27_03_2007_7072_Uvod_

ˇ ˇ SVEUCILI STE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

OSNOVE TURBOSTROJEVA

Skripta

ZAGREB, 2006

2

Sadrˇ zaj Sadrˇ zaj

3

1 Uvod

7

1.1

Turbostroj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2

Statiˇcko i zaustavno stanje fluida . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3

Primjena prvog i drugog zakona termodinamike kod turbostrojeva .

14

1.4

Iskoristivost turbostrojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.5

Dimenzijska analiza i radne karakteristike turbostrojeva . . . . . . .

21

1.5.1

Dimenzijska analiza za sluˇcaj nestlaˇcivog fluida . . . . . . .

22

1.5.2

Dimenzijska analiza za sluˇcaj stlaˇcivog fluida . . . . . . . . .

28

2 Pretvorba energije u turbostrojevima

29

2.1

Eulerova jednadˇzba turbine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.2

Promjene energije fluida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.3

Akcijski i reakcijski turbostrojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

cne kanale 3 Strujanje kroz medulopatiˇ

37

3.1

Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.2

Stacionarno strujanje kroz sapnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.3

Analiza jednodimenziskog izentropskog strujanja . . . . . . . . . . .

41

3.4

Utjecaj tranja na strujanje u sapnicama . . . . . . . . . . . . . . .

43

3.5

Karakteristike konvergentno-divergentnih sapnica . . . . . . . . . .

44

3.6

Difuzori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

4

Sadrˇzaj

4 Parne i plinske aksijalne turbine 4.1

4.2

49

Akcijske turbine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

4.1.1

Stupnjevanje po brzini i tlaku . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

4.1.2

Utjecaj gubitaka u statorskim i rotorskim kanalima . . . . .

54

Reakcijske turbine

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Ventilatori, puhala i kompresori

57 63

5.1

Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

5.2

Centrifugalni ventilatori i puhala . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

5.2.1

Oblici lopatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

5.2.2

Dimenzije i broj okretaja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

5.2.3

Oblici lopatica i iskoristivost . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

5.2.4

Oblici lopatica i radne karakteristike . . . . . . . . . . . . .

67

5.2.5

Stvarne radne karakteristike . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

5.2.6

Faktor skliza

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

Centrifugalni kompresori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

5.3.1

Radne karakteristike centrifugalnih kompresora . . . . . . .

76

Aksijalni kompresori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

5.3

5.4

6 Turbopumpe

81

6.1

Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

6.2

Osnovni pojmovi i definicije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

6.3

Teorijske karakteristike turbopumpi . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

6.4

Iskoristivost pumpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

6.5

Kavitacija u turbopumpama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

6.6

Rad pumpe u pumponom postrojenju . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

6.6.1

Utjecaj promjene broja okretaja . . . . . . . . . . . . . . . .

100

6.6.2

Serijski spoj pumpi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101

6.6.3

Paralelni spoj pumpi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101

6.6.4

Regulacija protoka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

104

5

Sadrˇzaj

7 Zbirka zadataka

107

7.1

Zadaci uz poglavlje 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108

7.2

Zadaci uz poglavlje 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

117

7.3

Zadaci uz poglavlje 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

126

7.4

Zadaci uz poglavlje 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

131

7.5

Zadaci uz poglavlje 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

158

7.6

Zadaci uz poglavlje 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

174

7.7

Primjer raˇcunskog dijela pismenog ispita . . . . . . . . . . . . . . .

191

6

Sadrˇzaj

Poglavlje 1 Uvod 1.1

Turbostroj

Rijeˇc turbo ili turbinis je latinskog porjekla i odnosi se na neˇsto ˇsto se okre´ce. Turbostroj je uredaj u kojem se dinamiˇckim medudjelovanjem izmjenjuje energije izmedu radnog fluida koji kontinuirano struji kroz turbostroj i rotiraju´ceg elementa turbostroja (rotor). Rezultat izmjene energije je promjena zaustavne entalpije (tlaka i kinetiˇcke energije) radnog fluida uz odvodenje ili dovodenje mehaniˇckog rada preko vratila stroja. Turbostrojevi se mogu podjeliti u dvije osnovne vrste: radni turbostrojevi koji troˇse mehaniˇcku energiju da bi poveˇcali energetsku vrijednost radnog fluida (ventilatori, pumpe i kompresori); pogonski turbostrojevi koji proizvode mehaniˇcku energiju na raˇcun smanjenja energetske vrijednosti radnog fluida (hidrauliˇcke, parne i plinske turbine). Osnovni dijelovi tipiˇcnog turbostroja (vidi sliku 1.1): • Rotor s rotorskim lopaticama. Rotor se sastoji od jedne ili viˇse rotorskih reˇsetki. Reˇsetka (rotorska ili statorska) se sastoji od niza (reda) lopatica. Pretvorba energije u turbostroju odvija se izmjenom koliˇcine gibanja izmedu fluida i rotorskih lopatica. • Stator sa statorskim lopaticama. Statorske lopatice nisu nuˇzni dio turbostroja, ali kada postoje sluˇze za usmjeravanje strujanja prema sljede´cem redu rotorskih lopatica. • Ulazno ili izlazno vratilo. Ovisno da li se radi o turbostroju koji troˇsi mehaniˇcki rad (ventilator, kompresor, pumpa) ili ga proizvodi (hidrauliˇcka, parna i plinska

8

Uvod

turbina), preko ulaznog odnosno izlaznog se vratila mehaniˇcka energija dovodi odnosno odvodi iz turbostroja. • Ku´ciˇste. Postojanje ku´ciˇsta je karakteristika tzv. zatvorenih turbostrojeva, za razliku od otvorenih turbostrojeva koji nemaju ku´ciˇste. Ku´ciˇste sa statorskim lopaticama koje su za njega priˇcvrˇs´cene, usmjerava strujanje fluida na naˇcin koji pogoduje energetskoj pretvorbi u turbostroju.

Slika 1.1: Skica presjeka parne turbine sa istaknutim osnovnim dijelovima.

Turbostrojevi se takoder mogu kategorizirati prema dominantnom smjeru strujanja radnog fluida kroz strujne kanale rotora. Postoje tri osnovne vrste turbostrojeva s obzirom na smjer strujanja: • Aksijalni turbostrojevi. Kod ovih turbostrojeva radni fluid struji paralelno s osi rotora (npr. aksijalna pumpa ili kompresor na slici 1.2(a), te Kaplanova turbina na slici 1.2(e)). • Radijalni turbostrojevi.

Kod radijalnih turbostrojeva radni fluid uglavnom

struji radijalno u odnosu na os rotora. Radijalni se turbostrojevi mogu joˇs podjeliti na strojeve s radijalnim ulazom (centripetalni turbostrojevi) kod kojih fluid struji radijalno prema osi rotora, te na strojeve s radijalnim izlazom (centrifugalni turbostrojevi) kod kojih fluid struji radijalno od osi rotora (npr. centrifugalni kompresor ili pumpa na slici 1.2(c)).

9

1.1 Turbostroj

Slika 1.2: Skice razliˇcitih vrsta turbostrojeva.

