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TABLE DES MATIÈRES Table des matières.........................................................................................1 1. - Définitions et principes fondamentaux..................................................2 1.1. - Milieu curviligne. Poutre : ........................................................................................2 1.1.1. - Définition d'une poutre : .............................................................................2 1.1.2. - Repère central principal d'inertie :...............................................................2 1.2. - Les efforts dans les poutres :......................................................................................3 1.2.1. - Efforts extérieurs :.......................................................................................3 1.2.1. (a) - Les charges :.....................................................................3 1.2.1. (b) - Les actions de liaison :.....................................................4 1.2.1. (c) - Equilibre d'une poutre :....................................................4 1.2.2. - Efforts intérieurs :........................................................................................5 1.2.2. (a) -Torseur des efforts intérieurs.............................................5 1.2.2. (b) -Calcul du torseur des efforts intérieurs :...........................6 1.2.2. (c) - Efforts intérieurs :.............................................................6 1.3. - Système isostatique, système hyperstatique, mécanisme :.........................................6

2. - Effort normal : traction et compression simples..................................8 2.1. - Définition : ................................................................................................................8 2.2. - Contrainte normale :...................................................................................................8 2.3. - Déformation élastique, déformation plastique : ........................................................9 2.4. - Application aux treillis :...........................................................................................10

3. - Effort tranchant : Cisaillement..............................................................13 3.1. - Définition : ..............................................................................................................13 3.2. - Contrainte de cisaillement : .....................................................................................13 3.3. - Module d'élasticité transversale ou en cisaillement :...............................................13 3.4. - Condition de résistance au cisaillement : ................................................................14 3.5. - Condition de rupture :..............................................................................................14

4. - Flexion simple des poutres droites isostatiques....................................15 4.1. - Définition : ..............................................................................................................15 4.2. - Efforts tranchants, moments fléchissants :...............................................................16 4.3. - Relation entre moment fléchissant et effort tranchant :...........................................18 4.4. - Relation entre effort tranchant et chargement réparti :............................................18 4.5. - Déformée d'une poutre soumise à la flexion simple : flèche...................................19

Bibliographie..................................................................................................21

1. - DÉFINITIONS ET PRINCIPES FONDAMENTAUX

1.1. - Milieu curviligne. Poutre :

1.1.1. - Définition d'une poutre : Soit C une courbe dans l'espace de point courant G. On note x la tangente unitaire à C, x l'abscisse curviligne et Π le plan perpendiculaire à x .Dans le plan Π, on considère une surface S de contour Ω telle que son centre d'inertie soit en G. On suppose que S est constante ou lentement variable le long de C.

S

x

G G

GG

y

SS

C p

z

Ω

o

u t r e

s e c t i o

n

d

r o

i t e

Définitions On appelle : - Poutre l'enveloppe des surfaces S le long de la courbe C. - Section droite la section S de la poutre au point G. - Ligne moyenne la courbe C (ou encore le lieu des centres d'inertie des sections droites de la poutre). La ligne moyenne peut être une courbe quelconque dans l'espace, à condition qu'elle ne présente pas de point singulier. Habituellement, c'est une courbe plane, et souvent une ligne droite. Nous nous limiterons dans ce cours aux poutres droites. Ordre de grandeur : Si on note d le plus grand diamètre de la section droite S, R le plus petit rayon de courbure de la ligne moyenne C et L la longueur de C, on suppose que d reste petit ( ≤ 1/10 ) devant R et L.

1.1.2. - Repère central principal d'inertie : Soit G le centre d'inertie d'une section droite S et I(S, G) l'opérateur d'inertie de S en G. I(S, G) est symétrique défini positif. On note y et z les vecteurs propres (perpendiculaires et normés) dans Π. de I(S,G).

