25 Metoda Sekante Za Aproksimativno Odredivanje Nultocaka I (1)

Sveučilište u Zagrebu Fakultet organizacije i informatike

Tema br. 25: Metoda sekante za aproksimativno određivanje nultočaka I.

U Varaţdinu 07.svibnja 2011.

Marijan Stanković, G21

Sadržaj:

I.Zadatak ..................................................................................................................................... 2 1.Uvod ........................................................................................................................................ 3

2.Rješenje ................................................................................................................................... 3 3.Zaključak .................................................................................................................................. 8 4.Literatura ................................................................................................................................. 9

1

I.Zadatak 

Metoda sekante za aproksi mativno određivanje nultočaka.I (secant method)

Opis metode sekante: ukoliko neprekidna funkcija  f zadovoljava uvjet  f (a) · f (b) < 0; tada ona

ima nultočku na zatvorenom intervalu [ a; b ] . Neka je  x1 = a; x 2 = b. Ţ elimo li odrediti gdje se nultočka nalazi promatramo sekantu koja prolazi točkama ( x1; f ( x1)) i ( x2; f ( x2)). Pronađemo sjecište sekante s  x-osi i označimo ga sa  x3.Dalje postupak ponavljamo za sekantu koja prolazi točkama ( x2; f ( x2)) i ( x3; f ( x3)). Taj postupak ponavljamo sve dok ne postignemo traţenu točnost. (a)

Pokaţite da vrijedi:  x n

  x n 1 

 f  ( xn1 )( xn1   x n 2 )  f  ( x n1 )   f  ( x n2 )

(b)

Skicirajte postupak određivanje nultočke

(c)

Aproksimativno odredite realan korijen jednadţbe : 3

2

3x +2x -3x-1=0

do na točnost od 0.006 .

(d) Aproksimativno odredite presjek krivulja  f  ( x)  2 cos x

i g ( x)   x

2



2x  1.

2

1.Uvod

Ako graf funkcije f aproksimiramo sekantom, slično kao kod regule falsi ,

samo

ne zahtijevamo da nultočka funkcije f ostane “zatvorena” unutar  posljednje dvije iteracije, dobili smo metodu sekante. Time smo izgubili svojstvo sigurne konvergencije,

ali se nadamo da će metoda, kad konvergira konvergirati brţe nego regula falsi .

2.Rješenje

a) Pokažite da vrijedi:  xn



 x n

 1

 f  ( x n 1 )( x n 

1 



 xn 2 ) 

 f  ( x n 1 )   f  ( x n 2 ) 



Da bimo dokazali metodu sekante koristiti ćemo funkciju f (x) = 0 . Metoda sekante temelji se na iterativnoj Newton- Raphsonovoj

metodi pronalaţenja korijena

 jednadţbi:  x n1

  x n 

 f  ( x n )

za  f (x)=0

 f  ' ( x n )

Polazimo od definicije derivacije:  f  ' ( x n ) 

 f  ( x n )   f  ( xn 1 ) 

 x n



 x n

1



Kada umetnemo izraz u Newton-Raphsonovu metodu dobivamo:  f  ( x n )  x n 1

  x n 

 f  ( x n )   f  ( x n 1 )  x n

  x n 1

Mnoţenjem dvojnog razlomka dobivamo konačnu formulu za metodu sekante:  x n

1 



 x n



 f  ( x n )( x n



 x n 1 ) 

 f  ( x n )   f  ( x n 1 ) 

odnosno :  x n 1

  x n 1 

 f  ( x n 1 )( x n 1

  x n  2 )

 f  ( x n 1 )   f  ( x n  2 )

3

b) Skicirajte postupak određivanje nultočke

Slika 1.Metoda sekante

Počinjemo s dvije početne točke x0 i x1 i povlačimo sekantu kroz ( x0, f(x0)), (x1, f(x1)). Ta sekanta siječe os x u točki x2. Postupak nastavljamo povlačenjem

sekante kroz posljednje dvije točke ( x1, f(x1)) i (x2, f(x2)). Formule za metodu sekante dobivaju se iteriranjem početne formule za regulu falsi , tako da dobivamo  x n

1 



 x n



 f   x n 

 x n



 x n

1



 f   x n    f   x n

 1

.



Moţemo primijetiti da je treća iteracija izaš la izvan početnog intervala, pa metoda sekante ne mora konvergirati. Jednako tako, da smo “prirodno” numerirali prve dvije toč ke, tako da je x 0 < x1, imali bismo konvergenciju prema rje šenju.

c) Aproksimativno odredite realan korijen jednadžbe: 3

2

3x +2x -3x-1=0

do na točnost od 0.006.