10

Uvod

• Dijagonalni turbostrojevi tj. turbostrojevi s mjeˇ sovitim smjerom strujanja. Kada fluid na izlazu iz rotora ima znaˇcajnu i radijalnu i aksijalnu komponentu brzine obiˇcno se kaˇze da se radi o dijagonalnom turbostroju. Na slici 1.2(b) prikazana je pumpa sa dijagonalnim (mjeˇsovitim) smjerom strujanja, dok je na slici 1.2(d) prikazana Francisova hidrauliˇcka turbina s dijagonalnim smjerom strujanja. Turbostrojevi se se mogu podjeliti i na akcijske i reakcijski. Kod akcijskih se turbostrojeva statiˇcki tlak radnog fluida ne mijenja prolaskom kroz rotorsku reˇsetku za razliku od reakcijskih turbostrojeva kod kojih dolazi do promjene statiˇckog tlaka radnog fluida u rotorskoj reˇsetki.

1.2

Statiˇ cko i zaustavno stanje fluida

Prolaskom radnog fluida kroz stupnjeve turbostroja dogadaju se znaˇcajne promjene brzine strujanja. Termodinamiˇcko stanje fluida koji struji moˇze se opisati s dvije vrste stanja: statiˇcko stanje i zaustavno ili totalno stanje. Statiˇ cko stanje fluida definirano je statiˇckim svojstvima (npr. temperatura, tlak) koja bi se izmjerila mjernim instrumentom koji se nalazio u stanju mirovanja relativno u odnosu na fluid. Na primjer, da bi se izmjerila statiˇcka temperatura ˇcestice fluida koja se kre´ce zadanom brzinom, termometar bi se morao kretati istom brzinom kao promatrana ˇcestica fluida. Zaustavno stanje fluida je definirano kao konaˇcno stanje zamiˇsljenog izentropskog termodinamiˇckog procesa koji se odvija bez odvodenja ili dovodenja mehaniˇckog rada, a tijekom kojeg se kinetiˇcka i potencijalna energija ˇcestice fluida reducira na nulu. Poˇcetno stanje ovog zamiˇsljenog termodinamiˇckog procesa je statiˇcko stanje. U sljede´cem je odjeljku pokazano kako je promjena zaustavnih svojstava vrlo vaˇzna u vrednovanju uˇcinkovitosti turbostrojeva. Kao ˇsto se moˇze vidjeti iz definicije, zaustavno stanje ne predstavlja realno stanje fluida budu´ci da ga nije mogu´ce posti´ci u bilo kojem realnom procesu. Medutim, paˇzljivim mjerenjem mogu´ce je pribliˇzno izmeriti neka zaustavna svojstva (npr. tlak pomo´cu Pitotove cijevi, slika 1.3). Primjenom definicije zaustavnog stanja mogu´ce je izvesti izraze za raˇcunanje zaustavnih svojstava iz zadanih statiˇckih svojstava. Prvi zakon termodinamike za stacionarni

1.2 Statiˇcko i zaustavno stanje fluida

11

Slika 1.3: Pitotova cijev za mjerenje satiˇckog i zaustavnog tlaka.

proces moˇze se zapisati sljede´com jednadˇzbom: q − w = ∆h + ∆ek + ∆ep ,

(1.1)

gdje je q dovedena toplina, w odvedeni rad, h statiˇcka entalpija, ek kinetiˇcka energija, ep potencijalna energija, i sve veliˇcine su izraˇzene po jedinici mase. Kinetiˇcka se i potencijalna energija raˇcuna primjenom sljede´cih izraza: v2 , 2

(1.2)

ep = gz,

(1.3)

ek =

gdje je v brzina ˇcestice fluida, a g je gravitacijsko uzbrzanje koje je paralelno s z-osi koordinatnog sustava. Za proces koji definira zaustavno stanje, jednadˇzba (1.1) ima sljede´ci oblik (q−w = 0): 0 = h0 − hi + (ek )0 − (ek )i + (ep )0 − (ep )i ,

(1.4)

gdje index 0 oznaˇcava zaustavno (konaˇcno) stanje, dok index i oznaˇcava statiˇcko (poˇcetno) stanje. U konaˇcnom stanju procesa, kinetiˇcka i potencijalna energija su jednake nuli, tako da je1 : h0 = h + ek + ep .

(1.5)

Jednadˇzba (1.5) definira zaustavnu entalpiju ˇcestice fluida kao sumu statiˇcke entalpije, kinetiˇcke i potencijalne energije. Uzimaju´ci u obzir jednadˇzbe (1.2) i (1.3), jednadˇzba (1.5) moˇze se zapisati na sljede´ci naˇcin: h0 = h + 1

v2 + gz. 2

Od ovog mjesta statiˇcko stanje se oznaˇcava bez indexa.

(1.6)

12

Uvod

Da bi konaˇcno stanje procesa bilo zaustavno stanje, proces mora biti izentropski, ˇsto znaˇci da je s0 = s,

(1.7)

tj. zaustavna je entropija ˇcestice fluida jednaka statiˇckoj entropiji. Do sada su definirani izrazi za raˇcunanje dva nezavisna zaustavna svojstva (entalpija i entropija) u ovisnosti o odgovaraju´cim statiˇckim svojstvima. Budu´ci da dvije nezavisne veliˇcine stanja potpuno definiraju termodinamiˇcko stanje ˇcestice fluida, zaustavno je stanje potpuno definirano. Sva ostala zaustavna svojstva mogu se odrediti iz zaustavne entalpije i entropije. Drugi zakon termodinamike za povrative procese glasi: T ds = dh −

dp , ρ

(1.8)

gdje je T termodinamiˇcka temeratura, p tlak, a ρ gusto´ca. Za promatrani zamiˇsljeni proces koji definira zaustavno stanje vrijedi da je ds = 0, pa se jednadˇzba (1.8) moˇze zapisati na sljede´ci naˇcin: dh =

dp . ρ

(1.9)

Integracijom ove jednadˇzbe od statiˇckog do zaustavnog stanja dobiva se: h0 − h =

Zp0

dp . ρ

(1.10)

p

Za integraciju desne strane jednadˇzbe (1.10) potrebno je poznavati ovisnost gusto´ce o tlaku za izentropski proces. (a) Nestlaˇ civi fluid. Za nestlaˇcivo je strujanje dρ = 0. Prema tome, kod nestlaˇcivog je strujanja zaustavna gusto´ca jednaka statiˇckoj gusto´ci, ρ0 = ρ.

(1.11)

Budu´ci da je ρ = konst., jednadˇzba (1.10) nakon integracije dobiva sljede´ci oblik: h0 − h =

p0 − p , ρ

(1.12)

1.2 Statiˇcko i zaustavno stanje fluida

13

iz ˇcega slijedi izraz za raˇcunanje zaustavnog tlaka ˇcestice fluida u ovisnosti o statiˇckom tlaku: p0 = p + ρ(h0 − h),

(1.13)

odnosno ako se uzme u obzir izraz (1.6): p0 = p +

ρv 2 + ρgz, 2

(1.14)

Iz jednadˇzbe (1.14) slijedi zakljuˇcak da je u sluˇcaju stacionarnog, nestlaˇcivog strujanja neviskoznog fluida zaustavni tlak uzduˇz strujnice konstantan1 . Ako se uzme u obzir da se promjena nestlaˇcivog fluida (dρ = 0) od statiˇckog do = du = 0. zaustavno stanje odvija uz konstantnu entropiju, slijedi da je T ds = du + p dρ ρ2 Prem tome, u0 = u,

(1.15)

tj., kod nestlaˇcivog strujanja je zaustavna unutarnja energija jednaka statiˇckog unutarnjoj energiji. Unutarnja energija nestlaˇcivog fluida ovisi samo o temperaturi, u0 − u = cv (T0 − T ), gdje je cv specifiˇcna toplina pri konstantnom volumenu. To znaˇci da je kod nestlaˇcivog strujanja zaustavna temperatura jednaka statiˇckoj temperaturi: T0 = T.

