203057_10 Trabajo Colavorativo Fase 1

CALCULO MULTIVARIADO CÓDIGO: 203057 FASE 1- TRABAJO COLABORATIVO-UNIDAD 1 UNIDAD No 1

Presentado a: JOSE ADEL BARRERA Tutor

Entregado por: ARLEY FERNADO ZUÑIGA Código: 24764410 CARLOS ANDRES CARDENAS Código: XXXXX CRISTIAN FABIAN ARIAS Código: 1143829574 FABIÁN SÁNCHEZ CERÓN Código: 12265941 JOSE ALEXIS DOMINGUEZ Código: XXXXX

Grupo: 203057_10

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA FECHA CIUDAD

INTRODUCCIÓN

Para poder comprender el trabajo colaborativo de la fase 1, nos adentraremos a las funciones de varias variables. Es una regla de correspondencia que asigna a cada pareja de números reales (x, y) un y sólo un número real z. Estas se ordenan mediante una regla de correspondencia, da un número real (llamado Dominio) y el conjunto de valores z que corresponden a los pares ordenados se llama imagen o contradominio. Al tener una función de dos variables dada por z = f (x, y), entonces la gráfica de la ecuación f (x, y) = constante = c es el conjunto de puntos con coordenadas (x, y, c). Entonces teniendo todos estos puntos tenemos el mismo valor para la coordenada z, es decir, z = c. así que todos estos puntos están a la misma altura sobre el plano x y, o sea que están "al mismo nivel" sobre el plano x y.

1. Hallar las componentes y la longitud del vector final

a.

v

que tiene punto inicial

p y punto

q , despues hallar un vector unitario en la dirección de v p(5,−3, 2) y q(3,3,−2)

Para este ejercicio el vector se obtiene restando las coordenadas del extremo menos el origen

v =q−p=( 3,3,−2 )−( 5,−3,2 )=(−2,6,−4)

‖v‖= √( 22+ 62+ 4 2)= √ 4+36+ 16= √56

Vector unitario u

u=

(

[ ]

1 (−2,6,−4 )=¿ √56

−2 6 −4 , , ) √ 56 √ 56 √ 56

b.

p(−2,5, 2) y q( 3,−4,−1)

Para este ejercicio el vector se obtiene restando las coordenadas del extremo menos el origen

v =q−p=( 3,−4,−1 ) −(−2,5,2 ) =(5,−9,−3)

5 ¿ ¿ 9 −¿ ¿ 2+(¿ ¿ 2+(−3)2 ) ¿ ‖v‖=√ ¿

Vector unitario u

u=

(

[√ ]

1 ( 5,−9,−3 )=¿ 56

5 −9 −3 , , ) √ 115 √115 √115

c.

p(2, 3,2) y q(−3,−1,5)

d.

p(3,−2,−4)

y

q( 2,3, 5)

El vector resultante es la resta del vector final menos el vector inicial

v =q−p=( 2,3,5 ) −( 3,−2,−4 )=(−1,5,9)

‖v‖= √(−12 +52 +92 )=√ 1+25+81=√ 107

Vector unitario u

u=

[ ]

u=

−1 5 9 , , √ 107 √107 √81

1 (−1,5,9 )=¿ √ 107

Comprobación Geogebra

p(−4,−2,5) y q( 3,2,−5)

e.

Para este ejercicio el vector se obtiene restando las coordenadas del extremo menos el origen

v =q−p=( 3,2,−5 )−(−4,−2,5 )=(7,4,−10)

‖v‖= √(72 +4 2+−102 )=√ 49+ 16+100= √ 165

Vector unitario u

u=

(

[ ]

1 ( 7,4,−10 )=¿ √165

7 4 −10 , , ) √ 165 √ 165 √ 165

2. Determine la gráfica de la ecuación, recuerde que se tiene que completar el cuadrado

x 2+ y 2 + z 2−8 y +6 z−25=0

a.

Para completar el cuadrado realizamos lo siguiente: 2

2

2

x + y + z −8 y +6 z−25=0 Agrupamos los términos

x 2+ ( y 2−8 y ) + ( z 2 +6 z )−25=0 x 2+ ( y 2−8 y +16 ) −16+ ( z 2 +6 z+ 9 )−9−25=0 2

2

2

2

2

2

x + ( y −4 ) + ( z+3 ) =25+16+9 x + ( y −4 ) + ( z+3 ) =50

( 0,4,−3 ) Radio=√ 50

x 2+ y 2 + z 2−8 x +4 y+ 2 z−4=0

b.

