27 Ejercicios Mov. Arm. Sim.
June 19, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A
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14.22 Para el objeto oscilante de la figura E14.4, ¿cuáles son (a) su Velocidad máxima y (b) su aceleración máxima? máxima?
RESPUESTA
(a)
∗ ∗ ∗ ∗
(b)
14.23 Un bloque pequeño es conectado a un resorte ideal y se mueve en MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE en una superficie horizontal, sin fricción. La amplitud del movimiento es 0,120 m. La velocidad máxima del bloque es 3,90 m/s. ¿Cuál es la magnitud máxima de la aceleración del bloque? RESPUESTA
∗ 3, 3, 9 0 | | 0,120
,
(32, ∗5 ) ∗ 0,0,112020
,
14.24 Un pequeño bloque está unido a un resorte ideal y se mueve en MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE sobre una superficie horizontal sin fricción. La amplitud del movimiento es 0,250 m y el período es 3,20 s. ¿Cuáles son la velocidad y la aceleración del bloque cuando x = 0,160 m?
RESPUESTA
2∗∗ 1 2∗∗ 3,210
, = ±1,± 9∗64 ∗ 0,0,250 00,,160 =, ∗ 1,964 ∗ 0,0,160160 ,
14.25 Un diapasón etiquetado como 392 Hz tiene la punta de cada una de sus dos púas vibrando con una amplitud de 0,600 mm.
(a) ¿Cuál es la velocidad máxima de la punta de una púa? (b) Una Una mosca mosca doméstica doméstica (Musca domestica) con una masa de 0,0270 g se sujeta a la punta de una de las púas. A medida que la punta vibra, ¿cuál es la máxima energía cinética de la mosca? Suponga que la masa de la mosca tiene un efecto insignificante sobre la frecuencia de oscilación.
RESPUESTA (a)
áá ∗ ∗2∗∗ 0,0,600 ×10− ∗2∗∗ 392392
(b)
á ,
1 ∗∗² 12 ∗ 0,0,0270 ×10− ∗1,488 ² , ×−
14.26 Un oscilador armónico tiene frecuencia frec uencia angular
y amplitud A.
a) ¿Cuáles son las magnitudes del desplazamiento y la velocidad cuando la energía potencial elástica es igual a la energía cinética? (Suponga que U=0 en equilibrio.)
(b) ¿Con qué frecuencia ocurre esto en cada ciclo? ¿Cuál es el tiempo entre ocurrencias? (c) En un instante en que el desplazamiento es igual a A/2, ¿qué fracción de la energía total del sistema es cinética y qué fracción es potencial?
RESPUESTA (a)
± √ √ 2
± √ √ 2 ∆∆ ∗
Ocurre 4 veces,
(c)
14.27 Un planeador de 0,500 kg, unido al extremo de un resorte ideal con constante de fuerza k=450 N/m, experimenta un MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE con una amplitud de 0,040 m. Calcule (a) la velocidad máxima del planeador; (b) la velocidad del planeador cuando está en x=-0,015 m; (c) la magnitud de la aceleración máxima del planeador; (d) la aceleración del planeador en x=-0,015 m; (e) la energía mecánica total del planeador p laneador en cualquier punto de su movimiento.
RESPUESTA (a)
45040,50500N/mKg
∗ 30 ∗ 0,0,004040 m
,
(b)
== ± 30 ∗ ∗ 0,0,040 0,0,015
= ±,
(c)
∗ ∗ (30 30 ) ∗ 00,,040 ∗ (30 ) ∗ 0,0,015
(d)
(e)
, ∗∗±∗ + ∗∗ ∗∗
14.28 Una animadora agita su pompón en MOVMIENTO ARMONICO SIMPLE con una amplitud de 18,0 cm y una frecuencia de 0,850 0,85 0 Hz. Encuentre (a) la magnitud máxima de la aceleración y de la velocidad; (b) la aceleración y la velocidad cuando la coordenada del pompón es x=+9,0 cm; (c) el tiempo requerido para moverse desde la posición de equilibrio directamente a un punto a 12,0 cm de distancia. (d) ¿Cuál de las cantidades solicitadas en los incisos (a), (b) y (c) se puede encontrar usando el enfoque de energía usado en la Sección 14.3, y cuál no? Explicar.
RESPUESTA (a)
2∗∗ 2 ∗ ∗ 0 , 8 5 0 ∗
,
5,5,341 ∗ 0,0,18
,
(b)
∗ (5,341 41 ) ∗ ++0,0,090 mm
= ± ∗
,
= ±5,341 ∗ 0,0,18 00,,090 =,
14.29 CP Para la situación descrita en el inciso a) del ejemplo 14.5, ¿cuál debería ser el valor de la masa de masilla ‘m’ para que la amplitud después de la colisión sea la mitad de la amplitud original? Para este valor de ‘m’, ¿qué fracción de la energía mecánica original se convierte en calor?
