianza y desviación típica o estándar EJERCICIOS RESUELTOS 1. Solución: M 1 = 3,04 = x
M2 =
S
S
2
2
=
∑ xi2 n
∑ x i2 n
= 8,906
− x2
M 2 = 4,26 (Media cuadrática)
⇒
4,26 2 =
⇒
S
S
S
∑ xi2 = 18,1476 n
2
= 18,1476 − 3,04 2
2
= 18,1476 − 9,2416 = 8,906
= + S2 =
8,906 = 2,984
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
2. Solución: yi
ni
105 110 115 120 125 130 135 140 Σ Xi
37 90 95 85 60 400 fi
X=
Σ X i fi n
120 =
y=
∑ yi ni n
Σ y i ni 400
48.000 = Σ y i ni
48.000 = Σ X i f i
48.000 = 44.245 + 33 y 2
n = 400 − 367 = 33
48.000 − 44.245 = 33 y 2 3.755 = y = 113,78 2 33
X = 113,78
a) yi
ni
y i ni
105 110 115 120 125 130 135 140 − Xi
37 90 95 85 60 400
4.070 10.350 11.400 10.625 7.800 48.000
fi
X i fi
44.245
44.245 = Σ y i ni
n = 367
105 113,78 135 140
120 se encuentra dentro del recorrido, por lo tanto si puede ser posible.
b)
2
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Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
yi
ni
Zi
Z i ni
Z i2 ni
105 110 115 120 125 130 135 140 Σ Xi
37 90 95 85 60 400
-15 -10 -5 0 5 10 15 20 -
-370 -450 0 425 600 -
3.700 2.250 0 2.125 6.000 14.075
fi
di
d i2
di fi
S
2
=
Σ Z i2 ni n
S2 =
Σ d i2 f i n
nS 2 = Σ Z i2 ni nS 2 = Σ d i2 f i
400 = (25) = 10.000 10.000 < 14.075 (No puede ser posible)
fi
3. Solución: V[ y ] = V[1 / 8 X
− 8]
⇒ V[1 / 8 X ] − V [8]
2 V[ y ] = 1 V[ x ] = 1 (8) = 64 = 1 64 64 64
2
Sy
=1
4. Solución: y = (1 / 4 ) (8 x − 2 )
M [ y ] = 2M [x ] − 0,5 = 8 − 0,5 = 7,5 = y ; V[ y ] = 4V[ X ] → 4(4) = 16
x=4 Siendo S x = 2 2 Sx = 4
y = 8 x − 2 = 2 x − 0,5 4 4
⇒
V[ y ] = V[2 x ] − V[0,5] 2
Sy
= 16 ⇒
Sy
=4
5. Solución: x1 n1 + x 2 n 2 120 (70) + 125 (30) = = 121,5 n 100
x =
S
2
=
2
S1 n1
(x − x ) n1 + (x 2 − x ) n2 + S 22 n 2 + 1 n n 2
2
3
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Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
(120 − 121,5) 70 + (125 − 121,5) 30 36 (70) + 25 (30) + 100 100 2
S
S
2
2
=
2
2,25 (70) + 12,25 (30) = 3.270 + = 32,70 + 5,25 = 37,95 100 100
S
=
37,95 = 6,16
6. Solución: Siendo:
2
SA
= 14.400
SA
= 120
2
SB
= 3.600
SB
= 60
< SA 60 < 120 SB
Hubo mayor estabilidad en B, porque la varianza o la desviación estándar es menor que la de A.
7. Solución: x =
x1 + x 2 2
S
2
=
(x1
− x ) + (x 2 − x ) 2 2
2
2 x = x1 + x 2
2S 2 = ( x1 − x ) + ( x2 − x )
2(8) = x1 + x2
2(1) = ( x1 − 8) + ( x 2 − 8)
16 = x1 + x 2
2 = x12 − 16 x1 + 64 + x 22 − 16 x 2 + 64
x1 = 16 − x 2
x12 − 16 x1 + x 22 − 16 x 2 + 126 = 0
Reemplazamos x1 = 16 − x 2
2
2
2
2
en x1 :
(16 − x 2 )2
− 16 (16 − x 2 ) + x 22 − 16 x 2 + 126 = 0
256 − 32 x 2 + x 22 − 256 + 16 x 2 + x 22 − 16 x 2 + 126 = 0 2 x 22 − 32 x 2 + 126 = 0
(
)
2 x 22 − 16 x 2 + 63 = 0
⇒
x2 = 9
y
x1 = 7
4
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Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
8. Solución: S
2
=
∑ xi
2
n
− x2
25 = 260 − 10 n n
2
25n = 260 − n 100 n2
25n = 260 − 100 n 25n 2 = 260n − 100 5n 2 = 52n − 20 n 2 − 10,4n + 4 = 0
n=
⇒
− b ± b 2 − 4ac 2a
n será igual a 10, siendo:
n=
10,4 ± 108,16 − 16 2
n=
10,4 ± 9,6 = 10 2
9. Solución: x =3
S
2
=
n = 10
∑ x i2 = 100
∑ xi2 − x 2 = 100 − 3 2 = 10 − 9 = 1 n
10
S
2
=1
S
= 1 =1
5
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
10. Solución: xi
xi + 4
2 6 5 9 1 23
6 10 9 13 5 43
(x
xi2 4 36 25 81 1 147
i
+4
)
2
36 100 81 169 25 411
x1 =
Σx i = 23 = 4,6 n 5
x2 =
Σ ( xi + 4) 43 = = 8,6 5 5
x1 ≠ x 2
Σ (xi + 4) − x 22 = 411 − 8,6 2 = 8,24 n 5 2
=
2
S2
= S 22
2
S1
2
S1
=
4,6 ≠ 8,6
Σx12 − x12 = 147 − 4,6 2 = 8,24 n 5
8,24 = 8,24
11. Solución: S
=?
x =
n=2
x1 + x 2 2
→
M g = 7, 2
x =9
x1 + x 2 = 18
M g = x1 x 2
→
7, 2 =
51,84 + x 2 = 18 x2
→
51,84 + x 22 = 18 x 2
x1 = 14,4
x 2 = 3,6
S
2
=
y
14,4 2 + 3,6 2 − 92 2
⇒
x1 x 2
→
51,84 = x1 x 2
→
→
x1 =
51,84 x2
x 22 − 18 x 2 + 51,84 = 0
220,32 − 81 ⇒ 110,16 − 81 ⇒ 29,16 2
S
= 5,4
6
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Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
12. Solución: x =
71 (30) + 78 (25) + 89 (15) 70
x=
2.130 + 1.950 + 1.335 5.415 = = 77,35 70 70
S
2
=
2
=
2
(x − x ) n1 + (x 2 − x ) n 2 + (x3 − x ) n3 + S 22 n 2 + S 32 n3 + 1 n1 + n 2 + n 3 n1 + n 2 + n3 2
S1 n1
2
2
81 (30) + 64 (25) + 49 (15) (71 − 77,35) 30 + (78 − 77,35) 25 + (89 − 77,35) 15 + 70 70 2
S
S
S
S
2
2
2
2
3.255,96 = 4.765 + = 68,07 + 46,51 = 114,58 70 70 = 114,58
= 10,70
Si se considera que todos los cursos tienen el mismo número de estudiantes, los estadígrafos serían: x = 71 + 78 + 89 = 79,33 3 2
(71 − 79,33) + (78 − 79,33) + (89 − 79,33) = 81 + 64 + 49 + 3 3
2
(− 8,33) + (− 1,33) + (9,67) = 64,66 + 69,38 + 1,76 + 93,50 = 194 + 3 3 3
2
= 64,66 +
2
S
2
S
S
S
2
2
2
2
164,64 = 64,66 + 54,88 = 119,54 3
= 10,93
7
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
13. Solución: y i' −1 − y i' 0 – 10 10,1 – 20 20,1 – 30 30,1 – 40 40,1 – 50 50,1 – 60 60,1 – 70 70,1 – 80 80,1 – 90 Σ
yi
ni
y i ni
5 15 25 35 45 55 65 75 85 -
640 684 863 876 753 663 414 154 13 5.060
X i'−1 − X i'
Xi
fi
a) y = 175.610 = 34,70 5.060
S
2
3.200 10.260 21.575 30.660 33.885 36.465 26.910 11.550 1.105 175.610
Z i'' -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -
Z i'' ni -2.560 -2.052 -1.726 -876 0 663 828 462 52 -5.209
Z i''2 ni 10.240 6.156 3.452 876 0 663 1.656 1.386 208 24.637
X i fi
di '
di ' fi
d i'2 f i
X = 34,70
S
2
= 375
2 = 100 24.637 − − 5.209 = 100 { 4,81 − 1,06 } = 375 5.060 5.060
CV =
S
= 19,36
19,36 = 0,5579 = 55,79% 34,70
b) M [x + k ] = x + 15 = 34,70 + 15 = 49,70 V[x + k ] = V[x ] + V[15] = 375 + 0 = 375 S
= 19,36
CV =
19,36 = 0,3895 = 38,95% 49,70
Dos distribuciones con diferentes medias aritméticas y con igual varianza o desviación típica, presentan coeficientes de variación diferentes.
8
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
c) Y ± Z S
Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
X ±Z S
c1) 34,70 ± 1,5 (19,36)
c2) 34,70 ± 2,5 (19,36)
63,74 = LS 34,70 ± 29,04 = 5,66 = Li
83,10 = Ls 34,70 ± 48,40 = − 13,70 = Li
14. Solución: Σxi2 = 1.360
nS 2 = Σxi2 − nx 2
Σx i = 40
1.280 = 1.360 − n 40 n
nS 2 = 1.280
1.280 = 1.360 − 1.600 n
S
2
=
Σxi2 −x2 n
2
1.280n = 1.360n − 1.600
1.600 = 80n n = 1.600 = 20 80
15. Solución: x = 170
S
2
= 7,4 cms
2
M [ X − K ] = x − K = 170 − 9 = 161 cms
V[ X − K ] = V[ X ] = 7,4 cms 2
9
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Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
16. Solución: x =
x : 3, 2, 8, 1
S
2
=
Σxi2 − x2 n
y = 2x + 5
2
Sx
Σx i n
x =
14 = 3,5 4
= 78 − 3,5 2 = 19,5 − 12,25 = 7,25 4
M [Y ] = 2 M [ X ] + 5
M [Y ] = 2 (3,5) + 5 = 12
V[Y ] = 4 V[ X ] + 0
V[Y ] = 4 (7,25) = 29
2
SY
2
Sx
= 7,25
y = 12
= 4 S X2 = 4 (7,25) = 29
17. Solución: a) Cierto
b) Falso
c) Cierto
18. Solución: No es cierto, dado que el peso promedio está dado en kilos, mientras que su desviación típica se da en centímetros.
19. Solución: Como están dadas en las mismas unidades de medida, se pueden comparar sus varianzas o 2 2 sus desviaciones típicas. En este caso SB > SA ⇒ (25 > 16) .
20. Solución: No se puede contestar en cuanto a la variabilidad absoluta. Se puede utilizar, en este caso, el coeficiente de variación =
S
x
100
10
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Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
21. Solución: V[KX ] = K 2 S X2 S
2
⇒
60 2 (4) = 3.600(4) = 14.400 minutos2
= 14.400
22. Solución: S
2
=
2
=
2
S1 n1
( x − x ) ni + ( x 2 − x ) n 2 + S 22 n 2 + 1 n n 2
2
28,2 (20) + 14,6 (30) (12 − 10,2) 20 + (9 − 10,2) 30 + 50 50 2
S
x =
S
S
2
2
x1 n1 + x 2 n 2 12 (20) + 9 (30) = = 10,2 n 50
= 20,04 + 108 = 20,04 + 2,16 = 22,2 50
=
22,2 = 4,71
23. Solución: No es posible. La variabilidad se está elevando al cuadrado, por lo tanto cualquier valor negativo, pasa a ser positivo.
24. Solución: x =
S
x1 n1 + x 2 n 2 n
= 10
x =
50 (20) + 30 (20) 50 + 30 = = 40 40 2
CV = 10 = 0,25 = 25% 40
11
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Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
25. Solución: yi
10 20 30 40 50 Σ Xi
yi
ni
Hi
fi
0,12 0,32 Fi n
6 -
yi − y ( yi − y)2 ( yi − y)2 ni
ni 10 20 30 40 50 Σ
6 10 18 10 6 50
-20 -10 0 10 20 -
yi
ni
10 20 30 40 50 Σ
6 10 18 10 6 50
Xi
fi
hi =
f ni = i n n
400 100 0 100 400 -
2.400 1.000 0 1.000 2.400 6.800
Hi
hi
0,12 0,32 0,68 0,88 1,00 Fi n
0,12 0,20 0,36 0,20 0,12 1,00 fi n
h1 =
f n1 = 1 n n
Z i'' -2 -1 0 1 2 -
Z i'' ni -12 -10 0 10 12 0
Z i''2 ni 24 10 0 10 24 68
di '
di ' fi
d i'2 f i
n=
n1 = 6 = 50 h1 0,12
n2 = n(h2 ) = 50 (0,20) = 10
y = Ot + c
Σ Z i'' ni n
y = 30 + 10 (0 ) = 30
Σ d ' f X = A+i i i n
Y = 30
12
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' Σ Z '' 2 n i i Σ Z i ni S = c − n n 2
S
2
2
68 = 100 − (0) 50
S
= 136 = 11,66
S
= 11,66
2
2 Σ d ' 2 f Σ d ' f S 2 = i 2 i i − i i n n
= 100 (1,36) = 136
11,66 = 0,3886 CV = S = 30 y
Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
S2 =
∑ ( yi − y ) 2 ni n
= 6.800 = S 2 = 136 50
CV = 38,86%
26. Solución:
x1 = 10 − x 2
→
4=
x1 = 16 x2
→
16 = 10 − x 2 x2
x 22 − 10 x 2 + 16 = 0
S
2
=
x1 + x 2 =5 2
x =
x1 + x 2 = 10
x1 x 2
x1 = 8
Mg =
→
16 = x1 x 2
→
→
16 = 10 x 2 − x 22
→
x1 x 2 = 4
x2 = 2
82 + 22 64 + 4 − 52 = − 25 = 68 − 25 = 9 2 2 2
S
2
=9
S
=3
CV = 3 = 0,6 = 60% 5
27. Solución:
x =
120 (70) + 125 (30) = 121,5 100
13
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Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
36 (70) + 9 (30) (120 − 121,5) (70) + (125 − 121,5) (30) + 100 100 2
S
S
S S
2
2
=
2
= 2.790 + 525 = 27,90 + 5,25 = 33,15 100 100
2
= 33,15
= 5,76
CV =
5,76 = 0,0474 = 4,74% 121,5
28. Solución: Siendo:
x = 10
SX
M [Y ] = 4M [ X ] + M [2 ]
→
V[Y ] = 16V[ X ] + V[2 ]
→
=3
2
SX
=9
M [Y ] = 4 (10) + 2 − = 42 V[Y ] = 16 (9) = 144
CV X = d X = 12 = 0,2857 = 28,57% 42
M [Y ] = 42 = y 2
sY
= 144
CV =
sY = 12
SY
y
29. Solución: Z i'' ni -4 0 25 10 31
Z i'' 2 ni
4 20 45 50 -
Z i'' -1 0 1 2 -
Fi
di '
di ' fi
d i'2 f i
yi
ni
Ni
30 50 70 90 Σ Xi
4 16 25 5 50 fi
ΣZ '' n y = Ot + C i i n
X = A+i
y i ni
4 0 25 20 49
Σd i' f i n
120 800 1.750 450 3.120 X i fi
y=
y i2 ni 3.600 40.000 122.500 40.500 206.600 X i2 f i
3 .120 = 62 , 4 50
14
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Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
62,4 = 50 + C 31 50
S
62,4 − 50 = 0,62 C
S
2
n
2
S
12,4 = 20 0,62
S
2
S
=
= 15,44
i = 20
'' Σ Z '' 2 n i i Σ Z i ni S = C − n n 2
2
206.600 − 50(62,4) 2 n 2 S = 238,24
12,4 = 0,62 C
C=
Yi 2 ni − n y ∑ =
2
2
2 Σ d ' 2 f Σ d i' f i i i S =i − n n 2
2
{
}
2 2 = 20 2 49 − 31 = 400 0,98 − (0,62) = 238,24 50 50
=
238,24 = 15,44
CV =
15,44 = 0,2474 = 24,74% 62,4
CV = 24,74%
30. Solución: a)
SA
= 96.000
b) CVA =
SA
CVB =
SB
xA
xB
SB
= 97.000
SB
> SA
97.000 > 96.000
= 96.000 = 0,1032 = 10,32% 930.000 = 97.000 = 0,0951 = 9,51% 1.020.00
10,32% > 9,51%
CV A > CVB
31. Solución: M [k + x ] = K + x = 13 + 1.740 = 1.753 millones de $
V[k + x ] = V[x ] = 8.100 millones de $ 2
15
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S
= 8.100 = 90
Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
CV = S = 90 = 0,0513 = 5,13% x 1.753
32. Solución: M [4 x ] = 4 M [ X ] = 4 x = 11,2
x =
S
= M [X 2 ] − x 2
2
11,2 = 2,8 4
M [ X + 2] = M [X 2 + 4 X + 4 ] = M [X 2 ] + 4 M [ X ] + 4 = 30,25 2
S
S
2
2
S
S
= 15,05 − 2,8 2
= 15,05 − 7,84
M [ X + 2] = 15,05 + 4 (2,8) + 4 = 30,25 M [X 2 ] = 30,25 − 4 − 11,2 = 15,05
2
=
CV =
2
= 7,21
7,21 = 2,69
2,69 = 0,9607 2,80
CV = 96,07%
33. Solución: Como las dos variables están dadas en unidades diferentes (hectáreas y pesos), se debe usar el coeficiente de variación. CV = S x
CV A =
19,33 = 0,5460 = 54,60% 35,40
CVB = 74.708 = 0,0790 = 7,90% 945.750
CV A > CV B
34. Solución: a) El tipo A tiene mayor variabilidad absoluta.
S A2 > S B2
7.800 > 5.400
16
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Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
En cuanto a la variabilidad tenemos que: CV A =
SA
xA
CV B =
=
88,31 = 0,1104 = 11,04% 800
SB
xB
CVB > CV A
=
73,48 = 0,1130 = 11,30% 650
11,30% > 11,04%
700 − 800 = −1,13 88,31 630 − 650 Z2 = = −0,27 73,48 Z1 =
b)
- 0,27 > -1,13
Z 2 > Z1
c) x =
800 + 650 = 725 horas 2
x=
x1w1 + x2 w2 w1 + w2
Suponiendo las mismas cantidades
s2 =
n1 y n2
7.800 + 5400 (800 − 725) 2 + (650 − 725) 2 + 2 2
s 2 = 6.600 + 5.625 = 12.225 s = 110,57
; CV =
110,57 100 = 15,25% 725
35. Solución: 3
y1n1 × y 2n2 × y 3n3 = π y ini = 233.280 i =1
3
y1 n1 + y 2 n 2 + y 3 n3 = Σ y1 n1 = 60 i =1
Como la distribución es Simétrica n1 = n3
17
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Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
f1 + f 2 + f 3 = 5
n1 + n2 + n3 = 5 = 1 + 3 + 1
Además siendo:
y=
Σ y i ni = 60 = 12 n 5
X=
Σ X i fi n
X 1 + 36 + X 3 = 60
y1 + 36 + y 3 = 60 y1 + y 3 = 60 − 36 = 24
y1 y 2 y 3 = 233.280 y1 (1.728) y 3 = 233.280
y1 y 3 = 233.280 = 135 1.728
yi
12 Σ Xi
ni
y1 y 3 = 135
y i ni
1 3 1 5
y ini
36
1.728
60
233.280
X i fi
X if i
yi
ni
y i ni
9 12 15 Σ Xi
1 3 1 5
9 36 15 60
y i2 ni 81 432 225 738
fi
X i fi
X i2 f i
fi
Se tienen dos ecuaciones con dos incógnitas y1 y 3 = 135
y1 + y 3 = 24
y1 = 135 y3
X 1 = 135 X3
135 + y = 24 3 y3
135 + y 32 = 24 y 3 y 32 − 24 y 3 + 135 = 0
18
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
y1 = 9 = X 1 y 3 = 15 = X 3
Σ X i2 f i −X2 n
S2 =
S
2
S
=
=
Σ y i2 ni − y 2 = 738 − 12 2 = 3,6 n 5
3,6 = 1,9
1,9 CV = S = = 0,1583 = 15,83% y 12
36. Solución: 3.000.000 (0,10) = 300.000 y le queda $ 2.700.000 (Cientos de $)
a)
2
S[ X −K ]
= S X2 = no cambia, por lo tanto S 2 = 30.000 2
(Cientos de $)g
b) Utilidad = ingresos – gastos = 3.000.000 − 2.450.000 = $550.000 2
S [X − K ]
(Cientos de pesos)
= S X2 = no cambia, por lo tanto S = 30.000 cientos de $
CV = S 100 = 30.000 = 5,45% x 550.000
37. Solución: yi
ni
y i ni
2 4 6 8 10 Σ
6 18 16 12 8 60
12 72 96 96 80 356
y i2 ni 24 288 576 768 800 2.456
NJ
yi − M e
6 24 40 52 60 -
4 2 0 2 4
y i − M e ni
24 36 0 24 32 116
19
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Xi
fi
X i2 f i
X i fi
y=
Σ y i ni n
y=
356 = 5,93 cuartos por habitación 60
S
2
=
2
=
Xi − Me
FJ
X=
Σ y i2 ni − n y 2 n
Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
X i − M e fi
Σ X i fi n
S2 =
Σ X i2 f i − n X 2 n
2.456 − 60 (5,93) = 5,7328 60 5,7328 = 2,3943 2
S
S
=
n 60 = = 30 2 2
N J −1 = 24
N J = 40
FJ −1 = 24
FJ = 40
De =
Σ y i − M e ni n
De =
Σ X i − M e fi n
⇒
De =
M e = yJ = 6
116 = 1,93 60
La desviación mediana debe ser menor que la desviación típica De < S ⇒ 1,93 < 2,17 queda comprobado 2,39 CV = S 100 ⇒ CV = 100 = 40,30% 5,93 X
38. Solución: M [Y ] = M [1,13 X i
+ 10, 750 ]
= M [1,13 X ] + M [10.750]
a) M [Y ] = y = 1,13x + 10.750 ⇒ y = 1,13 (120.000) + 10.750
20
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
y = 135.600 + 10.750 = $146.350 Semanal
b) 0,38 =
S
120.000
⇒
S
= 120.000(0,38) = $45.600 V[1,132 X ] = 1,132 (45.600) =
V[Y ] = V[1,132 X + 10.750 ] ⇒ SY
2
= 1,132 (45.600) = 1,13 (45.600) = 51.528 pesos semanales
CV =
2
51.528 100 = 35,21% 146.350
39. Solución: y = 1.500 = 15 100 40.000 − 100 (15) = 175 100 2
S
2
=
a)
S
= 175 = 13,23
b) CV = c) Z =
13,23 100 = 88,2% 15
X −x S
=
24 − 15 = 0,68 13,23
40A. NOTA: Hay en el libro dos (2) ejercicios diferentes con el mismo consecutivo M [ x +k ] = x + k
x = 36 + 5 = 41
V[ x+ k ] = V[ X ]
s x2 = 64
VC = s 100 x
8 100 = 19,51% 41
x = 41 sx = 8
19,51% ≠ 22%(cambia)
21
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
40B. Solución: x1 = 64 = 7,11 9
x 2 = 78 = 13 6
550 − 9 (7,11) = 10,56 9
=
S1
= 3,25
2
S2
=
S2
= 4,44
2
8 − 7,11 = 0,27 3,25
b) Z1 =
1.132 − 6 (13) = 19,67 6 2
2
S1
Z2 =
15 − 13 = 0,45 4,44
Z 2 > Z1
0,45 > 0,27
c) x =
7,11 (9) + 6 (13) 64 + 78 = = 9,47 15 15 10,56 (9) + 19,67 (6) (7,11 − 9,47 ) 9 + (13 − 9,47 ) 6 + 15 15 2
S
S S
2
=
2
= 14,204 + 8,3261 = 22,53
2
= 4,75
CV =
4,75 100 = 50,16% 9,47
41. Solución: y i' −1 − y i' 8,1 – 16 16,1 – 24 24,1 – 32 32,1 – 40 40,1 – 48 48,1 – 56 Σ
3 6 10 15 4 2 40
X i'−1 − X i'
fi
ni
yi
y i ni
12 20 28 36 44 52 -
36 120 280 540 176 104 1.256
y i2 ni 432 2.400 7.840 19.440 7.744 5.408 43.264
X i fi
X i2 f i
Xi
22
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
b) x 2 = 235 = 29,375
Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
(Datos sin agrupar)
8
10.291 − 8 (29,375) = 423,48 8 2
2
S2
=
a) x1 = 1.256 = 31,40
S2
= 20,58
(Datos agrupados)
40
43.264 − 40 (31,4) = 95,64 40 2
2
S1
=
2
1)
S1
< S 22
2
S1
= 95,64 ⇒
S1
= 9,78
9,78 100 = 31,15% 31,40
3) Z 1 =
20,58 100 = 70,06% 29,375
Z2 =
2) CV1 =
33 − 31,40 = 0,16 9,78
95,64 < 423,48
CV2 = Hay una mayor Variabilidad
CV1 < CV2 31,15% < 70,06%
en la segunda
33 − 29,38 = 0,18 20,58 Z 2 > Z1 0,18 > 0,16
42. Solución: a) x =
30 (27.000) + 40 (32.000) = $29.857,14 Salario diario promedio para los 70 primeros 70
0,35 =
b)
S
29.857,14
⇒
S
= 0,35 (29.857,14 ) = 10.449,999 = $ 10.450,00
S 2 = 109.202.500
43. Solución: S
S
S
Σ xi2 − x2 n
2
=
2
= 490 − 5,7 2 = 16,51 10
= 4,06
23
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
4,06 100 = 71,23% es el coeficiente de variación. 5,7
CV =
EJERCICIOS DE PUNTAJE TÍPICO, COEFICIENTES DE DESVIACIÓN MEDIA, DESVIACIÓN MEDIANA
44. Solución: y i' −1 − y i' 2,75 – 4,25 4,25 – 5,75 5,75 – 7,25 7,25 – 8,75 Σ
yi
ni
Ni
y i ni
3,5 5,0 6,5 8,0 -
4 16 25 5 50
4 20 45 50 -
14,00 80,00 162,50 40,00 296,50
X i'−1 − X i'
Xi
fi
Fi
X i fi
Reemplazando tenemos:
y i2 ni 49,00 400,00 1.056,25 320,00 1.825,25
X i2 f i
y o' + 1 C = y1 2
y o' + 4 C = y 4'
y o' + 0,5 C = 3,5
y o' + 4 C = 8,5
y o' + 4 C = 8,75
Si eliminamos a y o' se obtendrá el valor de C
− y o' − 1 C = − 3,50 2 3,5C = 5,25
C =
5,25 = 1,50 3,50
a) Coeficiente de variación y=
S
S
2
2
Σ y i ni 296,50 = = 5,93 n 50
X=
=
Σ y i2 ni − y2 n
S2 =
=
1.825,25 − 5,93 2 = 36,51 − 35,16 = 1,35 50
S
Σ X i fi n
Σ X i2 f i −X2 n
= 1,16 = 1,35
24
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
CV = S y
Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
CV =
1,16 = 0,1956 = 19,56% 5,93
b) Desviación media yi
( yi
3,5 5,0 6,5 8,0 Σ Xi Da =
− y)
yi − y
y i − y ni
ni
-2,43 -0,93 0,57 2,07 -
2,43 0,93 0,57 2,07 -
9,72 14,88 14,25 10,35 49,20
4 16 25 5 50
di
di
di
Σ y i − y ni 49,20 = = 0,98 n 50
fi
fi
Da =
Σ di fi n
c) Desviación mediana yi
ni
Ni
3,5 5,0
4 16
6,5 8,0 − Xi
25 5 50
4 20 → N J −1 45 → N j
fi
50 Fi
yi − M e
y i − M e ni
3,0 1,5
12,0 24,0
0 1,5 -
7,5 43,5
Xi − Me
X i − M e fi
De =
Σ y i − M e ni n
De =
Σ X i − M e fi n
De =
43,5 = 0,87 50
M e = y J = 6,5
N j −1 < n 2
n = 50 = 25 2 2
25
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
45. Solución: y i' −1 − y i' 10,1 – 16 16,1 – 22 22,1 – 28 28,1 – 34 34,1 – 40 40,1 – 46 Σ
yi
Ni
ni
y i ni
13 19 25 31 37 43 -
4 12 25 35 44 50 -
4 8 13 10 9 6 50
52 152 325 310 333 258 1.430
y i2 ni 676 2.888 8.125 9.610 12.321 11.094 44.714
X i'−1 − X i'
Xi
Fi
fi
X i fi
X i2 f i
2
a)
S
2
= 44.714 − 1.430 = 894,28 − 817,96 = 76,32 ; 50 50
S
y=
1.430 = 28,6 50
= 8,736
b) Desviación media Zi
Zi
ni
-15,6 -9,6 -3,6 2,4 8,4 14,4 Σ di
15,6 9,6 3,6 2,4 8,4 14,4 -
4 8 13 10 9 6 50
di
fi
Z i ni
62,4 76,8 46,8 24,0 75,6 86,4 372,0 di fi
Ni
4 12 25 35 44 50 -
y = 28,6 Da =
Σ Z i ni 372 = = 7,44 n 50
Da =
Σ di f i n
Fi
c) Desviación mediana ni
yi − M e
4 8 13 10 9 6 50
-15 -9 -3 3 9 15 -
fi
Xi − Me
yi − M e
15 9 3 3 9 15 Xi − Me
y i − M e ni
60 72 39 30 81 90 372 X i − M e fi
De =
De =
Σ y i − M e ni n Σ X i − M e fi n
De = 372 = 7,44 50 n = 50 = 25; N = 25; N = 35 J −1 J 2 2
26
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Me =
y j −1 + y j 2
M e = 25 + 31 = 56 = 28 2 2 (marcas de clase)
Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
M e = y 'j −1 = 28 (variable continua)
8,736 d) CV = S = = 0,305 = 30,5% x 28,6
46. Solución: yi' −1 − yi'
hi
yi
y i hi
10 – 20 20 – 30 30 – 40 40 – 50 Σ
0,20 0,28 0,40 0,12 1,00
15 25 35 45 -
X i' −1 − X i'
fi / n
Xi
3,0 7,0 14,0 5,4 29,4 f Xi i n
y = 29,4 = Σ y i hi f X = 29,4 = Σ X i i n
∑ y i hi = 29,4 ; y i hi = 3,0
y 2 h2 + y 3 h3 = 29,4 − 8,4 = 21
y i hi = 5,4 suma = 8,4
h2 + h3 = 1 − 0,32 = 0,68 h2 = 0,68 − h3
y 2 h2 + y 3 h3 = 21 25 (0,68 − h3 ) + 35 h3 = 21
17 − 25 h3 + 35 h3 = 21 10h3 = 4
h3 = 0,4
h2 = 0,28 =
f2 n
27
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
yi
hi
Hi
yi − M e
yi − M e
15 25 35 45 Σ
0,20 0,28 0,40 0,12 1,00
0,20 0,48 0,88 1,00 -
-20 -10 0 10 -
20 10 0 10 -
Xi
fi / n
Fi
Xi − Me
Xi − Me
n
y i − M e hi
4,0 2,8 0 1,2 8,0 f Xi − Me i n
H j −1 < n 2 De =
Σ y i − M e ni n
De =
Σ X i − M e fi n
M e = y J = 35
De = Σ X i − M e
fi
D e = Σ yi − M e hi = 8
⇒
n
47. Solución: yi
ni
Ni
yi − M e
130 148 160 220 280 320 400 Σ Xi
3 6 5 3 2 4 7 30
3 9 14 17 19 23 70 -
90 72 60 0 60 100 180 -
fi
Fi
Xi − Me
y i − M e ni
yi
y i ni
270 432 300 0 120 400 1.260 2.782
260 296 320 440 560 640 800 -
780 1.776 1.600 1.320 1.120 2.560 5.600 14.756
y i2 ni 202.800 525.696 512.000 580.800 627.200 1.638.400 4.480.000 8.566.896
X i − M e fi
Xi
X i fi
X i2 f i
a) n = 30 = 15 2
2
N J −1 = 14 ;
N J =17
M e = y J = 220
28
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Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
De = 2.782 = 92,73 30 De 92,73 100 = 100 = 42,15% 220 Me
b) CDe =
c) y = 14.756 = 491,87 30
8.566.896 − 30 (491,87 ) = 43.627,10 30 2
S
2
=
La nueva varianza es de 43.627,10 y la El coeficiente de variación es:
CV =
S
= 208,87
208,87 100 = 42,46% 491,87
48. Solución: y i' −1 − y i' 8,1 – 16 16,1 – 24 24,1 – 32 32,1 – 40 40,1 – 48 48,1 – 56 Σ
ni
yi
yi − y
3 6 10 15 4 2 40
12 20 28 36 44 52
19,4 11,4 3,4 4,6 12,6 20,6
X i'−1 − X i'
fi
Xi
Xi − X
y i − y ni
58,2 68,4 34,0 69,0 50,4 41,2 321,2
X i − X fi
Nota: de acuerdo al ejercicio No. 41, se obtuvo: y = X 1 = 31,40
S1
x2 = 29,38
S2
n1 = 40
n2 = 8
a) x =
2
= 95,64
S1
= 9,78
2
= 423,48
S2
= 20,58
31,40 (40) + 29,38 (8) = 31,06 48
29
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Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
95,64 (40) + 423,48 (8) (31,4 − 31,06) 40 + (29,38 − 31,06) 8 + 48 48 2
S
S
2
=
2
= 150,28 + 0,57 = 150,85
S
= 12,28
CV =
b) Da =
12,28 100 = 39,54% 31,06 Σ y i − y ni 321,2 = = 8,03 n 40
yi
ni
Ni
yi − M e
y i − M e ni
12 20 28 36 44 52 Σ Xi
3 6 10 15 4 2 40
3 9 19 34 38 40 -
fi
Fi
24 16 8 0 8 16 Xi − Me
72 96 80 0 32 32 312 X i − M e fi
e) n = 40 = 20
d)
2
2
2
De =
Σ X i − M e fi n
S
= 9,78
N J −1 = 19
De =
N J = 34
M e = y J = 36
Σ y i − M e ni = 312 = 7,8 n 40
Da = 8,03
Se cumple la relación: De < Da <
De = 7,8
7,8 < 8,03 < 9,78
S
30
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Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
49. Solución: xi
xi − x
2 5 8 12 20 47
7,4 4,4 1,4 2,6 10,6 26,4
xi − M e
6 3 0 4 12 25
x = 47 = 9,4 5
xi2
4 25 64 144 400 637
Me = 8
Da = Σ xi − M e = 25 = 5,0 n 5
De =
S
S
2
=
=
Σ xi − x 26,4 = = 5,28 n 5
Σ xi2 − x2 n
⇒
637 − 9,4 2 = 39,04 5
39,04 = 6,25
6,25 > 5,28 > 5,0
S
> D a > De
Se cumple la relación
50. Coeficiente de desviación media: yi
ni
y i ni
yi − y
y i − y ni
130 148 160 220 280 320 400 Σ
3 6 5 3 2 4 7 30
390 888 800 660 560 1.280 2.800 7.378
115,93 97,93 85,93 25,93 34,07 74,07 154,07 -
347,79 587,59 429,65 77,79 68,14 296,28 1.078,49 2.885,73
Xi
fi
X i fi
Xi − X
Xi − X
CD X =
Da 100 x
fi
Resultados con los datos de los ejercicios 47, 48, 49. ( 47) y = 7.378 = 245,93 30
31
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Da =
Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
2.885,73 = 96,191 30
CDa =
96,191 100 = 39,11% 245,93
( 48) CD =
8,03 100 = 25,57% 31,40
( 49) CD =
5,28 100 = 56,17 9,40
51. Solución: Cálculo de los coeficientes de desviación mediana con los datos de los ejercicios 47, 48, 49. ( 47) CDe =
92,73 100 = 42,15% 220
( 48) CDe =
7,8 100 = 21,67% 36
( 49) CDe =
5,0 100 = 62,50% 8,0
52. Solución: a) CIERTO: con estos datos se calcula la varianza y ésta deberá ser mayor o igual a 0. b) CIERTO: es fácil la justificación c) FALSO: no hay confirmación alguna respecto a esta relación d) CIERTO: V[KX ] = K 2 S X2 = 8 2
2
SX
e) FALSO: Las mismas unidades pero elevadas al cuadrado.
32
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Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
53. Solución: a) FALSO: se expresa en términos relativos o porcentuales b) FALSO: debe ser dividida por la media aritmética (relativo) o el resultado multiplicado por 100 (porcentual). c) CIERTO: en una distribución normal, ocurre la aplicación del teorema d) FALSO: esa es la virtud de esta medida
54. Solución: AS =
3 ( x − M e ) 3 (9.725 − 9.672) = = 0,13 Ligeramente asimétrica positiva S 1.217,50
55. Solución: a) y i ni
Ni
yi − y
( yi − y )2 ni
3 39 10 8 7 3 70
15 273 90 88 91 45 602
3 42 52 60 67 70 -
-3,6 -1,6 0,4 2,4 4,4 6,4 -
38,88 99,84 1,60 46,08 135,52 122,88 444,80
fi
X i fi
Fi
di
d i2 f i
yi
ni
5 7 9 11 13 15 Σ Xi
y = X =
( y i − y )3
ni
-139,968 -159,744 0,640 110,592 596,288 786,432 1.194,24 d i3 f i
602 = 8,6 70
33
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
m3 =
Σ ( y i − y ) 3 ni n
m3 =
1.194,24 = 17,06 70
S
2
=
3
m3 =
444,8 = 6,35 70
→
n = 70 = 35 2 2
(1) AS =
m3 S
3
=
Σd i f i n
Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
S
(momento de orden tres)
= 2,52
N J −1 = 3
N J = 42
Md = 7
Me = 7
17,06 = 1,07 2,52 3
(2) AS =
8,6 − 7 = 0,63 2,52
(3) AS =
3 (8,6 − 7 ) = 1,90 2,52
Hay una asimetría positiva
b) y i ni
Ni
yi − y
3 7 8 9 30 3 60
15 49 72 99 390 45 670
3 10 18 27 57 60 -
-6,17 -4,17 -2,17 -0,17 1,83 3,83 -
fi
X i fi
Fi
yi
ni
5 7 9 11 13 15 Σ Xi
y = X =
di
( y − y )2 ni 114,2067 121,7223 37,6712 0,2601 100,4670 44,0067 418,3340 d i2 f i
( y i − y )3
ni
-704,6553 -507,5820 -81,7465 -0,0442 183,8546 168,5457 -941,6277 d i3 f i
670 = 11,17 60
34
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
m3 =
S
2
=
− 941,6277 = − 15,69 60 418,334 = 6,97 60
M d = 13
→
Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
(momento de orden tres)
S
= 2,64
n = 60 = 30 2 2
M e = 13
N J −1 = 27
(1) AS =
− 15,69 = − 0,85 2,643
(2) AS =
11,17 − 13 = − 0,69 2,64
M d = 13
3 (11,17 − 13) = − 2,07 2,64
M e = 13
(3) AS =
N J = 57
Asimetría negativa
c)
y i ni
Ni
yi − y
( yi − y )2 ni
5 10 20 20 10 5 70
25 70 180 220 130 75 700
5 15 35 55 65 70
-5 -3 -1 1 3 5 0
125 90 20 20 90 125 470
fi
X i fi
Fi
di
d i2 f i
yi
ni
5 7 9 11 13 15 Σ Xi y= X =
( y i − y )3
ni
-625 -270 -20 20 270 625 0 d i3 f i
700 = 10 70
m3 = 0
35
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
S
2
Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
= 470 = 6,71 70
(1) AS = 0 (simétrico)
M d = 11
M e = 9 + 11 = 10 2
Md = 9
Promedio = 10 NOTA: Los histogramas se dejan para ser elaborados por usted. n = 70 = 35 2 2
N J −1 = 35
N J = 55
(2) AS = 0 (3) AS = 0
Es simétrica
56. Solución: a) n = 20
x = 958 = 47,9 20
50.630 − 20 (47,9) = 237,09 20 2
S
2
=
•
Desviación típica →
•
Coeficiente de variación
•
Mediana:
S
→
S
= 15,40
= 15,40 →
15,40 CV = S 100 = 100 = 32,15 x 47,90
25 28 28 32 34 36 38 40 40 42 46 51 56 58 62 64 64 68 70 76 Me =
•
42 + 46 = 44 2
Desviación mediana:
Σ xi − M e = 19 + 16 + 16 + 12 + 10 + 8 + 6 + 4 + 4 +
36
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
2 + 2 + 7 + 12 + 14 + 18 + 20 + 20 + 24 + 26 + 32 = 272 DM e =
b) Rango = 76 − 25 = 51 y i' −1 − y i' 23,1 – 32 32,1 – 41 41,1 – 50 50,1 – 59 59,1 – 68 68,1 – 77 Σ X i'−1
−
X i'
C=
ni
yi
4 5 2 3 4 2 20
27,5 36,5 45,5 54,5 63,5 72,5 -
fi
Σ xi − M e = 272 = 13,6 n 20
Xi
Rango 51 = ≅9 m 6
y i2 ni 3.025,00 6.661,25 4.140,50 8.910,75 16.129,00 10.512,50 49.379,00
y i ni
110,0 182,5 91,0 163,5 254,0 145,0 946,0
X i2
X i fi
fi
y = X =
S
S
S
946 = 47,3 20
49.379 − 20 (47,3) 20
2
=
2
= 231,66
2
= 15,22
CV =
15,22 100 = 32,18% 47,30
57. Solución: a)
2
S1
= 36 ;
2
S2
= 231,66
⇒
2
S2
> S12
231,66 > 36 Mayor variabilidad en el segundo caso
b) CV1 =
6 100 = 15,58% 38,5
CV2 = 32,18%
CV2 > CV1
37
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
32,18 % > 15,58% Mayor variabilidad relativa en la segunda distribución
c) Z1 =
48 − 38,5 = 1,58 6
Z2 =
50 − 47,3 = 0,18 15,22
Z1 > Z 2
⇒
(yi
1,58 > 0,18
58. Solución: y i' −1 − y i' 23,1 – 32 32,1 – 41 41,1 – 50 50,1 – 59 59,1 – 68 68,1 – 77 Σ
yi
ni
y i ni
yi − y
27,5 36,5 45,5 54,5 63,5 72,5 -
4 5 2 3 4 2 20
110,0 182,5 91,0 163,5 254,0 145,0 946,0
-19,8 -10,8 -1,8 7,2 16,2 25,2
X i'−1 − X i'
Xi
fi
X i fi
Xi − X
y = X
S
2
=
=
( yi
− y ) ni -31.049,568 -6.298,560 -11,664 1.119,744 17.006,112 32.006,016 12.772,08
− y ) ni 2
1.568,16 583,20 6,48 155,52 1.049,76 1.270,08 4.633,20
(X i − X ) 2
3
(X i − X ) 3
fi
fi
( y i − y )4
ni 614.781,4464 68.024,4480 20,9952 8.062,1568 275.499,1440 806.551,6032 1.772.939,7936
(X i − X ) 4
fi
946 = 47,3 20
4.633,20 = 231,66 20
→
S
= 15,22
m3 =
12.772,08 = 638,604 20
(momento de orden tres)
m4 =
1.772.939,7936 = 88.646,99 20
(momento de orden cuatro)
a) Se trata de una distribución asimétrica positiva AS =
m3 S
3
=
638,604 = 0,18 15,22 3
Ligeramente asimétrica, casi normal. b) A p =
m4 S
4
=
88.646,99 = 1,65 15,22 4
⇒
1,65 < 3,0
Es achatada
38
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
59. Solución: n = n1 + n2 + n3 + n4 + n5 + n6 150 = n1 + (n1 + 5) + 30 + 30 + n1 + 5 + n1 4n1 = 8
n1 = 20 ;
⇒
n2 = 25 ;
20 25 30 30 25 20 150
Z i'' -4 -3 -2 -1 0 1 -9
Z i'' ni -80 -75 -60 -30 0 20 -225
fi
di '
di ' fi
yi
ni
26 32 38 44 50 56 Σ Xi
⇒ 150 = 4n1 + 70 n3 = 30 ;
n4 = 30 ;
n5 = 25 ;
n6 = 20
Σ Z i'' ni y = Ot + C n
Σd ' f X = A+i i i n y = 50 + C − 225 = 41 150
41 − 50 = − 1,5C C = −9 = 6 − 1,5
yi − y
(yi
− y ) ni 2
-15 -9 -3 3 9 15 0
4.500 2.025 270 270 2.025 4.500 13.590
di
d i2 f i
(yi
− y ) ni 3
-67.500 -18.225 -810 810 18.225 67.500 0 d i3 f i
(yi
− y ) ni 4
1.012.500 164.025 2.430 2.430 164.025 1.012.500 2.357.910 d i4 f i
y i − y ni
300 225 90 90 225 300 1.230 di fi
y i − M e ni
300 225 90 90 225 300 1.230 X i − M e fi
Ni
20 45 75 105 130 150 Fi
39
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
a) y = x = 41 S
S
2
= 13.590 = 90,6 150
S
2
= 90,6
9,52 = S
CV =
9,52 100 = 23,22% 41
M e = 41
AS =
3 (41 − 41) =0 9,52
b) AS = AS =
m3 S
3
=0
Mi −Md S
= 41 − 41 = 0 9,52
c) m4 = 2.357.910 = 15.719,4 150
= 9,52
La distribución es simétrica
Ap =
15.719,4 = 1,92 < 3 90,6 2
Achatada
60. Solución: a) yi
y i ni
yi − y
y i − y ni
yi − M e
yi − Me ni
9,0 13,5 17,5 24,0 32,0 38,0 45,0
27 135 105 96 256 608 135 1.362
18,24 13,74 9,74 3,24 4,76 10,76 17,76 Σ
54,72 137,40 58,44 12,96 38,08 172,16 53,28 527,04
19,75 15,25 11,25 4,75 3,25 9,25 16,25 -
59,25 152,50 67,50 19,00 26,00 148,00 48,75 520,50
yi − y
2
ni
998,0928 1.887,8760 569,2056 41,9904 181,2608 1.852,4416 946,2528 6.504,1200
y = 1.362 = 27,24 50
a) varianza ⇒ S2 = 6.504,12 = 130,0824 50
b) S = 130,0824 = 11,41
40
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c) CV =
Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
11,41 100 = 41,89% 27,24
d) Desviación media
Da =
527,04 = 10,54 50
e) Desviación mediana
De =
520,5 = 10,41 50
n = 50 = 25 N I −1 = 23 ; 2 2 25 − 23 M e = 28 + 6 = 28 + 0,75 = 28,75 8
Me ⇒
Mediana
De ≤ Da < S
⇔
N I = 31
10,41 ≤ 10,54 < 11,41
61. Solución: a) Asimetría As =
m3 =
m4 =
m3 S
3
=
− 244,48 = − 0,17 (Ligera asimetría negativa) 1.474,62
∑ ( yi
− y ) ni − 12.224,22 = = − 244,48 (Momento de orden tres) n 50
∑ ( yi
− y ) ni 1.305.799,88 = = 26.115,99 (Momento de orden cuatro) n 50
3
4
b) Apuntamiento Ap =
m4 S
4
=
m4 2 2
(S )
=
26.115,99 = 1,55 16.780,61
Achatada (platicúrtica) ⇒ 1,55 < 3
62. Solución: 1) y i' −1 − y i'
ni
yi
41
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
2,1 – 6 6,1 – 10 10,1 – 14 14,1 – 18 18,1 – 22 22,1 – 26 Σ
22 14 10 8 4 2 60
4 8 12 16 20 24 -
X i'−1 − X i'
fi
Xi
> SA 6,71 > 5,71
a)
SB
b) CV A =
Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
x = 120 = 12 10
y A = 9,6 SA
= 32,64
S B2 = 44,99
SA
= 5,71
S B = 6,71
2
> S A2 44,99 > 32,62 2
SB
5,71 100 = 59,48% ; 9,6
CVB =
6,71 100 = 55,92% 12
CVB < CVA 55,92% < 59,48%
c) Puntaje típico:
ZA =
18 − 9,6 = 1,47 7,71
ZB =
18 − 12 = 0,89 6,71
Z A > ZB
2) x B = 120 = 12 10
1.890 − 10(12) = 44,99 10 2
SB
=
SB
= 6,71
2
63. Solución: x =
x1 n1 + x 2 n 2 n
x=
9,6 (60) + 12 (10) = 9,94 70 32,64 (60) + 44,99 (10) (9,6 − 9,94) 60 + (12 − 9,94) 10 + = 34,40 + 0,7 = 70 70 2
S
S
2
=
2
= 35,10 ⇒ S = 5,92
2
42
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
5,92 CV = S 100 = 100 = 59,59% x 9,94
a) x = 5(9,6) = 48 S
2
= 5 2 (32,64) = 816
CV =
S
= 816 = 28,57
28,57 100 = 59,52% 48
Anteriormente nos había dado 59,56% ahora nos da casi igual: 59,52%, diferencia sin importancia por los decimales. Se puede concluir que no cambia. b) x = 10 + 9,6 = 19,6 S
S S
= V[K + X ]
2
2
= 32,64
= 5,71
CV =
5,71 100 = 29,13% 19,60
Cambia el resultado
64. Solución: y i' −1 − y i' 2,1 – 6 6,1 – 10 10,1 – 14 14,1 – 18 18,1 – 22 22,1 – 26 Σ
yi
ni
Ni
4 8 12 16 20 24
22 14 10 8 4 2 60
22 36 46 54 58 60 -
X i'−1 − X i'
Xi
fi
Fi
Asimetría: AS =
AS =
M1 − M d S
=
3 (M 1 − M e ) S
9,6 − 4 = 0,98 5,71 =
3 (9,6 − 8,29) = 0,69 5,71
60 = 30 2
43
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
y = 9,6
(y
30 − 22 Me = 6 + 4 = 6 + 2,29 = 8,29 14
Md = 4
)
3
− y ni -3.863,55 57,34 138,24 2.097,15 4.499,46 5.971,97 8.900,61 ( X i − X )3 fi i
(y
Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
)
4
− y ni 21.635,89 91,75 331,78 13.421,77 46.794,34 85.996,34 168.271,87 ( X i − X ) 4 fi i
Hay una ligera asimetría positiva
m3 = As =
8.900,61 = 148,34 60 148,34 148,34 = = 0,80 186,17 5,713
Asimétrico positivo m4 =
168.271,87 = 2.804,53 60
Ap =
2.804,53 2.084,53 = = 2,63 1.065,37 32,642
Como 2,63 < 3,00 se dice que la curva es achatada. 65. Solución: a) 851.600 < 962.600 b) CV I =
CV II =
⇒
Hay una mayor variabilidad absoluta en el turno II
S 922,82 851.600 100 = 1 100 = 100 = 0,00094 = 0,094% 978.000 x1 978.000 S 981,12 962.600 100 = 2 100 = 100 = 0,00082 = 0,082% 1.203.500 x2 1.203.500
CV1 > CV 2
Hay mayor variabilidad relativa en el primer turno.
44
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
922,82 100 = 0,092% 1.000.000
CV1 =
c) x1 + K = 978.000 + 22.000 = $1.000.000
CV 2 =
x 2 + K = 1.203.500 + 84.245 = $1.287.745
981,12 100 = 0,076% 1.287.745
CV1 > CV 2
0,092% > 0,076%
66. Solución: yi − y
y i' −1 − y i' 2,1 – 6 6,1 – 10 10,1 – 14 14,1 – 18 18,1 – 22 22,1 – 26 Σ
yi
ni
y i ni
4 8 12 16 20 24 -
3 12 25 11 7 2 60
12 96 300 176 140 48 772
X i'−1 − X i'
Xi
fi
X i fi
y=
772 = 12,87 60
S
AS =
Asimetría:
m3 S
3
=
-8,87 -4,87 -0,87 3,13 7,13 11,13 -
( yi
− y) 78,6769 23,7169 0,7569 9,7969 50,8369 123,8769 d i2
di
2
=
2
(yi
− y ) ni 2
236,0307 284,6028 18,9225 107,7669 355,8583 247,7538 1.250,9350 d i2 f i
1.250,935 = 20,85 60
35,60 = 0,37 4,57 3
m3 =
S
∑ Z i3
=
( yi
− y ) ni -2.093,5923 -1386,0156 -16,4626 337,3073 2.537,2697 2.757,4998 2.136,0063 3
( y i − y )4
d i3 f i
d i4 f i
20,85 = 4,57
ni
=
2.136,0063 = 35,60 60
ni
=
75.171,86 = 1.252,86 60
n
ni 18.570,1638 6.749,8961 14,3224 1.055,7717 18.090,7328 30.690,9727 75.171,8595
Hay poca asimetría y es positiva
Apuntamiento: A p =
m4
(S )
2 2
=
1.252,86
(20,85)
2
= 2,88
m4 =
∑ Z i4 n
2,88 < 3 Luego se concluye que es ligeramente achatada
a) CV = b) Z =
S
y
100 =
yi − y S
=
4,57 100 = 35,51% 12,87
12 − 12,87 = − 0,12 4,57
c)
45
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
yi
ni
yi − y
4 8 12 16 20 24 Σ Xi
3 12 25 11 7 2 60
8,87 4,87 0,87 3,13 7,13 11,13 -
fi
di
yi − M e
yi − M e ni
8,4 4,4 0,4 3,6 7,6 11,6 -
-
Variable continua:
De =
y i − y ni
Ni
26,61 58,44 21,75 34,43 49,91 22,26 213,40 di
Da =
25,20 52,80 10,00 39,60 53,20 23,20 204,00 X i − M e fi
Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
3 15 ← N J −1 40 ← N J 51 58 60 -
fi
Fi
∑ y i − y ni n
Mediana = 10 + 4
n = 30 2
∑ yi
=
213,40 = 3,56 60
(Desviación media)
30 − 15 = 12,4 25
N J −1 = 15
N J = 40
− M e ni 204,0 = = 3,41 n 60
67. Solución: x + ( x k ) = 810.000 + (810.000 × 0,042) + 8.000 = 852.020
x = 810.000 + 34.020 + 8.000 = $ 852.020 nueva media aritmética S CV = S 100 ⇒ 0,36 = x 852.020
a)
S
2
⇒ S = 852.020 (0,36) = $306.727,2
= 306.727,2 2 y su desviación será $306.727,2 pesos
b) La varianza no cambia, cuando utilizamos la propiedad que dice:
46
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
V[ X
+K ]
Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
= V[ X ] + V[K ] = S X2
68. Solución: xi
xi − x
( x i − x )2
xi − x
xi − M e
6 4 8 2 10 Σ
0 -2 2 -4 4 0
0 4 4 16 16 40
0 2 2 4 4 12
0 2 2 4 4 12
Mediana:
2
4
6 Me
a) Da =
12 = 2,4 5
Da =
b) De =
12 = 2,4 5
De =
c)
S
2
= 40 = 8 5
d) De ≤ Da < e) CV =
S
2,83 100 = 47,17% 6
S
8
10
∑ xi − x n
∑ xi − M e n
= 8 = 2,83
2,4 = 2,4 < 2,83
x = 30 = 6 5
CV = S 100 x
69. Solución:
47
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
M [ X ] = M 96 8
Y + 96 8
⇒
M [ X ] = M [12Y
Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
+ 12 ]
x = 12 y + 12
x = 12(5) + 12 = 72 CV[Y ] =
SY
= 0,40
y
V[ X ] = V[12 Y 2
Sx
= 576
+ 12 ]
x = 72
⇒
0,40 (5) = SY = 2
= V[12Y ] = 144S Y2 = 144 (4) = 576
⇒ SX =
576 = 24
CV X = 24 100 = 33,33% 72
CV =
Sx 100 x
70. Solución: y = 6 − 10 x V[Y ] = V[6 ] − V[10 X ] = 0 + V[10 X ] = 100V[ X ] 2
Sy
= 100(8) = 800
V[4 X
− Y]
= V[4 X ] − V[Y ] = 16 V[ X ] − V[Y ]
S
2 x
= 128
S
2 y
= 800
16(8) − 800 = 128 − 800 V[ X ] < V[Y ]
128 ≠ 800
Podemos concluir que hay una diferencia entre las dos varianzas de 672.
71. Solución: Debido a que M 1 = M e = M d ; por lo tanto la diferencia entre dos de ellos es cero.
48
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
72. Solución: a) El más regular en el desarrollo de su trabajo es B dado que, tiene la menor dispersión; sería totalmente parejo si S 2 = 0 b) El más rápido en terminar el trabajo es B, ya que tiene el mayor promedio.
73. Solución: a) Observemos de mayor a menor las calificaciones Derecho > Economía >
4,2
4,0
> Inglés > Matemáticas
>
3,6
>
3,3
Se nota fortaleza en las dos primeras y debilidades especialmente en las matemáticas. b) Si calculamos los puntajes típicos observemos Z Eco =
4 − 4,3 = − 0,5 0,6
Z Mat =
3,3 − 2,8 = 0,67 0,75
Z Ing =
3,6 − 3,2 = 0,4 0,8
Z Der =
4,2 − 4,6 = − 0,67 0,6
Matemáticas > Inglés > Economía > Derecho Z ⇒
0,67
>
0,4
>
− 0,5
>
− 0,67
La conclusión con respecto al grupo es todo lo contrario, al resultado obtenido en el punto a.
49
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.
74. Solución: yi
ni
y i ni
0 1 2 3 4 5 6 7 Σ Xi
26 10 8 6 4 3 2 1 60
0 10 16 18 16 15 12 7 94
y i2 ni 0 10 32 54 64 75 72 49 356
X i fi
X i2 f i
fi
a) y = X =
94 = 1,57 60
Casi en promedio dos reclamaciones en los últimos años. b)
S
S
2
=
=
c) CV =
356 − 60(1,57 ) = 3,47 60 2
3,47 = 1,86 S
x
100 =
1,86 100 = 118,47% 1,57
Estos resultados nos indican que el promedio de 1,57 es poco representativo, para aceptar la afirmación que en promedio 1,57 sea el número de reclamaciones por usuario.
50
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Cap.5 Nociones elementales de probabilidad
5 Nociones elementales de probabilidad EJERCICIOS RESUELTOS ESPACIO MUESTRAL – ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES – ESPERANZA MATEMÁTICA 1. Solución: a) Los pares son:
[2, 4, 6]
P = 3 = 1 = 0,50 6 2
b) Mayor que 2:
[3, 4, 5, 6]
P = 4 = 2 = 0,66 6 3
a) Que sea 3:
(1, 2) (2, 1)
P = 2 = 1 = 0,055 36 18
b) Que sea 4:
(2, 2) (3, 1) (1, 3)
P = 3 = 1 = 0,083 36 12
2. Solución:
3. Solución: a) Que todas sean caras:
(ccc)
P = 1 = 0,125 8
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Cap.5 Nociones elementales de probabilidad
b) Que dos sean caras:
(ccs) (csc) (scc)
P = 3 = 0,375 8
c) Que dos sean sellos:
(ssc) (scs) (css)
P = 3 = 0,375 8
4. Solución: Todos varones:
P = 1 = 0,125 8
VVV;
23 = 8
casos posibles
5. Solución: a)
11 21 31 41 51 61
12 22 32 42 52 62
13 23 33 43 53 63
14 24 34 44 54 64
15 25 35 45 55 65
16 26 36 46 56 66
b) (4, 1)
(4, 2)
(4, 3)
(3, 4) (2, 4)
(1, 4)
P =
6 1 = = 0,1667 36 6
c) (1, 4)
(1, 5)
(1, 6)
(2, 4) (2, 5)
(2, 6)
P =
6 1 = = 0,1667 36 6
(3, 3)
P =
5 = 0,1389 36
(6, 2) (4, 4)
P =
5 = 0,1389 36
Que sea 7: (5, 2) (2, 5) (4, 3) (3, 4) (6, 1) (1, 6)
P =
6 1 = = 0,1667 36 6
Más de 9:
P =
6 1 = = 0,1667 36 6
d) Que sea 6:
(5, 1) (1, 5)
Que sea 8: (5, 3)
(2, 4) (4, 2)
(3, 5) (2, 6)
(5, 5) (5, 6) (6, 5) (6, 6) (4, 6) (6, 4)
2
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Cap.5 Nociones elementales de probabilidad
6. Solución: a)
11 21 31 41
12 22 32 42
13 23 33 43
14 24 34 44
b) (1, 2)
(1, 4)
(3, 2)
c) (1, 3)
(3, 1)
(2, 2)
P = 4 = 1 = 0,25 16 4
(3, 4)
P = 3 = 0,1875 16
d) (1, 1) (3, 1) (1, 3) (2, 2) (2,4) (3, 3) (4, 2) (4, 4)
P = 8 = 1 = 0,5 16 2
7. Solución: 111 121 131 141
211 221 231 241
311 321 331 341
411 421 431 441
112 122 132 142
212 222 232 242
312 322 332 342
412 422 432 442
113 123 133 143
213 223 233 243
313 323 333 343
413 423 433 443
114 124 134 144
214 224 234 244
314 324 334 344
414 424 434 444
a)
(121) (112) (123) (124)
(211) (132) (213) (214)
(231) (142) (233) (234)
(321) (332) (323) (324)
(421) (412) (342) (432) (423) (442) (424)
(241) (312) (243) (244)
P = 27 = 0,4218 = 42,18% 64
b)
(221) (232) (422) (122) (212) (322) (224) (242) (223)
3
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Cap.5 Nociones elementales de probabilidad
P = 9 = 0,1406 = 14,06% 64
c)
(222) P = 1 = 0,0156 = 1,56% 64
8. Solución: a) U = [ A
B 60 30 100 100
b)
C 10 100
]
c)
B C P = 30 + 10 = 40 = 0,40 100 100 100
9. Solución: U = [menores de 20,
21 a 35, 36 a 50, 51 a 65, mayores de 65 ]
35 100
25 100
20 100
15 100
5 100
P = 20 + 15 + 5 = 40 = 0,40 100 100 100 100
10. Solución: a)
[
b)
c)
800 B
800 2.000
500 A
500 2.000
300 R
300 2.000
300 V
300 2.000
]
100 Az
100 2.000
R B Az P = 300 + 800 + 100 = 1.200 = 0,60 2.000 2.000 2.000 2.000
4
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Cap.5 Nociones elementales de probabilidad
11. Solución: 1/3
½ ½
N
H
V
1/3
½
S
½
1/3
S
F C N
H
C
½
F C N
1/3
½
C
F C N
P = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1 2 2 3 12
F
VHC = 1 12
CHC = 1 12
VHN = 1 12
CHN = 1 12
VHF = 1 12
CHF = 1 12
VSC = 1 12
CSC = 1 12
VSN = 1 12
CSN = 1 12
VSF = 1 12
CSF = 1 12
P = 1 = 0,0833 = 8,33% 12
5
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Cap.5 Nociones elementales de probabilidad
12. Solución: a) Espacio muestral:
[
b) Probabilidades:
B
B B
B
R R
1 6
1 6
1 6
1 6
1 6
]
1 6
c) Probabilidad de sacar una bola roja: P = 1 + 1 = 2 = 1 = 0,33 6
6
6
3
13. Solución: a) (4, 4, 4)
P =
1 = 0,0046 = 0,46% 216
63 = 216
b) (1, 1, 1) (2, 2, 2) (3, 3, 3) (4, 4, 4) (5, 5, 5) (6, 6, 6); 441
c) 414 144
d) P =
442 424 244
443 434 344
445 454 544
446 464 644
P=
6 = 1 216 36
P = 15 = 5 = 0,0694 = 6,94% 216 72
90 5 = = 0,4167 216 12
14. Solución: Posibilidades:
3 + 2 + 6 + 5 = 16
Probabilidad favorable:
P = 3 + 2 = 5 = 0,3125 16 16 16
Probabilidad adversa:
Q = 6 + 5 = 11 = 0,6875 16 16 16
Probabilidad total:
P + Q = 5 + 11 = 1 16 16
15. Solución:
6
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Cap.5 Nociones elementales de probabilidad
a) Si
e) No
b) No
c) Si
d) Si
f) Si
16. Solución: a)
ABC ABD ABE ABF ACD
C36 =
ACE ACF ADE ADF AEF
BCD BCE BCF BDE BDF
BEF CDE CDF CEF DEF
6! 6× 5× 4 = = 20 3! 3! 6
La probabilidad de cada suceso es
1 = p = 0,05 20
b) ABC – ABD – ABE – ABF – ACD ACE – ACF – ADE – ADF – AEF
c) ABC – ABD – ABE – ABF d) ACD AEF BDE
ADE BCE BEF
ACE BCD BDF
ADF BCF ACF
e)
p = 10 = 0,5 20
f)
p = 4 = 1 = 0,20 20 5
p = 10 = 0,5 20
p = 4 = 1 = 0,20 20 5
p = 12 = 3 = 0,60 20 5
17. Solución: p = 4 = 1 = 0,33 12 3
o
33%
7
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Cap.5 Nociones elementales de probabilidad
18. Solución: HM - MH - HH - MM
La probabilidad de cada suceso es 1
4
19. Solución: a) HHH
HHM HMM MMM HMH
MHM MHH
MMH
b) Tendrá 8 puntos c) HHM - HMH - MHH = 3 puntos d) MHH - MHM - MMH - MMM = 4 puntos
20. Solución: a) MMH
p = 1 = 0,125 8
b) MMH – MHM – HMM
p = 3 = 0,375 8
21. Solución: (50; 100)
(50; 200)
(50; 500)
(100; 200)
(100; 500)
(200; 500)
(100; 50)
(200; 50)
(500; 50)
(200; 100)
(500, 100)
(500; 200)
22. Solución: Sabemos que hay 36 casos posibles ⇒ 6 2 = 36 Que la suma sea 4 sólo se tiene: (3; 1) (1; 3) y (2; 2) = 3/36 Por lo tanto que no sea 4, será igual a 36 − 3 = 33 = 0,9167 36
36
36
8
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Cap.5 Nociones elementales de probabilidad
23. Solución: a) OROS BASTOS COPAS ESPADAS
AS AS AS AS
b)
CCCCCS CCCCSC CCCSCC CCSCCC CSCCCC SCCCCC
CCCCCC
2 2 2 2
3 3 3 3
4 4 4 4
5 5 5 5
6 6 6 6
CCCCSS CCCSCS CCCSSC CCSCSC CCSSCC CSCSCC CSSCCC SCSCCC SSCCCC ………... ………... ………...
7 7 7 7
ZOTA ZOTA ZOTA ZOTA
CCCSSS CCSCSS CCSSCS CCSSSC CSCSSC CSSCSC CSSSCC SCSSCC SSCSCC SSSCCC ………… …………
CABALLO CABALLO CABALLO CABALLO
REY REY REY REY
CC……. ……….. ………..
……….
↓
↓
↓
↓
↓
↓
1/64
6/64
15/64
28/64
15/64
1/64
Son 64 sucesos, los cuales se distribuyen así: 6 caras, un caso 5 caras, 6 casos 4 caras, 15 casos c) (100; 200) (200; 100) (1.000; 100) (10.000; 100) d) ABC ABD ABE
ACD ACE ACF
3 caras, 28 casos 2 caras, 15 casos 1 cara, 6 casos
(100; 1.000) (200; 1.000) (1.000; 200) (10.000; 200) ADF BCD BCE
BDE BDF CDE
0 caras, un caso
(100; 10.000) (200; 10.000) (1.000; 10.000) (10.000; 1.000) DEF
9
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ABF
ADE
BCF
CDF
Cap.5 Nociones elementales de probabilidad
24. Solución: a)
111 211 311 411
121 221 321 421
131 231 331 431
141 241 341 441
112 212 312 412
122 222 322 422
132 232 332 432
142 242 342 442
113 213 313 413
123 223 323 423
133 233 333 433
143 243 343 443
114 214 314 414
124 224 324 424
134 234 334 434
144 244 344 444
b) 43 = 64 casos posibles, tal como se puede observar en la pregunta (a) c) Exactamente un dos:
121 123 112 412 244
211 213 132 432 324
231 233 142 442 424
241 243 312 124
321 323 332 214
421 423 342 234
212 224
232
242
322
p = 27 64
Exactamente dos dos:
221 422
122 223
p = 9 64
Exactamente tres dos:
222 p = 1 64
25. Solución: P = 0,20 = 20% que llueva;
P = 0,80 = 80% que no llueva
10
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Cap.5 Nociones elementales de probabilidad
26. Solución: a)
{3,3 }
⇒ P = 1 36
b) {1,1} {1,3} {1,5} {3,1} {3,3} {3,5} {5,1} {5,3} {5,5} P = 9 36
c) {1,2} {2,1} {3,2} {4,1} {5,2} {6,1}
{1,4} {2,3} {3,4} {4,3} {5,4} {6,3}
{1,6} {2,5} {3,6} {4,5} {5,6} {6,5} P = 18 36
d) {3,6} {6,3}
P = 2 = 1 36 18
e) {3,6}
P = 1 36
27. Solución: Par: 2, 4, 6
P = 3 = 1 6 2
Impar: 1, 3, 5
P = 3 = 1 6 2
Mayor que 0: 1, 2, 3, 4, 5, 6 P = 6 = 1 6
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Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Menor que 5: 4, 3, 2, 1,
Cap.5 Nociones elementales de probabilidad
P = 4 = 2 6 3
28. Solución: (a)
CSS
SCS
SSC
(b)
CCS
CSC
SCC
(c)
CCS
CSC
SCC
(d)
CSS SCS SSC
CCS CSC SCC
CCC SSS
p = 3/8 CCC
p = 4/8 = ½ p = 3/8
p = 8/8 = 1
29. Solución: a) Evento es un conjunto de uno o más puntos muestrales b) El conjunto de las 52 cartas de la baraja sacar una K Diamantes: Trébol: Corazón: Picas: c) P =
AS AS AS AS
2 2 2 2
3 3 3 3
4 4 4 4
5 5 5 5
6 6 6 6
7 7 7 7
8 8 8 8
9 9 9 9
10 10 10 10
J J J J
Q Q Q Q
K K K K
4 4 4 12 3 + + = = 52 52 52 52 13
30. Solución: a) υ = {AAA AAB ABA ABB BAA BAB BBA BBB} b) BBB c) Exactamente 2 trabajan
31. Solución:
12
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Cap.5 Nociones elementales de probabilidad
a) Se determina la probabilidad sin necesidad de realizar el experimento. b) Se requiere la realización del experimento para determinar la probabilidad de un suceso c) La lista de todos los resultados posibles de un experimento se denomina espacio muestral. d) Posibilidad es el resultado que se obtiene al dividir el número de resultados favorables por el número de resultados no favorables. Probabilidad es el resultado que se obtiene al dividir el número de resultados favorables por el total de casos posibles. e) Probabilidad subjetiva, se considera cuando la elección de las probabilidades es fundamentalmente intuitiva. f) Experimento: es un conjunto definido de resultados posibles g) Prueba es la realización de un acto. h) Frecuencias relativas: cuando la elección de las probabilidades se basa en las experiencias previas.
32. Solución: Considerar que el equipo profesional queda dentro de los 4 primeros puestos, con una probabilidad del 56%. Me baso en los jugadores y entrenador, además, de sus últimas actuaciones. Lo anterior es una probabilidad subjetiva.
33. Solución: Un aficionado bogotano ha visto jugar dos de los tres equipos capitalinos contra los restantes 16 equipos del campeonato, aunque nunca el uno contra el otro. Tiene la impresión que uno de ellos es mejor que el otro y que tiene mayores posibilidades de ganar, por lo tanto asigna las siguientes probabilidades de la siguiente manera: El equipo A gana 0,7 = 70% El equipo B gana 0,3 = 30% Lo anterior corresponde a una probabilidad subjetiva.
13
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.5 Nociones elementales de probabilidad
Se tiene una baraja de 40 cartas y se va a extraer una sola carta, la probabilidad de obtener un AS o un rey de copas es: P=
4 1 5 Lo anterior es una probabilidad objetiva + = 40 40 40
34. Solución: a) Cierto
b) Cierto
35. Solución: Esperanza de ganar, si sale el uno =
1 (5000) = 5000 = 833,33 pesos 6 6
Esperanza de perder, si sale 2, 3, 4, 5 y 6 =
5 (1000) = 5000 = 833,33 pesos 6 6
Sí debo aceptar, es equitativo no gano ni pierdo ya que: 833,33 – 833,33 = 0
36. Solución: 10 (5.000) = 1.000 50
p1 = 10 50
E1 = p1 n =
p2 = 10 50
E2 = p2 n = 10 (1.000) = 200 50
p3 = 30 50
E3 = p3 n = 30 × 0 = 0 50 E = E1 + E2 + E3 = 1.000 + 200 + 0 = 1.200
37. Solución: P = p1 ⋅ p2 ⋅ p3
p1 = 16 24
p2 = 15 23
p3 = 14 22
14
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Cap.5 Nociones elementales de probabilidad
p = 16 × 15 × 14 = 3.360 = 0,277 24 23 22 12.144 E = 5.000 ( p ) E = 5.000 (0,277 ) = 1.385
38. Solución: 7! a) 7 = = 35 3! 4! 3
b) E = np = 35 3 = 15 7
NOTA: se trata de combinaciones (forma parte de los ejercicios del 70 al 86) 39. Solución: a) Esperanza (número de accidentes) = 0 (0,90) + 1(0,04) + 2 (0,03) + 3 (0,02) + 4 (0,01) = 0,2 b) Durante 200 períodos
→
E = 200 (0,2 ) = 40 accidentes esperados
40. Solución: E = 250.000 (0,04 ) = $32.000
Nota: el libro debería decir $18.500.000, por lo tanto la prima debe ser $740.000
41. Solución: pn = n !
P5 = 5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120
42. Solución: P7 = 7 ! = 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 5.040
43. Solución: P8 = 8! = 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 40.320
15
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Cap.5 Nociones elementales de probabilidad
44. Solución: P4 = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
45. Solución: P9 = 9! = 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 362.880
46. Solución: P4 = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
47. Solución: P5 = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
48. Solución: P3 = 3! = 3 × 2 × 1 = 6
(ABC)
(ACB)
(BAC)
(BCA) (CBA)
(CAB)
49. Solución: P11(r: 2, 4, 4 ) =
11! = 34.650 2! 4! 4!
50. Solución: a) P10 (r: 3, 2 ) =
10! = 302.400 3! 2!
b) P8 (r: 2 ) =
8! = 40.320 = 20.160 2! 2
51. Solución: P5 (r: 2 ) =
5! 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = = 60 2! 2
16
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Cap.5 Nociones elementales de probabilidad
52. Solución: P5 (r: 2, 3 ) =
5! 5 × 4 × 3! 5 × 4 = = 2 ! 3! 2 × 3! 2
= 10
53. Solución: Es un caso especial de permutaciones: P5 = 4 ! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
P3 = 21! = 2 × 1 = 2
Número de permutaciones con los dos grupos P2 = 2! = 2 El número total de permutaciones = 24 (2) (2) = 96
54. Solución: Vrn =
n! (n − r )!
9 P5
= V59 =
(9
9! 9! 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4! = = = 15.120 − 5)! 4! 4!
55. Solución: V46 =
(6
6! 6! = = 6 × 5 × 4 × 3 = 360 = − 4)! 2!
6 P4
56. Solución: V527 =
27! 27 ! = (27 − 5)! 22! = 27 × 26 × 25 × 24 × 23 = 9.687.600 =
27 P5
57. Solución:
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V35 =
5! = 5 × 4 × 3 = 60 = 2!
5 P3
Cap.5 Nociones elementales de probabilidad
= 60
58. Solución: V310 + V410 + V510 + V610 =
10! 10! 10! 10! + + + = 187.200 7! 6! 5! 4!
59. Solución: V35 =
5! = 5 × 4 × 3 = 60 = 2!
5 P3
60. Solución: P10 (r: 2, 3) =
10! = 302.400 2! 3!
61. Solución: a) 6 ! = 720
b) 10 ! = 3.628.800
c) 3! = 6
d) 0 ! = 1
62. Solución: a) 8 P3 = 336
b) 8 P4 =
8! = 1.680 4!
c) 8 P5 = 6.720
63. Solución: P12 (r : 3, 2 ) =
12! 479.001.600 = = 39.916.800 3! 2! 12
64. Solución: a)
26
P3 =
26 ! = 15.600 23!
b) 263 = 17.576
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Cap.5 Nociones elementales de probabilidad
65. Solución: a)
ABCD ABDC ACBA ACAB ADBC ADCB
BACD BADC BCAD BCDA BDAC BDCA
CBAD CBDA CABD CADB CDAB CDBA
DABC DACB DBAC DBCA DCAB DCBA
b) P4 = 4! = 24
66. Solución: a) P16 = 16! = 16 ⋅ 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9! = 2.092.278.989.898 b)
16
P4 =
Formas de clasificación
16 ! = 43.680 Formas de clasificación 4!
67. Solución: 3! = libros de matemáticas; grupos
2! = Libros de estadística;
2! = Con los dos
3! ⋅ 2! ⋅ 2! = 24 Maneras
68. Solución: P6 = 6 ! = 720 Maneras de sentarse
69. Solución: a) 6 P2 =
6! = 30 4!
d) P6 = 6! = 720
b) 4 P1 =
4! =4 3!
c)
12 P5
= 95.040
e) P8 = 8! = 40.320
19
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Cap.5 Nociones elementales de probabilidad
70. Solución: 8
8!
b) = = 10 3 2! 3!
8
8!
e) = = 210 4 6! 4!
a) = = 28 6 2 ! 6! d) = = 28 2 6! 2!
5
5!
10
10!
5
5!
c) = = 10 2 3! 2 ! 10
10!
f) = = 210 6 6! 4!
71. Solución: 30 C11
=
30 ! = 54.627.300 Maneras 19 ! 11!
72. Solución: MMVVV VMVVM VVMMV
MVMVV VVMVM VMMVV
MVVMV MVVVM VVVMM VMVMV 10 posibilidades
73. Solución: 10 10! 10 × 9 × 8 × 7 × 6! = = = 210 Comisiones 6 4! 6! 4 × 3 × 2 × 1 × 6!
74. Solución: 5
5!
5 × 4 × 3!
a) = = = 10 Comités 3 2 ! 3! 2 × 1 × 3 ! b) 7 comités
75. Solución:
20
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a)
210 = 210
b) 56 = 56
10 10 = 6 4
Cap.5 Nociones elementales de probabilidad
c) 21 = 21
8 8 = 3 5
7 7 = 2 5
76. Solución: 12 12 ! = = 495 Maneras 8! 4! 4
77. Solución: 4 8
a) = × = 4 (56) = 224 Comités 3! !! 3!5! 1 3 b) Se deja al estudiante, su solución. 4!
8!
78. Solución: 40 40 ! = = 18.643.560 Grupos de 7 cartas 33! 7 ! 7
79. Solución: n! n = r ( n − r )! r ! 7 3
4 + 2
7 4
7! 4! a) 7 4 = ⋅ = 35 (6) = 210 Comités 3 2 4 ! 3! 2 ! 2 ! 4 + 1
7 = 210 + (35) 4 + 21 = 210 + 140 + 21 = 371 5
80. Solución: 6 4
8 3
5 = 3
6! 8! 5! ⋅ ⋅ = 15 (56) (10) = 8.400 Comités 2! 4! 5 ! 3! 2 ! 3!
81. Solución:
21
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5 3
Cap.5 Nociones elementales de probabilidad
5! 8! 8 ⋅ = 10 (56) = 560 Comités = 5 2 ! 3! 3! 5 !
82. Solución: a) C 310 =
10 ! 10 × 9 × 8 720 = = = 120 Comisiones 3! 7 ! 7! × (3 × 2 × 1) 6
b) C710 =
10! 10 × 9 × 8 = = 720 = 120 Comisiones 7! 3! 6 6
Se puede notar que C310 = C710
83. Solución: C552 =
52! = 2.598.960 Grupos de 5 cartas 5! 47!
84. Solución: C28 =
8! = 28 Maneras 2! 6!
85. Solución: 7! a) 7 = = 35 3! 4! 3
b) 6 4 + 6 4 + 6 4 + 6 4 = 120 3 0 2 1 1 2 0 3
86. Solución: C34 =
4! = 4 3! 1!
(1, 2, 3) (1, 2, 4) (1, 3, 4) (2, 3, 4)
22
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Cap.5 Nociones elementales de probabilidad
SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
87. Solución: P( A o B ) = P( A ) + P( B )
P( A ) = 12 40
P( B ) = 4 40
P( A o B ) =
12 4 16 2 + = = = 0,40 40 40 40 5
88. Solución: P( A ) = 1 4
P( B ) = 1 4
P(C ) = 1 4
P( A o B o C ) = 1 + 1 + 1 = 3 = 0,75 4 4 4 4
89. Solución: P( A ) = 4 obtener una J 52 P( A o B ) =
P( B ) = 13 obtener un corazón 52
4 13 1 16 + − = = 0,3077 52 52 52 52
P( A y B ) = 1 52
= obtener J y corazón
(Sucesos compatibles) P( A o B ) = P( A ) + P( B ) − P( A y B )
90. Solución: P( A ) = 13 sea diamante 52
P( B ) = 13 sea trébol 52
23
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P( A o B ) =
Cap.5 Nociones elementales de probabilidad
13 13 26 13 + = = = 0,5 52 52 52 26
91. Solución: P( A ) = 0,60
P( B ) = 0,30
P( A y B ) = 0,25
(Sucesos compatibles) P( A o B ) = P( A ) + P( B ) − P( A y B )
; P( A ó B ) = 0,60 + 0,30 − 0,25 = 0,65
92. Solución: a) P( A ) =
5 1 = = 0,1667 = 16,67% 30 6
b) P( A ) = 5
P( B ) = 10 30
30
P( A ó B ) =
5 10 15 1 + = = = 0,5 30 30 30 2
c) P( A ) = 15
P( B ) = 10 30
30
P( A o B ) =
15 10 25 + = = 0,8333 = 83,33% 30 30 30
93. Solución: P( A ) = 12 40
P( B ) = 10 40
P( A y B ) = 4 40
(Sucesos compatibles) P( A o B ) =
12 10 4 18 9 + − = = = 0,45 = 45% 40 40 40 40 20
24
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Cap.5 Nociones elementales de probabilidad
94. Solución: P( A ) = 0,2
P( B ) = 0,5
P( A y B ) = 0,05
(Sucesos compatibles) P( A o B ) = 0,2 + 0,5 − 0,05 = 0,65
95. Solución: a) P( A o B ) =
4 4 + 40 40
=
8 1 = = 0,20 40 5
b) P( A o B ) =
1 4 + 40 40
=
5 1 = = 0,125 40 8
c) P( A o B ) = 12 + 10 − 3 = 19
(Sucesos compatibles)
d) P( A o B ) = 10 + 4 − 1 = 13
(Sucesos compatibles)
40
40
e) P( A o B ) = f)
P( A o B ) =
40
40
1 12 + 40 40
40
40 =
40
40
13 = 0,325 40
4 12 16 2 + = = = 0,40 40 40 40 5
96. Solución: a) P( N ) = c) P( R ) =
8 2 = = 0,4 20 5 7 = 0,35 20
b) P( B ) =
15 3 = = 0,75 20 4
P( A o N ) =
5 8 13 + = = 0,65 20 20 20
25
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Cap.5 Nociones elementales de probabilidad
97. Solución: a) No, son sucesos compatibles b) P( A o B ) = 0,20 + 0,70 − 0,10 = 0,80 c) No
98. Solución: P( A o B ) =
13 4 1 16 4 + − = = = 0,3077 52 52 52 52 13
99. Solución: a) Los sucesos impares son {1, 3, 5 } ⇒ Divisibles por dos son { 2, 4, 6 } = 3 ; 6
3 = 0,50 6
Por lo tanto P( A o B ) = 3 + 3 = 6 = 1 6
6
6
2 b) Par { 2, 4, 6 } ⇒ 3 , divisible por 3 = { 3; 6 } ⇒ = 0,33 6
P( A y B ) = 1 6
6
Siendo
P( A o B ) =
3 2 1 4 2 + − = = = 0,6667 6 6 6 6 3
100. Solución: P( A o B ) = 0,70 + 0,40 − 0,30 = 0,8 (Sucesos compatibles)
101. Solución:
26
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Cap.5 Nociones elementales de probabilidad
P( A o B ) = 0,60 + 0,20 − 0,03 = 0,77
102. Solución: Que en un 80% es la posibilidad de que ello ocurra, pero no necesariamente debe ocurrir.
103. Solución: a) P( A ) =
12 4 2 = = = 0,40 30 10 5
b) P( A o B ) =
12 8 20 2 + = = = 0,6667 30 30 30 3
c) P( A o B ) =
8 10 18 3 + = = = 0,60 30 30 30 5
104. Solución: P( E ) = 6 ; 16
P( A ) = 4 16
P( A o B ) =
6 4 10 + = 16 16 16
=
5 = 0,625 8
SUCESOS INDEPENDIENTES
105. Solución: P( A y B ) = P( A ) P( B ) P( A ) = 4 = 1 40 10
P( B ) = 4 = 1 40 10
P( A y B ) = 1 × 1 = 1 10 10 100
Consideremos barajas de 40 cartas
106. Solución:
27
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P( A y B ) = P( A ) P( B )
P( A y B ) =
Cap.5 Nociones elementales de probabilidad
1 1 1 × = = 0,0278 6 6 36
107. Solución: a) P( A ) = 0,8
P( B ) = 0,9
P( A y B ) = 0,8 (0,9 ) = 0,72
b) P( J ) = 0,2
P(G ) = 0,90
P( J
c) P( J
y G)
y G)
= 0,2 (0,9 ) = 0,18
= 0,2 (0,10) = 0,20
108. Solución: P( A ) = 4 40
P( B ) = 4 40
Rey
P( A y B
P(C ) = 1 40
As
y C)
= P( A ) P( B ) P(C ) =
6 de copas
4 4 1 16 × × = = 40 40 40 64.000
1 = 0,00025 4.000
109. Solución: P( A y B ) = 0,015 × 0,03 = 0,0004
(Hay 4 posibilidades en 10.000)
110. Solución: P( A ) = 1 ; 2 P( A y B
P( B ) = 1 ; 2
y C y D y E)
=
P(C ) = 1 ; 2
1 1 1 1 1 × × × × 2 2 2 2 2
P( D ) = 1 ; 2 =
P( E ) = 1 2
1 = 0,03125 32
111. Solución:
28
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P(C ) = 1 2 P(C
y C y C)
P(C ) = 1 2
Cap.5 Nociones elementales de probabilidad
P(C ) = 1 2
1 1 1 1 ⋅ ⋅ = = 0,125 2 2 2 8
=
112. Solución: a) P( A y B y C
y D)
= 0,8 (0,85) (0,75) (0,9 ) = 0,459 = 45,9% que ninguno sufra dificultades
b) P( A y B y C y D ) = 0,2 (0,15) (0,25) (0,10) = 0,00075 = 0,075% que los cuatro sufran accidentes c) P( A y B y C y D ) = 0,2 (0,15) (0,75) (0,90) = 0,02025 los dos primeros sufran accidentes
113. Solución: P( A y B ) = P( A ) P( B )
a) P( A ) = 13
P( A y B ) = 13 × 13 = 169 = 0,0625 52 52 2704
P( B ) = 13 52
52
b) P( A y B ) =
4 4 16 × = = 0,0059 = 0,59% 52 52 2704
c) P( A y B ) =
13 13 169 × = = 0,0625 = 6,25% 52 52 2704
114. Solución: Serían sucesos dependientes
P( A y B ) =
4 4 16 × = = 0,0060 = 0,60% 52 51 2.652
115. Solución: a) P( A y B ) = 0,08 (0,14) = 0,0112 = 1,12% b) P( A y B ) = 0,92 (0,86) = 0,7912 = 79,12%
29
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Cap.5 Nociones elementales de probabilidad
116. Solución: P( A y B
y C)
4 1 1 4 1 = = = = 0,0064 = 0,64% 624 156 2 52 6
117. Solución: P( A ) = 4 40
P( A y B
y C)
P( B ) = 4 40
=
P(C ) = 1 40
4 4 1 16 1 × × = = = 0,00025 40 40 40 64.000 4.000
118. Solución: a) P( A' y B ' y C ' y D ') = 0,88 (0,93) (0,98) (0,99) = 0,7490 = 74,90% b) P( A y B y C
y D)
= (0,12) (0,07 ) (0,02) (0,01) = 0,00000168
119. Solución: a) P( A y B ) = (0,03) (0,03) = 0,0009 b) P( A' y B ') = 0,97 (0,97 ) = 0,9409 = 94,09% c) P( A' y B ') = 0,03 (0,97 ) = 0,0291 = 2,91% d) P( A' y B ' y C ') = 0,97 (0,97 ) (0,97 ) = 0,9127 = 91,27%
120. Solución: P( A y B
y C)
=
1 1 1 1 × × = = 0,125 = 12,5% 2 2 2 8
121. Solución:
30
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Cap.5 Nociones elementales de probabilidad
60 1 5 12 P( A y B ) = = = = 0,20 = 20% 300 5 15 20
122. Solución: a) P( A y B y C
y D)
=
3 3 3 2 54 × × × = = 0,042 = 4,2% 6 6 6 6 1.296
b) P( A y B y C ) =
2 2 2 4 32 × × × = = 0,025 = 2,5% 6 6 6 6 1.296
c) P( A y B y C ) =
1 1 1 1 × × = = 0,046 = 4,6% 6 6 6 216
SUCESOS DEPENDIENTES
123. Solución: P = 52 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 1 = 6.864 = 0,02588 52 51 50 2 265.200
124. Solución: 9 P = 1 ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ 3 = = 0,0000041 40 39 38 37 2.193.360
125. Solución: B
A
B A
B A
B A B A B
86.400 P = 6 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅1 = 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 39.916.800
31
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P =
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1 = 0,00216 = 0,216% 462
126. Solución: a) P( A ∩ B ∩ C ) = p ( A ) ⋅ p ( B / A ) ⋅ p (C / A y B ) = 4 ⋅ 47 ⋅ 46 = 8.648 52
51
50
132.600
= 0,0652
b) P( A ∩ B ∩ C ) = P( A ) ⋅ p( B / A ) ⋅ p(C / A y B ) = 48 × 47 × 4 = 9.024 = 0,06805 52
51
50
132.600
127. Solución: P( A ∩ B ) = p( A ) ⋅ p( B / A ) ⋅ p(C / A y B ) = 4 × 3 × 2 = 24 = 0,0004 40 39 38 59.280
128. Solución: a) P( A ∩ B ∩ C ) = P( A ) ⋅ P( B / A ) ⋅ P(C / A y B ) = 5 ⋅ 8 ⋅ 7 = 280 = 0,0409 20
19
18
6.840
b) P( A ∩ B ∩ C ) = P( A ) ⋅ P( B ) ⋅ P(C ) = 5 ⋅ 8 ⋅ 7 = 280 = 0,035 20
20
20
8.000
129. Solución: a) P( A y B y C ) =
4 3 2 24 × × = = 0,0004 40 39 38 59.280
b) P( A y B y C ) =
10 9 8 720 × × = = 0,0121 40 39 38 59.280
130. Solución:
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Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.5 Nociones elementales de probabilidad
30.240 P = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 = = 0,00038 40 39 38 37 36 78.960.960
131. Solución: P(V ∩ A ) = P(V ) × P( A B ) = 11 × 10 = 110 22 21 462
= 0,2381
132. Solución: P( A ∩ B ) = P( A ) × P( A
B
) =
2 × 1 = 2 = 10 9 90
1 = 0,0222 45
Nota: P( A B )
La raya vertical significa “dado que”. La probabilidad de que ocurra A dado que ha ocurrido B.
P( A B )
También se llama probabilidad condicional de A dado B
P( A ∩ B )
Probabilidad de que ocurran tanto A como B en un experimento
P( A ∩ B )
Probabilidad de intersección de A y B o la probabilidad conjunta de A y B
P( A ∪ B )
Probabilidad de que ocurra A, o bien B, o ambos, en un experimento.
P( A ∪ B )
Se llama probabilidad de la unión de A y B
P( A )
Probabilidad de que ocurra el evento A
P( A' ) = P( A )
Probabilidad de que no ocurra el evento, se llama también la probabilidad del complemento de A
133. Solución:
33
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P( A 1 ) = 0,40 P(B
A1
P( A 1
) = 0,40
B
P( A 2 ) = 0,18 P(B
A2
) = 0,30
Cap.5 Nociones elementales de probabilidad
P( A 3 ) = 0,42 P(B
A3
) = 0,10
0,40 (0,40) ) = 0,40 (0,40) + 0,18 (0,30) + 0,42 (0,10) = 0,625 = 62,5%
Es la probabilidad de que el primer grupo crezca por encima del promedio
134. Solución: P( B
D
0,50 (0,40 ) ) = 0,15 (0,72 ) + 0,5 (0,4 ) + 0,35 (0,6 ) = 0,3861 38,61%
135. Solución: P( A 1 ) = 0,50 P(B
A1
P( A 3
) = 0,62
B
P( A 2 ) = 0,30 P(B
A2
) = 0,80
P( A 3 ) = 0,10 P(B
A3
) = 0,54
0,10 (0,54) ) = 0,50 (0,62) + 0,30 (0,8) + 0,10 (0,54) = 0,0894 ( 8,94% )
136. Solución: P( A 1 ) = 0,6 P(B
A1
P( A 2
) = 0,09
B
P( A 2 ) = 0,25 P(B
A2
) = 0,12
P( A 3 ) = 0,15 P(B
A3
) = 0,18
0,25 (0,12) ) = 0,6 (0,09) + 0,25 (0,12) + 0,15 (0,18) = 0,2703 = 27,03%
137. Solución:
34
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P( A 1 ) = 0,75 P(B
A1
P( A 1
P( A 2 ) = 0,30
) = 0,92
)
B
=
Cap.5 Nociones elementales de probabilidad
P(B
A2
) = 0,40
0,75 (0,92) = 0,8519 = 85,19% 0,7 5(0,92) + 0,3 (0,4)
138. Solución: P( A 1 ) = 0,18 P(B
A1
P( A 3
P( A 2 ) = 0,46
) = 0,21
B
P(B
A2
) = 0,08
P( A 3 ) = 0,36 P(B
A3
) = 0,14
0,36 (0,14) 0,0504 ) = 0,18 (0,21) + 0,46 (0,08) + 0,36 (0,14) = 0,125 = 0,4032 = 40,32%
139. Solución: P( A 1
B
) = P( A 1 ) P(B
A1
P( A 2
B
) = P( A 2 ) P(B
A2
P( A 1
B
) + P( A 2
B
16 1 16 ) = 2 26 = 52 = 0,3077 20 1 20 ) = 2 26 = 52 = 0,3846
16 20 36 ) = 52 + 52 = 52 = P( B ) = 0,6923
140. Solución:
P( A 2
16 P( A 1 B ) 16 = 52 = 0,4444 ⇒ B) = 36 P( B ) 36 52
141. Solución:
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P( A 2
Cap.5 Nociones elementales de probabilidad
20 P( A 2 B ) 20 = 52 = 0,5556 ⇒ B) = 36 P( B ) 36 52
La suma será: P( A 1
B
) + P( A 2
B
) = 0,4444 + 0,5556 = 1,00 = 100%
142. Solución:
(6,3) (3,6) (5,4) (4,5) (6,4) (4,6) (5,5) (6,5) (5,6) (6,6)
p = 10 36
143. Solución: P( A ) = 4 (Rey) 40
P( B ) = 10 (Copas) 40
P( A y B ) = 1 (Rey de copas) 40
P( A o B ) = P( A ) + P( B ) − P( A y B )
P( A o B ) = 4 + 10 − 1 = 13 40 40 40 40
144. Solución: 52 52 ! = = 270.725 Combinaciones 4 4 ! 48!
145. Solución: a) La apuesta corresponde a una permutación cuando corresponde a un orden de llagada 1°, 2° y 3° en esa forma se listarían los nombres de los caballos. b) En este caso se seleccionaran 3 caballos que lleguen a la meta en los primeros lugares, sin importar el orden de llegada.
146. Solución:
36
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a) (5,6)
p= 1 36
b) (2,4) (2,3) (2,2) (2,1)
p= 4 =1 36 9
c) (3,4) (2,5) (1,6)
p= 3 = 1 36 12
Cap.5 Nociones elementales de probabilidad
147. Solución:
a)
288 P= 4 × 3 × 2 × 4 × 3 = = 0,0000036 40 39 38 37 36 78.960.960 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ As As As Zota Zota
b) P = 4 × 3 × 2 × 1 × 4 = 40
39
38
37
36
96 = 0,0000012 = 0,00012% 78.960.960
148. Solución: a) P = 1 8
b) P = 2 = 1 8
4
Solo se tiene
(SSC)
Se tiene
(CSC) (SCC)
149. Solución: 9 = 9 ! = 126 Comités conformados por 5 personas 5 5 ! 4 !
150. Solución: P5 = 5 ! = 120 números
151. Solución:
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10 P3
=
10 !
(10 − 3)
=
Cap.5 Nociones elementales de probabilidad
10 ! 10 × 9 × 8 × 7 ! = = 720 números 7! 7!
152. solución: Son 27 letras de las cuales se toman dos
273 = 19.683
Se tiene 10 dígitos, del 0 al 9 y se van a formar cifras de 3 dígitos 103 = 1.000 Por lo tanto el total de placas será:
19.683 × 1.000 = 19.683.00
153. Solución: a) P5 (r : 2 ) =
5 ! 120 = = 60 palabras 2! 2
b) P3 = 3 ! = 6
(LBS)
(LSB)
(BLS)
(SBL)
(SLB)
154. Solución: 8 = 8 ! = 28 maneras 2 2 ! 6!
28 maneras suponiendo que cada manzana está identificada y la selección se haga sin importar el orden de selección.
155. Solución: a) No lo es. El primero implica orden en la colocación de los elementos, en cambio, en el segundo no importa. b) Si, es un caso de combinación, ya queda lo mismo, cualquiera de los resultados c) Falso: primero está mal enunciado la variación. Debería escribirse V24 = 4 P2 =
4! = 12 2!
d) Cierto. 5 = 5 = = 10 8 2 3 ! 2 ! e) Cierto. 5!
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Cap.5 Nociones elementales de probabilidad
f) Cierto 156. Solución:
11
P5 =
11 ! = 55.440 6!
Marcadores
157. Solución: a) P( aprobar ) = 0,30 (0,75) + 0,75 (0,40) = 0,225 + 0,30 = 0,525 = 52,5% b) P( est
aprob )
0,30 (0,75) 0,225 = = 0,4286 = 42,86% 0,30 (0,75) + 0,75 (0,40) 0,525
=
158. Solución: 20 P3
=
20 ! = 6.840 17 !
159. Solución: Jornada Juego
Cantidad
Día Noche P( A1
B
P( A1 ) P(B A1 ) )= P P ( A1 ) (B A1 ) + P( A 2 ) P( B
0,60 0,40
Porcentajes Ganado
Perdido
0,40 0,80
0,60 0,20
A2 )
(0,6) (0,6) 0,36 0,36 P( A1 B ) = = = = 0,8181 = 81,81% (0,6) (0,6) + (0,4) (0,2) 0,36 + 0,08 0,44
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Cap.5 Nociones elementales de probabilidad
160. Solución: Primera inspección = 5%; segunda inspección y tercera = 2% De 100 unidades inspeccionadas por primera vez, pasaron 95 unidades En la segunda inspección se tiene: 95 × 0,97 = 92,15 En la tercera y última inspección: 92,15 × 0,98 = 90,31% La probabilidad de que una unidad pase por las tres inspecciones es del 90,31%
161. Solución: P = 0,8 × 0,6 × 0,5 = 0,24 = 24%
162. Solución:
Ciudades
Pereira Armenia Manizales
Probabilidad de ser escogida
Favorabilidad
No favorable
0,42 0,34 0,24
0,55 0,60 0,62
0,45 0,40 0,38
0,42 (0,55) 0,231 P( A1 B ) = = = 39,57% 0,42 (0,55) + 0,34 (0,60) + 0,24 (0,62) 0,5838 0,34 (0,60) 0,204 P( A2 B ) = = = 34,94% 0,42 (0,55) + 0,34 (0,60) + 0,24 (0,62) 0,5838 0,24 (0,62) 0,1488 P( A3 B ) = = = 25,49% 0,42 (0,55) + 0,34 (0,60) + 0,24 (0,62) 0,5838
La ciudad con mayor favorabilidad de ser escogida es Pereira
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Cap.5 Nociones elementales de probabilidad
163. Solución: P( A ) = Visitan a Santa Marta = 240 = 0,60 =60% 400 P( B ) = Visitan a Cartagena =
100 = 0,25 = 25% 400
P( A Y B ) = 70 = 0,175 400 P( A o B ) = P( A ) + P( B ) − P( A Y B ) P( A o B ) = 0,60 + 0,25 − 0,175 = 0,675 = 67,5%
164. Solución: Diurna = 35% Jornada = Nocturna = 65%
Diurno = 15% Trabajando = Nocturno = 70%
a) La probabilidad de que el alumno seleccionado este trabajando P( A1 ) P( A1 B ) + P( A2 ) P( A2 B ) = 0,35 (0,15) + 0,65 (0,70) = 50,75%
b) Dado que el estudiante elegido esté trabajando y la probabilidad que sea del diurno, es: P( A1 B ) =
0,35 (0,15) 0,0525 = = 0,1034 = 10,34% 0,5075 0,5075
165. Solución: 0,5 (0,05) 0,025 P( A1 B ) = = = 0,50 = 50% 0,5 (0,05) + 0,3 (0,03) + 0,2 (0,08) 0,050
P( A1 B ) =
0,3 (0,03) 0,009 = = 0,18 = 18% 0,050 0,050
P( A1 B ) =
0,2 (0,08) 0,016 = = 0,32 = 32% 0,050 0,050
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Cap.5 Nociones elementales de probabilidad
166. Solución: a) Probabilidades previas – son probabilidades a priori, es decir, se han determinado anteriormente, corresponde también a probabilidades iniciales del evento. b) Probabilidades posteriores, es obtenida de información adicional a las probabilidades iniciales. c) Diagrama de árbol, es una forma gráfica con ramificaciones que nos permiten establecer los puntos de un experimento ocurrido en varias etapas. d) Teorema de Bayes es un método o procedimiento para el cálculo de probabilidades posteriores, teniendo como base probabilidades a priori.
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Cap.6 Distribuciones de probabilidad
6 Distribuciones de probabilidad Distribución binomial – de Poisson – Hipergeométrica y normal
EJERCICIOS RESUELTOS Se presenta el desarrollo de los 210 ejercicios que tiene este capítulo
1. Solución: 2
P( x = 2 ) = C 24 1 1 2 2
4− 2
= 6 = 0,375 = 37,5% 16
n=4 p =1 2 q =1 2 X =2
P( x = 2 ) = 37,5%
n=4 p =1 2 q =1 2 X =3
P( x =3 ) = 25,0%
(exactamente dos caras)
2. Solución: 3
P( x =3 ) = C 34 1 1 2 2
1
4! 1 1 1 4 = 4 = P( x =3 ) = = 0,25 = 25% 16 16 3! 1! 2 2
(exactamente 3 caras)
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Cap.6 Distribuciones de probabilidad
3. Solución: 2 2 P( x = 2 ) = C 24 1 5 = 4! 6 6 2 ! 2 !
1 36
25 36
150 4 ⋅ 3 25 25 P( x = 2 ) = = 0,1157 = 11,57% =6 = 2 1.296 1.296 1.296
n=4 p =1 6 q=5 6 X =2
P( x = 2 ) = 11,57%
(exactamente dos cincos)
4. Solución: P = 0,8 ( ganar )
a) n = 8 P( x = 2 ) =
( ) (0,8) (0,2)
6
X
P( x = 2 ) = ?
