24261954-SISTEM-TEORI-ANTRIAN

OBSERVASI SISTEM ANTRIAN DI BANK TUGAS KELOMPOK Dosen Pengampu : Bpk. Walid 1. Fatkhur Rohman 2. Khusnul Khotimah 3. Dwi mulyono 4. Yuni Ambarwati D. 5. M. Umam Khamdani FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG JATENG UNNES Disusun oleh : PENGETAHUAN ALAM TEORI ANTRIAN (4151306535) (4151307004) (4151307013) (4151307019) (4151307033) 2009

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Dalam kehidupan sehari  hari banyak sekali kita temui hal  hal yang dekat dan sering berhubungan langsung dengan sisitem antrian. Tanpa disadari kadang kita mengalami secara langsung system antrian itu sendiri. Seperti misalnya kita mengantri untuk mendapatkan pelayanan kasir swalayan, mengunggu untuk mendapatkan pesanan makanan, menunggu untuk mendapatkan pelayanan registrasi

mahasiswa, dan lain sebagainya. Garis  garis tunggu tersebut sering disebut dengan antrian (queues), dan fasilitas pelayanannya disebut server. Sistem antrian tersebut sebenarnya dapat diefisienkan dengan menggunakan teori antrian. Dan penyelesaian untuk mengatasi masalah antrian tersebut salah satunya adalah menggunakan ilmu matematika. Ilmu matematika terdiri dari dua, yakni Matematika Murni (pure mathematics) dam Matematika Terapan (Applied Mathematics).

Ilmu matematika terapan paling dekat hubungannya dengan teori antrian dalam aplikasinya. Sehingga banyak para ilmuwan menerapkan ilmu matematika terapan untuk membantu ilmu lain dalam memenuhi kebutuhan  kebutuhan dan pengembangannya. Karena aplikasinya sangat luas dalam kehidupan sehari  hari maupun dalam ilmu  ilmu lain sehingga dalam perkembangannya sanngat pesat. Termasuk dalam menyelesaikan permasalahan system antrian. Penyelesaian

permasalahan sistem antrian berdasarkan teori antrian dengan menggunakan ilmu matematika terapan mengacu pada model keputusan antrian. Ada dua model keputusan antrian, yakni model biaya dan model tingkat aspirasi. Model biaya dalam antrian berusaha menyeimbangkan biaya menunggu dengan biaya kenaikan tingkat pelayanan yang bertentangan. Tingkat pelayanan meningkat sedangkan biaya waktu menunggu pelanggan menurun. Tingkat pelayanan optimum terjadi ketika jumlah kedua biaya

ini minimum. Sedangkan model tingkat aspirasi memanfaatkan karakteristik yang terdapat dalam sistem untuk memutuskan nilai-nilai optimum dari parameter

perancangan. Optimasi dipandang dalam arti memenuhi tingkat aspirasi tertentu yang ditentukan oleh pengambilan keputusan. Untuk kasus dimana sulit untuk mengestimasi parameter biaya, digunakan model tingkat aspirasi. Dalam penelitian ini digunakan model tingkat aspirasi sehingga ukuran-ukuran kinerja yang digunakan adalah jumlah pelanggan rata-rata dalam sistem (L), jumlah pelanggan rata-rata dalam antrian (Lq), waktu menunggu rata-rata dalam sistem (W) , waktu

menunggu rata-rata dalam antrian (Wq). Ukuran-ukuran tersebut pada akhirnya akan digunakan untuk menentukan jumlah pelayan yang ideal. Berdasarkan uraian diatas, dilakukan penelitian mengenai sistem dan model antrian serta pengambilan keputusan di Bank Jateng UNNES. Sistem antrian yang terjadi di Bank Jateng UNNES mengikuti pola antrian Multichannel single phase, dimana terdapat dua atau lebih fasilitas pelayanan dengan

dialiri oleh satu antrian atau antrian tunggal. Situasi antrian yang terjadi di Bank Jateng UNNES dapat digambarkan sebagai berikut : Tujuan dasar model-model antrian adalah untuk meminimumkan total dua biaya, yaitu biaya langsung penyediaan fasilitas pelayanan dan biaya tidak langsung yang timbul karena para individu harus menunggu untuk dilayani. Bila suatu sistem mempunyai fasilitas pelayanan lebih dari jumlah