Définition 2

En tout point G de C le repère central principal d'inertie (RCPI) est le repère noté R = (Gxyz), centré en G et formé par les vecteurs propres (principaux) de la section S. Dans ce repère la matrice d'inertie associée à I(S, G) s'écrit :

 Ix  0 0  I y = ∫ z 2 ds

Ix = Iy + Iz

avec

S

0  0 I z 

0 Iy 0

I y = ∫ y 2 ds S

où y et z sont les coordonnées d'un point de S dans R et Ix , Iy et Iz les moments quadratiques ou d'inertie de la section S par rapport aux axes (Gx), (Gy) et (Gz) respectivement. Important Dans la suite du cours, il ne sera plus question que du repère central principal d'inertie R qui, pour les poutres, est d'une importance capitale. R est le repère dans lequel s'écrivent les équations de la théorie des poutres. La grande simplicité des équations de cette théorie est due au fait qu'elles soient écrites dans ce repère.

1.2. - Les efforts dans les poutres :

1.2.1. - Efforts extérieurs : Définition On appelle efforts extérieurs les efforts s'exerçant sur la poutre isolée. On en distingue deux sortes : les charges qui sont des efforts auxquelles la poutre est destinée à résister et les actions de liaison qui sont des efforts appliqués sur la poutre par les liaisons qui la maintiennent en place.

F

A

O p

o

u

t r e

s u

( R r

o ,

a p

Q

B

C

A

O

F

Q

B

RB p

C

u

o ) i sp

o

u

C t r e

i s o

l é e

Dans l'exemple ci-dessus, F et Q sont des charges. (R0, C0) et RB sont des actions de liaison. En général, les actions de liaison sont les inconnues du problème.

1.2.1. (a) - Les charges : En théorie des poutres, on distingue en général deux types de charges : les charges concentrées qui s'appliquent en un point de la poutre, et les charges réparties qui sont distribuées continûment le long d'un segment de la poutre. En mécanique générale, les efforts sont mathématiquement représentés par des torseurs. En mécanique des milieux déformables on introduit une notion supplémentaire importante : le point d'application de l'effort. Dans l'exemple ci-dessous, les deux torseurs d'efforts extérieurs sont équivalents mais la déformation n'est pas la même. 3

F

F C

O p o u t r e

d é f o r ml a e p o u t r e

s e

F

O

L

L

L

l a

=

n e

s e

d é f o r m

e

Important Désormais, les éléments de réduction des torseurs de charge seront définis en leurs points d'application. Définitions Une charge concentrée en un point d'application est définie par un torseur en ce point d'application. Si ce torseur se réduit à une résultante, on l'appelle force concentrée. Si ce torseur se réduit à un couple (ou un moment) on l'appelle moment concentré. Les charges réparties sont des densités linéiques de torseurs. Les forces réparties sont des densités linéiques de forces. Les moments répartis sont des densités linéiques de moment (d'emploi très rare dans la pratique).

1.2.1. (b) - Les actions de liaison : Les poutres étant réduites à des lignes matérielles, le contact avec l'extérieur est schématisé ponctuel. Une action de liaison (ponctuelle) est définie par un torseur (de contact) qui représente l'action mécanique de la liaison (support ou appui) sur la poutre. Le torseur d'action de liaison dépend du type de liaison envisagé (comportement de la liaison). Les éléments de réduction d'un torseur d'actions de liaison sont définis au point de liaison. Nous nous limiterons dans ce cours aux liaisons parfaites (le travail des actions de liaison est nul). Il existe trois types de liaisons parfaites : Encastrement : Les rotations et les déplacements sont bloqués. Articulation : (ou liaison rotule) La rotation est totalement libre. Les déplacements sont bloqués. Appui simple : La rotation et le déplacement horizontal sont libres. Le déplacement vertical est bloqué.

j

k

a

-

j

j i

i k

e n c a s t r e m

be n - t

i k

a r t i c u

l a tc i o - n a p

p

u

i

s i m

p

l e

1.2.1. (c) - Equilibre d'une poutre : Soit une poutre soumise aux actions extérieures suivantes :

Fi

les charges concentrées aux points Ai 4

p a s

Ci

les moments concentrés aux points Ai les forces réparties

p( x i )

Fk

les résultantes de liaison aux points Bk

Ck

les moments de liaison aux points Bk

D'après le principe de la statique, la poutre est en équilibre si le torseur résultant des efforts extérieurs est nul. Ceci s'écrit mathématiquement :

∑ F + ∑ F + ∫p i

k

i

dx= 0

k

∑ O A ∧ F + ∑ C + ∑ O A ∧ F + ∑ C + ∫ O G∧ p i

i

i

i

k

i

k

k

k

dx

k

Ces deux équations vectorielles fournissent 6 équations scalaires (3 dans le plan : 2 équations de forces et une équation de moments).

