22.Razones y Proporciones

Razonamiento Matemático

247

RAZONES: Se llama razón o relación de dos cantidades al número que expresa la medida de la primera si la segunda se toma como unidad. En otras palabras es el resultado de comparar dos cantidades. Razón aritmética: a  b  r a Razón geométrica:  r b Términos: El primero se llama antecedente y el segundo consecuente. Proporción: Es el resultado de igualar dos razones. Clases: Proporción aritmética: a  b  c  d a c Proporción geométrica:  b d Media aritmética.

a x  xb ab x 2 Media geométrica.

a x  x b x  ab Cuarta proporcional.

a c bc   x b x a Tercera proporcional. a b  b x b2 x a

Elías Cotos Nolasco

Propiedades De Proporciones Geométricas

Razonamiento Matemático

Las

I Si a los cuatro términos de una proporción geométrica se les multiplica por un mismo número o se les extrae la raíz de un mismo índice se obtiene una nueva proporción.

a c 2  2 b d a  b

2

a  c      b d

2

c d

II Toda proporción geométrica puede escribirse de 8 maneras diferentes. a c c a 1)  5)  b d d b a b b a 2)  6)  c d d c b d d b 3)  7)  a c c a c d d c 4)  8)  a b b a III La suma o resta de los dos primeros términos es a la suma o resta de los dos últimos términos, como los antecedentes son entre si o como los consecuentes son entre si. a c ab a b   Si:   b d cd c d La suma de los dos primeros términos es a su resta como la suma de los dos últimos términos es a su resta. IV

a c a b cd    b d a b cd

V La suma o la diferencia de los antecedentes es a la suma o diferencia de los consecuentes como cada antecedente es a su respectivo consecuente.

a c a c a c     b d bd b d VI En toda proporción geométrica la suma o resta de los dos términos de la primera razón es a su consecuente i antecedente como la suma o resta de los dos términos de la segunda razón es a su consecuente o antecedente.

a b cd  a c b d   b d a b  cd  a c VII La suma de antecedentes es a su diferencia como la suma de consecuentes es a su diferencia.

a c a c bd    b d a c bd

1 Sabiendo que la razón de dos números es 7/3 y su diferencia 244. Hallar estos números y dar el menor. a) 182 d) 186

b) 183 e) 184

c) 185

Resolución: Sean los números a y b luego:

248

Elías Cotos Nolasco

a 7 a b 73    b 3 b 3 a b 4  Pero: a  b  244 b 3 Reemplazando tenemos. 244 4   b  183 b 3 a  427 Rpta. 2 La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 5, 3 y 16. Hallar los números. a) 16 y 4 b) 18 y 4 c) 15 y 4 d) 17 y 4

e) 19 y 4

Resolución: Sean a y b los números. a b a b ab   ...........(1) 5 3 16 Componiendo las dos primeras razones. a ba b a b  53 3 O también. 2a a  b  ...........(2) 8 3 a ba b a b  53 3 2b a  b  ...........(3) 2 3 a b ab  Pero se tiene 3 16 Comparando (1) con (2) 2a a  b  8 16 Comparando (1) y (3) 2b a  b   a  16 Rpta. 2 16

Razonamiento Matemático 3 La razón entre la suma de dos números y su diferencia es 5/3. El cociente entre el mayor y el menor es: a) 4 b) 5 c) 2 1 1 d) e) 4 2 Resolución: ab 5  a b 3 3a  3b  5a  5b 8 b  2a 8 a a    4 Rpta. 2 b b 4 Tres números son entre si como 2, 5 y 7 si la suma de estos números es 420. Hallar el mayor de ellos. a) 150 b) 180 c) 210 d) 180 e) 240 Resolución: a b c   k 2 5 7 a  b  c  420 a bc k 25 7 420  k  k  30 14 c  30  c  210 Rpta. 7

a b c d , si a  b  5 ! .    5! 6! 7! 8! Calcular: d  c a) 6 ! b) 5 ! c) 8 ! d) 9 ! e) 7 ! 5 Si

Resolución:

249

Elías Cotos Nolasco

d c  k  d  c  k  8 ! 7 !  .......(1) 8 ! 7 ! ab 5! 1 k kk 5 ! 6 ! 5 ! 1  6  7 K en (1) d  c 

1 7 ! 8  1  7

d  c  7 ! Rpta. 6 Dos números son entre si como 7 es 12 si al menor se le aumenta 70, para que el valor de la razón no se altere el valor del otro numero debe triplicarse, Hallar el mayor numero. a) 150 b) 210 c) 80 d) 240 e) 230 Resolución: a 7 7b  a  ............(1) b 12 12 Del enunciado. a  70 7  3b 12 12a  840  21b.............(2) (1) En (2) 7b  12    840  21b  12  840  14 b

b  60 Rpta. 7 Un jugador de billar “A” se le da de ventaja u otro “B” 40 carambolas para 100 y “B” le da de ventaja a otro “C” 60 carambolas para 100. Cuantas carambolas debe dar A a C en un partido de 100. 8 a) 75 b) 76 c) 7 d) 78 e) 79

