2018 - UFMG - Apostila - Concreto Armado I

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS ESCOLA DE ENGENHARIA Departamento de Engenharia de Estruturas

GRADUAÇÃO CONCRETO ARMADO I

Ney Amorim Silva (Prof. Titular)

Versão

Junho 2018

CONCRETO ARMADO I - CAPÍTULO 1 Departamento de Engenharia de Estruturas  – EE-UFMG Junho 2018

MATERIAIS – AÇÕES - RESISTÊNCIAS  ______________________  _________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ _____________________ __________

1.1 – Histórico O material composto concreto armado surgiu há mais de 150 anos e se transformou nesse período no material de construção mais utilizado no mundo, devido principalmente ao seu ótimo desempenho, economia e facilidade de produção. Abaixo são citadas algumas datas históricas, em termos do aparecimento e desenvolvimento do concreto armado e protendido, conforme Rusch (1981).

1824 – O inventor inglês Joseph ASPDIM recebeu a patente de um produto pr oduto que estava desenvolvendo desde 1811, 1811, a partir da mistura de argila e pó de pedra calcária, produzida pela passagem das carruagens nas ruas pavimentadas. Após a queima e moagem esse novo material pulverulento recebeu o nome de cimento portland, devido à sua semelhança com as pedras encontradas na ilha de Portland, ao sul da Inglaterra.

1848/1855  – O francês Joseph-Louis LAMBOT desenvolveu no sul da França, onde passava suas férias de verão, um barco fabricado com o novo material, argamassa de cimento e areia entremeados por fios de arame. É considerado o inventor do ferrocimento (argamassa armada) que deu origem ao hoje conhecido concreto armado. O processo de fabricação era totalmente empírico e acreditando estar revolucionando a indústria naval, patenteou o novo produto já em 1848, apresentando-o na feira internacional de Paris em 1855. Infelizmente sua patente não fez o sucesso esperado sendo superada pelas patentes posteriores de outro francês, Monier.

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1861 – O jardineiro (paisagista) e horticultor francês Joseph MONIER foi na realidade o único a se interessar pela descoberta de seu compatriota Lambot, vendo nesse barco a solução para os seus problemas de confinamento de plantas exóticas tropicais durante o inverno parisiense. O ambiente quente e úmido da estufa era favorável ao apodrecimento precoce dos vasos feitos até então de madeira. O novo produto além de bem mais durável apresentava uma característica peculiar: se o barco era feito para não permitir a entrada de água seguramente não permitiria também a sua saída, o que se encaixava perfeitamente à busca de Monier. A partir dessa data começou a produzir vasos de flores com argamassa de cimento e areia, reforçada com uma malha de aço. Monier além de ser bastante competente como paisagista, possuía um forte espírito empreendedor e viu no novo produto grandes possibilidades, passando a divulgar o concreto armado inicialmente na França e posteriormente na Alemanha e em toda a Europa. Ele é considerado por muitos como o pai do concreto armado. Em 1875 construiu no castelo de Chazelet, nos arredores de Paris uma ponte de concreto armado com 16,5 m de vão por 4m de largura.

1867  – Monier recebe sua primeira patente para vasos de flores de concreto com armaduras de aço. Nos anos seguintes consegue novas patentes para tubos, lajes vigas e pontes. As construções eram feitas de forma empírica mostrando que o paisagista não possuía uma noção clara da função estrutural das arm aduras de aço no concreto.

1877  –  O advogado, inventor e abolicionista americano Thaddeus   HYATT  publicou seus ensaios com construções de concreto armado. Hyatt já reconhecia claramente o efeito da aderência aço-concreto, da função estrutural das armaduras, assim como da sua perfeita localização na peça de concreto.

1878 - Monier consegue novas patentes fundamentais fundamentais que dão origem a introdução do concreto armado em outros países.

1884  – Duas firmas alemãs FREYTAG & HEISDCHUCH e MARSTENSTEIN & JOSSEAUX, compram de Monier os direitos de patente para o sul da Alemanha e reservamse o direito de revenda para toda a Alemanha. 1.2

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1886 – As duas firmas alemãs cedem o direito de revenda ao engenheiro G. A. WAISS, que funda em Berlim uma empresa para construções de co ncreto segundo o “Sistema Monier”. Realiza ensaios em “Construções Monier” e mostra através de provas de

carga as vantagens econômicas de colocação de barras de aço no concreto, publicando esses resultados em 1887. Nessa mesma publicação o construtor oficial Mathias

KOENEN, enviado aos ensaios pelo governo Prussiano, desenvolve desenvolve baseado nos ensaios, um método de dimensionamento empírico para alguns tipos de “Construções Monier”, mostrando que conhecia claramente o efeito estrutural das armaduras de aço.

Desse modo passa a existir uma base tecnicamente correta para o cálculo das armaduras de aço.

1888  – O alemão C. W. F. DÖHRING consegue uma patente segunda a qual lajes e vigas de pequeno porte têm sua resistência aumentada através da protensão da armadura, constituída de fios de aço. Surge assim provavelmente pela primeira vez a ideia da protensão deliberada.

1900 – A construção de concreto armado ainda se caracterizava pela coexistência de sistemas distintos, geralmente patenteados. O professor da Universidade de Stuttgart Emil MÖRSCH desenvolve a teoria iniciada por Koenen e a sustenta através de inúmeros ensaios realizados sobre a incumbência da firma WAISS & FREITAG, a qual pertencia. Os conceitos desenvolvidos por Mörsch e publicados em 1902 constituem ao longo do tempo e em quase todo o mundo os fundamentos da teoria de dimensionamento de peças de concreto armado.

1906 – O alemão LABES concluiu que a segurança contra abertura de fissuras conduzia a peças antieconômicas. Koenen propôs em 1907 o uso de armaduras previamente distendidas. Foram realizados ensaios em vigas protendidas relatadas por BACH em 1910. Os ensaios mostraram que os efeitos danosos da fissuração eram eliminados com a protensão. Entretanto Koenen e Mörsch reconheceram já em 1912 uma perda razoável de protensão, uma vez que o concreto encurta-se com o tempo, devido à retração e deformação lenta.

1.3

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1928 - O francês E. FREYSSINET já havia usado a protensão em 1924. Entretanto só em 1928 desenvolveu um processo empregando aços de alta resistência protendidos, capazes de provocar tensões de compressão suficientemente elevadas e permanentes no concreto. Estudou as perdas devido à retração e deformação lenta do concreto e registrou várias patentes sobre o sistema Freyssinet de protensão. É considerado o pai do concreto protendido.

1.2 – Viabilidade do concreto armado O concreto armado é um material de construção composto, constituído de concreto e barras de aço nele imersas. O funcionamento conjunto dos dois materiais só se viabiliza devido simultaneamente às três propriedades abaixo:



Aderência aço-concreto  – esta talvez seja a mais importante das propriedades que viabilizam o concreto armado, uma vez que é a responsável pela transferência das tensões de tração não absorvidas pelo concreto para as barras da armadura, garantindo assim o perfeito funcionamento conjunto dos dois materiais;



Coeficientes de dilatação térmica do aço e do concreto praticamente iguais – esta propriedade garante que para variações normais de temperatura, excetuada a situação extrema de incêndio, não haverá acréscimo de tensão capaz de comprometer a perfeita aderência aço-concreto;



Proteção da armadura contra a corrosão  – esta proteção que está intimamente relacionada com a durabilidade do concreto armado acontece de duas formas distintas: a proteção física e a proteção química. A primeira é garantida quando se atende os requisitos de cobrimento mínimo preconizado pela NBR 6118:2014, Pro-

 jeto de estruturas de concreto — Procedimento, que protege de forma direta di reta as armaduras das intempéries. A proteção química ocorre devido à presença da cal no processo químico de produção do concreto, que envolve a barra de aço dentro do concreto, criando uma camada passivadora cujo “ph” se situa acima de 13, criando condições inibidoras da corrosão. Quando a frente f rente de carbonatação, que acontece 1.4

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devido à presença de gás carbônico (CO 2) do ar e porosidade do concreto, atinge as barras da armação essa camada é despassivada pela reação química do (CO 2) com a cal, produzindo ácidos que abaixam o “ph” dessa camada para níveis iguais ou inferiores a 11.5, criando as condições favoráveis para o processo eletroquímico da corrosão se iniciar. A despassivação dessa camada não implica que haverá sempre a corrosão das armaduras, que pode acontecer independentemente da carbonatação, na presença de cloretos (íons cloro Cl -), ou sulfatos (S - -).

1.3 – Vantagens do concreto armado   Economia – é a vantagem que juntamente com a segunda a seguir, transformaram



em um século e meio o concreto armado no material de construção mais usado no mundo;



Adaptação a qualquer tipo de forma ou fôrma e facilidade de execução – a produção do concreto armado não requer mão de obra muito especializada e com relativa facilidade pode-se conseguir elementos com qualquer tipo de forma a partir de simples moldes feitos de madeira, ou seja, a partir de uma fôrma;



Estrutura monolítica  – (monos  – única, litos  – pedra) esta propriedade garante à estrutura de concreto armado uma grande reserva de segurança devido ao alto grau de hiperestaticidade propiciado pelas ligações bastante rígidas das peças de concreto armado, garantindo à estrutura o funcionamento como um corpo único. Além disso, se uma peça estiver submetida a um esforço maior que a sua capacidade elástica resistente, ela ao plastificar, promove uma redistribuição de esforços, transferindo às peças adjacentes a parcela adicional do esforço não absorvido;



Manutenção e conservação praticamente nulas  – a ideia que a estrutura de concreto armado é eterna não é mais aceita no meio técnico. A nova mentalidade é que se deve associar à qualidade de execução do concreto em todas as suas etapas, um programa preventivo de manutenção e conservação. Naturalmente quando comparado com outros materiais de construção essa manutenção e conservação 1.5

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acontecem em uma escala bem menor, sem prejuízo, no entanto da vida útil das obras de concreto armado;



Resistência a efeitos térmico-atmosféricos e a desgaste mecânico.

1.4 – Desvantagens do concreto armado



Peso próprio  – a maior desvantagem do concreto armado é seguramente o seu grande peso próprio que limita a sua utilização para grandes vãos, onde o concreto protendido ou mesmo a estrutura metálica passam a ser econômica e tecnicamente mais viáveis. A massa específica, segundo a NBR 6118:2014, é de 2500 kg/m 3;



Dificuldade de reformas e demolições - hoje com a utilização de tecnologias avançadas e equipamentos modernos, que facilitam as reformas e demolições, essa desvantagem pode ser amenizada;



Baixo grau de proteção térmica  – embora resista normalmente à ação do fogo, associada à sua baixa condutividade térmica, a estrutura de concreto necessita de dispositivos complementares como telhados e isolamentos térmicos para proporcionar um conforto térmico adequado à construção;

  Fissuração – a fissuração é um fenômeno inevitável nas peças tracionadas de con-



creto armado, devido ao baixo grau de resistência à tração do concreto. Durante muito tempo foi considerada uma desvantagem do material. Já a partir do final da década de setenta, esse fenômeno passou a ser melhor entendido. Como não se pode eliminar as fissuras no concreto armado a ideia é controlá-la, buscando-se uma nova redistribuição, ou mesmo uma substituição da armadura de tração por bitolas menores. Pode-se ainda adotar novos valores de cobrimentos mínimos e até mesmo diminuir as tensões de serviço das armaduras, pelo acréscimo das suas áreas. Cabe salientar que a fissuração não foi eliminada, apenas controlada dentro de limites aceitáveis de abertura máxima de fissuras, de tal forma a não comprometer a vida útil do concreto armado e também sua estética. 1.6

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1.5 – Concreto O concreto é uma mistura em proporção adequada ( traço) dos materiais ci-

mento (aglomerante), agregados miúdo ( areia) e graúdo (brita), que são misturados na presença de água resultando um novo material de construção, cujas características do produto final diferem substancialmente daquelas dos materiais que o constituem.

1.5.1 – Propriedades mecânicas do concreto 1.5.1.1 - Resistência à compressão  A resistência mecânica do concreto à compressão, devido a sua função estrutural assumida no material composto concreto armado, é a principal propriedade mecânica desse material a ser analisada e estudada. Essa propriedade é obtida através de ensaios de compressão simples realizados em corpos de provas ( CPs), com dimensões e procedimentos previamente estabelecidos em normas nacionais e estrangeiras.  A resistência à compressão depende basicamente de dois fatores: a forma do corpo de prova e a duração do ensaio. O problema da forma é resolvido estabelecendo-se um corpo de prova cilíndrico padronizado, com 15 cm de diâmetro e 30 cm de altura, que é recomendado pela maioria das normas do mundo, inclusive as brasileiras. Em outros países, como por exemplo a Alemanha, adota-se um corpo de prova cúbico de aresta 20 cm, que para um mesmo tipo de concreto fornece resistência à compressão ligeiramente superior ao obtido com o CP cilíndrico. Esse acréscimo ocorre em função de uma maior área de atrito entre as faces carregadas do corpo de prova cúbico e os pratos da máquina de ensaio, confinando-o de forma mais efetiva ( maior restrição ao deslocamento transversal das faces carregadas). Adota-se nesse caso um fator redutor igual a (0,85), que quando aplicado ao CP cúbico transforma seus resultados em valores equivalentes aos do CP cilíndrico, podendo assim ser usada a vasta bibliografia alemã sobre o assunto.

1.7

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Normalmente o ensaio de compressão em corpos de prova é de curta duração e sabe-se, a partir dos trabalhos realizados pelo alemão Rüsch, que o resultado desse ensaio é ligeiramente superior ao obtido quando o ensaio é de longa duração. Isso se deve à microfissuração interna do concreto, que se processa mesmo no concreto descarregado, e que no ensaio de longa duração tem seu efeito ampliado devido à interligação entre as microfissuras, diminuindo assim a capacidade resistente do CP à compressão. Uma vez que grande parcela do carregamento que atua em uma estrutura é de longa duração os resultados do ensaio de curta duração devem ser corrigidos por um fator redutor, denominado Coeficiente de Rüsch, igual a (0,85).

1.5.1.2 - Resistência característica do concreto a compressão – (f ck) Quando os resultados dos ensaios a compressão de um grande número de CPs são colocados em um gráfico, onde nas abscissas são marcadas as r esistências obtidas e nas ordenadas a frequência com que as mesmas ocorrem, o gráfico final obedece a uma curva normal de distribuição de frequência, ou curva de Gauss (ver fig. 1.1). Observa-se nesse gráfico que a resistência que apresenta a maior frequência de ocorrência é a resistência média (f cj), aos “j” dias, e que o valor equidistante entre essa resistência média e os pontos de inflexão da curva é o desvio- padrão “s”, cujos valores são dados respectivamente por:

f cj 

 f ci

(1.1)

n

 f ci  f cj 

2

s

(1.2)

n 1

Onde n é o número de CPs e (f ci) é a resistência à compressão de cada CP “i”. Uma característica da curva de Gauss é que: ∫

, ou seja, a área abaixo

da curva é igual a 1. Um valor qualquer de resistência à compressão marcado no eixo das abscissas divide essa área em duas outras, que representam as probabilidades de ocorrência de valores maiores ou menores que esse. 1.8

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Do lote de CPs ensaiados a resistência a ser utilizada nos cálculos é baseada em considerações probabilísticas, considerando-se em âmbito mundial a resistência

característica f ck do lote de concreto ensaiado aquela abaixo da qual só corresponde um total de 5% dos resultados obtidos, ou seja, um valor com 95% de probabilidade de ser ultrapassado (ver fig. 1.1).

Figura 1.1 – Curva de Gauss para CPs de concreto ensaiados à compressão Resistência característica f ck Segundo a NBR 8953:2015 (Concreto para fins estruturais  – Classificação

pela massa específica, por grupos de resistência e consistência), a definição da classe de resistência do concreto é função da sua resistência f ck. Assim um concreto classe C20 é o concreto normal (massa específica seca entre 2000 e 2800 kf/m 3) que apresenta um f ck = 20 MPa (se fosse classe CL20, seria concreto leve, com massa específica seca menor que 2000 kg/m 3). Os concretos para fins estruturais, segundo a NBR 6118:2014, são classificados nos grupos I (classe C20 a C50, de 5 em 5 MPa) e II (classe C55 a C90, de 5 em 5 MPa), sendo permitida a especificação de valores intermediários. Segundo a NBR 1.9

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8953:2015, concretos com classe de resistência inferior a C20 não são estruturais e, caso sejam utilizados, devem ter seu desempenho atendido conforme NBR

6118:2014 e NBR 12655:2006, Concreto de cimento Portland – Preparo, controle e recebimento – Procedimento. Para um quantil de 5% obtém-se a partir da curva de Gauss (ver figura 1.1): f ck 



f cj 1,645s ≈ f cj  1,65s 

(1.3)

 A partir de resultados de ensaios feitos em um grande número de obras e em todo o mundo percebeu-se que o desvio- padrão “s” é principalmente dependente da qualidade de execução e não da resistência do concreto. A NBR-12655:2006, define que o cálculo da resistência de dosagem deve ser feito segundo a equação: f cj



f ck   1,645 sd ≈ f ck   1,65 sd

(1.4)

Onde sd representa o desvio-padrão de dosagem. De acordo com a NBR-12655:2006 o cálculo da resistência de dosagem do concreto depende, entre outras variáveis, da condição de preparo do concreto, definida a seguir:



Condição A (aplicável às classes C10 até C80): o cimento e o os agregados são medidos em massa, a água de amassamento é medida em massa ou volume com dispositivo dosador e corrigida em função da umidade dos agregados;



Condição B (aplicável às classes C10  até C25): o cimento é medido em massa, a água de amassamento é medida em volume mediante dispositivo dosador e os agregados medidos em massa combinada com volume, de acordo com o exposto em 6.2.3;

(aplicável às classes C10  até C20): o cimento é medido em massa, a água de amassamento é medida em volume mediante dispositivo dosador e os agregados medidos em volume. A umidade do agregado miúdo é determinada pelo menos 1.10

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três vezes durante o serviço do mesmo turno de concretagem. O volume de agregado é corrigido através da curva de inchamento estabelecida especificamente para o material utilizado; 

Condição C (aplicável apenas aos concretos de classe C10 e C15): o cimento é medido em massa, os agregados são medidos em volume, a água de amassamento é medida em volume e a sua quantidade é corrigida em função da estimativa da umidade dos agregados  e da determinação da consistência do concreto, conforme disposto na NBR 7223, ou outro método normalizado (A NBR 7223:1992 foi cancelada e substituída pela NBRNM 67:1998).  Ainda de acordo com a NBR-12655:2006, no início da obra ou em qualquer

outra circunstância em que não se conheça o valor do desvio-padrão sd, deve-se adotar para o cálculo da resistência de dosagem os valores apresentados na tabela 1.1, de acordo com a condição de preparo, que deve ser mantida permanentemente durante a construção. Mesmo quando o desvio-padrão seja conhecido, em nenhum caso o mesmo pode ser adotado menor que 2 MPa.

