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Eje de Rotación de la Tierra .
z Polo Terrestre
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Sistemas de Coordenadas en Geodesia INSTITUTO NACIONAL DE ESTADISTICA GEOGRAFIA E INFORMATICA
Eje de Rotación de la Tierra.
z Polo Terrestre Promedio .......
Meridiano medio de Greenwich
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INSTITUTO NACIONAL DE ESTADISTICA GEOGRAFIA E INFORMATICA
Secretaría de Programación y Presupuesto Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Informática Informes y Ventas: Balderas No. 71, planta baja, Centro Delegación Cuauhtémoc 06040 México, D.F. Tel. 521-42-51 Insurgentes Sur No. 795, planta baja, colonia Nápoles, Delegación Benito Juárez 03810 México, D.F. Tels.: 687-46-91 y 687-29-11, ext. 289 Sistema de Coordenadas en Geodesia Dirección General de Geografía México, D.F. junio de 1984 ISBN 968-809-91 8-X
SISTEMAS DE COORDENADAS EN GEODESIA
por
E. J. Krakiwsky & D. E. Wells
Depto. de Ingeniería Topográfica, U.N.B. Fredericton, N. B. Canadá, 1973
Traductor: M. C. Rafael Sosa Torres Dirección General de Geografía del Territorio Nacional
México, D. F. 1978
NOTA DEL TRADUCTOR
Este trabajo es parte del esfuerzo que la Dirección General de Geografía del Territorio Nacional, está realizando para la actualización y difusión de los conocimientos geodésicos en nuestro país. Se agradece profundamente la generosa colaboración de los autores Drs. E. J. Krakiwsky y D. E. Welis, al permitir la traducción de su obra. El apoyo brindado por los C. Jefes y compañeros del Departamento de Geodesia fue vital para que estas notas vieran la luz del día. Mención especial merecen la Srita. Ma. Guadalupe López Montoya, por su excelente trabajo de mecanografía, y los Sres. M. Agustín Ramírez Cruz y Jesús Vega Chávez, quienes realizaron el paciente trabajo de escribir fórmulas y dibujar los diagramas que aparecen en el texto.
M. C. Rafael Sosa Torres
Contenido
.........................................
Pág. N
VI
........................................
13
1.1. - Polos, Planos y ejes ••••••••••••••••••••.••••. 1. 2. - Tiempo Universal y Tiempo Sideral............ 1. 3. - Sistemas de coordenadas en Geodesia...........
16 18 19
2. - Sistemas de Coordenadas Terrestres..................
21
2.1. - Sistemas Terrestres geocéntricos...............
21
1. - Introducción
2.1.1. - Movimiento Polar y rotación irregular de la tierra. ....•..•..•....••..•......... 2.1.2. - Sistemas Terrestres promedio e instantánea • . • • . . • . . • . . . . • . . • • . • . • . . • . . . . • . . . . 2.1.3. - Sistemas Geodésicos....................... 2.2. - Relación entre coordenadas cartesianas y curvilÚleas 2.2.1. - Coordenadas cartesianas y curvilíneas de un punto sobre el Elipsoide de Referencia .•••• 2.2.2. - El vector de posición en término de la latit ud geodésica ..••..•....•...•...•...... 2.2.3. - El vector de posición en términos de las latitudes Geocentrica y Reducida •.•••••••••• 2.2.4. - Relación entre las latitudes geodésica, geocéntrica y reducida ...•...••..•...•••.•.... 2.2.5. - El vector de posición de un punto por encima del Elipsoide de Referencia ••..••••••••• 2.2.6. - Transformación de coordenadas cartesianas, Terrestres promedio a Geodésicas..........
24
29 31
31 34 39 40 40
43
...............................
46
Parámetros de posición del Datum ..•••••.• Establecimiento de un Datum............... El Datum Norte Americano .•••••••••••.•. Transformaciones de Datums...............
49 54 56 59
2.3. - Datums Geodésicos 2.3.1.2.3.2. 2.3.3. 2.3.4. -
22
INEGI. Sistemas de Coordenadas en Geodesia
Lista de llustracciones .......•....•..•.......•..••........ Lista de Tablas
II
Pago 2.4. -
Sistemas Topocéntricos Terrestres..................
62
2.4.1. - Sistema Astronómico Local................. 2.4.2. - Sistema Geodésico Local..... •••.••••••.• ••
64 68
Sumario de Sistemas Terrestres....................
71
3. - Sistemas de Coordenadas Celestres.. •••.••••••••••••••
75
2.5. -
3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5.
