2.1 Funciones Vectoriales - Ejercicios Resueltos

2.1 Funciones Vectoriales – Ejercicios Resueltos CÁLCULO III PARA INGENIERÍA

1. Sea C una curva definida por el sistema

Con

y

constantes.

a) Representar C de la forma

con

b) Determinar el punto de C en el cual c) Obtener vectores

en cualquier punto de C.

d) Calcular la curvatura e) Calcular la torsión

y determinar el punto en que

es máxima.

.

1) a) SOLUCIÓN: La curva C que nos da es un sistema de ecuaciones, lo cual a nosotros nos piden parametrizar C, entonces en la ecuación:

Para esta ecuación siempre se parametriza de la siguiente forma:

Con la parametrización señalada anteriormente, verifiquen si pertenece a la ecuación del cilindro. Ahora me falta parametrizar

, con la otra ecuación tengo:

Por tanto la curva C parametrizada es:

b) SOLUCIÓN: Al obtener

, primero tenemos que derivar con respecto a , obteniendo:

Luego calcularemos su norma:

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Hacemos

, para resolver la siguiente ecuación:

Después calculamos el punto evaluando

con

, obteniéndose:

c) SOLUCIÓN: El vector tangente se calcula con la siguiente fórmula:

El vector binormal se calcula de la siguiente manera:

Es una operación cruz entre dos vectores (x) Entonces, lo primero que tenemos que hacer es obtener la segunda derivada de

con respecto a

Luego calculamos el producto cruz entre esos dos vectores:

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Calcularemos su norma:

Por tanto, el vector binormal en cualquier punto de la curva C es:

Y por último, el vector normal está dado por:

d) SOLUCIÓN: La curvatura

es un escalar y se calcula de la siguiente forma:

Entonces tenemos:

Vemos que en la curvatura, ésta dependerá del denominador, puesto que en el numerador es una constante, por tanto, llamaremos:

Estudiaremos los valores extremos (si es que tiene) de la función buscamos los puntos críticos:

Hago

. Derivaremos dos veces y

, teniendo los puntos críticos

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Evalúo en la segunda derivada, para encontrar máximos y/o mínimos:

Como

es siempre positivo, entonces el valor mínimo de la función esta dado en el punto

Por tanto la curvatura como depende de la función en el denominador, cuando es mínimo, entonces la curvatura es máxima, o viceversa. Por tanto, evaluada en , nos dará el valor máximo de la curvatura:

e) SOLUCIÓN: Como el vector en consecuencia la torsión

es una función vectorial constante (puesto que no depende de . Para verificar (opcional) la torsión se calcula usando la fórmula:

Calculamos la tercera derivada teniendo:

Teniendo que la torsión:

2. Sea C una curva dada por , parametrizada en función de la longitud de arco , que tiene curvatura y torsión constantes a) Probar que el vector

es constante

b) Obtener el valor de

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2) a) SOLUCIÓN: Para demostrar que el vector dado sea constante, debemos probar que la derivada de ese vector con respecto a tiene que ser cero (puesto que la derivada de una constante es 0). Entonces, calcularemos:

Como

son constantes, entonces:

Usando las fórmulas de Frenet tenemos que:

Por ende:

Como la derivada es 0, entonces el vector

es constante.

b) SOLUCIÓN: La norma se calcula de la siguiente forma:

Pero

Entonces la norma es:

3. Sea C una curva dada por

, con

a) Determinar el mayor intervalo b) Calcular c) Verificar que

, longitud de C, si

en el cual la curva C es regular. .

es perpendicular a

d) Obtener los versores

.

en todo punto de C.

en el punto

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3) a) SOLUCIÓN: El intervalo debe ser el dominio de la curva siguientes condiciones:

por tanto se debe cumplir las

Se hace eso, puesto que son raíces cuadradas. Para que la curva C sea regular se tiene que cumplir que:

Derivamos con respecto a

Por tanto C es regular, y el intervalo es:

b) SOLUCIÓN: Dado que

, entonces la longitud de la curva está dada por la expresión:

Primero calcularemos la norma:

Por tanto, la longitud de curva es:

c) SOLUCIÓN: Para ver si son perpendiculares basta hacer la siguiente operación:

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Calcularemos:

Luego aplicamos el producto punto de:

Como el producto punto nos dio 0, entonces los vectores d) SOLUCIÓN: Primero, obtendremos el punto

son perpendiculares

tal que

Es decir:

Del cual se obtiene Evaluaremos:

Calcularemos las normas:

Por tanto los versores:

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4. Dada la curva

.

a) Obtener la ecuación de la recta tangente en el punto

.

b) Obtener la ecuación del plano osculador en el punto

.

c) Determinar que la curva es plana y obtener la ecuación del plano en que reside la curva. 4) a) SOLUCIÓN: La forma de la ecuación de la recta tangente es:

Calcularemos

Así que

Por tanto la ecuación de la recta tangente en el punto dado es:

Quedaría:

Despejando

tenemos la ecuación de la recta tangente:

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b) SOLUCIÓN: La forma de la ecuación del plano osculador es:

Como nos piden en el mismo punto del ítem anterior, entonces, faltaría calcular la segunda derivada de la curva, evaluarla y aplicar el producto cruz entre esos dos vectores.

La ecuación del plano osculador es:

c) SOLUCIÓN: Para que la curva sea plana, basta que la torsión en todo punto sea 0.

