2.4determinacion de La Ecuacion Que Representa La Entrada de Agua en El Yacimiento
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DETERMINACION DE LA ECUACION QUE REPRESENTA LA ENTRADA DE AGUA EN EL YACIMIENTO
Para aplicar la EBM se debe determinar la entrada de agua, We, como función del tiempo si el Balance de Materia se usa para determinar los volúmenes originales de aceite y gas. We, depende del tamaño del acuífero y de la caída de presión entre el acuífero y el yacimiento. En este trabajo se presentarán dos métodos para determinar We: el método de flujo en régimen permanente de Schilthuis y el método de flujo en régimen pseudopermanente de Fetkovich Determinación de los parámetros del acuífero mediante mediante Balance de Materia
La constante del acuífero y los volúmenes originales de aceite o gas también se pueden determinar de gráficas de Balance de Materia. La EBM se puede escribir de la forma: F BW W P N foi E O G fgi E g W e N fgi BOI G fgi B gi E fw
en donde, para determinar la entrada de agua se tiene:
W
F BW W P N foi E O G fgi E g B´
E 0
Pi N fgi BOI G fgi B gi E fw
para yacimientos de aceite bajosaturado, la ec. se reduce a:
W
F BW W P N foi E O B gi E fw B´
E 0
Pi
la ec. 4.9 se puede rearreglar para que quede: n
F BW W P E O B gi E fw
W Pi
B´
N foi
e0
j 1
E 0 Boi E fw
}
Método de Schilthuis
El modelo más simple para la entrada de agua es el método de Schilthuis el cual considera que el ritmo de entrada de agua es proporcional al decremento de presión (pi-p). dWe dt
K ´ Pi P
Integrando la ecuación anterior.
t
We K ´
Pi P
0
Donde k´ es una constante de proporcionalidad en unidades de RB/(D-psi). En el SI, k´ puede tener unidades de res m3/(s Pa). Se usa k´ en lugar de k para no confundirlo con la permeabilidad. Es difícil predecir un valor a priori para k´, pero se puede medir a partir de los datos de presión y producción del yacimiento. Una manera de hacer esto es calculando primero We de la EBM. We BW W P F N foi E O G fgi E g N fgi BOI G fgi B gi E fw
La ecuación requiere que Nfoi y Gfgi sean conocidos de volumetría. Después, por medio de una gráfica ∆We/∆t vs. (pi-p), se determina k´ a partir de la pendiente de la gráfica, m. Si los volúmenes originales de aceite y gas son conocidos, k´ se puede determinar si la producción del yacimiento se puede limitar por un periodo en donde la presión se mantenga relativamente constante. Esto es, dp/dt=0, lo cual significa que el volumen de fluidos producidos es igual al volumen de entrada de agua. dWe dt
d ( F BwW p ) dt
F BW Wp t
para yacimientos de aceite negro (Rv=0), esto se puede simplificar a: dWe dt
Bw
dWp dt
B0 RS B g
dNp dt
BG
dGp dt
para presiones mayores a la de burbujeo, se puede simplificar a: dWe dt
BW
dWp dt
B0
dNp dt
entonces el valor de dWe/dt se divide por (pi-p) para determinar k´. Método de Fetkovich
Este método asume que el tamaño del acuífero es conocido y que el agua que fluye del acuífero de presiona al yacimiento de acuerdo con la EBM. Debido a que se asume un estado pseudopermanente en este método, se debe especificar un tamaño del acuífero finito. Este método se aplica de una manera simple en cálculos de Balance de Materia. A continuación se describen los pasos para aplicar en el método:
1. Se calcula el volumen de agua acumulable máximo de entrada, Wei, wei
pi ci r aq2 r R2 h 0 5.61458
360
donde Wei está dado por RB si h, raq, y rR, están en pies. 2. Se calcula el índice de productividad, J, para el flujo del acuífero al yacimiento con: 0.007082kh
j
0
r aq 360 0 . 75 r R
In
para acuíferos finitos o con una presión constante en las fronteras del acuífero: j
0.007082 kh 0 r 360 In aq r R
las dos ecuaciones tienen unidades de campo, J está dado por RB/(D-psi) en SI o en res m3/(d Pa).