(1.16)

(a) Idealni plin. Uzimaju´ci u obzir da entalpija idealnog plina ovisi samo o temperaturi (h = cp T ), iz jednadˇzbe (1.6) slijedi: cp T 0 = cp T +

v2 + gz, 2

(1.17)

gdje je cp specifiˇcna toplina pri konstantnom tlaku. Dijeljenjem jednadˇzbe (1.17) s cp dobiva se izraz za raˇcunanje zaustavne temperature u sluˇcaju idealnog plina: T0 = T + 1

gz v2 + . 2cp cp

(1.18)

U sluˇcaju bezvrtloˇznog strujanja zaustavni tlak je konstantan po ˇcitavom podruˇcju u kojem se

promatra strujanje.

14

Uvod 2

Kod turbostrojeva koji rade sa stlaˇcivim fluidom kinetiˇcka energija ( v2 ) je obiˇcno viˇsestruko ve´ca od potencijalne energije (gz) ˇsto znaˇci da se tre´ci ˇclan na desnoj strani jednadˇzbe (1.18) obiˇcno moˇze zanemariti: T0 = T +

v2 . 2cp

(1.19)

Za idealni plin vrijedi: cp =

κR , κ−1

gdje je κ =

cp , cv

(1.20)

a R je plinska konstanta. Uvrˇstavanjem izraza (1.20) u jednadˇzbu (1.19)

dobiva se: T0 κ − 1 v2 =1+ , T 2 κRT ako se uzme u obzir da je Machov broj M = av , gdje je a =

(1.21) √

κRT brzina zvuka, dobiva

se sljede´ci izraz za raˇcunanje zaustavne temperature idealnog plina: T0 T

=1+

κ−1 M 2, 2

Za izentropsku promjenu stanja vrijedi: κ   κ−1 T0 p0 . = p T

(1.22)

(1.23)

Ako se u jednadˇzbu (1.23) uvrsti jednadˇzba (1.22) dobiva se izraz za raˇcunanje zaustavnog tlaka u sluˇcaju idealnog plina:  κ  κ − 1 2 κ−1 p0 = 1+ M p 2

1.3

(1.24)

Primjena prvog i drugog zakona termodinamike kod turbostrojeva

Promatrat ´ce se stacionarno strujanje fluida kroz kontrolni volumen koji obuhva´ca strujni dio turbostroja (slika 1.4). Pretpostalja se da postoji po jedan ulaz (1) i izlaz (2) iz kontrolnog volumena i da su brzine, tlakovi, temperature i entalpije jednoliko raspodijeljene po ulaznom i izlaznom presjeku. U tom sluˇcaju prvi zakon termodinamike moˇze se zapisati na sljede´ci naˇcin:     2 2 v v 2 1 + gz1 = P + m + gz2 , ˙ h2 + Q˙ + m ˙ h1 + 2 2

(1.25)

1.3 Primjena prvog i drugog zakona termodinamike kod turbostrojeva

15

gdije je m ˙ stacionarni maseni protok fluida kroz turbostroj, Q˙ razmijenjena toplina u jedinici vremena, a P razmijenjena mehaniˇcka snaga.

Slika 1.4: Turbostroj prikazan kao kontrolni volumen.

Budu´ci da je prema jednadˇzbi (1.6) h + q − w = ∆h0 ,

v2 2

+ gz = h0 , dobiva se (1.26)

˙ m, gdje je q = Q/ ˙ a w = P/m. ˙ Turbostrojevi su obiˇcno vrlo dobro toplinski izolirani tako da je dovodenje ili odvodenje topline obiˇcno zanemarivo u odnosu na odvedeni ili dovedeni mehaniˇcki rad. Ako se turbostroj promatra kao savrˇseno toplinski izoliran stroj, jednadˇzba (1.26) dobiva sljede´ci oblik: ∆h0 = −w,

(1.27)

dh0 = −δw,

(1.28)

ili

gdje se jednadˇzba (1.28) odnosi na uredaj koji uzrokuje infinitezimalnu promjenu zaustavne entalpije fluida. Iz jednadˇzbe (1.27) slijedi vaˇzan zakljuˇcak: mehaniˇcki rad koji fluid razmijeni s rotorom turbostroja jednak je promjeni zaustavne entalpije fluida od ulaza do izlaza iz turbostroja. U torbostroju koji proizvodi mehaniˇcki rad w je pozitivan a dh0 je negativan, tj. zaustavna se entalpija fluida smanjuje od ulaza do izlaza iz turbostroja. U turbostroju

16

Uvod

koji troˇsi mehaniˇcki rad w < 0, a zustavna se entalpija fluida pove´cava od ulaza do izlaz iz turbostroja (dh0 > 0). U turbostroju koji radi sa stlaˇcivim fluidom promjena potencijalne energije uzrokuje zanemarivu promjenu zaustavne entalpije, pa je dovoljno toˇcno ako se jednadˇzba (1.27) piˇse na sljede´ci naˇcin: v2 w = −∆h0 = −∆ h + 2 



.

(1.29)

Ako se uzme u obzir da vrijedi h = u + ρp , jednadˇzba (1.27) se moˇze zapisati na sljede´ci naˇcin:     p v2 w = −∆h0 = − ∆ + + gz + ∆u , ρ 2 pa se za trubostrojeve koji rade s nestlaˇcivim fluidom (ρ = konst.) moˇze pisati   ∆p0 + ∆u , w = −∆h0 = − ρ

(1.30)

(1.31)

gdje je u unutarnja energija ˇcestice fluida ˇciji prirast (∆u) je posljedica nepovrativosti procesa tj. disipacije mehaniˇcke energije u toplinu. U turbostroju se mehaniˇcka energija razmijenjuje izmedu fluid i rotorskih lopatice. Na primjer, razmotrimo turbostroj s jednim redom statorskih i rotorskih lopatica (jedan stupanj, slika 1.5). Neka toˇcke 1 i 2 predstavljaju ulaz i izlaz iz statorskih lopatica, a toˇcke 3 i 4 odgovaraju´ce pozicije za rotorske lopatice. Kod strujanja izmedu toˇcke 1 i 2 ne dolazi do promjene zaustavne entalpije fluida (h01 = h02 ). Za strujanje izmedu toˇcaka 3 i 4 promjena zaustavne entalpije moˇze biti pozitivna ili negativna ovisno o tome da li se radi o turbostroju koji troˇsi (h04 > h03 ) ili proizvodi (h04 < h03 ) mehaniˇcki rad. Veliki turbostrojevi se obiˇcno sastoje od viˇse stupnjeva gdje se stupanj obiˇcno sastoji od kombinacije stator–rotor. U statorskoj reˇsetki ne dolazi do promjene zaustavne entalpije 1 . Prema tome, stator sluˇzi kao usmjeriva´c strujanja u kojem moˇze do´ci samo do preraspodjele energije izmedu statiˇcke entalpije, kinetiˇcke i potencijalne energije. Gubici u turbostroju uzrokuju smanjenje zaustavnog tlaka i pove´canje entropije, tako da se kod turbostrojeva koji proizvode mehaniˇcki rad ukupni odvedeni rad smanjuje, 1

U procesima koji ne ukljuˇcuju izmjenu mehaniˇckog rada i topline zaustavna je entalpija konstantna,

ˇsto vrijedi i u sluˇcaju nepovrativih procesa

1.3 Primjena prvog i drugog zakona termodinamike kod turbostrojeva

17

Slika 1.5: Presjek turbostroja s jednim stupnjem.

dok se kod turbostrojeva koji troˇse mehaniˇcki rad ukupni dovedeni rad pove´cava. Da bi se razumjelo kako se to dogada, promotrimo drugi zakon termodinamike primijenjen na promjenu zaustavnog stanja: T0 ds0 = dh0 − v0 dp0 ,

(1.32)

ili ako se uzme u obzir da vrijedi jednadˇzba (1.28): −δw = v0 dp0 + T0 ds0 .