-
El sistema Eclíptico........................... El sistema de Ascención Recta.................. El sistema de Angulo Horario.. • ••• .•••••••••••• El sistema de Horizonte.... .••••• ••••• ••••• ••• • Variaciones del Sistema de Ascención Recta......
INEGI. Sistemas de Coordenadas en Geodesia
3.5.1. 3.5.2. 3.5.3. 3.5.4. 3.5.5.
-
Precesión y Nutación....................... Sistemas Celestes Medios................... El Sistema Celeste Verdadero............... El Sistema del Lugar Aparente.............. El Sistema del Lugar Observado.............
77 79 81 85 87 88 90 95 97 98
3.6. - Transformación entre coordenadas del Sistema Celeste Aparente y coordenadas del Sistema Terrestre Promedio. . • . . • .• . . • . . • . • . . • . . • • • . . • . . .
99
3.7.- Sumario de Sistemas Celestes...................
101
4. - El Sistema de Coordenadas Orbitales.... ••• •• .•••••••.•
106
4.1. - La Elipse Orbital y las Anomalías Orbitales....... 4.2. - El Sistema de Coordenadas Orbitales...... ••••••• 4.3. - Transformación del Sistema Orbital al Terrestre
106 110
Promedio.....................................
112
4.4. - Variaciones en los elementos orbitales........... 4.5. - El Sub-punto del Satélite........................ 4.6. - Coordenadas Topocéntricas de un Satélite.... . . •••
113 113 115
5. - Sumario de Sistemas de Coordenadas...................
118
5.1. - Sistemas Terrestres............................ 5.2. - SistemaS' Celestes.............................. 5.3. - Paradoja de dualidad en los Sistemas Celestes A parente y Obs ervado. • • . • • • . • • • • . • . • • • • • • • • • • • • 5.4. - La conexión entre los Sistemas Orbital, Celeste yTerrestre....................................
118 120 121 122
III
Pago
............................................
123
INEGI. Sistemas de Coordenadas en Geodesia
Referencias
IV
LISTA
1-1
Título
Pago
Sistemas de Coordenadas Terrestres, Celestes y Orbitales.... .•..•....
14
1-2
Tipos de Sistemas de Coordenadas ••••••••.•••
15
2-1
Movimiento Polar ......•.......•..•....•..•.
23
2-2
Posición de un Punto que se Mueve Uniformemente a lo largo del Ecuador menos la Posición sobre el Ecuador actual. •• • ••••••• . •••••••• ••
25
2 -3
Sistemas de Coordenadas Terrestres y Geodé-
sicas......................................
26
Transformación del Sis tema rns tantáneo al Terrestre Promedio.. •••••••••••••••••• ••
28
2 -5
Elipsoide de Referencia •••••••••••••.•••••••
32
2-6
Latitudes Divers as .•....•..•..•....•..•....
35
2 -7
Línea Tangente a la Elipse Meridiana ••••••••
36
2 -8
Punto por Encima del Elipsoide de Referencia
41
2 -9
Sección Meridiana de la Tierra •••••••••••••••
47
2-10
Orientación del Elipsoide al Geoide •••••••••••
52
2 -12
Sistemas de Coordenadas Geodésica y Geodésica Local.. . . . . . . . • . . . . . . . • . . • . . . . • . . • . .
65
Ecuaciones que relacionan los Sistemas Terrestres .•..•....•..•..•.•..•.......... o.......
73
3-1
Sistema de la Eclíptica ••••••••••••••••••••••
78
3 -2
Sistema de la Ascereión Recta ••••••••••••••••
80
3 -3
Sistema del Angulo Horario ••••••••••••••••••
82
3-4
Tiempo, Longitud y Ascención Recta •••••••••
84
2-4
2 -13
INEGI. Sistemas de Coordenadas en Geodesia
Figura No.
DE ILUSTRACIONES
-v 3-5
Sistema de Horizonte. ••••.•.•••••••.•.••.•• , .
86
3-6
Variaciones del Sistema de Ascención Recta Celeste ...
•••••••
89
3-7
Movimiento del Polo Celeste •••••••••••••••••
91
3-8
El Efecto de Nutación y Precesión .•••.• o
•••
92
3-9
Sistemas de coordenadas celestes medias ....
94
3-10
Sistemas de coordenada verdadero y celeste me dio .•••••.•••••••.•••••• o • • • • • • • • • •
96
0
•••••••••• 8
•••••••••• 0
•• 0
INEGI. Sistemas de Coordenadas en Geodesia
Q
•
•
•
•
3-11
Sistema de coordenada celeste •.••••••••••••
105
4-1
Elipse Orbital •..•.••••..•..•.••.•..••.•.•..
