2.8 Funcion Inversa, Logaritmica y Trigonometrica Inversa

CALCULO DIFERENCIAL UNIDAD 2 FUNCIONES

2.8 Función inversa. Función logarítmica. Funciones trigonométricas inversa.

FUNCIÓN INVERSA  Se

llama función inversa O reciproca de f a otra función f−1

que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.

FUNCIÓN INVERSA 

Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa. Podemos observar que:

El dominio de f−1 es recorrido de f.  El recorrido de f−1 es dominio de f. 

el el

FUNCIÓN INVERSA  Si

dos funciones son inversas, su función composición es la función identidad.

f o f -1 = f -1 o f = x (f(f-1(x)) = (f-1(f(x)) = x

FUNCIÓN INVERSA  Las

gráficas de: f y f -1

son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

FUNCIÓN INVERSA  Ejemplos

de estas:

FUNCIÓN INVERSA 

Hay que distinguir entre:

la función inversa, f−1(x), y la inversa de una función.

FUNCIÓN INVERSA Cálculo de la función inversa

1.- Se escribe la ecuación de la función con x e y. 2.- Se despeja la variable x en función de la variable y. 3.-Se intercambian las variables.

FUNCIÓN INVERSA  Ejemplo

01: Calcular la f-1 (x) de:

2x  3 f x   x 1 xy  y  2 x  3 y3 x y2

 

2x  3 y x 1 xy  2 x  y  3

y  x  1  2 x  3

 

x y  2   y  3

  las " y" por " x" x3 -1 se cambian   f x   -1 x2  la " x" por " f  x 

FUNCIÓN INVERSA Comprobación:  Como ahora sabemos que: 2x  3 f x   x 1 

y

x3 f x   x2 -1

Vamos a comprobar el resultado para x = 2

7 f 2    7 1

y

10 f 7   2 5 -1

FUNCIÓN INVERSA

g x   x  2 02: Calcular la de: y obtener la gráfica de ambas funciones.

 Ejemplo

g x   x 3  2 y  x3  2 y  2  x3 x3  y  2 x  3 y2 g -1  x   3 x  2

f-1 (x)

3

FUNCIÓN INVERSA Comprobación: 1  Como sabemos que f f  x   f



g x   x  2

 x   ?

 g g g

3 3 3

1

   x  2 x  2  2 x  2 x x2 

3

1

 f x   x

g 1  x   3 x  2

3

gg



g 1  g  x   ?

 x x

   2  x  2  x



1 3 3 3 g x  2  x 2 2 x2 2 3

g 1 g 1

3 3

3

3

FUNCIÓN INVERSA  Calcular

a)

la f-1 (x) de: f x   2 x  1

c)

b)

3x  2   f x  x 4

y

comprobar su resultado.

1

2 2   f x  x 1 3

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Como



la

exponencial,

la

función

logarítmica se utiliza con asiduidad en los cálculos y desarrollos de las matemáticas, las

ciencias

sociales.

naturales

y

las

ciencias

FUNCIÓN LOGARÍTMICA



Entre otros fines, se usa ampliamente para

«comprimir»

la

magnitudes

cuyo

escala

de

crecimiento,

medida

de

demasiado

rápido, dificulta su representación visual o la sistematización del fenómeno que representa.

FUNCIÓN LOGARÍTMICA Definición de función logarítmica  Una

función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como:

f(x) == logax siendo “a” la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.

FUNCIÓN LOGARÍTMICA  La

función logarítmica es la inversa de la función exponencial, dado que:

log a  x   b



ab  x

FUNCIÓN LOGARÍTMICA 

Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del 1er y 3er cuadrante) de la gráfica de la función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí.

FUNCIÓN LOGARÍTMICA log a  x   b 



ab  x

Verificamos las ecuación anterior:

a) log 4.0  log10 4.0  0.602059 

100.602059  3.99999  4.0

b) log 12.5  log10 12.5  1.096910 

101.096910  12.499999  12.5



e1.098612  2.999999  3.0

c) ln3  ln e 3 1.098612

FUNCIÓN LOGARÍTMICA 

Propiedades:

1) log a  x  y   log a  x   log a  y  

log 2 4 8  log a 4   log a 8  2  3  5

x 2) log a    log a  x   log a  y   y 8  log 2    log a 8  log a 4   3  2  1 4

FUNCIÓN LOGARÍTMICA 

 

Propiedades:

3) log a x n  n log a  x  

4) log a

 

log 2 84  4 log 2 8  4 3  12

  n

1 x  log a  x  n



log 2

  4

1 3 1 8  log 2 8   3  4 4 4

FUNCIÓN LOGARÍTMICA 

log b x  5) log a x   log b a 

Propiedades:



log 4 4 1 log 2 4   2 log 4 2 1 2

log ( x)



Logaritmos decimales (base 10):



Logaritmos neperianos (base e): ln  x 

ó

L x 

FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA INVERSA

 Son

necesarias para calcular los ángulos de un triangulo a partir de la medición de sus lados.

 Aparecen

con frecuencia en la solución de ecuaciones diferenciales.

FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA INVERSA

 Ninguna

de las 6 funciones trigonométricas básicas tienen inversas, debido a que son funciones periódicas y, por lo tanto, no son inyectivas, pero restringiendo los dominios se puede hallar la inversa.

FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA INVERSA  La

función y = Sen(x) no es una función uno a uno (inyectiva) en su dominio natural, porque cualquier recta horizontal corta la gráfica en más de un punto.

FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA INVERSA  La

función seno es creciente e inyectiva en el intervalo:

FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA INVERSA  Si

la función

 Entonces,

y  Sen x 

la inversa se anota

y  arcsen x  o

también se anota

y  sen 1  x 



x  Sen y 

donde

0 y 

FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA INVERSA  No

debemos confundir: y  sen x 

 Su

gráfica es:

1

con

1 y Sen x 

FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA INVERSA  Función

Coseno El codominio - 1,1

En el intervalo

0,  

es inyectiva y creciente El recorrido

- 1,1

FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA INVERSA  Si

la función

 Entonces,

y  Cos  x 

la inversa se anota

y  arccos x  o

también se anota

y  cos 1  x 



x  Cos  y 

donde

0 y 

FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA INVERSA  No

debemos confundir:

y  cos

1

x 

con

1 y Cos  x 