23. Tiempos de Trabajo

En estos problemas, un a o más personas, grupos, máquina s u otras otras cosas que pueden realizar un trabajo, dem oran un cierto tiempo en terminarlo, y las las cues tiones o interrog antes se refieren a la form a en que este tiempo puede determinarse determinarse a partir de cierta informaci información. ón. La metodología a emplearse requiere el dominio de las fracciones, el planteo de ecuaciones y un poco de habilidad para efectuar operaciones algebraicas, cuando sea necesario.

La Ia relación se basa en considerar un trabajo terminado como la unidad y una  par  p arte te de él c o m o u na frac fr ac c ión ió n . A sí: día puede haces Si un trabajo trabajo puede terminarse en // días, en un día

 j j- del trabajo.

Al hacerse esta afirmación se supone que el trabajo se realiza realiza a un un ritmo constante.

Ejemplo 1: Una tubería puede llenar una piscina en cuatro días. ¿Cuánti >K; ra llenar en un día '  Resolución: Utilizando n = 4 en la relación, tendrem os que: Fracción que llena en un d ía   = j de la la piscina piscina La 2* relación trata sobre la realización de un trabajo cuando intervienen dos ó más elementos:

El trabajo total realizado es i*¡ual a la suma de las tracciones del trabajo hechas por cada traba jado jador. r. Ejemplo 2: Si un trabajador A hace 1/3 de un trabajo diariamente, y un trabajador B hace 1/4 del trabajo en el mismo tiempo, halle el trabajo que hacen entre los dos durante un día.

536

 Arm  A rman ando do Tori 

 Razona  Raz onamie miento nto Matem Ma tem ático áti co Práctic Prá ctico o

Resolución: De acuerdo a la 2^ relación: Trabajo Trabajo realizad realizadoo por por los dos = ^ + -^ -^ = y ^ + y 3^ = p7 PROBLEMA TIPICO DE TRABAJO Martínez pinta una pared en seis días   y García puede pintar la misma pared en 3 días.  ¿En cuánto tiempo pintarán entre los dos dicha pared? Resolución: Según la la 1a relación , M artínez en un dí a  puede pin tar ^ de pared y G arcía ^ de pared. Ahora, de acuerdo con la 2JíLrelación, entre los dos en 1 d ía  podrán pintar: 1 ^ 1 - 1±1 _ 1 3+ 6 ~ 6 ~ 2 dí a   se Si en 1 día se puede pintar ^ de la pared , toda la  pare  pa redd se p ue de p in ta r en 2 días.

Rpta : 2 días M étodo dire cto : Co nsiste en resolve r la ecuación:

donde a  es el tiempo tiempo que d em ora M artínez, b el tiemp o que d em ora G arcía y .v el tiem po que demoran en tre los los dos: Al resolver (sin (sin re em pla za ra y b ), se obtiene: que es un un resultado útil útil y con vien e reco rdarlo. Dando valores:  x

=

6 •3

I¡ I ¡S

a =

= -g-g- = 2

6 ; b — 3 .

 x

=

ab + ^ 

tendre m os : ,, . , ,, R pta : 2 días

1.- Trabajando solo, Beto pue de h ace r un trabajo en 4 horas. Con la ayuda de Pepe bastarían 2 ^ horas. ¿Cuánto demoraría Pepe trabajando so lo?  A) 4,5 h

B) 5 h

C) 6  h

D) 3 h

E) 7,2 h

Resolución: Trabajando solos -cada uno por separado- Beto y Pepe demoran 4 h y *x* horas respectivamente; mientras que trabajando juntos demoran 2 ~ , entonces se debe cumplir: I + l- = - L 4 -v 9 2 9 1 9 1 * = 20 ' 4

Es decir :

=* Í = l o

* = 5

Por lo tanto, Pepe demoraría 5 horas trabajando solo.

RP TA . B

2.- A hace un trab ajo en 3 días, B hace el mism o traba jo en 5 días y C lo puede hac er en un tiempo igual al prom edio de los otros dos. ¿En cuánto tiempo hacen el mism o trabajo los 3 jun tos?  A) 2 Í días '5

B) 2 1 días 2 

C) 2 días

7

D) 1^ 3 días 47

E) 1 días 35 

PUCP 92 - 1

Resolución: A demora 3 días;  R demora 5 días  y C demora el promedio de 3 y 5. Consideramos que el promedio aludido es la media aritmética, entonces C demora: (3 4- 5) 4- 2 = 4 horas. En cada hora  hacen ^ ; i v ^ respectivamente, luego lo que hacen juntos en una hora es: 1 + 1 , I _ 2 0 4 12 4 15 _ 4 7 3 5 4 60 60 Si en 1 día hacen ^

del trabajo, entonces demoran ó

1

4/

días

4 7 ^ 0

=

RPTA. D

3.- Juan pued e h ac er un trabajo en 9 días. Si Carlos es 50% más eficien te que J uan. ¿En cuántos días haría Carlos el mismo trabajo?  A) 131 2

B) 4 *

C) 6

D) 7

E)

UNMSM  - 93

538

Razonamiento Matemático Práctico

 Armando Tori 

Resolución: Sí Juan hacc un trabajo en 9 días, entonces cua ndo trabaje al 50% de su capacidad, demoraría el doble de nempo, es decir: 18 días. Esto significa que, el tiempo de Carlos equivale al tiempo combinado de dos personas, que demoran respectivamente 9 y 18 dtas.  Si este tiempo es v , planteamos: 1+ 1 ^

Resolviendo:

1 ^ =>

Según este resultado, Carlos demoraría

9

+

= [

u/tW A n  x  = 6 RPTA. C

6 dios.

4.- Un caño puede llena r un tanque en 12 horas. Tres hora s de spué s de ab rir este caño, se abre otro caño sup leme ntario más peque ño que s i actuara s olo, llenaría el tanque en 24 horas. ¿Cuánto tiempo demorará en llenarse el tanque a partir del momento en que se abre el caño más grande?  A) 15 h

B) 12 h

C) 9 h

D) 10 h

E) 18 h

Resolución: En cada hora, el primer caño llena ^

del tanque y el segundo ^

.