optimal, ini berarti membutuhkan investasi modal yang berlebihan, tetapi bila jumlahnya kurang dari optimal hasilnya adalah tertundanya pelayanan. Model antrian yang akan dibahas merupakan peralatan penting untuk sistem pengelolaan yang menguntungkan dengan menghilangkan antrian. Sistem antrian yang terjadi dapat sederhana atau sangat kompleks. Sistem yang sederhana akan dapat dirumuskan dengan menggunakan teknik-teknik. Dan untuk sistem yang lebih kompleks

membutuhkan analisa yang menggunakan simulasi. Dalam sistem antrian saluran tunggal ini, ada dua tempat pelayanan, dimana terdapat n pelanggan di dalam sistem dalam satuan waktu tertentu. Keadaan seperti tersebut dapat diasumsikan akan terjadi hal sebagai berikut.

a. Tidak ada antrian sebab semua pelanggan yang datang sedang dilayani di tempat pelayanan atau pelanggan yang datang kurang dari kemampuan tempat pelyanan (n = s) b. Terjadi antrian sebab pelayanan yang diminta oleh pelanggan yang datang jauh lebih besar dari kemampuan tempat pelayanan untuk melayani (n >s). Dalam hal (a) tidak ada persoalan, sedang dalam hal (b) muncul

permasalahan yaitu sering kali terjadi ketidakseimbangan. Mungkin terjadi suatu antrian yang panjang (long queue) yang mengakibatkan pelanggan harus menunggu lama untuk memperoleh giliran dilayani atau mungkin tersedia fasilitas pelayanan yang berlebihan yang mengakibatkan fasilitas tersebut tidak dapat dimanfaatkan sepenuhnya. Dalam banyak hal tambahan fasilitas pelayanan dapat diberikan untuk mengurangi antrian atau mencegah timbulnya antrian. Akan tetapi, biaya karena

memberikan tambahan pelayanan akan menimbulkan pengurangan keuntungan mungkin sampai tingkat yang dapat diterima. Sebaliknya, sering timbulnya antrian yang panjang akan sangat membosankan. B. Rumusan Masalah Dari penjelasan diatas, maka dapat diperoleh rumusan masalahb adalah sebagai berikut : 1. Bagaimana laju kedatangan antrian di Bank Jateng UNNES ? 2. Bagaimana laju pelayanan antrian di Bank Jateng UNNES

? 3. Bagaimana model antrian di Bank Jateng UNNES ? 4. Berapa rata  rata waktu pelanggan menunggu dalam antrian dan sistem di Bank Jateng UNNES ? 5. Berapa faktor kegunaan pada antrian di Bank Jateng UNNES ? C. Batasan Masalah Untuk membatasi ruang lingkup pada penelitian ini diberikan batasan masalah sebagai berikut. 1. Tidak terjadi penolakan (balking)

terhadap kedatangan para pelanggan.

2. Pelangan dalam makalah ini adalah orang yang hendak melakukan transaksi perbankan di Bank Jateng UNNES. 3. Server dalam makalah ini adalah pelayan yang melayani pelanggan di Bank Jateng UNNES. D. Tujuan Penulisan Berdasarkan rumusan masalah diatas, maka tujuan penulisan makalah ini adalah sebagai berikut : 1. Untuk mengetahui laju kedatangan antrian di Bank Jateng UNNES. 2.

Untuk mengetahui laju pelayanan antrian di Bank Jateng UNNES. 3. Untuk mengetahui model antrian di Bank Jateng UNNES. 4. Untuk mengetahui rata  rata waktu pelanggan menunggu dalam antrian dan sistem di Bank Jateng UNNES. 5. Untuk mengetahui faktor kegunaan pada antrian di Bank Jateng UNNES.

