2.1. MIA (1)

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA 31 Estadística Aplicada a la Investigación

CAPITULO 2: MUESTREO IRRESTRICTO ALEATORIO 2.1. FUNDAMEN FUNDAMENTO, TO, CONDICIONE CONDICIONES S Y FUNCIONES FUNCIONES1 2.1.1.Criterio fund!ent" Es un método de selección de n unidades en una población de N elementos,  N  de tal modo que cada una de las C n  (combinaciones) muestras distintas tengan la misma oportunidad de ser elegidas. Es decir que no existen restricciones para seleccionar a los elementos de la muestra y únicamente se deber considerar el criterio de aleatoriedad de selección que, en este caso, consiste en asignar igual probabilidad de selección a cada unidad muestral y seleccionarla de modo que esta se mantenga.

2.1.2.Condi#ione$ %r e" !ue$treo "etorio 1) !odas las unidades unidades poblacionales deben deben ser "omogéneas "omogéneas en términos términos de la #ariable de anlisis. $) %a caracter&stica caracter&stica debe presentar presentar una ocurrencia ocurrencia totalmente totalmente aleatoria aleatoria en las unidades muestrales. 3) %a oportunidad oportunidad de cada unidad unidad para 'ormar la muestra debe ser igual. ) ada muest muestra ra posible posible debe debe ser independi independiente ente..

2.1.&.Fun#ione$ 2.1.&.Fun#ione$ %r " e$ti!#i'n 1( E$ti! E$ti!#i' #i'n n de " !edi !edi  •

%a media poblacional ser estimada por* n

 μ= x´ = ^

•

 x ∑ =

i

i 1

n

%a #arian+a estimada de x es* 2 S  N −n V (´ x )= n  N −1 ^

( )

1 %ince, oberto- Estad&stica plicada a la /n#estigación- 0ocumento base para el desarrollo de la ctedra. gina 11

Ing. Rai!" S#nc$e% &sc.

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA Estadística Aplicada a la Investigación n

∑ ( x −´ x ) =

n

2

i

0onde*

i 1

2

S=

2

S =

i 1

n−1

2

 x − ∑ =

i=1

2

i

•

 ó

i

(∑ )

n

S =

2

n −1 n

2

 x −n x´ ∑ =

 x i

n

i 1

n −1

El l&mite para el error de estimación ser*

√ ( ) 2

e x´ = Z α / 2

 S  N − n n  N − 1

0onde Z α  /2= coeficientede confianza

•

El inter#alo est dado por*

∫ ; x´ ± Z  /

α  2

√ ( ) 2

 S  N −n n  N −1

2( E$ti!#i'n Tot" •

El total de la población ser* n

 N 

 ´ = T = N  x

n

%a #arian+a estimada de ! es*

( )( ) 2

 N − n  N −1

 S V (T )= N  n 2

^

^

•

El l&mite para el error de estimación ser*

√ ( )( ) 2

e T = Z α / 2 ^

•

i

i 1

^

•

 x ∑ =

S  N  n 2

 N −n  N −1

El inter#alo estar dado por*

∫ ; T ± Z   / ^

α  2

− ( ) ( − ) √ 2

 S  N  n 2

 N  n  N  1

&. E$ti!#i'n de " %ro%or#i'n •

%a porción poblacional ser*

Ing. Rai!" S#nc$e% &sc.

2

ó

3$

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA Estadística Aplicada a la Investigación π = p=

 x i

^

•

n

%a #arian+a estimada p es*  p q^  N −n V ( p )= n  N −1 ^

^

^

0onde* •

 ( ) q^ =1− p ^

El l&mite para el error de estimación ser* e p= Z α /2 ^

•

33

√(  )( )  p q^  N −n n  N −1 ^

El inter#alo estar dado por*

∫ ; p ± Z  / ^

α  2

√(  )( )  p q^  N −n n  N −1 ^

). T!*o de " !ue$tr a) Para la estimación media con FCPF: Si se conoce la varianza de la población: 2 N σ  n= ( N −1 ) D +σ 2 2

2

error  E = = 2  D 2 0onde*  z  z

Otra forma de expresar el tamaño de la muestra es: N no n= ( N −1 )+ no 0onde* 2 2 Z  σ  no = 2  E Cuando no se conoce la varianza de la población uando no se conoce la #arian+a de la población se debe reali+ar una muestra piloto, cuyo tama2o depende del criterio del in#estigado y debe ser menor que el 14 de la población uando la muestra "a sido obtenida a tra#és de una muestra piloto* n piloto= 4 %N 

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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA Estadística Aplicada a la Investigación 0e este

