208022-TELETRAFICO-Unidad 1

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍAS E INGENIERÍAS CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 208022-TELETRAFICO –

UNIVERSIDAD NACIONAL NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIAS E INGENIERIAS INGENIERIA DE TELECOMUNICACIONES

208022 TELETRÁFICO –

REMBERTO CARLOS MORENO HERAZO (Director Nacional)

HAROLD EMILIO CABRERA MEZA Acreditador

COROZAL Octubre de 2010

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COMITÉ DIRECTIVO Jaime Alberto Leal Afanador Rector Gloria Herrera Vicerrectora Académica Roberto Salazar Ramos Vicerrector de Medios y Mediaciones Pedagógicas Maribel Córdoba Guerrero Secretaria General

MÓDULO CURSO TELETRAFICO PRIMERA EDICIÓN

 © Copyright Universidad Nacional Abierta y a Distancia

ISBN 2010 COROZAL, Colombia

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ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO El contenido didáctico del curso académico: Teletráfico fue diseñado en el año 2010 por el Ingeniero Remberto Moreno Herazo, docente de la UNAD, ubicado en el CEAD COROZAL, Remberto Moreno es Ingeniero Electrónico y Especialista en Telecomunicaciones, con estudios de Maestría en Telecomunicaciones, se ha desempeñado como Coordinador Local del Programa de Ingeniería Electrónica y Telecomunicaciones y Docente del mismo programa. Se desempeña actualmente como director del curso a nivel nacional. Harold Emilio Cabrera Meza, docente del CEAD Pasto, apoyó el proceso de revisión del contenido didáctico e hizo aportes disciplinares, didácticos y pedagógicos en el proceso de acreditación del material didáctico.

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INTRODUCCIÓN Una de las áreas específicas sobre las que se desarrolla el perfil del Ingeniero en Telecomunicación es el de la Planificación y Gestión de las Telecomunicaciones. En el escenario actual de los operadores de redes y servicios, es un requisito imprescindible la planificación de redes de telecomunicación que permitan de forma optimizada en costes la introducción de nuevos servicios con los que captar y mantener a los diferentes nichos de clientes. Para dicha tarea resulta imprescindible adoptar técnicas de identificación, clasificación y tratamiento de los diversos tipos de tráfico que ha de tratar una arquitectura de red heterogénea. Surge a su vez la necesidad de evolución en las tecnologías de conmutación y transmisión con las que implantar las redes de telecomunicación que transportan el tráfico de clientes. Esta asignatura se fundamenta en el conocimiento de los criterios con los que se han de diseñar y planificar las redes privadas y públicas sobre las que se transporta el tráfico multiservicio de los clientes de un operador de Telecomunicaciones. Utilizando para ello las principales herramientas matemáticas y de simulación en la caracterización del tráfico existente. Así, se identifica la necesidad de evolución en las redes, y la búsqueda de un compromiso sobre el que amparar los requisitos y expectativas de los clientes en cuanto a la calidad/coste del servicio, y la necesidad de inversión en red y rendimiento financiero asociado por parte de los operadores. En particular, dado que nuestro interés común son las redes de comunicaciones, la mayoría de aplicaciones que consideraremos serán respecto al tráfico sobre dichas redes. En efecto, si bien podría pensarse que los componentes de la red (equipos y protocolos) tienen un comportamiento determinístico, ellos existen para satisfacer las demandas de los usuarios, las cuales se presentan en cantidades aleatorias y en instantes de tiempo aleatorios. El modelamiento probabilístico de los tiempos entre llegadas y las intensidades de las demandas de los usuarios de una red, así como sus efectos sobre los componentes (software y hardware) de la red, es una aplicación de la

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teoría abstracta de las probabilidades y los procesos estocásticos que constituye toda una nueva teoría de tráfico. El curso TELETRÁFICO correspondiente al componente profesional del Programa de Ingeniería de Telecomunicaciones y Electrónica tiene como objetivo inducir al estudiante en el campo de las telecomunicaciones partiendo de sus bases conceptúales, su evolución y adaptación a través de la historia. El curso tiene 2 créditos académicos los cuales comprenden el estudio independiente y el acompañamiento tutorial, con el propósito de: Comprender los conceptos fundamentales en el tema de la teoría de Teletráfico. Adquirir un concepto claro de la importancia de la teoría del Teletráfico en el análisis y predicción de tráfico en redes de telecomunicaciones. Adquirir un concepto claro de la aplicabilidad de la Ingeniería de Teletráfico al dimensionamiento de centros de conmutación y la capacidad de la interconexión entre los mismos. Conocer con cierta profundidad las diferentes técnicas de dimensionamiento de tráfico aplicables a las diferentes tipos de redes de conmutación. Este curso está compuesto por dos unidades didácticas a saber: UNIDAD 1. INTRODUCCIÓN A LA INGENIERÍA DE TRAFICO: se presenta una vista general sobre la definición de: Conceptos y variaciones y generación de tráfico, Principio de dimensionamiento, Proceso de los estados de ocupación, Equilibrio estadístico, Definiciones y unidades: Hora pico, hora cargada u hora referencia, Erlang, CCS (Centrum Call Second), LLRHC (LLamada reducida en la hora cargada), Intensidad de tráfico, intensidad de llamada ofrecida, y demandada, cursadas y rechazadas, Trafico demandado, ofrecido, cursado y rechazado, Cálculo de tráfico en la hora cargada, Proceso de nacimiento y muerte: Análisis de Distribución de Poisson.

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UNIDAD 2. TRÁFICO Y SU APLICACIÓN AL DIMENSIONAMIENTO DE REDES E TELECOMUNICACIONES: se trata de analizar Modelo de Erlang B, Modelo Bernoulli, Modelo Poisson, Factor de Utilización, Sistemas con accesibilidad completa con Espera: Desarrollo del modelo de Erlang C, Tiempo promedio de espera, Función de distribución de los tiempos de espera, Cola con tiempos de servicios constantes, Colas finitas y fuentes finitas. El curso es de carácter teórico y la metodología a seguir será bajo la estrategia de educación a distancia. Por tal razón, será importante planificar los procesos de: Estudio Independiente: este se desarrollará a través del trabajo personal y del trabajo en pequeños grupos colaborativos de aprendizaje. Acompañamiento tutorial: corresponde al acompañamiento que el tutor realiza al estudiante para potenciar el aprendizaje y la formación. Este acompañamiento se puede adelantar de forma individual, en pequeños grupos o a nivel de grupo de curso. Otro aspecto a considerar dentro del curso es el Sistema de interactividades, el cual vincula a los actores del proceso mediante diversas actividades de aprendizaje que orientan el trabajo de los estudiantes hacia el logro de los objetivos que se pretenden. Se puede dar de la siguiente manera: Tutor-estudiante: a través del acompañamiento individual. Estudiante-estudiante: mediante la participación activa en los grupos colaborativos de aprendizaje. Estudiantes-tutor: a través del acompañamiento a los pequeños grupos colaborativos de aprendizaje. Tutor-estudiantes: mediante el acompañamiento en grupo de curso Estudiantes-estudiantes: en los procesos de socialización que se realizan en el grupo de curso. Para el desarrollo del curso es importante el papel que juegan los recursos didácticos y tecnológicos como medio activo e interactivo, buscando la interlocución durante todo el proceso de diálogo tutorestudiante.

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Se tienen diferentes opciones y tecnologías, las cuáles deben ser empleadas de la mejor forma, de acuerdo al espacio y a los objetivos propuestos en cada curso. Algunas de las más empleadas, son: Materiales impresos: se han convertido en el principal soporte para favorecer los procesos de aprendizaje auto dirigido. Sitios Web: propician el acercamiento al conocimiento, la interacción y la producción de nuevas dinámicas educativas. Sistemas de interactividades sincrónicas: permite la comunicación a través de encuentros presenciales directos o de encuentros mediados ( chat, audio conferencias, videoconferencias, tutorías telefónicas ) Sistemas de interactividades asincrónicas: permite la comunicación en forma diferida favoreciendo la disposición del tiempo del estudiante para su proceso de aprendizaje ( correo electrónico, foros, grupos de discusión, entre otros ) El acceso a documentos complementarios y a los laboratorios del curso, adquieren una dimensión de suma importancia, en tanto la información sobre el tema exige conocimientos de actualidad y la comprobación práctica de los principales conceptos tratados en el curso. En la medida que adquiera el rol de estudiante, interiorice y aplique los puntos abordados anteriormente, podrá obtener los logros propuestos en este curso, así como un aprestamiento en los enfoques de la Ingeniería mediante la estrategia de educación a distancia. El curso consta de dos (2) créditos académicos equivalentes a 96 horas de estudio, distribuidas de la siguiente manera: Estudio Independiente:

70

horas

Acompañamiento Tutorial:

26

horas

El curso está orientado a la autogestión estudiantil de los conocimientos teóricos para conocer los modelos prácticos del tráfico sobre redes modernas de comunicaciones y sus efectos sobre los mecanismos de control de admisión, control de acceso, conmutación, y control de congestión (Teoría de Colas).

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CONTENIDO UNIDAD 1. INTRODUCCIÓN A LA INGENIERÍA DE TRÁFICO. Capítulo 1. Introducción a la Ingeniería de Teletráfico  Lección 1. Modelado de sistemas de comunicaciones Lección 2. Redes de Comunicación Lección 3. Conceptos De Tráfico Y De Grado De Servicio Lección 4. Variaciones de tráfico y concepto de hora cargada Lección 5. Concepto de bloqueo

Capítulo 2. Teoría de las probabilidades y estadísticas  Lección 6. Generación de tráfico y reacción de los abonados Lección 7. Introducción al grado de servicio Lección 8. Funciones de distribución Lección 9. Procesos de LLegada Lección 10. Teorema de Little

Capítulo 3. Distribuciones Distribuciones de los intervalos intervalos de tiempo  tiempo  Lección 11. Distribuciones exponencial Lección 12. Distribuciones pronunciadas Lección 13. Distribuciones planas Lección 14. Distribuciones de Cox Lección 15. Otras distribuciones Temporales

Lectura complementaria (Contenidos complementarios profundización de temáticas)

Bibliografía Unidad 1(Referenciación de Contenidos complementarios para profundización de temáticas)

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UNIDAD 2. TRÁFICO Y SU APLICACIÓN APLICACIÓN AL DIMENSIONAMIENTO DIMENSIONAMIENTO DE REDES DE TELECOMUNICACIONES Capítulo 4. Sistemas de Pérdidas  Lección 16. El proceso de Poisson Lección 17. Sistemas de pérdidas de Erlang, fórmula B Lección 18. Procedimientos normales para diagramas de transición de estado Lección 19. Sistemas de pérdidas con accesibilidad completa Distribución binomial Lección 20. Distribución de Engset

Capítulo 5. Sistemas de espera  Lección 21. Sistema de espera de Erlang M/M/n Lección 22. Tiempo de espera medio Lección 23. Principio de MOE en Sistemas de espera Lección 24. Sistemas terminales Lección 25. Aplicación de la teoría de colas de espera

Capítulo 6. Dimensionamiento de las redes de telecomunicaciones  telecomunicaciones  Lección 26. Matrices de tráfico Lección 27. Control de carga y protección de servicio Lección 28. Mediciones de tráfico Lección 29. Teoría del muestreo Lección 30. Ejemplos de mediciones de trafico

Lectura complementaria (Contenidos complementarios profundización de temáticas)

Bibliografía Unidad 2 (Referenciación de Contenidos complementarios para profundización de temáticas)

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UNIDAD 1

INTRODUCCIÓN A LA INGENIERÍA DE TRÁFICO

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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA INGENIERÍA DE TELETRÁFICO La teoría de teletráfico se define como la aplicación de la teoría de las probabilidades a la solución  de problemas concernientes a la planificación, evaluación de la calidad de funcionamiento, operación y mantenimiento de sistemas de telecomunicación . En forma más general, la teoría de

teletráfico se puede considerar como una disciplina de planificación en la que los medios (procesos estocásticos, teoría de puesta en fila y simulación numérica) se toman de la investigación de las operaciones. El término teletráfico  abarca todo tipo de tráfico de comunicación de datos y de tráfico de  telecomunicaciones . La teoría estará primordialmente ilustrada con ejemplos de sistemas de comunicación telefónica y datos. Sin embargo, los medios formulados son independientes de la tecnología y aplicables en otras áreas como tráfico de caminos, tráfico aéreo, cintas de fabricación y montaje, distribución, gestión de talleres y almacenamiento, y toda clase de sistemas de servicio. El objetivo de la teoría del teletráfico puede formularse así: Lograr calcular el tráfico en unidades bien definidas mediante modelos matemáticos y  determinar la relación existente entre calidad de servicio y capacidad del sistema, de  tal manera que la teoría se convierta en una herramienta útil para la planificación de  las inversiones.

El cometido de la ingeniería de teletráfico es diseñar del modo más rentable posible sistemas cuya calidad de servicio se hayan definido previamente cuando se conoce la demanda de tráfico y la capacidad de los elementos del sistema. Asimismo, la teoría del teletráfico ha de establecer  métodos específicos para controlar que la calidad de servicio en un momento dado cumple los requisitos, y determinar qué acciones de emergencia concretas se han de tomar cuando los sistemas se encuentran sobrecargados o se producen fallos técnicos. Para ello se precisan métodos de previsión de la demanda (por ejemplo, a partir de mediciones de tráfico) y métodos para calcular la capacidad de los sistemas, y la especificación de los parámetros cuantitativos para medir la calidad de servicio. Cuando se pasa de la teoría a la práctica, surge una serie de problemas respecto a las decisiones que han de adaptarse a corto y largo plazo. Las decisiones a corto plazo  engloban, por ejemplo, la determinación del número de circuitos en un grupo de enlace, el número de empleados en consolas de conmutación, la cantidad de sendas abiertas en un supermercado y la atribución de prioridades a trabajos de un sistema informático. 2

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Las decisiones a largo plazo  abarcan, por ejemplo, decisiones relativas a la creación y ampliación de redes de datos y de telecomunicaciones, la adquisición de cables, sistemas de transmisión, etc. La aplicación de la teoría en relación con la concepción de nuevos sistemas puede ayudar a comparar distintas soluciones eliminando así las menos acertadas en una fase inicial sin tener que elaborar prototipos.

Lección 1: Modelado de sistemas de telecomunicación  Para el análisis de un sistema de telecomunicación, se debe establecer un modelo para describir  la totalidad (o parte) del sistema. Este proceso de modelado es fundamental especialmente para nuevas aplicaciones de la teoría del teletráfico pues se requiere conocimiento tanto del sistema técnico como de las herramientas matemáticas y la aplicación del modelo en un medio informático.

Figura 1.1 Los sistemas de telecomunicación son sistemas complejos hombre/máquina. El cometido de la teoría de teletráfico es el de configurar sistemas óptimos para conocimiento de las necesidades y hábitos del usuario. Este modelo contiene tres elementos principales (véase la figura 1.1): La estructura del sistema. La estrategia operacional. Las propiedades estadísticas del tráfico.

1.1 Estructura del sistema Esta parte se determina técnicamente y, en principio, es posible obtener algún nivel de detalles en la descripción, por ejemplo en el nivel de componente. Los aspectos de viabilidad son estocásticos pues los errores se producen al azar y estarán considerados como tráfico de alta prioridad. La 3

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estructura del sistema viene dado por el sistema físico o lógico que normalmente se presenta en manuales. En sistemas de tráfico de caminos, las carreteras, las señales de tránsito, rotondas, etc., configuran la estructura.

1.2 Estrategia operativa Un sistema físico determinado (por ejemplo un sistema de tráfico vial que utiliza rotondas de distribución) se puede utilizar de diferentes maneras para adaptar el sistema de tráfico a la demanda. En ingeniería vial, se aplica con reglas y estrategias de tránsito que podrían ser distintas para el tráfico de la mañana y el tráfico de las primeras horas de la noche. En una computadora, esta adaptación tiene lugar mediante el sistema de operación y por  intervención del operador. En un sistema de telecomunicación las estrategias se aplican a fin de dar prioridad a las tentativas de llamada con el objeto de encaminar el tráfico a su destino. En centrales telefónicas con control de programa almacenado (SPC, stored program control ), las tareas asignadas al procesador central se dividen en clases con diferentes prioridades. La prioridad más elevada se asigna a las llamadas aceptadas seguida de nuevas tentativas de llamada mientras que el control de rutina del equipo tiene baja prioridad. Los sistemas telefónicos clásicos utilizaban lógica por conexión alámbrica para introducir estrategias mientras que en los sistemas modernos éstos se efectúan por soporte lógico, que permiten el empleo de estrategias más flexibles y adaptativas.