BAB II LANDASAN TEORI A. Elemen -Elemen Dasar Teori Antrian 1. Sumber Masukan (Input) Sumber masukan dari suatu sistem antrian dapat terdiri atas suatu populasi orang,barang, komponen atau kertas kerja yang datang pada sistem untuk dilayani. Bila populasi relative besar sering dianggap bahwa hal itu merupakan besaran yang tak terbatas. Anggapan ini adalah hamper umum

karena perumusan sumber masukan yang tak terbatas lebih sederhana daripada sumber yang terbatas. Suatu populasi dinyatakan besar bila populasi tersebut besar disbanding dngan kapasitas sistem pelayanan. Sebagai contoh, suatu masyarakat kecil yang terdiri dari 10.000 orang mungkin akan menjadi suatu populasi yang tak terbatas bagi 100 shopping center yang ada. Bila dirumuskan sistem pemeliharaan sejumlah mesin sebagai populasi dan perawat

mesin sebagai fasilitas pelayanan, tntu saja sejumlah mesin tersebut tidak akan dinyatakansebagai sumber yang tak terbatas. 2. Pola kedatangan Cara dengan mana individu-individu dari populasi memasuki sistem disebut pola kedatangan (arrival pattern). Individu-individu mungkin datang dengan tingkat kedatangan (arrival rate) yang konstan ataupun acak/random (yaitu berapa banyak individu-individu per periode waktu). Tingkat kedatangan produk-produk yang bergerak sepanjang lini

perakitan produksi massa mungkin konstan, sedang tingkat kedatangan telephone calls sangat sering mengikuti suatu distribusi probabilitas Poisson. Distribusi probabilitas Poisson adalah salah satu dari pola-pola kedatangan yang paling sering (umum) bila kedatangan-kedatangan didistribusikan secara random. Hal ini terjadi karena distribusi Poisson menggambarkan jumlah kedatangan per unit waktu bila sejumlah besar variabel-variabel random mempengaruhi tingkat kedatangan.

Bila pola kedatangan individu-individu mengikuti suatu distribusi Poisson, maka waktu antar kedatangan atau interarrival time (yaitu waktu antara kedatangan setiap individu) adalah random dan mengikuti suatu distribusi eksponensial (exponential distribution). Bila individu-individu (komponen, produk, kertas kerja , atau karyawan) memasuki suatu sistem, mereka mungkin memperagakan perilaku yang berbeda. Bila individu ter sebut adalah orang, antrian dan antrian

relative panjang, dia mungkin meninggalkan sistem. Perilaku seperti ini disebut penolakan ( balking). Penolakan akan sering terjadi bila kepanjangan antrian kelewat panjang. Variasi yang mungkin lainnya dalam pola kedatangan adalah kedatangan dari kelompok-kelompok individu. Bila lebih dari satu individu memasuki suatu sistem seketika secara bersama, maka terjadi dengan apa yang disebut bulk arrivals.

3. Disiplin Antrian Displin antrian menunjukkan pedoman keputusan yang digunakan untuk menyeleksi individu-individu yang memasuki antrian untuk dilayani terlebih dahulu (prioritas). Disiplin antrian yang paling umum adalah pedoman first come, first served (FCFS), yang pertama kali datang pertama kali dilayani. Tetapi bagaimanapun juga ada beberapa tipe disiplin antrian lainnya yang dapat termasuk dalam modelmodel matematis antrian. Model-model yang

disajikan disini dibatasi untuk disiplinantrian FCFS. Beberapa disiplin antrian lainnya ialah pedoman-pedoman shortest-operating (service)-time (SOT), last come-first served (LCFS), longest-operating-time (LOT), dan service in random order (SIRO). Dalam rumah sakit-rumah sakit dan fasilitasfasilitas kesehatan lainnya mungkin mempunyai pedoman-pedoman yang berbeda, seperti emergency first atau critical condition first. 4. Kepanjangan Antrian Banyak sistem antrian dapat dapat

menampung jumlah individu-individu yang relative besar, tetapi ada beberapa sistem yang mempunyai kapasitas yang yang terbatas. Bila kapasitas antrian menjadi faktor pembatas besarnya jumlah individu yang dapat dilayani dalam sistem secara nyata, berarti sistem mempunyai kepanjangan antrian antrian yang terbatas (finite); dan model antrian terbatas harus digunakan untuk menganalisa sistem tersebut. Sebagai contoh sistem yang mungkin

