2.1 Aplicación de EDO de Primer Orden - Ejercicios Resueltos

2.1 Aplicación de ecuaciones diferenciales de primer orden – Ejercicios Resueltos ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIERÍA



 

1. Una partícula de masa unitaria se dispara verticalmente hacia arriba en un campo gravitacional constante  metros por segundo cuadrado con una velocidad inicial metros por segundo. Suponga que el medio ejerce una fuerza de resistencia proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea con constante de proporcionalidad   newton por segundo cuadrado dividido por metro cuadrado. a) Determine la altura máxima que alcanza la partícula. Use la aproximación:

   

b) Determine el tiempo que demora la partícula en alcanzar su altura máxima. Deje expresado en términos de la arcotangente. Use la aproximación

        

.

1) a) SOLUCIÓN: El problema planteado se trata de caída libre, por ende, se debe plantear las siguientes ecuaciones:

                                                                              

Como nos pide calcular la altura, tenemos que usar la ecuación (2) que es la del desplazamiento, por tanto, los datos que tenemos del problema son:

Reemplazando en la ecuación:

Lo cual se resuelve usando el método de separación de variables

J.A.L.P. 1

2.1 Aplicación de ecuaciones diferenciales de primer orden – Ejercicios Resueltos

                                                                            ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIERÍA

Como la función  (es la primera derivada de la posición con respecto al desplazamiento),  para encontrar el punto máximo, hacemos .

Por tanto, la altura máxima que alcanza la partícula es:

b) SOLUCIÓN: Para el caso del tiempo, tendré que usar la ecuación

Poniendo los datos, tenemos:

Se resuelve por el método de separación de variables, es decir:

J.A.L.P. 2

2.1 Aplicación de ecuaciones diferenciales de primer orden – Ejercicios Resueltos

                                                                                                                       ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIERÍA

Lo mismo del caso anterior, para encontrar el tiempo en que cuando la particula está en la altura máxima, hacemos , para despejar el

Por tanto, el tiempo en que se demora la partícula en alcanzar su altura máxima es:

2. Un tanque contiene  oz de sal homogéneamente diluida en  galones de agua. Si fluye agua hacia dentro del tanque a razón de   galones por minuto con una concentración de   y simultáneamente la mezcla fluye hacia afuera con igual velocidad. Halle la

cantidad de sal que queda en el tanque, en cualquier tiempo .

2) SOLUCIÓN: Éste es un problema típico de mezclas. Siempre para este problema se usará la siguiente ecuación lineal de la forma:

Donde:

Con

Lo que finalmente tenemos que resolver la ecuación diferencial:

J.A.L.P.

3

2.1 Aplicación de ecuaciones diferenciales de primer orden – Ejercicios Resueltos ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIERÍA

Leyendo el problema, tenemos que:

                                                  Por tanto, resolveremos la ecuación:

Ésta ecuación es lineal, por tanto, para resolver se debe usar la fórmula de Leibniz. Nuestro:

De la ecuación lineal:

Entonces la solución general es:

                                                         

Imponiendo la condición inicial

, tenemos:

J.A.L.P. 4

2.1 Aplicación de ecuaciones diferenciales de primer orden – Ejercicios Resueltos

                                ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIERÍA

Por tanto, la cantidad de sal que queda en el tanque, en cualquier tiempo  es:

3. En un c ampus universitario que tiene  estud iantes h ay un único estudiante portador d el viru s de la grip e. Sea  el núm ero d e estu dian tes c on tagiad os en el día . Si la veloc idad co n qu e el virus se prop aga es propo rcional al prod ucto entre el número de alumno s con tagiados y el número de alumn os n o con tagiados , se pide: a) Determinar el número de personas enfermas en el día  si se sabe que pasados 4 días hay 50 enfermos. b) Calcular cuando habrá 500 estudiantes enfermos. c) Si los estudiantes no se tratan con medicamentos, ¿qué número de enfermos habrá cuando pase mucho tiempo? ¿Llegará a desaparecer la enfermedad?

                               

USE LAS SIGUIENTES APROXIMACIONES:

3) a) SOLUCIÓN: Primero, hay que establecer la ecuación diferencial. Leyendo el problema se tiene:

Las condiciones iniciales son:

Por tanto, esta ecuación se resuelve usando separación de variables:

Integrando en ambos lados:

J.A.L.P. 5

2.1 Aplicación de ecuaciones diferenciales de primer orden – Ejercicios Resueltos

                                                        ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIERÍA

Exponenciamos en ambos lados teniendo:

Por tanto, la solución general es:

Imponiendo las condiciones se tiene la solución particular:

b) SOLUCIÓN: Tenemos que calcular el tiempo del ítem anterior tenemos:

, cuando

, reemplazando en la solución

Luego a los 7 días habrá 500 enfermos.