Tabela 1.1 – Desvio- padrão a ser adotado em função da condição de preparo do concreto (NBR 12655:2006) Condição

1) - Para

Desvio-padrão (MPa)

A

4,0

B

5,5

C1)

7,0

condição de preparo C, e enquanto não se conhece o desvio-padrão, exige-

se para os concretos de classe C15 um consumo mínimo de 350 Kg de cimento por metro cúbico.

1.11

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1.5.1.3 - Módulo de elasticidade longitudinal O módulo de elasticidade longitudinal para um ponto qualquer do diagrama

x

(tensãoxdeformação) é obtido pela derivada ( d  /d ) no ponto considerado, que representa a inclinação da tangente à curva no ponto. De todos os módulos tangentes possíveis o seu valor na origem tem grande interesse, uma vez que as tensões de serviço na estrutura são da ordem de 40% da tensão de ruptura do concreto, e nesse trecho inicial o diagrama

x

é praticamente linear. De acordo com o item 8.2.8 da NBR-

6118:2014 o módulo de elasticidade ou módulo de deformação tangente inicial é dado por:

E ci

Eci





α E 5600

21,5x10 

f ck 

3

αE 3

f ck  10



1,25

para f ck ≤ 50 MPa (Grupo I)

(1.5a)

para f ck > 50 MPa (Grupo II)

(1.5b)

Com Eci e f ck dados em megapascal (MPa). Sendo:

αE = 1,2

concreto produzido com brita de basalto ou diabásio

αE = 1,0

concreto produzido com brita de granito ou gnaisse

αE = 0,9

concreto produzido com brita de calcário

αE = 0,7

concreto produzido com brita de arenito

O módulo de deformação secante a ser utilizado nas análises elásticas de pro jeto, principalmente para determinação dos esforços solicitantes e verificação dos estados limites de serviço, pode ser estimado pela expressão: E cs



α

i

(1.6a)

E ci

Sendo α

i



0,8  0,2

f ck  80

 1,0

(f ck em MPa) 

1.12

(1.6b)

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1.5.1.4 - Coeficiente de Poisson e módulo de elasticidade transversal De acordo com o item 8.2.9 da NBR-6118:2014 para tensões de compressão inferiores a 50% de f c (ruptura à compressão) e para tensões inferiores a resistência à tração f ct, o coeficiente de Poisson (relação entre a deformação transversal e longitudinal) e o módulo de elasticidade transversal são dados respectivamente por:

= 0,2 Gc



(1.7) Ecs

 

21   ν 



Ecs 2,4



(1.8)

0,42Ecs

1.5.1.5 - Diagrama tensão-deformação (

x

)

Conforme o item 8.2.10 da NBR-6118:2014  o diagrama

x

na compressão

para tensões inferiores a 0,5 f c (resistência à compressão do concreto) pode ser adotado linear (Hooke), com o módulo de elasticidade igual ao secante Ecs. Para os estados limites últimos o diagrama

x

na compressão, apresentado

na figura (1.2) abaixo, é um diagrama idealizado, onde se nota dois trechos distintos, o primeiro curvo de acordo uma parábola de grau “n”, com deformações inferiores a εc2 e o segundo constante, com deformações variando de εc2 a εcu. Para o trecho

curvo a tensão no concreto é dada por:

σc

   ε  n   0,85f cd 1   1  c      ε c2     

(1.9a)

Onde f cd representa a resistência de cálculo do concreto dada no item 12.3.3 da NBR 6118:2014, mostrada adiante no item 1.8, e a potência “n” é dada na figura 1.2 em função dos grupos de resistência I (C20 a C50) e II (C55 a C90) do concreto.

1.13

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O valor da resistência no trecho constante é igual a σc = 0,85 f cd (o valor 0,85 só muda quando se adotar o diagrama retangular simplificado, como será visto no capítulo 2).

Figura 1.2 - Diagrama tensão-deformação idealizado (compressão) (Adaptada da Fig. 8.2 da NBR 6118:2014) Os valores a serem adotados para os parâmetros εc2 (deformação específica de encurtamento do concreto no início do patamar plástico) e εcu (deformação específica última de encurtamento do concreto na ruptura) são os seguintes: εc2 = 2‰

concretos de classes até C50 εcu = 3,5‰ 1.14

(1.9b)

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εc2 = 2‰ + 0,085‰  (f ck – 50)0,53

concretos de classes C55 até C90 (1.9c) εcu = 2,6‰ + 35‰ x [ (90 – f ck) / 100 ]4

Na figura 1.3, que mostra os diagramas

x

de todas as classes, nota-se que

nos concretos do grupo I os trechos curvo ( 0‰ a εc2 = 2‰) e o constante (εc2 = 2‰ a εcu = 3,5‰) tem os mesmos intervalos. Já para os concretos do grupo II esses inter-

valos são variáveis, com aumento progressivo do trecho curvo e diminuição do trecho constante. Para a situação limite da classe C90 resta apenas o trecho curvo ( εc2,C90 = εcu,C90 = 2,6‰ ). Na tabela para concretos do grupo II estão listados os valores do grau

da parábola ( n), as deformação limite do trecho curvo ( εc2) e o encurtamento último do concreto ( εcu).

Figura 1.3 - Diagramas tensão-deformação parábola-retângulo

1.15

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1.5.1.6 - Resistência à tração Conforme o item 8.2.5 da NBR-6118:2014 os conceitos relativos à resistência a tração direta do concreto f ct são análogos aos do item anterior relativo à compressão. Assim tem-se a resistência média do concreto à tração f ctm e a resistência característica do concreto à tração f ctk, ou simplesmente f tk. Esse valor tem 95% de probabilidade de ser superado pelos resultados do lote de concreto ensaiado. Na tração, o diagrama

x

é bilinear conforme a figura (1.4) mostrada a seguir.

Figura 1.4 - Diagrama tensão-deformação bilinear na tração (Adaptada da Fig. 8.3 da NBR 6118:2014) Enquanto na compressão o ensaio usado é o da compressão direta, na tração são normalizados três ensaios: tração direta, tração indireta (compressão diametral) e tração na flexão. O ensaio de compressão diametral, conhecido mundialmente como

ensaio brasileiro por ter sido desenvolvido pelo Prof. Lobo Carneiro (em 1943), é o mais utilizado, o mais simples (por utilizar o mesmo CP cilíndrico agora carregado no sentido de duas geratrizes diametralmente opostas) e fornece resultados mais homogêneos e ligeiramente superiores ao da tração direta. 1.16

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Os resultados das resistências à tração nos dois últimos ensaios são diferentes do valor de referência, obtido com o ensaio da tração direta. A NBR 6118:2014 fornece correlações entre o valor f ct (tração direta) com os valores obtidos com os ensaios de compressão diametral f ct,st (spliting test) e tração na flexão f ct,f .

f ct = 0,9 f ct,st 

(1.10)

f ct = 0,7 f ct,f  

(1.11)

ou

Onde f ct,st é a resistência à tração indireta e f ct,f  é a resistência à tração na flexão. Na falta desses valores dos ensaios a tração pode-se obter a resistência média à tração, f ct,m, em função da resistência característica à compressão f ck:

f ct,m = 0,3 (f ck)2/3 (MPa) f ct,m = 2,12 ln(1+0,11f ck)

P/ concretos de classes até C50 (MPa) P/ concretos de classes C55 até C90

(1.12a) (1.12b)

Os valores da resistência característica a tração f ctk, inferior e superior, usados em situações especificas mais a frente, são dados por:

0,21 (f ck)2/3 (MPa)

até C50

f ctk,inf  = 0,7 f ct,m =

(1.13a) 1,484 ln (1 + 0,11f ck) (MPa)

C55 até C90

0,39 (f ck)2/3 (MPa)

até C50

f ctk,sup = 1,3 f ct,m =

(1.13b) 2,756 ln (1 + 0,11f ck) (MPa)

1.17

C55 até C90

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1.5.2 – Características reológicas do concreto Segundo o dicionário Aurélio reologia é “parte da f ísica que investiga as propri-

edades e o comportamento mecânico dos corpos deformáveis que não são nem sólidos nem líquidos”. As características reológicas do concreto que interessam ao estudo

do concreto armado são:

1.5.2.1 - Retração (shrinkage)  A retração no concreto é uma deformação independente do carregamento e portanto, de direção sendo pois, uma deformação volumétrica que ocorre devido à perda de parte da água dissociada quimicamente do processo de produção do concreto, quando ess e “seca” em contato com o ar. Segundo a NBR 6118:2014 a retração depende basicamente da umidade relativa do ambiente, da consistência do concreto no lançamento e da espessura fictícia da peça.  A deformação específica de retração do concreto

cs pode

ser calculada con-

forme indica o Anexo A da NBR 6118:2014. Na grande maioria dos casos, permitese que ela seja calculada simplificadamente por meio da tabela 1.2. Essa tabela fornece os valores característicos superiores da deformação específica de retração entre os instantes to e t ,

cs(t

, to) e do coeficiente de fluência φ(t ,t0), em função da umi-

dade média ambiente e da espessura equivalente ou fictícia da peça em , dada por:

em

2A c 

(cm)

u

(1.14)

Onde Ac é a área da seção transversal e u é o perímetro da seção em contato com a atmosfera. Os valores dessa tabela são relativos à temperatura do concreto entre 10 oC e 20 oC, podendo-se, no entanto, admitir temperaturas entre 0 oC e 40 oC. Esses valores são válidos para concretos plásticos e de cimento Portland comum. 1.18

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Nos casos correntes das obras de concreto armado o valor da deformação específica devido à retração pode ser adotado igual a

, to) = –15x10-5, satisfazendo

cs(t

ao mínimo especificado na NBR-6118:2014 em função da restrição à retração do concreto imposta pela armadura. Esse valor admite elementos estruturais com dimensões usuais, entre 10 cm e 100 cm, sujeitos a umidade relativa do ar não inferior a 75%. O valor característico inferior da retração do concreto é considerado nulo.

1.5.2.2 - Fluência (creep)  A fluência é uma deformação que depende do carregamento e é caracterizada pelo aumento da deformação imediata ou inicial, mesmo quando se mantém constante a tensão aplicada. Devido a essa deformação imediata ocorrerá uma redução de volume da peça, provocando esse fato uma expulsão da água quimicamente inerte, de camadas mais internas para regiões superficiais da peça, onde a mesma já tenha se evaporado. Isso desencadeia um processo, ao longo do tempo, análogo ao da retração, verificando-se dessa forma um crescimento da deformação inicial, até um valor máximo no tempo infinito. Da mesma forma que na retração, as deformações decorrentes da fluência do concreto podem ser calculadas conforme indicado no Anexo A da NBR-6118:2014. Nos casos em que a tensão inicial, aplicada no tempo to não varia significativamente, permite-se que essas deformações sejam calculadas simplificadamente pela expressão: 

ε

c (t  , t 0 )  ε ci  ε cc  σ c (t 0 ) 

1

 E ci (t 0 )

Onde:

c(t



 (t  , t 0 ) 



E ci (28) 

(1.15)

, to) - é a deformação específica total do concreto entre os instantes

to e t ; εci - é a deformação inicial produzida pela tensão σc(t0); εcc - é a deformação devido à fluência; c(t0)

- é a tensão no concreto devida ao carregamento aplicado em t0;

1.19

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Eci(t0) - é o modulo de deformação longitudinal calculado na idade do carregamento j = t0 pelas expressões (1.5a) e (1.5b);

Eci(28) - é o modulo de elasticidade longitudinal calculado na idade t=28 dias pelas expressões (1.5a) e (1.5b);

(t , t0) - é o limite para o qual tende o coeficiente de fluência provocado por carregamento aplicado em t0.

Tabela 1.2-Valores característicos superiores da deformação especifica de retração εcs(t ,t0) e do coeficiente de fluência φ(t ,t0) (Tab. 8.2 da NBR6118:2014) Umidade media

40

ambiente (%)

55

75

90

Espessura fictícia

20

60

20

60

20

60

20

60

2 Ac /u (cm) φ(t ,to)

5

4,6

3,8

3,9

3,3

2,8

2,4

2,0

1,9

C20 a

30

3,4

3,0

2,9

2,6

2,2

2,0

1,6

1,5

C45

60

2,9

2,7

2,5

2,3

1,9

1,8

1,4

1,4

φ(t ,to)

5

2,7

2,4

2,4

2,1

1,9

1,8

1,6

1,5

30

2,0

1,8

1,7

1,6

1,4

1,3

1,1

1,1

60

1,7

1,6

1,5

1,4

1,2

1,2

1,0

1,0

5

-0,53

-0,47

-0,48

-0,43

-0,36

-0,32

-0,18

-0,15

30

-0,44

-0,45

-0,41

-0,41

-0,33

-0,31

-0,17

-0,15

60

-0,39

-0,43

-0,36

-0,40

-0,30

-0,31

-0,17

-0,15

C50 a C90 εcs(t ,to) ‰

to dias

O valor de (t , t0) pode ser calculado simplificadamente por interpolação da tabela 1.2. Essa tabela fornece o valor característico superior do coeficiente de fluência (t , t0). O seu valor característico inferior é considerado nulo.

1.20

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1.5.2.3 - Variação de temperatura  A variação da temperatura no ambiente não se transmite imediatamente ao concreto, tendo uma ação retardada sobre a variação de temperatura no próprio concreto, devido ao seu baixo grau de condutibilidade térmica. Quanto mais interno estiver o ponto considerado menor será sua variação de temperatura em f unção da temperatura ambiente. Segundo a NBR 6118:2014, para efeito de análise estrutural, o coeficiente de dilatação térmica do concreto pode ser admitido como sendo igual a αc = 10-5 /°C. Considerando o mínimo especificado nessa norma para a deformação específica do concreto devido à retração

cs(t

, to) = –15x10-5, isso equivale a uma diminuição uni-

forme de temperatura igual a 15 oC.

1.6 – Aço O aço é uma liga metálica composta basicamente de ferro e de pequenas quantidades de carbono, com percentuais variando de 0,03% a 2%, que lhe confere maior ductilidade, possibilitando melhor trabalhabilidade para dobramento e execução das armaduras. Os teores de carbono para aços estruturais utilizados na construção civil variam de 0,18% a 0,25%.  A armadura usada nas peças de concreto armado é chamada passiva e a usada na protensão do concreto protendido é chamada ativa.

1.6.1 – Categoria Para aplicação estrutural o aço produzido inicialmente nas aciarias precisa ser modificado, o que acontece por meio de dois tipos de tr atamento: a quente e a frio. O tratamento a quente consiste na laminação, forjamento ou estiramento do aço acima da temperatura crítica, em torno de 720 oC. Os aços assim produzidos apresentam

1.21

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maior trabalhabilidade, podem ser soldados com solda comum e apresentam diagrama tensão-deformação com patamar de escoamento bem definido. Estão incluídos nesse grupo os aços CA 25 e CA 50. O tratamento a frio ou encruamento é obtido por uma deformação imposta ao aço por meio de tração, compressão ou torção abaixo da temperatura crítica, imprimindo basicamente ao mesmo um aumento da sua resistência mecânica. O aço CA

60 pertence a esse grupo, que apresenta um diagrama tensão-deformação sem patamar de escoamento. Segundo a NBR 7480:1996 o aço a ser usado nos projetos de estruturas de concreto armado deve ser classificado nas categorias CA 25, CA 50 e CA 60, em que

CA significa Concreto Armado e o número representa o valor característico da resistência de escoamento do aço , f yd, em kN/cm2 ou kgf/mm2.  A NBR 7480:1996 classifica como barra o aço produzido exclusivamente por laminação a quente com bitola nominal maior ou igual a 5 mm e como fio o produzido por laminação a frio (trefilação ou equivalente) com bitola nominal não superior a 10 mm (tabela 1.3). Os valores nominais dos diâmetros, das áreas das seções transversais e da massa por metro são os estabelecidos pela NBR-7480:1996, cujos valores mais usados estão indicados na tabela 1.4, abaixo. Para se obter a massa por unidade de comprimento (kg/m) das barras basta multiplicar a área da seção transversal por 1m de comprimento (que dá o volume da barra por metro), vezes a massa específica do aço. Assim, por exemplo, para a barra com bitola igual a 8 mm a área da seção transversal é igual a π x (8x10 -3 m)2 / 4 =

0,503x10-4 m2 = 0,503 cm2 e a massa por unidade de comprimento é (0,503x10 -4 m2) x (1 m) x (7850 kg/m 3) = 0,503 x 0,785 = 0,395 kg/m. Onde (7850 kg/m 3) é a massa específica do aço, dada no item 1.6.3 a seguir.