mempunyai antrian yang terbatas adalah jumlah tempat parker atau station pelayann, jumlah tempat minum di pelabuhan udara, atau jumlah tempat tidur di rumah sakit. Secara umum model antrian terbatas lebih kompleks daripada sistem antrian takterbatas (infinite). 5. Tingkat Pelayanan Waktu yang digunakan untuk melayani individu-individu dalam suatu sistem disebut waktu pelayanan (service time). Waktu ini mungkin

konstan, tetapi juga sering acak (random). Bila waktu pelyanan mengikuti distribusi eksponensial atau distribusinya acak, waktu pelayanan (yaitu unit/jam) akan mengikuti suatu distribusi Poisson. Pebedaan distribusi-distribusi waktu pelayanan dapat diliput oleh model-model antrian dengan lebih mudah disbanding perbedaan distribusi waktu kedatangannya. 6. Keluar (Exit) Sesudah seseorang (individu) telah selesai dilayani, dia keluar (exit) dari sistem. Sesudah

keluar, dia mungkin bergabung pada satu di antara kategori populasi. Dia mungkin bergabung dengan populasi asal dan mempunyai probabilitas yangf sama untuk memasuki sistem kembali, atau dia mungkin bergabung dengan populasi lain yang mempunyai probalitas lebih kecil dalam hal kebutuhan pelayanan tersebut kembali. B. Karakteristik Penting Sistem dan Struktur Antrian Berikut ini daftar karakteristik-karakteristik tersebut dengan asumsi-asumsi yang

paling umum: Karakteristikkarakteristik Antrian Asumsi-asumsi Umum Sumber populasi Tak terbatas atau terbatas Pola kedatangan Tingkat kedatangan Poisson (waktu antar kedatangan eksponensial) Kepanjangan antrian Tak terbatas atau terbatas Disiplin antrian First come  first served Pola pelayanan Tingkat pelayanan Poisson (waktu pelayanan eksponensial)

KeluarLangsungkembalikepopulasi SISTEM DAN STRUKTUR ANTRIAN Banyak perbedaan sistem-sistem dan struktur-struktur antrian yang terdapat dalam masyarakat yang semakin kompleks. Perbedaan-perbedaan dalam jumlah antrian, fasilitas pelayanan, dan hubungan-hubungan yang terjadi dapat menghasilkan bentuk/susunan yang bervariasi tidak terbatas. Sistem-sistem Antrian Pada umumnya, sistem antrian dapat diklasifikasikan menjadi sistem yang berbeda-beda dimana teori antrian dan simulasi sering

diterapkan secara luas. Klasifikasi menurut Hillier dan Lieberman adalah sebagai berikut: 1) Sistem pelayanan komersial 2) Sistem pelayanan bisnis-industri 3) Sistem pelayanan transportasi 4) Sistem pelayanan sosial Sistem-sistem pelayanan sosial merupakan sistem-sistem pelayanan yang dikelola oleh kantor-kantor dan jawatan-jawatan local maupun nasional, seperi kantor tenaga kerja, kantor regritrasi SIM dan STNK dan sebagainya, serta kantor pos,

rumah sakit, puskesmas, dan lain-lainya. Sistem pelayanan komersial merupakan aplikasi yang sangat luas dri modelmodel antrian, seperti restoran, cafeteria, took-toko, tempat potong rambut (salon), boutiques, supermarkets, dan sebagainya. Sistem pelayanan bisnis-industri mencakup lini produksi, sistem materialhanding, sistem penggudangan, dan sistem-sistem informasi computer. Struktur-struktur Antrian Atas dasar sifat proses pelayanannya, dapat

diklasifikasikan fasilitas-failitas pelyanan dalam susunan atau channel (single atau multiple) yang akan membentuk suatu struktur antrian yang berbeda-beda. Istilah saluran atau channel menunjukkan jumlah jalur (tempat) untuk memasuki sistem pelayanan, yang juga menunjukkan jumlah fasilitas pelayanan. Istilah phase berarti jumlah station-station pelayanan, dimana para langganan harus melaluinya sebelum pelayanan dinyatakan lengkap.