Graf 1. 3x3 +2x2-3x-1=0

4

Koristeći dvije proizvoljne vrijednosti x0=1 i x1=10,uvrštavamo te vrijednosti u formulu sekante te dobivamo nultočku x 2: i=1:

 x2



 x1



 x2

 10 

 x2



 f  ( x1 )( x1



 x0 )

 f  ( x1 )   f  ( xo ) (3 *10 (3 *10

3

3

 2 * 10

 2 *10

2

2

 3 *10  1) * (10  1) 3

 3 * 10  1)  (3 *1 

2

2 *1

 3 *1  1)

0.997159091

Nakon toga postupak ponavljamo za x 3,x4,x5,x6, odnosno

dok ne dobijemo ţeljenu točnost:

i=2:

 x3



 x 2



 f  ( x 2 )( x 2



 x1 )

 f  ( x 2 )   f  ( x1 )

3

 x 3



0,997159091

 x3



(3 * 0,997159091 3

((3 * 0,997159091

2  2 * 0,997159091  3 * 0,997159091 1) * (0,997159091 10)

2 3 2  2 * 0,997159091  3 * 0,997159091 1)  (3 *10  2 *10  3 *10  1)

0.9943977909

 Nakon što smo izračunali dvije aproksimacije, moţemo početi izračunavati točnost. Zadana nam je točnost do koje moramo računati aproksimacije iznosi 0.006, a ona se računa tako da se izračuna razlika između sadašnje aproksimacije i njoj prethodne aproksimacije te preko formule: Vrijednost  

|  x n



x n 1 |  

se odnosi na ţeljenu točnost, Xn na trenutačnu aproksimaciju, a  x n

1



na aproksimaciju

izračunatu prije aproksimacije  x n . Ako je uvjet zadovoljen, te ako je lijeva strana manja ili jednaka 5

desnoj tada je gotovo s izračunavanjem aproksimacija jer smo postigli ţeljenu točnost koja je zadana u zadatku. U ovom slučaju nakon što se vrijednosti unesu u jednadţbu to izgledala ovako: |  x 3



x 2 |  

| 0.9943977909- 0.997159091|  0.006

0,02761 0.006

Pošto uvjet nije ispunjen jer 

0,02761 nije manje ili jednako 0.006

 potrebno je izračunati

sljedeću aproksimaciju te i za nju provjeriti odgovara li ţeljenoj točnosti.

i=3:  f  ( x3 )( x3

  x 2 )

 x 4

  x3 

 x4



0.8990818718

 x5



 x4

 x5



0.8878225603

 x6



 x5

 x6



0,8862226676

 f  ( x3 )   f  ( x 2 )

i=4:



 f  ( x 4 )( x 4



 x3 )

 f  ( x 4 )   f  ( x3 )

i=5:



 f  ( x5 )( x5



 x 4 )

 f  ( x5 )   f  ( x4 )

Dobili smo da je razlika prethodnih aproksimacija 0.00159 , tj. manja od 0.006,

zadovoljava našu ţeljenu točnost, a to znači da ne moramo dalje računati aproksimacije.

6

što

Do izračuna aproksimacije sa ţeljenom točnošću dobili smo niz koji se sastoji od 5 aproksimacija koje se nalaze u sljedečoj tablici:

Tablica svih dobivenih vrijednosti: xn

vrijednost

 f (x n )

x0

1

1

x1

10

3169

x2

0.997159091

0.9716796196

x3

0.9943977909

0.9443826137

x4

0.8990818718

0.09976448007

x5

0.8878225603

0.01241231277

x6

0.8862226676

0.000206132305

Dobivena točnost :  x6  x5



0.006

0.8862226676  0.8878225603  0.006

0.00159



0.006

7

3.Zaključak 

Ako graf funkcije f aproksimiramo sekantom, slično kao kod regule falsi ,

samo

ne zahtijevamo da nultočka funkcije f ostane “zatvorena” unutar posljednje dvije iteracije, dobili smo metodu sekante.

Kod metode sekante postoji nekoliko problema. Prvi je da

moţe divergirati ako

 početne aproksimacije nisu dobro odabrane. Drugi problem se moţe javiti zbog kraćenja u brojniku i (posebno) nazivniku kvocijenta kad xn → α. Osim

 x n



 xn

1



 f   x n    f   x n

1





,

toga, budući da iteracije ne “zatvaraju” nultočku s obje strane

nije lako reći kad treba zaustaviti iterativni proces.

8

4.Literatura

1.

Bronštejn

I.N.,

Matematički

priručnik,Golden

marketing-Tehnička

knjiga,

Zagreb,2004. 2.

Kurepa S., Matematička analiza 2, Školska knjiga Zagreb 1997.

3. http://en.wikipedia.org/wiki/Secant_method#Derivation_of_the_method ,8.5.2011. 4. http://www.mathpath.org/Algor/squareroot/secant.pdf , 8.5.2011. 5. http://mathworld.wolfram.com/SecantMethod.html, 8.5.2011. 6. http://web.math.unizg.hr/nastava/unm/materijali/Hari%20--%20Numericka%20analiza%20%20osnovni%20udzbenik.pdf , 8.5.2011.

7. http://www.youtube.com/watch?v=qC9xnsfOd30 , 8.5.2011.

Graf je nacrtan u računalnom programu „Graph“, dok je slika 1 preuzeta iz pdf dokumenta koji se nalazi pod rednim brojem 6 u literaturi.

9