1.22

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Tabela 1.3 – Diâmetros nominais de barras e fios - NBR 7480:1996

BARRAS Φ≥ 5 mm - LAMINAÇÃO A QUENTE - AÇOS CA-25 E CA-50

5

6,3

8

10

12,5

16

20

22

25

32

40

FIOS Φ≤ 10 mm – LAMINAÇÃO A FRIO – AÇO CA-60 2,4

3,4

3,8

4,2

4,6

5,0

5,5

6,0

6,4

7,0

8,0

Tabela 1.4 – Valores nominais para fios e barras de aço Diâmetro nomi-

Massa

Área nominal

nal

Nominal

da seção

(mm)

(kg/m)

(cm2)

0,154

0,196

0,222

0,283

0,245

0,312

6,4

0,253

0,322

7,0

0,302

0,385

0,395

0,503

0,558

0,709

Fios

Barras

5,0

5,0

6,0 6,3

8,0

8,0

9,5 10,0

10,0

0,617

0,785

-

12,5

0,963

1,227

1.23

9,5

10

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-

16

1,578

2,011

-

20,0

2,466

3,142

-

22,0

2,984

3,801

-

25,0

3,853

4,909

-

32,0

6,313

8,042

-

40,0

9,865

12,566

1.6.2 – Tipo de superfície Os fios e barras podem ser lisos, entalhados ou providos de saliências ou mossas. Para cada categoria de aço, o coeficiente de aderência deve atender ao indicado na NBR-6118:2014. Para os efeitos da NBR 6118:2014, a capacidade aderente entre o aço e o concreto está relacionada ao coeficiente de aderência

1,

listados na tabela 1.5.

Tabela 1.5 – Valor do coeficiente de aderência η1 (Tabela 8.3 da NBR 6118:2014) Tipo de superfície

η1

Lisa (CA 25)

1,00

Entalhada (CA 60)

1,40

Nervurada (CA 50)

2,25

1.6.3 – Massa específica e propriedades mecânicas do aço Para a massa específica do aço da armadura passiva pode ser adotado o valor s

= 7850 kg/m3. O valor do coeficiente de dilatação térmica, para intervalos de

temperatura entre -20 oC e 150 oC pode ser adotado como αs = 10-5 / oC. O módulo de

elasticidade, na falta de ensaios ou valores fornecidos pelo fabricante, pode ser admitido igual a: 1.24

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Es = 210 GPa = 21.000 kN/cm2 = 2.100.000 kgf/cm2. 1.6.4 – Diagrama tensão-deformação O diagrama tensão-deformação do aço, os valores característicos das resistências ao escoamento f yk e à tração (ruptura) f stk e da deformação última de ruptura

su

devem ser obtidos de ensaios de tração realizados segundo a NBR ISO-6892:2002. O valor de f yk para os aços sem patamar de escoamento é o valor da tensão correspondente à deformação permanente de 2‰. Para cálculo nos estados limites de serviço e último pode-se utilizar o diagrama tensão-deformação simplificado mostrado na figura (1.5) abaixo, para os aços com ou sem patamar de escoamento.

Figura 1.5 – Diagrama tensão-deformação para aços de armaduras passivas (Adaptada da fig. 8.4 da NBR 6118:2014) 1.7 – Definições da NBR 6118:2014 Concreto estrutural  – termo que se refere ao espectro completo das aplicações do concreto como material estrutural.

Elementos de concreto simples estrutural – elementos estruturais produzidos com concreto sem nenhuma armadura, ou quando a possui é em quantidades inferiores aos mínimos estabelecidos nessa norma.

1.25

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Elementos de concreto armado  – elementos estruturais produzidos com concreto cujo comportamento estrutural depende da perfeita aderência aço-concreto e onde não se aplicam alongamentos iniciais nas armaduras, antes da materialização dessa aderência.

Elementos de concreto protendido  – elementos estruturais produzidos com concreto onde parte da armadura é previamente alongada por equipamentos especiais de protensão com a finalidade de, em condições de serviço, impedir ou limitar a f issuração e os deslocamentos da estrutura e propiciar o melhor aproveitamento de aços de alta resistência no ELU (estado limite último).

Armadura passiva – qualquer armadura que não seja usada para produzir forças de protensão, ou seja, armadura utilizada no concreto armado.

Armadura ativa (de protensão)  – armadura constituída por barras, fios isolados ou cordoalhas, destinada a produzir forças de protensão, isto é, armaduras com pré-alongamento inicial.

Estados limites da NBR 6118:2014 (itens 3.2 e 10.2 a 10.4)



Estado limite último (ELU) – estado limite relacionado ao colapso, ou a qualquer outra forma de ruína estrutural, que determine a paralisação do uso da estrutura. 1. estado limite último da perda do equilíbrio da estrutura, admitida como corpo rígido; 2. estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura no seu todo ou em parte, devido às solicitações normais e tangenciais; 3. estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura no seu todo ou em parte, considerando os efeitos de segunda ordem; 4. estado limite último provocado por solicitações dinâmicas; 5. estado limite último de colapso progressivo; 6. estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu todo ou em parte, considerando exposição ao fogo, conforme a NBR 15200; 7. estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, considerando ações sísmicas, de acordo a NBR 15421; 1.26

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8. outros estados limites últimos que eventualmente possam ocorrer em casos especiais. 

Estados limites de serviço (ELS) 1. Estado limite de formação de fissuras (ELS-F) – estado em que se inicia a formação de fissuras. Admite-se que esse estado limite é atingido quando a tensão máxima de tração na seção transversal for igual a f ct,f , já definida anteriormente como a resistência característica à tração do concreto na flexão. 2. Estado limite de abertura das fissuras (ELS-W) – estado em que as fissuras se apresentam com aberturas iguais aos máximos estabelecidos nessa norma. 3. Estado limite de deformações excessivas ( ELS-DEF)  – estado em que as deformações atingem os limites estabelecidos para utilização normal especificados nessa norma. 4. Estado limite de vibrações excessivas ( ELS-VE) – estado em que as vibrações atingem os limites estabelecidos para utilização normal da construção.

1.8 – Ações Conforme a NBR 6118:2014 na análise estrutural deve ser considerada a influência de todas as ações (designada genericamente pela letra F) que possam produzir efeitos significativos para a segurança da estrutura em exame, levando-se em conta os possíveis estados limites últimos e os de serviços. Embora a norma específica para ações e segurança nas estruturas seja a NBR 8681:2003, a norma NBR

6118:2014 traz em seu item 11 os conceitos necessários à determinação das ações e seus coeficientes de ponderação. As ações são classificadas, conforme a NBR-

8681:2003 e a NBR 6118:2014, em permanente, variáveis e excepcionais. 1.8.1 – Ações permanentes  Ações permanentes são as que ocorrem com valores praticamente constantes

1.27

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durante toda a vida da construção. Também são consideradas permanentes as ações que crescem com o tempo, tendendo a um valor limite. As ações permanentes devem ser consideradas com seus valores representativos mais desfavoráveis para a segurança (NBR 6118:2014).

1.8.1.1 – Ações permanentes diretas  As ações permanentes diretas são constituídas pelo peso próprio e pelos pesos dos elementos construtivos fixos e das instalações permanentes (NBR 6118:2014).



Peso próprio (avaliado com a massa específica do concreto armado)



Peso dos elementos construtivos fixos e de instalações permanentes (avaliado conforme as massas específicas dos materiais de construção corren tes com base nos valores indicados pela NBR 6120:1980, Cargas para o cálculo de estruturas

de edificações, versão corrigida de 2000) 

Empuxos permanentes (consideram-se como permanentes os empuxos de terra e outros materiais granulosos quando forem admitidos não removíveis)

1.8.1.2 – Ações permanentes indiretas  As ações permanentes indiretas são constituídas pelas deformações impostas por retração e fluência do concreto, deslocamentos de apoio, imperfeições geométricas e protensão (NBR 6118:2014). 

Retração do concreto - a deformação específica de retração do concreto pode ser calculada conforme indica o anexo A da NBR 6118:2014.



Fluência do concreto - as deformações decorrentes da fluência do concreto podem ser calculadas conforme indicado no anexo A da NBR 6118:2014.



Deslocamentos de apoio - os deslocamentos de apoio só devem ser considerados quando gerarem esforços significativos em relação ao conjunto das outras ações, isto é, quando a estrutura for hiperestática e muito rígida.



Imperfeições geométricas – na verificação do estado limite último das estruturas 1.28

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reticuladas, devem ser consideradas as imperfeições geométricas globais e locais do eixo dos elementos estruturais da estrutura descarregada. 

Momento mínimo - o efeito das imperfeições locais nos pilares pode ser substituído em estruturas reticuladas pela consideração do momento mínimo de 1 a ordem



Protensão - a ação da protensão deve ser considerada em todas as estruturas protendidas, incluindo, além dos elementos protendidos propriamente ditos, aqueles que sofrem a ação indireta da protensão, isto é, de esforços hiperestáticos de protensão.

1.8.2 – Ações variáveis 1.8.2.1 – Ações variáveis diretas  As ações variáveis diretas são constituídas pelas cargas acidentais previstas para o uso da construção, pela ação do vento e da água, devendo-se respeitar as prescrições feitas por Normas Brasileiras específicas (NBR 6118:2014).



Cargas acidentais previstas para o uso da construção - cargas verticais de uso da construção; cargas móveis, considerando o impacto vertical; impacto lateral; força longitudinal de frenação ou aceleração; força centrífuga.



Ação do vento - os esforços devidos à ação do vento devem ser considerados e recomenda-se que sejam determinados de acordo com o prescrito pela NBR

6123:1988 - Forças devidas ao vento em edificações, versão corrigida 2:2013, permitindo-se o emprego de regras simplificadas previstas em Normas Brasileiras específicas. 

Ação da água - o nível d'água adotado para cálculo de reservatórios, tanques, decantadores e outros deve ser igual ao máximo possível compatível com o sistema de extravasão.



Ações variáveis durante a construção - as estruturas em que todas as fases construtivas não tenham sua segurança garantida pela verificação da obra pronta devem ter, incluídas no projeto, as verificações das fases construtivas mais significativas e sua influência na fase final. 1.29

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1.8.2.2 – Ações variáveis indiretas



Variações uniformes de temperatura  A variação da temperatura da estrutura, causada globalmente pela variação da

temperatura da atmosfera e pela insolação direta, é considerada uniforme. Ela depende do local de implantação da construção e das dimensões dos elementos estruturais que a compõem. De maneira genérica podem ser adotados os seguintes valores

(NBR 6118:2014): a) para elementos estruturais cuja menor dimensão não seja superior a 50 cm, deve ser considerada uma oscilação de temperatura em torno da média de 10ºC a 15ºC; b) para elementos estruturais maciços ou ocos com os espaços vazios inteiramente fechados, cuja menor dimensão seja superior a 70 cm, admite-se que essa oscilação seja reduzida respectivamente para 5ºC a 10ºC; c) para elementos estruturais cuja menor dimensão esteja entre 50 cm e 70 cm admite-se que seja feita uma interpolação linear entre os valores acima indicados.



Variações não uniformes de temperatura Nos elementos estruturais em que a temperatura possa ter distribuição signifi-

cativamente diferente da uniforme, devem ser considerados os efeitos dessa distribuição. Na falta de dados mais precisos, pode ser admitida uma variação linear entre os valores de temperatura adotados, desde que a variação de temperatura considerada entre uma face e outra da estrutura não seja inferior a 5ºC (NBR 6118:2014).



Ações dinâmicas Quando a estrutura, pelas suas condições de uso, está sujeita a choques ou

vibrações, os respectivos efeitos devem ser considerados na determinação das solici-

1.30

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tações, e a possibilidade de fadiga deve ser considerada no dimensionamento dos elementos estruturais, de acordo com a seção 23 da NBR 6118:2014.

1.8.3 – Ações excepcionais No projeto de estruturas sujeitas a situações excepcionais de carregamento, cujos efeitos não podem ser controlados por outros meios, devem ser consideradas ações excepcionais com os valores definidos, em caso particular, por Normas Brasileiras específicas (NBR 6118:2014).

1.8.4 – Valores das ações 1.8.4.1 – Valores característicos Os valores característicos Fk das ações são estabelecidos na NBR-6118:2014 em função da variabilidade de suas intensidades. Os valores característicos para as ações permanentes Fgk  (a letra g  será usada para ações permanentes) devem ser adotados iguais aos valores médios das respectivas distribuições de probabilidade, sejam valores característicos superiores ou inferiores. Esses valores são definidos na NBR-6118:2014 ou em normas específicas, como a NBR-6120:1980, versão corrigida de 2000. Os valores característicos das ações variáveis Fqk (a letra q será usada para ações variáveis), estabelecidos por consenso em Normas Brasileiras específicas, correspondem a valores que têm de 25% a 35% de probabilidade de serem ultrapassados no sentido desfavorável, durante um período de 50 anos. Esses valores são aqui definidos ou em normas específicas, como a NBR-6120:1980, versão corrigida de 2000.

1.8.4.2 – Valores representativos (NBR 6118:2014)  As ações são quantificadas por seus valores representativos, que podem ser: 1.31

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os valores característicos conforme definido acima;



valores convencionais excepcionais, que são os valores arbitrados para as ações excepcionais;



valores reduzidos, em função da combinação de ações, tais como: 1. verificações de estados limites últimos, quando a ação considerada se combina com a ação principal. Os valores reduzidos são determinados a oFk ,

partir da expressão

que considera muito baixa a probabilidade de

ocorrência simultânea dos valores característicos de duas ou mais ações variáveis de naturezas diferentes; 2. verificações de estados limites de serviço. Esses valores reduzidos são determinados a partir de

1Fk (que

estima um valor frequente), e

2Fk (que

estima valor quase permanente) de uma ação que acompanha a ação principal. (os valores

o,

1 e

2 estão

apresentados na tabela 1.7 adiante)

1.8.4.3 – Valores de cálculo Os valores de cálculo Fd das ações são obtidos a partir dos valores representativos, multiplicando-os pelos respectivos coeficientes de ponderação

f   definidos

a

seguir.

1.8.5 – Coeficientes de ponderação das ações  As ações devem ser majoradas pelo coeficiente f  dado por: f  =

( f1) ( f2) ( f3)

(1.16)

Onde: 

f1 – parte

do coeficiente de ponderação das ações f  , que considera a variabi-

lidade das ações 

f2 – parte

do coeficiente de ponderação das ações f  , que considera a simul-

taneidade de atuação das ações 1.32

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f3 – parte do

coeficiente de ponderação das ações f  , que considera os desvios

gerados nas construções e as aproximações feitas em projeto do ponto de vista das solicitações

1.8.5.1 – Coeficientes de ponderação das ações no ELU Os valores base são os apresentados na tabela 1.6 para [( f1) ( f3)] e na tabela 1.7 para

f2.

Para pilares e pilares-paredes esbeltos com espessura inferior a 19 cm e

lajes em balanço com espessura menor que 19 cm, os esforços solicitantes de cálculo devem ser multiplicados pelo coeficiente de ajustamento

n (ver

13.2.3 e 13.2.4.1 da

NBR 6118:2014). Essa correção se deve ao aumento da probabilidade de ocorrência de desvios relativos e falhas na construção.

Tabela 1.6 – Valores de ( f1)x( f3) (Tab. 11.1 da NBR 6118:2014) Ações Combinações

Permanentes

Variáveis

Protensão

Recalques

de

(g)

(q)

(p)

de apoio e

ações

retração

Normais Especiais ou de construção Excepcionais Onde: a -

D

F

G

T

D

F

D

F

1,4a

1,0

1,4

1,2

1,2

0,9

1,2

0

1,3

1,0

1,2

1,0

1,2

0,9

1,2

0

1,2

1,0

1,0

0

1,2

0,9

0

0

D é desfavorável, F é favorável, G é geral e T é temperatura.

Para as cargas permanentes de pequena variabilidade, como o peso próprio das estruturas, especialmente as pré-moldadas, esse coeficiente pode ser reduzido para 1,3.

1.33

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Tabela 1.7 – Valores do coeficiente

f2 (Tab.

11.2 da NBR 6118:2014)

f2

AÇÕES 0

1a

2

0,5

0,4

0,3

0,7

0,6

0,4

Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens

0,8

0,7

0,6

Pressão dinâmica do vento nas estruturas

0,6

0,3

0

0,6

0,5

0,3

Locais em que não há predominância de peso de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, nem de elevadas concentrações de pessoas Cargas acidentais de edifícios

b

Locais em que há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, ou de elevada concentração de pessoas

Vento

c

em geral Temperatura

Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local

a

Para os valores

1 relativos

às pontes e principalmente aos problemas de fa-

diga, ver seção 23 da NBR 6118:2014. b

Edifícios residenciais

c

Edifícios comerciais, de escritórios, estações e edifícios públicos

1.8.5.2 – Coeficientes de ponderação no ELS Em geral, o coeficiente de ponderação das ações para estados limites de serviço é dado pela expressão: f  = f2 

Onde

f2 tem

(1.17)

valor variável conforme a verificação que se deseja fazer (tab. 1.7) 1.34

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Materiais  ___________________________________________________________________________ 

f2 =

1



f2 =

1

para combinações frequentes



f2 =

2

para combinações quase permanentes.

para combinações raras

Os valores das tabelas 1.6 e 1.7 podem ser modificados em casos especiais aqui não contemplados, de acordo com a NBR 8681:2003.