Durante las 3 primeras  Itorns actúa solo el primero y luego durante n horas  adicionales los dos juntos. Entonces: 3 horas  del primero + u horas de los 2 juntos —* Tanque lleno = 1

Resolv iendo :

\

+ n .

= 1

24

4

n

= 6

Como n  son las horas  adicionales, el tiempo total scr.í: n + 3 =

9 h

RTTA. C

5.- Un tanque de petróleo se llena en 4 horas abriendo la válvula A y se descarga en 5  horas operando la válvula B. ¿En cuánto tiempo se llenaría si el operador comete el  error de dejar abierta la válvula B ?  A)

1 29 q

h.

B> 20 h

C) 9 h

Resolución: En cada hora.  A llena ~ v com o B es de desagüe, él descarga 1

D) 19 hE)

20 h

Tiempos de Trabajo

539

Cuando ambas válvulas actúan simultáneamente, en cada hora  la fracción neta que se llena es: 4

* 5 = “2 0“ “ 20   dcl tancluc

Esto significa que tod o el tanque se llena en

20 horas

RPTA. E

 N o ta: Cua ndo participen desagües o conduc tos de salida, consideraremos con signo negativo la fracción de trabajo que les corresponda. 6 .‘

A y B pueden hacer un trabajo en 2 dias; B y C en 4 dias y A y el núm ero de dias que A nec esita para hace r el trabajo es:

 A) 1

B) 3

C) 6 

Cen 2 > días. Entonces

D) 12

E) 2,8 

Rcsojucjóp:

Llamaremos a , b v c  al número de días  emplead os p or A, B V C respectivame nte para hacer  el trabajo cada uno po r separado. Entonces 1 , 1 y i son las fracciones de trabajo que cada uno puede hacer en 1 día. Como A y B emplean dos días  para hacer todo el trabajo, en un día , entre los dos harán y de todo el trabajo, es decir se cumplirá:

Y razonando del mismo modo, se deberá cumplir que: 1 + 1

=

b * C -

1

.1

4

+ 1 =

’a + c

_ I

=

J l

2 2/ s

12

Sumando todas las ecuaciones tendremos:  _ 6 + 3 + 5 12

2 a =>

1 + 1 + 1 - 1_  . a b e 12 ’ ó i

Despejandon, se obtiene:

a

A trabajando solo, dem oraría

a

+ 1 = 7 4 12

= 3 3 dias

RPTA. B

7.- A puede h ace r un trab ajo en 10 dias; B pue de h ace rlo en 5 dias y C en 2 dias. El prim er  dia A trabajó s olo; el segu ndo día se le unió B y el terce r día trab ajaron los 3. ¿ Cuántos días se demoraron en terminar el trabajo?  A) 2 2 1

B) 3

C) 2 ±

D) 2 3 4

E) N.A.

UNALM 92 - II 

540

 Armando Tori 

Razonamiento Matemático Práctico

Resolución: Debemos entender que luego del se gundo día  trabajaron los tres juntos, entonces llamaremos  x  al número de días después del ingreso del tercero: El Ia día,  A realiza ^ El 2^ día , A y B realizan ] q +

5

Luego, A, B y C realizan [ j o + 5  + 1:) 1 * La suma total debe ser igual al trabajo com pleto, q ue se representa po r la unidad

(1).

í b + ( l W ) + ( w + 5 + 2 ) - JC* 1 Resolviendo, se obtiene x  = 3/4, lo cual significa que sólo se utiliza 3/4 del tercer día  y el tiempo total es : 1 2 3 8 

RP TA . D

Dos bombas A y B llenan un tanque en 6   horas. SI la bomba A fuese de desagüe se tardarían 18 horas en llenarlo . SI el tanque tiene un grifo de desagüe que pu ede vaciarlo en 54 horas. ¿En qué tiem po llenará la bomb a A el tanque si la bom ba B actúa com o de desagüe y se abre además el grifo de desagüe del tanque?

 A) 27 h

B) 36 h

C) 81 h

D) 192 h

E) Nunca

UNALM 93 • /

Resolución: Sean a horas y b horas  los tiempos que demoran A y B respectivamente en llenar el tanque  por separado. Según la inform ac ión dada, se pueden plantear las siguientes ecuacio nes: 1 + 1 a

b 

= 1

.

6 ,

.1 + 1

De estas dos ecuaciones se obtien e:

«

¿r

n =

= 4

18

9

»

Í = 9

Lo cual indica que si B fuese de desagüe, la bomba A llenaría menos de lo que sale por B, es decir nunca se podría llenar el tanque. RPTA. E 9.- 20 obreros son contratados para realizar un trabajo de 15 días trabajando 8   horas diarias. Después de 5 días de labo r enferman 9 obreros y 10 días desp ués de iniciad o el trabajo se CONMINA al co ntra tista para que e ntregue el trabajo en la fecha que se ha fijado previamente. ¿Cuántos obreros adicionales tendrá que tomar para cumplir tal  exigencia?  A) 16

B) 18

C) 20

D) 29

E) N.A.

UN FV  - 80

Tiempos de Trabajo

541

Resolución: Durante los 5 primeros días  avanzan 4 de la obra. En los 5 días   siguientes,los 11 obreros restantes harán  primeros días , es decir :

de lo que hicie ron en los 5

20 ^ = 60

En 10 días el avance es de: 3l + IA ✓Á de la obra. 60 = 60 t • s que faltan ^  29 de la obra y 5 días ; además cada obrero avanza De esto últim o deducimo ^

en los 5 días , esto significa que hacen falta

29 - 11 =

18 o br er o s

RPT A. B

10.- Un gran jero puede trabajar un cierto terreno c on una rap idez tres veces m ayo r que la de su hijo. Trabajando junto s, invierten 6  hora s en realiza r la labor. ¿ Cuá nto dem oraría el hijo trabajando s olo?  A) 12 h

B) 24 h

C) 16 h

O) 18 h

E) N.A.