(1.33)

Iz jednadˇzbe (1.33) slijedi zakljuˇcak da se kod turbostrojeva koji proizvode mehaniˇcki rad (δw > 0) zaustavni tlak smanjuje (dp0 < 0). Clausiusova nejednakost kaˇze da je T0 ds0 ≥ δq, tj. T0 ds0 ≥ 0 jer je kod turbostrojeva δq = 0. Znak jednakosti se odnosi na povrativi stroj kod kojeg ne dolazi do promjene entropije, a kod kojeg je dobiveni rad δwi = −v0 dp0 > 0. U realnom turbostroju je T0 ds0 > 0 tako da je: δwi − δw = T0 ds0 > 0.

(1.34)

Jednadˇzba (1.34) definira smanjenje odvedenog rada zbog nepovratnih procesa (gubitaka) u turbostroju. Prema tome povrativi stroj daje najve´ci mehaniˇcki rad za istu promjenu zaustavnog tlaka. Kada bi se sliˇcna analiza provela za turbostroj koji troˇsi mehaniˇcki rad pokazalo bi se da je dovedeni mehaniˇcki rad koji uzrokuje zadani prirast zaustavnog tlaka minimalan kod povrativog stroja (δw − δwi = T0 ds0 > 0).

18

Uvod

1.4

Iskoristivost turbostrojeva

Ovisno o tome da li se radi o turbostroju koji proizvodi ili troˇsi mehaniˇcki rad, ukupna se iskoristivost stroja moˇze definirati na sljede´ca dva naˇcina:

η0 =

ws Stvarni odvedeni rad na izlaznom vratilu = , Idealni odvedeni mehaniˇcki rad wi

(1.35)

η0 =

wi Idealni dovedeni mehaniˇcki rad = . Stvarni dovedeni rad na ulaznom vratilu ws

(1.36)

Idealni odvedeni ili dovedeni rad se raˇcuna pod pretpostavkom izentropskih uvjeta strujanje kroz turbostroj. Op´cenito gledano, gubici u turbostroju javljaju se: (a) zbog trenja u leˇzajevima, i (b) zbog nestacionarnosti, trenja izmedu fluida i lopatica itd. Gubici tipa (a) spadaju u grupu mehaniˇckih gubitaka dok gubici tipa (b) spadaju u grupu gubitaka zbog strujanja fluida. Ako se ovi gubici odvoje, gore definirana iskoristivost moˇze se zapisati na sljede´ci naˇcin: η0 =

wr ws , wi wr

(1.37)

η0 =

wi wr , wr ws

(1.38)

gdje je wr razmijenjena energija izmedu fluida i rotora koja bi bila jednka odvedenom odnosno dovedenom radu preko vratila stroja kada ne bi bilo mehaniˇckih gubitaka. Veliˇcina wr /wi kod strojeva koji proizvode mehaniˇcki rad odnosno veliˇcina wi /wr kod strojeva koji troˇse mehaniˇcki rad, naziva se adijabatska, izentropsaka ili hidrauliˇcka iskoristivost, budu´ci da se wi uvijek raˇcuna pod pretpostavkom izentropskog strujanja (bez gubitaka). Prema tome adijabatska se iskoristivost za strojeve koji prizvode i troˇse mehaniˇcki rad moˇze definirati na sljede´ci naˇcin:

ηa =

wr Mehaniˇcka energija koju fluidu predaje rotoru = , wi Idealna mehaniˇcka energija

(1.39)

1.4 Iskoristivost turbostrojeva

ηa =

wi Idealna mehaniˇcka energija = . wr Mehaniˇcka energija koju rotor predaje fluidu

19 (1.40)

Razlika izmedu ws i wr izraˇzava se pomo´cu mehaniˇcke iskoristivosti, koja je za strojeve koji proizvode i troˇse mehaniˇcki rad definirana na sljede´ci naˇcin:

ηm =

Odvedena mehaniˇcka energija na izlaznom vratilu ws = , wr Mehaniˇcka energija koju fluidu predaje rotoru

(1.41)

ηm =

wr Mehaniˇcka energija koju rotor predaje fluidu = . ws Dovedena mehaniˇcka energija na ulaznom vratilu

(1.42)

Ukupna se iskoristivost turbostroja sada moˇze izraziti na sljede´ci naˇcin: η0 = ηa ηm .

(1.43)

Slika 1.6: h-s dijagram procesa ekspanzije i kompresije.

Da bi se pri ispitivanju odredila adijabatska iskoritivost turbostroja, potrebno je definirati naˇcin raˇcunanja idealnog mehaniˇckog rada (wi ). Promotrimo proces od ulaza do izlaza iz turbostroja u h-s dijagramu koji je prikazan na slici 1.6. Na poˇcetku se fluid nalazi u statiˇckom stanju 1 i zaustavnom stanju 01. Nakon ˇsto prode kroz turbostroj, fluid se nalazi u statiˇckom stanju 2 i zaustavnom stanju 02. Kad bi proces bio povrativ, fluid bi nakon prolaza kroz turbostroj bio u statiˇckom stanju 2s i zaustavnom stanju 02s.

20

Uvod

Linija 1-2 predstavlja realni proces u statiˇckim koordinatama dok linija 01-02 predstavlja realni proces u zaustavnim koordinatama. Stvarni odvedeni rad wr jednak je h01 − h02 dok se idealni rad moˇze izraˇcunati s jednom od sljede´cih jednadˇzbi: wt−t = h01 − h02s ,

(1.44)

wt−s = h01 − h2s ,

(1.45)

ws−t = h1 − h02s ,

(1.46)

ws−s = h1 − h2s .

(1.47)

U sluˇcaju turbostroja koji radi s nestlaˇcivim fluidom, idealni odvedeni mehaniˇcki rad se raˇcuna na sljede´ci naˇcin:   p v2 wt−t = ∆ + + gz . ρ 2

(1.48)

Na osnovi gore definiranih naˇcina raˇcunanja idealnog mehaniˇckog rada mogu se definirati sljede´ce adijabatske iskoristivosti za turbostroj koji prizvodi mehaniˇcki rad: ηt−t =

h01 − h02 , h01 − h02s

(1.49)

h01 − h02 , h01 − h2s h01 − h02 , ηs−t = h1 − h02s h01 − h02 ηs−s = , h1 − h2s

(1.51)

h02s − h01 , h02 − h01

(1.53)

ηt−s =

(1.50)

(1.52)

odnosno za turbostroj koji troˇsi mehaniˇcki rad: ηt−t =

h2s − h01 , h02 − h01 h02s − h1 ηs−t = , h02 − h01 h2s − h1 ηs−s = . h02 − h01 ηt−s =

(1.54) (1.55) (1.56)

Izbor izraza za raˇcunanje iskoristivosti u glavnom ovisi o tome da li je izlazna kinetiˇcka energija izgubljena ili je iskoriˇstena. Primjer gdje izlazna kinetiˇcka energija nije izgubljena

1.5 Dimenzijska analiza i radne karakteristike turbostrojeva

21

je izlaz iz zadnjeg stupanja avionske plinske turbine gdje izlazna kinetiˇcka energija pridonosi potisku mlaznog pogona. Drugi primjer je kinetiˇcka energija na izlazu iz stupnja viˇsestepene turbine koja se koristi u sljede´cem stupnju. Adijabatska se iskoristivost u takvim sluˇcajevima naziva iskoristivos s iskoriˇstenjem izlazne brzine i raˇcuna se prema izrazu (1.49). Kada se izlazna kinetiˇcka energija nepovratno gubi, adijabatska se iskoristivost raˇcuna prema izrazu (1.50) i naziva se iskoristivost bez iskoriˇstenja izlazne brzine.