1.2.2. - Efforts intérieurs : 1.2.2. (a) -Torseur des efforts intérieurs. Considérons une poutre en équilibre sous l'action de ses efforts extérieurs (charges et actions de liaison).

x L

τG =

( - )

G

( R

L

( +

)

L

( +

)

G

G

,

M

)

G

On choisit une orientation arbitraire de la ligne moyenne (choix du vecteur tangent x ) et on imagine une coupure en un point G qui divise la poutre en deux parties notées L(+) et L(-). Chacune de ces deux parties est en équilibre sous l'action des efforts extérieurs qu'elle reçoit et sous l'action en G de l'autre partie.

Définition On appelle torseur des efforts intérieurs au point G le torseur τ G des actions de la partie L(-) sur la partie L(+). Important 5

La notion de torseur des efforts intérieurs n'a de sens que si on a défini une orientation de la ligne moyenne. En effet, un changement d'orientation définirait un torseur des efforts intérieurs opposé au précédent.

1.2.2. (b) -Calcul du torseur des efforts intérieurs : Si on note (T-) le torseur équivalent aux efforts extérieurs agissant sur la partie L(-) et (T+) le torseur équivalent aux efforts extérieurs agissant sur la partie L(+), on peut écrire (au même point G) les égalités suivantes : équilibre global de la poutre : équilibre de la partie L(+) :

(T-) + (T+) = 0 (T+) + τ G = 0

On en déduit deux manières d'évaluer le torseur des efforts intérieurs en G.

τ G = - (T+) = (T-) 1.2.2. (c) - Efforts intérieurs : Définition Les efforts intérieurs en un point G de la ligne moyenne d'une poutre sont les composantes dans le RCPI des éléments de réduction du torseur des efforts intérieurs τ G. Ces efforts intérieurs ont des noms consacrés : N est l'effort normal (dans la direction

x

)

Ty est l'effort tranchant dans la direction

y

Tz est l'effort tranchant dans la direction

z

T = Ty

y

+ Tz

z

est l'effort tranchant.

Mt est le moment de torsion (dans la direction

x

)

My est le moment de flexion ou fléchissant dans la direction

y

Mz est le moment de flexion ou fléchissant dans la direction

z

M = My

y

+ Mz

z

est le moment de flexion.

Remarque Le signe de N a un sens physique : N > 0 signifie une traction. N < 0 signifie une compression. Il est facile de voir que cela est indépendant de l'orientation de la ligne moyenne. Définition On appelle diagrammes des efforts intérieurs les diagrammes représentant la variation de chacun des efforts intérieurs selon la ligne moyenne. Ces représentations sont utiles pour situer rapidement les sections les plus sollicitées.

1.3. - Système isostatique, système hyperstatique, mécanisme : Soit k le nombre d'équations d'équilibre (6 dans l'espace, 3 dans le plan). Soit r le nombre d'inconnues (résultantes de liaison et moments de liaison).

6

Si r = k : Les actions de liaison sont déterminées par les équations de la statique. La structure est dite isostatique.

p

o

u

t r e s

i s o

s t a t i q

u

e s

Si r> k : Le nombre d'équations d'équilibre est alors insuffisant à la détermination des actions de liaison inconnues. La structure est dite hyperstatique de degré r - k.

p

o

u

t r e s

h

y

p

e r s t a t i q

u

e s

Si r < k : l'équilibre est impossible en général. Le système est hypostatique (mécanisme). L'étude des mécanismes déborde du cadre la résistance des matériaux.

m

é c a n

i s m

e s

7

2. - EFFORT NORMAL : TRACTION ET COMPRESSION SIMPLES

2.1. - Définition :

N

N

S

Une barre rectiligne sollicitée par deux forces égales et directement opposées agissant suivant sa fibre moyenne est soumise à un effort normal. Cet effort est : i) un effort de traction simple si les forces tendent à allonger la barre. ii) un effort de compression simple si les forces tendent à raccourcir la barre.