3

n piloto  se obtienen los datos de la #arian+a, para luego

aplicar la ecuación* n=

N no

( N −1 )+ no

0onde* 2 2 Z  S no = 2  E lgunos in#estigadores utili+an una 'órmula de corrección, ya que se considera que la #arian+a obtenida en la encuesta piloto, cuando esta es muy peque2a, se "ace poco representati#a, es decir, que el resultado de n es menor que el obtenido con la #arian+a poblacional. or tanto para reali+ar la corrección, esta se aplica al parmetro no , con la siguiente ecuación y luego se #uel#e a recalcular n*

[ ][ 2

Z  S no = 2  E

2

1+

2

n piloto

]

+( Pr " e$ti!#i'n tot": 2

N σ  n= ( N −1 ) D +σ 2 2

error =  D 2 2 0onde*  z  N 

#( Pr " e$ti!#i'n de " %ro%or#i'n: n=

Npq ( N −1 ) D + pq 2

2

error  E = 2 2 0onde*  D = Z  Z 

Otra forma de expresar el tamaño de la muestra es: N no n= ( N −1 )+ no 0onde* 2 2 Z  σ  no = 2  E

0onde

2

σ  = pq

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35

Cuando no se conoce la varianza de la población uando no se conoce la #arian+a de la población se utili+a el mismo procedimiento detallado en el inciso a) para este caso.

2.1.).Coe#iente de -ri#i'n C/( uando "ay cierto grado de "omogeneidad en la caracter&stica in#estigada, el tama2o de la muestra tiene que ser peque2o. El grado de "omogeneidad se establece cuando el coe6ciente de #ariación calculado es menor del 34en estos casos es recomendable la aplicación del muestreo aleatorio simple (78), en caso contrario es recomendable el muestreo aleatorio estrati6cado (7E). S CV =  100  x´

0onde 8 es la des#iación estndar de la muestra y  x´  es la media de la muestra.

E0e!%"o de MIA2 8e "a encuestado a 355 'amilias, en la cual se "a consultado el ingreso mensual, la propiedad de la #i#ienda, el total de integrantes, el número de integrantes masculinos, el número de integrantes 'emeninos, número de personas que traba9an y consumo diario de carne. 0eterminar el tama2o óptimo de la muestra para* a) %a caracter&stica de ingresos. b) %a caracter&stica de onsumo diario de carne. c) %a porción de 'amilias con #i#ienda propia. El resultado de la encuesta se encuentra en el nexo .

So"u#i'n ( C"#u"o de " !ue$tr %r e" inre$o %ro!edio 1. uando no se conocen #arian+as poblacionales o de alguna de las caracter&sticas que tienen que #er con el ob9eti#o de principal de la in#estigación, se procede a estimarlas mediante una encuesta piloto, el tama2o de la encuesta piloto debe estar entre el 14 y el 14 de la población, este tama2o lo decide lo selecciona el in#estigador. ara el e9emplo sea* n piloto= 4 %N  n piloto=0,04 (355 )=14 familia

$. %uego de determinar la muestra piloto se selecciona los elementos de la muestra a tra#és de un método de muestreo aleatorio simple, en $ 7art&ne+ :. iro- ($1$)- Estad&stica y muestreo- Ecoe Ediciones- 13a ed.- :ogot. gina ; $$ 1>; si $ 1 1 1 1 3> 111 no $  $ 1 11 1>= >= no $ 1 1 1 1$ 1< 1=> no  $ $ 1 13 $ $$5 no 3 1 $ $ 1 $= 1=5 si $  $ 1 Ta'la (.).* &+est!a pil"t" !es+ltad" del +est!e" aleat"!i" de las ,-- ailias.

3. 0etermina ingreso promedio y #arian+a de la muestra  xi  x´ = n

∑

 x´ =1790

8e calcula la #arian+a y la des#iación estndar de la muestra obteniendo* n

 x −n x´ ∑ = 2

2

i

2

S=

i 1

n−1

2

S = 407538,46 S =638,39

. 0etermina el tama2o dela muestra omo la ecuación para la determinación del tama2o de la muestra es* 2 NS n= ( N −1 ) D + S2 2

2

error  E = 2 2 0onde*  D= Z  Z 

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Con$u!o dirio de #rne r$( =; =;5 5>$ 5$ ;1 ;3; ;5 ;5 ;$ 5$ 5< =;= ;. eempla+ando se obtiene*  E= 0.05 ( x´ )  E= 0.05 (1790 )=¿ ,5

n =129,58 - proximadamente 13 'amilias

5. plicación de la 'órmula de corrección debido a la utili+ación de encuesta piloto. n piloto=14

[ ][ 2

Z  S no = 2  E

2

1+

2

n piloto

]

eempla+ando se tiene N no =140,75 n= ( N −1 )+ no

n =140,75 - proximadamente 11 'amilias

2.2.C4LCULO DEL INTER/ALO DE CONFIAN5A& An inter#alo de con6an+a (o ni#el de con6an+a) es un indicador de la precisión de una medición que se reali+ó. !ambién es un indicador de cun estable es el #alor estimado, el cual es la medida de lo cerca que estar la medición "ec"a, respecto al #alor estimado original si se repitiera el experimento. 8e debe seguir los siguientes pasos para calcular el inter#alo de con6an+a de los datos obtenidos datos.