1.5

Dimenzijska analiza i radne karakteristike turbostrojeva

Dimenzijska analiza nekog fizikalnog procesa je postupak pomo´cu kojeg se skup varijabli koje definiraju proces reducira na manji skup bezdimenzijskih znaˇcajki. Dimenzijska analiza kod turbostrojeva ima dvije vaˇzne primjene: • Predvidanje radnih karakteristika prototipa na osnovu eksperimentom odredenih radnih karakteristika modela (hidrodinamiˇcka sliˇcnost); • Odredivanje najpovoljnijeg tipa stroja za zadanu snagu, broj okretaja i protok, a s ciljem postizanja maksimalne iskoristivosti.

Slika 1.7: Turbostroj promatran kao kontrolni volumen.

Promatrat ´ce se kontrolni volumen ˇcija granica (kontrolna povrˇsina) obuhva´ca cijeli turbostroj (slika 1.7). Kroz kontrolnu povrˇsinu fluid stacionarno ulazi na mijestu (1) i

22

Uvod

izlazi na mjestu (2). Isto tako kroz granicu kontrolnog volumena dovodi se ili odvodi mehaniˇcka energija. Na ovom se nivou analize ignoriraju detalji strujanja unutar turbostroja tj. promatraju se samo parametri koji se mogu identificirati (mjeriti) izvana, npr. broj okretaja rotora, protok, moment, promjena stanja fluida itd. Iz skupa varijabli koje definiraju proces u trubostroju mogu´ce je odabrati tri nezavisne varijable tzv. kontrolne varijable, ˇcijim mijenjanjem je mogu´ce posti´ci bilo koju radnu toˇcku promatranog turbostroja. Tako se npr. u sluˇcaju stlaˇcivog strujanja kao kontrolne varijable mogu odabrati maseni protok m, ˙ broj okretaja rotora n i zaustavni tlak na ulazu u turbostroj p01 . U sluˇcaju nestlaˇcivog strujanja skup kontrolnih varijabli sastoji se samo od dvije varijable, npr. protok Q i broj okretaja rotora n. Sve ostale zavisne varijable (npr. moment, energija odvedena/predana fluidu, itd.) mogu se izraziti u ovisnosti o kontrolnim varijablama, geometrijskim varijablama i svojstvima fluida. U sluˇcaju kada se promatra skup geometrijski sliˇcnih strojeva, dovoljno je uzeti u obzir samo jednu geometrijsku varijablu, npr. vanjski promjer rotora D, budu´ci da je omjer ostalih dimenzija i odabrane dimenzije D jednak za sve strojeve.

1.5.1

Dimenzijska analiza za sluˇ caj nestlaˇ civog fluida

Kada se analiziraju hidrauliˇcke pumpe ili turbine obiˇcno se kao nezavisne varijable odabiru: gH energija koju fluid primi ili preda prolaskom kroz turbostroj1 , η iskoristivost, P snaga koja se dovodi ili odvodi iz turbostroja. Na osnovi odabranih nezavisnih varijabli mogu´ce je definirati sljede´ce tri funkcijske ovisnosti tj. radne karakteristike hidrauliˇckih turbostrojeva: gH = f1 (Q, n, D, ρ, µ) ,

(1.57)

η = f2 (Q, n, D, ρ, µ) ,

(1.58)

P = f3 (Q, n, D, ρ, µ) .

(1.59)

Treba voditi raˇcuna da ovako definirane radne karakteristike vrijede samo za skup geometriski sliˇcnih turbostrojeva budu´ci da se promatra samo jedna geometrijska varijabla. 1

Ova je energija jednaka promjeni zaustavne entalpije koja je kod hidrauliˇckih turbostrojeva definirana

izrazom (1.30).

1.5 Dimenzijska analiza i radne karakteristike turbostrojeva

23

Ako se postupak dimenzijske analize (π-teorem) provede na skupu varijabli: gH, P , Q, n, D, ρ, µ, primjenom skupa dimezijski nezavisnih varijabli: ρ, n i D, dobiva se reducirani skup bezdimenzijskih znaˇcajki (brojeva): • Koeficijent volumenskog protoka: φ=

Q , nD3

(1.60)

• Reynoldsov broj: Re =

ρnD2 , µ

(1.61)

• Koeficijent energetske pretvorbe (ili koeficijent visine dobave): ψ=

gH , (nD)2

(1.62)

• Koeficijent snage: λ=

P . ρn3 D5

(1.63)

Sada se radne karakteristike definirane jednadˇzbama (1.58), (1.59), (1.59) mogu zapisati u bezdimenzijskom obliku: ψ = F1 (φ, Re) ,

(1.64)

η = F2 (φ, Re) ,

(1.65)

λ = F3 (φ, Re) .

(1.66)

Kod turbostrojeva koji rade sa zrakom, vodom ili vodenom parom, Reynoldsov broj definiran jednadˇzbom (1.61) obiˇcno je ve´ci od 3 × 10−6 . Eksperimentalna ispitivanja pokazuju da u tom podruˇcju Reynoldsov broj ima zanemariv utjecaj na radne karakteristike turbostroja. Prema tome, zanemaruju´ci utjecaj Reynoldsovog broja radne karakteristike hidrauliˇckih turbostrojeva postaju joˇs jednostavnije: ψ = F1 (φ) ,

(1.67)

η = F2 (φ) ,

(1.68)

λ = F3 (φ) .

(1.69)

24

Uvod

Ako se eksperimentom odrede npr. ψ - φ i λ - φ karakteristike, jasno je da se onda (η - φ) karakteristika moˇze odrediti iz prethodne dvije karakteristike. Naime, moˇze se pokazati da za hidrauliˇcke pumpe vrijedi: η=

φψ , λ

(1.70)

a da za hidrauliˇcke turbine vrijedi: η=

λ . φψ

(1.71)

Ako su za dvije radne toˇcke hidrauliˇckog turbostroja zadovoljeni uvjeti hidrodinamiˇcke sliˇcnosti (geometrijska, kinematiˇcka i dinamiˇcka sliˇcnost), moˇze se oˇcekivati da ´ce bezdimenzijske varijable φ, ψ, λ i η imati iste vrijednosti za obje promatrane radne toˇcke. To znaˇci da ´ce npr. ψ - φ karakteristika za sve geometrijski sliˇcne hidrauliˇcke turbostrojeve koji se vrte razliˇcitim brojem okretaja biti definirana jedinstvenom krivuljom.

Slika 1.8: Bezdimenzijska radna karakteristika pumpe odredena eksperimentalnim ispitivanjem.