2.2. - Contrainte normale : On considère une barre rectiligne, de section S liée à un massif fixe à une de ses extrémités. A l'autre extrémité, elle est soumise à l'action d'une force N suivant son axe.

Σ a a '

b b

'

a '

b

N ( a )

'

N ( b

)

D'après le principe de l'action et de la réaction, le massif exerce une force de réaction égale et opposée à N. La barre est alors soumise à un effort normal. Sa base -ab- se déplace alors parallèlement à elle-même pour venir en -a'b'-. Toutes les fibres ont subi, si l'effort est un effort de traction, le même allongement (hypothèse de Navier-Bernoulli : les sections droites restent planes et perpendiculaires à l'axe) et supportent donc la même tension. σ est appelée contrainte normale : c'est l'intensité d'effort normal par unité de surface. 8

Imaginons qu'on coupe la barre par un plan Σ perpendiculaire à l'axe de la pièce. Pour maintenir le tronçon inférieur en équilibre, il faut placer dans Σ une force intérieure égale et opposée à N. Hypothèse de Navier-Bernoulli ⇒

σ = N/S

(Newton/m²)

2.3. - Déformation élastique, déformation plastique : Tout solide soumis à un effort se déforme. Cette déformation peut être : a) Elastique : Le solide reprend sa forme initiale après arrêt de l'action des forces. b) Plastique : Le solide reste déformé après arrêt de l'action des forces. Aucun matériau n'est parfaitement élastique. Généralement la déformation est élastique pour les efforts suffisamment faibles, puis devient plastique à partir d'un certain seuil de contrainte σe appelé limite élastique (voir courbe contraintes-déformations). Important La limite d'élasticité est une contrainte caractéristique du matériau. Elle ne dépend ni des dimensions de la pièce ni des sollicitations qui lui sont appliquées. Dans la suite de ce cours, nous nous intéresserons exclusivement au matériaux élastiques. Ceci veut dire que nous supposerons toujours que les sollicitations auxquelles sont soumises les structures étudiées sont suffisamment faibles pour que les déformations soient élastiques. Définition

a

d x

b

x d

a '

b

N '

u

On considère une barre de longueur initiale l0 soumise à un effort normal N. Une portion de longueur dx de la barre subit une variation de longueur du. On appelle déformation longitudinale dans la section d'abscisse x la quantité adimensionnelle :

ε = du/dx

COURBE CONTRAINTE-DÉFORMATION C'est une courbe caractérisant le matériau. Elle est obtenue empiriquement d'une expérience de traction effectuée sur une barre de section constante. Lors de cette expérience l'effort normal est augmenté progressivement provoquant l'allongement de la barre. A chaque incrément d'effort, la contrainte normale et la déformation de la barre sont portées sur une courbe. Cette opération est effectuée régulièrement jusqu'à la rupture de la barre. La courbe ainsi obtenue est la courbe contrainte-déformation du matériau. Elle a généralement (de manière simplifiée) l'allure suivante :.

9

σ N(

/ S

)

σe

A

o

ε

p

ε ( d

u

/ d

x

)

La partie (OA) est la partie élastique. La limite élastique n'est pas atteinte. La barre reprend sa forme initiale si l'expérience est interrompue dans cette zone. Dans ce cas l'élasticité est linéaire ((OA) est une droite). La pente E de la droite (OA) est appelée module d'élasticité linéaire ou module d'Young. Il représente le rapport entre contrainte et déformation ε dans la zone élastique. La relation entre la contrainte et la déformation dans la zone élastique est donnée par la loi de Hooke :