1.8.6 – Combinações de ações (NBR 6118:2014) Um carregamento é definido pela combinação das ações que têm probabilidades não desprezíveis de atuarem simultaneamente sobre a estrutura, durante um período preestabelecido.

1.8.6.1 – Combinações últimas 1. Combinações últimas normais – Em cada combinação devem estar incluídas as ações permanentes e a ação variável principal, com seus valores característicos e as demais ações variáveis, consideradas secundárias, com seus valores redu-

zidos de combinação, conforme NBR-8681:2003. 2. Combinações últimas especiais ou de construção – Em cada combinação devem estar presentes as ações permanentes e a ação variável especial, quando existir, com seus valores característicos e as demais ações variáveis com probabilidade não desprezível de ocorrência simultânea, com seus valores reduzidos de combinação, conforme NBR-8681:2003. 3. Combinações últimas excepcionais - Em cada combinação devem estar presentes as ações permanentes  e a ação variável excepcional, quando existir, com seus valores representativos e as demais ações variáveis com probabilidade não desprezível de ocorrência simultânea, com seus valores reduzidos de combinação, conforme NBR-8681:2003. Nesse caso se enquadram, entre outras, sismo e incêndio. 4. Combinações últimas usuais – para facilitar a visualização, essas combinações estão listadas na tabela 11.3 da NBR-6118:2014, transcrita na tabela 1.8 abaixo. 1.35

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Tabela 1.8 – Combinações últimas (Tab. 11.3 da NBR 6118:2014)

Combinações últimas (ELU)

Descrição

Cálculo das solicitações

Esgotamento da capacidade resistente para

Fd =

elementos es-

g

Fgk +

εg

Fεgk +

q

(Fq1k + Σ Ψ0j Fqjk) +

F

εqΨ0ε εqk

truturais de concreto armadoa Esgotamento da Deve ser considerada, quando necessário, a Normais

capacidade re-

força de protensão como carregamento externo

sistente para

com os valores Pkmáx e Pkmin para a força desfa-

elementos

vorável e favorável, respectivamente, conforme

estruturais de

definido na seção 9

concreto protendido  S

Perda do equilíbrio como corpo rígido Especiais ou de construçãob Excepcionaisb

Fsd =

gs Gsk +

Fnd =

gn Gnk + q Qnk - qs Qs,min ,

Rd

onde: Qnk = Q1k + Σ Ψ0j Q jk

Fd = g Fgk + Fd = g Fgk +

(Fsd) ≥ S (Fnd)

 F gk + q (Fq1k + Σ Ψ0j Fqjk) +

εg

ε 

 F gk + Fq1ecx + q Σ Ψ0j Fqjk) +

εg

ε 

F

εqΨ0ε εqk

F

εqΨ0ε εqk

Onde:

Fd - é o valor de cálculo das ações para combinação última; Fgk - representa as ações permanentes diretas; Fεk - representa as ações indiretas permanentes como a retração Fεgk e variáveis como a temperatura Fεqk; 1.36

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Fqk - representa as ações variáveis diretas das quais Fq1k é escolhida principal; g, εg, q, εq -

ver tabela 1.6;

Ψ0j, Ψε - ver tabela 1.7;

Fsd - representa as ações estabilizantes; Fnd - representa as ações não estabilizantes; Gsk - é o valor característico da ação permanente estabilizante; Rd - é o esforço resistente considerado como estabilizante, quando houver; Gnk - é o valor característico da ação permanente instabilizante; m

Qnk   Q1k    Ψ 0jQ jk   j2

Qnk - é o valor característico das ações variáveis instabilizantes; Q1k - é o valor característico da ação variável instabilizante considerada como principal; Ψ0j e Q jq

- são as demais ações variáveis instabilizantes, consideradas com seu valor reduzido;

Qs,min

- é o valor característico mínimo da ação variável estabilizante que acompanha obrigatoriamente uma ação variável instabilizante.

a

- No caso geral, devem ser consideradas inclusive combinações onde o efeito favorável das cargas permanentes seja reduzido pela consideração de

g=

1. No caso de estruturas usuais de edifícios essas combina-

ções que consideram b

g reduzido

(1,0) não precisam ser consideradas.

- Quando Fq1k ou Fq1exc atuarem em tempo muito pequeno ou tiverem probabilidade de ocorrência muito baixa Ψ0j, pode ser substituído por Ψ2j.

1.8.6.2 – Combinações de serviço São classificadas de acordo com sua permanência na estrutura como: 1. Quase permanente  – podem atuar durante grande parte do período de vida da estrutura e sua consideração pode ser necessária na verificação do estado limite de deformações excessivas ( ELS-DEF); 2. Frequentes – se repetem muitas vezes durante o período de vida da estrutura e

1.37

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sua consideração pode ser necessária na verificação dos estados limites de for-

mação de fissuras, de abertura de fissuras e de vibrações excessivas. Podem também ser consideradas para verificações de ELS-DEF decorrentes de vento ou temperatura que possam comprometer as vedações; 3. Raras – ocorrem algumas vezes durante o período de vida da estrutura e sua consideração pode ser necessária na verificação do estado limite de formação de

fissuras. 4. Combinações de serviço usuais  – para facilitar a visualização, essas combina-

ções estão listadas na tabela 11.4 da NBR 6118:2014, transcrita na tabela 1.9 abaixo:

Tabela 1.9 – Combinações de serviço (Tab. 11.4 da NBR 6118:2014) Combinações de

Descrição

serviço (ELS) Combinações quase

ções

Nas combinações quase permanen-

perma- tes de serviço, todas as ações variá-

nentes de ser- veis são consideradas com seus valoviço (CQP)

Cálculo das solicita-

Fd, ser = Σ Fgik + Σ Ψ2j Fqjk

res quase permanentes Ψ2 Fqk Nas combinações frequentes de serviço, a ação variável principal Fq1 é

Combinações

tomada com seu valor frequente Ψ1

freqüentes de

Fq1k e todas

serviço (CF)

as demais ações variáveis são toma-

Fd,ser = Σ Fgik + ψ1 Fq1k + Σ ψ2j Fqjk

das com seus valores quase permanentes Ψ2 Fqk Nas combinações raras de serviço, a Combinações

ação variável principal Fq1  é tomada

raras de serviço com seu valor característico Fq1k e to(CR)

das as demais ações são tomadas com seus valores frequentes Ψ2 Fqk 1.38

Fd,ser  = Σ Fgik + Fq1k + Σ ψ2j Fqjk

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1.9 – Resistências 1.9.1 – Valores característicos Os valores característicos f k das resistências são os que, num lote de material, têm uma determinada probabilidade de serem ultrapassados, no sentido desfavorável para a segurança. Pode ser de interesse determinar a resistência característica inferior f k,inf  e a superior f k,sup , que são respectivamente menor e maior que a resistência média f m . Para efeito da NBR-6118:2014, a resistência característica inferior é admitida como sendo o valor que tem apenas 5% de probabilidade de não ser atingido pelos elementos de um dado lote de material.

1.9.2 – Valores de cálculo 1. Resistência de cálculo - a resistência de cálculo f d é dada pela expressão:

f d



f k 

 

(1.18)

γm

Onde

m é

o coeficiente de ponderação das resistências.

2. Resistência de cálculo do concreto - a resistência de cálculo do concreto

f cd é obtida em duas situações distintas:



quando a verificação se faz em data  j igual ou superior a 28 dias f cd



f ck 

 

(1.19)

γc 

quando a verificação se faz em data  j inferior a 28 dias f cd 

sendo

1

f ck j γc

 β1

f ck  γc

 

a relação (f ckj / f ck ) dada por:

1.39

(1.20)

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β1  e

Onde:



28



t

s 1

  

 

(1.21)

s = 0,38

- para concreto de cimento CPIII e IV;

s = 0,25

- para concreto de cimento CPI e II;

s = 0,20

- para concreto de cimento CPV-ARI;

t

- é a idade efetiva do concreto, em dias.

1.9.3 – Coeficientes de ponderação das resistências  As resistências devem ser minoradas pelo coeficiente: m

=

m1 . m2 . m3 

(1.22)

Onde: m1

- é a parte o coeficiente de ponderação das resistência

m ,

que consi-

dera a variabilidade da resistência dos materiais envolvidos. m2

- é a parte do coeficiente de ponderação das resistência

m ,

que consi-

dera a diferença entre a resistência do material no corpo-de-prova e na estrutura. m3

- é a parte co coeficiente de ponderação das resistência

m ,

que consi-

dera os desvios gerados na construção e as aproximações feitas em projeto do ponto de vista das resistências.

1.9.3.1 - Coeficientes de ponderação das resistências no ELU Os valores para verificação no estado limite último ( ELU) estão indicados na tabela 1.10.

1.40

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Tabela 1.10 – Valores dos coeficientes c e

s

(Tab. 12.1 da NBR 6118:2014) Combinações

Concreto

Aço

c

s

Normais Especiais ou de construção Excepcionais

1.4

1.15

1.2

1.15

1.2

1

1.9.3.2 - Coeficientes de ponderação das resistências no ELS Os limites estabelecidos para os estados limites de serviço ( ELS) não necessitam de minoração, portanto

m =

1.

1.9.3.3 – Valores finais das resistências de cálculo do concreto e do aço



CONCRETO

Para um concreto classe C20, por exemplo, cuja resistência característica f ck = 20 MPa = 200 kgf/cm 2= 2 kN/cm2, a resistência de cálculo é f cd = (f ck / c) = (2 / 1,4) =

1,429 kN/cm2 ( c conforme tabela 1.10). O valor da tensão de pico, quando se usa o diagrama parábola-retângulo, a ser considerado nos cálculos deve ser afetado pelo coeficiente de Rüsch resultando no valor final de cálculo σc = f c = 0,85f cd = 0,85x1,429

= 1,214 kN/cm2, independentemente do tipo de seção e da classe do concreto. Por facilidade nos cálculos, normalmente se utiliza o diagrama retangular sim-

plificado de tensões no concreto, com altura y = λ X e tensão constante e igual a σc = f c = αc f cd quando a largura da seção transversal não diminui no sentido da linha neutra para a borda mais comprimida. Caso contrário, como por exemplo, seção circular, a tensão constante deve ser σc = f c = 0,9 αc f cd. Os parâmetros λ  e αc, que serão vistos no capítulo 2 dessa apostila, são dados por:

1.41

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 = 0,8

αc = 0,85

f ck ≤ 50 MPa  (1.23a)

 = 0,8 – (f ck – 50) / 400

αc = 0,85 [1 – (f ck – 50) / 200]

f ck > 50 MPa (1.23b)

λ 

λ 

 A denominação f c não aparece na NBR 6118:2014, mas de agora em diante nessa apostila será adotado o valor f c para representar a resistência final de cálculo do concreto à compressão.

AÇO



Para um aço CA 50, por exemplo, cuja resistência característica ao escoamento f yk = 50 kN/cm2 = 500 MPa = 5000 kgf/cm2, a resistência de cálculo é f yd = (f yk

 / s=1,15) = 4348 kgf/cm2 = 43,48 kN/cm2 ≈ 435 MPa ≈ 43,5 kN/cm2. Tabela 1.11 – Valores finais de cálculo para os concretos e aços usuais Valores finais de cálculo para os concretos do grupo I - f c (kN/cm2) αc = 0,85

C20

C25

C30

C35

C40

C45

C50

1,214

1,518

1,821

2,125

2,429

2,732

3,036

Valores finais de cálculo para os concretos do grupo II - f c (kN/cm2) αc = 0,85 [1 – (f ck – 50) / 200]

C55

C60

C65

C70

C75

C80

C85

C90

3,256

3,461

3,650

3,825

3,984

4,129

4,258

4,371

Valores de cálculo para os aços - f yd (kN/cm2) CA 25

CA 50

CA 60

21,74

43,48

52,17

1.42

CONCRETO ARMADO I - CAPÍTULO 2 Departamento de Engenharia de Estruturas  – EE-UFMG Junho 2018

FLEXÃO NORMAL SIMPLES  ____________________________________________________________________________

2.1 - Introdução Dentre os esforços solicitantes (entes mecânicos aferidos ao centro geométrico da seção transversal, obtidos pela integração conveniente das tensões nessa seção) o momento fletor M, é em condições normais, o esforço preponderante no dimensionamento de peças estruturais como lajes e vigas. Quando o momento fletor atua segundo um plano que contenha um dos eixos principais da seção transversal, a flexão é dita normal. Se esse momento atua isoladamente tem-se a flexão normal simples. Se simultaneamente atua uma força normal N a flexão é dita normal composta. Quando atua apenas momento, com componentes nos dois eixos principais de inércia da seção transversal, a flexão é dita oblí-

qua simples e se acompanhada de força normal é dita oblíqua composta. Normalmente o momento fletor atua em conjunto com a força cortante V, podendo, no entanto em situações ideais, ser o único esforço solicitante. Nesse caso tem-se a flexão pura, situação ilustrada na figura 2.2, no trecho entre as cargas simétricas P, quando se despreza o peso próprio da viga. Segundo o item 16.1 da NBR 6118:2014, o objetivo do dimensionamento, da verificação e do detalhamento é garantir segurança em relação aos estados limites último (ELU) e de serviço ( ELS) da estrutura como um todo ou de cada uma de suas partes. Essa segurança exige que sejam respeitadas condições analíticas do tipo:

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Flexão Normal Simples

 ___________________________________________________________________________

Sd  Rd

(MSd  MRd)

(2.1)

onde Sd é a solicitação externa de cálculo e Rd é a resistência interna de cálculo. Como a solicitação estudada é o momento fletor, a equação 2.1 no seu segundo termo (entre parênteses) foi adaptada: momento externo solicitante de cálculo ( MSd) menor ou igual ao momento interno resistente de cálculo ( MRd), mostrados na figura 2.1.

Figura 2.1 – Esforços solicitantes externos e internos na seção transversal Na figura 2.1, a seção transversal retangular de uma viga é mostrada a esquerda e parte da sua vista lateral é mostrada a direita. Na vista lateral a seção transversal é uma linha vertical, onde estão concentrados em seu centro geométrico ( CG) os esforços externos solicitantes NSd e MSd. Como é flexão simples, a força normal solicitante é igual à zero (NSd = 0). Por equilíbrio ( FHORIZ. = 0) as resultantes internas de compressão no concreto Rcc e de tração no aço Rst são iguais. A resultante no concreto é obtida pela integração das tensões normais de compressão do concreto (σc), atuantes na área com hachuras da seção transversal, definida pela profundidade

(x) da linha neutra ( LN). A resultante no aço é obtida pelo produto da área de aço, As (steel), pela tensão de tração no aço, σs. Para garantir a segurança o momento externo solicitante de cálculo MSd tem de ser menor ou igual ao momento interno resistente de cálculo MRd, que conforme a

2.2

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Flexão Normal Simples

 ___________________________________________________________________________

figura 2.1 é dado pelo binário (duas forças iguais, paralelas e de sentidos opostos separadas por uma distância z, o braço de alavanca) interno resistente, MRd: MSd ≤ MRd = Rcc z = Rst z

(2.2)

Quanto ao comportamento resistente à flexão pura, sabe-se que sendo o concreto um material bem menos resistente à tração do que à compressão, tão logo a barra seja submetida a um momento fletor capaz de produzir tensões de tração superiores àquelas que o concreto pode suportar, surgem fissuras de flexão, transversais ao eixo da barra, próximas ao centro da viga e fissuras inclinadas próximas aos apoios, conforme mostrado na figura 2.2. As primeiras são devidas à flexão, maior no centro, e as últimas devido ao cisalhamento, maior nos apoios.

Figura 2.2 – Fissuras de flexão Caso não existisse as armaduras de flexão e de cisalhamento essas fissuras provocariam a ruptura total da viga. Os esforços internos de tração são transmitidos às armaduras por meio da aderência aço-concreto. É como se as armaduras “costu-

2.3

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Flexão Normal Simples

 ___________________________________________________________________________

rassem” as fissuras, conforme esquematicamente mostrado na figura 2.2, o que im-

pede que as mesmas cresçam indefinidamente. Conforme será visto adiante no capítulo referente à fissuração, a abertura e o controle dessas fissuras dependerão substancialmente das características e do detalhamento final da armadura de flexão.  A ruína de uma peça à flexão é um fenômeno de difícil caracterização, devido basicamente à complexidade envolvida no funcionamento conjunto aço-concreto. Portanto para que esta tarefa seja possível convenciona-se que a ruína de uma seção à flexão é alcançada quando, pelo aumento da solicitação, é atingida a ruptura do concreto à compressão ou da armadura à tração.