250 Elías Cotos Nolasco Resolución: Calcular la media proporcional si la Se va a considerar lo que a cada uno diferencia de los extremos es 75. de los jugadores le falta para a) 10 b) 20 c) 30 completar 100 carambolas. d) 40 e) 50 A 100  Resolución:  B 60  Multiplicando a b  Sea:   dato : a  c  75 B 100   b c C 40  Propiedad: b 2  a.c A B 100 100    2 2 2 2 a  b  b  c  7225 B C 69 40 2 2 2 A 100 a  2b  c  7225  Significa que a C le falta 24 2 2 C 24 2ac  c  7225 Dato: a  para completar los 100.

Razonamiento Matemático

 ”A” le da ventaja 76 Rpta. 9 El producto de los 4 términos de una proporción es 176400, el primero de estos términos es 12 ¿Cuál es el cuarto termino? a) 35 b) 36 c) 37 d) 38 e) 39 Resolución: a c   a  d  b  c...........(1) b d 420 Como: a=12  d  12 a  d  b  c  176400

a  d   a  d   176400

 a  d  2   420  2 a  d  420  d  35 Rpta. 10 La suma de los cuadrados de los cuatro términos de una proporción geométrica continua es igual a 7225.

 a  c  2   85  2 a  c  85 a  c  85  a  80 Se tiene que:  a  c  75  c  5 Nos piden:

2

b  a c 2

b  80  5

b  20 Rpta.

Razonamiento Matemático

251

1 La suma del antecedente y el consecuente de la razón geométrica es 26 ¿Cual es su diferencia si la razón vale 0,04? a) 24 b) 26 c) 28 d) 25 e) 28

7 a b. a) 360 d) 350

2 Cual es la fracción ordinaria que resulta triplicada si se agrega a sus dos términos su denominador. 1 1 1 a) b) c) 2 5 3 1 d) e) N.A 6 3 La relación geométrica entre dos números cuya suma es 65, se invierte si se añade 17 al menor y se quita 17 al mayor ¿Cuál es el menor de dichos números? a) 30 b) 25 c) 35 d) 40 e) N.A

a) 10 4 d) 10 6

4 El producto de los cuatro términos de una proporción es 50625 uno de los extremos es 1/9 del otro y los medios son iguales ¿Cuáles son los términos de esta proporción? a) 15 y 5 b) 15 y 3 c) 15 y 6 d) 15 y 7

e) 15 y 8

5 La suma, la diferencia y el producto de dos números enteros están en la misma relación que los números 7, 1 y 48. Hallar el cociente de los números. a) 1, 3 b) 1, 5 c) 1, 8 d) 1,7

e) 1, 3

6 Siendo a  b  450 ,

a 8  , Hallar: b 1

Elías Cotos Nolasco b) 180 e) 420

c) 185

a b c 8 Si a  b  c  210 ,   Hallar: 3 5 7

 b  30   c  2   a  36  b) 10 3 e) 2000

c) 200

a c 9 Si:  ; a 2  b 2  c 2  d 2  325 . b d Calcular: a  b  c  d a) 27 b) 29 c) 24 d) 30 e) 25 10 Sabiendo que:

a c  ; b d

a  b  c  d  15 Hallar: a  b  c  d a) 20736 b) 21861 c) d) 21963 11 Hallar:

8 3 7 d) 8 a)

21737

e) 20736

a a b b si.  b a b 7 4 5 7 b) c) 3 3 5 e) 2

12 Cuantas proporciones continuas tienen como termino medio 100. a) 10 d) 13

b) 11 e) 14

c) 12

13 La relación de los ángulos agudos de un triangulo de un triangulo rectángulo es 2/3 ¿Cuál es el mayor de los ángulos?

Razonamiento Matemático

a) 36 d) 54

b) 48 e) 52

c) 62

a c  si: b d a+b=40 y c+d=50 ¿Cuánto vale c  d ? a) 37.5 b) 38.2 c) 37.4 d) 38.9 e) N.A 14 Se tiene la razón:

15 El radio de la luna es los ¾ del radio terrestre y el radio del sol es igual a 108 radios terrestres ¿Cuál es la relación de los radios de la luna y el sol? 1 1 1 a) b) c) 398 395 376 1 1 d) e) 392 394

252

Elías Cotos Nolasco

a) 5 d) 20

b) 6 e) 20

c) 10

2015 es la media proporcional de a y 25; 2a es la tercera proporcional de 8 y b, cual es la cuarta proporcional de a, b y 15. a) 15 b) 20 c) 16 d) 18 e) 24 21 Si:

a c  ,  a  b  c  d   729 b d

Hallar: a) 318 d) 8 a 22 Si:  b

ac  bd . b) 38.24 e) 27 c e g   d f h

c) 23

2

16 La suma de los cuadrados de los cuatro términos de una proporción geométrica es 325. Hallar la suma de los 4 términos. a) 18 b) 29 c) 36 d) 35 e) 27

ac a ah  2   33 . Hallar la suma bd f bg de los antecedentes, si la suma de los consecuentes es 15. a) 60 b) 30 c) 45 d) 80 e) 90