σ= E ε La partie (AB) est la partie plastique. La limite élastique est dépassée. Si l'expérience est interrompue (point C), la barre ne reprend pas sa forme initiale. Le chemin de décharge est, de manière simplifiée parallèle à la droite (OA). Lorsque l'effort appliqué s'annule, il persiste une déformation résiduelle ε p qui ne disparaît plus. Ordres de grandeur : Acier : E = 21000 daN/mm2, Béton : E = 2000 daN/mm2, Aluminium : E = 7000 daN/mm2

2.4. - Application aux treillis : Définition

F

F

/ 2

F

F T

r e i l l i s

Un treillis ou un système de barres réticulées est un assemblage de poutres droites (ou barres) liées entre ellesou avec un bâti par des articulations parfaites. De plus : 10

Les charges concentrées sont appliquées uniquement aux nœuds (lieux de rencontres des barres entre elles ou avec le bâti). Il n'y a pas de charges réparties sur les barres (elles sont de ce fait supposées non pesantes). Sous ces hypothèses, il est facile de conclure qu'à l'équilibre, chaque barre d'un treillis est soumise à une traction ou à une compression uniforme. En effet, isolons une barre quelconque d'un treillis ; ses extrémités notées A et B sont soumises aux forces extérieures RA et RB :

R B B

A

R A

l'équilibre de la barre conduit aux équations : RA + RB = 0

AB ∧ R B = 0

Les actions sur la barre sont alors colinéaires à celle-ci, égales en module et de sens opposés.

CALCUL D'UN TREILLIS : Le but de ce paragraphe est de donner les équations permettant de résoudre (détermination des réactions d'appuis, des tensions dans toutes les barres et des déplacements des nœuds) n'importe quel treillis isostatique ou hyperstatique.

B

k

u

A F

B

i k

i

i

u u

B

m

u

i m

i j

j

B

u

i m

A

i

m

j m

ξj A

j

ξi

Notations : Ai le nœud de jonction des barres Bj, Bk, Bm, ... u im

le vecteur unitaire issu de Ai dans la direction de la barre Bm.

Fi la force extérieure agissant sur le nœud Ai

11

N m = N m u im l'action de la barre Bm sur le nœud Ai (à l'équilibre). ξi le déplacement (à l'équilibre) du nœud Ai.

avec ces définitions, si Nm est positif, la barre Bm est en traction. Equations d'équilibre du treillis : L'équilibre de chaque barre a été écrit, il permet d'affirmer que l'action de la barre sur un nœud est une force colinéaire à la barre. Les équations d'équilibre se réduisent donc à celles des nœuds. Celles-ci s'écrivent : ∀A i

Fi +

∑N

m

u im = 0

barres ( A i )

où la sommation se fait sur toutes les barres aboutissant au nœud Ai. Chaque nœud fournit une équation vectorielle (trois équations scalaires dans l'espace, deux équations scalaires dans le plan) Equations d'allongement des barres : Une barre de section S, de module d'Young E et de longueur l, soumise à un effort normal constant N subit un allongement Nl/ES. Ainsi, on peut écrire, pour chaque barre d'un treillis, l'équation scalaire suivante : ∀B m

ξ i u im + ξ j u jm +

N mlm =0 E mSm

Chaque barre fournit une équation scalaire. Remarques 1. Les inconnues sont les efforts normaux dans les barres, les réactions d'appuis (actions de liaison) et les composantes des déplacements des nœuds. Si le problème est bien posé, le nombre d'équations sera égal au nombre d'inconnues. 2. Pour un treillis isostatique, il est possible de déterminer tous les efforts par les seules équations d'équilibre. Puis, si on le souhaite, et de manière séparée, utiliser ce résultat pour calculer, en seconde étape, les déplacements à l'aide des équations de l'allongement. 3. Pour un système hyperstatique, on ne peut déterminer les efforts par les seules équations d'équilibre. Les équations d'allongement (qui font intervenir le comportement du matériau) sont nécessaires pour effectuer la résolution qui se fera d'un bloc, même si on ne souhaite pas calculer les déplacements des nœuds.