1.3 Propiedades estadísticas del tráfico Las demandas del usuario están modeladas por las propiedades estadísticas del tráfico. Sólo efectuando mediciones sobre sistemas reales es posible determinar que el modelado teórico está de acuerdo con la realidad. Este proceso debe ser necesariamente de naturaleza iterativa (véase la figura 1.2). El modelo matemático se establece a partir de un profundo conocimiento del tráfico. Se calculan entonces las propiedades del modelo y se las comparan con los datos medidos. Si no están en conformidad satisfactoria entre sí, se deberá efectuar una nueva iteración del proceso. Parece natural dividir la descripción de las propiedades de tráfico en procesos estocásticos para la llegada de tentativas de llamada y procesos que describen tiempos (de ocupación) del servicio. Se supone normalmente que estos dos procesos son independientes entre sí, lo cual significa que la duración de una llamada es independiente del tiempo de llegada de la llamada. Existen modelos que describen el compartimiento del usuario que experimenta bloqueo, es decir, que se lo rechaza el servicio y puede efectuar una nueva tentativa de llamada un poco más tarde (intentos de llamada repetidos). En la figura 1.3 se ilustra la terminología aplicada generalmente en la teoría de teletráfico. 4

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Figura 1.2. La teoría de teletráfico es una disciplina inductiva. Para observaciones de sistemas reales se establecen modelos teóricos, de los que se derivan parámetros, que pueden ser comparados con observaciones correspondientes del sistema real. Si están de acuerdo, el modelo se convalida. En caso contrario, se debe elaborar el modelo en mayor grado. Este método científico de trabajo se denomina espiral de experimentación

Figura 1.3 Ilustración de la terminología aplicada para un proceso de tráfico. Nótese la diferencia entre intervalos de tiempo e instantes de tiempo. Los términos llegada y llamada se utilizan como sinónimos. El tiempo entre llegadas y el tiempo entre salidas, son los intervalos de tiempo entre llegadas o salidas, respectivamente

1.4 Modelos Los requisitos generales de un modelo son: 1) Debe ser posible verificar el modelo sin mayor dificultad, como así también determinar los parámetros del modelo a partir de los datos observados. 2) Debe ser viable presentar el modelo para dimensionamiento práctico. 5

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Se está buscando una descripción de, por ejemplo, las variaciones observadas en la cantidad de llamadas establecidas en curso en una central telefónica, que varían incesantemente debido a que las llamadas son establecidas y terminadas. Aun cuando por hábitos comunes, las variaciones diarias siguen un diagrama predecible para el comportamiento del abonado, es imposible prever las tentativas de llamadas individuales o la duración de las llamadas establecidas. En la descripción, es por tanto necesario métodos estadísticos. Se dice que los eventos de tentativas de llamada tienen lugar conforme a un proceso estocástico , y el tiempo de llegada entre tentativas de llamada se describe a través de las distribuciones de probabilidad que caracterizan el proceso estocástico. Una alternativa al modelo matemático es un modelo de simulación o un modelo físico (prototipo). En un modelo de simulación  de computadora es común utilizar directamente los datos recopilados o bien utilizar distribuciones estadísticas. Sin embargo, hay más demanda de recursos para trabajar con simulación pues el modelo de simulación no es general. Cada caso individual debe ser simulado. La elaboración de un prototipo llevará aún más tiempo que un modelo de simulación. En general, se prefieren los modelos matemáticos pero a menudo es necesario aplicar simulación para desarrollar el modelo matemático. A veces se elaboran prototipos para efectuar la prueba final.

1.5 Sistemas telefónicos convencionales En esta sección se da una breve descripción sobre qué sucede cuando una central telefónica tradicional recibe una llamada. La descripción se dividirá en tres partes: Estructura, estrategia y  tráfico . Es muy común distinguir entre centrales de abonados (conmutadores de acceso, centrales locales, (LEX) y centrales de tránsito (TEX)) debido a la estructura jerárquica conforme a la cual se diseñan la mayoría de las redes telefónicas nacionales. Los abonados se conectan a centrales locales o a conmutadores de acceso (concentradores) que se conectan a centrales locales. Por  último, los conmutadores de tránsito se utilizan para interconectar centrales locales o para aumentar la disponibilidad y fiabilidad. 1.5.1 Estructura del sistema Se examinará aquí una central telefónica del tipo de barras cruzadas. Si bien este tipo se encuentra, en la actualidad, fuera de servicio una descripción de su funcionamiento permite una buena ilustración sobre las tareas que son necesarias efectuar en una central digital. El equipo en una central telefónica convencional comprende trayectos de señales vocales  y trayectos de  control . (Véase la figura 1.4.)

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Figura 1.4 Estructura fundamental de un sistema de conmutación Los trayectos de señales vocales están ocupados durante el tiempo total de la llamada (3 minutos de promedio) mientras que los trayectos de control sólo están ocupados durante la fase de establecimiento de la llamada (entre 0,1 a 1 s). El número de trayectos de señales vocales es, por  tanto, considerablemente más grande que el número de trayectos de control. El trayecto de una señal vocal es una conexión de una determinada entrada (abonado) a una determinada salida. En un sistema con división en el espacio  los trayectos de señal vocal están integrados por  componentes pasivos (como relés, diodos o circuitos VLSI). En un sistema con división en el  tiempo  los trayectos de señales vocales se componen de uno o varios segmentos de tiempo específicos dentro de una trama. Los trayectos de control son responsables del establecimiento de la conexión. Normalmente, esto sucede en una cantidad de etapas en la que cada una de ellas es llevada a cabo por un dispositivo de control: un microprocesador , o un registrador . Las tareas del dispositivo de control son las siguientes: Identificación del abonado originante (quien desea efectuar una conexión (acceso de entrada)). Recepción de la información digital (dirección, acceso de salida). Búsqueda de una conexión en estado de reposo entre los accesos de entrada y de salida. Establecimiento de la conexión. Liberación de la conexión (efectuada a veces por el propio trayecto de la señal vocal).  Asimismo, se debe tener en cuenta la tarificación de las llamadas. En centrales convencionales el trayecto de control se establece sobre relés o dispositivos electrónicos y las operaciones lógicas vienen dadas por un dispositivo lógico cableado. Las modificaciones en las funciones requieren cambios físicos que son difíciles y costosos. 7

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En centrales digitales los dispositivos de control son procesadores. Las funciones lógicas se llevan a cabo mediante programas, y las modificaciones se consideran más sencillas de aplicar. Las restricciones están mucho menos limitadas, así como la complejidad de las operaciones lógicas comparadas con la lógica cableada. Las centrales controladas por soporte lógico también se denominan sistemas con control de programa almacenado (SPC, stored program control ).

1.5.2 Comportamiento del usuario Considérese un sistema telefónico convencional. Cuando el abonado A inicia una llamada el gancho conmutador se levanta y el par de hilos del abonado se pone en cortocircuito. Esta operación activa un relé en la central. El relé identifica al abonado y un microprocesador en el circuito de abonado elige un cordón  sin conexión. El abonado y el conductor se conectan a través de un circuito conmutador. Esta terminología se originó en el tiempo en el que un operador manual por medio de un cordón se conectaba con el abonado. El operador manual corresponde al registrador. El cordón tiene tres salidas. El registrador se acopla al cordón a través de otro circuito conmutador. Por tanto, el abonado se conecta al registrador (selector de registro) a través del cordón. Esta fase tiene efecto en menos de un segundo. El registrador envía al abonado el tono de invitación a marcar, quien marca el número de teléfono deseado del abonado B, el cual es recibido y mantenido por el registrador. La duración de esta fase depende del abonado. Un microprocesador analiza la información de cifras y por medio de un selector de grupo establece una conexión con el abonado deseado, que puede pertenecer a la misma central, a una central vecina o a una central remota. Por otra parte, es común distinguir entre centrales con las que existe enlace directo, y aquéllas que no lo tienen. En este último caso debe haber una conexión a través de una central en un nivel superior de jerarquía. La información de cifras se entrega por  medio de un transmisor codificado a un receptor codificado de la central deseada que transmite entonces la información a los registradores de la central. El registrador ha cumplido entonces su cometido y se libera de modo tal que queda en reposo para otras tentativas de llamada. Los microprocesadores trabajan muy rápido (alrededor de 1 - 10 ms) e independientes de los abonados. El cordón está ocupado durante la totalidad de la llamada y se hace cargo del control de la llamada cuando el registrador se libera. Se ocupa de, por  ejemplo, diferentes tipos de señales (ocupado, referencia, etc.), impulsos para tarificación, y liberación de la conexión cuando la llamada se suprime. Puede suceder que una llamada no pasa como está previsto. El abonado puede efectuar un error, colgar repentinamente, etc. Asimismo, existen límites de capacidad en el sistema. Las tentativas de llamada hacia un abonado tienen lugar aproximadamente de la misma manera. Un receptor  8

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codificado en la central del abonado B recibe las cifras y se establece una conexión a través del circuito de conmutación de grupo y al circuito de conmutación local a través del abonado B con utilización de los registradores de la central receptora.

1.5.3 Estrategia de la operación El trayecto de las señales vocales funciona normalmente como sistemas de pérdidas mientras que el trayecto de control funciona como sistemas de espera. Si no hay cordón disponible ni registrador en reposo el abonado no tendrá tono de marcación sin importar cuánto tiempo se encuentra a la espera. Si la central no tiene salida disponible para el abonado B deseado, se emitirá un tono de ocupado al abonado A llamante. Independientemente de cualquier espera adicional no se establecerá ninguna conexión. Si un microprocesador (o todos los microprocesadores de un tipo específico cuando haya varios) está ocupado, la llamada esperará entonces hasta que el microprocesador esté desocupado. Debido al tiempo de retención muy corto el tiempo de espera es a menudo tan breve que los abonados no lo notan. Si varios abonados se encuentran esperando el mismo microprocesador, obtendrán normalmente el servicio en ordenamiento aleatorio independiente del tiempo de llegada. El modo por el cual los dispositivos de control del mismo tipo y los cordones comparten el trabajo es a menudo cíclico, tal que presentan aproximadamente el mismo número de tentativas de llamada. Esto constituye una ventaja pues asegura la misma cantidad de uso y en razón que el abonado muy raramente tendrá otra vez un trayecto de control o cordón con defectos si la tentativa de llamada se repite. Si un trayecto de control está ocupado durante más de un tiempo determinado, se efectuará una desconexión forzada de la llamada. Esto hace imposible que una simple llamada bloquee partes vitales de la central, como por ejemplo un registrador. Asimismo, sólo es posible generar durante un tiempo limitado el tono de llamada al abonado B y con ello bloquear momentáneamente este teléfono en cada tentativa de llamada. Una central debe funcionar y operar independientemente del comportamiento del abonado. La cooperación entre las diferentes partes tiene lugar conforme a reglas estrictas y bien definidas, denominadas protocolos, que en sistemas convencionales se determina por la lógica de conexiones y en sistemas de control de soporte lógico por lógicas de programas. Los sistemas digitales (por ejemplo, la RDSI = Red digital de servicios integrados), en el que el sistema telefónico completo está digitalizado de abonado a abonado (2 · B + D = 2 × 64 + 16 kbit/s por abonado), (RDSI-BE = RDSI de banda estrecha) por supuesto funciona diferentemente que los sistemas convencionales descritos anteriormente. Sin embargo, las herramientas fundamentales de teletráfico para la evaluación son las mismas en ambos sistemas. Lo mismo también abarca los 9

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futuros sistemas de banda ancha (RDSI-BA) que estarán basados en el modo de transferencia asíncrono (ATM).

Lección 2: Redes de comunicación  Existen diferentes clases de redes de comunicaciones: redes telefónicas, redes de télex, redes de datos, Internet, etc. Actualmente la red telefónica sigue siendo la más extendida y a menudo otras redes están integradas físicamente en la red telefónica. En futuras redes digitales se planifica integrar una numerosa cantidad de servicios en la misma red (RDSI, RDSI-BA).

2.1 Red telefónica La red telefónica ha sido tradicionalmente construida como un sistema jerárquico. Cada abonado se conecta a un preselector o a veces a una central local (LEX). Esta parte de la red se denomina red de acceso . El preselector de abonado se conecta a una central local principal específica que a su vez se conecta a una central de tránsito (TEX) en la cual hay normalmente una, como mínimo, para cada código de área. Las centrales de tránsito están normalmente conectadas en una estructura poligonal (véase la figura 1.5). Las conexiones entre las centrales de tránsito conforman una red de tránsito jerárquica . Existen otras conexiones entre dos centrales locales (o preselectores de abonado) que pertenecen a diferentes centrales de tránsito (centrales locales) si la demanda de tráfico es suficiente para justificarla.

Figura 1.5 Existen tres estructuras de redes básicas: poligonal, en estrella y en anillo. Las redes poligonales se aplican cuando hay algunas centrales grandes (parte superior de la  jerarquía, también denominadas redes en malla), mientras que las redes en estrella son adecuadas cuando hay numerosas centrales pequeñas (parte inferior de la jerarquía). Las redes en anillo se aplican, por ejemplo, en sistemas de fibra óptica. Una conexión entre dos abonados en diferentes zonas de tránsito pasará normalmente por las siguientes centrales: USUARIO

→ LEX → TEX → TEX → LEX → USUARIO 10

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Los grupos de enlace de tránsito individuales se basan en sistemas de transmisiones analógicas o digitales, y, a menudo, se utilizan equipos de multiplexación. Doce canales analógicos de 3 kHz cada uno conforman un sistema de frecuencia portadora  de primer orden (múltiplex en frecuencia), mientras que 32 canales digitales de 64 kbit/s cada uno integran un sistema MIC  de primer orden de 2,048 Mbit/s. (Múltiplex por impulsos codificados, múltiplex en el tiempo.) La anchura de 64 kbit/s se obtiene de una muestra de la señal analógica a una velocidad de 8 kHz y una exactitud de amplitud de 8 bits. Dos de los 32 canales en un sistema MIC se utilizan para señalización y control.

Figura 1.6 En una red de telecomunicación todas las centrales se disponen típicamente en una jerarquía de tres niveles. Las centrales locales o centrales de abonado (L), a las que los usuarios se conectan, están vinculados con centrales principales (T), que a su vez se conectan a centrales interurbanas (I). Una zona interurbana integra así una red en estrella. Las centrales interurbanas se interconectan en una red poligonal. En la práctica las dos estructuras de red están mezcladas, pues cuando hay suficiente tráfico se establecen grupos de enlace directos entre dos centrales cualesquiera. En la red danesa futura sólo habrá dos niveles, pues las centrales T e I se fusionarán. Por razones de seguridad y viabilidad se dispondrá casi siempre de dos trayectos no consecutivos mínimo entre dos centrales cualesquiera y la estrategia será utilizar primero las conexiones más económicas. La jerarquía en la red digital danesa se reduce a sólo dos niveles. El nivel superior  con centrales de tránsito comprende una red poligonal totalmente conectada mientras que las centrales locales y los preselectores de abonados se conectan a tres centrales de tránsito diferentes por razones de seguridad y viabilidad. 11

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La red telefónica se caracteriza por el hecho de que antes que dos abonados cualesquiera se puedan comunicar, se debe crear un vínculo bilateral completo (dúplex completo), y que la conexión exista durante el tiempo total de la comunicación. Esta propiedad se conoce como red  telefónica con conexión  en contraste con, por ejemplo Internet que es sin conexión. Cualquier red que presenta, por ejemplo, conmutación de líneas  o conmutación de circuitos  es con conexión. En la disciplina de planificación de red, el objetivo es optimizar las estructuras de red y el encaminamiento del tráfico conforme a las demandas del mismo, los requisitos de viabilidad y servicio, etc.

