23-Iniciación Al Algebra

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Colección: MATEMATICAS:CULTURAY APRENDIZAJE

t4. Proporcionalidad geométrica y sonrc.i¿rtrzil Crupo Beta

15. Poliedros l. Area de conocimiento: didáctica de las matemáticas Angel Gutiérrez,BemardoGómez Alfonso, JuanDíaz Godino,Luis Rico Romero

2. Números y operaciones Luis Rico Romero,EncamaciónCastroMartínez,Enrique CastroMartínez

Cregoria Guillén Soler

16. Una metodología activa y lúdica para Ia enseñanzade la geometrÍa Angel Martínez Recio, Francisco Juan Rivaya

17. El problema de la medida Carmen Chamorro Plaza, Juan M. Belmonte Gómez

3. Numeración y cálculo BernardoGómez Alfonso

4. Fracciones SalvadorLlinares Ciscar,M." Victoria SánchezGarcía

5. Números decimales;por qué y para qué Julia CentenoPérez

6. Números enteros JoséL. GonzálezMarí, M." Dolores Iriarte Bustos,Alfonso Ortiz Comas,InmaculadaVargasMachuca,ManuelaJimeno pérez,Antonio Ortiz Villarejo, EstebanSanzJiménez

7. Divisibilidad ModestoSierraVázquez,Andrés García,M! T. Conzllez Astudillo. Mario ConzálezAcosta

18. Circulando por el círculo FranciscoPadillaDíaz, Arnulfo SantosHernández,Fidela Velázquez, Manuel FernándezReyes

19. Superficie y volumen M." Angelesdel Olmo Romero,FranciscaMoreno Caretero, FranciscoGil Cuadra

20. Proporcionalidaddirecta M.'Fortuny Aymémi M."LuisaFiolMora,José 21. Nudos y nexos.Redesen la escuela Moisés Coriat Benarroch,JuanaSanchoGil, Antonio Marín del Moral, Pila¡ Gonzalo Martín

22, Por los caminos de la lógica Inés Sanz Lerma, Modesto Arrieta Liarramendi, Elisa Pardo Ruiz

ll. Itr, haciendouso de eselenguaje,'estructurado de acuerdocon su gramática. Como resultaevidenteque,'lamatemáticano puedeprescindirdernuestro idioma, parece acertado asaljzar aspectosde éste que suelen afectar al lenguajede las matemáticas. Algunos problemas y dificultadel que encontramos en la enseñanzade las matemáticas no sorlen realidadinherentesa ella,sino que aprendizaje problemas de nuestro constituyen lenguaje.Obviamente,el conocimientode para lenguaje no bastará resolver estosproblemasque planteanlas nuestro matemáticas.Esto se debe a que las matemáticastienen un lQnguajepropio generalmentereconocido,aun admitiendoque su sistemad'e símholosy terminologíasno son propiedaó.dela matemáticamisma y que ella pueda y descritaen una variedadde lenguajes, en parte,porquelas ser.presentada palabrastienenpará las matemáticast¡n significadomuy prbpié y a menudo distinte del que comúnmentese les atribuye. Por ejemplo, en la frase que las palabias:distancia,recta,punto y longitud, anteriormenJc, mencienamos cual, difiere del que podemosatritienenun significadomuy especíhco,'él nacela necesidad buirlesen nuestrolenguajeordinario.De estainsufrciencia de generarsuspropiaspalabrasy reglaspara lograr decir de las matemáticas aquelloque le compet€,y que en el lenguajehabitualno es posibledecir,o,

(Porv,t, 1965,p^9. 133.) Los Auronrs

ll

10 rEL,

cuando lo es, resultasumamentecomplicadoy complcjo.Esto es precisamentelo que haceque las matemáticas tenganun lcnguajediferentede aquel que le suministranlas palabrascon que se exprcsa. La importanciacapital de considerarcomo propio el lenguajede las matemáticas, no radica únicamenteen su capacidadpara describirmuchos de los fenómenosde caráctercuantitativoque sucedena nuestroalrededor, sino también,fundamentalmente, en que constituyeel único lenguajecapaz de describiry hacercomprensiblela matemáticamisma.