107
4-2
Elementos Orbitales Keplerianos ••••••••••••
111
4-3
Sub punto de un satélite ••••••••••••••••••• o
114
4-4
Coordenadas Topocéntricas de un satélite ••••
116
5-1
Sistemas de Coordenadas •••••.••••••••••••
119
DE
LIS T A
2-1
T
í
u
1
o
Pago
Parámetros que definen el Datum Norteamericano de 1927 ••••••••••••••••••••••
58
2-2
Componentes de la Traslación •••••••••••••••••
58
2-3
Ejemplo de Transformación de Datum ••••••••••
63
2 -4
Polos de referencia, Planos y ejes que definen los sistemas de Coordenadas Terrestres •••••••
72
2-5
3-1
3-2
Transformaciones entre los sistemas de coorde-
nadas.......................................
74
Polos de referencia, planos y ejes que definen los sistemas de coordenadas celestes..........
103
Transformaciones entre Sistemas de Coordenadas Celestes.................................
104
INEGI. Sistemas de Coordenadas en Geodesia
Tabla No,
TABLAS
l. -
las las bre nir
1 n
t
r
o
d
u
c
ció
n
Estas notas discuten las definiciones precisas de, y transformaciones entre, los sistemas de coordenadas a cuales son referidas las coordenadas de una estación soo por encima de la superficie de la Tierra. Para defi un sistema de coordenadas, debemos especificar: a). - La localización del origen. b). - La orientación de los tres ejes. c). - Los parámetros ( cartesianos, curvilíneos ) que definen la posición de un punto referido al Sistema de Coordenadas.
La tierra tiene dos movimientos periódicos d:i:feren tes en el espacio: Gira sobre su eje y se traslada alrededor del sol ( ver F ig. 1-1 ) Existe también un satélite natural ( La Luna ) y muchos satélites artificiales los cuales tienen un tercer movimiento periódico en el espacio: El movimiento Orbital alrededor de la Tierra. Estos movimientos periódi cos son fundamentales para la definición de los Sistemas de coordenadas y de Tiempo.
Los sistemas de coordenadas Celestes no se trasladan pero pueden girar junto con la tierra. Son usados para definir las coordenadas de cuerpos celestes tales como las estrellas. Hay cuatro sistemas celestes diferentes, llama dos " Eclíptico "de "Ascención Recta " de " Angulo Horario " y " Sistema de Horizonte ". El Sistema Orbital no gira con la tierra pero se traslada con ella. Es usado para definir las coordenadas de satélites que orbitan alrededor de la Tierra.
13
INEGI. Sistemas de Coordenadas en Geodesia
Los Sistemas de coordenadas terrestres están fijos a la tierra y giran con ella. Son usados para definir las coordenadas de puntos sobre la superficie de la tierra. Hay dos clases de Siste lTIa,:; terrestres llamados Sistemas geocéntricos y Sistemas topocéntricos ( ver F ig. 1-2 ).
OBSERVADOR SOBRE LA TIERRA.
\
SOL ROTACION DE LA TIERRA.
ORBITA DEL SATELITE
.~
ORBITA DE LA TIERRA
INEGI. Sistemas de Coordenadas en Geodesia
---------
--
TIERRA
SISTEMA DE COORDENADAS TERRESTRES, CELESTES Y ORBITALES.
FIGURA 1 - 1
14
) /'
FIG. 1 - 2 TIPOS DE SISTEMAS DE COORDENADAS.
TERRESTRE
I
1 IrOPOCENTR ICC
pEOCENTRICO 4-1 I
I
CELESTE
______ ~---::r~-----~----~---------,
ECLIPTICO
1
ASCENCION r~· RECTA ,
I
ANGULO HORARIO.
.
I I I
l_ -
-1. __
0_R_B_IT_A_L_...
15
1
aORIZONTE
INEGI. Sistemas de Coordenadas en Geodesia
1
1
1. 1
POLOS, PLANOS Y EJES.
La orientación de los ejes de un sistema de coordenadas puede ser descrito en términos de Polos primarios y secundarios, planos primarios y secundarios y ejes primarios, secundarios y terciarios. El polo primario es el eje de simetría del sistema de coordenadas, por ejemplo el eje de rotación de la tierra. El plano primario es el plano perpendicular al polo primario, por ejemplo el plano ecuatorial de la tierra. El plano secundario es perpendicular al plano primario y contiene al polo primario. Algunas veces debe ser elegido arbitrariamente, por ejemplo el pl~ no del Meridiano de Greenwich, y algunas veces surge naturalmen te, por ejemplo el plano Equinoccial. El polo secundario es laintersección de los planos primarios y secundarios. El eje prim~ rio es el polo secundario. El eje terciario es el polo primario. El eje secundario es perpendicular a los otros dos ejes, eligiendo una dirección especificada para que el sistema de coordenadas sea de mano derecha o mano izquierda.