Ejemplo 2.1: Las redes VSAT (Maral, 1995 [77]): Las redes VSAT (Maral, 1995 [77]) es utilizada por ejemplo por organizaciones multinacionales para la transmisión de señales vocales y datos entre diferentes divisiones de noticias de radiodifusión, en situaciones de catástrofe, etc. Estas pueden ser conexiones punto a punto o conexiones de punto a multipunto (distribución y difusión). El terminal de muy pequeña abertura (VSAT, very small aperture terminal ) (estación terrena) es una antena con un diámetro de 1,6 a 1,8 metros. El terminal es económico y portátil. Es así posible prescindir de la red telefónica pública. Debido a condiciones reglamentarias restrictivas, esta tecnología tiene hasta el momento una difusión muy limitada en toda Europa. Las señales se transmiten desde un terminal VSAT a otro terminal VSAT a través de un satélite. El satélite está en una posición fija a 35 786 km sobre el ecuador y, por tanto, las señales experimentan un retardo de propagación de unos 125 ms por salto. La anchura de banda disponible se divide por lo general en canales de 64 kbit/s, y las conexiones pueden ser unidireccionales o bidireccionales. En su versión más simple, todos los terminales transmiten directamente a los otros, y el resultado es una red global en malla. La anchura de banda disponible se puede asignar de antemano (asignación fija) o en forma dinámica (asignación por demanda). La asignación dinámica permite mejor utilización pero requiere mayor control. Debido a la pequeña parábola (antena) y a la atenuación típica de unos 200 dB en cada sentido, es prácticamente imposible evitar el error de transmisión, por lo que se utilizan códigos de corrección de errores y esquemas de retransmisión posibles. Un sistema más fiable se obtiene mediante la introducción de un terminal principal (concentración de llamadas) con una antena de 4 a 11 metros de diámetro. La comunicación tiene lugar a través del terminal principal. Luego, ambos saltos (VSAT → terminal principal y terminal principal → VSAT) se tornan más fiables pues el terminal principal puede recibir las señales débiles y amplificarlas de modo que el VSAT en recepción obtiene una señal más fuerte. El inconveniente de este procedimiento es que el retardo de propagación es ahora de 500 ms. La solución del terminal principal permite también centralizar  el control y supervisión del sistema. En razón que toda la comunicación pasa a través del terminal principal, la estructura de red constituye una topología en estrella. 12

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2.2 Redes de datos La red de datos se diseña conforme al mismo principio excepto que la duración de la fase de establecimiento de la conexión es más breve. Otra clase de red de datos viene dada en las denominadas redes de distribución de paquetes , que funcionan conforme al principio de almacenamiento y retransmisión  (véase la figura 1.7). Los datos que han de ser transmitidos no se enviarán directamente del transmisor al receptor sino que efectuará por pasos de central a central. Esto puede crear demoras pues las centrales que son computadoras funcionan como sistemas de retardo (transmisión sin conexión). Si el paquete tiene una longitud fija máxima, la red tiene la indicación conmutación de paquetes  (por ejemplo, protocolo X.25). En X.25 un mensaje se divide en un número de paquetes que no necesariamente sigue el mismo trayecto a través de la red. El encabezamiento de protocolo del paquete contiene un número de secuencias tal que los paquetes se pueden disponer en correcto orden en el receptor. Asimismo, se utilizan códigos de corrección de errores y se verifica la corrección de cada paquete en el receptor. Si el paquete es correcto se devuelve un acuse de recibo al nodo precedente, el cual, en ese momento, puede suprimir su copia del paquete. Si el nodo precedente no recibe un acuse de recibo en un intervalo de tiempo determinado, se retransmite una nueva copia del paquete (o de un conjunto completo de paquetes). Por último, hay un control completo de todo el mensaje de transmisor a receptor. De esta manera se obtiene una transmisión muy fiable. Si el mensaje completo se envía en un solo paquete, se denomina conmutación de mensajes.

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Figura 1.7 Red datagrama: Principio de almacenamiento y retransmisión para una red de datos con conmutación de paquetes En razón que las centrales en una red de datos son computadoras, es viable introducir estrategias avanzadas para el encaminamiento del tráfico. 2.3 Redes de área local Las redes de área local (LAN, local area network ) son un tipo muy especial e importante de redes de datos en el que todos los usuarios de un sistema informático están vinculados al mismo sistema de transmisión digital, por ejemplo un cable coaxial. Por lo general, sólo un usuario por  vez puede utilizar el medio de transmisión y obtener algunos datos transmitidos a otro usuario. Como el sistema de transmisión tiene una capacidad amplia comparada con la demanda de los usuarios, cada uno de ellos tiene la sensación de ser el único usuario del sistema. Existen diversas clases de redes de área local. Con la aplicación de estrategias adecuadas para el principio de control de acceso al medio se tiene en cuenta la asignación de capacidad en el caso de muchos usuarios que compiten por la transmisión. Existen dos tipos principales de redes de área local: la red de acceso múltiple en sentido portador/detección de colisión (CSMA/CD, carrier  sense multiple access/collision detection ) (Ethernet) y las redes testigo . La red CSMA/CD es una de las más ampliamente utilizadas. Todos los terminales están haciendo escucha permanente al medio de transmisión y tienen conocimiento cuando está libre y cuando está ocupado. Al mismo tiempo, un terminal puede ver qué paquetes están dirigidos a su propio terminal y necesitan, por  tanto, ser almacenados. Un terminal que desea transmitir un paquete lo hará si el medio está desocupado. Si el medio estuviera ocupado el terminal espera un tiempo aleatorio antes de 14

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efectuar un nuevo intento. Debido a la velocidad de propagación finita es posible que dos (o aún más) terminales inicien la transmisión dentro de un intervalo breve, de modo tal que dos o más mensajes pueden chocar en el medio de transmisión. Este fenómeno se conoce como colisión . Teniendo en cuenta que los terminales están haciendo escucha en todo momento, pueden detectar inmediatamente que la información transmitida es diferente de la recibida y deducir que se ha producido una colisión. Los terminales que intervienen detienen inmediatamente la transmisión y efectuarán más tarde un nuevo intento en un intervalo aleatorio. En una red de área local del tipo testigo, sólo podrá transmitir información el terminal que en ese momento posea el testigo. El testigo estará rotando entre los terminales conforme a reglas predefinidas. Las redes de área local también funcionan con técnicas basadas en ATM (modo de transferencia asíncrono). Asimismo, las LAN inalámbricas se están convirtiendo en sistemas de uso común. Las condiciones de propagación en redes de zona local no son importantes debido a las pequeñas distancias geográficas entre los usuarios. En una red de datos de satélite, por ejemplo, el retardo de propagación es grande comparado con la longitud de los mensajes y en esas aplicaciones se utilizan otras estrategias que las empleadas en redes de zona local.

2.4 Sistemas de comunicación móviles En estos últimos años se ha visto una enorme expansión de los sistemas de comunicación móviles cuyos medios de transmisión son canales radioeléctricos (inalámbricos) analógicos o digitales en contraste con los sistemas de cable convencionales. El espectro de frecuencias electromagnéticas se divide en diversas bandas reservadas para fines específicos. Para comunicaciones móviles se asigna un subconjunto de esas bandas. Cada banda corresponde a un número limitado de canales radiotelefónicos, y es aquí donde surge el recurso limitado en los sistemas de comunicación móviles. La utilización óptima de este recurso es un aspecto esencial en la tecnología celular. En los puntos siguientes se describe un sistema representativo. 2.4.1 Sistemas celulares Estructura. Cuando una determinada zona geográfica ha de ser cubierta con telefonía móvil, se debe instalar en ella una adecuada cantidad de estaciones de base. Una estación de base está constituida por una antena y un equipo transmisor/receptor o un enlace radioeléctrico con una central telefónica móvil (MTX), que es parte de la red telefónica tradicional. Una central telefónica móvil es común a todas las estaciones de base en una determinada zona de tráfico. Las ondas radioeléctricas se amortiguan cuando se propagan en la atmósfera y, por tanto, una estación de base sólo puede cubrir una zona geográfica limitada que se denomina célula (no se debe confundir con las células ATM). Mediante la transmisión de las ondas radioeléctricas con una 15

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potencia adecuada es posible adaptar la zona de cobertura de modo tal que todas estaciones de base cubran exactamente la zona de tráfico planificada sin demasiada superposición entre estaciones vecinas. No es posible utilizar la misma frecuencia radioeléctrica en dos estaciones de base vecinas pero si en dos estaciones de base sin una frontera común, permitiendo entonces la reutilización de canales.

Figura 1.8 Sistema de comunicación móvil celular. Dividiendo las frecuencias en 3 grupos (A, B  y C ) se pueden reutilizar los canales como se muestra en la figura 1.8. En la figura 1.8 se muestra un ejemplo. Se puede disponer de un determinado número de canales por célula conforme al volumen de tráfico dado. La dimensión de la célula depende del volumen de tráfico. En zonas densamente pobladas como grandes ciudades, las células serán pequeñas mientras que en zonas escasamente pobladas las células serán grandes. La atribución de canales  es un problema muy difícil. Además de las restricciones indicadas

anteriormente existen también otras. Por ejemplo, debe haber cierta distancia entre los canales en la misma estación de base (restricción de canal vecino) y hay otras limitaciones para evitar  interferencia. Estrategia . En sistemas de telefonía móvil debe existir una base de datos con información relativa

a todos los abonados. Cualquier abonado puede tener un papel activo o pasivo en el circuito según esté encendido o apagado su radioteléfono. Cuando el abonado enciende el radioteléfono, se le asigna automáticamente un canal de control y se produce su identificación. El canal de control es una canal radioeléctrico utilizado por la estación de base para fines de verificación. El resto de los canales son canales de tráfico de usuario . Una petición de llamada a un abonado móvil (abonado B) se produce de la siguiente manera. La central telefónica móvil recibe la llamada del otro abonado (abonado A, fijo o móvil). Si el abonado 16

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B tiene su radioteléfono apagado, se informa al abonado A que el abonado B no está disponible. Si el abonado B tiene el equipo encendido, el número se presenta entonces en todos los canales de control en la zona de tráfico. El abonado B reconoce su propio número e informa, a través del canal de control, en qué célula (estación de base) se encuentra. Si hay un canal de usuario desocupado se asigna y la MTX pasa la llamada. Una petición de llamada de un abonado móvil (abonado A) se inicia por la operación de desplazamiento del abonado del canal de control a un canal de tráfico de usuario cuando se establece la llamada. La primera fase que comprende la lectura de las cifras y la comprobación de disponibilidad del abonado B es, en algunos casos, establecida por el canal de control (señalización de canal común). Un abonado tiene la facultad de poder trasladarse libremente dentro de su propia zona de tráfico. Cuando se aleja de la estación de base es detectado por la central telefónica móvil (MTX) que supervisa constantemente la relación señal/ruido y puede trasladar la llamada a otra estación de base y a otro canal de usuario cuando se requiere mejor calidad. Esta es una cooperación entre la MTX y el equipo de abonado que se produce automáticamente sin que sea notado por el abonado. Esta operación se denomina traspaso a transferencia de llamadas , y, por supuesto, requiere la existencia de un canal de usuario libre en la nueva célula. En razón que es inadecuado tener que interrumpir una llamada existente, el traspaso de llamadas tiene mayor prioridad que las nuevas. Esta estrategia se puede efectuar dejando en reserva uno o dos canales desocupados para el traspaso de llamadas. Cuando un abonado sale de su zona de tráfico se produce la denomina de itinerancia . La MTX en la nueva zona puede conocer la MTX original a partir de la identidad del abonado. Se envía entonces un mensaje a la MTX de origen con información sobre la nueva posición. Las llamadas de llegada al abonado entran siempre a la MTX de origen la que encamina la llamada a la nueva MTX. Las llamadas salientes serán tratadas de la manera usual. Un sistema inalámbrico digital difundido es el GSM, que se puede utilizar en toda Europa Occidental. La Unión Internacional de Telecomunicaciones está elaborando un sistema móvil global sobre comunicaciones personales universales (UPC, universal personal communication ), en el que los abonados se comunican con cualquier parte del mundo (IMT-2000). Los sistemas de búsqueda de personas  son sistemas primitivos unilaterales. El teléfono digital sin cordón europeo (DECT, digital european cordless telephone ), es una norma para teléfonos inalámbricos. Se pueden conectar localmente en compañías, centros comerciales, etc. En el futuro, surgirán equipos que pueden ser aplicados a los sistemas DECT y GSM. El sistema DECT está constituido por células muy pequeñas mientras que el GSM es un sistema con células más grandes. 17

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Se han diseñado también sistemas de comunicación por satélite en el que la estación de satélite se comunica con una estación de base. El primer sistema de este tipo fue Iridium  que estaba integrado por 66 satélites de tal modo que siempre había más de un satélite disponible en una determinada ubicación dentro del alcance geográfico del sistema. Los satélites tienen órbitas de sólo unos pocos centenares de kilómetros por encima de la Tierra. El sistema Iridium no tuvo éxito, pero surgieron sistemas más modernos como Inmarsat .

Lección 3: Conceptos de tráfico y de grado de servicio  La caracterización de tráfico se efectúa por medio de modelos que se aproximan al comportamiento estadístico de tráfico de red en una gran población de usuarios. Los modelos de tráfico adoptan hipótesis simplificadas referentes a los procesos de tráfico complicados. Utilizando esos modelos la demanda de tráfico se caracteriza por un conjunto de parámetros limitado (valor  medio, varianza, índice de dispersión de cuentas, etc.). El modelado de tráfico consiste básicamente en identificar qué simplificación de hipótesis se pueden efectuar y qué parámetros son pertinentes desde el punto de vista de las repercusiones de la demanda de tráfico sobre la calidad de funcionamiento de la red. Las mediciones de tráfico se efectúan para confirmar esos modelos, efectuando las modificaciones que sean necesarias. No obstante, como no es necesario que los modelos sean modificados frecuentemente, el propósito más usual de mediciones de tráfico es estimar los valores que toman los parámetros definidos en los modelos de tráfico en cada segmento de red durante cada periodo de tiempo. Como complemento a la modelización del tráfico y mediciones de tráfico, se requiere también la previsión de tráfico dado que, para fines de planificación y dimensionamiento, no es suficiente caracterizar la demanda presente de tráfico, sino que es necesario también predecir las demandas de tráfico para el periodo de tiempo previsto en el proceso de planificación.

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Figura 1.9 Tareas de ingeniería de tráfico Los costos de un sistema telefónico se pueden dividir en costos que dependen de la cantidad de abonados y costos que dependen de la cantidad de tráfico en el sistema.  A la hora de planificar un sistema de telecomunicaciones, el objetivo es ajustar el volumen de los equipos de manera que pueda darse respuesta a las variaciones en el tráfico sin que surjan problemas importantes, manteniendo los costos de las instalaciones en el nivel más bajo posible. Los equipos han de utilizarse con la mayor eficacia posible. La ingeniería de teletráfico se centra en la optimización de la estructura de la red y en el ajuste del volumen del equipo, que depende del volumen de tráfico. En las páginas siguientes se introducirán conceptos fundamentales y se ilustrarán algunos ejemplos que indican cómo se comporta el tráfico en sistemas reales. Todos los ejemplos proceden del sector de telecomunicaciones.