12

3. - EFFORT TRANCHANT : CISAILLEMENT

3.1. - Définition : Il y a cisaillement lorsqu'une pièce est sollicitée par deux forces égales, de même droite d'action mais de sens contraires qui tendent à faire glisser l'une sur l'autre les deux parties de la pièce (exemple : action d'une paire de ciseaux sur une feuille de papier, action d'un poinçon sur une tôle, ...).

l a m

e

m

o

t ô

l a m

e

f i x

C

b

i l e

l a m

e

l e

e

e n

c a s t r e m

i s a i l l e m

e n

e n

m

o

t ô

l e

b

i l e

t

t

3.2. - Contrainte de cisaillement : On considère une tôle de section S encastrée dans un massif rigide fixe. Le long de ce massif, on applique verticalement la lame d'une cisaille avec une force T appelée effort tranchant. Le principe de l'action et de la réaction fait que le massif exerce une force de réaction égale et opposée à T. La tôle est alors soumise au cisaillement. Si la cisaille est suffisamment tranchante, elle fait glisser l'une sur l'autre les sections immédiatement voisines au niveau de l'encastrement. En supposant que toutes les fibres de la tôle supportent la même tension τ , celle-ci vaut :

τ = T/S

(en Newton/m²)

τ est appelée contrainte de cisaillement : c'est l'intensité d'effort tranchant par unité de surface.

3.3. - Module d'élasticité transversale ou en cisaillement : 13

T C

C

'

D

C 1 ' D '

γ

t ô

l e

D 1 '

e n

c a s t r e m

e n

t

∆x

La section -C'D'- glisse par rapport à la section -CD-. La déviation

C' C'1 = tg γ dx

≈

γ ( glissement faible) est

supposée proportionnelle à la contrainte de cisaillement. τ = Gγ Le coefficient de proportionnalité G est appelé module d'élasticité transversale ou en cisaillement. Ordre de grandeur : pour les métaux G ≈ 0.4 E

3.4. - Condition de résistance au cisaillement : Dans certains cas, il peut être important qu'une pièce sollicitée en cisaillement doive résister en toute sécurité à celui-ci (exemple : rivets - voir TD -). Pour qu'une pièce sollicitée en cisaillement résiste en toute sécurité, il faut que la contrainte de cisaillement ne dépasse pas une valeur critique τ a appelée contrainte admissible en cisaillement.

τ ≤ τa τ a est une caractéristique du matériau, elle ne dépend pas des dimensions de la pièce sollicitée en cisaillement. Elle représente généralement (éventuellement à un coefficient de sécurité près) la limite d'élasticité transversale de la pièce, c'est-à-dire la contrainte au-delà de laquelle la pièce ne reprend pas sa forme initiale après annulation de l'application de l'effort tranchant.

3.5. - Condition de rupture : Dans certains cas de figure, une pièce peut être soumise au cisaillement dans le but de l'amener à se rompre sous l'effet de celui-ci (exemple : action d'un poinçon sur une tôle -voir TD -). Pour qu'une pièce sollicitée en cisaillement se rompe, il faut que la contrainte de cisaillement dépasse une valeur critique τ r appelée contrainte de rupture en cisaillement.

τ ≥ τr De même que τ a, τ r est une caractéristique du matériau.

14

4. - FLEXION SIMPLE DES POUTRES DROITES ISOSTATIQUES

4.1. - Définition : Une poutre est soumise à la flexion lorsque les forces qui lui sont appliquées tendent à faire varier sa courbure.

F

F

L

a

c o

u

r b

u

r e

d

e

l a

p

o

u

t r e

v a r

La flexion est dite simple, lorsque la poutre possède un plan de symétrie et que les forces fléchissantes agissent dans ce plan, perpendiculairement au grand axe de la poutre. Nous nous limiterons dans ce cours à l'étude de la flexion des poutres droites isostatiques, c'est-à-dire celle pour lesquelles les équations équilibre suffisent à la détermination des actions de liaison (résultantes de liaison ou réactions d'appuis, moment de liaison -uniquement aux encastrements éventuels-). Nous nous limiterons également aux poutres dont le plan de symétrie est vertical (Gxy).

x

F y

G

p

F

l a n

l e x

i o

d

e

n

s y m

s i m

é t r i e

p

( G

, x , y )

l e

15

Hypothèses : a) Les déformations sont élastiques et suffisamment petites pour ne pas modifier l'intensité des forces ni leurs distances respectives. b) Toute fibre contenue dans un plan de symétrie demeure dans ce plan pendant la déformation. c) Hypothèse de Navier-Bernoulli : Les sections droites de la poutre demeurent planes et perpendiculaires à l'axe de celle-ci après déformation.