Resolución: Como el tiempo es inversamente proporcional a la rapidez, demorarán: el padre  x horas y el hijo 3x horas. 1 + -L = 1 * 3* 6 ,4 = i => 3-v 6 El tiem po que dem ora el hijo es:

3,v = 24

24 horas

RPTA. B

11.- La rapidez con que trabaja A es tres veces mayor que la de B. Los operarios A y B empiezan a traba jar jun tos durante 4 horas, al cabo de los cuales A se retira y con tinúa solo B, que termina el trabajo en 2 horas. Hallar el tiempo que tardará B en realizar  todo el trabajo s i actuara él solo.  A) 22 h

B) 15 h

C) 12 h

D) 18 h

E) 9 h

Resolución: Sean f v 3 1   los tiempos que tardarían A v R respectivamente, trabajando solos; entonces seeún los datos se tendrá : 4 horas  de A y B + 2 horas de B - trabajo comp leto

542

 Razonamiento Matem ático Práctico

 Armando Tori 

3r  18 =

B solo, dem orará 3f =

3/

=>

f =

18 horas

6

RPTA. D

12.- El obrero B tarda 6 horas más que el A en efectuar un trabajo. Hallar cuánto tiempo tardarían en realizarlo cada uno de ellos sabien do q ue junto s, invierten 4 h en terminarlo.  A) 4 h y 10 h  E) N.A.

B) 6 h y 12 h

C) 8 h y 14 h

D) 12 h y 18 h

Resolución: Según los datos se sabe que : Tiempo que demora A :  x Tiempo que demora B :

horas

(x   +

Entre los dos dem oran : 4

6)

horas

horas

r  = 4Entonces se *plantea la ecuación :  x +  —\~ x + 6  4

Efectuando y transponiendo términos :

 x 2  -

2* - 24 = 0

Factonzando :

(.v - 6) (x   + 4) = 0

Igualando a cero cada factor :

 x

A demora 6 hy B dem ora

= 6

12 h

;  x — - 4 RPTA. B

13.- Un caño llena un recipiente en  x horas y un desagüe lo vacia en la mitad del tiempo. Si el recipiente estuviera lleno en su tercera parte y se abriera al mismo tiempo caño  y de sa gü e. ¿E n cuánto tiem po qued ará vacio el re cip ie nt e?  A) 1 h 30 min

B) ^ h

C) ^

h

D) ^

h

E) 1 h

Resolución: El caño demora  x horas; el desagüe demora : y horas.  Esto significa que en cada hora, actuando juntos se desagua :

-7 7

- ^

72 Llamemos n al número de deberá verificarse que :

horas

que demorarán en evacuar la tercera parte, entonces

=*

, , = 3 

rpta b

Tiempos de Trabajo

543

14.- Dos opera rios A y B se com prom etieron a realizar un trabajo en 40 horas. A l empeza r  la novena hora de trabajo se retira A y B lo continúa, terminándolo en 12 horas más de lo estipulado en el compromiso. Si en lugar de B, A lo hubiese continuado solo. ¿Cuántas horas adicionales a lo estipulado habría em pleado?  A) 85 h 20 min

B) 117 h 20 m in

D) 117 h 15 min

C) 117 h 40 min

E) 85 h 40 min

Resolución: Supongamos que el tiempo que demora A es a horas, y , B es b horas. Luego por condición del problema debe cumplirse que :  —+ a

Además :

8 (J +

- = — b 40

+ (40 + 12 - 8 ) . £ = 1

Resolviendo (1) y (2 ):

a

=

;

b =

(1)

{ ' 

...(2) 55

Luego de las 8 horas de trabajar A y B juntos, A contin úa solo y em ple a« horas en culminar el trabajo, luego deberá cumplirse que : 8 .X Resolviendo :

n  =

+ (4 0 . 8 + » ) . ? JL_ = l 85 h 20 m in

RPTA. A

15.- Dos obreros emplean 25 horas, si trabajan separadamente cada uno para hacer la mitad de una obra, pero s i trabajan juntos , no em plean más que 12  horas en hacerla completamente. ¿Cuánto demora e l más rápido en hacer él solo el trabajo?  A) 30

B) 24

C) 20

D) 40E)18 

Resolución: Sean.v c v los tiempos que demoran por separado en hacer la mitad de la obra. Entonces para la obra completa se demoran 2v v 2y.  Entonces se pueden plantear las siguientes ecuaciones: a* + v = 25 ; ¿ T + ^ Resolviendo, se obtiene :

a* =

15 ;

El más rápido dem orará : 2 • 10 =

= í

2

v = 10 20 horas en hacer él solo el trabajo.

R P TA. C

16.- Tres máquinas P. Q y R, trabajando juntas, pueden hacer un trabajo en x horas. Al  trabajar sola, P necesita 6  horas adicionales para hacer el trabajo; Q una hora adicional  y R, x horas ad icionales . El valor de x es:  A) |

B)

C) |

O) 2

E) 3

544

Razonamiento Matemático Práctico

Arman do Tori 

Resolución: Los tiempos que dem oran P, Q y R p or separado son : 6) y , 2v respectivamente. Asimismo el tiempo cuando trabajan juntos es x entonces deberá cumplirse que : (. y

+

;

(a * +

1 ) ,

 _L_ + —L_ +l

s l

x+1

 x + 6 

Efe ctuando:

2x

x

3iv2 4- 7x - 6 =

De aquí la solución positiva es :

0 2

= ^

 x

;

RPTA. A

17.- A demora en hacer un trabajo m veces el tiempo que dem oran B y C jun tos : B demo ra n veces el tiempo que C y A ju nt os y C demora x veces el tiempo que d emo ran A y B  ju nto s. Luego, x en fu nció n de m y n es :

4» 2m n

R)

m+n

1

n

' 2 i m - n )

