25 Soal Dan Pembahasan Induksi

25 Soal dan Pembahasan Induksi  Matematika Posted on 24 on 24 Oktober 2015by 2015by Yosep  Yosep Dwi Kristanto

Soal 3: Menggunakan Induksi Matematika Buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n,

Pembahasan Misalkan  P (n) adalah pernyataan 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)2! "ita akan #enun$ukkan bahwa  P (n) bernilai benar untuk se#ua  bilangan bulat positif n! 1! "ita "i ta ha haru russ #en #enun un$u $ukk kkan an ba bahw hwa a %(1 %(1)) ben benar ar!! &ar &arii ru# ru#us us di at atas as,, pernyataan %(1) #enyatakan

dan pernyataan ini dengan $elas bernilai benar! 2! 'nggap bahwa  P (k) benar! ehingga hipotesis induksi kita adalah ad alah

"ita akan gunakan hipotesis tersebut untuk #enun$ukkan bahwa  P (k + 1) benar, yaitu

ehingga, kita #ulai dengan ruas kiri dan #enggunakan hipotesis induksi untuk #e#peroleh bentuk pada ruas kanan!

ehingga kebenaran  P (k + 1) #engikuti kebenaran  P (k), dan kita telah #elakukan langkah induksi! etelah #e#buktikan angkah 1 dan 2, kita dapat d apat #enyi#pulkan dengan %rinsip *nduksi Mate#atika bahwa %(n) benar untuk se#ua bilangan  bulat positif n!

angku#an berikut ini #e#berikan ru#usru#us untuk $u#lah pangkat dari n bilangan bulat positif perta#a! u#usru#us ini sangat penting dala# kalkulus! u#us 1 telah kita buktikan dala# -ontoh 2! u#us ru#us yang lain $uga dapat dibuktikan dengan #engunakan induksi #ate#atika!

Soal 4: Menggunakan Induksi Matematika Buktikan bahwa

untuk se#ua bilangan bulat positif n! Pembahasan Misalkan  P (n) adalah pernyataan 1 . 2 + 2 . 3 + 3 . / + … + n(n + 1) = 0 n(n+ 1)(n + 2)3! 1! "ita akan tun$ukkan bahwa  P (1) bernilai benar! Berdasarkan ru#us di atas,  P (1) #enyatakan

 yang bernilai benar! 2! 'nggap bahwa  P (k) benar dan kita #e#peroleh hipotesis induksi sebagai berikut!

ipotesis ini akan kita gunakan untuk #e#buktikan bahwa  P (k + 1)  benar! %ernyataan P (k + 1) #enyatakan

"ita #ulai dari bentuk yang berada di ruas kiri, ke#udian kita gunakan hipotesis induksi untuk #endapatkan bentuk pada ruas kanan!

ehingga kita telah #enun$ukkan bahwa  P (k + 1) #engikuti  P (k)! ehingga kita telah #e#buktikan langkah induksi! Berdasarkan angkah 1 dan 2, kita dapat #enyi#pulkan dengan #enggunakan induksi #ate#atika bahwa  P (n) benar untuk se#ua  bilangan bulat positif n! Soal 5: Menggunakan Induksi Matematika Buktikan bahwa

untuk se#ua bilangan bulat positif n! Pembahasan Misalkan  P (n) adalah pernyataan 1 . 2 + 2 . 2 + 3 . 2  + … + n . 2  = 201 + ( n 4 1)2  1! %erta#a kita buktikan bahwa  P (1) benar! %ernyataan ini #enyatakan 3

n

n

 yang dengan $elas bernilai benar! 2! elan$utnya, kita anggap bahwa  P (k) bernilai benar dan #enghasilkan hipotesis induksi sebagai berikut! ipotesis induksi tersebut akan kita gunakan untuk #e#buktikan kebenaran  P (k + 1)! %ernyataan  P (k + 1) #engatakan "ita #ulai dari ruas kiri, ke#udian kita gunakan hipotesis induksi untuk #endapatkan bentuk yang berada di ruas kanan!

ehingga pada angkah 2 ini kita telah #e#buktikan bahwa $ika  P (k)  benar #aka  P (k+ 1) $uga benar! 5adi, berdasarkan angkah 1 dan 2, dengan #enggunakan induksi #ate#atika kita dapat #enyi#pulkan bahwa  P (n) bernilai benar untuk se#ua bilangan bulat positif n!