en cuantoa si el lenguajeprecedeo sucedeal desarrollodel concepto,esque muchosde los tests relativosa éste,en especiallos de Piaget,dependen considerablemente de la comprensióny uso del lenguajepor el niño. No parecequedarclarihcadoel lugar del lenguajeen el desarrollode los pero la idea de que el lenguaje,y particularmente conceptosmatemáticos, el lenguajeoral, es una parte esencialde esteproceso,sí pareceestar perfectamenteestablecida. Ahora bien,lo que si estásuficientemente admitidoesque un objetiuoprincipal de la educaciónmatemáticaes capacitar a los niños para expresarsusideasmatemáticasverbalmente. Esto incluyela capacidad paraescuchary para hablarsobrematemáticas, asícomo para leery escribir sobreellas. La adquisicióndel lenguajey de los conceptoses un procesodinámico, no es un modelopasivode aprendizaje. La comprensióny uso del lenguaje por el niño varía segúnla implicaciónen la situaciónen que se usa, y la interpretaciónque dicha situacióntengapara é1. Es esencialque el alumno y el profesordiscutanlos variossignificados e interpretaciones de las palabrasy frases,con lo que el profesorestá en por sí mismo coherentemente. condicionesde ayudar al niño a expresarse AusrrN y HowsoN (1979)sugierenque en los últimos veinte años el desarrollocurriculár en'matemáIicasha hecho necesariauna mayor comprensiónlectora por parte de los ,alumnos,y opinan que no se presta suficienteatenciónen asegurarse de que el nuevo vocabulario-aun no habiendouna concienciageneralde la necesidadde introducirlo- es en realidad entendido.Además señalanque existe un verdaderopeligro en simplificarlas formas verbalesen orden a facilitar su lectura.Mencionan estudiosque sugieren,por ejemplo,que ciertosesquemas de aprendizajeque empleanhchasde trabajo, pp.edenusar un vocabulario básicoen una forma muy limitada,creandoasí barrerasal desarrollodel lenguajede los concepy restringi4ovocabulario,usadofiecuentemente tos. También,un específico en textos y exámenes,tiende a reforzar(animar) a los alumnos . Los trabajosde investigaciónsobreel papelque desempeña el lenguajeen el aprendizajede las matemáticasson bastantelimitados como indican Ausrr¡¡ y HowsoN (1979)ya que éstees un tema de interésrelativamentereciente.

1.2. EL LENGUAJE Y LA FORMACION DE CONCEPTOS MATEMATICOS ¿Puedeun niño adquirir el conceptode antesde aprenderlos nombresde los números?,o por el contrario,¿debeser animadoa emplear expresiones como ,antesde que tengauna nociónreal de su significado? En la enseñanza de algunostópicosde matemáticas hay que decidirsobre cuál es el momentoadecuadopara introducir el vocabularioy los simbolos apropiados.Sin embargo,el papeldel lenguajeen la adquisiciónde conceptos constituyehoy una verdaderaincertidumbre,a pesardel prolongadoy extensodebateentre lingüistas,psicólogosy filósofosacercade la relación entre lenguajey pensamiento. Pt¡'cer (1926)consideró,al menosen sus primerosescritos,que el lenguajesólo puedereflejar,no determinar,el desarrollodel conocimiento. (lsonr (1974)hacehincapiéen la estrechainterdependencia entrelenguay dcsarrolloconceptual:)o, como expresaCarl Boyer, la

38

x2+5x+7:7+4xt y al-muqabalah da x2+5x: 4x3 Esta obra fue traducida al latín en los primeros años del siglo xrr por Juan de Sevilla y Gerardo de Cremona, y con el tiempo se le llamó simplemente Algebra. El origen del vocablo responde s-atisfactoriamente al contenido real de la cicncia misma. El álgebra comienza en realidad cuando los matemáticos cmpiezan a interesarse por las 0, las raíces de la ecuación vendrian dadas por los números complejosx : +ir/i. Los griegos conocieron bien la parábola y sus propiedades y las otras seccionescónicas.sin embargo, sus proposiciones ibin encaminadas a analizar las relacionesentre las seccionescónicas y las expresiones relativas a dos variables x e !, y no a la solución gráfica de ecuaciones. A Descartes debemos en gran parte la aproximación moderna de la clasificación de las ecuacionespor grado y la ielación de la geometria y el álgebra,.que hacen posible la combinación de los métodos"ulgeur"i"* y geométricos.