La grafica para la función es una esfera, para determinarla se procede de la siguiente manera.

x 2+ y 2 + z 2−8 x +4 y+ 2 z−4=0 2

2

2

x + y + z + AX + BY +CZ + D=0 ⇒ A=−2 ª B=−2 b

C=−2c 2

2

2

D=a + b +c −r

2

Reemplazar:

−8 a=−2 a a=4 4=−2 b b=−2 2=−2 c c =−1

−1 ¿2−r 2 −2¿ 2+ ¿ −4=4 2 +¿ Despejar: 2

r =25 r= √ 25=5

2

2

2

2

2

2

c.

x + y + z −x− y +3 z +2=0

d.

x + y + z −8 x +10 y−4 z+ 13=0

Para completar el cuadrado realizamos lo siguiente: 2

2

2

x + y + z −8 y +6 z−25=0

2

2

2

x + y + z −8 x +10 y−4 z+ 13=0 Agrupamos los términos

( x 2−8 x ) + ( y 2 +10 y ) + ( z 2−4 z ) + 13=0

( x 2−8 x+ 16 )−16+ ( y 2 +10 y+ 25 )−25+ ( z 2−4 z + 4 ) −4 +13=0

( x−4)2+ ( y+5 )2+ ( z−2 )2=−13+ 16+9+ 4 (x−4)2+ ( y+5 )2+ ( z−2 )2=16

( 4,−5,2 ) Radio=4

e.

x 2+ y 2 + z 2−6 x +2 y−4 z+19=0

Se agrupan términos semejantes

( x 2−6 x +9 ) + ( y 2+2 y +1 ) + ( z 2−4 z+ 4 )=−19+9+1+ 4=−5 Se dividen y se suman el cuadrado a cada expresión

( x−3 )2 + ( y +1 )2+ ( z−2 )2=−5

3. L a

posición de una partícula, que se mueve en el plano

xy , a las t

está determinada por la ecuación vectorial, obtenga

V ( t ) , A ( t ) ,‖V (t)‖ y ,‖ A (t)‖ ; y

determine los vectores velocidad y aceleración en a.

R ( t ) =( t 2 +4 ) i+ ( t−2 ) j; t 1=3

V ( t )=2t ,1

‖v (t)‖=√ 4 t 2+1 A(t) es la derivada de la velocidad:

A ( t ) =(2,0)

unidades de tiempo

t=t 1

V ( t ) , es la derivadade R ( t )=( t 2 +4, t−2 )

‖ A ( t )‖=2 R ( 3 )=(13,1) V (3 )=( 6,1 ) A ( 3 )=(2,0)

b.

R ( t ) =( 1+ t ) i+ ¿ ( t 2 -1) j ; t 1 =1

V ( t ) , es la derivadade R ( t )=( t 2 +4, t−2 )

V ( t )=1,2 t

‖v (t)‖=√ 1+ 4 t 2 A(t) es la derivada de la velocidad:

A ( t ) =(0,2)

‖ A ( t )‖=2 R ( 1 )=(2,0)

V (1 )=( 1,2 ) A ( 1 )=(0,2)

c.

1 R ( t ) =5 cos 2ti+ 3 sen 2 tj ; t 1= π 4

d.

2 1 R ( t ) = i− tj ; t 1=4 t 4 2 3 R ( 3 )= i− j 3 4

2 1 R ( 3 )= i− ∗3 j 3 4

Tenemos que la V(t) es la derivada de la posición R(t) por ello

dR −2 1 =V ( t ) = 2 i− j dt 4 t Ahora evaluamos la función V(t) en t=3

dR −2 1 =V ( 3 )= 2 i− j dt 4 3 dR −2 1 =V ( 3 )= i− j dt 9 4

‖V (t )‖=

√

4 1 + 4 t 16

La aceleración es la derivada de la velocidad

dV 4 =A ( t ) = 3 i+ 0 j dt t A ( 3 )=

4 i +0 j 33

A ( 3 )=

4 i+0 j 27

4 t3 ¿ ¿ ¿ ‖ A ( t )‖= √¿

‖ A ( t )‖= 43 t

e.

R ( t ) =et i+e 2 t j ; t 1=ln 2

∂ t ( e )=e t ∂t

∂ 2t ( e ) = ∂ ( e u ) ; sea u=2 t ∂t ∂u ∂ u ( e )=eu ∂u ∂ ( 2 t ) =2 ∂t Sustituimos en la ecuación a u=2t

¿ e 2t 2 La velocidad y aceleración en el tiempo de t son

v (t )=R ´ ( t ) =e t i+e 2 t 2� ∂ t ( e )=e t ∂t ∂ 2t ( e 2 )=2 ∂ ( e 2t ) ∂t ∂t ∂ 2t ( e ) = ∂ ( e u ) ; sea u=2 t ∂t ∂u ∂ u ( e )=eu ∂u ∂ ( 2 t ) =2 ∂t ¿ 2 e2 t 2 2t

¿4 e

a(t )=R ´ ´ ( t ) =e t i+ 4 e 2 t �

e e e e ;( ¿¿ 2t)2=22 e 4 t (¿¿ t)2=e2 t ¿ (¿¿ t)2 +( ¿¿ 2t)2 ; ¿ ¿ ||v ( t )||=√¿

||v ( t )||=√ e2 t +22 e 4 t Simplificamos aplicando ley de exponentes:

b

c

a ∗a =a

b +c

||v ( t )||=√22 e 6 t Aplicamos Propiedad de Radicales:

√n ab= √n a √n b

||v ( t )||=√22 √ e 6t Aplicamos Propiedad Propiedad de radicales:

√n an=a

;

6t

||v ( t )||=2 e 2

||v ( t )||=2 e3 t e 4e (¿¿ t)2 +( ¿¿ 2t)2 ¿ ||a ( t )||=√ ¿

e 4e ;(¿ ¿2 t)2=4 2 e 4 t ; (¿¿ t)2=e 2 t ¿ ¿

||a ( t )||=√ e2 t + 4 2 e 4 t Simplificamos aplicando ley de exponentes:

ab∗a c=ab +c

√n am =a mn

||a ( t )||=√ 4 2 e 6 t √n ab= √n a √n b

Aplicamos Propiedad de Radicales:

||a ( t )||=√ 4 2 √ e 6 t Aplicamos Propiedad de radicales:

||a ( t )||=4 e

√n an=a

√n am =a mn

;

6t 2

||a ( t )||=4 e3 t t

cuando t=ln2 ; v (t )=R ´ ( t ) =e i+e

2t

2�

v ( ln 2)=e ln2 i+ e2 ln 2 2� ln 2

e =2 ; aplicando propiedad logaritmica :a e

2 ln2

2=8 ; aplicamosley de exponente:

ln ⁡(b )

=b

abc =(ab )c

v ( ln 2 )=2 i+ 8 j cuando t=ln2 ; a(t )=R ´ ´ ( t ) =et i+ 4 e 2t � a( ln 2)=e ln2 i+ 4 e 2 ln 2 2� e ln 2=2 ; aplicando propiedad logaritmica :a ln ⁡(b )=b 4 e2 ln 2 2=32 ; aplicamosley de exponente : a ( ln 2 )=2 i+32 j

abc =(ab )c

cuando t=ln2 ;||v ( t )||=2 e

3t

||v ( ln2 )||=2 e 3 ln2 3 ln 2

2e

; aplicamos ley de exponente :

=16

a.

||v ( ln2 )||=16

4. Sean

f ( x , y )=

x y2 ,

g ( x ) =x2 , h ( x )=√ x

( h ∘ f ) (2,1)

a.

( h ∘ f ) (2,1 ) =¿ h ( f ( 2,1 ) ) =¿ h

( 12 )=¿ 2

h ( 2 )=¿

√2

b.

abc =(ab )c

3 h(¿) , g (9) f¿

h ( 3 )= √ 9=3 2 g ( 9 )=9 =81

3

(ℎ(3),�(9))= 812

=

3 =4,5724 × 10−4 6561

Determine

a ln ⁡( b) =b

c.

h ( g∘ f ) ( x , y )

d.

( h ∘ g ) ( f (x , y))

( h ∘ g ) (f ( x , y))

g( f ( x , y )) h¿

( ( ))

h g

h

x y2

(( ) ) √( ) x 2 y

e.

2

2

=

x x = 2 2 y y

( h ∘ f ) (2,1)

( fog ) ( x , y )=f ( x , y )=

f ( x , y )=

x y2

2 2 = =2 12 1

g ( x ) =x2 =22=4

h ( x )=√ 2=1.41

5. Fuerzas con magnitudes de 180 newton y 275 newton actúan sobre un gancho (ver la figura). El ángulo entre las dos fuerzas es de

θ grados.

θ=30 ° , hallar la dirección y la magnitud de la fuerza resultante. b. Expresar la magnitud M y la dirección α de la fuerza resultante en funciones a. Si

0 ° ≤ θ ≤180 ° c. Usar una herramienta de traficación para completar la tabla 0°

30°

60°

90°

120°

d. Usar una herramienta de traficación para representar las dos funciones M y e. Explicar por qué una de las funciones disminuye cuando las otras no.

150°

α

θ aumenta mientras que

180°

CONCLUSIONES En esta fase estudiamos las funciones de varia variables, (con valores reales y con valores vectoriales) incluso en cada uno de los ejercicios pudimos observar que esto es aplicable a la vida real, muchos fenómenos del mundo físico se pueden describir mediante tales funciones, pero en la mayoría de los fenómenos intervienen muchas variables relacionadas entre sí y el valor de una de ellas depende de las otras. En la fase 1 de Calculo Multivariado se tuvo que hacer una sobre simplificación de los problemas de tal manera que pudiéramos utilizar las herramientas que proporcionaron la universidad por medio del tutor del tutor y después llevado a un software de simulación llamado Geogebra.

BIBLIOGRAFÍA 

(s.f.). Obtenido de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2053/book.aspx? i=629&opensearch=matem%C3%A1ticas %203&editoriales=&edicion=&anio=

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(s.f.). Obtenido de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action? docID=11013675

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(s.f.). Obtenido de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action? docID=10491306

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(s.f.). Obtenido de http://hdl.handle.net/10596/9263

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(s.f.). Obtenido de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action? docID=10609048&p00=calculo+de+varias+variables

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(s.f.). Obtenido de https://www.geogebra.org/material/show/id/352279