Ada 4 model struktur antrian dasar yang umum terjadi didalam seluruh sistem antrian: 1) Single Channel-Single Phase Sistem ini adalah yang paling sederhana. Single channel berarti bahwa hanya ada satu jalur untuk memasuki sistem pelayanan atau ada satu fasilitas pelayanan. Single phase menunjukkan bahwa hanya ada satu fasilitas pelayanan. Single phase menunjukkan bahwa hanya ada satu station

pelayanan atau sekumpulan tunggal operasi yang dilaksanakan. Setelah menerima pelayanan, individu-individu keluar dari sistem. Contoh untuk model struktur ini adalah seorang tukang cukur, pembelian tiket kerteta api antarkota kecil yang dilayani oleh satu loket, seorang pelayan took, dan sebagainya. 2) Single channel-Multiphase Istilah multiphase menunjukkan ada dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakan secara berurutan (dalam phase-phase). Sebagai contoh, lini produksi

massa, pencucian mobil, tukang cat mobil, dan sebagainya. 3) Multichannel-Single Phase Sistem multichannel-single phase terjadi (ada) kapan saja dua atau lebih fasilitas pelayanan dialiri oleh antrian tunggal. Sebagai contoh model ini adalah pembelian tiket yang dilayani oleh lebih dari satu loket pelayanan potong rambut oleh beberapa tukang potong, dan sebagainya. 4) Multichannel-Multiphase Contoh model ini yaitu herregistrasi para mahasiswa di

universitas, pelayanan kepada pasien di rumah sakit dari pendaftaran, diagnosa, penyembuhan sampai pembayaran. Setiap sistem-sistem ini mempunyai beberapa fasilitas pelayanan pada setiap tahap, sehingga lebih dari satu individu dapat dilayani pada suatu waktu. Pada umumnya, jaringan antrian ini terlalu kompleks untuk dianalisa dengan teori antrian, mungkin simulasi lebih sering digunakan untuk menganalisa sistem ini. Selain empat model struktur

antrian diatas sering terjadi struktur antrian diatas sering terjadi struktur campuran(mixed arrangements) yang merupakan campuran dari dua atau lebih struktur antrian diatas. Misal, Toko-toko dengan beberapa pelayanan (multichannel), namun pembayarannya hanya pada seorang kasir (single channel). C. Model  Model Antrian Dalam mengelompokkan model-model antrian yang berbeda-beda akan digunakan suatu notasi yang disebut Kendalls Notation. Notasi

ini sering dipergunakan karena beberapa alasan. Pertama, karena notasi tersebut merupakan alat yang efisien untuk mengidentifikasi tidak hanya

model-model antrian, tetapi juga asumsi-asumsi yang harus dipenuhi. Kedua, hampir semua buku (literature) yang membahas teori antrian menggunakan notasi ini. Model khusus diatas : M/M/1/I/I. Singkatan Penjelasan M Tingkat kedatangan dan pelayanan Poisson D Tingkat kedatangan atau pelayanan deterministic (diketahui konstan) K Distribusi Erlang waktu antarkedatangan atau pelayanan S Jumlah fasilitas pelayanan I Sumber populasi atau kepanjangan

antrian tak-terbatas (infinite) F Sumber populasi atau kepanjangan qantrian terbatas (finite) Tanda pertama notasi selalu menunjukkan distribusi tingkat kedatangan. Dalam hal ini, M menunjukkan tingkat kedatangan mengikuti suatu distribusi probabilitas Poisson. Tanda kedua menunjukkan distribusi probabilitas Poisson. Tanda kedua menunjukkan distribusi tingkat pelayanan. Lagi, M menunjukkan bahwa tingkat pelayanan mengikuti distribusi probalitas Poisson. Tanda ketiga menunjukkan jumlah fasilitas

pelayanan (channels) dalam sistem. Model diatas adalah model yang mempunyai fasilitas pelayanan tunggal. Tanda keempat dan kelima ditambahkan untuk menunjukkan apakah sumber populasi dan kepanjangan antrian adalah tak-terbatas(F). Model diatas, baik sumber populasi dan kepanjangan antrian adalah tak-terbatas. Dengan tanda-tanda tersebut ditunjukkan empat model yang berbeda yang akan dirumuskan dan dipecahkan dalam bagian ini: Model 1: M/M/1/I/I Model 2:M/M/S/I/I Model