RESPUESTA 14.30 Un juguete de 0,150 kg se somete a MOVMIENTO ARMONICO SIMPLE en el extremo de un resorte horizontal con constante de fuerza k=300 N/m. Cuando el objeto está a 0,0120 m de su posición de equilibrio, se observa que tiene una rapidez de 0.300 m/s. ¿Cuáles son (a) la energía total del objeto en cualquier punto de su movimiento; (b) la amplitud del movimiento; (c) la velocidad máxima alcanzada por el e l objeto durante su movimiento?
RESPUESTA (a)
12 ∗ ∗ + 12 ∗∗ 12 ∗∗
12 ∗0,150 ∗0,300 + 12 ∗300 ∗ 0,0,0120 12 ∗∗ 0,02835 12 ∗∗ 2 ∗ 0,0,02835 0,0138300300 ∗ , ∗ ± , ∗ ,, + ∗ ∗
(b)
,,
(c)
∗ ± ∗ 300 ± 0,150 ∗ 0,0,0138 0138
± ,,
14.31. Estás mirando un objeto que se mueve en MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE. Cuando el objeto se desplaza 0,600 m hacia la derecha de su posición de equilibrio, tiene una velocidad de 2,20 m/s hacia la derecha y una aceleración de 8,40 m/s. A la izquierda. ¿Cuánto más lejos de este punto se moverá el objeto antes de que se detenga momentáneamente y luego comience a moverse hacia la izquierda?
∗
RESPUESTA
8, 8, 4 0 0,600 , = ± ∗ 2,2,2+0m/s + 0,0,600 3,742 ,, 0,0,706706 0,0,600600
,
14.32. En una mesa horizontal sin fricción, una caja de 5,20 kg con la parte superior abierta está unida a un resorte horizontal ideal que tiene una fuerza constante de 375 N/m. Dentro de la caja hay una piedra de 3,44 kg. kg. El sistema oscila con una una amplitud de 7,50 cm. Cuando Cuando la caja ha alcanzado alcanzado su velocidad máxima, la piedra se saca de repente verticalmente de la caja sin tocar la caja. Encuentre (a) el período y (b) la amplitud del movimiento resultante de la caja. (c) Sin hacer ningún cálculo, ¿el nuevo período es mayor o menor que el período original? ¿Cómo lo sabes?
RESPUESTA (a)
Calculamos la frecuencia angular de la caja vacía y de la caja con la piedra
, 33755,7520N/m
37538,7564N/m ,
ahora podemos calcular el periodo
2∗ 2∗ 5, 2∗ 37520
,
(b)
Por la ley de conservación de la energía, E = K + U, siendo, E la energía total del sistema, K la energía cinética, y U la energía potencial. Cuando la rapidez es máxima, U = 0; entonces K1 = K2, las energías cinéticas antes y después de que saliera la piedra.
∗∗ ∗ ∗ ∗ 0,075 ∗ 6,8,5488 8892 92
(c)
,
El nuevo periodo es menor, pues la frecuencia aumenta al retirarle peso. RESPUESTA
14.33. Una masa oscila con amplitud A al final de un resorte. ¿A qué distancia (en términos de A) está esta masa de la posición de equilibrio del resorte cuando la energía potencial elástica es igual a la energía cinética?
14.34 Una masa ‘m’ se une a un resorte de fuerza constante de 75 N/m y se deja oscilar. La figura E14.34 muestra una gráfica de su velocidad ‘v’ y en función del tiempo ‘t ’. Encuentre (a) el período, (b) la frecuencia y (c) la frecuencia angular de este movimiento. (d) ¿Cuál es la amplitud (en cm) y en qué momentos la masa alcanza esta posición? (e) Encuentre la aceleración máxima de la masa y los momentos en que ocurre. (f) ¿Cuál es la masa ‘m’?
RESPUESTA (a)
,
(b)
1,1 15
,,
(c)
2∗∗ 2 ∗ ∗ 0,6
(d)
,
∗ ± 20 ± 4,189 89
±, ∗ (, ) ∗ , ,
La masa alcanza los extremos extremos mas alejados del punto de reposo en t = 0 s; s ; t = 0,7 s; t = 1,5 s (e)
(f)
4,189 8975
,
14.35 Dentro de un vehículo de prueba de la NASA, una bola de 3,50 kg es arrastrada por un resorte ideal horizontal fijado a una mesa sin fricción. La constante de fuerza del resorte es 225 N/m. El vehículo tiene una aceleración constante de 5,00 m/s2, y la bola no oscila. De repente, cuando la velocidad del vehículo alcanza los 45,0 m/s., Sus motores se apagan, eliminando así su aceleración pero no su velocidad. Encuentre (a) la amplitud y (b) la frecuencia de las oscilaciones resultantes de la pelota.
