219489386 KLIMOVSKY Las Desventuras Del Conocimiento Matematico

Gregorio Klimo¥sky GuiUemo Boido

LAS DESVENTURA DEL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO Filosoia de la matemátiea: una introducción

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una introducción Prólogo de Gladys Palau

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Imagen de tapa: el matemático NikolaUvS Kratzer, quien fue astrónomo del rey Enrique VIII, retratado en 1528 por el maestro renacentista Hans Holbein el Joven (c. 1497-1543). Museo del I^)uvre. Foto: Focus.

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ISBN 950-534-796-0 Klimovsky, Gregorio Las desventuras del conocimiento matemático / Gregorio Klimovsls verdaderos objetos reales, los noúmenos, son para Kant incognoscibles, porque la única información que tenemos son los fenómenos husmos, y éstos son algo así como manifestaciones indirectas de los verdaderos objetos. Para colino, ellos están sistematizados, conceptuados y esquematizados según nuestro aparato perceptual y nuestro sistema categorial, el sistema que proporciona los conceptos mediante los cuales los fenómenos son esquematizados conformando objetos físicos. Los "objetos físicos" no corresponden a nada externo al sujeto cognoscente, sino que son construcciones realizadas por nosotros a partir de los fenómenos que percibimos. Kant presenta una distinción crucial entre proposiciones analíticas y proposiciones sintéticas. La importancia de esta discriminación es que las proposiciones de la ciencia de las cuales queremos dar cuenta se dividen entre aquéllas cuya verdad es necesaria por razones lingüísticas o conceptuales ligadas a la definición de los conceptos que estamos usando (analíticas) y otras que relacionan entidades q aspectos que no están en sí mismo forzosamente relacionadas y tienen contenido fáctico {sintéticas). Si se define "pájaro" como un animal vertebrado, no mamífero, que tiene alas y vuela, etcétera, entonces el enunciado "todos los pájaros son animales" será un enunciado analítico. En cambio, "en el jardín de mi casa suele haber pájaros" tiene contenido fáctico, va más aUá de la significación 97

E l , SURGIMIENTO DE LFTS GEOMETRÍAS NO EUCUDEANAS

de los términos involucrados y nos dice algo acerca del mundo; será por tanto un enunciado sintético. Esta distinción tiene, por tanto, un carácter lógico. Por otra parte, según Kant,, las verdades matemáticas se nos imponen con una fuerza y necesidad que no poseen, por cierto, las verdades cuya fuente se encuentra en la experiencia. Se trata de lo que Kant denomina "verdades a priori", para distinguirlas de las "verdades a posteriori" que sólo la experiencia nos permite obtener, l ^ s verdades a priori se originan en la peculiar estructura que posee nuestro aparato psíquico como condición preimpuesta para la sistematización de nuestras percepciones de los fenómenos. Esta distinción es de carácter epistemológico, pues ae refiere a dos modos distintos de acceder al conocimiento. Para Kant, las verdades a priori llegan a nuestro conocimiento., sugeridas por la experiencia. Pero esto no implica que la experiencia sea aquí un elemento justificativo; más bien ese papel serla "deapertatorio" en el sentido en que introdujimos esta palabra al hablar de Platón. La justificación del a priori será siempre la intuición intelectual sustentada por nuestro aparato perceptual o categorial. . Las proposiciones, en suma, podrán ser analíticas o sintéticas, o bien a priori o a posteriori, de acuerdo con lo cual tendríamos en principio cuatro clases de proposiciones: analíticas a priori, analíticas a posteriori, sintéticas a priori y sintéticas a posteriori. Pero no pueden existir enunciados analíticos a posteriori, porque si un juicio analítico tal como "todos los pájaros son animales" repite en el predicado lo que implícitamente se dice en el sujeto, es evidente que podemos garantizar su verdad porque es tautológica o trivial, y está en realidad, parcial o totalmente, incluyendo en el predicado la significación que tenemos en el sujeto. Por lo cual la fuente de la verdad, en este caso, no está en la experien^ cía sino, por decirlo así, en la razón, que nos permite analizar el significado de los términos del enunciado y decidir acerca de sü verdad o falsedad. En conclusión, según Kant, serían posibles solamente los tipos de enunciados indicados en la figura: analíticos a priori, sintéticos a priori y sintéticos a posteriori.