Ovo potvrduju i eksperimentalna ispitivanja. Na slici 1.8 prikazani su eksperimentalni rezultati za centrifugalnu pumpu. Unutar normalnog radnog podruˇcja pumpe, 0.03 < Q/(nD3 )2 < 0.06, u podruˇcju brojeva okretaja 2500 < n < 5000 min−1 , postoji vrlo malo odstupanje rezultata od zamiˇsljene interpolacijske linije (ˇsto moˇze biti

1.5 Dimenzijska analiza i radne karakteristike turbostrojeva

25

posljedica utjecaja Reynoldsovog broja). Za manje protoke, Q/(nD3 )2 < 0.025, strujanje postaje nestacionarno ali rezultati ne odstupaju znaˇcajno od jedinstvene krivulje. U podruˇcju velikih protoka, Q/(nD3 )2 > 0.06, moˇze se uoˇciti znaˇcajno odstupanje rezultata od zajedniˇcke krivulje. Radi se o uˇcinku koji izaziva pojava kavitacije.

Slika 1.9: Dimenzijska radna karakteristika pumpe pri razliˇcitim brojevima okretaja.

Bezdimenzijski rezultati prikazani na slici 1.8 dobiveni su za konkretnu pumpu pri razliˇcitim brojevima okretaja. Medutim, ti ´ce rezultati bit pribliˇzno valjani i za druge geometrijski sliˇcne pumpe ako ne dolazi do pojave kavitacije. Prema tome bezdimenzijska ψ - φ karakteristika na slici 1.8 moˇze se koristiti za odredivanje dimenzijske karakteristike geometriski sliˇcnih pumpi za razliˇcite brojeve okretaja, ako se moˇze zanemariti utjecaj Reynoldsovog broja. Na slici 1.9 prikazana je dimenzijska radna karakteristika pumpe za razliˇcite brojeve okretaja, sa istaknutim krivuljama na kojima se nalaze hidrodinamiˇcki sliˇcne radne toˇcke. Neka Q1 i H1 odreduju neku radnu toˇcku pumpe pri broju okretaja n1 . Onda ´ce se

26

Uvod

hidrodinamiˇcki sliˇcna radna toˇcka pri nekom drugom broju okretaja n nalaziti na paraboli:   H1 H (Q) = Q2 . (1.72) Q21 Brzohodnost Konstruktor hidrauliˇckog turbostroja ˇcesto je suoˇcen s problemom odabira najprikladnije vrste turbostroja s obzirom na postizanje ˇsto bolje iskoristivosti uz zadane ulazne parametre. Obiˇcno je u sluˇcaju konstrukcije pumpe poznata visina dobave H, volumenski protok Q i broj okretaja n, dok je kod turbine obiˇcno zadana snaga P , raspoloˇziva visina pad H i broj okretaja n. Kao pomo´c u odabiru vrste turbostroja nastao je bezdimenzijski parametar pod nazivom brzohodnost. Ovaj je parametar izveden iz bezdimenzijskih zanaˇcajki φ, ψ i λ tako da se eliminira promjer rotora D. Tako se brzohodnost koja se 1

3

koristi kod pumpi izvodi dijeljenjem φ 2 sa ψ 4 , 1

ns =

nQ 2

3

(gH) 4

,

(1.73) 1

5

dok se kod hidrauliˇckih turbina koristi brzohodnost koja se dobiva dijeljenjem λ 2 sa ψ 4 : 1

nsp =

nP 2 1

5

ρ 2 (gH) 4

,

(1.74)

Naziv brzohodnost za bezdimenzijske pamrametre definirane jednadˇzbama (1.73) i (1.74) dolazi od toga ˇsto su ti parametri direktno proporcionalni broju okretaja. Da bi se potpuno definirala brzohodnost potrebno je joˇs definirati radnu toˇcu (Q, H) kod pumpi tj. (H, P ) kod turbina, za koju se taj bezdimenzijski parametar raˇcuna. Za bilo koji hidrauliˇcki trubostroj zadane geometrije postoji jednoznaˇcna ovisnost izmedu iskoristivosti η i koeficijenta volumenskog protoka φ. Na slici 1.10 prikazane su η-φ karakteristike hidrauliˇckog turbostroja za tri razliˇcita postava rotorskih lopatica. Kao ˇsto se moˇze vidjeti prate´ci bilo koju od ovih krivulja, iskoristivost prvo raste s porastom koeficijenta protoaka, a nakon postizanja maksimalne vrijednosti iskoristivost se s pove´canjem koeficijenta protoka smanjuje. Brzohodnost se raˇcuna upravo za radnu toˇcku kod koje je iskoristivost turbostroja maksimalna. Prema tome, brzohodnost ovisi samo o geometrijskom obliku turbostroja, tj. konstantana je za fiksni geometrijski oblik turbostroja. Ako se je brzohodnost promjenila znaˇci da je doˇslo do promjene geometrijskog oblika turbostroja.

1.5 Dimenzijska analiza i radne karakteristike turbostrojeva

Slika 1.10: Iskoristivost pumpe.

Slika 1.11: Ovisnost oblika rotora turbopumpi o brzohodnosti nq i tipskom broju K.

27

28

Uvod

Ako se na primjer iz zadanih projektnih parametara pumpe (Q, H, n) izraˇcuna odgovaraju´ca brzohodnost1 , mogu´ce je koriˇstenjem npr. dijagrama na slici 1.11 odabrati najpovoljniji oblik rotora pumpe. S tako odabranim oblikom rotora pumpe posti´ci ´ce se maksimalna iskoristivost.

1.5.2

Dimenzijska analiza za sluˇ caj stlaˇ civog fluida

Kod turbostrojeva koji rade sa stlaˇcivim fluidom obiˇcno se umjesto volumnog protoka Q koristi maseni protok m, ˙ a umjesto visine H se koristi izentropska promjena zaustavne entalpije ∆h0s . Isto tako uz svojstva fluida koja se koriste kod nestlaˇcivog fluida (ρ, µ), potrebno je uvesti dva dodatna svojstva, npr. zaustavna brzina zvuka na ulazu u turbostroj a01 , i omjer specifiˇcnih toplina κ. Prema tome dimenzijske karakteristike turbostroja koji radi sa stlaˇcivim fluidom mogu se zapisati na sljede´ci naˇcin: ∆h0s , η, P = f (m, ˙ n, D, ρ01 , µ, a01 , κ) .

(1.75)

Postupkom dimenzijske analize (koriste´ci ρ01 , N i D kao skup od tri dimenzijski nezavisne varijable), ove tri dimenzijske radne karakteristike mogu se svesti na neˇsto jednostavnije bezdimenzijske radne karakteristike:   ∆h0s m ˙ P ρ01 nD2 nD , η, =F , , ,κ . n2 D 2 ρ01 n3 D5 ρ01 nD3 µ a01 gdje je φ =

m ˙ ρ01 nD3

koeficijent protoka, Re =

ρ01 nD2 µ

Reynoldsov broj, a M =

(1.76) nD a01

Machov

broj. Za turbostrojeve koji rade s idealnim plinom mogu´ci su i drugi oblici bezdimenzionalnih karakteristika. 1

U Europi se za brzohodnost pumpe koristi oznaka nq koja je definirana sljede´cim izrazom: √ Q nq = n 3 , HP4

gdje je [n]SI = min−1 , [Q]SI = m3 /s, [HP ]SI = m. Uz brzohodnost u primjeni je i tipski broj K definiran na sljede´ci naˇcin: K = 0.019nq .

