24 Programación Lineal

Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI

Curso Iberoamericano de formación permanente de profesores de matemáticas

Tema 24: Programación lineal

1

Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI

Programación lineal Contenido de este documento: Introducción Concepto de Programación lineal Resolución del problema bidimensional

Resolución de un problema paso a paso Método gráfico Tipos de soluciones Problema del transporte. Más ejemplos Nota: Método del simplex Bibliografía

1.

Introducción

La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente. En 1939 el matemático ruso Leonid Kantarovitch (premio Nobel en economía 1975) publica “Métodos matemáticos de organización y planificación de la producción” que por razones ideológicas no se divulgó hasta dos décadas posteriores. En este libro se define de forma precisa y rigurosa una teoría matemática aplicable a infinidad de problemas de optimización. Con anterioridad, grandes matemáticos como Newton, Leibnitz y Lagrange se interesaron por la obtención de máximos y mínimos pero fue el francés Joseph Fourier (1768-1830) el primero en intuir, aunque no con excesiva rigurosidad, los métodos que hoy conocemos como programación lineal. En 1949, George B. Dantzig publicó el “Método simplex” para resolver programas lineales, introduciendo explícitamente la función objetivo y reduciendo drásticamente el número de posibles soluciones óptimas. A partir de esa fecha, un gran número de científicos han contribuido al campo de la programación lineal en muchas formas, incluyendo desarrollos teóricos, aspectos de computación y exploración de nuevas aplicaciones. El método del simplex de programación lineal tiene mucha aceptación debido a su habilidad para modelar importantes problemas de decisión en las áreas administrativas además de su capacidad para producir soluciones en un tiempo razonable. En este sentido, los ordenadores han contribuido de forma determinante a mejorar y agilizar dichos métodos. Dentro de las extensas aplicaciones de la programación lineal podemos encontrar el problema de la dieta en la que se busca la 2

Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI

mejor combinación de alimentos para una dieta con el mínimo coste, el problema de la producción que busca maximizar beneficios o minimizar gastos en función de los recursos de los que se dispone y el problema del transporte que minimiza los costes de distribución y los tiempos empleados en la distribución de mercancías.

La programación lineal en la posguerra (2ª Guerra Mundial): En 1948 la ciudad alemana de Berlín se encuentra dividida entre la parte soviética y la de los países aliados (Inglaterra y Estados Unidos principalmente), es entonces cuando los rusos deciden bloquear las comunicaciones terrestres y dejar sin abastos a los aliados. Los americanos deciden montar un ambicioso puente aéreo, basado en técnicas de programación lineal, para abastecer la ciudad. En diciembre de 1948, se comienza transportando 4 500 toneladas diarias de abastos llegando a 8000 toneladas en marzo de 1949, y así alcanzando la cantidad que se transportaba por tren y carretera antes del bloqueo. El 12 de mayo de 1949, los soviéticos desisten y levantan el bloqueo.

2.

Concepto de Programación lineal

Los problemas de optimización, en general, están relacionados con la asignación de recursos de la mejor manera posible. Ello implica la determinación de los valores óptimos de un conjunto de variables que deben verificar ciertas restricciones sobre los valores que pueden tomar.

Definición Un problema de Programación lineal es un problema de optimización para el que se verifica lo siguiente: a) Se trata de maximizar o minimizar una función lineal de las variables decisión, que se denomina función objetivo. b) Los valores de las variables deben satisfacer un conjunto de restricciones, cada una de las cuales puede escribirse como una ecuación o inecuación lineal.

Si utilizamos el lenguaje matemático para definir el problema podríamos decir que el objetivo principal de la Programación lineal es la resolución de problemas del tipo: max{f(x) / xS}

ó

min{f(x) / xS} , donde Sn y f:S 3

Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI

A cada elemento de S se le llama solución factible; a S se le llama región factible y a f se le llama función objetivo. En estos problemas de optimización, se plantea la búsqueda de una solución factible x0 donde f alcanza su mayor (o menor) valor. En dicha búsqueda nos podemos encontrar con las siguientes situaciones: Problema no factible: cuando no existe ninguna solución factible, es decir, S= (conjunto vacío). Problemas factibles: a) Problema no acotado: cuando existan soluciones que hagan ascender infinitamente a la función objetivo, es decir, cuando para cualquier valor real M siempre existe un xS tal que f(x)>M, y en tal caso escribiremos max{f(x) / xS}=+. Análogamente, cuando existan soluciones que hagan descender infinitamente a la función objetivo, es decir, cuando para cualquier valor real M’ siempre existe un xS tal que f(x)