TEORIA
25 Números Primos A ; B ; C son números primos diferentes. ; ; son números positivos
BASES TEORICAS
Número P Primo:
Principales F Fórmulas:
Es aquel número entero positivo que tiene solo dos divisores: la unidad y el mismo número.
1. Cantidad de divisores (C.D.) Dado el número: N = A . B . C
absolutos
C.D.(N) = ( ( + 1) ( ( + 1) ( ( +
Número C Compuest o: Son aquellos números enteros positivos que tienen más de dos divisores. Ejemplo: 4 ....... sus divisores divisores son 1; 1; 2; 4 12....... sus divisores son 1; 1; 2; 3; 4; 6; 12
Ejemplo: Sea el número: 180 = 2 2 . 32 . 5 C.D.(180) = (2+1) (2+1) (1+1) = 18 divisores
2. Suma de divisores (S.D.) Dado el número: N = A . B . C
Números P Primos e ent re s sí ((PESI): Dado un conjunto de dos o más números, diremos que son primos entre sí, cuando el único divisor común de todos ellos sea la unidad. Ejemplo: Sean los números: 8; 12 y 15 8 1;2;4;8 12 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 15 1 ; 3 ; 5 ; 15
S.D.(N) =
A
1 A
1
1
1
.B
1
1 C
B 1
.
1
C 1
.
Ejemplo: Sea el número: 120 = 2 3 . 3 . 5
S.D.(120) =
2
4
1 . 2 1
3
2
3
1 1
.
5
2
1 5 1
S.D.(120) = 360 Observamos que su único divisor común es la unidad, entonces 8; 12 y 15 son números primos entre sí (PESI).
OBSERVACIONES:
1. Para todo número entero positivo, se cumple que:
Descomposición C Canónica: Consiste en descomponer a un número mayor que la unidad, como el producto de sus factores primos diferentes entre sí, elevados a ciertos exponentes enteros positivos. Ejemplo: 520 2 260 2 130 2 520 = 2 3 . 5 . 13 65 5 13 13 1 En general, todo número compuesto “N”, puede ser expresado de la forma:
Total divisores de un número
Total divisores
=
primos
Total divisores
+
compuestos
2. El número uno (la unidad), no es primo ni compuesto por tener un solo divisor (él mismo). 3. La serie natural de los números primos es ilimitada. 4. La descomposición canónica de un número es única. 5. Los divisores primos de un número, son las bases de la descomposición descomposición canónica.
N = A . B . C Donde:
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25 Números Primos 1. Si: 10x.21 tiene 100 divisores, el valor de “x” es: 2. ¿Cuántos ceros debe colocarse a la derecha de 144 para que el número resultante tenga 135 divisores? 3. Si: 24n.14 tiene 200 divisores compuestos, dar el valor de “n”. 4. Si: N = 4 x+3 + 4x tiene 72 divisores compuestos, dar “x”.
V. “m” es el doble de la suma de 1 hasta “n”. 14. ¿Cuál es el número de cuatro cifras que termina en cero, tiene 30 divisores y además la suma de sus cifras es 12? Indicar su cifra de centenas. 15. ¿Cuál es el menor número por el que se debe multiplicar a 1 155 para que sea divisible entre 252?
5. Hallar la suma de todos los divisores compuestos de 600. 6. ¿Cuántos divisores de “N” no son múltiplos de 6, siendo: N = 180.452? 7. Hallar un número de cuatro cifras que sea divisible por 15 y tenga 10 divisores. Dar el residuo de dividir el número entre 17. 8. Encontrar un número de la forma abc que posee 9 divisores y además: b = a + c. Hallar: “a 2 + b2 + c2”. 9. ¿Cuántos números de cuatro cifras iguales tienen 8 divisores? 10. Sea un número: M = 2 a.3.5b que tiene 16 divisores múltiplos de 15 y 16 divisores múltiplos de 20. Hallar la suma de cifras de “M”. 11. ¿Cuántos divisores de 113 400 terminan en 1; 3; 7 ó 9? 12. Si: N = 2 3 a 7 b tiene 40 divisores múltiplos de 9 y 30 divisores pares, ¿cuál es el valor de “a + b”? 13. Sea “m” la diferencia entre la cantidad de divisores que tienen 136 n y 147 n; entonces, determinar cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) correcta(s): I. “m” es el producto de dos números consecutivos. II. “m” es siempre par. III. “m” es el producto de dos números pares. IV. “m” es el producto de dos números impares. ****
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1. Señale la(s) proposición(es) verdadera(s): I. 377 es un número primo. II. 281 es un número primo. III. 240 tiene 20 divisores. A) Solo II C) I y II E) I y III B) Solo III D) II y III 2. La cantidad total de divisores que tiene el número 7920 es: A) 30 B) 40 C) 54 D) 60 E) 90 3. Determine el número de divisores compuestos que tiene 68 000. A) 48 B) 44 C) 45 D) 36 E) 37 4. La cantidad de divisores compuestos que tiene: 1212 – 128 es: A) 2001 C) 2441 E) 2440 B) 2307 D) 2323 5. Si ab es un número primo mayor que 13, el número de divisores del número ab0ab es: A) 16 B) 12 C) 14 D) 18 E) 24 6. El número 15x.243 tiene 700 divisores. Dar “x”. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 7. ¿Cuál es el número de divisores, del número de divisores de 4500? A) 9 B) 12 C) 18 D) 10 E) 6