3.1 Ingeniería de tráfico en la UIT 19

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Si bien el Grupo de Trabajo 3/2 tiene la responsabilidad global de la ingeniería de tráfico, algunas Recomendaciones sobre este tema o relacionados con el mismo fueron elaboradas (o se están elaborando) por otras Comisiones. La Comisión de Estudio 7 se ocupa de la serie X de Recomendaciones con ingeniería de tráfico para redes de comunicación de datos, la Comisión de Estudio 11 ha elaborado algunas Recomendaciones (Serie Q) sobre los aspectos de tráfico relacionados con el diseño de sistemas de conmutación y señalización digitales, y algunas Recomendaciones de la Serie I, elaboradas por la Comisión de Estudio 13, tratan sobre aspectos de tráfico relacionados con la arquitectura de red de la RDSI-BA y RDSI-BE así como de redes basadas en el protocolo Internet (IP). Dentro de la Comisión de Estudio 2, el Grupo de Trabajo 1 es responsable de las Recomendaciones sobre encaminamiento y el Grupo de Trabajo 2 de las Recomendaciones sobre gestión de tráfico de red. Esta sección se centrará en las Recomendaciones producidas por el Grupo de Trabajo 3/2. Están comprendidas en la Serie E (numeradas entre E.490 y E.799) y constituyen el cuerpo principal de las Recomendaciones del UIT-T sobre ingeniería de tráfico. Estas Recomendaciones se pueden clasificar conforme a las cuatro tareas de ingeniería de tráfico principales: Caracterización de la demanda de tráfico; Objetivos de grado de servicio (GoS); Controles y dimensionamiento de tráfico; Supervisión de calidad de funcionamiento. En la figura 1 se ilustro la interrelación entre esas cuatro tareas. La primera tarea en ingeniería de tráfico es caracterizar la demanda de tráfico y especificar los objetivos de GoS (o calidad de funcionamiento). El resultado de esas dos tareas son el elemento de partida para dimensionar los recursos de red y establecer los controles de tráfico apropiados. Por último, se requiere la supervisión de la calidad de funcionamiento para verificar si los objetivos de GoS que se han alcanzado son utilizados como realimentación de todo el proceso.

3.2 Concepto de tráfico y unidad [erlang] En teoría de teletráfico se utiliza normalmente el término tráfico  para indicar la intensidad de tráfico, es decir tráfico por unidad de tiempo. Este término proviene del italiano y significa comercio. Conforme a la Recomendación UIT-T B.18, 1993 [36] se tiene la siguiente definición:

Definición de intensidad de tráfico: La intensidad de tráfico instantánea en un conjunto de  órganos es el número de órganos ocupados en un instante dado.

El conjunto de órganos puede ser un grupo de servidores, por ejemplo líneas de enlace. Los 20

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momentos estadísticos de la intensidad de tráfico se pueden calcular para un periodo de tiempo T  dado. Para la intensidad de tráfico media se tiene:

∫ donde n(t) indica el número de dispositivos ocupados en el tiempo t . Tráfico transportado Y = Ac : Este es el tráfico transportado por el grupo de servidores durante el intervalo de tiempo T (véase la figura 2.1). En aplicaciones, el término intensidad de tráfico tiene, por lo general, el significado de intensidad de tráfico media.

Figura 2.1 − (Intensidad del) tráfico transportado (= número de dispositivos ocupados) en función del tiempo (curva C). Para fines de dimensionamiento se utiliza la intensidad de tráfico media durante un periodo de tiempo T (curva D). La Recomendación del UIT-T también indica que la unidad generalmente utilizada para la intensidad de tráfico es el erlang (símbolo E). Este nombre fue dado a la unidad de tráfico en 1946 por el CCIF (predecesor del CCITT y del UIT-T), en honor del matemático danés A.K. Erlang (1878-1929), que fue el fundador de la teoría del tráfico en telefonía. Esta unidad es adimensional. El total de tráfico transportado en un periodo de tiempo T es el volumen de tráfico , y se mide en erlang-hora (Eh). Es igual a la suma de todos los tiempos de ocupación dentro del periodo T . Conforme a las normas ISO la unidad normalizada debe estar expresada en erlang/segundos, pero por lo general la medición de erlang/hora tiene un orden de dimensión más natural. El tráfico transportado nunca debe exceder el número de canales (líneas). Un canal puede transportar como máximo un erlang. Los ingresos son a menudo proporcionales al tráfico transportado. 21

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Tráfico ofrecido A: En modelos teóricos se utiliza el concepto de tráfico ofrecido ; es decir el tráfico que sería transportado si no se rechazaran llamadas debido a la falta de capacidad por  ejemplo, si el número de servidores fuera ilimitado. El tráfico ofrecido es un valor teórico y no puede ser medido. Sólo es posible estimar el tráfico ofrecido conforme al tráfico transportado. Teóricamente se trabaja con la intensid ad de llamada λ, que es el número de llamadas medio ofrecido por unidad de tiempo, y tiempo de servicio medio s. El tráfico ofrecido es igual a:  A = λ ⋅s

(2.2)

Esta ecuación permite comprobar que la unidad de tráfic o no tiene dimensión. Esta definición supone que conforme a la definición anterior hay un número ilimitado de servidores. Si se utiliza la definición para un sistema con capacidad limitada se obtendrá una definición que depende de la capacidad del sistema. Esta última definición se ha utilizado durante muchos años (por ejemplo para el caso Engset), pero no es apropiada pues el tráfico ofrecido debe ser  independiente del sistema.

Tráfico perdido o rechazado Al : La diferencia entre tráfico ofrecido y tráfico transportado es igual al tráfico rechazado. El valor de este parámetro se puede reducir aumentando la capacidad del sistema. Ejemplo 3.1: Definición de tráfico Si la intensidad de llamada es de 5 llamadas por minuto, y el tiempo de servicio medio es de 3 minutos, el tráfico ofrecido será entonces de 15 Erlang. El volumen de tráfico ofrecido durante un día laborable de 8 horas es entonces de 120 Erlang/hora. Ejemplo 3.2: Unidades de tráfico  Anteriormente se utilizaban otras unidades de tráfico. Las más comunes que se emplean aún son: SM = Minutos de conversación 1 SM = 1/60 Eh. CCS = Centenar de segundos de llamada: 1 CCS = 1/36 Eh. Esta unidad se basa en un tiempo de retención medio de 100 segundos y aún se puede encontrar, por ejemplo, en Estados Unidos. EBHC = Llamada reducida en las horas más cargadas: 1 EBHC = 1/30 Eh. Esta unidad se basa en un tiempo de ocupación medio de 120 segundos. Se puede comprender de inmediato que el erlang  es la unidad natural para la intensidad de tráfico debido a que esta unidad es independiente de la unidad de tiempo escogida. El tráfico ofrecido es un parámetro teórico utilizado en fórmulas de dimensionamiento teóricas. Sin 22

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embargo, el único parámetro mensurable es, en realidad, el tráfico transportado, que a menudo depende del sistema real. En sistemas de transmisiones de datos no se habla de tiempo de servicio sino de necesidades de transmisión. Una tarea puede ser por ejemplo la transferencia de s  unidades (por ejemplo, bits o bytes). La capacidad del sistema ϕ velocidad de señalización de datos, se mide en unidades por  segundos (por ejemplo, bits/segundo). Por tanto, el tiempo de servicio para dicha tarea, es decir el tiempo de transmisión, es s/ ϕ unidades de tiempo (por ejemplo segundos), lo cual significa que depende de ϕ. Si en promedio las tareas λ llegan por unidad de tiempo, la utilización  ρ del sistema es entonces:

La utilización observada estará siempre dentro del intervalo 0

≤ ρ ≤ 1.

Tráfico de múltiple: Si se tienen llamadas que ocupan más de un canal, y otras del tipo i que ocupan di canales, el tráfico ofrecido expresado en cantidad de canales ocupados se calcula con la siguiente ecuación:  N 

 A

=

∑ λi ⋅si ⋅d i

(2.4)

i 0 =

Donde N  es el número de tipos de tráfico, y λi  y s i  indican el régimen de llegada y el tiempo de ocupación medio del tipo i .

Tráfico potencial: En la planificación y demanda de modelos se utiliza el término tráfico potencial que equivaldría al de tráfico ofrecido si no hubiera limitaciones en la utilización del teléfono por  razones económicas o de disponibilidad (siempre está disponible un teléfono gratuito).

Lección 4: Variaciones de tráfico y concepto de hora cargada  El teletráfico varía conforme a la actividad en la sociedad. El tráfico está generado por una sola fuente, los abonados, que normalmente efectúan llamadas telefónicas independientes entre sí. Una investigación de las variaciones del tráfico indica que es parcialmente de naturaleza estocástica y parcialmente de naturaleza determinística. En la figura 2.2 se muestra la variación de la cantidad de llamadas en la mañana de un lunes. Mediante la comparación de diversos días 23

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se puede distinguir una curva determinística con variaciones estocásticas superpuestas. Durante un periodo de 24 horas el tráfico presenta una contribución como la que se indica en la figura 2.3. El primer punto de máxima está producido por abonados de oficinas comerciales al comenzar las horas laborables de la mañana, posiblemente llamadas diferidas del día anterior.  Alrededor de las 12 es hora de almorzar y por la tarde hay nuevamente cierta actividad.  Alrededor de las 19 horas hay de nuevo un punto de máxima causado por llamadas privadas y una posible reducción de las tasas a partir de las 19.30 horas. El tamaño recíproco de las crestas depende entre otras cosas que la central esté ubicada en una zona residencial típica o en una zona comercial. También depende del tipo de tráfico deseado. Si se considera el tráfico entre Europa y, por ejemplo, Estados Unidos la mayoría de las llamadas tendrá lugar en horas avanzadas de la tarde debido a la diferencia horaria.

Figura 2.2 − Cantidad de llamada por minuto a una central de conmutación un lunes por la mañana. Las variaciones regulares de 24 horas están superpuestas por variaciones estocásticas.(Iversen, 1973 [37])

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Figura 2.3 − Número medio de llamadas por minuto para una central de conmutación tomada como promedio para periodos de 15 minutos durante 10 días laborales (lunes a viernes). En el tiempo de las mediciones no había tasas reducidas fuera de las horas de trabajo . (Iversen, 1973 [37]) Las variaciones se pueden dividir en variaciones de intensidad de la llamada y variaciones en el tiempo de servicio. En la figura 2.4 se muestran las variaciones en el tiempo medio de servicio para tiempos de ocupación de líneas de enlace durante 24 horas. Durante las horas de trabajo es constante, un poco menos de 3 minutos. Por la tarde es mayor que 4 minutos y durante la noche es muy pequeña, alrededor de 1 minuto.

Hora cargada: La mayor cantidad de tráfico no se produce todos los días a la misma hora. Se define el concepto de hora cargada media repetitiva  (TCBH, time consistent busy tour) como los 60 minutos (determinado con una exactitud de 15 minutos) que durante un largo periodo sobre el promedio tiene el tráfico más elevado.  Algunos días puede suceder que el tráfico durante la hora más cargada sea mayor que la TCBH, pero en el promedio de varios días el tráfico en la hora cargada será el mayor. Se ha de distinguir también entre hora cargada para el sistema global de telecomunicación, una central, y para un solo grupo de servidores, por ejemplo un grupo de enlace. Determinados grupos de enlace pueden tener una hora de mayor tráfico fuera de la hora cargada para la central (por  ejemplo, grupos de enlace para llamadas a los Estados Unidos). En la práctica, para mediciones de tráfico, dimensionamiento y otros aspectos es conveniente tener una hora cargada bien definida y predeterminada. 25

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Las variaciones determinísticas en teletráfico se pueden dividir en: A. Variaciones de 24 horas (véanse las figuras 2.3 y 2.4). B. Variaciones semanales (véase la figura 2.5). Normalmente el tráfico más denso se produce los lunes, luego los viernes, martes, miércoles y jueves. Los sábados y en especial los domingos tienen un nivel de tráfico muy bajo. Una regla empírica indica que el tráfico de 24 horas es igual a 8 veces el tráfico de la hora cargada (véase la figura 2.5), es decir sólo se utiliza un tercio de la capacidad del sistema telefónico. Ésta es la razón de las tasas reducidas fuera de las horas cargadas. C. Variación durante un año. Hay una elevada afluencia de tráfico al comienzo de un mes, después de una temporada festiva, y luego que comienza un periodo trimestral. Si Pascua cae cerca del 1 de abril se observa un tráfico muy elevado hasta después de las vacaciones. D. El tráfico aumenta cada año debido al desarrollo tecnológico y el factor económico de la sociedad. Hasta ahora se ha considerado el tráfico telefónico tradicional. Otros servicios y tipos de tráfico tienen distintos diagramas de variación. En la figura 2.6 se muestra la variación de la cantidad de llamadas en 15 minutos a un conjunto compartido de módem para establecer las llamadas de Internet. En la figura 2.7 se ilustra el tiempo medio de ocupación en función de la hora del día.

Figura 2.4 − Tiempo de ocupación medio para líneas de enlace en función de la hora del día. (Iversen, 1973 [37]). Las mediciones excluyen las llamadas locales

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Figura 2.5 − Cantidad de llamadas en 24 horas a un centro de conmutación (escala izquierda).La escala de la derecha indica la cantidad de llamadas durante la hora cargada para fines de comparación. Se observa que el tráfico de 24 horas es aproximadamente 8 veces el tráfico de la hora cargada. Este factor se denomina concentración de tráfico. (Iversen, 1973 [37])

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Figura 2.6 − Número de llamadas durante 15 minutos a un conjunto compartido de módem de Tele Danmark Internet. Martes 19.01.1999 La telefonía móvil celular tiene un perfil diferente con valores máximos en horas avanzadas de la tarde, con un tiempo de ocupación medio más breve que para llamadas por líneas alámbricas. Mediante la integración de las diversas formas de tráfico en la misma red se puede obtener  entonces una mejor utilización de los recursos.

Lección 5: Concepto de bloqueo  El sistema telefónico no está dimensionado para que todos los abonados se puedan conectar al mismo tiempo. Numerosos abonados comparten los costosos equipos de las centrales. La concentración tiene lugar del abonado a la central. El equipo que está separado para cada abonado se debe hacer lo más económico posible. En general, se espera que del 5 al 8% aproximadamente de los abonados pueda efectuar  llamadas al mismo tiempo en la hora cargada (cada teléfono se utiliza de 10 a 16% del tiempo). Para llamadas internacionales menos del 1% de los abonados efectúa llamadas simultáneamente. De esta manera, se aprovechan las ventajas de la multiplexación estadística . Cada abonado debe sentir que tiene acceso irrestricto a todos los recursos de sistemas de telecomunicaciones aun cuando lo comparta con muchos otros abonados. La cantidad de equipos está limitada por razones económicas y, por tanto, es posible que un abonado no pueda establecer una llamada, sino que tenga que esperar o quedar  bloqueado  (por  ejemplo, el abonado recibe el tono de ocupado y deba efectuar una nueva tentativa de llamada).  Ambos son inconvenientes para el abonado. 28

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Figura 2.7 − Tiempo de ocupación medio en segundos en función de la hora del día para llamadas que se reciben dentro del periodo considerado. Tele Danmark Internet. Martes 19.01.1999 De acuerdo con el funcionamiento del sistema se puede distinguir entre sistemas de pérdidas  (por  ejemplo, grupos de enlace) y sistemas de tiempo de espera  (por ejemplo, unidades de control común y sistemas de computación) o una mezcla de éstos si el número de posiciones de espera (memoria intermedia) es limitado. El inconveniente en sistemas de pérdidas  debido a la insuficiencia de equipos se puede expresar  de tres maneras (medidas de calidad de funcionamiento de la red): Fracción de las tentativas de llamada que observan los Congestión de llamadas (B): servidores ocupados (molestia que experimenta el abonado). Congestión temporal (E): Fracción de tiempo cuando todos los servidores están ocupados. La congestión temporal puede ser medida, por ejemplo, en la central (= congestión virtual). Congestión de tráfico (C): Fracción del tráfico ofrecido que no es transportado, posiblemente a pesar de diversos intentos. Estas medidas cuantitativas pueden ser utilizadas, por ejemplo, para establecer normas de dimensionamiento para grupos de enlace. En pequeños valores de congestión es posible tratar la congestión con buena aproximación en las distintas partes del sistema como independiente recíproca. La congestión para un determinado encaminamiento es entonces aproximadamente igual a la suma de la congestión de cada enlace del encaminamiento. Durante la hora cargada se permitirá normalmente una congestión de un 29

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pequeño porcentaje entre dos abonados. Estos sistemas no pueden tratar cada situación sin inconveniente para los abonados. El propósito de la teoría de teletráfico es encontrar relaciones entre calidad de servicio y costos de los equipos. El equipo existente debe poder funcionar a plena capacidad durante situaciones de tráfico anormales (por ejemplo un incremento repentino de llamadas telefónicas), es decir el equipo debe continuar funcionando y efectuar conexiones útiles. El inconveniente en sistemas de espera (sistemas de puesta en fila) se miden como un tiempo de retardo. No sólo el tiempo de espera medio es de interés sino también la distribución del tiempo de espera. Podría ser que un pequeño retardo no constituya ningún inconveniente, de modo que puede no haber una relación lineal entre inconveniente y tiempo de espera. En sistemas telefónicos se define a menudo un límite superior para el tiempo de espera aceptable. Si este límite se rebasa se interrumpirá la conexión (desconexión forzada).