=2
= 0,001146 = 0,1146 %
P = 0,2 ( perder )
b) n = 8 P( x = 2 ) =
2
8 2
q = 0,2
P( x = 2 ) = 0,1146%
q = 0,8
X
P( x = 2 ) = ?
=2
( ) (0,2) (0,8) = 0,2936 = 29,36% 2
8 2
c) n = 8
P( x = 2 ) = 29,36%
6
P = 0,2 ( perder )
q = 0,8 P( x ≥ 2 ) = ?
x = mínimo ( 2) dos = 2, 3, 4, 5, 6, 7, y 8
[
P( x≥ 2 ) = P(2 ) + P(3) + P(4 ) + P(5 ) + P(6 ) + P(7 ) + P(8 ) = 1 − P(0 ) + P(1) P( x≥ 2 ) = 1 −
[( ) (0,2) 8 0
0
]
(0,8)8 + (18 ) (0,2)1 (0,8)7 ]
P( x ≥ 2 ) = 1− [0,1678 + 0,3355] = 1 − 0,5033 = 0,4967 = 49,67%
P( x ≥ 2 ) = 49,67%
2
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P = 0,8 ( ganar )
d) n = 8
Cap.6 Distribuciones de probabilidad
q = 0,2
X
= 0, 1, 2, 3, 4, 5, y 6
[
P( x≤6 ) = P(0 ) + P(1) + P(2 ) + P(3) + P(4 ) + P(5 ) + P(6 ) = 1 − P(7 ) + P(8 ) P( x≤6 ) = 1 −
[ ( ) (0,8)
]
(0,2)1 + (88 ) (0,8)8 + (0,2)0 ]
7
8 7
P( x ≤ 6 ) = 1 − [ 0,3355 + 0,1678 ] = 1 − 0,5033 = 0,4967 = 49,67% p = 0,2 ( perder )
e) n = 8 P( x=6 ) =
( ) (0,2)
6
8 6
P( x ≤ 6 ) = ?
(0,8)2
q = 0,8
P( x ≤ 6 ) = 49,67%
=6
X
P( x = 6 )
= 0,001147 = 0,1147 %
Observemos que decir: seis pierdan es lo mismo que dos ganen p = 0,8 (ganar )
n =8
P( x = 2 ) =
( ) (0,8) (0,2) 2
8 2
6
q = 0,2
X
=2
P( x = 2 )
= 0,001147 = 0,1147%
P( x = 2 ) = 0,1147%
5. Solución: p = 1 = 0,5 2
P = C xn p x q n − x
4
2
a) P( x = 4 ) = C46 1 1 = 6! 2! 4! 2 2 P( x = 4 ) =
q = 1 = 0,5 2
n=6
1 1 16 4
6×5 1 1 15 = 0,2344 = 23,44% = 15 = 2 64 64 64
P( x = 4 ) = 23,44%
(exactamente 4 caras)
3
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Cap.6 Distribuciones de probabilidad
b) Como máximo 4 caras 0
6
1
5
2
4
3
3
4
P( x ≤ 4 ) = C06 1 1 + C16 1 1 + C26 1 1 + C36 1 1 + C46 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
P( x ≤ 4 ) = 1(1) 1 + 6 1 1 + 15 1 1 + 20 1 1 + 15 1 1 64 2 32 4 16 8 8 16 4
P( x ≤ 4 ) =
1 6 15 20 15 57 + + + + = = 0,8906 = 89,06% 64 64 64 64 64 64
P( x≤ 4 ) = 89,06%
También se puede resolver de la siguiente forma: P( x ≤ 4 ) =1− C56
5 1 6 0 1 1 + C6 1 1 6 2 2 2 2
57 1 6 64 7 P( x ≤ 4 ) =1 − + = − = = 0,8906 = 89,06% 64 64 64 64 64
P( x≤ 4 ) = 89,06%
(máximo 4 caras)
6. Solución: Aparición de un cinco, la probabilidad es 1/6; Aparición de un seis, la probabilidad es 1/6 p = 1 + 1 = 2 =1 6 6 6 3
q = 1− p = 3 − 1 = 2 3 3 3
4 3 7! 1 8 8 = 280 = 0,1280 = 12,80% a) P(x =4) = 7 1 2 = = 35 4
3 3
4 ! 3! 81 27
2.187
2.187
P( x = 4 ) = 12,80%
(cuatro éxitos) 0
7
1
6
4
b) P( x ≤ 4 ) = C07 1 2 + C17 1 2 + .............. C47 1 2 3 3 3 3 3 3
3
P( x ≤ 4 ) = 1(1) 128 + 7 1 64 + 21 1 32 + 35 1 16 + 35 1 8 2.187 3 729 9 243 27 81 81 27 P( x≤ 4 ) = 128 + 448 + 672 + 560 + 280 = 2.088 = 2.187 2.187 2.187 2.187 2.187 2.187 = 0,9547 = 95,47%
(máximo 4 éxitos)
P( x ≤ 4 ) = 95,47%
4
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Cap.6 Distribuciones de probabilidad
También puede resolverse así: P( x≤ 4 )
7 1 5 2 2 7 1 6 2 1 7 1 7 2 0 = 1 − + + 6 3 3 7 3 3 5 3 3
P( x ≤ 4 ) = 1 − 21 1 4 + 7 1 2 + 1 1 (1) 729 3 2.187 243 9
P( x≤ 4 ) = 1 − 84 + 14 + 1 = 1 − 99 = 1 − 0,0453 2.187 2.187 2.187 2.187
= 0,9547 = 95,47%
P( x ≤ 4 ) = 95,47%
7. Solución: n=4
p = 0,10
q = 0,90
a) P( x = 0 ) = C04 (0,1)0 (0,9 )4 = 1 (1) (0,6561) = 0,6561 = 65,61%
P(x =0) = 65,61%
b) P( x =1) = C14 (0,1)1 (0,9)3 = 4 (0,1) (0,729) = 0,2916 = 29,16%
P(x =1) = 29,16%
c) P( x = 2 ) = C24 (0,1)2 (0,9 )2 = 6 (0,01) (0,81) = 0,0486 = 4,86%
P(x = 2) = 4,86%
d) P( x ≤ 2 ) = C04 (0,1)0 (0,9 )4 + C14 (0,1)1 (0,9 )3 + C24 (0,1)2 (0,9 )2 P( x ≤ 2 ) = 0,6561 + 0,2916 + 0,0486 = 0,9963 = 99,63%
P( x ≤ 2 ) = 99,36%
(no más de dos defectuosos)
8. Solución: a)
p = 0,40
q = 0,60
n =5
X
=2
P( x = 2 ) = C25 (0,4 ) (0,6) = 10 (0,16) (0,216) = 0,3456 = 34,56% 2
3
P( x = 2 ) = 34,56%
5
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.6 Distribuciones de probabilidad
b) P( x≤1) = C 05 (0,4)0 (0,6)5 + C15 (0,4)1 (0,6)4 P( x ≤1) =
5! (1) (0,07776) + 15!4!! (0,4) (0,1296) 0 ! 5!
P( x≤1) = 1 (1) (0,07776) + 5 (0,4) (0,1296) = 0,07776 + 0,2592
= 0,3369 = 33,69%
P( x≤1) = 33,69%
(menos de 2 golpes)
9. Solución: n =8
p = 0,5
q = 0,5
X
= 0, 1, 2, 3, 4, 5,
P( x ≤ 5 ) = C08 (0,5) (0,5) + C18 (0,5) (0,5) + C28 (0,5) (0,5) + C38 (0,5) (0,5) 0
8
1
7
2
6
3
5
+ C48 (0,5) (0,5) + C58 (0,5) (0,5) = 0,85543 = 85,54% 4
4
5
3
P( x ≤ 5 ) = 85,54%
Es posible resolverlos de la siguiente forma:
[
P( x ≤5 ) = 1 − C68 (0,5) (0,5) + C78 (0,5) (0,5) + C88 (0,5) (0,5) 6
2
7
1
8
0
]
P( x ≤ 5 ) = 1 − [28 (0,015625) (0,25) + 8 (0,00781) (0,5) + 1 (0,00396) (1)] P( x ≤ 5 ) = 1 − [0,10937 + 0,03124 + 0,00396] = 1 − 0,14457 = 0,85543 = 85,54%
P( x ≤ 5 ) = 85,54%
(menos de 6 caras)
10. Solución: p = 0,05
q = 0,95
P( x≤ 2 ) = C 06 (0,05)
0
(0,95)6
n =6
X
= 0, 1, 2,
+ C16 (0,05) (0,95) + C 26 (0,05) 1
5
2
(0,95)4
P( x ≤ 2 ) = 1 (1) (0,735091) + 6 (0,05) (0,773780) + 15 (0,0025) (0,814506) P( x ≤ 2 ) = 0,735091 + 0,232134 + 0,030543 = 0,997768 = 99,78%
P( x ≤ 2 ) = 99,78%
6
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Cap.6 Distribuciones de probabilidad
11. Solución: p = 0,10
q = 0,90
n =5
X
=0
a) P( x=0 ) = C 05 (0,1)0 (0,9)5 = C55 (0,9 )5 (0,1)0 =1 (1) (0,5905) = 0,5905 = 59,05% P( x =0 ) = 59,05% b) P( x≥3) = C 35 (0,1)3 (0,9)2 + C 45 (0,1)4 (0,9)1 + C55 (0,1)5 (0,9)0 = 0,00810 + 0,00045 + 0,00001 = 0,00856
c) P( x = 3) = C35 (0,1)3 (0,9 )2 = 0,00810 = 0,81%
P( x ≥ 3 ) = 0,856% P( x = 3 ) = 0,81%
(exactamente 3 mueran)
12. Solución: p = 0,2
q = 0,8
n =4
a) P( x =1) = C14 (0,2 )1 (0,8)3 = 4 (0,2 ) (0,512) = 0,4096 = 40,96%
P( x =1) = 40,96%
b) P( x = 0 ) = C04 (0,2)0 (0,8)4 = 1(1) (0,4096) = 0,4096 = 40,96%
P( x = 0 ) = 40,96%
c) P( x ≤ 2 ) = C04 (0,2)0 (0,8)4 + C14 (0,2)1 (0,8)3 + C24 (0,2 )2 (0,8)2 P( x ≤ 2 ) = 0,4096 + 0,4096 + 0,1536 = 0,9728 = 97,28%
P( x ≤ 2 ) = 97,28%
(no más de dos cerrojos sean defectuosos)
13. Solución: p = 0,4
q = 0,6
n =5
a) Que ninguno se gradué: P( x = 0 ) = C05 (0,4 ) (0,6 ) = 0,0778 = 7,78% 0
5
P( x = 0 ) = 7,78%
b) Que se gradué uno:
7
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Cap.6 Distribuciones de probabilidad
P( x =1) = C15 (0,4) (0,6) = 0,2592 = 25,92% 1
4
P( x =1) = 25,92%
c) Que se gradúe al menos uno: P( x ≥1) = 1 − C05 (0,4 ) (0,6 ) = 1 − 0,0778 = 0,9222 = 92,22% 0
5
P( x ≥1) = 99,22%
14. Solución: p =1 6
n =5
q =5 6 1 5 6 6
1
4
2
3
1 625 3.125 = 0,4019 = 40,19% = 6 1.296 7.776
P( x =1) = 40,19%
1.250 b) P( x = 2 ) = C25 1 5 = 10 1 125 = = 0,1608 = 16,08% 6 6 36 216 7.776
P(x = 2) = 16,08%
a) P( x=1) = C15 = 5
3
2
4
1
0
5
250 c) P( x = 3) = C35 1 5 = 10 1 25 = = 0,0321 = 3,21% 6 6 216 36 7.776 25 d) P( x = 4 ) = C45 1 5 = 5 1 5 = = 0,0032 = 0,32% 6 6 1 . 296 6 7 . 776
e) P( x = 0 ) = C05 1 5 = 1(1) 3.125 = 0,4019 = 40,19% (ninguna vez) 6 6 7.776
P( x = 3) = 3,21% P( x = 4 ) = 0,32% P( x = 0 ) = 40,19%
15. Solución: p = 0,10
q = 0,90
n =4
a) P( x = 0 ) = C04 (0,1)0 (0,9)4 = 0,6561 = 65,61%
P( x =0 ) = 65,61%
b) P( x ≥1) = 1 − C04 (0,1)0 (0,9 )4 = 0,3439 = 34,39%
P( x ≥1) = 34,39%
c) P( x≤1) = C 04 (0,1)0 (0,9)4 + C14 (0,1)1 (0,9)3 = 0,6561 + 0,2916 = 0,9477 = 94,77%
P( x ≤1) = 94,77%
16. Solución:
8
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
p = 0,2
q = 0,8
Cap.6 Distribuciones de probabilidad
n =10
a) P( x = 2 ) = C210 (0,2)2 (0,8)8 = 0,3020 = 30,2% b)
[
P( x = 2 ) = 30,2%
P( x ≥3) = 1 − C010 (0,2 ) (0,8) + C110 (0,2 ) (0,8) + C210 (0,2 ) (0,8) 0
10
1
9
2
8
]
P( x≥3 ) = 1 − [0,1074 + 0,2684 + 0,3020] = 1 − 0,6778 = 0,3222 = 32,22%
P( x ≥ 3) = 32,22%
c) P( x ≥ 6 ) = C610 (0,2)6 (0,8)4 + C710 (0,2 )7 (0,8)3 + C810 (0,2)8 (0,8)2 + C910 (0,2)9 (0,8)1 + C1010 (0,2)10 (0,8)0 = 0,0055 + 0,0008 + 0,0000 + 0,0000 = 0,0063
P( x ≥6 ) = 0,63%
(Se usó la tabla para el cálculo)
d) P( x = 0 ) = C010 (0,2)0 (0,8)10 = 0,1074 = 10,74%
P( x = 0 ) = 10,74%
17. Solución: p = 0,5
q = 0,5
n =10
X
= 3, 2, 1, 0
P( x ≤ 3) = C310 (0,5) (0,5) + C210 (0,5) (0,5) + C110 (0,5) (0,5) + C010 (0,5) (0,5) 3
7
2
8
1
9
0
10
= 0,1172 + 0,0439 + 0,0098 + 0,0010 = 0,1719 = 17,19%
P( x ≤ 3 ) = 17,19%
E = 100 (0,1719 ) ≅ 18 personas de 100
E = np
18. Solución: p = 0,5
q = 0,5
n =10
X = 7, 8, 9 y 10
P( x≥7 ) = C 710 (0,5) (0,5) + C810 (0,5) (0,5) 2 + C910 (0,5) (0,5) + C1010 (0,5)10 (0,5) 0 7
3
8
9
1
P( x≥7 ) = 0,1172 + 0,0439 + 0,0098 + 0,0010 = 10,1719 = 17,19%
P( x ≥ 7 ) = 17,19%
19. Solución:
9
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
n =15
p = 0,10
Cap.6 Distribuciones de probabilidad
q = 0,90
a) P( x = 5 ) = C515 (0,1)5 (0,9 )10 = 0,0105 = 1,05%
P(x =5) = 1,05%
15 (0,1)10 (0,9)5 + C1115 (0,1)11 (0,9)4 + C1215 (0,1)12 (0,9)3 + b) P( x ≥10 ) = C10
15 C13 (0,1)
13
(0,9)2
15 + C14 (0,1)
14
(0,9)1 + C1515 (0,1)15 (0,9)0 = 0,0000
P( x ≥10 ) = 0
(Como se trabaja con cuatro decimales, aproximamos a cero) (Se utilizó la tabla) A partir de x > 8 la probabilidad obtenida es demasiado pequeña, casi cero.
[
c) P( x≥5 ) = 1 − C 015 (0,1)0 (0,9)15 + C115 (0,1)1 (0,9)14 + C 215 (0,1)2 (0,9)13 + C315 (0,1) (0,9) + C415 (0,1) (0,9) 3
12
4
11
]
Utilizando la tabla se tiene:
P( x≥5 ) = 1 − [0,2059 + 0,3432 + 0.2669 + 0,1285 + 0,0428 = 0,9873 ]
P(x ≥5) = 1,27%
P( x≥5 ) = 1 − 0,9873 = 0,0127 =1,27 %
20. Solución: n = 20
p = 0,25
q = 0,75
a) P( x =15 ) = C1520 (0,25)15 (0,75)5 = 0,0000 ............... = 0
(ver tabla)
P( x =15 ) = 0
b) P( x ≤ 4 ) = C020 (0,25)0 (0,75)20 + C120 (0,25)1 (0,75)19 + ........... C420 (0,25)4 (0,75)16 = 0,0032 + 0,0211 + 0,0669 + 0,1339 + 0,1897 = 0,4148 = 41,48%
P( x ≤ 4 ) = 41,48%
20 c) P( x ≥8 ) = C820 (0,25)8 (0,75)12 + C920 (0,25)9 (0,75)11 + ........... C20 (0,25)20 (0,75)0
Es más fácil resolverlo de la siguiente forma:
10
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
[
P( x ≥8 ) = 1 − C020 (0,25) (0,75) 0
20
Cap.6 Distribuciones de probabilidad
+ C120 (0,25) (0,75) + ............C720 (0,25) (0,75) 1
19
7
13
]
= 1 − [0,0032 + 0,0211 + 0,0669 + 0,1339 + 0,1897 + 0,2023 + 0,1686 + 0,1124] =
= 1 − 0,8981 = 10,19%
P( x ≥ 8 ) = 10,19%
(por lo menos 8 defectuosas)
21. Solución: p = 0,5
n=4
q = 0,5
a) P( x ≥1) = 1 − C04 (0,5)0 (0,5)4 = 1 − 0,0625 = 0,9375
P( x ≥1) = 93,75%
E = 2.000 (0,9375 ) = 1.875 familias
b) P( x=2 ) = C 24 (0,5)2 (0,5)2 = 0,3750
P( x = 2 ) = 37,50%
E = 2.000 (0,3750 ) = 750 familias
c) P( x=0 ) = C 04 (0,5)0 (0,5)4 = 0,0625
P( x = 0 ) = 6,25%
E = 2.000 (0,0625 ) = 125 familias (Se utilizaron las tablas)
22. Solución: P( x ≤ 2 ) = C015 (0,05) (0,95) + C115 (0,05) (0,95) + C215 (0,05) (0,95) 0
15
1
14
= 0,4633 + 0,3658 + 0,1348 = 0,9639 = 96,39%
2
13
P( x ≤ 2 ) = 96,39%
(Se utilizó la tabla)
23. Solución:
11
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
p = 0,40
Cap.6 Distribuciones de probabilidad
n = 20
P( x ≥11) = C1120 (0,4) (0,6) + C1220 (0,40) 11
9
12
(0,6)8 + ........ + C2020 (0,4)20 (0,6)0
Utilizando la tabla se tendrá que: P( x ≥11) = 0,0710 + 0,0355 + 0,0146 + 0,0049 + 0,0013 + 0,0003 + 0 + 0 + 0 + 0 = = 0,1276 = 12,76%
P( x ≤11) = 12,76%
(mitad más uno)
(Se utilizó la tabla para el cálculo)
24. Solución: p = 0,20
n = 18
q = 0,80
X
=8
P( x = 8 ) = C818 (0,20) (0,80) = 0,0120 = 1,20% 8
P( x = 8 ) = 1,20%
10
25. Solución: P(5 ≤ x ≤ 7 ) = C510 (0,5) (0,5) + C610 (0,5) (0,5) + C710 (0,5) (0,5) 5
5
6
4
7
3
P(5 ≤ x ≤ 7 ) = 0,2461 + 0,2051 + 0,1172 = 0,5684 = 56,84%
P(5 ≤ x ≤ 7 ) = 56,84%
26. Solución: n=5
P( x ≥ 3)
X
= 3, 4, 5
p = 0,5
q = 0,5
12
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.6 Distribuciones de probabilidad
P( x ≥ 3) = P( x = 3) + P( x = 4 ) + P( x = 5 ) =
( ) (0,5)
3
5 3
(0,5)2
( ) (0,5)
+
4
5 4
(0,5)1
+
( ) (0,5)
5
5 5
(0,5)0
= 0,3125 + 0,15625 + 0,03125 = 0,5000 = 50%
P( x ≥ 3) = 50%
27. Solución: 9 = 0,90 con caries 10
sin caries = 0,10 = 10%
n=5
a) Cuatro tengan caries
n =5
X
P( x = 4 ) =
( ) (0,9) (0,1) 4
5 4
1
p = 0,90
=4
= 0,32805 = 32,81%
p = 0,90
b) Por lo menos dos tengan caries
P( x = 4 ) = 32,81%
X
= 2, 3, 4, 5
P( x ≥ 2 ) = P( x = 2 ) + P( x = 3) + P( x = 4 ) + P( x = 5 )
[
= 1 − P( x =0 ) + P( x =1) =1−
[( ) (0,9)
0
5 0
]
(0,1)5 + (15 ) (0,9)1 (0,1)4 ]
= 1 − [0,00001 + 0,00045 ] = 0,9995 ≅ 99,95%
p = 0,10
c) Por lo menos 2 no tengan caries:
P( x ≥ 2 ) = 99,95%
X
= 2, 3, 4, 5
P( x ≥ 2 ) = P( x = 2 ) + P( x = 3) + P( x = 4 ) + P( x = 5 )
[
= 1 − P( x =0 ) + P( x =1) =1−
[( ) (0,1) 5 0
0
]
(0,9)5
+
( ) (0,1) 5 1
1
(0,9)4 ]
= 1 − [0,59049 + 0,32805 ] = 1 − 0,9185 = 8,15%
P( x ≥ 2 ) = 8,15%
13
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.6 Distribuciones de probabilidad
p = 0,90
d) Por lo menos una tenga caries
X
= 1, 2, 3, 4, 5
P( x ≥1) = 1 − P( x = 0 ) =1−
( ) (0,9)
0
5 0
(0,1)5 = 1 − 0,00001 = 0,99999 = 100%
P( x ≥1) = 100%
28. Solución: 20% pierden el 1ª año
80% no lo pierden
a) Máximo 2 aprueben :
X
n=6 p = 0,80
= 0 , 1, 2
P( x ≤ 2 ) = P( x = 0 ) + P( x =1) + P( x = 2 ) P( x≤ 2 ) =
( ) (0,8)
(0,2)6
0
6 0
+
( ) (0,8) 6 1
1
(0,2)5
+
( ) (0,8) 6 2
2
(0,2)4
= 0,000064 + 0,001536 + 0,01536 = 0,01696 = 1,70% p = 0,80
b) Todos aprueben: P( x =6 ) =
( ) (0,8)
6
6 6
( ) (0,8) 6 0
0
=6
(0,2)0 = 0,2621 = 26,21%
c) Ninguno apruebe P( x = 0 ) =
X
P( x ≤ 2 ) = 1,70%
p = 0,80
P( x = 6 ) = 26,21% X
=0
(0,2)6 = 0,000064 = 0,0064%
P( x =0 ) = 0,0064 %
29. Solución: 4.800 = 0,70 Transporte público 6.000
0,30 = 30% otro servicio
a) No más de 2 utilicen transporte público p = 0,7
X
= 0, 1, 2
n=8
14
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
P( x ≤ 2 ) =
( ) (0,7)
0
8 0
(0,3)8 + (18 ) (0,7 )1 (0,3)7
+
Cap.6 Distribuciones de probabilidad
( ) (0,7) 8 2
2
(0,3)6
= 0,0000656 = 0,0012247 + 0,01000 = 0,01129 = 1,13%
p = 0, 30
b) Por lo menos 3 no lo utilicen
X
P( x≤ 2 ) = 1,13%
= 4, 5, 6, 7, 8
P( x ≥ 3) = P( x = 3) + P( x = 4 ) + P( x = 5 ) + P( x = 6 ) + P( x = 7 ) + P( x = 8 )
[
= 1 − P( x =0 ) + P( x =1) + P( x = 2 ) =1−
[( ) (0,3)
0
8 0
]
(0,7 )8 + (18 ) (0,3)1 (0,7)7 + (82 ) (0,3)2 (0,7 )6 ]
= 1 − [0,0576 + 0,1977 + 0,2965 ] = 0,4482 = 44, ,82%
c) Exactamente 2 no lo utilicen P( x = 2 ) =
( ) (0,3) 8 2
2
( ) (0,7) 8 2
2
X
=2
(0,7 )6 = 0,2965 = 29,65% p = 0, 70
d) Exactamente 2 lo utilicen P( x = 2 ) =
p = 0, 30
P( x ≥3) = 44,82%
(0,3)6
P( x = 2 ) = 29,65%
X
=2
= 0,0100 = 1%
P( x = 2 ) = 1%
30. Solución: 60% = 0,60 asisten
0,40 = 40% no asisten
a) Por lo menos 7 asistan
p = 0, 6
n=8 X
= 7, 8
15
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.6 Distribuciones de probabilidad
P( x≥7 ) = P( x =7 ) + P( x =8 ) =
( ) (0,6)
7
8 7
(0,4)1 + (88 ) (0,6)8 (0,4)0
= 0,0896 + 0,0168 = 0,1064 = 10,64% n=8
b) Por lo menos 2 no asistan
P( x ≥7 ) = 10,64%
p = 0, 40
X
= 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
P( x ≥ 2 ) = P( x = 2 ) + P( x = 3 ) + .................... + P( x =8 )
[
= 1 − P( x = 0 ) + P( x =1) =1−
[( ) (0,4) 8 0
0
]
(0,6)8 + (18 ) (0,4)1 (0,6)7 ]
= 1 − [0,0168 + 0,0896] =1 − 0,1064 = 0,8936 = 89,36%
P( x≥ 2 ) = 89,36%
31. Solución: 800 = 0,4 usan gafas 2000
0,6 = no usan gafas
a) Por lo menos 2 usan gafas
p = 0,40
n =5 X
= 2, 3, 4, 5
P( x ≥ 2 ) = P( x = 2 ) + P( x = 3) + P( x = 4 ) + P( x = 5 )
[
= 1 − P( x = 0 ) + P( x =1) =1−
[( ) (0,4) 5 0
0
]
(0,6)5 + (15 ) (0,4)1 (0,6)4 ]
= 1 − [0,0778 + 0,2592] =1 − 0,3370 = 0,6630 = 66,3%
b) Por lo menos 2 no usan gafas
p = 0,60
X
P( x≥ 2 ) = 66,30%
= 2, 3, 4, 5
16
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
[
P( x ≥ 2 ) = 1 − P( x =0 ) + P( x =1) =1−
[( ) (0,6)
0
5 0
Cap.6 Distribuciones de probabilidad
]
(0,4)5 + (15 ) (0,6)1 (0,4)4 ]
= 1 − [0,01024 + 0,0768] =1 − 0,08704 = 0,91296 = 91,30% P( x ≥ 2 ) = 91,30%
c) E = np
E = 2000 (0,60) = 1.200 alumnos, se espera no usen gafas
⇒
32. Solución: n=4
0,67 = no repitentes
1 3 = 0,33 son repitentes
p = 0,33
a) No mas de dos sean repitentes
X
= 0, 1, 2
P( x≤ 2 ) = P( x =0 ) + P( x =1) + P( x = 2 ) =
( ) (0,33)
(0,67 )4
0
4 0
+
( ) (0,33)
1
4 1
(0,67)3
+
( ) (0,33) 4 2
2
(0,67)2
= 0,2015 + 0,3970 + 0,2933 = 0,8918 = 89,18% P( x≤ 2 ) = 88,18% P( x ≤ 2 ) = 88,89%
Nota : Sí trabajamos con 1 3 y 2 3
p = 0,67
b) Al menos 1 no sea repitente
X
= 1, 2, 3, 4
P( x ≥1) = P( x =1) + P( x = 2 ) + P( x = 3) + P( x = 4 ) Nota : Sí trabajamos con 1 3 y 2 3
P( x ≥1) = 98,77%
P( x ≥1) = 1 − P( x = 0 ) =1−
( ) (0,67) 4 0
0
(0,33)4
= 1 − 0,0119 = 0,9881 = 98,81%
P( x ≥1) = 98,81%
33. Solución:
17
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
n = 16
p = 0,6
P( x≥10 ) =
( ) (0,6) (0,4) 10
16 10
+
6
+
14
= 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16
( ) (0,6) (0,4) 0 + ( ) (0,6) (0,4)
( ) (0,6) (0,4) 16 14
X
Cap.6 Distribuciones de probabilidad
2
11
16 11
+
5
12
16 12
+
4
( ) (0,6) (0,4) + ( ) (0,6) (0,4) 15
16 15
1
16
16 16
0
( ) (0,6) (0,4) 16 13
13
3
=
= 0,1983 + 0,1623 + 0,1014 + 0,0468 + 0,0150
+ 0,0030 + 0,0003 = 52,71%
P( x ≥ 10 ) = 52,71%
(diez o más acontecimientos desfavorables)
34. Solución: 25% se accidentan
75% no se accidentan
Por lo menos 3 se accidentan
n=7
P( x ≥ 3) = P( x = 3) + P( x = 4 ) + P( x = 5 ) + P( x = 6 ) + P( x = 7 )
[
=1 − P( x =0 ) + P( x =1) + P( x = 2 ) =1−
[( ) (0,25)
0
7 0
(0,75)7
+
]
( ) (0,25)
1
7 1
(0,75)6 + (72 ) (0,25)2 (0,75)5 ]
= 1 − [0,1335 + 0,3115 + 0,3115] = 1 − 0,7565 = 0,2435 = 24,35%
P( x ≥ 3 ) = 24,35%
35. Solución: 3% son defectuosos
97% Buenos
n=7
a) Por lo menos 3 sean buenos P( x ≥ 3 ) = P( x = 3 ) + P( x = 4 ) + ....... + P( x = 7 )
[
= 1 − P( x =0 ) + P( x =1) + P( x = 2 ) =1−
[( ) (0,97) 7 0
0
(0,03)7
+
]
( ) (0,97) 7 1
1
(0,03)6
+
( ) (0,97) 7 2
2
(0,03)5 ]
18
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.6 Distribuciones de probabilidad
= 1 − [0 + 0 + 0] = se aproxima a 1 = 100%
P( x ≥ 3 ) = 100%
b) Por lo menos 3 sean defectuosos
[
P( x ≥3) = 1 − P( x =0 ) + P( x =1) + P( x = 2 ) =1−
[( ) (0,03)
0
7 0
]
(0,97)7 + (17 ) (0,03)1 (0,97 )6 + (72 ) (0,03)2 (0,97 )5 ]
= 1 − [0,8080 + 0,1749 + 0,0162] = 1 − 0,9991 = 0,0009% = 0,09% P(x ≥ 3) = 0,09%
36. Solución: p = 0,01 = enferman
a)
X
n=5
q = 0,99 = no enferman
= 2 enfermos
P( x = 2 ) =
( ) (0,01)
2
5 2
(0,99)3 = 0,00097 = 0,097%
b) Por lo menos uno enfermo P( x≥1) = 1 − P( x =0 ) = 1 −
( ) (0,01) 5 0
c) Por lo menos 2 no enfermen
[
P( x ≥ 2 ) = 1 − P( x =0 ) + P( x =1) =1−
[( ) (0,99) 5 0
0
X 0
= 1, 2, 3, 4, 5
(0,99)5
X
P( x = 2 ) = 0,097%
= 1 − 0,9510 = 0,049 = 4,9%
P( x ≥1) = 4,9%
= 2 , 3, 4 , 5
]
(0,01)5 + (15 ) (0,99)1 (0,01)4 ]
= 1 − [0 + 0] = se aproxima a 1 = 100% P( x ≥ 2 ) = 100%
37. Solución:
19
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.6 Distribuciones de probabilidad
20% de mortalidad
80% de sobrevivir
a) Ninguno sobreviva
X
P( x = 0 ) =
( ) (0,8) 5 0
0
(equivale a x = 5, todos mueran)
=0
(0,2)5 = (55 ) (0,2)5 (0,8)0
n=5
= 0,00032 = 0,032%
P( x = 0 ) = 0,032%
b) Todos sobrevivan P( x = 5 ) =
( ) (0,8) 5 5
5
(0,2)0
= 0,3277 = 32,77%
c) Al menos 1 sobrevivan P( x ≥1) = 1 − P( x = 0 ) = 1 −
X
( ) (0,8)
0
5 0
X
( ) (0,2) 5 0
= 1, 2, 3, 4 , 5
(0,2)5 = 1− 0,00032 = 99,968% = 99,97%
d) Al menos 1 no sobrevivan P( x ≥1) = 1 − P( x = 0 ) = 1 −
P( x = 5 ) = 32,77%
0
P( x ≥1) = 99,97%
= 1, 2, 3, 4 , 5
(0,8)5 = 1 − 0,32768 = 0,67232 = 67,23%
P( x ≥1) = 67,23%
38. Solución: 5 = 0,20 = 20% científicos 25
20 = 80% no científico 25
a) Por lo menos 1 sea científica P( x ≥1) = 1 − P( x = 0 ) = 1 −
X
( ) (0,2) 4 0
0
(0,8)4
n=4
= 1, 2, 3, 4
= 1 − 0,4096 = 0,5904 = 59,04%
P( x ≥1) = 59,04%
20
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
b) Por lo menos 2 no sean científicos
[
P( x ≥ 2 ) = 1 − P( x = 0 ) + P( x =1) =1−
[( ) (0,8)
0
4 0
X
Cap.6 Distribuciones de probabilidad
= 2, 3, 4
]
(0,2)4
+
( ) (0,8)
1
4 1
(0,2)3 ]
= 1 − [0,0016 + 0,0256] = 1 − 0,0272 = 0,9728 = 97,28% P( x ≥ 2 ) = 97,28%
c) Una sea científica P( x =1) =
( ) (0,2)
(0,8)3
1
4 1
X
=1
= 0,4096 = 40,96%
P( x =1) = 40,96%
39. Solución: 30% posibles clientes
a) Tres o menos sean clientes P( x ≤ 3) =
( ) (0,3)
0
8 0
n=8
70% no sean clientes X
= 3, 2, 1, 0
(0,7)8 + (18 ) (0,3)1 (0,7 )7 + (82 ) (0,3)2 (0,7 )6 + (83 ) (0,3)3 (0,7 )5
= 0,0576 + 0,1977 + 0,2965 + 0,2541 = 0,8059 = 80,59%
b) Tres o más no sean clientes
[
P( x ≥ 3) = 1 − P( x = 0 ) + P( x =1) + P( x = 2 ) =1−
[( ) (0,7) 8 0
0
X
P( x ≤ 3 ) = 80,59%
= 3, 4, 5, 6, 7, 8
]
(0,3)8 + (18 ) (0,7 )1 (0,3)7 +
( ) (0,7) 8 2
2
(0,3)6 ]
= 1 − [0,00006 + 0,00122 + 0,01000] = 1 − 0,0113 = 0,9887 = 98,87%
P( x ≥ 3) = 98,87%
21
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.6 Distribuciones de probabilidad
40. Solución: 2 = 0,40 = 40% Apoyan a A 5
0,60 = 60% No apoyan a A
x=5
a) Exactamente 5 apoyen a A P( x = 5 ) =
( ) (0,4)
5
7 5
(0,6)2
= 0,0774 = 7,74% x = 2,3,4,5,6,7
b) Por lo menos 2 apoyen a A
[
P( x≥ 2 ) = 1 − P( x =0 ) + P( x =1) =1−
[( ) (0,4)
]
(0,6)7
0
7 0
P( x = 5 ) = 7,74%
+
( ) (0,4)
1
7 1
(0,6)6 ]
= 1 − [0,0280 + 0,1306] = 1 − 0,1586 = 0,8414 = 84,14%
P( x ≥ 2 ) = 84,14%
c) Por lo menos dos no apoyen a A
[
P( x ≥ 2 ) = 1 − P( x = 0 ) + P( x =1) =1−
[( ) (0,6)
0
7 0
]
x = 2,3,4,5,6,7
(0,4)7 + (17 ) (0,6)1 (0,4)6 ]
= 1 − [0,00164 + 0,0172] = 1 − 0,01884 = 0,9812 = 98,12%
P( x ≥ 2 ) = 98,12%
41. Solución: 1 = 0,50 Verdadero 2
0,50 = falso
n =16
a) A lo más dos preguntas correctas P( x ≤ 2 ) =
( ) (0,5) (0,5) 16 0
0
16
+
( ) (0,5) (0,5) 16 1
1
15
X
= 0, 1, 2
+
( ) (0,5) (0,5) 16 2
2
= 0,000015 + 0,00024 + 0,00183 = 0,0021% = 0,21%
14
P( x ≤ 2) = 0,21%
22
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
b) Por lo menos 2 sean verdaderas
[
P( x≥ 2 ) = 1 − P( x =0 ) + P( x =1) =1−
[( ) (0,5)
X
= 2, 3, 4, ...... 16
]
(0,5)16
0
16 0
Cap.6 Distribuciones de probabilidad
+
(0,5)15 ]
( ) (0,5)
1
16 1
= 1 − [0,000015 + 0,00024] = 1 − 0,000255 = 0,9997 = 99,97%
P( x ≥ 2 ) = 99,97%
c) Por lo menos 2 no sean verdaderas
[
P( x≥ 2 ) = 1 − P( x =0 ) + P( x =1) =1−
[( ) (0,5) 16 0
]
(0,5)16
0
( ) (0,5)
+
1
16 1
(0,5)15 ] = 99,97%
P( x ≥ 2 ) = 99,97%
42. Solución: 3 = 0,15 Defectuosos 20
0,85 = buenos
a) Por lo menos dos defectuosos
[
P( x≥ 2 ) = 1 − P( x =0 ) + P( x =1) P( x≥ 2 ) = 1 −
[( ) (0,15) 8 0
0
X
= 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8
]
(0,85)8
+
( ) (0,15) 8 1
1
(0,85)7 ]
= 1 − [0,2725 + 0,3847] =1 − 0,6572 = 0,3428 = 34,28%
b) Por lo menos 2 no sean defectuosos
[
P( x≥ 2 ) = 1 − P( x =0 ) + P( x =1) =1−
[( ) (0,85) 8 0
0
n =8
X
P( x ≥ 2 ) = 34,28%
= 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
]
(0,15)8
+
( ) (0,85) 8 1
1
(0,15)7 ]
= 1 − [0 + 0,00001] = 0,99999 = 99,99 ≅ 100%
P( x ≥ 2 ) = 100%
23
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.6 Distribuciones de probabilidad
c) P( x = 2 ) = (82 ) (0,15)2 (0,85)6 = 0,2376 = 23,76% E = 2.000 (0,2376) = 475 Artículos
x=2
E = np
43. Solución: 30% = no fumadores
70% fumadores P( x =16 ) =
( ) (0,7)
16
18 16
(0,3)2
n =18
x = 16
= 0,04576 = 4,58%
P( x = 16 ) = 4,58%
44. Solución: 20% responden
80% no responden
a) La mayoría responden
X
n =10
= 6, 7, 8, 9, 10
(mitad más uno)
P( x ≥ 6 ) = P( x = 6 ) + P( x = 7 ) + P( x = 8 ) + P( x = 9 ) + P( x =10 ) =
( ) (0,2)
6
(0,8)4
+
( ) (0,2)
10
(0,8)0
= 0,0055 + 0,00079 + 0,000074 + 0 + 0 =
10 6
10 10
( ) (0,2)
7
10 7
(0,8)3
+
( ) (0,2)
8
10 8
(0,8)2
+
( ) (0,2) 10 9
= 0,00636 = 0,64%
9
(0,8)1 +
P( x ≥ 6 ) = 0,64%
0,30 (10 ) = 3
b) Menos del 30% no respondan
X
= 0, 1, 2
P(x ≤ 2) = P(x =0) + P( x =1) + P(x = 2) =
( ) (0,8) 10 0
0
(0,2)10
+
( ) (0,8)
1
10 1
(0,2)9
+
( ) (0,8) 10 2
2
(0,2)8
= 0,0000001 + 0,0000041 + 0,0000737 = 0,000078 = 0,0078%
c) Nadie responde P( x = 0 ) =
( ) (0,2) 10 0
0
P( x ≤ 2 ) = 0,0078% X
=0
(0,8)10 = 0,0000001 = 0,00001%
P( x =10 ) ≅ 0%
24
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.6 Distribuciones de probabilidad
45. Solución: n =10
17% defectuoso
83% buenos
a) Ninguno defectuoso P( x = 0 ) =
( ) (0,17)
0
10 0
X
(0,83) 10 = 0,1552 = 15,52%
b) Por lo menos 2 no sean defectuosos
[
P( x ≥ 2 ) = 1 − P( x = 0 ) + P( x =1) =1−
[ ( ) (0,83)
0
10 0
=0
X
P( x = 0 ) = 15,52%
= 2,3,4.......10
]
(0,17 )10
+
( ) (0,83)
1
10 1
(0,17 )9 ]
P( x ≤ 2 ) = 100%
= 1 − [0 + 0] = se aproxima a 1 = 100% X = 0, 1, 2
c) Como máximo dos defectuosos P( x ≤ 2 ) = P( x = 0 ) + P( x =1) + P( x = 2 ) =
( ) (0,17)
0
10 0
(0,83)10
+
( ) (0,17) 10 1
1
(0,83)9
+
( ) (0,17) 10 2
2
(0,83)8
= 0,1552 + 0,3178 + 0,2929 = 0,7659 = 76,59%
P( x ≤ 2 ) = 76,59%
46. Solución: 80% adecuadamente
20% no adecuado
a) Todos adecuadamente
X
P( x = 4 ) =
( ) (0,8)
4
4 4
(0,2)0
P( x =1) =
( ) (0,2) 4 1
1
=4
= 0,4096 = 40,96%
b) Falla uno (no adecuado)
X
n =4
P( x = 4 ) = 40,96%
=1
(0,8)3 = 0,4096 = 40,96%
P( x =1) = 40,96%
25
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
c) Uno o más fallan
X
Cap.6 Distribuciones de probabilidad
= 1, 2, 3, 4
P( x ≥1) = 1 − P( x = 0 ) =1−
( ) (0,2)
0
4 0
(0,8)4
= 1 − 0,4096 = 0,5904 = 59,04%
P( x ≥1) = 59,04%
47. Solución: 6 = 0,60 = 60% Detectados 10
40% no detectados
a) Por lo menos 5 veces sea detectado
X
= 5, 6, 7, 8
+
( ) (0,6)
n =8
P( x ≥ 5 ) = P( x = 5 ) + P( x = 6 ) + P( x = 7 ) + P( x = 8 )
P( x ≥ 5 ) =
( ) (0,60)
5
8 5
(0,40)3 + (86 ) (0,6)6 (0,4)2
8 7
7
(0,4)1 + (88 ) (0,6)8 (0,4)0
= 0,2787 + 0,2090 + 0,0896 + 0,0168 = 0,5941 = 59,41%
P( x ≥ 5 ) = 59,41%
b) Exactamente 2 no sea detectado P( x = 2 ) =
( ) (0,4)
2
8 2
(0,6)6
= 0,2090 = 20,90%
P( x = 2 ) = 20,90%
48. Solución: 9,9% toman jugo de naranja = 0,099
a) Por lo menos 2 toman jugo
[
P( x ≥ 2 ) = 1 − P( x = 0 ) + P( x =1) P( x ≥ 2 ) = 1 −
[ ( ) (0,099) 5 0
0
0,901 no lo toman = 90,1%
;
X
= 2, 3, 4, 5
]
(0,901)5 + (15 ) (0,099)1 (0,901)4 ]
= 1 − [ 0,5938 + 0,3262] = 1 − 0,9200 = 0,0800 = 8% P( x ≥ 2 ) = 8%
26
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
b) Como máximo 3 no lo toman
[
P( x ≤ 3) = 1 − P( x = 4 ) + P( x =1)5 =1−
[ ( ) (0,901)
4
5 4
X
Cap.6 Distribuciones de probabilidad
= 0, 1, 2, 3
]
(0,099)1 + (55 ) (0,901)5 (0,099)0 ]
= 1 − [ 0,3262 + 0,5938] = 1 − 0,9200 = 0,0800 = 8% P( x ≤3) = 8%
49. Solución: 1 = 0,25 vende 4
n=5
0,75 = no vende
Por lo menos 3 compren
X
= 3, 4, 5
P( x≥3) = P(x =3) + P( x = 4) + P(x =5) =
( ) (0,25)
3
5 3
(0,75)2 + (54 ) (0,25)4 (0,75)1 + (55 ) (0,25)5 (0,75)0
= 0,0879 + 0,0146 + 0,00098 = 0,1035 = 10,35% P( x ≥ 3) = 10,35%
50. Solución: 0,84 = no lo pierden
0,16 lo pierden
n = 10
No mayor a 5 ni menor a tres no lo pierdan
X
= 3, 4, 5
P(3 ≤ x ≤5 ) = P( x =3) + P( x = 4 ) + P( x =5 ) =
( ) (0,84) 10 3
3
(0,16)7
+
( ) (0,84) 10 4
4
(0,16)6
+
( ) (0,84) 10 5
5
(0,16)5
= 0,00019 + 0,0018 + 0,0110 = 0,0130 =1,30% P(3 ≤x ≤5 ) = 1,30%
27
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.6 Distribuciones de probabilidad
51. Solución: 80% = no se tardan
20% se tardan
a) Dos veces se retardan P( x = 2 ) =
( ) (0,2)
2
5 2
X
(0,8)3 = 0,2048
[
=1−
[ ( ) (0,8)
0
5 0
=2
= 20,48%
b) Por lo menos 2 no se retardan P( x ≥ 2 ) = 1 − P( x = 0 ) + P( x =1)
n=5
X
P( x = 2 ) = 20,84%
= 2, 3, 4, 5
]
(0,2)5 + (15 ) (0,8)1 (0,2)4 ]
= 1 − [ 0,00032 + 0,0064] = 1 − 0,00672 = 99,33% P( x ≥ 2 ) = 99,33%
52. Solución: 64% = menores de 65
36% mas de 65 años
Quince o más tengan más de 65 años P( x ≥15 ) =
( ) (0,36)
15
18 15
(0,64)3 + (1816 ) (0,36)16 (0,64)2
+
( ) (0,36) 18 17
17
(0,64)1 +
( ) (0,36) 18 18
18
(0,64)0 =
= 0,000047 + 0,0000049 + 0 + 0 = 0,0000519 = 0,00519 %
P( x ≥15 ) = 0,00519 %
53. Solución: 30% se retiran
n = 12
70% siguen
a) Por lo menos 9 sigan P( x ≥ 9 ) =
( ) (0,7) 12 9
9
(0,3)3 + (1210 ) (0,7 )10 (0,3)2 + (1211 ) (0,7 )11 (0,3)1 + (1212 ) (0,7)12 (0,3)0
= 0,2397 + 0,1678 + 0,0712 + 0,0138 = 0,4925 = 49,25%
P( x ≥ 9 ) = 49,25%
28
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
b) Como mínimo tres se retiren P( x ≥ 3) = 1 −
[( ) (0,3)
0
12 0
X
Cap.6 Distribuciones de probabilidad
= 3, 4, ........ ....12
(0,7 )12 + (121 ) (0,3)1 (0,7 )11 + (122 ) (0,3)2 (0,7 )10 ]
= 1 − [0,0138 + 0,0712 + 0,1678] = 1 − 0,2528 = 74,72% P( x ≥ 3 ) = 74,72%
54. Solución: 1 = 0,10 éxitos 10
0,90 nada de éxitos
x = 2,3,4,5,6
Por lo menos 2 sean éxitos financieros
[
P( x ≥ 2 ) = 1 − P( x = 0 ) + P( x =1) =1−
[( ) (0,1) 6 0
0
n=6
]
(0,9)6
+
( ) (0,1)
1
6 1
(0,9)5 ]
= 1 − [0,5314 + 0,3543] = 1 − 0,8857 = 11,43% P( x ≥ 2 ) =11,43%
55. Solución: 5 = 0,20 Técnicos 25
a) Por lo menos 1 sea técnico P( x ≥1) = 1 − P( x = 0 ) = 1 −
n=4
0,80 No técnicos X
( ) (0,2) 4 0
0
= 1, 2 , 3, 4
(0,8)4 = 1 − 0,4096 = 59,04%
b) Por lo menos 2 no sean técnicos
X
P( x≥ 1) = 59,04%
= 2 , 3, 4
29
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
[
P( x≥ 2 ) = 1 − P( x =0 ) + P( x =1) =1−
[( ) (0,8)
0
4 0
Cap.6 Distribuciones de probabilidad
] P( x ≥ 2 ) = 97,28%
(0,2)4 + (14 ) (0,8)1 (0,2)3 ]
= 1 − [0,0016 + 0,0256] = 1 − 0,0272 = 97,28%
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
56. Solución: p = 0,10
q = 0,90
n =10
X
=2
a) Distribución binomial P( x = 2 ) = C210 (0,1) (0,9) = 45 (0,01) (0,4305) = 0,1937 = 19,37% 2
8
P( x = 2 ) = 19,37%
b) Distribución Poisson p=
λx e −λ
X
X!
P( x = 2 ) =
=2
λ = n p = 10 (0,1) = 1
12 e −1 (1) (0,36788) = = 0,18394 = 18,39% 2! 2
P( x = 2 ) = 18,39%
57. Solución: λ = np
p = 0,001
a) P( x = 3) = b)
λx e − λ
P( x >2 ) = ?;
x!
=
q = 0,999
λ = 2.000 (0,001) = 2
23 e −2 8 (0,13534) = = 0,18045 = 18,04% 3! 6 X
n = 2.000 P(x =3) = 18,04%
= 3, 4, 5, .......... .......... .......... ..2.000
20 (0,13534) 21 (0,13534) 2 2 (0,13534) P( x > 2 ) = 1 − + + 0! 1! 2!
30
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.6 Distribuciones de probabilidad
P( x ≥ 3) = 1 − (0,13534 + 0,27068 + 0,27068) =
= 1 − 0,67670 = 0,3233 = 32,33%
P( x ≥ 3 ) = 32,33%
58. Solución: p = 0,03
q = 0,97
λ = 0,03 (100) = 3
n = 100
λ=np
a) P( x = 0 ) =
30 e −3 1 (0,04979) = = 0,04979 = 4,98% 0! 1
P( x = 0 ) = 4,98%
b) P( x =1) =
31 (0,04979) = 0,14937 = 14,94% 1!
P(x =1) = 14,94%
c) P( x = 2 ) =
32 (0,04979) = 0,22404 = 22,40% 2!
P( x = 2 ) = 22,40%
d) P( x = 3) =
33 (0,04979) = 0,22404 = 22,40% 3!
P( x = 3 ) = 22,40%
e) P( x = 4 ) =
34 (0,04979) = 0,16803 = 16,80% 4!
P( x = 4 ) = 16,80%
P( x = 5 ) =
35 (0,04979) = 0,10082 = 10,08% 5!
P( x = 5 ) = 10,08%
f)
59. Solución: p = 0,00003
λ = 0,00003 (200.000) = 6
n = 200.000
a) P( x = 0 ) =
6 0 e −6 1 (0,002479) = = 0,002479 = 0,25% 0! 1
P( x = 0 ) = 0,25%
b) P( x = 2 ) =
6 2 (0,002479) = 0,044622 = 4,46% 2!
P( x = 2 ) = 4,46%
31
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
c) P( x = 6 ) = =
d) P( x = 8 ) = =
e)
X
Cap.6 Distribuciones de probabilidad
66 (0,002479) 46.656 (0,002479) = = 6! 720 115,66 = 0,1606 = 16,06% 720
P( x = 6 ) = 16,06%
68 (0,002479) 1.679.616 (0,002479) = = 8! 40.320 4.163,76 = 0,10326 = 10,33% 40.320
P( x = 8 ) = 10,33%
= 4, 5 , 6, 7, 8
P(4 ≤ x ≤ 8 ) =
6 4 (0,002479) 65 (0,002479) 66 (0,002479) 67 (0,002479) 68 (0,002479) + + + + 4! 5! 6! 7! 8!
P(4 ≤ x ≤ 8 ) =
1.296 (0,002479) 7.776 (0,002479) 46.656 (0,002479) + + + 24 120 720 +
P(4 ≤ x ≤ 8 ) =
29.936 (0,002479) 1.679.616 (0,002479) + = 5.040 40.320
3,21 19,28 115,66 693,96 4.163,79 + + + + = 24 120 720 5.040 40.320
P(4 ≤ x ≤ 8 ) = 0,1338 + 0,1606 + 0,1606 + 0,1377 + 0,1033 = P(4 ≤ x ≤ 8 ) = 0,6960 = 69,60%
f)
P( x ≤ 2 ) =
P(4 ≤ x ≤ 8 ) = 69,60%
60 (0,002479) 61 (0,002479) 6 2 (0,002479) + + = 0! 1! 2!
P( x ≤ 2 ) = 0,002479 + 0,014874 + 0,044622 = P( x ≤ 2 ) = 0,061975 = 6,20%
P( x ≤ 2 ) = 6,20%
60. Solución:
32
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
λ = (0,0066) (1.500) = 9,9
p = 1 = 0,0066 150
a)
X
Cap.6 Distribuciones de probabilidad
n = 1.500
=3
P( x = 3 ) =
9,93 e −9,9 970,29 (0,00005) 0,04851 = = = 0,008085 = 0,81% 3! 6 6
P( x = 3 ) = 0,81%
Con calculadora programable el resultado es = 0,0081141 = 0,81% b)
X
= 4, 5, 6, 7 .......... ....1.500
9,90 e −9,9 9,91 e −9,9 9,9 2 e −9,9 9,93 e −9,9 P( x ≥ 4 ) = 1 − + + + 0! 1! 2! 3! 1 (0,00005) 9,9 (0,00005) 98,0 (0,00005) P( x ≥ 4 ) = 1 − + + + 0,008085 1 1 2 P( x ≥ 4 ) = 1 − [0,00005 + 0,00049 + 0,00245 + 0,00808] P( x ≥ 4 ) = 1 − [0,01107] = 0,98893 = 98,89%
P( x ≥ 4 ) = 98,89%
NOTA: ¿Menos de 5 vuelos se retrazaran más de una hora? c) P( x ≤ 4 ) =
9,90 e −9,9 9,91 e −9,9 9,9 2 e −9,9 9,93 e −9,9 9,9 4 e −9,9 + + + + 0! 1! 2! 3! 4!
P( x ≤ 4 ) = 0,00005 + 0,00049 + 0,00245 + 0,00808 +
0,480298 24
P( x ≤ 4 ) = 0,00005 + 0,00049 + 0,00245 + 0,00808 + 0,02001 = P( x ≤ 4 ) = 0,03108 = 3,11%
P( x ≤ 4 ) = 3,11%
61. Solución: p = 0,0001
n = 10.000
λ = 0,0001 (10.000) = 1
X
=5
33
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
P( x =5 ) =
Cap.6 Distribuciones de probabilidad
15 e −1 1 (0,36788) = = 0,003065 = 0,31% 5! 120
P( x =5 ) = 0,31%
62. Solución: p = 0,001
q = 0,999
a) P( x = 3) = ?
P( x = 3 ) =
P=
λ = 0,001 (2.000) = 2
λx e − x X!
23 e −2 8 (0,13534) 1,0872 = = = 0,18045 =18,04% 3! 6 6
b) P( x ≥ 3) = ?
X
n = 2.000
= 3, 4, 5, 6, .......... ...2.000
P( x = 3 ) = 18,04%
También se puede plantear así:
20 e −2 21 e −2 2 2 e −2 P( x ≥ 3) = 1 − + + 1! 2! 0! 1 (0,13534) 2 (0,13534) 4 (0,13534) P( x ≥ 3) = 1 − + + 1 1 2
P( x≥3) = 1 − [0,13534 + 0,27067 + 0,27067] = P( x ≥3) = 1 − 0,6767 = 0,3233 = 32,33%
P( x ≥ 3) = 32,33%
63. Solución: a) P( x = 0 ) =
0,720 (0,4868) = 0,4868 = 48,68% 0!
P( x = 0 ) = 48,68%
b) P( x =1) =
0,721 (0,4868) = 0,35049 = 35,05% 1!
P( x =1) = 35,05%
c) P( x = 2 ) =
0,72 2 (0,4868) 0,5184 (0,4868) = = 2! 2
P( x =2 ) = 0,2592 (0,4868) = 0,126178 = 12,62%
P( x = 2 ) = 12,62%
34
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
d) P( x =3 ) =
Cap.6 Distribuciones de probabilidad
0,72 3 (0,4868) 0,3732 (0,4868) = = 3! 6 0,181673 = 0,030278 = 3,03% 6
P( x =3) =
P( x = 3) = 3,03%
64. Solución: λ = np = 2,5
P=
λx e −λ X!
a) P( x = 0 ) =
2,50 e −2,5 1 (0,08208) = = 0,08208 = 8,21% 0! 1
P( x = 0 ) = 8,21%
b) P( x =1) =
2,51 e −2,5 2,5 (0,08208) = = 0,2052 = 20,52% 1! 1
P( x =1) = 20,52%
c) P( x = 2 ) =
2,52 e −2,5 2,52 (0,08208) = = 0,2565 = 25,65% 2! 2
P( x = 2 ) = 25,65%
d) P( x = 3) =
2,53 e −2,5 2,53 (0,08208) = = 0,2137 = 21,37% 3! 6
P( x = 3) = 21,37%
65. Solución: p=
2 = 0,0004 5.000
λ = np = 1.000 (0,0004) = 0,4
Por lo menos 2 tengan problemas
X
= 2,3, .................. 1.000
35
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
[
P( x ≥ 2 ) = 1 − P( x = 0 ) + P( x = 1)
Cap.6 Distribuciones de probabilidad
]
0,40 e − 0, 4 0,41 e − 0, 4 = 1− + 0! 1! = 1 − [0,6703 + 0,2681] = 1 − 0,9384 = 0,0616 = 6,16% P( x ≥ 2 ) = 6,16%
66. Solución: p=
1 = 0,0005 2.000
a) Más de 3 se incendien
λ = 6.000 (0,0005) = 3 X
= 4 ,5,6, 7, ..............
[
P( x ≥ 4 ) = 1 − P( x = 0 ) + P( x = 1) + P( x = 2 ) + P( x = 3)
]
30 e − 3 31 e − 3 32 e − 3 33 e − 3 = 1− + + + 1! 2! 3! 0! = 1 − [0,0498 + 0,1494 + 0,2240 + 0,2240] = 1 − 0,6472 = 0,3528 = 35,28% P( x ≥ 4 ) = 35,28%
b) P( x = 2 ) =
32 e −3 = 0,2240 = 22,40 % 2!
P( x = 2 ) = 22,40%
67. Solución: λ=2
a) No más de 3 atracos
36
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.6 Distribuciones de probabilidad
P( x ≤ 3) = P( x = 0 ) + P( x =1) + P( x = 2 ) + P( x = 3) =
20 e − 2 21 e − 2 2 2 e − 2 23 e − 2 + + + 0! 1! 2! 3!
= 0,1353 + 0,2707 + 0,2707 + 0,1804 = 0,8571 = 85,71% P( x≤ 3 ) = 85,71%
b) A lo más 2 atracos P( x≤ 2 ) = P( x =0 ) + P( x =1) + P( x = 2 ) =
2 0 e −2 21 e − 2 2 2 e −2 + + 0! 1! 2!
= 0,1353 + 0,2707 + 0,2707 = 0,6767 = 67,67%
P( x≤ 2 ) = 67,67%
68. Solución: p = 0,01% = 0,0001
λ = 10.000 (0,0001) = 1
Máximo 3 se accidentan P( x ≤3) = P( x =0 ) + P( x =1) + P( x = 2 ) + P( x =3) =
10 e −1 11 e −1 12 e −1 13 e −1 + + + 0! 1! 2! 3!
= 0,3679 + 0,3679 + 0,1839 + 0,0613 = 0,9810 = 98,10%
P( x ≤ 3) = 98,10%
69. Solución: p = 0,24% = 0,0024
λ = 1.500 (0,0024) = 3,6
37
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Cap.6 Distribuciones de probabilidad
a) Dos o menos defectuosos P( x≤ 2 ) = P( x =0 ) + P( x =1) + P( x = 2 ) =
3,6 0 e −3, 6 3,61 e −3, 6 3,6 2 e −3, 6 + + 0! 1! 2!
= 0,0273 + 0,0984 + 0,1771 = 0,3028 = 30,28%
P( x≤ 2 ) = 30,28%
b) Más de 2 defectuosos
[
P( x ≥3) = 1 − P( x =0 ) + P( x =1) + P( x = 2 )
]
3,6 0 e −3, 6 3,61 e −3, 6 3,6 2 e −3, 6 =1− + + 0! 1! 2!
= 1 − [0,0273 + 0,0984 + 0,1771 ] = 1 − 0,3028 = 0,6972 = 69,72% P( x ≥ 3) = 69,72%
70. Solución: λ = 10 en un semestre
⇒
λ = 5 en un trimestre
P( x ≤ 2 ) = P( x = 0 ) + P( x =1) + P( x = 2 ) =
50 e − 5 51 e − 5 52 e − 5 + + 0! 1! 2!
= 0,0067 + 0,0337 + 0,0842 = 0,1246 = 12,46% P( x ≤ 2 ) = 12,46%
71. Solución:
38
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Cap.6 Distribuciones de probabilidad
λ=3
a) Ninguna demanda P( x =0) =
X
=0
30 e−3 = 0,0498 = 4,98% 0!
b) Por lo menos 2 demandas
[
P( x ≥ 2 ) = 1 − P( x = 0 ) + P( x =1)
P( x = 0 ) = 4,98%
X
= 2, 3, 4, 5, ..........
]
30 e − 3 31 e − 3 =1− + 1! 0! = 1 − [0,0498 + 0,1494] = 1 − 0,1992 = 0,8008 = 80,08% P( x ≥ 2 ) = 80,08%
72. Solución: λ = 800 (0,0005) = 0,4
p = 0,0005
a) Mínimo 3 equivocaciones
[
P( x ≥ 3) = 1 − P( x = 0 ) + P( x =1) + P( x = 2 )
X
= 3, 4, 5, 6..........
]
= 1 − [0,6703 + 0,2681 + 0,0536] = 1 − 0,9920 = 0,0080 = 0,80% P( x > 2 ) = 0,80%
b) Máximo 2 equivocaciones P( x ≤ 2 ) = P( x = 0 ) + P( x =1) + P( x = 2 ) = 99,20%
X
= 0,1,2 P( x ≤ 2 ) = 99,20%
(Ver ejercicio anterior)
39
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Cap.6 Distribuciones de probabilidad
73. Solución: λ = 500 (0,003) = 1,5
3 = 0,003 1.000
a) Más de 2 mueran
X
[
= 3, 4, 5, ...
P( x ≥ 3) = 1 − P( x = 0 ) + P( x =1) + P( x = 2 )
]
1,50 e −1,5 1,51 e −1,5 1,52 e −1,5 =1− + + 1! 2! 0! = 1 − [0,2231 + 0,3347 + 0,2510] = 1 − 0,8088 = 19,12% P( x ≥ 3 ) = 19,12%
b) Como máximo dos mueran
X
= 0,1, 2
P( x ≤ 2 ) = P( x = 0 ) + P( x =1) + P( x = 2 ) = 0,8088 = 80,88%
P( x ≤ 2 ) = 80,88%
74. Solución: λ = 12 por hora
λ = 2 en diez minutos
a) Por lo menos 2 se acerquen
X
= 2, 3, 4....
40
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[
P( x≥ 2 ) = 1 − P( x =0 ) + P( x =1)
Cap.6 Distribuciones de probabilidad
]
2 0 e −2 21 e − 2 =1− + = 1 − [0,1353 + 0,2707] = 1 − 0,4060 = 1! 0! = 0,5940 = 59,40% P( x ≥ 2 ) = 59,40%
b) No más de dos se acerquen al especialista P( x ≤ 2 ) = P( x = 0 ) + P( x =1) + P( x = 2 ) =
20 e − 2 21 e − 2 2 2 e − 2 + + 0! 1! 2!
= 0,1353 + 0,2707 + 0,2707 = 0,6767 = 67,67% P( x ≤ 2 ) = 67,67%
75. Solución: 1 = 0,0001 10.000
λ = 30.000 (0,0001) = 3
a) Por lo menos uno sufra reacción
X
= 1, 2, 3, 4,....
30 e −3 = 1 − 0,0498 = 0,9502 = 95,02% P( x ≥1) = 1 − P( x = 0 ) = 1 − 0!
b) Más de una sufra reacción
X
P( x ≥1) = 95,02%
= 2, 3, 4,....
41
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[
P( x ≥ 2 ) = 1 − P( x = 0 ) + P( x =1)
Cap.6 Distribuciones de probabilidad
]
30 e − 3 31 e − 3 =1− + 1! 0! = 1 − [0,0498 + 0,1494] = 1 − 0,1992 = 0,8008 = 80,08% P( x ≥ 2 ) = 80,08%
76. Solución: λ = 20 llamadas cada 2 minutos
a) Exactamente 4 llamadas en 30 segundos P( x = 4 ) =
λ =5
54 e −5 = 0,1755 = 17,55% 4!
b) Como máximo dos en 15 segundos
P( x = 4 ) = 17,55%
λ = 2,5
X
= 0, 1, 2
P( x ≤ 2 ) = P( x = 0 ) + P( x =1) + P( x = 2 ) =
2,50 e − 2,5 2,51 e − 2,5 2,52 e − 2,5 + + 0! 1! 2!
= 0,0821 + 0,2052 + 0,2565 = 0,5438 = 54,38 % P( x ≤ 2 ) = 54,38%
77. Solución: λ = 6,8 clientes por hora
a) Por lo menos uno en la primera media hora
X
= 1, 2, 3, 4....
42
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Cap.6 Distribuciones de probabilidad
P( x ≥1) = 1 − P( x =0 ) 3,4 0 e −3, 4 =1− 0! = 1 − 0,0334 = 0,9667 = 96,67% P( x ≥1) = 96,67%
λ = 1,7
b) Ninguno en el primer cuarto de hora
X
=0
1,7 0 e −1, 7 = 0,1827 = 18,27% 0! P( x = 0 ) = 18,27%
P( x = 0 ) =
c) Más de uno, en cualquier hora
[
P( x ≥ 2 ) = 1 − P( x = 0 ) + P( x =1)
λ = 6,8
X
= 2, 3, 4....
]
6,80 e − 6,8 6,81 e − 6,8 =1− + 1! 0! = 1 − [0,0011 + 0,0076] = 1 − 0,0087 = 0,9913 = 99,13% P( x ≥ 2 ) = 99,13%
78. Solución: λ = 9 en 30 minutos
a) Por lo menos 4 en la primera media hora
X
= 4, 5, 6....
43
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[
P( x ≥ 4 ) = 1 − P( x = 0 ) + P( x =1) + P( x = 2 ) + P( x = 3)
Cap.6 Distribuciones de probabilidad
]
90 e − 9 91 e − 9 92 e −9 93 e − 9 =1− + + + 1! 2! 3! 0! = 1 − [0,0001 + 0,0011 + 0,0050 + 0,0150] = 1 − 0,0212 = 0,9788 = 97,88% P( x ≥ 4 ) = 97,88%
b) Ninguno en los 10 primeros minutos P( x = 0 ) =
X
=0
λ=3
30 e −3 = 0,0498 = 4,98 % 0!
P( x = 0 ) = 4,98%
79. Solución: λ = 5,7 año
a) Ninguno en los 4 meses P( x = 0 ) =
λ = 5,7 3
X
=0
1,90 e −1,9 = 0,1496 = 14,96% 0!
b) Por lo menos 1 en el semestre P( x ≥1) = 1 − P( x = 0 ) = 1 −
λ = 2,85
P( x = 0 ) = 14,96% X
2,850 e −2,85 = 1 − 0,0578 = 94,22% 0!
= 1, 2, 3, 4, ... P( x ≥1) = 94,22%
44
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Cap.6 Distribuciones de probabilidad
HIPERGEOMETRICA
80. Solución: a) N =15
A=6
P( x = 2 ) =
n=5
=2
( )( ) = 0,4196 = 41,96% ( ) 6 2
b) N =15
15 − 6 5− 2 15 5
A=9
P( x = 2 ) =
X
n=5
P( x = 2 ) = 41,96%
X
=2
( )( ) = 0,2398 = 23,98% ( ) 9 2
15 − 9 5− 2 15 5
P( x = 2 ) = 23,98%
81. Solución: N =12 P( x = 0 ) =
A=4
n=3
X
=0
( )( ) = 0,2545 = 25,45% ( ) 4 0
12 − 4 3− 0 12 3
P( x = 0 ) = 25,45%
82. Solución: N =15
A = 10
a) A dos les guste
X
P( x = 2 ) =
=2
( )( ) = 0,1499 = 14,99% ( ) 10 2
15 −10 5− 2 15 5
b) A dos no les guste N =15 P( x = 2
n=5
A=5
( )( ) = 0,3996 = 39,96% ) = ( ) 5 2
15 − 5 5− 2 15 5
P( x = 2 ) = 14,99% n=5
X
=2 P( x = 2 ) = 39,96%
45
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Cap.6 Distribuciones de probabilidad
83. Solución: N = 25 P( x = 2 ) =
A=6
n=4
X
=2
( )( ) = 0,2028 = 20,28% ( ) 6 2
25 − 6 4−2 25 4
P( x = 2 ) = 20,88%
(dos que no requieren ser ajustadas)
84. Solución: N = 40
A = 35
P( x ≥1) = 1 − P( x =0 ) = 1 −
n=5
X
= 1, 2, 3, 4, ....
( )( ) = 1 − 0,0000015 ( ) 35 0
40−35 5−0 40 5
= 0,99999 ≅ 1 = 100% (por lo menos uno es economista)
P( x ≥1) = 100%
46
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Cap.7 Distribuciones muestrales
Capítulo 7 Distribuciones muestrales EJERCICIOS RESUELTOS DISTRIBUCIONES DE MEDIAS MUESTRALES 1. Solución: µ = 72,1
Z =
σ = 3,1
x −µ
σ
n
=
n = 90
P( x < 71,7) = ?
71,7 − 72,1 − 0,4 ( 9,49) = = −1,22 3,1 3,1 90
Z = −1,22 → A(0,3888) P = 0,5000 − 0,3888 = 0,1112 =11,12%
P( x
< 71,7 )
= 11,12%
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Cap.7 Distribuciones muestrales
2. Solución µ = 659.320
Z =
σ = 18.000
n = 400
P( x > 660.000) = ?
660.000 − 659.320 680 ( 20) = = 0,76 18.000 18.000 400
Z = 0,76 → A( 0,2764) P = 0,5000 − 0,2764 = 0,2236
P( x
> 660.000 )
= 22,36%
3. Solución: µ = 864.500
Z =
σ = 15.000
n = 25
P( x < 857.500) = ?
857.500 − 864.500 − 7.00 0 ( 5) − 35.000 = = = − 2,33 15.000 15.000 15.000 25
Z = − 2.33 → A ( 0,4901) P = 0,5000 − 0,4901 = 0,0099
P( x
< 857.500 )
= 0,99%
2
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Cap.7 Distribuciones muestrales
4. Solución: µ = 167,42
Z =
σ = 2,58
n = 25
P( x ≥ 168) = ?
168 − 167,42 0,58 ( 5) 2,90 = = = 1,12 2,58 2,58 2,58 25
Z = 1,12 → A ( 0,3686) P = 0,5000 − 0,3686 = 0,1314
P( x
≥ 168)
= 13,14%
5. Solución: n1 = 36 2 σ σ = 3 n1 n
2 3
σ = σ 6 n
σ = σ 9
n
n =9
n =81
6. Solución: K
σ = σ n1
n2
K
n1 =
K 2 n2 = n1
n2
7. Solución: µ = 23.000
P( x < 22.500 ) = 0,09
n = 25
σ =?
A ( 0,4100) → Z = −1,34 −1,34 σ = ( 22.500 − 23.000 )
σ =
( − 500) (5) −1,34
25
= 1.865,67
3
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Cap.7 Distribuciones muestrales
σ =1.865,67
8. Solución: 500
∑ xi
i =1
µ=
=
n ( n + 1) 500( 501) = = 125.250 2 2
Σ xi = 125.250 = 250,5 N 500
(Ver propiedades de la sumatoria) 500
∑ X i2 =
i =1
σ2 =
n ( n + 1) ( 2n + 1) 500( 501) (1.000 + 1) = = 41.791.750 6 6
Σ X i2 − µ 2 = 41.791.750 − 250,5 2 = 20.833,25 N 500
σ = 20.833,25 = 144,34
x = P( x
Σ xi 3.000 = = 187,50 n 16
> 187,50 )
Z =
=?
x −µ
σ
n
=
187,5 − 250,5 − 63,0 ( 4 ) = = −1,75 144,34 144,34 16
Z = −1,75 → A ( 0,4599 ) P = 0,5000 + 0,4599 = 0,9599
P( x
≥ 187 , 50 )
= 95,99%
OJO HACER CORRECCION EN LA GRÁFICA EN VEZ DE 251 ESCRIBIR 250,5
4
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Cap.7 Distribuciones muestrales
9. Solución: x =
Z =
5.700 = 70.37 81
70,37 − 68 2,37 ( 9) 21,33 = = = 6,09 3,5 3,5 3,5 81
Z = 6,09 → A ( 0,5000) (Muy pequeña la probabilidad, ya que tiende a cero )
P
( x >70,37 )
=0
10. Solución: µ = 170
Z =
σ = 18
n = 81
P ( x >175) = ?
175 − 170 5 ( 9) 45 = = = 2,5 18 18 18 81
Z = 2,5 → A ( 0,4938)
P ( x >175) = 0,62%
P = 0,5000 − 0,4938 = 0,0062
11. Solución: µ = 5,02
Z =
σ = 0,30
x −µ
σ
n
=
n = 100
P ( x > 5,10) = ?
5,10 − 5,02 = 2,67 0,30 100
Z = 2,67 → A ( 0,4962) P = 0,5000 − 0,4962 = 0,0038
P ( x >5,10 ) = 0,38%
5
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Cap.7 Distribuciones muestrales
12. Solución:
σ = 3 = 0,75
µ =6
n =9
4
Si 6,5 < x < 5,5 Se suspende el proceso Si 5,5 < x < 6,5 Se deja tal y como está a) Siendo µ = 6
¿Cuál es la probabilidad de detener el proceso?
Z =
6,5 − 6 0,5 ( 3) 1,5 = = =2 0,75 0,75 0,75 3
Z =
5,5 − 6 − 0,5 ( 3) −1,5 = = = −2 0,75 0,75 0,75 3
Z = 2 → A ( 0,4772) ;
Z = −2 → A ( 0,4772)
0,4772 + 0,4772 = 0,9544;
ó
A ( 0,4773)
P =1 − 0,9544 = 0,0456 = 4,56%
P( 6,5 ≤ x
≤ 5,5)
= 4,56%
b) Siendo µ = 6,18
¿Cuál es la probabilidad de detener el proceso?
Z =
6,5 − 6,18 0,32 ( 3) 0,96 = = = 1,28 0,75 0,75 0,75 3
Z =
5,5 − 6,18 − 0,68 ( 3) − 2,04 = = = − 2,72 0,75 0,75 0,75 3
Z =1,28 → A (0,3997) ; Z = −2,72 → A ( 0,4967) P = 0,3997 + 0,4967 = 0,8964
6
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Cap.7 Distribuciones muestrales
P =1 − 0,8964 = 0,1036 = 10,36%
P( 6,5 ≤ x
≤ 5,5)
= 10,36%
c) Siendo µ = 6,4 ¿Cuál es la probabilidad de continuar el proceso?
Z =
6,5 − 6,4 0,1( 3) 0,3 = = = 0,40 0,75 0,75 0,75 3
Z =
5,5 − 6,4 − 0,9 ( 3) − 2,7 = = = − 3,60 0,75 0,75 0,75 3
Z = 0,40 → A (0,1554) ; Z = −3,60 → A ( 0,4998) P = 0,1554 + 0,4998 = 0,6552 = 65,52%
P( 5,5 ≤ x
≤ 6,5)
= 65,52%
d) Siendo µ = 5,8
¿Cuál es la probabilidad de continuar el proceso?
Z =
6,5 − 5,8 0,7 ( 3) 2,1 = = = 2,80 0,75 0,75 0,75 3
Z =
5,5 − 5,8 − 0,3 ( 3) − 0,9 = = = −1,20 0,75 0,75 0,75 3
Z = 2,80 → A ( 0,4974) ; Z = −1,20 → A ( 0,3849) P = 0,4974 + 0,3849 = 0,8823 = 88,23%
P( 5,5 ≤ x
≤ 6,5)
= 88,23%
7
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Cap.7 Distribuciones muestrales
13. Solución: µ = 0,5
Z =
Z =
σ = 0,01
n=4
P ( 0,49 < x < 0,51) = ?
0,49 − 0,50 − 0,01 ( 2) = = −2 0,01 0,01 4 0,51 − 0,50 0,01 ( 2) = = 2 0,01 0,01 4
Z = 2 → A ( 0,4772) ; Z = − 2 → A ( 0,4772 ) ó A ( 0,4773)
P ( 0,49 < x < 0,51) = 95,44%
P = 0,4772 + 0,4772 = 0,9544
14. Solución: µ = 120
Z =
σ = 10
x −µ
σ
n
=
x = 115
n = 25
P ( x ≤ 115) = ?
115 − 120 − 5 ( 5) = = − 2,5 10 10 25
Z = − 2,5 → A ( 0,4938) P = 0,5000 − 0,4938 = 0,0062
P ( x ≤115 ) = 0,62%
15. Solución: µ−x =4
µ − x = −4
σ =?
n = 10
P ( x −µ >
4
) = 0,02
A ( 0,4900) → Z = 2,33
8
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
4 σ 10
2,33 =
σ=
⇒
Cap.7 Distribuciones muestrales
2,33 σ = 4 (3,16)
4 ( 3,16) = 5,42 2,33
σ = 5,42
16. Solución: µ = 900
σ = 70
n = 36
P ( 870 < x < 925) = ?
Z =
870 − 900 − 30 ( 6 ) = = − 2,57 70 70 36
Z =
925 − 900 25 ( 6 ) = = 2,14 70 70 36
Z = − 2,57 → A ( 0,4949) ; Z = 2,14 → A ( 0,4838)
P ( 870 < x < 925) = 97,87%
P = 0,4949 + 0,4838 = 0,9787
17. Solución: µ = 32.900
Z =
x −µ
σ
n
σ = 1.500
=
n = 100
P ( x > 33.259 ,3 ) = ?
33.259,3 − 32.900 359,3 (10 ) 3.593 = = = 2,40 1.500 1.500 1.500 100
9
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.7 Distribuciones muestrales
Z =2,40 → A ( 0,4918) P = 0,5000 − 0,4918 = 0,0082
P
( x >33.259 , 3 )
= 0,82%
E =np =50 (0,0082 ) =1 Aproximadamente un restaurante
E =1
18. Solución:
Z =
612,24 − 580 32,24 ( 7) = 80 80 49
= 2,82
Z = 2,82 → A ( 0,4976) P = 0,5000 − 0,4976 = 0,0024
P (x
> 612,24)
= 0,24%
19. Solución: µ = 3,5
Z =
σ =1
x −µ
σ
=
n
n = 36
P ( x > 3,7 ) = ?
3,7 − 3,5 0,2 ( 6) = = 1,20 1 1 36
Z = 1,20 → A ( 0,3849) P = 0,5000 − 0,3849 = 0,1151 P ( x >3,7 ) = 11,51%
20. Solución: µ = 25.900
Z =
x −µ
σ
n
σ = 1800
=
n = 200
P ( x > 26.100) = ?
26.100 − 25.900 200 (14,14) 2828 = = = 1,57 1800 1800 1800 200
10
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.7 Distribuciones muestrales
Z = 1,57 → A ( 0,4418) P = 0,5000 − 0,4418 = 0,0582
P ( x ≥ 26.100) = 5,82%
21. Solución:
µ = 68 Z =
σ = 15
x = 2.700 = 75 36
n = 36
P ( x > 75 ) = ?
75 − 68 6 ( 7) = = 2,8 15 15 36
Z = 2,8 → A ( 0,4974) P = 0,5000 − 0,4974 = 0,0026
P ( x 〉 75) = 0,26% 22. Solución: n = 36
a) µ = 59 Z =
x = 60
σ =3
ó más se acepta
x < 60
se rechaza
P ( x > 60) = ?
60 − 59 = 2 3 36
Z = 2 → A ( 0,4773) P = 0,5000 − 0,4773 = 0,0227
P ( x ≥ 60 ) = 2,27%
11
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
b) µ = 60,5 Z =
σ =3
Cap.7 Distribuciones muestrales
P ( x < 60) = ?
60 − 60,5 = −1 3 36
Z = −1 → A ( 0,3413) P = 0,5000 − 0,3413 = 0,1587
P ( x < 60 ) =15,87%
23. Solución: µ = 520.000
Z =
n = 36
P (x
> 630.000 )
=?
σ = 222.960
630.000 − 520.000 = 2,96 222.960 36
Z = 2,96 → A ( 0,4985) P = 0,5000 − 0,4985 = 0,0015
P ( x ≥630.000) = 0,15%
24. Solución: µ = 68
σ 2 = 441 ⇒ σ = 21
n = 36
P ( x < 60 ) = ?
σ 2 = 441 puntaje 2
Z =
60 − 68 = − 2,29 21 36
Z = −2,29 → A ( 0,4890) P = 0,5000 − 0,4890 = 0,0110
P (x
< 60 )
= 1,1%
12
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.7 Distribuciones muestrales
25. Solución: µ = 400.000
Z =
σ = 78.600
n = 25
P ( x > 440.000) = ?
440.000 − 400.000 = 2,54 78.600 25
Z = 2,54 ⇒ A ( 0,4945) P = 0,5000 − 0,4945 = 0,0055
P (x
≥ 440.000 )
= 0,55%
26. Solución: µ = 58
Z =
Z =
σ = 16
n = 16
P ( 50 < x < 70) = ?
70 − 58 = 3,00 ⇒ A ( 0,4987) 16 16 50 − 58 = − 2 ⇒ A ( 0,4773) 16 16
P = 0,4987 + 0,4773 = 0,9760
P ( 50 ≤ x
≤ 70)
= 97,60%
27. Solución: µ = 240.000
Z =
σ = 8.200
n = 25
P ( x < 237.000) = ?
237.000 − 240.000 = −1,83 ⇒ A ( 0,4664) 8.200 25
P = 0,5000 − 0,4664 = 0,0336
P (x
≤ 237.000 )
= 3,36%
13
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.7 Distribuciones muestrales
28. Solución: µ = 1,03 libras
Z =
σ = 0,05
n = 28
P ( x > 1,02) = ?
1,02 − 1,03 = −1,06 ⇒ A ( 0,3554) 0,05 28
P = 0,5000 + 0,3554 = 0,8554
P (x
> 1,02 )
= 85,54%
29. Solución: µ = 226.000
Z =
σ = 93.800
n = 49
P ( x < 206.000) = ?
206.000 − 226.000 = −1,49 ⇒ A ( 0,4319) 93.800 49
P = 0,5000 − 0,4319 = 0,0681
P (x
< 206.000)
= 6,81%
30. Solución: µ = 417.500
Z =
σ = 17.000
n = 0,08( 500) = 40
P ( x > 420.000) = ?
420.000 − 417.500 = 0,93 ⇒ A ( 0,3238) 17.000 40
P = 0,5000 − 0,3238 = 0,1762
P (x
≥ 420.000)
= 17,62%
14
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.7 Distribuciones muestrales
31. Solución: µ = 112.000
a) P ( x Z =
σ = 5.500
> 113.500 )
n = 36
=?
113.500 − 112.000 = 1,64 ⇒ A ( 0,4495) 5.500 36
P = 0,5000 − 0,4495 = 0,0505
P (x
> 113.500 )
= 5,05%
b) P (111.500 > x
Z =
> 113.200)
=?
111.500 − 112.000 = − 0,55 ⇒ A ( 0,2088) 5.500 36
Z =
113.200 − 112.000 = 1,31 ⇒ A ( 0,4049) 5.500 36
= 1 − [0,2088 + 0,4049] = 0,3863 P (111.500 ≥ x ≥ 113.700) = 38,63%
32. Solución: µ = 16
σ = 3,5
n = 36
P ( x < 15,3) = ?
15
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Z =
Cap.7 Distribuciones muestrales
15,3 − 16 = −1,2 ⇒ A ( 0,3849) 3,5 36
P = 0,5000 − 0,3849 = 0,1151
P (x
≤ 15,3)
= 11,51%
33. Solución: µ = 70
Z =
σ = 20
n = 36
P ( x > 75) = ?
75 − 70 = 1,5 ⇒ A ( 0,4332) 20 36
P = 0,5000 − 0,4332 = 0,0668
P (x
≥ 75)
= 6,68%
34. Solución: µ = 300
Z =
σ 2 = 2.500
σ = 50
n = 25
x=
8.200 = 328 25
P ( x > 328 ) = ?
328 − 300 = 2,8 ⇒ A ( 0,4974) 50 25
P = 0,5000 − 0,4974 = 0,0026
P (x
≥ 328)
= 0,26%
35. Solución: σ =5
n = 100
P (x
−µ > 1
) =?
16
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
1 = 2 5 100
Z =
Cap.7 Distribuciones muestrales
−2
y
Z = 2 ⇒ A ( 0,4773) P = 0,5000 − 0,4773 = 0,0227
0,0227 ( 2) = 0,0454 = 4,54%
P (x
−µ> 1
) = 4,54%
P (x
−µ> 4
) = 2,50%
36. Solución: σ =8
n = 20
4 = 2,24 8 20
Z =
P (x
y
−µ > 4
) =?
− 2,24
Z = 2,24 ⇒ A ( 0,4875) = 1 − [0,4875 + 0,4875] = 0,0250 = 2,50%
37. Solución: µ = 700
Z =
σ 2 = 14.400
⇒
σ = 120
n = 144
P ( x ≤ 680) = ?
680 − 700 = − 2 ⇒ A ( 0,4773) 120 144
P = 0,5000 − 0,4773 = 0,0227 = 2,27%
P (x
≤ 680)
= 2,27%
38. Solución: µ = 8,10
σ = 2 meses y 5 días
σ = 2,17 meses
n = 36
P (x
< 7,5)
=?
17
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
x = 7 meses y 15 días
Z =
Cap.7 Distribuciones muestrales
x = 7,5 meses
7,5 − 8,10 = −1,66 ⇒ A ( 0,4515) 2,17 36
P = 0,5000 − 0,4515 = 0,0485 = 4,85%
P ( x < 7 , 5 ) = 4,85%
DISTRIBUCIONES DE MEDIAS PROPORCIONALES 39. Solución: p = 65%
n = 100
a) P( p < 68% ) = ?
Z =
p−P = PQ n
0,68 − 0,65 = ( 0,65) ( 0,35) 100
0,03 = 0,2275 100
0,03 = 0,63 0,002275
Z = 0,63 → A ( 0,2357) P = 0,5000 + 0,2357 = 0,7357
18
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.7 Distribuciones muestrales
P( p < 68% ) = 73,57%
b) P( 65,5% < p < 66,5%) = ? Z =
Z =
( ya que P(
p = 66 )
= 0)
p −P 0,665 − 0,65 0,015 = = = 0,31 0,0477 PQ 0,002275 n
p −P 0,655 − 0,65 0,005 = = = 0,11 0,0477 PQ 0,002275 n
Z = 0,31 → A ( 0,1217) ; Z = 0,11 → A ( 0,0438) P = 0,1217 − 0,0438 = 0,0779
P( 65,5% <
p < 66,5% )
= 7,79%
40. Solución: P = 0,01
Z =
n = 400
P( p > 0 , 02 ) = ?
p−P 0,02 − 0,01 = = 2,01 PQ 0,01 ( 0,99) n 400
Z = 2,01 → A ( 0,4778)
P( p > 0,02) = 2,22%
P = 0,5000 − 0,4778 = 0,0222
41. Solución: 1 para una mejor 2n
Nota: En variables discretas se puede aplicar el factor de corrección aproximación a la normal.
19
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
P = 0,04
n = 400
Fórmula general: Z =
Cap.7 Distribuciones muestrales
P( p ≥ 0,05) = ?
Fórmula corregida:
p − 1 − P 2n Z = PQ n
p −P PQ n
1 1 = = 0,00125 2 ( 400) 800
Z =
( 0,05 − 0,00125) − 0,04 = 0,00875 = 0,00875 = 0,90 0,0097 ( 0,04) ( 0,96) 0,000096 400
Z = 0,90 → A ( 0,3159) P = 0,5000 − 0,3159 = 0,1841
P( p
≥ 0,05)
= 18,41%
42. Solución: P = 0,46
n = 400
P( p > 0 ,50 ) = ?
a) Sin corregir:
Z =
p −P = PQ n
0,50 − 0,46 0,040 = = 1,14 ( 0,46) ( 0,54) 0,0352 200
Z = 1,14 → A ( 0,3729)
20
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.7 Distribuciones muestrales
P = 0,5000 − 0,3729 = 0,1271 P( p > 0 , 50 ) =12,71%
b) Corregido:
p − 1 − P ( 0,50 − 0,0025) − 0,46 = 1,06 2n Z = = PQ ( 0,46) ( 0,54) n 200 Z = 1,06 → A ( 0,3554) P = 0,5000 − 0,3554 = 0,1446 = 14,46%
P( p ≥ 0 , 50 ) =14,46%
43. Solución: P = 0,17
Z =
n = 200
P( p ≥ 0, 20 ) = ?
0,20 − 0,17 = ( 0,17) ( 0,83) 200
0,03 = 1,13 0,000705
Z = 1,13 → A ( 0,3708) P = 0,5000 − 0,3708 = 0,1292
P( p ≥ 0, 20 ) = 12,92%
44. Solución:
21
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.7 Distribuciones muestrales
a) Planteamiento mediante la Distribución binomial P( 80 ≤ x ≤ 120) = ?
n = 200
200 P = C80 ( 0,5)
80
p = 0,50
q = 0,50
200 ( 0,5)120 .............. + C120 ( 0,5)120 ( 0,5) 80
b) Distribución normal µ = np = 200 ( 0,5) = 100
P( 79,5 < x < 120,5) = ?
σ = npq = 200 (0,5) (0,5) = 50 = 7,07
Z =
Z =
X −µ
σ
=
79,5 − 100 −20,5 = = −2,9 7,07 7,07
X −µ 120,5 − 100 20,5 = = = 2,9 7,07 7,07 7,07
Z = −2,9 → A ( 0,4981) ; Z = 2,9 → A ( 0,4981)
P( 79,5 < x P( 79,5 ≤ x
< 120,5)
≤ 120,5)
= 0,4981 + 0,4981 = 0,9962 = 99,62%
= 99,62%
c) Distribución de proporciones (corregido) P = 0,50
P( 0,4 <
p < 0,6)
=?
n = 200
p − 1 − P ( 0,4 − 0,0025) − 0,50 = − 0,1025 = − 2,90 2n Z = = 0,03535 PQ ( 0,5) ( 0,5) n 200 p − 1 − P ( 0,6 + 0,0025) − 0,5 = 0,1025 = 2,90 2n Z = = 0,03535 PQ ( 0,5) ( 0,5) n 200
22
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.7 Distribuciones muestrales
Z = −2,90 → A ( 0,4981) Z = 2,90 → A (0,4981) P = 0,4981 + 0,4981 = 0,9962
P( 0,40 < p
< 0,60 )
= 99,62%
d) Sin corrección:
Z =
Z =
p−P 0,4 − 0,5 = = PQ ( 0,5) ( 0,5) n 200
p −P = PQ n
0,6 − 0,5 = ( 0,5) ( 0,5) 200
− 0,10 = − 2,83 0,00125
0,10 = 2,83 0,00125
Z = 2,83 → A ( 0,4977) P = 0,4977 + 0,4977 = 0,9954
P( 0,4 ≤ p
≤ 0,6)
= 99,54%
45. Solución: P = 0,25
Z =
Q = 0,75
0,22 − 0,25
0,22 ( 0,78) 36
p=
8 = 0,22 36
P( p < 0 , 22 ) = ?
= − 0,43 ⇒ A ( 0,1664 )
P = 0,5000 − 0,1664 = 0,3336
P( p < 0 , 22 ) = 33,36%
23
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.7 Distribuciones muestrales
46. Solución:
P = 0,9
Z =
Z =
Q = 0,10
n = 40
P( p
− P > 0,08
) =?
0,98 − 0,90 = 1,69 y −1,69 0,9 ( 0,1) 40 0,08 = 1,69 y −1,69 0,9 ( 0,1) 40
Z = −1,69 ⇒ A ( 0,4545) = 1 − [ 0,4545 + 0,4545] = 0,091 = 9,1% P( p
− P > 0,08
) = 9,1%
47. Solución: P = 0,90
Z =
n = 64
P( p > 0,95) = ?
0,95 − 0,9 = 1,33 ⇒ A ( 0,4082) 0,9 ( 0,10) 64
P = 0,5000 − 0,4082 = 0,0918
P( p
≥ 0,95)
= 9,18%
48. Solución:
24
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
P = 0,20
Z =
n = 100
Cap.7 Distribuciones muestrales
P( p < 0,25) = ?
0,25 − 0,20 = 1,25 ⇒ A ( 0,3944) 0,2 ( 0,8) 100
P = 0,5000 + 0,3944 = 0,8944
P( p
≤ 0,25)
= 89,44%
49. Solución: P = 0,70
Z =
n = 36
P( p > 50%) = ?
0,5 − 0,7 = − 2,62 ⇒ A ( 0,4956) 0,7 ( 0,3) 36
P = 0,5000 + 0,4956 = 0,9956
P( p
≥ 0,50 )
= 99,56%
50. Solución:
P = 0,07
Z =
n = 40
p=
6 = 0,15 40
P( p > 0,15) = ?
0,15 − 0,07 = 1,98 ⇒ A ( 0,4762) 0,07 ( 0,93) 40
25
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.7 Distribuciones muestrales
P = 0,5000 − 0,4762 = 0,0238
P( p ≥ 0,15) = 2,38%
51. Solución:
P = 0,25
n = 150
p=
42 = 0,28 150
P( p > 0,28) = ?
0,28 − 0,25 = 0,85 ⇒ A ( 0,3023) 0,25 ( 0,75) 150
Z =
P = 0,5000 − 0,3023 = 0,1977
P( p
≥ 0,28)
= 19,77%
52. Solución: P=
Z =
1 3
n = 150
p=
40 = 0,27 150
P( p < 0,27) = ?
0,27 − 0,33 = −1,56 ⇒ A ( 0,4406) 0,33 ( 0,67) 150
P = 0,5000 − 0,4406 = 0,0594
P( p
≤ 0,27 )
= 5,94%
26
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.7 Distribuciones muestrales
53. Solución: P = 0,10
Z =
n = 200
p=
16 = 0,08 200
P( p < 0,08) = ?
0,08 − 0,10 = − 0,94 ⇒ A ( 0,3264) 0,10 ( 0,90) 200
P = 0,5000 − 0,3264 = 0,1736
P( p
≤ 0,08)
= 17,36%
54. Solución: NOTA: Por equivocación se resolvió pensando que la pregunta era del 56% que usen menos la corbata. Sin embargo, de acuerdo con el enunciado se puede resolver de dos (2) formas diferentes: (1) P = 0,70 ; n = 64 y P(p≤0,44). La otra forma sería: (2) P = 0,30 ; n = 64 y P(p≤0,56). Por lo tanto las gráficas son diferentes y los resultados deben ser iguales. Si se quiere modificar todo el desarrollo quedaría así:
P = 0,30
Z =
n = 64
P( p < 0 ,56 )
0,56 − 0,30 = − 4,543 aprox. ⇒ A ( 0,5000 ) 0,6 ( 0,7 ) 64
P( p ≤ 0 , 56 ) =100% aproximadamente
27
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
P = 0,70
Z =
n = 64
Cap.7 Distribuciones muestrales
P( p < 0,56) = ?
0,56 − 0,70 = − 2,44 ⇒ A ( 0,4927) 0,7 ( 0,3) 64
P = 0,5000 − 0,4927 = 0,0073
P( p
≤ 0,56 )
= 0,73%
55. Solución: P = 74%
Z =
n = 36
P( p > 82%) = ?
0,82 − 0,74 = 1,09 ⇒ A ( 0,3621) 0,74( 0,26) 36
P = 0,5000 − 0,3621 = 0,1379
P( p ≥0,82 ) = 13,79%
56. Solución: P = 0,10
0,76
n = 36
P( p < ? ) = 22,5 %
A ( 0,2750 ) ⇒ Z = 0,76
0,1 ( 0,9) = p − 0,10 36
p = 0,10 + 0,76
0,1 ( 0,9) 36
p = 0,10 + 0,038 = 0,138
p = 13,8%
57. Solución:
28
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
P = 0,65
Z =
n = 100
Cap.7 Distribuciones muestrales
P( p > 0,68) = ?
0,68 − 0,65 = 0,63 ⇒ A ( 0,2357) 0,65 ( 0,35) 100
P = 0,5000 − 0,2357 = 0,2643
P( p ≥ 0 , 68 ) = 26,43%
58. Solución: P = 0,15
Z =
n = 400
P( p > 0,20) = ?
0,20 − 0,15 = 2,80 ⇒ A ( 0,4974) 0,15 ( 0,85) 400
P = 0,5000 − 0,4974 = 0,0026
P( p ≥ 0,20) = 0,26%
59. Solución: P = 0,15
Z =
n = 80
P( p > 0,20) = ?
0,20 − 0,15 = 1,25 ⇒ A ( 0,3944) 0,15 ( 0,85) 80
P = 0,5000 − 0,3944 = 0,1056
P( p
> 0,20 )
= 10,56%
60. Solución:
29
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
P = 0,55
Z =
n = 100
0,49 − 0,55
0,55 ( 0,45) 100
Cap.7 Distribuciones muestrales
P( p < 49%) = ?
= −1,20 ⇒ A ( 0,3849 )
P = 0,5000 − 0,3849 = 0,1151
P( p
≤ 0,49 )
= 11,51%
Nota: Podría haberse tomado a p = 0,4999 < 0,5000 61. Solución: P = 0,40
Z =
n = 50
P( p > 0,25) = ?
0,25 − 0,40 = − 2,17 ⇒ A ( 0,4846) 0,4 ( 0,6) 50
P = 0,5000 + 0,4846 = 0,9846
P( p
≥ 0,25)
= 98,46%
62. Solución: P = 0,70
Z =
n = 1.000
p=
680 = 0,68 1.000
p=
730 = 0,73 1.000
P( 0,68 <
p < 0,73)
=?
0,73 − 0,70 = 2,07 ⇒ A ( 0,4808) 0,70 ( 0,30) 1.000
30
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Z =
Cap.7 Distribuciones muestrales
0,68 − 0,70 = −1,38 ⇒ A ( 0,4162) 0,7 ( 0,3) 1.000
P = 0,4162 + 0,4808 = 0,8970
P( 0, 68 ≤
p ≤ 0 , 73 )
= 89,70%
63. Solución: P=
Z =
7 = 0,14 50
n = 100
p=
12 = 0,12 100
P( p < 0,12) = ?
0,12 − 0,14 = − 0,58 ⇒ A ( 0,2190) 0,14 ( 0,86) 100
P = 0,5000 − 0,2190 = 0,2810
P( p
≤ 0,12 )
= 28,10%
64. Solución: P = 0,10
0,31 =
n = 36
p − 0,10 0,1 ( 0,9) 36
p = 0,10 + 0,31 p = 11,55 % ≅ 12%
P( p < ?) = 62%
⇒
0,31
A ( 0,1200) → Z = 0,31
0,1 ( 0,9) = p − 0,10 36
0,1 ( 0,9) = 0,10 + 0,0155 = 0,1155 36 p = 0,12 =12%
31
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.7 Distribuciones muestrales
65. Solución:
P = 0,03
Z =
n = 300
15 = 0,05 300
p=
P( p > 0,05) = ?
0,05 − 0,03 = 2,03 ⇒ A ( 0,4788) 0,03 ( 0,97) 300
P = 0,5000 − 0,4788 = 0,0212
P( p
≥ 0,05)
= 2,12%
66. Solución: P = 0,10
Z =
n = 200
p=
16 = 0,08 200
P( p > 0,08) = ?
0,08 − 0,10 = − 0,94 ⇒ A ( 0,3264) 0,10 ( 0,9) 200
P = 0,3264 + 0,5000 = 0,8264
P( p
≥ 0,08)
= 82,64%
67. Solución:
32
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
P = 80%
Z =
n = 49
Cap.7 Distribuciones muestrales
P( 0, 7 > p > 0,90 ) = ?
0,90 − 0,80 = 1,75 y −1,75 0,8 ( 0,20) 49
Z = 1,75 ⇒ A (0,4599) = 1 − [ 0,4599 + 0,4599] = 1 − 0,9198 = 0,0802
P( 0,7
> p > 0,90)
= 8,02%
P( p − p > 0 ,101 ) = 8,02%
DISTRIBUCIÓN DE DIFERENCIAS ENTRE DOS MEDIAS MUESTRALES 68. Solución: µx = µy
Z =
Z =
µx − µy = 0
σ x = 6,4
σ y = 7,2
n1 = 64
n2 = 64
P( x
− y > 0,6
) =?
0,6 − 0 0,6 0,6 = = = 0,50 1,204 40,96 51,84 1,45 + 64 64 − 0,6 − 0 − 0,6 = = − 0,50 40,96 51,84 1,45 + 64 64
Z = 0,50 → A ( 0,1915) ; P = 0,1915 + 0,1915 = 0,3830 Z = −0,50 → A ( 0,1915) ; P =1 − 0,3830 = 0,6170 P = 0,3085 + 0,3085 = 0,6170 ) = 61,70%
ó
P( x
− y > 0,6
69. Solución:
33
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
µx = 20
Z =
µy = 25
σx = 6
0 − ( 20 − 25) = 30,25 36 + 10 9
σ y = 5,5
5 = 3,6 + 3,36
Cap.7 Distribuciones muestrales
n1 = 10
n2 = 9
P( x
− y > 0)
=?
5 = 1,90 6,96
Z = 1,90 → A ( 0,4713) P = 0,5000 − 0,4713 = 0,0287
P( x
− y > 0)
= 2,87%
70. Solución: µx = 50
Z =
µy = 60
σ x = 15
0 − ( 50 − 60) = 225 324 + 25 20
σ y = 18
10 = 9 + 16,2
n1 = 25
n2 = 20
P( x
− y > 0)
=?
10 = 1,99 25,2
Z = 1,99 → A ( 0,4767) P = 0,5000 − 0,4767 = 0,0233
P( x
− y > 0)
= 2,33%
34
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.7 Distribuciones muestrales
71. Solución: µ x = 4.000
Z =
µ y = 4.300
σ x = 980
300 − ( − 300 ) = 960.400 + 722.500 70 40
σ y = 850
n1 = 70
n 2 = 40
P( x
− y ≥ 300 )
=?