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25 Números Primos 8. ¿Cuántos divisores compuestos tiene el número 1500? A) 21 B) 20 C) 19 D) 18 E) 16 9. De todos los números que dividen exactamente a 720, ¿cuántos son impares? A) 6 B) 8 C) 4 D) 30 E) 15 10. El número de divisores divisibles entre 9 que tiene 18900 es: A) 16 B) 20 C) 24 D) 36 E) 40 11. Si aabb tiene 21 divisores. Calcular “a + b”, si se sabe que uno de sus divisores es el número ocho. A) 10 B) 12 C) 11 D) 16 E) 9 12. ¿Cuántas veces habrá que multiplicar por 12 al número 150 para que el producto resultante tenga 540 divisores? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 13. ¿Cuántos rectángulos de 80 m 2 de área existen, tal que sus lados son números enteros? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 14. La cantidad de terrenos rectangulares; cuyos lados expresados en metros son enteros, tienen una superficie de 3080 m2, es: A) 32 B) 16 C) 10 D) 14 E) 24 15. El área de un rectángulo es 588 m 2. ¿Cuántos valores puede tomar su perímetro sabiendo que sus lados miden un número entero de metros y su perímetro es menor que 150 m? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 16. ¿Cuántos divisores tiene el número ababab , si se cumple que el número tiene 4 divisores primos y también ab es primo? A) 12 B) 20 C) 24 D) 30 E) 36 17. El número de divisores divisibles entre 20 que tiene 11880 es: A) 10 B) 12 C) 16 D) 18 E) 20 18. Si el cuadrado de “N” tiene 15 divisores, ¿cuántos divisores tiene “N”? A) 3 ó 5 C) 6 ó 4 E) 8 ó 4 B) 6 ó 5 D) 8 ó 6 ****
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19. Hallar la suma de cifras de un número que sólo admite dos divisores primos y que tiene en total 6 divisores cuya suma es 28. A) 3 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 20. ¿Cuántos divisores de 450 4 son múltiplos de 3 pero no de 5? A) 36 B) 40 C) 72 D) 120 E) 144 21. ¿Cuántas veces habrá que multiplicar por 12 a 420 para que el producto resultante tenga 180 divisores? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 22. Hallar un número entero compuesto únicamente por los factores 2 y 3; sabiendo que al multiplicarlo por 12 su cantidad de divisores aumenta en 19 y si lo dividimos entre 18, la cantidad de divisores disminuye en 17. A) 5 184 C) 5 284 E) 5 080 B) 5 288 D) 5 174 23. Un número está compuesto por los factores primos 2 y 3; el número de divisores de su raíz cuadrada es 12 y el número de divisores de su cuadrado es 117. ¿Cuántos números de este tipo existen? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 24. Un número está compuesto por los factores primos 2 y 3. Si lo duplicamos tiene 4 divisores más, pero si lo triplicamos la cantidad de divisores se incrementa en 3. Calcular el número y dar la suma de sus cifras. A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) 15 25. ¿Cuántos términos debe tener la siguiente multiplicación para que el producto tenga 961 divisores? P = 36 362 363 ... 36n A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 26. ¿Cuántos ceros hay que colocar a la derecha del número 275 para que el número resultante tenga 70 divisores? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
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25 Números Primos 27. Un número admite como divisores primos únicamente a 3 y 5. Si se multiplica por 3 y por 5 su número de divisores aumenta en 5 y 3 respectivamente. Si el número se multiplica por 15, ¿cuántos divisores tendrá el resultado? A) 15 B) 18 C) 20 D) 24 E) 30 28. Hallar el valor de “n” para que el número de divisores de N = 30n sea el doble del número de divisores de M = 15 18n. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 29. Si “a” y “b” son números primos absolutos, ¿cuántos divisores debe tener: N = a x+1 . bx+3 para que su raíz cuadrada tenga 20 divisores? A) 63 B) 80 C) 54 D) 48 E) 60 30. Hallar la suma de las cifras de N = 14 30n y M = 21 15 n, si la suma de sus números de divisores es 96. A) 9 B) 18 C) 27 D) 21 E) 24 31. Un número tiene 22 divisores y su cubo tiene 64 divisores. ¿Cuántos divisores tiene su raíz cúbica? A) 8 B) 10 C) 12 D) 15 E) 6
36. Para el número 504, ¿cuántos de sus divisores no son divisibles entre 6? A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 37. Un número tiene solamente dos factores primos. Si posee 5 divisores impares y 15 divisores múltiplos de 18, ¿cuál es la suma de sus cifras? A) 9 B) 18 C) 27 D) 36 E) 42 38. ¿Cuántos divisores que son múltiplos de 6 pero no de 5 tiene el número 18 000? A) 5 B) 8 C) 7 D) 9 E) 3 39. ¿Cuántos números existen que contengan como únicos factores primos a 2 y 3, de modo que la cantidad de divisores de su cuadrado sea triple de la cantidad de divisores del respectivo número? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 40. Encontrar la suma de las cifras de un número que tiene nueve divisores, sabiendo que si se le divide entre 11 da como cociente a un número primo absoluto y como residuo a 9. A) 11 B) 10 C) 15 D) 16 E) 17
32. ¿Cuántos ceros se debe poner a la derecha de 9 para que el resultado tenga 239 divisores compuestos? A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 9 33. ¿Cuántas veces debe multiplicarse a 18 por sí mismo para que el resultado tenga 66 divisores compuestos? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 34. Cuántos de los divisores de 360 son: A) divisibles entre 2 B) divisibles entre 3 C) divisibles entre 12 D) divisibles entre 10 E) impares 35. ¿Cuántos divisores de 4 800 son múltiplos de 5 pero no múltiplos de 3? A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15
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