2.2 – Solicitações normais Por solicitação normal entende-se toda solicitação que produza na seção transversal tensões normais. Nesse grupo estão naturalmente a força normal, o momento fletor ou ambos atuando simultaneamente.  A ruptura do concreto à compressão é considerada atribuindo-se, de forma convencional, encurtamentos últimos para o concreto. Para seções parcialmente comprimidas admite-se que a mesma ocorra, quando o concreto atinge na sua fibra mais comprimida o encurtamento limite último

cu,

ver equações (1.9b) e (1.9c). Para se-

ções totalmente comprimidas o encurtamento máximo da fibra mais comprimida varia de

c2

a

cu (ver

hipóteses básicas adiante).

Para o aço admite-se que a ruptura à tração ocorra quando se atinge um alongamento limite último

su

= 10‰. O alongamento máximo de 10‰ deve-se a uma

limitação da fissuração no concreto que envolve a armadura e não ao alongamento real de ruptura do aço, que é bem superior a esse valor.  Atinge-se então, o estado limite último - ELU, correspondente à ruptura do concreto comprimido ou à deformação plástica excessiva da armadura. O momento fletor

2.4

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 ___________________________________________________________________________

solicitante de cálculo MSd é o momento de ruptura, enquanto o momento de serviço será o de ruptura dividido pelo coeficiente de ponderação das ações f , ou seja:

M serv

M Sd 

 

(2.3)

γ f 

2.2.1 – Hipóteses básicas e domínios de deformação Conforme o item 17.2 da NBR 6118:2014, na análise dos esforços resistentes de uma seção de viga ou pilar, devem ser consideradas as seguintes hipóteses básicas: 1 - As seções transversais se mantêm planas após a deformação, os vários casos possíveis são ilustrados na figura 2.3 (como consequência, a deformação em um ponto qualquer da seção é proporcional à sua distância a linha neutra); 2 - A deformação das barras passivas aderentes em tração ou compressão deve ser a mesma do concreto em seu entorno (perfeita aderência aço-concreto); 3 - As tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, devem ser desprezadas no ELU (resistência nula do concreto à tração); 4 - Para o encurtamento de ruptura do concreto nas seções parcialmente compri-

midas considera-se o valor convencional de εcu (domínios 3, 4 e 4a da figura 2.3). Nas seções inteiramente comprimidas  (domínio 5) admite-se que o encurtamento da borda mais comprimida, na ocasião da ruptura, varie de εcu a εc2, mantendo-se inalterado e igual a εc2 a deformação a uma distância [(εcu - εc2) / εcu], a partir da borda mais comprimida, a ser discutida adiante (ver figura 2.3); 5 - Para o alongamento máximo de ruptura do aço considera-se o valor convencional de

su =

10 ‰ (domínios 1 e 2 da figura 2.3) a fim de prevenir deformação plástica

excessiva; 6 - A distribuição das tensões do concreto na seção se faz de acordo com o diagrama

parábola-retângulo da figura 2.4c (já definido anteriormente na figura 1.2), com a tensão de pico igual a f c = 0,85f cd (ver tabela 1.11). Permite-se a substituição desse, por um diagrama retangular simplificado de altura y = λ x (figura 2.4d), onde o parâmetro λ  pode ser tomado igual a: 2.5

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Flexão Normal Simples

 ___________________________________________________________________________ λ  = 0,8

para f ck ≤ 50 MPa (grupo I) (2.4)

λ  = 0,8

- ( f ck – 50 ) / 400

para f ck > 50 MPa (grupo II)

 A tensão constante atuante até a profundidade y pode ser tomada igual a: αcf cd

quando a largura da seção, medida paralelamente à LN, não diminuir a partir dessa, para a borda mais comprimida;

(2.5a) 0,9 αcf cd

no caso contrário.

Sendo αc definido como (ver figura 2.5): αc = 0,85 

para f ck ≤ 50 MPa (2.5b)

αc = 0,85 [1,0 – (f ck – 50) / 200] 

para f ck > 50 MPa

 As diferenças de resultados obtidos com esses dois diagramas são pequenas e aceitáveis, sem necessidade de coeficiente de correção adicional. 7 - A tensão nas armaduras deve ser obtida a partir das suas deformações usando os diagramas tensão-deformação, com seus valores de cálculo.

Figura 2.3 – Domínios de deformação da NBR 6118:2014 2.6

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Flexão Normal Simples

 ___________________________________________________________________________

Figura 2.4 – Diagramas tensão-deformação para o concreto

Figura 2.5 – Valores de f c para o diagrama σxε retangular simplificado  A figura 2.4b mostra o diagrama de deformações para um ELU (estado limite último) qualquer de uma seção retangular parcialmente comprimida, com profundidade da linha neutra igual a X e deformação (encurtamento) máximo igual ao limite de ruptura do concreto εcu. As figuras 2.4c e 2.4d mostram os diagramas de tensões de compressão no concreto, considerando o diagrama parábola-retângulo e o retangular simplificado, respectivamente. 2.7

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Flexão Normal Simples

 ___________________________________________________________________________

Na figura 2.4c os trechos, constante e parabólico, do diagrama parábola-retângulo têm alturas ac1 e ac2 respectivamente. Por semelhança de triângulos (ou por regra de três simples) determina-se, a partir da figura 2.4b, a distância ac2 = (εc2 / εcu)(X) e a seguir a distância ac1 = (X - ac2) = [(εcu - εc2) / εcu](X).  A resultante total de compressão no concreto, Rcc, é a soma das resultantes

Rcc1 e Rcc2, dos trechos com tensões constante e com variação parabólica, respectivamente (Rcc = Rcc1 + Rcc2). Conforme a hipótese básica 6, para o diagrama parábola-retângulo, a tensão constante é sempre igual a f c = 0,85f cd. Considerando-se concretos do grupo I (até classe C50) em que εcu = 3,5‰ e εc2 = 2‰, as alturas dos dois trechos do diagrama de tensões ficam: ac2 = [2 / (3,5)](X) = (4 / 7)(X) e ac1 = (X  – a c2) = (3 / 7)(X). Para essa situação as resultantes Rcc1 (trecho constante) e Rcc2 (trecho parabólico) ficam: R cc1



f c b

3

X

7

9 

21

f c bX

R cc R cc2

2 

3

f c b

4

X

7

8 

21



17 21

f c bX  0,809f c bX

f c bX

 A resultante do trecho parabólico Rcc2, é igual à resultante em um trecho de tensão constante, f c = 0,85f cd, com altura [(2/3) ac2] e ponto de aplicação, a partir da linha neutra, igual a [(5/8) ac2].  As resultantes totais Rcc das figuras 2.4c e 2.4d serão equivalentes se adicionalmente, a distância Z até a LN, nos dois casos, for a mesma. Na figura 2.4c, o equilíbrio exige que: R cc1Z1

Z1

Z2







R cc Z

4      X  X  2   7  

1

5 

R cc2Z 2

8

a c2

5 4 

(

8 7

11

X

Z

14

X)

5 

X

14

2.8



R cc1Z1



R cc2Z 2

R cc



139 238

X  0,584X

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Flexão Normal Simples

 ___________________________________________________________________________

Os valores encontrados 0,809 e 0,584, para o diagrama parábola-retângulo, são aproximadamente iguais aos valores 0,8 e 0,6, que representam respectivamente a altura do diagrama retangular simplificado e do ponto de aplicação da sua resultante, conforme a figura 2.4d. Demonstra-se nesse caso específico do grupo I (f ck ≤ 50 MPa, λ  =

0,8), onde εc,max = εcu = 3,5‰, perfeita equivalência entre os dois diagramas.

Quando εc,max < εcu = 3,5‰ os resultados entre os dois diagramas apresentam diferenças maiores, mesmo assim, conforme a hipótese básica 6 é permitido a substituição do diagrama parábola-retângulo pelo retangular simplificado. Isso facilitará bastante o dimensionamento no ELU, como visto ainda nesse capítulo. Na figura 2.3 (domínios de deformação da NBR 6119:2014) a seção transversal, mostrada à esquerda, apresenta uma armadura tr acionada ou menos comprimida (As) e outra, mais comprimida ou menos tracionada ( A’s). A profundidade da linha neutra X é considerada positiva da borda mais comprimida para baixo. Na vista lateral da viga, mostrada à direita, a seção transversal indeformada é representada por uma linha vertical. Depois de carregada a seção se deforma e conforme a hipótese simplificadora 1 (seções transversais se mantêm planas após a deformação), a seção fica inclinada. Na seção deformada os alongamentos (tração) são marcados do seu lado esquerdo e os encurtamentos (compressão) do lado direito. Para a construção da figura 2.3 a seção transversal sem deformações, portanto sem solicitação, inicialmente é tracionada pelo seu centro geométrico produzindo t ração uniforme. Nessa situação a seção solicitada desloca-se verticalmente para a esquerda (alongamento) e como o concreto não resiste à tração (hipótese básica 3), a única possibilidade de se ter um estado limite último é tracionar igualmente as duas armaduras com a deformação última do aço εsu = 10‰ (hipótese básica 5). Com isso a seção transversal é deslocada para a reta “a”, ou reta da tração centrada, onde são normalmente dimensionados os tirantes (peças preponderantemente solicitadas à tração) sem momentos. Caso as armaduras não sejam simétricas haverá momento fletor.

2.9

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 ___________________________________________________________________________

O domínio 1 de deformações começa na reta “a”, onde a seção solicitada é paralela à seção sem solicitação. Nessa situação o prolongamento dessas duas seções se cruzam no infinito, quando a profundidade da linha neutra vale ( X) = - ∞ (para cima). Continuando a solicitação da seção a partir da reta “a”, pode-se dar uma pequena excentricidade da força normal de tração produzindo uma flexo-tração com alongamento maior na armadura As (mais tracionada). Para que se tenha um estado limite último o alongamento nessa armadura tem de ser εsu = 10‰, valor da deformação da armadura As para todas as solicitações nesse domínio. Conforme figura 2.3 todas as solicitações no domínio 1, passam pelo ponto A. Girando-se em torno desse ponto, o domínio 1 abrange todas as solicitações desde a reta “a”, onde X = - ∞, até numa situação limite onde a profundidade da linha neutra é nula, ou seja, X = 0. Nesse domínio a seção está inteiramente tracionada, com solicitações variando desde a tração centrada até flexo-tração (tração não uniforme) sem compressão. O domínio 2 é caracterizado também pelo ELU correspondente à deformação plástica excessiva do aço, ou seja ponto A. A seção transversal é parcialmente comprimida, até que no limite, seja atendido simultaneamente o ELU para a ruptura do concreto à compressão, ou seja, εc = εcu. As solicitações possíveis nesse domínio são de flexo-tração com excentricidades maiores que as do domínio 1, naturalmente fle-

xão simples pois se tem simultaneamente resultantes de compressão (concreto) e de tração (aço), e flexo-compressão com excentricidades pequenas, sem ruptura à compressão do concreto, ou seja, εc ≤ εcu.  A profundidade da LN varia desde X = 0 até a profundidade limite X = X2L, que por semelhança de triângulos na figura 2.6, resulta:

ε

cu

X 2L



ε cu  10 d

 

(2.6)

2.10

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 ___________________________________________________________________________

Figura 2.6 – Profundidade limite do domínio 2 (X2L)

X 2L



X 2L



3,5 3,5  10

d

ε cu ε cu

 10



0,259d

d

para concretos do grupo I

(2.6a)

para concretos do grupo II

(2.6b)

Onde d é altura útil da seção, distância da borda mais comprimida da seção até o centro da armadura mais tracionada As e εcu é o encurtamento de ruptura do concreto, dado nas equações (1.9a) e (1.9b). Por simplicidade os valores ‰ foram suprimidos das deformações nas equações (2.6) além de serem consideradas em módulo. Nessas equações a profundidade

X2L, em valor absoluto, não depende do tipo de aço usado, mas do grupo do concreto. Em muitos casos é conveniente usar o valor relativo da profundidade limite do domínio 2, um valor adimensional dado por:

ξ 2L



ξ 2L 

X 2L



d

0,259

ε cu ε cu  10 2.11

para concretos do grupo I 

(2.7a)

para concretos do grupo II 

(2.7b)

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 ___________________________________________________________________________

 A partir do X2L não se pode mais girar a seção pelo ponto A, o que produziria deformações superiores à εcu no concreto . Portanto, a parir desse ponto a seção deve girar em torno do ponto B, desde a deformação na armadura εsu = 10‰ até a deformação εyd, correspondente à tensão de escoamento de cálculo do aço. Esse domínio particular de deformação é o domínio 3 da figura 2.3, caracterizado basicamente pela flexão simples (seções subarmadas) e flexo-compressão com ruptura à compressão do concreto e com o escoamento da armadura As. A linha neutra varia desde a profundidade limite do domínio 2 até ao valor limite do domínio 3, X3L (figura 2.7).

Figura 2.7 – Profundidade limite do domínio 3 (X3L) Como as deformações do aço nesse domínio estão no intervalo εyd ≤ εs ≤10‰, a tensão na armadura As é constante e igual à f yd (figura 1.5). Na figura 2.7 o valor

X3L também é obtido por semelhança de triângulos resultando:

ε

cu

X 3L

ε



cu

 ε yd

d

 

(2.8)

2.12

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 ___________________________________________________________________________

ξ 3L



ξ 3L



X 3L d



3,5 3,5  ε yd

ε cu ε cu



ε yd

para concretos de classes até C50

(2.8a)

para concretos de classes C55 até C90

(2.8b)

Nota-se nas equações 2.8 que as profundidades absoluta e relativa limites do domínio 3 dependem do tipo de aço usado e do grupo do concreto. Os valores relativos desse domínio estão apresentados na tabela 2.1, juntamente com os do domínio

2, que só dependem do grupo do concreto. Tabela 2.1 – Valores limites de ε para o concreto e ξL para os domínios Deformações limites do concreto e profundidades relativas dos domínios 2 e 3 ξ3L=X3,L /d

εc2

εcu

ξ2L=

‰

‰

X2,L /d

Até C50

2,000

3,500

0,259

0,772

0,628

0,585

C55

2,199

3,125

0,238

0,752

0,602

0,557

C60

2,288

2,884

0,224

0,736

0,582

0,537

C65

2,357

2,737

0,215

0,726

0,569

0,524

C70

2,416

2,656

0,210

0,720

0,562

0,517

C75

2,468

2,618

0,207

0,717

0,558

0,513

C80

2,516

2,604

0,207

0,716

0,557

0,512

C85

2,559

2,600

0,206

0,715

0,557

0,511

C90

2,600

2,600

0,206

0,715

0,557

0,511

CLASSE

CA 25

CA 50

CA 60

εyd=1,035‰ εyd=2,070‰ εyd=2,484‰

No domínio 4 a seção continua girando em torno do ponto B desde a posição final do domínio 3 até que, a deformação na armadura As, seja nula. Embora possível, nesse domínio o dimensionamento à flexão simples ( seções superarmadas) deve ser evitado por questões econômicas, como será visto mais adiante. A armadura As trabalha com uma tensão de tração menor ou igual à f yd, não aproveitando de forma racional o material constituinte mais caro do concreto armado. Portanto, a solicitação preponderante desse domínio deve ser a flexo-compressão. 2.13

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 ___________________________________________________________________________

 A profundidade limite desse domínio é X4L = d, ficando a profundidade relativa: ξ 4L



(2.9)

1

Na figura 2.3 ainda se pode girar em torno do ponto B até que seção tenha deformação nula na fibra inferior mais tracionada. Isso caracteriza um domínio de deformação muito pequeno que recebe um nome secundário, domínio 4a, caracterizado pela flexo-compressão com ambas as armaduras comprimidas. A linha neutra varia de d até a altura total da peça h. Se continuasse a girar em torno do ponto B a seção transversal estaria inteiramente comprimida e nessa situação o encurtamento na fibra a [(εcu – εc2) / εcu] h  da borda mais comprimida seria maior que εc2, o que contraria a hipótese básica 4, ou seja: em peças inteiramente comprimidas o encurtamento da fibra mais comprimida varia de εcu a εc2, desde que a [(εcu – εc2) / εcu] h dessa borda o encurtamento seja constante e igual a εc2 (figuras 2.3 e 2.8). Isso significa que no domínio 5 a seção gira em torno de um terceiro ponto, o C da figura 2.3. Esse domínio se caracteriza por peças submetidas à flexo-compressão com as armaduras comprimidas, até a situação limite da compressão centrada, reta b.  A figura 2.8 representa a situação de deformação correspondente ao final do domínio 4a e ao início do domínio 5. Nessa situação, onde X = h, as distância a0-2

a2-u são obtidas por regra de três simples, resultando:

ε

cu

ε 

h

a0

a0  2  a0  2

c2

4 7 ε





 

(2.10a)

2

h  a2 u 

c2

h



a2u

3 7 

h

para concretos do grupo I

(2.10b)

h  a02

para concretos do grupo II

(2.10c)

ε cu

2.14

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 ___________________________________________________________________________

Figura 2.8 – Início do domínio 5 - Localização do ponto C Naturalmente nesse domínio a flexão simples não é possível, sendo o mesmo caracterizado pela flexo-compressão com excentricidades maiores e capazes de comprimir inteiramente a seção transversal. Esse domínio vai desde a situação mostrada na figura 2.8 até a reta “b”, da compressão centrada, onde a profundidade limite da linha neutra vale (X5L) = + ∞.