600 = 3,37 178,28
Z = 3,37 → A ( 0,4996 )
P( x − y > 300 ) = 0,04% (Se aproxima a cero)
72. Solución: µ x = 920.000
Z =
µ y = 925.000
σ x = 31.500
−12.510 − ( 920.000 − 925.000 ) 992.250.000 2.756.250.000 + 100 100
=
σ y = 52.500
− 7.510 37.485.000
n1 = 100
n 2 = 100
= −1,22
Z = −1,22 → A ( 0,3888) P = 0,5000 − 0,3888 = 0,1112
P( x
− y > −12.510 )
= 11,12%
73. Solución: 35
P( x
− y > −12.510 )
=
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
µx = 1.500
Z =
µy = 1.450
40 − (1.500 − 1.450 ) 90 2 100 2 + 100 100
σ x = 90
=
Cap.7 Distribuciones muestrales
σ y = 100
n1 = 100
n2 = 100
P( x
− y > 40 )
−10 = −0,74 13,45
Z =−0,74 ⇒ A ( 0,2704 ) P = 0,5000 + 0,2704 = 0,7704
P( x
− y ≥ 40 )
= 77,04%
74. Solución: µx = 1.400
µy = 1.200
σ x = 200
σ x = 100
a) P( x
=?
− y > 160 )
Z =
σ x2 = 40.000
n1 = 125
σ y2 = 10.000
n2 = 125
160 − 200 − 40 = = −2 20 40.000 10.000 + 125 125
Z = − 2 ⇒ A ( 0,4773) P = 0,5000 + 0,4773 = 0,9773
b) P( x
− y > 250 )
Z =
P( x
− y ≥ 160)
= 97,73%
=?
250 − 200 50 = = 2,5 20 40.000 10.000 + 125 125
Z = 2,5 ⇒ A ( 0,4938)
36
=?
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.7 Distribuciones muestrales
P = 0,5000 − 0,4938 = 0,0062
P( x
− y ≥ 250)
= 0,62%
75. Solución:
σ x = 40 minutos
σx = 0,67 hora
n1 = 28
n2 = 30
σy = 0,53 horas
0 − ( 2 − 1,67)
Z =
µy =1,67 hora
µy =1 hora con 40 minutos
µx = 2 horas
=
0,67 2 0,532 + 28 30
σy = 32 minutos
P( x
− y > 0)
=?
− 0,33 = − 2,08 0,159
Z = − 2,08 ⇒ A ( 0,4812) P = 0,5000 + 0,4812 = 0,9812
P( x
− y ≥ 0)
= 98,12%
76. Solución: µx = 51
a) P( x
Z =
µ y = 50 − y > 0,6 )
σy = 6
n1 = 100
n2 = 100
=?
0,6 − ( 51 − 50) 2
σx = 8
2
8 6 + 100 100
=
− 0,4 = − 0,4 ⇒ A ( 0,1554) 1,0
37
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.7 Distribuciones muestrales
P = 0,5000 + 0,1554 = 0,6554
P( x
b) P( x Z =
− y > −0,6 )
− y ≥ 0,6)
= 65,54%
=?
−0,6 − 1 −1,6 = = −1,6 1,0 1,0
⇒ A ( 0,4452)
P = 0,5000 − 0,4452 = 0,0548
P( x
− y ≥ −0,6 )
= 5,48%
77. Solución: µ x = 38,6
Z =
µ y = 35,5
σ x = 13,8
− 2 − ( 38,6 − 35,5) 13,8 2 14,12 + 18 18
=
σ y = 14,1
n1 = 18
n 2 = 18
P( x
− y > −2 )
− 5,10 = −1,10 4,65
Z = −1,10 ⇒ A ( 0,3643) P = 0,5000 − 0,3643 = 0,1357
P( x
− y ≥ −2 )
= 13,57%
78. Solución: µx = 2 horas
σx =
Z =
30 = 0,5 horas 60
0 − ( 2 − 1,75) 0,50 2 0,332 + 30 30
µ y = 1 hora con 45 minutos
σy =
=
20 = 0,33 horas 60
⇒ µ y = 1,75 horas
n1 = n2 = 30
P( x − y < 0) = ?
− 0,25 = − 2,29 0,109
38
=?
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.7 Distribuciones muestrales
Z = − 2,29 ⇒ A ( 0,4890) P = 0,5000 − 0,4890 = 0,011
P( x
− y < 0)
= 1,1%
79. Solución: µx = 34
Z =
µy = 30
σx = 6
σy = 4
n1 = 20
n2 = 20
P( x
P( x
− y < 0)
− y < 0)
=?
0 − ( 34 − 30) −4 = = − 2,48 ⇒ A ( 0,4934) 1 ,61 36 16 + 20 20
P = 0,5000 − 0,4934 = 0,0066
= 0,66%
80. Solución: µ x = 2.600
µ y = 2.400
σ x = 200
σ y = 180
n1 = 125
n 2 = 100
P( x
− y > 150
39
) =?
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Z =
Z =
150 − 200 200 2 180 2 + 125 100
=
− 50 = − 1,97 25,38
Cap.7 Distribuciones muestrales
⇒ A ( 0,4756)
−150 − 200 = −13,79 ⇒ A ( 0,5000 ) 25,38
P = 0,5000 + 0,4796 + 0 = 0,9796 P( x − y > 150 ) = 97,96%
81. Solución: µx = 25 gramos
Z =
µx − µy = 25 − 25 = 0
σx = 5 gramos = σy
n1 = 100
n2 = 100
2 − ( 0) 2 = = 2,82 y − 2,82 0 , 71 25 25 + 100 100
Z = 2,82 ⇒ A ( 0,4976) 1 − [ 0,4976 + 0,4976 ] = 0,0048 P( x
− y > 2
) = 0,48%
DISTRIBUCIÓN DE DIFERENCIAS ENTRE DOS PROPORCIONES 82. Solución: P1 = 0,25
P2 = 0,33
n1 = 150
n2 = 100
P( p1 −
p2 ≥ 0 )
=?
40
P( x
− y > 2
) =
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Z =
0 − ( 0,25 − 0,33)
0,25 ( 0,75) 0,33 ( 0,67 ) + 150 100
Cap.7 Distribuciones muestrales
= 1,36 ⇒ A ( 0,4131)
P = 0,5000 − 0,4131 = 0,0869
P( p1 −
p2 ≥ 0 )
= 8,69%
83. Solución: P1 = 0,17
Z =
P2 = 0,15
n1 = 200
n2 = 200
P( p1 −
p2 > 0,03
) =?
0,03 − ( 0,17 − 0,15) 0,01 = = 0,27 0,037 0,17 ( 0,83) 0,15 ( 0,85) + 200 200
Z = 0,27 ⇒ A ( 0,1064)
Z =
−0,03 − 0,02 −0,05 = = −1,35 0,037 0,037
Z = −1,35 ⇒ A ( 0,4115) P = 0,0885 + 0,3936 = 0,4821
P( p1 −
p2 > 0,03
) = 48,21%
84. Solución: 41
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
P1 = 0,65
Z =
P2 = 0,65
n1 = 200
n2 = 200
Cap.7 Distribuciones muestrales
P( p1 −
p2 > 0,10
) =?
0,10 − 0 = 2,10 y − 2,10 0,65 ( 0,35) 0,65 ( 0,35) + 200 200
Z = 2,10 ⇒ A (0,4821) = 1 − [0,4821 + 0,4821] = 0,0358
P( p1 −
p2 > 0,10
) = 3,58%
85. Solución: P1 = 28%
Z =
P2 = 38%
n1 = 150
n2 = 100
P( p1 > p2 ) = P( p1 − p2 > 0 ) = ?
0 − ( 0,28 − 0,38) = 1,64 0,28 ( 0,72) 0,38 ( 0,62) + 150 100
Z = 1,64 ⇒ A ( 0,4495) P = 0,5000 − 0,4495 = 0,0505
P( p1
− p2 ≥ 0 )
= 5,05%
86. Solución: P1 = 0,72
P2 = 0,72
n1 = 150
n2 = 150
42
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
a) P( p1 − p2
> 0,06
Cap.7 Distribuciones muestrales
) =?
0,06 − 0 = 1,16 y −1,16 0,72 ( 0,28) 0,72 ( 0,28) + 150 150
Z =
Z =1,16 ⇒ A ( 0,3770) = 1 − [0,3770 + 0,3770] = 0,2460
P( p1 −
b) P( p1 < Z =
p2 )
= 0,05 = P( p1
− p 2 ≥ − 0, 05 )
p2 ≥ 0,06
) = 24,60%
=?
−0,05 − 0 = −0,97 0,0518
Z = −0,97 ⇒ A ( 0,3340) P = 0,5000 − 0,3340 = 0,1660
P( p1 −
p2 > −0,05)
= 16,60%
87. Solución: P1 = 0,12
a) P( p1
P2 = 0,15
− p2 > 0,03
n1 = 80
n2 = 100
) =?
43
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
0,03 − ( 0,12 − 0,15) 0,06 = = 1,18 0 , 0509 0,12 ( 0,88) 0,15 ( 0,85) + 80 100
Z =
Z =
Cap.7 Distribuciones muestrales
− 0,03 − ( − 0,03) = 0 ⇒ A ( 0,5000) 0,0509
Z =1,18 ⇒ A (0,3810) A ( 0,5000 ) − A ( 0,3810) = 0,1190 P = 0,5000 + 0,1190 = 0,6190
P( p1
− p2 > 0,03
b) P( p1 > Z =
p2 )
) = 61,90%
= P( p1 −
p2 > 0)
=?
0 + 0,03 = 0,59 0,0509
Z = 0,59 ⇒ A ( 0,2224) P = 0,5000 − 0,2224 = 0,2776
= 27,76%
P( p1 −
p2 > 0)
P( p1 −
p2 ≥ − 0,03)
88. Solución: P1 = 0,25
P2 = 0,20
a) P( B > A) = P( p1 <
Z =
p2 )
n1 = 100
= P( p1 −
p2 > −0,03)
n2 = 100
=?
− 0,03 − ( 0,25 − 0,20) − 0,08 = = −1,36 0,0589 0,25 ( 0,75) 0,2 ( 0,8) + 100 100
Z = −1,36 ⇒ A ( 0,4131) P = 0,5000 − 0,4131 = 0,0869
= 8,69%
44
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
b) P( A > B ) = P( p1 −
p2 > 0,03)
Cap.7 Distribuciones muestrales
=?
0,03 − ( 0,25 − 0,20) − 0,02 = = − 0,34 0,0589 0,0589
Z =
Z = −0,34 ⇒ A (0,1331) P = 0,5000 + 0,1331 = 0,6331
P( p1 −
p2 ≥ 0,03)
= 63,31%
89. Solución: P1 =
Z =
50 = 0,50 100
P2 = 0,50
n1 = 36
n2 = 36
P( p1 −
p2 > 0,22
) =?
0,22 − 0 0,22 = = 1,87 y −1,87 0,1179 0,5 ( 0,5) 0,5 ( 0,5) + 36 36
Z = 1,87 ⇒ A ( 0,4693) ;
Z = −1,87 ⇒ A (0,4693)
= 1 − [0,4693 − 0,4693] = 1 − 0,9386 = 0,0614
P( p1 −
p2 ≥ 0,22
) = 6,14%
90. Solución:
45
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.7 Distribuciones muestrales
P1 = 0,08 P2 = 0,12 n1 = 40 n2 = 40 P( p1 − p2 〈 0,03 ) = ? 0,03 − ( 0,08 − 0,12) 0,070 = = 3,33 0,021 0,08 ( 0,5) 0,12 ( 0,88) + 400 400
Z =
Z =
− 0,03 − ( 0,08 − 0,12) 0,010 = = 0,48 0,021 0,021
Z = 3,33 ⇒ A ( 0,4996) ; Z = 0,48 ⇒ A ( 0,1844) P = 0,4996 − 0,1844 = 0,3152
P( p1
− p2 ≤ 0, 03
) = 31,52%
TAMAÑO DE MUESTRA M.A.S. 91. Solución: N = 10.000
n=
E = 5.000
P = 95%
σ = 30.000
n =?
N Z 2 σ2 ( N −1) E 2 + Z 2 σ 2
46
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
n =
Cap.7 Distribuciones muestrales
10.000 (1,96 ) 2 ( 30.000 ) 2
(10.000 −1) 5.000 2
n =137 personas
+ 1,96 2 ( 30.000 )
2
= 136,42 ≅ 137 personas
92. Solución: P = 0,36
E =Z
E =?
PQ n
E = 1,96
n = 300
Z = 1,96
N = 8.000
N −n N −1
0,36 ( 0,64 ) 300
8.000 − 300 8.000 − 1
E = 0,0532 (Error)
E = 5,32%
93. Solución: E = 3% P = 0,50
n=
N = 5.000
Z = 1,96
;
Como no se conoce P, se tiene que
N Z2 PQ ( N −1) E 2 + Z 2 PQ
5.000 (1,96) ( 0,50 ) ( 0,50 ) n = = 880 ( 5.000 − 1) 0,032 + 1,96 2 ( 0,5) ( 0,5) 2
mujeres casadas
n =880
mujeres casadas
94. Solución: σ =18.000
a) n = ?
E = 3.000
Z = 2,57
47
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.7 Distribuciones muestrales
2
n=
Z 2 σ2 Zσ = E2 E
2
2,57 ×18.000 n = = 237,78 ≅ 238 estudiantes universitarios 3.000
b) Siendo N =12.000 ¿cuál es el valor de n?
n0 n= n 1+ 0 N n=
Z2 σ 2 n0 = = 237,78 E2
⇒
237,78 = 233,16 ≅ 234 estudiantes universitarios 237,78 1+ 12.000
c) El cálculo para totales, arroja un resultado, igual al anterior siendo de 234 estudiantes universitarios. 95. Solución: n
preliminar
= 70
a) n = ? Z = 1,96
n=
N = 3.600 trabajadores
x = 40 minutos → x = E = 5% de x
(
→
40 = 0,67 horas 60
σ 2 = 2,4 horas 2
E = 0,05 ( 0,67 ) = 0,0335
)
3.600 1,96 2 ( 2,4 ) = 2.503,35 ( 3.600 − 1) 0,03352 + 1,96 2 ( 2,4)
n = 2.504
trabajadores
44 = 0,63 b) P = 70
Z = 1,96
N = 3.600
E = 10%
48
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.7 Distribuciones muestrales
n=
N Z 2 PQ ( N −1) E 2 + Z 2 PQ
n=
3.600 (1,96 ) ( 0,63) ( 0,37 ) = 87,40 ( 3.600 −1) 0,10 2 + 1,96 2 ( 0,63) ( 0,37 ) 2
n = 87,40 = 88 trabajadores
c) E = 0,05 ( 842,86 ) = 42,14
x = 59.000 = 842,86 70 n=
(
2
)(
2
)
Z = 1,96
N = 3.600
S = 325
3.600 1,96 325 = 214,92 ( 3.600 −1) 42,14 2 + 1,96 2 3252
(
)
n = 215 trabajadores
Se toma el mayor valor de los n calculados, es este caso el tamaño muestral para la investigación es de 215 trabajadores. 96. Solución: P = 0,60
a) n =
n=
E = 0,03
P = 95,5% = Z = 2
Z 2 PQ E2 22 ( 0,6) ( 0,4) = 1.066,67 ≅ 1.067 familias con vehículo propio 0,032
b) R/ aumenta el tamaño de la muestra (es el valor máximo de n) 49
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
n=
Cap.7 Distribuciones muestrales
22 ( 0,5) ( 0,5) 22 ( 50) ( 50) = = 1.111,11 = 1.112 familias con carro propio 0,032 32
Si P = 90 el valor de n se reduce n=
c)
n=
22
( 0,9 ) ( 0,1) 0,032
n0 n 1+ 0 N
=
=
2 2 ( 90 ) (10 ) = 400 familias con carro propio 32
1.066,67 = 963,86 ≅ 964 familias con carro propio 1.066,67 1+ 10.000
97. Solución: E = 0,03
n=
P = 97,5 % ⇒ Z = 2,24
N = 20.000
P = 85%
20.000 ( 2,24 ) 2 ( 0,85) ( 0,15) = 686,46 = 687 artículos ( 20.000 −1) 0,032 + 2,24 2 ( 0,85) ( 0,15)
98. Solución: P = 0,20
n=
n =?
E = 7%
Z = 2,57
2,57 2 ( 0,2 ) ( 0,8) 2,57 2 ( 20 ) ( 80 ) = = 215,67 ≅ 216 personas adultas 0,07 2 72
99. Solución: N = 365
n=
σ = 12
n =?
E =2
Z = 1,64 ó 1,65
( )
1,64 2 ( 365) 12 2 = 76,69 = 77 días ( 365 −1) 2 2 + 1,642 (12) 2
50
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.7 Distribuciones muestrales
100. Solución: E = 5.000
riesgo de 0,045 ⇒ 1 − 0,045 = 0,955 = 95,5% ⇒ Z = 2
σ = 28.000
n =?
n=
2 2 ( 28.000) 5.000 2
2
= 125,44 ≅ 126 familias de clase media de un barrio
101. Solución: E = 4%
n=
P = 95,5% ⇒ Z = 2
n =?
N = 3.200
( )
3.200 2 2 ( 0,50 ) ( 0,50 ) = 523,01 ≅ 524 estudiantes de cierta ( 3.200 − 1) 0,04 2 + 22 ( 0,5) ( 0,5)
universidad privada 102. Solución: Z = 2,57
n0 =
n=
E = 2%
N = 10.000
P = 0,50 (dado que no se conoce P)
2,57 2 ( 0,5) ( 0,5) 2,57 2 ( 50) ( 50) = = 4.128,06 0,02 2 22
n0 4.128,06 = = 2.921,89 ≅ 2.922 elementos n0 4.128,06 1+ 1+ 10.000 N
103. Solución: E = 0,10 litros
n=
Z =1,96
σ2 = 0,90 consumo de oxígeno, litros por minuto2
1,96 2 ( 0,90 ) = 345,74 ≅ 346 estudiantes entre 17 y 21 años 0,10 2
51
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.7 Distribuciones muestrales
104. Solución: N = 1.500
Z = 2,57
E = 10
minutos
σ2 = 60 2 (3,25) =11.700
minutos2 1.500 ( 2,57 ) 2 (11.700) = 510,24 ≅ 511 empleados (1.500 −1) 102 + 2,57 2 (11.700)
n=
105. Solución: N = 12.500
s = 30.000
( )(
n =?
E = 3.000
Z =2
)
12.500 2 2 30.000 2 = 387,63 = 388 hogares en una ciudad (12.500 − 1) 3.0002 + 22 ( 30.000) 2
n=
106. Solución: n =?
n=
P = 0,72
E = 0,12
Z = 1,96
1,96 2 ( 0,72 ) ( 0,28) 1,96 2 ( 72 ) ( 28) = = 53,78 ≅ 54 ciudadanos 0,12 2 12 2
107. Solución: a) n = ? n=
b) n =
E = 0,05
Z = 1,96
P = 0,50
1,96 2 ( 0,5) ( 0,5) 1,96 2 ( 50 ) ( 50 ) = = 385 reses 0,052 52 1,96 2 ( 0,28) ( 0,72 ) 1,96 2 ( 28) ( 72 ) = = 309,79 ≅ 310 reses 0,052 52
52
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
c) N = 2.000 n=
E = 0,02
Cap.7 Distribuciones muestrales
P = 0,50
2.000 (1,96 ) 2 ( 0,5) ( 0,5) = 1.091,36 ≅ 1.092 reses ( 2.000 − 1) 0,022 + 1,962 ( 0,5) ( 0,5) 2.000 (1,96 ) ( 0,28) ( 0,72) = 984,03 = 985 reses ( 2.000 − 1) 0,022 + 1,962 ( 0,5) ( 0,5) 2
n=
108. Solución: n =?
n=
E = 0,04
P = 0,90 ⇒ Z = 1,64
P = 0,30
1,64 2 ( 0,3) ( 0,7 ) 1,64 2 ( 30 ) ( 70 ) = = 353,01 ≅ 354 hogares 0,04 2 42
109. Solución: a) n = ? n=
b)
n=
E = 0,03
Z = 1,96
P = 0,20
1,962 ( 0,2 ) ( 0,8) 1,96 2 ( 20 ) ( 80 ) = = 682,95 ≅ 683 alumnos 0,032 32
n0 682,95 = = 613,16 ≅ 614 alumnos n0 682,95 1+ 1+ 6.000 N
110. Solución: E = 3 horas
n=
Z = 1,96
s = 20 horas
N = 200
1,96 2 ( 200 ) ( 20 ) = 92,36 = 93 supervisores ( 200 − 1) 32 + 1,962 202
n = 93 supervisores
2
(
)
53
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.7 Distribuciones muestrales
111. Solución:
a)
n =?
n=
b)
n=
E =$2.400
1,96 2 (13.000 ) 2.400 2
2
Z =1,96
s =$13.000
= 112,71 = 113 familias de un barrio de la ciudad
n0 112,71 = = 103,03 ≅ 104 familias de un barrio de la ciudad n0 112,71 1+ 1+ 1.200 N
n =113 familias
112. Solución: N = 2.000
n =
E = 30.000 ( 0,03) = 900
σ = 2.980
Z = 2,57
2.000 ( 2,57) ( 2.980) = 69,92 = 70 ( 2.000 − 1) 9002 + 2,572 ( 2.980) 2 2
2
n = 70 profesores universitarios
113. Solución: E = 22.000
Z =2
n =?
σ = 88.000
2 2 ( 88.000) 2 n= = 64 22.000 2 n = 64 familias
114. Solución:
54
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
yi
ni
1 2 3 4 5 6 7 Σ s2 =
n=
1 34 15 28 25 24 7 134
544 − 40(3,35) 40 −1
N = 4.000
yi2 ni
yi ni
1 17 5 7 5 4 1 40
2
Cap.7 Distribuciones muestrales
y =
1 68 45 112 125 144 49 544
∑ yi ni = 134 = 3,35 n 40
= 2,44
Z = 1,96
E = 0,05( 3,35) = 0,17
E = 5%
4.000 (1,96 ) 2 ( 2,44 ) = 301 ( 4.000 − 1) 0,17 2 + 1,96 2 ( 2,44)
n = 301 explotaciones
115. Solución: yi
ni
0 1 2 3 4 5 6 7 Σ s2 =
10 9 5 2 2 0 1 1 30 164 − 30 (1,53) 30 − 1
N = 7.800
yi2 ni
yi ni
Z =2
0 9 10 6 8 0 6 7 46 2
0 9 20 18 32 0 36 49 164
y =
∑ yi ni = 46 = 1,53 n 30
= 3,22 piezas con caries2 E = 5%
a) Estimación del promedio E = 0,05 (1,53) = 0,08 55
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
n=
Cap.7 Distribuciones muestrales
7.800 ( 2 ) ( 3,22 ) = 1.600 estudiantes matriculados ( 7.800 − 1) ( 0,08) 2 + 2 2 ( 3,22) 2
b) Proporción → son 20 estudiantes con caries 7.800 ( 2 ) ( 0,67 ) ( 0,33) = 338,45 = 339 p = 20 = 0,67 n = 30 ( 7.800 − 1) ( 0,05) 2 + 22 ( 0,67 ) ( 0,33) estudiantes 2
Nota: se toma como n el mayor valor, en este caso n =1.600 estudiantes matriculados
116. Solución: a) Promedio de personas por familia
s2 =
276 − 17 (3,76) 17 − 1
N = 1.200
n=
2
x =
Σ xi = 64 = 3,76 n 17
= 2,23
Z = 1,96
E = 5%
E = 0,05 ( x ) = 0,05 (3,76 ) = 0,188
1.200 (1,96 ) ( 2,23) = 201,79 = 202 familias (1.200 − 1) 0,1882 + 1,962 ( 2,23) 2
(
)
6 = 0,35 b) Proporción de familias con suscripción: son 6 ⇒ p = 17 n=
E = 5%
1.200 (1,96 ) ( 0,35) ( 0,65) = 270,89 = 271 familias (1.200 − 1) ( 0,05) 2 + 1,96 2 ( 0,35) ( 0,65) 2
56
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.7 Distribuciones muestrales
117. Solución: P = 95% → Z = 1,96
E = 5%
n =?
n piloto = 30 cuentas
12 = 0,40 a) Proporción de cuentas que indican gastos de trabajo p = 30 n=
1,96 2 ( 0,4 ) ( 0,6 ) 1,96 2 ( 40 ) ( 60 ) = = 368,79 = 369 cuentas 0,052 52
5.400.000 = 180.000 30
b) x =
E = 180.000 ( 0,05) = 9.000
s 2 = 20.0002
pesos2
n=
1,96 ( 20.000) 9.0002 2
2
1,96 ( 20.000) Cuentas = = 19 9.000 2
Nota: se selecciona, el primer resultado (n = 369) por ser el más alto. En este ejercicio no se conoce el tamaño poblacional.
118. Solución: a) Promedio de alumnos por colegio s2 =
Σ xi = 44.988 = 499,88 n 100
36.248.004 − 499,88 2 = 112.600,03 100
N = 4.680
n=
x =
P = 95% → Z = 1,96
E = 0,08 ( 499,88) = 39,99
4.680 (1,96 ) (112.600,03) = 255,76 ≅ 256 planteles ( 4.680 − 1) ( 39,99) 2 + 1,962 (112.600,03) 2
46 = 0,46 b) Proporción de colegios privados p = 100 57
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
n=
Cap.7 Distribuciones muestrales
4.680 (1,96 ) ( 0,46 ) ( 0,54 ) = 144,53 ≅ 145 planteles ( 4.680 − 1) ( 0,08) 2 + 1,962 ( 0,46) ( 0,54) 2
119. Solución: a)
s = $44.000
n =
b)
Z =1,96
(1,96) 2 ( 44.000) 2 ( 20.000) 2
s =$ 44.000
n=
n =?
= 19 cuentas
Z =1,96
(1,96) 2 ( 44.000 ) 2 ( 30.000) 2
E = $20.000
n =19 cuentas
E = $30.000
n =?
= 9 cuentas n = 9 cuentas
120. Solución: N = 30.000
E = 0,02
Z = 2,57
P = 0,50 ( se toma 0,5 ya que no se conoce)
n =?
n=
( 30.000) ( 2,57 ) 2 ( 0,50) ( 0,50) ( 30.000) ( 0,02) 2 + ( 2,57 ) 2 ( 0,50 ) ( 0,50 )
= 3.629
n = 3.629 amas de casa
121. Solución: N = 365
E =3
σ 2 = 144 accidentes diarios 2
n =?
58
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
n=
(1,64) 2 ( 365) (144) ( 365) ( 3) 2 + (1,64) 2 (144)
Cap.7 Distribuciones muestrales
= 39 días
n = 39 días
122. Solución: σ 2 = ( 20.500) 2 pesos 2
a) E = 2.400
n p = 80 Z = 1,96
(1,96) 2 ( 20.500) 2 n = ( 2.400) 2
n = 288 familias
b) N = 2.000 n=
n =? n =?
2 1 + = 288 familias 80
n =?
288 = 252 288 familias 1+ 2.000
n = 252 familias
123. Solución: E = 20.000
σ = 80.000
P =1 − 0,045 = 0,9550
n=
( 2) 2 ( 80.000) 2 ( 20.000) 2
Riesgo : nivel de significación
P = 95,5% ⇒ Z = 2
= 64
n = 64 familias de clase media
59
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.7 Distribuciones muestrales
124. Solución: E = 0,05
n=
Riesgo = 0,045 ⇒ Z = 2
( 2) 2 ( 0,50) ( 0,50 ) ( 0,05) 2
P = 0,50 (no se conoce)
= 400
n =?
n = 400 estudiantes
125. Solución: N = 628
n=
σ 2 = 25.000 ventas 2
E = 80
(1,96) 2 ( 628) ( 25.000) 2 628 (80 ) + 1,96 2 ( 25.000 )
Z = 1,96
n =?
= 15
n = 15 caminones repartidores
126. Solución: N = 4.000
a)
E = 0,02
n=
b)
P = 45% o 65% ⇒ se toma el más cercano a 0,5 en este caso P = 0,45
( 4000) (1,64) 2 ( 0,45) ( 0,55) ( 4000) ( 0,02) 2 + (1,64) 2 ( 0,45) ( 0,55)
E = 0,01
n=
Z = 1,64
= 1.176 viviendas
P = 5% o 10% ⇒ se toma el más cercano a 0,50 en este caso P = 0,10
( 4000) (1,64) 2 ( 0,10) ( 0,90) ( 4000) ( 0,01) 2 + (1,64) 2 ( 0,10) ( 0,90)
= 1.509 viviendas
Se toma n = 1.509 viviendas por ser el mayor valor obtenido para n. 127. Solución: a) E = 25 horas;
σ = 100 horas;
Z = 1,96
n =?
60
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2 2 ( 1,96 ) (100 ) n= ( 25) 2
Cap.7 Distribuciones muestrales
= 62 bombillas
b) N =1.000 n=
(1,96) 2 (1.000) (100) 2 (1.000) ( 25) 2 + (100) 2 (1,96) 2
= 58 bombillas
128. Solución: n =?
n=
Z = 1,64
E = 0,05
N = 5.000
( 5.000) (1,64) 2 ( 0,50 ) ( 0,50 ) ( 5.000) ( 0,05) 2 + (1,64) 2 ( 0,50 ) ( 0,50 )
P = 0,50 ( no se conoce)
= 256 títulos
129. Solución: a)
σ = 10
Z = 1,96
(1,96 ) 2 (10 ) 2 n = ( 3,6) 2
b) P = 0,75 n=
E = 0,06 × 60 = 3,6
n p = 30
x = 1 hora = 60 minutos
1 + 2 = 32 clientes 30
Q = 0,25
(1,96) 2 ( 0,75) ( 0,25) ( 0,06) 2
Z = 1,96
E = 0,06
= 201 clientes
n = 201 clientes, se toma el mayor valor
130. Solución: n =?
n=
Z = 1,96
E = 0,08
N = 5.000
( 5000 ) (1,96) 2 ( 0,50 ) ( 0,50 ) ( 5000) ( 0,08) 2 + (1,96) 2 ( 0,50) ( 0,50)
P = 0,50
= 146 unidades
61
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Cap.7 Distribuciones muestrales
131. Solución: n = 200
Z = 2,57 PQ N
E =Z
P=
E = 2,57
20 = 0,10 200
( 0,10 ) ( 0,90) 200
= 0,0545
E = 5,45%
132. Solución: n=?
n=
E = 0,02
Z = 1,96
(1,96) 2 ( 0,25) ( 0,75) ( 0,02) 2
P=
1 = 0,25 4
= 1.801 Conductores con experiencia de un año o menos
133. Solución: n =?
n=
E = 12.500
Z = 1,96
N = 7.000
σ = 95.000 pesos ($)
(1,96) 2 ( 7.000) ( 95.000) 2 = 216 cuentas de crédito ( 7.000) (12.500) 2 + (1,96) 2 ( 95.000) 2
134. Solución: a) n = ? n=
Z = 1,96
N = 3.000
( 3.000) (1,96) 2 ( 0,50) ( 0,50) ( 3.000) ( 0,03) 2 + (1,96) 2 ( 0,50) ( 0,50 )
b) n = ? n=
E = 0,03
E = 0,03
Z = 1,96
= 788 tarjetas perforadas
N = 3.000
( 3.000) (1,96) 2 ( 0,72) ( 0,28) ( 3.000) ( 0,03) 2 + (1,96) 2 ( 0,72) ( 0,28)
P = 0,50 ( no se conoce P )
P = 0,72 ( el más cercano a 0,5)
= 669 tarjetas perforadas
62
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Cap.7 Distribuciones muestrales
135. Solución: n =?
n=
E = 0,005
Z = 1,96
N = 50.000
( 50.000) (1,96) 2 ( 0,10) ( 0,90) ( 50.000 ) ( 0,005) 2 + (1,96 ) 2 ( 0,10 ) ( 0,90)
P = 0,10
= 10.834 suscriptores
136. Solución: a) n = ?
E = 0,01
Z = 2,33
N = 5.000
2 ( 50.000 ) ( 2,33) (1 / 7 ) ( 6 / 7 ) n= ( 50.000 ) ( 0,01) 2 + ( 2,33) 2 (1 / 7 ) ( 6 / 7 )
P=1 7
= 2.854 vehículos
b) Los 5.000 vehículos que se van a producir. 137. solución: a) b) c) d) e)
Falso. Teóricamente no debe haber sustitución. Verdadero. Falso. Debe ser en un orden determinado. Falso. Pro el contrario disminuye el tamaño. Falso. Deben tener igual posibilidad de selección.
138. Solución: n=?
n=
E = 0,03 = 3%
Z = 1,96
N = 5.600
( 5.600) (1,96) 2 ( 0,50) ( 0,50 ) ( 5.600) ( 0,03) 2 + (1,96) 2 ( 0,50 ) ( 0,50)
P = 28 = 0,5 56
n p = 56
= 897 egresados (se cálculo sin corregir)
139. Solución: n =?
N = 500 supervisores
63
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
a)
Z = 1,96
n=
n=
σ 2 = 400 horas2
E =3
(1,96 ) 2 ( 500) ( 400) ( 500) ( 3) 2 + (1,96) 2 ( 400)
b) Z = 1,96
Cap.7 Distribuciones muestrales
= 128 supervisores
E = 0,05
P = 0,6
( 500) (1,96) 2 ( 0,6) ( 0,4 ) ( 500) ( 0,05) 2 + (1,96) 2 ( 0,6) ( 0,4 )
= 213 supervisores
Se tiene el mayor valor de n, en este caso, n = 213 supervisores 140. Solución: n =?
E =2
Z = 1,64
N = 15
Σ X i2 − N X 2 640 − 15 ( 6 ) σ = = N 15 2
X = n=
σ2 = 6,67 valores2
2
= 6,67
ΣXi = 90 = 6 N 15
(1,64) 2 (15) ( 6,67 ) (15) ( 2) 2 + (1,64) 2 ( 6,67 )
= 4 unidades o valores
141. Solución: n =?
n=
E = 10.000
Z = 1,64
N = 1.500
σ = 20.000 pesos ($)
(1,64) 2 (1.500) ( 20.000) 2 = 11 cuentas (1.500) (10.000) 2 + (1,64) 2 ( 20.000) 2
142. Solución: n=?
E = 0,03
Z = 2,24
N = 20.000
P = 85 = 0,85 100
64
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n=
( 20.000) ( 2,24) 2 ( 0,85) ( 0,15) ( 20.000) ( 0,03) 2 + ( 2,24 ) 2 ( 0,85) ( 0,15)
Cap.7 Distribuciones muestrales
= 687 artículos
143. Solución: n=?
E = 0,05
Z = 1,64
N = 700
P = 14 = 0,35 40
1,642 ( 0,35) ( 0,65) 2 no = 1+ = 256,99 2 40 0 , 05
no =
n=
256,99 = 188 256,99 hogares 1+ 700
(se realizó con corrección)
( 700) (1,64 ) 2 ( 0,35) ( 0,65) ( 700) ( 0,05) 2 + (1,64 ) 2 ( 0,35) ( 0,65)
= 182 hogares (se realizó sin corrección)
144. Solución: n = 225
E = 1,96
E =?
Z = 1,96
( 0,4) ( 0,6) 225
N = 6.000
P = 0,4 = 90 225
6.000 − 225 = 0,0628 6.000
E = 6,28%
145. Solución: E = 12.000
Z = 1,96
N = 400
Rango = 70.000
Rango = X max − X min = 150.000 − 80.000 = 70.000
n=
( 400) (1,96) 2 ( 70.000) 2 ( 400) (12.000) 2 + (1,96 ) 2 ( 70.000) 2
= 99 clientes
65
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Cap.7 Distribuciones muestrales
NOTA: Se toma como varianza el rango, recorrido u oscilación. 146. Solución: E =5
Z = 1,96
N = 5.000
P = 1 − 0,05 = 0,95
⇒
Riesgo = 0,05
σ2 = 252
kgs2 n=
( 5.000) (1,96) 2 ( 25) 2 ( 5.000) ( 5) 2 + (1,96) 2 ( 25) 2
= 95 varillas de acero
147. Solución: E = 0,5
Z = 1,96
σ = 1,9 kpg.
n=
(1,96) (1,9 ) 2 0,52
= 56 viajes
148. Solución: a) n = ?
E = 0,06
Z = 1,96
n p = 30
P = 12 = 0,4 30
(1,96 ) 2 ( 0,6 ) ( 0,4 ) 1 + 2 n = = 274 cuentas 2 30 0 , 06
b) x =
5.400.000 = 180.000 30
(1,96 ) 2 ( 20.000) 2 n = 10.800 2
E = 0,06 (180.000) = 10.800
Z = 1,96
1 + 2 = 15 cuentas 30
Se debe tomar como n = 274 cuentas por ser el mayor resultado. 149. Solución: n =?
n=
E = 0,09
Z =2
N = 360
P = 0,5 ( no se conoce P )
360 ( 4 ) ( 0,5) ( 0,5) = 92 fábricas de helados 2 360 ( 0,09) + 4 ( 0,5) ( 0,5)
66
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Cap.7 Distribuciones muestrales
150. Solución: a)
E = 0,02 ( 750.000 ) =15.000
n =?
n=
Z =1,96
σ2 = $40.0002
N =10.000
10.000 ( 3,8416) ( 40.000) = 28 obreros 2 2 10.000 (15.000) + ( 3,8416) ( 40.000) 2
Z =1,962 = 3,8416
10.000 (1,96 ) ( 0,4 ) ( 0,6 ) = 143 obreros 2 10.000 ( 0,08) + 1,96 2 ( 0,4 ) ( 0,6 ) 2
b)
n=
151. Solución: a) n = ? n=
E = 0,03
(1,96 ) 2 ( 0,21) ( 0,79) 0,032
b) n = ? n=
Z = 1,96
E = 0,03
P = 0,21
= 709 ejecutivos subalternos
Z = 1,96
N = 520
P = 0,5 ( no se conoce P )
520 ( 3,8416 ) ( 0,5) ( 0,5) = 350 ejecutivos subalternos 2 520 ( 0,03) + ( 3,8416 ) ( 0,5) ( 0,5)
152. Solución: a)
x = 5,2 ( 30) = 156 días
Z = 1,64
n p = 25
s = 14 días
E = 0,015 (156 ) = 2,34
N = 620
n=
620 (1,64 ) (14 ) = 84 vendedores 2 2 2 620 ( 2,34 ) + (1,64 ) (14 )
b) n = ?
2
E = 0,12
2
Z = 1,64
N = 620
P = 0,62
n p = 25
67
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n=
Cap.7 Distribuciones muestrales
620 (1,64 ) ( 0,62) ( 0,38) = 42 vendedores 2 2 620 ( 0,12) + (1,64 ) ( 0,62 ) ( 0,38)
Se toma
2
n = 84 vendedores por ser el mayor valor de n.
153. Solución: N = 5.000
ETOTAL = 3.000
σ 2 = 36
E promedio =
3.000 = 0,60 gramos 5.000
5.000 (1,96) ( 36) = 357 pollitos 2 2 5.000 ( 0,6) + (1,96) ( 36) 2
n =
154. Solución: N = 4.000
y =
E = 0,6 ( prom )
156 = 1,95 80
s2 =
⇒ E = 0,12 ( prop )
1.036 − 80 (1,95) = 9,15 80 2
Z = 1,96
n p = 80
( a ) E = 0,06 (1,95) = 0,12 ( b) E = 0,12 = 12%
( proporción)
a) yi 0 1 2 4 5 8 10 12 Σ
n=
ni
yi ni 37 16 8 8 4 2 2 3 80
0 16 16 32 20 16 20 36 156
yi2 ni
0 16 32 128 100 128 200 432 1.036
(1,96) 2 ( 4.000) ( 9,15) 2 2 4.000 ( 0,12 ) + (1,96 ) ( 9,15)
n =1.516
= 1.516
cajas
68
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Cap.7 Distribuciones muestrales
4.000 (1,96) ( 0,54 ) ( 0,46 ) n= = 66 2 2 4.000 ( 0,12 ) + (1,96 ) ( 0,54 ) ( 0,46) 2
n = 66
cajas p = 43 = 0,54 80 Se toma el mayor valor:
1.516 cajas
155. Solución: a) n = ?
E = 0,005
( Se toma el n=
N = 5.000
P = 0,10
% más cercano a 0,5 como p )
5.000 (1,96 ) ( 0,10 ) ( 0,90 ) = 3.673 clientes 2 2 5.000 ( 0,005) + (1,96 ) ( 0,10 ) ( 0,90 ) 2
E = 0,005 ( 23.000 ) =115
b) n = ? n=
Z = 1,96
Z =1,96
N = 5.000
σ =$1.500
5.000 (1,96 ) (1.500 ) = 579 clientes 2 2 2 5.000 (115) + (1,96) (1.500 ) 2
2
n = 3.673 (se toma el valor mayor como n)
156. Solución: n = 200
P = 0,1
E = 1,96
Z = 1,96
( 0,1) ( 0,9) 200
E =?
p = 20 = 0,10 200
= 0,0415
E = 4,15%
157. Solución: n =?
E = 6%
Z = 1,96
N = 2.000
P = 0,04
69
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n=
Cap.7 Distribuciones muestrales
2.000 (1,96 ) ( 0,04 ) ( 0,96 ) = 41 cuentas 2 2 2.000 ( 0,06 ) + (1,96 ) ( 0,04 ) ( 0,96 ) 2
158. Solución: a. Los estimadores son medidas, aplicadas a las características de los elementos o unidades en una muestra, en cambio, los parámetros se aplican en la población. b. Población: es un conjunto de elementos o unidades y la Muestra corresponde a un conjunto de elementos o unidades de una parte de la población. c. Como su nombre lo indica, describe el comportamiento de las características de los elementos, a través de cuadros gráficas y medidas que le son aplicadas. La inferencia consiste en extraer una muestra, con la cual se obtienen unos resultados que son considerados como correspondiente al comportamiento de toda una población. d. Cuando todos los elementos de una población tienen la misma posibilidad de ser seleccionados. El no aleatorio, es una muestra resgada es decir, no tienen ninguna confiabilidad, dado que los elementos son seleccionados en forma caprichosa, por conveniencia, en forma voluntaria o en forma intencional. 159. Solución: a. Cuando la población no es normal, si se extrae muestras pequeñas (n < 30), la distribución que se obtienen con todas ellas, conforman una distribución no normal, por el contrario, si las muestras son grandes (n > 30), se establece con ellas una distribución normal, aunque la población de origen de esas muestras no lo sea. b. Son 4 condiciones de gran importancia: insesgado, consistente, eficiente y suficiente. c. Es aquella, en que todas las muestras pueden ser escogidas conforme a un esquema de muestras especificado, es decir, que implique selección al azar, correspondiente a un número fijo de variables aleatorios independientes EJERCICIOS MISCELÁNEOS 160. Solución: n1 = 150
x = 775.000
σx =20.000
n2 = 120
y = 780.000
σy = 20.000
µ x = µy
70
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Z =
( 775.000 − 780.000) − ( 0 ) 20.000 150
2
+ 20.000 120
2
Cap.7 Distribuciones muestrales
= − 5.000 = − 2,04 2.449,49
Z = − 2,04 → A ( 0,4793) 0,5000 − 0,4793 = 0,0207 = 2,07%
P( x
− y > −5.000 )
= 2,07%
161. Solución: µ = 4,8 mill. $
σ = 1,5 mill $
exceda en 0,3 mill . $
Z =
P ( x > 5,1) = ?
n = 100
⇒ 4,8 + 0,3 = 5,1 mill . $
5,1 − 4,8 0,3 100 = = 2 ⇒ A ( 0,4773) 1,5 1,5 100
A = 0,5000 − 0,4773 = 0,0227 = 2,27%
P( x
> 5.1)
= 2,27%
162. Solución: n = 64
(a) Se detiene si es superior al punto crítico, pues se rebosa 71
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
σ = 2,5
Cap.7 Distribuciones muestrales
(b) Se continua, en caso contrario, funcionamiento normal
A = ( 0,5000 − 0,0500 ) = 0,4500 ⇒Z = 1,64 o 1,65
1,65 =
x − 407,5 2,5 64
→
2,5 1,65 = x − 407,5 64
x = 407,5 + 0,064 = 407,56
x = 407,56
gramos
163. Solución: n = 400
Z =
P ( p − P > 0,03
) =?
0,23 − 0,20 0,03 = = 1,5 ⇒ A ( 0,4332 ) 0,02 0,2 ( 0,8) 400
72
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Z =
Cap.7 Distribuciones muestrales
0,17 − 0,20 − 0,03 = = −1,5 ⇒ A ( 0,4332 ) 0,02 0,02
P =1 − ( 0,4332 + 0,4332 ) = 0,1336 =13,36% P( p
−P >
0 , 03
) =13,36%
P(17
> p > 0 , 23 )
= 13,36%
164. Solución: N = 10.000
n=
σ = 3.000
E = 380
P = 95% ⇒ Z = 1,96
10.000 (1,96 ) ( 3.000 ) ≅ 234 Familias de clase media de la ciudad 2 2 10.000 ( 380) + 1,962 ( 3.000 ) 2
2
165. Solución: N = 3.600
n=
npreliminar = 0,01 ( 3.600 ) = 36
p = 28 = 0,78 36
3.600 (1,96 ) ( 0,78) ( 0,22 ) = 609 egresados 2 3.600 ( 0,03) + 1,96 2 ( 0,78) ( 0,22 ) 2
166. Solución: a. Consiste en recolectar la mayor información en el menor costo posible b. Es correcta la afirmación. c. Prácticamente se puede decir, que es la diferencia que puede haber entre el valor del parámetro y el del estimador. d. Se dice que es mejor, cuando la característica investigada en la muestra, tiene un alto grado de homogeneidad. 167. Solución:
73
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
p1 =
12 = 0.10 120
p2 =
16 = 0,13 120
Cap.7 Distribuciones muestrales
P( p1 − p2
> 0 , 03
)
= ?
0,03 − 0,03 =0 ( 0,1) ( 0,9) + ( 0,13) ( 0,87 ) 120 120
Z =
Z =
− 0,03 − 0,03 − 0,06 = = −1,5 ⇒ A ( 0,4332 ) 0,04 0,04
P = 0,5000 + 0,0668 =0,5668 = 56,68%
P( p1
− p 2 > 0 , 03 )
= 56,68%
168. Solución: µ = 10
σ = 0,82
n = 25
x=?
A ( 0,4000 ) ⇒Z = 1,28
1,28 =
x −10 0,82 25
x = 10 + 1,28
0,82 25
x =10 + 0,21 =10,21
x =10,21
onzas
169. Solución: µ = 8 horas
a)
σ n
σ = 2 horas
n = 20
= error estándar de la media ⇒σ x =
2 20
= 0,45
b) P( 7 ≤ x ≤ 8,5 ) = ?
74
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Z =
7 −8 = −1 = − 2,22 ⇒ A( 0,4868) 0,45 0,45
Z =
8,5 − 8 = 1,11 ⇒ A ( 0,3665) 0,45
P =0,4868 + 0,3665 = 0,8533 = 85,33%
Cap.7 Distribuciones muestrales
P(7〈 x〈 8, )5 = 85,3 %
c) P ( x > 9 ) = ? Z =
9 −8 = 1 = 2,22 ⇒ A ( 0,4868) 0,45 0,45
P = 0,5000 − 0,4868 = 0,0132 =1,32%
P( x 〉 9) = 1,32% 170. Solución: P = 0,10
Z=
n = 30
P ( p > 0, 27 ) = ?
0,27 − 0,10 = 3,10 ⇒ A ( 0,4990 ) 0,1 ( 0,9 ) 30
P = 0,5000 − 0,4990 = 0,0010 = 0,10%
P( p > 0, 27 ) = 0,10%
75
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Cap.7 Distribuciones muestrales
171. Solución: P1 = 0,12
a) P( p1
P2 = 0,15
− p 2 > 0 , 03
n1 = 70
n2 = 90
) =?
P1 −P2 = 0,12 − 0,15 = −0,03
0,03 −( − 0,03) 0,06 = = 1,09 0,055 0,12 ( 0,08) 0,15 ( 0,85) + 70 90
Z =
− 0,03 − (− 0,03) 0 = =0 0,055 0,055 Z 〈 0 ⇒ A(0,5000) Z=
Z =1,09 ⇒A( 0,3621) A ( 0,5000 − 0,3621) = 0,1379 + 0,5000 = 0,6379 = 63,79%
P( p1 − p2
> 0 , 03
b) P( p1 − p2 Z =
) = 63,79%
> 0)
= P( p1 > p2 ) = ?
0 − ( − 0,03) 0,03 = = 0,55 ⇒ A ( 0,2088) 0,055 0,055
A = 0,5000 − 0,2088 = 0,2912 = 29,12%
76
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Cap.7 Distribuciones muestrales
P( p1 − p2
> 0)
= 29,12%
77
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Cap.8 Prueba de hipótesis y límites de confianza
8 Prueba de hipótesis y límites de confianza EJERCICIOS RESUELTOS
DISTRIBUCIONES DE MEDIAS MUESTRALES (muestras grandes)
1. Solución: x = 82
σ = 15
n = 25
1) H 0 : µ = 86 H a : µ ≠ 86
2) ∝= 0,05
3) σ = 15
4) Z = 82 − 86 = 15 25
− 4(5) − 20 = = −1,33 15 15
Aceptamos que µ = 86 ya que − 1,33 se ubica en la zona de aceptación.
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Cap.8 Prueba de hipótesis y límites de confianza
2. Solución: x = 82
s = 15
n = 100
1) H 0 : µ = 86 H a : µ ≠ 86
2) ∝= 0,05
3) s = 15
4) Z = 82 − 86 = 15 100
− 4(10) − 40 = = −2,67 15 15
Rechazamos la hipótesis de que µ = 86 ; por lo tanto aceptamos que µ ≠ 86 ; al nivel del 5%.
3. Solución: µ = 64
σ =8
1) H 0 : µ = 64 H a : µ > 64
2) ∝= 0,05
4) Z = 68 − 64 = 8
n = 64
64
x = 68
3) σ = 8
4(8) =4 8
Z = 4 Se ubica en la zona de rechazo (4 > 1,64) por lo tanto puede tenerse la certeza, con un nivel de significación del 5%, que los estudiantes de esta ciudad son superiores en inglés.
4. Solución: n = 100
x = 27,3
1) H 0 : µ = 25 H a : µ ≠ 25
s = 6,1
2) ∝= 0,05
∝= 0,05
µ = 25
3) s = 2,1
4) Z = 27,3 − 25 = 23 = 3,77 6,1 100
6,1
La distancia media requerida es diferente a 25 metros, al nivel del 5%.
2
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
5. Solución: µ = 80
x = 86
1) H 0 : µ = 80 H a : µ ≠ 80
s = 16
2) ∝= 0,05
n = 100
∝= 0,05
3) s = 16
4) Z = 86 − 80 = 60 = 3,75 16
100
16
Se rechaza la hipótesis de que µ = 80 y se acepta la alternativa de que µ ≠ 80 .
6. Solución: x = 76
s = 16
1) H 0 : µ = 74 H a : µ ≠ 74
n = 400
2) ∝= 0,01
3) s = 16
2(20) 4) Z = 76 − 74 = = 2,5 16
400
16
Se ubica en la zona de aceptación; aceptamos que µ = 74 , al nivel del 1%
7. Solución: σ = 3,2
x = 23,5
1) H 0 : µ = 22 H a : µ ≠ 22
n = 25
2) ∝= 0,05
3) σ = 3,2
4) Z = 23,5 − 22 = 7,5 = 2,34 3,2
25
3,2
3
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Cap.8 Prueba de hipótesis y límites de confianza
Rechazamos la hipótesis de que µ = 22 y aceptamos de que µ ≠ 22 , al nivel del 5%. 8. Solución: n = 100
x = 12.500
1) H 0 : µ = 12.000 H a : µ > 12.000
s = 2.400
2) ∝= 0,05
3) s = 2.400
4) Z = 12.500 − 12.000 = 2,083 2.400 100
Rechazamos la hipótesis de que µ = 12.000 , luego aceptamos que los autos se condujeron en un promedio superior durante ese año, al nivel del 5%.
9. Solución: n = 40
µ = 1,28
1) H 0 : µ = 1,28 H a : µ < 1,28
x = 1,08
s = 0,5
2) ∝= 0,05
3) s = 0,5
6,32(− 0,20) 4) Z = 1,08 − 1,28 = − 0,20 40 = = −2,528 0,5
0,5
40
0,5
Rechazamos que µ = 1,28 : Si hay razón para sostener que la disminución de la vida media de los zapatos se debe al uso en el desierto, al nivel 5%.
10. Solución: µ = 15,9
σ = 2,3
1) H 0 : µ = 15,9 H a : µ < 15,9 4) Z = 15 − 15,9 = 2,3
64
n = 64
2) ∝= 0,05 − 0,9(8) = −3,13 2,3
x = 15
s = 2,2
3) σ = 2,3
(Se trabaja con σ en vez de s)
4
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
Se ubica en la región de rechazo; por lo tanto aceptamos que el nuevo proceso tiene un efecto significativamente negativo, respecto a la resistencia de las cuerdas, al nivel del 5%. 11. Solución: µ = 5,5
n = 35
1) H 0 : µ = 5,5 H a : µ ≠ 5,5
x = 5,65
2) ∝= 0,01
s = 0,35
∝= 1%
3) s = 0,35
0,15(5,92) 4) Z = 5,65 − 5,5 = = 2,54 0,35
0,35
35
No debe dudarse de lo sustentado por la compañía, al nivel de significación del 1%.
12. Solución: µ = 23.200
σ = 2.500
1) H 0 : µ = 23.200 H a : µ < 23.200
n = 40
2) ∝= 0,01
x = 22.200
3) σ = 2.500
− 1.000(6,33) − 6.330 4) Z = 22.200 − 23.200 = = = −2,53 2.500
2.500
40
2.500
Se ubica en la región de rechazo, por lo tanto, se puede acusar a la compañía de pagar salarios inferiores, al nivel del 1%.
13. Solución: µ = 81.000
n = 100
1) H 0 : µ = 81.000 H a : µ ≠ 81.000
2) ∝= 0,05
4) Z = 80.600 − 81.000 = 1.100 100
x = 80.600
s = 1.100
3) s = 1.100
− 400(10) = −3,64 1.100
5
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Cap.8 Prueba de hipótesis y límites de confianza
Se rechaza la hipótesis de que µ = 81.000 , es decir, que no podemos aceptar lo que dice el investigador, al nivel del 5%. 14. Solución: σ = 1,5
µ =8
1) H 0 : µ = 8 Ha : µ ≠ 8
n = 36
x = 8,33
3) σ = 1,5
2) ∝= 0,05
0,33(6) 1,98 4) Z = 8,33 − 8 = = = 1,32 1,5
1,5
36
1,50
Aceptamos que el fabricante tiene razón, al nivel del 5%.
15. Solución: µ = 14
n = 25
1) H 0 : µ = 14 H a : µ ≠ 14 4) Z =
x−µ
σ
x = 13,83
2) ∝= 0,05
=
σ = 0,5
∝= 0,05
3) σ = 0,5
13,83 − 14 − 0,17(5) = = −1,7 0,5 0,5
n
25
Al nivel del 5%, se puede aceptar lo ofrecido por la empresa de que el envase contiene 14 onzas de camarón.
16. Solución: σ = 100
µ = 1.000
1) H 0 : µ = 1.000 H a : µ < 1.000 4) Z =
∝= 0,05
2) ∝= 0,05
n = 100
x = 985
3) σ = 100
x−µ
= 985 − 1.000 = −1,5 100 n 100
σ
6
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
Se puede adquirir la bombilla de la nueva marca, ya que al nivel de 5% no se demuestra que su duración sea inferior a la marca anterior. 17. Solución: µ = 40
n = 36
1) H 0 : µ = 40 H a : µ > 40 4) Z =
x = 46
2) ∝= 0,05
σ =9
39 σ = 9
6(6 ) = 46 − 40 = = 4,0 9 9 n 36
x−µ
σ
Sí es posible que se compren las lámparas, pues al nivel del 5%, se acepta que tiene una duración superior a las 40 horas.
18. Solución: µ = 12
n = 60
1) H 0 : µ = 12 H a : µ > 12 4) Z =
x = 15
2) ∝= 0,01
s=5
3) s = 5
x − µ 15 − 12 3(7,75) = = = 4,65 s 5 5 n 60
Se puede concluir que la solución aumenta la productividad, al nivel del 1%.
19. Solución: µ = 20
1) H 0 : µ = 20 H a : µ ≠ 20
x = 20,8
s = 1,5
2) ∝= 0,01
n = 36
∝= 1%
3) s = 1,5
7
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4) Z =
Cap.8 Prueba de hipótesis y límites de confianza
x − µ 20,8 − 20 4,8 = = = 3,2 s 1,5 1,5 n 36
Se ubica en la región crítica y se rechaza la hipótesis nula de que µ = 20 , es decir, que el fusible no cumple con las especificaciones. Al nivel del 1%. 20. Solución: µ = 400
x = 395
1) H 0 : µ = 400 H a : µ ≠ 400 4) Z =
s = 20
n = 64
2) ∝= 0,05
∝= 0,05
3) s = 20
x − µ 395 − 400 − 40 = = = −2 s 20 20 n 64
El proveedor no sostiene las especificaciones acordadas, al nivel del 5%.
21. Solución: µ = 78
σ =6
1) H 0 : µ = 78 H a : µ < 78 4) Z =
n = 16
x = 74
∝= 0,01
3) σ = 6
2) ∝= 0,01
x−µ
= 74 − 78 = − 16 = −2,67 6 6 n 16
σ
Sí se puede afirmar que este grupo fue inferior, ya que rechazamos la hipótesis nula, al nivel del 1%.
22. Solución: n = 200
1) H 0 : µ = 3,6 H a : µ ≠ 3,6
µ = 3,6
x = 3,62
2) ∝= 0,05
3) s = 0,21
8
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4) Z =
Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
x−µ 3,62 − 3,6 = = 1,35 s n 0,21 200
Z = 1,35 se ubica en la zona de aceptación, por lo tanto se puede afirmar que el resultado de la muestra se ajusta a las especificaciones de producción, al nivel del 5%. 23. Solución: µ = 1 libra = 16 onzas
a) 1) H 0 : µ = 16 H a : µ < 16 4) Z =
n = 36
2) ∝= 0.05
x = 13 onzas
s = 8 onzas
∝= 0,05
3) s = 8
x − µ 13 − 16 = = −2,25 s n 8 36
A(0,4500) ⇒ Z = 1,64 ó 1,65
Z = − 2,25 Cae en la región crítica, por lo tanto, al nivel del 5% se puede afirmar que se está vendiendo un producto por debajo del peso, ya que aceptamos H a .
b) Se está rechazando algo verdadero, por lo tanto se comete un error de tipo I y no de tipo II (aceptar algo falso). 24. Solución: µ = 53 Minutos
σ 2 = 1,35 Horas 2 ⇒ σ = 1,35 = 1,16 Horas × 0,6 = 70 Minutos
n = 128 Artículos
x = 56 Minutos
a) 1) H 0 : µ = 53 H a : µ > 53
2) ∝= 0,05
3) σ = 0,70
4) Z = 56 − 53 = 0,48 70
128
Al nivel del 5%, no se puede afirmar que el producto requiere de un tiempo mayor de fabricación. Observar que Z = 0,48 cae en la ZA, con lo cual aceptamos H 0 . Unilateral derecha.
9
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.8 Prueba de hipótesis y límites de confianza
b) Si el trabajo real es de 50 minutos, estamos cometiendo un error de tipo II, ya que estamos aceptando a µ = 53 25. Solución: µ = 4,6 Kilos
n = 34
x = 4,1
1) H 0 : µ = 4,6 H a : µ < 4,6
2) ∝= 1%
3) s = 1,8
s = 1,8 Kilos
4) Z = 4,1 − 4,6 = −1,62 1,8
34
− 1,62 cae en la región de aceptación. Al nivel del 1%, no se debe creer lo anunciado por el gimnasio. Unilateral izquierda.
26. Solución: µ = 50 Kmts.
n = 35
1) H 0 : µ = 50 H a : µ < 50
s = 15
x = 43,8
2) ∝= 0,02
3) s = 15
4) Z = 43,8 − 50 = −2,4 15
35
− 2,4 cae en la RC, por lo tanto aceptamos H a , es decir se puede afirmar que el
concesionario ha exagerado, al nivel del 2%. Unilateral izquierda.
27. Solución: x = 24 años
n = 60
1) H 0 : µ = 22 H a : µ > 22
2) ∝= 0,05
µ = 22
σ = 8 años
3) σ = 8
4) Z = 24 − 22 = 1,94 8
60
10
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
Como 1,94 cae en la RC, al nivel del 5%, se puede aceptar H a , es decir, se acepta la afirmación del ejecutivo. Unilateral derecha.
28. Solución: µ = 8 horas n = 20 x = 8 horas y media = 8,5 horas σ = 1 hora y 45 min utos = 1,75 horas
1) H 0 : µ = 8 Ha : µ > 8
2) ∝= 0,05
3) σ = 1,75
A(0,4500) ⇒ Z = 1,64 o 1,65 Z=
8,5 − 8,0 = 1,28 1,75 20
Cae (1,28) en la zona de aceptación. Se acepta H 0 , es decir, que al nivel del 5%, no se acepta la aseveración. Unilateral derecha.
29. Solución: µ = 650 libras
n = 40
x = 700 libras
s 2 = 12.960 ⇒ s = 113,84 S 2 = 12.960 libras 2
1) H 0 : µ = 650 H a : µ > 650
∝= 0,01
3) s = 113,84
4) Z = 700 − 650 = 2,78 113,84
40
Observemos que 2,78 cae en la RC, por lo tanto, al nivel del 1%, estamos aceptando H a , es decir, que la solución aumenta la producción de nitrato. Unilateral derecha.
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Cap.8 Prueba de hipótesis y límites de confianza
30. Solución: x = 4.000 = 40 100
n = 100
a) 1) H 0 : µ = 43 H a: µ ≠ 43
s 2 = 9.900 = 99 ⇒ s = 9,95 100
2) ∝= 0,05
S 2
= 99 años
2
3) s = 9,95
4) Z = 40 − 43 = −3,02 9,95
100
El valor de − 3,02 cae en la RC; por lo tanto al nivel del 5% se puede afirmar que la edad promedio de los profesores es diferente a 43 años. Prueba unilateral. b) Si el promedio verdadero, se conoce (39 años), no se comete ERROR, pues estamos rechazando que sea de 43 años, (rechazamos algo falso).
31. Solución: µ = 78
n = 35
1) H 0 : µ = 78 H a : µ > 78
x = 82
2) ∝= 0,01
s = 21
3) s = 21
4) A(0,4900) ⇒ Z = 2,33 Z = 82 − 78 = 1,13 21 35
Observamos que 1,13 cae en la región de aceptación, es decir, aceptamos H 0 : µ = 78 , con lo cual al nivel del 1% no podemos concluir que sea un curso superior. Unilateral derecha.
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
DISTRIBUCIONES PROPORCIONALES 32. Solución: p = 48 = 0,13 360
P = 0,14
sp =
(0,13)(0,87 ) =
q = 1 − 0,13 = 0,87
0,1131 = 0,00031 = 0,0177 360
360
1) H 0 : P = 0,14
2) ∝= 0,05
3) s p = 0,0177
H a : P < 0,14
4) Z = 0,13 − 0,14 = − 0,01 = −0,56 0,0177
0,0177
Se acepta P = 0,14 , el proveedor no tiene razón, es decir, que el nuevo producto no reduce la fracción de defectuosos, al nivel del 5%.
33. Solución: P = µ p = 0,50
p = 180 = 0,45 400
n = 400
1) H 0 : P = 0,50 ó (µ p = 0,50)
(
H a : P ≠ 0,50 ó µ p ≠ 0,50
4) Z =
2) ∝= 0,05
)
∝= 0,05
3) s p =
pq n
p−P 0,45 − 0,50 − 0,05 = = = −2,00 pq (0,45)(0,55) 0,025 400 n
No es correcta la estimación hecha por el fabricante, al nivel del 5%.
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Cap.8 Prueba de hipótesis y límites de confianza
34. Solución: µ p = P = 0,80
n = 400
1) H 0 : P = 0,80
2) ∝= 0,01
p = 300 = 0,75 400
∝= 0,01
H a : P < 0,80
4) z =
p−P 0,75 − 0,80 − 0,05 = = = −2,27 (0,75)(0,25) 0,022 pq 400 n
Este resultado sí puede ser considerado como evidencia de que la prueba estuvo bien elaborada, al nivel del 1%.
35. Solución: µ p = P = 0,10
p = 3 = 0,075 40
1) H 0 : µ p = 0,10
2) ∝= 0,05
∝= 0,05
3) s p =
n = 40
pq n
H a : µ p < 0,10
4) z =
p−P = pq n
0,075 − 0,10 − 0,025 = = −0,60 0 (0,075)(0,925) ,04164 40
Se puede comprar la máquina, ya que aceptamos la hipótesis nula ( P = 0,10 ), al nivel del 5%.
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
36. Solución: µ p = P = 0,20
p = 9 = 0,18 50
1) H 0 : P = 0,20
2) ∝= 0,05
n = 50
3) s p =
∝= 0,05
0,18(0,82) = 0,054 50
H a : P < 0,20
4) z =
p − P 0,18 − 0,20 − 0,02 = = = −0,37 sp 0,054 0,054
Al nivel del 5%, no se puede concluir que la nueva técnica es mejor y que disminuye la mortalidad postoperatoria.
37. Solución: P = 0,80
p = 300 = 0,75 400
n = 400
1) H O : P = 0,80
2) ∝= 0,01
3) s p = pq
H a : P < 0,80
4) z = 0,75 − 0,80 = −2,31 0,75(0,25) 400
El − 2,31 cae en la ZA, al nivel del 1%, se puede afirmar que el tratamiento si estuvo bien administrado. Unilateral izquierda.
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Cap.8 Prueba de hipótesis y límites de confianza
38. Solución: p = 5 = 0,10 50
n = 50
1) H 0 : P = 0,12
2) ∝= 0,05
P = 12%
3) s p = pq
H a : P < 0,12
4) z = 0,10 − 0,12 = −0,47 0,1(0,9 ) 50
Vemos que − 0,47 cae en la ZA. Aceptamos H 0 al nivel del 5%. El gerente no exagera el porcentaje. Unilateral izquierda.
39. Solución: P = 7 = 0,14 50
n = 100
p = 10 = 10% 100
1) H 0 : P = 0,14
2) ∝= 0,05
3) s p = pq
H a : P < 0,14
4) Z = 0,10 − 0,14 = −1,33 0,1(0,9) 100
Como − 1,33 cae en la ZA, al nivel del 5% aceptamos H 0 , por lo tanto el número de compradores al medio día no es inferior al anotado por el gerente. Unilateral izquierda.
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
40. Solución: p = 25 = 0,11 225
n = 225
1) H 0 : P = 0,15
P = 0,15
2) ∝= 0,05
∝= 0,05
3) s p = pq
H a : P < 0,15
4) Z = 0,11 − 0,15 = −1,92 0,11(0,89) 225
A = (0,5000) − 0,0500 = 0,4500 ⇒ 1,64 ó 1,65
Como − 1,92 cae en la Región Crítica H a , es decir, que al nivel del 5% se puede concluir, que menos del 15% de las familias tenían perro.
41. Solución: P = 0,02
p = 15 ≅ 0,04 400
n = 400
1) H 0 : P = 0,02
2) ∝= 0,05
3) s p = pq
H a : P〉 0,02
4) Z = 0,04 − 0,02 = 2,04 0,04(0,96) 400
Se tiene que 2,04 cae en la Región Crítica, estamos aceptando H a , y rechazamos la afirmación del proveedor, al nivel del 5%. Prueba unilateral derecha.
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Cap.8 Prueba de hipótesis y límites de confianza
42. Solución: p = 8 = 0,22 36
n = 36
P = 0,25
1) H 0 : P = 0,25
2) ∝ = 0,05
3) s p = pq
∝ = 0,05 A(0,4500) ⇒ z = 1,64 ó 1,65
H a : P < 0,25
4) Z = 0,22 − 0,25 = −0,43 0,22(0,78) 36
Se observa que − 0,43 cae en la Región de Aceptación. Al nivel del 5%, no se puede afirmar que el porcentaje es inferior. Unilateral izquierdo.
43. Solución: P = 0,90
p = 570 = 0,88 650
n = 650
1) H 0 : P = 0,90
2) ∝ = 0,01
P = 99% ⇒ ∝ = 1%
3) s p = pq
H a : P < 0,90
4) Z = 0,88 − 0,90 = −1,57 0,88(0,12) 650
Al nivel del 1%, no se puede concluir que la popularidad del proyecto ha sido exagerada. Unilateral izquierda.
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
44. Solución: P = 52%
p=
n = 100
1) H 0 : P = 0,52
2) ∝ = 0,10
48 = 0,48 100
∝ = 0,10
3) s p = pq
H a : P < 0,52
4) Z = 0,48 − 0,52 = −0,80 0,48(0,52) 100
Observemos que Z = −1,28. Al nivel del 10%, es válida la afirmación. Unilateral izquierda.
45. Solución: P = 0,15
p=
n = 300
1) H 0 : P = 0,15
2) ∝ = 1%
54 = 0,18 300
3) s p = pq
H a : P ≠ 0,15
4) Z = 0,18 − 0,15 = 1,35 0,18(0,82) 300
Al nivel del 1%, es válida la afirmación. Prueba bilateral.
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Cap.8 Prueba de hipótesis y límites de confianza
DISTRIBUCIÓN DE DIFERENCIAS ENTRE DOS MEDIAS MUESTRALES
46. Solución: n1 = 100
n2 = 90
1) H 0 : µ x = µ y
y = 103
x = 107
2) ∝ = 0,05
s x = 17
s y = 16
3) s x − y = 289 + 256 = 2,89 + 2,84 = 2,3947 100
90
H a : µx ≠ µ y
4) Z = 107 − 103 = 1,67 2,3947
Al nivel del 5%, no existe diferencia significativa entre las medias de los dos productos.
47. Solución: n1 = 46
x = 1.070
s x2 =
21.000 2 = 456,52 horas 46
n2 = 64
y = 1.041
s 2y =
23.200 2 = 362,5 horas 64
1) H 0 : µ x = µ y
2) ∝ = 0,01
Ha : µx ≠ µy
3) s x − y = 456,52 + 362,5 = 15,58 = 3,9482 46
64
4) Z = 1.070 − 1.041 = 29 = 7,34 3,9482
3,95
Rechazamos la hipótesis de que µ x = µ y ; se acepta que la diferencia es significativa, al nivel del 1%.
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
48. Solución: 1) H 0 : µ x = µ y
2) ∝ = 0,01
3) s x − y
2 s x2 s y = + n1 n2
H a : µx < µ y
4) Z = 818.000 − 842.000 = −3,38 32.000 2 + 41.000 2 46 60
Sí existe una diferencia significativa, que permite concluir que los salarios en B son superiores a los de A, al nivel del 1%.
49. Solución: n1 = 44
x = 15,6
s x2 =
167,52 2 = 3,80 cms 44
n2 = 36
y = 14,1
s 2y =
159,89 2 = 4,44 cms 36
1) H 0 : µ x = µ y
2) ∝ = 0,05
Ha : µx ≠ µ y
3) s x − y = 3,8 + 4,44 = 0,4579 44
36
4) Z = 15,6 − 14,1 = 1,5 0,4579
0,4579
= 3,28
Rechazamos la hipótesis de que µ x = µ y ; aceptamos que existe diferencia entre ambas medias, al nivel del 5%.
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Cap.8 Prueba de hipótesis y límites de confianza
50. Solución: x2 =
x1 = 5.000
s12 =
490.000 = 4.900 (cientos de $) 100
2.500.200.000 − 5.0002 = 25.002.000 − 25.000.000 = 2.000 100
s22 = 24.011.000 − 4.9002 = 24.011.000 − 24.010.000 = 1.000
yi = 20 + 0,2(5.000) = 20 + 1.000 = $1.020 (cientos de $) y2 = 520 + 0,1(4.900) = 520 + 490 = 1.010 (cientos de $)
( )
s 2y1 = 0,04 s12 = 0,04(2.000) = 80 (cientos de pesos ) 2
s 2y2 = 0.01(1.000) = 10 (cientos de pesos ) 2
1) H 0 : µ x = µ y
2) ∝ = 0,05
H a : µx > µ y
3) s x − y =
80 10 + = 0,9487 100 100
4) Z = 1.020 − 1.010 = 10 0,9487
0,9487
= 10,54
Se rechaza que µ x = µ y ; por lo tanto, se puede aceptar, con un nivel de significación del 5%, que el ahorro promedio de la Cía. A es mayor que el de la Cía. B.
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
PRUEBA DE HIPÓTESIS DE DISTRIBUCIONES DE DIFERENCIAS ENTRE DOS MEDIAS MUESTRALES
51. Solución: σ x = 0,70
σ y = 0,86
x = 3,32
n1 = 20
n2 = 28
y = 3,50
1) H 0 : µ x = µ y
2) ∝ = 0,05
H a : µx < µ y
∝ = 5%
x1 = 3,32 ; σ 1 = 0,70 x2 = 3,50 ; σ 2 = 0,86
3) σ y = 0,86 σ x = 0,70
A = (0,4500) ⇒ Z = 1,64 ó 1,65
4) Z =
3,32 − 3,50 0,7 2 0,862 + 20 28
= −0,80
Al nivel del 5%, no se debe aceptar lo que generalmente se dice, que el rendimiento de A es inferior a B. Unilateral izquierdo. * Se trabaja con n1 y n 2 ≤ 30, dado que se dan las desviaciones típicas poblacionales.
52. Solución: n1 = 36 n 2 = 40
x = 95 mil $ y = 110 mil $
1) H 0 : µ x − µ y = 0
2) ∝ = 0,05
H a : µx − µ y ≠ 0
sx = 15 mil $ s y = 18 mil $
3) s x = 15
∝ = 5%
x1 = 95 ; S 1 = 15 x 2 = 110 ; S 2 = 18
s y = 18
4) Z = 95 − 110 = −3,96 152 182 + 36 40
Al nivel del 5%, se puede afirmar que existen diferencias en el comportamiento de estos planes. Prueba bilateral.
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Cap.8 Prueba de hipótesis y límites de confianza
* Se trabaja con las desviaciones típicas muestrales, dado que n1 y n 2 > 30
53. Solución: n1 = 80
x = 94,3
s x = 14
n2 = 60
y = 89,7
s y = 17
1) H 0 : µ x = µ y
2) ∝ = 0,05
H a : µx > µ y
∝ = 0,05
H 0 = µ1 = µ 2 H1 = µ1 〉 µ 2
3) s x = 14 s y = 17
A (0,4500) ⇒ 1,64 ó 1,65
4) Z = 94,3 − 89,7 = 1,71 142 17 2 + 80 60
Al nivel del 5%, se puede afirmar un mayor rendimiento en el turno diurno. Unilateral derecha.
54. Solución: n1 = 40 n2 = 34
x = 310 y = 292
1) H 0 : µ x = µ y
s x = 20 s y = 26
2) ∝ = 0,10
H a : µx > µ y
∝ = 0,10
3) s x = 20 s y = 26
4) Z = 310 − 292 = 3,29 202 262 + 40 34
Al nivel del 10%, se puede aceptar el aumento en las ventas. Unilateral derecha.
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
55. Solución: n1 = 36 n2 = 32
x = 86.000 y = 80.000
1) H 0 : µ x = µ y
s x = 6.200 s y = 4.800
2) ∝ = 1%
Ha : µx > µ y
∝ = 1%
3) s x = 6.200 s y = 4.800
4) Z = 86.000 − 80.000 = 4,49 6.2002 4.8002 + 36 32
Al nivel del 1%, se puede aceptar la afirmación del mayor precio al que se vende el producto conocido con respecto a la nueva marca. Unilateral derecha.
56. Solución: n1 = 46 n2 = 35
x = 10 y = 12
1) H 0 : µ x = µ y
s x = 2,4 s y = 3,0
2) ∝ = 0,05
Ha : µx ≠ µ y
4) Z =
10 − 12 2,42 3,0 2 + 46 35
∝ = 0,05
3) s x = 2,4 s y = 3,0
= −3,23
Al nivel del 5%, se puede decir que si hay una diferencia significativa, en los resultados. Prueba bilateral.
57. Solución:
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Cap.8 Prueba de hipótesis y límites de confianza
n1 = 82
x=
4.100 = 50 82
s x2 =
282.210 − 502 = 941,59 82
n2 = 41
y=
2.225 = 54,27 41
s 2y =
213.284 − 54,27 2 = 2.256,82 41
1) H 0 : µ x = µ y
2) ∝ = 0,05
H a : µx < µ y
3) s x2 = 941,59 s 2y = 2.256,82
A(0,4500) ⇒ Z = 1,64 ó 1,65
4) Z =
50 − 54,27 941,59 2.256,82 + 82 41
= −0,52
Al nivel del 5%, no se puede concluir que la segunda variable, sea superior a la primera. Unilateral izquierda.
DISTRIBUCIÓN DE DIFERENCIAS ENTRE DOS PROPORCIONES MUESTRALES
58. Solución: p1 =
30 = 0,75 40
1) H 0 : P1 = P2
p2 =
22 = 0,55 40
2) ∝ = 0,05
H a : P1 > P2
4) Z =
p1 − p2 = p1q1 p2 q2 + n1 n2
0,75 − 0,55 = 1,92 0,75(0,25) 0,55(0,45) + 40 40
Z = 1,92 se ubica en la región crítica, luego rechazamos la hipótesis nula y aceptamos la hipótesis alternativa. Se dirá que, al nivel del 5%, se puede aceptar la información de que el equipo debe ganar más partidos cuando juega de local y no como visitante.
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
59. Solución: 128 = 0,64 200 106 p2 = = 0,71 150 p1 =
n1 = 200 n2 = 150
2) ∝ = 0,05
1) H 0 : P1 = P2
∝ = 0,05
3) s p1 = p1q1
H a : P1 ≠ P2
4) Z =
s p2 = p2 q2
Z=
p1 − p2 p1q1 p2 q2 + n1 n2
0,64 − 0,71 = −1,39 0,64(0,36) 0,71(0,29) + 200 150
Al nivel del 5%, se puede concluir que no hay diferencia en cuanto a los hábitos de tomar café. Prueba bilateral.
60. Solución: 12 = 0,20 60 10 p2 = = 0,17 60 p1 =
n1 = 60 n2 = 60
1) H 0 : P1 = P2
2) ∝ = 0,05
H a : P1 ≠ P2
4) Z =
∝ = 0,05
3) s p1 = p1q1 s p2 =
p2 q2
0,20 − 0,17 = 0,42 0,2(0,8) 0,17(0,83) + 60 60
Al nivel del 5%, se puede concluir que el estado civil no influye en el rendimiento. Prueba bilateral.
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Cap.8 Prueba de hipótesis y límites de confianza
61. Solución: 7 = 0,18 40 12 p2 = = 0,24 50 p1 =
n1 = 40 n2 = 50
1) H 0 : P1 = P2
2) ∝ = 0,10
∝ = 10%
3) s p1 = p1q1 s p2 =
H a : P1 < P2
4) Z =
p2 q 2
0,18 − 0,24 = −0,70 0,18(0,82) 0,24(0,76) + 40 50
Los anteriores resultados no le dan la razón al jefe de personal, al nivel del 10%. Unilateral izquierda.
62. Solución: 38 = 0,76 50 50 p2 = = 0,71 70
p1 =
n1 = 50 n2 = 70
1) H 0 : P1 = P2
2) ∝ = 0,05
H a : P1 > P2
4) Z =
∝ = 0,05
3) s p1 = p1q1 s p2 = p2 q2
0,76 − 0,71 = 0,62 0,76(0,24) 0,71(0,29) + 50 70
Estos resultados, al nivel del 5%, no confirman la afirmación del distribuidor. Unilateral derecha.
28
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
63. Solución: 26 = 0,65 40 30 p2 = = 0,75 40 p1 =
n1 = 40 n2 = 40
1) H 0 : P1 = P2
2) ∝ = 0,05
∝ = 0,05
3) s p1 = p1q1 s p2 =
H a : P1 ≠ P2
4) Z =
p2 q 2
0.65 − 0,75 = −0.98 0,65(0,35) 0,75(0,25) + 40 40
Al nivel del 5%, se puede concluir que la proporción de aceptación es igual sin importar el sexo. Prueba bilateral.
64. Solución: 375 = 0,75 500 325 p2 = = 0,65 500 p1 =
n1 = 500 n2 = 500
1) H 0 : P1 = P2
2) ∝ = 0,05
H a : P1 > P2
∝ = 0,05
3) s p1 = p1q1 s p2 = p2 q2
A = (0,4500) ⇒ Z = 1,64 ó 1,65
4) Z =
0,75 − 0,65 = 3,47 0,75(0,25) 0,65(0,35) + 500 500
Al nivel del 5%, si puede concluir que la aplicación de la droga A es mejor que la B. Unilateral derecha.
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Cap.8 Prueba de hipótesis y límites de confianza
65. Solución: n1 = 100 n2 = 100
p1 = 64% p2 = 70%
∝ = 1%
2) ∝ = 0,01
1) H 0 : P1 = P2
3) s p1 = p1q1 s p2 =
H a : P1 < P2
4) Z =
p2 q 2
0,64 − 0,70 = −0,90 0,64(0,36) 0,7(0,3) + 100 100
No hay efectividad en las reformas introducidas al nivel del 1%. Unilateral izquierda.
66. Solución: 8 = 8% 100 6 p2 = = 6% 100 p1 =
n1 = 100 n2 = 100
1) H 0 : P1 = P2
2) ∝ = 0,05
∝ = 0,05
3) s p1 = p1q1
H a : P1 ≠ P2
4) Z =
s p2 = p2 q2
0,08 − 0,06 = 0,55 0,08(0,92) 0,06(0,94) + 100 100
Al nivel del 5%, se puede decir que no hay ninguna diferencia. Prueba bilateral.
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
67. Solución: 80 = 0,62 130 96 p2 = = 0,96 100 p1 =
n1 = 130 n2 = 100
1) H 0 : P1 = P2
∝ = 0,05
2) ∝ = 0,05
3) s p1 = p1q1 s p2 =
H a : P1 < P2
p2 q 2
A = (0,4500) ⇒ Z = 1,64 ó 1,65
4) Z =
0,62 − 0,96 = −7,25 0,62 (0,38) 0,96 (0,04) + 130 100
Si se puede dar apoyo a la tesis del sociólogo, al nivel del 5%. Unilateral izquierda.
68. Solución: 42 = 42% 100 61 p2 = = 61% 100
n1 = 100
∝ = 0,01
p1 =
n2 = 100
1) H 0 : P1 = P2
2) ∝ = 0,01
3) s p1 = p1q1 s p2 = p2 q2
H a : P1 < P2
4) Z =
0,42 − 0,61
0,42(0,58) 0,61(0,39) + 100 100
= −2,88
Al nivel del 1%, si se puede aceptar la afirmación hecha por el líder sindical. Unilateral izquierda.
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
69. Solución: 37 = 0,74 50 23 p2 = = 0,46 50
p1 =
n1 = 50 n2 = 50
1) H 0 : P1 = P2
2) ∝ = 0,05
∝ = 0,05
3) s p1 = p1q1 s p2 =
H a : P1 > P2
p2 q 2
A = (0,4500) ⇒ 1,64 ó 1,65
4) Z =
0,74 − 0,46 = 2,98 0,74(0,26) 0,46(0,54) + 50 50
Sí influye utilizar una modelo al nivel del 5%. Unilateral derecha.
70. Solución: 12 = 0,10 120 16 p2 = = 0,13 120
p1 =
n1 = 120 n2 = 120
1) H 0 : P1 = P2
2) ∝ = 0,05
H a : P1 < P2
4) Z =
∝ = 0,05
3) s p1 = p1q1 s p2 = p2 q2
0,10 − 0,13 = −0,73 0,10(0,9) 0,13(0,87) + 120 120
Al nivel del 5%, no hay razón para hacer dicha afirmación, no es mayor. Unilateral izquierda.
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
71. Solución: n1 = 120 n2 = 150
∝ = 0,05
p1 = 0,25 p2 = 0,15
3) s p1 = p1q1
2) ∝ = 0,05
1) H 0 : P1 = P2
s p2 =
H a : P1 ≠ P2
4) Z =
p2 q 2
0,25 − 0,15 = 2,04 0,25(0,75) 0,15(0,85) + 120 150
Al nivel del 5%, se puede aceptar dicha afirmación. Si es diferente.
DISTRIBUCIÓN “t” DE STUDENT DISTRIBUCIÓN DE MEDIAS MUESTRALES (muestras pequeñas)
72. Solución: n = 29
x = 808.000
1) H 0 : µ = 800.000 H a : µ ≠ 800.000
sˆ = 16.000
2) ∝ = 5%
3) sˆ = 16.000
4) t = 808.000 − 800.000 = 8.000 28 = 2,64 16.000
28
16.000
Se rechaza la hipótesis de que µ = 500.000 , por lo tanto aceptamos que el verdadero ingreso medio por familias en la ciudad es diferente de $800.000, al nivel del 5%. NOTA:
Observe que se toma el nivel del 5%, a lado y lado de la RC.
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
73. Solución: µ = 10
n = 16
x = 10,4
v = 16 − 1 = 15
υ = 15
t = 1,7530
1) H 0 : µ = 10 H a : µ > 10
2) ∝ = 5%
sˆ = 0,5
∝ = 0,05
3) sˆ = 0,5
0,4(3,87) = 3,10 4) t = 10,4 − 10 = 0,4 15 = 0,5 15
0,5
0,5
Al nivel del 5%, se puede concluir que el sedal de la marca G, ofrece garantía de resistencia superior a 10 libras. Unilateral a la derecha. NOTA:
Por ser unilateral se toma el doble del nivel de significación en la RC.
74. Solución: µ =1
∝ = 0,05
t = 2,1318
υ=4
1) H 0 : µ = 1 Ha : µ > 1
2) ∝ = 0,05
n=5
x=
∑ x1 = 2,2 n
s=
∑(x1 − x ) = 1,64 n −1 2
3) s = 1,64 (corregida)
4) t = 2,2 − 1 = 1,64 1,64 5
Se acepta la hipótesis nula, se puede contratar a la aspirante, al nivel del 5%. * En las pruebas unilaterales, en la región crítica, se toma el doble del nivel de significación.
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
75. Solución: µ = 0,5 x=
∑x =1 n
s=
1) H 0 : µ = 0,5 H a : µ ≠ 0,5 4) t =
∝ = 0,05
n = 12
υ = 12 − 1 = 11
t = 2,2010
∑(x − x ) = 0,95 n −1 2
2) ∝ = 0,05
3) s = 0,95
x − µ 1 − 0,5 = = 1,82 s 0,95 n 12
Se acepta la hipótesis nula; puede considerarse que el promedio de nacimiento de mellizos por mes, es de 0,5 al nivel del 5%.
76. Solución: ∝ = 0,05
n=5
x=
∑ xi 6 = = 1,2 n 5
1) H 0 : µ = 2 Ha : µ < 2 4) t =
s=
µ =2
υ=4
t = −2,1318
∑(xi − x ) = 0,84 n −1
2) ∝ = 0,05
2
3) s = 0,84
x − µ 1,2 − 2 − 1,79 = = = −2,13 s 0,84 0,84 n 5
Se ubica − 2,13 en la zona de aceptación, por lo tanto al nivel del 5%, no debería desconectar el teléfono. También por la cercanía al punto crítico ( − 2,1318 ) se podría no tomar ninguna decisión, es decir, omitir juicio.
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
77. Solución: µ =7
n = 16
1) H 0 : µ = 7 Ha : µ ≠ 7
sˆ = 1,6
x = 5,8
2) ∝ = 0,05
∝ = 0,05
3) sˆ = 1,6
4) υ = n − 1 = 15 5) t = x − µ sˆ
t=
n −1
5,8 − 7 = −2,90 1,6 16 − 1
Al nivel del 5%, se puede concluir que la máquina no funciona correctamente. Prueba bilateral.
78. Solución: µ = 82
n = 20
1) H 0 : µ = 82 H a : µ ≠ 82
x = 75
2) ∝ = 0,05
sˆ = 9
3) sˆ = 9
∝ = 0,05
4) υ = n − 1 = 19
5) t = 75 − 82 = 3,39 9
20 − 1
La diferencia es significativa, el nivel del 5%. Prueba bilateral.
79. Solución: µ = 78
1) H 0 : µ = 78 H a : µ > 78
n = 25
x = 82
2) ∝ = 0,01
sˆ = 21
3) sˆ = 21
∝ = 0,01
4) υ = n − 1 = 24
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
5) t = 82 − 78 = 0,93 21 24
No se puede afirmar al nivel del 1% , que el carro sea superior. Unilateral derecha.
80. Solución: µ = 380
n = 25
1) H 0 : µ = 380 H a : µ < 380
x = 360
2) ∝ = 0,01
∝ = 1%
sˆ = 40
3) sˆ = 40
4) υ = n − 1 = 24
5) t = 360 − 380 = −2,45 40
24
No se puede admitir la afirmación de que el porcentaje es inferior al solicitado, al nivel del 1%. Unilateral izquierda.
81. Solución: µ = 18.250
n = 30
1) H 0 : µ = 18.250 H a : µ > 18.000
x = 19.500
2) ∝ = 0,05
sˆ = 3.000
3) sˆ = 3.000
∝ = 5%
4) υ = n − 1 = 29
5) t = 19.500 − 18.250 = 2,24 3.000
29
Se observa que 2,24 cae en la región crítica. Al nivel del 5%, se acepta la afirmación de la asociación, ya que el sindicato subestima el salario medio por día. Unilateral derecha.
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
82. Solución: µ = 8,10 meses
n = 25
1) H 0 : µ = 8,10 H a : µ < 8,10
2) ∝ = 0,05
x = 7,5 meses
3) sˆ = 3,54
sˆ 2 = 12,5 ⇒ sˆ = 3,54
4) υ = n − 1 = 24
5) Z = 7,5 − 8,10 = −0,83 3,54
24
La duración de las botas, no es inferior al señalado por el gerente de la empresa, al nivel del 5%. Unilateral izquierda.
83. Solución: µ = 200
n = 15
1) H 0 : µ = 200 H a : µ > 200
x = 210
2) ∝ = 0,01
sˆ = 11
∝ = 1%
3) sˆ = 11
4) υ = n − 1 = 14 5) t = 210 − 200 = 3,40 11 14
Es una prueba suficiente para concluir que el tiempo medio aumenta, al nivel del 1%. Unilateral derecha.
38
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
84. Solución: 2
µ = 160
n = 12
1) H 0 : µ = 160 H a : µ > 160
x=
2) ∝ = 0,01
1.943 = 161,92 12
1.943 323.699 − 12 12 s= = 28,75 12 − 1
3) s = 28,75 (corregida)
4) υ = 11
5) t = 161,92 − 160 = 0,23 28,75 12
Estos datos no nos permiten concluir que la media poblacional sea superior a 160, al nivel del 1%. Unilateral derecha.
85. Solución: 2
µ = 12
n=9
1) H 0 : µ = 42 H a : µ < 42
x=
354,5 14.106,25 − 9 9 s= = 4,23 9 −1
354,5 = 39,39 9
2) ∝ = 0,01
3) s = 4,23 (corregido)
4) υ = n − 1 = 8
5) t = 39,39 − 42 = −1,85 4,23
9
No se puede rechazar la afirmación del fabricante, pues no esta exagerando, al nivel 1%. Unilateral izquierda.
39
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
86. Solución: 2
µ = 48
x=
n=6
1) H 0 : µ = 48 H a : µ ≠ 48
246 12.260 − 6 6 = 20,85 s= 6 −1
246 = 41 6
2) ∝ = 0.05
3) s = 20,85 (corregido)
υ =5
5) t = 41 − 48 = −0,82 20,85
6
No se debe rechazar la afirmación del fabricante, al nivel del 5%. Prueba bilateral.
PRUEBA DE HIPÓTESIS DE DISTRIBUCIONES PROPORCIONALES
87. Solución: P = 30%
n = 20
1) H 0 : P = 0,30
∝ = 0,05
2) ∝ = 0,05
p=
8 = 0,40 20
3) s p = pq
H a : P > 0,30
υ = 20 − 1 = 19 t=
p−P pq n −1
t=
0,40 − 0,30 = 0,89 0,4(0,6) 20 − 1
Al nivel de 5% no se justifica afirmar que el procentaje de ahorradores, tienen un saldo superior al señalado por el gerente. Unilateral derecha.
40
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
88. Solución: P = 3%
p=
n = 28
1) H 0 : P = 0,03
2) ∝ = 0,05
2 = 0,07 28
∝ = 0,05
4) υ = 28 − 1 = 27
3) s p = pq
H a : P ≠ 0,03
5) t = 0,07 − 0,03 = 0,81 0,07(0,93) 28 − 1
Al nivel del 5%, se justifica afirmar que el fabricante cumple con lo prometido. Prueba bilateral.
89. Solución: P = 0,70
p=
n = 30
1) H 0 : P = 0,70
2) ∝ = 0,05
19 = 0,63 30
∝ = 0,05
3) s p = pq
4) υ = 30 − 1 = 29
H a : P < 0,70
5) t = 0,63 − 0,70 = −0,78 0,63(0,37) 30 − 1
El encargado del negocio no exagera el porcentaje, al nivel del 5%. Prueba unilateral izquierda.
41
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
90. Solución: P = 0,86
p=
n = 18
1) H 0 : P = 0,86
2) ∝ = 0,01
16 = 0,89 18
3) s p = pq
∝ = 1%
υ = 18 − 1 = 17
H a : P > 0,86 t=
0,89 − 0,86 = 0,40 0,89(0,11) 18 − 1
El equipo no es mucho más efectivo que el señalado por el fabricante, al nivel del 1%. Unilateral derecha.
91. Solución: P = 0,30
p=
n = 25
1) H 0 : P = 0,30
2) ∝ = 0,05
7 = 0,28 25
∝ = 0,05
3) s P = pq
4) υ = 25 − 1 = 24
H a : P ≠ 0,30
5) t = 0,28 − 0,30 = −0,22 0,28(0,72) 25 − 1
Se puede justificar ésta crítica, al nivel del 5%. Prueba bilateral.
42
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
92. Solución: P = 70%
n = 30
1) H 0 : P = 0,70
p=
2) ∝ = 0,05
18 = 0,60 30
3) s P = pq
∝ = 0,05
υ = 30 − 1 = 29
H a : P < 0,70
t=
0,6 − 0,7 = −1,10 0,6(0,4) 30 − 1
No se puede asegurar que el porcentaje de efectividad sea inferior, al nivel del 5%. Unilateral izquierda.
93. Solución: P = 0,30
n = 20
1) H 0 : P = 0,30
p=
2) ∝ = 0,10
9 = 0,45 20
∝ = 10%
3) s P = pq
υ = 20 − 1 = 19
H a : P > 0,30
t=
0,45 − 0,30 = 1,31 0,45(0,55) 20 − 1
El porcentaje no es superior al señalado por la oficina, al nivel del 10%. Unilateral derecha.
43
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
94. Solución: P = 25%
p=
n = 25
1) H 0 : P = 0,25
8 = 0,32 25
2) ∝ = 0,01
∝ = 1%
3) s P = pq
υ = 25 − 1 = 24
H a : P > 0,25
t=
0,32 − 0,25 = 0,74 0,32(0,68) 25 − 1
La nueva técnica no constituye un progreso en la reducción de la mortalidad post-operatoria, al nivel del 1%. Unilateral derecha.
DISTRIBUCIÓN DE DIFERENCIAS ENTRE DOS MEDIAS MUESTRALES
95. Solución: x1 = 58
s12 = 5
n1 = 15
x2 = 63
s22 = 8
n2 = 15
1) H 0 : µ x = µ y
2) ∝ = 0,05
∝ = 0,05
υ = 15 + 15 − 2 = 28
H 0 : µ1 = µ 2 H 1 : µ1 ≠ µ 2
t = 2,0484
H a : µx ≠ µ y
3) s x − y =
(15 − 1)5 + (15 − 1)8 1 + 1 = 0,93 15 + 15 − 2
15 15
4) t = 58 − 63 = − 5 = −5,38 0,93
0,93
Se ubica en la región de rechazo, por tanto aceptamos que µ x ≠ µ y , o sea que existe diferencia entre los coeficientes de digestibilidad de los ovinos y bovinos, al nivel del 5%.
44
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
96. Solución:
xi 1,5 2,5 3,5 2,5
yi 2,5 3,0 3,0 4,0 3,5 2,0 18,0
10,0 x=
10 = 2,5 4
(xi − x )2
0
2
y=
sx − y =
1 0 1 0
n1 = 4
2
s2 s2 + n1 n2
1) H 0 : µ x = µ y
yi − y -0,5 0 0 1,0 0,5 -1,0 0
18 = 3,0 6
Σ ( xi − x ) + Σ ( y i − y ) n1 + n2 − 2 2
s2 =
xi − x -1,0 0 1,0 0
s2 =
0,25 0 0 1,00 0,25 1,00 2,50 n2 = 6
2 + 2,50 = 0,56 4+6−2
sx − y =
2) ∝ = 0,10
( yi − y )2
0,56 0,56 + = 0,48 4 6
3) s x − y = 0,48
H a : µx ≠ µ y
4) t = 2,5 − 3,0 = −1,04 0,48
Se ubica en la región de aceptación. Se puede concluir que los procesos no dan resultados diferentes, al nivel del 5%. Prueba bilateral
45
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
97. Solución: xi 154 143 132 147 139 715
s2 =
xi − x 11 0 -11 4 -4 0
yi 144 131 155 126 134 690
(xi − x )2 121 0 121 16 16 274
( yi − y )2
yi − y 6 -7 17 -12 -4 0
x = 715 = 143 5
36 49 289 144 16 534
y=
690 = 138 5
274 + 534 808 = = 101 5+5−2 8
sx − y =
101 101 202 + = = 40,4 = 6,36 5 5 5
1) H 0 : µ x = µ y
2) ∝ = 0,05
3) s x − y = 6,36
H a : µx > µ y
4) t = 143 − 138 = 5 = 0,79 6,36
6,36
Se puede concluir que el nuevo método no ha aumentado la resistencia a la comprensión, al nivel del 5%. Unilateral a la derecha.
98. Solución: n1 = 12
sx−y =
n2 = 7
x = 120
(12 − 1)457,45 + (7 − 1)425,33 12 + 7 − 2
1) H 0 : µ x = µ y
2) ∝ = 0,05
y = 101
s x2 =
1 1 + = 12,48 12 7
5.032 = 457,45 12 − 1
υ = 17
s 2y =
2.552 = 425,33 7 −1
t = 2,1098
3) sx − y = 12,48
H a : µx ≠ µ y
4) t = 120 − 101 = 19 = 1,52 12,48
12,48
46
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
Estos datos no nos indican que exista una diferencia significativa entre las ganancias medias en peso, al nivel del 5%. Bilateral 99. Solución: y i : $ 338 y=
393
416
363
375
420
447
412
∑ yi 4.966 = = 413,833 (miles ) n 12
s 2y =
∑ y i2 − ny 2
sx − y =
υ = 27
=
n2 −1
510
436
476
380 miles
x = 428 (miles)
2.081.268 − 12(413,83) = 2.382,25 miles de pesos 2 12 − 1 2
(
)
s x = 80 (miles )
(17 − 1)2.382,25 + (12 − 1)80 2 1 + 1 = 23,90 17 + 12 − 2
t = 2,052
1) H 0 : µ x = µ y
17 12
∝ = 0,05
2) ∝ = 0,05
3) s x − y = 23,90
H a : µx ≠ µ y
4) t = 428 − 413,833 = 0,59 23,90
Se ubica en la región de aceptación. Se puede concluir que no existe diferencia en los salarios de los empleados de las dos empresas, al nivel del 5%.
47
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
100. Solución: xi 12,6 13,4 11,9 12,8 13,0
yi 13,1 13,4 12,8 13,5 13,3 12,7 12,4 91,2
63,7 sx − y =
(xi − x )2
( yi − y )2
0,0196 0,4356 0,7056 0,0036 0,0676
0,0064 0,1444 0,0484 0,2304 0,0784 0,1024 0,3844 0,9948
1,2320
0,22 0,22 + = 0,27 5 7
1) H 0 : µ x = µ y
x=
63,7 = 12,74 5
y=
91,2 = 13,02 7
s2 =
υ = 10
1,2320 + 0,9948 2,2268 = = 0,22 10 10
t = 2,2281
3) s x − y = 0,27
2) ∝ = 0,05
H a : µx ≠ µ y
4) t = 12,74 − 13,02 = − 0,28 = −1,04 0,27
0,27
La diferencia no es significativa, al nivel del 5%. Prueba bilateral.
101. Solución: n1 = 15
n2 = 15
x = 131
υ = 15 + 15 − 2 = 28
∝ = 0,10
1) H 0 : µ x = µ y
2) ∝ = 0,05
y = 136
s x = 6,25
t = −1,7011
s y = 4,65
H 0 : µ1 = µ 2 H 1 : µ1 〈 µ 2
H a : µx < µ y
3) s x − y =
(15 − 1)39,06 + (15 − 1) 21,62 15 + 15 − 2
1 1 + = 5,51(0,365) = 2,01 15 15
48
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
4) t = 131 − 136 = − 5 = −2,49 2,01
2,01
Los anteriores resultados sí indican que la segunda calidad de tela es superior, al nivel del 5%. 102. Solución: x=
250 = 25 10
∑ yi2 = 80 n22
s x2 =
6.500 − 10(25) = 27,28 10 − 1 2
∑ yi2 = 152 (80) = 18.000
1) H 0 : µ x = µ y
35 =
18.000 − y2 15
y 2 = 1.165
y = 34,13
2) ∝ = 0,05
H a : µx ≠ µ y
(10 − 1)27,78 + (15 − 1)35 1 + 1 = 2,32
3) s x − y =
25 − 2
10 15
4) t = 25 − 34,13 = − 9,13 = −3,94 2,32
2,32
υ = n1 + n2 − 2
∝ = 0,05
υ = 10 + 15 − 2 = 23
t = 2,0687
Se ubica en la región crítica, por lo tanto, se acepta que no le es indiferente comprar la maquinaria, ya que las diferencias presentadas son significativas, al nivel del 5%.
103. Solución: x = 26.000
1) H 0 : µ x = µ y
y = 25.000
2) ∝ = 0,05
n1 = 16
3) s x − y =
H a : µx > µ y
4) t =
n2 = 16
s x = 4.200
s y = 2.800
15(17.640.000) + 15(7.840.000) 1 1 + = 1.261,94 16 + 16 − 2 16 16
x − y 26.000 − 25.000 = = 0,79 sx − y 1.261,94
49
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υ = 16 + 16 − 2 = 30
Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
t = 1,6973
No existe evidencia, al nivel del 5%, de que la marca A sea superior a B. Prueba unilateral derecha. 104. Solución: n1 = 20
n2 = 12
x = 7,5
1) H 0 : µ x = µ y
4) t =
s x = 0,24
s y = 0,30
∝ = 0,05
2) ∝ = 0,05
H a : µx ≠ µ y
3) s x − y =
y = 7,4
υ = 30
(n1 − 1)s x2 + (n2 − 1)s y2 1 1 + n1 + n2 − 2
n1
n2
x−y 7,5 − 7,4 = = 1,04 sx − y 19(0,0576) + 11(0,09) 1 1 + 20 + 12 − 2 20 12
Se acepta la hipótesis nula; la diferencia no es significativa, al nivel del 5%. Bilateral
105. Solución: n1 = 11
∝ = 0,05
n2 = 11
1) H 0 : µ x = µ y
x = 58
∑ xi2 = 37.286
∑ xi = 638
y = 55,73
∑
= 34.367
∑ yi = 613
yi2
2) ∝ = 0,05
H a : µx > µ y ∑(x − x ) + ∑( y i − y ) n1 + n 2 2
s2 =
3) s 2 =
2
[37.286 − 11(58) ]+ [34.367 − 11(55,73) ] = 24,24 2
2
11 + 11 − 2
4) υ = n1 + n2 − 2 = 20
50
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
t=
x−y 2
t=
2
s s + n1 n2
Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
58 − 55,73 = 1,08 24,24 24,24 + 11 11
Al nivel del 5%, no se puede concluir que la proteína de maní tostado tiene un menor efecto que el crudo, al nivel del 5%. Unilateral derecha. 106. Solución: n1 = 16
x = 112
s x2 = 64
∝ = 0,05
n2 = 14
y = 107
s y = 10
s 2y = 100
1) H 0 : µ x = µ y
2) ∝ = 0,05
3) sx − y =
(n1 − 1)sx2 + (n2 − 1)s2y 1 1 +
H a : µx ≠ µ y
n1 + n2 − 2
n1
n2
υ = n1 + n2 − 2 = 28
4) t =
112 − 107 = 1,52 (16 − 1)64 + (14 − 1)100 1 + 1 16 + 14 − 2 16 14
No existe una diferencia que se considere significativa entre el coeficiente de inteligencia según la jornada, al nivel del 5%. Prueba bilateral.