INEGI. Sistemas de Coordenadas en Geodesia
Nosotros usaremos indistintamente el Plano primario o el polo primario y el eje primario para especificar la orientación de cada uno de los sistemas de coordenadas nombrados anteriormente.
/
/
/
prima.rio ""'.............
\
FIG.
Ejemplo de Polos, Planos y Ejes.
16
PARA SISTEMAS GEOCENTRICOS TERR.i:iSTRES.
a). -
El origen es cercano al centro de la tierra.
b). -
El polo primario está alineado con el eje de rotación de la tierra y el plano primario perpendicular a este polo es llamado el plano ecuatorial.
c). -
El eje primario es la intersección entre el plano ecuato rial y el plano que contiene al meridiano de Greenwich:-
d). -
Los sistemas son de mano derecha. PARA SISTEMAS TOPOCENTRICOS TERRESTRES.
a). -
El origen está en un punto cerca de la superficie de la tierra.
b). -
El plano primario es el plano tangencial a la superficie de la tierra en ese punto.
c). -
El eje primario es el punto norte ( la intersección entre el plano tangencial y el plano que contiene al polo norte rotacional de la tierra ) •
d). -
Los sistemas son de mano izquierda.
a). -
El origen es cercano al centro del sol.
b). -
El plano primario es el plano de la orbita terrestre, llamado plano de la eclíptica.
c). -
El eje primario es la intersección entre el plano de la eclíptica y el plano ecuatorial y es llamado el equinoccio vernal.
d). -
El sistema es de mano .derecha. PARA EL SISTEMA CELESTE DE LA ASCENCION RECTA •
•
a). -
El origen esta cerca del centro del sol.
b). -
El plano primario es el plano ecuatorial.
c). -
El eje primario es el equinoccio vernal.
d). -
El sistema es de mano derecha. 17
INEGI. Sistemas de Coordenadas en Geodesia
PARA EL SISTEMA ECLIPT1CO CELESTE.
PARA EL SISTEMA DE ANGULO HORARIO. a). -
El origen está cerca del centro del sol.
b). -
El plano primario es el plano ecuatorial.
e). -
El plano secundario es el meridiano celeste ( el plano que contiene al observador y al eje de rotación de la tierra ).
d). -
El sistema es de mano izquierda. PARA EL SISTEMA CELESTE DE HORIZONTE.
a). -
El origen es cercano al centro del sol.
b). -
El plano primario es paralelo al plano tangencial que pasa por el observador ( el plano del horizonte ).
e). -
El eje primario es paralelo al punto norte del observador.
d). -
El sistema es de mano izquierda.
INEGI. Sistemas de Coordenadas en Geodesia
PARA EL SISTEMA ORBITAL. a). -
El origen es el centro de gravedad de la tierra.
b). -
El plano primario es el plano de la orbita del satélite alrededor de la tierra.
e). -
El eje primario está en el plano orbital y orientado hacia el punto de perigeo ( el punto en el cual el saté lite se aproxima más a la tierra ) y es llamada línea de los apsides •
d). -
El sistema es de mano derecha.
1.2 TIEMPO
UNIVERSAL
Y
TIEMPO
SIDERAL.
También intimamente involucrado con la Rotación y traslación periódica de la tierra están dos sistemas de tiempo llamados tiempo Universal( solar) (TU) y tiempo Sideral (TS). Un sistema de tiempo está definido por la especificación de un intervalo y una ép~ ca.
18
El día solar es el intervalo entre dos pasajes suscesivos del sol sobre el mismo meridiano terrestre. El día sideral es el intervalo entre dos pasajes suscesivos del equinoccio vernal sobre" el mismo meridiano terrestre. La época sideral es el ángulo entre el equinoccio vernal y algún me ridiano terrestre: Si éste es el meridiano de Greenwich, entonces la época es el tiempo sideral de Greenwich ( TSG). La época solar es rigurosarnente relacionada con la época sideral por una fórmula matemática. El tiempo sideral es el parámetro que rela ciona los sistemas terrestre con los celestes •.
1.3 SISTEMAS
DE
COORDENADAS
EN GEODESIA.