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CAPÍTULO 2. TEORÍA DE LAS PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICAS Lección 6: Generación De Tráfico Y Reacción De Los Abonados  Si el abonado A desea hablar con el abonado B se producirá una llamada satisfactoria o bien una tentativa de llamada fracasada. En el último caso, A puede repetir más tarde la intención de llamada e iniciar así una serie de tentativas de llamada sin éxito. Las estadísticas de llamada se presentan generalmente como se muestra en el cuadro 2.1, donde los errores se han agrupado en varias clases típicas. Se observa que los únicos errores que pueden ser influenciados directamente por el operador son los errores técnicos y bloqueo. Esta clase usualmente es pequeña pues representa un escaso porcentaje durante la hora cargada. Asimismo, se observa que la cantidad de llamadas que experimentan B ocupado dependen del número de errores de A y errores técnicos y bloqueo. Por consiguiente, las estadísticas que figuran en el cuadro 2.1 no son apropiadas. Para obtener las probabilidades pertinentes, que se muestran en la figura 2.8, sólo se considerarán las llamadas que llegan a la etapa considerada cuando se calculan probabilidades.  Aplicando la notación en la figura 2.8 se hallan las siguientes probabilidades para un intento de llamada (suponiendo independencia):  p{error

de A} = pe (2.5) (2.6)  p{congestión y errores técnicos} = (1 − pe) . ps  p{B no contesta} = (1 − pe) . (1 − ps) . pn (2.7) Cuadro 2.1 − Resultado típico de un gran número de tentativas de llamada durante la hora

cargada para países industrializados o países en desarrollo. Resultado

País I

País D

Error de A: Errores técnicos y bloqueo: B no contesta antes de que A cuelgue: B ocupado: B contesta = conversación

15 5% 10% 10% 60%

20% 35% 5% 20% 20%

Sin conversación

40%

80%

Figura 2.8 − Probabilidades condicionales de eventos. 31

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Cuadro 2.2  – Las probabilidades de las tentativas de llamada calculadas para el cuadro 2.1.

p{B ocupado} = (1 − pe) . (1 − ps) . pb p{B contesta} = (1 − pe) . (1 − ps) . pa

(2.8) (2.9)

Utilizando los valores del cuadro 2.1 se hallan las cifras que se muestran en el cuadro 2.2. Conforme a esta información se puede observar que aun si el abonado A se comporta correctamente y el sistema telefónico es perfecto, sólo el 75% de los intentos de llamada en los países I, y el 45% en los países D, respectivamente, dan por resultado una conversación. Se puede distinguir entre el tiempo de servicio, que incluye el tiempo desde el instante en que se ocupa un servidor hasta que éste se desocupa nuevamente (por ejemplo, establecimiento de la llamada, duración de la conversación y terminación de la llamada), y duración de la conversación , que es el periodo de tiempo en el que A conversa con B. En razón de las tentativas de llamada fracasadas el tiempo de servicio medio es a menudo menor que la duración media de la llamada si se incluyen todas las tentativas de llamada. En la figura 29 se muestra un ejemplo con tiempos de ocupación observados.

Ejemplo 2.4.1: Tiempo medio de ocupación: Se supone que el tiempo medio de ocupación de las llamadas que son interrumpidas antes que B conteste (error de A, congestión, errores técnicos) es de 20 segundos y que el tiempo medio de ocupación de llamadas que llegan al abonado B (no contesta, ocupado, contesta) es de 180 segundos. El tiempo medio de ocupación del abonado A se calcula utilizando los valores que figuran en el cuadro 2.1:

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Se puede observar que el tiempo medio de ocupación aumenta de 148 s (92 s, respectivamente) en el abonado A a 180 s en el abonado B. Si una tentativa de llamada implica más intenciones de llamada repetidos (véase también el ejemplo 2.4), el tráfico transportado puede ser mayor que el tráfico ofrecido. Si se conoce el tiempo medio de servicio de las fases individuales de una tentativa de llamada, se puede calcular la proporción de las intenciones de llamada que se pierden durante las fases individuales. Esto se puede aprovechar para analizar sistemas electromecánicos utilizando sistemas SPC para recopilar datos. Cada tentativa de llamada carga los grupos de control en la central (por ejemplo, una computadora o una unidad de control) con una carga casi constante mientras que la carga de la red es proporcional a la duración de la llamada. Por esta razón muchas tentativas de llamada fracasados pueden sobrecargar los dispositivos de control mientras que la red aún dispone de capacidad libre. Las tentativas de llamada repetidas no son necesariamente motivadas por errores en el sistema telefónico, sino que también pueden ser causadas, por ejemplo, por un abonado B ocupado. Este problema fue tratado por primera vez por Fr. Johannsen en su libro "Busy" (ocupado) publicado en 1908 (Johannsen, 1908 [52]. En las figuras 2.10 y 2.11 se muestran algunos ejemplos de mediciones del comportamiento del abonado. Los estudios de la respuesta de los abonados con relación, por ejemplo, al tono de ocupado, es de vital importancia para el dimensionamiento del sistema telefónico. En realidad, los factores humanos ( = comportamiento del abonado) constituyen una parte de la teoría de teletráfico que es de gran interés. Durante la hora cargada α = 10 a 16% de los abonados están ocupados utilizando las líneas para llamadas entrantes o salientes. Por consiguiente, se supondría que el α% de las tentativas de

llamada indicarían que el abonado B está ocupado. Sin embargo, esto es erróneo pues los abonados tienen diferentes niveles de tráfico. Algunos abonados no reciben tentativas de llamada entrantes, mientras que otros reciben mayor cantidad de tentativas de llamadas que la media. Los abonados A tienen inclinación en elegir los abonados B más ocupados, y en la práctica se observa que la probabilidad que el abonado B esté ocupado es de unos 4 · α, si no se toman medidas. Para abonados residenciales es difícil mejorar la situación, pero para grandes abonados comerciales que tienen una central automática privada (PABX) con un grupo de números, la cantidad suficiente de líneas eliminará la condición de ocupado de B. Por consiguiente, en países industrializados la probabilidad total de abonado B ocupado toma el mismo orden de magnitud de α (véase el cuadro 2.1). Para países en desarrollo el tráfico se centra más sobre números individuales y a menudo los abonados comerciales no disponen de numeración de grupo y, por  tanto, se observa una alta probabilidad de abonado B ocupado (40 a 50%). 33

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Conforme a las mediciones de Ordrup el 4% aproximadamente de las llamadas eran tentativas de llamadas repetidas. Si un abonado presenta una indicación bloqueo u ocupado, hay un 70% de probabilidad que la llamada se repita dentro de una hora. Véase el cuadro 2.3. Un clásico ejemplo de la importancia de la reacción de los abonados se observó cuando la fábrica de gas industrial de Valby (en Copenhague) explotó a mediados de la década de los 60. Los abonados en Copenhague generaron una gran cantidad de tentativas de llamada y ocuparon los dispositivos de control en las centrales de la zona de Copenhague. Los abonados de Esbjerg (parte occidental de Dinamarca) que llamaban a Copenhague tenían que esperar debido a que los números no podían ser transferidos inmediatamente a Copenhague. Por tanto, el equipo en Esbjerg se mantuvo ocupado en espera, y los abonados que efectuaban llamadas locales en Esbjerg no pudieron completar las tentativas de llamada. Esto es un ejemplo de cómo se propaga una situación de sobrecarga con una reacción en cadena por toda la red. Cuando más ajustada se ha dimensionado una red, habrá más posibilidad que se produzca una reacción en cadena. Una central siempre ha de ser construida de modo que mantenga su capacidad total de funcionamiento durante situaciones de sobrecarga.

Figura 2.9 − Función de frecuencia para tiempos de ocupación de enlaces en un centro de conmutación local 34

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Cuadro 2.3 − Secuencia observada de tentativas de llamada repetidas (llamadas nacionales, "mediciones de Ordrup"). Número de observaciones Tentativa N° 1 2 3 4 5

Satisfactorio 56,935 3,252 925 293 139

Continua 75,389 7,512 2,378 951 476 248

Desiste 10,942 1,882 502 182 89

p {éxito}

0,76 0,43 0,39 0,31 0,29

Persistencia 0,41 0,56 0,66 0,72 0,74

61,678 13,711 La probabilidad de éxito disminuye con la cantidad de tentativas de llamada, mientras que la persistencia aumenta. Aquí un intento de llamada repetido es una llamada repetida al mismo abonado B dentro de una hora Total

En una central moderna se tiene la posibilidad de dar prioridad a un grupo de abonados en una situación de emergencia, por ejemplo, médicos y policía (tráfico preferencial). En sistemas informáticos similares condiciones influenciarán la calidad de funcionamiento. Por  ejemplo, si es difícil obtener libre ingreso a un sistema terminal, el usuario dispone no desconectarse sino mantener conectado el terminal, es decir aumentar el tiempo de servicio. Si un sistema funciona como sistema de tiempo de espera, el tiempo de espera medio aumentará entonces con el tercer orden del tiempo de medio servicio (véase el Capítulo 13). En esas condiciones el sistema se saturará muy rápido, es decir estará sobrecargado. En países con redes de telecomunicación sobrecargadas (por ejemplo, países en desarrollo) un gran porcentaje de intentos de llamadas serán tentativas de llamadas repetidas.

Ejemplo 2.4.2: Tentativa de llamada repetida: Este es un ejemplo de un modelo simple de tentativa de llamada repetida. Sea la siguiente notación: b = persistencia (2.10) B = p {no completada} (2.11) La persistencia b es la probabilidad que se repita una tentativa de llamada infructuosa, y p{completada} = {1 − B} es la probabilidad que el abonado (parte llamada) responda. Para una tentativa de llamada se obtiene la siguiente reseña: Las siguientes probabilidades se obtienen para una tentativa de llamada: (2.12)

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Figura 2.10 − Histograma para el intervalo de tiempo desde la ocupación del registro (tono de marcar) a la respuesta de B para llamadas completadas.El valor medio es 13,60 s Cuadro 2.4 − Tentativa Nº

Distribución de la cantidad de tentativas de llamadas.  p{B responde}

 p{continúa}

 p{desiste}

1

(1 − B)

 B . b

 B . (1 − b)

2

(1 − B) . ( B . b)

( B . b)

3

(1 − B) . ( B . b)

4

(1 − B) . ( B . b)

( B . b)

…

…

(1  B )

1

(1  B  b)

(1  B  b)

0

...

2 3

( B . b)

−

Total

−

−

2 3 4

 B . (1 − b) . ( B . b) 2

 B . (1 − b) . ( B . b)

3

 B . (1 − b) . ( B . b)

…  B (1

 b)

−

(1  B  b) −

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ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍAS E INGENIERÍAS CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 208022-TELETRAFICO  p{no completada}=

Número de tentativas de llamada por intención de llamada =

 B ⋅(1 − b ) (1 − B ⋅b) 1 (1 − B ⋅b)

(2.13)

(2.14)

Sean los tiempos medios de ocupación siguientes: sc = tiempo medio de ocupación de llamadas completadas sn = 0 = tiempo medio de ocupación de llamadas no completadas

Se obtienen entonces las siguientes relaciones entre el tráfico transportado Y y el tráfico ofrecido  A:

1

Y   A =

−

 B

1  B −

 A

=

Y 

 b

1  B  b −

1

−

 B

(2.15) (2.16)

Esto es similar al resultado que figura en la Recomendación UIT-T E.502.

En la práctica, la persistencia b y la probabilidad de compleción 1  – B dependerá del número de veces que la llamada ha sido repetida (consúltese el cuadro 2.3). Si las llamadas infructuosas tienen un tiempo medio de ocupación positivo, el tráfico transportado puede ser mayor que el tráfico ofrecido.

Lección 7: Introducción al grado de servicio  La siguiente sección tiene como base la publicación: Proposed grade of service chapter for  handbook. ITU-T Study Group , Veirø, B. (2001) [100]. El operador de la red debe decidir qué servicios ha de prestar ésta al usuario final y el nivel de calidad de servicio que el usuario debe experimentar. Esto es así para toda red de telecomunicaciones sea con conmutación de circuitos o con conmutación de paquetes, alámbrica o inalámbrica, óptica o de alambre de cobre, y es independiente de la tecnología de transmisión aplicada. Otras decisiones que se han de efectuar  pueden incluir el tipo e instalación de la infraestructura de la red para soportar los servicios, y la elección de las técnicas que se han de utilizar para tratar el transporte de la información. Estas decisiones ulteriores pueden ser diferentes, según si el operador ya está presente en el mercado o si comienza a prestar servicios en una situación de nuevo concurrente (es decir, una situación donde no hay una red heredada para considerar).

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Figura 2.11 − Histograma para todas las tentativas de llamada repetidas en el término de 5 minutos, cuando la parte llamada está ocupada. En la Recomendación UIT-T E.800 se define el concepto de calidad de servicio (QoS) como: el efecto colectivo de calidad de funcionamiento del servicio que determina el grado de satisfacción de un usuario del servicio. La QoS comprende un conjunto de parámetros que pertenece a la calidad de funcionamiento del tráfico de la red, pero además de esto, la QoS también incluye una serie de otros conceptos, que se resumen como sigue: logística del servicio; facilidad de utilización del servicio; servibilidad del servicio; y seguridad del servicio. Las definiciones detalladas de esos términos figuran en la Recomendación E.800. Cuanto mejor  calidad de servicio ofrece un operador al usuario final, mayor será la posibilidad de obtener  nuevos clientes y mantener los clientes actuales. Pero una mejor calidad de servicio significa también que la instalación de la red sea más costosa y esto, normalmente, tendrá relación con el precio del servicio. La selección de una determinada calidad de servicio dependerá, por tanto, de las decisiones políticas tomadas por el operador y esto no será tratado en el presente estudio. Cuando se establece la decisión de calidad se puede iniciar la planificación de la red pertinente. Esto incluye la decisión de una tecnología de red de transporte y su topología, así como los 38

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aspectos de fiabilidad en el caso en que uno o más elementos de red tengan mal funcionamiento. Es también en ese momento que se determina la estrategia de encaminamiento. Éste es el instante en que es necesario considerar el grado de servicio (GoS). Esto se define en la Recomendación UIT-T E.600 como: un conjunto de variables de ingeniería de tráfico utilizadas  para tener una medida de aptitud de un grupo de órganos en condiciones especificadas. Estas  variables del grado de servicio pueden expresarse como la probabilidad de pérdida, la demora del  tono de invitación a marcar, etc . A esta definición la Recomendación proporciona además las

siguientes notas: Los valores de parámetro asignados como objetivos para el grado de servicio se denominan normas de grado de servicio. Los valores de los parámetros de grado de servicio obtenidos en condiciones reales se denominan resultados del grado de servicio. El punto básico para resolver en la determinación de las normas de GoS es aplicar los valores a cada elemento de red de modo tal que se obtenga el objetivo de QoS de extremo a extremo.

7.1 Comparación de GoS y QoS No es tarea sencilla encontrar las normas de GoS necesarias para soportar una determinada QoS. Esto se debe al hecho de que los conceptos de GoS y QoS tienen distintos puntos de vista. Mientras que la QoS considera la situación desde el punto de vista del cliente, el GoS tiene en consideración la red. Esto se ilustra con los siguientes ejemplos:

Ejemplo 2.5.1:Supóngase que se desea fijar la probabilidad de bloqueo de llamada de extremo a extremo al 1% en una red telefónica. Un cliente puede interpretar que esta cantidad significa que podrá alcanzar el destino deseado en un promedio de 99 sobre 100 casos. Al fijar este objetivo de diseño, el operador aplicó una determinada probabilidad de bloqueo a cada uno de los elementos de red que una llamada de referencia podría satisfacer. Para asegurar que este objetivo se cumpla se debe supervisar la red. Pero esta supervisión normalmente tiene lugar en toda la red y sólo se puede asegurar que la red puede satisfacer, en promedio, los valores objetivo. Si se considera una determinada línea de acceso, su GoS objetivo puede bien ser superado, pero el promedio para todas las líneas de acceso debe por cierto satisfacer el objetivo. El GoS está referido a parámetros que se pueden verificar mediante la calidad de funcionamiento de la red (aptitud de una red o parte de la red para ofrecer las funciones correspondientes a las comunicaciones entre usuarios) y los parámetros sólo se aplican en promedio para la red. Aún si sólo se limita a considerar la parte de la QoS que está relacionada con el tráfico, el ejemplo ilustra que si bien el objetivo de GoS se satisface esto no es el caso para la QoS.