3. Inicialmente se toma la presión del yacimiento al final del tiempo n, pRn; la presión media durante el tiempo n, pRn ; y la presión media del acuífero al final del tiempo n, paqn , para la presión inicial del yacimiento, pi. Se miden o se especifican pRn y n ∆t .
4. Se calcula la presión media del yacimiento para cada intervalo de tiempo: p Rn
p Rn1 P Rn 2
5. Calcular la entrada de agua para cada intervalo de tiempo: Jpit P n1 P Rn 1 0 Wei W en P i
W ei
n
6. Se calcula la entrada total acumulada de agua al tiempo actual:
n
W e W ej j i
7. Calcular la presión media en el acuífero al término del tiempo actual:
W e
W ei
P n pi 1
8. Regresar al paso 4 y repetir para el siguiente intervalo de tiempo. Para los ejemplos de este trabajo se supusieron tanto Jw como Wei, empleando un proceso iterativo para el método de Fetkovich. Función Influencia del Acuífero
Para un acuífero de geometría arbitraria, que produce a gasto constante, la relación entre la caída de presión y el gasto es proporcional, a esa constante de proporcionalidad se le conoce como Función Influencia del Acuífero: P o pt ew t F t
para un acuífero de geometría arbitraría pero que no produce a gasto constante la relación entre la caída de presión, el gasto y la Función Influencia del Acuífero se puede obtener aplicando el principio de superposición, el cual establece que un sistema es lineal la respuesta a la suma de dos estímulos es la suma de las respuestas a cada uno de ellos, el cual se representa mediante la integral de convolución P o pt ew t
dF t dt
t
ew t
dF
0
d
d
Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación anterior
L ew t
dF t
dF t Lew t L dt dt
desarrollando:
L ew t
dF t
ew s sF s F 0
dt
Considerando que F (0) = 0 y (0) = 0 w e la ecuación anterior se puede escribir como:
L ew t
dF t
sew s ew 0 F s
dt
Aplicando la transformada inversa de Laplace: ew t
dF t dt
dewt F t 0 dt t
donde: p 0 = presión inicial en el contacto original acuífero-yacimiento, psia. p = presión en el contacto original acuífero-yacimiento, psia. e w = gasto de agua en el contacto original acuífero-yacimiento, PCD para
yacimientos de gas y BPD para yacimientos de aceite. F = Función Influencia del Acuífero, psia/PCF, para yacimientos de gas y psia/BPD para yacimientos de aceite. Hutchinson y Sikora, 1959.
El primer método para describir el comportamiento de un acuífero sin la necesidad de suponer sus propiedades fue propuesto por Hutchinson y Sikora en 1959, además de que estableció que la Función de Influencia del Acuífero es una solución de la ecuación de difusión aplicando el principio de superposición para fluidos ligeramente compresibles (agua o aceite bajosaturado) para gasto constante. Establecen que el valor de la FIA debe siempre ser positivo, además de cóncavo; para calcular el valor de la FIA proponen un método iterativo, basado en la discretización: n
P n ewn 1 j F j j l
el cual toma como primera aproximación para el valor de la FIA a: F n
n
Donde: n = número de mes en que se está calculando la Función Influencia del Acuífero,
FIA. El proceso iterativo mejora a partir de un factor de corrección:
pn cal
sn
pn
donde:
pn cal es el valor de la caída de presión calculada con la Ecuacion. Con los valores calculados de DF y los valores obtenidos para el factor de corrección, se estiman los valores de la función de influencia para la siguiente iteración:
F n
mejorada
F n cal S n
. n 1,2,3,.....
El proceso se repite hasta que los valores de n S tiendan a 1.
Katz y Cols., 1962
Katz y Cols, 1962, presentó una extensión y modificación del trabajo presentado por Hutchinson y Sikora para determinar los valores de la Función Influencia del Acuífero para yacimientos de gas con acuífero asociado. Su método se basa en la solución de la Ecuación de Difusión para fluidos ligeramente compresibles que producen a gasto constante: p0 pt K l ew P D t D
Donde: k l
t D
25 .15 w
k w h
0.00633 k wt 2
w c wt r b
cwt cw cwf
donde: m w = viscosidad del agua del acuífero, cp. k w = permeabilidad del acuífero, md. h = espesor del acuífero, pie. t = tiempo, días. c wt = compresibilidad de acuífero, psi-1.
c w =compresibilidad del agua, psi-1. c wf = compresibilidad de la formación en la zona del acuífero, psi-1.
