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Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Física y Matemáticas

PROBLEmARıO DEL CURSO

ınTRODUCCıÓn A LA FÍSıCA mODERnA

Olga Leticia Hernández Chávez Héctor Javier Uriarte Rivera

Agosto, 2013

Índice general Introducción

II

I

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Relatividad Especial

1. Cinemática relativista

2

2. Dinámica relativista

9

II

La teoría cuántica

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3. El nacimiento del quantum

16

4. El átomo

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III

Respuestas

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5. Cinématica relativista

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6. Dinámica relativista

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7. El nacimiento del quantum

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8. El átomo

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i

Introducción En la licenciatura en Física y Matemáticas del Instituto Politécnico Nacional, la unidad de aprendizaje Introducción a la Física Moderna forma parte de las asignaturas básicas del programa académico, y se considera un curso formativo indispensable para estudiantes del programa en las opciones de Física e Ingeniería Nuclear. Por otra parte, según los estándares de conocimientos mínimos requeridos a nivel mundial en los carreras en estas áreas, se recomienda que un egresado en las áreas de Física y Matemáticas tenga un bagaje que le permita comprender los grandes cambios cientí…cos ocurridos en la Física durante el siglo XX: la teoría de la relatividad y la física cuántica; así como dimensionar los enormes retos a los que los cientí…cos se enfrentaron para explicarlos. El curso de Introducción a la Física Moderna, que se ubica en el 5to semestre de la carrera, considera los antecedentes y las ideas fundamentales de estas dos teorías. Para complementar el curso se presenta este problemario, resultado de una cuidadosa selección y diseño de ejercicios, en el que el énfasis se ha puesto en el objetivo de cómo lograr que los estudiantes realicen una autovaloración de los conocimientos mínimos indispensables para la acreditación del curso. Asimismo, el presente problemario se espera que coadyude al desarrollo de las siguientes competencias: Competencia para estimar: Ser capaz de evaluar claramente los órdenes de magnitud en diversas situaciones. Ser capaz de apreciar el signi…cado de los resultados. Competencia en la resolución de problemas: Ser capaz de adaptar los modelos existentes, incluso utilizando analogías, que permita el uso de soluciones conocidas en nuevos problemas. Ser capaz de realizar cálculos de forma independiente, incluso en los casos en que se

ii

INTRODUCCIÓN

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requiera utilizar una computadora, desarrollando programas, cálculos numéricos, simulación de procesos físicos o control de experimentos. Competencia de modelación: Ser capaz de identi…car lo fundamental de un proceso/situación y de establecer un modelo de trabajo; ser capaz de realizar las aproximaciones requeridas, i. e. pensamiento crítico en la construcción de modelos físicos. Ser capaz de adaptar los modelos existentes a nuevos datos experimentales. Los problemas provienen de los siguientes textos: Conceptos de relatividad y teoría cuántica. R. Resnick. 1996. Limusa. Relatividad especial. A. P. French. 1996. Reverté. Física cuántica. R. Eisberg, R. Resnick. 1989. Limusa. Modern Physics for scientists and engineers. S. Thornton, A. Rex. 2002. Brooks/Cole. Modern Physics. P. Tipler, R. Llewellyn. 2002. W. H. Freeman. Física moderna. R. Serway, C. Moses, C. Moyer. 2006. Thomson. Esperamos que este problemario sea de utilidad para la comunidad politécnica, y cualquier persona interesada en el aprendizaje de la Física Moderna. Oga Leticia Hernández Chávez Héctor Javier Uriarte Rivera ESFM-IPN

Parte I Relatividad Especial

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Capítulo 1 Cinemática relativista 1. Las coordenadas espacio-tiempo de dos sucesos medidas en un sistema S son las siguientes: Suceso 1: Suceso 2:

x0 , y1 = 0, z1 = 0: c x0 x2 = 2x0 , t2 = , y2 = 0, z2 = 0: 2c x1 = x0 , t1 =

a) Existe un sistema de referencia S 0 en el cual estos sucesos tienen lugar en el mismo instante. Hallar la velocidad de este sistema respecto a S. b) ¿Cuál es el valor de t para el que ambos sucesos tienen lugar en el nuevo sistema de referencia? 2. Dos eventos ocurren en un sistema inercial K al mismo tiempo, pero a 4 km de distancia entre si. ¿Cuál es la diferencia de tiempo entre los dos sucesos medida en un sistema K 0 que se mueve respecto al sistema K si la distancia medida entre estos dos eventos es 5 km? 3. La distancia a la estrella más lejana a nuestra galaxia es del orden de 105 años luz. Explique porqué es posible, en principio, para un ser humano viajar a esta estrella en su tiempo de vida y estime la velocidad requerida. 4. Una partícula subatómica se crea en lo alto de una montaña de altura 2000 m sobre el nivel del mar y se mueve a una velocidad de 0;98 c, decayendo en el mar. 2