Calculamos la tercera derivada

Por tanto, la torsión es 0, y eso quiere decir que la curva es plana, y ésta curva reside en el plano osculador

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5. Sea C una curva dada por a) Verificar que C es regular. b) Calcular la longitud de segmento de C comprendido entre sus puntos

y

c) Calcular d) Determinar los puntos de C en que la curvatura

sea máxima y puntos en que

sea mínima.

5) a) SOLUCIÓN: Para que la curva C sea regular se tiene que cumplir:

Derivaremos a

con respecto a

Pero claramente debido a que hemos verificado que la curva C es regular.

, y además es continua, por tanto

b) SOLUCIÓN: Primero debemos buscar los puntos del A hacia B, lo cual:

Donde

y

, por tanto, la longitud de la curva C entre esos dos puntos es:

Calculando la norma:

Entonces:

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c) SOLUCIÓN: Primero obtendremos la curvatura

y la torsión

, calculando

Entonces la curvatura se calcula de la siguiente forma:

Y la torsión

Por tanto, el cociente entre la curvatura y la torsión es:

d) SOLUCIÓN: La curvatura va ser valor máximo si la función es valor mínimo. (Ustedes deriven y busquen el punto crítico). Con el punto es un valor mínimo para y valor máximo para la curvatura. Y el valor mínimo para la curvatura es cuando . Por tanto, los valores de la curvatura en esos puntos críticos son:

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6. Un edificio de 10 pisos de forma cilíndrica con una base que es una circunferencia de 30 mts de radio, tiene una escalera adosada por el exterior en forma de espiral cuya ecuación paramétrica es a) Probar que las rectas tangentes en cada punto a la espiral forman un ángulo constante con el eje z. b) Determinar el valor que debe tomar

para que el ángulo sea

c) Determinar la longitud de la rampa de la escalera medida por el lado interior desde el suelo hasta el último piso (considerar que cada vez que se incrementa en se sube un piso). 6) a) SOLUCIÓN: La recta tangente, para este caso, es el vector (solamente toma la dirección, no la norma), por tanto, para que en cada punto la recta tangente forma un ángulo constante con respecto al eje z, se debe probar que:

Derivamos y calcularemos su norma

Y el

Como

. Entonces quedaría:

es una constante, entonces hemos probado que el ángulo es constante.

b) SOLUCIÓN: Con lo deducido anteriormente, podremos obtener el valor de

Por tanto, el valor de

tiene que ser

, para que el ángulo sea de

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si

, o sea:

.

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c) SOLUCIÓN: Tenemos que calcular la longitud de la curva, pero fíjese que primero vamos a calcular la longitud de la rampa pero en un piso, para luego multiplicar por 10 (que es la altura del edificio). Entonces:

Por ende, la longitud de la rampa de la escalera medida por el lado interior desde el suelo hasta el último piso es de:

7. Sea la trayectoria a) Hallar las coordenadas del punto en que esta trayectoria cruza la superficie: b) Calcular la velocidad y la rapidez en dicho punto. c) Calcular la longitud de la trayectoria hasta el punto de impacto si parte de d) Determine las componentes tangencial y normal de la aceleración en el punto de intersección. e) Determine el valor de la torsión en el punto de impacto. 7) a) SOLUCIÓN: Tenemos que encontrar el punto dada, entonces en plano cartesiano tenemos que:

Como por ende . Pero como por tanto nuestro punto de impacto es:

(punto de impacto), que cruza a la superficie

, entonces la trayectoria cruza en el instante

,

b) SOLUCIÓN: Para que sepan, la velocidad y la rapidez son conceptos distintos, puesto que la velocidad aparte de tener la norma, también indica dirección, en cambio, la rapidez solamente tiene la norma. Por fórmula la velocidad se obtiene:

Mientras que la rapidez se obtiene:

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Calcularemos:

Por tanto, la velocidad en el punto de impacto es:

Y la rapidez es:

c) SOLUCIÓN: La longitud de la trayectoria es:

d) SOLUCIÓN: Por fórmula las componentes tangencial y normal de la aceleración se calcula respectivamente así:

La segunda derivada representa la aceleración:

Calculando tenemos:

Por tanto, las componentes tangencial y normal de la aceleración en el punto de impacto es:

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e) SOLUCIÓN: Calculamos la tercera derivada

Por ende la torsión en el punto de impacto es:

8. Sea la trayectoria regular longitud de arco y .

, definida por

a) Pruebe que para todo punto de la trayectoria b) Expresar el vector

el vector

, donde

es el parámetro

está en el plano osculador.

como una combinación lineal de la base

8) a) SOLUCIÓN: En este ejercicio es un caso de reparametrización (en vez de tomar con la variable , se toma otra variable ). Entonces tenemos que

Aplicando la regla de cadena, derivaremos a

con respecto a , obteniendo:

Pero por fórmula tenemos que:

Entonces:

Calcularemos la segunda derivada con respecto a :

Por Frenet tenemos:

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Por ende:

Así hemos probado que es el vector binormal )

está en el plano

, o sea, está en el plano osculador (su perpendicular

b) SOLUCIÓN: Tenemos que hallar la tercera derivada con respecto a

aplicando regla de la cadena

Por Frenet:

Entonces quedaría:

Por tanto, el vector

es una combinación lineal de base

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