107. Solución: n1 = 25
x = 40
∝ = 5%
∑ xi2 = 44.500
n2 = 25
y = 50
υ = n1 + n2 − 2 = 48
∑ yi2 = 78.000
s2 =
[∑ x
2 i
] [
− n1 x 2 + ∑ y i2 − n 2 y 2 n1 + n 2 − 2
1) H 0 : µ x = µ y H a : µx < µ y
]
2) ∝ = 0,05
[
] [
]
2 2 3) s 2 = 44.500 − 25(40) + 78.000 − 25(50) = 416,67
50 − 2
51
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4) t =
Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
40 − 50 = −1,73 416,67 416,67 + 25 25
Al nivel del 5%, si se puede concluir con base en estos datos que los empleados de la compañía B se presentan a una edad mayor que los de la compañía A, al nivel del 5%. Unilateral izquierda. 108. Solución: n1 = 8
∑ xi = 64,8
x = 8,1
∑ xi2 = 534,58
n2 = 6
∑ yi = 52,4
y = 8,73
∑
1) H 0 : µ x = µ y
yi2
= 470,30
∝ = 0,05
υ = n1 + n2 − 2 = 12
2) ∝ = 0,05
H a : µx < µ y
3) s 2 =
s2 =
4) t =
[∑ x
2 i
] [
− n1 x 2 + ∑ yi2 − n2 y 2 n1 + n2 − 2
]
[534,58 − 8(8,1) ]+ [470,30 − 6(8,73) ] = 1,89 2
2
6+8−2
8,1 − 8,73 1,89 1,89 + 8 6
= −0,85
Al nivel del 5%, el resultado no sugiere que el valor de B produce mayor utilidad que el valor de A. Unilateral izquierda.
109. Solución: n1 = 10
x = 3,5
s x = 0,5
∝ = 0,05
n2 = 12
y = 3,7
s y = 0,4
υ = n1 + n2 − 2 = 20
1) H 0 : µ x = µ y
2) ∝ = 0,05
H a : µx < µ y
52
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
(n1 − 1)s x2 + (n2 − 1)s 2y 1 1 (10 − 1)0,52 + (12 − 1)0,42 1 + 1 = 0,1917 + sx − y =
3) s x − y =
n1 + n2
n1
10 + 12 − 2
n2
10
12
4) t = 3,5 − 3,7 = −1,04 0,1917
No se puede afirmar, al nivel del 5%, que el método B es más efectivo que el método A. Unilateral izquierda.
110. Solución: a) n = 10
s = 14,24 (corregido)
x = 117,7
1) H 0 : µ x = 110 H a : µ x > 110
2) ∝ = 0,05
∑ (x1 − x )
3) s =
2
4) υ = n − 1 = 9
n −1
5) t = x − µ s
t=
n
∝ = 5%
117,7 − 110 = 1,71 14,24 10
Los anteriores resultados no son una buena base para afirmar, al nivel del 5%, que el programa sea más efectivo. Unilateral derecha. b) Siendo el valor de $112.000 semanal, se esta cometiendo un error de Tipo II (aceptando algo falso) aceptar a $110.000 cuando es $112.000. c) n1 = 10
x = 117,7 y = 105,71
n2 = 14
1) H 0 : µ x = µ y
s x = 14,24 s y = 22,09
∝ = 0,05 υ = n1 + n2 − 2 = 22
2) ∝ = 0,05
H a : µx > µ y
3) s x − y =
(n1 − 1)s x2 + (n2 − 1)s 2y 1 1 + n1 + n2 − 2
n1
n2
53
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
(10 − 1)14,242 + (14 − 1)22,092 1 + 1 = 7,98
sx − y =
10 + 14 − 2
10 14
4) t = 117,7 − 105,71 = 1,50 7,98
El programa no produce los efectos que sostiene el gerente, al nivel del 5%. Unilateral derecha.
111. Solución: n1 = 10
∑ xi = 751
x = 75,1
∑ xi2 = 56.459
∝ = 0,05
n2 = 10
∑ yi = 824
y = 82,4
∑ yi2 = 68.018
υ = n1 + n2 − 2 = 18
1) H 0 : µ x = µ y
2) ∝ = 0,05
H a : µx < µ y
3) s 2 =
s2 =
[∑ x
2 i
] [
− nx 2 + ∑ yi2 − ny 2 n1 + n2 − 2
]
[56.459 − 10(75,1) ]+ [68.018 − 10(82,4) ] = 9,96 2
2
10 + 10 − 2
4) t = 75,1 − 82,4 = −5,17 9,96 9,96 + 10 10
Si se puede afirmar que el plan de incentivos fue efectivo, al nivel del 5%. Unilateral izquierda.
112. Solución: n1 = 15
x = 905
s x = 25
∝ = 0,10
n2 = 20
y = 925
s y = 35
υ = n1 + n2 − 2 = 33
3) s x − y =
(n1 − 1)s x2 + (n2 − 1)s 2y 1 1 + n1 + n2 − 2
n1
n2
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Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
1) H 0 : µ x = µ y
Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
2) ∝ = 0,10
H a : µx < µ y
sx − y =
(15 − 1)252 + (20 − 1)352 1 + 1 = 10,6404 15 + 20 − 2
15
20
4) t = 905 − 925 = −1,88 10,6404
Si hay suficiente evidencia que la resistencia al esfuerzo de los cables B sea superior a los de A, al nivel del 10%. Unilateral izquierda.
113. Solución: n1 = 11
x = 40
s x2 = 10,0
∝ = 0,05
n2 = 7
y = 31
s 2y = 20,9
υ = n1 + n2 − 2 = 16
1) H 0 : µ x = µ y
2) ∝ = 0,05
H a : µx > µ y
3)
s xr − y
(n1 − 1)s x2 + (n2 − 1)s 2y 1 1 = +
sx − y =
n1 + n2 − 2
n1
n2
(11 − 1)10 + (7 − 1)20,9 1 + 1 = 1,8147 11 + 7 − 2
11 7
4) t = 40 − 31 = 4,96 1,8147
Si se puede concluir que en promedio, la iniciación de los síntomas operó más pronto cuando la toxina se administró por el conducto B, al nivel del 5%. Unilateral derecha.
55
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
DISTRIBUCIÓN DE DIFERENCIAS ENTRE DOS PROPORCIONES MUESTRALES 114. Solución: 14 = 0,70 20 10 p2 = = 0,63 16 p1 =
n1 = 20 n2 = 16
2) ∝ = 0,01
1) H 0 : P1 = P2 H a : P1 > P2
4) t =
t=
∝ = 0,01
υ = n1 + n2 − 2 = 34
3) s p1 − p2 =
p1q1 pq + 2 2 n1 − 1 n2 − 1
p1 − p2 p1q1 pq + 2 2 n1 − 1 n2 − 1
0,70 − 0,63 = 0,43 0,7(0,3) 0,63(0,37 ) + 20 − 1 16 − 1
Se puede concluir que el jefe de cartera tiene razón para hacer tal afirmación, al nivel del 1%. Unilateral derecha.
115. Solución: n1 = 20 n2 = 24
1) H 0 : P1 = P2 H a : P1 > P2
14 = 0,70 20 10 p2 = = 0,42 24 p1 =
2) ∝ = 0,05
∝ = 0,05
υ = n1 + n2 − 2 = 42
3) s p1 − p2 =
p1q1 pq + 2 2 n1 − 1 n2 − 1
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Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
4) t =
Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
0,70 − 0,42 = 1,90 0,7(0,3) 0,42(0,58) + 20 − 1 24 − 1
Al nivel del 5% es valida la afirmación. Unilateral derecha. 116. Solución: 20 = 0,8 25 υ = n1 + n2 − 2 = 39
n1 = 25
p1 =
∝ = 0,05
p2 =
10 = 0,63 16
n2 = 16
2) ∝ = 0,05
1) H 0 : P1 = P2 H a : P1 ≠ P2
3) s p1 − p2 = 4) t =
p1 q1 p 2 q 2 + n1 n2
0,80 − 0,63 = 1,14 0,8(0,2) 0,63(0,37) + 25 − 1 16 − 1
Hay igualdad en las preferencias, conclusión que se llega con los datos obtenidos, al nivel de significación del 5%. Prueba bilateral.
117. Solución: 6 = 0,38 16 3 p2 = = 0,30 10
n1 = 16
p1 =
n2 = 10
1) H 0 : P1 = P2
∝ = 0,05
υ = n1 + n2 − 2 = 24
2) ∝ = 0,05
H a : P1 ≠ P2
3) s p1 − p2 =
p q2 p1q1 + 2 n1 − 1 n2 − 1
57
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
4) t =
Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
0,38 − 0,30 = 0,40 0,38(0,62) 0,3(0,7) + 16 − 1 10 − 1
La preferencia no depende de los niveles de grasa, de acuerdo a los resultados obtenidos y al nivel del 5%. Prueba bilateral.
LIMITES DE CONFIANZA PRUEBAS CON DISTRIBUCIONES DE MEDIAS MUESTRALES
118. Solución: µ = 20
n = 25 x=µ ± z
σ =4
A(0,4500) → Z = 1,65
x = 168,52
P = 99%
σ n
4 x = 20 ± 1,65 25
x = 20 ±
6,60 21,32 = 5 18,68
119. Solución: σ = 2,48
n = 100
0,9900 = 0,4950 → Z = 2,57 2
169,16 µsi = 168,52 ± 2,57 2,48 = 168,52 ± 2,57 (0,248) =
167,88
100
120. Solución: n = 60
x = 35
s = 4,2
P = 95%
0,9500 = 0,4750 2
58
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
µ = 35 ± 1,96 4,2
60
A(0,4750) → Z = 1,96
36,062
µS = 35 ± 8,23 = 35 ± 1,062 = 7,75 I 33,938
121. Solución: n = 36
x = 40
s = 2,1
P = 95%
µS = 40 ± 1,96
2,1 36
I
40,69 39,31
µS = 40 ± 4,12 = 40 ± 0,69 = 6
I
122. Solución: n = 80
x = 4,82
s = 0,1
P = 90%
A(0,4500) → Z = 1,65 4,838 µS = 4,82 ± 1,65 0,1 = 4,82 ± 0,018 = 4,802
80
I
123. Solución: x=
∑ xi 10 = =1 n 10 2 ∑ xi2 − nx 2 10,0074 − 10(1) s x2 = = = 0,0008 n −1 9
s x = 0,0008 = 0,028
µ S = 1± 1,8331 I
0,028 10
59
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
1,016 0,984
µS = 1 ± 0,051 = 1 ± 0,016 = 3,16
I
υ = n − 1 = 10 − 1 = 9
124. Solución: x=
∑ xi 19.518 = = 1.301,20 n 15
s x2 =
∑ xi2 − nx 2 30.207.364 − 15(1.301,20) = = 343.610,17 n −1 14 2
s x = 343.610,17 = 586,18
υ = 15 − 1 = 14 µS = x ± t I
s n
µ S = 1.301,20 ± 2,14 I
586,18 15
1.625,09 977,31
µS = 1.301,20 ± 323,89 = I
125. Solución: x = 38,2 %
µS = x ± t I
n = 15
P = 99%
υ = 15 − 1 = 14
s n −1
µ S = 38,2 ± t I
sˆ = 5,2 %
5,2 14
42,34% 5,2 = 38,2 ± 4,14 = 3,74 34,06%
µ S = 38,2 ± 2,9768 I
60
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
126. Solución: n = 14 P = 95%
x = 34,86 υ = n − 1 = 13
sˆ = 4,23 ∝ = 0,05
4,23 4,23 = 34,86 ± 2,1604 13 3,60
µ S = 34,86 ± t I
37,40 32,32
µS = 34,86 ± 2,54 = I
127. Solución: n = 23
x = 26,3
sˆ = 1,9
P = 99%
1,9 1,9 = 26,3 ± 2,8188 22 4,69
µ S = 26,3 ± 2,8188 I
27,44 25,16
µS = 26,3 ± 1,14 = I
128. Solución: 3,83 6
a) µ S = x ± z I
19,48 14,31
µS = 16,9 ± 1,65 3,83 = 16,9 ± 2,58 = I
2,45
Nota: cuando se conoce σ se le emplea de preferencia en vez de s; aunque se puede aplicar como en este caso.
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
b) xi 18,5 20,6 12,9 14,6 19,8 15,0 101,4
xi − x 1,6 3,7 -4,0 -2,3 2,9 -1,9 0
(xi − x )2
x=
2,65 13,69 16,00 5,29 8,41 3,61 49,65
101,4 = 16,9 6
s2 =
3,15 6
µ s = 16,9 ± t I
49,65 = 9,93 5
s = 9,93 = 3,15
3,15 19,49 = 16,9 ± 2,59 = 14,31 6
µ s = 16,9 ± 2,0150 I
Nota: si se da σ deberá trabajarse directamente y no como aparece anteriormente con sˆ 129. Solución: n=5
t=
P = 95%
x −µ sˆ n −1
sˆ = 17,11 − µ 4 sˆ − 2,7764 = 12,39 − µ 4 ⇒ 0 = 29,5 − 2µ 2,7764
sˆ = ?
xs = 17,11
t
xi = 12,39
sˆ =x−µ n −1
2µ = 29,5
µ=
29,5 = 14,75 2
2,7764
sˆ = 17,11 − 14,75 2
2,7764sˆ = 2(2,36)
µ = 14,75 sˆ = 1,7
sˆ =
4,72 = 1,7 2,7764
62
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
130. Solución: x=
97,2 = 12,15 8
s x2 =
0,28 = 0,04 7
s x = 0,2
12,40 3,4995 (0,2) a) µ s = 12,15 ± t 0,2 = 12,15 ± = 12,15 ± 0,25 = 2,83
11,90
8
I
b) H 0 : µ = 12,35 H a : µ ≠ 12,35 Sí se mantiene la producción de 12,35 onzas en promedio por tarro al nivel del 1%, la respuesta anterior se justifica diciendo que µ = 12,35 se encuentra dentro de los límites calculados, es decir entre 11,90 y 12,40.
xi 12,1 11,9 12,4 12,3 11,9 12,1 12,4 12,1 97,2
xi − x -0,05 -0,25 0,25 0,15 -0,25 -0,05 0,25 -0,05 0
(xi − x )2 0,0025 0,0625 0,0625 0,0225 0,0625 0,0025 0,0625 0,0025 0,2800
131. Solución: µ s = 374.000 ± 1,96 I
E = Zs x = ±2,58
381.840 80.000 = 400 366.160
80.000 = 10.320 400
E = 10.320
63
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
132. Solución: x±z σ n
x ± 5,2
z
σ n
= 5,2
2,57
2,57σ = (3,16)5,2 ⇒
siendo : p = 99% = 0,9900
σ = 5,2
0,9900 = 0,4950 → z = 2,57 2
10
5,2(3,16) = 6,39 2,57
σ=
σ = 6,39
133. Solución: a) n = 100
µs = x ± z σ
n
I
σ =8
x = 26
P = 99%
Z = 2,57
µ s = 26 ± 2,57 8 I
100
28,06 20,55 = 26 ± 2,06 = 10 I 23,94 b) 1) H 0 : µ = 30 2) ∝ = 0,01 3) σ = 8 H a : µ ≠ 30
µ s = 26 ±
Como µ = 30 no se ubica dentro de los límites de confianza (28,06 y 23,94) hay razón para rechazar la hipótesis nula y aceptar la alternativa, es decir, que el término medio de la nicotina es diferente de 30, al nivel del 1%.
134. Solución: n = 30
µ = x ±t
x = 612.000
s n −1
s 2 = 935.000
s = 966,95
∝ = 0,05
612.367,2 966,95 = 612.000 ± 367,20 = 30 − 1 611.632,8
µ = 612.000 ± 2,045
υ = n − 1 = 29 ⇒ t = 2,045
∝ = 0,05
µˆ S = 612.367,2 µˆ I = 611.632,8
64
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
135. Solución: n =8
s = 3,50 (corregido)
x = 20,63
∝ = 0,01
υ = 8 −1 = 7
24,96 16,30
a) µ = 20,63 ± 3,499 3,50 = 20,63 ± 4,33 = 8
b) 1) H 0 : µ = 22 H a : µ ≠ 22
2) ∝ = 0,01
3) s = 3,53
Observamos que H 0 : µ = 22 cae dentro de los límites 16,30 y 24,96, cuando esto ocurre se acepta la hipótesis nula, en caso contrario se rechaza. Al nivel del 1% no se puede afirmar que estos resultados sean diferentes al señalado por la empresa. 136. Solución: x=
n = 18
s2 =
1.351.000 = 79.470,51 18 − 1
2.700.000 = 150.000 semanal 18
s = 79.470,51 = 281,91
150.140,20 a) µ = 150.000 ± 2,110 281,91 = 150.000 ± 140,20 = 149.859,80
18
υ = n − 1 = 17
t = 2,110
∝ = 0,05
b) 1) H 0 : µ = 152.000 H a : µ ≠ 152.000
2) ∝ = 0,05
3) µˆ S = 150.140,20 µˆ I = 149.859,80
Al nivel del 5%, no se puede afirmar que el salario promedio por semana es diferente a $152.000, ya que este valor cae por fuera de los límites de confianza al nivel del 5%. c) El error cometido es de tipo II 137. Solución: n=9
x=
2.531 = 281,22 9
s2 =
712.413 − 9(281,22) = 79,94 ⇒ s = 8,94 9 −1 2
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
288,09 a) µ = x ± t s ⇒ x = 281,22 ± 2,306 8,94 = 281,22 ± 6,87 =
n
9
274,35
v = n − 1 = 8 t = 2,306 ∝= 0,05
b) 1) H 0 : µ = 280 H a : µ ≠ 280
3) µ S = 288,09 µ I = 274,35
2) ∝ = 0,05
Observemos que 280 cae dentro de los límites de confianza, al nivel del 5%, por tal razón se puede aceptar la afirmación.
138. Solución: n = 100
x = 120
∝ = 2%
s = 25
Z = 2,33
P = 98%
a) µˆ = x ⇒ µˆ = 120 b) µˆ = x ± Z s ⇒ µˆ = 120 ± 2,33 25 = 120 ± 5,82 = 125,82 n
c) 1) H 0 : µ = 100 H a : µ ≠ 100
100
2) ∝ = 0,02
114,18
3) µˆ S = 125,82 µˆ I = 114,18
Como µ = 100 cae por fuera de los límites, al nivel del 2%, se puede concluir que la velocidad promedio es diferente a los 100 kilómetros por hora.
DISTRIBUCIONES DE UNA PROPORCIÓN 139. Solución: p=
188 = 0,0376 5.000
q = 1 − 0,0376 = 0,9624
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
(0,9624)(0,0376) = 0,0362 = 0,0000072 = 0,002683
sp =
5.000
5.000
0,0420 0,0332
a) PS = 0,0376 ± 1,65 ( 0,002683 ) = 0,0376 ± 0,0044 = I
b) PS = 0,0376 ± 1,96 (0,002683) = 0,0376 ± 0,0053 = 0,0429
0,0323
I
0,0445 0,0307
c) PS = 0,0376 ± 2,57 ( 0,002683 ) = 0,0376 ± 0,0069 = I
140. Solución: q=
95 = 0,11 826
sp =
p = 0,89
P = 90%
PS I = p ± z
pq n
0,89(0,11) 0,0979 = = 0,0001185 = 0,0108 826 826
0,908 PS = 0,89 ± 1,65 (0,0108) = 0,89 ± 0,018 = I 0,872
141. Solución: n = 100
p = 0,60
a) Pˆ = p ± z
pq n
∝ = 1%
Z = 2,57
P = 99%
0,73 0,6(0,4) Pˆ = 0,60 ± 2,57 = 0,6 ± 0,13 = 100 0,47
67
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3) s p = pq
2) ∝ = 0,01
b) 1) H 0 : P = 0,62
Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
H a : P ≠ 0,62
Nota: cuando la prueba es bilateral podemos utilizar los límites de confianza. Como P = 0,62 cae dentro de los límites 0,47 y 0,73, por lo tanto se acepta H 0 . El fabricante tiene razón, al nivel del 1%. c) Se está cometiendo un error de Tipo II, ya que estamos aceptando algo falso. Aceptar 0,60 cuando en realidad es 0,65.
142. Solución: p=
640 = 0,8 800
a) Pˆ = p ± z
n = 800
∝ = 1%
Z = 2,57
P = 99%
0,84 0,8(0,2) Pˆ = 0,80 ± 2,57 = 0,80 ± 0,04 = 800 0,76
pq n
b) 1) H 0 : P = 0,85
3) sP = pq
2) ∝ = 1%
H a : P ≠ 0,85
Nota: cuando la prueba es bilateral utilizamos los límites de confianza. Observamos que 0,85 cae por fuera, por lo tanto aceptamos la hipótesis alternativa H a : P ≠ 0,85 , de ahí que al nivel del 1% no aceptamos la aseveración. c) Pˆ = 0,80 ± E Z=
0,77 → 0,83
E = 0,03 = Z
0,8(0,2 ) 800
0,03 = 2,12 ⇒ A (0,4830) × 2 = 96,60 0,8 (0,2 ) 800
P = 96,60%
68
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
143. Solución: p = 85 = 0,85 100
n = 100
pq n
a) Pˆ = p ± z
Z = 1,64 ó 1,65
P = 90%
Pˆ = 0,85 ± 1,64
0,15 (0,85) 0,91 = 0,85 ± 0,06 = 0 100 ,79
2) ∝ = 0,10
b) 1) H 0 : P = 0,80
3) s p = pq
H a : P ≠ 0,80
Nota: la prueba es bilateral, por lo tanto si P = 0,80 cae dentro de los límites, aceptamos H 0 : P = 0,80 , es decir, que el gerente tiene razón al afirmar que el 80% incluyen leche en la compra, al nivel del 10%. 144. Solución: p=
n = 80
52 = 0,65 80
P = 95% ⇒ Z = 1,96
0,75 0,65 (0,35) Pˆ = 0,65 ± 1,96 0,65 ± 0,10 = 80 0,55
pq n
a) Pˆ = p ± z
b) 1) H 0 : P = 0,56
2) ∝ = 0,05
H a : P ≠ 0,56
0,56 cae por dentro de los límites, si hay razón para aceptar la afirmación hecha por la Cámara de Comercio, al nivel del 5%.
DISTRIBUCIONES DE DIFERENCIAS ENTRE DOS MEDIAS MUESTRALES 145. Solución:
2
s x2 =
21 92 − 10 − nx 10 = 92 − 44,1 = 5,32 = n1 − 1 10 − 1 10 − 1
∑ xi2
2
69
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
2
32 136 − 16 ∑ − ny 16 136 − 64 2 sy = = = 4,80 = n2 − 1 16 − 1 16 − 1 yi2
x=
2
∑ xi 21 = = 2,1 n1 10
y=
υ = n1 + n2 − 2 = 26 − 2 = 24 ⇒
∑ yi 32 = =2 n2 16
t = 2,0639
(10 − 1)5,32 + (16 − 1)4,8
µ x − y s = (x − y ) ± t
10 + 16 − 2
I
µ x − y s = (2,1 − 2) ± 2,0639 119,88 24
I
1 1 + 10 16
0,1625 = 0,10 ± 2,0639 (2,2349) (0,403)
µ x − ys = 0,10 ± 1,86 =
1,96 1 ,76
I
El valor de s x − y se podrá calcular así: s2 =
[92 − 10(2,1) ]+ [136 − 16(2) ] = 4,9958 ≅ 5 ; 2
2
10 + 16 − 2
siendo: s x − y =
5 5 + = 0,9 10 16
µ x − y = (2,1 + 2) ± 2,0639(0,9) 1,96 1,76
µ x − y = 0,1 ± 1,86 =
146. Solución: s x2 = 1.482 = 41,16 36 sx − y =
s 2y =
1.830 = 28,59 64
41,16 28,59 + = 1,59 = 1,26 36 64
µ x − yS = (x − y ) ± Z (s x − y ) I
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
17,94 12,06
µ x − yS = (75 − 60) ± 2,33 (1,26) = 15 ± 2,94 = I
147. Solución: Primera parte: µ x − y = (x − y ) ± t
(n1 − 1)s x2 + (n2 − 1)s y2
µ x − y = (5 − 7,5) ± 2,12
n1 + n2 − 2
1 1 + n1 n2
8(8,01) + 8(5,15) 9+9−2
− 5,07 1 1 + = − 2,5 ± 2,57 = 9 9 0,07
(Siendo : υ = n1 + n2 − 2 = 16 y ∝ = 0,05 se tiene que t = 2,1199)
Segunda parte: 1) H 0 : µ x = µ y
2) ∝ = 0,05
3) s x − y = 1,21
H a : µx ≠ µ y
4) t =
x − y 5 − 7,5 = = −2,07 sx− y 1,21
υ = 16
∝ = 0,05
t = 2,1199
La diferencia no es significativa, al nivel del 5%. Prueba bilateral. También se pueden utilizar los límites de confianza (de la primera parte), como µ x − µ y = 0 Observemos que el cero, al nivel del 5%, cae dentro de ellos, por lo tanto la diferencia no es significativa. 148. Solución: n1 = 9 n2 = 20
360 = 40 9 960 y= = 48 20
x=
sx = 6
P = 99%
s y2 = 100 ⇒ s y = 10
∝ = 0,01
υ = 29 − 2 = 27
t = 2,771
71
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a) µ x − y = (x − y ) ± t
(n1 − 1) s x2 + (n2 − 1) s y2 n1 + n2 − 2
µ x − y = (40 − 48) ± 2,771
Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
1 1 + n1 n2
(9 − 1) 36 + (20 − 1)100 1 + 1 9 + 20 − 2
9
20
2,01 − 18,01
µ x − y = − 8 ± 2,771 (9,00)(0,40) = −8 ± 10,01 =
b) 1) H 0 : µ x = µ y
2) ∝ = 0,01
3) Ls = 2,01
H a : µx ≠ µ y
Li = −18,01
Sabiendo µ x − µ y = 0 , observamos que queda incluida dentro del intervalo, por lo tanto se acepta la hipótesis nula H 0 , es decir, la diferencia entre las medias muestrales no es significativa, al nivel del 1%.
149. Solución: n1 = 7
∑ xi = 177,4
x = 25,34
∑ xi2 = 4.573,2
n2 = 5
∑ yi = 125,7
y = 25,14
∑ yi2 = 3.181,15
S2 =
[∑ x
2 i
] [
]
− n1 x 2 + ∑ yi2 − n2 y 2 = n1 + n2 − 2
υ = 12 − 2 = 10 ∝ = 0,05
t = 2,228
[4.573,2 − 7 (25,34) ] + [3.181,15 − 5 (25,14) ] = 2
2
7+5−2
s 2 = 9,94
a) µˆ x − y = (x − y ) ± t
s2 s 2 + n1 n2
µ x − y = (25,34 − 25,14) ± 2,228
b) 1) H 0 : µ x = µ y
4,31 9,94 9,94 + = 0,20 ± 4,11 = 7 5 − 3,91
2) ∝ = 0,05
72
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
H a : µx ≠ µ y
3) t = 2,228
υ = 10 para ∝ = 0,05
Como µ x − µ y = 0 , observamos que se ubica dentro de los límites -3,91 y 4,31, estaremos aceptando H 0 . Al nivel del 5%, no podemos afirmar que hay desacuerdo entre ellos.
150. Solución: a) µ x − y = (272 − 335) ± 2,101
(10 − 1) 1.636 + (10 − 1) 1.892 10 + 10 − 2
1 1 + 10 10
µ x − y = −63 ± 39,46 = − 23,54 − 102,46
b) 1) H 0 : µ x = µ y
2) ∝ = 0,05
H a : µx ≠ µ y
υ = 18 ∝ = 0,05
3) t = 2,01 para
Siendo µ x − µ y = 0 , no cae dentro de los límites -102,46 y -23,54 de ahí que no aceptamos H 0 . Al nivel del 5%, si hay diferencias entre la resistencia media de esta fibras.
151. Solución: 854,58 745,42
a) µ s = 800 ± 2,33 150 = 800 ± 54,58 I
41
b) 1) H o : µ = 1.000 H a : µ > 1.000
Saldo promedio en cuentas corrientes
2) α = 1%
73
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
1.200 − 1.000 = 5,92 200 35
3) Z =
Al nivel del 1%, se puede concluir que sí es superior a los $1.200.000, las cuentas de ahorro. d) 1) H o : µ x = µ y
2) α = 0.05%
Ha :µx ≠ µ y
3) Z = 800 − 1.200
1502 2002 + 41 35
= − 9,73
Se observa que -9,73 cae en la región crítica, por lo tanto al nivel del 5%, hay una diferencia significativa en los saldos. e) 1) H o : µ x = µ y
2) α = 0.05%
Ha :µx < µ y
3) Z = 800 − 1.200
1502 2002 + 41 35
= − 9,73
Al nivel del 5%, se puede concluir que promedio en las cuentas corrientes es menor que el de los ahorros.
152. Solución: n1 =10
x =4
µ x − y = (4 − 3,6 )± 2,086
s x = 0,4
n2 =12
y = 3,6
s y = 0,03
0,4 2 0,032 + 10 12
0,66 0,14
µ x − y = 0,4 ± 0,26
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
DISTRIBUCIÓN DE PROPORCIONES
153. Solución: p1 =
40 = 0,33 120
p2 =
55 = 0,37 150
0,11 a) µ p1 − p2 = (0,33 − 0,37) ± 2,57 0,33(0,67) + 0,37(0,63) = −0,04 ± 0,15 = 120
150
− 0,19
2) ∝ = 0,05
b) 1) H 0 : P1 = P2 H a : P1 ≠ P2
Se observa que P1 − P2 = 0 y se ubica dentro de los límites, por lo tanto se puede concluir que la diferencia entre éstas dos proporciones de preferencia no es significativa al nivel del 1%.
154. Solución: p1 =
10 = 0,63 16
p2 =
12 = 0,55 22
a) µP1 − P2 = (0,63 − 0,55) ± 2,028
υ = 36
t = 2,028
0,42 0,63 (0,37) 0,55 (0,45) + = 0,08 ± 0,34 = 16 − 1 22 − 1 − 0,26
Nota: es muy común, en el caso de muestras pequeñas, donde debe utilizarse la “t” de Student, se obtenga la varianza pq dividiendo por n-1, tal como se hizo en el ejercicio anterior. b) 1) H 0 : P1 = P2
2) ∝ = 0,05
H a : P1 ≠ P2
Siendo P1 = P2 , la diferencia de P1 − P2 = 0 ubicándose dentro de los límites que permiten la aceptación de la hipótesis nula ( H 0 ), es decir, que los anteriores resultados no permiten concluir, una diferencia significativa de opción respecto a los nuevos incentivos.
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
155. Solución: 120 = 0,6 200 150 p2 = = 0,50 300 p1 =
n1 = 200
n2 = 300
a) µ p1 − p2 = (0,6 − 0,5) ± 1,96 µ p1 − p2 = ( p1 − p2 ) ± Z
P = 95%
Z = 1,96
∝ = 0,05
0,19 0,6 (0,4) 0,5 (0,5) + = 0,10 ± 0,09 = 200 300 0,01
p1 q1 p2 q2 + n1 n2
b) 1) H 0 : P = 0,60
2) ∝ = 0,05
H a : P < 0,60
p1 q1 p2 q2 + n1 n2
3) s P1 − P2 = 4) Z =
Z=
p1 − p2 p1 q1 p2 q2 + n1 n2 0,6 − 0,5 = 2,22 0,6 (0,4) 0,5 (0,5) + 200 300
Como es una prueba unilateral seguimos este proceso. Observemos que 2,22 cae en la región crítica, por lo tanto podemos decir que en la segunda encuesta disminuyó su popularidad. NOTA: Se entiende mejor el problema si se invierten las proporciones, es decir, p1 = 0,50 y p2 = 0,60 y la prueba es unilateral izquierda. 156. Solución: n1 = 10 n2 = 18
6 = 0,60 10 10 p2 = = 0,50 18 p1 =
P = 0,90
υ = 10 + 18 − 2 = 26
∝ = 0,10
t = 1,706
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µ p1 − p2 = ( p1 − p2 ) ± t
Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
p1 q1 p2 q2 + n1 − 1 n2 − 1
µ p1 − p2 = (0,6 − 0,56) ± 1,706
0,39 0,6 (0,4) 0,56 (0,44) + = 0,04 ± 0,35 = 10 − 1 18 − 1 − 0,31
157. Solución: υ = 16 + 20 − 2 = 34 ⇒
p1 = 18%
n1 = 16
P = 95%
p2 = 10%
n2 = 20
∝ = 0,05 (se toma el doble ∝ = 0,10 )
µ p1 − p2 = ( p1 − p2 ) ± t
t = 2,032
p1 q1 p2 p2 + n1 − 1 n2 − 2
µ p1 − p2 = (0,18 − 0,10) ± 2,032
0,18 (0,82) 0,1 (0,9) + 16 − 1 20 − 1
0,32 − 0,16
µ p1 − p2 = 0,08 ± 0,24 =
Los límites están entre -16% y el 32%
77
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
158. Solución: 14 = 0,70 20 17 p2 = = 0,85 20
n1 = 20
p1 =
n2 = 20
µ p1 − p2 = ( p1 − p2 ) ± t
P = 95%
υ = 20 + 20 − 2 = 38
∝= 0,05
t = 2,024
p1 q1 p q + 2 2 n1 − 1 n2 − 1
µ p1 − p2 = (0,70 − 0,85) ± 2,024
0,7 (0,3) 0,85 (0,15) + 20 − 1 20 − 1
0,12 − 0,42
µ p1 − p1 = −0,15 ± 0,27 =
Se podría decir que los límites están entre -0,42 y el 12%.
159. Solución: 16 onzas = 1 libra de café
a) 1) H 0 : µ = 16 H a : µ < 16 t=
n = 20
2) ∝ = 0,05
x = 15,1
sˆ = 6,3
3) sˆ = 6,3
15,1 − 16 = − 0,62 6,3 20 − 1
υ = n − 1 = 19
t = 2,093 ∝ = 0,05
Al nivel del 5%, no se puede afirmar que se está vendiendo el producto por debajo del peso establecido de una libra. b) Si el valor verdadero es 15,5 onzas, se comete un error de Tipo II, ya que se está aceptando a 16 onzas, valor que es falso.
160. Solución:
78
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∝ = 1%
n1 = 8
n2 = 6
Σ = ( xi − x ) = 8,215
x = 8,325
Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
y=9
Σ = ( yi − y ) = 13,48
2
2
2) ∝ = 0,05
1) H 0 : P1 = P2 H a : P1 < P2
3) s 2 =
t=
8,215 − 13,48 = 1,81 8+6−2
s 2 = 1,81
8,325 − 9 = − 0,93 1,81 1,81 + 8 6
υ = n1 − n2 = 12
t = 2,681 ∝ = 0,02
Cae (-0,93) en la ZA, por lo tanto al nivel del 1%, no se puede concluir que el valor de B produce una mayor utilidad que el valor A.
161. Solución: n1 = 120
n2 = 120
1) H 0 : P1 = P2
p1 = 108 = 0,90 120
p2 = 104 = 0,87 120
2) ∝ = 0,02
H a : P1 > P2 ∝ = 0,02 ⇒ A(0,4800) ⇒ Z = 2,05
Z =
0,90 − 0,87 0,03 = = 0,73 0 ,041 0,10 (0,90) 0,13 (0,87 ) = 120 120
0,73 cae en la zona de aceptación, por lo tanto al nivel del 2%, no se podrá afirmar que la asistencia en la primera fábrica sea superior a la segunda.
162. Solución:
79
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
n1 = 17 n2 = 8
x = 828 y = 808,75
1) H 0 : µ x = µ y
Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
s x = 63 s y = 52,67
2) ∝ = 0,01
H a : µx ≠ µ y
υ = n1 + n2 − 2 = 23
t = 2,807 ∝ = 0,01
µ x − y = (828 − 808,75) ± 2,807
16 (63) + 7 (52,67 ) 25 − 2 2
2
1 1 + 17 8
91,51 − 53,01
µ x − y = 19,25 ± 72,26 =
Se acepta H 0 al nivel del 1%, por lo tanto no existe diferencia salarial
163. Solución: µ = 3,07 mg / cc
1) H 0 : µ x = 3,07 H a : µ x ≠ 3,07
n = 10
x = 3,04
s = 0,50
2) ∝ = 0,01
υ = n −1= 9
t = 3,25 ∝ = 0,01
t=
3,04 − 3,07 = − 0,19 0,5 10
Al nivel del 1%, se puede aceptar la afirmación del distribuidor, sobre el contenido medio de grasa. Prueba bilateral.
164. Solución:
80
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Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
n=7
x = 33,91
2 ∑ (xi − x ) = 43,95
n=5
y = 33,14
2 ∑ ( yi − y ) = 31,85
υ = 10
t = 2,228 ∝ = 0,05
s2 =
a) µ x − y = (33,91 − 33,14) ± 2,228 b) 1) H 0 : µ x = µ y
43,95 + 31,85 = 7,58 7+5−2
7,58 7,58 + 7 5
µ x − y = 0,77 ± 3,59 =
4,36 − 2,82
2) ∝ = 0,05
Ha : µx ≠ µ y
Como µ x − µ y = 0 si el cero cae dentro de los límites, estamos aceptando H 0 , es decir, no hay diferencias o no están en desacuerdo, al nivel del 5%.
165. Solución: P = 0,10
p = 218 ≅ 0,09 2.500
1) H 0 : P = 0,10
2) ∝ = 0,05
H a : P ≠ 0,10
Z =
0,09 − 0,10 = − 1,75 0,09 (0,91) 2.500
-1,75 cae en la zona de aceptación. Al nivel del 5% se puede afirmar que el porcentaje es correcto.
166. Solución: n1 = 50
x = 95,7
s x = 8,20
∝ = 1%
81
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n2 = 50
y = 87,8
1) H 0 : µ x = µ y
s y = 6,64
Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
Z = 2,33
2) ∝ = 0,05
H a : µx > µ y
3) Z =
95,7 − 87,8 8,2 2 6,64 2 + 50 50
= 5,29
5,29 cae en la región crítica. Al nivel del 1%, se acepta la afirmación del fabricante, que el promedio a la tensión de los tornillos A excede a los de B.
167. Solución: n1 = 100
p1 = 0,32
1) H 0 : P1 = P2
n2 = 80
p2 = 0,24
2) ∝ = 0,02
H a : P1 > P2
3) Z =
0,32 − 0,24
0,32 (0,68) 0,24 (0,76) + 100 100
= 1,26
1,26 cae en la zona de aceptación. Al nivel del 2%, se puede concluir que la segunda planta no presenta niveles menores de contaminación, al estar alimentadas con combustibles diferentes.
168. Solución: P = 0,40
p = 210 = 0,35 600
82
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1) H 0 : P = 0,40
Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
2) ∝ = 0,05
H a : P ≠ 0,40
3) Z =
0,35 − 0,40 = − 2,57 0,35 (0,65) 600
Z = -2,57 cae en la zona de rechazo, podemos concluir al nivel del 5%, que la proporción de fumadores es diferente al 40%.
169. Solución: µ = 12
n=8
1) H 0 : µ = 12 H a : µ ≠ 12
x = 12,14
s = 0,37
2) ∝ = 0,05
υ=7
t = 2,365 ∝ = 0,05
3) t =
12,14 − 12 = 1,07 0,37 8
t = 1,07 cae en la zona de aceptación. Al nivel del 5%, el personal no requiere de un promedio diferente a los 12 minutos.
170. Solución:
83
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
Se puede plantear con medias o proporciones muestrales. Supongamos que se realiza aplicando este último. El primer método produce un incremento del 12%, mientras que en el segundo es del 10%. Establecemos que el nivel es del 5% y los tamaños muestrales fueron 36 y 50 respectivamente. Los resultados permiten concluir que el primer método presenta un mayor incremento. 1) H 0 : P1 = P2
2) ∝ = 0,05
H a : P1 > P2
3) Z =
0,12 − 0,10 = 0,29 0,12 (0,88) 0,10 (0,9 ) + 36 50
Como Z = 0,29 cae en la zona de aceptación, al nivel el 5%, se podrá concluir que el primer método no produce mayor incremento con respecto al segundo método. 171. Solución: n1 = 250
n2 = 250
1) H 0 : P1 = P2
p1 = 18 = 0,07 250
p2 = 13 = 0,05 250
∝ = 0,05
2) ∝ = 0,05
H a : P1 > P2
3) Z =
0,07 − 0,05 = 0,94 0,07 (0,93) 0,05 (0,95) + 250 250
Z = 0,94 cae en la zona de aceptación. Al nivel del 5% no se puede afirmar que la tasa de desempleo en la segunda ciudad sea inferior al la primera.
172. Solución: a) Corresponde a las pruebas de normalidad para un conjunto de observaciones al comprobar si las mismas pueden haber resultado del muestreo aleatorio de una población supuestamente normal. Se puede decir que ser objeto es evaluar o probar una afirmación con respecto a un valor estadístico de la población.
84
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
b) La distribución “t” de Student se utiliza en muestras pequeñas, generalmente n ≤ 30 , cuando no conoce la varianza poblacional y se deba sustituir por el de la muestra. c) El error de tipo I se comete cuando rechazamos la hipótesis verdadera, cuando ella es falsa. d) La inferencia corresponde a la realización de investigaciones utilizando una parte de los elementos de la población (muestras) con la cual se obtiene unos resultados, denominadores estimadores, considerándolos representativos de los valores estadísticos de la población (parámetros).
173. Solución: µ = 24
n = 10
1) H 0 : µ = 24 H a : µ > 24
x = 26
sˆ = 3
2) ∝ = 0,01
υ=9
t = 2,821 ∝ = 0,02
t=
26 − 24 =2 3 10 − 1
t = 2 cae en la zona de aceptación. Al nivel del 2%, el tiempo promedio no es mayor de los 24 minutos.
174. Solución: Se deja al alumno la contestación de este punto, con el cual se le facilita recordar conceptos que aprendió en clase y en la lectura de éste u otros textos.
85
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza
175. Solución: P = 0,05
n =191
1) H 0 : P1 = 0,05
p = 14 = 0,07 191
2) ∝ = 0,05
H a : P1 > 0,05
3) Z =
0,07 − 0,05 = 1,08 0,07 (0,93) 191
Z = 1,08 cae en la zona de aceptación. Al nivel del 5%, no se justifica suponer que el requisito no se está cumpliendo. Unilateral derecha.
86
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Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
9 Otras pruebas de hipótesis PARAMETRICAS
Y NO PARAMETRICAS
EJERCICIOS RESUELTOS PRUEBA DE HIPOTESIS DE UNA VARIANZA 1. Solución: a) n = 20
s = 10
s 2 = 100
υ = n −1 =19
χ 2 = 0,469 υ 0,025 ; 19 Valores críticos 2 χ = 1,73 υ 0 , 975 ; 19
χ2 < 1,73 υ
→
0,469 <
< 1,73
→
100 100 > σ2 > 0,469 1,73
→
100 100 < σ2 < 1,73 0,469
→
0,469 <
7,60 < σ < 14,59
sˆ 2
σ
2
1 σ2 1 > 2 > ˆs 0,469 1,73 10 < σ < 1,73
10 0,47
→
→
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
b) n = 51
s = 10
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
s 2 = 100
χ2 = 0,647 υ 0,025 ; 50 Valores críticos χ2 = 1,43 υ 0,975 ; 50
χ2 < 1,43 υ
→
0,647 <
100 100 0,647 100 1,43
10 0,647
→
8,36 < σ < 12,43
< 1,36
→
1 σ2 1 < 2 < 1,36 sˆ 0,697
10 0,697
→
10 10 0,763 1,27
→
100 100 1,87 υ
7) Rechazar H o y aceptar H a:
6) σ2 25
Sˆ 2
σ
2
=
49 = 1,96 25
≠1
3
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
4. Solución: a)
b) 99% de confianza
95% de confianza 0,402 <
S2
< 1,87
2 0,291 < S 2 < 2,24
< 1,87
0,291 < 492 < 2,24
1 1 σ2 > > 0,402 49 1,87
1 > σ2 > 1 0 ,291 49 2,24
0,402 <
σ
2
49
σ2
1 1 σ2 < < 1,87 49 0,402 49 49 < σ2 < 1,87 0,402 7 1,87
< σ
<
7
σ
σ
49 < σ 2 < 49 2,24 0,291 7 σ > 0,480 1,71
⇒
0,60
0,60 0,60 > 0,480 0,36 1,71
0,60
⇒
0,60 0,60 >σ > 0,69 1,31
>σ >
1,71
0,46 < σ < 0,87
7. Solución:
(∑ xi )2 n
x=
= 1.000
(∑ xi )2 = 1.000 (100) = 100.000
∑ x = 316,23 = 3,16 n
100
s2 =
∑ xi
= 100.000 = 316,23
∑ xi2 − x 2 = 2.000 − 3,16 2 = 20 − 9,99 = 10,01 n
100
6
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a) 1) H 0 : Ha :
σ2 8
σ2 8
2) ∝ = 0,05
=1 ≠1
χ 3) = 0,742 υ 0, 025 ; 100
χ2 υ > 1,30
χ 4) = 1,30 υ 0,975 ; 100
χ2 υ < 0,74
2
5)
2
s2
σ
2
=
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
10,01 = 1,25 8
6) Aceptamos que
σ2 8
= 1 , por lo tanto se puede admitir que la varianza anterior era 8, al
nivel de significación del 5%.
Nota: del ejercicio 8 hasta el 15 se le deja al estudiante para que sean resueltos.
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Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
PRUEBAS DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE PEARSON
16. Solución: H0 : ρ = 0 Ha : ρ > 0
1) H 0 : R = 0 Ha : R > 0
3) υ = 20 − 2 = 18
4) t = r
2) ∝ = 0,05 t0,10 = 1,7341
H 0 : No hay correlación H 0 : Hay correlación
n−2 1 − r2
t = 0,37
18 = 0,37 (4,57 ) = 1,69 1 − 0,37 2
1,69 < 1,7341. Se acepta la hipótesis nula. No se puede deducir al nivel del 5%, que el coeficiente de correlación de la población difiere de 0. No hay correlación
17. Solución: H0 : ρ = 0 Ha : ρ ≠ 0
1) H 0 : R = 0 Ha : R ≠ 0
2) ∝ = 0,05 4) t = r
3) υ = 18 − 2 = 16
n−2 1 − r2
t = − 0,92
16 = − 9,39 2 1 − (− 0,92)
-9,39 < -2,1192. Se ubica en la zona de rechazo. Se puede concluir al nivel del 5% que el coeficiente de correlación es extremadamente significativo.
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Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
18. Solución:
∑ xi = 660 = 60
x =
n
∑ xi2 r=
11
= 41.210
[∑
− n (x )
2
] [∑
n
880 = 80 11
∑ xi yi
= 52.593
yi2
− n (y)
2
]
52.593 − (60) (80)
r
[41.210 − 11 (60) ] [70.864 − 11 (80) ] 2
= − 0,239
2
H0 : ρ = 0 Ha : ρ ≠ 0
1) H 0 : R = 0 Ha : R ≠ 0
3) υ = 11 − 2 = 9
2) ∝ = 0,05 4) t = r
=
2 ∑ y i = 70.864
∑ xi y i − n x y xi2
∑y
y=
n−2 1 − r2
t = − 0,239
9 = − 0,74 1 − 0,057
Se acepta H 0 . Al nivel de significación del 5%, se puede concluir que no existe correlación entre las calificaciones de matemáticas II y estadística II.
19. Solución: r=
∑ xi r=
n ∑ xi yi − (∑ xi ) (∑ yi )
[n ∑ x = 28
2 i
− (∑ xi )
2
∑ xi2
] [n ∑ y
2 i
− (∑ yi )
= 102
2
∑ xi yi
10 (143) − (48) (28)
[10 (102) − (28) ] [10 (260) − (48) ] 2
] = 143
∑ yi
= 48
∑ yi2
= 260
= 0,33
2
9
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Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
2) ∝ = 0,05
1) H 0 : R = 0 Ha : R > 0
3) υ = 10 − 2 = 8 4) t = r
n−2 1 − r2
t = 0,33
8 = 0,99 1 − 0,11
0,99 < 1,86. Se acepta H 0 , es decir, que no existe correlación entre las actitudes obtenidas con la muestra, ante los dos tipos de salsa.
20. Solución: z=
z − µz
µz =
σz =
σz
1 + r 1 In 2 1- r 1 + 0,9
µ z = 1,1513 log10 1 - 0,9
1 = n−3
1 1 = = 0,18 35 − 3 5,66 1 + r
µ z = 1,1513 log10 1- r ⇒
1,9 = 1,1513 (1,2787 ) = 1,4721 0,10
µ z = 1,1513 log10
Ahora determinamos el valor de la variable Z 1 + r z = 1,1513 log10 1- r
1 + 0,8 = 1,1513 (0,9542) = 1,0986 z = 1,1513 log10 1 - 0,8
Los valores de µ z y Z se pueden obtener utilizando la tabla de transformación de r en Z. Buscamos en la columna de r el valor de 0,9 y nos da 1,472, luego el de 0,8 y Z será igual a 1,099.
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Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
Con los anteriores valores, reemplazamos en la variante estadística. H 0 : ρ = 0,90 H a : ρ ≠ 0,90
1) H 0 : R = 0,90 H a : R ≠ 0,90
2) ∝ = 0,05 3) σ z = 0,18 4) z =
z − µz
σz
=
1,0986 − 1,4721 = − 2,075 0,18
Al nivel del 5% se rechaza la hipótesis de que el coeficiente de correlación es de 0,90, es decir que el coeficiente de correlación de 0,8 no proviene de una población con un coeficiente de 0,9. Nota: se hubiera podido hacer una prueba unilateral hacia la izquierda. a) H 0 : R = 0,9
∝ = 0,05
H a : R < 0,9
La conclusión será la misma que la dada en la dócima bilateral.
21. Solución: σz =
1 1 = = 0,2182 n−3 21
(Usando la tabla se obtiene 0,973) 1) H 0 : R = 0,60
1 + 0,6 = 0,6932 1 - 0,6
µ z = 1,1513 log10
1 + 0,75 = 0,9730 z = 1,1513 log10 1 - 0,75
2) ∝ = 0,05
H a : R > 0,60
3) σ z = 0,2182
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4) z =
z − µz
σz
=
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
0,973 − 0,6932 = 1,28 0,2182
Se acepta la hipótesis de que R = 0,60; no se puede rechazar que el coeficiente de correlación r = 0,75, en una muestra, no pertenezca a una población con coeficiente de correlación 0,60.
22. Solución: σz =
1 = 0,143 52 − 3
µ z si = z ± zσ 2 0,87 0,31
µ zsi = 0,590 ± 1,96 (0,143) =
23. Solución: 1) H 0 : ρ = 0,60 H a : ρ > 0,60
1 1 = = 0,10 103 − 3 10
3) σ z =
4) z =
2) ∝ = 0,05
z − µz
z=
σz
1,472 − 0,693 = 7,79 0,10
Usando la tabla: z para r = 0,90 es igual a 1,472; µ z para r = 0,60 es igual a 0,693 Se rechaza la hipótesis de que el coeficiente de correlación es 0,60, al nivel del 5%
24. Solución: σz =
1 52 − 3
= 0,1428
P(r ≤ 0, 40 ) = ?
12
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µ z = 0,678 (Utilizamos la tabla, cuando r = 0,59);
z=
z − µz
σz
=
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
z = 0,424 (En la tabla cuando r = 0,40)
0,424 − 0,678 = − 1,78 0,1428
z = − 1,78 → A (0,4625) A (0,5000 ) − A (0,4625) = 0,0375
P(r < 0, 40 ) = 3,75%
25. Solución: r = 0,65, en la tabla µ z = 0,775 y para r = 0,75 ⇒ Z = será igual a 0,973
Si la P(r ≥ 0,75) = 15% = 0,15 A (0,5000) − A (0,1500) = 0,3500 ⇒ z = 1,04 z=
z − µz
σz =
σz
0,973 − 0,775 = 0,19 ⇒ σ z = 1,04
n − 3 = 5,26 ⇒
1 n−3
⇒ 0,19 =
1 n−3
⇒
n − 3 = 5,26 2 ⇒ n − 3 = 28 ⇒ n = 28 + 3 = 31
n−3=
1 = 5,26 0,19
n = 31
26. Solución: 1 + r1 z1 = 1,1513 log 1 − r1
1 + 0,5 = 0,549 z1 = 1,1513 log 1 − 0,5
(ver tabla)
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1 + 0,30 = 0,310 z2 = 1,1513 log 1 − 0,30
1) H 0 : µ z1 = µ z 2
σ z1 − z 2 =
(ver tabla)
2) ∝ = 0,05
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
1 1 + = n1 − 3 n2 − 3
1 1 + = 0,2669 25 32
3) σ z1 − z 2 = 0,2669
H a : µ z1 ≠ µ z 2
4) z =
z=
(z1 − z2 ) − (µ z σ z1 − z 2
− µ z2
1
)
(0,549 − 0,310) − 0 = 0,8955 0,2669
Z = 0,8955 se sitúa en la zona de aceptación, es decir, no existe una diferencia significativa entre los coeficientes de correlación obtenidos en las muestras. 27. Solución: 1 + r1 z1 = 1,1513 log 1 − r1 1 + 0,8 = 1,099 z1 = 1,1513 log 1 − 0,8
1 + 0,6 = 0,693 z2 = 1,1513 log 1 − 0,6
1 1 1 1 + = + = 0,354 n1 − 3 n2 − 3 12 24
σ z1 − z 2 =
1) H 0 : µ z1 = µ z 2
2) ∝ = 0,05
H a : µ z1 ≠ µ z 2
3) σ z1 − z 2 = 0,354 4) z =
(z1 − z2 ) − 0 = 1,099 − 0,693 = 1,15 σ z1 − z 2
0,354
z = 1,15
La diferencia no es significativa, al nivel del 5%.
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Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
28. Solución: xi
yi
xi yi
xi2
yi2
5 8 10 12 20 55
3 2 5 6 14 30
15 16 50 72 280 433
25 64 100 144 400 733
9 4 25 36 196 270
55 = 11 5
x=
s x2 =
∑ xi2
by x =
n mx y
s x2
y=
− x2 =
=
30 =6 5
s 2y =
733 − 121 = 25,6 5
mx y =
n
5
∑ xi yi − x y = 86,6 − 66 = 20,6 n
20,6 = 0,81 25,6
C y x = y − x by x = 6 − 0,81 (11) = − 2,91 Yˆ = b y x x + C yx
s 2y x =
∑ y i2 − y 2 = 270 − 36 = 18
by x = 0,81
C y x = − 2,91
Yˆ = 0,81x − 2,91
∑ yi2 − C y x ∑ yi − b y x ∑ xi yi n
=
270 − (− 2,91) 30 − 0,81 (433) = 1,31 5
s y x = 1,31 = 1,14 s x = 25,6 = 5,06 t=
´ b y x − bYX sy x
sx
n−2=
0,81 − 0,70 1,14 5,06
5−2 =
0,11 (1,73) = 0,83 0,23
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Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
Siendo υ = 5 − 2 = 3 ; t0,05 = 2,3554 . Se acepta la hipótesis de que el coeficiente de regresión puede ser tan bajo como 0,70. t
29. Solución:
d =
Lote
xi
yi
d i = xi − yi
di − d
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Σ
49 58 53 60 45 49 66 55 44 52 -
47 57 49 57 44 44 67 52 42 53 -
2 1 4 3 1 5 -1 3 2 -1 19
0,1 -0,9 2,1 1,1 -0,9 3,1 -2,9 1,1 0,1 -2,9 0
∑ di n
1) H 0 : ad = 0
∑ (d i − d )
2
19 = =1,9 10
sd =
n −1
=
34,90 = 1,97 9
sd =
(d
− d)
2
i
0,01 0,81 4,41 1,21 0,81 9,61 8,41 1,21 0,01 8,41 34,90
sd 1,97 = = 0,62 n 10
2) ∝ = 0,05
H a : ad ≠ 0
3) sd = 0,62 4) t =
d − ad 1,9 − 0 = = 3,06 0,62 sd
υ = n −1 = 10 −1 = 9
Los resultados señalan una diferencia significativa entre ambas semillas; t = 3,06 se sitúa en la región crítica, por tal razón, se rechaza la hipótesis nula H o : ad = 0 y se acepta la alternativa.
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Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
30. Solución: Pareja
xi
yi
1 2 3 4 5 Σ
25 30 28 34 23 -
19 32 21 34 19 -
∑ (d i − d )
2
sd =
n −1
∑ di
d =
n
sd =
=
=
d i = xi − yi 6 -2 7 0 4 15
di − d 3 -5 4 -3 1 0
(d
− d)
2
i
9 25 16 9 1 60
60 = 3,87 4
15 =3 5
sd 3,87 = = 1,73 n 5
1) H 0 : ad = 0
2) ∝ = 0,05
υ = 5 −1= 4
H a : ad ≠ 0
3) sd = 1,73 4) t =
d − ad 3−0 = = 1,73 sd 1,73
t = 1,73 se sitúa en la región de aceptación y se acepta la hipótesis nula, es decir, no puede considerarse que alguna dieta sea superior a la otra.
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Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
31. Solución: n=6
d =5
ad = d ± t si
sd = 6,48
sd n
υ = 6 −1= 5
a d = 5 ± 2,5706
11,80 = 5 ± 6,80 = 6 − 1,80
6,48
si
32. Solución: Lote
xi
yi
d i = xi − yi
di − di
1 2 3 4 5 6 7 8 Σ
13 14 19 10 15 14 12 11 -
12 16 17 9 16 12 10 8 -
1 -2 2 1 -1 2 2 3 8
0 -3 1 0 -2 1 1 2 0
∑ (di − d )
2
sd =
1)
n −1
H 0 : ad = 0 H a : ad > 0
2) ∝ = 0,05 4) t =
=
20 = 1,69 7
d =
8 =1 8
sd =
(d
− d)
2
i
0 9 1 0 4 1 1 4 20
sd 1,69 = = 0,60 n 8
υ = 7
t = 1,8946 ∝ = 0,10
3) sd = 0,60
d − ad 1 = = 1,67 sd 0,60
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Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
Al nivel del 5%, estos resultados no señalan una mayor producción para la nueva manzana.
33. Solución:
d =
1)
Lote
xi
yi
d i = xi − yi
di − di
1 2 3 4 5 6 Σ
23 35 29 33 43 32 -
28 38 29 37 42 30 -
-5 -3 0 -4 1 2 -9
-3,5 -1,5 1,5 -2,5 2,5 3,5 0
∑ di n
=
H 0 : ad = 0 H a : ad < 0
2) ∝ = 0,05 4) t =
∑ (d i − d )
2
−9 = − 1,5 6
sd =
n −1
41,50 = 2,88 5
=
(d
− d)
2
i
12,25 2,25 2,25 6,25 6,25 12,25 41,50
sd =
sd 2,88 = = 1,18 n 6
∝ = 0,10 t = 2,015 υ =5
3) sd = 1,18
d − ad − 1,5 − 0 = = − 1,27 sd 1,18
Como -1,27 se ubica en la zona de aceptación, se considera que estos resultados no indican que la pausa para el café aumenta la productividad.
34. Solución: Finca
xi
yi
d i = xi − yi
di − di
1 2 3 4 5
86 87 56 93 84
80 79 58 91 77
6 8 -2 2 7
0,5 2,5 -7,5 -3,5 1,5
(d
− d)
2
i
0,25 6,25 56,25 12,25 2,25
19
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6 7 8 Σ
d =
∑ di n
=
93 73 79 -
82 74 66 -
11 -1 13 44
∑ (d i − d )
2
44 = 5,5 8
υ=7
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
sd =
n −1
206 = 5,42 7
=
5,5 -6,5 7,5 0
sd =
30,25 42,25 56,25 206,00 sd 5,42 = = 1,92 n 8
∝ = 0,05
ad = d ± t si
sd n
10,04 a d = 5,5 ± 2,3646 (1,92) = si 0,96
35. Solución:
d =
Atleta
xi
yi
d i = xi − yi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Σ
127 195 162 170 143 205 168 175 197 136 -
135 200 160 182 147 200 172 186 194 141 -
-8 -5 2 -12 -4 5 -4 -11 3 -5 -39
∑ di n
− 39 = = − 3,9 10
1) H 0 : ad = 0
∑ (di − d )
2
sd =
2) ∝ = 0,05
n −1
=
296,9 = 5,74 9
di − d -4,1 -1,1 5,9 -8,1 -0,1 8,9 -0,1 -7,1 6,9 -1,1 0
(d
− d)
2
i
16,81 1,21 34,81 65,61 0,01 79,21 0,01 50,41 47,61 1,21 296,90
υ = n −1= 9
∝ = 0,05
3) sd = 5,74
H a : ad ≠ 0
20
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4) t =
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
d − ad − 3,9 (3,16) = = − 2,15 sd 5,74 n
Se acepta la hipótesis nula. Al nivel del 5%, el programa de entrenamiento no afecta el peso medio de los atletas.
36. Solución: n = 25
1) H 0 : ad = 0 H a : ad > 0
2) ∝ = 0,05 4) t =
υ = 24
∝ = 0,05
d = 5,6
sd = 9,6
υ = n − 1 = 24 ∝ = 0,10
3) s d = 9,6
d − ad 5,6 − 0 = = 2,92 sd 9,6 n 25
Se rechaza la hipótesis nula y aceptamos la alternativa. El primer método es superior, al nivel del 5%.
37. Solución: Amas de casa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Σ
xi
yi
3 1 5 2 0 4 3 3 2 5 -
2 4 4 7 3 4 6 5 5 8 -
d i = xi − yi 1 -3 1 -5 -3 0 -3 -2 -3 -3 -20
di − di 3 -1 3 -3 -1 2 -1 0 -1 -1 0
(d
− d)
2
i
9 1 9 9 1 4 1 0 1 1 36
21
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d =
∑ di n
H a : ad < 0
∑ (d i − d )
2
− 20 = = −2 10
1) H 0 : ad = 0
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
sd =
n −1
=
36 =2 9
2) ∝ = 0,05 υ=9
3) sd = 2 4) t =
d − ad − 2 10 = = − 3,16 sd 2 n
Se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa ad < 0 . Al nivel de significación del 5%, el tipo de salsa picante menos espesa alcanzó una mayor preferencia en la muestra.
38. Solución:
d =
1)
No.
xi
yi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Σ
2 3 4 5 1 4 5 7 4 5 3 3 -
3 5 7 4 3 2 5 4 6 7 6 6 -
∑ di n
=
H 0 : ad = 0 H a : ad < 0
− 12 = −1 12
d i = xi − yi -1 -2 -3 1 -2 2 0 3 -2 -2 -3 -3 -12
di − di 0 -1 -2 2 -1 3 1 4 -1 -1 -2 -2 0
∑ (d i − d ) = 46 =
(d
− d)
2
i
0 1 4 4 1 9 1 16 1 1 4 4 46
2
sd =
n −1
11
4,18 = 2,04
υ = n − 1 = 11
t = − 1,7959 ∝ = 0,10
22
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
2) ∝ = 0,05 4) t =
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
3) s d = 2,04
d − ad − d n − 1(3,46) = = = − 1,70 sd 2,04 sd n
Se ubica en la zona de aceptación; la diferencia no es significativa al nivel del 5%. Podrá afirmarse que el anuncio B no suscita más atención que el anuncio A. 39. Solución: No. Prueba
xi
yi
d i = xi − yi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -
20 17 18 20 19 18 19 20 19 20
19 18 20 17 18 17 19 19 20 19
1 -1 -2 3 1 1 0 1 -1 1 4
d =
∑ di n
=
Σ 4 = 0,4 10
1) H 0 : ad = 0
∑ (d i − d )
di − di
n −1
= 1,43
sd =
− d)
2
i
0,6 -1,4 -2,4 2,6 0,6 0,6 -0,4 0,6 -1,4 0,6 0
2
sd =
(d
0,36 1,96 5,76 6,76 0,36 0,36 0,16 0,36 1,96 0,36 18,40
sd 1,43 = = 0,452 n 10
2) ∝ = 0,05
H a : ad ≠ 0
3) s d = 1,43 4) t =
d − ad 0,4 = = 0,885 sd 0,452
Al nivel del 5%, no se puede afirmar que exista una diferencia significativa.
40. Solución:
23
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
d =
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
No. Prueba
xi
yi
d i = xi − yi
di − di
1 2 3 4 5 6 -
21 20 20 22 16 21
17 18 18 16 14 13
4 2 2 6 2 8 24
0 -2 -2 2 -2 4 0
∑ di n
=
Σ
1) H 0 : ad = 0
∑ (d i − d )
2
24 =4 6
sd =
n −1
=
32 = 2,53 5
sd =
(d
− d)
2
i
0 4 4 4 4 16 32
sd 2,53 2,53 = = = 1,033 2,45 n 6
2) ∝ = 0,01
H a : ad ≠ 0
3) t =
d 4 = = 3,872 sd 1,033
Al nivel del 1%, no permite afirmar que exista una diferencia significativa.
41. Solución: No. Prueba 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Σ
1º. Estudio 7 8 10 11 18 16 12 12 6 12 -
2º Estudio 8 8 7 6 10 9 9 8 7 10 -
d i = xi − yi -1 0 3 5 8 7 3 4 -1 2 30
di − di -4 -3 0 2 5 4 0 1 -4 -1 0
(d
− d)
2
i
16 9 0 4 25 16 0 1 16 1 88
24
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
∑ di
d =
n
=
30 =3 10
∑ (d i − d )
2
sd =
=
n −1
υ=9
P = 99%
88 = 3,13 9
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
sd =
t = 3,2498
sd 3,13 = = 0,99 n 10
ad = d ± tsd
6,22 a d s = 3 ± 3,2498 (0,99) = i − 0,22
υ=9
1) H 0 : ad = 0 H a : ad > 0
∝ = 0,02
t = 2,821
3) t =
2) ∝ = 0,01
3 = 3,03 0,99
Se concluye que este programa si reduce el tiempo medio de ensamble, al nivel del 1%.
42. Solución: Mecanógrafa
xi
yi
d i = xi − yi
di − di
1 2 3 4 5 6 7 8 Σ
75 89 79 85 102 115 97 69 -
79 62 54 67 81 78 66 73 -
-4 27 25 18 21 37 31 -4 151
-22,88 8,12 6,12 -0,88 2,12 18,12 12,12 -22,88 0
d =
(d
− d)
2
i
523,49 65,93 37,45 0,77 4,49 328,33 146,89 524,49 1.631,84
∑ d i = 151 = 18,88 8
n
∑ (d i − d ) = 1.631,84 = 15,27 sd = 2
n −1
7
sd =
sd n
=
15,27 = 5,40 8
25
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
1) H 0 : ad = 0
υ = n −1= 7
H a : ad ≠ 0
t0,05 = 2,3646
3) s d = 5,40
2) ∝ = 0,05 4) t =
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
d − ad sd
18,88 − 0 = 3,50 5,40
t=
El valor de t = 3,50 se ubica en la región crítica. Se rechaza la hipótesis nula H 0 : ad = 0 por lo tanto la diferencia es significativa, al nivel del 5%.
CHI – CUADRADO O JI-CUADRADO
43. Solución:
p=
ni
ni*
ni − ni*
12 17 20 22 13 16 100
16,666 16,666 16,666 16,666 16,666 16,666 99,999
-4,666 0,334 3,334 5,334 -3,666 -0,666 0,004
1 6
ni* = pn =
1) H 0 : ni = ni* H a : ni ≠
3) χ 2 = ∑
H 0 : Fo = Fe
i
i
− ni*
)
2
21,77 0,11 11,12 28,45 13,44 0,44 Siendo υ = n − 1 = 5
(n
− ni* ni* 1,306 0,007 0,667 1,707 0,806 0,026 4,519
i
)
2
χ 02, 01 = 15,09
2) ∝ = 0,01
H a : Fo ≠ Fe
ni*
(n
1 (100) = 16,666 6
(n
− ni* ni*
)
2
= 4,519
Como χ 2 = 4,519 se sitúa en la zona de aceptación, se puede considerar al dado como perfecto, es decir, no está cargado, al nivel del 1%.
26
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
44. Solución:
p1 =
ni
ni*
ni − ni*
20 55 25 100
25 50 25 100
-5 5 0 0
1 = 0,25 4
p2 =
ni* = n p1 = 100 (0,25) = 25
1) H 0 : ni = ni* H a : ni ≠
3) χ 2 = ∑
i
− ni* ni*
i
−n
)
25 25 0 -
2 = 0,50 4
p3 =
n2* = n p2 = 100 (0,50) = 50
H 0 : Fo = Fe
i
− ni* ni* 1,00 0,50 0 1,50
)
2
1 = 0,25 4
n3* = n p3 = 100 (0,25) = 25
2) ∝ = 0,05
H a : Fo ≠ Fe
ni*
(n
(n
(n
* 2 i
)
2
Siendo υ = 3 − 1 = 2
= 1,50
χ 02,05 = 5,99
Se puede concluir que la segregación se ha presentado de acuerdo a la relación mendeliana de 1: 2: 1.
45. Solución:
ni
n
ni − n
120 49 36 12 217
122,06 40,69 40,69 13,56 217,00
-2,06 8,31 -4,69 -1,56 0
* i
* i
(n
i
)
* 2 i
−n
4,24 69,06 21,99 2,43 -
(n
i
− ni*
)
2
ni* 0,0347 1,6972 0,5404 0,1792 2,4515
27
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
p1 =
9 = 0,5625 16
n1* = np1 = 217 (0,5625) = 122,06
p2 =
3 = 0,1875 16
n2* = np2 = 217 (0,1875) = 40,69
p3 =
3 = 0,1875 16
n3* = np3 = 217 (0,1875) = 40,69
p4 =
1 = 0,0625 16
n4* = np4 = 217 (0,0625) = 13,56
1) H 0 : ni = ni* H a : ni ≠
Siendo
υ =4 − 1 = 3 χ 02, 05 = 7,82
ni*
2) ∝ = 0,05 3) χ
2
(n =∑
χ2 = ∑
i
(Fo
− ni* ni*
)
2
= 2,4515
− Fe ) Fe
2
Se puede concluir, que los resultados son consistentes con la proporción esperada, al nivel del 5%.
46. Solución: ni 440
ni*
400
ni − ni*
40
)
−n
i
(n
i
n
ni − n
220
200
20
* i
(n
i
400
)
2
1) χ
4
)
* 2 i
−n
− ni* ni*
1.600
ni
* i
(n
* 2 i
(n
i
− ni* ni*
2
(n − n ) =∑
* 2 i
i
ni*
=4
)
2
2
28
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Fo
Fo − Fe
Fe
(Fo
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
(Fo
− Fe )
2
− Fe ) Fe
2)
2
χ2 = ∑
(n − n )
* 2 i
i
ni*
Exactamente es la mitad del valor del punto (a) 1 1 2 2
1 2
σ = n p q = 400 = 10
3) µ = n p = 400 = 200
z=
z=
X −µ
σ X −µ
σ
=
219,5 − 200 = 1,95 10
=
180,5 − 200 = − 1,95 10
z = 1,95 → A (0,4744)
0,4744 + 0,4744 = 0,9488
P(180,5 > x > 219,5 ) = 1 − 0,9488 = 0,0512 = 5,12%
47. Solución: ni
ni*
ni − ni*
34 10 20 64
36 12 16 64
-2 -2 4 0
(n
i
p1 =
9 = 0,5625 16
ni* = n p1 = 64 (0,5625) = 36
p2 =
3 = 0,1875 16
n2* = n p2 = 64 (0,1875) = 12
)
* 2 i
−n 4 4 16 -
(n
i
− ni* ni* 0,11 0,33 1,00 1,44
)
2
29
=2
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
p3 =
n3* = n p3 = 64 (0,25) = 16
4 = 0,25 16
υ =n − 1 = 3 − 1 = 2
χ 02,05 = 5,99
1) H 0 : ni = ni* H a : ni ≠
3) χ 2 = ∑
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
2) ∝ = 0,05
ni*
(n
i
− ni* ni*
)
2
= 1,44
Los datos son consistentes con el modelo, al nivel del 5%
48. Solución: Tratamiento Vacunados No Vacunados Total
ni 192 113 4 34 343
ni* 173,85 131,15 21,66 16,34 343,00
Enfermos 192 113 305
No Enfermos 4 34 38
ni − ni* 18,15 -18,15 -17,66 17,66 0
p1 = 196 = 0,57 343
n1* = 305 (0,57 ) =173,85
p2 = 147 = 0,43 343
n2* = 305 (0,43) = 131,15
(n
i
)
* 2 i
−n
329,42 329,42 311,87 311,87 -
Total 196 147 343
(n
− ni* ni* 1,90 2,51 14,40 19,09 37,90
i
)
2
n3* = 38 (0,57 ) = 21,66
30
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
n4* = 38 (0,43) = 16,34
1) H 0 : ni = ni*
H 0 : Fo = Fe
υ = (2 −1)(2 −1) = 1
H a : ni ≠
H a : Fo ≠ Fe
χ 02,01 = 6,64
ni*
2) ∝ = 0,01 3) χ 2 = ∑
(n
i
− ni* ni*
)
2
= 37,90
χ2 = ∑
(Fo
− Fe ) Fe
2
Estos datos no nos indican la efectividad de la vacunación al nivel del 1%. Aplicando la corrección de Yates.
ni −
n − n* − 0,5 i i
− 0,5
ni*
17,65 17,65 17,16 17,16 _
(n
i
χ2 = ∑
− ni* − 0,5
)
311,52 311,52 294,47 294,47 _
2
2
ni*
= 35,79 ;
χ 02, 01 < χ 2
Otra fórmula de cálculo para χ 2 sin corregir:
χ2 ==
n − n * − 0,5 i i ni* 1,79 2,38 13,60 18,02 35,79
2
6,64 < 35,79
⇒
χ2 =
n ( AD − BC ) m1 m2 m3 m4
2
343 [5.904,5] = 35,80 333.931.080 2
La fórmula con la cual se obtiene el valor χ 2 corregida se da a continuación: χ = 2
n
( AD − BC
− 0,5 n )
m1 m 2 m3 m 4
2
343 [(192) (342) − 4 (113)] 343 [6.076] = = 37,92 305 (38) (196) (147 ) 333.931.080 2
2
31
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
49. Solución: Color Ojos Azules Ojos Castaños Total
p1 =
Pelo Claro 23 4 27
ni
ni*
23 4 7 16 50
16,2 10,8 13,8 9,2 50,0
30 = 0,60 50
p2 =
Pelo Oscuro 7 16 23
ni − ni* 6,8 -6,8 -6,8 6,8 0
(n
i
Total 30 20 50
)
* 2 i
−n
46,24 46,24 46,24 46,24 -
(n
i
− ni*
)
2
ni* 2,85 4,28 3,35 5,03 15,51
20 = 0,40 50
n1* = 27 (0,60) =16,2 ; n2* = 27 (0,40) = 10,8 ; n3* = 23 (0,60) = 13,8 ; n4* = 23 (0,40) = 9,2
υ = (2 −1)(2 −1) = 1 ;
χ 02,01 = 3,84
2) ∝ = 0,05
1) H 0 : No hay relación H a : Existe relación
3) χ
2
(n =∑
i
− ni* ni*
)
2
= 15,51
Puede concluirse que existe relación entre ambas propiedades, al nivel del 1%.
Aplicando la corrección de Yates:
ni*
ni − ni*
16,2 10,8 13,8
6,8 -6,8 -6,8
n − n* i i
− 0,5 6,3 6,3 6,3
n − n* − 0,5 i i
39,69 39,69 39,69
2
n − n * − 0,5 i i * ni 2,45 3,68 2,88
2
32
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
9,2 50,0
6,8 0
6,3 -
39,69 -
n − n * − 0,5 i i = 13,32 χ2 = ∑ ni*
χ 02,05 < χ 2
Otra forma de cálculo sin corregir:
χ2 =
χ2 =
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
4,31 13,32
3,84 < 13,32
n ( AD − BC ) m1 m 2 m3 m 4
2
50 [(23) (16) − 7 ( 4)] 50 [340] 5.780.000 = = = 15,51 (Se llega a la misma conclusión) 27 (23) (30) (20) 372.600 372.600 2
2
La fórmula con la cual se obtiene χ 2 corregida: n ( AD − BC − 0,5 n )
2
χ = 2
=
m1 m2 m3 m4
50 [315] = 13,32 372.600 2
50. Solución: Sexo Hombres Mujeres Total
Escuchan 35 20 55
No escuchan 65 80 145
ni
n
ni − n
35 20 65 80 200
27,50 27,50 72,50 72,50 200,00
7,50 -7,50 -7,50 7,50 0
* i
* i
(n
i
Total 100 100 200
)
* 2 i
−n
56,25 56,25 56,25 56,25 _
(n
i
− ni*
)
2
ni* 2,045 2,045 0,776 0,776 5,642
33
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
p1 =
100 = 0,50 200
p2 =
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
100 = 0,50 200
n1* = 0,5 (55) = 27,50 ; n2* = 0,5 (55) = 27,50 ; n3* = 0,5 (145) = 72,50 ; n4* = 0,5 (145) = 72,50
υ = (2 −1)(2 −1) = 1 ;
χ 02,01 = 6,64
1) H 0 : ni = ni*
H 0 : Fo = Fe
H a : ni ≠
3) χ 2 = ∑
(n
i
2) ∝ = 0,01
H a : Fo ≠ Fe
ni*
− ni* ni*
)
2
χ2 = ∑
= 5,64
(Fo
− Fe ) Fe
2
No existe una diferencia significativa entre los hábitos de este grupo de hombres y mujeres respecto al programa radial.
Aplicando la corrección de Yates:
ni*
ni − ni*
ni − ni* − 0,5
27,5 27,5 72,5 72,5 200,0
-7,5 7,5 7,5 -7,5 0
7 7 7 7 -
n − n* i i
− 0,5
2
49 49 49 49 -
n − n * − 0,5 i i * ni 1,78 1,78 0,68 0,68 4,92
2
2
n ni − ni* − 0,5 = 4,92; 2 χ =∑ * ni
χ 02,01 > χ 2 se llega a la misma conclusión 6,64 > 4,92
Otra forma de calcular χ 2 sin corregir: χ2 =
n ( AD − BC ) m1 m2 m3 m4
2
χ2 =
200 [(35) 80 − 65 (20)] 200 [1.500] = = 5,64 (55) (145) (100) (100) 79.750.000 2
2
La fórmula con la cual χ 2 se obtiene corregida es:
34
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
2 n ( AD − BC − 0,5 n ) 200 (1.400) = = 4,91 m1 m2 m3 m4 79.750.000 2
χ2 =
51. Solución: ni
n
ni − n
8 2 16 14 40
6 4 18 12 40
2 -2 -2 2 0
* i
24 = 0,6 40 n1* = 0,6 (10) = 6
16 = 0,4 40 n2* = 0,4 (10) = 4
1) H 0 : ni = ni*
2) ∝ = 0,02
p1 =
H a : ni ≠
(n
* i
i
)
* 2 i
−n 4 4 4 4 -
(n
i
− ni* ni* 0,66 1,00 0,22 0,33 2,21
)
2
p2 =
n3* = 0,6 (30) = 18
n4* = 0,4 (30) = 12
ni*
3) υ = (2 −1)(2 −1) = 1 χ
2
(n =∑
i
− ni* ni*
)
2
= 2,21
χ =∑ 2
(Fo
− Fe ) Fe
2
La cantidad de fruta deteriorada no depende de su fumigación, al nivel del 2%
Aplicando la corrección de Yates:
ni*
ni − ni*
ni − ni* − 0,5
n − n* − 0,5 i i
6 4 18 12
2 -2 -2 2
1,5 1,5 1,5 1,5
2,25 2,25 2,25 2,25
2
n − n * − 0,5 i i * ni 0,38 0,56 0,12 0,19
2
35
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
40
χ2 = ∑
(n
i
0 − ni* − 0,5
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
_
)
ni*
_
1,25
2
χ 02,02 > χ 2
= 1,25;
χ2 =
Otra forma de calcular χ 2 sin corregir :
χ2 =
5,41 > 1,25 Se llega a la misma conclusión
⇒
n ( AD − BC ) m1 m2 m3 m4
2
40 [8 (14) − 16 (2)] 40 [80] 256.000 = = = 2,22 (10) (30) (24) (16) 115.200 115.200 2
2
La fórmula con la cual χ 2 se obtiene corregida. : n ( AD − BC − 0,5 n )
2
χ = 2
m1 m2 m3 m4
=
40 (60) = 1,25 115.200 2
52. Solución: n1* = 0,27 (17 ) = 4,59 ; n2* = 0,73 (17 ) = 12,41 ; n3* = 0,27 (93) = 25,11 ;
p1 =
ni
ni*
ni − ni*
9 8 21 72 110
4,59 12,41 25,11 67,89 110,00
4,41 -4,41 -4,11 4,11 0
30 = 0,27 110
1) H 0 : ni = ni* H a : ni ≠
p2 =
(n
i
− ni*
19,45 19,45 16,89 16,89 _
)
2
n4* = 0,73 (93) = 67,89
(n
i
− ni* ni* 4,24 1,57 0,67 0,25 6,73
)
2
80 = 0,73 110
2) ∝ = 0,05
ni*
υ = (2 −1)(2 −1) = 1
χ 02, 05 = 3,84
36
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
3) χ
2
(n =∑
i
− ni* ni*
)
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
2
= 6,73
La diferencia es significativa, al nivel del 5%.
Aplicando la corrección de Yates:
ni*
ni − ni*
ni − ni* − 0,5
n − n* − 0,5 i i
4,59 12,41 25,11 67,89 110,00
4,41 -4,41 -4,41 4,11 0
3,91 3,91 3,61 3,61 -
15,29 15,29 13,03 13,03 -
2
n − n * − 0,5 i i * ni 3,33 1,23 0,52 0,19 5,27
2
2
n ni − ni* − 0,5 = 5,27 se llega a la misma conclusión 2 χ =∑ ni*
χ2 =
Otra forma de cálculo χ 2 sin corregir
χ2 =
χ 02, 01 > χ 2 ⇒ 3,84 < 5,27
n ( AD − BC ) m1 m2 m3 m4
2
110 [9 (72) − 21 (8)] 110 [480] 25.344.00 = = = 6,68 17 (93) (30) (80) 3.794.400 3.794.400 2
2
La fórmula con la cual χ 2 se obtiene corregida : n ( AD − BC − 0,5 n )
2
χ = 2
m1 m 2 m3 m 4
110 [425] = 5,24 3.794.400 2
=
53. Solución: p1 =
20 = 0,20 110
p2 =
30 = 0,30 110
p3 =
50 = 0,50 100
37
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
n1* = 0,20 (20) = 4
n2* = 0,30 (20) = 6
n3* = 0,50 (20 ) = 10
n4* = 0,20 (30) = 6
n5* = 0,30 (30) = 9
n6* = 0,50 (30) = 15
n7* = 0,20 (50 ) = 10
n8* = 0,30 (50) = 15
n9* = 0,50 (50) = 25
ni
ni*
ni − ni*
2 3 15 9 6 15 9 21 20 100
4 6 10 6 9 15 10 15 25 100
-2 -3 5 3 -3 0 -1 6 -5 0
(n
i
(n
)
* 2 i
−n 4 9 25 9 9 0 1 36 25 -
i
)
− ni* ni* 1,00 1,50 2,50 1,50 1,00 0 0,10 2,40 1,00 11,00
2
2) ∝ = 0,01
1) H 0 : ni = ni* H a : ni ≠ ni*
υ = (3 − 1)(3 − 1) = 4
3) χ 2 = ∑
(n
i
− ni* ni*
χ 02, 01 = 13,28
)
2
= 11,0
El color del pelo no depende de la región geográfica, al nivel del 1%.
54. Solución: Vendedor
ni
n
ni − n
A B C D
35 20 47 32
35 35 35 35
0 -15 12 -3
* i
* i
(n
i
)
* 2 i
−n 0 225 144 9
(n
i
− ni*
)
2
ni* 0 6,43 4,11 0,26
38
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
E F Σ
51 25 210
35 35 210
1 n1* = 210 = 35 6
Siendo υ = 5
256 100 -
y
∝ = 0,05
7,31 2,86 20,97
χ 02,05 = 11,07
ni*
(n
3) χ 2 = ∑
16 -10 0
2) ∝ = 0,05
1) H 0 : ni = ni* H a : ni ≠
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
i
− ni* ni*
)
2
= 20,97
χ2 = ∑
(Fo
− Fe ) Fe
2
Se rechaza la hipótesis ya que χ 2 = 20,97 se sitúa en la zona de rechazo es decir, que el número de visitas no está distribuido en forma uniforme, al nivel del 5%.
55. Solución: ni
n
ni − n
59 43 102
51 51 102
8 -8 0
p = 0,5
* i
* i
i
−n
)
64 64 -
(n
i
− ni* ni* 1,25 1,25 2,50
)
2
n1* = n p1 = 102 (0,5) = 51
1) H 0 : ni = ni*
H 0 : Fo = Fe
H a : ni ≠ ni*
H a : Fo ≠ Fe
∝ = 0,05
(n
* 2 i
Siendo υ = 1 y ∝ = 0,05
2)
Se tiene χ 02,05 = 3,84
3) χ 2 = 2,50
39
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
Dado que 2,50 es menor que 3,84, podemos admitir al nivel del 5%, que la hipótesis (nula) es correcta; no hay razón para suponer que se produzcan más accidentes en la fábrica A que en la fábrica B.
56. Solución: Región
ni
n
ni − n
1 2 3 4 5 Σ
61 83 54 46 56 300
54 90 63 51 42 300
7 -7 -9 -5 14 0
* i
n1* = 300 (0,18) = 54
n2* = 300 (0,30) = 90
n3* = 300 (0,21) = 63
n4* = 300 (0,17 ) = 51
1) H 0 : ni = ni*
H 0 : Fo = Fe
H a : ni ≠ ni*
H a : Fo ≠ Fe
(n
* i
i
)
* 2 i
−n
(n
49 49 81 25 196 -
− ni* ni* 0,907 0,544 1,286 0,490 4,666 7,893
i
)
2
n5* = 42
2) ∝ = 0,01
3) Siendo υ = n − 1 = 4 χ 02, 01 = 13,28
> χ 2 = 7,893
Como χ 2 = 7,893 es menor que 13,28 se sitúa en la zona de aceptación, en consecuencia podemos admitir que las frecuencias de venta no son, en conjunto, significativamente diferente a las frecuencias dadas por las cuales, aunque acusen diferencias muy grandes para la región cinco, al nivel del 1%.
57. Solución: ni
n
ni − n
77
70,54
6,46
* i
* i
(n
i
)
* 2 i
−n
41,73
(n
i
− ni*
)
2
ni* 0,59
40
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
54 63 66 260
60,46 69,46 59,54 260,00
n1* =
131 × 140 = 70,54 260
n3* =
129 × 140 = 69,46 260
1) H 0 : ni = ni* H a : ni ≠
3) χ 2 = ∑
i
− ni* ni*
-6,46 -6,46 6,46 0 n2* =
41,73 41,73 41,73 -
0,69 0,60 0,70 2,58
131 × 120 = 60,46 260
n4* =
129 × 120 = 59,54 260
H 0 : Fo = Fe
2) ∝ = 0,05
H a : Fo ≠ Fe
ni*
(n
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
)
2
= 2,58
No se puede concluir que un procedimiento es mejor que el otro. Aceptamos la hipótesis nula H 0 n − n * − 0,5 i i Ahora procederemos aplicando la corrección de Yates χ 2 = ∑ ni*
ni
ni*
ni − ni*
n − n* − 0,5 i i
77 54 63 66 260
70,54 60,46 69,46 59,54 260,00
6,46 -6,46 -6,46 6,46 0
5,962 5,962 5,962 5,962 -
2
2
n − n * − 0,5 i i * ni 0,504 0,588 0,511 0,597 2,200
2
υ = (2 − 1) (2 − 1) = 1 → χ 02,05 = 3,84
1) H 0 : ni = ni* H a : ni ≠
2) ∝ = 0,05
ni*
41
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
2
n − n* − 0,5 i i = 2,20 2 3) χ = ∑ ni*
χ2 = ∑
(Fo
− Fe ) Fe
2
χ 2 = 2,20 se sitúa en la zona de aceptación. La diferencia entre las dos muestras no es significativa y no se puede tomar ninguna conclusión de que uno de ellos sea mejor, al nivel del 5%.
58. Solución: n1* =
675 × 550 = 245,37 1.513
n2* =
675 × 368 = 164,18 1.513
n3* =
675 × 251 = 111,98 1.513
n4* =
675 × 344 = 153,47 1.513
n5* =
554 × 550 = 201,39 1.513
n6* =
554 × 368 = 134,75 1.513
n7* =
554 × 251 = 91,91 1.513
n8* =
554 × 344 = 125,96 1.513
n9* =
284 × 550 =103,23 1.513
* n11 =
284 × 251 = 47,11 1.513
* n12 =
284 × 344 = 64,57 1.513
* n10 =
284 × 368 = 69,08 1.513
1) H 0 : ni = ni* H a : ni ≠
* i
ni
n
229 186 110 150 216 119 92 127 105 63 49 67 1.513
245,37 164,18 111,98 153,47 201,39 134,75 91,91 125,96 103,23 69,08 47,11 64,57 1.513,00
(n
i
− ni* ni*
)
2
1,092 2,900 0,035 0,078 1,060 1,841 0,000 0,009 0,030 0,535 0,076 0,091 7,747
2) ∝ = 0,02
ni*
42
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
χ2 = ∑
(n
i
− ni* ni*
)
2
χ2 = ∑
= 7,747
(Fo
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
− Fe ) Fe
2
3) υ = (4 − 1) (3 − 1) = 6 → χ 02,02 = 15,03 χ 2 = 7,747 se ubica en la región de aceptación, por ser inferior a 15,03, podemos concluir que la distribución de las piezas producidas por las cuatro máquinas, no acusan diferencias significativas en lo concerniente a la calidad, al nivel del 2%.
59. Solución: n1* =
200 (500) = 90,91 1.100
n2* =
400 (500) =181,82 1.100
n3* =
300 (500) = 136,36 1.100
n4* =
200 (500) = 90,91 1.100
n5* =
200 (100) = 18,18 1.100
n6* =
400 (100) = 36,36 1.100
200 (100) = 18,18 1.100 300 * (300) = 81,82 n11 = 1.100
n9* =
300 (100) = 27,27 1.100 400 (300) =109,09 = 1.100
n7* = * n10
* n13 =
200 (200) = 36,36 1.100
* n16 =
200 (200) = 36,36 1.100
ni 85 153 128 134 23 44 26
n8* =
* n14 =
* i
n
90,91 181,82 136,36 90,91 18,18 36,36 27,27
* n12
400 (200) = 72,73 1.100
ni − n
* i
-5,91 -28,82 -8,36 43,09 4,82 7,64 -1,27
200 (300) = 54,55 1.100 200 (300) = 54,55 = 1.100
* n15 =
(n
i
300 (200) = 54,55 1.100
)
* 2 i
−n
34,93 830,59 69,89 1,856,75 23,23 58,37 1,61
(n
i
− ni* ni*
)
2
0,3842 4,5682 0,5137 20,4240 1,2778 1,6053 0,0590
43
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7 56 128 101 15 36 75 45 44 1.100
18,18 54,55 109,09 81,82 54,55 36,36 72,73 54,55 36,36 1.100,00
-11,18 1,45 18,91 19,18 -39,55 -0,36 2,27 -9,55 7,64 0
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
124,99 2,10 357,59 367,87 1.564,20 0,13 5,15 91,20 58,37 -
6,8751 0,0385 3,2779 4,4961 28,6746 0,0708 0,0715 1,6719 1,6053 75,6139
H 0 : No hay relación entre los hábitos de fumar y beber H a : Si hay relación entre los hábitos de fumar y beber
2) υ = (4 − 1) (4 − 1) = 9 3) χ 2 = ∑
(n
i
− ni* ni*
)
χ 02,05 = 16,92
2
= 75,61
Se contrasta la hipótesis de independencia. Como 75,61 es mayor que 16,92 se rechaza la hipótesis de independencia, por lo tanto se infiere que existe una relación entre los hábitos de fumar y beber, al nivel del 5%.
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Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
60. Solución: ni
ni*
51 74 25 90 110 106 124 60 39 20 51 50 800
60 60 60 60 100 100 100 100 40 40 40 40 800
(n
ni − ni*
i
-9 14 -35 30 10 6 24 -40 -1 -20 11 10 0
)
* 2 i
−n
81 196 1.225 900 100 36 576 1.600 1 400 121 100 -
(n
i
− ni* ni*
)
2
1,35 3,27 20,42 15,00 1,00 0,36 5,76 16,00 0,02 10,00 3,02 2,50 78,70
χ 02, 05 = 12,59
Siendo: υ = (4 − 1) (3 − 1) = 6
∝ = 0,05
1) H 0 : Hay homogeneidad H a : No hay homogeneidad 2) χ
2
(n =∑
i
− ni* ni*
)
2
= 78,7
χ2 = ∑
(Fo
− Fe ) Fe
2
Se rechaza la hipótesis de homogeneidad, los 4 grupos no tienen la misma preferencia, al nivel del 5%.
61. Solución: (a) Falso
(b) Falso
(c) Cierto
(d) Cierto
(e) Cierto
(f) Cierto
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Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
62. Solución: Eslogan
Sexo
Recuerdan 209 65 274
Varones Mujeres Totales
No recuerdan 67 33 100
Totales 276 98 374
Será necesario efectuar la corrección de Yates, dado que se trata de una tabla de 2 × 2 y υ igual a 1.
ni
n
ni − n
209 65 67 33 374
202 74 72 26 374
7 -7 -7 7 0
* i
* i
2 Corrección ni − ni* − 0,5 Yates
6,5 6,5 6,5 6,5 -
42,25 42,25 42,25 42,25 -
n − n * − 0,5 i i * ni 0,209 0,571 0,587 1,625 2,992
2
1) H 0 : hay homogeneidad H a : no hay homogeneidad 2
n − n * − 0,5 i i = 2,992 2 2) χ = ∑ * ni
χ2 = ∑
(Fo
− Fe ) Fe
2
3) υ = (2 − 1) (2 − 1) = 1 χ 02,10 = 2,71 2,99 > 2,71; la hipótesis de homogeneidad se rechaza, al nivel del 10%.
45
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Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
63. Solución: ni
n
62 84 24 36 42 22 270
61,2 79,9 28,9 36,0 47,0 17,0 270,0
(n
ni − n
* i
* i
i
0,8 4,1 -4,9 0,0 -5,0 5,0 0
−n
)
i
0,64 16,81 24,01 0,00 25,00 25,00 -
2) υ = (3 − 1) (2 − 1) = 2
1) H 0 : ni = ni*
(n
* 2 i
− ni* ni*
)
2
0,01 0,21 0,83 0,00 0,53 1,47 3,05
χ 02,05 = 5,99
H a : ni ≠ ni*
3) χ 2 = ∑
(n
i
− ni* ni*
)
2
= 3,05
χ2 = ∑
(Fo
− Fe ) Fe
2
Se acepta que tienen la misma opinión, al nivel del 5%.
64. Solución: Sexo Hombres Mujeres Total
Margarina 86 144 230
ni
ni*
ni − ni*
ni − ni*
86 144 74 96
92 138 68 102
-6 6 6 -6
6 6 6 6
Mantequilla 74 96 170
n − n* i i
− 0,5
30,25 30,25 30,25 30,25
Total 160 240 400
2
n − n * − 0,5 i i * ni 0,33 0,22 0,44 0,30
2
46
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
400 p1 =
400
0
-
-
× 230 = 92 = n1* 160 = 0,40 → * 400 × 170 = 68 = n3
1) H 0 : ni = ni* H a : ni ≠
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
p2 =
1,29
× 230 = 138 = n2* 240 = 0,60 → * 400 × 170 = 102 = n4
2) ∝ = 0,05
H 0 : Fo = Fe H a : Fo ≠ Fe
ni*
3) υ = (2 − 1) (2 − 1) = 1 4) χ 02,05 = 3,84 χ 2 = 1,29 cae en la zona de aceptación, al nivel del 5%, no hay diferencias en las preferencias.
65. Solución: Resultados Defectuoso No Defectuoso Total
A 40 300 340
B 60 500 560
ni
ni*
ni − ni*
ni − n
40 300 60 500 900
37,4 302,6 61,6 498,4 900,0
2,6 -2,6 -1,6 1,6 0
2,6 2,6 1,60 1,60 -
Fo
Fe
Fo − Fe
Fo − Fe
p1 =
100 = 0,11 900
* i
n − n* − 0,5 i i
Total 100 800 900
2
4,41 4,41 1,21 1,21 -
(
Fo − Fe − 0,5)
2
n − n * − 0,5 i i ni* 0,12 0,01 0,02 0,00 0,15
(
2
Fo − Fe − 0,5)
2
Fe
p2 = 0,89
47
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
n1* = 0,11 (340 ) = 37,4
n3* = 0,11 (560 ) = 61,6
n2* = 0,89 (340 ) = 302,6
n4* = 0,89 (560 ) = 498,4
2) ∝ = 0,01
1) H 0 : ni = ni* H a : ni ≠
ni*
3) υ = 1
4) χ 2 = 0,15
χ 2 = 0,15 cae en la ZA, al nivel del 1%, por lo tanto no se puede afirmar diferencias entre la proporción de defectuosas para las dos operadoras.
66. Solución: ni
ni*
ni − ni*
85 11 3 1 100
85 10 4 1 100
0 1 -1 0 0
Fo
Fe
Fo − Fe
χ2 = ∑
(n − n )
* 2 i
i
ni*
1) H 0 : ni = ni* H a : ni ≠
(n
i
)
* 2 i
−n
(n
i
0 1 1 0 -
(Fo
− ni* ni*
)
2
0 0,10 0,25 0 0,35
− Fe )
2
(Fo
− Fe ) Fe
2
χ 2 = 0,35
2) ∝ = 0,10
ni*
48
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
3) υ = n − 1 = 3
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
χ 02,10 = 6,25
Al nivel del 10%, se puede concluir que los porcentajes de opinión son los mismos.
67. Solución: ni
ni*
ni − ni*
8 7 9 6 13 12 10 65
9,29 9,29 9,29 9,29 9,28 9,28 9,28 65,00
-1,29 -2,29 -0,29 -3,29 3,72 2,72 0,72 -
Fo
Fe
Fo − Fe
χ2 = ∑
p=
(n
i
− ni* ni*
i
−n
)
(n
i
1,6641 5,2441 0,0841 10,8241 13,8384 7,3984 0,5184 -
(Fo
− ni* ni*
)
2
0,18 0,56 0,00 1,17 1,49 0,80 0,06 4,26
− Fe )
2
(Fo
− Fe ) Fe
2
)
2
1 = 0,1429 × 65 = 9,29 7
∝ = 0,05
(n
* 2 i
χ 02, 05 = 12,59
υ = n −1= 7 −1= 6
χ 2 = 4,26
Como χ 2 = 4,26 cae en la zona de aceptación, podemos concluir al nivel del 5%, que los incendios están homogéneamente distribuidos por semana.
49
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
68. Solución: Calificaciones Aprueban No Aprueban Total
Hombres 110 20 130
Mujeres 80 10 90
Total 190 30 220
ni
ni*
ni − ni*
ni − ni*
n − n* − 0,5 i i
110 20 80 10
111,80 18,20 77,40 12,60
-1,8 1,8 2,6 -2,6
1,8 1,8 2,6 2,6
1,69 1,69 4,41 4,41
n − n * − 0,5 i i * ni 0,015 0,093 0,057 0,350
220
220,00
0
-
-
0,515
p1 =
190 = 0,86 220
× 130 = 111,80 → × 90 = 77,40
p2 =
30 = 0,14 220
× 130 = 18,20 → × 90 = 12,60
2
2
50
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
n − n * − 0,5 i i χ2 = ∑ ni*
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
2
χ 2 = 0,515
2) ∝ = 0,05
1) H 0 : No hay relación H a : Si hay relación
3) χ 02,05 = 3,84 4) υ = (n1 − 1) (n2 − 1) = 1 Al nivel del 5%, se concluye que no hay relación entre el sexo y la aprobación de curso.
69. Solución: Habito Fumar Fumadores en exceso Fumadores promedio Poco Fumadores No Fumadores Totales
Bebedores 40 60 80 10 190
* i
ni
n
40 60 80 10 20 40 40 60 350
32,3 55,1 64,6 38,0 27,2 46,4 54,4 32,0 350,0
Abstemios 20 40 40 60 160
ni − n
* i
7,7 4,9 15,4 -28,0 -7,2 -6,4 -14,4 28,0 -
(n
i
)
* 2 i
−n
59,29 24,01 237,16 784,00 51,84 40,96 207,36 784,00 -
Total 60 100 120 70 350
(n
i
− ni* ni*
)
2
1,84 0,44 3,67 20,63 1,91 0,88 3,81 24,50 57,68
51
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Fo
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
(Fo
Fo − Fe
Fe
− Fe )
2
(Fo
− Fe ) Fe
2
p1 =
× 190 = 32,3 60 = 0,17 → 350 × 160 = 27,2
p2 =
100 = 0,29 → 350
× 190 = 55,1 × 160 = 46,4
p3 =
× 190 = 64,6 120 = 0,34 → 350 × 160 = 54,4
p4 =
70 = 0,20 → 350
× 190 = 38,0 × 160 = 32,0
χ
2
(n =∑
i
− ni* ni*
)
2
χ 2 = 57,68
1) H 0 : ni = ni* ( No hay diferencia) H a : ni ≠
ni*
2) ∝ = 0,05
( Si la hay )
3) χ 02,05 = 7,82 4) υ = (4 − 1) (2 − 1) = 3 Al nivel del 5%, se puede concluir que si hay diferencia en los fumadores, entre bebedores y abstemios.