2.3 - Seções subarmada, normalmente armada e superarmada No caso particular da flexão simples, dos cinco domínios existentes ficam eliminados os de número 1  (seção totalmente tracionada), 4a e 5 (seção totalmente comprimida) restando, pois, os domínios possíveis 2, 3 e 4. Os domínios 2 e 3 correspondem ao que se denomina seção subarmada onde a armadura escoa à tração antes da ruptura do concreto à compressão, 2.15

sd

yd,

com

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 ___________________________________________________________________________

a armadura tracionada trabalhando com a máxima tensão de cálculo, f yd. O domínio

4 corresponde ao que se denomina seção superarmada, onde o concreto atinge o encurtamento convencional de ruptura εcu antes da armadura escoar,

sd < yd,

com a

armadura tracionada trabalhando com tensões inferiores a f yd. Costuma-se chamar normalmente armada uma seção que funciona no limite entre as duas situações acima, isto é, na qual, teoricamente, o encurtamento último convencional do concreto comprimido e a deformação de escoamento do aço ocorram simultaneamente. Na figura 2.3 a situação de peças normalmente armadas ocorre no

limite entre os domínios 3 e 4. Segundo o professor Tepedino, J. M.-(1980), em suas apostilas de notas de aula, “em princípio, não há inconveniente técnico na superarmação, a não ser, talvez, alguma deformação excessiva por flexão, fato que pode ser prevenido. No entanto, a superarmação é antieconômica, pelo mau aproveitamento da resistência do aço. Por isto mesmo, sempre que possível, devem-se projetar seções subarmadas ou normalmente armadas, sendo a mesma desaconselhável pela NB R 6118” .

 A NBR 6118:2014 prescreve no item 14.6.4.3 limites para redistribuição de momentos e condições de dutilidade: “A capacidade de rotação dos elementos estruturais é função da posição da linha neutra no ELU. Quanto menor é  x/d) (  , tanto maior será essa capacidade. Para proporcionar o adequado comportamento dútil em vigas e lajes, a posição da linha neutra no E LU  deve obedecer aos seguintes limites:

a) (x /d)

0,45

 para concretos com f ck 

50 MPa; ou

b) (x /d)

0,35

 para concretos com 50 MPa < f ck  ≤ 90  MPa;

(2.11a) (2.11b)

Esses limites podem ser alterados se forem utilizados detalhes especiais de armadu-

ras, como, por exemplo, os que produzem confinamento nessas regiões.”  2.16

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 ___________________________________________________________________________

E no item 17.2.3, dutilidade de vigas: “Nas vigas é necessário garantir boas condições de dutilidade respeitando os limites de posição da linha neutra (x/d) dados em 14.6.4.3, sendo adotada, se necessário, armadura de compressão.

 A introdução da armadura de compressão para garantir o atendimento de valores menores da posição da linha neutra x , que estejam nos domínios 2 ou 3, não conduz a elementos estruturais com ruptura frágil. A ruptura frágil está associada a posições da linha neutra no domínio 4, com ou sem armadura de compressão. ” 

 Analisando-se a tabela 2.1 construída para concretos de classes C20 até C90 e os valores limites de (x/d) dados acima, para garantir o adequado comportamento dútil, nota-se que para os três tipos de aços usados essas profundidades relativas limites são maiores que os valores ξ2L e menores que os valores ξ3L da tabela. De agora em diante os valores relativos limites serão ξL = (x/d)L = 0,45 para concretos com f ck ≤ 50 MPa e ξL = (x/d)L = 0,35 para concretos com 50 MPa < f ck ≤ 90 MPa; e tanto um quanto o outro valor estão localizados no domínio 3.

2.4 - Seção retangular submetida à flexão simples Segundo Tepedino (1980) “no caso da seção retangular, pode-se, sem erro considerável e obtendo-se grande simplificação, adotar, para os domínios 2 e 3 (seção subarmada ou normalmente armada), o diagrama retangular para as tensões no concreto, permitido pela NBR 6118”, representado na figura 2.4d. Na figura 2.9 tem-se uma seção retangular submetida apenas a um momento solicitante de cálculo Md, ou seja Nd = 0, onde:

2.17

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 ___________________________________________________________________________ 

b  – largura da seção retangular (na NBR 6118:2014 é dado por bw, onde “w” significa nervura ou alma  – web. Suprimido por simplicidade na flexão de seções retangulares, esse índice será usado na flexão de seções T, mais à frente);



h  – altura total da seção retangular;



d  – altura útil da seção transversal (profundidade da armadura As);



d’  – profundidade da armadura A’s (borda mais comprimida até o CG de A’s);



X  – profundidade da linha neutra para o diagrama σxε parábola-retângulo;



y  – profundidade da linha neutra para o diagrama σxε retangular;



z  – braço de alavanca do binário interno resistente (distância entre Rcc e Rst);



λ  – parâmetro

de redução da altura do diagrama parábola-retângulo transfor

mando-o em diagrama retangular simplificado, dado nas equações (2.4); 

αc – parâmetro de redução da resistência de pico do concreto na compressão,

quando se usa o diagrama retangular simplificado, dado nas equações (2.5); 

Rcc – resultante interna de compressão no concreto;



Rst – resultante interna de tração na armadura As;



R’sd – resultante interna de compressão na armadura A’s;



Md  – momento externo solicitante de cálculo (até agora dado por MSd).

Figura 2.9 – Seção retangular submetida à flexão simples

2.18

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 ___________________________________________________________________________

 A armadura tracionada As  é racionalmente dimensionada na flexão simples quando trabalha com a máxima tensão possível

sd = f yd,

ou seja, apenas nos domí-

nios 2 e 3, onde a profundidade relativa da linha neutra ( ξ = x/d) é menor ou igual à profundidade relativa limite do domínio 3 ( ξ 3L). Atendendo essa premissa básica do dimensionamento à flexão, a resultante de tração Rst deve ser obtida pelo produto da área As (incógnita) pela tensão σs = f yd, conforme mostrado na figura 2.9. Como a seção é retangular e considerando concretos do grupo I, a tensão do concreto no diagrama retangular deve ser f c = αc f cd = 0,85 f cd, conforme figura 2.9.  Ainda de acordo com essa figura pode-se escrever duas equações de equilíbrio: 

o somatório de momentos é nulo em relação a um ponto qualquer, por exemplo, o ponto de aplicação de As (equação 2.12)



o somatório de forças na direção horizontal é nulo (equação 2.13).    

M d  R cc  d 

Nd

Onde:



0



Rcc = f cby;

R cc



y 



'   R'sd d  d 2 



(2.12)

(2.13)

R'sd - R st

R’sd = A’sσ’sd;

Rst = Asf yd;

(d-y/2) = z.

Na equação (2.12) os três termos representam momentos, o primeiro o momento fletor externo solicitante de cálculo e os dois da direita, momentos fletores internos resistentes de cálculo devidos à resultante de compressão do concreto e à resultante de compressão na armadura A’s, respectivamente. Ao dividir os termos dessa equação de equilíbrio por um outro que tenha a mesma dimensão de um momento, por exemplo, (f c b d 2), obtém-se uma nova equação de equilíbrio em termos adimensionais, que depois das simplificações é dada por:

K   K'

A' s σ'sd f c bd

  d'  1     d  

(2.14)

Onde: 2.19

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 ___________________________________________________________________________ K 

Md 

f c bd

 

2

(2.15)

é o parâmetro adimensional que mede a intensidade do momento fletor externo solicitante de cálculo;    

f cby d  K' 

y 



2 

f cbd 2



y   y     α  1    α 1   d   2d    2 

(2.16)

é o parâmetro adimensional que mede a intensidade do momento fletor interno resistente de cálculo, devido ao concreto comprimido. O terceiro termo de (2.14) é também adimensional e mede a intensidade do momento fletor interno resistente de cálculo, devido à armadura A’s comprimida. Na equação (2.16),

é o valor da profundidade relativa da linha neutra refe-

rente ao diagrama retangular simplificado de tensões no concreto, dada por: y 

d

X 

d



λ 

 

(2.17)

 A equação (2.16) representa uma equação do segundo grau em , portanto, conforme (2.17) em função da incógnita X (profundidade da linha neutra), que depois de resolvida fornece entre as duas raízes do problema, o seguinte valor possível:



1



1



(2.18)

2K'

 A raiz com o sinal positivo foi descartada uma vez que o seu valor máximo ou limite, para qualquer classe de concreto, é igual a αmax = λ max (x/d)L,max = λ max ξ L,max

= 0,8 x 0,45 = 0,36 < 1.

2.20

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 ___________________________________________________________________________

Da equação (2.14), multiplicando-se e dividindo-se o último termo simultaneamente por f yd, obtém-se a expressão para o cálculo da armadura comprimida A’s:      f c bd  K   K'   φ A's    f yd  d'      1   d    

(2.19)

onde φ representa o nível de tensão na armadura comprimida, que é sempre menor ou igual a 1, dada por:

φ

' σ sd

f yd

(2.20)

1

 A partir da equação de equilíbrio (2.13) determina-se a ar madura de tração As dada por:

As



f c by f yd



A's σ'sd

(2.21)

f yd

Multiplicando-se e dividindo-se simultaneamente o segundo termo de (2.21) por

d e substituindo a relação ( ’sd / f yd) do terceiro termo pela equação (2.20), obtém-se:

As 

f c bd  y 

   A's φ

(2.22)

f yd  d 

Substituindo-se as equações (2.17), (2.18) e (2.19) na equação (2.22) obtémse:

As = As1 + As2 

(2.23)

com 2.21

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 ___________________________________________________________________________ f c bd

f c bd

1

A s1



A s2

     f c bd  K   K'      A's φ    f yd  d'      1   d    

f yd

α



f yd



1 2K' 

 

(2.24)

(2.25)

Normalmente calcula-se a armadura As. Caso a parcela As2 seja diferente de zero, calcula-se a armadura comprimida A’s, segundo (2.25), dada por:

A's

A s2 

 

(2.26)

φ

2.4.1 – Seções com armaduras simples e dupla  A armadura de compressão A’s nem sempre é necessária para equilibrar o momento externo solicitante Md (representado adimensionalmente por K), que nesse caso será equilibrado internamente apenas pelo momento devido ao concreto comprimido (representado adimensionalmente por K’). A única possibilidade matemática de se ter armadura A’s nula e consequentemente também As2, é fazer em (2.19) ou em (2.25), K’ = K. Essa igualdade tem uma explicação física coerente com a situação de

armadura simples (sem armadura de compressão). Quando o momento externo Md (K), for equilibrado apenas pelo momento interno devido ao concreto comprimido ( K’), tem-se fisicamente K = K’, não sendo necessária, portanto, armadura de compressão A’s.

Conforme visto anteriormente na equação (2.9), a máxima profundidade relativa da linha neutra para se ter seção subarmada e/ou normalmente armada é a correspondente ao limite do domínio 3. Com essa profundidade limite obtém-se o máximo momento interno resistente devido ao concreto K’L (sem necessidade de A’s), que deve ser equilibrado pelo momento externo limite KL. Para essa situação limite, a partir da equação (2.16), obtém-se: 2.22

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 ___________________________________________________________________________

  α    K 'L  α L  1 - L      2  

(2.27)

 y   X  α L     λ    λξ 3L    d  L   d   L

(2.28)

O valor de αL em (2.28) é função de

3L que depende do tipo de aço empregado.

K L

com

Segundo a NBR 6118:2014, item 14.6.4.3, os valores limites L=0,35

L

= 0,45 (grupo I) ou

(grupo II) para proporcionar o adequado comportamento dútil , “ podem ser

alterados se forem utilizados detalhes especiais de armaduras, como por exemplo, os que produzem confinamento nessas regiões ” . Esse confinamento da região compri-

mida da seção transversal pode ser obtido com os próprios estribos (armadura transversal de combate ao cisalhamento) ou adicionalmente com estribos menores e menos espaçados confinando apenas a área comprimida da seção transversal, Delalibera (2002). Os valores alterados de αL e KL, sem o adequado comportamento dútil, para os três tipos de aços usados estão listados na tabela 2.2.

Tabela 2.2 – Valores de KL SEM o adequado comportamento dútil (X/d)L = (X/d)3L =

CLASSE

λ 

Até C50

3L

KL CA 25

CA 50

CA 60

0,8000

0,427

0,376

0,358

C55

0,7875

0,417

0,362

0,342

C60

0,7750

0,408

0,349

0,330

C65

0,7625

0,400

0,340

0,320

C70

0,7500

0,394

0,333

0,313

C75

0,7375

0,389

0,327

0,307

C80

0,7250

0,384

0,322

0,302

C85

0,7125

0,380

0,318

0,298

C90

0,7000

0,375

0,314

0,294

2.23

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs)

Flexão Normal Simples

 ___________________________________________________________________________

Tabela 2.3 – Valores de KL COM o adequado comportamento dútil CLASSE

λ 

Até C50

0,8000

C55

ξL=

(X/d)L

αL= λ (X/d)L

KL= αL(1- αL /2)

0,45

0,360

0,295

0,7875

0,35

0,276

0,238

C60

0,7750

0,35

0,271

0,234

C65

0,7625

0,35

0,267

0,231

C70

0,7500

0,35

0,263

0,228

C75

0,7375

0,35

0,258

0,225

C80

0,7250

0,35

0,254

0,222

C85

0,7125

0,35

0,249

0,218

C90

0,7000

0,35

0,245

0,215

Na tabela 2.3 estão listados os valores de αL e KL, com o adequado comportamento dútil, que dependem apenas do valor da resistência f ck do concreto. Esses

serão os valores considerados nessa apostila .  A seção normalmente armada (X = X3L) descrita anteriormente (item 2.3), resiste ao máximo momento aplicado sem a necessidade de armadura de compressão (armadura simples), quando não se preocupa com o adequado comportamento dútil da viga. Essa situação correspondente aos valores da tabela 2.2, não é mais possível quando se deseja esse comportamento, onde a necessidade de armadura de compressão acontece para momentos aplicados menores, conforme os valores menores de KL apresentados na tabela 2.3.  A partir da equação (2.15) e considerando-se os valores limites da tabela 2.3, obtém-se: M dL



K L f c bd

2

 

(2.29)

ou

2.24

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Flexão Normal Simples

 ___________________________________________________________________________

dL

Md 

(2.30)

K L f c b

onde: 

MdL

- é o máximo momento fletor de cálculo resistido com armadura simples



dL

- é a altura útil mínima necessária para resistir ao Md com armadura

simples Caso o momento de cálculo solicitante seja maior que MdL ou ainda que a altura útil seja menor que dL, o que significa em ambos os casos K > KL, torna-se necessário adicionalmente para o equilíbrio, a armadura de compressão A’s. Essa situação, com a utilização simultânea de armaduras As e A’s, caracteriza seções dimensionadas à flexão simples com armadura dupla. Conforme já citado a superarmação deve sempre ser evitada, principalmente por ser antieconômico. Na situação de armadura dupla para os valores da tabela 2.3, caso se pretenda absorver um momento solicitante superior ao MdL apenas com armadura de tração, isso não significa necessariamente peças superarmadas (domínio 4). Já com os valores da tabela 2.2, caso a mesma situação ocorra e seja possível o equilíbrio apenas com armadura simples (só As), essa seção será obrigatoriamente superarmada, uma vez que os limites da tabela 2.2 referem-se ao final do domínio 3. Na situação de armadura dupla K > KL (Md > MdL), o momento total solicitante

Md (adimensionalmente K) é dividido em dois, o primeiro igual ao máximo momento sem necessidade de armadura de compressão,  MdL = Md1 (adimensionalmente KL) e o segundo igual a diferença MdL – M d1 = Md2 (adimensionalmente K - KL). Na prática basta fazer nas equações ( 2.19), (2.24) e (2.25), de dimensionamento à flexão em seções retangulares, K’ = KL. Essa igualdade significa fisicamente que o momento interno resistente referente ao concreto comprimido K’ é igual ao máximo momento fletor externo de cálculo sem necessidade de armadura de compressão, KL.

2.25

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Flexão Normal Simples

 ___________________________________________________________________________

 A parcela ( Md1 = MdL) do momento total será resistida pelo binário interno formado pelas resultantes de compressão do concreto ( Rcc,max = f cbyL) e de tração do aço (Rst1 = As1f yd). Na expressão de Rcc,max acima, yL = λ XL, com λ e XL dependentes do valor de f ck. A segunda parcela do momento total, Md2, será absorvida pelo binário interno formado pelas resultantes da segunda parcela da armadura tracionada ( Rst2 =

As2f yd) e da armadura comprimida ( R’sd = A’sσ’sd) (ver figura 2.10).

Figura 2.10 – Seção retangular com armadura dupla 2.4.2 – Nível de tensão φ na armadura comprimida A’ s No cálculo da armadura comprimida A’s aparece o nível de tensão φ, equação (2.20), que normalmente vale 1, ou seja ’sd = f yd. A tensão na armadura comprimida ’sd é função da deformação ’sd, que por sua vez depende da profundidade relativa

da linha neutra  = (x/d). Na situação de armadura dupla (onde A’s  0) essa profundidade relativa é constante e igual ao valor

L =

0,45 (ou

L =

0,35), dados na tabela

2.3, ambos valores situados no domínio 3, onde εc,max = εcu (figura 2.10).  A deformação ’s pode ser calculada a partir da equação (2.32) abaixo, obtida por semelhança de triângulos na figura 2.10: ε's XL

 d'



ε cu

(2.31)

XL

2.26

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Flexão Normal Simples

 ___________________________________________________________________________

ε's



XL

 d'

XL

ε cu

d'  X    ( ) d   d   L  ε cu  X      d   L

(2.32)

Caso ’s seja menor que o valor da deformação de cálculo correspondente ao escoamento

yd,

a tensão ’sd é obtida pela aplicação da Lei de Hooke, ( ’sd = Es. ’s),

o que implica em valor de φ menor que 1. Caso contrário ’sd = f yd, o que implica em φ = 1. Fazendo-se na equação (2.32) ’s

yd

obtém-se a equação (2.33) a seguir,

que expressa a relação ( d’/d), abaixo da qual se tem φ = 1: ε yd    d'   X           1    d     d   lim   ε cu  

(2.33)

O aço CA-25 é pouco usado no Brasil, o CA-60 é normalmente usado para flexão em lajes, onde não se usa armadura dupla, restando pois, o aço CA-50, que é o mais utilizado para flexão em vigas. Os valores das relações (d’/d) e (d/d’)  que atendem à condição φ = 1 estão indicados na tabela 2.4, para os três tipos de aço.