4.2. - Efforts tranchants, moments fléchissants : Soit la poutre ci dessous soumise à la flexion simple. Imaginons une coupure en un point G qui divise la poutre en deux parties notées L(+) et L(-). Chacune de ces deux parties est en équilibre sous l'action des efforts extérieurs qu'elle reçoit et sous l'action en G de l'autre partie.

x L

τG =

( - )

G

( R

L

( +

)

L

( +

)

G

G

,

M

)

G

Nous avons défini dans le chapitre 1 le torseur des efforts intérieurs au point G qui est, rappelons le, le torseur (τ G) des actions de la partie L(-) sur la partie L(+). Nous avons noté (T-) le torseur équivalent aux efforts extérieurs agissant sur la partie L(-) et (T+) le torseur équivalent aux efforts extérieurs agissant sur la partie L(+). nous avons ensuite établi les égalités suivantes : équilibre global de la poutre : équilibre de la partie L(+) :

(T-) + (T+) = 0 (T+) + (τ G) = 0

Nous en avons déduit deux manières d'évaluer le torseur des efforts intérieurs en G. (τ G) = - (T+) = (T-) Le plan de symétrie de la poutre droite étant le plan vertical (Gxy), le repère central principal d'inertie (RCPI) est alors (Gxyz). Effort tranchant : L'effort tranchant T(x) en un point G d'abscisse x de la ligne moyenne d'une poutre est la composante d'effort (verticale) dans le RCPI des éléments de réduction du torseur des efforts intérieurs (τ G). Moment fléchissant : Le moment fléchissant M(x) en un point G d'abscisse x de la ligne moyenne d'une poutre est la composante de moment dans le RCPI des éléments de réduction du torseur des efforts intérieurs (τ G). Compte tenu des hypothèses, ces définitions, peuvent dans ce cadre se formuler de la manière suivante : 16

L'effort tranchant T(x) dans une section d'abscisse x, séparant la poutre orientée en une parie L(-) et une partie L(+), est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur L(-) Le moment fléchissant M(x) dans une section d'abscisse x, séparant la poutre orientée en une partie L(-) et une partie L(+), est la somme des moments extérieurs (dus aux couples concentrés et aux efforts d'action et de réaction) s'exerçant sur L(-). Le diagramme des efforts tranchants est la courbe représentative de la fonction T(x). Le diagramme des moments fléchissants est la courbe représentative de la fonction M(x). Exemple 1 :

F A

B L

F

YA

/ 2

L

YB

X A

/ 2

L

/ 2

L

/ 2

Après avoir remarqué que cette poutre est isostatique (3 actions de liaison inconnues, 3 équations d’équilibre dans le plan), il faut commencer par la détermination des actions de liaison (du moins celles de l’appui de gauche –partie L(-) pour l’orientation utilisée-, indispensables au calcul des sollicitations à gauche de n’importe quelle section de la poutre). Il est évident de voir que X A = 0 et YA = YB = F / 2 . Efforts tranchants : 0

≤ x < L/2:

T ( x ) = YA = F / 2

L/2 < x ≤ L

T ( x ) = YA − F = − F / 2

Moments fléchissants :

0

≤ x ≤ L/2:

M ( x ) = YA x =

L/2 ≤ x ≤ L

F x 2

M ( x ) = YA x − F( x − L / 2) =

F (L − x ) 2

Exemple 2 :

p

p O

L

L

YO M O

Pour cet exemple, également isostatique, nous n’avons pas besoin de calculer les actions de liaison car quelque soit la section de la poutre, les sollicitations à gauche sont connues. On a : ∀x