70. Solución: Tipo Poder Novelas Música Ciencia ficción Comedia Total
Bogotá 70 100 40 30 240
Medellín 40 80 50 30 200
ni
n
ni − n
70 100
60 96
10 4
* i
* i
Total
Cali 40 60 30 30 160
(n
i
)
* 2 i
−n 100 16
150 240 120 90 600
(n
i
− ni* ni*
)
2
1,67 0,17
52
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
40 30 40 80 50 30 40 60 30 30 600
48 36 50 80 40 30 40 64 32 24 600
150 p1 = = 0,25 600
120 p3 = = 0,20 600
χ
2
(n =∑
i
− ni* ni*
H a : ni ≠
64 36 100 0 100 0 0 16 4 36 -
1,33 1,00 2,00 0 2,50 0 0 0,25 0,13 1,50 10,55
→
× 240 = 60 × 200 = 50 × 160 = 40
240 p2 = = 0,40 600
→
× 240 = 96 × 200 = 80 × 160 = 64
→
× 240 = 48 × 200 = 40 × 160 = 32
90 p4 = = 0,15 → 600
× 240 = 36 × 200 = 30 × 160 = 24
)
1) H 0 : ni = ni* ni*
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
-8 -6 -10 0 10 0 0 -4 -2 6 0
2
χ2 = ∑
H 0 : Fo = Fe
(Fo
− Fe ) Fe
2
2) ∝ = 0,05
H a : Fo ≠ Fe
3) υ = (4 − 1) (3 − 1) = 6 4) χ 02,05 = 12,59 χ 2 = 10,55
Al nivel del 5%, se puede concluir que las preferencias por los programas son las mismas en las tres ciudades, al nivel del 5%.
71. Solución: 53
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Pacientes Tratados No tratados Total
p1 =
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
Curados 140 20 160
No curados 30 40 70
Total 170 60 230
ni
ni*
ni − ni*
n − n* − 0,5 i i
140 20 30 40 230
118,4 51,8 41,6 18,2 230,0
21,6 31,8 11,6 21,8 -
445,21 979,69 123,21 453,69
170 = 0,74 → 230
× 160 = 118,4 × 70 = 51,8
n − n * − 0,5 i i 2 χ = ∑ * ni
p2 =
2
1) H 0 : No hay relación
χ2 = ∑
60 = 0,26 230
( Fo − Fe
n − n * − 0,5 i i * ni 3,76 18,91 2,96 24,93 50,56
2
2
× 160 = 41,6 × 70 = 18,2
→
− 0,5)
2
Fe
2) ∝ = 0,01
H a : Si hay relación
3) υ = (n − 1) (n − 1) = 1 4) χ 02,01 = 6,64 ;
χ 2 = 50,56
Se puede concluir que si hay relación entre el tratamiento y la curación, al nivel del 1%.
72. Solución: 54
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
a) υ = (4 − 1) (3 − 1) = 3 (2 ) = 6 ≠ 5 Falso b) χ 2 = No puede tomar valor negativo c) Es lo más recomendable d) No puede ser, siempre la suma de esas dos columnas deben ser iguales.
73. Solución: Características No Fumadores Ocasión Habituales Ex fumadores Total
Padres 8 10 40 20 78
Hijos 30 24 56 12 122
ni
n
ni − n
8 10 40 20 30 24 56 12 200
14,82 13,26 37,44 12,48 23,18 20,74 58,56 19,52 200,00
-6,82 -3,26 2,56 7,52 6,82 3,26 -2,56 7,52 0
* i
* i
(n
i
Total 38 34 96 32 200
)
* 2 i
−n
46,5124 10,6276 6,5536 56,5504 46,5124 10,6276 6,5536 56,5504
(n
i
− ni* ni*
)
2
3,14 0,80 0,18 4,53 2,01 0,51 0,11 2,90 14,18
55
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
p1 =
38 = 0,19 200
p3 =
96 = 0,48 200
χ
2
(n =∑
i
− ni* ni*
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
× 78 = 14,82 × 122 = 23,18
→
× 78 = 37,44 × 122 = 58,56
→
)
2
χ2 = ∑
(Fo
p2 =
34 = 0,17 200
→
× 78 = 13,26 × 122 = 20,74
p4 =
32 = 0,16 200
→
× 78 = 12,48 × 122 = 19,52
− Fe ) Fe
2
2) ∝ = 0,05
1) H 0 : No hay relación H a : Si hay relación
3) υ = (4 − 1) (2 − 1) = 3 4) χ 02,05 = 7,82
χ 2 = 14,18
Al nivel del 5%, se puede concluir que si hay relación entre las diferentes clases de fumadores y la posición familiar.
74. Solución: Vacunados Si No Total
No enfermos 70 24 94
* i
ni
n
70 24
58,75 35,25
ni − n
* i
11,25 11,25
Si enfermos 30 36 66
n − n* − 0,5 i i
115,5625 115,5625
Total 100 60 160 2
n − n * − 0,5 i i ni* 1,97 3,28
2
56
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
30 36 160 p1 =
p2 =
41,25 24,75 160,00
100 = 0,625 → 160
60 = 0,375 160
115,5625 115,5625 -
2,80 4,67 12,72
× 94 = 58,75 × 66 = 41,25
→
n − n * − 0,5 i i 2 χ = ∑ * ni
× 94 = 35,25 × 66 = 24,75 2
χ2 = ∑
( Fo − Fe
− 0,5)
2
Fe
2) ∝ = 0,10
1) H 0 : ni = ni* H a : ni ≠
11,25 11,25 -
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
ni*
3) υ = (2 − 1) (2 − 1) = 1 4) χ 02,10 = 2,71
χ 2 = 12,72
Al nivel del 10%, se puede concluir que la vacuna es efectiva.
75. Solución: Resultados Positivo Negativo Total
Vía de Aplicación Intradérmica 30 70 100
Escarificación 20 80 100
Total 50 150 200
57
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
ni − n
* i
* i
ni
n
30 70 20 80 200
25 75 25 75 200
5 5 5 5 -
p1 =
50 = 0,25 200
→
× 100 = 25 × 100 = 25
p2 =
150 = 0,75 → 200
× 100 = 75 × 100 = 75
n − n * − 0,5 i i 2 χ = ∑ ni*
H a : ni −
n − i
ni*
− 0,5
20,25 20,25 20,25 20,25 -
χ2 = ∑
2
n − n * − 0,5 i i ni* 0,81 0,27 0,81 0,27 2,16
( Fo − Fe
2
− 0,5)
2
Fe
2
2) ∝ = 0,05
1) H 0 : ni − ni* = 0 ni*
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
≠0
3) υ = (2 − 1) (2 − 1) = 1 4) χ 02,05 = 3,84
χ 2 = 2,16
No existe ninguna diferencia significativa, al nivel del 5%. 76. Solución: Resultados Gobierno Oposición Total
Pro 600 225 825
Contra 375 300 675
Total 975 525 1.500
58
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
p1 =
p2 =
ni − n
* i
* i
ni
n
600 225 375 300 1.500
536,25 288,75 438,75 236,25 1.500,00
975 = 0,65 1.500
→
525 = 0,35 → 1.500
H a : ni ≠
n − n* − 0,5 i i
4.000,5625 4.000,5625 4.000,5625 4.000,5625 -
2
n − n * − 0,5 i i ni* 7,46 13,85 9,12 16,93 47,36
2
× 825 = 536,25 × 675 = 438,75 × 825 = 288,75 × 675 = 236,25
n − n * − 0,5 i i 2 χ = ∑ * ni
1) H 0 : ni = ni*
63,75 63,75 63,75 63,75 -
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
2
χ2 = ∑
( Fo − Fe
− 0,5)
2
Fe
2) ∝ = 0,05
ni*
3) υ = (2 − 1) (2 − 1) = 1 4) χ 02,05 = 3,84
χ 2 = 47,36
La afirmación no tiene que ver con la preferencia del voto, al nivel del 5%.
77. Solución: Artículos Neveras Radios Televisores Total
Masculinos 380 260 270 910
Femeninos 400 300 350 1.050
Total 780 560 620 1.960
59
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
380 260 270 400 300 350 1.960
364,0 263,9 282,1 420,0 304,5 325,5 1.960,0
Fo − Fe
→
× 910 = 364 × 1.050 = 420
p1 =
780 = 0,40 1.960
p2 =
560 = 0,29 1.960
p3 =
620 = 0,31 → 1.960
χ =∑ 2
(n − n i
* i
− 0,5
16,0 -3,9 -12,1 -20,0 -4,5 24,5 -
Fe
Fo
→
n − n* − 0,5 i i
ni − ni*
ni*
ni
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
2
240,25 11,56 134,56 380,35 16,00 576,00 -
( Fo − Fe
− 0,5)
2
n − n * − 0,5 i i * ni 0,66 0,04 0,48 0,91 0,05 1,77 3,91
( Fo − Fe
2
− 0,5)
2
Fe
× 910 = 263,9 × 1.050 = 304,5 × 910 = 282,1 × 1.050 = 325,5
)
2
ni*
1) H 0 : No hay relación
χ =∑ 2
(F
o
− Fe − 0,5) Fe
2
2) ∝ = 0,05
H a : Si hay relación
3) υ = (3 − 1) (2 − 1) = 2 4) χ 02,05 = 5,99
χ 2 = 3,91
No hay relación entre el sexo y la preferencia, al nivel del 5%.
78. Solución: 60
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Nivel ingreso Alto Medio Bajo Total
Frecuente 220 131 30 381
ni
n
ni − n
220 70 30 131 100 80 30 80 120 861
140,97 92,50 85,10 137,16 90,00 82,80 102,87 67,50 62,10 861,00
79,03 -22,50 -55,10 -6,16 10,00 -2,80 -72,87 12,50 57,90 0
311 p2 = = 0,36 861
χ =∑ 2
Ocasional 70 100 80 250
→
× 381 = 140,97 × 250 = 92,50 × 230 = 85,10
→
× 381 = 137,16 × 250 = 90,00 × 230 = 82,80
(n − n i
* i
− 0,5
)
2
ni*
1) H 0 : No existe relación
χ2 = ∑
Nunca 30 80 120 230
n − n* − 0,5 i i
* i
* i
320 p1 = = 0,37 861
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
2
6.166,9609 484,0000 2.981,1600 32,0356 90,2500 5,2900 5.237,4169 144,0000 3.294,7600 -
230 p3 = = 0,27 861
(F
o
→
Total 320 311 230 861 n − n * − 0,5 i i ni* 43,75 5,23 35,03 0,23 1,00 0,06 50,91 2,13 53,06 191,40
2
× 381 = 102,87 × 250 = 67,50 × 230 = 62,10
− Fe − 0,5) Fe
2
2) ∝ = 0,01
H a : Si hay relación
61
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
3) υ = (3 − 1) (3 − 1) = 4 4) χ 02,01 = 13,28
χ 2 = 191,40
Al nivel del 1%, se puede aceptar que si hay alguna relación entre los niveles de ingreso y la teleaudiencia en los noticieros.
79. Solución: ni*
ni 18 22 40 20 100
χ2 = ∑
(n
i
− ni* ni*
21 20 44 15 100
ni −
ni*
-3 2 -4 5 0
(n
i
−
)
2 ni*
9 4 16 25
(n
i
− ni*
)
2
ni* 0,43 0,20 0,36 1,67 2,66
)
2
1) H 0 : ni = ni*
H o : Fo = Fe
H a : ni ≠ ni*
H a : Fo ≠ Fe
2) ∝ = 0,05
3) υ = n − 1 = 3 4) χ 02, 05 = 7,82
χ 2 = 2,66
Se puede afirmar, que las preferencias por las pantallas es el mismo, al nivel del 5%.
80. Solución:
62
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Sexo Masculino Femenino Total
p1 =
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
Acabado 950 850 1.800
ni
ni*
ni − ni*
950 550 850 1.650 4.000
675 825 1.125 1.375 4.000
275 275 275 275 -
1500 = 0,375 → 4.000
n − n* − 0,5 i i 2 χ = ∑ * ni
Precio 550 1.650 2.200
n − n* i i
χ2 = ∑
2
75.350,25 75.350,25 75.350,25 75.350,25 -
× 1.800 = 675 × 2.200 = 825
2
− 0,5
Total 1.500 2.500 4.000
p2 =
( Fo − Fe
2.500 = 0,625 4.000
n − n * − 0,5 i i * ni 111,63 91,33 66,98 54,80 324,74
→
2
× 1.800 = 1.125 × 2.200 = 1.375
− 0,5)
2
Fe
2) ∝ = 0,05
1) H 0 : Independiente H a : Dependiente
3) υ = (2 − 1) (2 − 1) = 1 4) χ 02,05 = 3,84
χ 2 = 324,74
Se puede aceptar que el sexo es dependiente de la respuesta dada, al nivel del 5%.
63
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
81. Solución: Desempeño
Nivel Sección 427 110 63 600
Elemento 82 10 8 100
Bueno Regular Malo Total
ni
ni*
ni − ni*
82 427 191 10 110 60 8 63 49 1.000
70 420 210 18 108 54 12 72 36 1.000
12 7 -19 -8 2 6 -4 -9 13 0
→
× 100 = 70 × 600 = 420 × 300 = 210
180 p2 = = 0,18 → 1.000
× 100 = 18 × 600 = 108 × 300 = 54
120 p3 = = 0,12 1.000
× 100 = 12 × 600 = 72 × 300 = 36
700 p1 = = 0,70 1.000
χ2 = ∑
(n
i
− ni* ni*
)
→
2
χ2 = ∑
Total
Universidad 191 60 49 300
(n
i
−
)
2 ni*
144 49 361 64 4 36 16 81 169 -
700 180 120 1.000
(n
− ni* ni* 2,06 0,12 1,72 3,56 0,04 0,67 1,33 1,13 4,69 15,32 i
)
2
(Fo − Fe )2 Fe
64
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
2) ∝ = 0,05
1) H 0 : Independiente H a : Dependiente
3) υ = (3 − 1) (3 − 1) = 4 χ 2 = 15,32
4) χ 02,05 = 9,49
Al nivel del 5%, se puede concluir que la calificación de su desempeño es independiente del nivel educacional.
82. Solución:
p1 =
ni −
* i
ni
n
74 56 50 54 42 276
55,2 55,2 55,2 55,2 55,2 276,0
ni*
18,8 0,8 -5,2 -1,2 -13,2 0
(n
i
−
)
2 ni*
353,44 0,64 27,04 1,44 174,24 -
(n
− ni* ni* 6,40 0,01 0,49 0,03 3,16 10,09 i
)
2
1 = 0,20 × 276 = 55,2 5
χ2 = ∑
(n
i
− ni* ni*
)
2
1) H 0 : ni = ni* H a : ni ≠
χ2 = ∑
(Fo − Fe )2 Fe
2) ∝ = 0,05
ni*
3) υ = 5 − 1 = 4 4) χ 02,05 = 9,49
χ 2 = 10,09
65
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
Se concluye que cada grupo de edad, teme de manera diferente a los exámenes, al nivel del 5%. 83. Solución: Tiempo Libre Alto Bajo Total
p1 =
Delincuentes 10 20 30
ni −
* i
ni
n
10 29 20 41 100
11,7 27,3 18,3 42,7 100,0
39 = 0,39 100
→
1,7 1,7 1,7 1,7 -
× 30 = 11,7 × 70 = 27,3
n − n * − 0,5 i i 2 χ = ∑ * ni
1) H 0 : No hay relación
ni*
No Delincuentes 29 41 70
n − n* − 0,5 i i
1,44 1,44 1,44 1,44 p2 =
2
Total 39 61 100 n − n * − 0,5 i i * ni 0,12 0,05 0,08 0,03 0,28
61 = 0,61 → 100
2
× 30 = 18,3 × 70 = 42,7
2
2) ∝ = 0,05
H a : Si hay relación
3) υ = (2 − 1) (2 − 1) = 1 4) χ 02,05 = 3,84
χ 2 = 0,28
Al nivel del 5%, se puede afirmar que no hay relación en cuanto a los criterios de clasificación.
66
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
84. Solución: Maquina A B Total
Rosa 11 6 17
Lila 77 7 84
χ
2
* i
n
11 77 6 5 3 3 6 7 10 7 6 6 147
12,07 59,64 11,36 8,52 6,39 6,39 4,93 24,36 4,64 3,48 2,61 2,61 147,00
(n =∑
i
− ni* ni*
)
-1,07 17,36 -5,36 -3,52 -3,39 -3,39 1,07 -17,36 5,36 3,52 3,39 3,39 0
Verde 3 6 9
(n
i
)
* 2 i
−n
= 59,64 = 11,36
p2 =
= 8,52 = 6,39 = 6,39
χ =∑ 2
Blanco 3 6 9
(n
i
1,1449 301,3696 28,7296 12,3904 11,4921 11,4921 1,1449 301,3696 28,7296 12,3904 11,4921 11,4921 -
= 12,07
2
1) H 0 : Independiente
Anar 5 7 12
ni − n
* i
ni
17 84 16 105 p1 = = 0,71 → × 147 12 9 9
Amar 6 10 16
42 = 0,29 147
→
Total 105 42 147
− ni* ni*
)
2
0,09 5,05 2,53 1,45 1,80 1,80 0,23 12,37 6,19 3,56 4,40 4,40 43,87 × 17 × 84 × 16 × 12 × 9 × 9
=
4,93
= 24,36 = 4,64 =
3,48
=
2,61
=
2,61
(Fo − Fe )2 Fe
2) ∝ = 0,01
H a : Dependiente
3) υ = (2 − 1) (6 − 1) = 5 67
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
4) χ 02,05 = 15,09
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
χ 2 = 43,87
Se puede considerar que hay dependencia entre la mezcla de los colores con la máquina que los envuelve, al nivel del 1%.
85. Solución:
p1 =
ni
n
ni − n
63 78 54 49 56 300
60 60 60 60 60 300
3 18 -6 -11 -4 0
* i
* i
(n
i
−
)
2 ni*
9 324 36 121 16 -
(n
i
− ni* ni* 0,15 5,40 0,60 2,02 0,27 8,44
)
2
1 = 0,20 × 300 = 60 = ni* 5
χ2 = ∑
(n
i
− ni* ni*
1) H 0 : ni = ni* H a : ni ≠
)
2
χ2 = ∑
(Fo − Fe )2 Fe
2) ∝ = 0,05
ni*
3) υ = n − 1 = 4 4) χ 02,05 = 9,49
χ 2 = 8,44
Es aproximadamente igual al número de reclamaciones que recibe cada almacén, al nivel del 5%.
68
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
86. Solución: n ( AD − BC − 0,5 n )
2
χ2 =
40 ( 112 − 32 − 0,5 (40))
2
χ2 =
m1 × m2 × m3 × m4
10 × 30 × 24 × 16
= 1,25
2) ∝ = 0,05
1) H 0 : No hay dependencia H a : Si hay dependencia
3) υ = (2 − 1) (2 − 1) = 1 χ 2 = 1,25
4) χ 02,05 = 3,84
No hay dependencia entre la cantidad de fruta deteriorada y su fumigación, al nivel del 5%.
87. Solución: ni
χ
2
* i
n
18 12 25 23 8 19 14 119
p1 =
ni − n
* i
17 17 17 17 17 17 17 119
1 -5 8 6 -9 2 -3 0
(n
i
)
* 2 i
−n 1 25 64 36 81 4 9 -
(n
i
− ni* ni*
)
2
0,06 1,47 3,76 2,12 4,76 0,24 0,53 12,94
1 = 0,1428 × 119 = ni* ≅ 17 7
(n =∑
i
− ni* ni*
1) H 0 : ni = ni* H a : ni ≠
)
2
χ2 = ∑
(Fo − Fe )2 Fe
2) ∝ = 0,05
ni*
69
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
3) υ = n − 1 = 6 4) χ 02,05 = 12,59
χ 2 = 12,94
Los alumnos no muestran las mismas preferencias según las secciones en las cuales están distribuidos, al nivel del 5%
Observaciones Apareadas (pruebas del Signo) 88. Solución: Di = xi − yi + + + + + + 0 + + 0 + + + + + + 0 1 2 1 Ha : P > 2
1) H 0 : P =
n = 17
Positivos = 14
Negativos = 3 Ceros = 3 Se eliminan los 0 1 2
µ = np = 17 = 8,5 1 1 2 2
σ = npq = 17 = 4,25 = 2,06
2) ∝ = 0,05 3) σ = 2,06
70
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
4) z =
X −µ
σ
=
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
13,5 − 8,5 = 2,43 2,06
Se rechaza la hipótesis nula, al nivel del 5%, se puede concluir que el primer sistema es superior. Otro procedimiento, válido únicamente para pruebas bilaterales: k =
n −1 − 0,98 n + 1 2
k=
16 − 0,98 18 2
3 < 3,85 rechazamos H 0
89. Solución: Signo de la Diferencia 0 + 0 + + -
1) H 0 : P = 0,5
Nota: se puede trabajar con diferencias positivas y la curva resultaría al lado contrario. Signos positivos = 3
Signos negativos = 15
Ceros = 2
(se eliminan los ceros)
1 µ = n p = 18 = 9 2
1 1 2 2
σ = n p q = 18 = 4,5 = 2,12
X = 3, el cual quedara así: X = 3,5
2) ∝ = 0,05
H a : P < 0,5
3) σ = 2,12
71
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
4) z =
X −µ
σ
=
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
3,5 − 9 = − 2,59 2,12
Se ubica en la región crítica, de ahí que rechazamos la hipótesis nula y aceptamos la alternativa; afirmamos que la dieta es efectiva, al nivel del 5%. Se hubiera podido realizar la prueba en forma unilateral derecha, con el mismo resultado. Sólo se aplica cuando la prueba es bilateral: k=
17 − 0,98 2
19 = 4,23 ;
S < K se rechaza H 0
90. Solución: Parejas
x1
y1
Di = xi − yi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
56 90 38 47 85 49 55 58 68 74 83 87 60 31 89
49 88 51 50 83 41 52 69 83 89 77 62 65 44 92
+ + + + + + + -
Signos positivos = 7 Signos negativos = 8 n = 15 1 µ = n p = 15 = 7,5 2
1) H 0 : P = 0,5
1 1 2 2
σ = n p q = 15 = 3,75 = 1,94
2) ∝ = 0,05 72
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
H a : P ≠ 0,5
3) σ = 1,94 4) z =
X −µ
σ
=
7,5 − 7,5 =0 1,94
La diferencia no es significativa, al nivel del 5%: Otro procedimiento, en el caso de que se trate de una dócima bilateral, al nivel del 5%.
k=
(n − 1) − (0,98) 2
n +1
k=
15 − 1 − 0,98 15 + 1 = 7 − 3,92 = 3,08 2
S = 7, ya que el número de signos negativos es menor que el número de signos positivos. Como 7 > 3,08, es decir que S > K, aceptamos la hipótesis nula; la diferencia no es significativa.
91. Solución: Signo de la Diferencia Di + 0 0 +
73
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
Signos positivos = 3
0 0 + -
Ceros = 4
(se eliminan los ceros)
Signos negativos = 23 n = 26 1 µ = n p = 26 = 13 2
1 1 2 2
σ = n p q = 26 = 6,5 = 2,55
1) H 0 : P = 0,5 H a : P ≠ 0,5
2) ∝ = 0,05 3) σ = 2,55 4) z =
X −µ
σ
=
3,5 − 13 = − 3,73 2,55
La diferencia es significativa, ya que rechazamos la hipótesis nula H 0 : P = 0,5 . Otro procedimiento en la dócima del signo es como sigue; siempre y cuando sea bilateral y ∝ = 0,05
k=
(n − 1) − (0,98) 2
n +1
k=
26 − 1 − 0,98 26 + 1 = 12,5 − 5,10 = 7,4 2
74
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
Siendo S = 3 y S < K, se rechaza la hipótesis nula y aceptamos la hipótesis alternativa, es decir, que la diferencia es significativa; cuando la prueba es bilateral y ∝ = 0,05
92. Solución: No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
xi
yi
d i = xi − yi
di − d
46 42 38 36 30 28 25 20 20 17 14 9 8 7 5 4
40 42 36 38 32 25 25 22 17 15 10 6 9 5 3 3
6 0 2 -2 -2 3 0 -2 3 2 4 3 -1 2 2 1 21
4,69 -1,31 0,69 -3,31 -3,31 1,69 -1,31 -3,31 1,69 0,69 2,69 1,69 -2,31 0,69 0,69 -0,31 0
(d
− d) 21,9961 1,7161 0,4761 10,9561 10,9561 2,8561 1,7161 10,9561 2,8561 0,4761 7,2361 2,8561 5,3361 0,4761 0,4761 0,0961 81,4376 2
i
Di
+ 0 + + 0 + + + + + + + -
a) Observaciones apareadas d =
∑ d i = 21 = ≅ 1,31 n
16
∑ (d i − d ) = 0 Si no da cero, se debe a la aproximación que hacemos d = 1,3125 Sd =
∑ (di
− d) = n −1 2
81,4376 = 2,33 16 − 1
75
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
1)
H 0 : ad = 0
2)
H a : ad ≠ 0
3) t =
d sd
=
n
∝ = 0,05
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
= t = 2,131
υ = 16 − 1 = 15
1,31 = 2,25 2,33 16
De acuerdo al resultado de t = 2,25, se puede concluir que hay diferencias, la nivel del 5%. b) Prueba del signo: positivo = 10
negativo = 4
µ = n p = 14 (0,5) = 7
n = 10 + 4 = 14
1) H 0 : P = 0,5
;
2) ∝ = 0,05
;
cero = 2
σ = n p q = 14 (0,5) (0,5) = 1,87
3) n = 14
H a : P ≠ 0,5
4) P = 95% 5) Z =
Z = 1,96
X −µ
σ
Z =
9,5 − 7 = 1,34 1,87
Se concluye que no existen diferencias significativas al nivel del 5%. 93 Solución: No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
xi
yi
d i = xi − yi
di − d
27 28 10 20 11 11 15 27 21 20 28 32 30 26 38
20 25 10 21 11 13 18 20 16 20 23 29 26 28 29
7 3 0 -1 0 -2 -3 7 5 0 5 3 4 -2 9
4,22 0,22 -2,78 -3,78 -2,78 -4,78 -5,78 4,22 2,22 -2,78 2,22 0,22 1,22 -4,78 6,22
(d
− d) 17,8084 0,0484 7,7284 14,2884 7,7284 22,8484 33,4084 17,8084 4,9284 7,7284 4,9284 0,0484 1,4884 22,8484 38,6884 2
i
Di
+ + 0 0 + + 0 + + + +
76
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
16 17 18 -
27 34 36 Σ
23 26 33 -
4 8 3 50
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
1,22 5,22 0,22 0
1,4884 27,2484 0,0484 231,1112
+ + + ∑
a) Observaciones apareadas
∑ di
d =
d =
n
Sd =
∑ (di
− d) = n −1 2
1) H 0 : ad = 0
50 ≅ 2,78 18
∑ (d i − d ) = 0
231,1112 = 3,69 18 − 1
2) ∝ = 0,05
H a : ad ≠ 0
3) t =
d sd
n
t=
2,78 3,69
18
= 3,20
υ = 18 − 1
t = 2,110 ∝ = 0,05
Se concluye que las diferencias son significativas al, nivel del 5%. b) Prueba del signo: positivo = 11; ceros = 3; negativos = 4 µ=n p
µ = 15 (0,5) = 7,5
σ = n pq
σ = 15 (0,5)(0,5) = 1,94
1) H 0 : P = 0,5
2) ∝ = 0,05
n = 15
H a : P ≠ 0,5
3) P = 95% 4) Z =
X −µ
σ
Z = 1,96 Z =
10,5 − 7,5 = 1,55 1,94
77
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
Podemos concluir, que las diferencias que se observan no son significativas, al nivel del 5%.
94. Solución: Par
I
II
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
440 400 400 310 300 410 260 260 320 380 360 370 290 290 286 310 252 Σ
410 440 290 270 300 360 250 300 340 350 360 350 250 290 290 320 252
a) Prueba del signo: positivo = 8
Di
+ + + 0 + + + 0 + + 0 0
; ceros = 4
µ =np
µ = 13 (0,5) = 6,5
σ = n pq
σ = 13 (0,5)(0,5) = 1,80
1) H 0 : P = 0,5
2) ∝ = 0,05
di
30 -40 110 40 0 50 10 -40 -20 30 0 20 40 0 -4 -10 0 216
; negativos = 5
(d
− d) 298,9441 2.778,3441 9.465,3441 744,7441 161,5441 1.390,5441 7,3441 2.778,3441 1.069,9441 298,9441 161,5441 53,1441 744,7441 161,5441 279,2241 515,7441 161,7441 21.071,7297 2
i
n = 13
H a : P ≠ 0,5
3) P = 95% 4) Z =
X −µ
σ
Z = 1,96 Z =
7,5 = 6,5 = 0,56 1,80
78
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
Las diferencias no son significativas, al nivel del 5%.
b) Observaciones apareadas: d =
∑ di
d =
n
∑ (d i − d ) sd =
2
sd =
n −1
1) H 0 : ad = 0
2) ∝ = 0,05
216 = 12,71 17 21.071,7297 = 36,29 17 − 1
3) υ = n − 1 = 16
H a : ad ≠ 0
4) t = 2,120 t=
d sd
n
t=
12,71 = 1,44 36,29 17
No se puede concluir que las diferencias presentadas sean significativas, al nivel del 5%. NOTA: Los puntos c y d, se deja al estudiante su solución. 95. Solución: Par 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
xi 10 8 12 16 5 9 7 11 8 16 8 5 8
yi 10 15 10 18 13 14 9 16 6 16 6 5 5
Di 0 + + 0 + 0 +
79
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
14 15 16 17 18 19
6 12 14 8 4 9
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
4 11 12 8 2 8
+ + + 0 + +
µ = 15 (1 2) = 7,5
Positivos = 9
µ = np
Negativos = 6
σ = n pq
σ = 15 (1 2) (1 2) = 1,94
Ceros = 4 n = 15
1) H 0 : P = 0,50
2) ∝ = 0,05
H a : P ≠ 0,50
P = 95%
4) Z =
X −µ
Z =
3) Z = 1,96
8,5 − 7,5 = 0,52 Las 1,94
σ diferencias obtenidas no son significativas al nivel del 5%.
96. Solución: Par
xi
yi
Di
di
di − d
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
45 44 29 27 30 36 35 30 34 40 43 29 32 38
45 48 36 27 28 32 31 42 36 42 44 29 30 42
0 0 + + + 0 + -
0 -4 -7 0 2 4 4 -12 -2 -2 -1 0 2 -4
1,56 -2,44 -5,44 1,56 3,56 5,56 5,56 -10,44 -0,44 -0,44 0,56 1,56 3,56 -2,44
(d
− d) 2,4336 5,9536 29,5936 2,4336 12,6736 30,9136 30,9136 108,9936 0,1936 0,1936 0,3136 2,4336 12,6736 5,9536
2
i
80
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
15 16 17 18 Σ
34 28 32 36 −
40 28 30 40 -
0 + -
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
-6 0 2 -4 -28
-4,44 1,56 3,56 -2,44 0
19,7136 2,4336 12,6736 5,9536 286,4448
a) Prueba soluciones apareadas:
∑ di
d =
− 28 = − 1,56 18
d =
n
∑ (d i − d )
2
sd =
1)
t=
n −1
sd =
H 0 : ad = 0
∝ = 0,05
t = 1,740 υ = 18 − 1 = 17
H a : ad p 0 d sd
t=
n
286,4448 = 4,10 18 − 1
− 1,56 = − 1,61 4,10 18
Se puede concluir que no se mejoró el rendimiento, al nivel del 5%.
b) Prueba del signo: positivos = 5 negativos = 9 ceros = 4 µ = 14 (0,5) = 7
µ =np
σ = n pq
1)
H 0 : P = 0,50 H a : P < 0,50
Z =
n = 14
X − µ
σ
14 (0,5)(0,5) =1,87 ∝ = 0,05 P = 95%
Z =
Z = 1,64
5,5 − 7 = − 0,80 1,87
Como en el caso anterior, también se puede concluir que no se mejoró el rendimiento, al nivel del 5%. 81
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
97. Solución: Individuos
xi
yi
di
di − d
(d
− d)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Σ
65 65 76 84 68 70 66 82 64 65 88 82 70 70 75 80 92 −
72 70 78 84 74 76 72 79 65 70 88 80 76 76 75 86 80 -
-7 -5 -2 0 -6 -6 -6 3 -1 -5 0 2 -6 -6 0 -6 12 -39
-4,71 -2,71 0,29 2,29 -3,71 -3.71 -3,71 5,29 1,29 -2,71 2,29 4,29 -3,71 -3,71 2,29 -3,71 14,29 0
22,1841 7,3441 0,0841 5,2441 13,7641 13,7641 13,7641 27,9841 1,6641 7,3441 5,2441 18,4041 13,7641 13,7641 5,2441 13,7641 204,2041 387,5297
2
i
Di
0 + 0 + 0 + ∑
a) Observaciones apareadas (poblaciones dependientes) d =
∑ di
d =
n
∑ (d i − d ) sd =
2
n −1
1)
sd =
− 39 = − 2,29 17
387,5297 = 4,92 17 − 1
H 0 : ad = 0 H a : ad ≠ 0
2) ∝ = 0,05
t = 2,120 3) υ = 17 − 1 = 16
82
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
d
t=
sd
t=
n
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
− 2,29 = − 1,92 4,92 17
Las diferencias no son significativas, al nivel del 5%.
b) Prueba del signo: negativos = 11
positivos = 3
µ =np
µ = 14 (0,5) = 7
σ = n pq
σ = 14 (0,5)(0,5) =1,87
1)
H 0 : P = 0,50 H a : P ≠ 0,50
Z =
ceros = 3
n = 14
2) ∝ = 0,05 Z = 1,96 3) P = 0,95
X −µ
Z =
σ
3,5 − 7 = − 1,87 1,87
Las diferencias no son significativas, al nivel del 5%.
98. Solución:
Sujeto
xi
yi
Di
di
di − d
(d
− d)
*1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
98 81 72 63 92 63 81 73 63 82 54 88 93 68
82 71 63 63 90 72 66 54 63 88 50 88 82 52
+ + + 0 + + + 0 + 0 + +
16 10 9 0 2 -9 15 19 0 -6 4 0 11 16
9,33 3,33 2,33 -6,67 -4,67 -15,67 8,33 12,33 -6,67 -12,67 -2,67 -6,67 4,33 9,33
87,0489 11,0889 5,4289 44,4889 21,8089 245,5489 69,3889 152,0289 44,4889 160,5289 7,1289 44,4889 18,7489 87,0489
2
i
83
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
15 16 17 18 Σ
97 81 72 63 −
82 81 63 54 -
+ 0 + + -
a) Prueba del signo: positivos = 12
negativos = 2
8,33 -6,67 2,33 2,33 0
69,3889 44,4889 5,4289 5,4289 1.124,0002
ceros = 4
n = 14
σ = 14 (0,5)(0,5) =1,87
σ = n pq H 0 : P = 0,50
2) ∝ = 0,05 Z = 1,96 3) P = 0,95
H a : P ≠ 0,50 Z =
15 0 9 9 120
µ = 14 (0,5) = 7
µ =np
1)
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
X −µ
Z =
σ
11,5 − 7 = 2,41 1,87
Se concluye que el alcohol sí tiene efecto sobre la ansiedad al nivel del 5%
b) Observaciones apareadas
∑ di
d =
d =
n
∑ (d i − d )
120 = 6,67 18
2
sd =
1)
H 0 : ad = 0 H a : ad > 0 t=
sd =
n −1
d sd
n
1.124,0002 = 8,13 18 − 1
2) ∝ = 0,05
T = 1,740 3) υ = n − 1 = 17
t=
6,67 = 3,48 8,13 18
Se concluye que el alcohol reduce la ansiedad, de acuerdo a los resultados obtenidos y al nivel de significación del 5%. 84
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
99. Solución:
Personas
xi
yi
d i = xi − yi
di − d
(d
− d)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Σ
29 22 25 29 26 24 21 20 46 38 28 30 29 25 21 22 23 −
30 26 25 35 33 36 32 20 54 58 43 30 30 20 20 20 23 -
-1 -4 0 -6 -7 -12 -11 0 -8 -20 -15 0 -1 5 1 2 0 -77
3,53 0,53 4,53 -1,47 -2,47 -7,47 -6,47 4,53 -3,47 -15,47 -10,47 4,53 3,53 9,53 5,53 6,53 4,53 0
12,4609 0,2809 20,5209 2,1609 6,1009 55,8009 41,8609 20,5209 12,0409 239,3209 109,6209 20,5209 12,4609 90,8209 30,5809 42,6409 20,5209 738,2353
2
i
Di
0 0 0 + + + 0
a) Observaciones apareadas d =
∑ di
d =
n
∑ (d i − d ) sd =
2
n −1
1)
sd =
− 77 = − 4,53 17
738,2353 = 6,79 17 − 1
H 0 : ad = 0 H a : ad < 0
2) ∝ = 0,05
t = 1,746 3) υ = 17 − 1 = 16
85
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
d
t=
sd
n
t=
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
− 4,53 = − 2,75 6,79 17
Se concluye al nivel del 5%, que si hubo mejoramiento. b) Prueba del signo: positivos = 3
negativos = 10
µ =np
µ = 13 (0,5) = 6,5
σ = n pq
σ = 13 (0,5)(0,5) =1,80
H 0 : P = 0,50 H a : P < 0,50
1)
Z =
ceros = 4
n = 3 + 10 = 13
2) ∝ = 0,05 Z = 1,65 o 1,64 3) P = 95%
X −µ
Z =
σ
3,5 − 6,5 = − 1,67 1,8
Se concluye, al igual que en la prueba anterior y al nivel del 5%, que si hubo mejoramiento. 100. Solución: Automóvil
xi
yi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
40,6 63,3 48,2 38,4 39,2 42,6 42,0 46,1 51,0 39,1 38,6 42,0 38,6 38,4 37,3 38,6
51,2 62,1 52,3 42,0 43,5 40,5 42,0 50,2 51,0 42,6 40,4 42,4 37,5 39,6 40,2 41,2
di
di − d
-10,6 1,2 -4,1 -3,6 -4,3 2,1 0 -4,1 0 -3,5 -1,8 -0,4 1,1 -1,2 -2,9 -2,6
-8,46 3,34 -1,96 -1,46 2,16 4,24 2,14 -1,96 2,14 -1,36 0,34 1,74 3,24 0,94 -0,76 -0,46
(d
− d)
Di
71,5716 11,1556 3,8416 2,1316 4,6656 17,9776 4,5796 3,8416 4,5796 1,8496 0,1156 3,0276 10,4976 0,8836 0,5776 0,2116
+ + 0 0 + -
2
i
86
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
17 18 Σ
39,3 37,6 −
38,4 40,2 -
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
0,9 -2,6 -36,4
3,04 -0,46 0
9,2416 0,2116 150,9608
+ ––
a) Observaciones apareadas d =
∑ di
d =
n
∑ (d i − d ) sd =
− 36,4 = − 2,14 18 − 1
2
sd =
n −1
ad = d ± t
υ = n − 1 = 17
Sd
∝ = 0,05
n
ad = − 2,14 ± 2,11
150,9608 = 2,98 18 − 1
= t = 2,11
− 0,66 2,98 = 18 − 3,62
− 2,14 + 1,48 = LS = − 0,66 − 2,14 − 1,48 = LI = − 3,62
1) H 0 : ad = 0
2) ∝ = 0,05
H a : ad ≠ 0
La diferencia es significativa, al nivel del 5%, ya que ad = 0 , no cae dentro de los límites. b) Prueba del signo: positivos = 4
negativos = 12
µ =np
µ = 16 (0,5) = 8
σ = n pq
σ = 16 (0,5)(0,5) = 2
1)
H 0 : P = 0,5 H a : P ≠ 0,5
ceros = 2
n = 4 + 12 = 16
2) ∝ = 0,05 Z =1,96 3) P = 95%
87
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Z =
X −µ
Z =
σ
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
3,5 − 8 = − 2,25 2
Al nivel del 5%, la diferencia que se presenta se puede considerar significativa.
101. Solución: Sujeto
xi
yi
Di
di
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
30,4 28,6 27,6 34,2 32,8 30,2 30,1 32,4 33,3 28,4 33,6 36,4 36,6 35,4 30,6 37,6 37,6 38,6 34,5 33,8
30,4 29,4 30,0 34,4 33,8 30,4 32,4 34,5 33,3 30,6 31,4 34,2 36,6 34,5 33,5 36,6 39,4 38,6 37,3 31,4
0 0 + + 0 + + 0 +
0 -0,8 -2,4 -0,2 -1,0 -0,2 -2,3 -2,1 0 -2,2 2,2 2,2 0 0,9 -2,9 1,0 -1,8 0 -2,8 2,4
di − d
0,5 -0,3 -1,9 0,3 -0,5 0,3 -1,8 -1,6 0,5 -1,7 2,7 2,7 0,5 1,4 -2,4 -1,5 -1,3 0,5 -2,3 2,9
(d
− d)
2
i
0,25 0,09 3,61 0,09 0,25 0,09 3,24 2,56 0,25 2,89 7,29 7,29 0,25 1,96 5,76 2,25 1,69 0,25 5,29 8,41
88
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Σ
−
-
-
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
-10
-
53,76
a) Observación apareada:
∑ di
d =
n
sd =
t=
d =
− 10 = − 0,5 20
53,76 = 1,68 20 − 1
− 0,5 = − 0,30 1,68
2) ∝ = 0,05
1) H 0 : ad = 0
3) t = 2,093
H a : ad ≠ 0
Las diferencias, se pueden considerar que no son significativas, al nivel del 5%. b) Prueba del signo: positivo = 5
negativo = 11
µ =np
µ = 16 (0,5) = 8
σ = n pq
σ = 16 (0,5)(0,5) = 2
1)
Z =
H 0 : P = 0,5 H a : P ≠ 0,5 X −µ
σ
ceros = 4
n = 5 + 11 = 16
2) ∝ = 0,05 Z =1,96 3) P = 95% Z =
5,5 − 8 = − 1,25 2
Al igual que en la prueba anterior, al mismo nivel del 5%, se puede concluir que las diferencias no son significativas. 102. Solución:
89
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Prueba del signo: positivos = 14
negativos = 3
µ =np
µ = 17 (0,5) = 8,5
σ = n pq
σ = 17 (0,5)(0,5) = 2,06
1)
Z =
H 0 : P = 0,5 H a : P ≠ 0,5
X −µ
ceros = 3
n = 14 + 3 = 17
2) ∝ = 0,05 Z =1,96 3) P = 0,95
Z =
σ
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
13,5 − 8,5 = 2,43 2,06
Las diferencias son significativas, al nivel del 5%, de acuerdo a los resultados obtenidos.
103 – 108. Se dejan estos ejercicios para que el alumno los resuelva. 109. Solución:
(d
No.
Di
di
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
+ + 0 + 0 0 + + + + + -
2 4 -2 0 6 0 0 4 7 -4 5 6 12 -2 38
a) positivos = 8
negativos = 3
ceros = 3
)
2
−d 0,5041 1,6641 22,1841 7,3441 10,8241 7,3441 7,3441 1,6641 18,4041 45,0241 5,2441 10,8241 86,3041 22,1841 246,8574 i
n = 11
90
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
µ = 11(0,5)= 5,5
1)
H0 : P = 0 Ha : P > 0
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
σ = 11(0,5) (0,5) = 1,66
(Equivale a reducir)
2) ∝ = 0,05 Z =
7,5 − 5,5 = 1,2 1,66
Al nivel del 5%, no se redujo el número de accidentes en los cruces de alto riesgo. b) d =
1)
t=
38 = 2,71 14
H0 : ad = 0 Ha : ad > 0
246,8574 = 4,36 14 − 1
sd =
2) ∝ = 0,05 υ = 13
2,71 = 2,33 4,36 14
t = 1,771 ∝ = 0,10
Al nivel del 5%, se puede concluir que se redujo el número de accidentes en los cruces de alto riesgo.
110. Solución: No.
di
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-0,67 -0,35 4,89 2,05 -0,20 0,25 -1,36 -0,19 -0,30 -1,12 0,45
(d
)
2
−d 0,9168 0,4064 21,1830 1,7625 0,2377 0,0014 2,7143 0,2280 0,3452 1,9810 0,0264 i
91
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
12 ∑
1)
0 3,45
0 29,8027
d =
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
3,45 = 0,2875 12
sd =
29,8027 = 1,65 12 − 1
H 0 : ad = 0 (Equivale a reducir) H a : ad > 0
2) ∝ = 0,05 t=
0,2875 = 0,60 1,65 12
µ = 11 t = 1,796 ∝ = 0,10
Al nivel del 5%, no se ha presentado ningún cambio positivo en los dos períodos.
111. Solución: ni
n
ni − n
250 186 124 50 6 616
221,76 184,80 123,20 73,92 12,32 616,00
28,24 1,20 0,80 -23,92 -6,32 -
χ 2 = 14,58
1)
H 0 : ni = ni* H a : ni ≠ ni*
* i
χ 02,05 = 9,49
(n
* i
i
)
* 2 i
−n
797,4976 1,4400 0,6400 572,1664 39,9424 -
(n
− ni* ni* 3,60 0,00 0,00 7,74 3,24 14,58
i
)
2
υ = n − 1 = 4 ∝ = 0,05
2 χ = 9,49
2) ∝ = 0,05
14,58 cae en la zona de rechazo, al nivel del 5% por lo tanto se puede concluir que ha habido cambios en las 92
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
preferencias de compra según la marca del auto.
112 y 113. Se dejan estos ejercicios para que el alumno los resuelva.
114. Solución: n = 11
∑ xi = 75
a) r =
∑ xi2 = 551
11(992) − (75)(134)
[11(551) − (75) ] [11(1.818) − (134) ] 2
b) 1)
∑ yi = 134
H0 : ρ = 0 Ha : ρ ≠ 0
∑ yi2 = 1.818
∑ xi yi = 992
= 0,91
2
2) ∝ = 0,05
11 − 2 = 7,28 1 − 0,912
t = 0,91
υ = n − 2 = 9
t = 12,262
∝ = 0,05
Al nivel del 5%, si hay correlación lineal entre esas dos variables.
115. Solución: PAR
(xi − yi )
1 2 3 4 5 6 7 8 9
-2 5 8 0 -6 -20 -5 4 4
(d
)
2
−d 1,9044 70,2244 129,5044 11,4244 6,8644 276,2244 2,6244 54,4644 54,4644 i
93
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
10 11 12 13
-12 -10 -6 -4 -44
∑
a) d =
1)
t=
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
74,3044 43,8244 6,8644 0,3844 733,0772
− 44 = − 3,38 13
sd =
H 0 : ad = 0 H a : ad < 0
733,0772 = 7,82 12
2) ∝ = 0,01
− 3,38 = − 1,56 7,82 13
υ = n − 1 = 12 ∝ = 0,02
t = − 2,681
Como t = -1,56 cae en la zona de aceptación, se puede concluir que los hombres no obtienen un mayor puntaje que las mujeres, al nivel del 1%. b) ad = − 3,38 ± 2,179
1,54 = − 3,38 ± 4,92 = 12 − 8,30
7,82
υ = 12
= 2,179 t ∝ = 0,05 0, 05
116. Solución: ni
ni*
ni − ni*
1 9 11 11 11
5,04 8,40 7,56 6,96 11,60
-4,04 0,60 3,44 4,04 -0,60
(n
i
)
* 2 i
−n
16,3216 0,3600 11,8336 16,3216 0,3600
(n
i
− ni* ni* 3,24 0,04 1,57 2,35 0,03
)
2
94
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
7 50
n1* n n n n n
* 2 * 3 * 4 * 5 * 6
10,44 50
= 0,24 (21) = = 0,40 (21) = = 0,36 (21) =
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
-3,44 0
11,8336 -
1,13 8,36
5,04 8,40 7,56
12 = 0,24 50
= 0,24 (29) = 6,96 = 0,40 (29) = 11,60
18 = 0,36 50
20 = 0,40 50
= 0,36 (29) = 10,44
1) H 0 : son idénticas H a : son diferentes χ 2 = 8,36 χ 02,05 = 9,49 υ = (3 − 1)(3 − 1) = 4 ∝ = 0,05
χ 2 = 8,36 cae en la zona de aceptación, al nivel del 5%, pudiéndose concluir que las diferencias son idénticas.
117. Se deja el ejercicio para que el alumno lo resuelva. 118. Se deja el ejercicio para que el alumno lo resuelva 119. Solución:
ni 144 128 34 46 352
ni* 137,55 134,45 40,45 39,55 352,00
n − n* i i
− 0,5
5,95 5,95 5,95 5,95 -
n − n * − 0,5 i i * ni 0,26 0,26 0,88 0,90 2,30
2
95
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
n1* n2* n3* n4*
174 = 272 352 174 = 272 352 178 = 80 352 174 = 80 352
= 137,55 = 134,45 = =
40,45 39,55
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
1) H o : ni = ni* H a : ni ≠ ni* 2) υ = (2 − 1)(2 − 1) = 1 2 χ 0 , 05 = 3,84 ∝ = 0,05 3) χ 2 = 2,30
χ 2 = 2,30 cae en la zona de aceptación, al nivel del 5%, no hay diferencias significativas en cuanto a la aprobación de la materia.
120. Solución: r = 0,46
n = 22
t = 0,46
22 − 2 = 2,32 1 − 0,462
υ = 20
t = 2,086 ∝ = 0,05 H 0 : ρ = 0 (no hay correlación) H a : ρ ≠ 0 (si hay correlación)
Al nivel del 5%, se puede concluir que hay correlación entre las variables.
121. Solución: r = 0,78
n = 52
96
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Z = 0,78
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
52 − 2 = 5,53 1 − 0,782
H 0 : ρ = 0 (no hay correlación) H a : ρ ≠ 0 (si hay correlación)
Como Z = 5,53, cae en la zona crítica, se concluye que hay correlación al nivel del 1%.
122. Solución: r = 0,56
n = 26
26 − 2 = 3,31 1 − 0,562
t = 0,56
1) H 0 : ρ = 0 (no hay correlación) H a : ρ ≠ 0 (si hay correlación) 2) ∝ = 1% υ = 24
t = 2,797 ∝ = 0,01
El valor de 3,31 cae en la Región crítica, por lo tanto al nivel del 1%, se puede concluir que hay correlación entre las variables.
123. Solución: se deja al estudiante su respuesta. 124. Solución: ni
ni*
10 3 2 5 14
6,8 6,8 6,8 6,8 6,8
(n
i
)
* 2 i
−n
10,24 14,44 23,4 3,24 51,84
(n
i
− ni*
)
2
ni* 1,51 2,12 3,39 0,48 7,62
97
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
34
1 = 0,20 5
1)
ni* = 0,2 (34) = 6,8
Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas
34
-
15,12
υ = n − 1 = 4 ∝ = 0,05
2 χ 0, 05 = 9,49
H 0 : ni = ni* H a : ni ≠ ni*
2) ∝ = 0,05 Como χ 2 = 15,12 cae en la RC se está concluyendo, al nivel del 5% de que si hay diferencia de ocurrencia de accidentes en los días de la semana. NOTA: los ejercicios 125, 126, 127 y 128 se dejan, para que sean resueltos por el estudiante.
98
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
10 Regresión y correlación simple, ponderada y múltiple EJERCICIOS RESUELTOS REGRESION LINEAL SIMPLE 1. Solución: 110 60 3.156 = 22 y= = 12 s x2 = − 22 2 = 147,20 5 5 5 1.138 1.868 s y2 = − 12 2 = 83,60 ; m xy = − (22) (12) = 109,60 5 5 x=
a) s 2yx = 83,6 −
12.012,16 = 1,9956 ≅ 2,0 147,20
b) s 2y − s 2yx = s ay2
⇒
s yx = +
2 s ay = 83,6 − 2 = 81,60
2 = 1,4142
⇒
υ = n − 1 = 4
t = 2,776 ∝ = 0,05
c) Yˆ = byx (x − x ) + y
byx =
109,6 = 0,7446 ≅ 0,74 147,2
s 2yx = s 2y −
2 s ay = 81,60
2 m xy
s x2
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Yˆ = 0,74 (80 − 22) + 12 = 54,92
Yˆ = 54,92 ± 2,776 (1,41)
1 + 5
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
Yˆ = 54,92
(80 − 22)2 (110)2 3.156 −
63,47 = 54,92 ± 8,55 = 46,37
5
2. Solución: 8x 2 y 1 + = 8 8 8
x+
16 x 9 y + =1 9 9
1 1 y= 4 8
x=−
16 1 x+ y= 9 9
1 1 y+ 4 8
bxy = −
y=−
1 4
16 1 x+ 9 9
byx = −
R 2 = bxy b yx = (− 1 4 ) (− 16 9) =
16 9
16 = 0,44 36
R 2 = 0,44
r = 0,66
3. Solución: C yx = 64
b yx = − 1,4
a) C yx = y − b yx x
b) b yx =
r=
m xy
⇒
s x2
m xy sx s y
=
⇒
64 = 45 − x (− 1,4)
mxy = b yx s x2
− 72,576
(7,2) (10,5)
= − 0,96
⇒
x = 19 = 13,5714 ≅ 13,57 1,4
mxy = (− 1,4) (51,84) = − 72,576
s x2 = 7,2 2 = 51,84
2
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
c) Xˆ = bxy y + c xy bxy =
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
Xˆ = bxy ( y − y ) + x
ó
s 2y = 10,5 2 = 110,25
− 72,576 = − 0,6582 110,25
C xy = x − y bxy
C xy = 13,57 − 45 (− 0,658) = 43,18
Xˆ = − 0,658 ( y − 45) + 13,57
Xˆ = − 0,658 y + 43,18
ó
4. Solución: r=
m xy
r (s x ) s y = 0,85 (2.000) (3.000) = m xy = 5.100.000
sx s y
V[x − y ] = V[x ] + V[ y ] − 2mxy
s x2 = 2.000 2 = 4.000.000
s y2 = 3.000 2 = 9.000.000
V[x − y ] = 4.000.000 + 9.000.000 − 2 (5.100.000) = 2.800.000
s = 1.673,32
5. Solución: r = 0,8 → R 2 = 0,64
R =1− 2
s 2yx s 2y
byx = 4 36 s 2y
⇒
( )
⇒
→
0,64 = 1 −
→
0,64 = 4 bxy
R 2 = b yx bxy
c yx = 7
2 s yx = 36 = 6 2
− 0,36 =
bxy =
− 36 s 2y
⇒
s 2y =
− 36 = 100 − 0,36
0,64 = 0,16 4
m xy = bxy s 2y = (0,16) (100) = 16
b yx =
m xy s x2
⇒
s x2 =
m xy b yx
=
16 =4 4
s x2 = 4
sx = 2
3
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
6. Solución: xi
yi
xi yi
xi2
9 17 20 19 20 23 108
23 35 29 33 43 32 195
207 595 580 627 860 736 3.605
81 289 400 361 400 529 2.060
yi2
529 1.225 841 1.089 1.849 1.024 6.557
x=
108 = 18 6
y=
195 = 32,50 6
6.557 2.060 3.605 − 32,5 2 = 36,58; s x2 = − 18 2 = 19,33; m xy = − (32,5) (18) = 15,83 6 6 6 15,83 = = 0,82 s x = 19,33 = 4,39 s y = 36,58 = 6,04 19,33
s y2 = b yx
Yˆ = 0,82 (16 − 18) + 32,50 = 30,86
a) Yˆ = byx (x − x ) + y b) r =
m xy sx s y
=
2 c) s yx = s y2 −
d) Yˆ ± t s yx
15,83 = 0,59 (4,39) (6,04)
2 m xy
s 2yx = 36,58 −
s x2
1 + n
∑
30,86 ± 2,571 (4,86)
Yˆ = 30,86
r = 0,59
250,59 = 23,61 19,33
s yx = +
23,61 = 4,86
( x − x )2 (∑ xi )2 x2 − i
1 + 6
n
(16 − 18)2 (108)2 2.060 −
36,46 = 30,86 ± 5,60 = 25,26
6
4
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
7. Solución: C yx = 73
b yx = − 0,6
C yx = y − x byx
mxy
byx =
r=
x =8
m xy
=
sx s y
s x2 = 4
s 2y = 9
⇒ 73 = y − 8 (− 0,6) → 73 = y + 4,80 → y = 73 − 4,80 = 68,20 m xy = b yx s x2
S x2
sx = 2
− 2,4 = − 0,4 (2) (3)
m yx = (− 0,6) (4 ) = − 2,40
r = − 0,4
y = 68,20
8. Solución: x=
∑ xi = 287 = 35,875 ≅ 35,87 n
mxy =
8
∑ xi yi n
−x y=
y=
∑ yi = 273 = 34,125 ≅ 34,12 n
14.225 − (35,87 ) (34,12) = 554,24 8
s 2y =
∑ y i2 − y 2 = 13.599 − 34,12 2 = 535,7006 ≅ 535,70
s x2 =
∑ xi2 − x 2 = 14.911 − 35,87 2 = 577,2181 ≅ 577,22
n
8
n
b yx =
m xy
bxy =
m xy
s x2
s 2y
8
8
=
554,24 = 0,9602 ≅ 0,96 577,22
=
554,24 = 1,03461 ≅ 1,035 535,70
C yx = y − b yx x = 34,13 − (0,960) (35,87 ) = − 0,32 C xy = x − bxy y = 35,87 − (1,035) (34,12) = 0,56
5
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
s yx = +
a) Error estándar de estimación: s 2yx = s 2y −
b) s
r =
s x2
(
)
s x2 s y2
= byx bxy
m xy = sx s y
s 2yx
554,24 2 = 3,525 577,22
s yx = + 3,525 = 1,88
2
2 s ay = s 2y − s 2yx
n 2 mxy
c) R 2 =
= 535,70 −
∑ Yˆi − y
=
2 ay
2 m xy
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
⇒
R2 =
d) Yˆ = byx x + C yx Yˆ = 0,960 x − 0,32
R2 =
⇒
2 s ay = 535,70 − 3,525 = 532,18
554,24 2 = (0,959) (1,035) = 0,9934 (535,70) (577,22)
0,9934 = 0,9967
ó
Yˆ = byx ( x − x ) + y
ó
Yˆ = 0,960 ( x − 35,87 ) + 34,12
ó
9. Solución: y = 6,6
ó
6.600
x = 20
s 2y = 60
ó
60.000
mxy = 8,4 ó
=
8,4 = 0,28 30
b yx =
m xy s x2
20.000
s x2 = 30
ó
30.000
8.400
C yx = y − x byx = 6,6 − (20) (0,28) = 1
8.400 = 0,28 30.000
Yˆ = byx x + C yx
byx =
Yˆ = 0,28 (28) + 1
C yx = 6.600 − 0,28 (20.000) = 1.000
Yˆ = 7,84 + 1 = 8,84
Yˆ = $ 8.840 diario
Yˆ = 0,28 (28.000) + 1.000
Yˆ = 7.840 + 1.000 = 8.840 diario
6
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
10. Solución: V[x + y ] = V[x ] + V[ y ] + 2m xy
( )
0,9 = (− 0,2) byx
R 2 = bxy byx ⇒
b yx =
m xy
bxy =
m xy
s x2
s 2y
⇒
− 4,5 =
⇒
s 2y =
m xy
m xy bxy
=
byx =
0,9 = − 4,5 − 0,2
mxy = (− 4,5) (8) = − 36
⇒
8
⇒
− 36 = 180 − 0,2
V[x + y ] = s x2 + s 2y + 2m xy
V[x + y ] = 8 + 180 + 2 (− 36) = 116
V[x + y ] = 116
11. Solución: s yx = 3
→
s 2yx = 9
R2 = 1 −
sy = 5
→
s 2y = 25
r=
VR VT
R2 = 1 −
R2
9 = 0,64 25
r = 0,64 = 0,8
r = 0,8
12. Solución: a) r =
m xy sx s y
R = 2
2 s ay
s 2y
=
10 10 = = 0,25 5 (8) 40
R 2 = 0,252 = 0,0625
=
4 = 0,0625 64
Cierto
b) bxy byx ≤ 1 c)
bxy = − 0,7
1,24 (0,95) = 1,178
1,178 >1
Falso
byx = 0,9
7
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
Falso, deben tener el mismo signo, los coeficientes angulares o de regresión
d) mxy = − 10
r = 0,8
Falso. El Coeficiente de correlación deberá tener el mismo signo de la covarianza
e) V[x - y ] = − 14
V[ x ] = 8
V[ y ] = 12
cov = 17
Falso, las varianzas nunca pueden ser negativas
13. Solución: a) R 2 = 1 −
s 2yx s 2y
⇒ R 2 = 0,81 = 1 −
19 100
0,81 = 1 − 0,19
⇒
0,81 = 0,81 Cierto
b) byx = 7
C yx = 4
4 ≠ 64 − 70
⇒ ⇒
C yx = y − x byx
4 ≠ −6
⇒
4 ≠ 64 − 10 (7 )
Falso
c) byx = 0,3
bxy = − 3
d) mxy = 60
s x2 = 50
s 2y = 50
byx = 1,2
60 = 1,2 50
Cierto
b yx = 1,2
byx =
m xy S x2
=
Falso, deben tener el mismo signo
14. Solución: M [x + y ] = M [x ] + M [ y ] = x + y = 7 mxy =
∑ xi yi n
x y = 12 ⇒
− xy
⇒
50 =
1.240 −xy 20
⇒
50 − 62 = − x y
x = 12 reemplazamos en x + y = 7 Los valores de las medias son 4 y 3 y
8
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
12 + y=7 y
12 + y 2 = 7 y
⇒
⇒
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
y 2 − 7 y + 12 = 0
x=4
Como M [x − y ] > 0 se tiene que x > y
⇒
s x2 = M [x 2 ] − x 2 = 81 − 16 = 65
s x2 =
∑ x − x2
s 2y = M [y 2 ] − y 2 = 49 − 9 = 40
s 2y =
∑ y i2 − y 2
2 s yx = s y2 −
2 m xy
⇒
s x2
y=3
y
2
n
n
2.500 = 40 − 38,46 = 1,54 65
2 S yx = 40 −
s yx = 1,54 = 1,24
15. Solución: (1) V[x + y ] = V[x ] + V[ y ] + 2m xy = 9,2
( 2) V[x − y ] = V[ x ] + V[ y ] − 2m xy = 14,8
Multiplicamos a la segunda ecuación por -1 y le restamos a la primera: 9,2 − 14,8 − 5,6
= = =
V[x ] − V[x ] 0
+ −
V[ y ] V[ y ] 0
+ +
2m xy 2m xy 4m xy
mxy = −
5,6 = − 1,4 4
m xy = − 1,4
16. Solución: a) s 2yx = s 2y −
r=
m xy sx sy
b) b yx =
m xy s
2 x
2 m xy
s x2
sy = 8
⇒
s 2y = 64
s x = 10 →
; r (s x )(s y ) = 0,6 (8) (10) = 48 = m xy ; s 2yx = 64 −
=
48 = 0,48 100
s x2 = 100
2.304 = 64 − 23,04 = 40,96 100
Yˆ = 0,48 ( x − 16 ) + 13
9
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
17. Solución: a) Falso
b) Cierto
c) Falso
d) Falso
e) Falso
18. Solución: x=
∑ xi n
mxy =
s x2 =
=
174 = 8,7 20
∑ xi yi − x y = n
y=
∑ yi n
340 = 17 20
=
3.062 − (8,7 ) (17 ) = 5,2 20
∑ xi2 − x 2 = 1.626 − 8,7 2 = 5,61 n
20
Yˆ = byx ( x − x ) + y 2 s yx = s y2 −
b yx =
2 m xy
s x2
= 6,2 −
m xy s x2
=
5,2 = 0,927 5,61
Yˆ = 0,927 (30 − 8,7 ) + 17 = 36,75 5,2 2 = 1,381 5,61
s y2 =
Yˆ = 36,75
∑ y i2 − y 2 = 5.904 − 17 2 = 6,2 n
20
s yx = + s 2yx = 1,381 = 1,175
Yˆ = 36,75 ± 2,093 (1,175)
1 + 20
(30 − 8,7 )2 (174)2 1.626 −
41,73 = 36,75 ± 4,98 = 31,77
20
19. Solución: mxy =
400 = 20
→
r=
m xy sx s y
=
20 20 = = 1,333 3 (5) 15
r = 1,333
El coeficiente de correlación no puede ser mayor de 1. Por lo general: − 1 ≤ r ≤ 1
10
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
20. Solución: a)
s 2yx
100 = porcentaje de la varianza total que queda sin explicar.
s 2y
R2 = 1 − s 2yx
s 2yx s 2y
⇒
0,8836 = 1 −
s 2yx s 2y
= 1 − 0,8836 = 0,1164
s 2y
VR 100 = 11,64% VT
100 = 11,64%
s 2y
s 2yx
⇒
El porcentaje de la varianza total que queda sin explicar es del 11,64%. b yx =
b) V[x + y ] = V[x ] + V[ y ] + 2 mxy
R 2 = byx bxy
bxy =
m xy
⇒
s y2 =
s 2y
m xy
⇒
s x2
b yx s x2 = m xy = (0,40) (18) = 7,2
2 0,8836 bxy = R = = 2,209 b yx 0,40
m xy bxy
=
V[x + y ] = 18 + 3,259 + 2 (7,2 ) = 35,659
7, 2 = 3,259 ; 2,209
21. Solución:
∑ xi
x=
=
n
s x2 =
174 = 8,7 20
y=
∑ yi n
=
340 = 17 20
∑ xi2 − x 2 = 1.626 − 8,7 2 = 5,61 n
s 2y =
20
a) b yx =
m xy s x2
=
5,2 = 0,9269 5,61
mxy =
∑ xi yi
c yx = y − x byx = 17 − 8,7 (0,9269) = 8,936
b)
r=
m xy sx s y
=
n
∑ y i2 − y 2 = 5.904 − 17 2 = 6,2 n
−xy=
20
3.062 − (8,7 ) (17 ) = 5,2 20
Yˆ = 0,9269 (10) + 8,936 = 18,205
5,2 5,2 = = 0,88 (2,37 )(2,49 ) 5,90
11
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
22. Solución: b yx =
sy =
m xy
→
s x2 4
(0,9)
20
r=
m xy
→
sx s y
4 = 0,9937 4,025
=
m xy
sy =
r (s x )
⇒
→
b yx s x2 = m xy
⇒ 0,2 (20) = 4 = m yx
s 2y = 0,9875
V[x + y ] = V[x ] + V[ y ] + 2mxy = 20 + 0,9875 + 2 (4 ) = 28,9875
V [x + y ] = 28,9875
23. Solución: s x2 = 56,09
s x2 = M [x 2 ] − x 2
⇒
x 2 = 27.812,25 − 56,09 = 27.756,16
⇒
⇒
56,09 = 27.812,25 − x 2
x = 27.756,16 = 166,60
x = 166,60 s 2y = 64,8
s y2 = M [y 2 ] − y 2
⇒
mxy = M [xy ] − x y bxy =
m xy
=
s 2y
⇒
⇒
64,8 = 4.567,21 − y 2
⇒
y =
4.502,41 = 67,1
m xy = 11.223,5 − (166,60) (67,1) = 44,64
44,64 = 0 ,68 64,8
Xˆ = bxy ( y − y ) + x
⇒
Xˆ = 0,68 (20 − 67,1) + 166,20 = 134,17
Xˆ = 134,17
24. Solución: a) b yx =
m xy 2 Sx
=
3,6 = 0,90 4
Yˆ = b yx x + C yx b) r =
m xy sx sy
=
3,6 = 0,42 2(4,24)
C yx = y − b yx x = 21 − 0,90 (8) = 13,8 ⇒
Yˆ = 0,9 x + 13,8 r = 0,42
Sy = 18 = 4,24
25. Solución:
12
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
x = 28
y = 1,2
s x2 = 8
s 2y = 2
Cov = 1,15 (4) = 4,6
a) Antes del incremento R 2 = r 2 = Con el incremento : R 2 =
b) bxy =
Cov 4 = =2 2 s 2y
Cov = 4
y = 1,15 (1,2 ) = 1,38 ; s y2 = 1,15 2 (2) = 2,645
⇒
Con incremento del 15%
Cov 2 s x2 s 2y
⇒ r 2 = R2 =
16 =1 8 (2)
4,6 2 = 1 → sigue siendo igual a 1 8 (2,645)
R2 = 1
Xˆ = bxy ( y − y ) + x = 2 (3 − 1,2 ) + 28 = 31,6
→
Xˆ = 31,6 Después : b xy =
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
antes del incremento (mill $ )
4,6 = 1,739 → Xˆ = 1,739 (3 − 1,38) + 28 = 30,817 2,645
Xˆ = 30,817 después del incremento (mill $ )
26. Solución:
∑ (Yˆi − y ) = 115,2 = 5,76 = 2
2 s ay
n
20
a) VT = V R + V E
→
s x2 = 16
2 2 s y2 = s ay + s yx
sx = 4
⇒
sy = 8
2 s 2yx = s 2y − s ay
s 2yx = 64 − 5,76 = 58,24 VR = 58,24 = 0,91 = 91% Porcentaje que no queda explicado por la recta de regresión VT 64
b) Yˆ = b yx x + C yx ⇒ Yˆ = b yx (x − x ) + y R2 =
VE VT
⇒ R2 =
2 s ay
s 2y
=
5,76 = 0,09 64
⇒ R=
Cov sx s y
13
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
0,30 =
b yx =
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
Cov ⇒ Cov = 0,30 (32) = 9,60 4 (8)
R = 0,09 = 0,30
Yˆ = 0,60 (62 − 70) + 75 = 70,2
Cov 9,6 = = 0,60 16 s x2
Yˆ = 70,2
Se espera una calificación de 70,2 en el examen final
c) V[x + y ] = s x2 + s 2y + 2 Cov V[x + y ] = 16 + 64 + 2 (9,6) = 99,20
V[x + y ] = 99,20
27. Solución:
∑ (Yˆi − y ) = 810 = 27 2
2 s ay =
n
∑ (y i − Yˆ ) = 290 = 9,666 ≅ 9,67 2
s 2yx =
30
n
30
a) s 2y = say2 + s 2yx ⇒ s 2y = 27 + 9,67 = 36,67 r 2 = R2 =
2 VE s ay = 2 VT sy
⇒ R2 =
27 = 0,7363 ⇒ r = 36,67
R 2 = 0,7363 ≅ 0,86
r = 0,86 3,11 120,96 = 120 ± 0,96 = 119,04 30
b) Yˆ = 120 ± 1,699
∝ = 0,05 υ=n−2
t = 1,699
28. Solución: x = 3.820
Sin aumento :
s x2 = 2.500
R2 =
s 2y = 2.500
Cov = 300
Yˆ = 4 años promedio de servicio
Cov 2 300 2 2 ⇒ R = = 0,0144 ⇒ r = 0,0144 = 0,12 (2.500) (2.500) s x2 s 2y
Con aumento la cov arianza cambia siendo : cov = 1,20(300) = 360
14
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
R2
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
306 2 = 0,020 ⇒ r = 0,020 = 0,14 ( hubo cambio) ( 2.500)
29. Solución:
∑ xi = 34 ∑ xi2 = 138
n = 10
a) Yˆ = b yx x + C yx Cov =
b yx =
⇒
∑ y i = 36 ∑ y i2 = 154
∑ xi
Yˆ = b yx ( x − x ) + y
130 − (3,4) (3,6) = 0,76 10
y i = 130
x = 3,4
s x2 = 2,24
y = 3,6
s 2y = 2,44
Cov 0,76 = = 0,3393 ≅ 0,34 2,24 s x2
Yˆ = 0,3393 (10 − 3,4 ) + 3,6 = 5,8394 ≅ 5,84 mill de $ es el costo para una empresa con 10 sucursales
30. Solución: a) s 2y = s ay2 + s 2yx
⇒
VT = VE + VR
2 2 s yx = s y2 − s ay = 28,2 − 28,6 = − 0,4
s 2yx = − 0,4
Las varianzas de x, de y, las explicadas y las residuales, no pueden ser negativas ⇒ Falso
b) Yˆ = 5 + 4,8 x
x =5
y = 29
Se tienen dos soluciones
b1) C yx = y − byx x
⇒
C yx = 29 − 4,8 (5) = 5
cierto
b2) M [ y ] = M [5] + M [4,8 x ] ⇒ y = 5 + 4,8 x = 5 + 4,8 (5) = 29 c) Cov = 80 b yx =
Cov s x2
s x2 = 50 ⇒
b yx =
s y2 = 50
80 = 1,6 50
y = 29 Cierto
b yx = 1,2 1,6 ≠ 1,2 Falso
15
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
e) Los dos coeficientes deben tener el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos).
31. Solución:
∑ xi
= 100
n = 50
∑ yi2 = 5.390,5
x =
∑ y i = 500 ;
100 =2 50
y =
∑ xi yi = 30
r = 0,8
x y x y a) m xy = Cov = ∑ i i − ∑ i ∑ i n n n
500 = 10 50
n
100 500 = 30 − 50 50
Cov = 30 − 2 (10) = 10
5.390,5 500 − 50 50
s y2 =
2
↓ b xy
10 = = 1,2804 ≅ 1,28 7,81
s 2y = 107,81 − 100 = 7,81
100 500 C xy = − 1,28 = 2 − 12,8 = − 10,8 50 50
;
s y = 7,81 = 2,7946
Xˆ = 1,28 y − 10,8
b) s xy2 = 20,01 −
sx =
10 2 = 7, 21 ; 7,81
10 = 4,4729 0,8 (2,7946)
c) Xˆ = 1,28 (20 − 10) + 2 = 14,8
r=
Cov 10 ⇒ 0,8 = sx s y s x (2,7946)
s x2 = (4,4729) = 20,01 2
s x2 = 20,01
Xˆ = 14,8 millones de $
16
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
32. Solución: Nota: se elaboró un cuadro de doble entrada, a fin de reducir operaciones y trabajos en una regresión lineal ponderada (frecuencias absolutas). xi
yi
xi, −1 − xi,
2,5 5,5 8,5 -
1,1 - 4 4,1 - 7 7,1 -10 -
1
2
3
4
∑
3 1 4
2 4 6
2 6 6 14
2 4 6
4 15 11 30
xi
yi
ni
x i ni
y i ni
xi2 ni
yi2 ni
xi y i ni
2,5 2,5 5,5 5,5 5,5 5,5 8,5 8,5 8,5 -
2 3 1 2 3 4 1 3 4 -
2 2 3 4 6 2 1 6 4 30
5,0 5,0 16,5 22,0 33,0 11,0 8,5 51,0 34,0 186,0
4 6 3 8 18 8 1 18 16 82
12,50 12,50 90,75 121,00 181,50 60,50 72,25 433,50 289,00 1.273,50
8 18 3 16 54 32 1 54 64 250
10,00 15,00 16,50 44,00 99,00 44,00 8,50 153,00 136,00 526,00
x =
∑ x i ni n
=
186 = 6,20 30
y=
∑ y i ni = 82 = 2,7333 ≅ 2,73 n
30
s x2 =
∑ xi2 ni − x 2 = 1.273,5 − 6,20 2 = 42,45 − 6,20 2 = 4,01
s y2 =
∑ y i2 ni − y 2 = 250 − 2,73 2 = 0,88
n
n
m xy = Cov =
30
30
526,00 − 6,20 (2,73) = 0,61 30
(a) Yˆ = 0,15 (6 − 6,20) + 2,73 = 2,70
b yx =
0,61 = 0,15 4,01 Yˆ = 2,70
17
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
2 0,612 2 = s y2 − Cov2 = 0,88 − = 0,79 s yx 4,01 sx
(b) Yˆ = 2,7 ± 2,048 0,89 1 + 1 + 30
30
⇒
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
s yx =
(6 − 6,2)2 (186)2 1.273,5 −
0,79 = 0,89
3,04 = 2,7 + 0,34 = 2,36
30
c) r 2 = R 2 =
0,612 = 0,11 (4,01) (0,88)
→
r =
0,11 = 0,33
r = 0,33
(Hay muy poca correlación) 33. Solución: b yx = 0,2
r = 0,9
b yx = Cov s x2
Cov = 0,2 (20) = 4
⇒
Cov 2 s x2 s y2
r 2 = R2 =
s x2 = 20
⇒
s y2 =
Cov 2 42 = = 0,9876 ≅ 0,99 R 2 s x2 (0,9)2 (20)
( )
V [x + y ] = 28,99
V[x + y ] = 20 + 0,99 + 2 (4) = 28,99
34. Solución: x =
15 =3 5
s x2 =
y=
45 =9 5
55 2 −3 = 2 5
Cov =
n=5
s 2y =
495 − 9 2 = 18 5
165 − 3 (9) = 6 5
a) R 2 =
Cov 2 62 = =1 (2) (18) s x2 s 2y
b) b yx =
6 =3 2
R2 = 1
Yˆ = 3 (6 − 3) + 9 = 18
Yˆ = 18
18
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
Cuando R 2 = 1 la varianza residual (s 2yx ) es igual a 0 y el error es igual a 0, donde Yˆ = 60 (límites de confianza). c)
VR = 0 Todos los puntos quedaron explicados por la recta de regresión. VT
35. Solución: a) Se deja al estudiante hacer la gráfica. n = 10
x = 8.610
s 2y = 703.600
b xy =
y = 7.720
s x2 = 2.170.900
s x = 1.473,40
s y = 838,81
Cov = 1.139.800
C xy = 8.610 − 1,6199 (7.720) = − 3.895,63
1.139,800 = 1,6199 703.600
b) Xˆ = 1,6199 y − 3.895,63 c) Xˆ = 1,6199 (12.400) − 3.895,63 = 16.191,13 (cientos de $) Nota: el (a) se le deja al estudiante para que lo realice, lo mismo que la segunda parte del (c).
36. Solución: a) r = Cov
→
S S y x
bxy =
( )
Cov = r (s x ) s y = 0,80 (5) (2,828) = 11,312
Cov 11,312 = = 1,414 8 s 2y
2 b) s xy2 = s x2 − Cov2
sy
⇒ S xy2 = 25 −
Xˆ = 1,414 (28 − 45) + 30 = 5,962
11,312 2 = 9,01 8
Xˆ = 5,962
2 s xy = 9,01
19
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
37. Solución: a) C yx = y − b yx x
⇒
C yx = 105 − 0,932 (104) = 8,072
8,072 ≠ 6,84 Falso 24 = 4,8 5
b) s 2yx =
2 s ay =
2 s 2y = s 2yx + s ay
d) C yx = y − b yx x Cov s x2
b yx =
Cov =
e) s 2y = ?
b yx =
⇒
⇒
⇒
∑ xi y i − x y n
→
s 2y = 18
8 ≠ 18 Falso
4 = 0,44 9
0,44 ≠ 4 Falso
− 4 = y − 0,2 (30)
y = 6−4 = 2
⇒
( )
Cov = b yx S x2 = 0,2 (50)
⇒
50 − (30) (2) = − 10
⇒
V[ y ] = V[2 x + 5]
⇒
s 2y = 4 (16) = 64
r = 0,4375 = 0,66
n=5
s 2y = 4,8 + 3,2 = 8
⇒
Cov s x2
c) b yx =
16 = 3,2 5
R2 = 1 −
s 2yx s 2y
⇒
y=2
Cov = 10
⇒
s 2y = V(2 x ) + V[5]
⇒
− 10 ≠ 10 Falso
⇒ S y2 = 4 S x2
R2 = 1 −
36 = 0,4375 64
⇒ 0,66 ≠ 0,3 Falso
38. Solución: x=
7.620 = 762 10
a) s x2 =
y=
28,5 = 2,85 10
7.104.300 − 762 2 = 129.786 10
s 2y =
99,75 − 2,85 2 = 1,8525 10
20
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cov =
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
26.370 − (762) (2,85) = 465,3 10
465,3 = 251,17 ⇒ C xy = 762 − 251,17 (2,85) Xˆ = bxy y + C xy ⇒ bxy = 1,8525 C xy = 46,1655 Yˆ = byx x + c
b yx =
465,3 = 0,003585 129.786
Yˆ = 0,003585 (1.500) + 0,11823 = 5,49 días
C yx = 2,85 − 0,003585 (762 ) =
C yx = 0,11823
5,49 días > 3 días Estoy de acuerdo
b) s 2yx = s 2y −
Cov 2 s x2
2 s ay = s 2y − s 2yx
465,32 = 0,1843 129.786
⇒
s 2yx = 1,8525 −
⇒
2 s ay = 1,8525 − 0,1843 = 1,6682
1,6682 VE 100 = 100 = 90,05 % VT 1,8525
VE 100 = 90,05% VT
39. Solución:
∑ (xi − xi ) ( y − y ) = 241
∑ (xi − xi ) ( y − y ) = 4,82 Cov = 241 = 50 n s y2 =
byx =
2 ∑ ( yi − y ) = 218,15 = 4,363
n
50
4,82 2 = 0,62 6,2
2 ∑ (xi − x ) = 310 = 6,2
s ay2 =
n
50
196,34 = 3,9268 50
Yˆ = 0,777 (30 − 20) + 30 = 37,77
4,82 = 0,777 6,20
s 2yx = 4,363 −
s x2 =
⇒
s yx = 0,62 = 0,79
21
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
37,97 37,57
a) Yˆ = 37,77 ± 1,800 0,79 = 37,77 ± 0,20 = 50
b)
s 2yx s 2y
100 =
0,62 100 = 14,21% 4,363
VR 100 = 14,21% VT
40. Solución:
∑ xi
n=8
= 68
∑ xi2 = 684 byx = − 0,2057
∑ yi = 66,6 ∑ yi2 = 558,94
C yx = 10,073
∑ xi yi x = 8,5
mxy S y2
=
y = 8,325
Yˆ = − 0,2057 x + 10,073
a) Yˆ = − 0,2057 (0) + 10,073 = 10,073 mm fué el grosor original b) bxy =
= 544,3
Yˆ = 10,073 mm
− 2,725 = − 4,85 0,5618
Xˆ = − 4,85 (0 − 8,325) + 8,5 = 48,88 horas
Xˆ = 48,88 horas
c) A partir de las 48,88 horas ya no hay lámina, por lo tanto no tiene sentido pronosticar el grosor después de 70 horas de fricción.
41. Solución: n=6
a) r =
∑ xi = 18 ∑ xi2 = 64 6 (122) − (18) (45)
[6 (64) − (18) ] [6 (355) − (45) ] 2
b) byx
∑ yi = 45 ∑ yi2 = 355
− 2,17 = = − 1,299 ≅ − 1,30 1,67
∑ xi yi
= 122
x =3
= − 0,9827 ≅ − 0,98
y = 7,5
r = − 0,98
2
mxy = − 2,17
s x2 = 1,67 s 2y = 2,92
Yˆ = − 1,3 (0 − 3) + 7,5 = 11,4 segundos es la rapidez de acción en ausencia del agente químico
22
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
c) bxy = − 2,17 = − 0,743 2,92
Xˆ = − 0,743 (0 − 7,5) + 3 = 8,57 gramos es la proporción que deberá contener el producto para que la solución sea instantánea.
42. Solución:
∑ xi = 179,4 ∑ xi2 = 4.937,68
n=8
x = 22,425 ≅ 22,43
∑ yi = 166,3 ∑ yi2 = 3.505,37
y = 20,7875 = 20,79
∑ xi yi
= 3.919,62
s 2y = 6,05
s x2 = 114,33
a) Se deja al estudiante la realización de la gráfica de dispersión y de regresión. b) s 2yx = s 2y −
Cov 2 s x2
2 s ay = s 2y − s 2yx
⇒
⇒
s 2yx = 6,05 −
23,79 2 = 1,099 ≅ 1,10 114,33
2 s ay = 6,05 − 1,10 = 4,95
2 VE s ay 4,95 = 2 = = 0,8182 = 81,82% Es el porcentaje que queda explicado por la recta de regresión VT 6,05 sy
c) bxy = 23,79 = 3,93 6,05
Xˆ = 3,93 (25 − 20,79) + 22,43 = 38,98
Xˆ = 38,98
42,92 4,56 Xˆ = 38,98 ± 2,447 = 38,98 ± 3,94 = 8 35,04
υ=n−2=6
2 s xy = s x2 −
Cov 2 s y2
⇒ 114,33 −
23,79 2 = 20,78 6,05
∝ = 0,05 s xy =
20,78 = 4,56
43. Solución: r = 0,80
x = 25
y = 60
s x = 7,5
s y = 14,4
23
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
( )
Cov = r (s x ) s y
byx =
a)
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
Cov = 0,80 (7,5) (14,4) = 86,4
⇒
86,4 = 1,536 56,25
Cov = 86,4
s 2y = 207,36
s x2 = 56,25
Yˆ = 1,536 (40 − 25) + 60 = 83,04 valor de la cuenta (miles de $)
b) s 2yx = s 2y −
Cov 2 S x2
⇒
s 2yx = 207,36 −
2 VR s yx 74,65 = 2 = = 0,36 = 36% VT s y 207,36
86,4 2 = 74,65 56,25
es el porcentaje de la varianza total que no queda explicada por la recta de regresión.
44. Solución: x = 30
s x2 = 25
sx = 5
Se requiere de las dos ecuaciones Cov = r s x s y byx =
⇒
y = 45
Xˆ = bxy y + C xy
s 2y = 64
y
sy = 8
r = 0,90
Yˆ = b yx x + C YX
Cov = 0,90 (5) (8) = 36
36 = 1,44 25
bxy = 36 = 0,5625 64
Yˆ = 1,44 ( x − 30) + 45
Xˆ = 0,5625 ( y − 45) + 30
Yˆ = 1,44 x − 1,8
Xˆ = 0,5625 y + 4,6875
c yx = 45 − 1,44 (30) = 1,8
c xy = 30 − 0,5625 (45) = 4,6875
Se le dan dos valores a xi para obtener dos valores de Yˆ ; lo mismo, en la segunda ecuación, dos valores de yi para obtener dos valores de Xˆ , con los anteriores resultados se puede elaborar la gráfica.
45. Solución:
24
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
r = 0,65
s x2 = 36
sx = 6
b)
Cov 2 s x2
⇒
x = 50
( )
Yˆ = 1,0833 (40 − 50 ) + 100 = 89,167
Cov 39 = = 1,0833 36 s x2
s 2yx = s 2y −
s 2y = 100
y = 100
Cov = r (s x ) s y
a) Cov = 0,65 (6) (10) = 39 b yx =
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
calificación predicha
s 2yx = 100 −
39 2 = 57,75 36
Porcentaje de la varianza total que no queda explicada por la recta 2 VR s yx 57,75 = 2 = = 0,5775 VT 100 sy
⇒
VR 100 = 57,75% VE
46. Solución: a) Diagrama de dispersión c) Igual a uno e) Falso ⇒ − 1 ≤ r < 1
b) Coeficiente de correlación d) Verdadero VT = VE f) Verdadero
47. Solución: n = 30
R2 =
R 2 = 0,70
S ay2 S y2
s y2 =
⇒
2 s 2yx = s 2y − s ay
⇒
2 S ay = 1,2
say2 R2
⇒
s 2y =
s 2yx = 1,71 − 1,2 = 0,51
1,2 = 1,71 0,7 ⇒
s 2yx = 0,51
48. Solución: n = 150
R2 = 1 −
r = 0,85 s 2yx s 2y
⇒
0,85 2 = 1 −
s 2yx = 16 16 S y2
⇒
− 0,2775 = −
16 s 2y
25
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
s 2y =
a)
16 = 57,66 0,2775 2 say = s 2y − s 2yx
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
s 2y = 57,66 2 s ay = 41,66
2 s ay = 57,66 − 16 = 41,66
⇒
VR 100 = 27,75% VE
b) VR = 16 = 0,2775 = 27,75% VT
57,66
49. Solución: n = 20
VE = 56,2
VT = 66,3
= 56,2
s 2y = 66,3
2 s ay
s yx2 = s y2 − s ay2
s 2yx = 66,3 − 56,2 = 10,1
⇒
s yx = 10,1 = 3,178
50. Solución: b yx = 2,5
a) β1 = b1 ± t Sb1
S b1 = 0,8
n = 25
⇒
β1 = 2,5 ± 2,064 (0,8) β1 = 2,5 ± 1,6512 = 0,84 4,16
b) t =
1)
b1 − β1 2,5 − 0 = = 3,125 Sb1 0,8 H 0 : β1 = 0 H 1 : β1 ≠ 0
(No hay relación ) (Si hay relación ) 3)
2) ∝ = 0,05
υ = n = 1 = 24 ∝ = 0,05
Algunos trabajan con
=
t 0,05 = 2,064
υ = n − 2 = 23 ∝ = 0,05
t 0, 05 = 2,069
26
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
Observemos que t = 3,127 cae en la región crítica, por lo tanto rechazamos H 0 : β i = 0 y aceptamos H a : β i ≠ 0 , es decir, que si hay relación. 51. Solución:
∑ ( yi
− y ) = 220
s 2y =
220 = 7,33 30
∑ (Yˆ −
2
a) R 2 =
2 s ay
s y2
2 s ay =
⇒
R2 =
y
)
2
= 38,4
n = 30
38,4 = 1,28 30
1,28 = 0,1746 ≅ 0,17 7,33
r = 0,1746 = 0,42
b) Queda explicada por el 17,46% c) t =
1)
r 1 − r2 n−2
=
H0 : ρ = 0 Ha : ρ ≠ 0
2) ∝ = 0,05
0,42 = 2,45 (Resultado obtenido trabajando con la calculadora) 1 − 0,1746 30 − 2
(No hay correlación ) (Si hay correlación) 3) t = 2,45
υ = n − 2 = 28 = t 0, 05 = 2,048 ∝ = 0,05
Observamos que t = 2,45 cae en la región crítica, rechazando H 0 y aceptando H a : ρ ≠ 0 , por lo tanto si hay correlación.
52. Solución: n = 11
∑ xi = 220 ∑ yi = 77,15
∑ xi2 = 4.840 ∑ yi2 = 620,3679
x = 20
∑ xi
y = 7,013
s x2
s x = 6,3244
s y = 2,685
s 2y = 7,21
y i = 1.727,64
= 40
27
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
a) Xˆ = bxy ( y − y ) + x 16,81 = = 2,33 bxy = Cov 7,21 s 2y
r = cov sx s y
⇒
0,99 =
Cov
(6,3244) (2,685)
⇒
Cov = 0,99 (16,98) = 16,81
Xˆ = bxy ( y − y ) + x
Xˆ = 2,33 (18 − 7,013) + 20 = 45,62 Xˆ = 45,62 % es el porcentaje de descuento que debe dar, que no queda explicado 2 16,812 s 2yx = s y2 − cov2 ; s 2yx = 7,21 − = 0,1455 = 0,15 40 sx b) 2 VR = s yx 100 = 0,15 100 = 2,08% es el porcentaje de la varianza que no queda explicado VT SY2 7,21
say2 r = 2 sy
say2 ⇒ 0,98 = 7,21
2
c) t =
r 1− r n−2 2
1) H 0 : ρ = 0 Ha : ρ ≠ 0
⇒ t=
⇒
say2 = 0,98 (7,21) = 7,07
0,99 0,99 = = 1 − 0,98 0,02 11 − 2 9
say2 = 7,07
0,99 0,99 = = 20,63 0 ,048 0,002222
(No hay correlación ) (Si hay correlación )
2) ∝ = 0,05 3)
υ = n − 2 = 11 − 2 = 9 ∝ = 0,05
t = 2,262
Se le acepta, debido a que se ubica en la región crítica (t = 20,63), es decir, si hay correlación. s xy n
d) Xˆ ± t
Xˆ = 45,60
28
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
0,90 45,60 ± 2,262 ⇒ 45,60 ± 0,61 = 11 2 s xy2 = s x2 − Cov sy
⇒ 40 −
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
42,21% 44,99%
16,812 = 0,81 7,21
s xy = 0,81 = 0,90
53. Solución: Yˆ = − 18.000 + 0,85 x
a) Yˆ = − 18.000 + 0,85 (700.000) = 577.000 gastos mensuales b) No se debe estimar, pues la ecuación corresponde a familias de 4 miembros, y aquí nos piden para familias de 5 miembros. c) Tampoco se puede utilizar la ecuación, dado que se emplea para familias de 4 miembros, con ingresos entre $688.000 y $820.000. En este caso, nos piden para familias de 5 miembros y con ingresos inferiores al anterior rango. d) Tampoco se debe utilizar la ecuación, dado que $450.000 no está dentro del rango de ingresos 54. Solución: a) Por cada unidad que toma X (Variable independiente), la variable Y (dependiente), crece en 0,3. b) Yˆ = 50 + 0,3 (40) = 62 para un gasto semanal de $40.000, se estima, que el alumno obtiene una nota promedio de 62 puntos sobre 100. Se nota en este ejercicio, a pesar del resultado, no hay relación entre las dos variables, podemos decir que fue una relación “CASUAL” 55. Solución: R 2 = 0,64
a) 1)
⇒
r = 0,64 = 0,8
H0 : ρ = 0 Ha : ρ ≠ 0
(No hay correlación ) (Si hay correlación )
29
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
2) ∝ = 0,05 3) t =
r 1− r n−2 2
⇒t =
0,8 = 5,66 1 − 0,64 20 − 2
(Resultado calculadora)
υ = 20 − 2 = 18
t
∝ = 0,05
0, 05
= 2,101
Se concluye al nivel del 5%, que la muestra realizada permite admitir que proviene de poblaciones con cierto grado de correlación. b)
R2 = 1 −
VR VT
⇒
VR 100 = 36,00% VT
VR = 1 − 0,64 = 0,36 = 36% VT
36% es la proporción de la variación que queda sin explicar por la recta de regresión.
56. Solución: n = 16
∑ xi = 192 ∑ xi2 = 2.988
∑ yi = 748 ∑ yi2 = 38.026
∑ xi yi
x = 12
y = 46,75
s 2y = 191,0625
s x2
= 10.391
= 42,75
a) Yˆ = byx (x − x ) + y Cov =
10.391 − 12 (46,75) = 88,4375 16
b yx =
88,4375 = 2,069 42,75
Yˆ = 2,069 (24 − 12) + 46,75 = 71,58 días
b) s 2yx = 191,0625 −
88,4375 2 = 8,11 ⇒ s yx = 8,11 = 2,85 42,75
2,85 54,48 días Yˆ = 52,96 ± 2,145 = 52,96 ± 1,52 = 51,44 16 Yˆ = 2,069 (15 − 12 ) + 46,75 = 52,96 días
30
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Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
2,74 54,43 ˆ Yˆ = 52,96 ± 2,145 ⇒ Y = 52,96 ± 1,47 = 51,4 días 16 16 (10.391) − (192) (748)
c) r =
1)
= 0,9785 ≅ 0,98
[16 (2.988) − (192) ] [16 (38.026) − (748) ] 2
2
(No hay correlación) (Si hay correlación )
H0 : ρ = 0 Ha : ρ ≠ 0
2) ∝ = 0,05 3) t =
r 1− r n−2 2
=
0,98 0,98 = = 18,33 0 , 05345 1 − 0,96 16 − 2
18,33 cae en la RC, luego aceptamos la alternativa, es decir, que hay correlación al nivel del 5%. d) 1)
H 0 : β1 = 0 (No hay relación)
1
S b1 = s yx
t=
2) ∝ = 0,05
H a : β1 ≠ 0 (Si hay relación)
∑ ( xi − x )
2
⇒ 2,85
1 = 0,1089 684
byx − β yx 2,069 − 0 = = 18,999 Sbyx 0,1089
Observemos que 18,999 cae en la región crítica, por lo tanto rechazamos a H 0 y aceptamos H a : β yx ≠ 0 , luego se puede aceptar al nivel del 5% que si hay relación.
57. Solución: n=5
∑ xi
= 43
∑ xi2
= 405
∑ yi
= 29
∑ yi2
= 189
∑ xi yi
= 256
31
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
bxy =
5 (256) − (43) (29) 33 = = 0,317 2 104 5 (189) − (29)
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
C xy =
43 − 0,317 ( 29) = 6,7614 5
Xˆ = 0,317 (10) + 6,761 = 9,93 millones de pesos semanales es el costo de mano de obra.
58. Solución: byx =
5 (165) − (15) (45) =3 2 5 (55) − (15)
C yx =
45 − 3 (15) =0 5
a) Yˆ = 3x + 0 b)
r =
5 (165) − ( 15) (45)
[5 (55) − (15) ] [5 (495) − (45) ] 2
c)
2
=
150 =1 150
VE = R 2 = 1 = 100% queda explicado por la recta de regresión. La correlación es perfecta. VT
59. Solución: a) byx =
35 (5.890) − (234) (831) = 1,44 2 35 (1.796) − (234)
Yˆ = byx ( x − x ) + y
b) r =
⇒
y=
831 234 = 23,74; x = = 6,686 35 35
Yˆ = 1,44 ( x − 6,686) + 23,74
35 (5.890) − (234) (831)
[35 (1.796) − (234) ] [35 (21.037) − (831) ] 2
2
= 11.696 = 0,61 19.251,71
60. Solución: n = 10
∑ xi = 243 ∑ xi2 = 6.405
a) byx = 0,3969
∑ yi = 125 ∑ yi2 = 1.739
∑ xi yi
= 3.236
C yx = 2,8548
32
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Yˆ = 0,3969 (15) + 2,8548 = 8,8083
b) r = 0,6681
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
Yˆ = 8,81
R 2 = 0,4463
⇒
61. Solución:
xi
yi
ni
2 2 4 4 6 6 8 8 8
1 2 1 3 2 3 1 2 3
3 2 5 3 5 5 1 3 3 30
∑
148 − 30 (2.07 ) = 0,65 30 2
s y2 =
a) bxy =
b) r =
n = 30
∑ xi ni = 158
∑ y i ni = 62
x = 5,26667 ≅ 5,27
y = 2,0660 ≅ 2,07
∑ xi y i ni = 348
∑ xi2 ni = 956
Cov = 348 − (2,07 ) (5,27 ) = 0,6911 30
∑ y i2 ni = 148
(0,71555) *
956 − 30 (5,27 ) = 4,09 (4,128788) * 30 * resultados, usando programa RL en la calculadora 2
S x2 =
(0,66222) *
0,6911 = 1,06 (1,0805) * Xˆ = bxy ( y − y ) + x 0,65 Xˆ = 1,06 (4 − 2,07 ) + 5,27 = 7,32 30 (348) − (158) (62)
[30 (956) − (158) ] [30 (148) − (62) ] 2
= 0,43 (0,432739) *
⇒
R 2 = 0,19
2
2 0,69112 c) s xy2 = s x2 − Cov2 = 4,09 − = 3,36 (3,355)* Varianza residual
0,65
sy
s xy = 3,36 = 1,83 2 2 s ax = s x2 − s xy
⇒
2 s ax = 4,09 − 3,36 = 0,73 Varianza explicada
1,83 8,00 = 7,32 ± 0,68 = 6,64 30
d) Xˆ = 7,32 ± 2,048
Xˆ = 7.32
33
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Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
62. Solución: xi
yi
ni
35 35 40 40 40 60 60 60 70 70
80 60 120 100 80 120 100 80 120 100
2 4 1 6 2 4 2 1 5 3 30
∑
n = 30
2
a)
86.150 − 30 (51,67 ) = 201,88 30 2
r =
byx =
= 86.150
∑ yi ni
= 2.940
∑ yi2 ni
= 300.400
1.550 = 51,67 30
y=
2.940 = 98 30
= 157.800
(51,6666) *
* resultados con la calculadora
(409,3333) * (202,2222) *
30 (157.800) − (1.550) (2.940)
[30 (86.150) − (1.550) ] [30 (300.400) − (2.940) ]
= 0,68 ⇒ R 2 = 0,47
2
157.800 1.550 2.940 − = 196,67 30 30 30
197,67 = 0,979 201,88
(0,97252) *
Yˆ = 0,979 (50 − 51,67 ) + 98 = 96,37 miles de $
c)
∑ xi2 ni
x=
2
b) mxy =
= 1.550
∑ xi yi ni
300.400 − 30 (98) s y2 = = 409,33 30 s x2 =
∑ xi ni
2 s yx = 409,33 −
196,67 2 = 217,74 201,88
$96.370
(218,019) *
s yx = 217,74 = 14,76
14,76 101,89 = 96,37 ± 5,52 = Yˆ = 96,37 ± 2,048 miles de $ 90,85 30
34
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2 d) s ay = VE = s 2y − s 2yx ;
2 s ay
s 2y
=
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
VE = 409,33 − 217,74 = 191,59
VE 191,59 = = 0,4681 = 46,81% queda explicado por la recta de regresión VT 409,33
63. Solución: xi
yi
ni
2 2 2 4 4 4 6 6 6 8 8
24 32 40 24 32 40 24 32 40 32 40
3 2 1 4 5 3 1 3 5 1 2 30
∑
∑ xi ni
n = 30
= 138
∑ yi ni
= 984
∑ xi2 ni
∑ yi2 ni
− 33.472
∑ xi yi ni
x = 4,6
y = 32,8
= 732
= 4.672
s x2 = 3,24
s 2y = 39,89 (39,89333) * Cov =
4.672 − (4,6) (32,8) = 4,85 30
(4,85333) *
* Resultados con calculadora
a) byx =
4,85 = 1,4969 3,24
(1,497942) *
Yˆ = 1,4969 (5 − 4,6 ) + 32,8 = 33,40 años de edad
b) r =
30 (4.672) − (138) (984)
[30 (732) − (138) ] [30 (33.472) − (984) ] 2
= 0,4269 ≅ 0,43
R 2 = 0,1822 ≅ 18
2
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Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
64. Solución: xi
yi
ni
7 8 2 3 5 3 7
2 1 5 6 4 9 2
2 3 6 5 4 7 3 30
∑ s x2 =
669 − 4,232 = 4,4071 30
a) Cov = byx =
∑ xi ni
n = 30
∑ xi2 ni
= 669
∑ xi yi ni
s 2y =
= 513
∑ yi ni
= 127
∑ yi2 ni
= 152
= 984
x = 4,23
y = 5,07
984 − 5,07 2 = 7,095 30
513 − 4,23 (5,07 ) = − 4,3461 30
− 4,3461 = − 0,986 4,4071
Yˆ = − 0,986 (6 − 4,23) + 5,07 = 3,32 días de incapacidad
b) r =
30 (513) − (127 ) (152)
[30 (669) − (127) ] [30 (984) − (152) ] 2
= − 0,78 ⇒ R 2 = 0,61
2
65. Solución: b yx =
C yx =
n ∑ xi yi ni − (∑ xi ni ) (∑ y i ni ) 2 n ∑ xi2 ni − (∑ xi ni )
∑ yi ni − b yx ∑ xi ni n
Yˆ = 2,045 (30) + 0,7034 = 62,05
b yx =
50 (9.282) − (374) (800) = 2,045 2 50 (4.410) − (374)
C yx =
800 − 2,045 (374) = 0,7034 50
Yˆ = 62 , 05
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2 = s yx
∑ y i2 ni − C yx ∑ yi ni − b yx ∑ yi xi ni n
=
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
19.736 − 0,7034 (800) − 2,045 (9.282) = 3,83 50
62,59 1,96 s yx = 3,83 = 1,96 ; Yˆ = 62,05 ± 1,96 = 62,05 ± 0,54 = 50 61,51
66. Solución: Coeficiente de correlación Pearson: 2
19.736 − 50 800 2 2 ∑ y i ni − n y 50 = 138,72 2 sy = V T = = n 50
R 2 = 1 − VR VT
R2 = 1 −
3,83 = 0,9723 ⇒ r = 0,986 ≅ 0,99 138,72
r = 0,99
67. Solución: n = 30
a) b yx =
C yx =
∑ xi ni = 324 2 ∑ xi ni = 4.602
∑ y i ni = 145 2 ∑ y i ni = 991
∑ xi yi ni = 2.127
30 (2.127 ) − (324) (145) = 0,5087 2 30 (4.602) − (324) 145 − 0,5087 (324) = − 0,66 ⇒ Yˆ = 0,5087 (14) − 0,66 = 6,4618 30
Yˆ = 6,46
991 + 0,66 (145) − 0,5087 (2.127 ) = 0,1565 30 2 991 − 30 145 0,1565 30 = 9,67 R2 = 1 − = 0,9838 s 2y = 9,67 30
b) s yx2 =
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Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
68. Solución: = = =
∑ yi ∑ xi y i 2 ∑ xi y i
Yˆ = ax 2 + b x + c
a ∑ xi 3 a ∑ xi 4 a ∑ xi 2
a) Le damos valores a las ecuaciones anteriores = 1.626a yx
340
3.062 = 16.110 a yx 29.418 = 167.130 a yx
+ 174 byx
+ 20 c yx
+ 1.626 byx + 16.110 byx
+ 174 c yx + 1.626 c yx
+ + +
b ∑ xi 2 b ∑ xi 3 b ∑ xi
+ + +
nc c ∑ xi 2 c ∑ xi
Los valores de los parámetros son: a yx = − 0,09 = − 0,087 * b yx = 2,45 = 2,455 * c yx = 2,74 * resultado calculadora
La regresión parabólica de “2 en 1” será: Yˆ = − 0,09 x 2 + 2,45 (x ) + 2,74
b)
2 s yx
=
s 2yx =
∑ yi2 − c yx ∑ yi − b yx ∑ yi xi − a yx ∑ yi xi2 n
Yˆ = 18,24
5.094 − 2,74 (340) − 2,455 (3.062) + 0,087 (29.418) = 0,73 20
r2 = 1 −
s 2y =
Yˆ = − 0,09 (100) + 2,45 (10) + 2,74 = 18,24
s 2yx s 2y
=1−
0,73 = 1 − 0,11 = 0,89 6,2
r = 0,94
∑ y i2 − y 2 = 5.904 − 17 2 = 6,2 n
20
El ajuste parece mejor que el de la recta, ya que r = 0,94 acercándose más a 1.