1( P"nte!iento de" %ro+"e! 0ebe entenderse la situación, y determinar claramente cul es el parmetro que se quiere anali+ar, con qué grado de precisión se desea estimar el parmetro dentro de un inter#alo de con6an+a dado.

2( Se e"e##i'n de " !ue$tr de " %o+"#i'n

3 ómo calcular el inter#alo de con6an+a- obtenido de* "ttp*BBes.CiDi"oC.comBcalcularelinter#alodecon6an+a Ing. Rai!" S#nc$e% &sc.

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3<

8e debe calcular y seleccionar la muestra que se utili+ar en la recolección de datos para e#aluar la "ipótesis.

/ig+!a (.).* Selección de +na +est!a p"'laci"nal.

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3>

&( C6"#u"o de" %ro!edio 7 " de$-i#i'n e$t6ndr 8e debe escoger un dato estad&stico de la muestra (por e9emplo, el promedio, la des#iación estndar, #arian+a, proporciones, etc.) que se quiere usar para estimar el parmetro de la población escogida. An parmetro de población es un #alor que representa una caracter&stica particular de la población.

)( E"eir e" ni-e" de #onn8:

1− ∝

¿

)

El ni#el de con6an+a expresa la certe+a de que realmente el dato que se busca esté dentro del margen de error, o dic"o de otra manera, es una medida del grado de con6abilidad en el inter#alo. or e9emplo si se asume un ni#el de con6an+a del >54, implica que el >54 de las muestras dar&an lugar a un inter#alo que incluye la media  x´  (#arian+a, des#iación estndar o cualquier otro parmetro que se esté estimando), y sólo el 54 de las muestras producir un inter#alo erróneo. uanto mayor sea el ni#el de con6an+a se puede tener mayor certe+a que el #alor del parmetro que se estima est dentro del inter#alo. %os ni#eles de con6an+a ms comúnmente usados son >4, >54 y >>4.

9( C"#u"r e" !ren de error 8e puede encontrar el margen de error usando la siguiente ecuación

√ ( ) − √( −) 2

e x´ = Z α / 2

 S  N − n n  N − 1

e x´ = Z α / 2 ! S

1  N  n

n  N  1

0onde ∝= Ni"el de i#nificaci$n 1−∝= Ni"el de confianza

Z α  /2= coeficientede confianza o "alor crtico S = de"iaci$n etandar de lam&etra

n = tama'o de lam&etra  N =tama'o de la po(laci$n

ara encontrar el coe6ciente de con6an+a, o

Z α  /2  se con#ierte el ni#el de

1−α   por e9emplo del >54

(1− α = 95 ) , en decimal =1−0,95 =0,05 1−α =0,95 , luego se despe9a el ni#el de signi6cación este #alor se lo di#ide para dos obteniendo α /2 =0,025 , luego se le suma con6an+a

∝

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

el ni#el de con6an+a con lo cual se obtiene el #alor de la probabilidad de los datos

0,95 + 0,25 =0,975 , que es el #alor que "ay que buscar en la tabla de

?, obteniendo

Z α  /2=1,96

or tanto para los ni#eles de con6an+a ms comunes se tiene*  Ni"el de confianza = 1−∝= 90 = 0,90 ) ∝=0,10 ) α / 2 =0,05 ) Z α /2 = 1,645  Ni"el de confianza = 1−∝= 95 = 0,95 ) ∝=0,05 ) α / 2 =0,025 ) Z α / 2= 1,96  Ni"el de confianza = 1−∝= 99 = 0,99 ) ∝=0,01 ) α / 2=0,005 ) Z α  /2=2,575

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1

( E;%re$r e" inter-"o de #onn8 El inter#alo de con6an+a para el caso de la media poblacional est dado por*

∫ ; μ ± e ´ ^

 x

∫ ; μ ± Z  / ^

α  2

√ ( ) 2

 S  N − n n  N −1

√ ( ) 2

 x´ − Z α /2

√ ( ) 2

 S  N −n S  N −n * μ*  ´  x + Z α /2 n  N −1 n  N −1 ^

Ing. Rai!" S#nc$e% &sc.