108

7.1

Zbirka zadataka

Zadaci uz poglavlje 1

Zadatak 1.1 Suha zasi´cena vodena para pod statiˇckim tlakom 1 bar struji kroz cijev brzinom 300 m/s. Potrebno je izraˇcunati zaustavni tlak i zaustavnu temperaturu pare: (a) primjenom termodinamiˇckih tablica za vodenu paru, (b) pretpostavljaju´ci da se para ponaˇsa kao idealni plin s κ = 1.3. Rjeˇsenje: (a) Iz termodinamiˇckih tablica za suhu zasi´cenu vodenu paru pri statiˇckom tlaku p = 1 bar dobiva se: statiˇcka temperatura θ = 99.64 ◦ C, statiˇcka entalpija h = 2675 kJ/kg i statiˇcka entropija s = 7.36 kJ/kgK. Ako se u jednadˇzbi (1.6) zanemari potencijalna energija, dobiva se: h0 = h +

v2 3002 1 = 2675 + = 2720 kJ/kg. 2 2 1000

Zaustavna je entropija jednaka statiˇckoj, s0 = s = 7.36 kJ/kgK. Konaˇcno iz Mollierovog dijagrama slijedi da je totalni tlak p0 = 1.25 bar, a totalna temperatura θ0 = 121 ◦ C. (b) Ako se para ponaˇsa kao idealni plin s κ = 1.3, totalna se temperatura moˇze izraˇcunati primjenom jednadˇzbe (1.21): κ − 1 v2 T0 =1+ , T 2 κRT gdje je za vodenu paru R = R/M = 8314/18 = 462.06 J/kgK. Uvrˇstavanjem u gornju jednadˇzbu dobiva se:   1.3 − 1 3002 T0 = 372.79 1 + 2 1.3 462.06 372.79 = 395.26 K = 122.11 ◦ C. Totalni se tlak dobiva iz jednadˇzbe (1.23): p0 = p



T0 T

κ  κ−1

=1



395.26 372.79

1.3  1.3−1

= 1.289 bar.

7.1 Zadaci uz poglavlje 1

109

Zadatak 1-2 Brzine vode u usisnoj i tlaˇcnoj cijevi pumpe su: v1 = 2 m/s i v2 = 4 m/s. Ulaz u usisnu cijev se nalazi na visini 0 m, pumpa na visini 8 m, a izlaz iz tlaˇcne cijevi na visini 23 m. Statiˇcki tlakovi na ulazu u usisnu cijev i izlazu iz tlaˇcne cijevi su jednaki. Treba izraˇcunati idealnu (minimalnu) snagu za pogon turbostroja ako je potrebno dobavljati m ˙ = 100 kg/min vode. Rijeˇsenje: Budu´ci da se radi o turbostroju koji radi s nestlaˇcivim fluidom (ρ = 1000 kg/m3 ), idealni mehaniˇcki rad koji treba dovesti pumpi po kilogramu fluida moˇze se izraˇcunati iz ulaznog i izlaznog stanja fluida primjenom jednadˇzbe (1.48):   p2 − p1 V22 − V12 wi = − + + g(z2 − z1 ) ρ 2   0 42 − 22 =− + + 9.81(23 − 0) 1000 2 = −231.63 J/kg. Potrebna idealna snaga za pogon pumpe: Pi = mw ˙ i=

100 (−231.63) = −386.05 W. 60

110

Zbirka zadataka

Zadatak 1-3 Pumpa radi s vodom i ima hidrauliˇcku iskoristivost ηt−t = 0.7. Prolaskom kroz stroj, zaustavni tlak vode poraste za 3.5 bar. Treba izraˇcunati stvarnu mehaniˇcku energiju koju rotor predaje fluidu, idealnu dovedenu mehaniˇcku energiju (wi = wt−t ), porast temperature vode zbog nepovrativosti i stvarnu snagu koju je potrebno dovesti stroju ako treba dobavljati 3.25 L/s vode. Pretpostaviti da je mehaniˇcka iskoristivost ηm = 0.9. Rjeˇsenje: Idealna (minimalna) dovedena mehaniˇcka energija za sluˇcaj nestlaˇcivog fluida raˇcuna se primjenom izraza (1.48): wi = wt−t =

∆p0 3.5 × 105 = = 350 J/kg. ρ 1000

Stvarna mehaniˇcka energija koju rotor predaje fluidu raˇcuna se primjenom izraza (1.53): wr =

350 wi = = 506 J/kg. ηt−t 0.7

Snaga koju je potrebno dovesti stroju: P =

mw ˙ i 3.25 506 = = 1825 W. ηm 0.9

Kada bi se prirast totalnog tlaka u turbostroju odvijao na povrativ naˇcin, ne bi doˇslo do porasta temperature fluida (jer je fluid nestlaˇciv). Zbog nepovrativosti procesa dio ´ce se mehaniˇcke energije pretvoriti u unutarnju energiju, a ˇsto zna´ci da ´ce do´ci do porasta temperature. Porast je unutarnje energije jednak razlici gore izraˇcunate stvarne i idealne mehaniˇcke energije koju rotor predaje fluidu: ∆u = wr − wi = 506 − 350 = 152 J/kg, a odgovaraju´ci prirast temperature je onda: ∆T =

∆u 152 = = 0.036 ◦ C. cv 4187

7.1 Zadaci uz poglavlje 1

111

Zadatak 1-4 Vodena para ulazi u turbinu sa statiˇckim tlakom p1 = 60 bar, statiˇckom tempeaturom θ1 = 550 ◦ C i brzinom v1 = 200 m/s. Na izlazu iz turbine para ima statiˇcki tlak p2 = 7 bar, statiˇcku tempeaturu θ2 = 300 ◦ C i brzinu v2 = 250 m/s. Ako se pretpostavi da je turbina savrˇseno toplinski izolirana, treba izraˇcunati: (a) totalni tlak i temperaturu na ulazu, (b) totalni tlak i temperaturu na izlazu, (c) adijabtske iskoristivost: ηt−t , ηt−s , ηs−t , ηs−s . Rjeˇsenje: (a) Iz termodinamiˇckih tablica za vodenu paru slijedi statiˇcka entalpija i entropija vodene pare na ulazu u turbinu: h1 = 3540 kJ/kg, s1 = 7.028 kJ/kgK. Zaustavna entalpija pare na ulazu u turbinu je: h01 = h1 +

v12 2002 1 = 3540 + = 3560 kJ/kg. 2 2 1000

Primjenom Mollierovog dijagrama, za h01 i s01 = s1 = 7.028 kJ/kgK, dobiva se: p01 = 67 bar, T01 = 560 ◦ C. (b) Primjenom termodinamiˇckih tablica za vodenu paru za p2 = 7 bar i T2 = 300 ◦ C, dobiva se statiˇcka entalpija i entropija na izlazu iz turbine: h2 = 3056 kJ/kg, s2 = 7.291 kJ/kgK. Zaustavna entalpija pare na izlazu iz turbine je: h02 = h2 +

2502 1 v12 = 3056 + = 3087.25 kJ/kg. 2 2 1000

Za zaustavnu entalpiju h02 i zaustavnu entropiju s02 = s2 = s01 = 7.291 kJ/kgK na izlazu iz torbine, iz Mollierovog dijagrama slijedi: p02 = 7.6 bar, T02 = 315 ◦ C. (c) Da bi se odredila izentropska iskoristivost ηt−t potrebno je odrediti zaustavnu entalpiju pare na izlazu iz turbine za sluˇcaj izentropske ekspanzije od poˇcetnog stanja definiranog zaustavnim tlakom p01 i zaustavnom entropijom s01 , do konaˇcnog stanja definiranog zaustavnim tlakom p02 i zaustavnom entropijom s02s = s01 . Primjenom Mollierovog