7.2 Características especiales de la QoS Como consecuencia de todas las dificultades mencionadas anteriormente en la comparación de 39

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GoS y QoS, y en la definición de lo que realmente es la percepción del usuario, se ha formado un grupo para tratar estos problemas. Se denomina Grupo de Desarrollo sobre Calidad de Servicio y trabaja conjuntamente con el Grupo de Estudio 2 del UIT-T. Sus temas de estudio incluyen nuevas definiciones y mejoramiento de la Recomendación UIT-T E.800. Debido a los diferentes criterios para definir el GoS y la QoS, el Grupo de Desarrollo sobre Calidad de Servicio propuso una solución para resolver el problema. Esta solución se denomina acuerdo a nivel de servicio (SLA, service level agreement ). Esto es en realidad un contrato entre el usuario y el operador de la red. En el mismo se define el significado real de los parámetros en cuestión. Se supone que las definiciones están dadas de modo tal que sean interpretadas de la misma manera por el cliente y por el operador de la red. Asimismo, el SLA define qué sucede en el caso de la violación de los términos del contrato. Algunos operadores han decidido emitir un SLA para todas las relaciones que tienen (al menos en principio) con el cliente, mientras que otros sólo lo hacen con grandes clientes que conocen lo que realmente significan los términos del SLA.

7.3 Calidad de funcionamiento de la red Como se mencionó anteriormente la calidad de funcionamiento de la red se refiere a la aptitud de una red o parte de la misma para ofrecer las funciones correspondientes a las comunicaciones entre usuarios. Para establecer cómo funciona una determinada red, es necesario realizar  mediciones que abarquen todos los aspectos de los parámetros de comportamiento funcional (es decir capacidad de tráfico, seguridad de funcionamiento, transmisión y tarificación).  Asimismo, los aspectos de calidad de funcionamiento de la red en el concepto de GoS sólo corresponden a los factores relacionados con el rendimiento funcional de la capacidad de tráfico en la terminología de QoS. Asimismo, en el marco de la calidad de servicio el término "Calidad de funcionamiento de la red" también incluye los siguientes conceptos: seguridad de funcionamiento, calidad de transmisión, y precisión de la tasación. No es suficiente efectuar sólo mediciones, sino que es también necesario tener una organización que pueda proporcionar la supervisión adecuada y tomar las medidas que correspondan cuando surjan los problemas. A medida que aumenta la complejidad de la red el número de parámetros que será necesario tener en cuenta será mayor. Esto significa que se requerirán medios automáticos para que el panorama general de los parámetros más importantes que se deben examinar sea más sencillo.

7.4 Configuraciones de referencia Para obtener una visión general de la red en estudio es a menudo conveniente presentar un 40

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diagrama denominado configuración de referencia. Este diagrama comprende uno o más esquemas simplificados del trayecto que una llamada (o conexión) puede tomar en la red incluido los puntos de referencia apropiados, donde se definen las interfaces entre las entidades. En algunos casos los puntos de referencia definen una interfaz entre dos operadores y es, por tanto, importante observar cuidadosamente qué sucede en ese punto. En lo que se refiere al grado de servicio la importancia de la configuración de referencia es la segmentación del GoS como se describe a continuación. Considérese una red telefónica con terminales, conmutadores de abonado y conmutadores de tránsito. En el ejemplo se ignora la red de señalización. Supóngase que las llamadas se pueden encaminar por unas de las tres disposiciones siguientes: 1) terminal → conmutador de abonado → terminal. Esto se puede representar como la configuración de referencia que se muestra en la figura 2.12.

2) terminal → conmutador de abonado → conmutador de tránsito → conmutador  de abonado → terminal. Esto se puede representar como la configuración de referencia que se muestra en la figura 2.13 3) terminal → conmutador de abonado → conmutador de tránsito → conmutador de tránsito → conmutador de abonado → terminal. Esto se puede representar como la configuración de referencia que se muestra en la figura 2.14.

Figura 2.12 − Configuración de referencia para el caso 1

Figura 2.13 − Configuración de referencia para el caso 2

Figura 2.14 − Configuración de referencia para el caso 3 Basado en un determinado conjunto de requisitos de QoS, se selecciona y define un conjunto de parámetros de GoS de una base de extremo a extremo dentro de la frontera de red, para cada categoría de servicio principal proporcionadas por la red. Los parámetros de GoS seleccionados 41

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se especifican de modo tal que el GoS se puede obtener en puntos de referencia bien definidos, es decir puntos de tráfico importantes. Este procedimiento se utiliza para permitir la segmentación de los objetivos de GoS de extremo a extremo para que sea posible obtenerlos en cada etapa o componente de red, sobre la base de algunas conexiones de referencia bien definidas. Como se define la Recomendación E.600, referente a los términos de ingeniería de tráfico, una conexión es una asociación de órganos que proporciona los medios para una comunicación entre dos o más dispositivos pertenecientes a una red de telecomunicaciones, o acoplados a ella. Puede haber diferentes tipos de conexiones pues el número y los tipos de recursos en las mismas pueden variar. Por tanto, el concepto de conexión de referencia se utiliza para identificar casos representativos de distintos tipos de conexiones sin incluir los detalles de sus realizaciones reales por diferentes medios físicos. En el trayecto de una conexión intervienen, por lo general, diversos segmentos de red. Por  ejemplo, una conexión puede ser local, nacional o internacional. Las conexiones de referencia se utilizan para aclarar y especificar asuntos de calidad de funcionamiento del tráfico en diversas interfaces entre distintos dominios de red. Cada dominio puede estar constituido por una o más redes del proveedor del servicio. La Recomendación I.380/Y.1540 define los parámetros de calidad de funcionamiento para la transferencia de paquetes de protocolo de Internet; el proyecto de Recomendación Y.1541 especifica las atribuciones y objetivos de calidad de funcionamiento correspondientes. La Recomendación E.651 especifica las conexiones de referencia para redes de acceso con protocolo Internet. Se van a elaborar otras conexiones de referencia. De los objetivos de QoS, se obtiene un conjunto de parámetros GoS de extremo a extremo y sus objetivos para distintas conexiones de referencia. Por ejemplo, la probabilidad de bloqueo de la conexión de extremo a extremo y el retardo de transferencia de paquete de extremo a extremo pueden ser parámetros de GoS pertinentes. Los objetivos de GoS se deben especificar con referencia a las condiciones de carga del tráfico, tal como en condiciones de carga normal y elevada. Los objetivos de GoS de extremo a extremo se asignan entonces a componentes de recursos de las conexiones de referencia para fines de dimensionamiento. En una red operacional, se requieren mediciones y supervisión de la calidad de funcionamiento para asegurar  que los objetivos de GoS se hayan cumplido. En redes basadas en el protocolo Internet, la asignación de calidad de funcionamiento se efectúa generalmente en una nube , es decir el conjunto de encaminadores y enlaces bajo una responsabilidad jurisdiccional única (o en colaboración), tal como una ISP. Una nube se conecta a otra nube mediante un enlace, es decir un encaminador de pasarela en una nube se conecta a través de un enlace a un encaminador de pasarela en otra nube. La comunicación de extremo a extremo entre sistemas centrales se conduce por un trayecto que comprende una secuencia de nubes y enlaces de interconexión. Esta secuencia se conoce como trayecto ficticio de referencia para fines de asignación de calidad de funcionamiento. 42

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Lección 8: Funciones de distribución  Todos los intervalos de tiempo que se consideran en este Modulo no son negativos y, por tanto, pueden ser expresados por variables estocásticas  no negativas. Los intervalos de tiempo de interés son, por ejemplo, tiempos de servicio, duración de la congestión (periodos de bloqueo, periodos de ocupado), tiempos de espera, tiempos de ocupación, tiempos de CPU ocupado, periodos entre las llegadas a destino de las llamadas, etc. En este Capítulo se examinan la teoría básica de las probabilidades y las estadísticas en lo que respecta a la teoría del teletráfico. Un intervalo de tiempo puede ser descrito por una variable estocástica T , que se caracteriza por  una función de distribución F(t):

En la ecuación (3. 1) se integra desde 0  – para mantener el registro de una posible discontinuidad en t = 0. Cuando se consideran los sistemas de tiempo de espera, hay siempre una probabilidad positiva de tener tiempos de espera iguales a cero, es decir F(0) ≠ 0. Por otra p arte cuando se observan los periodos entre las llegadas a destino de las llamadas, se supone generalmente que F(0) = 0. La probabilidad que la duración de un intervalo de tiempo sea menor o igual a t resulta: p (T ≤ t ) = F (t ).  A veces es más sencillo considerar la función de distribución complementaria . F c(t ) = 1 – F (t ). Esto también se denomina función de distribución de supervivencia . Se supone a menudo que F (t ) es diferenciable y que existe la siguiente función de densidad f (t ): (3.2) dF (t ) = f (t ) . dt = p{t < T ≤ t + dt}, t ≥ 0. Normalmente, se supone que el tiempo de servicio es independiente del proceso de llegada, y que un tiempo de servicio es independiente de otros tiempos de servicio. En forma analítica, se pueden efectuar muchos cálculos para cualquier distribución de tiempo. En general, siempre se supone que existe el valor medio.

8.1 Caracterización de las distribuciones Las distribuciones temporales que sólo suponen argumentos positivos poseen algunas propiedades ventajosas. Para el i-ésimo momento no central, que generalmente indica i-ésimo momento, se puede indicar que la identidad de Palm es válida:

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La identidad de Palm (Ec. 3.3), que es válida para las distribuciones de tiempo de vida (sólo definidas para argumentos no negativos), se aprobó por primera vez en (Palm, 1943,[81]) como sigue:

El orden de integración se puede invertir pues el integrando no es negativo. Así, se puede comprobar (Ec. 3.3) lo siguiente:

La siguiente prueba simplificada es correcta pues se supone que los momentos existen:

Ejemplo 3.1.1: Distribución exponencial: Para la distribución exponencial se tiene:

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Sería muy sorprendente que las dos integrales sean idénticas. Los dos integrandos pueden, aparte de ser constantes, ser transformados en una función de densidad Erlang-3 o Erlang-2, respectivamente, que tiene la masa de probabilidad total:

En especial, se tienen los primeros dos momentos bajo la hipótesis que existen:

El valor medio (expectativa) es el primer momento:

El i-ésimo momento central se define como:

La varianza es idéntica al segundo momento central:

Por lo general una distribución viene definida unívocamente por todos sus momentos. Una medida normalizada para la (dispersión de) irregularidad de una distribución es el coeficiente de variación. Se define como la relación entre la desviación normalizada y el valor medio: CV  = coeficiente de variación = σ m 

(3.9)

Esta cantidad no tiene dimensión y luego se aplicará para caracterizar las distribuciones discretas (probabilidades de estado). Otra medición de irregularidad es el factor de forma de Palm  ε, que se expresa como sigue: (3.10) 45

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El factor de forma ε así como σ/m  son independientes de la elección de la escala de tiempo, y aparecerá en muchas fórmulas en los textos siguientes. Cuando mayor sea el factor de forma, más irregular es la distribución temporal, y mayor será, por  ejemplo, el tiempo de espera medio en un sistema de tiempo de espera. El factor de forma toma el valor mínimo igual a uno para intervalos de tiempo constantes ( σ = 0). Para estimar una distribución a partir de las observaciones, se está a menudo satisfecho al conocer los primeros dos momentos (m  y σ o ε) pues los momentos de orden superior requieren gran cantidad de observaciones para obtener estimaciones fiables. Las distribuciones temporales también se pueden caracterizar de otras maneras, cuyas más importantes se analizarán más adelante.

8.2 Tiempo de vida residual Se desea hallar la distribución del tiempo de vida residual, dado que ya ha sido obtenida una determinada edad x ≥ 0. La distribución condicional F (t+x Ix ) se define como sigue (suponiendo que p {T > x } > 0 y t ≥ 0:

y así

La figura 3.1 ilustra los cálculos gráficamente. El valor medio m 1,r del tiempo de vida residual se puede expresar como (3.4): 46

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El índice de mortalidad en el tiempo x , es decir la probabilidad de que la vida útil considerada termina dentro de un intervalo ( x ,x + dx ), bajo la condición que la edad x haya sido alcanzada, se obtiene con la expresión (3.11) en la condición t = dx :

La función de densidad condicional μ(x ) también se denomina función obstáculo . Si se da esta función, se puede obtener entonces F (x ) como solución a la siguiente ecuación diferencial:

Figura 3.1 − Función densidad del tiempo de vida residual condicionada para una edad x dada (3.11). El ejemplo se basa en una distribución de Weibull We(2,5) donde x = 3 y F(3) = 0,3023. 47

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que tiene la siguiente solución (suponiendo F (0) = 0):

El índice de mortalidad μ( t) es constante si, y solo sí, la vida útil se distribuye en forma

exponencial. Esto es una característica fundamental de la distribución exponencial que se denomina propiedad de Markovian (falta de memoria  (edad )): La probabilidad de terminación es independiente de la edad real (historia). Cabría esperar que la vida útil residual media m 1,r (x ) disminuya cuando aumenta x , así como la vida útil residual esperada disminuya cuando la edad x aumenta. Esto no siempre es el caso. Para una distribución exponencial con factor de forma ε = 2, se tiene m 1,r  = m . Para distribuciones pronunciadas (1 ≤ ε ≤ 2) se tiene m 1,r  < m , mientras que para distribuciones planas (2 < ε < ∞), se tiene m 1,r  ≥ m.

Ejemplo 3.1.2: Distribución del tiempo de espera La distribución del tiempo de espera W s (t ) para un cliente aleatorio tiene usualmente una masa (atómica) de probabilidad positiva en t = 0, en razón que algunos de los clientes toman el servicio inmediatamente sin espera. Se tiene así W s(  0) > 0. Aplicando la ecuación (3.11) la distribución del tiempo de espera W +(t ) para clientes que tienen tiempos de espera positivos será:

o si se indica la probabilidad de un tiempo de espera positivo {1  – W s(  0)} por D (probabilidad de demora):

Para la función de densidad, aplicando la ecuación (3.11), se tiene: Para valores medios se obtiene:

donde el valor medio para todos los clientes viene indicado por  W  y el valor medio para los clientes demorados se indica con w .

Ejemplo 3.2.1: Distribución binomial y ensayo de Bernoulli. Supóngase que la probabilidad de éxito en una prueba (por ejemplo tirar un dado) sea igual a p y la probabilidad de fracaso sea igual 1 − p . El número de éxitos en una sola prueba estará entonces dada por la distribución de 48

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Bernoulli:

Si se efectúa un total de S pruebas, la distribución de la cantidad de éxitos tiene distribución binomial:

la que se obtiene, por tanto, mediante la convolución de S distribuciones de Bernoulli. Si se ejecuta una prueba adicional, la distribución del número total de éxitos se obtiene mediante la convolución de la distribución binomial (3.35) y la distribución de Bernoulli (3.34):

Lección 9: Procesos de llegada  Los procesos de llegada, tal como llamadas telefónicas que llegan a una central, se describen matemáticamente como procesos estocásticos puntuales . Para un proceso puntual, se pueden distinguir dos llegadas entre sí. Las informaciones concernientes a una llegada (tiempo de servicio, número de cliente) se ignoran. De modo que la información sólo se puede utilizar para determinar si una llegada pertenece al proceso o no. La teoría matemática para el proceso puntual fue presentada y desarrollada por el sueco Conny  Palm  en el decenio de 1940. Esta teoría ha sido ampliamente aplicada en diversos temas. Fue matemáticamente perfeccionada por Khintchine (1968, [63]), y se ha aplicado considerablemente en muchos libros de textos.

