2.1-Sistema 1GDL Vibración Libre Sin Amortiguamiento

 

Capítulo 2 Sistemas de un grado de libertad

Marzo 2009

Dinámica Estructural. UIS

1

 

Sistema de un grado de libertad Sistema

Fuerza Externa Dinámica

Excitación Dinámica

+

Sismo Movimiento ut u P(t)

t

 

g

u

 

u Fuerza Externa Dinámica Marzo 2009

Sismo Dinámica Estructural. UIS

g

2

 

Sistema de un grado de libertad sometido a una fuerza externa u

P(t)

P(t) Fi Fa Fe

Fi + Fa + Fe = P(t)

m &u& +  c u& + k u = P(t) Marzo 2009

Fi

Fuerza de inercia

mü

Fe

Fuerza elástica

ku

Fa

Fuerza de amortiguamiento

cú

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3

 

Sistema de un grado de libertad sometido a un sismo ut u Fi Fa Fe ut = ug + u

u

Fi + Fa + Fe = 0 m (&u&  + &u& g ) +  c u& + k u = 0

m &u& + c u& +  k u = - m &u& g Marzo 2009

Fi Fe

Fuerza de inercia Fuerza elástica

Fa

Fuerza de amortiguamiento

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müt = m(üg+ü) ku cú

4

 

Sistema + Sismo

Sistema + P(t)

ut

u u

P(t) -mü g(t)

ug

m &u& + c u& + k u = - m &u&g (t)

m &u& +  c u& + k u = P(t)

Desplazamiento base Marzo 2009

Base fija Dinámica Estructural. UIS

5

 

Respuesta del Sistema mü + cú + ku  =  No amortiguado

0 P0

P0 sen (ωt)

Vibración Libre

Amortiguado

Movimiento Forzado No amortiguado Amortiguado

P (t)

Marzo 2009

No amortiguado Movimiento a una excitación cualquiera Amortiguado

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6

 

Capítulo 2 Sistemas de un grado de libertad sin amortiguamiento. Vibración libre Marzo 2009

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7

 

Respuesta a lalibertad Vibración Libre. Sistema de un grado de sin amortiguamiento u k m

ku

mü

m  &u&(t) + k u = 0 Solución:

vo u(t) = u o cos(ω t) +  ω sen(ω t) Marzo 2009

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8

 

Respuesta a la Vibración Libre. Sistema de un grado de libertad sin amortiguamiento u

k m

ku

m &u&(t) + k u = 0

mü Ecuación lineal y de segundo orden Ecuación homogénea con coeficientes constantes

&u& t + ω 2 u = 0 donde

ω

=

k  / m

u(t) = A cos(ω t) + B sen(ω t) u& (t) = - Aω sen(ω t) + Bω cos(ω t) u(t) = - Aω 2 cos(ω t) - Bω 2 sen(ω t)

&&

&u&(t) + ω 2 u = 0

[-Aω 2 cos(ω t) - Bω 2 sen(ω t)] + ω 2 [A cos(ω t) + B sen(ω t)] = 0

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9

 

Respuesta a lalibertad Vibración Libre. Sistema de un grado de sin amortiguamiento m &u&(t) + k u = 0 Condiciones iniciales. Problema del valor inicial. u(t

=

0) =  u o

u& (t = 0) = v o

m

u& (t = 0) = v(t = 0) = v o ⋅

o

=

 

⋅

u

k

o

- Aω sen(ω ⋅ 0) + Bω cos(ω ⋅ 0) ⇒ B = v o / ω 

u(t)

v

u(t) = u o cos(ω t) +  o sen(ω t) ω

2 2 C = u +( v  / ω) o o

ú0 C

u0

C Marzo 2009

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Respuesta a lalibertad Vibración Libre. Sistema de un grado de sin amortiguamiento Armónico

Sen

Periódico

mismo ω

Cos u(t)

t

u(t) = u o cos(ω t) + 

Marzo 2009

vo ω

sen(ω t)

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Respuesta a lalibertad Vibración Libre. Sistema de un grado de sin amortiguamiento k 

ω ω

 f 

=   m 

Frecuencia Angular Frecuencia Natural

f  = 

er o o 

radianes / segundos

ω

ciclos / segundos

2π

= 

2 π

segundos

ω

u(t)

t T

Marzo 2009

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Respuesta a lalibertad Vibración Libre. Sistema de un grado de sin amortiguamiento ω