                     

c) SOLUCIÓN: Cuando pase mucho tiempo se refiere matemáticamente cuando tenemos que calcular  usando limite.

. Es decir,

Cuando pase mucho tiempo, sin que los estudiantes no tomen medicamentos, todos ellos se infectaran.

J.A.L.P. 6

2.1 Aplicación de ecuaciones diferenciales de primer orden – Ejercicios Resueltos 4. Un vaso de agua a



ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIERÍA

  es sacado al exterior donde la temperatura es de

     . El agua se

enfría de acuerdo a la ley de enfriamiento de Newton con constante de proporcionalidad cuando el tiempo es medido en horas. Si la temperatura exterior desciende a razón de hora, ¿cuál es la temperatura del agua después de 5 horas? 2009-2

4) SOLUCIÓN: La ecuación diferencial para la ley de enfriamiento de Newton es:

                                                                        Donde

Leyendo el problema, la temperatura del aire (exterior) no es una constante, entonces:

Se resuelve la ecuación:

Se tiene la condición:

 . Integrando e imponiendo la dicha condición, tenemos:

 Ahora, reemplazo los datos en la ecuación

Se usa el cambio de variable

Reemplazando el cambio en la ecuación tenemos:

J.A.L.P. 7

 por

2.1 Aplicación de ecuaciones diferenciales de primer orden – Ejercicios Resueltos

                                                                                                 ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIERÍA

Volviendo a la variable original, tenemos la solución general:

Imponiendo la condición

, tenemos que

. Por ende, la solución particular es:

Evalúo la solución con

Después de 5 horas, la temperatura del agua es de

 aproximadamente.

5. La sangre conduce un medicamento a un órgano a razón de  y sale con la misma razón. El órgano tiene un volumen líquido de . ¿Cuál debe ser la concentración del medicamento en la sangre que entra al órgano para que a los   la concentración del medicamento en el órgano sea de ; si inicialmente no había rastros de dicho medicamento? (dato:

)

J.A.L.P. 8

2.1 Aplicación de ecuaciones diferenciales de primer orden – Ejercicios Resueltos ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIERÍA

5) SOLUCIÓN: Éste es un problema de mezclas. Veremos qué datos nos entregan:

                                                                      

Sea  la concentración del medicamento en la sangre que entra al órgano. Debemos encontrar el valor de   tal que se cumple la condición . Como es problema de mezclas, se debe resolver la siguiente ecuación diferencial:

Poniendo los datos, tenemos:

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Calcularemos la constante C, tal que cumpla la condición

Por tanto, la solución particular es:

J.A.L.P. 9

2.1 Aplicación de ecuaciones diferenciales de primer orden – Ejercicios Resueltos ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIERÍA

Para encontrar la concentración de medicamento que entra, debemos imponer la otra condición que es  . Entonces:

    

        



            

Por tanto, la concentración de medicamento en la sangre que entra al órgano debe ser



.

6. Un profesor redacta las notas del curso con una rapidez proporcional al número de hojas ya escritas. Por otra parte sus alumnos son capaces de leer los apuntes con una velocidad constante. Al comenzar el curso, el profesor entrega 10 hojas a sus alumnos y posteriormente se las va proporcionando a medida que las escribe. Determine el atraso de uno de sus alumnos en la lectura de las notas al finalizar el 3° trimestre si al cabo del primero llevaba un atraso de 20 páginas y al término de 6 meses un atraso de 70 páginas. Considere cada trimestre de tres meses sin receso entre cada uno de ellos.

6) SOLUCIÓN: Sean las variables:

                                                                  

Según el problema, tenemos las siguientes condiciones:

Y las ecuaciones diferenciales:

 Al resolver las ecuaciones tenemos las soluciones generales:

Imponiendo las condiciones

tenemos:

J.A.L.P. 10

2.1 Aplicación de ecuaciones diferenciales de primer orden – Ejercicios Resueltos

                                   ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIERÍA

Y al imponer las condiciones ecuaciones:

, formaremos un sistema de

Lo cual se tiene los valores:

Por ende, las soluciones son:

El atraso está dado por la diferencia es:

. Entonces el atraso al cabo de 9 meses (3 trimestres)

J.A.L.P. 11