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Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
69. Solución: xi
yi
xi2
xi3
xi4
xi yi
xi2 y i
yi2
5 8 4 7 10 4 3 4 3 4 52
28 32 46 24 28 36 42 37 51 42 366
25 64 16 49 100 16 9 16 9 16 320
125 512 64 343 1.000 64 27 64 27 64 2.290
625 4.096 256 2.401 10.000 256 81 256 81 256 18.308
140 256 184 168 280 144 126 148 153 168 1.767
700 2.048 736 1.176 2.800 576 378 592 459 672 10.137
784 1.024 2.116 576 784 1.296 1.764 1.369 2.601 1.764 14.078
52 ∑ xi = 2 ∑ xi = 320 ∑ xi3 = 2.290 ∑ xi4 = 18.308
n = 10
∑ y i = 366 ∑ xi yi = 1.767 ∑ xi2 y i = 10.137 ∑ y i2 = 14.078
366 =
320 a yx +
52 b yx + 10 C yx
2) 1.767 =
2.290 a yx +
320 b yx + 52 C yx
a) 1)
3) 10.137 = 18.308 a yx + 2.290 b yx
(1) (2) (3)
366 = 1.767 = 10.137
320 a + 2.290 a +
(5,2) (− 1)
+ 320 C yx
52 b + 320 b +
10 c 52 c
= 18.308 a + 2.290 b + 320 c
se podrá utilizar esta simbo log ía si así lo desea
(1) (2) (3)
366
=
320 a yx
1.767 = 2.290 a yx 10.137 = 18.308 a yx
+
52 b yx
+ 320 b yx + 2.290 b yx
+
10 c yx
+ 52 c yx + 320 c yx
Multiplicamos la (1) por 5,2 y le restamos la (2)
(1) (2) (4)
1.903,2 =
1.664 a yx
− 1.767 = − 2.290 a yx 136,2 = − 626 a yx
+ 270,4 b yx
+ 52 c yx
− −
− 52 c yx 0
320 b yx 49,6 b yx
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Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
Multiplicamos la ecuación (1) por -32 y se le resta a la (3)
(3) (1) (5)
10.137 =
18.308 a yx
+ 2.290 b yx
+ 320 c yx
− 11.712 = − 10.240 a yx − 1.575 = 8.068 a yx
− 1.664 b yx + 626 b yx
− 320 c yx 0
Multiplicamos la (4) por 626 y la (5) por – 49,6
(4) (5)
85.261,2 = − 391.876,0 a xy − 78.120,0 = 7.141,2
400.172,8 a xy
=
− 31.049,6 c yx + 31.049,6 c yx ⇒
8.296,8 a xy
a yx =
7.141,2 = 0,8607 8.296,8
Reemplazamos en la ecuación (4) 4) 136,2 = − 626 (0,8607) − 49,6 b yx b yx =
136,2 + 626 (0,8607) = − 13,6088 − 49,6
Reemplazamos en la ecuación (1)
1) 366 = 320 (0,8607) + 52 (− 13,6088) + 10 c yx
c yx =
366 − 320 (0,8607) + 52 (13,6088) = 79,8234 10
Yˆ = 0,8607 (36) − 13,6088 (6 ) + 79,8234 = 29,1558 ≅ 29,16
Yˆ = 29,16
Yˆ = 29,16 debe ser la edad estimada para un trabajador que solicita 6 permisos. b) s 2yx =
14.078 − 79,8234 (366) + 13,6088 (1.767 ) − 0,8607 (10.137 ) = 18,4469 10
s yx = 18,4469 =
4,29 2
s 2y
14.078 366 = − = 68,24 10 10
R2 = 1 −
s yx2 s y2
⇒
R2 = 1 −
18,4469 = 0,7297 ≅ 0,73 68,24
R 2 = 0,73
40
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
4,29 = 29,16 ± 3,13 c) Yˆ = 29,16 ± 2,306 10
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
32,29 años (edad) 26,03
=
70. Solución: Por comodidad, cambiamos por yi = Capacidad y xi = el número de pasajeros, con el fin de estimar Yˆ en vez de estimar Xˆ , tal como se hace frecuentemente, obteniéndose los mismos resultados. xi
yi
xi2
xi3
xi4
8 12 5 10 14 8 11 16 6 5 95
12 20 12 20 40 12 20 40 12 20 208
64 144 25 100 196 64 121 256 36 25 1.031
512 1.728 125 1.000 2.744 512 1.331 4.096 216 125 12.389
4.096 20.736 625 10.000 38.416 4.096 14.641 65.536 1.296 625 160.067
a)
Yˆ = a x 2 + b x + c
⇒
xi yi
96 240 60 200 560 96 220 640 72 100 2.284
xi2 y i
yi2
768 2.880 300 2.000 7.840 768 2.420 10.240 432 500 28.148
144 400 184 400 1.600 144 400 1.600 144 400 5.376
Yˆ = a yx x 2 + byx x + c yx
1) 208 = 1.031 a + 95 b + 10 c 2) 2.284 = 12.389 a + 1.031b + 95 c 3) 28.148 = 160.067 a + 12.389 b + 1.031c
Multiplicamos la primera ecuación por − 9,5 y la restamos de la ecuación dos (2) ( 2)
2.284 =
12.389 a +
1.031b + 95 c
(1) − 1.976 = − 9.794,5 a + − 902,5 b − 95 c ( 4) 308 = 2.594,5 a + 128,5 b 0
41
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
Ahora trabajamos con la primera y tercera ecuación multiplicándo la (1) por 103,1 28.148 =
(3)
160.067a +
12.389 b + 1.031c
(1) 21.444,8 = − 106.296,1 a − 9.794,5 b − 1.031c (5) 6.703,2 = 53.770,9 a + 2.594,5 b 0
Nos quedan dos ecuaciones con dos incógnitas (4) y (5) y despejamos a, multiplicando por 2.594,5 la ecuación (4) y por 128,5 la ecuación (5), luego restamos 861.361,2 =
(5)
6.909.560,65 a + 333.393,25 b
( 4) − 799.106.0 = − 6.731.430,25 a − 333.393.25b 62.255,2 = 178.130,4 a 0
a=
62.255,2 = 0,3495 Reemplazamos en la ecuación (4) y despejamos b 178.130,4
(4) 308 = 2.594,5(0,3495)
+ 128,5 b ⇒ b =
308 − 906,78 = − 4,6598 128,5
b = b yx
Ahora reemplazamos en la ecuación (1) para calcular el valor de c 208 = 1.031 (0,3495) + 95 (− 4,6598) + 10 c
c=
208 − 1.031 (0,3495) + 95 (4,6598) c = 29,0347 = 10 c yx
Yˆ = 0,3495 x 2 − 4,6598 x + 29,0347 Siendo x = 13 se tiene: 2 Yˆ = 0,3495 (13) − 4,6598 (13) + 29,0347 = 27,5228
Yˆ = 27,52 pasajeros
La capacidad del vehículo, puede ser aproximadamente de 30 pasajeros
b) s yx2 =
5.376 − 29,0347 (208) + 4,6598 (2.284) − 0,3495 (28.148) = 14,20 10 2
s y2 =
5.376 95 − = 447,35 10 10
R =1− 2
s yx2 s
2 y
⇒
R2 = 1 −
14,20 = 0,9683 447,35
⇒
r ≅ 0,98
42
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
CORRELACIÓN MÚLTIPLE
71. Solución: *Presentamos dos maneras de simbolizar las columnas de las variables, el proceso es el mismo
xi x1
x2 yi
x3 x2
5 9 12 8 16 18 19 20 18 27 152
20 18 16 10 14 16 16 17 17 20 164
270 250 280 260 310 330 350 320 360 330 3.060
*
x12
x22
x32
x1 x2
x1 x3
x2 x3
2 1
2 i
x22
yi x1
x1 x2
yi x2
72.900 62.500 78.400 67.600 96.100 108.900 122.500 102.400 129.600 108.900 949.800
100 162 192 80 224 288 304 340 306 540 2.536
1.350 2.250 3.360 2.080 4.960 5.940 6.650 6.400 6.480 8.910 48.380
5.400 4.500 4.480 2.600 4.340 5.280 5.600 5.440 6.120 6.600 50.360
x
y
25 81 144 64 256 324 361 400 324 729 2.708
400 324 256 100 196 256 256 289 289 400 2.766
Presentamos dos de las ecuaciones que podemos utilizar, en cuanto se refiere a la SIMBOLOGIA utilizada: (1) Xˆ 2 = b2.13 + b21.3 x1 + b23.1 x3 (2) (3)
∑ x2 ∑ x2 x1 ∑ x 2 x3
= = =
n b2.13 b2.13 ∑ x1 b2.13 ∑ x3
+ + +
b21.3 ∑ x1 b21.3 ∑ x12 b21.3 ∑ x1 x3
+ + +
b23.1 ∑ x3 b23.1 ∑ x3 x1 b23.1 ∑ x32
ó (1) ∑ yi ˆ Y = β o + β1 x1 + β 2 x 2 ∑ yi x1 ∑ y i x 2
= = =
(1) (2) (3)
152 β1 2.708 β1 48.380 β1
164 2.536 50.360
β o = b2.13
= = =
10 β o 152 β o 3.060 β o
β1 = b21.3
+ + +
n βo
+ + +
β o ∑ x1 β o ∑ x2 + + +
β1 ∑ x1 β1 ∑ x12 β1 ∑ x1 x 2
+ + +
β 2 ∑ x2 β 2 ∑ x 2 x1 β 2 ∑ x 22
3.060 β 2 48.380 β 2 949.800 β 2
β 2 = β 23.1
Consideramos las ecuaciones (1) y (2 ) y multiplicamos la primera por 15,2
43
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( 2) 2.536 = 152 β o + 2.708 β1 (1) − 2.492,8 = − 152 β o − 2310,4 β1 ( 4) 43,2 = 0 − 397,6 β1
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
+ 48.380 β 2 − 46.512 β 2 + 949.800 β 2
Ahora multiplicamos la ecuación (1) por 306 + 48.380 β i
+ 949.800 β 2
(1) 50.184 = − 3.060 β o − 46.512 β i (5) 176 = 0 + 1.868 β i
− 936.360 β 2 + 13.340 β 2
(3) 50.360 =
3.060 β o
Eliminamos β1 multiplicando la (4 ) por 1.868 y la (5) por 397,6
( 4) 80.697,6 =
742.716,8 β1
+ 3.489.424 β 2
− 69.977,6 = − 742.716,8 β1 − 5.303.984 β 2 10.720,0 = 0 − 1.814.560 β 2
β2 =
10.720 = 0,0059 Reemplazamos en la ecuación 4 y 43,2 = 397,6 β1 + 1.868 (0,0059) 1.814.560
β1 =
43,2 − 1.868 (0,0059) = 0,0809 397,6
Reemplazamos en la ecuación (1) 164 = 10 β o + 0,0809 (152) + 0,0059 (3.060 )
βo =
164 − 0,0809 (152) − 0,0059 (3.060) = 13,3649 10
β o = b2.13 = 13,3649
β1 = b21.3 = 0,0809
β 2 = β 23.1 = 0,0059
Yˆ = β o + β1 x1 + β 2 x 2
Yˆ = 13,3649 + 0,0809 x1 + 0,0059 x2 Yˆ = 13,3649 + 0,0809 (35) + 0,0059 (24) = 16,338 ≅ 16,34
Yˆ = 16,34
Se esperaría una utilidad del 16,34 %
44
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Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
72. Solución: Yˆ1 = β o + β1 x1 + β 2 x2
Xˆ 1 = b1,23 + b12,3 x2 + b13, 2 x3
(1) 308 = 6 b1.23 + 363 b12.3 + 81 b13.2 (2) 18.555 = 363 b1.23 + 22.157 b12.3 + 4.994 b13.2 (3) 4.264 = 308 b1.23 + 4.994 b12.3 + 1.145 b13.2 + + +
363 X 2 22.157 X 2 4.994 X 2
X1
+
60,5 X 2
+
13,5 X 3
51,3333
0
+
195,5 X 2
−
93,5 X 3
− 78,9879
0
−
13.640 X 2
−
3.013 X 3
− 11.546,6564
6 X1 363 X 1 308 X 1
a b c a 6 b1 = b − 363 a1 a1 =
c1 = c − 308 a1 a2 = a1 − 60,5 b2
X1 0 0
b2 = b1 195,5 c2 = c1 + 13.640 b2 a3 = a2 + 15,4371 c3 b2 = b2 − 0,4783 c3 c3 = c2 3.511,012
X1 0 0
+ + +
81 X 3 4.994 X 3 1.145 X 3
− 15,4371X3 + 0,4783X3 + 3.511,012X3
0 X2 0
0 X2 0
a) Yˆ = 0,7788 + 1,9196 (70) − 4,8582 (23) = 23,4122
0 0 X3
308 18.555 4.264
75,7753 − 0,4040 − 17.057,22 0,7788 = β o = b1.23 1,9196 = β1 = b12.3 − 4,8582 = β 2 = b23.1
Yˆ = 23,41
b) Se deja planteada las ecuaciones: Xˆ 2 = b2.13 + b21.3 x1 + b23.1 x3
(1) 363 (2) 18.555 (3) 4.994 o
=
6 b2,13 +
308 b21,3 +
81 b23,1
= 308 b2,13 + 16.152 b21,3 + 4.264 b23,1 = 81 b2,13 + 4.264 b21,3 + 1.145 b23,1
Yˆ = β o + β1 x1 + β 2 x 2
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Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
(1) 363 = (2) 18.555 = (3) 4.994 =
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
6 βo + 308 β 1 + 81 β 2 308 β o + 16.152 β1 + 4.264 β 2 81 β o + 4.264 β1 + 1,145 β 2
βo = ? β 1 = ? Calcularlos β2 = ?
6 x1 + 308 x2 308 x1 + 16.152 x2 81 x1 + 4.264 x2
a b c a1 = a 6 b1 = b − 308a1 c1 = c − 81a1
+ 81 x3 + 4.264 x3 + 1.145 x3
363 18.555 4.994
51,3333 x2
+ 13,5 x3
60,5
0 + 341,3436 x2 0 + 106,0027 x2
+ 106 x3 + 51,5 x3
− 79,0 93,5
x1 +
a 2 = a1 − 51,3333b2 b1 b2 = 341,3436 c 2 = c1 − 106,0027b2 a 3 = a 2 + 2,4390 c3 b3 = b2 − 0,3105 c3 c 3 = c 2 18,5862
β o = 87,8671
x1
0
− 2,4390 x3
72,3785
0 0
x2 0
+ 0,3105 x3 + 18,5862 x3
− 0,2314 118,0290
x1
0
0
87,8671
0
x2
0
− 2,2032
0
0
x3
6,3504
β1 = − 2,2032
β 2 = 6,3504
Yˆ = 87,8671 − 2,2032 x1 + 6,3504 x 2
c) r12 =
6 (18.555) − (308) (363)
[6 (16.152) − (308) ] [6 (22.157) − (363) ] 2
r13 =
r23 =
2
6 (4.264) − (308) (81)
[6 (16.152) − (308) ] [6 (1.145) − (81) ] 2
[6 (1.145) − (81) ] [6 (22.157) − (363) ]
r12 = r21 = − 0,7963
2
− 474
(2.048) (1.173)
= − 0,7963
=
636 = 0,7994 2.048(309)
=
56 = 0,0930 309 (1.173)
2
6 (4.994) − (363) (81) 2
=
r13 = r31 = 0,7994
r23 = r32 = 0,0930
46
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
73. Solución: Xˆ 1 = b1,23 + b12,3 x2 + b13, 2 x3
∑ x1
= nb1.23
+ b12.3 ∑ x2
∑ x1 x2 = b1.23 ∑ x2 + b12.3 ∑ x22
+ b13.2 ∑ x3 + b13.2 ∑ x3 x2
∑ x1 x3 = b1.23 ∑ x3 + b12.3 ∑ x2 x3 + b13.2 ∑ x32
(1) 129 (2) 1.996 (3) 201,98
= 6 b1, 23 + 79 b12.3 + 7,23 b13.2 = 79 b1.23 + 1.279 b12.3 + 129,39 b13.2 = 7,23 b1.23 + 129,39 b12.3 + 14,1881 b13.2
a b c
a 6 b1 = b − 79 a1 a1 =
6 x1 + 79 x1 +
79 x2 1.279 x2
7,23 x1 + 129,39 x2
+ +
7,23 x3 129,39 x3
+ 14,1881 x3 + +
x1 0
13,1667 x2 238,8307 x2
c1 = c − 7,23 a1
0
34,1948 x2
a 2 = a1 − 13,1667 b2
x1 0
0 x2
− 0,6805 x3 + 0,1432 x3
0
0
+ 0,5793 x3
b2 = b1 238,8307 c 2 = c1 − 34,1948 b2
a 3 = a 2 + 0,6805 c3 b3 = b2 − 0,1432 c3 c3 = c 2 0,5793
x1 0 0
x
129 1.996 201,98
21,5
1,205 x3 34,195 x3
297,5 46,535
+ 5,4760 x3
5,0995 1,2456 3,9420
0
0
9,730
2
0
0
x3
0,2712 6,8048
Xˆ 1 = 9,730 + 0,2712 x2 + 6,8048 x3 Xˆ 1 = 9,730 + 0,2712 (40) + 6,8048 (8) = 75,0164
Xˆ 1 = 75,02
47
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
74. Solución: Xˆ 2 = b2,13 + b21,3 x1 + b23,1 x3
= nb2.13
∑ x2
+ b21.3 ∑ x1
+ b23.1 ∑ x3
∑ x2 x1 = b2.13 ∑ x1 + b21.3 ∑ x12
+ b23.1 ∑ x3 x1
∑ x2 x3 = b2.13 ∑ x3 + b21.3 ∑ x1 x3 + b23.1 ∑ x32
(1) 604 = 15 b2,13 + 3.247,4 b21.3 (2) 98.060,1 = 3.247,4 b2.13 + 939.175,68 b21.3 (3) 3.833 = 95 b2.13 + 18.057 b21.3 15 x1
a b c
3.247,4 x1 95 x1
a 15 b1 = b − 3.247,4 a1 a1 =
x1 0 0
c1 = c − 95 a1
a 2 = a1 − 216,4933 b1 b2 = b1 236.135,3376 c 2 = c1 − 2.509,8635 b2 a3 = a 2 + 8,6281 c3 b3 = b2 + 0,01060 c3 c3 = c 2 − 96,7319
+ + −
+
+ 95 b23.1 + 18.057 b23.1 + 725 b23.1 3.247,4 x 2
+ 939.175,68 x 2 + 18.057 x 2
216,4933 x 2 236.135,3376 x 2 2.509.8635 x 2
x1 0 0
0 x2 0
+ − + − − +
+
95 x3
604
+ 18.057 x3 + 725 x3
98.060,1 3.833
6,3333 x 3 2.509,7584 x 3 123.3365 x 3
40,2667 − 32.701,9816 7,6635
5,1625 x 3 0,01063 x 3 96,65665 x 3
70,2510 − 0,1385 − 339,9275
x1
0
0
0 0
x2 0
0 x3
(a ) Xˆ 2
= 39,88211 − 0,1012 x1 + 3,51686 x3
(b ) Xˆ 2
= 39,88211 − 0,1012 (210) + 3,51686 (5) = 36,2144
39,88211 − 0,1012 3,51686
Xˆ 2 = 36,21
48
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Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
75. Solución: yi
x1
x2
yi2
x12
x22
yi x1
yi x2
x1 x2
0,5 0,5 0,9 1,6 2,5 2,8 3,0 3,2 3,3 3,7 22,0
43 36 39 41 34 46 35 32 49 38 393
14 16 10 12 8 12 6 6 4 12 100
0,25 0,25 0,81 2,56 6,25 7,84 9,00 10,24 10,89 13,69 61,78
1.849 1.296 1.521 1.681 1.156 2.116 1.225 1.024 2.401 1.444 15.713
196 256 100 144 64 144 36 36 16 144 1.136
21,5 18,0 35,1 65,6 85,0 128,8 105,0 102,4 161,7 140,6 863,7
7,0 8,0 9,0 19,2 20,0 33,6 18,0 19,2 13,2 44,4 191,6
602 576 390 492 272 552 210 192 196 456 3.938
Yˆ = β o + β1 x1 + β 2 x2
(1) 22 = 10 β o (2) 863,7 = 393 β o (3) 191,6 = 100 β o (2) (1) (4)
+ 393 β1 + 100 β 2 + 15.713 β1 + 3.938 β 2 + 3.938 β1 + 1.136β 2
=
393 β o
− 864,6 = − 0,9 =
− 393 β o 0
863,7
+
15.713 β1
− 15.444,9 β1 + 268,1 β1
multiplicamos la ecuación (1) por − 39,3 y lo restamos a la ecuación (2 ) + 3.938 β 2 − +
3.930 β 2 8 β2
trabajamos con las ecuaciones (1) y (3)multiplicando la ecuación (1) por − 10
(3) (1) (5)
191,6
100 β o
=
− 220 = − 100 β o − 28,4 = 0
+ 3.938β1
+ 1.136 β 2
− 3.930β1 + 8 β1
− 1.000 β 2 + 36 β 2
multiplicamos la ecuación (4 ) por 4,5 y se le resta la ecuación (5)
(4) (5)
− 4,05
= 1.206,45 β1
+ 28,40 = 24,35
− 8,00 β1
= 1.198,45 β1
+ 36 β 2 − 36 β 2 0
⇒ β1 =
24,35 = 0,0203 1.198,45
49
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Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
Reemplazamos en la ecuación (5)
(5) − 28,4 = 8 (0,0203) + 36 β 2
β2 =
⇒
− 28,4 − 8 (0,0203) = − 0,7934 36
Reemplazamos en la ecuación (1) 22 = 10 β o + 393 (0,0203) − 100 (0,7934) ⇒ β o =
22 − 7,9779 + 79,34 = 9,3362 10
Yˆ = 9,3362 + 0,0203 (40) − 0,7934 (11) = 1,4208 horas de T .V .
Yˆ = 1,42
76. Solución: n=5
∑ y i = 60 ∑ y i2 = 914 ∑ x1 x 2 = 439
(1) 60 (2) 532 (3) 750 (2) (1) (4)
=
5 βo +
x1 = 35 x12 = 313
35 β1 + 50 β 2
= 35 β o + 313 β1 + 439 β 2 = 50 β o + 439 β1 + 618 β 2
532 =
35 β o
− 420 = − 35 β o 112
=
0
con las ecuaciones (1) y (2) multiplicando esta última − 7
+
− 245 β1
− 350 β 2
68 β1
+
xi y i = 532 ∑ x 2 = 50
eliminamos a β o trabajando
+ 313 β1 +
∑ x 22 = 618 ∑ y i x2 = 750
439 β 2 89 β 2
Ahora trabajamos con las ecuaciones (1) y (3) res tan do la ecuación (1) multiplicado − 10
(3) (1) (5)
750
=
50 β o
− 600 = − 50 β o 150
=
0
+ 439β1
+
618 β 2
− 350β1
−
500 β 2
89 β1
+ 118 β 2
multiplicamos la ecuación (4 ) por 118 y la (5) por 89
50
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(5) (4)
13.350 = 7.921 β 1 + 10.502 β 2 − 13.216 = − 8.024 β1 − 10.502 β 2 134 = − 103 β1 0
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
β1 = −
134 = − 1,301 103
Reemplazamos en la ecuación (4)
(4) 112 = 68 (− 1,301) + 89 β 2
⇒
β2 =
112 + 68 (1,301) = 2,2524 89
Reemplazamos en la ecuación (1) 60 = 5 β o − 35 (1,301) + 50 (2,2524) ⇒ β o =
60 + 45,535 − 112,62 = − 1,417 5
Yˆ = − 1,417 − 1,301 (11) + 2,2524 (16) = 23,14
ryx1 = r12 = 0,975 = r21 b) R y . x1x2 =
ryx2 = r13 = 0,991 = r31
Yˆ = 23,14 rx2 x3 = r23 = 0,9936 = r32
0,975 2 + 0,9912 − 2 (0,975) (0,991) (0,9936) = 0,9947 ≅ 0,99 1 − 0,9936 2
77. Solución: Vendedor 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
xi
70 71 72 72 82 85 86 87 88 88 89 93 93 96 98
Rango xi 1,0 2,0 3,5 3,5 5,0 6,0 7,0 8,0 9,5 9,5 11,0 12,5 12,5 14,0 15,0
yi
Rango y i
29 32 32 32 34 37 39 41 42 43 44 46 50 51 53
1,0 3,0 3,0 3,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0 15,0
51
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Vendedor
xi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
72 88 70 72 87 71 85 89 93 98 93 96 86 82 88
Rango xi
3,5 9,5 1,0 3,5 8,0 2,0 9,5 11,0 12,5 15,0 12,5 14,0 7,0 5,0 9,5
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
yi 34 42 32 44 29 32 41 46 50 51 53 32 39 43 37
Rango yi 5,0 9,0 3,0 11,0 1,0 3,0 8,0 12,0 13,0 14,0 15,0 3,0 7,0 10,0 6,0
∑ rs = 1 −
6 ∑ d i2 n3 − n
rs = 1 −
6 (281,75) 153 − 15
d i2
di
-1,5 0,5 -2,0 -7,5 7,0 -1,0 1,5 -1,0 -0,5 1,0 -2,5 11,0 0,0 -5,0 3,5
2,25 0,25 4,00 56,25 49,00 1,00 2,25 1,00 0,25 1,00 6,25 121,00 0,00 25,00 12,25
0
281,75
rs = 0,4965 ≅ 0,50
rs = 1 − 0,5031 = 0,4965
El resultado de 0,50 nos muestra que hay muy poca correlación entre esas dos variables * Ver más ejercicios capítulo 9
78. Solución: No.
xi
1 2 3 4
6 6 6 10
Rango xi
2,0 2,0 2,0 4,5
yi
8 9 10 10
Rango yi
1,0 2,0 3,5 3,5
52
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
5 6 7 8 9 10 11 12
10 11 11 13 14 14 17 17
No.
xi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
6 10 14 17 6 6 11 14 10 17 11 13
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
4,5 6,5 6,5 8,0 9,5 9,5 11,5 11,5
Rango xi
2,0 5,5 9,5 11,5 2,0 2,0 6,5 9,5 5,5 11,5 6,5 8,0
12 12 13 17 18 18 18 20
5,5 5,5 7,0 8,0 10,0 10,0 10,0 12,0
Rango
yi
di
d i2
-1,5 -1,5 -0,5 6,0 0,0 1,0 1,0 -0,5 -2,5 8,0 -3,5 1,0
2,25 2,25 0,25 36,00 0,00 1,00 1,00 0,25 6,25 64,00 12,25 1,00
0
126,50
yi
10 13 18 12 9 8 12 18 17 10 18 20
3,5 7,0 10,0 5,5 2,0 1,0 5,5 10,0 8,0 3,5 10,0 7,0
∑ rs = 1 −
6 (126,5) = 1 − 0,4423 = 0,5577 ≅ 0,57 nos indica muy poca correlación entre esas dos variables 12 3 − 12
rs = 0,57
79. Solución: No.
xi
1 2 3 4 5
12 13 14 15 15
Rango xi
1 2 3 4,5 4,5
yi
16 17 18 20 21
Rango yi
1 2 3 4 5
53
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
6 7 8 9 10 11 12 13 14
16 17 18 20 21 22 22 23 24
No.
xi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
13 12 16 15 14 22 23 17 24 20 21 18 15 22
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
6 7 8 9 10 11,5 11,5 13 14
22 24 24 25 25 31 31 34 35
Rango 2 1 6 4,5 3 11,5 13 7 14 9 10 8 4,5 11,5
Rango
yi
xi
6 7,5 7,5 9,5 9,5 11,5 11,5 13 14
yi
21 17 22 16 18 35 34 20 31 24 25 25 24 31
5 2 6 1 3 14 13 4 11,5 7,5 9,5 9,5 7,5 11,5
∑ a) rs = 1 −
6 (57,5) = 1 − 0,1264 = 0,8736 143 − 14
di
d i2
-3,0 -1,0 0 3,5 0 -2,5 0 3,0 2,5 1,5 0,5 -1,5 -3,0 0
9,00 1,00 0,00 12,25 0,00 6,25 0,00 9,00 6,25 2,25 0,25 2,25 9,00 0,00
0
57,50
rs = 0,87
Hay una buena correlación entre esas variables, según el coeficiente de Spearman b) r = coeficiente de correlación de Pearson r=
14 (6.454) − (252) (343)
[14 (4.742) − (252) ] [14 (8.899) − (343) ] 2
= 0,8764
2
Casi igual al coeficiente de correlación de Spearman
54
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
80. Solución: No.
yi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
20 45 45 52 52 52 53 60 60 60 68 68 70 70
Rango
No.
yi
1,0 2,5 2,5 5,0 5,0 5,0 7,0 9,0 9,0 9,0 11,5 11,5 13,5 13,5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Rango
Rango
xi
yi
11,0 1,0 2,0 5,0 3,5 3,5 6,0 9,0 12,0 13,5 9,0 7,0 13,5 9,0
2,5 9,0 7,0 5,0 9,0 9,0 1,0 5,0 13,5 11,5 13,5 5,0 11,5 2,5
∑ rs = 1 −
6 (339,50) = 1 − 0,7462 = 0,2538 143 − 14
di
d i2
8,5 -8,0 -5,0 0,0 -5,5 -5,5 5,0 4,0 -1,5 2,0 -4,5 2,0 2,0 6,5
72,25 64,00 25,00 0,00 30,25 30,25 25,00 16,00 2,25 4,00 20,25 4,00 4,00 42,25 339,50
rs = 0,25
Se puede decir que no hay correlación entre las dos variables
81. Solución: No.
xi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
65 65 65 75 76 76 76 78 80 80 83 83
Rango xi
2,0 2,0 2,0 4,0 6,0 6,0 6,0 8,0 9,5 9,5 12,0 12,0
yi
25 25 25 30 35 35 35 38 38 40 42 42
Rango yi
2,0 2,0 2,0 4,0 6,0 6,0 6,0 8,5 8,5 10,0 11,5 11,5
55
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
13 14 15 16
83 84 85 90
xi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
65 80 76 75 80 78 83 84 85 90 65 83 76 76 83 65
rs = 1 −
45 48 50 55
Rango
No.
∑
12,0 14,0 15,0 16,0
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
yi
xi
2,0 9,5 6,0 4,0 9,5 8,0 12,0 14,0 15,0 16,0 2,0 12,0 6,0 6,0 12,0 2,0
30 25 35 40 38 42 48 50 55 45 25 35 38 35 25 42
6 (357 ) = 1 − 0,5250 = 0,4750 163 − 16
13,0 14,0 15,0 16,0
Rango yi
4,0 2,0 6,0 10,0 8,5 11,5 14,0 15,0 16,0 13,0 2,0 6,0 8,5 6,0 2,0 11,5
di
d i2
-2,0 7,5 0,0 -6,0 1,0 -3,5 -2,0 -1,0 -1,0 3,0 0,0 6,0 -2,5 0,0 10,0 -9,5
4,00 56,25 0,00 36,00 1,00 12,25 4,00 1,00 1,00 9,00 0,00 36,00 6,25 0,00 100,00 90,25 357,00
rs = 0,48
Muy poca correlación
EJERCICIOS MISCELÁNEOS 82. Solución: ∑ xi = 28
∑ xi2 = 140
∑ yi = 71
∑
a) r =
yi2
= 827
n=7
x=4
∑ yi xi = 338
y = 10,14
7 (338) − (28) (71)
[7 (140) − (28) ] [7 (827)− (71) ] 2
Cov = 7,71
= 0,987 ≅ 0,99
2
56
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
b) bxy =
Cov 2 Sy
=
7,71 = 0,505 15,27
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
C xy = 4 − 0,505 (10,14) = − 1,12
Xˆ = 0,505 (22) − 1,12 = 9,99 → (Con todos los decimales, usando la calculadora 2
Sy
=
Xˆ = 10,15 )
827 − 7 (10,14) = 15,32 → (Con calculadora S y2 = 15,27 ) 7
Cov =
2
338 = (4)(10,14) = 7,725 → (Con calculadora 7,71) 7
Queda fuera de servicio a los 9,99 años aproximadamente ( Xˆ = 10,15) 83. Solución: La solución se le deja al estudiante
84. Solución: n = 11
∑ xi = 75
∑ yi = 134
r = 0,83
∑ xi2 = 551 2 S y = 16,88
∑
2
2 Sx
= 3,60
∑ xi yi = 992
= 1.818
Cov = 7,12
x = 6,818 = 6,82
y = 12,18
yi2
a) Yˆ = 1,977(9 ) − 1,298 = 16,50 (Resultado con calculadora) b)
(
)
S yx
= 16,81 1 − 0,912 = 2,79 (Resultado con calculadora)
S yx
= 2 ,79 = 1,67
2
υ = n − 2 = 9 t = 2,622 ∝ = 0,05
1,67 17 ,82 Yˆ = 16,50 ± 2 ,622 = 16,50 ± 1,32 = 15,18 11
c) r = 0,91 es un buen coeficiente de correlación (muy cercano a 1), esto quiere decir, que el ajuste rectilíneo es una buena línea de estimación; b = 1,98 es el coeficiente de regresión, que indica el aumento en Yˆ por cada unidad de x.
57
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
85. Solución: 1. a) x = salario y = tiempo de servicio
∑ xi yi = 235.996,5 n = 15
∑ x i = 3.991 ∑ yi = 3.487
bxy = 0,0196
∑ xi2 = 67.527,52
∑ yi2 = 1.108.695
x = 66,07
y = 232,2
Cov = 392,42
2
Sx
Xˆ = 0,0196 (200 − 232,2 ) + 66,07 = 54,82 (calculadora)
b) n = 15 bxy = 0,346 x = 66,07
∑ xi2 = 67.527,52
∑ yi = 632
∑
y = 42,13
2
Sy
= 19.996,16
$54.820 es el salario semanal
∑ xi = 991
yi2
= 137,03
∑ xi yi = 42.151
= 27.776
Cov = 26,46
2
Sx
= 137,03
2
Sy
= 76,52
Xˆ = 0,346 (38 − 42,13) + 66,07 = 44,66 (calculadora) Xˆ = 44,66 $44.660 salario semanal
c) En ambos casos son positivos, por lo tanto indican el crecimiento en la variable x (variable dependiente) de acuerdo al valor de y (variable independiente). 2. a) x = Salario
∑ xi = 991
∑ x3 = 632
∑ x2 = 3.483
x2 = T . servicio
∑ x = 67.527,52
= 27.776 x3 = Edad
n = 15
∑ x22
2 1
= 1.108.695
∑ x32
∑ x1 x2 = 235.996,5
∑ x1 x3 = 42.151
∑ x 2 x3 = 163.678
Xˆ = b1.23 + b12.3 X 2 + b13.2 X 3
(1)
∑ x1
(2) ∑ x1 x 2 (3) ∑ x1 x3
= n b1.23
+ b12.3 ∑ x2
+ b13.2 ∑ x3
= b1.23 ∑ x 2 = b1.23 ∑ x3
+ b12.3 ∑ x + b12.3 ∑ x2 x3
+ b13.2 ∑ x3 x 2 + b13.2 ∑ x32
2 2
Reemplazando se tiene que:
58
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
(1) 991 15 b1.23 = ( 2) 235.996,5 = 3.483 b1.23 (3) 42.151 = 632 b1.23
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
3.483 b12.3 + + 1.108.695 b12.3 + 163.678 b12.3
632 b13.2 + + 163.678 b13.2 + 27.776 b13.2
Multiplicamos a la ecuación (1) por -232.2 ( 2) 235.996,5 = 3.486 b1.23 (1) − 230.110,2 = − 3.483 b1.23 ( 4) 5,886,3 = 0
+ − +
+ 163.678 b13.2 − 146.750,4 b13.2 + 16.927,6 b13.2
1.108,695 b12.3 808.520,4 b12.3 299.942,4b12.3
Ahora proseguimos con las ecuaciones (1) y (3), con el fin de eliminar a b1.23 , para ello multiplicamos a la (1) por 632 y la (3) por 15 y luego restamos al mayor valor, el menor de ellos así: 3
632.265
=
9.480 b1.23
1 − 626.312 = − 9.480 b1.23 (5) 5,953 = 0
+
2.455.170 b12.3
+ 416.640 b13.2
− 2.201.256b b12.3 + 253.914 b12.3
− 399.424 b13.2 + 17.216 b13.2
Nos queda dos ecuaciones (4 y 5) con dos incógnitas cada una, para ello eliminamos b13.2 multiplicando a la ecuación (4) por 17.216 y por 16.927,6 la ecuación (5), luego restamos, para hallar el valor de b1.23 4 101.338.540,8 = 5.163.808.358b12.3 5 − 100.770.002,8 = − 4.308.514.318b12.3 (5)
b12.3 =
568.538,0 =
855.294.040 b12.3
+ 291.425.561,6 b13.2 − 291.425.561,6 b13.2 +
0
568.538,8 = 0,00066 Reemplazamos en la ecuación (4) o (5). 859.291.596
Consideremos esta última: 5.953 = 253.914 (0,00066) + 17.216 b13.2
b13.2 =
5.953 − 253.914 (0,00066) = 0,336 Reemplazando en la ecuación (1) 17.216
991 = 15 b1.23 + 3.483 (0,00066) + 632 (0,336)
b 1.23 =
991 − 3.483 (0,0006) − 632 (0,336) ≅ 51,77 15
59
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
Xˆ 1 = 51,77 + 0,00066 x 2 + 0,336 x 3 Xˆ 1 = 51,77 + 0,00066 (260) + 0,336 (53) ≅ 69,75
Xˆ = 69,75
b) El coeficiente de regresión β 1 o b12.3 nos da el crecimiento o decrecimiento en Xˆ , manteniendo constante los demás coeficientes de regresión, algo similar sucede con β 2 o b13.2 . El primero corresponde al coeficiente angular de la segunda variable y el segundo, es el coeficiente angular de la tercera variable.
15 (235.996,5) − (991) (3.483)
c) r12 =
[15 (67.527,52) − (991) ] [15 (1.108.695) − (3.483) ] 2
2
15 (42.151) − (991) (632)
r13 =
[15 (67.527,52) − (991) ] [15 (27.776) − (632) ] 2
= 0,258
2
15 (163.678) − (3.483) (632)
r23 =
= 0,237 r12 = r21 = 0,237
[15 (1.108.695) − (3.483) ] [15 (27.776) − (632) ] 2
= 0,91
r13 = r31 = 0,258
r23 = r32 = 0,91
2
0,056 + 0,067 − 2 (0,237 )(0,258) (0,91) = 0,66 = 0,81 1 − 0,83
R1.23 =
R12.23 ≅ 0,812 ≅ 0,66 (Se trabajó con los decimales que da la calculadora)
d)
1 − r122 − r132 − r232 + 2 r12 r13 r23 1 − r23
S 1.23
=S
S 1.23
= 137,03
1
1 − 0,056 − 0,067 − 0,83 + 2(0,237 ) (0,258) (0,91) = 80,131 1 − 0,83
e) Xˆ 1 = 51,76 + 0,00066 (120) + 0,336 (47 ) = 67,63
Xˆ 1 = 67,63
60
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
EJERCICIOS MISCELÁNEOS 86. Solución: A) (a)
B) (d)
87. Solución: La solución se le deja al alumno
88. Solución: La solución se le deja al alumno
89. Solución: b yx = 2,8
bxy = 0,3
r = 2,8 (0,3) = 0,9165 ≅ 0,92
r = 0,92
90. Solución: a) C yx = byx =
24 − 0,75 (12) = 3,75 4
4 (78) − (12)(24) 4 (44) − (12)
2
=
24 = 0,75 32
b) Yˆ = 0,75 x + 3,75 c) Yˆ = 0,75 (6) + 3,75 = 8,25
Yˆ = 8,25
91. Solución: a) y =
194 = 9,7 ; 20
Cov = r S x S y = 0,9
S y2 =
(
323.200 − 20(9,7) 2 = 16.065,91 20
7.694
) ( 16.065,91) = 10.006,25;
;
x = 9.360
S x2 = 7.694
;
n = 20
61
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
b yx =
10.006,25 = 1,30 7.694
b yx =
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
Cov S x2
Yˆ = 1,3 ( x − x ) + y
b) Yˆ = 1,3 (9.400 − 9.360) + 9,7 ≅ 61,7
Yˆ = 61,7
92. Solución:
1. (a)
2. (b)
93. Solución:
b) r = 1
a) 0
c) r = 0,33
94. Solución: ∑( y i − y ) = 220 n 2
2
Sy
=
2
a) R 2 =
S ay 2 Sy
=
38,4 = 0,17 220
2 S ay =
VT
H0 : ρ = 0 Ha : ρ ≠ 0
t = 0,41
)
2
= 38,4
R = r = 0,17 = 0,41
b) Ha sido explicada en un 17% = VE 100 =
c) 1)
(
∑ Yˆ − y n
r = 0,41
S ay2 100 S y2
2) ∝ = 0,05
30 − 2 = 2,38 1 − 0,17
υ = n − 2 = 28 ∝ = 0,05
t = 2,048
t = 2,38 cae en la Región Crítica, por lo tanto al nivel del 5%, podemos concluir que hay correlación entre las variables. La correlación es muy baja.
62
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
95. Solución: R 2 = 0,36
n = 20
H0 : ρ = 0 Ha : ρ ≠ 0
a) 1)
r = 0,6
2) ∝ = 0,05
20 − 2 = 3,18 1 − 0,36
t = 0,6
υ = 20 − 2 = 18
t = 2,101
∝ = 0,05
t = 3,18 cae en la región crítica, por lo tanto al nivel del 5%, se puede concluir que hay correlación entre las variables. Es baja la correlación. 2
b)
S yx 2 Sy
VR 100 = 64% VT
= 1 − R 2 = 1 − 0,36 = 0,64
El porcentaje de la varianza que queda sin explicar por la recta de regresión es del 64%
96. Solución:
b yx =
(∑ x n ) (∑ y n ) 50 (9.288) − (374) (800) = = 2,049 50 (4.410) − (374) n ∑ x n − (∑ x n )
n ∑ x i y i ni − 2 i
i
i
i
i
2
i
i
2
i
800 − 2,049 (374) = 0,6735 n 50 Yˆ = 62,14 Yˆ = 2,049 (30 ) + 0,6735 ≅ 62,14 C yx =
∑y
i
ni − b yx
∑x
i
ni
=
63
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
S
2 yx
∑y =
2 i
ni − C yx
∑y n i
i
− byx
∑x
i
n
yi ni
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
=
19.736 − 0,6735 (800) − 2,049 (9.288) = 3,32 50
S yx = 3,32 = 1,82 1,82 Yˆ = 62,14 ± 1,96 = 62,14 ± 0,50 50
62,64 = 61,64
97. Solución: No.
xi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
7 8 9 10 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14
Rango xi
1 2 3 5 5 5 7,5 7,5 9,5 9,5 11,5 11,5 13,5 13,5
No.
xi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12 10 13 8 7 11 11 14 12 14
Rango xi
9,5 5,0 11,5 2,0 1,0 7,5 7,5 13,5 9,5 13,5
yi
3,6 3,7 3,8 3,8 3,8 3,9 3,9 4,2 4,2 4,3 4,3 4,4 4,4 4,5 yi
3,9 4,2 4,2 3,8 3,8 3,8 4,3 4,4 4,5 4,4
Rango yi
1 2 4 4 4 6,5 6,5 8,5 8,5 10,5 10,5 12,5 12,5 14,0 Rango yi
6,5 8,5 8,5 4,0 4,0 4,0 10,5 12,5 14,0 12,5
di
d i2
3,0 -3,5 3,0 -2,0 -3,0 3,5 -3,0 1,0 -4,5 1,0
9,00 12,25 9,00 4,00 9,00 12,25 9,00 1,00 20,25 1,00
64
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
11 12 13 14 -
rs = 1 −
9 10 10 13 -
3,0 5,0 5,0 11,5 -
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
3,9 3,7 4,3 3,6 -
6,5 2,0 10,5 1,0 -
-3,5 3,0 -5,5 10,5 0
12,25 9,00 30,25 110,25 248,50
6 (248,50 ) = 1 − 0,546 = 0,45 muy poca correlación entre las dos variables 14 3 − 14
98. Solución: Xˆ 2 = b2.13 + b21.3 + b23.1 x3
(1) ∑ x2 (2) ∑ x2 x1 (3) ∑ x2 x3
(1) (2) (3)
= n b2.13 = b2.13 ∑ x1 = b2.13 ∑ x3
+ b21.3 ∑ x1 + b21.3 ∑ x12 + b21.3 ∑ x1 x3
1.096 = 15 b2,13 179.293 = 2.446 b2.13 22.406 = 303 b2.13
+
+ b23.1 ∑ x3 + b23.1 ∑ x3 x1 + b23.1 ∑ x32
2.446 b21.3 + 401.778 b21.3 + 49.761b21.3
+
303 b23.1 + 49.761b23.1 + 6.507b23.1
Tambien se hubiera presentado de la siguiente manera Yˆ = β o + β1 x1 + β 2 x 2
(1) 1.096 = (2) 179.293 = (3) 22.406 =
(2) (1) (4)
15 β o + 2.446 β 1 + 303 β 2 2.446 β o + 401.778 β 1 + 49.761 β 2 303 β o + 49.761 β 1 +
179.293,00 = 2.446 β o − 178.721,07 = − 2.446 β o 571,93 = 0
6.507 β 2
+ 401.778,00 β 1 − 398.861,07 β1 + 2.916,93 β1
multiplicamos la ecuación (1) por − 163,066667 y se lo restamos a la segunda ecuación
+ 49.761,0 β 2 − 49.409,2 β 2 + 351,8 β 2
Multiplicamos la ecuación (1) por − 20,2 y se la restamos a la ecuación (3)
65
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
(3) (1) (5)
22.406,0 = 303 β o − 22.139,2 = − 303 β o 266,8 = 0
+ 49.761,0 β1 − 49.409,2 β1 351,8 β1
Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
+ 6.5070 β 2 − 6.120,6 β 2 + 386,4 β 2
Trabajamos con las ecuaciones (4 ) y (5) para despejar β1 multiplicamos la ecuación (5) por − 351,8 y la ecuación ( 4) por 386,4
(4) (5)
220.993,75 = 1.127.101,75 β 1 − 93.860,24 = − 123.763,24 β 1 127.133,51 = 1.003.338,51 β 1
+ 135.935,52 β 2 − 135.935,52 β 2 0
β1 =
127.133,51 = 0,1267 1.003.338,51
Reemplazamos en la ecuación (5)
(5) 226,8 = 351,8 (0,1267) + 386,4 β 2
⇒
β2 =
226,8 − 351,8 (0,1267 ) = 0,4716 386,4
Ahora reemplazamos en la ecuación (1) para obtener β o
(1) 1.096 = 15 β o
+ 0,1267 (2.446 ) + 0,4716 (303) ⇒ β o =
1.096 − 0,1267 (2.446 ) − 0,4716 (303) = 42,8798 15
a) Yˆ = 42,8798 + 0,1267 x1 + 0,4716 x 2 Yˆ = 42,8798 + 0,1267 (180) + 0,4716 (25) = 77,48 mts 2 b) r12 = 0,59
r1, 23 =
r13 = 0,33
Yˆ = 77,48 mts 2
r23 = 0,37
0,592 + 0,332 − 2 (0,59) (0,33) (0,37 ) = 0,60 1 − 0,37 2
r12, 23 = R12, 23 = 0,36
66
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Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple
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Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
11 Series de Tiempo, Tendencia Rectilínea Parabólica y Logarítmica
EJERCICIOS RESUELTOS REGRESION LINEAL SIMPLE 1. Solución: Años 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Σ
Producción( yi ) 360 383 337 390 406 459 480 2.815
xi
xi2
xi yi
0 1 2 3 4 5 6 21
0 1 4 9 16 25 36 91
0 383 674 1.170 1.624 2.295 2.880 9.026
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
xi
xi2
xi yi
−3 −2 −1 0 1 2 3 0
9 4 1 0 1 4 9 28
−1.080 −766 −337 0 406 918 1.440 581
Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
a) Yˆ = bx + c
(1) ∑ yi = b ∑ xi + nc (2) ∑ xi yi = b ∑ xi2 + c ∑ xi Reemplazamos:
(1) 2.815 = 21b + 7c (2 ) 9.026 = 91b + 21c
Multiplicamos a la primera ecuación por −3
(2 ) (1)
9.026 = 91b + 21c − 8.445 = −63b − 21c 581 = 28b
⇒
b=
581 = 20,75 28
Ahora reemplazamos en la primera ecuación:
(1)
2.815 = 21(20,75) + 7c
c=
2.815 − 435,75 = 339,89 7
Yˆ = bx + c
b)
b=
Yˆ19 = 20,75(19) + 339,89 = 734,14
x = 2019 − 2000 = 19
∑ yi xi 581 = = 20,75 ∑ xi 28
c=
(Miles Tons)
∑ yi 2.815 = = 402,14 n 7
x = 2014 − 2003 = 11
Yˆ14 = 20,75 x + 402,14 ⇒ Yˆ14 = 20,75(11) + 402,14 = 630,39
(Miles Tons)
2
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
c) yi
Años 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Σ
360 383 337 390 406 459 480 600 3.415
xi
xi2
xi yi
−7 −5 −3 −1 1 3 5 7 0
49 25 9 1 1 9 25 49 168
−2.520 −1.915 −1.011 − 390 406 1.377 2.400 4.200 2.547
b=
∑ xi yi 2.547 = = 15,16 168 ∑ xi2
c=
∑ yi 3.415 = = 426,88 n 8
NOTA: Para que ∑ xi = 0 Se debe trabajar con semestres.
Yˆ = bx + c
Yˆ = 15,16 x + 426,88
x = 2014 − 2004 = 10 × 2 = 20 + 1 = 21 semestres
Yˆ14 = 15,16(21) + 426,88 = 725,24
(Miles tons)
2. Solución:
2
Años
yi
xi
) Yi
) yi − Yi
(yi − Yi )2
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Totales
360 383 337 390 406 459 480 2.815
0 1 2 3 4 5 6 21
339,89 360,64 381,39 402,14 422,89 443,64 464,41 2.815,00
20,11 22,36 −44,39 −12,14 −16,89 15,36 15,59 0
404,41 499,97 1.970,47 147,38 285,27 235,93 243,05 3.786,48
S yx
=
(
∑ yi − Yˆi n
)
S yx = 2
3.786,48 = 540,93 7
S yx
)
= 540,93 = 23,25
3
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S Yˆ Yˆ ± t yx = s n Yˆi
Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
Yˆ14 = 20,75(14) + 339,89 = 630,39
Yˆ = bx + c
Σyi = 2.815
Σxi2 = 91
Σyi2 = 1.147.875
n=7
Σxi = 21
Σxi yi = 9.026
b = 20,75
c = 339,89
(23,25) = 651,99 Yˆ = 630,39 ± 2,45 7 608,87
x = 2014 − 2000 = 14
La varianza residual se hubiese podido calcular en forma más rápida, así:
2
S yx
=
∑ y12 − c ∑ yi − b ∑ yi xi n
1.147.875 − 339,89 (2.815) − 20,75 (9.026) = 542,16 7
S yx
=
S yx
= 542,16 = 23,28
2
(hay una pequeña diferencia)
Nota: por calculadora el valor de la varianza residual es 541,02 en cada uno de los cálculos de S yx2 , se empleó el valor de n, sin embargo, muchos lo obtienen con n – 2 que, en este caso sería sobre 5.
b) Coeficiente de correlación
r=
[n ∑
n ∑ x i y i − (∑ x i )(∑ y i ) xi2
− (∑ xi )
2
][n ∑
y i2
− (∑ y i )
2
]
=
7(2.547 ) − (21)(2.815)
[7(91) − (21) ] [7 (1.147.875) − (2.815) ] 2
= 0,87
2
4
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Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
3. Solución: Años 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Σ
yi
xi
xi2
xi yi
128 135 148 145 152 161 162 1.031
-3 -2 -1 0 1 2 3 0
9 4 1 0 1 4 9 28
-384 -270 -148 0 152 322 486 158
a) Yˆ = bx + c
2) ∑ xi yi = b ∑ xi2 + c ∑ xi
1) ∑ yi = b ∑ xi + nc c=
∑ yi n
b=
c=
1.031 = 147,28 7
b=
∑ xi y i ∑ x i2
158 = 5,64 28
x = 2008 − 2003 = 5 años
Yˆ = 5,64x + 147,28 ⇒
Yˆ = bx + c
Yˆ08 = 5, 64 (5 ) + 147 , 28 = 175 , 48
b) Yˆi
130,37 136,00 141,65 147,28 152,93 158,56 164,21 1.031,00
(y
i
− Yˆi
)
-2,37 -1,00 6,35 -2,28 -0,93 2,44 -2,21 0
Aplicando la siguiente fórmula
(y
i
− Yˆi
)
2
yi2
5,61 1,00 40,32 5,19 0,86 5,95 4,88 63,81
16.384 18.225 21.904 21.025 23.104 25.921 26.244 152.807
2
S yx
=
2 S yx
(
∑ yi − Yˆi = n
=
S yx
= 3,019
∑ yi2 − c ∑ yi − b ∑ yi xi n
2
63,81 = 9,11 7
S yx
2
)
nos daría:
5
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2
S yx
=
Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
152.807 − 147,28(1.031) − 5,64(158) = 10,03 ; 7
O mediante el uso de la calculadora
2
S yx
(
S yx
= 3,16 (Desv. típica residual )
)
= SY2 1 − r 2 = 10,03
Nota: no olvidar que muchos calculan la varianza residual dividiendo por n – 2
c) y =
2
SY
179,15 171,81
3,019 ⇒ 175,48 ± 2,571 ⇒ 175,48 ± 3,67 = 7
S Yˆ ± t yx n
1.031 = 147,28 7
=
y 2 = 21.691,39
∑ y i2 − y2 n
2
SY
2
r = 1−
S yx 2
Sy
= 1−
=
152.807 − 21.691,39 = 138,18 ; 7
9,11 = 1 − 0,065 = 0,935 = 0,966 138,18
Sy
= S y2 = 138,18 = 11,75
r = 0,97
También se puede calcular el coeficiente de correlación aplicando la fórmula siguiente:
r=
[n ∑
n ∑ xi yi − (∑ xi )(∑ yi ) xi2
(
− ∑
xi2
)] [n ∑
yi2
− (∑ yi )
2
]
r=
7(158) − (0 )(1.031)
[7(28) − (0) ][7(152.807) − (1.031) ] 2
= 0,96
2
r = 0,96
6
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Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
4. Solución: yi
Años 2002 2003 2004 2005 2006 Σ
Yˆi
xi
xi2
580 635
-2 -1 0 1 2 0
4 1 0 1 4 10
y1 y2
550 600 750 2.900 580 =
a) c = Yˆ = 580
∑ yi = ∑ yi = 2.900 ; 5
b=
xi yi
-2( y1 ) -1( y2 ) 0 600 1.500 550
Yˆt − Yˆo 635 − 580 = = 55 2005 − 2004 1
Yˆ = 55x + 580 ⇒ Yˆ15 = 55 (11) + 580 = 1.185
x = 2.015 − 2004 = 11 años
b) 2.900 = y1 + y2 + 1.900 ⇒ y1 + y2 = 1.000
55 =
∑ xi yi ⇒ ∑ xi yi = 550 10
550 = −2 y1 − y2 + 2.100 ⇒ − 2 y1 − y2 = −1.550
Eliminando y2 se tiene que − y1 = − 550 ⇒ donde
y1 = 550
y y2 = 450
5. Solución: Años 2002 2003 2004 2005 2006 Σ c=
Σyi n
yi
Yˆi
50 y2
100
90
y4
140 450 ⇒ 90 =
148 450
xi
xi2
-2 -1 0 1 2 0
4 1 0 1 4 10
xi yi
-100 -1 ( y 2 ) 0 1(y 4 ) 280 290
Σy i ⇒ Σy i = 450 5
7
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
b=
Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
Yˆ1 − Yˆ0 148 − 90 = = 29 2006 − 2004 2 Yˆ16 = 29(12) + 450 = 798
a) Yˆ = 29x + 450 x = 2.016 − 2004 = 12
b) b =
Σxi yi Σxi2
⇒ 29(10) = Σxi yi = 290
290 = − y2 + y4 + 180 ⇒ 110 = − y2 + y4
(1)
450 = y2 + y4 + 290 ⇒ 160 = y2 + y4
(2)
260 = 2 y 4
⇒
y4 =
260 = 130 2
y
Eliminado y2
y 2 = 30
6. Solución: Años 2002 2003 2004
yi
200 y2
y3
2005 2006 Σ a) y =
320 380 1.400
xi yi
0 1(y 2 ) 2 ( y3 ) 960 1.520 3.260
Σxi = 280 n
xi
xi2
0 1 2 3 4 10
0 1 4 9 16 30
Σyi = 280(5) = 1.400 1.400 = 200 + y2 + y3 + 700 1.400 − 900 = y2 + y3 = 500
3.260 = y 2 + 2 y 3 + 2.480
⇒
y 2 + 2 y 3 = 780 − y 2 − y 3 = −500 y 3 = 280
(1)
(2 ) (1) y
y 2 = 220
b) Yˆ = bx + c
8
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Σy i = bΣxi + nc
1)
bΣxi2
2)
Σy i x i =
2)
3.260 = 30b + 10c
1)
− 2.800 = −20b − 10c 460 = 10b
1)
1.400 = 10(46) + 5c 1.400 = 460 + 5c
Yˆ = 46x + 188
1.400 = 10b + 5c 2) 3.260 = 30b + 10c
1)
⇒
+ cΣxi
→
b=
→ c=
Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
(− 2)
460 = 46 10
1.400 − 460 = 188 5
⇒ Yˆ13 = 46(11) + 188 = 694
x = 2013 − 2002 = 11 años
7. Solución: Se considera 1.985 = 0 = xi
Años 1985 1988 1991 1994 1997 2000 2003 2006
(a)
(b)
yi
xi
xi
42 64 48 82 110 96 84 124
0 3 6 9 12 15 18 21
-21 -15 -9 -3 3 9 15 21
b=
8 (8.094) − (84)(650) = 3,36 2 8 (1.260) − (84)
c=
650 − 3,36(84) = 45,97 8
(a) Σxi = 84 n =8
Σxi2 = 1.260 Σyi = 650
Σyi2 = 58.636 Σxi yi = 8.094
Con la calculadora el resultado de c = 46
9
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Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
Yˆ02 = 3,36(17 ) + 45,97 = 103,09
Yˆ02 = 103,09
x = 2002 − 1985 = 17
Yˆ08 = 3,36 (23) + 45,97 = 123,25
Yˆ08 = 123,25
x = 2008 − 1985 = 23
Con calculadora Yˆ02 = 103,09
Yˆ08 = 123,21
y
Ahora trabajando con cambio de origen, de tal manera que Σx i = 0 , se tiene 22 períodos. El 1º de enero/96 ⇒ x = 0 y el 1º de julio ⇒ x =1 Σxi = 0
b=
Σxi2 = 1.512
Σyi2 = 58.636
Σyi = 650
2.538 = 1,678 semestral ; 1.512
c=
Σxi yi = 2.538
n=8
650 = 81,25 8
Yˆ02 = bx + c ⇒ 1,678(13) + 81,25 = 103,06
Yˆ02 = 103,06
x = 2002 – 1996 = años × 2 = 12 meses + 1 ⇒ x = 13 semestres. Yˆ07 = 123,20
Yˆ07 = 1,678 (25) + 81,25 = 123,20
x = 2.008 – 1996 = 12 años × 2 = 24 semestres + 1 = 25 semestres b) r =
8(2.538) − (0)(650)
[8(1.512) − 0] [8(58.636) − (650) ]
= 0,8553 ≅ 0,85
r = 0,85
2
En (a) y (b) el valor de r es el mismo
10
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Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
8. Solución: Años 1986 1990 1994 1998 2002 2006 Σ
yi
xi
xi2
xi yi
12 30 86 114 140 200 582
-10 -6 -2 2 6 10 0
100 36 4 4 36 100 280
-120 -180 -172 228 840 2.000 2.596
Como Σxi = 0 calculamos b y c aplicando las siguientes fórmulas. c=
Σyi n
Yˆ = bx + c
c=
582 = 97 6
b=
Σxi yi Σxi2
b=
2.596 = 9,27 280
Yˆ = 9,27 ( x) + 97
Yˆ88 = 9,27 (−8) + 97 = − 74,16 + 97 = 22,84 Tons
x = 1.988 − 1.996 = −8
Yˆ11 = 9,27 (15) + 97 = 139,05 + 97 = 236,05 Tons
x = 2011 − 1996 = 15 años
9. Solución: Yˆ13 = 0,11 (25) + 1,52 = 2,75 + 1,52 = 4,27
x = 2013 − 2001 = 12 × 2 = 24 + 1 = 25 (semestres)
Yˆ16 = 0,11 (31) + 1,52 = 3,41 + 1,52 = 4,93
x = 2016 − 2001 = 15 × 2 = 30 + 1 = 31
El coeficiente R 2 = 0,87 , nos indica que hay una buena correlación, para la realización de los anteriores cálculos.
10. Solución: Yˆ16 = − 2 (31) + 35 = − 62 + 35 = − 27
Yˆ16 = − 27
11
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Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
Siendo R 2 = 0,99 la recta explica perfectamente el comportamiento de la variable, en el período (1997 – 2006), pero el estimado para 2016, es absurdo, ya que arroja una producción de –27 y no puede haber una producción menor a cero. 11. Solución: yi
10 12 13 15 20 70
xi
-2 -1 0 1 2 0
xi2
xi yi
4 1 0 1 4 10
-20 -12 -32 / 55 15 40 23
b=
Σx i y i Σxi2
=
23 = 2,3 10
2,3 = Incremento promedio por período de tiempo (x).
12. Solución: Años 1996 1999 2000 2003 2005 2006 Σ
yi
xi
xi yi
xi2
8 16 14 20 22 22 102
0 3 4 7 9 10 33
0 48 56 140 198 220 662
0 9 16 49 81 100 255
Se le dan valores a las ecuaciones anteriores: 662 = 255b + 33c 1) − 561 = − 181,5b − 33c
Yˆ = bx + c 1)
Σyi
= bΣxi + nc
2)
Σxi yi = bΣxi2 + cΣx
102 = 33b + 6c 2) 662 = 255b + 33c
1)
2)
101 =
73,5b + 0
Reemplazamos la ecuación (1)
(Multiplicamos a la ecuación (1) por -5,5)
⇒
b = 101 = 1,37 73,5
102 = 33(1,37) + 6c 102 − 45,21 c= = 9,465 6
Yˆ = 1,37 x + 9,46 Yˆ97 = 1,37 (1) + 9,46 = 10,83
Yˆ97 = 10,83
Yˆ98 = 1,37 (2) + 9,46 = 12,20
12
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Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
Yˆ01 = 1,37 (5) + 9,46 = 16,31 Yˆ02 = 1,37 (6) + 9,46 = 17,68
Yˆ04 = 20,42
Yˆ04 = 1,37 (8) + 9,46 = 20,42
13. Solución: a) b =
1.148 = 19,13 60
c=
1.620 = 180 9
Yˆ = 19,13(10) + 180 = 371,3 2
S yx
=
Yˆ = 37,13
314.502 − 180(1.620) − 19,13(1.148) = 104,52 ⇒ S yx = 10,22 9
υ = n −1= 8
379,15 10,22 Yˆ = 371,3 ± 2,306 = 9 363,45
t = 2,306
∝= 0,05
Nota: algunos trabajan con υ = n − 2 donde t = 2,365 y cambian los valores estimados b) r =
9(1.148) − (0)(1.620)
[9(60) − 0] [9(314.502) − (1.620) ]
= 0,98 → R 2 = 0,969
2
14. Solución: a) r =
9(1.723)
[9(60)] [9(509.992) − (2.032)
2
b) 2003 → x = 0 b=
1.723 = 28,72 60
]
= 0,98
Yˆ10 = 28,72(7 ) + 225,78 = 426,82
c=
r = 0,98
Yˆ10 = 426,82
2.032 = 225,78 9
x = 2010 – 2003 = 7 años
13
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Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
15. Solución: Años 2002 2003 2004 2005 2006
yi
xi
230 285 310 325 360
-2 -1 0 1 2
n=5
Σxi = 0
Σxi2 = 10
Σyi = 1.510
Σyi2 = 465.450
Σyi xi = 300
b=
300 = 30 10
c=
1.510 = 302 5
Yˆ = 30 x + 302
x = 2014 − 2004 = 10
Yˆ14 = 30(10) + 302 = 602
En el 2014 se tendrá Yˆ = 602 miles de millones de $
16. Solución: Años 2002 2003 2004 2005 2006
yi
xi
100 150 200 200 250
-2 -1 0 1 2
n=5
a) Σyi = 900 b=
Σxi = 0
Σx 2i = 10
Σyi2 = 175.000
Σxi yi = 350
Σxi yi 350 = = 35 10 Σxi2
Yˆ = 35(4) + 180 = 320
b) r =
5(350)
[5(10)][5(175.000) − (900)2 ]
= 0,97
⇒
c=
900 = 180 5
x = 2008 − 2004 = 4
R 2 = 0,94
17. Solución: Yˆ = 900 + 40 (13) = 1.420
x = 2008 – 2002 = 6 × 2 = 12 + 1 = 13 semestres
Yˆ = 1.420 carros usados
14
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Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
18. Solución: Años
Yˆi
2001 2006
896.000 1.692.000
1.692.000 − 896.000 = 159.200 2006 − 2001 c = 896.000 ⇒ Yˆ = 159.200(7 ) + 896.000 = $2.010.400 b=
x = 2008 − 2001 = 7 años
También puede estimarse:
Yˆ = 159.200(2) + 1.692.000 = 2.010.400
Yˆ = 2.010.400
x = 2008 − 2006 = 2 años
19. Solución: a) b =
233 = 3,88 60
c=
244 = 27,11 9
Yˆ = 3,88(10) + 27,11 = 65,91 x = 2010 − 2000 = 10 2
S yx
=
Yˆ = 65,91
8.118 − 27,11(244) − 3,88(233) = 66,57 9
⇒ S yx = 8,16
72,18 8,16 Yˆ = 65,91 ± 2,306 = 65,91 ± 6,27 = 9 59,64
(v = n − 2)
v = n −1= 8 ;
b) r =
9(233)
[9(60)][9(8.118) − (244)
2
]
∝= 0,05
= 0,78
r = 0,78
15
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Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
20. Solución: Años 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Σ
xi
a)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 45
b=
c=
10(3.266) − (45)(544) 10(285) − (45)
2
=
8.180 = 9,92 825
544 − 9,92(45) = 9,76 10
Yˆ = 9,92 x + 9,76
2000 ⇒ x = 3 años 2002 ⇒ x = 5 años
Se toman dos puntos, por ejemplo:
Yˆ00 = 9,92(3) + 9,76 = 39,52
Yˆ02 = 9,92(5) + 9,76 = 59,36
Yˆ00 = 39,52
Yˆ02 = 59,36
Se establecen dos puntos en el plano cartesiano, uniéndose y prolongándose para 1997 – 2006. El estudiante debe terminar el ejercicio.
b) r =
10(3.266) − (45)(544) 2
r = 0,98
= 0,98
[10(285) − (45) ][10(38.040) − (544) ] 2
21. Solución: Años 2001 2002 2003 2004 2005 2006
yi (miles)
723,00 982,50 1.236,42 1.450,60 1.636,25 1.890,90
xi
-5 -3 -1 1 3 5
a) n = 6
Σxi = 0
Σxi yi = 8.014,93
Σxi2 = 70 Σyi = 7.919,67
Σyi2 = 11.373.826,9 b=
8.014,93 = 114,499 70
c=
7.919,67 = 1.319,945 6
x = 2.011 − 2.004 = 7 × 2 = 14 + 1 = 15 semestres
16
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
x = 15 semestres Yˆ11 = 114,499 (15) + 1.319,945 = 3.037,43
3.037 pasajeros (miles)
Yˆ16 = 114,499 (25) + 1.319,945 = 4.182,42
4.182 pasajeros (miles)
x = 2.016 − 2004 = 12 × 2 = 24 + 1 = 25 semestres
Deberíamos haber hecho un ajuste exponencial, pero nos fue solicitado hacerlo mediante un ajuste rectilíneo. b)
c)
6(8.014,93)
r=
[6(70)] [6(11.373.826,9) − (7.919,67 )
]
= 0,9985 ⇒
Casi = 1
r ≅1
11.373.826,9 − 1.319,945 (7.919,67) − 114,499(8.014,93) 2 = S yx = 432,77 6
S yx
=
S yx
= 20,8
2
2
3.059,26 20,8 (miles de pasajeros) Yˆ = 3.037,43 ± 2,571 = 3.037,43 ± 21.83 = 6 3.015,60
22. Solución: Años 2002 2003 2004 2005 2006
yi
xi
417,50 572,80 620,35 679,26 712,80
-2 -1 0 1 2
a) n = 5
Σxi2 = 10
Σxi = 0
Σyi2 = 1.869.225,20
b=
Se trabaja en miles, a fin de simplificar las operaciones. Además se va a realizar un ajuste rectilíneo, cuando lo recomendado en este caso, es el ajuste exponencial.
697,06 = 69,706 10
Σyi = 3.012,71
Σyi xi = 697,06
c=
3.012,71 = 602,542 5
Yˆ12 = 69,706 x + 602,542 = 69,706 (8) + 602,542 = 1.160,19 (miles de pasajeros)
17
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Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
Es decir, se estiman en, 1.160.190 pasajeros para el año 2.012 x = 2.012 − 2.004 = 8 años
b) y = miles de pasajeros Años 2002 2003 2004 2005 2006
yi
xi
167,00 229,12 248,14 271,70 285,12
-2 -1 0 1 2
Σxi = 0
n=5
Σxi2 = 10
Σyi = 1.237,08
Σyi2 = 316.234,8114
Σyi xi = 287,82
b = 27,882
c = 247,416
x = 2.012 − 2.004 = 8 años Yˆ12 = 27,882 (8) + 247,416 = 470,472 = 470.472 pasajeros
23. Solución: Años 2001 2002 2003 2004 2005 2006
Gastos (Mill. de $)
2.460 2.700 2.850 2.950 3.150 3.300
xi
0 1 2 3 4 5
n=6
Σxi = 15
Σyi2 = 50.979.100
Σxi2 = 55
Σyi = 17.410
Σyi xi = 46.350
b=
6(46.350) − (15)(17.410) = 161,43 2 6(55) − (15)
c=
17.410 − 161,43(15) = 2.498,09 6
x = 2.008 − 2.001 = 7 años
Yˆ08 = 161,43 (7 ) + 2.498,09 = 3.628,10 (mill de $)
Yˆ08 = 3.628,10
18
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b) r =
Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
6(46.350) − (15)(17.410)
[6(55) − (15) ] [6(50.979.100) − (17.410) ] 2
= 0,9945
2
r ≅ 0,99
24. Solución: Años 1982 1986 1990 1994 1998 2002 2006
yi
xi
120 180 100 260 370 250 460
0 4 8 12 16 20 24
n=7
Σxi = 84
Σxi2 = 1.456
Σyi = 1.740
Σyi2 = 535.400
Σyi xi = 26.600
b=
c=
6(26.600) − (84)(1.740) = 12,77 2 6(1.456) − (84)
1.740 − 12,77(84) = 95,33 7
x = 2.010 − 1.982 = 28 años Yˆ10 = 12,77 (28) + 95,33 = 452,89
Yˆ10 = 452,89
25. Solución: Años 1982 1986 1990 1994 1998 2002 2006
yi
xi
120 180 100 260 370 250 460
-12 -8 -4 0 4 8 12
n=7
Σxi = 0
Σxi2 = 448
Σyi = 1.740
Σyi2 = 535.400
Σyi xi = 5.720
b=
5.720 = 12,77 448
c=
1.740 = 248,57 7
x = 2.010 − 1.994 = 16 años
Yˆ10 = 12,77(16) + 248,57 = 452,89
Yˆ10 = 452,89
Los resultados son exactamente iguales
19
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Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
26. Solución: r=
7(5.720)
[7(448)][7(535.400) − (1.740)
2
]
r = 0,84
= 0,8425
Coeficiente de correlación de Pearson, Los resultados son iguales, si utilizamos los datos del ejercicio 25.
ESTIMACIONES MENSUALES 27. Solución: Consideremos a la variable Yi como si fuera producción (miles tons) Tomando como origen el año 2000 se tiene: Yˆ = 20,75 x + 339,89 144
Yˆ = 0,14 x + 28,32
(1º julio / 00)
c = 28,32 + 0,07 = 28,39
Yˆ = 0,14 x + 28,39
12
(15 de julio / 00)
0,07 = mitad del mes
Los estimativos para los diferentes meses, son:
Yˆ Mayo/01 Yˆ Sep./03 Yˆ Oct./05 Yˆ Dic./09
= 0,14(10) + 28,39 = 29,79 = 0,14(38) + 28,39 = 33,71 = 0,14(63) + 28,39 = 37,21 = 0,14(113)+28,39 = 44,21
(miles tons)
20
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Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
28. Solución: 5,64 Yˆ = x + 147,28 12
Yˆ = 5,64 x + 147,28 Yˆ = 0,47 x + 147,28
2004 Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Σ
Yˆ = 0,47 x + 147,51
(1º julio/03)
(15 julio/03)
Estimativos Yˆ = 0,47 (6) + 147,51 = 150,33 Yˆ = 0,47 (7) + 147,51 = 150,80 Yˆ = 0,47 (8) + 147,51 = 151,27 Yˆ = 0,47 (9) + 147,51 = 151,74 Yˆ = 0,47 (10) + 147,51 = 152,21 Yˆ = 0,47 (11) + 147,51 = 152,68 Yˆ = 0,47 (12) + 147,51 = 153,15 Yˆ = 0,47 (13) + 147,51 = 153,62 Yˆ = 0,47 (14) + 147,51 = 154,09
c = 147,28 + 0,235 c = 147,515 0,235 = medio mes
Yˆ = 0,47 (15) + 147,51 = 154,56 Yˆ = 0,47 (16) + 147,51 = 155,03 Yˆ = 0,47 (17) + 147,51 = 155,50
Total 1.834,98
1.834,98 Yˆ04 = = 152,92 12
Observe que el resultado del ejercicio 3 donde Yˆ04 = 152,92 , exactamente se obtiene el resultado, al igual cuando sumamos los estimativos mensuales y luego este total se divide por los 12 meses, con lo cual obtendremos el precio promedio para el 2004.
29. Solución: 9,27 97 Yˆ = x+ 144 12 Yˆ = 0,064 x + 8,08 Yˆ = 0,064 x + 8,112
Yˆ = 0,064 (– 64) + 8,112 (1º Julio/96) (15 Julio/96)
(Marzo/91)
Yˆ91 = – 4,096 + 8,112 = 4,016 (Abril de 2000) Yˆ = 0,064 (45) + 8,112 Yˆ00 = 2,88 + 8,112 = 10,992
21
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Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
30. Solución: Estimar los meses de Mayo/2001 y Octubre/07 (Variable Producción) 28,72 225,78 Yˆ = x+ ⇒ Yˆ = 18,815 x 144 12 Yˆ = 0,1994 x + 18,815
(al 1 de julio/03) (al 15 de julio/03)
Yˆ = 0,1994 x + 18,9147 ⇒ YˆMayo / 2001 = 0,1994(−26) + 18,9147 = 13,7303
YˆOct . / 07 = 0,1994(51) + 18,9147 = 29,0841
31. Solución: Estimar el mes de Agosto del 2008, a fin de conocer los gastos en ese mes. 35 180 Yˆ = x+ ⇒ Yˆ = 0,2430 x + 15 (1 julio/2004) 144 12 Yˆ = 0,2430 x + 15,1215 (15 de julio/04) Yˆ = 0,2430 x + 15
⇒ YˆAg . / 08 = 0,2430 (49) + 15,1215 = 27,0285
32. Solución: Yˆ = 9,292x + 9,76
Estimar los meses de Sep./2004, Octubre 2006 y Octubre 2008. 9,92 9,76 Yˆ = x+ ⇒ Yˆ = 0,06889 X + 10,81333 → 1 Julio / 97 144 12 Yˆ = 0,06889 X + 0,84778 → 15 Julio / 97 Yˆ = 0,06889 x + 0,84778 → Yˆ = 0,06889(86) + 0,84778 = 6,7723 Sep. / 04
YˆOct . / 06 = 0,06889 (111) + 0,84778 = 8,49446 YˆOct . / 08 = 0,06889 (135) + 0,84778 = 10,14793
22
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Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
AJUSTE POR EL METODO DE LOS SEMI-PROMEDIOS 33. Solución:
Años 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
yi
200 366 490 500 620 780 910
Semi-suma
Semi-promedio
1.050
1.050 = 350 3
2.310
2.310 = 770 3
Yˆi
xi
0 1 2 3 4 5 6
350
770
El valor de x dependerá del origen que se tome, el cual puede ser localizado en cualquier período. Siendo Yˆ = bx + c se tendrá dos ecuaciones: 350 = b + c (2) 770 = 5b + c (1)
b=
Multiplicamos a la ecuación (1) por − 1
770 = 5b + c (1) − 350 = − b − c
(2)
420 = 105 Reemplazamos la ecuación (1): 350 = 105+c ⇒ c = 350 – 105 = 245 4
La ecuación quedará Yˆ = 105 x + 245
Si estimamos a Yˆ para el 2013 se tendrá:
Yˆ13 = 105 (l 3) + 245 = 1.365 + 245 = 1.610
Yˆ13 = 1.610
Un procedimiento similar, que podríamos llamar empírico, consiste en determinar la diferencia entre los dos semi-promedios; el resultado es dividido por el valor correspondiente al período transcurrido entre los dos semi-promedios. Con este proceso se obtendrá el valor de b: b=
yˆ 2 − yˆ1 770 − 350 420 = = = 105 t1 − t o 1999 − 1995 4
y el valor de c podrá ser el valor de cualquiera
de los semi-promedios. El semi-promedio que se ha tomado como C, en ese punto o período, se tendrá x igual a cero, así: Yˆ = 105x+350 ⇒ siendo:
Yˆ13 = 105(12) + 350 = 1.610
Yˆ = 105x+770 ⇒ siendo:
Yˆ13 = 105 (8) + 770 = 1.610
23
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Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
34. Solución: Años 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006
yi
60 140 400 600 800 900 1000
a) 900 − 200 = 700
Semi-suma
Semi-promedio
600
600 = 200 3
2.700
⇒
2.700 = 900 3
b=
700 = 87,5 8
xi
xi
Yˆi
-2 0 2 4 6 8 10
-10 -8 -6 -4 -2 0 2
25 200 375 550 725 900 1.075
x = 2004 - 1.996 = 8
Yˆ = 87,5 x + 200
Yˆ02 = 87,5(6) + 200 = 725,0
X =0
en 1.996
Yˆ = 87,5 x + 900
Yˆ02 = 87,5 (− 2) + 900 = 725,0
X =0
en 2004
900 = 8b + 200
8b = 900 − 200
b=
700 = 87,5 8
b) Considerando que la variable “Y” corresponde a precios tenemos: b Yˆ = x + c 12
8,75 Yˆ = x + 200 = 7,29 + 200 12
(1º de Julio de 1996)
Yˆ = 7,29 x + 203,64
(15 de Julio de 1996)
Para Mayo de 1995
( x = −14)
YˆMayo/95 = 7,29(−14) + 203,64 = 101,58
Para Junio de 2003
( x = 83)
YˆJunio/03 = 7,29 (83) + 203,64 = 808,71
24
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Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
35. Solución: Años 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
b=
yi
1.280 1.350 1.480 1.450 1.520 1.610 1.620
Semi-suma
xi
xi
-1 0 1 2 3 4 5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1
Semi-promedio
4.110
4.110 = 1.370 3
4.750
4.750 = 1.583,33 3
1.583,33 − 1.370 = 53,325 4
x = 2.005 - 2.001 = 4
Yˆ = 53,325 x + 1.370
Yˆ = 53,325 x + 1.583,33
o
Yˆ12 = 53,325(11) + 1.370 = 1.956,575
;
X = 0 en 2.001;
Yˆ12 = 53,325(7) + 1.583,33 =1.956,605
;
X = 0 en 2.005
También se pueden obtener los parámetros b y c en la siguiente forma: Yˆ = bx + C
(1) ( 2)
1.370 = b(0) + c 1.583,33 = b(4 ) + c
1.583,33 = 4b + c
Multiplicamos por - 1 a la primera ecuación
- 1.370,00 = 0 - c 213,33 = 4b
b=
213,33 = 53,325 4
Reemplazamos el valor de b en la ecuación (1), para obtener el valor de c: (1)
1.370 = 53,325 (0 ) + c c = 1.370
25
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Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
Yˆ = 53,325 x + 1.370 ; X = 0 en 2.001 ; Yˆ12 = 53,325(11) + 1.370 = 1.956,575; X = 2.012 − 2.001 = 11
36. Solución: Años
Trimestre I
Ventas (mill. $) 810
II III IV I II III IV I II III IV
1.200 860 1.680 900 1.300 850 1.600 860 1.100 940 1.400
2004
2005
2006
(1) ( 2)
b=
1.610 − 1.090 = 86,67 6
(1) ( 2)
Semi-suma
Semi-promedio
xi
-2 1.090
5.450
8.050
1.610
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Yˆ = 86,67 x + 1.090 Yˆ = 86,67 x + 1.610 Yˆ = 86,67(15) + 1.090 = 2.390,05 Yˆ = 86,67 (9) + 1.610 = 2.390,03 (2° semestre/08)
Los gráficos pedidos en (a) y (b) se dejan al alumno para que los realice 37. Solución: a) La solución se le deja al estudiante Años 1991 1994 1997 2000 2003 2006
yi
200 360 460 580 720 800
Semi-promedio
xi
1.020
340
2.100
700
-3 0 3 6 9 12
Semi-suma
b=
700 − 340 = 40 9
26
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Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
b) (1) ( 2) (1) ( 2)
Yˆ = 40 x + 340 Yˆ = 40 x + 700 Yˆ10 = 40(16) + 340 = 980 Yˆ10 = 40(7 ) + 700 = 980
x = 2.010 − 1.994 = 16 años x = 2.010 − 2.003 = 7 años
38. Solución: Años 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 (1) ( 2) (1) ( 2)
yi
Semi-suma
200 380 520 600 640 720 580 660 940 800
xi
Semi-promedio
2.340
468
3.700
740
b=
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
740 − 468 = 54,40 2004 − 1999
Yˆ = 54,4 x + 468 Yˆ = 54,4 x + 740 Yˆ10 = 54,4 (11) + 468 = 1.066,4 Yˆ10 = 54,4 (6) + 740 = 1.066,4
x = 2.010 − 1.999 = 11 años x = 2.010 − 2.004 = 6 años
AJUSTE PARABÓLICO 39. Solución: Años 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Σ
yi
234 171 147 124 140 144 206 1.166
xi
xi2
xi3
xi4
xi yi
xi2 yi
0 1 2 3 4 5 6 21
0 1 4 9 16 25 36 91
0 1 8 27 64 125 216 441
0 1 16 81 256 625 1.296 2.275
0 171 294 372 560 720 1.236 3.353
0 171 588 1.116 2.240 3.600 7.416 15.131
27
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
(1)
Σyi = aΣxi2 + bΣxi + nc
(2)
Σxi yi = aΣxi3 + bΣxi2 + cΣxi
(3)
Σxi2 yi = aΣxi4 + bΣxi3 + cΣxi2
Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
Le damos valores a las ecuaciones anteriores: (1) (2) (3)
1.166 =
91a + 21b + 7c
3.353 = 441a + 91b + 21c 15.131 = 2.275a + 441b + 91c
Procedemos con las ecuaciones (1) y (2) Multiplicamos a la ecuación (1) por -3 (1) (2) (4)
− 3.498 = − 273a − 63b − 21c 3.353 = − 145 =
441a + 91b + 21c 168a + 28b
Ahora trabajamos con las ecuaciones (1) y (3) multiplicando la ecuación (1) por – 13 (1) (3) ( 5)
− 15.158 = − 1.183a − 273b − 91c 15.131 = − 27 =
2.275a + 441b + 91c 1.092a + 168b 0
Se despeja a trabajando con las ecuaciones (4) y (5) multiplicando la ecuación (4) por – 6 ( 4) (5)
a=
870 = − 1.008a − 168b − 27 = 1.092a + 168b 843 = 84a
843 = 10,03 84
Se reemplaza en la ecuación (4) − 145 = 168 (10,03) + 28b − 145 = 1.685,04 + 28b − 1.830,04 = 28b
28
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
b=
Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
− 1.830,04 = −65,36 28
Se reemplaza en la ecuación (1) 1.166 = 91 (10,03) + 21 ( −65,36) + 7c 1.166 = 912,73 − 1.372,56 + 7c 1.625,83 = 7c
c=
1.625,83 = 232,26 7
Yˆ10 = 10,03 (100) − 65,36 (10) + 232,26 = 581,66 ;
Yˆ = ax 2 + bx + c
x = 2.010 − 2.000 = 10
b) yi
Años 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Σ
234 171 147 124 140 144 206 1.166
xi
xi2
xi3
xi4
xi yi
xi2 yi
−3 −2 −1 0 1 2 3 0
9 4 1 0 1 4 9 28
−27 −8 −1 0 1 8 27 0
81 16 1 0 1 16 81 196
−702 −342 −147 0 140 288 618 −145
2.106 684 147 0 140 576 1.854 5.507
Como la Σxi = 0 trabajamos con las siguientes ecuaciones: Le damos valores a las ecuaciones: (1)
Σyi = aΣxi2 + nc
(2)
Σxi yi =
bΣxi2
(3)
Σxi2 yi = aΣxi4 + cΣxi2
Se tiene que: (2 )
b=
(1) (2) (3)
1.166 = 28a + 7c − 145 = 28b 5.507 = 196a + 28c
Σxi yi − 145 = = −5,18 28 Σxi2
Se procede con las ecuaciones (1) y (3) multiplicando la ecuación (1) por – 7
29
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
(1) (3)
Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
− 8.162 = −196a − 49c 5.507 = 196a + 28c − 2.655 =
⇒
c=
2.655 = 126,43 21
⇒
a=
280,99 = 10,03 28
− 21c
0
Reemplazamos en la ecuación (1) 1.166 = 28a + 7(126,43) 1.166 = 28a + 885,01 28a = 280,99
2 Yˆ15 = 10,03 (12) + (− 5,18)(12) + 126,43 = 1.508,59 ;
Yˆ = ax 2 + bx + c
x = 2.015 − 2.003 = 12
40. Solución:
(y
Yˆi
232,26 176,94 141,66 126,43 131,30 156,22 201,19 1.166,00
− Yˆi
)
1,74 -5,94 5,34 -2,43 8,70 -12,22 4,81 0
(y
i
− Yˆi
)
2
3,027 35,283 28,515 5,904 75,690 149,328 23,136 320,883
=
Sy
2
= 29.107,714 − 27.745,564 = 1.362,15
2 S yx
2 Σ yi − Yˆ 320,883 = = = 45,84 n 7
(
a) R 2 = 1 −
S yx
yi2
54.756 29.241 21.609 15.376 19.600 20.736 42.436 203.754
y=
1.166 = 166,57 7
Σy i2 203.754 2 − y2 = − (166,57 ) n 7
2
Sy
b)
i
)
VR VT
2 = S yx
R2 = 1 −
S yx
45,84 = 0,966 1.362,15
= 45,84 = 6,77
= 36,90
⇒
Sy
⇒
S
⇒
r = 0,982
⇒
S
2 yx
yx
= 45,84
= 6,77
30
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
c) Yˆ15 ± t
P = 95% ∝= 0,05
LS LI
S yx
n
Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
v = n −1 t = 2,447
1.514,85 6,77 Yˆ15 = 1.508,59 ± 2,447 = 1.502,33 7
41. Solución:
Años 1981 1989 1994 2001 2006 Σ
yi
xi
xi2
xi3
xi4
xi yi
xi2 yi
70 36 24 60 110 300
0 8 13 20 25 66
0 64 169 400 625 1.258
0 512 2.197 8.000 15.625 26.334
0 4.096 28.561 160.000 390.625 583.282
0 288 312 1.200 2.750 4.550
0 2.304 4.056 24.000 68.750 99.110
Observemos que Σxi ≠ 0 , por lo tanto debemos trabajar con un sistema de ecuaciones normales (1)
Σyi
= aΣxi2 + bΣxi + nc
(2)
Σxi yi = aΣxi3 + bΣxi2 + cΣxi
(3) Σxi2 yi = aΣxi4 + bΣxi3 + cΣxi2 Reemplazando se tiene que: (1) (2) (3)
300 = 1.258a + 66b + 5c 4.550 = 26.334a + 1.258b + 66c 99.110 = 583.282a + 26.334b + 1.258c
Eliminamos a c multiplicando a la ecuación (1) por -13,2 y se lo restamos a la ecuación (2) ( 2)
(1) ( 4)
4.550 =
26.334a + 1.258b + 66c
− 3.960 = − 16.605,6a − 871,2b − 66c 590 =
9.728,4a + 386,8b 0
Ahora se procede a multiplicar la ecuación (1) por -251,6 y se lo restamos a la ecuación (3) para eliminar a c.
31
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
(3) (1) (5)
99.110 =
Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
583.282a + 26.334b + 1.258c
− 75.480 = − 316.512,8a − 16.605,6b − 1.258c 23.630 =
266.769,2a + 9.728,4b +
0
Procedemos a eliminar b multiplicando a la ecuación (4) por -9.728,4 y a la ecuación (5) por 386,8
(5) (4)
9.140.084 = 103.186.326,60a + 3.762.945,12b 5.739.756 = − 94.641.766,56a − 3.762.945,12b 3.400.328 =
8.544.560,04a +
0
⇒ Siendo a =
3.400.328 = 0,3979 8.544.560,04
Conociendo a = 0,40 (aproximadamente), reemplazamos en la ecuación (4) para despejar b (4)
590 = 9.728,4 (0,3979) + 386,8b ⇒ Siendo: b =
590 − 9.728,4(0,3979) = c ≅ −8,4822 386,8
y reemplazamos en la ecuación (1) para despejar c
(1)
300 = 1.258 (0,3979) + 66 (− 8,4822) + 5c
Siendo c igual a:
c=
La ecuación queda así:
300 − 1.258 (0,3979) + 66 (8,4822) = 71,8534 5
ˆ = 0,3979x 2 − 8,4822x + 71,8534 Y
Si fuéramos a estimar el valor de Yˆ para el año 2011 se tendrá que: x = 2.011 – 1.981 = 30 Reemplazando se tendrá que: Yˆ11 = 0,3979 (900) – 8,4822(30) + 71,8534 = 175,50 aproximadamente.
32
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
42. Solución: Años 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Σ b=
a=
c=
yi
xi
xi2
56 42 70 82 41 63 110 84 548
−7 −5 −3 −1 1 3 5 7 0
49 25 9 1 1 9 25 49 168
Σxi yi Σxi2
( ) − (Σx )
nΣxi2 yi − Σxi2 (Σyi ) nΣxi4
2 2 i
Σyi − aΣxi2 n
xi3
−343 −125 −27 −1 1 27 125 343 0
xi4
2.401 625 81 1 1 81 625 2.401 6.216
xi yi
−392 −210 −210 −82 41 189 550 588 474
⇒
b=
474 = 2,82 168
⇒
a=
8(11.980) − (168)(548) = 0,1756 2 8(6.216) − (168)
⇒
c=
548 − 0,1756(168) = 64,81 8
Yˆ = 0,18x 2 + 2,82x + 64,81
xi2 yi
Yˆi
2.744 1.050 630 82 41 567 2.750 4.116 11.980
53,89 55,21 57,97 62,17 67,81 74,89 83,41 93,37 −
x = 2008 − 2003 = 5 × 2 = 10 + 1 = 11 semestres
( )
ˆ = 0,18 112 + 2,82(11) + 64,81 = 117,61 Y 08
Yˆ08 = 117,61
La varianza residual, el error estándar y el coeficiente de correlación parabólico serán iguales a:
S yx
2
=
Σyi2 − cΣyi − bΣxi yi − aΣxi2 yi n
2
=
41.330 − 64,81(548) − 2,82(474) − 0,18(11.980) = 290,13 8
2
=
41.330 − 8(68,5) = 474 8
S yx
2
Sy
y=
548 = 68,5 8
33
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
S yx
Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
= 290,13 = 17,03
R2 = 1 −
290,13 = 0,38 474
r = 0,62
⇒
No se recomienda la aplicación del ajuste parabólico para esta serie.
43. Solución: a) Años 1991 1994 1997 2000 2003 2006 Σ
yi
xi
xi2
xi3
xi4
xi yi
xi2 yi
20 36 42 62 84 74 318
−15 −9 −3 3 9 15 0
225 81 9 9 81 225 630
−3.375 −729 −27 27 729 3.375 0
50.625 6.561 81 81 6.561 50.625 114.534
−300 −324 −126 186 756 1.110 1.302
4.500 2.916 378 558 6.804 16.650 31.806
Trabajamos con Σxi = 0 , al 1º de Enero del 99 con el fin de simplificar operaciones, pero Usted puede trabajar con xi = 0 ; 3; 6; 9; 15 y los resultados finales son exactamente iguales. b=
Σxi yi Σxi2
c=
318 + 0,0327(630) = 56,43 6
b=
1.302 = 2,067 630
a=
6 (31.806) − (630)(318) = −0,0327 2 6 (114.534) − (630)
x = 2.008 − 1.999 = 9 años x = 9 (2) = 18 + 1 = 19 semestres
Yˆ = −0,0327 x2 + 2,067 x + 56,43
( )
Yˆ08 = − 0,0327 192 + 2,067 (19) + 56,43 ≅ 83,90 (aproximadamente)
34
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
b) yi
Años 1991 1994 1997 2000 2003 2006
b=
20 36 42 62 84 74
Semi-suma
Semi-promedio
xi
98
32,67
32,67
220
73,33
73,33
73,33 − 32,67 = 4,518 2003 − 1994
(1) (2)
x = 2.008 − 1.994 = 14 años
(1) (2)
Yˆ = 4,518x + 32,67 Yˆ = 4,518x + 73,33
ó
Yˆ08 = 4,518(14) + 32,67 = 95,92 Yˆ = 4,518(5) + 73,33 = 95,92 08
x = 2.008 − 2.003 = 5 años
44. Solución: Yˆ11 = 0,311x 2 + 13,188 x + 351,1
( )
Yˆ11 = 0,311 212 + 13,188(21) + 351,1 = 765,20 x = 2011 − 2001 = 10(2) + 1 = 21 semestres
45. Solución: b=0
a=
5 (48) − (10) (20) = 0,56 2 5 (34) − (10)
c=
20 − 0,56 (10) = 2,88 5
( )
Yˆ = 0,56 202 + 0 (20) + 2,88 = 226,88 231,23 3,51 Yˆ = 226,88 ± 2,776 = 226,88 ± 4,35 = 5 222,53
35
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
b)
2
S yx
= VR =
Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
146 − 2,88 (20) − 0 (0 ) − 0,56 (48) = 12,304 ; S yx = 3,51 5 2
20 146 − 5 5 2 Sy = = 13,2 5 R2 = 1 −
12,30 = 0,068 13,2
r = 0,068 = 0,26
c) b = 0 c=
20 − 0 (0) =4 5
Yˆ = 0 (20) + 4 = 4 (totalmente diferente)
46. Solución: Años 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Σ a) b =
yi
20 26 42 58 78 63 42 36 14 379 11 = 0,18 60
xi
xi2
xi3
xi4
xi yi
xi2 yi
yi2
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 0
16 9 4 1 0 1 4 9 16 60
−64 −27 −8 −1 0 1 8 27 64 0
256 81 16 1 0 1 16 81 256 708
−80 −78 −84 −58 0 63 84 108 56 11
320 234 168 58 0 63 168 324 224 1.559
400 676 1.764 3.364 6.084 3.969 1.764 1.296 196 19.513
a=
9 (1.559) − (60)(379) = − 3,14 2 9 (708) − (60)
Yˆ = −3,14(64) + 0,18(8) + 63,04 = −136,48
b)
379 + 3,14(60) = 63,04 9
x = 2.010 − 2.002 = 8 años
19.513 − 63,04 (379) − 0,18 (11) + 3,14 (1.559) = 57,12 9
S yx
= VR =
S yx
= 57,12 = 7,56
2
c=
36
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
− 130,52 7,56 Yˆ = −136,48 ± 2,365 = − 136,48 ± 5,96 = 9 − 142,44
c) r 2 = R 2 = 1 −
57,12 = 0,80 394,76
r 2 = 0,80
2
379 19.513 − 9 2 9 = 394,76 (varianza) Sy = 9
Se deja la gráfica para que el estudiante la elabore
47. Solución: Años 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Σ
yi
36 48 72 84 63 52 48 36 56 72 567
xi
xi2
xi3
xi4
xi yi
xi2 yi
yi2
−9 −7 −5 −3 −1 1 3 5 7 9 0
81 49 25 9 1 1 9 25 49 81 330
−729 −343 −125 −27 −1 1 27 125 343 729 0
6.561 2.401 625 9 1 1 9 625 2.401 6.561 19.194
−324 −336 −360 −252 −63 52 144 180 392 648 81
2.916 2.352 1.800 756 63 52 432 900 2.744 5.832 17.847
1.296 2.304 5.184 7.056 3.969 2.704 2.304 1.296 3.136 5.184 34.433
37
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
a) b =
81 = 0,245 ; 330
a=
Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
10 (17.847 ) − (330) (567 ) 10 (19.194) − (330)
2
= −0,104 ;
Yˆ11 = −0,104 (19 2 ) + 0,245 (19) + 58,132 = 25,24
c=
547 + 0,104 (330) = 58,132 10
x = 2.011 − 2.002 = 9 años x = 9 × 2 = 18 + 1 = 19 semestres
18,19 38,5 Yˆ11 = 25,24 ± 2,306 = 25,24 ± 1326 = 11,98 10
b)
34.433 − 58,132 (567 ) − 0,245 (81) + 0,104 (17.847 ) = 330.84 10
2
= VR =
S xy
2
= 330,84
S yx
= 330,84 = 18,19
S yx
2
567 34.433 − 10 10 = 228,41 2 Sy = 10 R2 =1−
330,84 = 0,45 228,41
No hay correlación, por lo tanto no es bueno hacer este ajuste parabólico, se deberá utilizar otra línea.