(c) ¿Cuál será la velocidad máxima de la pelota en relación con el vehículo?
RESPUESTA Trabajemos en un marco inercial que se mueva con el vehículo después de que los motores se hayan apagado. La aceleración antes de que se apague el motor determina la cantidad de estiramiento inicial del resorte. La velocidad inicial de la bola con respecto al vehículo es cero. (a)
∗ 3,3, 50 5 0 ∗ ∗ 5,5, 00 0 0 225
De donde podemos decir que:
,,
(b)
2 ∗1 ∗ 2 225 25 1 2 ∗ ∗ 3,50
,,
(c)
Ley de la conservación de la energía
12 ∗ ∗ 12 ∗ ∗ ∗ 3,225 22550 ∗ 0,0,0778 0778
Despejamos la velocidad máxima
,
14.36 Un orgulloso pescador de aguas profundas cuelga un pez de 65,0 kg de un resorte ideal que tiene una masa insignificante. insignificante. El pez alarga el resorte 0,120 m. (a) Encuentre la fuerza constante del resorte. El pescado ahora tira hacia abajo 5,00 cm y suelta. (b) ¿Cuál es el período de oscilación del pez? (c) ¿Cuál es la velocidad máxima que alcanzará?
RESPUESTA (a)
∗∗ ∗ 650,120∗ 9,81
,
(b)
2∗∗ 2∗∗ 2∗∗ 5313,65 755 2∗∗ 2∗∗ 1 ∗ 2∗∗ 1 ∗ 0,0,0505 0,965
,
(c)
,
14.37 Un planeador de 175 g sobre una pista de aire horizontal sin fricción está unido a un resorte ideal fijo con una fuerza constante de 155 N/m. En el instante en que realiza las mediciones en el planeador, se mueve a 0,815 m/s y está a 3,00 cm de su punto de equilibrio. Utilice la conservación de energía para encontrar (a) la amplitud del movimiento y (b) la velocidad máxima del planeador. (c) ¿Cuál es la frecuencia angular de las oscilaciones?
RESPUESTA (a)
12 ∗∗ 12 ∗∗ + 12 ∗∗ 112 ∗ 0,0,175 ∗0,81515 + 12 ∗ (155 155 ) ∗ 0,0,03, 2 ∗∗ 2 ∗ 0, 02406∗1551550,0,128 12 ∗∗ 2∗ 20,∗1075,128
De aquí despejamos la amplitud
(b)
,
(c)
0,155 155175
,
14.38 Un gato que busca emociones fuertes con una masa de 4,00 kg está sujeto por un arnés a un resorte ideal de masa insignificante insignificante y oscila verticalmente en MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE. SIMPLE. La amplitud es de 0,050 m y en el punto más alto del movimiento, el resorte tiene su longitud natural sin estirar. Calcule la energía potencial elástica del resorte (considere que es cero el resorte no estirado), la energía cinética del gato, la energía potencial gravitacional del sistema relativa al punto más bajo del movimiento y la suma de estas tres energías cuando el gato está (a) en su punto más alto; (b) en su punto más bajo; (c) en su posición de equilibrio.
RESPUESTA (a) La energía potencial debido al resorte es cero y la energía cinética debido a que el gato no se mueve por un instante es cero, la energía potencial gravitacional del sistema está dada por:
2∗ ∗∗ ∗∗ 2 ∗ 4,00 ∗ 9,81 ∗0,050
(b)
,
En el punto más bajo la energía potencial potenci al gravitacional es cero, la energía cinética cinéti ca es cero, la energía potencial del resorte estirado es:
,
14.39. Una pelota de 1,50 kg y una pelota de 2,00 kg están pegadas con la más liviana debajo de la más pesada. La bola superior está unida a un resorte ideal vertical de fuerza constante de 165 N/m, y el sistema vibra verticalmente con una amplitud de 15,0 cm. El pegamento que conecta las bolas es viejo y débil, y de repente se suelta cuando las bolas están en la posición más baja de su movimiento. (a) ¿Por qué es más probable que el pegamento falle en el punto más bajo que en cualquier otro punto del movimiento? (b) Encuentre la amplitud y frecuencia de las vibraciones después de que la bola inferior se haya soltado.