=   k   m

ω

T = 2 π

Masa

2 π T = 

Rigidez

ω

T =  2π     m   k  Marzo 2009

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Respuesta a la Vibración Libre. Sistema de un grado de libertad sin amortiguamiento. Amplitud del movimiento v o

u(t) = u o cos(ω t) + 

sen(ω t) ω la amplitud del

Demostración de movimiento de la solución de la ecuación de movimiento de un oscilador simple sin amortiguamiento en vibración libre: u (t ) = u 0 cos(wt ) +

v0

sen(wt )

w

v  / w u  0 u (t ) = C  cos(wt ) + 0 sen(wt ) 2

haciendo :  C  =

u0

+

(v0

w)

2

C u0 v0 / ω

u0

entonces :   

C v0  / w

C  u t  = C  senα  

=

senα  

=

cos α   wt 

[ (wt + α  ( ) u ((t )) = Csen cos

Marzo 2009

+

) cos

sen wt 

α  

( )] Dinámica Estructural. UIS

14

 

Respuesta a la Vibración Libre. Sistema de un grado de libertad sin amortiguamiento. u(t) = C sen   (ω t + voα)

u(t) = u o cos(ω t) + 

ω

C

sen(ω t)

u(t) = C [ sen α cos(ω t) + cos α sen(ω t) ] u(t)

=

 v ( uo +   ( o /ω 2

α

2

     )

u0

v0 / ω

4 0

u0

C

3 1

5 2

C

T = 2π / ω Marzo 2009

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t

 

Ejercicio. Sistema de 1 GDL sin amortiguamiento. Vibración libre Determinar la frecuencia natural y el período del sistema mostrado en la Figura, Figura, el cual consiste en un anuncio anuncio de peso P=2000 N, N, el cual está sostenido por una viga en voladizo a través de una barra. La viga, con un extremo empotrado, cuenta con una altura h=0.20 m, y un ancho b=0.20 m, m, un módulo de elasticidad E=1.8x104 MPa,, y una longitud L=1 m. MPa m. El cable tiene un diámetro de 0.02 m y cuenta con un módulo de elasticidad E=2.1x105 MPa y una longitud L=0.30 m

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16

 

Ejercicio. Sistema de 1 GDL sin amortiguamiento. Vibración libre Solución :

Para determinar el período o la frecuencia del sistema es necesario calcular la rigidez (k) y la masa (m), una vez idealizado el sistema. 1. IDEALIZACIÓN

Finalmente se ha llegado a un sistema en serie

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Ejercicio. Sistema de 1 GDL sin amortiguamiento. Vibración libre 2. DETER TERMINACIÓN DE PROPI OPIEDADES DE RIGI GID DEZ Y MASA

⇒ k e ⇒ 

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=  k e

+  k 1

k 2

18

 

Ejercicio. Sistema de 1 GDL sin amortiguamiento. Vibración libre . Cálculo de k1 (aporte en rigidez de la viga) P = k ∆ ⇒ k =  como

∆

= 

P ∆

⇒∆=?

P L3

3E I para   ∆ = 1 ⇒ k =

  3

L

sien siendo do:: E=1. E=1.88x10 x10e4 MPa I=(1/12)(0.2 I=(1/1 2)(0.20)(0.2 0)(0.20)e3= 0)e3=1.333 1.3333x10 3x10ee- 4 m4 L=1m entonces:

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k1=7200 KN/m

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19

 

Ejercicio. Sistema de 1 GDL sin amortiguamiento. Vibración libre . Cálculo de k2 (aporte del cable)

P P = k    ∆ ⇒ ∆ =  k    PL como  ∆ =    AE para  ∆ = 1 ⇒ k = L

siendo: A=π (r)² =   π (1)²=3.1416x10- 4 m² E=2.1x105 MPa L=0.30 m entonces: CHIO-Marzo 2011

k2=219911.50 KN/m Dinámica Estructural. UIS

20

 

Ejercicio. Sistema de 1 GDL sin amortiguamiento. Vibración libre . Cálculo de ke (rigidez del sistema) 1 =  1 +  1 k e k 1 k 2   k e = 6971.7 KN/m

. Determinación de la masa (m), suponiendo aporte solamente del anuncio

m = 

2000 N g

2000 N =  10 m/ s2

  m = 200 kg CHIO-Marzo 2011

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Ejercicio. Sistema de 1 GDL sin amortiguamiento. Vibración libre 3. DETERMINACIÓN DE LA FRECUENCIA ANGULAR ( ω) ω = 

k  m

= 

6971.7x103 N/m 200 kg

.