38
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Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
48. Solución: Meses Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Σ
yi
13 17 38 50 40 20 10 188
xi
xi2
xi3
xi4
−3 −2 −1 0 1 2 3 0
9 4 1 0 1 4 9 28
−27 −8 −1 0 1 8 27 0
81 16 1 0 1 16 81 196
a) b =
−1 = −0,036 ; 28
a=
xi yi
−39 −34 −38 0 40 40 30 −1
7 (433) − (28)(188) = −3,7976 ; 2 7 (196) − (28)
c=
xi2 yi
yi2
117 68 38 0 40 80 90 433
169 289 1.444 2.500 1.600 400 100 6.502
188 + 3,7976 (28) = 42,05 7
YˆDic. = −3,7976 (64) − 0,036 (8) + 42,05 = − 201,28
b)
2
S yx
=
6.502 − 42,05 (188) + 0,036 (− 1) + 3,7976 (433) = 34,42 ⇒ S yx = 5,87 7
− 195,58 5,87 YˆDic. = −201,28 ± 2,571 = − 201,28 ± 5,70 = 7 − 206,98
c) R 2 = 1 −
34,42 = 0,83 207,55
r = 0,83 = 0,91
2
Sy
= 207,55
r = 0,91
39
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Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
AJUSTE LOGARÍTMICO 49. Solución: Años 1951 1964 1974 1994 2006 Σ
xi
log yi
xi log yi
xi2
0 13 23 43 55 134
3,50799 3,56996 3,63215 3,70105 3,77327 18,18442
0 46,40948 83,53945 159,14515 207,52985 496,62393
0 169 529 1.849 3.025 5.572
yi
3.221 3.715 4.287 5.024 5.933 22.180
a) La ecuación general es Y = c b x o log Y = log c + x log b . Para determinar los parámetros b y c procedemos utilizando el método de los mínimos Cuadrados, cuyas ecuaciones son:
(1) (2)
+ (Σxi ) log b
Σ log yi = n log c
( )
Σxi log y i = (Σxi ) log c + Σxi2 log b
Se le dan valores a las ecuaciones (1) (2)
18,18442 = 5 log c + 134 log b 496,62393 = 134 log c + 5.572 log b
Determinar el valor de b multiplicando la ecuación (1) por 134 y la ecuación (2) por -5 (1) (2)
2.436,7122 = 670 log c + 17.956 log b − 2.483,1196 = − 670 log c − 27.860 log b − 46,4074 =
− 9.904 log b
0
⇒
log b =
46,4074 = 0,00468 9.904
Reemplazamos en la ecuación (1) 18,18442 = 5 log c + 134 (0,00468) 18,18442 = 5 log c + 0,62712
log Yˆ = log c + x log b
⇒
log c =
17,5573 = 3,51146 5
log Yˆ2010 = 3,51146 + 59(0,00468) = 3,78758
x = 2.010 −1.951 = 59 años
⇒ Yˆ2010 = 6.131,69
Yˆ10 = antilog de 3,78758
40
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Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
b) La tasa de crecimiento se simboliza por r. log b = 0,00468 →
b =1+ r
b = 1 + r = 1,0108 →
r = 1,08 % →
r = 10,8 %o
b = anti log de 0,00468 = 1,0108
c) Yˆi
Años 1951 1964 1974 1994 2006 Σ
3.248 3.736 4.160 5.162 5.873 22.179
y = 4.436
d)
2
Sy
=
2 S yx
y i − Yˆi
(y
-27 -21 127 -138 60 1
729 441 16.129 19.044 3.600 39.943
(
Σ yi − Yˆ = n
)
2
=
i
− Yˆi
)
y i2
2
10.373.841 13.801.225 18.378.369 25.240.576 35.200.489 102.995.500
39.943 = 7.988,6 5
log Yˆi
3,51146 3,57230 3,61910 3,71270 3,76886 18,1842 S y x = 89,38
Σy i2 102.995.500 − y2 = − 19.678.096 = 921.004 n 5
Nota: lo normal es calcular la varianza residual con fórmulas donde se emplean logaritmos, pero se hizo de la anterior manera, a sabiendas de haber una ligera diferencia, con el único fin de agilizar operaciones. R2 = 1 −
VR VT
R2 = 1 −
7.988,6 = 0,9913 (coeficiente de correlación al cuadrado) 921.004
e) log Yˆ2012 = 3,5114 + (61)0,00468 ⇒ log Yˆ2012 = 3,5114 + 0,28548 = 3,79688 Yˆ2012 = 6.264,41 S yx
Yˆ12 = antilog de 3,79688 = 6.264,41
= 7.988,6 = 89,378
Probabilidad 95%
Yˆ2012 ± t
S yx
n
υ = 5 −1 = 4
∝ = 0,05
= 6.264,41 ± 2,776
(89,378) = 6.264,41 ± 110,96 5
t = 2,776
6.375,37 6.153,45
41
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
Nota: el procedimiento que se debe seguir, siendo un poco más complejo, para calcular la varianza residual y el coeficiente angular, es el siguiente: 2
S x log y
=
Σ(log yi ) − log cΣ log yi − log bΣxi log yi n
(
Σ log yi − log Yˆi n
2
2
S x log y
=
)
2
El coeficiente de correlación se debe calcular así: 2
R2 = 1 −
S x log y
2
Donde:
2 Slog y
Slogy
=
Σ(log yi )2 − nlog y n
2
log y =
(Varianza)
Σ log y i n
(Media)
50. Solución: P96 = 12
P06 = 21 (en millones)
a) P06 = P96 (1 + r )10
a) r = ? b)
b) P12 = ? P12 = P06 (1 + r )
2
log P06 = log P96 + 10 log (1 + r )
log P12 = log P06 + 6 log(1 + r )
log 21 = log12 + 10 log (1 + r )
log P12 = log 21 + 6 log(1 + r )
1,32222 = 1,07918 + 10 log (1 + r )
log P12 = 1,32222 + 6(0,024304)
1,32222 − 1,07918 = log (1 + r ) 10
log P12 = 1,32222 + 0,145824
log (1 + r ) =
log P12 = 1,468044
0,24304 = 0,024304 10
(1 + r ) = anti log .0,024304
P12 = 29,38 millones de habitantes
(1 + r ) = 1,057 r = 1,057 − 1 r = 0,057 r = 5,7%
o
r = 57 %o
(Tasa de crecimiento)
42
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Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
51. Solución: M (1 + r ) = 2 M 4
log M + 4 log (1 + r ) = log 2M 4 log (1 + r ) = 0,301030
log (1 + r ) =
0,301030 = 0,075258 4
1 + r = 1,189 r = 0,189 r = 18,9%
r = 189 %o (Tasa de crecimiento)
52. Solución: c (1 + r ) = 2c n
log c + n log (1 + r ) = log 2c
→
n log (1 + r ) = 0,301030 n (0,029384) = 0,301030
⇒
n=
0,301030 = 10,24 años 0,029384
n = 10 años, 2 meses y 26 días
43
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Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
53. Solución: xi
xi2
log yi
xi log yi
−3 −2 −1 0 1 2 3 0
9 4 1 0 1 4 9 28
2,00000 2,00860 2,02160 2,03862 2,05346 2,06633 2,08027 14,26888
−6,00000 −4,01720 −2,02160 −−−− 2,05346 4,13266 6,24081 0,38813
Yˆ = cb x
log yˆ i = log c + x log b
a) Como Σxi = 0 , nos queda: log c =
log b =
Σ log yi n
=
14,26888 = 2,03841 7
Σ xi log y i 0,38813 = = 0,01386 Σ xi2 28
⇒
c = 109,24
⇒
b = 1,0324
La función será: Yˆ = 109,24 (1,0324)x ; también log Yˆ = 2,03841 + x (0,01386) b) La tasa de crecimiento será: b =1+r r = b − 1 = 1,0324 − 1 = 0,0324
r = 3,24%
r = 32,4 %o (Tasa de crecimiento)
54. Solución: Si en el 2.000 el valor de Yˆ es 120 y en el 2.006 el valor es de 460, se pide con esos dos períodos, determinar la tasa de crecimiento geométrico, además estimar el valor de Yˆ para el 2.010.
44
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
log (1 + r ) =
Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
log 460 − log 120 = 0,0972628 2.006 − 2.000
log Yˆ2010 = 0,0972628 (4 ) + log 460 = 3,051829832 Yˆ10 = antilog de 3,051829832 = 1.126,76
Yˆ10 = 1.126,76
1 + r = 1 + 0,251015 r = 25,10%
r = 251%o
o
(Tasa de crecimiento)
55. Solución: a) Años 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
Crecimiento % ---2,0 3,6 4,2 3,8 3,4 3,5
x 0 1 2 3 4 5 6
log b = 0,031350108 b = 1 + r = anti log (0,031350108 ) 1 + r = 1 + 0,0748556 r = 0,07486 r = 7,49 % (Tasa de crecimiento)
b) Trabajando con el índice 2.000 – 2.006 Años 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
log b =
yi
xi
100,00 102,00 105,60 110,10 114,30 118,20 122,30
-3 -2 -1 0 1 2 3
0,4032138 = 0,0144005 ; 28
n=7
Σx i = 0
Σxi2 = 28
Σ log y i = 14,28498 Σxi log y i = 0,4032138 Σ(log yi ) = 29,157388 2
log c =
14,28498 = 2,040711 7
45
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Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
log Yˆ08 = 0,0144005 (5) + 2,040711 = 2,1127135 Yˆ08 = antilog de 2,1127135 = 129,63
Yˆ08 = 129,63
56. Solución: a) 150.000 = 50.000 (1,0175)n n=
log 150.000 − log 50.000 = 63,33 meses log (1,0175)
n=
63,33 = 5,28 = 5 años, 3 meses, 11 días 12
b) C f = 50.000 (1 + 0,0175)72 ⇒ log C f = log 50.000 + 72 log (1,0175) 6 años × 12 = 72 meses ;
log C f = 5,241448093
C f = anti log (5,241448093) = 174.360,49
C f = $174.360,49
57. Solución: a) log b =
15 (583,45830) − (105)(80,33100) = 0,0755046 2 15(1.015) − (105)
b = anti log (0,0755046) = 1,18988
⇒
r = 0,18988
r = 18,99 % r = 189,99 %o (Tasa de crecimiento)
b) log c =
80,33100 = 5,35540 ; 15
x = 2008 − 1991 = 17
log Yˆ08 = 0,0755046 (17 ) + 5,35540 = 6,6389782
Yˆ08 = 4.354.900,13
Yˆ08 = anti log(6,6389782) = 4.354.900,13
46
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Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
58. Solución: Años 2001 2002 2003 2004 2005 2006
yi
xi
150 140 180 220 190 380
0 1 2 3 4 5
n=6
Σxi = 15
Σ log yi = 13,77845168 Σ(log y i ) 2 = 31,76243818 Σxi log yi = 35,69787348
log Yˆ11 = 0,071528244 (10) + 2,117588002 = 2,8328704 Yˆ11 = antilog de 2,8328704 = 680,56
Yˆ11 = 680,56
r = 0,1790 (Tasa de crecimiento anual)
r = 17,90%
Σxi = 15
b) n = 6 b=
Σxi2 = 55
Σxi2 = 55
Σyi = 1.260
6 (3.820) − (15)(1.260) = 38,285 ; 2 6(55) − (15)
Yˆ11 = 497,14
x = 2.011 − 2.001 = 10 años
r = 179,0 %o Σyi xi = 3.820
c=
Σyi2 = 303.400
1.260 − 38,285 (15) = 114,29 6
Yˆ11 = 38,285 (10) + 114,29 = 497,14 r=
6(3.820) − (15)(1.260)
[6(55) − (15) ] [6(303.400) − (1.260) ] 2
= 0,41 (Coeficiente de correlación)
2
59. Solución: a) log b =
1,708451 = 0,028474 → b = 1,06776 60
1 + r = 1 + 0,06776 ⇒ r = 0,06776 = 6,78 % (Tasa de crecimiento) r = 6,78%
o
r = 67,8%
47
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b) log c =
Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
28,744073 = 3,1937859 9
log Yˆ10 = 0,028474(8) + 3,1937859 = 3,4215779 Yˆ10 = anti log (3,4215779) ⇒
Yˆ10 = 2.639,84
60. Solución: 2.580.000 = Ci (1,248)
4
log 2.580.000 = log C i + 4 log (1,248) 6,4116197 = log Ci + 0,3848583
log Ci = 6,4116197 − 0,3848583 = 6,0267614 log C i = 6,0267614 ⇒
Ci = $1.063.558,54
61. Solución: a) 450.000 = 150.000 (1 + r )8 log 450.000 − log 150.000 = log (1 + r ) = 0,059640156 8 1 + r = anti log (0,059640156) = 1,1472 ⇒ r = 0,1472
r = 14,72 % anual (Tasa de crecimiento)
b) C f = 150.000 (1,1472)6 log C f = log150.000 + 6 log (1,1472) log C f = 5,533926089 ⇒
Capital final = $ 341.921,25
c) 450.000 = 150.000(1 + r )
96
48
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
log 450.000 − log150.000 = log (1 + r ) = 0,0049700 96 1 + r = anti log (0,0049700) = 1,0115
r = 1,15 % mensual (Tasa de crecimiento)
62. Solución: log b =
14 (129,55270) − (91)(18,43915) = 0,0426295 2 14(819) − (91)
log c =
18,43915 − 0,0426295 (91) = 1,039990 14
a) log Yˆ08 = 0,0426295 (16) + 1,039990 = 1,722062 x = 2008 − 1992 = 16 años Yˆ08 = anti log (1,722062) = 52,73
b) r =
Yˆ08 = 52,73
14 (129,55270) − (91)(18,43915)
[14 (819) − (91) ] [14 (36,67826) − (18,43915) ] 2
= 0,1826 (No hay correlación)
2
EJERCICIOS MISCELÁNEOS
63. Solución: ˆ = 9,885 (10) + 56,95 = 155,8 Y
La respuesta es la (e); b=
6(1.398) - (15)(490) = 9,885 6(55) − (15) 2
c=
x = 2.011 – 2.001 = 10
490 - 9,885(15) = 56,95 6
64. Solución: b=
75 - 15 = 12 2006 − 2001
La respuesta corresponde a la pregunta (a)
49
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
65. Solución: Años Meses 2004 2005
2006
Oct. Ene. Abr. Jul. Oct. Ene. Abr. Jul. Oct.
yi
75 92 63 107 94 130 68 162 134
(a)
(b)
xi
xi
x12
x13
x14
x1 y i
x12 y i
0 3 6 9 12 15 18 21 24
-12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12
144 81 36 9 0 9 36 81 144
-1.728 -729 -216 -27 0 27 216 729 1.728
20.736 6.561 1.296 81 0 81 1.296 6.561 20.736
-900 -828 -378 -321 0 390 408 1.458 1.608
10.800 7.452 2.268 963 0 1.170 2.448 13.122 19.296
∑ y i = 925 b=
2 ∑ y i = 104.067
∑ x i y i = 12.537
9(12.537) - (108)(925) = 2,66 9(1.836) - (108)2
c=
ˆ Y enero/08 = 2,66(39) + 70,84 = 174,63 b) ∑ x i = 0
∑ x 3i = 0
∑ x i2 = 540 b=
c=
2 ∑ x i = 1.836
∑ x i = 108
a) n = 9
1.437 = 2,66 540
925 - 2,66(108) = 70,84 9
Yˆenero / 08 = 174,63
∑ x i y i = 1.437
∑ x i4 = 57.348 a=
∑ x i2 y i = 57.519
∑ y i = 925
n=9
9(57.519) − (540)(925) = 0,081 9(57.348) − (540) 2
925 - 0,081(540) = 97,92 9
Yˆ = 0,081x 2 + 2,66 x + 97,92 ;
Yˆsep/ 05 = 0,081(−12 ) + 2 ,66(−1) + 97,92 = 95,34
Yˆdic/ 06 = 0,081(14 2 ) + 2 ,66(14) + 97,92 = 151,04
66. Solución: se deja al estudiante el desarrollo de este ejercicio
50
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Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
67. Solución:
Años
Meses
yi
Oct. Ene.
75 92
Abr.
63
Jul. Oct. Ene. Abr.
107 94 130 68
Jul.
162
Oct.
134
2004 2005
2006
b=
121,33 - 86,2 = 2,34 15
semisuma
semipromedio
Yˆi
xi
-6 -3
431
431 = 86,2 5
86,2
0 3 6 9 12
364
364 = 121,33 3
121,33
15 18
c = 86,2
Yˆsep/ 05 = 2,34(5) + 86,2 = 97 ,9
Yˆdic/ 06 = 2,34(20) + 86,2 = 133,04
Yˆsep / 05 = 97,9
Yˆdic / 06 = 133,04
68. Solución:
a) 600 = 300(1 + 0,02) n log 600 − log 300 = n = 35 meses (tiempo para duplicarse) log(1,02)
b) 600 = 300(1 + 0,32) n log 600 − log 300 = n = 2,4966 años (tiempo para duplicarse) log(1,32)
n = 2 años, 5meses, 29 días
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Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
69. Solución: a) Tasa de crecimiento aritmético b=
516 - 110 = 67,67crecimiento anual 2.006 - 2.000
b) log 480 = log 120 + 6 log (1 + r) log 480 − log120 = log(1 + r) = 0,10034 6
1 + r = antilog 0,10034 = 1,25991 r = 0,25991 = 25,991% = 259,91%o (Tasa de crecimiento geométrico) r = 25,99% 70. Solución: ˆ = 480(1,25991) 4 ⇒ log Y ˆ = log 480 + 4 log(1,25991) = 3,082599 Y 10 10
x = 2.010 – 2.006 = 4 ˆ = anti log 3,082599 = 1.209,48 Y 10 ˆ = 1.209,48 Y 10
71. Solución: Se deja que el alumno lo investigue.
72. Solución: r=1 r = 0,90 r = 0,20 r = -1
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
correlación perfecta, es una recta ascendente buena correlación, recta ascendente no hay correlación correlación perfecta, recta descendente
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Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
73. Solución: Es un resultado mal calculado, ya que − 1 ≤ r ≤ 1 , por lo tanto no puede ser mayor a 1
74. Solución: Años
yi
xi
x i2
x i yi
x 3i
x i4
x i2 y i
y i2
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
11,3 2,5 8,3 7,6 18,9 12,6 18,3 79,5
0 1 2 3 4 5 6 21
0 1 4 9 16 25 36 91
0 2,5 16,6 22,8 75,6 63,0 109,8 290,3
0 1 8 27 64 125 216 441
0 1 16 81 256 625 1.296 2.275
0 2,5 33,2 68,4 302,4 315,0 658,8 1.380,3
127,69 6,25 68,89 57,76 357,21 158,76 334,89 1.111,45
∑
a) La gráfica con los datos originales, así con la rectilínea y parabólica (estimadas) que se pide en (b) y (c) se deja al estudiante su representación. n ∑ x i y i - (∑ x i )(∑ y i ) ⇒ n ∑ x i2 − (∑ x i ) 2 ∑ yi - b ∑ x i c) c = ⇒ n
b) b =
Yˆ = bx + c
⇒
b=
7(290,30) − (21)(79,5) = 1,85 7(91) − ( 21) 2
c=
79,5 − 1,85(21) = 5,81 7
Yˆ = 1,85 x + 5,81
Se toman dos valores de x i , podrían ser: 2 y 5 y con ellos se traza una recta tal como se solicita. c) 1 ) ∑ yi
= a ∑ xi2 + b ∑ xi + nc
2 ) ∑ y i xi = a ∑ xi3 + b ∑ xi2 + c ∑ xi
Yˆ = ax 2 + bx + c
3 ) ∑ yi xi2 = a ∑ xi4 + b ∑ xi3 + c ∑ xi2
reemplazando en las tres ecuaciones, se tendrá que: 1) 79,50 = 91a + 21b + 7c 2) 290,30 = 441a + 91b + 21c 3) 1.380,30 = 2.275a + 441b + 91c
trabajamos con las ecuaciones (1) y (2); multiplicamos la (1) por -3 y se la restamos a la (2).
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Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
(2) 290,30 = 441a + 91b + 21c (1) -238,50 = –273a – 63b – 21c (4) 51,8 = 168a + 28b
Ahora trabajamos con las ecuaciones (1) y (3); multiplicando a la (1) por -13
(3) 1.380,30 = 2.275a + 441b + 91c (1) -1.033,50 = –1.183a – 273b – 91c (5) 346,80 = 1.092a + 168b
Se trabaja con las ecuaciones (4) y (5); multiplicamos la ecuación (4) por -6
(5) 346,80 = 1.092a + 168b (4)-310,80 = –1.008a – 168b 36,00 =
84a
⇒
a=
36,00 = 0,4286 84
Reemplazamos en la ecuación (4) (4) 51,80 = 168 (0,4286) + 28b b=
51,80 − 168(0,4286) = −0,7216 28
Reemplazamos en la ecuación (1) 79,50 = 0,4286 (91) – 0,7216(21) + 7c c=
79,50 − 0,4286(91) + 0,7216(21) = 7,9501; ⇒ c = 7,9501 7 a = 0,4280
c = 7,9501
b = −0,7216
La ecuación de la parábola será: Yˆ = 0,4286 x 2 − 0,7216 x + 7 ,9501
se le da a x varios valores (ojalá desde 0 hasta 6) para estimar Yˆ y dibujar la gráfica respectiva.
75. Solución: Recta
s yx2 =
s 2yx =
∑ yi2 − c ∑ yi − b ∑ yi xi n
1.111,45 − 5,81(79,5) − 1,85(290,3) = 16,07 7
(Utilizamos los datos del ejercicio 74)
⇒
s yx = 4,01
54
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Yˆ = 1,85(8) + 5,81 = 20,61
Yˆ = 20,61
x = 2.008 – 2.000 = 8
υ = n − 2 = 5;
Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
α = 0,05
ˆ = 20,61 ± 2,571 4,01 = 20,61 ± 3,90 = 24,51 Y 7 16,71 S yx2 =
Parabólico
1.111,45 − 7,9501(79,5) + 0,7216 (290,3) − 0,4286 (1.380,3) = 13,90 7
s yx = 13,90 = 3,93
Yˆ = 29,71
ˆ = 0,4286 (64) - 1,7216 (8) + 7,9501 = 29,61 Y ˆ = 29,61 ± 2,571 3,73 = 29,61 ± 3,62 = 33,23 Y 7 25,99
d) Recta r=
r=
[n ∑ x
n ∑ x i y i − (∑ x i )(∑ y i ) 2 i
− (∑ x i ) 2
] [n ∑ y
2 i
− (∑ y i ) 2
]
7(290,30) − ( 21)(79,5)
=
[7(91) − (21) ][7(1.111,45 − (79,5) ] 2
2
362,6 = 0,68 534,92
r = 0,68
Parabólico R2 = 1−
2 s yx
s y2
∑ y i2 − n (∑ y i / n ) n
2
s 2y =
1.111,45 − 7(79,5 / 7) 2 = 29,79 7 13,90 R 2 =1− = 0,5334 ⇒ 29,79 s y2 =
r = 0,73
Según la teoría, se acepta como mejor ajuste, aquel que tenga un coeficiente de correlación más cercano a 1. En este caso sería el parabólico, donde r = 0,73, para el rectilíneo es de 0,68.
55
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Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica
76. Solución: Años 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
yi
11,3 2,5 8,3 7,6 18,9 12,6 18,3
n=7
∑(log yi ) 2 = 7,32182
∑ yi = 79,5
log b = 0,08537
∑ xi = 21
log c = 0,728206
∑ xi2 = 91 ∑ log y i = 6,89019
∑ xi log yi = 23,06094
a) Yˆ = cb x
ˆ = logc + x log b log Y
⇒
ˆ = 0,728206 + 8(0,08537) = 1,411166 log Y
ˆ = antilog 1,411166 = 25,77 Y log b = 0,08537 ⇒ b = antilog 0,08537 = 1,2177
r = 0,2177 ⇒ 21,77% b) r = R =
[n ∑ x
⇒ 217,7%o (tasa de crecimiento)
n ∑ x i logy i − (∑ x i )(∑ log y i ) 2 i
− (∑ x i ) 2
] [n ∑(log y ) i
2
− (∑ log y i )
]
r = 0,6148
De acuerdo con la teoría, es el menos indicado es el logarítmico, ya que es el menor de los tres coeficientes de correlación. r = 0,74 r = 0,66 r = 0,61
→ → →
parabólico rectilíneo logarítmico
77. Solución: se deja al estudiante su desarrollo.
78. Solución: se deja al estudiante su desarrollo.
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Cap.12 Índices simples, ponderados encadenamiento y aplicaciones
12 Índices simples, ponderados encadenamiento y aplicaciones EJERCICIOS RESUELTOS
1. Solución: Meses
Producción
Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre
185 178 220 179 199 175 216 207 199 208 218 213
a) Índice Enero = 100
XE 185 × 100 = × 100 = 100 XE 185 X 178 I EF = F × 100 = × 100 = 96,22 XE 185
100,00 96,22 118,92 96,76 107,57 94,59 116,76 111,89 107,57 112,43 117,84 115,14
b) Índice Mayo = 100
92,96 89,45 110,55 89,95 100,00 87,94 108,54 104,02 100,00 104,52 109,55 107,04
c) Base Variable
100,00 96,22 123,60 81,36 111,17 87,94 123,43 95,83 96,14 104,52 104,81 97,71
a) I EE =
I EM =
220 × 100 = 118,92 etc. 185
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XE 185 × 100 = × 100 = 92,96 XM 199 X 178 = F × 100 = × 100 = 89,45 XM 199
Cap.12 Índices simples, ponderados encadenamiento y aplicaciones
b) I ME = I MF
I MM =
178 × 100 = 96,22 185 179 = × 100 = 81,36 220
c) I EF = I MA
220 × 100 = 110,55 etc. 199
220 × 100 = 123,60 178 199 = × 100 = 111,17 etc. 179
I FM = I AM
2. Solución: Productos
A B C D E F G H I Totales 06 a) I 00 =
Cosecha (cientos de Toneladas) 2000 2006
11.158 1.196 1.111 1.460 859 1.106 41 6.686 204 23.821
13.044 1.357 1.326 1.840 997 870 659 7.978 202 28.273
X 06 × 100 = 28.273 × 100 = 118,69 X 00 23.821
Relativos
Índices
1,1690 1,1346 1,1935 1,2602 1,1606 0,7866 16,0731 1,1932 0,9901 24,9609
116,90 113,46 119,35 126,02 116,06 78,66 1.607,31 119,32 99,01 2.496,09
b) I 0006 =
06 I 00 =
ΣR0006 24,9609 = × 100 = 277,34 n 9 06 ΣI 00 2.496,09 = = 277,34 9 9
2
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Cap.12 Índices simples, ponderados encadenamiento y aplicaciones
3. Solución: Años
Ventas (Miles Mill. $)
1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
120 140 180 180 190 150 120 160 200 240 350
Índice 1996 = 100
100,00 116,67 150,00 150,00 158,33 125,00 100,00 133,33 166,67 200,00 291,67
96 b) I 99 = 120 × 100 = 66,67
Índice 1999 = 100
a) 96 I 96 = 120 × 100 = 100 120
66,67 77,78 100,00 100,00 105,56 83,33 66,67 88,89 111,11 133,33 194,44
97 I 96 = 140 × 100 = 116,67 120 98 I 96 = 180 × 100 = 150,00 120 99 I 96 = 180 × 100 = 150,00 etc 120
97 I 99 = 140 × 100 = 77,78 etc. 180
180
4. Solución:
(160)P J
F J = LJ × P J
FJ =
200 = 160 × P J
40.000 = 160 × P J
PJ =
40.000 = 250 160
5. Solución: 05 I 04 = 120
I 006 = 174
05 I 005 = I 004 × I 04
06 I 05 = 118
06 I 006 = I 005 × I 05
147,45 = I 004 × 1,20
I 004 = ?
174 = I 005 × 1,18
I 004 =
I 005 = ?
174 = I 05 = 147,45 0 1,18
I o04 = 122,87
147,45 = 122,87 1,20
I o05 = 147,45
3
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Cap.12 Índices simples, ponderados encadenamiento y aplicaciones
6. Solución: Años Índice (base variable)
2003
2004
2005
2006
100,00
107,83
108,12
104,26
06 03 04 05 06 I 03 = I 03 × I 03 × I 04 × I 05 06 I 03 = 100 × 1,0783 × 1,0812 × 1,0426 = 121,55
(Se trabaja con los relativos en vez de los índices)
121,55 ≠ 119 Falso
7. Solución: Años
l
q
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
100,00 112,14 115,26 110,04 105,00 110,82 120,55
2,86 3,20 3,29 3,14 3,00 3,17 3,44
105 → 3 100 → X
K=
X=
3(100) = 2,86 para el 2000 105
3 = 0,02857 105,00
K (105,00) = 0,02857(105,00) = 3
8. Solución: 06 I 05 = 71
06 I 03 = 150
05 150 = I 03 × 0,71
05 I 03 =?
06 05 06 I 03 = I 03 × I 05
05 I 03 =
150 = 211,26 0,71
4
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Cap.12 Índices simples, ponderados encadenamiento y aplicaciones
9. Solución: L=
2 P 3
⇒
F = L×P =
L=
2 (130) = 86,66 3
(1,30)(0,8666)(100) =
1,1265 (100 ) = 106,14
F = 106,14
10. Solución: (1) e)
Superiores o igual a un 20% 150 × 100 = 120 125 120 − 100 = 20 %
(2) d)
25 = 0,10 = 10% 250
(3) c) Desarrollo Vivienda Préstamos Autorizados e)
175 25 200
200 × 100 = 0,5479 ≅ 54,79 % 365
11. Solución: El costo de construcción de casas de habitación en el 2006 asciende a $69.791.165,62 108,44 → 6'200.000
x=
6'200.000(1.220,67) = 69.791.165,62 108,44
1.220,67 → x
5
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Cap.12 Índices simples, ponderados encadenamiento y aplicaciones
12. Solución: 06 I 92 = 150
06 I 00 = 75
00 I 92 =?
06 00 06 I 92 = I 92 × I 00
00 150 = I 92 × 0,75
00 I 92 =
150 = 200 0,75
00 I 92 = 200
13. Solución: q 06
p 03 q 03
p06 q06
p 06 q 03
p 03 q 06
3.800
8
26.000
30.400
38.000
20.800
5
10.000
7
30.000
70.000
50.000
42.000
1.000
2
4.000
5
2.000
20.000
8.000
5.000
D
6.000
1
15.000
2
6.000
30.000
15.000
12.000
E
3.600
2
2.000
1
7.200
2.000
4.000
3.600
71.200 152.400 115.000
83.400
Artículos
p03
q 03
p 06
A
2.600
10
B
6.000
C
Σ p 03 p 06
q 06 por el mínimo ( p 03 ; p 06 )
--q 03 por el mínimo ( p 03 ; p 06 )
p 03 p 06
q 06
p 03 p 06
q 03
p 03 p 06
9.880.000
20.800
26.000
3.143,25
25.146,00
31.432,50
60.000.000
42.000
30.000
7.745,97
54.221,79
38.729,85
4.000.000
5.000
2.000
2.000
10.000
4.000
90.000.000
12.000
6.000
9.486,83
18.973,66
9.486,83
7.200.000
2.000
4.000
2.683,28
2.683,28
5.366,56
−
81.800
68.000
−
111.024,73
89.015,74
6
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
06
LI 03 =
a)
Σp 06 q 03 × 100 = 115.000 × 100 = 161,52 Σp 03 q 03 71.200
LI 03 = 161,52
Σp 06 q 06 × 100 = 152.400 × 100 = 182,73 Σp 03 q 06 83.400
P I 03 = 182,73
06
P I 03 = 06
06 F I 03 = L06 03 × P03 =
(1,6152)(1,8273) 100 = 171,80
p 03 + p 06
q 06 ( p 03 + p 06 )
q03 ( p03 + p06 )
6.400
51.200
64.000
16.000
112.000
80.000
5.000
25.000
10.000
21.000
42.000
21.000
5.600
5.600
11.200
235.800
186.200
Σ
06
b) K J 03 =
06
M J03 =
06
W J 03 =
06
06
06
F I 03 = 171,80
Σq06 minimo ( p 06 ; p03 ) 81.800 × 100 = × 100 = 120,29 Σq 03 minimo ( p 06 ; p 03 ) 68.000 Σq06 ( p03 + p06 ) 100 = 235.800 × 100 = 126,64 Σq03 ( p03 + p06 ) 186.200
S J03 = L
06
Cap.12 Índices simples, ponderados encadenamiento y aplicaciones
06 J 03
+P
06 J 03
=
117,13 + 132,52 = 124,83 2
Σq 06 p 03 p06 Σq03 p03 p06
× 100 =
111.024,77 = 124,71 89.015,74
Los índices de Laspeyres y Paasche de Cantidad son: 06
LJ 03 =
06 Σp 03 q 06 Σp q × 100 = 83.400 × 100 = 117,13 ; P J 03 = 06 06 × 100 = 152.400 × 100 = 132,52 Σp 03 q 03 71.200 Σp 06 q 03 115.000
7
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Cap.12 Índices simples, ponderados encadenamiento y aplicaciones
14. Solución: Años
Índice Base Variable
Relativos
Índice Encadenado
1 2 3 4 5
103,15 108,36 94,86 117,28 104,84
1,0315 1,0836 0,9486 1,1728 1,0484
100,00 108,36 102,79 120,55 126,39
% Variación
0 +8,36 +2,79 +20,55 +26,39
15. Solución: 161,52 → 13.000.000 495,82 →
X=
X
113.000.000(495,82) = $ 39.906.265,48 161,52
El costo de la construcción para vivienda de dos pisos, etc., es de $39.906.265,48
16. Solución: p 04 q 04
p 06 q 06
14.700,0 852,0 37.760,0 4.462,5 21.456,0 79.230,5
20.840,0 2.250,0 48.100,0 6.457,5 36.990,0 114.637,5
06
a) LI 04 = 06
P I 04 =
p 04 q 06
19.600,0 1.278,0 30.680,0. 3.187,5 32.184,0 86.929,5
p 06 q 04
15.630,0 1.500,0 59.200,0 9.040,5 24.660,0 110.030,5
Σp 06 q 04 110.030,5 × 100 = × 100 = 138,87 (precios) Σp 04 q 04 79.230,5 Σp 06 q 06 114.637,5 × 100 = × 100 = 131,87 Σp 04 q 06 86.929,5
F I 04 = LI 04 × P I 04 = 138,87(131,87 ) = 135,32 06
06
06
8
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Cap.12 Índices simples, ponderados encadenamiento y aplicaciones
Σp 04 q 06 86.929,5 × 100 = × 100 = 109,72 (cantidad) Σp 04 q 04 79.230,5
06
b) LJ 04 = 06
P J 04 =
Σp 06 q 06 114.637,5 × 100 = × 100 = 104,19 Σp 06 q 04 110.030,5
F J 04 = LJ 04 × P J 04 = 109,72(104,19) = 106,92 06
06
06
17. Solución: Años
Ventas (Mill. $)
Relativos
Índice 2000 = 100
Índice 2002 = 100
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
12.320 14.563 18.624 27.632 24.830 29.316 32.514
1,0000 1,1821 1,2789 1,4836 0,8986 1,1807 1,1090
100,00 118,21 151,18 224,29 201,55 237,97 263,90
----100,00 148,36 133,32 157,41 174,56
12.320 = 1,000 12.320
a)
00 b) I 00 = 100 ;
14.563 = 1,1821 12.320
18.624 = 1,2789 , etc… 14.563
01 I 00 = 100 × 1,1821 = 118,21 02 I 00 = 100 × 1,1821 × 1,2789 = 151 ,18, etc...
02 = 100 c) I 02
03 I 02 = 100 × 1,4836 = 148,36 04 I 02 = 100 × 1,4836 × 0,8986 = 133,32, etc...
18. Solución: t
t
t
t
F I O = LI O × P I O ⇒ 107,00 = LI O × 136,06
t t 107 2 = LI o (136,06) ⇒ 11.449 = 84,15 = LI O 136,06
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I Ot V = LI O × P J O = 0,8415(138,71) = 116,72 t
Cap.12 Índices simples, ponderados encadenamiento y aplicaciones
t
(es el índice de valor)
19. Solución: Años
Índice 1995 = 100
Índice 2001 = 100
% Variación
2001
182,63
100,00
---
2002 2003
204,28 210,34
111,85 115,17
11,85 15,17
2004
214,36
117,37
17,37
2005
286,49
156,87
56,87
2006
322,24
176,44
76,44
204,28 100 = 111,85 182,63
210,34 100 = 115,17 182,63 214,36 100 =117,37, etc... 182,63
20. Solución: a) El índice de precios de Laspeyres, como su nombre lo indica, nos determina las variaciones en los precios entre dos períodos, manteniendo constante las cantidades del período base como ponderaciones. b) Indica las variaciones en las cantidades entre dos períodos, manteniendo constante, como ponderaciones los precios del período base. c) Indica las variaciones en los precios entre dos períodos, tomando como ponderaciones, las cantidades del período que se investiga. d) Indica las variaciones en las cantidades entre dos períodos, tomando como ponderaciones los precios del período que se investiga.
21. Solución: 04 I 03 = 130
05 I 04 = 90
06 03 04 05 06 I 03 = I 03 × I 03 × I 04 × I 05
06 I 03 = 100 × 1,30 × 0,90 × 1,15 = 134,55
06 I 05 = 115
06 I 03 = 134,55
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Cap.12 Índices simples, ponderados encadenamiento y aplicaciones
22. Solución: Agudeza Visual
Normales Con diferencia leve
Nº
3.209 161
943,82 47,35
22 8
6,47 2,36
3.400
1.000,00
Con diferencia moderada Con diferencia severa Σ
%o
Tasa = 3.209 × 1.000 = 943,82% o 3.400
23. Solución: a) Índices simples de precios 1.600 100 = 123,08 1.300 3.600 =C = 100 = 600,00 ; 600
06 a) I 04 = A= 06 I 04
2.000 100 = 76,92 2.600 4.800 =D= 100 = 100,00 4.800
06 I 04 =B= 06 I 04
b) Índice agregativo simple Se presenta dos maneras de calcular:
06 (b2 ) I 04 =
b)
06 I 04 =
Σp 06 100 = 12.000 100 = 129,03 Σp 04 9.300
Σ Indices Simples 123,08 + 76,92 + 600,00 + 100,00 = = 225,00 n 4
06 I 04 = 225,00
Este último cálculo es el más indicado, dado que el artículo C pasa de $600 a $3.600 y se detecta esta variación; en cambio, en el primer cálculo no se determina.
c) Índices de Fischer de precios y cantidad
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Cap.12 Índices simples, ponderados encadenamiento y aplicaciones
ARTÍCULOS
p 04 q 04
p 06 q 06
p 06 q 04
p 04 q 06
A B C D
13.000 36.400 4.800 57.600 111.800
25.600 40.000 21.600 67.200 154.400
16.000 28.000 28.800 57.600 130.400
20.800 52.000 3.600 67.200 143.600
Σ
Índices de precios 06
LI 04 =
06
P I 04 =
Σp 06 q 04 100 = 130.400 100 = 116,64 Σp 04 q 04 111.800
(+16,64 %)
Σp06 q06 154.400 100 = 100 = 107,52 Σp04 q06 143.600
(+7,52 %)
F I 04 = LI 04 × P I 04 = 116,64 (107,52) = 111,70 (+11,70 %) 06
06
06
Índices de cantidad 06
LJ 04 =
Σp 04 q 06 100 = 143.600 100 = 128,44 Σp 04 q 04 111.800 Σp06 q06 154.400 100 = 100 = 118,40 Σp06 q04 130.400
06
P J 04 = 06
F J04 =
128,44(118,40) = 123.32
(+28,44 %)
(+18,40 %)
(+23,32%)
24. Solución: t
P I O = Conocido t
t
t
t
V0t = LI O × P J O =
V0t = LJ O × P I O =
" V" = Conocido
Σp t q o Σp t q t Σp t q t × = Σp o q o Σp t q o po qo Σp o q t Σp t q t Σp t q t × = Σp o qo Σpo qt Σpo qo
V0t =
Σp t q t Σp o q 0
12
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t
LI0 =
IV0t t
p J0
100
t
LJ 0 =
IV0t t
p I0
Cap.12 Índices simples, ponderados encadenamiento y aplicaciones
100
Prácticamente son relativos de valores, si estos se multiplican por 100 se convierten en índices de valores.
25. Solución:
Años
I. Precios 2002= 100
I. Valor 2002=100
I. Cantidad 2002=100
2002
100,00
100,00
100,00
2003
120,12
119,08
99,13
2004
130,24
133,48
102,49
2005
160,86
152,51
94,81
2006
180,08
166,83
92,64
IV03 =
250,06 × 100 = 119,08 210,00
IV04 =
Se cambia la base para el índice de valor. La nueva base es 2002.
280,31 × 100 = 133,48 , etc. 210,00
Los índices de cantidad, se obtienen dividiendo al índice de valor por el índice de precios. I q = IV × 100 IP
I q03 =
119,08 × 100 = 99,13 120,12
I q04 =
133,48 × 100 = 102,49 etc. 130,24
26. Solución: a) Índice de empleo = 150 100 = 125,00 120
La cantidad relativa es igual a 1,2500 b) Número índice del costo de mano de obra: I =
112.500.000 × 100 = 125,00 90.000.000
El Valor relativo será igual a 1,25 c) PR= Precio relativo QR= Cantidad relativa
PR =
VR 125,00 = = 1,0000 = 100,00 % QR 125,00
13
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Cap.12 Índices simples, ponderados encadenamiento y aplicaciones
VR = Valor relativo Puede interpretarse como el índice del costo medio por empleado, es decir, que en julio de 2006 fue de 100,00% del costo medio por empleado en relación al mes de enero. No hubo ni aumento ni disminución durante ese período.
27. Solución: 06 I 03 = 160
I de Producción = 60 Precio × Producción = Valor I Precio × I Produc. =160×0,60=96 96 – 100 = – 4
Disminuyó el índice de valor en un 4% en dicho período.
28. Solución: Ingreso total = Cantidad vendida × Precios 250 = 150 × I.Precios I.Precios = 250 × 100 = 166,67 150
Deberá incrementar los precios en un 66,67 %
29. Solución: t
t
t
F J O = LJ O × P J O t
P JO =
t
⇒ 125,32 = 115,23 P J O
t
125,32 2 = 115,23 P J O
125,32 2 = 136,29 ⇒ IVot = 130,65 (1,3629) = 178,06 115,23
30. Solución: Ingreso Total = Precio × Cantidad Vendida
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Cap.12 Índices simples, ponderados encadenamiento y aplicaciones
300,00 = IP × 134,00 IP =
300,00 100 = 223,88; 134,00
223,88 − 100 = 123,88 %
Se deberá incrementar el precio en un 23,88 %
31. Solución: 38.000 100 = $32.035,07 118,62 Comprobación: 32.035,07 (1,1862) = 38.00000
Lo Compró =
32. Solución: Años
Meses
Índice 1984=100
Índice Mayo 05=100
1996 1998 2003 2005
Diciembre Mayo Junio Enero Abril Septiembre Diciembre Enero Febrero Marzo
2.382,68 2.763,21 4.326,42 5.128,23 5.312,61 5.824,25 6.010,34 6.112,28 6.331,65 6.410,64
44,64 51,77 81,06 96,08 99,54 109,12 112,61 114,52 118,63 120,11
2006
a)
Enero/ 06 = 112,61 114,52
6.010,34 x
X=
114,52 (6.010,34) = 6.112,28 112,61
También se puede calcular, obteniendo una constante (k) 6.010,34 K= = 53,373057 ; 112,61
53,373057 (114,52) = 6.112,28 Enero
53,372057 (118,63) = 6.331,65 Febrero 53,373057 (120,11) = 6.410,64 Marzo
15
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b)
Diciembre/96 = 6.010,34 2.382,68 K=
112,61 x
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X=
112,61 (2.382,68) = 44,64 6.010,34
0,018736 (2.382,68) = 44,64 Dic / 96
112,61 = 0,018736 6.010,34
33. Solución: Índice 1994 = 100
Años
2001 2002 2003 2004 2005 2006
328,32 352,46 370,63
Índice 2003 = 100
Índice 1994= 100
Índice 2003 = 100
100,00 105,61 108,89 111,23
328,32 352,46 370,63 391,42 403,58 412,25
88,58 95,10 100,00 105,61 108,89 111,23
Cálculo: 100,00 → 370,63 105,61 →
X
100,00 → 370,63 108,89 →
X
370,63 → 100,00 352,46 → X
X=
370,63 (105,61) = 391,42 100
(2004)
X=
370,63 (108,89) = 403,58, etc. 100
(2005)
X=
100 (352,46) = 95,10, etc. 370,63
(2002)
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Cap.12 Índices simples, ponderados encadenamiento y aplicaciones
34. Solución:
Índice A
Años
1 2 3 4 5 6
100,00 98,36 110,14 135,36
Índice B
Índice A
Índice B
100,00 108,12 96,84
100,00 98,36 110,14 135,36 146,35 131,08
73,87 72,67 81,37 100,00 108,12 96,84
Empalme hacia abajo 100,00 → 135,36 108,12 →
X
100,00 → 135,36 96,84 → X
X=
135,36 (108,12) = 146,35 100
(5)
X=
135,36 (96,84) = 131,08 100
(6)
X=
100 (110,14) = 81,37 135,36
(3)
X=
100 (98,36) = 72,67, etc. 135,36
(2)
Empalme hacia arriba 135,36 → 100 110,14 → X
135,36 → 100 98,36 → X
35. Solución:
17
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.12 Índices simples, ponderados encadenamiento y aplicaciones
IPC / 02 =
643,12 100 = 100 ; 643,12
318.511,00
IPC / 03 =
110,78
472.942,77
712,45 100 = 110,78 643,12
etc.
670.718
125,60
534.011,15
2005
905.661
134,76
672.054,76
2006
1.036.129
136,36
759.848,20
Años
Siniestros (Miles Mill.$)
I. PC 2002=100
Siniestros (Miles Mill. $)
2002
318.511
100,00
2003
523.926
2004
Precios constantes del 02 ⇒
03 ⇒
318.511 100 = 318.511 100
(2002)
523.926 100 = 472.942,77 etc... 110,78
(2003)
36. Solución: a) % devaluación = 100 1 − 2.662 = 7,28 % ≠ 9,63% ⇒ no es cierto
b) 9,83 % = 100 1 −
⇒ 1 − 0,0983 =
c) PA =
2.871
To 2.320,5
⇒ 0,0982 = 1 −
To 2.320,5
TO ⇒ 0,9017 (2.320,5) = To = $2.092,39 ⇒ 2.320,5
1 100 = 100 = 0,9274 ⇒ 1 − 0,9274 = 0,0726 = 7,26% 107,83 107,83
fue de $2.092,39
7,26 % ≠ 5,23 %
37. Solución:
Años
Costos (mill. $)
Índice 1996 = 100
Índice 2001= 100
Costos a Precios del 2002
2001
124,6
142,28
100,00
124,60
2002
136,2
186,16
130,84
104,10
2003
148,5
195,34
137,29
108,17
18
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.12 Índices simples, ponderados encadenamiento y aplicaciones
2004
210,6
234,15
164,57
127,97
2005
217,4
260,16
182,85
118,89
2006
252,6
275,28
193,48
130,56
Cambiamos la base del índice base 1996 a la base 2001 2001 →
142,28 100 = 100,00 142,28
2002 →
186,16 100 = 130,84, etc… 142,28
Luego deflactamos, transformando precios corrientes de mercado a precios constantes de 2001 2001 →
124,6 100 = 124,6 100
2002 →
136,2 100 = 104,10, etc… 130,84
38. Solución: Años
IPP 2003=100
IPC 2003=100
IP 2003=100
2003
100,00
100,00
100,00
2004
120,82
124,16
113,28
2005
140,56
162,40
122,41
2006
170,15
186,69
126,93
Segundo, deflactamos cada sector, por su respectivo índice deflactor.
a) Producto Bruto Real Años
Agricultura
Serv. y Otros
Industria
2003 2004 2005 2006
2.000,00 2.565,80 4.268,64 4.760,51
4.000,00 4.671,39 5.541,87 5.624,30
2.600,00 3.354,52 4.493,10 5.751,20
b) Índices del Producto Bruto Real
19
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.12 Índices simples, ponderados encadenamiento y aplicaciones
Índices Agricultura
Serv. Otros
Industria
100,00
100,00
100,00
128,29
116,78
129,02
213,43
138,55
172,81
238,03
140,61
221,20
39. Solución: (a)
(b)
(c)
Años
Índice 2002=100
Salarios Reales
Índice P. Adquisitivo
Poder Adq. =1996
2002 2003 2004 2005
100,00 101,34 102,37 109,29
232.000,00 232.386,03 279.378,72 309.268,92
100,00 98,68 97,69 91,50
0,3117 0,3077 0,3045 0,2852
2006
112,38
391.528,74
88,99
0,2774
Primero: Cambiamos la base del índice al 2002 Segundo: deflactamos, dividiendo los salarios por el índice con la nueva base
40. Solución: Años
IPC 2000=100
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
100,00 105,62 108,84 114,25 118,43 119,99 121,46
Salario Real
Obreros (miles)
(miles mill $)
1.800,0 1.950,4 2.113,2 3.326,0 4.306,3 4.833,7 4.939,9
120 180 200 300 420 450 510
20
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Salario Nominal por obrero
Índice Salario Real
Índice Salario Nominal
(mill $)
15,0 11,4 11,5 12,7 12,1 12,9 11,8
Cap.12 Índices simples, ponderados encadenamiento y aplicaciones
Salario Real por obrero
Índice Sal. Real por obrero
(mill $)
100,00 108,36 117,40 184,78 239,24 268,54 273,44
100,00 76,00 76,67 84,67 80,67 86,00 78,67
15,0 10,8 10,6 11,1 10,3 10,7 9,7
100,00 72,00 70,67 74,00 68,67 71,33 64,67
Primero: cambiamos la base al 2002. Segundo: dividimos los salarios nominales por el respectivo IPC, con base en el 2002. Tercero: dividimos los salarios nominales por el número de obreros obteniendo el salario nominal por obrero. Cuarto: seleccionamos la columna del salario real y cada uno se divide por el primero, es decir, por 1.800. Quinto: seleccionamos la columna del salario nominal por obrero, y cada uno de ellos lo dividimos por el primero, en este caso por 15,0. Sexto: dividimos cada uno de los salarios reales por el número de obreros. Séptimo: cada uno de los salarios real por obrero lo dividimos por el primero. 41. Solución:
Años
IPC 1996=100
IPC 2001=100
2001 2002 2003 2004 2005 2006
142,39 160,51 280,32 420,16 458,98 536,01
100,00 112,73 196,87 295,08 322,34 376,44
Salario Real (miles de $)
400,0 443,5 558,7 440,6 465,4 504,7
Índice Salario Real
100,00 110,88 139,68 110,15 116,35 126,18
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Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.12 Índices simples, ponderados encadenamiento y aplicaciones
Primero: Realizamos el empalme hacia abajo. 110,18 → 420,16 120,36 → X
110,18 ⇒ 420,16 140,56 ⇒
X
X=
420,16 (120,36 ) = 458,98 110,18
(2005)
X=
420,16 (140,56) = 536,01 110,18
(2006)
y completamos la primera columna con base al año 1996. Segundo: Pasamos o cambiamos la base al año 2001, dividiendo cada índice por el primero, en este caso 142,39. Tercero: Dividimos los salarios nominales por IPC/2001. Cuarto: Con la columna del salario Real, cada uno de ellos es dividido por el primero (2001), para obtener el I. salario Real con base al año 2001. Quinto: El salario Real para el 2006 aumentó en un 26,18 % con respecto al año 2002, por lo tanto mejoró su situación económica.
42. Solución: Primero
Años
1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
IPC Base variable
100,00 110,18 90,36 115,14 112,26
Segundo
Tercero
IPC 2002=100
IPC 1996=100
IPC 1999=100
Salario Real a Precios 1999
100,00 111,81 114,73 130,51 143,79 129,93 149,59 167,95
$ 400.000
100,00 110,18 99,56 114,63 128,69
130,86 146,32 150,14 170,7 8 188,17 170,03 195,76 219,78
$ 1.488.538,25
Primero: Encadenamos el índice de base variable. Segundo: Empalmamos la serie.
22
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.12 Índices simples, ponderados encadenamiento y aplicaciones
100,0 → 170,78 110,18 → X
X=
170,78 (110,18) = 188,17 100,0
(2003)
100,0 → 170,78 99,56 → X
X=
170,78 (99,56) = 170,03 etc… 100,0
(2004)
Tercero: El salario nominal para el 2006 es $2.500.000 y su salario real es de $1.488.538,25; pero su salario real mejoró con respecto al año 1999 en un 272,13%, por lo tanto se encuentra en mejores condiciones. Su salario nominal creció, en los dos períodos, en un 525%; 43. Solución:
Años
IPC 1986=100
IPC 1996=100
Poder Adquisitivo
1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
464,53 532,98 607,31 759,42 963,53 1.136,04 1.430,41 1.849,32 2.179,28 2.376,42 2.516,82
100,00 114,74 130,74 163,48 207,42 244,56 307,93 398,11 469,14 511,58 541,80
1,0000 0,8715 0,7649 0,6117 0,4821 0,4089 0,3247 0,2512 0,2132 0,1955 0,1846
1 100 = 1 100 1 100 = 0,8715 114,74 1 100 = 0,7649 130,74
etc.
Primero: Se cambia la base a 1996. Segundo: Dividimos a 100 por cada IPC con base 1996, para obtener el poder adquisitivo con base en el año 1996. Se puede decir, que $1.000 en el 2006, equivale a $184,6 , con respecto a 1996. 44. Solución: I 100 IPA = 100 o = 100 = 80 125 It
% de variación = 80 – 100 = -20 %;
Cierto, bajó en un 20 %
23
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.12 Índices simples, ponderados encadenamiento y aplicaciones
45. Solución: Primero cambiamos la base de cada índice al año 2002. Años
IPC 2002=100
IPP 2002=100
IPV 2002=100
2002 2003 2004 2005 2006
100,00 155,28 258,18 332,19 407,99
100,00 176,33 289,10 411,71 516,42
100,00 167,87 200,64 231,98 241,69
Segundo: Dividimos cada rubro por su deflactor:
326,2 100 = 210,07, etc... 155,28
Años
Salarios
Arriendos
Int. y Utili.
TOTAL
2002 2003 2004 2005 2006
298,1 210,1 211,6 204,8 201,0
50,6 44,9 39,4 33,9 34,9
87,7 103,1 110,9 107,9 117,0
436,4 358,1 361,9 346,6 352,9
Tercero: Dividimos cada total por la población en millones. (YNR per cápita) Cuarto: Los resultados obtenidos, los dividimos por 55,95. IYNR per cápita =
44,76 100 = 80,00 para el 2003 55,95 Tercer paso IYNR per cápita 2002 = 100
Cuarto paso
Años
Ingreso Nal. Real per cápita
YNR 2002=100
2002
55,95
100,00
100,00
2003 2004 2005
44,76 44,13 44,26
80,00 78,87 73,74
82,05 82,93 79,42
2006
40,56
72,49
80,87
24
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.12 Índices simples, ponderados encadenamiento y aplicaciones
Quinto: Dividimos (una columna TOTAL) por 436,4 y obtenemos IYNR con base 2002
46. Solución: SR =
100
SN × 100 IPC
S R06 = 972.000 × 100 = 173.323,82 ⇒ 560,80
SR06 = 137 SR04
S R04 =
173.323,82 × 100 = 137,00 SR04
126.513,74 =
173.323,82 × 100 = 126.513,74 137,0
IPC04 =
632.000 × 100 = IPC 04
632.000 × 100 = 499,55 126.513,74
47. Solución: To % devaluación : 37 = 1001 2.829,8 To = 0,63 (2.829,8 ) = $1.782,77
;
0,37 = 1 −
To 2.829,8
⇒ 0,63 =
To 2.829,8
To = $1.782,77
48. Solución: Años
Valores (Miles $)
Índice *
Valores Corregidos
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
3.000 9.000 12.000 20.000 25.000 26.000 30.000
100,00 110,00 121,00 133,10 146,41 161,05 177,15
3.000,00 8.181,82 9.917,36 15.026,30 17.075,34 16.144,05 16.934,80
Valores Corregidos 9.000 100 = 8.181,82 110 12.000 100 = 9.917,36, etc… 121
* Se desvaloriza en un 10 % constante, cada año, a partir de 2002. Es decir el índice se incrementa anualmente en un 10 %.
25
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.12 Índices simples, ponderados encadenamiento y aplicaciones
49. Solución: Primer paso
Segundo Paso
Tercer paso
Años
IRPI Variable
IRPI 2001 = 100
IQX 2004 = 100
IQX 2001 = 100
Índice Capacidad para Importar
2001 2002 2003 2004 2005 2006
100,00 110,18 80,36 120,14 115,20 116,18
100,00 110,18 88,54 106,37 122,54 142,37
90,36 120,12 90,34 100,00 110,21 80,36
100,00 132,93 99,98 110,67 121,97 88,93
100,00 146,46 88,52 117,72 149,46 126,61
Primero: Transformamos el índice base variable, en base fija: 2001 = 100. 02 I 01 = 100 (1,1018) = 110,18
01 I 01 = 100
03 I 02 = 100 (1,1018)(0,8036) = 88,54, etc…
Segundo: Se cambia la base del índice QX al 2001 = 100. Tercero: Se multiplica el IRPI de cada año, por el relativo QX 110,18 (1,3293) = 146,46;
88,54 (0,9998) = 88,52, etc.
50. Solución: Primer paso
Segundo paso
Años
IQX Variable
IQX 2001 = 100
IVUX 1997 = 100
IVUX 2001 = 100
2001
100,00
100,00
124,35
100,00
2002
110,12
110,12
112,16
90,20
2003
80,36
88,49
118,14
95,01
2004
120,14
106,31
129,63
104,25
2005
115,16
122,43
132,35
106,43
2006
126,84
155,29
124,28
99,94
26
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Tercer paso
Cap.12 Índices simples, ponderados encadenamiento y aplicaciones
Cuarto paso
IVUM 2001 = 100
IRPI 2001 = 100
ICM 2001 = 100
100,00
100,00
100,00
104,36
86,43
95,17
103,16
92,10
81,50
106,81
97,60
101,75
105,32
101,05
107,55
108,14
92,42
92,36
Primero: Se encadena el IQX a base fija 2001 = 100,00. Segundo: Cambiamos la base del IVUX del 1997 al 2001 = 100,00. Tercero: Calculamos el IRPI dividiendo el IVUX por el IVUM y el resultado se debe multiplicar por 100. Cuarto: El ICM se obtiene multiplicando el IVUX por el relativo de RPI en cada uno de los períodos.
51. Solución: Primer paso
Segundo paso
Tercero paso
IRPI 2000=100
ICM 2000=100
Años
IVUX 2000 = 100
IVUM 2000 = 100
IQX 2000 = 100
2000
100,00
100,00
100,00
100,00
100,00
2001 2002 2003
78,22 69,11 80,90
105,43 107,16 103,15
103,92 102,05 118,62
74,19 64,49 78,43
77,10 65,81 93,03
2004
75,08
96,26
106,51
78,04
83,12
2005
75,99
105,45
114,48
72,06
82,49
2006
87,66
109,28
117,03
80,22
93,88
Primero: Se cambia la base a los tres índices, siendo 2000 = 100. Segundo: Se calcula la relación precios de intercambio, dividiendo IVUX por el IVUM y el resultado se multiplica por 100.
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Cap.12 Índices simples, ponderados encadenamiento y aplicaciones
Tercero: Se multiplica el IQX por el relativo de la relación de precios de intercambio de cada período y se obtiene ICM con base en 2000.
52. Solución: Años
Índice
Cantidades Producidas
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
100,00 112,83 115,24 110,12 105,36 110,92 120,55
284,73 321,27 328,13 313,55 300,00 315,83 343,25
105,36 → 300 100,00 → X X=
300 (100) = 284,73 105,36
K=
300 = 2,8473804 105,36
K es una constante, que debemos multiplicar por cada uno de los índices, de los diferentes períodos.
53. Solución: Primero
Primero
Segundo
Años
Producción Miles Tons.
Índice Producción 2000 = 100
Índice Obreros 2000 = 100
Índice Productividad 2000 = 100
% Variación
2000 2001
1.420 1.630
100,00 114,79
100,00 110,02
100,00 104,34
0 4,34
2002
1.580
111,27
100,16
111,09
11,09
2003 2004 2005
1.710 1.812 1.750
120,42 127,61 123,24
109,05 98,55 97,74
110,43 129,49 123,09
10,43 29,49 26,09
2006
1.800
126,76
96,93
130,77
30,77
Primero: Calculamos el índice de producción y el índice de obreros. Segundo: Dividimos el índice de producción por el índice de obreros, multiplicando por 100 el valor resultante y obtenemos el índice de productividad.
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54. Solución: Primero
Segundo
Años
IPI 2000 = 100
IPI 2004 = 100
Producción Industrial
2002
100,00
83,04
5.000
2003
198,36
164,72
9.918
2004 2005
120,42 135,86
100,00 112,82
6,021 6.793
2006
150,14
128,68
7.748
83,04 → 5.000 164,72 → X X=
5.000 (164,72) = 9.918,11 83,04
83,04 → 5.000 100,0 → X , etc....
*IPI: Índice Producción Industrial Primero: Cambiamos la base del índice de Producción Industrial al 2004. Segundo: Hacemos una relación de “si 83,04 es a 5.000, los índices siguientes serán igual a… 55. Solución: Años 2001 2002 2003 2004 2005 2006
yi 850.000 1.000.700 1.370.000 1.720.600 2.120.300 2.850.320
(a) Índice
(b) Índice
Índice
Activos Reales
Índice A.Reales
% Variación
100,00 117,73 161,18 202,42 249,45 335,33
575,1 732,6 954,3 1.250,3 1.380,4 1.706,2
100,00 127,39 165,94 217,41 240,02 296,68
850.000,00 785.540,47 825.599,61 791.407,94 883.384.72 960.738,84
100,00 92,42 97,13 93,11 103,93 113,03
0 -7,58 -2,87 -6,89 +3,93 +13,03
Muy poco han crecido los activos reales, sólo se produjo un ligero crecimiento en los dos últimos años, ya que los anteriores decrecieron.
56. Solución: Y = P.Q.
IP = 125
IY = 220
220 = 125(IQ) IY = IP (IQ)
IQ = VENTAS = 220 100 = 176 125 Se deberá aumentar las ventas en un 76%.
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57. Solución: Años
Índice 1993=1 00
2001 2002 2003 2004 2005 2006
Índice 2003=100
428,6 594,2 672,4
Índice Empalmado 2003=100
Índice 2001=100
63,74 88,37 100,00 135,60 162,80 201,40
100,00 138,64 156,89 212,74 255,41 315,97
100,0 135,6 162,8 201,4
Salario Nominal
Salarios Reales A precios/01
746.400 746.400,00
1.110.100 351.330,82
(a) La situación en términos reales empeoró, ya que se redujo su salario real en un 47,07% (b) El salario en el 2006 = 3,1592 (746.400) = $2.358.400,08, éste debe ser su salario nominal en vez de los $1.110.100,oo que le están pagando en 2006.
58. Solución: Se le deja al lector o usuario del libro su consulta.
59. Solución: Cuarto
Quinto
Años
IPC 1983=100
IPC 1994=100
Inversión (Miles mill $)
(a) Serie Deflactada (Miles Mill $)
1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2001 2003 2004 2005 2006
285,36 336,40 520,60 720,60 810,40 960,32 1.030,42 880,01 1.005,78 1.186,41 1.342,81 1.527,73
39,60 46,68 72,25 100,00 112,46 133,27 142,99 122,12 139,58 164,64 186,35 212,01
25 37 42 58 65 80 105 115 130 142 160 180
63,13 79,26 58,13 58,00 57,80 60,03 73,43 94,17 93,14 86,25 85,86 84,90
(a)
Quinto b
IPC 2003=100
Primero Segundo
IPC 2001=100
100,00 100,00
151,89
IPC 1996=100
100,00 118,50 127,15 108,59 124,11
IPC 2003=100
185,36 336,40 520,60 720,60 810,40 960,32 1.030,42 1.005,79 1.186,41 1.342,81 1.527,73
173,61
Primero: se convierte el IPC, base variable en base fija, así: 1996 = 100,00 1998 = 100(1,185) = 118,5 2000 = 118,5 (1,073) = 127,15 2001 = 127,15(0,854) = 108,59 2003 = 108,59(1,143) = 124,11 (acumulados en la calculadora)
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IPC
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Cap.12 Índices simples, ponderados encadenamiento y aplicaciones
Segundo: se hace el empalme hacia abajo, con los índices ya encadenados Constante = 810,4÷100 = 8,104 y lo multiplicamos por cada uno de ellos así: 8,104(118,5) = 960,32 8,104(127,15) = 1.030,42, etc. Tercero: se hace el empalme con el IPC de 2002 = 100, así: 1.005,78 K= = 8,641 y se tiene que: 2004 = 8,641(137,3) = 1.186,41; 116,4 2005 = 8,641(155,40) = 1.342,81, etc. Cuarto: se cambia la base a 1994 ⇒ (285,36÷720,60)(100) = 39,60 Quinto: se deflacta la serie, dividiendo a cada uno de los valores de inversión por el IPC con base 1994. (b) Se cambia la base a 2003 siendo 100,00 para ese año y (212,01 – 139,58)100 = 151,89 luego mediante una regla de tres simple (procedimiento más fácil) calculamos la inversión real para el 2006, así: 100,00 93,14 151,89 X X=
93,14(151,89) = 141,47 (miles de mill de $) en vez de los $84,90 (miles millones de $) 100
(c) Cambiamos la base del IPC a 2001 = 100,0 por lo tanto el IPC para el 2006 es igual a (212,01÷122,12)100 = 173,61, la inversión nominal para el 2006, que sea igual a la de 2001, se obtiene nuevamente mediante una regla de tres, así: 100,00
880,01
173,61
X
X=
880,01(173,61) = 1.527,79 (miles mill de $) 100
60. Solución: Se deja al lector o usuario su consulta.
61. Solución: 2004 ⇒ IPC /04 = ?
$450.000
Actual $1.068.000 y el IPC = 350,62
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SR Actual =
Cap.12 Índices simples, ponderados encadenamiento y aplicaciones
SN actual 100 = 1.068.000 100 = 304.603,27 IPC actual 350,62
SR actual 304.603,27 100 = 134,00 ⇒ 100 = SR 04 = 227.315,87 SR /04 134,00 SR 04 = 100
SN 04 ⇒ IPC 04 = 450.000 100 = 197,96 IPC 04 227.315,87
62. Solución: (a)
% devaluación = 100 (1 -
2.762,5 ) = 3,81% ≠ 4,25% (es diferente) 2.871,8
(b) IPA = 100 × 100 = 76,34 ⇒ 1 − 0,7634 = 23,66% (es diferente) 131
(c) 136,5 = 100 1
23,6% ≠ 24,6%
? ⇒ 36,5 = ? 100 2.876,8 2.876,8
También: ⇒ 1,365 = 1 −
? ? ⇒ 1 − 1,365 = 2.876,8 2.876,8
0,365(2.876,8) = $1.050,03 = To
To = 1.050,03 fue el tipo de cambio
63. Solución:
⇒
300 = IP x 134,0 ⇒ IP = (300÷134)100 = 223,88 223,88 – 100 = 123,88% deberá ser el incremento en los precios YT = P.Q
64. Solución: (a) IPC = (386,82 ÷ 307,13) 100 = 125,95 Presupuesto mensual, sería: 95.000(1,2595) = $119.652,50 (b) Períodos Comienzo Final
Salario nominal 720.000,00 800.000,00
Salario real 720.000,00 635.172,69
IPC 100,00 125,95
SR = 800.000 100 = 635.172,69 125,99
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Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.12 Índices simples, ponderados encadenamiento y aplicaciones
65, 66 y 67 Solución: Se deja al lector su solución (Leer una nota que aparece al final de este capítulo en el CD)
68. Solución: (a)
15 = 0,25 = 25% disminución = 1 − 0,25 = 0,75 = 75% 60
(b) 60 100 = 400 ⇒ 400 − 100 = 300% este fue el aumento 15
69. Solución:
18.200 100 = 121,33 − 100 = 21,33% fue el aumento 15.000 70. Solución: 4.000 100 = 50% Porcentaje de rebaja 8.000
71. Solución: 3.500 100 = $2.800 fue el precio de compra 125
72. Solución: 1.200 (1,30) = 1.560 deberá vender
73, 74, 75 y 76 Solución: Se deja al lector su solución.
77. Solución: a. Razón
b. Proporción
f. Proporción g. Razón
c. Proporción
d. Razón
h. Proporción
i. Proporción j. Proporción
e. Proporción
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Cap.13 Tablas
13 En este capítulo del CD, el estudiante encontrará además de algunos ejercicios resueltos, tablas que contienen datos (supuestamente) poblacionales, no incluidos en el libro, con la finalidad de reducir su tamaño.
TABLAS CON INFORMACIÓN DE UNA POBLACIÓN TEÓRICA UTILIZADAS EN EL LIBRO PARA EL DESARROLLO Y EXPLICACIÓN DE LA TEORÍA DEL MUESTREO (págs. 1 hasta la 19) Tabla 13.1 CD Algunos datos correspondientes a 355 familias que residen en el barrio El Futuro (Datos poblacionales)
Número de personas
Número Familias
Ingresos (miles $)
Vivienda Propia
Total
Consumo Diario de carne Masculino Femenino Trabajando (grs)
001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 012 013 014
1.860 3.840 920 1.060 1.080 1.700 1.650 1.930 2.820 800 1.790 780 3.060 2.350
si no no si no no no si no no no si si si
5 6 3 3 3 2 3 5 4 3 2 5 5 3
3 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 3 4 2
2 4 2 2 1 1 2 3 2 2 1 2 1 1
2 3 1 1 1 2 1 2 3 1 2 1 3 2
789 807 802 765 735 895 799 749 742 892 864 772 804 732
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015 016 017 018 019 020 021 022 023 024 025 026 027 028 029 030 031 032 033 034 035 036 037 038 039 040 041 042 043 044 045 046 047 048 049 050 051 052 053 054 055
3.420 2.060 2.000 1.790 2.060 2.250 830 1.630 1.790 790 790 1.820 3.130 1.140 2.600 2.100 2.250 960 790 1.260 1.040 1.450 830 1.620 860 950 950 1.060 1.840 760 1.920 2.130 840 840 1.350 1.760 1.250 3.860 1.880 1.050 1.730
no si si no no no no si no si si no no si si no si si no no no no si si no si no no no no si si si si no si si no no si si
4 3 3 4 5 3 2 1 2 2 3 6 5 4 4 4 3 2 7 2 1 2 3 2 1 3 3 3 5 4 2 2 3 4 1 3 2 5 3 3 4
Cap.13 Tablas
1 1 1 2 1 1 1 1 1 0 1 3 2 1 2 2 1 1 3 0 1 1 1 1 0 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1
3 2 2 2 4 2 1 0 1 2 2 3 3 3 2 2 2 1 4 2 0 1 2 1 1 2 2 2 3 2 1 1 2 2 0 2 1 8 2 1 3
3 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 3 1 2 3 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 3 2 1 2
743 824 804 767 760 842 813 753 723 680 620 816 868 832 757 714 852 782 620 630 580 580 520 570 510 520 620 730 780 520 630 850 610 610 590 630 750 750 880 780 560
2
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056 057 058 059 060 061 062 063 064 065 066 067 068 069 070 071 072 073 074 075 076 077 078 079 080 081 082 083 084 085 086 087 088 089 090 091 092 093 094 095 096
2.620 950 1.870 840 860 1.020 1.340 3.950 1.860 790 2.140 1.830 1.350 760 790 1.260 950 980 2.360 1.350 1.840 780 820 2.860 2.890 2.870 960 2.050 2.130 1.620 2.420 2.060 2.850 1.560 1.320 3.140 960 1.860 890 1.010 1.000
si si no si no si no no no si si si no no no no si no si si no no no si no no no si si si si si no si no no no si si no no
5 3 2 3 1 3 2 5 6 3 5 4 3 2 1 3 2 3 4 6 5 3 2 3 4 4 2 3 5 3 3 5 4 3 6 3 4 5 2 2 2
Cap.13 Tablas
2 1 2 1 0 1 1 2 1 2 2 1 2 1 0 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 3 2 2 1 1 2 1 1 0
3 2 0 2 1 2 1 3 5 1 3 3 1 1 1 2 1 1 2 4 4 1 0 2 2 3 1 1 3 2 2 4 1 1 4 2 3 3 1 1 2
2 1 2 1 1 2 1 3 2 1 3 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 3 2 2 1 2 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 1 1 2
620 870 520 630 520 540 600 680 720 600 540 810 770 530 550 580 520 560 716 600 620 570 520 510 770 810 834 630 610 716 760 780 801 812 714 612 775 757 720 630 650
3
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
097 098 099 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137
1.120 2.140 1.560 2.020 960 840 1.930 1.020 1.960 2.140 1.860 950 1.720 2.310 1.110 2.620 860 840 3.960 980 2.020 1.130 2.450 3.630 3.230 4.960 1.870 840 2.020 2.260 1.350 2.320 1.300 1.860 780 1.260 1.940 2.060 3.870 1.020 1.340
si si no si no no si no si si no si si no si si no si no si no si si no si si si no no no no no si no no si si si no si si
3 4 4 3 2 3 4 1 2 6 3 2 4 5 3 2 3 4 6 2 3 4 5 3 7 6 3 2 4 4 2 3 2 3 2 3 4 5 4 2 3
Cap.13 Tablas
1 2 3 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 3 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 3 2 1 1 1
2 2 1 2 1 2 2 0 1 4 2 1 2 3 2 1 1 2 4 1 1 3 3 0 5 4 2 1 3 2 0 2 1 2 1 1 1 3 3 1 2
1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 3 4 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1
610 660 720 680 520 560 520 530 650 520 570 578 580 590 620 616 518 514 520 516 570 620 636 636 744 700 786 785 516 634 638 520 527 586 516 520 536 636 735 816 515
4
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178
1.160 1.840 870 1.880 1.040 1.060 1.880 1.650 3.420 3.320 1.860 890 1.950 1.060 2.080 860 1.840 2.060 2.730 1.860 1.896 1.260 880 1.860 1.140 960 1.870 1.860 2.880 2.060 1.640 2.680 2.700 1.130 1.950 860 880 1.860 880 1.010 2.060
si no no si si no no si si si si si no no no si no si si no si no si no si no no no si si no si si no si no no si no no no
2 3 3 4 2 2 3 4 5 3 4 3 4 2 3 2 3 1 3 4 2 3 2 4 2 3 5 2 3 4 5 2 3 4 2 2 3 3 4 2 3
Cap.13 Tablas
1 2 1 1 1 0 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 0 1 1 1 0 1 2
1 1 2 3 1 2 2 2 3 2 3 1 2 1 2 1 2 0 2 2 1 2 1 3 1 1 3 1 1 3 3 1 2 2 2 1 2 2 4 1 1
1 2 2 2 1 1 2 2 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 3 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2
516 520 532 630 635 520 560 580 626 635 640 520 636 522 636 516 732 806 816 735 738 516 508 630 600 520 580 586 635 712 720 760 812 716 718 510 512 512 520 606 803
5
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219
1.630 1.840 3.960 1.030 2.960 2.870 2.840 880 1.160 1.150 1.980 2.360 1.340 2.450 3.210 3.240 3.860 950 970 990 2.260 1.830 1.850 1.960 3.620 2.140 3.320 2.140 1.750 3.890 2.970 2.990 2.060 1.626 1.860 2.620 1.130 1.140 860 930 2.150
si no si si no si no no si si no no si si no si no no no si si no si si si si si no si no no no no no no si si si si no no
3 2 4 2 5 3 2 3 2 1 3 4 2 3 4 2 5 3 2 3 4 2 3 2 3 4 6 5 2 3 3 4 5 2 3 4 6 2 5 2 3
Cap.13 Tablas
2 1 1 1 2 1 1 1 1 0 0 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 0 1 1 2 1 2 2 3 2 1 2 1 1
1 1 3 1 3 2 1 2 1 1 3 2 1 2 2 1 3 1 1 2 3 1 2 1 1 2 3 2 2 2 2 2 4 0 1 1 4 1 3 1 2
1 1 2 1 3 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 2 1 3 2 3 2 1 3 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2
605 596 520 563 548 555 730 510 580 584 636 814 620 712 806 794 812 515 508 506 514 630 650 642 684 716 750 752 684 802 794 755 744 536 716 777 700 520 506 516 613
6
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220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260
2.620 1.860 2.120 1.630 1.520 1.410 1.360 990 1.040 950 980 960 1.020 2.130 2.150 3.790 1.720 1.830 1.960 850 2.140 2.460 1.450 1.830 2.260 1.620 1.130 1.050 1.980 1.990 1.060 1.120 1.080 1.930 860 1.950 2.960 1.950 2.140 980 2.260
no si si no no si si si no si si no si no no si no no no no si no si si si no no si si no no si si si no no no no no si si
3 4 2 5 6 3 1 2 3 4 2 3 4 2 3 6 5 2 3 4 2 3 2 3 4 4 4 2 3 4 2 3 4 2 3 2 3 5 2 3 2
Cap.13 Tablas
2 2 1 4 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 0 2 1 3 1 1 2 1 2 1 0 1 0 1 2 0 1 1
1 2 1 1 4 2 0 0 2 3 1 2 2 1 2 4 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 1 2 2 1 1 3 2 2 2 2 3 2 2 1
2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2
624 636 680 650 666 672 712 520 542 548 560 558 562 616 630 642 584 586 584 520 601 608 632 636 650 600 586 584 586 532 616 512 716 650 520 616 684 705 624 601 712
7
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301
3.280 1.140 1.930 1.850 3.860 1.820 1.880 1.050 1.130 1.260 2.500 2.610 2.930 2.960 1.050 1.010 1.010 2.080 3.260 1.280 960 1.840 1.880 1.620 2.120 1.950 1.630 1.420 2.860 2.980 2.050 790 1.860 2.880 1.360 1.850 1.760 1.920 3.350 990 1.080
no no no si si no si no no no si si si si no no si no si no si no no no si si si si no no si no si si no no si si si si no
5 2 3 5 3 3 3 2 3 4 5 2 3 4 4 4 3 2 3 1 3 5 4 5 6 5 5 4 3 3 4 3 3 2 3 3 4 5 4 3 4
Cap.13 Tablas
2 1 0 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 0 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 0 2 2 3 1 1 2
3 1 3 3 2 2 1 1 1 2 4 1 2 2 3 3 3 0 2 0 2 3 2 3 5 4 3 3 2 1 2 1 2 1 3 1 2 2 3 2 2
2 1 2 2 3 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 3 1 1
802 613 626 650 830 760 731 516 510 520 636 651 686 680 512 520 506 603 799 516 508 700 705 684 703 710 656 678 592 600 734 509 638 724 805 781 629 732 814 512 523
8
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342
1.730 3.460 2.790 2.960 1.110 1.460 1.900 1.660 2.390 1.290 1.890 1.280 3.290 2.860 1.110 1.690 1.760 1.090 1.260 950 980 2.360 1.350 1.840 780 820 2.860 2.890 2.870 960 2.050 2.130 1.620 2.420 2.060 2.850 980 1.550 1.320 1.230 1.150
no si si no si si no si si no no no si si no no si no no si no si si no no no si no no no si si si si si no si si no no si
3 4 6 2 3 3 2 2 6 3 4 5 6 5 2 2 2 3 3 2 3 4 6 5 3 2 3 4 4 2 3 5 3 3 5 4 2 3 6 3 4
Cap.13 Tablas
1 1 4 1 2 2 0 1 2 2 3 2 3 2 2 0 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1
2 3 2 1 1 1 2 1 4 1 1 3 3 3 0 2 1 2 2 1 1 2 4 4 1 0 2 2 3 1 1 3 2 2 4 2 1 1 4 1 3
2 3 2 2 1 1 2 2 3 1 2 3 3 3 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 3 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1
612 718 687 555 564 508 666 578 598 543 576 687 768 756 500 515 543 576 580 520 560 716 600 620 570 520 510 770 810 834 630 610 716 760 780 801 516 812 714 605 580
9
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355
980 1.650 1.320 1.840 960 1.020 1.110 850 960 1.240 1.750 930 1.450
no no no si no si no no no no si no si
2 2 3 3 2 3 2 4 2 2 3 1 2
Cap.13 Tablas
1 0 1 2 1 2 0 2 1 2 2 1 1
1 2 2 1 1 1 2 2 1 0 1 0 1
1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1
520 530 510 520 516 605 520 532 526 580 515 524 530
Tabla 13.2 CD Población (Familias del Barrio El Futuro), estratificadas por niveles de ingreso Estrato I. Familias con ingresos menores a $1.650 (miles de $) Número de personas No. Orden
Número Ingresos Vivienda miles $ Familias propia
Total
M
F
Consumo Trabajando diario de carne (grs.)
001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 012 013 014 015 016 017 018
003 004 005 010 012 021 022 024 025 028 032 033 034 035 036 037 038 039
920 1.060 1.080 800 780 830 1.630 790 790 1.140 960 790 1.260 1.040 1.450 830 1.620 860
no si no no si no si si si si si no no no no si si no
3 3 3 3 5 2 1 2 3 4 2 7 2 1 2 3 2 1
1 1 2 1 3 1 1 0 1 1 1 3 0 1 1 1 1 0
2 2 1 2 2 1 0 2 2 3 1 4 2 0 1 2 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1
802 765 735 892 772 813 753 680 620 832 782 620 630 580 580 520 570 510
10
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
019 020 021 022 023 024 025 026 027 028 029 030 031 032 033 034 035 036 037 038 039 040 041 042 043 044 045 046 047 048 049 050 051 052 053 054 055 056 057 058 059
040 041 042 044 047 048 049 051 054 057 059 060 061 062 065 068 069 070 071 072 073 075 077 078 082 085 089 090 092 094 095 096 097 099 101 102 104 108 111 113 114
950 950 1.060 760 840 840 1.350 1.250 1.050 950 840 860 1.020 1.340 790 1.350 760 790 1.260 950 980 1.350 780 820 960 1.120 1.560 1.320 960 890 1.010 1.000 1.120 1.560 960 840 1.020 950 1.110 860 840
si no no no si si no si si si si no si no si no no no no si no si no no no si si no no si no no si no no no no si si no si
3 3 3 4 3 4 1 2 3 3 3 1 3 2 3 3 2 1 3 2 3 6 3 2 2 3 3 6 4 2 2 2 3 4 2 3 1 2 3 3 4
Cap.13 Tablas
1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 0 1 1 2 2 1 0 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 0 1 3 1 1 1 1 1 2 2
2 2 2 2 2 2 0 1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 4 1 0 1 2 1 4 3 1 1 2 2 1 1 2 0 1 2 1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2
520 620 730 520 610 610 590 750 780 870 630 520 540 600 600 770 530 550 580 520 560 600 570 520 834 716 812 714 775 720 630 650 610 720 520 560 530 578 620 518 514
11
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
060 061 062 063 064 065 066 067 068 069 070 071 072 073 074 075 076 077 078 079 080 081 082 083 084 085 086 087 088 089 090 091 092 093 094 095 096 097 098 099 100
116 118 124 127 129 131 132 136 137 138 140 142 143 149 151 153 159 160 162 163 168 171 173 174 176 177 179 182 186 187 188 191 196 197 198 212 215 216 217 218 223
980 1.130 840 1.350 1.300 780 1.260 1.020 1.340 1.160 870 1.040 1.060 890 1.060 860 1.260 880 1.140 960 1.640 1.130 860 880 880 1.010 1.630 1.030 880 1.160 1.150 1.340 950 970 990 1.620 1.130 1.140 960 930 1.630
si si no no si no si si si si no si no si no si no si si no no no no no no no si si no si si si no no si no si si si no no
2 4 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 5 4 2 3 4 2 3 2 3 2 1 2 3 2 3 2 6 2 5 2 5
Cap.13 Tablas
1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 0 2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 0 1 2 1 1 1 0 1 1 1 1 2 2 1 2 1 4
1 3 1 0 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 3 2 1 2 4 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 0 4 1 3 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
516 620 785 638 527 516 520 816 515 516 532 635 520 520 522 516 516 508 600 520 720 716 510 512 520 606 605 563 510 580 584 620 515 508 506 536 700 520 506 516 650
12
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141
224 225 226 227 228 229 230 231 232 239 242 245 246 247 251 252 254 259 262 268 269 270 275 276 277 280 281 284 287 288 292 295 300 301 306 307 311 316 319 320 321
1.520 1.410 1.360 990 1.040 950 980 960 1.020 850 1.450 1.620 1.130 1.050 1.120 1.080 860 980 1.140 1.050 1.130 1.260 1.050 1.010 1.010 1.280 960 1.620 1.630 1.420 790 1.360 990 1.080 1.110 1.460 1.290 1.110 1.090 1.260 950
no si si si no si si no si no si no no si si si no si no no no no no no si no si no si si no no si no si si no no no no si
6 3 1 2 3 4 2 3 4 4 2 4 4 2 3 4 3 3 2 2 3 4 4 4 3 1 3 5 5 4 3 3 3 4 3 3 3 2 3 3 2
Cap.13 Tablas
2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 3 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 0 1 1 2 2 1 2 0 1 2 2 2 2 2 1 1 1
4 2 0 0 2 3 1 2 2 3 1 3 1 1 1 3 2 2 1 1 1 2 3 3 3 0 2 3 3 3 1 3 2 2 1 1 1 0 2 2 1
2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
666 672 712 520 542 548 560 558 562 520 632 600 586 584 521 716 520 601 613 516 510 520 512 520 506 516 508 684 656 678 509 805 512 523 564 508 543 500 576 580 520
13
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162
322 324 326 327 331 334 338 339 340 341 342 343 345 347 348 349 350 351 352 354 355
980 1.350 780 820 960 1.620 980 1.550 1.320 1.230 1.150 980 1.320 960 1.020 1.110 850 960 1.240 930 1.450
no si no no no si si si no no si no no no si no no no no no si
3 6 3 2 2 3 2 3 6 3 4 2 3 2 3 2 4 2 2 1 2
Cap.13 Tablas
2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 0 2 1 2 1 1
1 4 1 0 1 2 1 1 4 1 3 1 2 1 1 2 2 1 0 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
560 600 570 520 834 716 516 582 714 605 580 520 510 516 605 520 532 526 580 524 530
2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 3 2 2
789 895 799 749 864 732 824 804 767 760 842 723 816 714 852 780
Estrato II. Ingresos entre 1.650 y 2.500 (miles de $) 001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 012 013 014 015 016
001 006 007 008 011 014 016 017 018 019 020 023 026 030 031 043
1.860 1.700 1.650 1.930 1.790 2.350 2.060 2.000 1.790 2.060 2.250 1.790 1.820 2.100 2.250 1.840
si no no si no si si si no no no no no no si no
5 2 3 5 2 3 3 3 4 5 3 2 6 4 3 5
3 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 3 2 1 2
2 1 2 3 1 1 2 2 2 4 2 1 3 2 2 3
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Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
017 018 019 020 021 022 023 024 025 026 027 028 029 030 031 032 033 034 035 036 037 038 039 040 041 042 043 044 045 046 047 048 049 050 051 052 053 054 055 056 057
045 046 050 053 055 058 064 066 067 074 076 083 084 086 087 093 098 100 103 105 106 107 109 110 117 119 123 125 126 128 130 133 134 139 141 144 145 148 150 152 154
1.920 2.130 1.760 1.880 1.730 1.870 1.860 2.140 1.830 2.360 1.840 2.050 2.130 2.420 2.060 1.860 2.140 2.020 1.930 1.960 2.140 1.860 1.720 2.310 2.020 2.450 1.870 2.020 2.260 2.320 1.860 1.940 2.060 1.840 1.880 1.880 1.650 1.860 1.950 2.080 1.840
si si si no si no no si si si no si si si si si si si si si si no si no no si si no no no no si si no si no si si no no no
2 2 3 3 4 2 6 5 4 4 5 3 5 3 5 5 4 3 4 2 6 3 4 5 3 5 3 4 4 3 3 4 5 3 4 3 4 4 4 3 3
Cap.13 Tablas
1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 3 2 2 1 1 2 1 2 1 1
1 1 2 2 3 0 5 3 3 2 4 1 3 2 4 3 2 2 2 1 4 2 2 3 1 3 2 3 2 2 2 1 3 1 3 2 2 3 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
630 850 630 880 560 520 720 540 810 716 620 630 610 760 780 757 660 680 520 650 520 570 580 590 570 636 786 516 634 520 586 536 636 520 630 560 580 640 636 636 732
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058 059 060 061 062 063 064 065 066 067 068 069 070 071 072 073 074 075 076 077 078 079 080 081 082 083 084 085 086 087 088 089 090 091 092 093 094 095 096 097 098
155 157 158 161 164 165 167 172 175 178 180 189 190 192 199 200 201 202 204 206 207 211 213 219 221 222 233 234 236 237 238 240 241 243 244 248 249 250 253 255 256
2.060 1.860 1.890 1.860 1.870 1.860 2.060 1.950 1.860 2060 1.840 1.980 2.360 2.450 2.260 1.830 1.850 1.960 2.140 2.140 1.750 2.060 1.860 2.150 1.860 2.120 2.130 2.150 1.720 1.830 1.960 2.140 2.460 1.830 2.260 1.980 1.990 2.060 1.930 1.950 2.140
si no si no no no si si si no no no no si si no si si si no si no no no si si no no no no no si no si si si no no si no no
1 4 2 4 5 2 4 2 3 3 2 3 4 3 4 2 3 2 4 5 2 5 3 3 4 2 2 3 5 2 3 2 3 3 4 3 4 2 2 2 2
Cap.13 Tablas
1 2 1 1 2 1 1 0 1 2 1 0 2 1 1 1 1 1 2 3 0 1 2 1 2 1 1 1 3 1 1 1 1 0 2 1 2 1 0 0 0
0 2 1 3 3 1 3 2 2 1 1 3 2 2 3 1 2 1 2 2 2 4 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 3 2 2 2 1 2 2 2
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
806 735 738 630 580 586 712 718 512 803 596 636 814 712 514 630 650 642 716 752 684 744 716 613 636 680 616 630 684 586 584 601 608 636 650 586 532 616 650 616 684
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099 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132
258 260 263 264 266 267 271 278 282 283 285 286 291 293 296 297 298 302 308 309 310 312 313 317 318 323 325 332 333 335 336 344 346 353
1.950 2.260 1.930 1.850 1.820 1.880 2.500 2.080 1.840 1.880 2.120 1.950 2.050 1.860 1.850 1.760 1.920 1.730 1.900 1.660 2.390 1.890 2.180 1.690 1.760 2.360 1.840 2.050 2.130 2.420 2.060 1.650 1.840 1.750
no si no si no si si no no no si si si si no si si no no si si no no no si si no si si si si no si si
5 5 3 5 3 3 5 2 5 4 6 5 4 3 3 4 5 3 2 2 6 4 5 2 2 4 5 3 5 3 5 2 3 3
Cap.13 Tablas
2 2 0 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 3 1 0 1 2 3 2 0 1 2 1 2 2 1 1 0 2 2
3 3 3 3 2 1 4 0 3 2 5 4 2 2 1 2 2 2 2 1 4 1 3 2 1 2 4 1 3 2 4 2 1 1
2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2
624 712 626 650 760 731 636 603 700 705 703 710 734 638 781 629 732 612 666 578 598 576 687 515 543 716 620 630 610 760 780 530 520 515
Estrato III. Ingresos superiores a $2500 (miles de $) 01 02 03
002 009 013
3.840 2.820 3.060
no no si
6 4 5
2 2 4
4 2 1
3 3 3
807 742 804
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Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
015 027 029 052 056 063 079 080 081 088 091 112 115 120 121 122 135 146 147 156 166 169 170 181 183 184 185 193 194 195 203 205 208 209 210 214 220 235 257 261 265
3.420 3.130 2.600 3.860 2.620 3.950 2.860 2.890 2.870 2.850 3.140 2.620 3.960 3.630 3.230 4.960 3.870 3.420 3.320 2.730 2.880 2.680 2.700 3.960 2.960 2.870 2.840 3.210 3.240 3.860 3.620 3.320 3.890 2.970 2.990 2.620 2.620 3.790 2.960 3.280 3.860
no no si no si no si no no no no si no no si si no si si si si si si si no si no no si no si si no no no si no si no no si
4 5 4 5 5 5 3 4 4 4 3 2 6 3 7 6 4 5 3 3 3 2 3 4 5 3 2 4 2 5 3 6 3 3 4 4 3 6 3 5 3
Cap.13 Tablas
1 2 2 2 2 2 1 2 1 3 1 1 2 3 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 3 1 1 2 3 2 2 1 2 1
3 3 2 3 3 3 2 2 3 1 2 1 4 0 0 4 3 3 2 2 1 1 2 3 3 2 1 2 1 3 1 3 2 2 2 1 1 4 2 3 2
3 3 2 3 2 3 3 2 2 3 3 2 3 3 3 4 2 3 3 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 3 2 2 3
743 868 752 750 620 680 510 770 810 801 612 616 520 636 744 700 735 626 635 816 635 760 812 520 548 555 730 806 794 812 684 750 802 794 755 777 624 642 684 802 830
18
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61
272 273 274 279 289 290 294 299 303 304 305 314 315 328 329 330 337
2.610 2.930 2.960 3.260 2.860 2.980 2.880 3.350 3.460 2.790 2.960 3.290 2.860 2.860 2.890 2.870 2.850
si si si si no no si si si si no si si si no no no
2 3 4 3 3 3 2 4 4 6 2 6 5 3 4 4 4
Cap.13 Tablas
1 1 2 1 1 2 1 1 1 4 1 3 2 1 2 1 2
1 2 2 2 2 1 1 3 3 2 1 3 3 2 2 3 2
2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 3 2 2 1
651 686 680 799 592 600 724 814 718 687 555 768 756 510 770 810 801
EJERCICIOS RESUELTOS 1. Solución: a) Cierto
b) Cierto
c) Falso
e) Cierto
f) Cierto
g) Falso
a) Cierto
b) Cierto
c) Falso
e) Cierto
f) Cierto
g) Falso
a) Cierto
b) Cierto
c) Cierto
e) Falso
f) Cierto
g) Cierto
d) Falso
2. Solución: d) Falso
3. Solución: d) Cierto
4. Solución:
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Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
a) Sistemático
b) Sistemático
d) Aleatorio simple
e) Estratificado (asignación igual)
Cap.13 Tablas
c) No aleatorio (intencional)
5. Solución: a) Sistemático
b) Estratificado
c) Voluntaria
a) No aleatorio
b) No aleatorio
c) No aleatorio
d) No aleatorio
e) Aleatorio
6. Solución:
7. Solución: Si ordenamos las compras almacenadas por días o semanas de menor a mayor, haríamos una selección sistemática. De esta manera, en la muestra quedarían representados cada uno de las variaciones en la cantidad almacenada, por día o semana, al no ser así, es decir, cuando la variabilidad es muy poca deberíamos usar el muestreo aleatorio simple.
8. Solución: a) En el M.A.S. tendríamos la totalidad de los alumnos matriculados sin ordenarlos por cursos o por jornadas, conformando una población; luego hacemos un listado de los estudiantes siendo enumerados desde 001 hasta N. De esta población seleccionamos un determinado número de alumnos, de acuerdo con el tamaño muestral establecido. La selección es al azar. b) Primero seleccionamos una muestra de facultades, pues nuestra población esta constituida por el total de ellas que tenga la universidad. La segunda etapa, es una selección de cursos por cada facultad seleccionada; la tercera etapa, consiste en una selección de un determinado número de alumnos por curso. c) Fijamos carteles en lugares donde el alumno se entere y deposite el formulario que ha sido previamente diligenciado. En este caso el alumno en forma voluntaria colabora en la investigación. d) Cada facultad se constituye en población de la cual, se extrae una muestra cuyo tamaño será proporcional al tamaño poblacional. También podremos tener la
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Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.13 Tablas
población de alumnos por facultad distribuidos por cursos y haríamos una selección al azar, proporcional al número de alumnos por cursos. Nota: lo hubiéramos podido hacer como lo pide el ejercicio partiendo de 240 semestres, nos faltaría suponer el número de alumnos por cursos, por ejemplo, un promedio de 30 alumnos por curso, dando como resultado un total de 7.200 alumnos matriculados en la universidad.
9. Solución: Muestreo aleatorio estratificado – debemos clasificar las cuentas según su valor, en dos, tres o más grupos sub-poblaciones y luego seleccionamos muestras aleatorias de cada grupo de cuentas según su valor. Muestreo por conglomerados. Distribuimos las cuentas en varios grupos o conglomerados, de tal manera que cada uno de ellos tenga un número de cuentas con diferentes valores, de tal manera que cada grupo sea una réplica de la población. Enumeramos los conglomerados constituidos y seleccionamos uno de ellos al azar como la muestra que será estudiada. Muestreo sistemático. Ordenamos las cuentas según valor, de menor a mayor y luego seleccionamos, el número de cuentas que conformarán la muestra, a intervalos regulares por ejemplo: de cuatro en cuatro cuentas. Muestreo por conglomerados en dos etapas. Nuestra primera población son los departamentos en que está dividida la empresa comercial, seleccionando como muestra algunos de los departamentos, constituyéndose en la primera etapa; luego, en cada departamento hacemos un listado de cuentas; luego se procede a una segunda selección o segunda etapa.
10. Solución: •
Primero: Es posible que los nombres de los que habitan (jefe de hogar o propietarios) se encuentren desactualizados. Segundo: puede ser que el directorio esté incompleto, es decir, no incluye todas las viviendas o direcciones.
•
La actualización y correcciones deben hacerse en la etapa de preparación de la investigación y no cuando se está realizando la encuesta.
•
Es preferible considerar la lista de direcciones como marco, ya que la actualización es mucho más rápida. La selección de uno de ellos, se dará de acuerdo al tipo de investigación que se va a realizar, dependiendo del objetivo establecido.
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Cap.13 Tablas
11. Solución: a) En algunos casos se utiliza el teléfono, hoy en día hay sistemas más sofisticados, mejorando el procedimiento de recolección de información. b) El Fax, Internet o celular, hoy en día, sustituyen el método de correo, sistema que frecuentemente era utilizado. c) El más indicado es la entrevista, donde se puede utilizar un cuestionario y de esta forma, recoger más opiniones o reacciones sobre el programa. d) Se puede hacer la investigación puerta a puerta o diseñar una muestra que nos permita comprobar la información.
12. Solución: Hay varios procedimientos, uno de ellos sería la selección de hogares y realizar la recolección mediante entrevistas. Para ello iniciamos con selección de zonas, luego barrios, manzanas y finalmente hogares. Sin embargo la aplicación del método de observación directa, entrevistando a los compradores en los supermercados y administradores o dueños de los negocios que venden el nuevo producto.
13. Solución: Sería un ejemplo de muestreo aleatorio simple (M.A.S.) en el caso que se tenga un listado de establecimientos donde se vende el producto, sin estar organizado por ciudades o volumen de ventas. En nuestro caso no lo es. Un muestreo aleatorio estaría dado, si clasificamos los establecimientos por volumen de ventas; por número de empleados; por área etc. En este caso no se cumple. Nos quedamos con el método de muestreo por conglomerados en dos etapas, ya que tenemos dos poblaciones y por lo tanto dos selecciones. Primero ciudades y luego establecimientos.
14. Solución: Es difícil realizar un marco de unidades, pues en este caso es casi imposible la elaboración de un listado de vehículos. Se debe establecer si son automóviles particulares y/o de servicio público. Luego debería seleccionar los puntos de observación en la ciudad, para aplicar un muestreo sistemático, es decir, parar de cada 5 vehículos, que transiten uno de ellos, para examinar el estado de sus llantas.
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Cap.13 Tablas
15. Solución: Pˆ = p ± Z
pq n
a) Pˆ = 0,65 ± 1,96
0,74 = 74% 0,65 (0,35) = 100 0,56 = 56%
b) Mujeres que llegan a un puesto de ventas en un centro comercial, durante un cierto período de tiempo. c) No. Es una muestra con selección sistemática. d) Es el método de muestreo más conveniente en este caso.
16. Solución: Se está relacionando dos variables: el volumen de venta y el costo de publicidad del cual se espera genere más ventas. Se puede estimar el volumen de ventas en relación a un determinado costo de publicidad, por lo tanto necesitamos información tanto de ventas como los costos en publicidad.
17. Solución: a1) La diferencia principal consiste, en que, primero la variable a investigar debe estar ordenada de menor a mayor en el caso de ventas por ejemplo, y segundo deben estar totalmente desordenados y con poca variabilidad. a2) El muestreo de criterio. El investigador fija cuales son los elementos que deben ser considerados en la muestra, es un muestreo intencional u opinático. El de cuotas, a cada encuestador se le da un determinado número de unidades o elementos, que pueden estar divididas, por ejemplo, la mitad ser hombres y la otra mitad mujeres. El de conveniencia es el mismo voluntario, la persona suministra los datos sin hacerle seguimiento. b) Cuando la población es infinita o muy grande; cuando la característica tiende a ser homogénea; costo; tiempo; recursos de personal; destrucción del elemento y la finalidad de la investigación. c) El objetivo principal del muestreo es el de obtener la mayor cantidad de información con el menor costo posible.
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Cap.13 Tablas
d) Aumentar el tamaño de la muestra; sustituir el elemento que no se entrevistó por el siguiente que informó, y que debería encontrarse seleccionado; seleccionar dentro de los que informaron un número igual a aquellos que no lo hicieron y se duplican los datos; seleccionar un número igual a aquellos que no informaron, dentro de la población que no quedó incluida en la muestra.
18. Solución: a) Las poblaciones son: barrios; manzanas; viviendas y personas que las habitan. b) Se tendrán varios marcos, primero elabora un listado de barrios, luego de manzanas que fueron seleccionadas y finalmente de las viviendas seleccionadas y se entrevista a las personas de esa vivienda. c) Barrios, manzanas, viviendas, personas dentro de la vivienda d) Muestreo por etapas; (c) afiliación al servicio médico; edades; sexo; enfermedades comunes en el grupo, etc. f) Total de afiliados; promedio de edad; proporción de hombres y mujeres; proporción de las enfermedades más comunes al grupo.
19. Solución: a) Mi población a seleccionar en la primera etapa son manzanas, de éstas se seleccionaron 10; luego en la segunda etapa se tendrá una población de 100 casas, de las cuales se seleccionarán 20. b) En el muestreo aleatorio simple, la población estará constituida por 400 casas y la muestra será de 20 casas.
20. Solución: Siendo la clasificación del menor hasta el de mayor ingreso se debe utilizar el muestreo sistemático. Si formamos grupos cada uno con diferentes niveles de ingresos, se aplicará el método estratificado. En el irrestricto o muestreo aleatorio simple, se debe tener la población de ingresos en forma desordenada y por otra parte existir poca variabilidad en los niveles de ingresos.
21. Solución: a) Utilizaríamos el muestreo sistemático
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Cap.13 Tablas
b) En este caso, lo más indicado es el muestreo aleatorio simple c) Debe haber un sistemático y la idea que nos da, es ser de un muestreo de dos etapas (bietápico). TAMAÑO DE LA MUESTRA (Muestreo aleatorio simple) 22. Solución: a) E = 0,08 (46 ) = 3,68 Z =2
no =
n=
Z 2 s2 2 1 + 2 n E 1
no n 1+ o N
2 2 (9.700) no = 2 27,6
c) E = 0,08 = 8% no =
n=
Z 2 PQ E2
2 1 + n1
s = 40
N = 2.200 2 1 + 40 = 496,22
496,22 = n ≅ 405 hatos 496,22 1+ 2.200
s 2 = 9.700
2 1 + 40 = 53,48
Z =2
p = 95%
2 2 (1.600) no = 2 3,68
n=
b) E = 0,08 (345) = 27,6
s 2 = 1.600
Z =2 n=
N = 2.200
53,48 ≅ 53 hatos 53,48 1+ 2.200
s 2p = PQ = 0,6 (0,4 ) 2 2 (0,6) (0,4) no = 0,082
N = 2.200
P = 0,6 = 60%
2 1 + 40 = 157,5
157,5 ≅ 147 hatos 157,5 1+ 2.200
d) El tamaño de la muestra óptima deberá ser el resultado del aparte (a), donde n = 405 hatos, puesto que es el mayor valor calculado. 23. Solución E = 8.096
Z =2
N = 2.200
s 2 = 1.600
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2 2 (2.200)2 (1.600) no = [1,05] = 496,22 8.096 2
Z 2 N 2 s2 2 1 + n o = 2 n E 1
n=
Cap.13 Tablas
496,22 ≅ 405 hatos 496,22 1+ 2.200
Nota: el resultado es exactamente igual al obtenido en el problema No. 22 aparte a.