1

m

' m +n-m n

- ^ m n __  1  ___  m + n ± 2    m n

1 

 f í   m + n ' 2 mn - 1

Resolución: Si los tiempos que demoran A, H y C son : rt, b , c  ; entonces de acuerdo con los datos se debe plantear que : ( 1*1 n

_ J. ÍI + I N . ,->,1 = 1 íi + 1^ . tn [b

c ,

Al resolver, se obtiene

1

b

:

n {c

.y

=

n J 

+

mn

’

^

c

x

(n

+

 y

y

RPTA. E

+ -

-1

18.- Una cisterna pued e llenarse po r dos tub erías en 33 ^ minu tos. Si la tubería más gran de tarda 15 minu tos menos que la pequeña en llenar la cisterna; ¿Hállese en qué tiem po se llenará po r la más pequeña ?  A) 75 min

B) 72 m in

C) 60 min

D) 90 min

Resolución: Cuando trabajan juntas, llenarán :

-j: + —   X -  10 A

Efectuando :

4------------ v '  x - l S    100

La ecuación se transform a en :

22 1

3v~ - 245* + 1 500 = 0

De aquí la unica solución admisible es ;

.y = 75

RPTA. A

E) 45 m in

Tiempos de Trabajo

545

19.- Dos tuberías tardan 6  h en llenar una piscina. Una sola la llenaría en 5 horas men os que la otra sola. ¿ Cuánto tardará la de mayor caudal en llenar la piscina ?  A) 20 h

B) 10 h

C) 15 h

D )1 2 h

E) 24 h

Resolución: Sean .v v (a; -5 ) los tiempos que demoran po r separado, luego por condición del problema se debe cumplir que : 1 + - L = 1 x  - 5 6

 x

Efectuando :

 x 2

- 17 x   + 30 = 0

Factorizando:

(x -  15) (x - 2) = 0

La solución admisible es:

= 15

 x

La de mayo r caudal dem ora :

 x -

5=

10 horas

RPTA. B

20.- Dos fáb ricas A  y B. se comp rom eten a entregar un pedido en 12 días. Después de dos días la fábrica A cierra para efectuar unas reparaciones, mientras que la fábrica  B sigue funcionando normalmente. Sabiendo que  B tiene un rendim iento del 6 6  ^ % de  A, dete rm in ar en cuanto s día s se completará el ped ido.  A) 36

 B) 30

C) 24

D) 18

E) 27 

Resolución: Transformando el rendim iento porcentual a fracción, tendremos : 66 \

2

66 3% ” Too- “ 3

2

En cuanto a tiempos, este resultado se interpreta asi : A demora 2v, y , B demora 3.v; luego debe cumplirse que :

JL+ X =±  2x

Resolviendo :

3x

12

Ar o.v = 12

 x

= 10

En cada día A hace: Y R hace: • Luego, al cabo de 2 días de trabajar juntos, B emplea n días en culminar el pedido, debiendo verificarse que : 2 ' ( ¿ ) + ¿ )) + " • 30

El pedido se entrega a los :

=1

-(-2 = 25 +2 =

=*

n

= 25

27

días

RJ’TA. E

546

Razonamiento  Matemático Práctico

 Arma ndo Tori 

21.~ Se ha calculado que 750 metros de una zanja pueden ser excavadas en 10 dias. Si 7  obreros hicieron 350 metros y po steriorm ente con 5 ayudantes co ncluye n la obra en el plazo fijado; los días trabajados po r los a yudantes s on :  A) 4

B) 5

C) 6 

D) 7

E) N.A.

U N FV -8 7 

Resolución: De los 10 dúis, durante  x días participaron 7 obreros v los (10 -  x ) días restantes participaron : 7 -I- 5 = 12 obreros. De los datos se puede establecer que : 7 obreros ... 350 metros  ...

 x

días

12 obreros ... 40 0 metros  ... (10 - x) días De la 1“ - línea, deducimos que 1 obrero en 1 día   hace : De la 2 ^ línea, cada obrero en 1 día hace :

metros

.— r metros 12 (10-x)

Estas expresiones deben ser iguales : 4 ^ = )

)

Resolviendo :  x  = 6 ; esto indica que los ayudantes trabajaron : 10-.v=

4 días

RPTA. A

22.- Una cua drilla de 35 obrero s pued en term inar una obra en 27 días. Si al cabo de 6   días de trabajo se les incorpo ra un cierto núm ero de obrero s de otra cuad rilla de mo do que en 15 días más se termina la obra. ¿Cuál es el número de obreros de la segunda cuadrilla que se inco rporó a la obra ?  A) 10

B) 14

C) 12

O) 13

E) 16

UNFV - 8 8 

Resolución: Un obrero en 1 día puede hacer : de la obra. 1 35 * 27 Durante 6 días trabajaron 35 obren» v durante 15 días  trabajaron (35 -I- ti)  obreros, siendo n el número de obreros de la segunda cuadrilla. Entonces podemos plantear : 6 ' 35 ‘ 35* 27 + 15 ’ (35 + => =>

* 35 • 27 = 1

6 • 35 4- 15 (35 + w) = 35 • 27 15 (35 4 n ) - 735 n

=

14

RPTA. B

Tiempos de Trabajo

547

23.- Un capataz contrata una obra que debe term inar en 30 dias. Al inic iar la obra con 10  obreros trabajando 6   horas diarias, trans cu rrido s 20 dias han realizado el 50% de la obra. ¿Cuántos obreros adicionales se requieren si decide aumentar la jornada a 8  horas diarias para termina r en el plazo seña lado?  A) 10

B) 15

C) 5

D) 8 

E) 20

PUCP 92  - II 

Resolución: Con 10 obreros, trabajando 6 boros diarias, en 20 dias, se realiza el 50% de la obra, entonces el otro 50% se hará con (10 + n)   obreros, trabajando 8 horas  diarias y en 10 días. Igualando lo que hace en cada caso un obrero en 1 hora  diaria, se tendrá: 50% _  ___ 50% 10 -6 -20 (ÍO+w) -8-10 Resolviendo :

n

= 5

RPTA . C

24.-3 homb res y 11 muc hacho s hacen un trabajo en 12 días. D os homb res y 2 mu chac hos hacen el mismo trabajo en 36 días. ¿En cuántos días hace el mismo trabajo un solo muchacho?  A) 96