"ANALITICOS t

A priori

SINTÉTICOS

A

posteriori

Antes de analizar las implicancias del cuadro, formulemos a Kant nuestras ya muchas veces reiteradas cuatro preguratas acerca de la matemática. Dada su concepción, a la pregunta acerca de qué son los objetos matemáticos, Kant contestaría que son elementos de nuestro aparato perceptual o de, nuestro sistema 98

E L APRIORISMO DE K A N T

categorial que nos permiten ordenar y tratar con los fenómenos concretos. Y a la pregunta aceixa de cuáles son las fuentes de las verdades matemáticas, la respuesta de Kant sería: la intuición, la contemplación, pero no como en el caso de Platón, de objetos de una realidad distinta a la concreta, sino de las propiedades de nuestro sistema subjetivo de ordenación de los fenómenos. Y como tenemos el privilegio de poder contemplarlos directamente, con inmediatez, porque forman parte de nuestro propio aparato perceptual o racional, la verdad matemática, como ya señalamos, se nos impone en virtud de su carácter a priori. A la tercera pregunta, respecto de la posibilidad de extender el conocimiento matemático, la respuesta de Kant no sería muy distinta de la de Pitágoras o Platón, por cuanto acepta también él a la intuición como fuente de conocimiento matemático. Finalmente, en cuanto a las relaciones de la matemática con la realidad, ya liemos señalado que Kant considera que los verdaderos objetos reales son incognoscibles y que los objetos físicos son construcciones que efectuamos a partir de los fenómenos. Pero en 'lo que se refiere a la experiencia, diría que existe una relación entre matemática y experiencia no muy distinta de la que sostienen los empiristas. La matemática, que corresponde, por una parte, a nuestro sistema perceptual y a su modo pecufiar de estructuración, y, por otra, a nuestro sistema de construcción de conceptos, el sistema categoilal, estaría estrechamente vinculada con nuestra experiencia y con los objetos de la experiencia, pero no con los objetos en sí. La matemática es importante para la práctica, para la técnica, y, en general, para todo aquello relacionado con los fenómenos, pero en el sentido de que'está conectada con nuestro mundo, el que hemos podido construir con nuestras percepciones y categorizaciones. Pero no podemos saber, argüiría Kant, si el mundo de los objetos en sí consta de propiedades tales que la matemática seguiría siendo imprescindible para entenderlo o habría que acudir a otro tipo de estructuración del conocimiento, siempre que tal conocimiento fuera posible, lo cual ng^ parece ser el caso. Debemos señalar que, pese a la diferencia entre el punto de vista kantiano y el aristotéfico, ambos tienen algo en común acerca de las verdades matemáticas. El primero centra en el sujeto y en su aparato cognoscente el origen de la verdad científica (o al menos, del conocimiento científico) mientras que el segundo supone que el conocimiento se relaciona de manera íntima con la naturaleza de las cosas. Sin embargo, tanto para Kant como para Aristóteles, los enunciados verdaderos de la matemática tienen el carácter de necesarios, en el sentido de que sabemos que son ciertos pero también que no podrían ser de otra manera. El carácter de necesidad para Aristóteles parece ser metafisico y corresponder a la naturaleza de las cosas, en tanto que, para Kant, sería más subjetivo y estaría relacionado con el modo peculiar en que se corvforma nuestra naturaleza humana. Pero la matemática sería, para ambos, no solamente un conjunto de enunciados verdaderos, sino además necesariamente wñvá2Láexo&, y este punto, que podríamos denominar "clásico", es el que será puesto en tela de juicio en el siglo XDC, 99

E L SURGIMIENTO D E LAS GEOMETI?ÍAS NO EUCLIDEANAS

Volvamos ahora a la figura anterior. Los enunciados analíticos tienen obviamente que ser o /»mn/mientras que los sintéticos pueden ser, para Kant, a priori o bien a posteriori. El enunciad| n los últimos párrafos del capitulo anterior, señalamos la semejanza que existe entre los sistemas axiomáticos formales y el juego de ajedrez, siJ militud que queremos pormenorizar aquí antes de caracterizar a aquéllos con mayor precisión. En primer lu¿ar, en el ajedrez jugamos con fichas, mientras que en los sistemas Eixiomáticos formales tratamos con determinado vocabulario, con palabras tales como "punto", "recta" y "plano", que no denotan, que nada significan, pero que son los vocablos con los que edificaremos el discurso. En segundo lugar, hay