Las coordenadas de una estación se determinan con respecto a las coordenadas de otra estación haciendo una o más de las siguientes cuatro categorías de mediciones: Direcciones, distancias, diferencias de distancias y alturas. Las mediciones angulares, Horizontales y Verticales entre dos estaciones sobre la tierra ( como por ejemplo las medidas por un teodolito) son las direcciones terrestres. Las medidas angulares entre una estación sobre la tierra y la posición de un satélite ( como por ejemplo por fotografía del satélite contra el fondo de las estrellas)son las direcciones del satélite. Las medidas entre una estación sobre la tierra y una estrella ( como por ejemplo las medidas por apuntamiento directo del teodolito sobre la estrella ) son las direcciones astronómicas. Las distancias entre dos estaciones sobre la tierra ( como por ejemplo las medidas con instrumentos de medición electromagnéticas ) son distancias terrestres.
19
INEGI. Sistemas de Coordenadas en Geodesia
La Geodesia es el estudio de la forma y el tamaño de la tierra y la determinación de las coordenadas de puntos sobre o encima de la superficie de la tierra.
Las distancias entre una estaci6n sobre la tierra y una posici6n de satélite ( como por ejemplo las medidas por rayos laser ) son distancias de satélite. Las mediciones de la diferencia en distancia entre una estaci6n sobre la tierra y otras dos estaciones ( como por ejemplo las medidas por sistemas de posicionamiento Hiperb6lico ) son diferencias de distancias terrestres. Las medi ciones de la diferencia en distancia entre una estaci6n sobre la tierra y dos posiciones de satélite ( como por ejemplo las medidas por sistemas integrados de desplazamiento doppler ) son diferencias de distancia de satélite. Todas estas mediciones determinan las relaciones geométricas entre estaciones y son la base de la Geometría Geodésica ( e. g. Bornford 1962 ). Diferencias de altura geométrica y levantamientos gravimétrl cos son mediciones referidas a las diferencias de potencial en el campo de gravedad de la tierra y son el objeto de la Geodesia Física ( e. g. Heiskanen y Moritz 1967 ). La relaci6n funcional entre estas medidas y las coordenadas de las estaciones hacia y desde donde las cuales fueron hechas, e~ tá incorporada en un modelo matemático. Una soluci6n única para las coordenadas desconocidas puede obtenerse por la aplicaci6n del proceso de estimaci6n mínimos cuadrados ( Wells y Krakiwsky 1971 ) a las mediciones y al modelo matemático.
INEGI. Sistemas de Coordenadas en Geodesia
Los detalles sobre sistemas de coordenadas como los emple~ dos para Geodesia terrestre y de satélite pueden encontrarse en Veis ( 1960 ) y Kaula ( 1966 ) y para Astronomía Geodésica en Mueller ( 1969 ).
20
2.0 SISTEMAS
DE
COORDENADAS
TERRESTRES.
En este capítulo discutiremos los sistemas de coordenadas terrestres geocéntrico y topocéntrico. Discutiremos primero los sistemas geocéntricos terrestres usando solamente coordenadas cartesianas y considerando en detalle lo que significa " El eje de rotación de la tierra " y " El Meridiano de Greenwich " luego se describe la relación entre las coordenadas cartesianas y curvilíneas. Se discuten los datums geodésicos. Finalmente son considerados los sistemas topocéntricos terrestres dando atención a lo que entendemos por " Supe~ ficie de la tierra " •
SISTEMAS GEOCENTRICOS TERRESTRES. En la introducción se estableció que para los sistemas geocéntricos terrestres:
c). -
d). -
El origen está cerca del centro de la tierra. El polo primario está alineado con el eje de rotación de la tierra. El eje primario es la intersección entre el plano primario y el plano que contiene al meridiano de Greenwich. Los sistemas son de mano derecha.
La última especificación no tiene ambiguedad,. Como veremos, las otras tres son ambiguas. Discutiremos primero los problemas para definir el eje de rotación de la tierra y el meridiano de Greenwich. Luego discutiremos las traslaciones del origen desde el centro de la tierra.
21
INEGI. Sistemas de Coordenadas en Geodesia
a). b). -
2.1.1
MOVIMIENTO POLAR Y ROTACION IRREGULAR DE LA TIERRA.