B) 102

C) 192

D) 144

E) 196

PUCP 92  - /

Resolución: Asumiremos que un solo muchacho puede hacer todo el trabajo en.v días, mientras que un solo hombre lo hace en v días. Entonces planteamos:

3 "v + ^

= L2

2. \ + 2 . ~ Resolviendo :

* = 192 días

..... (1) ......(2)

RF l'A . C

25.- Un caño llena la p-é sim a pa rte de un tan que en "n " h or as ; un desagüe desocupa la q-ésima parte del mismo tanque en "m" horas. ¿Cuánto se demorará en llenar  el tanque, si se abren ambos dispositivos en forma simultánea? mnpq ' mq  + np

m npq ’ mq - n p

m npq  ' np m q

Resolución: El caño en n horas llena : 4 ; en 1 h llenará :

—L-

El desagüe en w horas  vacía —; en 1 h vacía : q &

—Lm  í   ]

 P

11P 

'7P_m q - n '

m npq

'

m n pq

548

Razonamiento Matemático Práctico

 Arm ando Tori 

Si el tanque se llena en  x horas,  con el caño v el desagüe operando simultáneamente, se deberá cumplir que : J  _____ l _  = 1 ti p

mq

x

tit n Va  x =  — ~ m q —np

Resolviendo:

RPTA . B

26. -A es el doble de eficiente que B. si ju nt os pued en hac er un traba jo en 12 días. ¿ Cuánto tiempo le tomaría a A hacerlo sólo?  A) 18

B) 19

C) 20

D) 21

E) 22 

Resolución: A vale por dos B, luego :  juntos : 3 B ............ demoran

12 días

Sólo A : 2 B ........... demora  x Resolviendo la R3S (inversa) :

 x

=

2 — 18

R PT A . A

27.- Dos obreros A y B pueden hace r una obra en 6  días; B y C en 4 días y A y C harían la misma obra en 3 días. ¿En qué tiempo haría la obra C sólo? B )4 1

 A) *

C)S*

0 )1

E) |

Resolución: Sean/i, b ye  los días que dem oran A, B y C en hacer cada un o por si solo, la obra en cue stión, luego planteamos : A y B en 6 días :

I + 1

B y C en 4 días :

1 + I c /;

A y C en 3 días :

1 + I

Sumando las 2 ultimas : Reemplazando la primera Resolviendo, ob ten em os :

a

a

1 b •

1 b - 6 1 4  _

c

Ì 3

+ 1a + 2c - i

+

1 + 2 7 6 c “ 12 c

= 24 = i>

4 _4 días n

RPTA . B

549

Tiempos de Trabajo

28.~ A pu ed e h ace r un trabajo en 10 dias; B pu ed e h acer lo en 12 dia s y C en 15 días. El prim er  día A só lo inicia el traba jo, al tercer día se le un e B. luego en el sex to días se les u ne C y trabajan los tres hasta terminar la obra. ¿C uá nto s d ías d emo ra la obra?  A) 4 día s

B) 5 día s

C) 6 días

D) 7 d ía s

E) 8 días

Resolución: En el diagram a pod em os apreciar los días que han trabajado A, B y C :

2

A i Inicio

B i

-—

3

*

C

x —

 x

1=Fin de la obra

t

(5 +  x )   días de A + (3 +  x )   días de B +  x  días de C = obra terminada. (5

. |q

+  x)

R es olvien do :

+

(3

+  x ) . J 2

■1 5

= ^

30 -I- 6  x   + 15 + 5 a* + 4 .v = 60

La ob ra demora :

2 + 3 + 1=

6

RPTA. C

días.

29.~ Un grifo pu ed e llenar un esta nq ue e n 8 horas y otro en 12 hora s m ientras q ue un tubo de d esa gü e lo vacía en 15 horas. C uando el tanq ue está lleno hasta 1/3 de su altura se abren los do s grifos y el desa gü e durante una hora. ¿ Qué fracción del de pó sito quedará al final sin llenar?  A i

 A)

—

45

o

j

a

' 30

29 ' 43

n i

31

c i

' 40

32

' 43

Resolución: En cada hora los grifos y el desagüe efectúan : -g  ; ^ r* . i» .2 . Durante 1 hora los 3 juntos :

del trabajo.

1^.1 1 15 + 1 0 - 8 17 12 * 15 = 120 ~ = P 0

s

1 17 57 3 + 120 “ 120

Llenado hasta el momento :

Falta por llenar :

y-

1- ^

^

RPTA. D

30.- Tres brigadas d e ob reros pu ed en hacer una zanja: la primera en 9 días, la seg un da en 10 día s y la tercera en 12 días: si se e m plea a la vez 1/4 de la primera, 1/3 de la seg un da ,  y 3/4 de la tercera. ¿En cuánto tiem po s e haría la zanja ?

550

Razonamiento Matemático Práctico

 Armando Tori 

Resolución: ^ de la 1" dem ora

:9

X

4

= 36 días.

de la 2a*demora : 1 0 x 3 = 30 días. C de la 3ri demora : 12 x | = 2 0 días. Sea T el tiempo que demora n las

3 juntas :

+ 20 = T

^

T = 9 días.

RPTA. E

31.- Una cuadrilla de 35 obrer os p ue de n terminar una obra en 27 días. Al cab o d e 6 días de trabajo se les junta cierto núm ero de o breros de otro grupo, de m odo que en 15 días terminan lo que falta de la obra. ¿C uántos obrer os eran del seg un do grup o?  A) 10

B) 14

C) 12

D) 9

E) 8

Resolución: Al cabo de 6 días, aún queda n 2 7 - 6 = 21 para term inar los que falta; entonces : los 35 obreros, terminan en 21 días los (35 +  x ) obreros, terminaran en 15 días )

R 3 S (inversa)

.v = 14 Del segundo grup o eran

14 obreros.

