2.4 Funciones algebraicas función polinomial, racional e irracional.

Apuntes de Calculo diferencial  2.4 Funciones algebraicas, función polinomial, racional e irracional 

  Hacia finales del siglo XVIII, los matemáticos y científicos había llegado a la conclusión de que un  gran número de fenómenos en la vida real podían representarse mediante modelos matemáticos,  construidos a partir de una colección de funciones denominadas funciones elementales. Estas  funciones se dividen en tres categorías.  • • •

Funciones algebraicas (polinómicas, radicales, racionales).  Funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente).  Funciones exponenciales y logarítmicas  

Una función de la forma  , donde   es una constante (número real), se denomina función  constante. Su gráfica es una recta horizontal. La función   se denomina función  identidad. Su gráfica es una recta que pasa por el origen con pendiente igual a 1. Con base a estas  funciones sencillas, podemos construir otras muchas funciones importantes. 

Funciones polinomiales  Cualquier función que pueda obtenerse a partir de las funciones constantes y de la función  identidad por medio del uso de las operaciones  de suma, diferencia y multiplicación se denomina  función polinomial. Esto equivale a decir que   , es una función polinomial con la forma:  .  Donde el entero positivo   es el grado de la función polinómica. Las constantes   se denominan  coeficientes, siendo   el coeficiente dominante y   el término constante.     Aunque se suele utilizar subíndices para los coeficientes de las funciones polinómicas en general,  para las de grados más bajos se utilizan con frecuencia las siguientes formas más sencillas:  Grado cero  Grado uno  Grado dos  Grado tres   

Función constante  Función lineal  Función cuadrática  Función cúbica 

           

Dr. Juan M. Camacho     

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  Algunos ejemplos de estas funciones elementales: 

 

  Ejercicios    Elabore una gráfica de las siguientes funciones polinomiales, indique su dominio y su  contradominio, además indique si es inyectiva, suprayectiva o biyectiva.   1. 2. 3.

2 2

4 10

3  1  6

1 

 

  Funciones racionales    Del mismo modo que un número racional puede escribirse como el cociente de dos enteros, una  función f es racional si tiene la forma:  , siempre que 

0. 

Donde   y   son polinomios. El dominio de estas funciones excluye los ceros del polinomio  de . La gráfica de una función racional puede tener asíntotas verticales.  Las gráficas de las funciones racionales y de los polinomios tienen varias características en común.   en la  ecuación  Por ejemplo, una función racional solo tiene un número finito de raíces, pues 

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  solo se puede anular si el polinomio del numerador 

 se anula. De manera 

análoga la gráfica de una función racional sólo puede tener un número finito de dobleces.  Pero el polinomio del denominador de la ecuación 

puede tener una raíz en el punto 

donde el numerador no se anule. En este caso, el valor de   será muy grande cuando  esté muy cerca de  . esta observación implica que la gráfica de una función racional puede tener  una característica que la gráfica de un polinomio no tiene: una asíntota. 

Ejemplo 1  La figura muestra la gráfica de la función racional:  2 1

1   2

  Observe las interecciones con el eje x, x=‐2 y x=1, correspondientes a las  raíces del numerador (x+2)(x‐1). Las rectas verticales x=‐1, x=0 y x=2 que  aparecen en la gráfica corresponden a las raíces del denominador  x(x+1)(x‐2). Estas rectas verticales son asíntotas de la gráfica de f.  

Ejemplo 2  La figura muestra la gráfica de la función racional.  1 2

2   1

 Las intersecciones con el eje  ,  1, 0,  1  corresponde a la raíces del numerador, mientras que las  asíntotas  1 y  2 corresponden a las raíces del  denominador.             

Dr. Juan M. Camacho     

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Ejercicios  Elabore una gráfica de las siguientes funciones polinomiales, indique su dominio y su  contradominio, además indique si es inyectiva, suprayectiva o biyectiva.    

1. 2.

 

3.

 

  Las funciones polinómicas y las racionales son ejemplos de funciones algebraicas. Se llama función  algebraica aquella que puede expresarse mediante un número finito de sumas, diferencias,  1 es algebraica. Las  productos, cocientes y raíces que contengan  . Por ejemplo  √ funciones no algebraicas se denominan trascendentes. Por ejemplo las funciones trigonométricas  son trascendentes.    

Funciones irracionales  Del mismo modo que un número irracional no puede escribirse como el cociente de dos enteros,  una función f es irracional si tiene la forma  , donde  

 es una función polinómica o racional 

El dominio de estas funciones excluye los valores donde los valores de la raíz son válidos,  dependiendo del valor de  . Si   es par, el radical está definido para  0; así que a los   que contiene un radical, habrá que imponer la condición  efectos de calcular el dominio de  anterior al conjunto de la expresión  .   

Ejemplo 3. Algunos ejemplos de funciones irracionales son:  1

 

√   1   1 √ 1

√

   

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  1

 

1

  1 √1 √

√

√

  1

  1

Ejemplo 4  Analizar y graficar la función 

√

1 

Solución  El dominio de esta función está limitado por la  condición del radical, el cual no admite números  negativos. Esta condición se puede escribir como:  1 0. En la sección 1.5 ya se estudio cómo  resolver esta desigualdad, la cuál es válida para valores  tales que están en el intervalo  ∞, 1 1, ∞ .  Por lo tanto el dominio es  ∞, 1 1, ∞ .     

Ejercicios  Elabore una gráfica de las siguientes funciones irracionales, indique su dominio y su  contradominio, además indique si es inyectiva, suprayectiva o biyectiva.   √9

1. 2. 3.

 

√ √

 

 

 

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