realizandoel cambio| :

Y2(Y+l):252 y una vez hallado el valor de y, se reducíael problemaa la soluciónde la ecuaciónfineal citada(y : l2x). Lo que no sabemoses si resolvianla ecuacióncúbicade tipo general ax3+bx2+cx*d:O Hipócratesde Quios (430 a. de C.) fue el primero que observóque el famoso problema griego de la era equivalentea buscardos mediasproporcionalesen proporcióncontinuaentre dos rectas dadas:

9 :!:v

. Ecuacionesde grado mayor que dos comencemos por estudiar las ecuacionesde grado 3, que como es sabido responden a la ecuación general a x 3 + b x 2 + c x Id :0 donde a, b, c, d, son números reales y a + O. 56

l2x, se tiene

xy2a

de donde, x2

u

/2 :

2ax

JI

cardano (1501-1576)describeen su ,4r,sMtrgtru,métodos de solución de ecuacionescúbicas,aunque,tal como él mismo dicc, no fue el descubridorde la solución. Dejando a un lado detallessobre esta historia,pueslos datos son contradictorios, veamosalgunos ejemplosde solución: sea la ecuación x3 + 6x : 20. La resolución de esta ecuación en la forma retórica que utilizaba cardano ocupa varias páginas. con la notación actual, al sustituir x por u - u y u. u : 2,tendríamos (u -u )' + 6 (u -u ):2 0 de donde u3 -

3u2uI

3uu2-

u3 + 6u -

6u :20

u 3 -6 u + 6 u + 6 u -6 u -u 3 :2 0 obteniendo entonces,

Viéte, en el siglo xvII, muestra quc utlit ccuación cuadrática puede reducirse a una ecuación cúbica. Un siglo clcspuósya se conoce que las ecuaciones cuadráticas,cúbicaso cuárticasticncn, rcspcctivamente,2,3o 4 raicesy se comienza a preguntar si este resultado sc pucde extender a ecuacionesde grado superior. La respuestaa esta cuestión nos la da el TeoremaFundamental del Algebra, que afirma: 1 + "' + aú + La primera demostración se debe a Gauss (1777'1855)que la expone en su tesis doctoral. Sin embargo, en ésta quedan algunos aspectosno del todo claros, por lo que Gauss da hasta cuatro nuevas demostraciones. Este problema fue también estudiado ampliamente, entre otros, por D'Alembert (1717-1783),Euler (1707-1783)y Lagrange (1736-1813).En la actualidad se han obtenido varias demostraciones rigurosas de este teorema.

u 3 -u 3 :2 0 Si eliminamos u :

. Sistemas de ecuacioneslineales

?, se tiene

El sistema formado por las siguientesecuaciones,

/a

u, - (,Y \u/

:

es decir, u6 - 23 : 2ou3 ^,

Si, por último, hacemosu3 : t, tenemost2 - 20t - g : 0, de donde : asi:u3 :

l0 + .r/tOS;u3 : /OS

x: /fTF+

l0 * ./i08

- 10,obteniendolinalmente,

1o- V-vlim- lo

lintonces, para el caso general, Cardano expone que la solución de la ccuaci(rnx3 ! px : q, vendrá dada por la fórmula:

ax* bY :c f ¿, +

"y

: fI

'

con

a' b' c' d' e' 'f' números reales

recibe el nombre de sistema de ecuacioneslineales con dos incógnitas. Resolver el sistema consistirá en hallar'las soluciones de ¡ e y, que lo satisfagan.También aquí puede ocurrir que haya una única solución, que no haya ninguna o que sean infinitas. Como hemos ya señalado,fueron resueltospor los babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales como , , o >, Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuacionesen los siguientestérminos: ll4 anchura * longitud :

.Y-

@ 1 3 )" + (q l2 )' -q l2

llstudió también otros casosy cuando se le plantearon problemas con las rrríccsnegativas,las llamó ,argumentando que estos resultados cr¿rn(tan sutilescomo inútiles>.

ó0

longitud * anchura :

7 manos 10 manos

Para resolverlo comienzan asignando el valor 5 a una mano y observaban que la solución podía scr: anchura : 20, longitud : 30. Para compro-

6t

barlo utilizabanun métodoparecidoal de eliminación.En nuestranotación. sería: y * 4x:

28.)

y + x:

101

restandola segundade la primera,seobtiene3x : 18,esdecir,x : 6 e y : -4. También resolvíansistemasde ecuaciones, donde alguna de ellas era cuadrática.Por ejemplo, xl:10

1

9(x - y)' : *'!