Pensamos de la tierra como que gira sobre un eje fijo a una velocidad uniforme. En la realidad, el eje no está fijo y la velocidad no es uniforme. Hace más de setenta años se descubrió que la dirección del eje de rotación de la tierra se mueve con respecto a la superficie de la tierra. Este moviemiento polar se debe principal mente al hecho de que el eje de rotación de la tierra y la iner-cia máxima no coinciden. El movimiento resultante es irregular pero más o menos circular y en sentido contrario a las manecillas del reloj ( cuando lo vemos desde el norte ), con una amplitud de unos cinco metros y un período principal de 430 días ( llamado el período del Chandler). Dos organizaciones internacionales, el Servicio Internacional del Movimiento polar ( SIMP ) y la Oficina Internacional de la Hora ( OIH ) R utinariamente miden este movimiento a través de observaciones astronómicas; el SIMP con cinco estaciones a la misma latitud y la OlH a partir de unas cuarenta estaciones distribuidas por todo el mundo. Los resultados son publicados como las coordenadas del verdadero eje de rotación con respecto a un punto de referencia llamado Origen Internacional Convencional ( OIC ) el cual es la posición promedio del eje de rotación durante los años 1900-1905 ( IUGG ( 1967 ) Bull. Geod. 86, 379 ( 1967 ). Resolución 19 ).
INEGI. Sistemas de Coordenadas en Geodesia
La figura 2-1 muestra el movimiento polar durante 1969, determinado por el SIMP y la OlH. fuce unos treinta años fueron descubiertas otras irregularidades en la rotación de la tierra ( distintas al movimiento polar,).
22
5
Enero 1969,
Diciembre 1969
,,
I
I
~.~----------------+-------~r---+-------------+---+--------+---
15 (metr~
Hacia el Meridiano 90° de Long. Oeste)
10
5
Ole
\ \
,,
5
10 metros FIGURA
2- 1
MOVIMIENTO
POLAR. x
Hacia Greenwich )
23
INEGI. Sistemas de Coordenadas en Geodesia
y
Existen tres tipos de irregularidades; variaciones estacionales, probablemente debidas a cambios climatológicos o a mareas terrestres; de crecimiento secular debido a fricción por mareas y fluctuaciones irregulares ( Mueller 1969 ). La variación estacional es la única de estas que se tomaen cuenta por ahora y es más o menos reproducible de año en año. Produce un desplazamiento a lo largo del ecuador de hasta quince metros con respecto a un punto que gira uniformemente a través del año. ( Ver figura 2-2 ). Debido a esta variación estacional, el meridiano de Greenwich ( el plano que contiene el eje de rotación de la tierra y el centro del instrumento de tránsito del Observatorio de Greenwich) no gira uniformemente. El meridiano ficticio cero, que gira uniformemente ( en lo que concierne a los efectos del movimiento polar y de la varia ción estacional ) es llamado el Observatorio Medio o Meridiano Astronómico Medio de Greenwich. Su localización es definida por la om.
2.1. 2. SISTEMAS TERRESTRES INSTANTANEO y PROMEDIO.
INEGI. Sistemas de Coordenadas en Geodesia
El Sistema terrestre promedio ( T. P. ) es el sistema ideal de coordenadas mundiales ( Ver fig. 2-3 ) a). -
Su origen está en el centro de gravedad de la tierra.
b). -
Su polo primario es dirigido hacie el Ole ( el polo Norte promedio de 1900 - 1905 ) Y su plano primario es el plano perpendicular al polo primario y contiene al centro de gravedad de la tierra ( el plano ecuatorial promedio ).
c). -
Su plano secundario es el plano que contiene al polo primario y al Observatorio Medio.
24
+ 10
O
rnetros - 10
Ene
A bril Julio OcL
ne 1968
1967
2 - 2
Posición de un punto que se mueve uniformemente a lo largo del Ecuador, menos la posición del punto sobre el Ecuador actual INEGI. Sistemas de Coordenadas en Geodesia
.
FIGURA
25
Eje de Rotación de la Tierra.
z Polo Terrestr Promedio \.
I/{
'1/
Meridiano medio de Greenwich
""7¡_
Centro de
11
INEGI. Sistemas de Coordenadas en Geodesia
Yo
FIGURA
2 - 3
x SISTEMAS
DE
COORDENADAS G EO DE SICAS.
26
TERRESTRES
Y
La intersección de estos dos planos es el polo secundario o eje primario. d). -
Es un sistema de mano derecha.
Podemos definir entonces el vector de Posición Ri de un punto de la tierra " i " en término de sus coordenadas cartesianas x, y, z, como:
R¡
[~J
-------
2-1
T.P. El sistema terrestre Instantáneo ( T. l. ) se define como sigue: a). -
Su origen está en el centro de gravedad de la tierra.
b). -
Su polo primario es dirigid9 hacia el eje verdadero de rotación de la tierra ( Instantáneo ).
c). -
Su eje primario es la intersección del plano primario y el plano que contiene al eje de rotación verdadero y al Observatorio Medio.