9.1 Descripción de procesos puntuales En el texto siguiente sólo se considerarán procesos puntuales regulares , es decir se excluyen las llegadas dobles . Para llamadas telefónicas esto se puede realizar utilizando una escala temporal suficientemente detallada. 49

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Considérense tiempos de llegada en los que la i-ésima llamada llega en el tiempo Ti : 0 = T 0 < T 1 < T 2 < . . . < Ti < Ti +1 < . . . .

(5.1)

La primera observación tiene lugar en el tiempo T 0 = 0. El número de llamadas en el semiintervalo abierto [0, t ] se indica como Nt . El valor  Nt  es una variable aleatoria con parámetros de tiempo continuo y espacio discreto. Cuando t  aumenta, Nt  nunca disminuye.

Figura 4.1 − Proceso de llegada de la llamada en las líneas de entrada de una central de tránsito La distancia temporal entre dos llegadas es: Xi = Ti  – Ti   –1, i = 1, 2; . . . . (5.2) Esto se denomina tiempo entre llegadas  y la distribución de este proceso es la distribución del  tiempo entre llegadas.

Correspondiente a las dos variables aleatorias Nt y Xi , los dos procesos se pueden caracterizar de dos maneras: 1) Representación del número Nt : el intervalo de tiempo t  se mantiene constante y se observa la variable aleatoria Nt para el número de llamadas en t . Representación del intervalo Ti : el número de llamadas entrantes se mantiene 2) constante y se observa la variable aleatoria Ti  para el intervalo de tiempo hasta que se hayan producido n llegadas (en especial T 1 = X 1). 50

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La reacción fundamental entre las dos representaciones viene dada por la siguiente relación simple: si y sólo si

Esto se expresa por la identidad de Feller-Jensen :

El análisis del proceso puntual se puede basar en ambas representaciones. En principio estas representaciones son equivalentes. La representación de intervalos corresponde a los análisis usuales en serie del tiempo (si, por ejemplo i  = 1), se obtienen promedios de llamada, es decir  estadísticas basadas en las llamadas entrantes. La representación del número de llamadas no tiene comparación en el análisis en serie del tiempo. Las estadísticas están calculadas por unidad de tiempo y se obtienen promedios de tiempo. (Confróntese la diferencia entre congestión de llamadas y congestión temporal.) Las estadísticas de interés cuando se estudian procesos puntuales, se pueden dividir conforme a las dos representaciones.

9.1.1 Propiedades básicas de la representación del número Hay dos propiedades que son de interés teórico: 1) El número de llamadas entrantes total en el intervalo [ t 1, t 2] es igual a Nt 2 - Nt 1. El número de llamadas promedio en el mismo intervalo se denomina función de renovación H : H (t 1, t 2) = E {Nt 2 – Nt 1}

(5.5)

2) La densidad de las llamadas entrantes en el tiempo t (valor medio del tiempo) es:

Se supone que λ t  existe y es un valor finito. Se puede interpretar que λ t  es la intensidad , con la que se producen las llegadas en el tiempo t .

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Para procesos puntuales regulares, se tiene:  p { Nt +Δt  –  Nt ≥ 2} = o(Δt ),

(5.7)

 p { Nt +Δt  –  Nt = 1} = λ tΔ   t + o(Δt ),

(5.8)

 p { Nt +Δt  –  Nt = 0} = 1 – λ tΔ   t + o(Δt ),

(5.9)

donde, por definición:

3) Índice de dispersión para conteo Para describir propiedades de segundo orden de la representación del número de llamadas se utiliza el índice de dispersión para conteo (IDC, index of dispersion for counts ). Este índice describe las variaciones de los procesos de llegada durante un intervalo de tiempo t  y se define como:

Mediante la división del intervalo de tiempo t  en x  intervalos de duración t/x  y observando el número de eventos durante esos intervalos se obtiene una estimación del IDC (t ). Para el proceso de Poisson IDC  se pone igual a uno. IDC  es igual al "grado de curto sis", que se tratará más adelante para caracterizar el número de canales ocupados en un proceso de tráfico.

9.1.2 Propiedades básicas de la representación del intervalo 4) La distribución f (t ) de intervalos de tiempo Xi  (5.2) (y por convolución la distribución en sí i  –1 veces la distribución del tiempo hasta la i-ésima llegada). (5.12) Fi (t ) = p {Xi ≤ t }, E {Xi } = m1, i .

(5.13)

El valor medio es el promedio de llamadas entrantes que se obtiene para cada llamada. Un proceso de renovación es un proceso puntual en el que los tiempos entre llamadas son estocásticos independientes entre sí y tienen la misma distribución (excepto para X 1), es decir  mi  = m . (IID = Idéntica e independientemente distribuidas).

5) La distribución V (t ) del intervalo de tiempo desde un periodo aleatorio hasta que se produzca la primera llegada. El valor medio de V (t ) es un promedio de tiempos que se calcula por unidad de tiempo. 6) Índice de dispersión por intervalos. 52

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Para describir propiedades de segundo orden para la representación de intervalos se utiliza el índice de dispersión para intervalos (IDI, index of dispersion for intervals ). Esto se define:

donde Xi  es el tiempo entre llegadas. Para el proceso de Poisson que tiene tiempos de servicio distribuidos exponencialmente, el IDI  se pone igual a uno. El IDI  es igual al factor de forma de Palm menos uno (3.10). En general, el IDI  es más difícil de obtener por observación que el IDC , y es más sensible a la exactitud de medición y regularización del proceso de tráfico. La tecnología digital es más adecuada para la observación del IDC , mientras que complica la observación del IDI . Cuál de las dos representaciones se debe utilizar en la práctica depende realmente del caso particular. Esto se puede ilustrar con los siguientes ejemplos.

Ejemplo 5.1.1: Principios de medición. Las medidas del comportamiento del teletráfico se llevan a cabo por uno de los dos principios básicos siguientes: 1) Medidas pasivas . El equipo de medición registra en intervalos de tiempo regulares el número de llegadas desde la última registrada. Equivale al método de exploración , que es apropiado para computadoras. Y corresponde a la representación del número cuando el intervalo de tiempo es fijo. 2) Medidas activas . El equipo de medición registra un evento en el instante que se produce. Se mantiene el número de evento fijo y se observa el intervalo de medición. Un ejemplo de esto está dado por los instrumentos de registro. Esto corresponde a la representación del intervalo donde se obtienen estadísticas para cada llamada simple. Ejemplo 5.1.2: Llamadas de prueba. Investigación de la calidad de tráfico. En la práctica esto se efectúa de dos maneras: 1) La calidad de tráfico se estima recopilando estadísticas de los resultados de las llamadas de prueba efectuadas a abonados específicos o ficticios. Las llamadas se generan durante la hora cargada independientemente del tráfico real. El equipo de prueba registra el número de las llamadas bloqueadas, etc. Las estadísticas obtenidas corresponden a los promedios de tiempo de la medida de rendimiento. Lamentablemente, este método aumenta la carga ofrecida en el sistema. Teóricamente, las medidas de rendimiento obtenidas deferirán de los valores correctos. 2) Los datos recopilados de los equipos de prueba a partir del número de llamada N, 2N, 3N, . . . , por ejemplo N  = 1 000. El proceso de tráfico no cambia y la estadística de rendimiento es un promedio de llamada.

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Ejemplo 5.1.3: Estadísticas de llamadas. Un abonado evalúa la calidad por una fracción de llamadas que están bloqueadas, por ejemplo promedio de llamadas. El operador evalúa la calidad mediante la proporción de tiempo cuando todas las líneas de enlace están ocupadas, es decir promedio de tiempo. Los dos tipos de valores promedio (tiempo/llamada) están a menudo mezclados, causando aparentes estados contrarios.

Ejemplo 5.1.4: Parte llamada ocupada (B ocupado). En una central telefónica el 10% de los abonados está ocupado, pero el 20% de las tentativas de llamada están bloqueadas debido a que B está ocupado (parte llamada ocupada). Este fenómeno se puede explicar por el hecho que la mitad de los abonados están en estado pasivo (es decir no efectúan ni reciben llamadas), mientras que el 20% de los abonados restantes están ocupados. G. Lind (1976 [74]) analizó el problema bajo la hipótesis de que cada abonado en promedio tiene el mismo número de llamadas entrantes y salientes. Si el valor medio y el factor de forma de la distribución de tráfico por abonado es b  y ε, respectivamente, la probabilidad que una tentativa de llamada encuentre al abonado B ocupado es b . ε. 9.2 Características del proceso puntual Se ha tratado anteriormente una estructura muy general para procesos puntuales. Para aplicaciones específicas habrá que examinar otras propiedades. Sólo se considerará la representación del número pero se podría hacer lo mismo basado en la representación del intervalo. 9.2.1 Condición de estacionario (Homogeneidad del tiempo) Esta propiedad se puede describir sin considerar la posición en el eje del tiempo. Las distribuciones de probabilidad que describen el proceso puntual son entonces independientes del instante de tiempo. La siguiente definición es útil en la práctica: Definición: Para una relación t 2 > 0 arbitraria y toda κ ≥ 0, la probabilidad que haya κ llegadas en [t 1, t 1 + t 2] es independiente de t 1, es decir para todos los t , κ se tiene:

Hay muchas otras definiciones de la condición de estacionario, algunas más estrictas y otras más amplias. La condición de estacionario también se puede definir por representación de intervalos requiriendo que todas las Xi  sean independientes e idénticamente distribuidas. Una definición amplia es aquella que todos los momentos de primero y segundo orden (por ejemplo el valor medio y la 54

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varianza) de un proceso puntual deben ser constantes con respecto a desplazamientos en el tiempo. Erlang  introdujo el concepto de equilibrio estadístico , que requiere que las derivadas del proceso

con respecto al tiempo sean cero.

9.2.2 Independencia Esta propiedad se puede expresar como la necesidad que la evolución futura del proceso sólo dependa del estado presente. Definición: La probabilidad que los eventos k  (k  es entero y ≥ 0) se produzcan en [ t 1, t 1 + t 2] es independiente de los eventos antes del tiempo t 1:

Si esto es válido para todos los tiempos t , se tendrá un proceso Markov  en el que la evolución futura sólo depende del estado presente pero es independiente de cómo ha sido obtenida. Esta es la propiedad denominada falta de memoria . Si esta propiedad sólo es válida para determinados puntos en el tiempo (por ejemplo, tiempos de llegada), estos puntos se denominan puntos de  equilibrio  o puntos de regeneración . El proceso entonces tiene una memoria limitada y sólo es necesario mantener el registro de los últimos puntos de regeneración.

Ejemplo 5.2.1: Puntos de equilibrio = puntos de regeneración Ejemplos de procesos puntuales con puntos de equilibrio. a) El proceso de Poisson  (como se verá en el Capítulo siguiente) no tiene memoria, y todos los puntos de los ejes de tiempo son puntos de equilibrio. b) Un proceso de  exploración, en el que las exploraciones se producen en un ciclo regular, tiene memoria limitada. El último instante de exploración tiene plena información sobre el proceso explorador y, por tanto, todos los puntos de exploración son puntos de equilibrio. c) Si se superponen el proceso de Poisson y el proceso de exploración (por ejemplo, mediante la investigación de los procesos de llegada en un sistema informático), los únicos puntos de equilibrio en el proceso compuesto son los instantes de exploración. d) Considérese un sistema de puesta en fila con procesos de llegada de Poisson, tiempo de servicio constante y servidor único. El número de posiciones en la fila puede ser finito o infinito. Defínase un proceso puntual por los instantes de tiempo cuando comienza el servicio. Todos los intervalos de tiempo cuando el sistema está en reposo, serán puntos de equilibrio. Durante los periodos en que el sistema está ocupado los puntos en el tiempo para aceptar nuevas llamadas de servicio dependen del instante en que la primera llamada del periodo ocupado inicia el servicio.

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9.2.3 Regularidad Se ha indicado ya que se excluyen los procesos con múltiples llegadas. Definición: Se dice que un proceso puntual es regular, si la probabilidad que haya más de un evento en un punto dado es cero:

Con la representación del intervalo, la distribución del tiempo entre llegadas a destino de las llamadas no debe tener una probabilidad de masa (atómica) en cero, es decir, la distribución es continua en cero (3.1): F (0+) = 0

(5.18)

Ejemplo 5.2.2: Eventos múltiples. Los puntos temporales de accidentes de tráfico formarán un proceso regular. La cantidad de vehículos dañados o personas fallecidas será un proceso puntual y regular con eventos múltiples.

Lección 10: Teorema de Little  Este es el único resultado general que es válido para todos los sistemas de puesta en fila y fue publicado por primera vez por Little (1961 [76]). La prueba se muestra por aplicación de la teoría del proceso estocástico en (Eilon, 1969 [25]).Se considera un sistema de puesta en fila donde los clientes llegan conforme a un proceso estocástico. Los clientes ingresan al sistema en un tiempo aleatorio y esperan hasta obtener el servicio; una vez servidos dejan el sistema. En la figura 5.3 los procesos de llegada y salida se consideran como procesos estocásticos con el número de clientes acumulado en ordenadas. Considérese un tiempo T  y supóngase que el sistema está en equilibrio estadístico  en el tiempo inicial t = 0. Se tienen las siguientes notaciones (véase la figura 5.3): N (T )

=

A(T ) =

número de llegadas en el periodo T . tiempo de servicio total de todos los clientes en el periodo T.

A(T )= zona sombreada entre curvas. A(T )= volumen de tráfico transportado. λ(T )

=

N (T ) = intensidad promedio de la llamada en el periodo T . T  56

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ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍAS E INGENIERÍAS CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 208022-TELETRAFICO W (T ) =

A(T ) = tiempo de ocupación medio en sistemas por llamada en el periodo T . N (T )

L(T )

=

A(T ) = número de llamadas promedio en el sistema en el periodo T. T 

Se tiene la relación importante entre esas variables:

W (T ) existen, existirá también el valor limitado de Si los límites de λ = lim T →∞ λ(T ) y W  = limT T→∞   L(T ) y L = λ . W (Teorema de Little) (5.20)

Esta fórmula simple es válida para todos los sistemas generales de puesta en fila. La prueba ha sido perfeccionada durante varios años. La fórmula, que se ha probado aquí por una consideración muy simple del proceso estocástico, es más útil de lo que parece.

Ejemplo 5.3.1: Fórmula de Little. Sólo se considerarán las posiciones de espera, la fórmula muestra "la longitud media de la fila es igual a la intensidad de la llamada multiplicado por el tiempo de espera medio." Considérense ahora los lugares del servicio, la fórmula muestra "el tráfico transportado es igual a la intensidad de llegada multiplicado por el tiempo del servicio medio (A = y . s = λ/μ.)".

Figura 4.2 − Sistema de puesta en fila con llegada y salida de clientes. La distancia vertical entre las dos curvas es igual al número real de clientes que están servidos. Los clientes en general no salen en el mismo orden en que llegan, de modo tal que la distancia horizontal entre las curvas no describe el tiempo real en el sistema de un cliente.

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CAPITULO 3: DISTRIBUCIONES DE LOS INTERVALOS DE TIEMPO La distribución exponencial es la distribución temporal más importante de la teoría del teletráfico.  Al combinar en serie intervalos temporales distribuidos exponencialmente, se obtiene una clase de distribuciones denominadas distribuciones de Erlang. Al combinarlos en paralelo, se obtiene una distribución hiperexponencial. Al combinar las distribuciones exponenciales en serie y en paralelo, posiblemente con retroalimentación, se obtienen distribuciones de tipo fase, lo que constituye una clase muy general de distribuciones. Las distribuciones de Cox son una sub categoría importante de las distribuciones de tipo fase. Se observa que una distribución arbitraria se puede expresar  mediante una distribución Cox, lo que puede utilizarse en modelos analíticos en forma relativamente sencilla. Por último, también se estudian otras distribuciones temporales que se emplean en la teoría del teletráfico. Se ofrecen algunos ejemplos de observaciones de tiempos de vida.