3:M/M/1/I/F Model 4:M/M/S/F/I Walaupun tidak ditunjukkan dalam notasi ini, seluruh model menganggap bahwa displin antrian adalah first come first served.Sebelum memberikan rumusan-rumusan untuk setiap model, Tabel 13.1 menyediakan suatu daftar notasi-notasi yang digunakan dalam penyajian model-model antrian. Tabel 9.1 berisi symbol-simbol yang menunjukkan suatu konsep atau definisi khusus, misal .  p menunjukkan besarnya jumlah individu rata-rata dalam antrian.

Model-model dan aplikasinya Model 1 : M/M/1/I/I Gambar dibawah menunjukkan rumusan yang harus diikuti agar model ini dapat dipergunakan. Model ini merupakan teori antrian yang paling sederhana, tetapi mengandung banyak asumsiasumsi (lihat gambar) yang harus ditepati. Sebagia contoh, rumusan model ini akan dipakai untuk memecahkan persoalan di bawah : Fasilitas Populasi 1 Antrian (M)

pelayanan (M/1) FCFS Sumber tak Keluar terbatas Kepanjangan antrian tak terbatas TingkatkedatanganpoissonTingkatpelayananpoisson  2 . .    . n n = t = p =.   1 ...

  qq n µ(µ- ) µ(µ- ) . µ

µ. . 1 . n = t = p = t µ -. t µ-. µ Model 2 :M/M/S/I/I Model 2 ditunjukkan dalam gambar di bawah. Ini adalah system multichannel  singke phase yang mempunyai antrian tunggal dengan melalui beberapa fasilitas pelayanan pelayanan. Model ini identik dengan model I dengan perbedaan bahwa

dua atau lebih individu dapat dilayani pada waktu bersamaan oleh fasilitas-fasiltas pelayanan yang berlainan. Fasilitas SumbertakterbatasTingkatkedatanganpoissonKeluarTingkatpelayananpoissonPopulasi1A ntrian(M) pelayanan(M/1) KepanjanganantriantakterbatasFCFSTingkatpelayananpoisson

. S  2 µ  µ P0  

. n = P0 tq = ..

  q 22

  (S -1)(! Sµ - ) µS (S!)[( Sµ)]

µ. . 1 nt = nq + tt = tq + µ. . P = Sµ 1 P = n S S -1

    S 0  ( µ  )  + ( µ)

 . n=0

 . n!  . S!(1µ)   SP P0 =. .

  0  

µ. S![1-( Sµ )] Model 3 : M/M/1/I/F Pada gambar dibawah menunjukkan model antrian 3. model 3 ini identik dengan model 1, dengan perbedaan bahwa kepanjangan antrian adalah terbatas. Fasilitas Populasi 1 Antrian (M) pelayanan (M/1) FCFS Sumber tak Keluar terbatas Kepanjangan

antrian tak terbatas TingkatkedatanganpoissonTingkatpelayananpoisson .