CAPÍTULO 1. CINEMÁTICA RELATIVISTA

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a) ¿Qué altura tiene la montaña en el sistema de referencia de la partícula? b) ¿Cuál es el tiempo de vida de la partícula medido en los dos sistemas de referencia? 5. Un astrónomo en la Tierra observa un objeto brillante moviéndose que se aproxima a él a una velocidad de 0;8 c, a una distancia de 20 años luz. Considere la Tierra como un sistema inercial en reposo y calcule: a) el tiempo necesario para que el objeto alcance la Tierra según el astrónomo; b) el tiempo según un astrónomo que viaja con el objeto; y c) la distancia inicial que separa la Tierra del objeto, según un astrónomo que viaje con el objeto. 6. Un metro en reposo en S 0 forma un ángulo de 30 con el eje x0 . Si S 0 se mueve a una velocidad de 0;8 c respecto a un sistema S, ¿qué longitud tiene el metro en S y que ángulo forma con el eje x? 7. Durante el pasado juego del Super Bowl entre los Patriotas de Nueva Inglaterra y los Gigantes de Nueva York celebrado en Indianápolis, una nave espacial extraterrestre atravesó el terreno de juego del estadio en la dirección del juego, a 0;6 c según se midió desde el campo de juego. El terreno de juego tiene 120 yardas de largo y 55 yardas de ancho. Los extraterrestres, cuya misión era profundizar en los juegos terrestres, tomaron algunas mediciones, para lo cual se habian preparado previamente en los sistemas de unidades terrestres. a) ¿Cuál es la longitud del terreno de juego según los extraterrestres? b) ¿Cuál es el ancho terreno de juego según los extraterrestres? c) Los extraterrestres poseían una televisión donde observaron el juego que inició a las 17:00 horas y terminó a las 21:00 horas (horario de la Ciudad de México). ¿Cuánto tiempo transcurrió de juego según los extraterrestres? 8. Un cohete de longitud propia l0 marcha a velocidad constante v relativa a un sistema S. La punta del cohete (A0 ) pasa por el punto A de S en

CAPÍTULO 1. CINEMÁTICA RELATIVISTA

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el instante t = 0 y en este instante se emite una señal desde A0 hasta B0.

a) ¿Cuánto tardará la señal en términos del tiempo del cohete (t0 ) en alcanzar la cola (B 0 ) de la nave? b) ¿En qué instante t1 , medido en S, alcanza la señal la cola (B 0 ) de la nave? c) ¿En qué instante t2 , medido en S, pasa la cola de la nave (B 0 ) por el punto A? 9. Un observador en un cohete se mueve hacia un espejo a una velocidad v (relativista) con respecto al sistema de referencia indenti…cado como S en la …gura. El espejo está en reposo con respecto a S. Un pulso de luz emitido por el cohete se desplaza hacia el espejo y es re‡ejado de regreso hacia el cohete. El frente del cohete está a una distancia d del espejo (según lo miden observadores en S) en el instante en que el pulso de luz sale del cohete. ¿Cuál es el tiempo total de recorrido del pulso de luz según lo miden los observadores en

a) el sistema de referencia S y b) el frente del cohete.