 

4. DETER ETERMI MIN NACIÓN CIÓN DEL DEL PER PERÍOD ÍODO NATU NATURA RAL L (T (T)) 2 π =  ω T ⇒ T = 

2 π ω

2 π =  187 rad/s

  T = 0.034 s

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Ejercicio. Sistema de 1 GDL sin amortiguamiento. Vibración libre 5. DETERMINACIÓN DE LA FRECUENCIA NATURAL (F)

f  =  1 =  1 T 0.034 s   f  = 30 c. .s Respuesta: La frecuencia natural del sistema es igual a 30 hz. El periodo natural del sistema es igual a 0.034 s.

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Ejercicio. Sistema de 1 GDL sin amortiguamiento. Vibración libre Una viga en voladizo y dos cables de acero, como se ilustra en la figura, sostienen un anuncio que pesa 2 KN. KN. En este sistema, la viga de concreto reforzado (cuyo módulo de elasticidad es E=18 GPa) tiene una sección tra transve nsvers rsal al de al altu tura ra h=0.25 m, y un ancho b=0.20 m, y tiene una longitud de L=0.80 m. Los cables de acero (cuyo módulo de elasticidad es E=210 GPa)) tienen un diámetro de 6 mm y una longitud L=0.45 m. ¿Cuál es la GPa fvriebcrauceinócnia libarnegulars, i eul npaerríáofdao anadtueravl ieyntola irnedsupcueesetan deell asnisutenm cioa uen desp de spla laza zami mien ento to in inic icia iall de 1 cm en dirección vertical y una velocidad inicial de 0.2 m/s en la dirección vertical?. Desprecie la masa de la viga y de los cables de acero ro.. Utilice 9,8 9,81 m/s2 /s2 como valor de la gravedad.  

 

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L = 0.80 m

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Ejercicio. Sistema de 1 GDL sin amortiguamiento. Vibración libre  W =

g= m= Ev = bv = hv = Iv = Lv = kv = Ec = dc = Ac = Lc = kc =

2 9.81 203.8735984 18 0. 2 0.25 0.000260417 0. 8 27.46582031 210 6 2.82743E-05 0.45 13.19468915

KN m/ s 2 kg GPa m m m4 m MN/ m GPa mm m2 m MN/ m

k equiv = w= f= T= u(t= 0) = v(t=0) =

13.45842075 256.9310292 40.89184333 0.024454755 1 0. 2

MN/ m rad/ s hz s cm m/ s

A= B=

0.01 m 0.000778419 m

Res pues ta Frec uenc ia angular = 256.9 Periodo natural = 0. 024 Res pues ta del sis tema u(t) = A *c os (wt ) + B*s in(wt) donde: A= 0.01 B = 0.000778 w= 256. 931

ra rad/s s

m m rad/s

ó res ues t a del s is t ema en forma ráfic a: 0.015 0.01 0.005        )       t        (      u

t

0 -0.005 -0.01 -0.015

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

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Tarea. area. Sist Sistema ema de 1 GDL GDL sin sin amort amortigu iguami amient ento o en vibr vibraci ación ón libre libre El pór órttic icoo ililuustra strado do en la fifiggur uraa tie ienne la lass si sigguie iennte tess cara caract cteerí ríst stic icaas: Ancho de las columnas y vigas, b = 0.20 m; altura de la sección de las columnas y vigas, h = 0.30 m; módulo de elasticidad del material, E = 20 GPa; Longitud del vano, Lv = 3 m; altura de las columnas, H = 3 m; carga muerta uniformemente distribuida sobre la viga, w = 40 kN/m. Evaluar: a) La respuesta de la estructura modelada como un sistema de 1 GDL sin amortiguamiento en vibración libre (u0 = 3 cm y v0 = 15 cm/s en dirección horizontal). Evalúe la rigidez equivalente con un modelo de resortes en serie y en paralelo, ó utilizando los resultados de un análisis estructural. b) Cuánto varía la respuesta si la carga muerta es un 50% mayor?

CHIO-MAYO 2012

DINÁMICA ESTRUCTURAL - UIS

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