RESPUESTA (a)
El pegamento en la bola inferior es la fuerza que la hala hacia arriba, cuando la bola alcanza el punto inferior y se prepara para subir es cuando la aceleración es mayor, por tanto es cuando la fuerza hacia arriba es mayor. Es en este punto donde el pegamento puede fallar. (b)
∗∗ ∗ ∗1 ∗ 1 1, , 5 0 + 2, 0 0 ∗9, 8 1 165 2
Esto es lo que se estira el resorte en el punto más bajo con las dos bolas pegadas
0,0,208 2080,0,20820+8 0,0,150 150 0,0,358358 ∗ ∗2 ∗ 2,2,00 ∗9,81 2 0,0,119119 165165
Después de que la segunda bola cae tenemos
La nueva amplitud es
, , ,
La nueva frecuencia es
2 ∗ ∗
2 ∗ ∗ 1652,16500
,,
14.40 Un disco de metal sólido uniforme de masa 6,50 kg y diámetro 24,0 cm cuelga en un plano horizontal, sostenido en su centro por un alambre de metal vertical. Encuentra que se requiere una fuerza horizontal de 4.23 N tangente al borde del disco para girarlo 3.34°, retorciendo así el alambre. Ahora eliminas esta fuerza y liberas el disco del reposo. (a) ¿Cuál es la constante de torsión del alambre de metal?
(b) ¿Cuáles son la frecuencia y el período de las oscilaciones torsionales del disco? (c) Escriba la ecuación de movimiento para
RESPUESTA
para el disco. para
(a)
4,4,23 0,120 0,0583 2 1∗ ∗ 2 1∗ ∗ 22
, ∗
(b)
2 1∗ ∗ 266,,∗508,8,71710,0,1∗20
,,
1 2,171
,
(c)
2∗∗ 2∗,∗2,17/ cos
,, ∗ ∗((,, ) ∗
14.41 Cierto reloj de alarma suena cuatro veces por segundo, y cada tic representa la mitad de un período. El volante consta de una llanta delgada con un radio de 0,55 cm, unido a la vara de equilibrio por radios delgados de masa despreciable. La masa total de la rueda de equilibrio es 0,90 g. (a) ¿Cuál es el momento de inercia de la rueda de equilibrio alrededor de su eje? (b) ¿Cuál es la constante de torsión del resorte helicoidal (figura 14.19)?
RESPUESTA (a)
0,0,900 ×10− 0,0,55 ×10− , ×− ∗ 2∗∗
(b)
− ∗( ∗ ( 2 ∗ ) 2 ∗ 2,2,7 ×10 ∗ ∗ (0,50 )
, ×− ∗
14.42 Un disco de metal delgado con una masa de 2,00 x 10 -3 kg y un radio de 2,20 cm está unido en su centro a una fibra larga (figura E14.42). El disco, cuando se retuerce y se suelta, oscila con un período de 1,00 s. Encuentre la constante de torsión torsión de la fibra.
RESPUESTA
2 ∗ ) ( ∗( ∗ 12 ∗∗ 2 ∗ ∗(( ) ∗ 1 − − 2 ∗ 2 ∗ 2 ×10 ∗ 2.2.20 ×10 , ∗ (1,00×)) − ∗
14.43 Quiere encontrar el momento de inercia de una pieza complicada de u una na máquina alrededor de un eje que pasa por su centro de masa. Lo suspendes de un cable a lo largo de este eje. El alambre a lambre tiene una constante de torsión de 0,450 N. m/rad. Gira la pieza un poco alrededor de este eje y la suelta, cronometrando 125 oscilaciones en 265 s. ¿Cuál es el momento de inercia que quieres encontrar?
RESPUESTA
,,265125 2∗∗ 2 ∗∗ 0, 4 50 ∗ 2 ∗ ∗ 0,472
0
, ∗
14.44 CALC El volante de un u n reloj vibra con una amplitud angular 0, una frecuencia angular ángulo de fase .
y un
²/
(a) Encuentre expresiones para la velocidad angular como funciones del tiempo. como
/
, y la aceleración angular
/2
(b) Encuentre la velocidad angular y la aceleración angular de la rueda de equilibrio cuando su desplazamiento angular es , y cuando su desplazamiento angular es y 0 es decreciente. (Sugerencia: dibuje una gráfica de 0 contra t). t).
RESPUESTA (a)
cos∗+ ∗+
∗∗∗+ ∗+ ∗∗ ∗
(b)
0 cos ∗
∗
2 cos ∗ 12 ∗cos ∗ ∗∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗
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