Diophanteresuelvetambiénproblemasen los que aparecíansistemasde pero transformándolos en una ecuaciónlineal.Por ejemplo,para ecuaciones, y, x e cuya suma sea20 y la sumade suscuadrados208, hallardos números realizabalos siguientescálculos:

Diophante

Mediante sistemas

. r¡1 0 + x y x l0 -x (1 0+ x )2 + (1 0- x ) 2 : 2 0 8 1 0 0 + 2 0 x t x 2 -1 0 0 - 2 0 x -x 2 : 2 0 8 200+2x2:208 2xz : 8; x2 :4; dedondex : 2

x+Y:20 x2+y2:208 sustituyendox : 20 - ¡ en la segundaecuación, (20 - y)' -f y2 : 208 nos apareceuna ecuaciónde segundo grado.

sustituyendoy por lOlx en la segundaecuación,se tiene: 9x2 -

l8x.l\lx -t 9(l0lx)2: ¡2

quedandodefinitivamente 8xa -"180x2 * 900 : 0 llegandoa la anterior ecuaciónbicuadráticaque sí sabíanresolver.otras veces,lassustitucioneserandeltipox : u I u;y: u - u. Los griegostambiénresolvíanalgunossistemasde ecuaciones, pero utilizando métodosgeométricos.Thymaridas(400 a. de c.) había encontrado una fórmula para resolverun determinadosistem a de n ecuacionescon r incógnitas. La expresión x:

(k, + k, + '.'+

kn_) - s

n-2

Los númerosbuscadosson 8 y 12.Diophantesólo aceptabalas solucionespositivas,pueslo que buscabaera resolverproblemasy no ecuaciones. Utilizí ya un álgebrasincopada,como hemosseñaladoanteriormente.Sin embargo,una de las dificultadesque encontramosen la resoluciónde ecuacionespor Diophantees que carecede un métodogeneraly utiliza en cada problemamétodosa vecesexcesivamente ingeniosos. Los sistemasde ecuaciones aparecentambiénen los documentosindios. No obstante,no llegana obtenermétodosgenerales de resolución,sino que resuelventipos especiales de ecuaciones. (siglom a. de C.), El libro El arte matemático, de autor chino desconocido En ellosenconcontienealgunosproblemasdondese resuelvenecuaciones. tramos un esbozodel método de las matricespara resolversistemasde lineales.Uno de dichosproblemasequivalea resolverun sistema ecuaciones linealespor dicho métodomatricial. de tres ecuaciones Seael sistema 3x-l 2y-f z:39 2x+3y+ z- 34 x-l 2yl3z: 26

permiteobtenerlassoluciones del sistema escribíanla matriz de la siguienteforma: ,r + ,r1 + x 2 + ' .. * rn _ r J+Jrt

-kl

t" \

62

-k2 *

xr-r

:

kn-t

63

y haciendo operacionesentre las columnas cJcla matriz obtenían un sistema más sencillo cuya solución era inmediata:

(2."col. x 3)

(2.^col. x 3." col.)

(2."col. _ 3.. col.)

Al expresaralgebraicamentela condición o condicionesimpuestaspor un problema que trata de determinar cicrtos números, pueden resultar ecuaciones o sistemas indeterminados. La cuestión puede presentar dos aspectos diferentes: las soluciones de la ecuación o sistema planteados convienen al problema, y 2. el enunciado del problema impone ciertas condiciones en virtud de las cuales se determinan o, al menos, se seleccionanlas soluciones. l.

y así sucesivamentehasta

de donde esta última matriz nos proporciona las ecuaciones

362 : 99 ,,5y+ z:24 3x+2y+ z:39 Tengamos en cuenta que la resolución de sistemaslinealesde ecuaciones