Lección 11: Distribución exponencial  En la teoría de teletráfico esta distribución también se denomina distribución exponencial negativa . En principio, se puede utilizar cualquier función de distribución con valores no negativos para modelar un tiempo de vida. Sin embargo, la distribución exponencial tiene algunas características propias que hacen que esta distribución se califique para utilización analítica y práctica. La distribución exponencial desempeña un papel fundamental entre todas las distribuciones de tiempo de vida. Esta distribución se caracteriza por un parámetro único, la intensidad  o régimen  λ:

La función gamma viene defina por: Si se reemplaza t por λt  y se obtiene el ν-ésimo momento, se tiene:

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Figura 5.1 − En diagramas de fase todo intervalo de tiempo distribuido exponencialmente se ilustra como una casilla con la intensidad. La casilla significa así que uncliente que llega a la misma sufre el retardo de un intervalo de tiempo distribuido exponencialmente antes de dejar la casilla La distribución exponencial es muy apropiada para describir intervalos de tiempo físicos (véase la figura 6.2). La característica más importante de la distribución exponencial es su falta de memoria . La distribución del tiempo residual de una conversación telefónica es independiente de la duración real de la conversación, y es igual a la distribución del tiempo de vida total (3.11):

Si se quita la masa de probabilidad del intervalo (0, x ) a partir de la función densidad y se normaliza la masa residual en ( x , ∞) a la unidad, la nueva función de densidad se hace congruente con la función de densidad original. La única función de distribución continua que tiene esta propiedad es la distribución exponencial, mientras que la distribución geométrica es la única distribución discreta que tiene esta propiedad. En la figura 3.1 se muestra un ejemplo con la distribución de Weibull en la que esta propiedad no es válida. Para k = 1 la distribución de Weibull se hace idéntica a que la distribución exponencial. Por tanto, el valor medio del tiempo de vida residual es m 1,r  = m  y la probabilidad de observar un tiempo de vida en el intervalo ( t,t  + dt ), teniendo en cuenta que se produzca después de t , viene dado por:

es decir es independiente del tiempo real t .

11.1 Mínimo de k variables aleatorias distribuidas exponencialmente Se supone que dos variables aleatorias X 1 y X 2 son mutuamente independientes y están distribuidas exponencialmente con intensidades λ1 y λ2, respectivamente. Una nueva variable aleatoria X se define como: 59

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La función de distribución de X es:

Esta función de distribución propiamente dicha es también una distribución exponencial con intensidad (λ1 y λ2). Con la hipótesis que el primer evento (más pequeño) sucede en el tiempo t , la probabilidad que la variable aleatoria X 1 se realice primero viene dada por:

es decir independiente de t . (No es necesario integrar todos los valores de t.) Esos resultados pueden ser generalizados a k  variables e integrar el principio básico de la simulación técnica denominada método de la ruleta , una metodología de simulación de Monte Carlo.

11.1.2 Combinación de distribuciones exponenciales Si una distribución exponencial (es decir, un parámetro) no puede describir los intervalos de tiempo con detalle suficiente, se ha de tener que utilizar entonces una combinación de dos o más distribuciones exponenciales. Conny Palm introdujo dos clases de distribuciones: pronunciada y plana. Una distribución pronunciada corresponde a un conjunto de distribuciones estocásticas con exponencial independiente dispuestos en serie (véase la figura 5.2), y una distribución plana corresponde a distribuciones exponenciales dispuestas en paralelo (véase la figura 5.4). Esta estructura corresponde naturalmente a la configuración de procesos de tráfico en redes de telecomunicación y datos. Mediante la combinación de distribuciones pronunciada y planas se obtiene una aproximación arbitrariamente buena para cualquier función de distribución (véase la figura 5.7). Los diagramas de las figuras 5.2 y 5.4 se denominan diagramas de fase.

Figura 5.2 - Mediante la combinación de k distribuciones exponenciales en serie se obtiene una distribución pronunciada (ε ≤ 2). Si todas las distribuciones k son idénticas (λ1 = λ), se obtiene entonces una distribución Erlang-k  60

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Figura 5.3 − Distribuciones Erlang-k con valor medio igual a uno. El caso k = 1 corresponde a una distribución exponencial (funciones de densidad) Lección 12: Distribuciones pronunciadas  Las distribuciones pronunciadas también se denominan distribuciones hiperexponenciales o distribuciones Erlang generalizadas con un factor de forma en el intervalo 1 < ε ≤ 2. Esta función de distribución generalizada se obtiene convolucionando distribuciones exponenciales k  (véase la figura 5.2). Aquí sólo se considera el caso en el que todas las distribuciones exponenciales k  son idénticas. Se obtiene entonces la siguiente función de densidad que se denomina distribución  Erlang-k.

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(4.10) Mediante las ecuaciones (3.31) y (3.32) se pueden obtener los momentos siguientes;

El i-ésimo momento no central es:

La función de densidad se calcula en el § 6.2.2. El tiempo de vida residual medio m 1,r (x ) para x ≥ 0 será menor que el valor medio: Con esta distribución se tiene dos parámetros ( λ , k ) disponibles para ser estimados por  observación. El valor medio se mantiene a menudo fijo. Para estudiar la influencia del parámetro k  en la función de distribución, se normalizan todas las distribuciones Erlang- k al mismo valor medio como la distribución Erlang-1, es decir  la distribución exponencial con 1/λ medio, reemplazando t  por k t  o λ por k λ:

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Se observa que el factor de forma es independiente de la escala de tiempos. La función de densidad (4.15) se ilustra en la figura 5.3 para diferentes valores de k  con λ = 1. El caso k  = 1 corresponde a la distribución exponencial. Cuando k  → ∞ se obtiene en un intervalo de tiempo constante (ε = 1). Resolviendo la ecuación f' (t ) se halla el valor máximo con la siguiente expresión:

Las distribuciones pronunciadas se denominan así debido a que las funciones de distribución aumenta de 0 a 1 más rápidamente que la distribución exponencial. En teoría de teletráfico se utiliza a veces el nombre distribución de Erlang para la distribución de Poisson truncada.

Lección 13: Distribuciones planas  La función de distribución general es en este caso una suma ponderada de distribuciones exponenciales (distribución compuesta) con un factor de forma ε ≥ 2:

donde la función de ponderación puede ser discreta o continua (integral de Stieltjes). Esta clase de distribución corresponde a una combinación en paralelo de las distribuciones exponenciales (véase la figura 5.4). La función de densidad se denomina función monótona completa debido a los signos alternados (Palm, 1957 [84]).

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Figura 5.4 − Mediante la combinación de distribuciones exponenciales k en paralelo y seleccionando la derivación número i con la probabilidad p i,  se obtendrá una distribución hiperexponencial, que es una distribución plana (ε ≥ 2) El tiempo de vida residual medio m 1,r (x ) para toda x ≥ 0 es mayor que el valor medio:

13.1 Distribución hiperexponencial En este caso, W (λ) es un valor discreto. Supóngase que se tengan los siguientes valores dados: λ1, λ2, ... , λk , y que W (λ) tenga incrementos positivos: p 1, p 2, ... , p k 

donde

Para cualquier otro valor, W( λ) es constante. En este caso (4.20) resulta:

Los valores medio y el factor de forma se pueden hallar con las ecuaciones (3.36) y (3.37) ( σi  = m1,i  = 1/λi ):

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Si n = 1 o todas las λi son iguales, se tendrá una distribución exponencial. Esta clase de distribución se denomina distribución hiperexponencial y se puede obtener  combinando n  distribuciones exponenciales en paralelo, donde la probabilidad de elegir la i-ésima distribución viene dada por  p i.  La distribución se denomina plana pues su función de distribución de 0 a 1 aumenta más lentamente que la distribución exponencial. En la práctica, es difícil estimar más que uno o dos parámetros. El caso más importante es para n = 2 (p 1 = p , p 2 = 1 – p ):

Los problemas estadísticos surgen aun cuando se tratan tres parámetros. Por consiguiente, para aplicaciones prácticas se escoge usualmente λi = 2λp i  y se reduce así la cantidad de parámetros a sólo dos:

El valor medio y el factor de forma resultan:

Para esta elección de parámetros las dos derivaciones tiene la misma contribución para el valor  medio. En la figura 5.5 se ilustra un ejemplo.

Lección 14: Distribuciones de Cox  Mediante la combinación de distribuciones planas y pronunciadas se obtiene una clase de distribución general (distribuciones de tipo de fase) que se pueden describir con fase exponencial tanto en serie como en paralelo (por ejemplo una matriz k  × l ). Para analizar un modelo con esta clase de distribuciones, se puede aplicar la teoría de los procesos de Markov, de la que se tienen herramientas eficaces como el método de fase. En el caso más general se puede permitir la realimentación entre las fases. 65

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Sólo se considerarán distribuciones de Cox  como las que se muestran en la figura 5.6 (Cox, 1955 [18]). Estas distribuciones también aparecen con el nombre de distribución de Erlang con derivaciones.

Figura 5.5 − Función de la (frecuencia de) densidad para tiempos de ocupación observándose líneas en una central local durante las horas cargadas. (Central 0163, 27/5-6/6 1975.)

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Figura 5.6 − Distribución de Cox en una distribución Erlang generaliza que tiene distribuciones exponenciales tanto en serie como en paralelo. El diagrama de fase es equivalente a la figura 5.7

Figura 5.7 − Diagrama de fase de una distribución de Cox (véase la figura 5.6) El valor medio y la varianza de esta distribución de Cox (véase la figura 5.7) se encuentran en las fórmulas:

donde: El término q i(  1  – a i ) es la probabilidad de salir después de alcanzar la i-ésima fase. El valor medio se puede calcular con la simple expresión siguiente:

donde m 1,i  = q i/ λi , es el i-ésimo valor medio relacionado con la fase. La varianza es: 67

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que se puede expresar así:

La adición de dos variables aleatorias con distribución Cox produce otra variable con distribución Cox, es decir esta clase es cerrada de acuerdo con la operación de adición. La función de una distribución de Cox se puede expresar como la suma de funciones exponenciales:

donde

y

14.1 Prueba polinomial Las siguientes propiedades tienen importancia para aplicaciones posteriores. Si se considera un punto en el tiempo escogido al azar dentro de un intervalo de tiempo con distribución de Cox, la probabilidad que este punto esté dentro de la fase i viene dada por:

Si este experimento se repite y  veces (independientemente), la probabilidad que la fase i  se observa y i  veces está dada por la distribución multinomial  ( = distribución polinomial):

donde

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y

Estas expresiones (4.38) se denominan coeficientes multinomiales. Por la propiedad de "falta de memoria" de las distribuciones (fases) exponenciales se tiene plena información acerca del tiempo de vida residual, cuando se conoce el número de la fase real.

14.2 Principios de descomposición

Figura 5.8 − Una distribución exponencial con intensidad λ es equivalente a la distribución de Cox mostrada (Teorema 4.1) Los diagramas de fase constituyen una herramienta útil para analizar las distribuciones de Cox. La siguiente es una característica fundamental de la distribución exponencial (Iversen y Nielsen, 1985 [43]):

Teorema 4.1 Una distribución exponencial con intensidad λ se puede descomponer en una distribución Cox de dos fases, donde la primera tiene una intensidad m >  λ y la segunda una intensidad λ (véase la figura 5.8). El Teorema 4.1 muestra que una distribución exponencial es equivalente a una distribución de Cox homogénea  (homogénea significa que tiene iguales intensidades en todas las fases) con intensidad m y un número infinito de fases (véase la figura 5.8). Se observa que las probabilidades de derivaciones son constantes. La figura 5.9 corresponde a una suma ponderada de distribuciones Erlang-k donde los factores de ponderación están geométricamente distribuidos.

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Figura 5.9 − Una distribución exponencial con régimen λ se transforma por descomposición sucesiva en una distribución compuesta de distribuciones Erlang-k homogéneas con los parámetros μ > λ, donde los factores de ponderación siguen una distribución geométrica (cociente p = λ/m ).

Figura 5.10 − Con una distribución hiperexponencial con dos fases λ1 > λ2 puede ser transformada a una distribución de Cox-2. Conforme al Teorema 4.1 una distribución hiperexponencial con l  fases es equivalente a una distribución de Cox con el mismo número de fases. El caso l = 2 se muestra en la figura 5.10. Se tiene otra propiedad de las distribuciones de Cox (Iversen y Nielsen, 1985 [43]):

Teorema 4.2 En cualquier distribución de Cox se pueden ordenar las fases, tal com o λi  ≥ λi +1. Mediante el empleo de los diagramas de fase es sencillo ver que cualquier intervalo de tiempo exponencial (λ) se puede descomponer en distribuciones de tipo de fase (λ i ), donde λi  ≥ λ. Referente a la figura 5.11 se observa que el régimen fuera de los estados macro (rectángulo en línea de trazos) es independiente de λ del estado micro. Cuando el número de fase k es finito y no hay realimentación la fase final debe tener régimen λ.

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Figura 4.11 − Esta distribución de tipo de fase es equivalente a un exponente único cuando p i  . λi  = λ. Así λi  ≥ λ como 0 < p i  ≤ 1 14.3

Importancia de la distribución de Cox

Las distribuciones de Cox han atraído la atención durante los últimos años pues son de gran importancia debido a las siguientes propiedades: a. La distribución de Cox se puede analizar utilizando el método de fases. b. Se puede tener una distribución arbitraria aproximadamente bien con una distribución de Cox. Si una propiedad es válida para una distribución de Cox será también válida para cualquier  distribución de interés práctico. Con las distribuciones de Cox se pueden obtener resultados con métodos elementales que previamente requerían matemáticas muy avanzadas. En la conexión con aplicaciones prácticas de la teoría, se han utilizado los métodos para estimar  los parámetros de la distribución de Cox. En general, hay 2 k  parámetros en un problema estadístico sin resolver. Normalmente, se puede elegir una distribución de Cox especial (por  ejemplo, distribución Erlang- k o hiperexponencial) y aproximarse al primer momento. Por simulación numérica en computadoras utilizando el método de la ruleta , se obtienen automáticamente las observaciones de los intervalos de tiempo como distribución de Cox con las mismas intensidades en todas las fases.

Lección 15:

Otras distribuciones temporales 

En principio, cada distribución que tiene valores no negativos, se puede utilizar como distribución temporal para describir los intervalos de tiempo. Pero en la práctica, se trabaja principalmente con las distribuciones mencionadas anteriormente. Se supone que el parámetro k  en la distribución de Erlang-k  (Ec. 4.8) toma valores reales no 71

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negativos y obtiene la distribución gamma :

El valor medio y la varianza vienen dados por las ecuaciones (4.11) y (4.12). Otro ejemplo de una distribución también conocida en la teoría de teletráfico es la distribución de  Weibull :

Con esta distribución se puede, por ejemplo, obtener la intensidad de fin de vida dependiente del tiempo (3.14):

Esta distribución tiene su origen en la teoría de la fiabilidad. Para k  = 1 se tiene la distribución exponencial. Más adelante, se tratará un conjunto de distribuciones discretas que también describe el tiempo de vida, tal como la distribución geométrica, distribución de Pascal, distribución binomial, distribución de Westerberg, etc. En la práctica, los parámetros de distribuciones no son siempre constantes. Los tiempos (de ocupación) del servicio se pueden relacionar físicamente con el estado del sistema. En sistemas hombre-máquina el tiempo del servicio cambia en razón de la actividad (disminuye) o inactividad (aumenta). De la misma manera, los sistemas electromecánicos funcionan más lentamente durante periodos de carga elevada en razón que la tensión diminuye. Para algunas distribuciones que se aplican ampliamente en la teoría de puesta en fila, se utilizan las siguientes notaciones abreviadas:

M Ek Hn D Cox G

~

~ ~

~

Distribución exponencial (Markov), Distribución de Erlang-k, Distribución hiperexponencial de orden Constante (Determinística), Distribución de Cox, General = atribución arbitraria.

15.1 Observaciones de la distribución de tiempo de vida En la figura 5.5 se muestra un ejemplo de los tiempos de ocupación observados desde una central telefónica local. El tiempo de ocupación comprende el tiempo de señalización y, si la llamada se 72