T( x ) = −px

∀x

M ( x ) = −px 2 / 2

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4.3. - Relation entre moment fléchissant et effort tranchant :

T

T

M

M

Σ

d

x

+

d

M

Σ'

Considérons un élément de poutre pris entre deux sections (Σ) et (Σ') infiniment voisines, distantes de dx. L'influence de la partie L- sur l'élément est représentée pat T et M. L'influence de la partie L+ sur l'élément est représentée par T', et M'. Si aucun effort ne s'exerce sur la poutre entre les sections (Σ) et (Σ'), les efforts tranchants de ces deux sections sont égaux. Par contre le moment fléchissant M' diffère de M : M' = M + dM. L'équilibre de l'élément s'écrit : M + T dx - M - dM = 0 Soit :

dM =T dx Ainsi, sur toute portion de poutre comprise entre des charges, l'effort tranchant est la dérivée par rapport à x du moment fléchissant.

4.4. - Relation entre effort tranchant et chargement réparti : p T

T M

Σ

d

x

+

d M

T +

d

M

Σ'

Considérons le cas où une charge répartie, d'intensité p, s'exerce entre les sections (Σ) et (Σ'). La charge totale appliquée sur l'élément est p dx. Si p est compté positivement vers le bas, on conclut d'après l'équilibre de l'élément que : T - p dx - T - dT = 0. Ce qui veut dire que :

dT = −p dx L'équilibre des moments donne : M + T dx - p dx dx/2 - M - dM = 0. 18

En négligeant le second ordre, il reste T = dM/dx. Ce qui veut dire que la relation entre effort tranchant et moment fléchissant reste valable au premier ordre. Remarque : Au passage d'une charge concentrée

F

T

T

Σ

d

x

'

Σ'

Lorsqu'une charge concentrée s'exerce entre (Σ) et (Σ'). L’équilibre s'écrit T' = T - F. L'effort tranchant varie d'une quantité F lorsqu'on dépasse le point d'application de la charge. En ce point, la pente du moment fléchissant (dM/dx) varie brusquement (point anguleux). Important Ces relations sont d'une importance capitale et permettent, dans la majorité des cas, d'éviter les calculs fastidieux et de tracer rapidement les diagrammes des efforts tranchants et des moments fléchissants.

4.5. - Déformée d'une poutre soumise à la flexion simple : flèche Définitions Sous l'effet des sollicitations auxquelles elle est soumise, une poutre se déforme. On désigne par flèche à l'abscisse x, le déplacement du centre de gravité de la section correspondant à cette abscisse. Elle est comptée positivement si le déplacement s'effectue vers le haut. Le nouveau lieu des centres de gravité de toutes les sections de la poutre prend le nom de déformée.

x y ( x ) d

é f o

r m

é e

On admet la relation suivante qui permet le calcul de la déformée :

y´´(x ) =

M (x ) EI

y´´(x ) est la dérivée seconde de la flèche par rapport à x M(x), le moment fléchissant à la section d'abscisse x. E , le module d'élasticité longitudinale (module d'Young). 19

I , le moment d'inertie de la section par rapport à l'axe ∆ passant par le centre de gravité et perpendiculaire au plan moyen de la poutre.

h

G

b s e c t i o n I b 3=h

∆

R G

∆

r e c t a s n e gc ut i lo a n i r ec i r c u / 1 2 I / 4 π =R4

l a i r e

Par une double intégration de cette relation, et une prise en compte des conditions de liaison (et éventuellement de la continuité de la déformée et de sa dérivée), on arrive à déterminer la déformée d'une poutre soumise à la flexion simple.

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BIBLIOGRAPHIE M. ALBIGÈS, A. COIN : Résistance des matériaux appliquée (Tome I). Ed. Eyrolles (1985). R. EL FATMI : Cours de résistance des matériaux : mécanique des poutres. Ecole Polytechnique de Tunisie. J. P. LARRALDE : Résistance des matériaux : Sollicitations simples. Ed . Masson (1981). S. TIMOSHENKO : Strength of materials (Part I). D. Van Nostrand Company, Inc (1930).

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