RPTA. B

32.- Una cuadrilla de 120 obrer os inician una obra q ue p ue de n c ulminar en 36 días. Al cabo del vigé sim oquin to día se retira la doce ava parte de la cuadrilla, para finalizar la obra. ¿Cuántos días más se necesitan?  A) 12

B) 13

C) 14

D) 15

E) 16 

Resolución: Al cabo de 25 días, faltan 36 - 25 = 11 días. Los 120 obreros se reducen a : 120 -

= 110 obreros.

Allora planteamos una.R3S £inversa j : 120 obreros ........ 110 obreros

.............

11 días .v  X

\ í

x

=

12011 = 12 días más. 110

RPTA. A

Tiempos de Trabajo

551

33.- Se ha calculado que 750m de zanja pueden ser excavados en 10 días: si 7 obreros hicieron 350m y seguidamente con 5 ayudantes más concluyen la obra en el plazo  fijado, lo s días trab ajad os por lo s ayudante s so n :  A) 1

B) 5

C) 3

D) 4

E) N.A.

Resolución: *

«

7 obreros ....... 350 metros .......  x   días 12 obreros ....... 40ümettvs .......   ( 1 0 - * ) d í a s * Resolviendo la R3C :

7 . 400 . x  = 12 . 350 . (10 -  jc) 2 x = 30 - 3*

Los ayudantes trabajaron :

=>

10 -* = 4 días

 x = 6

RPTA. D

34.- Doce obreros inicialmente pensab an en hacer una obra en "n" dias, si de sp ué s de haber  realizado la mitad de la obra. 8 de los obrer os au me ntaron su rendim iento un 25% con lo cual el tiempo total de trabajo fue de 13 días. Hallar "n".  A) 10

B) 11

C) 12

D) 13

E) 14

Resolución: 1.os doce obrero s han re alizado la mitad de la obra en y días, la otr a mitad la hacen "los demás" :n (13 - y ) días. Si 8 obreros aume ntan su rendimiento en 25% , equivalen a 8 x 125% - 10 obreros, entonces la 2J ' mitad la hacen 10 + 4 = 14 obre ros de rendim iento normal. 12

1 4

2

—

...........

12 . |

= 14 ( l 3 - f )

......................

w = 14

RPTA. E

35.- Una cuadrilla de obreros puede acabar un trabajo en 15 días trabajando 10 horas diarias, de sp ué s de trabajar 7 días, 5 obreros s e retiran y no so n r eem plazad os si no al cabo de 3 días. ¿ Cuán tos obreros habrán de contratarse para pode rac ab are l trabajo en el plazo determinado?  A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

552

Razonamiento Matemático Práctico

 Arm ando Tori 

Resolución: El trabajo que 5 obreros no hicieron en 3 días, lo harán los (x)  obreros que se van a co ntra tar , en 15- (7 + 3) = 5 días. 5 obreros .......   3 días 1 >  x   o b r e r o s ....... 5 días

.v =

5.3

3

=

_ , 3 o b rero s RPTA. C

11.- Una cuadrilla de 21 obr eros p ue de n terminar un trabajo en 30 dias, s i al cab o d e 18 dias de labor se retiran 10 de los obreros y 6 días más tarde se le comunica al  contratista para que entregue el trabajo en la fecha fijada previamente. ¿Cuántos obreros adicionales tendrá qu e tomar para cum plir?  A) 10

B) 20

C) 30

D) 40

E) 50

Resolución: Se retiran Se con tratan 10 obreros  x  obreros r ----- --------s /------- ^ ------- \  —|-------------------------------------------------------------1----1-------- 1-------0 18 24 30 días El trabajo que debieron hacer 19 obreros en 6 días , lo deben hacer a*obreros en el mismo tiempo, luego a* = 1 0 . Se deben reponer los 10 obreros que se retiraron y contratar 10 más, para cumplir con el  plazo; es decir 20 obrero s. RPTA. B 12.-12 costurera s pu ed en hacer un tejido en 23 días trabajando 3h por día . d es p ué s d e 5 días se retiran 2 costureras y 6 días de sp ué s s e contratan   "n" costureras adicionales  para terminar a tie mpo . Hallar el valor de "n  A) 1

B )2

C) 3

D) 4

E) 5

Resolución: El trabajo que 2 costureras debiero n hacer en 18 días, lo deben hacer V costureras en: 23- (5 + 6) = 12 días.  Así : 2 costureras ...... 18 días [ n  costureras .......   12 días I

11 12

RPTA. B

553

Tiempos Je Trabajo

 PROBLEMAS PROPUESTOS   NIV EL A 1.- Josc puede hacer una obra en 5 días. ¿Qué  parte de la obra puede hacer en  x día s? A)Jt/5

B ) 5/.r

C)5.v

D )5 -. v E) N.A.

2.- Luis hi/o 3/5 de una obra en 6 días. ¿Que  parte de la obra hizo en un día? A) 5/2 B) 2/3 C )3 /8

D) 6/5 E) 1/10

3 - Carlos puede hacer los 3/8 de una obra en 2 1/8 días.   ¿Que parte de la obra puede hacer en 2 días ? A) 2/17 B) 17/8

C )6/7 D )6 /1 7E )N .A .

4.- Ricardo puede hacer una obra en .v días. Carlos puede hacer la misma obra en y días. Si trabajan juntos. ¿En cuántos días harán la obra?

D)

E) N.A.

5.- Roberto puede hacer una obra en 5 días  y Eduardo puede hacerla en 10 días.  ( Que  parte de la obra pueden hacer en  x día s ? A)  x/5 B)3v/5 C) 3.v/IO D) x/10 E) N.A. 6.- Si 4 hombres en un día  pueden hacer 8/15 de una obra. ¿Cuánto hace un hombre en un d i a l   A )32/15 B) 15/32 C)2/I5 D )4/15 E)N.A. 7.- José puede hacer una obra en 10 días y Pablo podría hacerla en 15 días.   Si traba  jase n los dos juntos. ¿En qué tiempo lo  podrían hacer? A) 7

B)

C) 5

D) 4

E) N.A.