Un tipo de ecuacionesrelacionadascon el segundo aspecto señalado son las , llamadas así en honor del matemático griego Diophante, y que son ecuacioneslinealescon distintas variables de coeficientes racionales y con la condición suplementaria de que sólo admiten como solución números naturales y pueden hacerseextensivasa solucionesenteras. (Si se trata, por ejemplo, de número de ciudadanos, no podemos admitir solucionesfraccionarias). Para que una ecuación lineal con dos o más incógnitas y de coeficientes enteros admita solucionesenteras,es condición necesariaque el m.c.d. de los coeficientesde las incógnitas divida al término independiente. En efecto, sea la ecuación lineal A x + By+

. . . + Eu :

F,

A, B, . . . , E, FeZ

si D es el m.c.d. (A, B, ..., E) y designamos por a, b, ..., e los coeñcientes obtenidos al dividir aquéllos por el m.c.d., es decir: A: Da,

B: Db, . . . ,

E: De

la ecuación anterior puede escribirse D(ax -l by + '.. -l eu) : . Ecuacionesdiofánticas Si se tiene una ecuación con más de una incógnita, las soluciones de la misma son indeterminadas. Así, si consideramos la ecuación 5 x + y :3 9 a cada valor que se atribuya a x se le asocia el correspondientevalor de y en la fórmula

!:30-5x 64

¡;

tll

Si esta ecuación se satisfacepara valores enteros de x, y,..., z resultará que para estos valores, el primer miembro de [] es múltiplo de D, luego, necesariamente,si existen soluciones enteras, son tales que F es múltiplo de D. Por tanto, la ecuación diofántica ax * by : c, donde a, b y c son números enteros positivos, es resoluble precisamentesi el m.c.d. de a y á es un divisor de c. Además, si (xo, yo) es una solución, el conjunto de soluciones está formado por todos los pares (xo + tb, lo -

ta),

con t e Z

Una parte considerablede la 0), t43

ayudaa comprenderla justificaciónde la propiedad,puesabarcaun número para cualquier de casosinfinito que posteriormentepodrá ser generalizado número real.

MODELO DE ACTIVIDAD PARA ORCANIZAR UNA SECUENCIA DI DACTI CA

r Objetivos: Utilizar la representación gráfica de productos como rectángulos, para el planteamiento de actividades dirigidas a la adquisición de los mecanismos básicos que permitan realizar productos de expresionesliterales con paréntesis.

5.3. SUGERENCIAS DIDACTICAS A TRAVES DEL LENGUAJE VISUAL El lenguajevisual puedeser utilizado como recursodidácticode apoyo de esto, tanto al lenguajearitméticocomo al algebraico.Como consecuencia planteadasa lo largo de estasecciónseconstruyenapoyándolas actividades nos fundamentalmente en el cuadro 5.3,es decir,considerandoel lenguaje visual y una esquematizacióndel mismo (visualizaciónsimplifrcada)como pasointermedioen el desarrollode cadaactividadalgebraica. Dicho de otra forma, dada una expresiónalgebraicao numérica,el paso previo a su transformaciónvendrá apoyadopor una traducción al lenguajevisual en un primer momento,sintetizadoen un esquemaen el pasosiguiente,que refleja una nuevadimensióndel mismo,para terminar el procesocon la transformación de la exprbsiónalgebraica.

. Nivel: Once a trece años. r Indicación: Se entregan cuatro fichas al alumno. ACTMDAD

1 (de introducción):

4 x 5 podemos representarlocomo el área del rectángulo de dimensiones4 y 5, es decir,

t 4x5 4

CUADRO 5.3 LENGUAJE VISUAL

+ LENGUAJE ALGEBRAICO. NUMERICO

LENGUAJE ALGEBRAICO. NUMERICO

Si se quiere representar4 x b, parecelógico hacerlo así:

VISUALIZACION SIMPLIFICADA (ESQUEMA)

53.f.

Organizaciónde la instrucción

en nivel de difrcultad creciente, Las siguientesactividadessecuenciadas van encaminadas(siguiendoel esquemaanterior) a la adquisiciónde las destrezasnecesariaspara la realizaciín de multiplicacionesde expresiones literalescon paréntesis. 144

ya que la medidade b, al no serconocida,la podemosexpresarpor l-...-¡ ¿Cómopodrias representara x 4?,¿y a x b? ACTIVIDAD 2: Teniendo en cuenta lo que se ha hecho en la ficha anterior, observa que gráficamente? 4 x (5 + 3) se puederepresentar

145

t

ACTIVIDAD 3:

+-5--+