112

Zbirka zadataka

dijagrama slijedi da je h02s = 2920 kJ/kg. Iskoristivost ηt−t moˇze se sada izraˇcunati primjenom jednadˇzbe (1.49): ηt−t =

3560 − 3087.25 h01 − h02 = = 0.75 = 75 %. h01 − h02s 3560 − 2930

(d) Da bi se odredila iskoristivost ηt−s , potrebno je odrediti statiˇcku entalpiju h2s , gdje 2s predstavlja statiˇcko stanje nakon izentropske ekspanzije od zaustavnog tlaka p01 i zaustavne entropije s01 do statiˇckog tlaka p2 i statiˇcke entropije s2 = s01 . Iz Mollierovog dijagrama slijedi: h2s = 2910 kJ/kg. Iskoristivost ηt−s moˇze se sada izraˇcunati primjenom jednadˇzbe (1.50): ηt−s =

h01 − h02 3560 − 3087.25 = = 0.73 = 73 %. h01 − h2s 3560 − 2910

(e) Iskoristivost ηs−t raˇcuna se primjenom jednadˇzbe (1.51): ηs−t =

3560 − 3087.25 h01 − h02 = = 0.775 = 77.5 %. h1 − h02s 3540 − 2930

(f) Iskoristivost ηs−s raˇcuna se primjenom jednadˇzbe (1.52): ηs−s =

3560 − 3087.25 h01 − h02 = = 0.75 = 75 %. h1 − h2s 3540 − 2910

113

7.1 Zadaci uz poglavlje 1

Zadatak 1-5 Omjer zaustavnih tlakova na ulazu i izlazu iz turbine je

p01 p02

= 5. Izentropska iskoristivost

ηt−t je 0.8, a maseni protok zraka je m ˙ = 5 kg/s. Ako je ukupna izlazna snaga P = 500 kW, treba odrediti: (a) zaustavnu temperaturu na ulazu u turbinu, (b) zaustavnu temperaturu na izlazu iz turbine, (c) statiˇcku temperaturu na izlazu iz turbine ako je izlazna brzina fluida v2 = 100 m/s i (d) iskoristivost ηt−s turbine. Rjeˇsenje: (a) Dobiveni mehaniˇcki rad po jedinici mase: w=

P 500 = = 100 kJ/kg. m ˙ 5

Budu´ci da za idealne plinove vrijedi: w = −∆h0 = −cp (T02 − T01 ) , a za zrak je cp = 1.004 kJ/kg, pad zaustavne temperature u turbini je: (T02 − T01 ) =

w 100 = = 100 K. cp 1.004

Omjer zaustavnih temperatura za izentropsku ekspanziju:   1.4−1   κ−1 1 1.4 p02 κ T02s = = 0.631. = T01 p01 5 Sada se iz jednadˇzbe (1.49) moˇze izraˇcunati zaustavna temperatura na ulazu u turbinu: T01 =

T01 − T02 100  = = 338.75 K. T02s 0.8 (1 − 0.631) ηt−t 1 − T01

(b) Zaustavna temperatura na izlazu iz tubine: T02 = T01 − 100 = 338.75 − 100 = 238 K.

(c) Statiˇcka temperature na izlazu iz turbine moˇze se izraˇcunati primjenom jednadˇzbe (1.18): T2 = T02 −

1002 v22 = 238 − = 233 K 2cp 2 1004

(d) Zaustavna temperatura na kraju izentropske ekspancije do tlaka p02 : T02s = T01 0.631 = 338.75 0.631 = 213.75 K.

114

Zbirka zadataka

Sada je statiˇcka temperatura na kraju izentropske ekspanzije do tlaka p2 : T2s = T02s −

1002 v22 = 213.75 − = 208.77 K, 2cp 2 1004

pa se sada iskoristivost ηt−s moˇze izraˇcunati primjenom izraza (1.50): ηt−s =

338.75 − 238 T01 − T02 = = 0.77 = 77 %. T01 − T2s 338.75 − 208.77

(7.1)

115

7.1 Zadaci uz poglavlje 1

Zadatak 1-6 Aksijalna pumpa promjera rotora D1 = 30 cm dobavlja Q1 = 2.7 m3 / min vode kod broja okretaja n1 = 1500 min−1 . Energija predana fludu je wr1 = 125 J/kg, a iskoristivost ηt−t je 75 %. Za drugu geometrijski sliˇcnu pumpu promjera rotora D2 = 75 cm koja radi s brojem okretaja n2 = 3000 min−1 uz istu iskoristivost kao prva pumpa, treba odredit: (a) volumenski protok, (b) promjenu totalnog tlaka i (c) dovedenu snagu ako se zanemare meahniˇcki gubici. Rjeˇsenje: (a) Budu´ci da za radnu toˇcku prve i druge pumpe vijedi (ηt−t )1 = (ηt−t )2 = 0.75, ove dvije pumpe rade u hidrodinamiˇcki sliˇcnim radnim toˇckama. Prema tome protok druge pumpe slijedi iz jednakosti koeficijenata volumenskog protoka (φ1 = φ2 ): Q2 Q1 = , 3 n1 D1 n2 D23 Q2 =

Q1 2.7 n2 D23 = 3000 0.23 = 1.6 m3 / min . 3 3 n1 D1 1500 0.3

(b) Za dvije hidrodinamiˇcki sliˇcne radne toˇcke vrijedi i jednakost koeficijenata energetske pretvorbe (ψ1 = ψ2 ), wr2 wr1 = 2 2, 2 2 n1 D1 n2 D2 pa je energija predana fluidu za drugu pumpu: wr2 =

wr1 2 2 125 n2 D2 = 30002 0.22 = 222 J/kg, 2 2 n1 D1 15002 0.32

a promjena totalnog tlaka: ∆p0 = (ηt−t )2 wr2 ρ = 0.75 222 1000 = 1.67 × 105 Pa. (c) Snaga za pogon druge pumpe: P2 = ρQ2 wr2 = 1000

1.6 222 = 5920 W. 60

116

Zbirka zadataka

Zadatak 1-7 U optimalnoj toˇcki rada, ηmax = 0.82, centrifugalna pumpa promjera rotora D1 = 50 cm dobavlja koliˇcinu Q1 = 3.2 m3 /s fluida na visinu H1 = 25 m kod broja okretaja n1 = 1450 min−1 . Treba odrediti: (a) protok, (b) visinu dobave i (c) snagu hidrodinamiˇcki sliˇcne pumpe koja ima promjer rotora D2 = 80 cm i broj okretaja n2 = 1200 min−1 . Rjeˇsenje: (a) Iz uvjeta jednakosti koeficijenata protoka slijedi izraz za raˇcunanje protoka hidrodinamiˇcki sliˇcne pumpe: Q2 =

Q1 3.2 n2 D23 = 1200 803 = 10.87 m3 /s. 3 n 1 D1 1450 503

(b) Iz uvjeta jednakosti koeficijenta visine dobave (energetske pretvorbe) slijedi izraz za raˇcunanje visine dobave hidrodinamiˇcki sliˇcne pumpe: H2 =

25 H1 n22 D22 = 12002 802 = 43.83 m. 2 2 n1 D1 14502 502

(c) Snaga koju je potrebno dovesti sliˇcnoj pumpi ako je zadana ukupna iskoristivost: P2 =

ρQ2 gH2 1000 10.87 9.81 43.83 = = 5686.375 kW. ηmax 0.82