17 La razón de dos números es 3/8 y su suma es 2497. Hallar el menor. a) 527 b) 531 c) 691 d) 731 e) 681

23 Dos números están en la relación de 2 a 5, pero agregando 175 al primero y 115 al segundo, los dos son iguales. Hallar su suma. a) 70 b) 120 c) 3140 d) 80 e) 100

18 La razón de dos números es 0,125 si la suma de los términos es 279. Hallar el consecuente. a) 249 b) 248 c) 250 d) 260 e) N.A 19 Si: a+b+c=25 a 6 c    k ; Hallar: “c” 8 b 20

24 ¿Dentro de cuantos años la relación entre las edades de 2 personas será 7/6, si sus edades actuales son 40 y 30 años? a) 45 b) 40 c) 30 d) 25 e) 35 25 La razón de 2 números es ¾ y los

Razonamiento Matemático

2/3 de su producto es 1152 el mayor es: a) 84 b) 36 c) 49 d) 48 e) 45 26 La suma, la diferencia y el producto de dos números, están en la misma relación que los números 4, 2 y 15. ¿Cuál es el mayor? a) 15 b) 16 c) 14 d) 12 e) 18 27 Si:

3

8 

a) 7 d) 2

aa  8  es

es a 10

8 

a

bba  8  como

. Hallar: 5a  8 b

b) 8 e) 1

c) 6

28 En 1979 la razón entre las edades de A y B era de 3/7. Si A nació cuando B tenia 20 años. Hallar la razón de sus edades en 1984? 3 3 1 a) b) c) 2 5 2 2 5 d) e) 3 3 29 Para un partido de 100 carambolas Pedro da a Luís 40 carambolas de ventaja y Luís da a Manuel 60. ¿Cuántas carambolas de ventaja debe dar Pedro a Manuel? a) 50 b) 68 c) 80 d) 76 e) N.A 30 La razón de “p” a “q” es 2:3 y la razón de “r” a “s” es 3:4 ¿Cuál es la razón de ps a qr? a) 8 : 9 b) 1 : 2 c) 3 : 2

253 d) 9 : 8

Elías Cotos Nolasco

e) N.A

31 El radio de la luna es los 3/11 del radio terrestre, y el diámetro del sol es igual a los 108 diámetros terrestres. ¿Cuál es la razón entre los radios de la luna y el sol? 11 11 1 a) b) c) 1120 120 376 1 3 d) e) 396 178 32 La suma de los 4 términos de una proporción es 65, cada uno de los 3 últimos términos es los 2/3 del anterior. ¿Cuál es el último? a) 8 b) 7 c) 9 d) 10 e) 12 33 La suma de 3 números es 1425, la razón del primero y el segundo es 11/3 y su diferencia es 600. ¿Cuál es el tercero? a) 825 b) 620 c) 425 d) 375 e) 345

34 En una proporción continua el producto de los 4 términos es igual a 20736, y el cuarto termino es el doble de la suma de los términos medios, ¿Cuál es el termino medio? a) 10 b) 18 c) 24 d) 14 e) 12 35 La suma de 3 números es 24, la razón de dos de ellos es 3 y la suma de estos dividido entre el tercero es igual

Razonamiento Matemático

254

Elías Cotos Nolasco

a 5. Uno de los números es: a) 6 b) 8 c) 5 d) 9 e) 10

ab 7  a) b 4

36 Si la razón de la suma con la diferencia de 2 números enteros positivos es 5/3. ¿Cuál es el número mayor, si su producto es 64? a) 16 b) 4 c) 8 d) 23 e) 64

c)

a  2b 11  b 3

e)

a b 1  b 4

b)

b 4  ba 1

d)

a 3  2b 8

a  b a  b ab   5 3 16 a a 8b  Hallar: E   b 2b a a) 6 b) 3 c) 8 d) 9 e) 12

10. 11. 12.

38 Sea la P.A: a 1 , a 2 , a 3 . Además:

19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27.

37 Si:

a1  2 a 2  3 a 3  8   10 25 50 Hallar: a 3  a 2  a 1

1 a) 5 2 11 d) 14

11 b)  4 2 e)  3

1 c) 1 4

39 La base de un triangulo es dos veces el lado de un cuadrado de igual área; entonces la razón entre la altura del triangulo y el lado del cuadrado es: 1 1 a) b) c) 1 4 2 d) 2 e) 4

a 3  , entonces la expresión b 4 incorrecta es: 40 Si:

1.

2.

3.

4

5.

6.

7.

8.

9.

a

c

c

b

a

d

d

a

e

c b

c e

d a

13 a c

14. 15. 16. 17. 18. a c

e d

e a

b a

d e

28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. d

a

d

a

d

37. 38. 39. 40. 41. b

c

e

e

c

c

c

a

c