Tabela 2.4 – Valores das relações (d’/d) e (d /d’) para se ter φ = 1 CLASSE

εcu ‰

CA 25

CA 50

CA 60

εyd = 1,035 ‰

εyd = 2,070 ‰

εyd = 2,484 ‰

(d’/d)≤

(d/d’)≥

(d’/d)≤

(d/d’)≥

(d’/d)≤

(d/d’)≥

Até C50

3,500

0,317

3,155

0,184

5,439

0,131

7,655

C55

3,125

0,234

4,272

0,118

8,460

0,072

13,929

C60

2,884

0,224

4,456

0,099

10,123

0,049

20,600

C65

2,737

0,218

4,595

0,085

11,724

0,032

30,909

C70

2,656

0,214

4,681

0,077

12,950

0,023

44,120

C75

2,618

0,212

4,725

0,073

13,650

0,018

55,820

C80

2,604

0,211

4,742

0,072

13,933

0,016

62,000

C85

2,600

0,211

4,747

0,071

14,016

0,016

64,039

C90

2,600

0,211

4,747

0,071

14,016

0,016

64,039

2.27

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Flexão Normal Simples

 ___________________________________________________________________________

Os valores da tabela 2.4 para concretos com f ck ≤ 50 MPa são atendidos para as vigas usuais de concreto armado, ou seja, geralmente o nível de tensão na armadura comprimida é igual a 1. No entanto, à medida que a resistência do concreto aumenta esses valores (d’/d) diminuem, ou (d/d’) aumentam, para valores não praticados usualmente nas vigas de concreto, o que significa valores de φ = ’sd / f yd < 1. Nesses casos o valor de φ é dado por:   X   d'         d         d     L  ε cu E s   1 φ    X    f yd    d       L 

(2.34a)

Particularizando os valores da tabela 2.4 e a equação (2.34a) para concretos com f ck ≤ 50 MPa e aço CA 50, obtém-se: φ



1

  X  d'   d   d      L  1 φ  1,6905    X          d   L 

para (d’/d) ≤ 0,184 ou (d/d’) ≥ 5,439

(2.34b)

no caso contrário.

(2.34c)

 A tabela 2.5 abaixo foi construída agrupando-se os parâmetros usuais do concreto para o cálculo à flexão.

2.28

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Flexão Normal Simples

 ___________________________________________________________________________

Tabela 2.5 – Parâmetros do concreto para cálculo à flexão Parâmetros usuais do concreto f ck (MPa)

(X/d)L

εc2 (‰)

εcu (‰)

λ 

αc

≤ 50

0,45

2,000

3,500

0,8000

0,85000

55

0,35

2,199

3,125

0,7875

0,82875

60

0,35

2,288

2,884

0,7750

0,80750

65

0,35

2,357

2,737

0,7625

0,78625

70

0,35

2,416

2,656

0,7500

0,76500

75

0,35

2,468

2,618

0,7375

0,74375

80

0,35

2,516

2,604

0,7250

0,72250

85

0,35

2,529

2,600

0,7125

0,70125

90

0,35

2,600

2,600

0,7000

0,68000

Todo o dimensionamento de seções retangulares submetidas à f lexão simples encontra-se de forma resumida na próxima página.

2.29

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Flexão Normal Simples

 ___________________________________________________________________________

2.30

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Flexão Normal Simples

 ___________________________________________________________________________

2.5 – Seção T ou L submetidas à flexão simples  As vigas de concreto armado são normalmente construídas solidárias (monoliticidade do concreto armado) com as lajes que nelas apoiam. Ao trabalharem juntas, as deformações e consequentemente as tensões nos pontos em comum das vigas e lajes são as mesmas. Se essas tensões são de compressão as lajes colaboram na resistência interna à compressão, aumentando a área comprimida e consequentemente o desempenho final da viga. Conforme ilustrado na figura 2.11, se a contribuição da laje ocorre simultaneamente nos dois lados da viga (nervura), tem-se uma viga de seção T. Quando essa contribuição ocorre apenas em um dos lados, tem-se uma viga de seção L.

Figura 2.11 – Aspectos geométricos das vigas de seção T ou L  As vigas de concreto armado com seção geométrica em T ou L são compostas de uma nervura ou alma (de largura bw) e uma mesa (de largura bf ), conforme ilustrado nas figuras 2.11 e 2.12. As mesmas só podem ser consideradas como tal se a

mesa estiver comprimida, caso contrário, se comportarão como seção retangular de largura b = bw. 2.31

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Flexão Normal Simples

 ___________________________________________________________________________

Por outro lado, caso a profundidade da linha neutra, considerando-se o diagrama retangular simplificado, seja menor ou igual à altura da mesa ( y  hf ), a seção será tratada como retangular, de largura b = bw = bf , porque não importa a geometria da seção abaixo da LN, uma vez que o concreto não trabalha à tração.

Figura 2.12 – Seção T submetida à flexão simples Também no caso da seção em T ou L é válida e vantajosa a substituição do diagrama parábola-retângulo pelo retangular simplificado. Para seções subarmadas atendendo aos limites da NBR 6118:2014, (X/d)L = 0,45 ou (X/d)L = 0,35, tem-se ( ≤

s≤

10‰) o que implica em (

yd

s = f yd).

Conforme a figura 2.12 podem ser montadas as equações de equilíbrio (2.35) e (2.36) abaixo, referentes respectivamente, ao somatório de momentos em relação ao ponto de aplicação da armadura As e ao somatório de forças horizontais. Nessa figura Rcc1 = f c bw y e Rcc2 = f c (bf - bw) hf representam respectivamente, as resultantes de compressão do concreto na região da nervura (hachura mais intensa) e nas abas da mesa (hachura menos intensa). Os braços de alavanca dessas resultantes são respectivamente Z1 = d - (y/2) e Z2 = d - (h /2) f  .    

M d  f c b w y d 

  h     f c b f   b w  h f   d  f    A's σ'sd d  d' 2  2    

y 

2.32

(2.35)

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 ___________________________________________________________________________ Nd



f c b w y  f c b f 



b w  h f 



A's σ'sd  A s f yd



0

(2.36)

Dividindo-se todos os termos da equação (2.35), conforme procedimento análogo ao da seção retangular, por um termo com a dimensão de momento (f c bw d2) e lembrando-se que

= y/d e φ = ( ’sd /f yd), obtém-se:

  h   h   A's φf yd   d'    α    b  α 1     f   1  f   1  f    1   2 2 b d 2d f  b d       d     f c b w d c w   w     Md

(2.37)

Passando-se o terceiro termo para o lado esquerdo da igualdade na equação (2.37) e fazendo-se K  

Md f c b w d

   

K'  α 1 

2

  b   h   h     f   1  f   1  f    b w   d   2d 

α 

(2.38)

(2.39)



2 

obtém-se a mesma equação (2.14) deduzida para seção retangular. O valor de K em (2.38) foi obtido diminuindo-se do momento total solicitante de cálculo Md o momento interno resistido apenas pelas laterais (abas) da mesa comprimida, terceira parcela de (2.38), o que transforma o problema da viga T em uma flexão de seção retangular de largura bw. Levando-se (2.38) e (2.39) em (2.37) obtém-se:      f c b w d  K   K'    φ A's    f yd  d'      1   d    

2.33

(2.40)

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 ___________________________________________________________________________

Os critérios para limitação do valor de K são os mesmos da seção retangular, portanto:

K  KL

K’ = K

K > KL

K’ = KL

Da equação (2.36) obtém-se As, que multiplicada e dividida por d resulta:

As 

O valor de

  b f    h f   f c b w d      φA's   α 1  b f yd    w   d 

(2.41)

pode ser obtido de (2.39) resultando como na seção retangular a

equação (2.18), que levada em (2.41) fica: As



A s1

A s1 

A s2



(2.42)

A2

  b f    h  f c b w d   1 f   1  1  2K'   f yd   b w   d 

      f c b w d  K   K'      f yd  d'      1   d    

(2.43)

(2.44)

Da mesma forma que na seção retangular A's



A s2



(2.45)

φ

Fazendo-se bf  = bw = b nas equações (2.42) a (2.45) elas se transformam nas equações (2.23) a (2.26) para a seção retangular, como era de se esperar.  Analisando-se a equação (2.38) nota-se que quando K = 0, o momento externo de cálculo Md é igual ao momento interno resistido apenas pelas abas comprimidas 2.34

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 ___________________________________________________________________________

da mesa. Como nesse caso o trecho da mesa de largura bw ainda está comprimido, a profundidade da linha neutra, para se ter o equilíbrio, será menor que hf . Isso significa que mesmo para pequenos valores de K positivos, a linha neutra cortará a mesa e o dimensionamento se fará como seção retangular de largura bf . O valor positivo de K abaixo do qual a mesa estará parcialmente comprimida é encontrado fazendo-se em (2.39) K = K’, uma vez que para pequenos valores de K a armadura comprimida é igual a zero. Como K’ = (1-  /2) e nesse caso y0 = hf , temse:

K 0

  α    K'  α 0  1  0   2    

h f  d

  h f    1   2d    

(2.46)

Para valores de K  K0 o dimensionamento deve ser feito como seção retangular bf h. Embora esse seja o procedimento correto, sabe-se que usando-se o limite K 0 do Prof. Tepedino (1980), a armadura calculada como seção T, com 0  K  K 0, dá praticamente a mesma que como seção retangular bf h, nesse mesmo intervalo. A diferença entre essas duas armaduras é normalmente menor que a verificada quando se escolhe o número de bitolas comerciais para atender à armadura efetivamente calculada. Portanto, por simplicidade, para efeito dessa apostila o limite K

0 será o

utilizado para se ter a mesa parcialmente comprimida, ou seja, dimensionamento como se fosse uma seção retangular bf h. Normalmente a largura colaborante da mesa bf (determinada no item seguinte) conduz a valores de momentos internos resistentes, que dificilmente precisam de uma profundidade da linha neutra superior à hf . Para saber se a mesa está parcial ou integralmente comprimida basta determinar o máximo momento interno de cálculo resistido pela mesa inteiramente comprimida, denominado momento de referência MdRef , dado por:

M dRef 

  h    f c b f  h f   d  f   2     2.35

(2.47)

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 ___________________________________________________________________________

Md  MdRef 

y  hf 

seção retangular (bf h)

Md > MdRef 

y > hf 

seção T ou L

Na maioria das vezes Md ≤ MdRef  o que transforma o dimensionamento da viga

T ou L em uma viga de seção retangular bf h. A comparação entre os dois momentos, Md e MdRef , é o procedimento mais praticado no dimensionamento. 2.5.1 – Determinação da largura colaborante da mesa ( bf  ) Quando uma viga submetida à flexão deforma, ela traz consigo a laje que nela apoia. Se a laje estiver comprimida, o dimensionamento pode ser feito levando-se em conta a contribuição dessa mesa comprimida na absorção do momento fletor atuante.  Adotando-se o diagrama retangular simplificado da NBR-6118:2014, a tensão na mesa comprimida, no trecho comum com a nervura ( bw), deve ser igual a f c = αc f cd.

Figura 2.13 – Distribuição de tensões na mesa da seção T 2.36

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 ___________________________________________________________________________

 Afastando-se desse trecho nos dois sentidos laterais da mesa, conforme mostrado na figura 2.13, a tensão de compressão deve diminuir até zero, para pontos na laje bem distantes da nervura. Essa distribuição de tensões na mesa pode ser obtida pela teoria da elasticidade, mas pela NBR-6118:2014 ela é substituída por uma distribuição uniforme simplificada, com tensão igual a f c, e com uma largura total colaborante igual a bf , de tal forma que as resultantes de compressão em ambas as distribuições sejam estaticamente equivalentes. Segundo a NBR-6118:2014, no item 14.6.2.2, “a largura colaborante b f   deve ser dada pela largura bw  acrescida de no máximo 10%  da distância ( a ) entre pontos de momento fletor nulo, para cada lado da viga em que houver laje colaborante.

 A distância a pode ser estimada, em função do comprimento

do tramo consi-

derado, como se apresenta a seguir: 

viga simplesmente apoiada

a = 1,00 ,



tramo com momento em uma só extremidade

a = 0,75 ;



tramo com momentos nas duas extremidades

a = 0,60 ;



tramo em balanço

a = 2,00 .

 Alternativamente, o cômputo da distância a pode ser feito ou verificado mediante exame dos diagramas de momentos fletores na estrutura ”.

Na figura 2.14 apresenta-se um corte genérico de uma fôrma mostrando as seções transversais de duas vigas T, a viga 1 com mísulas e a segunda normal. A largura efetiva da nervura ba, da viga com mísulas, é a soma da largura bw com os menores catetos dos triângulos formados pelas duas mísulas ( ba = bw + a + c). Nessa figura b1 é a parcela da largura colaborante a ser considerada na lateral da viga T do lado em que a laje tem continuidade, e b3 é a usada do lado sem continuidade, ou seja, laje em balanço. O valor limite para b1 é a metade da largura livre entre as faces das duas vigas, dado por b2. Para b3 esse limite é o valor disponível b4, da laje em balanço. Naturalmente na viga com seção L os valores b3 = b4 = 0. 2.37

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 ___________________________________________________________________________

Figura 2.14 – Determinação da largura bf  em vigas de seção T b1  0,5 b2

b1  0,1 a (2.48)

b3  b4

b3  0,1 a

Todo o dimensionamento de vigas com seções T ou L, submetidas à flexão simples, encontra-se de forma resumida na próxima página.

2.38

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 ___________________________________________________________________________

2.39

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Flexão Normal Simples

 ___________________________________________________________________________

2.6 – Prescrições da NBR 6118:2014 referente às vigas 2.6.1 – Armadura longitudinal mínima de tração De acordo o item 17.3.5.2 da NBR-6118:2014, a armadura mínima de tração, em elementos estruturais armados ou protendidos, deve ser determinada pelo dimensionamento da seção para um momento fletor mínimo dado pela expressão a seguir, respeitada a taxa geométrica mínima absoluta de 0,15 %.  bh 2    Md,min = 0,8 W0 f ctk,sup = 0,8f ctk,su p  6    

(2.49)

onde: 

W0 é o módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto, relativo à fibra mais tracionada;



f ctk,sup é a resistência característica superior do concreto à tração, equação (1.13b), item 8.2.5 da NBR-6118:2014.

De acordo equações (1.13b) obtém-se:

f ctk,sup = 1,3 f ct,m = 0,39 (f ck)2/3

(MPa)

f ck ≤ 50 MPa (2.50)

f ctk,sup = 1,3 f ct,m = 2,756 ln(1 + 0,11f ck)

(MPa)

f ck > 50 MPa

 Alternativamente segundo a NBR 6118:2014 a armadura mínima pode ser considerada atendida se forem respeitadas as taxas mínimas de armadura da tabela 2.6 abaixo. Essa tabela da norma foi construída para uma situação particular, considerando seção retangular, aço CA 50, relação (d/h) = 0,8, γc = 1,4 e γs = 1,15. Para valores diferentes, as taxas mínimas serão calculadas conforme mostrado abaixo (ver também cálculo de As,min para seção T, item 2.7.3, exemplo2).

2.40

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 ___________________________________________________________________________

O dimensionamento para o momento Md,min dado em (2.49) deve conduzir a um valor Kmin = (Md,min / f cbd2) < KL, portanto seção com armadura simples que nesse caso será: As = As,min. O valor de Kmin para seção retangular conforme tabela 2.6 é dado por:

K min 

M d,min f cbd

2

 bh 2    0,8f ctk,sup   6    0,8γ   f          c  ctk,sup   2 2  6α d/h 2  f ck   α c f cdbd/h  h     c   

(2.51)

Tabela 2.6 – Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas (Tab. 17.3 NBR 6118:2014) Valores de ρmin a = (As,min /Ac)

f ck

20

seção

25

30

35

40

45

50

Retangular 0,150 0,150 0,150 0,164 0,179 0,194 0,208 f ck

55

seção

60

65

70

75

80

85

90

Retangular 0,211 0,219 0,226 0,233 0,239 0,245 0,251 0,256 a

Os valores de ρmin estabelecidos nessa tabela pressupõem o uso de

aço CA 50, (d/h) = 0,8, γc = 1,4 e γ

s

=

1,15, seção retangular . Caso es-

ses fatores sejam diferentes, ρmin deve ser recalculado.