La característica principal de estos dos sistemas es que son sistemas Geocéntricos que tienen sus orígenes en el centro de gra vedad de la tierra y el eje de rotaci6n de la tierra como su poloprimario. Por medio de matrices rotacionales ( Thompson 1969; Goldstein 1950; Wells 1971 ). las coordenadas de un punto referidas a un sistema terrestre instantáneo son transformadas al sistema pr~ medio por la[x]ecuaCión siguiente: ( Ver Fig. Y
z T.P
= R
2
- x P ) R 1 ( - Yp
27
2-4[~\
~J
_____
T.l
2-2
INEGI. Sistemas de Coordenadas en Geodesia
d). - Es un Sistema de Mano Derecha.
y
y +-----------------~ OlC
OIC
x, ~,
P
p
0- - - - - - - - - - - -
Yp
Des pués de R 1 (- y p )
Polo terrestre instantáneo
x
x F lG URA
2
-
4
INEGI. Sistemas de Coordenadas en Geodesia
TRANSFORMACION DEL SISTEMA TERRESTRE INST ANTANEO AL SISTEMA TERRESTRE PROMEDIO,
28
Donde ( X P , y p) están expresadas en Arco Segundo y las matrices de rotación son: ) =
[~
(~Yp)
~
Cos Sen - y ) ] -Sen ( - Yp ) Cos : - / p ) Con una rotación ( negativa) en el sentido de las manecillas del reloj. alrededor del eje de las 11 x 11 y : Cos ( - y p) O - Sen ( - y p )] R2 (- X p ) = O 1 [ Sen ( - X p ) O Cos ( - X p ) R1
(- y
p
O
Con una rotación ( negativa) en el sentido de las manecillas del reloj. alrededor del eje de las 11 y" La inversa es:
[~]
T.I
T. P.
y por la característica Ortogonal de las matrices rotacionales esto es:
-1 R (
e ) =
T
R
(e ) =
R
(-
e );
[G
Tenemos
J.
-
-
2-3
T.P
En términos de coordenadas Cartesianas, denadas Geodésicas ( G ) es un sistema tal el a la tierra de manera que sus tres ejes estén paralelas a los correspondientes tres ejes del promedio. ( Ver Fig. 2-3 ).
29
el Sistema de Coorcual es introducido coincidentes con o sistema terrestre
INEGI. Sistemas de Coordenadas en Geodesia
2.1.3. SISTEMAS GEODESICOS.
La primera situación define un sistema Geodésico Geocéntrico mientras que al segundo sistema no geocéntrico es re ferido comúnmente como un sistema Geodésico Relativo cuya relaci6n r;on el s istema terrestre promedio está dado por las tres componentes de traslaci6n del Datum.
y
en forma de ecuaci6n vectorial, la relac:i6n es;
Donde el vector de posici6n Geodésico, esto es;
ri está referido al sistema
r"1
y
+
m
G - - - - - - - 2-4
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Una explicaci6n más detallada de como el sistema Geodésico Relativo es establecido dentro de la tierra corresponde hacer ahora ( Secci6n 2.3 ) pero antes de hacer esto sería muy útil revisar las relaciones entre coordenadas Cartesianas y curvilíneas.
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2.2 RELACIONES ENTRE COORDENADAS CARTESIANAS Y CURVILINEAS.
En esta Sección describiremos primero las coordenadas cartesianas ( x, y, z ) y curvilíneas ( Latitud, Longitud, cota para un punto sobre el Elipsoide de Referencia. Desarrollaremos expresiones para su vector de posición en términos de varias latitudes. Finalmente la transformación de coordenadas Geodésicas ( cp.).. h ) a ( x"y,z ) Y sus inver sas, serán discutidas.
2.2.1 COOHDENADAS, CARTESIANAS y CURVILINEAS DE UN PUNTO SOBRE EL ELIPSOIDE DE REFERENCIA.
El ficie de rotación 2 -5 ).
elipsoide específico usado en Geodesia como una superReferencia es un elipsoide de revolución formado de la de una elipse sobre su semi eje menor " b 11 ( Figura El semi eje mayor 11 a " y el achatamiento f = a - b
2-5
a Son los parámetros que definen al elipsoide de referencia. Otros parámetros muy útiles asociados con este elipsoide particular son la primera exentricidad 2 a 2 - b2 2-6 e = 2
y
la segunda excentricidad.