8.- Raúl puede hacer una obra en v días. Ri cardo podría hacerlo en Zr días   y Carlos dem oraría 3.v días. Si trabajasen los 3 jun

tos. ¿Cuántos días   demorarán para hacer toda la obra?

A ) TTt

C ) ¿L D ) ^

EIN.A.

9.- Un hombre reali/a un trabajo en 6 horas. Su hijo realiza el mismo trabajo en 12 horas. ¿Cuánto tiempo tomará realizar el mismo trabajo si lo hacen juntos? A)4/í

B)9 h  C ) 6 h 

D)3 h E) 12 h

10.- Juan en 2 días  puede hacer 4/7 de una obra, pero Roberto en 3 días   podría ha cer 2/5 de la misma. Si trabajan juntos. ¿Cuántos días   demorarán? a

, To5

b

>T 4

c *35

d> B

e >n a

 NIV EL B 11.- A pensó hacer una obra en 9 días.   Des  pués de haber trabajado 4 días  llegó B en su ayuda y hacen lo que falla en 2 días. Si B trabajase sólo. ¿En cuántos días haría la obra? A) 6

B) 7

C )8

D) 9

E) N.A.

12.- Un canal llena un po /oen 4 horas y olro lo vacía en 6 horas. ¿En qué tiempo se llena rá el pozo si se abre el desagüe una hora después de abrir el canal de entrada? A) 10 h

B) 12/7 C )I 3A

D )9 /f

E) 11 h

13.- Una bomba demora 10 horas 25 minu tos  para llenar un reservorio. Cuando el tanque está lleno hasta 1/5. se malogra la bomba y su rendimiento disminuye en 1/3. ¿Cuánto tiempo tardará la bomba en llenar el reservorio? A) 13:25

B) 14:35

D) 12:30

E) 14:25

0

11:12

554

 Razonamiento Matemático Práctico

 Armando Tori 

14.* Un depósito puede llenarse por un luho en 2 horas  y por (»tro en 3 horas, y  des aguarse por otro en 4 horas.  El depósito se llenará con los tres tubos abiertos en:

20.- A. B y C trabajando juntos realizan una obra en  Adías. A y B la realizan en 7 días. A y C juntos en 8 días. ¿Cuánto tiempo se demorarán B y C juntos?

A) 12/7 horas

B) 10 horas

A)4 1/13 días

D)  A l i \1 días

D) 1 hora

E) N.A.

B) 4 4 /13 días

E) N.A.

C) 11/7 horas

15.* Las máquinas Mf  y  M, tienen la misma cuota de producción semanal operando 30 horas y 35 horas respectivamente. Si M, trabaja 18 horas y se malogra debien do hacer M, el resto de la cuota. t.Cuántas horas  adicionales debe trabajar M,? A) 12

B) 14

C) 16

D) 18

E) 20

16.- Una llave para agua puede llenar una pis cina en 3 horas . mientras que otra llave lo puede hacer en 4 horas,  asimismo un desagüe puede vaciarla en 5 horas  ¿En cuánto tiempo se llenará la piscina si se abren las tres válvulas al mismo tiempo? A) 40/13

B) 60/23

DI 2 1/7

E) N.A.

C) 3 1/2

17.- A > B pueden hacer un trabajo en 2 días; B y C en cuairo días; A y C pueden ha cer el mismo trabajo en 2 2/5 días. En tonces el número de días  que A necesita  para hacer el sólo el trabajo es: A) 1

B) 3

C) 6

D) 12

E) 2.8

18.- Un ayudante de mecánico rcali/a una obra en el doble de tiempo que el mecá nico. Ellos eslán trabajando junios por 2 horas, cuando el mecánico se relira. y el ayudante termina el trabajo en 1 hora. ¿Cuántas horas   tomaría al ayudante ha cer el trabajo sólo? A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

19.- Un estanque es llenado por 2 gritos, el  primero lo llenaría en 6 horas y el segun do en 5 horas. El tiempo en que se llena ría estando abiertos los 2 grifos a la \e / es: A» 4 horas

B) 5.5 horas   C ) 2 8 / l l horas

D> Más de 5 horas

E) N.A.

C)45/I3 días 21.- Un caño llena un lavadero en 6 minutos, ¿En cuánto tiempo se llenará el lavadero con otro caño, 50% más eficiente? A) 3’

B)4'

0 5

D)6

 E)9' 

22.-A y B pueden hacer un trabajo en 12días; trabajan juntos durante 4 días,  luego se retira "B" y "A" termina loque falla en 20 días. ¿En cuántos días haría "B" todo el trabajo trabajando solo? A) 24

B)25

C)20 D)30E)3

23.- Un niño se demora 8 horas en hacer con arena un cubo de }dm . de arista: habiendo avanzado la mitad de su trabajo se le pide que el cubo sea de 9dm. de arista. Si con tinúa trabajando durante 104 horas  más, ¿Qué parte del nuevo cubo habrá cons truido? A) 3/8

B) 1/2

C )l/3 D)2/3

24.-Un trabajador demora 5 horas y 20minutos  para construir una pared. Cuando ya ha construido hasia los -jr de dicha pared, el trabajador se lesiona y su rendimiento disminuye en . ¿Cuánto tiempo tardará  para hacer toda la pared? A >4:14 25.-

B)5:20

C)6:24

D)6:I0 E)N.A.

Un grifo pueden llenar un estanque vacío en  Hhorasy oirogtifodemoraría I  Ihoras. mientras que una llave de desagüe puede retirar'todo el contenido en 6 horas.  Cuan do el estanque está lleno hasta los 13/160 de su capacidad se abre el primer grifo y dos horas después el segundo y una hora después el desagüe y. luego de ún tiempo se cierran las tres llaves quedando vacío

Tiempos de Trabajo

555

i

'  N horas diarias. ¿Cuál es el número N é oble ros. si al duplicarse hacen la mis ma obra en 72 horas"!