 

 

  µµ

     

 

 .   µµ

 

 . µµ .    .   µ

 

 

 .   µµ

 

 µ      . µ

 

 . µ Model 4 : M/M/S/F/I Model ini adalah ekuivalen dengan model 2 dengan perbedaan bahwa model ini mempunyai sumber populasi yang terbatas. Sabagai contoh, sejumlah mesin-mesin dalam suatu departemen produksi yang rusak atau memerlukan penyesuaian (adjustment), sejumlah pasien dalam suatu rumah sakit yang memerlukan tipe-tipe perawatan tertenu, dan sebagainya, merupakan systemsistem yang mempunyai jumlah

individu-individu terbatas yang memerlukan pelayanan. Karena formula antrian dengan populasi terbatas sulit dipecahkan, table-tabel antrian terbatas (finite queuning tables) telah digeneralisasikan untuk beberapa model-model yang berbeda. Apendik table 1 menyajikan table antrian terbatas untuk populasi 5, 10, dan 20 individu. Beberapa variable yang haris diketahui dalam table tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut : U = waktu rata-rata antarkedatangan per unit

T = Waktu rata-rata pelayanan per unit H = Jumlah rata-rata yang sedang dilayani J = jumlah rata-rata unit yang sedang beroperasi N = jumlah unit dalam populasi M = jumlah channel pelayanan X = Faktor pelayanan (proporsi waktu pelayanan yang diperlukan) D = Probabilitas bawha suatu kedatangan harus menunggu F = Faktor efisiensi menunggu dalam garis (antrian) Untuk dapat

menggunakan tabel antrian terbatas, harus diketahui nilai-nilai N dan M, dan menghitung nilai X. Rumusan yang dipakai diberikan dalam gambar sebagai berikut : Fasilitas SumberterbatasTingkatkedatanganpoissonKeluarTingkatpelayananpoissonPopulasiFAntr ian(M) pelayanan(M/S) Kepanjanganantriantakterbatas(I) FCFSTingkatpelayananpoisson

 

 .  

 .      .  

 .   .  

  .  

 .       J = NF (1-X) D. Gambaran Tempat Observasi Bank Jateng UNNES terletak diantara ATM BRI dan poliklinik jalan raya sekaran Gunung Pati. Satu lokasi dengan kantor pos di lingkungan sekitar unnes, dan terletak tepat didepan koperasi Handayani. Bank Jateng unnes ini terdiri dari dua sistem pelayanan dengan satu sistem

antrian. Adapun yang kami amati adalah antrian pelanggan yang datang untuk melakukan transaksi. E. Model Distribusi Poisson dan Eksponensial 1. Model Distribusi Poisson Suatu eksperimen yang menghasilkan jumlah sukses yang terjadi pada interval waktu ataupun pada daerah yang spesifik dikenal sebagai eksperimen Poisson. Menurut Tarliyah, dkk. (1992 : 309) mengemukakan sifat eksperimen Poisson adalah sebagai berikut

: a. Jumlah sukses yang terjadi pada interval waktu atau daerah yang bersifat independent terhadap yang terjadi pada interval waktu atau daerah tertentu yang lain. b. Besar kemungkinan terjadinya sukses pada interval waktu atau daerah tertentu yang sempit, proporsional dengan panjang jangka waktu ataupun ukuran daerah terjadinya sukses tersebut.

c. Besar kemungkinan terjadinya lebih dari satu sukses pada interval waktu yang singkat ataupun daerah yang sempit, diabaikan. Model distribusi Poisson adalah model distribusi probabilitas yang digunakan untuk menggambarkan distribusi variabel random pada suatu eksperimen yang memenuhi kriteria sebagai eksperimen Poisson. Menurut Maman A Djauhari, ( 1990:163), eksperimen Poisson adalah eksperimen yang memiliki sifat-sifat sebagai berikut :

a. Peluang terjadinya 1 kali sukses dalam setiap selang yang sempit, sebanding dengan  lebar  selang. b. Peluangnya sangat kecil (dapat diabaikan) untuk terjadi lebih dari 1 kali sukses dalam setiap selang yang sempit c. Jika A dan B dua selang dimana kejadian A dan kejadian B saling asing, maka banyaknya sukses dalam A independent dengan banyaknya sukses dalam

B. Pada dasarnya sifat-sifat dari eksperimen Poisson yang dikemukakan oleh kedua ahli tersebut di atas adalah sama. Eksperimen Poisson adalah suatu eksperimen yang menghasilkan jumlah sukses yang terjadi pada interval waktu ataupun daerah yang spesifik, dimana jumlah sukses anatar interval waktu saling bebas atau independent. Definisi Variabel Random X dikatakan berdistribusi Poisson dengan parameter L, ditulis

X ~ POI ( . ), jika X memiliki fungsi kepadatan peluang sebagai berikut : x -  . e , x = 0,1, x! f(x) = 0, x yang lain (Djauhari, 1990 : 163-164) Pada definisi di atas, parameter . adalah mean dan juga variansi

dari X. Parameter . juga menyatakan rata-rata banyaknya sukses dalam suatu selang.