(e')
2
2-7
=
Un sistema de coordenadas cartesianas es sobre puesto al elipsoide de referencia. ( Ver figura 2 -5 ) de manera que
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a
z
Plano Meridiano
z
~-----l~--.
Elips e ( f1 P + f 2 P
=2 a ) Plano Ecuatorial
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F IGUR A ELIPSOIDE
DE
2
-
5
REFERENCIA
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y ( A=90")
a). -
El origen del sistema cartesiano es centro del elipsoide.
b). -
El polo primario ( eje Z ) del sistema cartesiano es el semi eje menor del elipsoide. El plano primario es perpendicular al eje primario y es llamado plano ecuatorial.
c). -
Cualquier plano que contenga el semi eje menor y corte la superficie del elipsoide es llamado un plano meridiano. El plano meridiano particular elegido como el plano secundario es llamado el plano meridiano de Greenwich. El polo secundario ( eje X ) es la intersección del plano ecuatorial y el plano del meridiano de Greenwich.
d). -
El eje Y es elegido para que forme un sistema de mano derecha y des cans e en el plano ecuatorial 9 Oo en sentido contrario a las manecillas del reloj, del eje X.
La ecuación de este elipsoide en términos de coordenadas cartesianas es:
.
-T X Donde
X
T
1
X
SE
[X Y 1
- - - --
2-8
z] O
O
a2
O
2 X + a2
-;2
O
O
O
1 b2
Y
2
Z
-
2-9
2
b2
1
- -- -
2-10
La latitud de un punto es la menor distancia angular entre el plano ecuatorial y la normal al elipsoide que pasa por el punto medido en el plano meridiano del punto. La línea perpendicular del elipsoide a un punto es llamado la normal elipsoidal de ese punto.
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SE
1
O
Las normales al elipsoide solamente pasan a través del centro geométrico del elipsoide en el plano ecuatorial o a través del semi eje menor. Por lo tanto hay dos clases diferentes de latitud. El ángulo entre la normal del elipsoide al punto y del plano ecuatorial es llamado latitud Geodésica El ángulo entre la línea que une al punto con el centro de la elipse y al plano ecua torial es llamado latitud Geocéntrica IJI Hay también una ter-cera latitud, usada frecuentemente como una conveniencia matemática, llamada la latitud reducida {3 • ( Ver figura 2-6 ).
cp.
La longitud A de un plano meridiano es la distancia angular en sentido contrario a las manecillas del reloj entre el plano merl diana de Greenwich y el plano del meridiano del punto, medido en el plano ecuatorial ( Ver figura 2-5 ). La altura elipsoidal h de un punto es su distancia líneal sobre el elipsoide, medida a lo largo de la normal elipsoidal al punto ( Ver figura 2-8 ).
2.2.2. - EL VECTOR DE POSICION EN TERMINOS DE LA LATITUD
GEODESICA.
Consideremos a un punto P sobre la superficie del elipsoide. La coordenada de P referida a un sistema con el eje primario ( denotado X':< ) en el plano meridiano de P son:
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- - - - - 2-11
El plano perpendicular a la normal del elipsoide en P, y De la pasando a través de P es llamado el plano tangente a P. figura 2 -7 la pendiente del plano tangente es:
k= dx
Tan(90 o
+
'P)=-
COSI"O
Sen~
34
---------2-12
z
Q
NORMAL ELIPSOIDAL
a
.¡, LATITUD GEOCENTRICA '1' LATITUD GEODESICA {3 LATITUD REDUCIDA p Q. R.
PUNTO ACTUAL PUNTOS PROYECTADOS
FIGURA
2
LATITUDES
35
-
6
VARIAS
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O
z +
t------+.l.~;:_4--_t----------===.......::,.-'f>--.... x':<
F IG UR A
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LINEA
TANGENTE
2
A
36
-
LA
7
ELIPSE
MERIDIANA.
La pendiente puede también calcularse de la ecuación de la elipse meridiana, como sigue: 2 2 ( X:') z + - - = 1 - - - - - - 2-13 b2 a2 2 2 b (X·j2 + 02 z2: 02 b - - - - - - - - - - - - - - - - 2 - 14 2b2
x.
dX· +202 zdz =0 - - - - - - - - - - - - - 2 - 1 5
...!!- = _
b2 X" _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2 _ 16
02
d XII
Z
Enseguida de las dos ecuaciones que se tienen para la pendiente tenemos Z
b x· _ cos p
=e2 N sen
cP
En esta ecuación solamente desconocemos
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