1/8 del tanque. ¿Que tiempo funcionó el  primergrifo? A) 1:03 B)5:50 C)I0 :20 D)8:00 E) 11:03  NIVEL C

A) 12

26.- Un obrero A puede hacer una obra en 20 dias  y B puede hacerla en 15 días. Si tra  bajan juntos A y B durante 3 dias  y lue go se retira A. ¿Cuánto tiempo empleará B en hacer lo que falta de la obra?

3 1.-Un hombre y dos mujeres pueden hacer un trabajo en 6 días.  Determinar el tiempo necesario para que 2 hombres y 1 mujer  puedan hacer un trabajo que es el cuádru  ple del anterior, sabiendo que el trabajo de 2 hombres es equivalente al de 3 mujeres.

A) 8 días  B) 9 3/4 dias D) 12 días

C) \0 días

E) 13  MAdías

B) 24

A) 2 1dias D) 1I días

C) 36

D) 48

B ) 20 días E) 30 días

E) 60

C ) 65dias

27.- Un caño A llena un estanque en 16 horas, un caño B lo hace en 12 horas   y un des agüe lo vacia en 24 horas. Determinaren que tiempo se llenará el estanque, a partir del instante en que se abre la llave A, si estando vacío el estanque se abren las . llaves A. B y C sucesivamente en interva los de 2 horas.

32.- Un grupo de obreros pueden terminar una

A) 9 horas

B) 9.6 horas

A )9

D) 8.5 horas

E) N.A.

C) 8 horas

28.- Se ponen a pastar dos caballos: uno blan co y otro negro. Al cabo de 4 horas reti ran al blanco y el negro comió todo el resto en 2 horas.   Si se hubiera retirado al negro, el blanco habría comido todo el resto en 6 horas.  ¿En cuántas horas se comería el negro todo el pasto? A)5

B) 6 1/2 C)7

D)7 1/3

B) 24

O 44D) 0

E) 20

30.- Si N es el número de obreros que pueden hacer una obra en

N jdías,  trabajando

B) 15

012

D)6 E) 18

33.-U nacuadrillade 15 hombres se compromete a terminar en 14 días cierta obra. Al cabo de 9 días sólo han hecho los 3/7 de la obra. t.Con cuántos hombres tendrán que ser reforza dos para terminar la obra en el plazo fijado? A)21

B) 18

C)I5

D)30

E) 12

34.-Un a

brigada de obreros se comprometi construir un puente, y fallando 30 días  para culminar la obra 4 de los obreros se retiran \ no son reemplazados hasta den tro de I Odias. ¿Cuántos obreros se contra taron para reem plazarlos, si se terminó la obra en el plazo establecido?

E)8 1/4

29.- Una obra debía terminarse en 30 dias; empleando 20 obreros, trabajando 8 ho  ras diarias. Después de 12 dias  de traba  jo se pidió que la obra quedase termina da 6 días   antes del plazo y así se hizo. ¿Cuántos obreros se aumentaron, tenien do presente que se aumentó también en dos horas el trabajo diario? A) 4

obraen 20días, trabajando Choras diarias Al final del octavo día se retiran 8 de los obreros y 4 días más tarde se conmina al contratista a entregar la obra en el plazo fijado previamente. ¿Cuántos obreros más se deberán contratar para cumplir con tal exigencia?.

A)2 35.-

B)3

C)4

D)6

E)8

Trabajando durante 10 horas  diarias du rante 15 dias. 5 hornos consumen 50 tone ladas de carbón. ¿Cuántas toneladas de carbón sería necesarias para mantener tra  bajando 9 horas diarias durante 85 días 3 hornos más?

A)204 B)408 C)4I2 D)402 E)226

556

 Razonam iento Matematico Práctico

 Arma ndo Tori 

 NÚ\IEROS CUADRADO -PIRA\II D VLES Estos números aparecen al contar los elementos de una pirámide cuya base sea un cuadrado de n unidades por lado  y  que contendrá, por lo tanto, n'~ elementos; la capa encima de ésta, tendrá : (n - Ie le m en to s; la superior inme diata (m- 2):. y la última constará solamente de un elemento. El número total de objetos contenidos en la pirámide formada lo dará, la suma; V-  +

2: +  y   + ... + /r 

La expresión general para esta suma lúe deducida por los pitagóricos, y es la siguiente : n {n -   1)(2n

+ 1)

6

De este modo, podemos afirmar que los primeros nú meros cuadrado-pirámidales son los siguientes ; I ; 5 ; 14 ; 30 ; 55 ; 91 ; ... Y su generación esquemática se muestra en la  Fig. 1. OBSERVACION.- C orno las pirámides triangulares ocu  pan relativamente mucho espacio, no se las utiliza. a menos que el número de objetos por apilar sea pequeño. Aun asi las de base cuadrada son más ventajosas como se muestra en la  Fig. 2.  f i g  2 Desde los pitagóricos son bien conocidas otras seríes de números figurados o piramidales, generalización natural de los que acabamos de enumerar. Así están los números pentagonales,  cuya sucesión comienza asi:

1 : 5 : 12 ; 22 ; 35 ; 61 ; 80 ; ... Los pitagóricos consideraban al número  como un elemento natural, presente en todas las cosas > ligando las cosas entre s í . Todas l a s relaciones entre las cosas, se pensaba entonces,  pueden describirse mediante los números enteros. Como si ellas estuviesen formadas por «pun tos materiales» cuva v orden caracterizase su naturaleza. Es fácil imaginar la conmo• distribución » w eión que en este marco de ideas supuso la aparición de los segmentos inconmensurables, tales como el lado y la diagonal de un cuadrado, que por no encajar en este concepto originó el número «irracional». La elaboración lógica de la teoría del número irracional es ya del tiempo de EUDOXIO