El valor de la Función Influencia es: F t K l P D t D
Katz y cols establecieron que para el cálculo de la Función Influencia se tiene que considerar que la porción inicial de la curva es más sensible a errores provocados por malas mediciones de la presión, por lo que propuso que los primeros datos estén sujetos a la desigualdad siguiente:
1 Z n1 n 2 Z n
Z n1
n 1
1
Los autores observaron que el valor de Î que funciona mejor es el de 0.02. Katz y cols establecen además de que la FIA debe ser siempre positiva y cóncava, esdecir, debe de cumplir con las condiciones siguientes: F (t ) 0 dF (t ) dt
0
d 2 F (t ) dt 2
0
NOMENCLATURA
A= pendiente b= punto de intersección b= ordenada al origen de una recta B= constante de correlación Bg= factor de volumen de formación del gas al tiempo t, L3/L3, RB/scf Bgi= factor de volumen de formación del gas inicial, L3/L3, RB/scf Bo= factor de volumen de formación del aceite al tiempo t, L3/L3, RB/STB Bob= factor de volumen del aceite en el punto de burbujeo, L3/L3, RB/STB
Bofb= factor de volumen del aceite en el punto de burbujeo a partir una prueba de separación flash, L3/L3, RB/STB Bod= factor de volumen del aceite a partir una prueba DL, L3/L3, RB/STB Bodb= factor de volumen del aceite en el punto de burbujeo a partir una prueba DL, L3/L3, RB/STB Boi= factor de volumen de formación del aceite inicial, L3/L3, RB/STB Btg= factor de volumen de formación del gas total al tiempo t, L3/L3, RB/scf Bto= factor de volumen de formación del aceite total al tiempo t, L3/L3, RB/STB Bw= factor de volumen de formación del agua, L3/L3, RB/STB c= compresibilidad isotermal, m/Lt2, psi C= constante de correlación cf= compresibilidad isotérmica de la formación, Lt2/m, psi-1 ct= compresibilidad isotérmica total definida en la, Lt2/m, psi-1 cw= compresibilidad isotérmica del agua, Lt2/m, psi-1 D= constante de correlación Efw= factor de expansión del agua de formación, L3/L3, RB/STB Eg= factor de expansión del gas, L3/L3, RB/scf Eo= factor de expansión del aceite, L3/L3, RB/STB F= factor definido por la ecuación 2.34 F= fluidos producidos del yacimiento, L3, res bbl G= gas inicial total en el yacimiento, L3, scf GI= gas de inyección acumulado al tiempo t, L3, scf Gfg= gas en fase libre al tiempo t, L3, scf Gfgi= gas inicial en fase libre, L3, scf Gp= producción acumulada de gas al tiempo t, L3, scf Gpg= producción acumulada de gas de la fase vapor al tiempo t, L3, scf
IDD= índice de empuje por agotamiento ISD= índice de empuje por segregación IFD= índice de empuje de formación IWD= índice de empuje por entrada de agua J= función J de Leverett k= permeabilidad promedio, L2, md krg= permeabilidad relativa del gas kro= permeabilidad relativa del aceite krw= permeabilidad relativa del agua K= constante definida por la ecuación 2.24 m= pendiente de una recta m= masa, m, lbm M= peso molecular, m n= número de moles, n N= aceite inicial total en el yacimiento, L3, STB Nfo= aceite en fase libre al tiempo t, L3, STB Nfoi= aceite inicial en fase libre, L3, STB Np= producción acumulada de aceite al tiempo t, L3, STB p= presión actual del yacimiento, m/Lt2, psia pi= presión inicial del yacimiento, m/Lt2, psia BIBLIOGRAFIA
FACULTAD DE INGENIERÍA Dr. Fernando Samaniego Verduzco TESIS “ECUACIÓN GENERAL DE BALANCE DE MATERIA Y UNA HERRAMIENTA COMPUTACIONAL PARA SUS CÁLCULOS” FACULTAD DE INGENIERIA TESIS “LA FUNCIÓN INFLUENCIA DEL ACUÍFERO Y SU UTILIZACIÓN EN LA PREDICCIÓN DEL COMPORTAMIENTO DE YACIMIENTOS DE GAS Y ACEITE BAJOSATURADO”
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