24. Solución: a) s = 250
s 2 = 62.500
1,96 2 (62.500) n= 24 2
Z2 S2 2 1 + n = 2 n1 E
b) N = 1.200
no = 427,26
E = 24
n=
no n 1+ o N
n=
427,26 ≅ 315 familias 427,26 1+ 1.200
Z = 1,96
2 1 + 80 ≅ 428 familias
25. Solución: 63 = 0,7 90
a) p =
no =
n=
b) x =
Z 2 PQ E2
no n 1+ o N
q = 0,30
2 1 + n1 ⇒
n=
⇒
Z = 1,96 1,96 2 (0,7 )(0,3) no = 0,02 2
E = 0,02 2 1 + 90 = 2.061,21
2.061,21 ≅ 1.711 afiliados o tarjetas 2.061,21 1+ 10.050
2.390.000 = 26.555,55 gasto promedio mensual 90
s = 4.000
⇒ s 2 = 16.000.000
E = 0,02 (26.555,55) = 531,11
26
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(
Cap.13 Tablas
)
1,96 2 4.000 2 no = [1,022] = 222,69 2 531,11
n=
222,69 ≅ 218 tarjetas o afiliados 222,69 1+ 10.050
Z2 N2 S2 [1,022] = 2 E
c) no =
n=
1,96 2 (10.050)2 × 4.000 2 [1,022] = 222,64 5.537.655,5
222,64 = 218 tarjetas 222,64 1+ 10.050
E = 10.050 (531,11) = 5.537.655,5
Este es el procedimiento cuando trabajamos con totales
d) El tamaño óptimo debería ser 1.711 tarjetas, por ser el mayor de todos
26. Solución: a) Falso
b) Cierto
c) Falso
d) Falso
e) Falso
27. Solución: Nº 1 2 3 4 5 6 7 8
Nº personas 4 5 8 6 6 4 6 5
Ventas 37,8 49,6 51,4 51,4 48,6 41,4 53,6 53,4
Rˆ = 8,8
n=8
∑ yi = 387,2
∑ yi2
= 18.973,36
∑ xi = 44
∑ xi2
= 254
∑ xi yi = 2.164,6
x = 5,5
387,2 Rˆ = = 8,8 44 1 Rˆ S = 8,8 ± 2,365 l 8 (5,5)
18.973,36 − 2 (8,8) (2.164,6 ) + 8,82 (254) 7
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Cap.13 Tablas
10,15 Rˆ S = 8,8 ± 2,365 (0,57 ) = l 7.45 8 N = (3.720 ) = 992 Establecimientos considerados como almacenes 30 N1 = 992(5,5) = 5.456 Personas que trabajan en los establecimientos considerados como
almacenes 55.332,57 (miles de $) YˆRS = 5.456 (8,8) ± 2,365 (992) (3,12 ) = i 40.693,03
y=
∑ yi n
=
1 Vˆ[ y R ] = n
44 = 5,5 8 ∑ y i2 − 2 Rˆ ∑ y i x i + Rˆ 2 ∑ xi2 n −1
1 Vˆ[ y R ] = [78,0236] = 9,7529 8 Vˆ[ y R ] = 3,12
error de estimación
28. Solución: p=
6 = 0,20 30
PˆS = 0,2 ± 2,04 I
(0,2) (0,8) 30 − 1
1−
35% 30 = 3.720 5%
1.305 establecimientos Aˆ S = 3.720 (0,2) ± 2,04 (3.720) (0,074 ) = I 182
Otro método que se podría aplicar es: p=
6 = 0,50 12
28
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PˆS = 0,50 ± 2,201
(0,5) (0,5) 11
I
1−
Cap.13 Tablas
0,83 = 83% 30 = 3.720 0,17 = 17%
29. Solución: No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Total 4 3 3 6 5 4 6 2 3 4 6 2 3 2 4 2
Hombres Mujeres 2 2 1 2 0 3 2 4 3 2 2 2 2 4 1 1 1 2 1 3 2 4 1 1 2 1 0 2 1 3 1 1
1 PˆS = 0,37 ± 2,1315 I 16 (3.69)
PS = 45,6% PI = 28,4%
Estimación a 22 a) p = ∑ i = = 0,37
∑ mi
p1 =
59
16 = 0,53 30
m = 3,69
N m = Total
(3.720) (0,53) = 1.971,6 (Establecimientos) 1.971,6 (3,69) = 7.275,2 (Total trabajadores) ∑ ai = 22
∑ ai2
∑ mi
∑ mi2 = 249
= 59
∑ ai mi
= 40
= 93
40 − 2(0,37 )(93) + 0,37 2 (249) 0,456 = 16 − 1 0,284
(Proporción de hombres que trabajan)
3.318 Aˆ S = 0,37 (7.275) ± 7.275 (0,086) = I 2.066
(Total de hombres que trabajan)
Totales (otro método) 2
22 40 − 30 30 22 29 ˆ X S = 3.720 ± 2,045 30 I 30
Total hombres que trabajan
1−
3.984 30 (3.720) = 2.728 ± 1.256 = 3.720 1.472
29
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Cap.13 Tablas
30. Solución: Estime el promedio y total de ventas por empleado.
∑ a i = 1.039 = ∑ yi
2 ∑ ai2 = 39.770 = ∑ yi
∑ mi = 108 = ∑ xi
2 ∑ mi2 = 466 = ∑ xi
∑ ai mi = 4.198 = Rˆ =
∑ yi ∑ xi
∑ xi yi
X = 3,8
m = 3,6
1.039,8 Rˆ = ≅ 9,62 (Mill.$ de pesos por empleado) 108
ventas $ personal empleado
=
x = 3,6
30 1− 2 22 3.720 39.770 − 2 (9,62 ) (4.198) + 9.62 (466 ) = 9,62 ± 0,89 = 10,66 Rˆ S = 9,62 ± 2,045 29 30 (3,6 ) I 30 8,73 (Millones de pesos por empleado)
Nota: se trabajó con la calculadora en el programa de estadística 147.855,86 YˆRS = 9,62 (3.720) (3,8) ± 3.720 (1,56) (2,045) = I 124.120,78
(Total)
Nota: los cuadros con líneas punteadas, índica el equivalente en la calculadora.
31. Solución: p=
∑ ai ∑ mi
∑ ai
= 59
=
PˆS = p ± t I
59 ≅ 0,55 108
∑ mi
= 108
m =
∑ ai2
∑ mi n
=
= 207
1− f
∑ ai2 − 2 p ∑ ai mi + p 2 ∑ mi2
n m
n −1
1 PˆS = 0,55 ± 2,045 I 30 3,6 Aˆ S = N1 p ± tN1 Vˆ[ p ]
108 = 3,6 30
∑ mi2
m = 3,6
= 466
∑ ai mi
207 − 2(0,55) (282) + 0,552 (466) = 0,55 ± 0,12 = 30 − 1
= 282
67% 43%
N 1 = N m = 3.720 (3,60 ) = 13.392
I
30
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Cap.13 Tablas
9.008,8 ≅ 9.009 Aˆ S = 13.392 (0,55) ± 2,045 (0,06)(13.392) = I 5.722,4 ≅ 5.722
Personas afiliadas
32. Solución: p=
No. mujeres No. personal empleado
∑ ai
= 65
∑ ai2
p=
= 193
∑ ai ∑ mi
∑ mi
=
= 108
65 ≅ 0,6 108
∑ mi2
m =
108 = 3,6 30
∑ ai mi
= 466
= 289
193 − 2(0,6) (289) + 0,62 (466) 0,67 = 67% mujeres PˆS = 0,6 ± 2,045 1 = 0,6 ± 0,07 = 0,53 = 53% 29 empleadas I 30 3,6
8.993,73 ≅ 8.994 Mujeres empleadas Aˆ S = 13.392 (0,6 ) ± 2,045 (0,035)(13.392) = I 7.076,62 ≅ 7.077
33. Solución: Mediante la regresión lineal, estimar el promedio y total de ventas semanales por empleado, sabiendo que el promedio de empleados por establecimiento es de 3.8.
∑ x = 108
∑ x2
x = 3,6
y = 34,66
s x2 = 2,57
s x2 = 2,66 (Corregida)
s 2y = 124,35
s 2y = 128,63 (Corregida)
s x = 1,6
s x = 1,63 (Corregida)
s y = 11,15
s y = 11,34 (Corregida)
= 466
y = ventas (miles de $ semanales) ;
∑ y = 1.039,8
∑ y2
∑ xy = 4.198
n = 30
= 39.770
x = personal empleado
Nota: se trabajó en la calculadora con el programa de estadística b=
n ∑ xy − (∑ x )(∑ y ) 30 (4.198) − (108) (1.039,8) = = 5,89 2 2 n ∑ x 2 − (∑ x ) 30 (466) − (108)
31
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
b=
c=
Cap.13 Tablas
∑ xy − n x y = 4.198 − 30 (3,6)(34,66) = 5,89 2 466 − 30 (3,6 ) ∑ x2 − n x 2
∑ y − b∑ x n
=
1.039,8 − 5,89 (108) = 13,456 30
YˆRL = b X + c
YˆRL = 5,89 (3,8) + 13,456 = 35,838
YˆRL = b ( X − x ) + y
YˆRL = 5,89 (3,8 − 3,6) + 34,66 = 35,838 (promedio)
YˆRL = bX + c
Xˆ = NX = 3.720 (3,8) = 14.136
(total)
Xˆ = N x = 3.720 (3,6 ) = 13.392
Total de empleados
c = 3.720 (13,456) = 50.056,32 YˆRL = 5,89 (14.136) + 50.056,32 = 133.317,36
YˆRL = b ( X − x ) + y
Yˆ = N y = 3.720 (34,66 ) = 128.935,2 (miles de $)
(total)
YˆRL = 5,89 (14.136 − 13.392) + 128.935,2 = 133.317,36 (mill de $)
1− f Vˆ[ yˆ RL ] = n m xy =
s 2y − 2bmxy + b 2 s x2
∑ xy − x y = 4.198 − 3,6 (34,66) = 15,16 n
30
1−
Vˆ[ y RL ] =
30 3.720 30
124,35 − 2 (5,89 ) (15,16 ) + 5,89 2 (2,57 ) = 1,08 Error estándar de
estimación. Si trabajamos con las varianzas sin corregir.
r = 2
r2 =
2 m xy
s x2 s y2 m xy2 2 x
s s
2 y
=
15,16 2 = 0,67 (2,66) (128,63)
=
15,16 2 = 0,72 (2,57 ) (124,35)
(Calculado con varianzas corregidas)
(Con varianzas sin corregir)
32
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.13 Tablas
Vˆ[ yRL ] = 1 [128,63 (1 − 0,72)] = 1,20 30
Vˆ[ y RL ] = 1,20 = 1,09
(Error estándar de estimación)
34. Solución: Estimar el total de ventas semanales (miles $) para los establecimientos que aparecen con actividad comercial “tienda”. No.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Σ
Ventas semanales
28,4
19,6
27,4
23,6
42,5
30,6
31,4
38,4
19,3
42,5
32,8
32,5
369,0
∑ xi
∑ xi2
= 369
= 12.012,4
12.012,4 − 30 369 30 30 − 1 30
Xˆ S = 3.720 369 ± 2,045 (3.720) 30 I
2
1 − 0,008
67.961,15 (Mill de $) Xˆ S = 45.756 ± 22.296 (0,9959) = 45.756 ± 22.205,5 = I 23.550,50
35. Solución: a) Proporción de mujeres: p=
∑ ai ∑ mi
Pˆ = p ± Z
=
∑ mujeres ∑
No. de personas
n N n m
1−
Pˆ = 0,52 ± 1,96
∑ ai2
35 15.000 35 (3,34)
1−
− 2p
∑ ai mi
m =
117 = 3,34 35
+ p2
∑ mi2
p=
∑ ai ∑ mi
=
61 = 0,52 117
n −1
137 − 2 (0,52) (2,28) + 0522 (443) 35 − 1
33
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.13 Tablas
0,79 = 79% Mujeres Pˆ = 0,52 ± 0,27 0,25 = 25%
x 117 b) Promedio de personas: x = ∑ i = = 3,34 n
s2 =
2 2 ∑ xi − n x
n −1
s Xˆ = x ± Z n
35
443 − 35 (3,34 ) = 1,55 35 − 1 2
=
1−
ˆ = Np ± ZN A
1,24 3,75 (1) = 3,34 ± 0,41 Personas por familia 2,93 35
n = 3,34 ± 1,96 N
p=
c) Total de propietarios de vivienda: pq n
1−
s = 1,55 = 1,24
∑ ai n
=
16 = 0,46 35
n N
(0,46) (0,54)
ˆ = 15.000 (0,46 ) ± 1,96 (15.000) A
35
9.377 1 = 6.900 ± 2.477 4.423 Total propietarios de vivienda
a 34 d) Número de personas que visitan al odontólogo: p = ∑ i = = 0,29
∑ mi
1− ˆ = Mp ± ZN A
n N
117
∑ a i2 − 2 p ∑ a i mi + p 2 ∑ mi2 n −1
n
M = N m = 15.000 (3,34) = 50.100
ˆ = 50.100 (0,29) ± 1,96 (15.000) A ˆ = 14.529 ± 4.360 18.889 A 10.169
1 35
62 − 2(0,29) (126 ) + 0,29 2 (443) 35 − 1
Personas que visitaron al odontólogo
34
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.13 Tablas
36. Solución: Razón =
personas que visitaron al médico personas que visitaron al dentista
y Rˆ = ± Z x
Rˆ = 1,44 ± 1,96
n N n x
1−
∑ yi2
− 2 Rˆ
∑ yi xi
Rˆ =
+ Rˆ 2
y x
Rˆ =
∑ yi ∑ xi
=
49 = 1,44 34
∑ xi2
1 147 − 2 (1,44) (59 ) + 1,44 2 (62 ) 35 − 1 35 (0,97 )
Relación de personas
a 49 b) p = ∑ i = = 0,4188 ≅ 0,42 ;
Pˆ = p ± Z
=
n −1
2,04 Rˆ = 1,44 ± 0,6 0,84
∑ mi
∑ yi ∑ xi
117
n N n m
1−
∑ ai2
− 2p
∑ ai mi
El 42% visitaron al médico
+ p2
∑ mi2
n −1
m =
117 = 3,34 35
3,34 = m = promedio de personas por familia (vivienda) Pˆ = 0,42 ± 1,96
1 147 − 2 (0,42)(195) + 0,422 (443) 35 − 1 35 (3,34)
0,55 = 55% Porcentaje de personas que visitaron al médico durante el período Pˆ = 0,42 ± 0,13 0,29 = 29%
c) Se deja al estudiante la solución de este punto 37. Solución: n = 10
∑ xi = 202
s 2 = 12,18
s = 3,49
∑ x i2 = 4.190
x = 20,2
a) El estimador puntual es x = 20,2 punto medio de ruptura.
35
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
s n
b) Xˆ = x ± t
3,49 Xˆ = 20,2 ± 2,262 = 20,2 ± 2,5 10
22,7 17,7
υ = n −1 = 9
P = 95%
c) 1)
Cap.13 Tablas
H 0 = µ = 22 H a = µ < 22
2) α = 0,01
t=
punto medio de ruptura
α = 0,05
x−µ s n
3) s = 3,49
20,2 − 22 = − 1,63 3,49 10
t=
Como t = − 1,63 cae en la zona de aceptación, se puede afirmar al nivel del 1% que estos resultados no son inferiores a los señalados por la empresa. d) Hay error de tipo II, ya que estamos aceptando que µ = 22 , cuando en realidad µ ≠ 22 amperios, por lo tanto estamos aceptando algo falso. 38. Solución: a) x = ∑
xi 140 = = 3,5 n 40
Número de personas por familia (datos sin agrupar)
y =
∑ y i ni = 140 = 3,5 n
40
(Estimador puntual) (datos agrupados)
yi
ni
yi ni
y i2 ni
1 2 3 4 5 6 7 Σ
2 6 14 11 3 3 1 40
2 12 42 44 15 18 7 140
2 24 126 176 75 108 49 560
Xi
fi
X i fi
X i2 f i
Falta por resolver b) y c), se deja al estudiante hacerlos.
36
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Cap.13 Tablas
39. Solución: σ 2 = 134,53
N = 36 n=
(
Z = 1,96
E = ±2
)
36 1,96 2 (134,53) 18.605,18 = = 29 ≠ 12 estantes 2 2 660,81 36 (2 ) + 1,96 (134,53)
Se necesitan 29 estantes y no 12 como sostiene el asesor.
40. Solución: N = 7.000
n = 700
pq n
Pˆ = p ± t
1−
n N
∑ ai
= 480
Pˆ = 0,69 ± 2,57
p=
480 = 0,6857 700
0,69 (0,31) 700
1−
⇒
p = 0,69
700 = 0,69 ± 0,04 7.000
0,73 0,65
El estimador puntual es: Pˆ = p = 68,57%
41. Solución:
S = 2
135 1.069 − 20 20 = 20
∑ Yi 2 − N Y 2
a) n =
N
2
≅ 7,89 = σ 2
20 (1,96 ) (7,89 ) 606,20 = ≅ 6 valores 2 2 20 (2) + 1,96 (7,89 ) 110,31 2
b) No. aleatorio 13 02 08 16 05 12
xi
8 8 8 12 10 6
n=6
∑ xi
s = 2,07
x = 8,67
= 52
∑ xi2
= 472
10,84 2,07 Xˆ = 8,67 ± 2,571 = 8,67 ± 2,17 6 6,50
216,8 2,07 Xˆ = 20 (8,67 ) ± 2,571 (20 ) = 173,4 ± 43 6 130,0
37
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.13 Tablas
42. Solución: a) Colegios públicos:
∑ y i = 31.281 ≅ 15,46 Rˆ = 2.024 ∑ xi
Rˆ = 15,46 ± 1,96
54 253 54 (37,48) 1−
x =
54 N = 468 = 253 Colegios públicos 100
2.024 = 37,48 54
16,95 29.881.219 − 2 (15,46) (1.729.349) + 15.462 (111.090) = 15,46 ± 1,49 54 − 1 13,97
( )
Entre 14 y 17 alumnos por profesor, es la relación en los colegios públicos.
b) Colegios privados:
∑ y i = 13.707 ≅ 12,75 Rˆ = 1.075 ∑ xi
Rˆ = 12,75 ± 1,96
46 215 46 (23,37 ) 1−
x =
46 N = 468 = 215 Colegios privados 100
1.075 = 23,37 46
14,17 6.366.785 − 2 (12,75) (431.041) + 12,752 (33.119) = 12,75 ± 1,42 54 − 1 11,33
( )
Entre 11 y 14 alumnos por profesor, es la relación en los colegios privados.
43. Solución: N = 10.000
a) Pˆ = p ± Z
n = 300
pq n
1−
n N
0,65 = 65% Pˆ = 0,6 ± 0,05 0,55 = 55%
∑ ai
= 300 − 120 = 180
Pˆ = 0,6 ± 1,64
(0,6) (0,4) 300
p=
1−
∑ ai n
=
180 = 0,6 300
300 10.000
% empleados que tienen aptitudes 6.500 Empleados que tienen aptitudes 5.500
b) Aˆ = 10.000 (0,6 ) ± 10.000 (0,05) = 6.000 ± 500
38
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.13 Tablas
44. Solución:
∑ y i ni
y =
n
=
106 = 2,65 40
s2 =
580 − 40 (2,65) ≅ 7,67 40 − 1 2
s = 7,67 = 2,77
Aproximadamente 3 caries por alumno
a)
yi
ni
yi ni
yi2 ni
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Σ
12 6 8 2 2 3 2 1 1 2 1 40
0 6 16 6 8 15 12 7 8 18 10 106
0 6 32 18 32 45 72 49 64 162 100 580
Xi
fi
X i fi
X i2 f i
s Yˆ = N y ± ZN n
1−
1.035 Yˆ = 795 ± 240 555
b) Pˆ = 0,10 ± 1,96
n 2,77 40 = 300 (2,65) ± 1,96 (300 ) 1− N 300 40
Total caries de los 300 estudiantes
0,10 (0,9) 40 1− 40 300
0,19 Pˆ = 0,10 ± 0,09 0,01
Proporción de mujeres sin caries
a 4 c) p = ∑ i = = 0,10 n
p=
∑ ai n
40
=
15 = 0,38 40
39
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
0,38 (0,62) 40
c) Aˆ = 300 (0,38) ± 1,96 (300)
Cap.13 Tablas
156 40 =114 ± 42 Total de varones con caries 300 72
1−
Nota: podríamos considerar en la pregunta del punto (b), se hace referencia a la proporción de niñas (dentro del total de 17 niñas) que no tienen caries; algo similar sucede con el punto (c), sobre el total de niños (dentro del total de 23 varones con caries). En ambos casos, el tratamiento sería de “dominio de estudio”. p=
∑ ai n
=
4 = 0,24 17
(0,24) (0,76)
Pˆ = 0,24 ± 2,120
p=
∑ ai n
=
1−
17 − 1
15 = 0,65 23
pq n −1
Pˆ = p ± t
1−
n N
0,45 40 = 0,24 ± 0,21 300 0,03
Aˆ = Np ± tN
pq n −1
1−
n N
p = 15 = 0,38 ⇒ N = 0,38 (300) = 114 varones en la población 40
45. Solución: a) Número de varones sin caries: Aˆ = 114 (0,65) ± 2,074 (114 )
b) n =
n=
NZ 2 s 2 NE 2 + Z 2 s 2 NZ 2 PQ NE + Z PQ 2
2
(0,65)(0,35)
n=
n =
1−
23 − 1 300 (1,96)
96 23 = 74 ± 22 114 52
(7,67 ) = 8.839,52 300(2 ) + 1,96 2 (7,67 ) 1.229,46 2
2
300 (1,96)
(0,3) (0,7 ) = 300(0,08) + 1,96 2 (0,03) (0,7 ) 2
2
= 7 niños
242,02 = 89 niños 2,73
40
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.13 Tablas
46. Solución:
∑ xi
n = 20
∑ xi yi
∑ xi2
= 40
= 203
x=2
∑ yi
= 92
y = 4,8
= 96
b = 0,92
∑ yi2
= 500
c = 2,97
Cov = 0,55
s x2 = 0,6
s 2y = 1,96
Las varianzas no fueron corregidas, ya que los cálculos se hicieron con calculadora. a) y RL = b (X − x ) + y = 0,92 (2 − 2) + 4,8 = 4,8 ≅ 5 familias por vehículo. s yx2 = s 2y − 2b Cov + b 2 s x2
s 2yx = 1,96 − 2 (0,92 ) (0,55) + 0,92 2 (0,6 ) = 1,46
s yx = 1,46 = 1,21
Familias por auto o vehículo: 20 5,37 ≅ 5 200 1,96 − 2 (0,92 ) (0,55) + 0,92 2 (0,6) = 4,8 ± 0,57 20 4,23 ≅ 4
1−
Yˆ = 4,8 ± 2,093
b) Si establecemos que X = 2 , es decir, que será el promedio de personas por familia, se tendrá que el total de personas en las 2.000 familias, es de 4.000 personas, diferente a 3.500. c) El promedio estimado de personas por familia es de 2. Nota: se trabajó con calculadora, utilizando el programa de regresión lineal (LR)
47. Solución: n N n X
1−
y Rˆ = ± t x
25 300 25 (16,2) 1−
Rˆ = 0,45 ± 2,797
∑ yi2
− 2 Rˆ
∑ yi xi
+ Rˆ 2
n −1
∑ xi2
Rˆ =
∑ yi ∑ xi
=
183 = 0,45 (Aprox.) 405
4.157 − 2 (0,45) (9.612) + 0,45 2 (22.687 ) = 0,45 ± 0,7 25 − 1
0,52 0,38
48. Solución: n = 12
∑ xi
= 295
∑ xi2
= 8.275
x = 24,58
y = 4,8
41
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.13 Tablas
2
295 8.275 − 12 12 2 s = = 92,99 12 − 1
a) Xˆ = x ± t b)
s n
s = 9,64
9,64 30,71 = 24,58 ± 6,13 = 24,58 ± 6,13 Xˆ = 24,58 ± 2,201 12 18,45
1) H 0 : µ = 30
H a : µ ≠ 30 α = 0,05 3) Como µ = 30 cae dentro de los límites de confianza, se acepta H 0 , al nivel del 2)
5%, por lo tanto la media es de 30 cm 3 c) Si la verdadera media de llenado es de 28 cm 3 , al aceptar H 0 , se estará cometiendo un error de tipo II.
49. Solución: x = 576 miligramos ;
s2 =
315 = 8,75 → s = 8,75 = 2,96 36
n = 36 cigarrillos
Contenido medio de nicotina en miligramos: 2.96 577,27 = 576 ± 1,27 Xˆ = 576 ± 2,57 (miligramos) 574,73 36
s Xˆ = x ± Z n
50. Solución: a) E = 2% = 0,02 n=
P = 0,45
Q = 0,5 5
Z = 1,96
N = 3.000
NZ 2 PQ 3.000 (1,96 ) (0,45)(0,55) 2.852,39 n= = = 1.327 Viviendas 2 2 2 2 2.150 NE + Z PQ 3.000 (0,02 ) + 1,96 (0,45) (0,55) 2
Se toma P = 0,45 , por ser el valor más cercano a 0,50; también se hubiese podido calcular el promedio: P = b) E = 1% = 0,01 n=
0,45 + 0,65 = 0,55 2 P = 0,10
Q = 0,90
Z = 1,96
N = 3.000
NZ 2 PQ NE 2 + Z 2 PQ
42
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
n=
3.000 (1,96)
(0,10)(0,9) 3.000 (0,01) + 1,96 2 (0,10) (0,9 ) 2
2
=
Cap.13 Tablas
1.037,23 = 1.596 Viviendas 0,65
Se toma el mayor valor de n, es decir, se requieren 1.596 viviendas en la muestra.
51. Solución: a) x = 3,1
∑ xi = 46,5
s Xˆ = x ± t n
1−
∑ x i2 = 157,69
n = 15
s = 0,983
s 2 = 0,9671
n N
0,983 Xˆ = 3,1 ± 2,145 15
1−
15 = 3,1 ± 0,52 150
3,62 2,58
mill $
El ingreso promedio mensual es de $3.100.000 y el valor verdadero debe estar entre $3.620.000 y $2.580.000 con una seguridad o confianza del 95%. b) Xˆ = N x ± tN
s n
1−
n N
0,983 Xˆ = 150 (3,1) ± 2,145 (150 ) 15
1−
543 15 = 465 ± 78 150 387
mill $
El ingreso total de las 150 familias es estimado en $465.000.000 mensual. c) No. de orden 1 2 3 4 5 6 7 s Xˆ = x ± t n
Ingreso 5,0 3,5 4,0 3,5 4,0 4,2 3,6
1−
n N
n=7
x=
∑ x i = 27,8
∑ xi n
s2 =
=
∑ x i2 = 112,10
s = 0,531
27,8 = 3,97 7
∑ xi2 − n x 2 n −1
0,53 Xˆ = 3,97 ± 2,447 7
27,8 112,10 − 7 7 s2 = 7 −1
2
= 0,28
4,43 1 − 15 = 3,97 ± 0,46 mill $ 150 3,51
s 2 = 0,28 ⇒ s = 0,28 = 0,53
43
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.13 Tablas
Ingreso promedio mensual de $3.971.428,57 de las familias propietarias de vivienda. 52. Solución: a) Xˆ = N x ± tN
S n
1−
n N
0,53 Xˆ = 50 (3,97 ) ± 2,447 (50) 7
1−
221,5 7 miles de $ = 198,5 ± 23 50 1.962
El ingreso total mensual para las 50 familias propietarias de vivienda es de $198.500.000 (aprox.)
∑ xi ± tN n
b) Xˆ = N
∑x ∑ xi2 − n i n n −1 n
27,8 Xˆ = 150 ± 2,145 (150) 15
2
1−
27,8 112,10 − 15 15 15 − 1
n N
2
15
1−
15 = 278 ± 173,76 150
451,76 mill $ 104,24
También, una manera mucho más fácil sería trabajar con el porcentaje de propietarios en la muestra, para realizar los cálculos. %=
7 = 0,47 = 47% 15
N = 0,47 (150 ) = 70
Propietarios en la población:
0,53 Xˆ = 70 (3,97 ) ± 2,447(70 ) 7
1−
310,45 7 = 277,9 ± 32,55 mill $ (aprox.) 70 245,35
Corresponde al ingreso total, de las familias no propietarias, cuando no se conoce el número de propietarios en la población. d) Porcentaje de arrendatarios
44
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
p=
∑ ai n
=
Pˆ = p ± t
8 = 0,53 15
pq n −1
Pˆ = 0,53 ± 2,447
Cap.13 Tablas
El 53% son arrendatarios
1−
n N
(0,53) (0,47 ) 15 − 1
1 −
0,84 = 84% 15 = 0,53 ± 0,31 150 0,22 = 22%
53. Solución: a) Número de arrendatarios ˆ = Np ± tN A
pq n −1
1−
n N 8 7 15 15 1 − 15 = 80 ± 46 126 Total de arrendatarios 15 − 1 150 34
ˆ = 150 8 ± 2,447 (150 ) A 15
De las 150 familias, se estima que 80 de ellos son arrendatarios. xi : 2,5 2,0 2,5 1,5 2,8 1,8 2,6 3.0 (millones de $) b) Hay dentro de los arrendatarios tres (3) que tiene ingresos semanales superiores a $2.500.000 siendo: 2,8 2,6 3,0 (millones de $)
p=
∑ ai n
=
3 = 0,375 = 38% 8
0,38 (0,62) Pˆ = 0,38 ± 2,365 8 −1
1−
0,79 15 = 0,38 ± 0,41 150 0
El resultado anterior aparentemente extraño, se debe a que la muestra (8) es demasiado pequeña, por lo tanto el error de estimación (0,41 = 41%), es relativamente grande. c) Aˆ = Np ± tN
pq n −1
1−
3 Aˆ = 150 ± 2,145 (150) 15
n N 3 12 15 15 1 − 15 = 30 ± 33 63 15 − 1 150 0
45
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.13 Tablas
El número de arrendatarios con ingresos superiores a $2.500.000, se estima en 30 familias. d) p =
4 = 0,27 = 27% 15
0,27 (0,73) Pˆ = 0,27 ± 2,145 15 − 1
1−
15 = 0,27 ± 0,24 150
0,51 = 51% 0,03 = 3%
(Porcentaje de familias con ingresos superiores a $3,7 mill $)
54. Solución:
∑ yi a) Rˆ = ∑ xi
n=7
∑ xi = 4.700
∑ y i2 = 40.030.000
b) X =
∑ yi Rˆ = ∑ xi
x = 671,43
y = 2.357,14
± t
n 1 − N 2 n X
∑ y i2 − 2 Rˆ ∑ y i xi + Rˆ n −1
2
∑ xi2
40.030.000 − 2 (3,51) (11.070.000) + 3,512 (3.310.000) = 3,51 ± 1,25 7 −1
y YˆR = ∑ i ∑ xi
210.000 = 525 400
16.500 YˆR = 525 ± 2,447 4.700
∑ y i = 16.500
∑ x i y i = 11.070.000
Rˆ = 16.500 = 3,51 ; 4.700
1− 7 400 Rˆ = 3,51 ± 2,447 7 (525)
∑ xi2 = 3.310.000
1−
7 400 7
X ±t
1−
n N
∑ yi2
− 2 Rˆ
n
∑ yi xi
+ Rˆ 2
∑ xi2
n −1
2.501,55 40.030.000 − 2 (3,51) (11.070.000) + 3,512 (3.310.000) = 1.842,75 ± 658,8 7 −1 1.183,95
miles de $
∑ yi c) YˆR = ∑ xi
XN ± tN
1− n
n N
4,76 2,26
2 2 2 ∑ y i − 2 Rˆ ∑ y i x i + Rˆ ∑ xi
n −1
46
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.13 Tablas
1.000.608 YˆR = 400 (1.842,75) ± 400 (658,8) = 737.088 ± 263.520 473.568
miles de $
55. Solución: a) n = 17
∑ xi = 64 s
Xˆ = x ± t
n
Xˆ = x ± t
= 16.480
s n
1−
∑ xi2
a 6 c) p = ∑ i = = 0,35 = 35%
Pˆ = p ±
pq n
Pˆ = 0,35 ± 2,12
1−
= 16.413.400
x = 969,41
s = 165,36
165,36 17 Xˆ = 969,41 ± 2,12 1 − 1.200 17
n N
1.053,83 Xˆ = 969,41 ± 84,42 884,99
17
s = 1,48
En promedio 4 personas por familia
∑ xi
n
∑ xi2 = 276
1,48 17 Xˆ = 3,76 ± 2,12 1 − 1.200 17
n N
1−
4,52 Xˆ = 3,76 ± 0,76 3,00
b) n = 17
x = 3,76
El gasto promedio en el mes es de $969.410
Con suscripción al periódico
n N
(0,35) (0,65) 17 − 1
1−
n = 0,35 ± 0,25 N
0,60 = 60% 0,10 = 10%
Familias con
suscripción
56. Solución: a) n = 10
∑ yi2
= 10.353
b = 0,79
∑ xi
= 188
∑ xi yi
= 6.181
c = 17,11
∑ xi2
= 3.768
∑ yi
= 319
x = 18,8
y = 31,9
r = 0,90
R 2 = 0,81
Nota: las operaciones se hicieron en la calculadora con el programa LR.
47
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
y RL = 0,79 (20 − 18,8) + 31,9 = 32,85
1− f
Yˆ = y RL ± t
(
sY2 1 − R 2
n 1
Yˆ = 32,85 ± 2,262
10
[n ∑ x
)
n
(
sY2 1 − R 2
17.085 YˆRL = 16.425 ± 660 15.765
c) R = r =
Promedio de productividad
34,2 19,66 (1 − 0,81) = 32,85 ± 1,35 31,5
1− f
b) YˆRL = N y RL ± tN
Cap.13 Tablas
)
Total de productividad
(∑ xi ) (∑ yi ) (∑ xi )2 ] [ n ∑ yi2 − (∑ yi )2 ]
n ∑ xi y i − 2 i
−
= 0,90
r = 0,90 R 2 = 0,81
57. Solución: 5.904 − 20 (17 ) = 6,53 20 − 1 2
x = 8,7
s x2 =
y = 17
s y2 =
1.626 − 20 (8,7 ) = 5,91 20 − 1 2
a) b yx =
s x = 2,43
Cov =
s y = 2,56
3.062 − (8,7 ) (17 ) = 5,2 20
5,2 = 0,88 5,91
YˆRL = 0,88 (12 − 8,7 ) + 17 = 19,90 s 2yx = 6,53 − Yˆ = 19,90 ± 2,093
5,2 2 = 1,95 5,91 1 20
55 ( 1,95 ) = 19,90 ± 0,65 1920,,25
b) YˆRL = 300 (19,90 ) ± 2,093 (300)
6.166 = 5.970 ± 196 20 5.774
1,95
48
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Cap.13 Tablas
58. Solución: xi
yi
ni
xi ni
yi ni
xi yi ni
xi2 ni
yi2 ni
2 2 4 6 6 6 7 7 -
1 2 3 1 2 3 2 4 -
2 8 5 4 3 2 4 2 30
4 16 20 24 18 12 28 14 136
2 16 15 4 6 6 8 8 65
4 32 60 24 36 36 56 56 304
8 32 80 144 108 72 196 98 738
2 32 45 4 12 18 16 32 161
x = 136 = 4,53 30
y = 65 = 2,17 30
161 − 30 (2,17 ) = 0,68 29
→
s y = 0,82
738 − 30 (4,53) s = = 4,22 30 − 1
→
s x = 2,05
2
s y2 =
2
2 x
Cov = 304 − (2,17 ) (4,53) = 0,30 30
b=
0,30 = 0,071 4,22
a) YRL = 0,071 (5,8 − 4,53) + 2,17 = 2,26 ; s yx2 = 0,68 −
0,30 2 = 0,66 → 4,22
s yx = 0,82
0,82 2,57 = 2,26 ± 0,31 YˆRL = 2,26 ± 2,045 1,95 30 1.285 975
b) YˆRL = 2,26 (500) ± 0,31 (500) = 1.130 ± 155
59. Solución: a) Rˆ = 319 = 1,70 188
49
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
10 500 10 (18,8) 1−
Rˆ = 1,70 ± 2,262
Cap.13 Tablas
10.353 − 2 (1,70) (6.181) + 1,70 2 (3.768) = 1,70 ± 0,19 10 − 1
1,89 1,51
37,8 30,2
b) YˆR = 1,7 (20 ) ± 20 (0,19) = 34 ± 3,8
18.900 15.100
c) YˆR = 1,7 (20) 500 ± 0,19 (20 ) 500 = 17.000 ± 1.900
60. Solución: Con los datos del ejercicio 57 se hacen los cálculos de: Rˆ , YˆRL , YˆR a) Rˆ = 340 = 1,95 174
Rˆ = 1,95 ± 2,093
1 − 20 300 20 (12 )
5.904 − 2 (1,95) (3.062 ) + 1,952 (1.626) = 1,95 ± 0,10 20 − 1
2,05 1,85
b) YˆR = 1,95 (12) ± 0,10 (12 ) = 23,4 ± 1,2 24,6 22,2 7.380 6.660
c) YˆR = 1,95 (12 ) 300 ± 300 (1,2 ) = 7.020 ± 360
Con los datos del ejercicio 58 se hacen los cálculos de:
Rˆ , YˆR , YˆR
a) Rˆ = 65 = 0,48 136
30 500 30 (5,8) 1−
Rˆ = 0,48 ± 2,045
161 − 2(0,48) (304 ) + 0,48 2 (738) = 0,48 ± 0,03 30 − 1
0,51 0,45
2,95 2,61
b) YˆR = 0,48 X ± 0,03 X = 0,48 (5,8) ± 0,03 (5,8) = 2,78 ± 0,17
1.475 1.308
c) YˆR = 2,78 N ± 0,17 N = 2,78 (500) ± 0,17 (500) = 1.390 ± 85
50
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Cap.13 Tablas
61. Solución: x = 72.710 = 2.423,67 30
s = 2.262,45
2.262,45 Xˆ = 2.000 (2.423,67 ) ± 2,045 (2.000) 30 6.536.768,04 Xˆ = 4.847.333,33 ± 1.689.435,71 = 3.157.897,62
El error generado es alto, dado la gran dispersión que se observa en los datos, con costos de $260 miles y de $7.200 miles.
62. Solución: ∑ xi = 72.710
2 ∑ xi = 329.786.500
n = 30
∑ xi yi = 224.171.200
YˆRL = bx + c
Yˆ = 0,6053x + 337,57
∑ yi = 54.140
2 ∑ yi = 186.374.200
YˆRL = 0,6053 (2.728,6) + 337,57 = $1.989,19 miles ( promedio) 1.039,27 2.377,79 ⇒ YˆRL = 1.989,19 ± 388,60 = YˆRL = 1.989,19 ± 2,048 1 .600,59 30
s 2yx =
186.374.200 − 337,57 (54.140) − 0,6053(224.171.200) 30
2 s yx = 1.080.244,43 ;
s yx = 1.039,27
El coeficiente de correlación: r = 0,7965 ≅ 0,80
51
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Cap.13 Tablas
63. Solución: a) x =
686 = 34,30 aproximadamente 34 visitantes por hora y por almacén 20
El total de visitantes por hora en los 20 almacenes será: Xˆ = nx = 20(34,30 ) = 686 visitantes por hora. Para los 2.000 almacenes, se estima en: Xˆ = 2.000 (34,30) = 68.000 visitantes por hora. b) Yˆ = bx + c ⇒ Yˆ = 1,3934 (37,6 ) − 0,0448 = 52,34 ≅ 52 Visitantes por hora, es el promedio para cada almacén.
Yˆ = 2000 (52,34) = 104.680
Visitantes, es el total de visitantes por hora para los 2.000 almacenes.
64. Solución: a) Los almacenes con un número de visitantes, superior a las 50 personas son los almacenes: 4; 6; 9; 12; 15; 16; 17; 18; 19 y 20 ⇒ Total 10 almacenes p=
∑ ai = 10 = 0,50 ⇒ 50% de los almacenes investigados, tienen más de 50 n
20
personas que los visitan cada hora. b) Podríamos estimar en los 2.000 almacenes, que 1.000 de ellos son visitados por más de 50 personas en una hora. Aˆ = Np = 2.000(0,50) = 1.000 almacenes
NOTA: Se deja al alumno terminar el desarrollo de estos ejercicios.
65. Solución: a) La población está conformada por un número indeterminado de establecimientos que funcionan arrendados. Se forman dos subgrupos: C = establecimientos que funcionan en locales arrendados con baño y C` los que no tienen baño. C
C`
C
C`
52
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.13 Tablas
Aj + Aj = N j
409 + 111 = n j
a Pˆj = p J = J = 409 = 0,7865 nJ 520
El error del muestreo para el estimado: pJ qJ nJ
Sˆ PJ =
1 − fJ
Como la fracción de muestreo ( f j ) no se puede determinar por desconocer el valor de N j , se aplica como fracción de muestreo.
f = n = 800 = 0,087 (Siendo mayor a 0,05 para su aplicación) N 9.200
Sˆ PJ =
409 111 520 520 520
1 − 0,087 = 0,0172
Los límites de confianza del 95% serán:
o
1,72%
Pˆs = p ± z i
pJ qJ nJ
1− fj
0,8202 = 82,02% Pˆs = 0,7865 ± 1,96 (0,0172) = 0,7865 ± 0,0337 = 0,7528 = 75,28% i
b) Para estimar el total de establecimientos en local y sin baño propio, cuando no se conoce el número de ellos en local arrendado, se procede de la siguiente manera: ˆ = N ∑ a i = 9.200 111 = 1.276,5 ≅ 1.277 establecimientos A S I 800 n
∑ aJ n − ∑ aJ n ∑ aJ n ± Aˆ S = N ZN n n I
1− n N
La confianza será del 95%
111 Aˆ S = 9.200 ± 1,96 (9.200) I 800
111 689 800 800 800
1−
1.487 800 = 1.276,5 ± 210,58 = 9.200 1.066 Establecimientos
c) Se sabe que el total de establecimientos en locales arrendados es de 6.400 y con local propio, de 2.800.
53
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.13 Tablas
∑ ai 241 = 2.410 Aˆ S = N = 2.800 n 280 I
Los límites de confianza del 95% ∑ ai n − ∑ ai n n a ∑ i ˆ AS = N ± ZN n I n 241 39 280 280 280
241 Aˆ S = 2.800 ± 1,96 (2.800) I 280
1− n N
1−
2.517,73 ≅ 2.518 280 = 2.410 ± 107,73 = 2.800 2.302,27 ≅ 2.302 Establecimientos
Los ejercicios 66 y 67, no se desarrollaron, por lo tanto tendrá que resolverlos el interesado.
68. Solución: Artículos Cantidad exagerada
x =
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
350
100
230
80
120
90
220
80
230
280
120
200
200
200
2.500 = 178,57 14
s = 82,45
79,45 Xˆ = 1.000 (178,57 ) ± 2,160 (1.000) 14
234.856,38 1.000 − 14 = 178.570 ± 47.286,35 = 1.000 − 1 131.283,62
69. Solución: Yˆ = 1,0058 (1.500 ) + 164,363 = 1.673,18 (Se trabajo con calculadora)
Total : Yˆ = 1.000 (1.673,18) = 1.673.177,6 83,81 1.721.559,8 Yˆ = 1.673.177,6 ± 2.160 (1.000 ) = 1.673.177,6 ± 48.382,2 = 1.624.795,4 14
54
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.13 Tablas
70. Solución: a) Rˆ = ∑ i = 1.250,6 = 1,21 ∑ xi 1.031,7 y
→
Promedio YˆR = X Rˆ = 105 (1,21) = 127,28
Total: YˆRˆ = N X Rˆ = 500 (127,28) = 63.640
X = 105
y = 1.250 = 125 (Promedio) 10
b) Directo:
Total: Yˆ = 500 (125) = 62.500 Se deja a usted el cálculo de los límites de confianza.
71. Solución: Desarrollaremos este ejercicio para demostrar cómo se aplican estas fórmulas, en la obtención de estimativos para promedios y totales. En primer lugar suponemos que se tiene información para las 28 familias sobre sus niveles de ingreso quincenal obtenidos a través de un censo realizado con anterioridad a la encuesta por muestreo. ∑ xi = 32.210
∑ xi2 = 42.506.100
∑ xi yi = 60.639.500
∑ y i = 46.250
∑ y i2 = 87.416.300
x = 1.150,36 media muestral
Se conoce la media poblacional X = 1.238
∑ yi Rˆ = ∑ xi
46.250 ⇒ Rˆ = = 1,4359 ≡ 1,44 32.210
YˆRS = Rˆ X ± t I
1 − f n
YˆRS = 1,44 (1.238) ± 2,045 I
∑ yi2 − 2 Rˆ ∑ xi yi + Rˆ 2 ∑ xi2 n −1
28 1 − 355 87.416.300 − 2 (1,44 ) (60.639.500) + 1,44 2 (42.506.100 ) 28 − 1 28
1.851,01 YˆRS = 1.782,72 ± 68,29 = 1 .714,43 I
El estimativo del total de ingresos en miles de $ en las 355 familias sería:
55
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.13 Tablas
YˆRS = NRˆ X ± tN SˆYR I
YˆRS = 355(1,44) (1.238) ± 2,045 (355) I
28 1 − 355 28
87.416.300 − 2(1,44) (60.639.500) + 1,442 (42.506.100 ) 28 − 1
657.108,55 | YˆRS = 355 (1.782,72 ) ± 355 (68,29) = 632.865,6 ± 24.242,95 = I 608.622,65
NOTA: no fueron resueltos los ejercicios desde el 72 hasta el 86. 87. Solución: n01 =
Z12 s12 2 2 (28) = = 25,92 E12 112
n02 =
Z 22 s22 12 (37 ) = = 8,76 ; E22 12,52
2
n1 =
n 01 25 ,92 = ≅ 24 n 01 25 ,92 1+ 1+ 285 N1
2
n2 =
8 , 76 8 , 76 1+ 415
≅ 9
n = n1 + n2 = 24 + 9 = 33 Elementos
88. Solución: Tamaño de la muestra Asignación igual:
n 33 = = 17 2 2
n 1 = 17
n 2 = 17
n = 34 Elementos
Asignación proporcional: W1 =
N 1 285 = = 0,4071 ≅ 0,41 N 700
n1 = W1 (n ) = 0,41(33) = 13,53 ≅ 14
W2 =
N 2 415 = = 0,5929 ≅ 0,59 N 700
n2 = W2 (n ) = 0,59 (33) = 19,47 ≅ 20 ; n = 34 Elementos
Asignación óptima: W S nh = n h h ∑ Wh S h
W1 S1 0,41 (28) n1 = n = 33 ≅ 12 W S + W S 0 , 41 ( 28 ) + 0 , 59 ( 37 ) 2 2 1 1
56
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Cap.13 Tablas
W2 S 2 0,59 (37 ) n2 = n = 33 ≅ 22 0,41 (28) + 0,59 (37 ) W1 S1 + W2 S 2 n1 = 12
n 2 = 22
n = 34 Elementos
89. Solución: a) Asignación proporcional e igual n0 =
∑ Wh s h2
(E / Z )
n0 =
2
0,5 (16 ) + 0,3 (25) + 0,2 (36 ) = 115,21 (0,87 / 1,96)2
xst = 0,5 (10) + 0,3 (20) + 0,2 (32) = 17,4 n =
115 , 21 elementos o unidades = 90 115 , 21 1+ 400
(∑W S Asignación óptima: n =
[0,5 (4)
)
WS Cn ∑ h h Cn 2 1 E + ∑ Wh S h2 N Z h
n=
E = 0,05 (xst ) = 0,05 (17,4) = 0,87
;
h
0,5 (4 ) 0,3 (5) 0,2 (6) 1 + 0,3 (5) 4 + 0,2 (6 ) 9 + + (8,6) (3,15) = 107 4 9 1 = 2 0 , 1970 + 0,05675 0,87 + 1 [0,5 (16) + 0,3 (25) + 0,2 (36 )] 1,96 400
]
b)
Elementos
Asignación óptima: n =
[10.000 − n=
(C − C o ) ∑ N h S h Cn ∑ N h S h Cn
200 (4 ) 120 (5) 80 (6 ) 9.500] + + 1 4 9
[200 (4)
1 + 120 (5) 4 + 80 (6) 9
]
=
(500) (1.260) = 184 Elementos 3.440
NOTA: sobre la información de n = 148 90. Solución: Asignación proporcional (Promedio)
57
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xst = 0,5 (10) + 0,3 (20) + 0,2 (32 ) = 17,4
Cap.13 Tablas
s2 Vˆ[x st ] = 12 ∑ N h (N h − nh ) h nh N
Consideramos las varianzas como las obtenidas a través de una muestra, para luego calcular el error de estimación. Vˆ[x st ] = 1 2 355
200 (200 − 74 ) 16 + (120 − 45) 25 + 80 (80 − 30) 36 = 0,12 74 45 30
Siendo n = 148 se tiene que n1 = 0,5 (148) = 74
n2 = 0,3 (148) = 45
Xˆ st s = x + Z Vˆ[xst ]
18,08 Xˆ st s = 17,4 ± 1,95 0,12 = ( promedio) i 16,72
i
n3 = 0,2 (148) = 30
7.231,58 Xˆ st s = 400 (17,4 ) ± 1,96 (400) 0,12 = (total ) I 6.688,42
NOTA: en el libro aparece n = 177 en vez de n = 148.
58
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Cap.14 Algunos elementos básicos de las matemáticas aplicados en la estadística
14 Algunos elementos básicos de las matemáticas aplicados en la estadística El hombre instruido lleva en si mismo sus riquezas Fedro
CONTENIDO Sumatoria, productoria, propiedades Símbolos y operaciones aritméticas, razones y porcentajes Sistemas de ecuaciones, con dos y tres incógnitas 75 ejercicios resueltos
COMPETENCIAS Desarrollar o resolver cualquier ejercicio que aplique la sumatoria o la productoria Manejar correctamente las propiedades de las sumatorias Comprender y manejar símbolos y operaciones aritméticas Resolver ecuaciones con dos y tres incógnitas, aplicadas a algunos temas estadísticos. Capacidad para distinguir y utilizar relativos, proporciones, porcentajes, etc.
ASPECTOS GENERALES Se ha considerado de gran importancia la inclusión de algunos temas, no importa lo resumido de su presentación, ya que el alumno de acuerdo al interés que muestre lo podrá emplear o consultar en libros de matemáticas donde el tema es desarrollado con mayor profundidad.
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Cap.14 Algunos elementos básicos de las matemáticas aplicados en la estadística
SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS SUMATORIA SIMPLE Si el alumno desarrolla los ejercicios que se presentan en este tema, será una valiosa ayuda en el aprendizaje de la estadística, en especial para la aplicación y desarrollo de las fórmulas, así como en el uso de las propiedades, que luego serán utilizadas en muchas de las unidades que contiene el libro. Nos encontramos frecuentemente en estadística con la suma de un gran número de términos. Con el fin de simplificar, es indispensable indicar mediante un símbolo dicha suma. Supongamos que se tienen seis números y deseamos sumarlos. S = 7 + 10 + 12 + 18 + 13 + 5 = 65 Lo anterior lo podemos generalizar y anotar, empleando para ello un simbolismo algebráico. S=a+b+c+d+e+f Donde a, b, c,…., toman los respectivos valores de: 7, 10, 12…., hasta completar los sumandos, que en este caso corresponde a seis. Cuando el número de sumandos se hace bastante grande, nos encontramos en dificultad al usar las letras del alfabeto, de ahí que se prefiera la notación n para reunir en una sola cantidad la totalidad de los sumandos. Así, esta suma: X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6
6
La podríamos escribir ∑ X i i =1
Por convención se ha adoptado la letra S del alfabeto griego, es decir, sigma (Σ), que se lee sumatoria, para indicar la suma de n términos. Entonces:
6
∑ X i = X1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6
i =1
En algunos casos se podrá utilizar la letra i en vez de X i . Si generalizamos, tenemos la n
siguiente expresión: ∑ i donde: i =1
n: límite superior de la sumatoria
i: elemento genérico de la sumatoria 2
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Σ: sumatoria
Cap.14 Algunos elementos básicos de las matemáticas aplicados en la estadística
i = 1: límite inferior de la sumatoria
Lo anterior, en conjunto, se lee “sumatoria de i = 1 hasta n de i”. En el caso de utilizar a X i observamos que i es la que toma valores desde el límite inferior hasta el límite superior. Como en este caso el límite superior es 6, resultará: X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 , X 6 y la sumatoria sería: 6
∑ X i = X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + Y5 + X 6
i =1
Esta es la solución que le daríamos a esa sumatoria de X i . Sin embargo, cada X i , toma un valor, de acuerdo con las observaciones hechas, (en nuestro caso, los numerales 7, 10, 12, 18, 13, 5, respectivamente). Entonces, reemplazando cada X i por su valor correspondiente, la solución a dicha sumatoria sería: 6
∑ X i = 7 + 10 + 12 + 18 + 13 + 5 = 65
i =1
Cuando la sumatoria tiene el término i como elementos genérico, se está indicando que i toma todos los valores, en forma continua, desde el límite inferior hasta el superior. n
∑ i = 1 + 2 + 3 + 4 + ...... + n
i =1
Así, por ejemplo, siendo el límite superior 6 y el inferior 1, se tendrá: 6
∑ i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
i =1
Sin embargo, se puede operar con un límite inferior diferente a uno: 7
∑ i = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25
i =3
9
∑ i = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 35
i =5
También se pueden cambiar los símbolos empleados como elementos genéricos de la suma: 4
∑ Ai = A1 + A2 + A3 + A4
i =1
4
∑ Yi = Y1 + Y2 + Y3 + Y4
i =1
3
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Cap.14 Algunos elementos básicos de las matemáticas aplicados en la estadística
En vez de i se podrá emplear otro símbolo, por ejemplo j: 5
4
∑ A j = A2 + A3 + A4 + A5
∑ j = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
j=2
j =1
8
∑ Y j = Y5 + Y6 + Y7 + Y8
j =5
Veamos otras operaciones sobre sumatorias simples: 4
a. ∑ i i = 11 + 2 2 + 33 + 4 4 = 1 + 4 + 27 + 256 = 288 i =1
4
b. ∑ 2i = 21 + 2 2 + 23 + 2 4 = 2 + 4 + 8 +16 = 30 i =1
4
c. ∑ i 2 = 12 + 2 2 + 32 + 4 2 = 1 + 4 + 9 +16 = 30 i =1
2
4 d. ∑ i = [1 + 2 + 3 + 4]2 = (10)2 = 100 i =1 2
3 Es necesario observar que ∑ i ≠ ∑ i ; si desarrollamos la primera expresión el i =1 i =1 2 2 2 resultado será: 1 + 2 + 3 = 14 y en el segundo caso será (1 + 2 + 3)2 = 6 2 = 36 ; el 3
(
2
)
alumno fácilmente puede confundir las dos expresiones.
Propiedades de la sumatoria Además de que el signo de la sumatoria sea el más utilizado en las operaciones de estadística, las propiedades de la sumatoria tienen su importancia al ser casi las mismas propiedades que presenta la media aritmética y, como tal, se volverá a ver en las medidas de posición.
La sumatoria de una constante k, desde uno hasta n, es igual a n veces la constante: n
∑ K = K + K + K + ..... + K = nK
i =1
4
Ejemplo: ∑ 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 4(2) = 8 i =1
4
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Cap.14 Algunos elementos básicos de las matemáticas aplicados en la estadística
n
Se debe tener en cuidado al generalizar que ∑ K = nK i =1
ya que sólo se cumple cuando el
límite inferior es uno. Si es diferente a uno se procederá en la siguiente forma: 6
Si A3 = K ; A4 = K ; A5 = K ; A6 = K
∑ Ai = A3 + A4 + A5 + A6
i =3
6
Entonces, al reemplazar Ai por K , será igual a: ∑ K = K + K + K + K = 4 K i =3
Ahora siendo K = 2 , se tendrá: ∑ 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 4(2) = 8 6
i =3
∑ 2 = [(6 − 3) + 1] (2) = 4(2) = 8 6
Que equivale a:
i =3
∑ 8 = [(10 − 5) + 1] (8) = 6(8) = 48 10
Otro ejemplo:
i =1
La sumatoria del producto de una constante por una variable es igual al producto de la constante por la sumatoria de la variable. n
∑ Ki = K (1) + K (2) + K (3) + ..... + K ( n) = K (1 + 2 + 3 + ..... + n)
i =1
n
n
i =1
i =1
∑ Ki = K ∑ i
∑ 2i = 2(1) + 2(2) + 2(3) + 2(5) = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30 5
i =1
Siendo igual a la expresión de:
Otro ejemplo:
8
8
i =3
i =3
5
2 ∑ i = 2(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 2(15) = 30 i =1
∑ 8i = 8 ∑ i = 8 (3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8) = 8(33) = 264
La sumatoria de dos o más variables, es igual a la suma de las sumatorias de cada una de las variables (ley distributiva):
5
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Cap.14 Algunos elementos básicos de las matemáticas aplicados en la estadística
∑ ( X i + Yi + Z i ) = ( X 1 + Y1 + Z1 ) + ( X 2 + Y2 + Z 2 ) + .... n
i =3
Siendo:
∑ ( X i + Yi + Z i ) = ∑ X i + ∑ Yi + ∑ Z i n
n
n
n
i =1
i =1
i =1
i =1
4
4
4
4
i =1
i =1
i =1
i =1
2 2 2 ∑ (2i − 6) = ∑ (4i − 24i + 36) = 4 ∑ i − 24 ∑ Z i + 4 (36)
= 4(12 + 2 2 + 33 + 4 2 ) − 24(1 + 2 + 3 + 4) + 144 = 4(30) − 24(10) + 144 = 120 − 240 + 144 = 24
Fórmulas especiales sobre sumatorias Existen algunas fórmulas “especiales” que proporcionan el valor de la suma de n números, comprendidos entre 1 y n, inclusive. n
∑i =
i =1
n( n + 1) 2
Ejemplo 1. 10
∑ i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55
i =1
10
∑i =
i =1
10(10 + 1) 10(11) 110 = = = 55 2 2 2 n
∑ i2 =
i =1
n(n + 1) (2n + 1) 6
Ejemplo 2.
6
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Cap.14 Algunos elementos básicos de las matemáticas aplicados en la estadística
10
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∑ i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 385
i =1
10
2 ∑i =
i =1
10(10 + 1) ( 20 + 1) 110(21) = = 385 6 6
n (n + 1)2 ∑i = 2 i =1 n
3
Ejemplo 3. 5
3 3 3 3 3 3 ∑ i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 225
i =1
2
2 5(5 + 1) 30 = (15)2 = 225 = 2 2
5
3 ∑ i = i =1
EJERCICIOS RESUELTOS Desarrollo de algunos ejercicios de sumatoria. 4
1) ∑ i = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 i =1
7
3) ∑ i = 4 + 5 + 6 + 7 = 22 i=4
3
3
i =1
i =1
5) ∑ 2i = 2 ∑ i = 2(1 + 2 + 3) = 2(6) = 12 3
7) ∑ i i = 11 + 2 2 + 3 3 = 32 i =1
6
9) ∑ X i = X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6 i =1
3
2) ∑ i 2 = 12 + 2 2 + 32 = 14 i =1
4
4) ∑ i 2 = 2 2 + 32 + 4 2 = 29 i=2
3
6) ∑ 5i = 5(1) + 5(2) + 5(3) = 30 i =1
4
8) ∑ 2i = 21 + 2 2 + 23 + 2 4 = 30 i =1
5
10) ∑ X j = X 2 + X 3 + X 4 + X 5 j=2
7
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Cap.14 Algunos elementos básicos de las matemáticas aplicados en la estadística
4
11) ∑ 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8 = (2 × 4) = 8 i =1
3
12) ∑ (i + 2) = (1 + 2) + (2 + 2) + (3 + 2) = 12 i =1
3
2
13) ∑ i = [1 + 2 + 3]2 = 6 2 = 36 i =1
3
3
3
i =1
i =1
i =1
∑ (i + 2) = ∑ i + ∑ 2 = (1 + 2 + 3) + 6 = 12
Escriba en forma explícita las sumas representadas por cada una de las siguientes expresiones: 6
i=2
16) ∑ (Y j + 7)
i =1
9
j=2
4
18) ∑ ( X i + 3) X i
17) ∑ X 2j j =7
Solución:
5
3
15) ∑ ( X i − 2) 2
14) ∑ X i
7
2
19) ∑ X i i =1
i =1
6
14) ∑ X i = X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6 i =2
15) ∑ ( X i − 2) = ∑ (X i2 − 4 X i + 4) = ∑ X i2 − 4 ∑ X i + 12 3
3
3
3
i =1
i =1
i =1
i =1
(
)
= X 12 + X 22 + X 32 − 4( X 1 + X 2 + X 3 ) + 12
16) ∑ (Y j + 7 ) = ∑ Yi + 28 = (Y2 + Y3 + Y4 + Y5 ) + 28 5
5
j=2
j =2
9
17) ∑ X 2j =X 72 + X 82 + X 92 j =7
18) ∑ ( X i + 3) X i = ∑ (X i2 + 3 X i ) = ∑ X i2 + 3 ∑ X i = 4
4
4
4
i =1
i =1
i =1
i =1
8
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(
Cap.14 Algunos elementos básicos de las matemáticas aplicados en la estadística
)
= X 12 + X 22 + X 32 + X 42 + 3( X 1 + X 2 + X 3 + X 4 ) 2
7 19) ∑ X i = ( X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6 + X 7 )2 i =1
Escriba cada una de las siguientes expresiones, utilizando un signo de sumatoria, con los límites de sumación y límites adecuados: 20) X 1 + X 2 + X 3 + X 4
22) X 22 + X 32 + X 42
21) [( X 3 − 4) + ( X 4 − 4) + ( X 5 − 4 )]2
23) Y92 + Y102 + Y112 + Y122 + Y132
4
20) X 1 + X 2 + X 3 + X 4 = ∑ X i
Solución:
i =1
4
21) X 22 + X 32 + X 42 = ∑ X i2 i=2
22) [( X 3 − 4 ) + ( X 4 − 4) + ( X 5 − 4)]2 = ∑ ( X i − 4) 5
i = 3
2
13
23) Y92 + Y102 + Y112 + Y122 + Y132 = ∑ Yi 2 i =9
Si X 1 = 3 , X 2 = 9 , X 3 = − 7 , siguientes expresiones: 2
24) ∑ ( X i + 1) 4
i=2
X4 = −3,
calcule el valor numérico de las
25) ∑ X i ( X i + 7 )
Solución: siendo X 1 = 3
3
i =1
X2 = 9
X3 = − 7
X4 = −3
9
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Cap.14 Algunos elementos básicos de las matemáticas aplicados en la estadística
24) ∑ ( X i + 1) = ∑ (X i2 + 2 X i + 1) = ∑ X i2 + 2 ∑ X i + 3 = ( X 22 + X 32 + X 42 ) + 2 ( X 2 + X 3 + X 4 ) + 3 2
4
i=2
2
4
i=2
[
4
4
i=2
i =2
]
= 9 2 + (−7) 2 + (−3) 2 + 2 (9 − 7 − 3) + 3 = (81 + 49 + 9) + 2(−1) + 3 = 139 − 2 + 3 = 140
25) ∑ X i ( X i − 7 ) = ∑ (X i2 − 7 X i ) = ∑ X i2 − 7 ∑ X i = (X 12 + X 22 + X 32 ) − 7 ( X 1 + X 2 + X 3 ) 3
3
3
3
i =1
i =1
i =1
i =1
[
]
= 32 + 9 2 + (−7) 2 − 7(3 + 9 − 7) = (9 + 81 + 49) − 7(5) = 139 − 35 = 104
X1 = 8
Si
X2 = 4
X3 = 4
X4 = 0
Calcule:
4
4
4
26) ∑ ( X i + 3) 2
27) ∑ ( X i − a) 2 ,
i=2
donde a =
i=2
∑ Xi
i =1
4
Solución: 26) ∑ ( X i + 3) 2 = ∑ (X i2 + 6 X i + 9 ) = ∑ X i2 + 6 ∑ X i + 27 4
4
4
4
i=2
i=2
i=2
i=2
= ( X 22 + X 32 + X 42 ) + 6 ( X 2 + X 3 + X 4 ) + 27 = (16 + 16 + 0) + 6 (4 + 4 + 0) + 27 = 32 + 48 + 27 = 107
27) ∑ ( X i − a) 2 = ∑ (X i2 − 2aX i + a 2 ) = ∑ X i2 − 2a ∑ X i + 4a 2 4
4
4
4
i =1
i =1
i =1
i =1
= ( X 12 + X 22 + X 32 + X 42 ) − 2a ( X 1 + X 2 + X 3 + X 4 ) + 4a 2 = (64 + 16 + 16 + 0) − 2a (8 + 4 + 4 + 0) + 4a 2
10
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Cap.14 Algunos elementos básicos de las matemáticas aplicados en la estadística
4
a=
∑ Xi
i =1
4
=
X 1 + X 2 + X 3 + X 4 8 + 4 + 4 + 0 16 = = =4 4 4 4
Reemplazamos a por su valor de 4. Igual a 96 − 2(4)(16) + 4( 4) 2 = 96 − 128 + 64 = 160 − 128 = 32
En los ejercicios siguientes, supóngase que se da un conjunto de números: X 1 , X 2 , X 3 ,.........., X n y que n
∑ Xi
a=
i =1
n
n
Demuestre las relaciones siguientes:
[
28) ∑ ( X i − 3a) 2 − 2aX i i =1
]
n ∑ X i n i =1 = ∑ X i2 + n i =1
[
2
]
29) ∑ ( Xi − a )2 + X i + (a − 1) = ∑ X i2 − na
[
]
30) ∑ X j (X j − a ) + a 2 = ∑ X 2j n
j =1
n
j =1
31) ∑ ( X i − a )2 + 1 = ∑ X i2 − na 2 + 1 n
X Solución: a = ∑ i ; an = ∑ X i n
11
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
n ∑ X i n n i =1 28) ∑ ( X i − 3a ) 2 − 2aX i = ∑ X i2 + n i =1 i =1
[
Cap.14 Algunos elementos básicos de las matemáticas aplicados en la estadística
2
]
2 2 ∑ (X i − 6aX i + 9a − 2aX i ) n
n
i =1
n
= ∑ X i2 − 8a(an) + n9a 2
(
= ∑ X i2 − 8aX i + 9a 2 i =1
n
n
i =1
i =1
)
n
i =1
i =1
= ∑ X i2 − 8a 2 + 9a 2 n = ∑ X i2 + a 2 n
i =1
n ∑ X i n i =1 Reemplazando a: an = ∑ X i , se tiene que: ∑ X i2 + 2 n i =1
[
n
= ∑ X i2 − 8a ∑ X i + n9a 2
2
n ∑ X i n i =1 n = ∑ X i2 + n i =1
2
]
29) ∑ ( X i − a )2 + X i (a − 1) = X i2 − na
[
2 2 ∑ X i − 2aX i + a + aX i − X i
]
= ∑ X i2 − 2a ∑ X i + na 2 + a ∑ X i − ∑ X i
= ∑ X i2 − 2a( an) + na 2 + a (an) − an
= ∑ X i2 − 2a 2 n + a 2 n + a 2 n − an
= ∑ X i2 − an
[
]
30) ∑ X j (X j − a ) + a 2 = ∑ X 2j n
j =1
n
[
]
n
j =1
n
n
n
n
n
j =1
j =1
j =1
j =1
j =1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∑ X j − aX j + a = ∑ X j − a ∑ X j + na = ∑ X j − a( an) + na = ∑ X j − a n + a n = ∑ X j j =1
31) ∑ ( X i − a )2 + 1 = ∑ X i2 − na 2 + 1 n 1 n 2 2 2 2 ∑ X i − 2aX i + a + = ∑ X i − 2a ∑ X i + na +
n
n
12
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
= ∑ X i2 − 2a (an) + na 2 + 1
Cap.14 Algunos elementos básicos de las matemáticas aplicados en la estadística
= ∑ X i2 − 2a 2 n + a 2 n + 1 = ∑ X i2 − na 2 + 1
EJERCICIOS MISCELÁNEOS 32) ∑ (i + 1)
33) ∑ (2i + i + 8)
5
4
i =1
i =1
3 35) ∑ X i + 3 i =1
2
i =1
5
5
i =3
4
5
42) ∑ (3i − 2) 2
i =1
43) ∑ (2i − 2) i
i =1
10
i =1
4
44) ∑ (i − 2)
5
45) ∑ (2i − i + 5)
i =1
i =1
40) ∑ 2i
i =1
41) ∑ (3i − 2)
46) ∑ (i + 1) (1 − 1)
i =1
6 − ∑ X i i =1
2
6
2
6
39) ∑ i
i =1
47) ∑
6 37) ∑ X i i =1
36) ∑ X i + 8
6
X i2
i =1
4
38) ∑ ( X i + 3) 2
6
6
34) ∑ (5i + 8) 2
6
i =1
6
48) ∑ X iYi − ∑ X i ∑ Yi i =1 i =1 i =1
Nota: considere los valores de X i y Yi para los ejercicios: 4, 5, 6, 7, 16 y 17. X1 = 8
X2 = 0
X3 = 5
X4 = 2
X5 = 3
X6 = 4
Y1 = 2
Y2 = 3
Y3 = 6
Y4 = 2
Y5 = 7
Y6 = 5
Solución: 5
5
i =1
i =1
32) ∑ i + ∑1 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + 5(1) = 15 + 5 = 20
13
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
4
4
4
i =1
i =1
i =1
Cap.14 Algunos elementos básicos de las matemáticas aplicados en la estadística
33) 2∑ i + ∑ i + ∑ 8 = 2(1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 2 + 3 + 4) + 4(8) = 2(10) + 10 + 32 = 62 6
6
6
6
i =1
i =1
i =1
i =1
34) ∑ (25i 2 + 80i + 64) = 25∑ i 2 + 80∑ i + ∑ 64 = 25 (12 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 ) + 80(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) + 6(64)
= 25(91) + 80(21) + 384 = 4.339
35) [( X 1 + X 2 + X 3 ) + 3]2 = [8 + 0 + 5 + 3]2 = 16 2 = 256 36) ( X 1 + X 2 + X 3 + X 4 ) + 8 = (8 + 0 + 5 + 2 ) + 8 = 23 37) ( X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6 ) 2 = (8 + 0 + 5 + 2 + 3 + 4)2 = 22 2 = 484 38) ( X 1 + 3)2 + ( X 2 + 3)2 + ( X 3 + 3)2 + ( X 4 + 3)2 + ( X 5 + 3)2 + ( X 6 + 3)2
(8 + 3)2 + (0 + 3)2 + (5 + 3)2 + (2 + 3)2 + (3 + 3)2 + (4 + 3)2 112 + 32 + 82 + 5 2 + 6 2 + 7 2 = 121 + 9 + 64 + 25 + 36 + 49 = 304
39) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 40) 2(3) + 2(4) + 2(5) + 2(6) = 6 + 8 + 10 + 12 = 36 5
5
i =1
i =1
41) 3∑ i − ∑ 2 = 3(1 + 2 + 3 + 4 + 5) − 5( 2) = 3(15) − 10 = 45 − 10 = 35 4
4
4
4
i =1
i =1
i =1
i =1
42) ∑ (9i 2 − 12i + 4) = 9∑ i 2 − 2∑ i + ∑ µ = 9(12 + 2 2 + 32 + 4 2 ) − 2 (1 + 2 + 3 + 4) + 4 ( 4) = 9(70) − 2(10) + 16 = 630 − 20 + 16 = 626
43) ( 2i − 2)1 + (2i − 2) 2 + (2i − 2) 3 + (2i − 2) 4 + (2i − 2) 5
14
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Cap.14 Algunos elementos básicos de las matemáticas aplicados en la estadística
= (2(1) − 2) + (2( 2) − 2 ) + (2(3) − 2 ) + (2(4) − 2) + (2(5) − 2 ) 1
2
= (0)1 + (2) 2 + (4) 3 + (6) 4 + (8) 5
3
4
5
= 0 + 4 + 64 + 1.296 + 32.768 = 34.132
44) (1 − 2) + (2 − 2) + (3 − 2) + (4 − 2) + (5 − 2) + (6 − 2) + (7 − 2) + (8 − 2) + (9 − 2) + (10 − 2) − 1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = − 1 + 36 = 35 4
4
4
i =1
i =1
i =1
45) 2∑ i − ∑ i + ∑ 5 = 2(1 + 2 + 3 + 4) − (1 + 2 + 3 + 4) + 20 = 30 (Se hubiera podido eliminar la segunda sumatoria) 5
5
5
i =1
i =1
i =1
46) ∑ (i 2 − 1) = ∑ i 2 − ∑ i = (12 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 ) + 5(1) = 55 + 5 = 60 47) ( X 12 + X 22 + X 32 + X 42 + X 52 + X 62 ) − ( X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6 ) = (8 2 + 0 2 + 5 2 + 2 2 + 32 + 4 2 ) − (8 + 0 + 5 + 2 + 3 + 4) = (64 + 25 + 4 + 9 + 16) − 22 = 118 − 22 = 96
48)
( X 1Y1 ) + ( X 2Y2 ) + ( X 3Y3 ) + ( X 4Y4 ) + ( X 5Y5 ) + ( X 6Y6 ) − ( X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6 ) (Y1 + Y2 + Y3 + Y4 + Y5 + Y6 )
= (8( 2) ) + (0(3) ) + (5(6) ) + (( 2(2) ) + (3 (7) ) + (4(5) ) − [8 + 0 + 5 + 2 + 3 + 4][2 + 3 + 6 + 2 + 7 + 5] = [16 + 0 + 30 + 4 + 21 + 20] − [22( 25)] = 91 − 550 = 459
PRODUCTORIA Se utiliza la letra griega pi mayúscula ( π ), que se lee “producto de”, para designar al elemento genérico del producto, que puede ser i, escribiéndose debajo y encima de pi los valores extremos (límites inferior y superior) que toma dicho elemento i. Así: n
Π i = 1.2.3.4........n
i =1
3
Π i 2 = 12 . 2 2 . 32 = 1 . 4 . 9 = 36
i =1
⇔
⇔
5
Π i = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 120
i =1
3
Π j 2 = 12 . 2 2 . 32 = 36 i= j
15
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
4
n
⇔
Π X i = X1 . X 2 . X 3 . X 4 i =1
Cap.14 Algunos elementos básicos de las matemáticas aplicados en la estadística
Π X i = X 1 . X 2 . X 3 .......... . X n i =1
La productoria es utilizada para calcular la media geométrica.
PROPIEDADES DE LA PRODUCTORIA Como en el caso de la sumatoria, también se deben tener en cuenta algunas propiedades de la productoria.
El producto de una constante es igual a una potencia, en donde la base es la constante y el exponente es el límite del producto. n
n
ΠK = Kn
Π K = K . K . K .......... .....K = K n
i =1
i =1
3
Ejemplo: Π 2 = 2 . 2 . 2 = 2 3 = 8 i =1
El producto de una constante por una variable es igual a la constante elevada al límite superior por la productoria de la variable: n n Π KX i = K n Π X i i =1 i =1 n
n
i =1
i =1
Π KX i = ( KX 1 ( KX 2 )( KX 3 ).....( KX n ) = ( K . K . K .....) ( X 1 . X 2 . X 3 ...... X n ) = K n Π X i Π 2i = 23 Π i = 8[1. 2 . 3] = 8(6) = 48 3
3
i =1
i =1
n n n n Π X i Yi Z i = Π X i Π Yi Π Z i i =1 i =1 i =1 i =1
n n n n Π Π Xi = Π Π Xi j =1 i =1 i =1 j =1
16
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Cap.14 Algunos elementos básicos de las matemáticas aplicados en la estadística
EJERCICIOS RESUELTOS 3
3
49) Π 4 = 4 3 = 64 i =1
4
3
50) Π 4i = 4 3 Π i = 64 (1 × 2 × 3) = 384 i =1 i =1
4
51) Π X i Yi = Π X i Π Yi = Π X i Yi = [X 1 . X 2 . X 3 . X 4 ] [Y1 . Y2 . Y3 . Y4 ] i =1 i =1 i =1 i =1 4
4
SÍMBOLOS Y OPERACIONES ARITMÉTICAS No se puede entender la estadística sin conocer la manera en que se llevan a cabo las distintas operaciones aritméticas y los símbolos que se utilizan en su estudio. En numerosas ocasiones se presentan serias dudas en cuanto a la manera de hacer ciertas operaciones, para ello se mencionan algunas reglas que se deben tener en cuenta. Regla para las operaciones aritméticas Para evitar confusión se han adoptado ciertas reglas sobre el orden en que se han de realizar las distintas operaciones. Entre otras tenemos:
El orden en que se suman los números no afecta el resultado de la suma. Es lo mismo sumar 6 + 4 + 2 que 4 + 2 + 6, que 2 + 6 + 4, etc. El resultado será siempre 12. En símbolos será: a + b + c = a + c + b = c + b + a = c + a + b = b + a + c = b + c + a
El orden en que multiplican los números no afecta el resultado. Es lo mismo multiplicar 6 × 5 × 2 ; 5 × 6 × 2 que 2 × 6 × 5 , etc. El resultado será siempre 60. Si se van a realizar tanto operaciones de multiplicación como de suma o de resta, la multiplicación debe realizarse primero, a menos que se indique lo contrario por medio de paréntesis, corchetes o algún símbolo de agrupación. Aclaremos lo anterior con algunos ejemplos:
17
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.14 Algunos elementos básicos de las matemáticas aplicados en la estadística
52) 17 + 2 × 5 − 4 × 5 + 3 = 17 + 10 − 20 + 3 = 10 53) (17 + 2) × (5 − 4) × (5 + 3) = 19 × 1 × 8 = 152 54) (15 × 8) − 6 × 2 + 7 × 3 × 4 = 120 − 12 + 84 = 192 55) 15 × (8 − 6) × ( 2 + 7 × 3) × 4 = (15 × 2) (23 × 4) = 2.760 Si van a realizarse tanto operaciones de división como de suma o resta, la división debe realizarse primero a menos que se indique lo contrario por medio de paréntesis, corchetes u otro símbolo de agrupación. 56) 35 − 32 ÷ 4 + 12 ÷ 2 + 2 = 35 − 8 + 6 + 2 = 35 57) 35 − 32 ÷ (4 + 12 ÷ 2) + 2 = 35 − 32 ÷ 10 + 2 = 35 − 3,2 + 2 = 33,8 Cuando van a realizarse operaciones de multiplicación y división debe clasificarse la expresión por medio de paréntesis o algún otro símbolo de agrupación para evitar ambigüedad en la expresión. 58) 48 ÷ (12 ÷ 2) = 48 ÷ 6 = 8
( 48 ÷ 12) ÷ 2 = 4 ÷ 2 = 2
59) 96 ÷ (3 × 4) = 96 ÷ 12 = 8
(96 ÷ 3) × 4 = 32 × 4 = 128
Las expresiones 48 ÷ 12 ÷ 2 y 96 ÷ 3 × 4 son ambiguas. Los distintos signos de agrupación como paréntesis ( ), corchetes [ ], y llaves { }, deben usarse para indicar que lo incluido dentro de ellos debe tratarse como si fueran un solo número. Es conveniente, calcular primero el valor de la expresión que está dentro del paréntesis. 60) 25(27 − 2) = 25 (25) = 625 61) 40 1 + 1 = 40 + 40 = 5 + 8 = 13 8
5
8
5
Simbólicamente: 18
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Cap.14 Algunos elementos básicos de las matemáticas aplicados en la estadística
a (b + c + d) = ab + ac + ad. Se llama a esta relación la ley distributiva y significa que la relación que a tiene con la expresión en paréntesis se distribuye entre todos los términos del paréntesis.
La barra de una fracción tiene el mismo efecto que un paréntesis: en este caso, tanto el numerador como el denominador se considera como un solo número. 62) 5 + 10 = 15 = 1 3 + 12
63) 24 − 3 = 24 − 3 = 21
15
4
4
4
4
Debe tenerse en cuidado especial con las cancelaciones. Sería incorrecto calcular la expresión anterior en la siguiente forma: 6 24/ − 3 =6 − 3 4/
Un signo de radical tiene el mismo efecto de un paréntesis. Esto es, la expresión del radical se considera como un solo número. Las operaciones dentro del radical deben realizarse antes de extraer la raíz.
EJERCICIOS PARA RESOLVER Y RESPUESTAS 64) Identifique los siguientes símbolos: a. ≠ g. ≅
b. = h. ( )
Respuesta: a. Diferente e. Mayor igual i. Corchete
c. > i. [ ]
b. Igual f. Menor igual j. Llave
d. < j. { }
e. ≥ k. ⇔
f. ≤ l. ⇒
c. Mayor que d. Menor que g. Aproximado h. Paréntesis k. Equivale l. Implica
19
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Cap.14 Algunos elementos básicos de las matemáticas aplicados en la estadística
65) Operaciones con números naturales 7.905 − 6.856 2.002 − 1.292 7.303 − 1.698 8.335 − 6.253
Resta:
a. b. c. d.
Producto:
a. 1.228 × 315 b. 3.245.672 × 2.003 c. 1.234.567 × 1.003
Cocientes:
a. 824 ÷ 14 b. 7.245 ÷ 26 c. 1.987.654 ÷ 8.756
Potenciación: a. 63 e. 7 3 − 4 2 Raíz cuadrada de:
c. 33 ÷ 25 g. 67 − 33 ;
b. 36 f. 4 2 + 32
a. 841
b. 10.201
d. 9 6 − 39
c. 254.016
Respuesta: Resta:
a. 1.049
b. 710
c. 2.605
Producto:
a. 386.820
b. 6.501.081.016
c. 1.238.270.701
Cociente:
a. 58,857
b. 287,65
c. 277,0
Potenciación:
a. 216 e. 327
b. 729 f. 25
c. 0,84375 g. 279.909
b. 101
c. 504
Raíz cuadrada: a. 29
d. 2.082
d. 511.758
66) Operaciones con racionales (fracciones) Simplificar:
a. 28 36
b. 54 96
c. 539
833
20
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Cap.14 Algunos elementos básicos de las matemáticas aplicados en la estadística
Amplificar:
a. 1 = ?
b. 2 = ?
Suma:
a. 5 + 11
b. 3 + 1 + 2
c. 12 5 + 13 7
Resta:
a. 3 − 1
b. 1 − 1 − 1
c. 9 1 − 7 2
Multiplicación:
a. 4 × 10
b. 5 × 7
c. 5 1 × 2 2
División:
a. 5 ÷ 2
b. 72 ÷ 6
c. 6 3 ÷ 3 1
Simplificar:
a. 7
b. 9
c. 11
Amplificar:
a. 2
b. 8
c. 3
Suma:
a. 51
b. 1.407
c. 1.437
Resta:
a. 5
b. 14
c. 9
Multiplicación:
a. 40
b. 35
c. 420
División:
a. 15
b. 936
c. 630
2
8
4
64
5 10
5
6
9
3
3
21
2
c. 1 = ?
12
2
8
13
49
39
6
40
6
6 10
3
4
91 13
9
9
7
4
Respuesta: 9
4
64
10
45
12
16
17
12
39
2.058
54
40
6
60
36
546
172
67) Operaciones con números irracionales Suma:
a. 6 5 + 8 5 + 7 5
b. 1 8 + 6 + 2 8 + 1 6 + 1 8
Resta:
a. 7 3 − 4 3
b. 11 5 − 2 5 − 5
8
3
4
21
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.14 Algunos elementos básicos de las matemáticas aplicados en la estadística
Multiplicación:
a.
6
b.
2 .
División:
a. 8 ÷ 6
b.
60 ÷ 5
Suma:
a. 21 5
b. 19 8 + 4 6
Resta:
a. 3 3
b. 8 5
Multiplicación:
a. 18
b. 170
División:
a.
3 .
5 .
7
c. 3 500 ÷ 3 20 5
2
Respuesta:
8 = 6
8
8 6
3
c. 6 25
b. 12
12
68) Regla de los signos:
a. ( +) ( +)
b. ( −) ( −)
c. ( +) ( −)
d. ( −) (+)
Respuesta:
a. +
b. +
c. –
d. –
69) Productos notables Resolver los siguientes productos: a. ( a + b) 2
b. ( a − b) 2
c. ( a + b) 3
d. ( a − b) 3
e. (3 y + 4) 3
f. ( 2 x + 1) (2 x − 1)
Efectuar los siguientes productos: a. ( a + 2)(a + 3)
b. (9 y + 6)(10 x − 7)
Descomponer en un producto de dos factores: a. x 2 + 6 x + 8
b. a 2 − 5a + 6
c. x 2 − 5 x − 84
Completar los siguientes cuadrados de binomios: a. x 2 + 10 x + ...
b. m 2 − ... + 36n 2
c. ... + 42 x + 49
d. 4a 2 + 20a + ... 22
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Cap.14 Algunos elementos básicos de las matemáticas aplicados en la estadística
Respuestas: Resolver los siguientes productos: a. a 2 + 2ab + b 2
b. a 2 − 2ab + b 2
c. a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
d. a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
e. 27 y 3 − 108 y 2 + 144 y − 64
f. 4 x 2 − 1
Efectuar los siguientes productos: b. 90 xy + 60 x − 63 y + 42
a. a 2 + 5a + 6
Descomponer en un producto de dos factores: a. (x + 4) (x + 2 )
b. (a − 3) (a − 2)
c. ( x − 12)( x + 7)
Completar los siguientes cuadrados de binomios: a. x 2 + 10 x + 25
b. m 2 − 72mn + 36n 2
c. 9 x + 42 x + 49
d. 4a 2 + 20a + 25
70) Eliminar paréntesis: a. 4 + (3 − 1) Respuesta:
b. (14 + 1 − 2) + 11 a. 6
b. 24
c. (3 + x) − (2 − x) c. 2 x + 1
d. ( y + 5 x) + 3 − (2 x − 2 y ) d. 3 y + 3x + 3
71) Redondear hasta la décima cada uno de los números siguientes: a. 425,76 d. 0,76 g. 8,43
b. 3.006,009 e. 0,076 h. 0,05
c. 25,67 f. 0,009 i. 4.374,835
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Respuesta:
a. 425,8 d. 0,8 g. 8,4
b. 3.006,0 e. 0,1 h. 0,1
72. Escribir el signo apropiado (>,
b. >
c. >
a. 4...1,6
Cap.14 Algunos elementos básicos de las matemáticas aplicados en la estadística
c. 25,7 f. 0,0 i. 4.374,8
b. 3... − 6
c. 7 + 5...32
d. 1,5... 2 3
d. >
RAZONES Y PORCIENTOS Para facilitar el análisis y la interpretación de datos estadísticos se utilizan con frecuencia razones y porcentajes. Una razón es una comparación de una magnitud con otra, como múltiplo o como fracción. Supongamos que la empresa A tiene 789 trabajadores, de los cuales 526 son mujeres y 263 varones. La relación existente entre los trabajadores mujeres y trabajadores varones podría expresarse por medio de la fracción 526/263. Esta fracción no aclararía gran cosa. Podría decirse también que es una razón de 526 a 263. Esto tampoco aclararía mucho. Si se dice, sin embargo, que el número de mujeres que trabajan en la empresa A llevan ventaja a los hombres en una proporción de dos a uno, tenemos realmente una cifra que nos ayuda en la interpretación de los datos. Con frecuencia se expresan las razones usando una base de 100, o múltiplo de 10. Se prefiere decir 200/100 o 200 a 100, en vez de 400/200 o 400 a 200. Los cuatro conceptos indican lo mismo, pero se hace más fácil entender las razones cuya base es 100. Una forma especial de este tipo de razón es el porciento. En el ejemplo anterior podríamos decir que el número de empleados mujeres es 200% del número de empleados varones. Cuando las razones se expresan en forma de porcentajes se facilita la comparación. En el ejemplo anterior podríamos comparar el porcentaje de varones en esta empresa con el porcentaje de varones en otras empresas.
USO DE PORCENTAJES Los porcentajes pueden usarse en diferente forma al establecer comparaciones. Algunas formas son las siguientes:
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Cap.14 Algunos elementos básicos de las matemáticas aplicados en la estadística
Comparación de una parte con el total. En este caso se comparan los diferentes componentes de un total. Así podría indicarse que en un almacén las ventas del departamento de ropa para mujeres representaron el 42% del total, mientras que las ventas del departamento de muebles representaron el 23% de dicho total. La suma de los porcentajes que representaron las ventas en cada departamento es de 100%. Comparación de dos partes de un total. Consiste en establecer la comparación entre dos componentes de un total, Podría así decirse que las ventas en el departamento de ropa para mujer fueron el 183% de las ventas del departamento de muebles. Podría también decirse que las ventas del departamento de ropa para mujer fueron 83% mayores que las ventas del departamento de muebles, o que las ventas del departamento de muebles representaron únicamente el 55% de las ventas del departamento de ropa para mujer. La forma en que se hace la comparación depende del análisis que quiere dársele a las distintas partidas. Comparación de un total con otro total. Pueden establecerse comparaciones entre las ventas de una empresa y las ventas de otra empresa. Podría indicarse, por ejemplo que las ventas de la empresa A son el 75% de las ventas de empresa B.
CORRECTO USO DE LOS PORCENTAJES Aunque el uso de los porcentajes está muy generalizado, muchas veces se establecen comparaciones que no se justifican y que dan impresiones erróneas. Esto sucede a pesar de la corrección del cálculo aritmético. En el uso de los porcentajes deben evitarse los siguientes errores: Comparación entre dos cifras cuando la base y la magnitud a comparar son pequeñas. El ejemplo clásico de esto es el de la universidad que admitió señoritas por primera vez a sus planteles. Poco tiempo después se indicaba que el 33,3% de las estudiantes admitidas se casaban con profesores de la facultad. Al examinar la declaración con más detalle se encontró que solamente, se habían admitido tres estudiantes y que una de ellas se había casado con uno de los profesores. No hay duda de que el cálculo de porcentajes en esta forma tiende a producir una impresión completamente errónea debido al número tan pequeño de estudiantes consideradas. Generalmente no se deben calcular porcentajes cuando la base a usarse es menor de 100. Comparación de cifras usando base demasiado pequeñas. En otras palabras, no deben establecerse comparaciones cuando la base es muy pequeña, ya que el porcentaje resultará tan grande que dificultará la comparación en vez de facilitarla. 25
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Cap.14 Algunos elementos básicos de las matemáticas aplicados en la estadística
Si una persona indica que el capital de una empresa aumentó en 1.355% durante los últimos 15 años, no está realmente simplificando y aclarando. Esto más bien sirve para oscurecer la realidad. Comparación de cifras usando bases demasiado grandes. Esta es la situación contraria de la mencionada anteriormente. Si se quiere indicar la posición de un grupo profesional u ocupacional dentro de la población total y se dice que este grupo representa una décima parte del 1% de la población en un país y que en otro país este grupo ocupacional representa 3/10 del 1% de la población total, no se está haciendo una comparación que puede captarse con facilidad. En este caso sería mejor usar las cifras absolutas de ambos países.
Comparación de los cambios en porcentajes olvidando referirse a las bases de los mismos. No se pueden comparar los cambios en porcentajes sin referirse a la base sobre la cual éstos están calculados. Si las ventas en el departamento de ropa para hombres en una tienda aumenta en 40% sobre una base de $20.000.000,oo y las ventas del departamento de muebles de la misma tienda bajan un 40% sobre una base de $100.000.000,oo, no se puede suponer que estos dos porcentajes se cancelan uno a otro y que no ha habido disminución en las ventas totales. Al considerar los dos departamentos unidos, se notará que las ventas disminuyeron en $32.000.000,oo, resultado de un aumento de $8.000.000,oo en el departamento de ropa para hombres y una disminución de $40.000.000,oo en el departamento de muebles. Uso de porcentajes olvidando los cambios en las magnitudes. Deben observarse los cambios en las magnitudes, ya que en ocasiones los porcentajes pueden aclarar, mientras que en otros casos pueden confundir. Si el precio de un artículo aumenta de $360.000 a $480.000 en un mes, la declaración de que este aumento de sólo $120.000 no es sustancial, es contraria al hecho de que el aumento es de 33,33%, relativamente grande, si se considera la importancia de este artículo en la canasta familiar o artículos de primera necesidad. Por otro lado, una firma comercial que ha operado por dos años, indica que sus beneficios aumentaron en 100% entre estos dos años. Dicho porcentaje puede ocultar el hecho de que las utilidades del primer año fueron mínimas y que el aumento entre ambos años es ínfimo en términos absolutos.
ALGUNAS RAZONES QUE SE USAN COMÚNMENTE Razones per-cápita. Muchas cifras adquieren mayor significación cuando se expresan en términos de per-cápita, esto es, por cabeza o persona. Por ejemplo, un país A importó de Estados Unidos mercancía 26
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Cap.14 Algunos elementos básicos de las matemáticas aplicados en la estadística
por valor de $802,4 millones. En ese mismo año las importaciones de un país B provenientes de los Estados Unidos ascendieron a $547,6 millones. La población del país A en esa fecha era de 34,3 millones mientras que la del país B ascendía a 6,4 millones. Dividiendo las importaciones entre la población de los países, encontramos que, en términos per-cápita del país A ascendieron a US$23.39 (US$802,4 millones ÷ 34,3 millones) mientras que las del país B ascendieron a US$81,73 (US$547,6 millones ÷ 6.7 millones) Densidad de población. En ocasiones resulta más interesante comparar la densidad poblacional de dos países en lugar de su población total. El estimado de la población a mediados de año de un país A ascendió a 94.050.000 personas. La misma cifra para un país B fue de 3.500.000. La densidad poblacional de A en ese año era de 254 personas por kilómetro cuadrado, ya que su superficie es de 369.661 kilómetros cuadrados. Con una superficie de 1.096.581 kilómetros cuadrados, la densidad poblacional de B fue en ese año de 3 personas por kilómetro cuadrado. Tasas de natalidad y mortalidad. La tasa de natalidad se obtiene dividiendo el número de nacimientos en un año, por la población de mitad de año del país. A julio de 2007, la población en un país cualquiera, supongamos, ascendía a 20 millones de personas. Durante ese año considerado hubo un total de 662.884 nacimientos. La tasa de natalidad fue de 33,14 nacimientos anuales por cada 1.000 habitantes (662.884 ÷ 20.000.000 = 0,03314 × 1.000 = 33,14). En ese mismo año hubo un total de 169.000 muertes. La tasa de mortalidad se calcula en la misma forma que la tasa de nacimientos, esto es, dividiendo las muertes ocurridas en el año por la población a mediados de año. La tasa de mortalidad fue de 8,4 personas por cada 1.000 habitantes (169.000 ÷ 20.000.000 × 1.000). La diferencia entre la tasa de natalidad y la tasa de mortalidad, representa el crecimiento natural biológico o vegetativo de la población. En se mismo año este crecimiento fue de 23,0 personas por cada 1.000 habitantes. Las tasas de desempleo representan el número de desempleados por cada 100 personas, del grupo económicamente activo. El grupo trabajador es la suma de los empleados y desempleados. Supongamos que en abril de 2007 el grupo trabajador en un país A ascendía a 6.000.000 de personas. De este total había 5.100.000 empleados y 900.000 desempleados. La tasa de desempleo fue de 15,0%.
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Cap.14 Algunos elementos básicos de las matemáticas aplicados en la estadística
SISTEMAS DE ECUACIONES Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Cuando tenemos dos o más ecuaciones con el mismo número de incógnitas, lo denominamos sistema de ecuaciones. Los valores o raíces de las ecuaciones deben ser los mismos para todo el sistema. Para resolver sistemas de ecuaciones se puede emplear cualquiera de los tres métodos siguientes: a. Igualación b. Sustitución c. Eliminación
SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS a. Método de igualación. La forma general será:
(1) ax + by + c = 0 (2) a' x + b' y + c' = 0
Se despeja una de las incógnitas en ambas ecuaciones: (1) X =
− c − by a
(2) X =
− c'−b' y a'
c − by − c' − b' y = a a'
“Dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre si” a' ( −c − by ) = a(−c' − b' y )
Quitamos denominadores, agrupamos términos semejantes, sacamos factor común, despejamos y − a' c − a' by = − ac' − ab' y ab' y − a' by = a' c − ac' y ( ab' − a ' b) = a ' c − ac'
28
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y=
Cap.14 Algunos elementos básicos de las matemáticas aplicados en la estadística
a ' c − ac' ab' − a' b
Para averiguar el valor de x reemplazamos el valor que hemos encontrado para y en cualquiera de las ecuaciones, (1) o (2).
− c − by (1) X = = a
X =
X =
−c
a ' c − ac' − c − b ab'− a' b a
− b(a ' c − ac') ab' − a' b − ab' c + a' bc − a' bc + abc' = a a (ab' − a' b)
a(bc' − b' c ) bc' − b' c ∴X = a(ab' − a' b ) ab' − a ' b
Anular valores sirve, igualmente para las dos ecuaciones, convirtiéndolas en una identidad al reemplazarlas por las incógnitas. Ejemplo numérico: (1) 2 X − Y = 1
(2) X + 3Y = 11
(1) X = 1 + Y
(2) X = 11 − 3Y
2
1 + Y = 11 − 3Y 2 →
1 + Y = 2 (11 − 3Y )
1 + Y = 22 − 6Y
7Y = 21
Y + 6Y = 2 − 1
Y =3
Reemplazando el valor del Y en la ecuación (2) X = 11 − 3 (3)
X = 11 − 9 = 2
X = 2 Raíces X = 3
b. Método de sustitución. Para resolver un sistema de ecuaciones por este método, se despeja una de las incógnitas en una ecuación y se reemplaza su valor en otra ecuación. (1) ax + by + c = 0 29
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Cap.14 Algunos elementos básicos de las matemáticas aplicados en la estadística
(2) a' x + b' y + c' = 0 (1) X =
− c − by a
Reemplazar este valor de X en (2)
− c − by a' + b' y + c' = 0 a − c − by a' + b' y + c ' = 0 a
Quitamos denominadores
a' (− c − by ) + ab' y + ac' = 0 − a' c − a' by + ab' y + ac' = 0 y ( ab' − a' b) = a' c = ac'
y=
Agrupamos términos semejantes y sacamos factor común: Despejamos y
a ' c − ac' ab' − a' b
Para encontrar el valor de la segunda incógnita, se sigue el mismo procedimiento que para el método de igualación, reemplazando en cualquiera de las ecuaciones el valor de Y. Ejemplo: (1) 2 X + Y = 4
(2) 6 X − 2Y = 2
(1) Y = 4 − 2 X
Reemplazamos en (2)
6 X − 2( 4 − 2 X ) = 2 ;
6X − 8 + 4X = 2 ;
6X + 4X = 2 + 8 ;
10 X = 10 ;
X =1
Reemplazamos en Y = 4 − 2(1) = 4 − 2 = 2
c. Método de eliminación. Consiste este método en eliminar una de las incógnitas sumando ambas miembro a miembro. Para ello es necesario que los coeficientes de la incógnita a eliminar sean iguales y de signo contrario. (1) ax + by + c = 0 30
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Cap.14 Algunos elementos básicos de las matemáticas aplicados en la estadística
(2) a' x + b' y + c' = 0 Vamos a hacer los coeficientes de X en (1) y (2) iguales, multiplicando a a’ por un número tal que: a = k a’; a continuación multiplicamos por (-1) a la ecuación (2) y seguidamente sumamos miembro a miembro. ax + by + c = 0 − a' kx − b' ky − c' k = 0 ax − a' kx + by − b' ky + c − c' k = 0 x(a − a ' k ) + y (b − b' k ) + (c − c' k ) = 0
a − a' k Sabemos que es igual a 0; quedará la ecuación: y (b − b ' k ) + ( c − c ' k ) = 0
y (b − b ' k ) = c ' k − c
y = c' k − c b − b' k
Para averiguar el valor de la otra incógnita bastará reemplazar el valor obtenido para Y en cualquiera de las ecuaciones (1) o (2). Ejemplo:
(1) X + Y = 3 (2) 5 X − 2Y =1 5( x + y ) = 5(3) 5 x + 5 y = 15 − 5 x − 5 y = − 15
Vamos a eliminar X. En la (1) multiplicamos por 5: Multiplicamos por (-1)
(1)
Y la sumamos a la (2)
(1) − 5 x − 5 y = − 15 5x − 2 y = 1
(2)
0 − 7 y = − 14
Para el valor de X reemplazamos en la (1) x + 2 = 3 ;
y = − 14 = 2 −7 x = 3− 2 =1
Ecuaciones de segundo grado con una incógnita. Solución de ecuaciones completas, es decir, cuando constan de un término en segundo grado, otro en primer grado y el término independiente.
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Cap.14 Algunos elementos básicos de las matemáticas aplicados en la estadística
Ecuación de la forma: ax 2 + bx + c = 0
− b ± b 2 − 4ac x= 2a
NOTACIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES
El frecuente uso de sistemas de ecuaciones con varias incógnitas y la dificultad en su solución recomienda emplear, hasta donde sea posible, un método uniforme para encontrar soluciones. El álgebra matricial nos permite el desarrollo de un método que tiene como característica principal, la de constituirse en un proceso que no se altera, cualquiera que sea el número de incógnitas o de ecuaciones, el mismo tiempo que proporciona información apropiada para decidir sobre la consistencia o compatibilidad del sistema y sus soluciones. En la solución de sistemas lineales (n ecuaciones con n incógnitas) existen dos métodos desarrollados por Gauss y Jordan, respectivamente, en los cuales se sistematiza el método de eliminación de incógnita, mediante continuaciones lineales de las ecuaciones del sistema final en el que cada ecuación contenga una sola incógnita, diferente en cada una de ellas.
Ejemplo:
X1 + 4 X 2 − X 3 = 6 2 X1 + 5X 2 − 7 X 3 = − 9 3X1 − 2 X 2 + X 3 = 2
Desarrollo: a b c
X1 + 4 X 2 − X 3 2 X1 + 5 X 2 − 7 X 3 3X1 − 2 X 2 + X 3
6 -9 2
a1 = a b1 = b − 2a c1 = c − 3a
X1 + 4 X 2 − X 3 0 − 3X 2 − 5X 3 0 − 14 X 2 − 4 X 3
6 -21 -16
X1 + 4 X 2 −
b2 = − b1 (1 / 3)
X3 5 0 + X2 + X3 3 0 − 14 X 2 − 4 X 3
Primera etapa
6 7 -16 32
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
a2 = a1 − 4b2 b2
c2 = c1 + 14b2 a3 = a2 + (23 / 3)c3 b3 = b2 + (5 / 3)c3 c3
Las soluciones son:
X + 0 − 23 X 3 3 5 0 + X2 + X 3 3 0 + 0 + 82 X 3 3 X1 + 0 + 0 0 + X2 + 0 0 + 0 + X3
X1 = 1
Cap.14 Algunos elementos básicos de las matemáticas aplicados en la estadística
-22 7
Segunda etapa
82 1 2 3
X2 = 2
Tercera etapa
X3 = 3
Del anterior ejercicio podemos observar: • • •
El desarrollo consta de tantas etapas como incógnitas o ecuaciones se tengan. El objetivo final de estas etapas consiste en transformar la matriz de los coeficientes en la matriz unitaria. Cada etapa tiene como objetivo la eliminación de una incógnita en todas las ecuaciones salvo una, y será en esa ecuación donde se hallará el valor de esa incógnita.
El proceso de eliminación es el de reducción, simplificando. Para ellos se efectúan divisiones de modo que el coeficiente de la incógnita por eliminar sea el valor “1” en la ecuación que tiene dicha incógnita. Luego por simple multiplicación y adición o sustracción se elimina la incógnita deseada en las demás ecuaciones.
EJERCICIOS PARA RESOLVER Y RESPUESTAS Resolver los sistemas de ecuaciones de primer grado 73) Por sustitución: a. x − 2 y = 3 4 x + 3 y = 45
b. 8 x + 3 y = 25 5 x + y = 13
74) Por igualación: a. 11x − 36 y = 26
b. 21x + 35 y = 91
7 x + 12 y = 34
3 x + 7 y = 17
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75) Por reducción: a. 6 x + 15 y = 117
b. 13x − 12 y = 30
5 x + 13 y = 100
9 x + 4 y = 70
Cap.14 Algunos elementos básicos de las matemáticas aplicados en la estadística
Respuestas: 73) a. y = − 6,6
b. x = 2
x = 16,2
y=3
75) a. x = 95,1
b. x = 1
y = 3,9
y=2
74) a. x = 7
b. x = 6
y=5
y=4
SÍNTESIS DEL CAPÍTULO Tener una buena formación matemática es una gran ayuda y ventaja para entender la teoría estadística; sin embargo en el desarrollo de los diferentes capítulos que contiene este libro, su uso ha sido bastante restringido, sólo aplicado en aquellos casos en que son estrictamente necesarios, buscando que los temas sean más comprensibles para aquellas personas que tiene cierto grado de dificultad en esta disciplina. Es esa a razón por la cual se ha considerado necesario incluir un capítulo que contenga algunos aspectos, tales como: sumatorias y productorias; uso de símbolos y operaciones elementales; razones y porcientos; finalmente solución a ecuaciones de primer y segundo grado. Con ello el estudiante estará en condiciones de utilizar el presente contenido. Es recomendable al usar porcientos, tasas, proporciones, razones, ratios, un mayor conocimiento sobre sus aplicaciones y las diferencias que hay entre sí, ya que 34
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Cap.14 Algunos elementos básicos de las matemáticas aplicados en la estadística
frecuentemente son mal utilizados, y desorientan al lector al hacer comparaciones en forma indebida. En algunos capítulos venideros, el estudiante va a tener necesidad de su uso, como por ejemplo en números índices; distribuciones de proporciones; pruebas de hipótesis con proporciones, como en el capítulo de probabilidades se dan resultados algunas veces en ralitivos y en otros porcentajes.
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