CAPÍTULO 1. CINEMÁTICA RELATIVISTA

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10. A las doce del mediodía un cohete espacial pasa frente a la Tierra con una velocidad de 0;8 c. Los observadores de la nave y los de la Tierra están de acuerdo en que, efectivamente, es mediodía. a) A las 12:30 PM según un reloj situado en la nave, ésta pasa por una estación interplanetaria que se encuentra …ja en relación a la Tierra y cuyos relojes señalan el tiempo en la Tierra. ¿Qué hora es en la estación? b) ¿A qué distancia de la Tierra (en coordenadas terrestres) se encuentra la estación? c) A las 12:30 PM, hora de la nave, se establece comunicación con la Tierra desde la nave. ¿Cuándo (en tiempo de la Tierra) recibe ésta la señal? d) La estación terrestre contesta inmediatamente. ¿Cuándo se recibirá la respuesta (hora de la nave)? 11. Los gemelos A y B se despiden en la Tierra, A marcha hacia Alpha Centauri que está a una distancia de 4 años luz y regresa a la Tierra. En el recorrido su velocidad con respecto a la Tierra es 0;6 c y transmite una señal de radio cada 0;01 de año en su sistema. Su gemelo B emite de forma análoga una señal cada 0;01 de año en su sistema en reposo. a) ¿Cuántas señales emite A en su viaje de ida a Alpha Centauri según B ? b) ¿Cuántas señales emitió B según A antes de iniciar el regreso? c) ¿Cuál es el número total de señales que recibe cada gemelo que provienen del otro? d) ¿Quién es más jovén al …nal del viaje? 12. Dos naves espaciales se aproximan una a la otra. a) Si la velocidad de cada una es de 0;9 c relativa a la Tierra, ¿cuál es la velocidad de una nave relativa a la otra? b) Si la velocidad de cada una relativa a la Tierra es de 30000 ms (aproximadamente 100 veces la velocidad del sonido), ¿cuál es la velocidad de una nave relativa a la otra?

CAPÍTULO 1. CINEMÁTICA RELATIVISTA

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13. Tres galaxias están alineadas a lo largo de un eje en el orden A, B; C. Un observador en la galaxia B, ubicada en el punto medio, observa que las galaxias A y C se mueven en direcciones opuestas respecto a él, con velocidades de 0;6 c. ¿Cuál es la velocidad de las galaxias B y C según un observador en la galaxia A? 14. Una persona en la Tierra observa a dos naves espaciales que se aproximan entre sí hasta chocar.

En en tiempo t = 0 en el sistema Tierra, el observador determina que el cohete A, que viaja hacia la derecha con una velocidad vA = 0;8c, está en el punto a; y que el cohete B; que viaja hacia la izquierda con una velocidad vB = 0;6c, está en el punto b. Las naves están separadas en ese tiempo una distancia l = 4;2 1010 m.

a) Desde el sistema Tierra, ¿cuánto tiempo pasará antes de que los cohetes choquen? b) ¿Qué tan rápido se aproxima la nave B vista desde la nave A?¿Qué tan rápido se aproxima la nave A vista desde la nave B? c) ¿Cuánto tiempo transcurrirá, medido en la nave A, desde que pasa el punto a hasta que ocurre la colisión? ¿Cuánto tiempo transcurrirá, medido en la nave B, desde que pasa el punto b hasta que ocurre la colisión?

CAPÍTULO 1. CINEMÁTICA RELATIVISTA

7 p

15. Un haz de mesones K + inestables se mueve a una velocidad de 23 c y pasa por el frente de un par de contadores que se encuentran separados 9 m. Las partículas no experimentan pérdida alguna en su velocidad ni en su energía al pasar delante de los contadores, pero son detectados por estos debido a su carga. Se observa que mientras el primer contador señala 1000, el segundo tan sólo detecta 250. Suponiendo que la disminución es debida a la desintegración de las partículas durante el viaje, ¿cuál es su vida media propia (tiempo en el que cualquier cantidad de kaones se reduce a la mitad) del kaón K + ? 16. Un profesor de Física argumenta a un policía que la razón por la que se pasó la luz roja ( = 6500 Å) es que al encontrarse en movimiento el color rojo tuvo un corrimiento Doppler al verde ( = 5500 Å). ¿Qué tan rápido iba el profesor? 17. Un quasar (Quasi-stellar radio source) es un núcleo activo de una galaxia distante, altamente energético. Son objetos muy compactos similares a estrellas más que fuentes extendidas como las galaxias. Los quásares fueron indenti…cados por ser fuentes de energía electromagnética con un alto corrimiento al rojo. a) Los astrónomos de…nen el parámetro de corrimiento al rojo z (redshift parameter) como: z

obs

f uente f uente

=

; f uente

donde obs es la longitud de onda de la fuente medida por un observador, respecto al cual la fuente se mueve con velocidad v; y f uente es la longitud de onda de la fuente. Utilice la expresión del efecto Doppler relativista para encontrar una expresión de z en términos de la velocidad v de la fuente. b) En su sistema, el quasar Q2203 + 29 produce una línea de emisión del hidrógeno de longitud de onda 121;6 nm. Astrónomos en la Tierra miden una longitud de onda de 656;8 nm para esta línea. Determine el valor del parámetro de corrimiento al rojo y la velocidad aparente para el quasar. c) En el caso donde el objeto se mueve con una velocidad v