2. Model Distribusi Eksponensial Distribusi Eksponensial digunakan untuk menggambarkan distribusi waktu pada fasilitas jasa yang mengasumsikan bahwa waktu pelayanaan bersifat acak. Artinya, waktu untuk melayani pendatang (pelanggan) tidak tergantung dari banyaknya waktu yang telah dihabiskan untuk melayani pendatang atau pelanggan sebelumya, dan tidak tergantung jumlah pendatang yang sedang menunggu untuk dilayani. Contoh dari kejadian atau peristiwa Eksponensial antara lain

adalah waktu yang dibutuhkan untuk melayani nasabah bank, waktu yang dibutuhkan kasir untuk melayani pembeli pada suatu supermarket, waktu yang dibutuhkan untuk memproses ijin penggunaan kendaraan bermotor, waktu yang digunakan dokter untuk memeriksa pasien, dan lainlain. Definisi Variabel random kontinu X memiliki distribusi Eksponensial dengan parameter 1/ L, jika fungsi kepadatan peluang dari X adalah

: - x

 e , untuk x > 0, . > 0 f(x)= 0 , untuk x yang lain (Djauhari, 1990 : 175-176) Disini X dapat menyatakan waktu yang dibutuhkan sampai terjadinya 1 kali sukses dengan . = rata-rata banyaknya sukses dalam selang waktu satuan. F. Goodness of-fit

Test Goodness of-fit Test adalah uji yang dilakukan untuk menentukan distribusi probabilitas dari dat yang diperoleh dengan membandingkan frekuensi teroritis atau frekuensi yang diharapkan 1. Uji Chi Square Goodness of-fit terhadap peristiwa yang berdistribusi Poisson

Misalkan Variabel random X berdistribusi Poisson. Untuk menghitung frekuensi harapan fe digunakan fungsi kepadatan probabilitas dari distribusi Poisson. x , e  . p ( x ) = x = 0,1,2,...... m x! sehingga untuk sejumlah n frekuensi observasi fo ,maka fe = np(x)

Nilai dari chi square hitung ( X 2 ) dihitung dengan menggunakan rumus sebagi berikut: m ( f f )2 20 e X =. x=0 fe Dengan m adalah jumlah sel atau baris yang dipergunakan dalam mengembangkan fungsi kepadatan empiris. 2. Uji Chi

Square Goodness of-fit terhadap peristiwa yang berdistribusi Eksponensial Misalkan variable acak X berdistribusi eksponensial. Frekunsi teoritis ( fe ) yang berkaitan dengan interval [Ii I ] dihitung sebagai -1, i i fe =. f (t)d (t), i = 1,2,..., m i=1 Dengan m adalah banyaknya interval yang dipergunakan. Sedangkan f(t)

adalah fungsi kepadatan peluang dari distribusi eksponensial dengan 1 µ= . -µt ft =µet > 0, µ> 0 Dengan demikian diperoleh : -µ ( I ) -µ ( I ) i -1 i fe = n(e e )

Nilai Chi Square hitung diperoleh denagn menggunakan rumus berikut : ( f f )2 20 e X =. m f x=0 e Dalam uji Chi square Goodness of-fit keputusan diambil berdasarkan hipotesis H penelitian yang telah ditentukan sebelumnya. 0 diterima jika harga X

2 X 2 hitung tabel < dengan dk = m  k  1 dan dengan tingkat signifikan a , dengan m adalah jumlah baris yang digunakan dan k adalah jumlah parameter yang diestimasi dari dat mentah untuk dipergunakan dalam mendefinisikan distribusi teoritis yang bersangkutan.(Taha,1997:11:12)

BAB III HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN