21 - Corrig de l'Examen CCV109 02-07-08-Exercice 1

CONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ET METIERS CHAIRE DE TRAVAUX PUBLICS ET BATIMENT CORRIGE - EXAMEN Cours de : Date : Cycle : Session : Horaire : Documents : Enseignants :

Béton armé Mercredi 2 juillet 2008 CCV109 1ère cession 18h00-21h00 Tous autorisés F. Guillemard / J.Pais

Etude d’une poutre en torsion (8 points) Le but est d’étudier une poutre reprenant un auvent et donc sollicitée en torsion. La poutre a une dimension de 28x80 et reprend un auvent de 2,20m de portée. Les dimensions de la poutre et de l’auvent sont indiquées sur le schéma ci-dessous. Q

15 cm 30 cm 80 cm 2.20 m Poutre à dimensionner 28 cm

L’auvent est soumis sur toute sa longueur à une surcharge d’entretien Q= 1KN/m² (voir schéma ci-dessus). La poutre à dimensionner reprend donc la résultante de la surcharge appliquée sur l’auvent ainsi que le poids propre de ce dernier. La portée de cette poutre est de 3.80m et est considérée encastrée à ses deux extrémités.

Les hypothèses de calcul sont les suivantes :
Qualité de béton : B25.
Nuance d’acier : FE500
Hauteur utile : d= 72cm.
Calcul en fissuration peu préjudiciable.
On doit prendre en compte le poids propre de la poutre.
Densité du béton : 25KN/m3. 1. Descente de charges sur la poutre. Dans un 1er temps, il faut déterminer les charges à reprendre sur la poutre :  Charges verticales appliquées sur la poutre (en KN/ml), issues de la descente de charges de l’auvent.  Couple de torsion appliqué sur la poutre, également issu de la descente de charges de l’auvent. Le poids propre de l’auvent sera déterminé en le divisant en deux éléments (voir schéma ci-dessus) :  Partie 1 correspondant à une épaisseur constante.  Partie 2 correspondant à la partie variable.

Q

Partie 2

15 cm 30 cm 80 cm

Partie 1

2,20 m

28 cm

Pour chaque action (poids propre et charge répartie), on détermine la résultante verticale par sommation des charges le long de l’auvent et le moment de torsion en multipliant ces résultantes par le bras de levier correspondant. ATTENTION, les différents bras de levier doivent être considérés par rapport au centre de la poutre (en ajoutant donc la demi-largeur).

On présente les résultats sous forme de tableau, qui correspond aux charges appliquées par mètre linéaire sur la poutre : Action P.P auvent – partie 1 P.P auvent – partie 2 P.P de la poutre TOTAL charges permanente Surcharge d’exploitation P.P : Poids Propre

Charge verticale (KN/m) 25*0.15*2.20= 8.25 2.20*(0.30-0.15)/2*25= 4.125 0.28*0.80*25= 5.6 18

Bras de levier (m) 2.20/2+0.28/2= 1.24 2.20/3+0.28/2= 0.87 0

Couple de torsion (KN.m/m) 8.25*1.24= 10.23 4.125*0.87= 3.60 0 13.83

2.20*1= 2.2

2.2/2+0.28/2= 1.24

2.2*1.24= 2.73

2. Sollicitations maximales A partir des charges précédemment calculées, on peut déterminer les sollicitations suivantes :  Effort tranchant Vu  Moment fléchissant Mu  Moment de torsion Tu Effort tranchant et moment fléchissant On peut déterminer la charge à l’ELU reprise par la poutre :  Pu= 1.35*18 + 1.5*2.2= 27.60 KN/m Pour une poutre bi-encastrée de portée l, on a les valeurs suivantes : P .l 27,60 × 3,80  Effort tranchant max (ELU) : Vu = u = = 52,44 KN = 0,052 MN 2 2  Moment de flexion aux appuis : P .l ² 27,60 × 3,80² Mu = u = = 33,2 KN .m = 0,033MN .m 12 12 P .l ² 27,60 × 3,80²  Moment max à mi-travée : M u = u = = 16,6 KN .m = 0,017 MN .m 24 24

Moment de torsion Comme nous l’avons vu dans le cours, pour une poutre soumise à un couple de torsion constant, on a :

 

mtu = 1,35 × 13,83 + 1,5 × 2,73 = 22,77 KN .m / m = 0,023MN .m / m l 3,80 Tu = mtu . = 0,023 × = 0,04 MN .m 2 2

3. Détermination des armatures de flexion Armatures en travée (fibre inférieure) 0,017  µ= = 0,008 0,28 × 0,72² ×14,17

(

(1 − 2 × 0,008) ) = 0,01 z = 0.72(1 − 0,4 × 0,01) = 0,717m

 

α = 1,25 1 −



Au =

0,017 = 5,45.10 −5 m² = 0,54cm² 0,717 × 434,78

On vérifie le pourcentage minimum : F 2,1 × 0,28 × 0,72 = 1,95cm² Amin = 0,23 t 28 b0 d = 0,23 × Fe 500 On retient donc 1,95 cm². Armatures sur appui (fibre supérieure) 0,034  µ= = 0,016 0,28 × 0,72² ×14,17   

(

)

α = 1,25 1 − (1 − 2 × 0,016 ) = 0,02

z = 0.72(1 − 0,4 × 0,02 ) = 0,714 m 0,033 Au = = 1,06.10 −4 m² = 1,06cm² 0,714 × 434,78

On retient également 1,95 cm² (pourcentage minimum). 4. Détermination des armatures transversales sous charges gravitaires. On a calculé Vu = 0,051MN (on ne considère pas de transmission directe aux appuis). On calcul la contrainte de cisaillement : τ u =

0,052 = 0,26 MPa 0.28 × 0,72

On vérifie la contrainte limite de cisaillement :  f cj  0,2 = 4Mpa. τ u = MIN  γ b  = 4 MPa > 0,26 MPa .   5MPa On calcul ensuite la section d’aciers théorique : A t b.γs .τ u 0,28 × 1,15 × 0,26 = = = 1,86cm² / ml . st 0 ,9.f e 0,9 × 500

On détermine le pourcentage minimum :

On retient donc

At 0,4 × b 0,4 × 0,28 ≥ = = 2,24cm² / ml st fe 500

At ≥ 2,24cm² / ml st

5. Contraintes limites sur le béton (moment de torsion + effort tranchant) On a calculé le moment de torsion à l’ELU : Tu = 0,04 MN .m On calcul ensuite la contrainte de cisaillement due au moment de torsion :     

τ uT =

Tu 2.b0 .Ω

0,28 = 0,047 m 6 Ω = (0,28 − 0,047 ) × (0,80 − 0,047 ) = 0,175m² u = 2[(0,28 − 0,047) + (0,80 − 0,047)] = 1,97m 0,04 τ uT = = 2,43MPa 2 × 0,047 × 0,175 a = 0,28m et b0 =

On vérifie ensuite la contrainte limite sur le béton :  τ uT ² + τ uV ² ≤ τ u ² ⇒ 2,43² + 0,26² = 5,97 MPa ≤ 4² = 16 MPa La vérification sur le béton est satisfaite, on peut donc calculer les armatures de torsion :  Armatures longitudinales de torsion.  Armatures transversales de torsion. 6. Calcul des armatures de torsion Armatures longitudinales de torsion 

ΣAl =

Tu .u.γ s 0,04 × 1,97 × 1,15 = = 5,18cm² 2.Ω. f e 2 × 0,175 × 500

Le pourcentage minimum nous donne : ΣAl ≥ On retiendra donc 5,18 cm².

0,4 × b0 × u 0,4 × 0,047 × 1,97 = = 0,74cm² fe 500

Armatures transversales de torsion 

At T .γ 0,04 × 1,15 = u s = = 2.63cm² st 2.Ω. f ed 2 × 0,175 × 500

On détermine le pourcentage minimum :

On retient donc

At 0,4 × b0 0,4 × 0,047 ≥ = = 0,38cm² / ml st fe 500

At ≥ 2,63cm² / ml par face. st

7. Armatures longitudinales totales Armatures longitudinales totales sur appui Les armatures longitudinales totales seront disposées de la façon suivante : ΣAl 5,18 + A flexion = + 1,95 = 4,54cm² , soit 3HA14= 4.62cm² 2 2

ΣAl 5.18 = = 2,59cm² , soit 3HA14= 4,62cm² 2 2

En fait, en partie inférieure, on met en place 3HA14 (donc beaucoup plus que la section théorique) car on prolonge les aciers inférieurs de travée (voir ci-dessous) jusqu’à l’appui.

Armatures longitudinales totales en travée Les armatures longitudinales totales seront disposées de la façon suivante : ΣAl 5.18 = = 2,59cm² , soit 3HA12= 3,39cm² 2 2

ΣAl 5,18 + A flexion = + 1,95 = 4,54cm² , soit 3HA14= 4.62cm² 2 2

Pour simplifier un peu plus le ferraillage de la poutre, on pourrait mettre en place 3HA14 en fibre supérieure de la travée (prolongement des aciers aux appuis sur toute la travée). 8. Armatures transversales totales Prenons l’hypothèse que l’on ferraille la poutre avec des cadres en HA8. Pour les aciers transversaux d’effort tranchant ( At = 2 × HA8 = 1,01cm ² ), on a At 1,01 = 2,24cm² / ml ⇒ st = = 0.45m = 45cm st 2,24  Pour les aciers transversaux de torsion ( At = 1 × HA8 = 0,50cm ² ), on a At 0,50 = 2,63 ⇒ st = = 0.19 m = 19cm st 2,35 Dans les deux cas, les espacements doivent satisfaire 

0,9 d = 0,9 × 0,72 = 0,65m st ≤ MIN  40cm 

On retient donc les espacements max suivants :  40 cm pour les armatures transversales d’effort tranchant.  19 cm pour les armatures transversales de torsion. On calcul le nombre « théorique » de cadres sur 1mètre linéaire de poutre :  1/0.40= 2.5 cadres pour les aciers transversaux d’efforts tranchants.  1/0.19= 5.26 cadres pour les aciers transversaux de torsion.  On a donc au total un nombre « théorique » de cadres de 7,76. On peut donc placer 8 cadres par mètre linéaire de poutre, soit un espacement de 11 cm.

9. Schéma de ferraillage On a le ferraillage suivant :

Du fait que les aciers de chapeaux sont très proche, un ferraillage plus simple à mettre en œuvre serait de supprimer les 3HA10 (fibre supérieure) en travée et prolonger les 3HA14 des appuis sur toute la travée. On aurait alors le ferraillage suivant :