Com os valores de f ctk,sup, equações (2.50), γc = 1,4, αc = 0,85 para f ck ≤ 50 MPa e αc = 0,85[1 – (f ck – 50) / 200] para f ck > 50 MPa, obtém-se os seguintes valores de Kmin:

K min



γc

0,052 αc

( 1/3) 

2

d/h

f ck 

para f ck ≤ 50 MPa

 

(2.52) K min  0,367

ln1  0,11f ck  

γc 2

α c d/h

f ck 

2.41

para f ck > 50 MPa

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 ___________________________________________________________________________

Conforme equação (2.24) a armadura mínima pode ser dada por:

A s,min

α 

c f cd b

f yd

ω min 

ρ min

d/hh



1

1





2K min





α

c

d/h 1



1 2K min 

 Af cf cd

(2.53a)

yd

A s,minf yd A c f cd

A s,min Ac



 ρ min

αc

f yd f cd

d/h 1





 α c d/h 1  1  2K min

1



2K min

 f f cd



(2.53b)

(2.53c)

yd

onde ωmin e ρmin são, respectivamente, as taxas mecânica e geométrica de armadura mínima.  Assim, exemplificando para um concreto f ck = 35 MPa, do primeiro grupo da tabela 2.6, αc = 0,85, γc = 1,4, (d/h) = 0,8, tem-se:

K min  0,052

ρmin

1,4 0,850,8

2

35

1/3 

 0,0409

35/1,4  500/1,15   0,00163 



 0,85x0,8 1  1  2x0,0409

≈ 0,164%, conforme tabela 2.6.

Para um concreto do segundo grupo da tabela 2.6, por exemplo, f ck = 90 MPa, tem-se:

αc

  90  50   0,85 1    0,68 200    

K min  0,367

ln1  0,11x90

1,4 0,680,8

2

90

 0,0314

2.42

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 ___________________________________________________________________________

  90     1,4    0,002564 ≈ 0,256%, conforme tabela 2.6. ρ mi n  0,680,8 1  1  2x0,0314   500     1,15 





Caso os parâmetros sejam diferentes dos que originaram a tabela 2.6 (aço CA 50, d=0,8h, γc=1,4 e γs=1,15) as novas taxas de ρmin deverão ser recalculadas conforme as equações e os dois exemplos acima, obedecido o limite mínimo de 0,15%.  A tabela 2.7 relaciona as taxas de armaduras mínimas para seção retangular com várias relações (d/h), aço CA 50 e CA 60 (valores da tabela 2.6).

Tabela 2.7 – Taxas de armaduras mínimas para vigas com seção retangular Valores de ρmin = (As,min /Ac)

Seções retangulares, γc=1,4, γs=1,15 f ck

(d/h)=0,70

(d/h)=0,75

(d/h)=0,80

(d/h)=0,85

(d/h)=0,90

(d/h)=0,95

CA 50

CA 60

CA 50

CA 60

CA 50

CA 60

CA 50

CA 60

CA 50

CA 60

CA 50

CA 60

20

0,150

0,150

0,150

0,150

0,150

0,150

0,150

0,150

0,150

0,150

0,150

0,150

25

0,151

0,150

0,150

0,150

0,150

0,150

0,150

0,150

0,150

0,150

0,150

0,150

30

0,170

0,150

0,158

0,150

0,150

0,150

0,150

0,150

0,150

0,150

0,150

0,150

35

0,188

0,157

0,175

0,150

0,164

0,150

0,153

0,150

0,150

0,150

0,150

0,150

40

0,205

0,171

0,191

0,159

0,179

0,150

0,168

0,150

0,158

0,150

0,150

0,150

45

0,222

0,185

0,206

0,172

0,194

0,161

0,181

0,151

0,171

0,150

0,161

0,150

50

0,238

0,198

0,221

0,184

0,208

0,172

0,194

0,162

0,183

0,153

0,173

0,150

55

0,241

0,201

0,225

0,187

0,211

0,175

0,197

0,164

0,186

0,155

0,176

0,150

60

0,251

0,209

0,233

0,194

0,219

0,182

0,205

0,171

0,193

0,161

0,183

0,152

65

0,259

0,216

0,241

0,201

0,226

0,188

0,212

0,176

0,200

0,166

0,189

0,157

70

0,267

0,222

0,248

0,207

0,233

0,194

0,218

0,182

0,206

0,172

0,195

0,162

75

0,274

0,229

0,255

0,213

0,239

0,199

0,224

0,187

0,212

0,176

0,199

0,166

80

0,282

0,235

0,262

0,218

0,245

0,204

0,230

0,192

0,217

0,181

0,203

0,169

85

0,288

0,240

0,268

0,224

0,251

0,209

0,236

0,196

0,222

0,185

0,210

0,175

90

0,295

0,245

0,274

0,228

0,256

0,214

0,241

0,201

0,227

0,189

0,215

0,179

2.43

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 ___________________________________________________________________________

2.6.2 – Armadura de pele Segundo o item 17.3.5.2.3 da NBR-6118:2014, a armadura mínima lateral, ou de pele, ou armadura de costela, deve ser 0,10 % Ac,alma em cada face da alma da viga e composta por barras de aço CA 50 ou CA 60. Essas barras devem ser dispostas longitudinalmente, com espaçamento não maior que 20 cm ou d/3, segundo item 18.3.5, respeitando ainda o disposto em 17.3.3.2 (toda armadura de pele tracionada deve manter um espaçamento menor ou igual a 15 L, da bitola longitudinal). “ Em vigas com altura menor ou igual a 60 cm, pode ser dispensada a utilização de armadura de pele.  As armaduras principais de tração e de compressão não podem ser computadas no

cálculo da armadura de pele”.

2.6.3 – Armadura total na seção transversal (tração e compressão) De acordo o item 17.3.5.2.4 da NBR 6118:2014, “ A soma das armaduras de tração e de compressão (A s

+ A’   s )  deve

ser menor que 4%A c , calculada na região fora

da zona de emendas, devendo ser garantidas as condições de dutilidade requeridas em 14.6.4.3” .

2.6.4 – Distribuição transversal das armaduras longitudinais em vigas De acordo o item 18.3.2.2 da NBR 6118:2014 “O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano da seção transversal, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores:



na direção horizontal ( ah ) - 20 mm; - diâmetro da barra, do feixe ou da luva; - 1,2 vez a dimensão máxima característica do agregado graúdo;

2.44

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 ___________________________________________________________________________ 

na direção vertical ( av  ) - 20 mm - diâmetro da barra, do feixe ou da luva; - 0,5 vez a dimensão máxima característica do agregado graúdo”.

Esses valores se aplicam também nas regiões de emenda por traspasse das barras. Na figura 2.15 estão indicados os espaçamentos mínimos na direção horizontal (ah) e vertical (av). Com base nessa figura obtém-se a largura útil ( bútil) da viga dada por:

Figura 2.15 – Distribuição transversal das armaduras longitudinais bútil = bw – 2(c + t)

(2.54)

onde: 2.45

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 ___________________________________________________________________________ 

c

- é o cobrimento nominal da armadura (cobrimento mínimo acrescido da tolerância de execução)



t

- é o diâmetro da armadura transversal (estribo)

O número máximo de barras longitudinais com diâmetro

que cabem em uma

mesma camada, atendendo ao espaçamento horizontal ah especificado acima, fica:

n

/cam 

bútil  ah ah 

(2.55)



 Adota-se como valor final do número de barras por camada, o calculado em (2.55), arredondado para o número inteiro, imediatamente inferior.

2.6.5 – Armaduras de ligação mesa-nervura ou talão-alma Segundo o item 18.3.7 da NBR-6118:2014, “os planos de ligação entre mesas e almas ou talões e almas devem ser verificados com relação aos efeitos tangenciais decorrentes das variações de tensões normais ao longo do comprimento da viga, tanto sob o aspecto de resistência do concreto, quanto das armaduras necessária para resistir às trações decorrentes desses efeitos.  As armaduras de flexão da laje, existentes no plano de ligação, podem ser consideradas como parte da armadura de ligação, complementando-se a diferença entre ambas, se necessário. A seção transversal mínima dessa armadura, estendendo-se por toda a largura útil e ancorada na alma, deve ser de 1,5 cm2  por metro”.

2.6.6 – Cobrimento mínimo das armaduras O cobrimento mínimo das armaduras deve ser observado conforme o prescrito na NBR 6118:2014, no item 7.4.7.

2.46

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 ___________________________________________________________________________ “ 7.4.7.1

- Para atender aos requisitos estabelecidos nesta Norma, o cobrimento mí-

nimo da armadura é o menor valor que deve ser respeitado ao longo de todo o elemento considerado. Isto constitui um critério de aceitação.

7.4.7.2 - Para garantir o cobrimento mínimo (c min ) o projeto e a execução devem considerar o cobrimento nominal (c nom ), que é o cobrimento mínimo acrescido da tolerân-

cia de execução (Δc). Assim, as dimensões das armaduras e os espaçadores devem respeitar os cobrimentos nominais, estabelecidos na tabela 7.2 (tabela 2.8 abaixo),

 para Δc = 10 mm.

7.4.7.3 - Nas obras correntes o valor de Δc deve ser maior ou igual a 10 mm. 7.4.7.4 - Quando houver um adequado controle de qualidade e rígidos limites de tolerância da variabilidade das medidas durante a execução pode ser adotado o valor Δc = 5 mm, mas a exigência de controle rigoroso deve ser explicitada nos desenhos de  projeto. Permite-se, então, a redução dos cobrimentos nominais prescritos na tabela 7.2 em 5 mm.

7.4.7.5 - Os cobrimentos nominais e mínimos estão sempre referidos à superfície da armadura externa, em geral à face externa do estribo. O cobrimento nominal de uma determinada barra deve sempre ser: a) c nom ≥ Φ barra; b) c nom ≥ Φ feixe = Φ n = Φ (n)1/2 ; c) c nom ≥ 0,5 Φ bainha.

7.4.7.6 - A dimensão máxima característica do agregado graúdo utilizado no concreto não pode superar em 20% a espessura nominal do cobrimento, ou seja:

d máx  ≤ 1,2 c nom

Para concretos de classe de resistência superior ao mínimo exigido, os cobrimentos definidos na tabela 7.2 podem ser reduzidos em até 5 mm.”  (tabela 2.8 abaixo)

2.47

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 ___________________________________________________________________________

Tabela 2.8 - Correspondência entre classe de agressividade ambiental e cobrimento nominal para Δc = 10mm

(Tabela 7.2 NBR 6118:2014)

Classe de Agressividade Ambiental Componente Tipo de Estrutura

ou Elemento

Tabela 6.1 NBR 6118:2014 I

II

III

IVc

Cobrimento Nominal - mm

Concreto Armado

Lajeb

20

25

35

45

Viga/Pilar

25

30

40

50

40

50

Elementos es-

30

truturais em contato com o

Laje

25

30

40

50

Viga/pilar

30

35

45

55

Concreto Protendido a

a - Cobrimento nominal da bainha ou dos fios, cabos e cordoalhas. O cobrimento da armadura passiva deve respeitar os cobrimentos para o concreto armado. b - Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento tais como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos e outros tantos, as exigências desta tabela podem ser substituídas por 7.4.7.5, respeitado um cobrimento nominal ≥ 15 mm.

c  –Nas superfícies expostas a ambientes agressivos, como reservatórios, estações de tratamento de água e esgoto, condutos de esgoto, canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química e intensamente agressivos, devem ser atendidos os cobrimentos da classe de agressividade IV. d – No trecho dos pilares em contato com o solo junto aos elementos de fundação, a armadura deve ter cobrimento nominal ≥ 45 mm.

2.6.7 – Dimensões limites para vigas e vigas-parede (item 13.2- NBR 6118:2014)  A prescrição de valores limites mínimos para as dimensões de elementos estruturais “  de concreto tem como objetivo evitar um desempenho i naceitável para os elementos estruturais e propiciar condições de execução adequadas.

2.48

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 ___________________________________________________________________________

 A seção transversal das vigas não deve apresentar largura menor que 12 cm e das vigas-parede, menor que 15 cm. Estes limites podem ser reduzidos, respeitando-se um mínimo absoluto de 10 cm em casos excepcionais, sendo obrigatoriamente res peitadas as seguintes condições: a) alojamento das armaduras e suas interferências com as armaduras de outros elementos estruturais, respeitando os espaçamentos e coberturas estabelecidos nesta Norma; b) lançamento e vibração do concreto de acordo com a NBR 14931.” 

2.7 – Exemplos de aplicação Os exemplos de aplicação adiante apresentados servem para fixar os conceitos de solicitações normais e flexão simples em seções retangular e T (ou L).

2.7.1 – Exemplos de solicitações normais Traçar o diagrama de interação N xM (força normalxmomento fletor) que solicita a seção retangular 20 x40 cm2 abaixo, com f ck = 25 MPa, aço CA 50, 6 bitolas longitudinais L =12,5 mm, conforme figura 2.16. Como a resistência do concreto desse exemplo é menor que 50 MPa (grupo I) εc2 = 2‰, εcu = 3,5‰, λ  = 0,8 e αc = 0,85. Como é aço CA 50, εyd = (50/1,15) / 21 = 2,07‰. f c = 0,85x2,5 / 1,4 = 1,518 kN/cm 2

(tabela 1.11)

f yd = 50 / 1,15 = 43,48 kN/cm 2

(tabela 1.11)

 AsΦ=12,5 = πx1,252 / 4 = 1,227 cm2

(tabela 1.4)

Para traçar o diagrama de forma mais simplificada determinam-se os pontos correspondentes aos pares (N, M) para algumas posições da LN no estado limite último, ligando-os posteriormente. Os pontos escolhidos são aqueles correspondentes às posições limites da LN que definem os domínios de deformação. 1) Profundidade X = - ∞ (início do domínio 1) 2.49

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 ___________________________________________________________________________

Para (X = - ∞) a seção deformada no estado limite último (ELU) é a apresentada na figura 2.16. Essa posição é correspondente à reta “a” dos domínios de deformação, figura 2.3, onde todos os pontos da seção transversal têm a mesma deformação ε c = εs = 10‰. Portanto: εs1 = εs2 = εs3 = 10‰,

σs1 = σs2 = σs3 = f yd = 43,48 kN/cm2

 As1 = As2 = As3 = 2x1,227 = 2,454 cm 2

Rs1 = Rs2 = Rs3 = 2,454x43,48 = 106,70 kN

Figura 2.16 – Seção com ELU correspondente a X = - ∞ Os sentidos positivos dos esforços solicitantes N d e Md são os indicados na figura 2.16, normal de compressão e momento fletor tracionando os pontos da parte inferior da seção. Os esforços internos, resultantes R s1, Rs2, Rs3, conforme indicados, são todos de tração. As equações de equilíbrio ficam: ∑Fh = 0

Nd + Rs1 + Rs2 + Rs3 = 0

∑MCG = 0

Md + Rs1(h/2 – d’) + Rs2(0) - Rs3(h/2 – d’’) = 0

2.50

Nd = - 3x106,70 = - 320,10 kN Md = 0

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 ___________________________________________________________________________

Na segund a equação de equilíbrio d’’  = h - d, que nesse caso do exemplo é o mesmo valor de d’, representa a distância entre a face inferior da seção de concreto

e o centro da armadura A s3. Os valores das solicitações de serviço N e M para X = ∞ são obtidos dividindo-se os valores de cálculo N d e Md pelo coeficiente de majoração

das ações f . Assim: N = Nd / 1,4 = - 320,10 / 1,4 ≈ - 229 kN (tração)

(X = - ∞)

M = Md / 1,4 = 0 Os valores de N e M acima são os mesmos desde a posição da LN variando de (X = - ∞) até (X = X1) (ver deformações na fig. 2.16), onde a deformação da armadura As1 chega ao valor s1 = yd = 2,07‰ (aço CA 50). Quando X = X 1, embora a seção esteja inclinada, tem-se as mesmas resultantes da figura 2.16 e, portanto, o mesmo par de esforços solicitantes. Nessa figura o valor de X 1 é obtido fazendo-se semelhança de triângulos obtidos com a linha tracejada que passa pelos pontos A e onde s1 = yd (suprimiu-se o símbolo ‰ no cálculo de X1).  10 ε s1  ε yd  X1  d X1  d'

ε s3

X1



10 d'



ε s1

10



ε s1

d 



4,35 cm

(acima da seção)

Para um valor no intervalo (X 1 < X < 0), por exemplo X = - 2 cm, os valores calculados são: εs1 = 1,67‰ < εyd

εs2 = 5,79‰ > εyd

Rs1 = 86,06 kN

Rs2 = Rs3 = 106,7 kN

Nd = - 299,46 kN, N = - 214 kN (tração) Md = 330,24 kNcm, M = 236 kNcm 2) Profundidade X = 0 (final domínio 1, início do domínio 2) Para X = 0, a seção deformada no estado limite último (ELU) é a apresentada na figura 2.17. Essa posição é correspondente aos limites entre os domínios 1 e 2, figura 2.3, onde todos os pontos da seção transversal ainda estão tracionados. Nesse caso o ELU é definido pelo ponto A, deformação plástica excessiva do aço, ficando a 2.51

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Flexão Normal Simples

 ___________________________________________________________________________

armadura As3 com a deformação εs3 = εsu = 10‰. As deformações εs1 e εs2 são obtidas por semelhança de triângulos. ε s3 

d



10

36

ε s1 

d'



4

ε s2 

h/2



d'



20



4



εs1 = 1,11‰ < εyd = 2,07‰

16

εs2 = 4,44‰ > εyd = 2,07‰ σs1 = Esεs1 = 21000x1,11‰ = 21x1,11 = 23,33 kN/cm2

Rs1=2,454x23,33 = 57,26 kN

σs2 = σs3 = f yd = 43,48 kN/cm 2

Rs2 = Rs3 = 106,70 kN

Figura 2.17 – Seção com ELU correspondente a X = 0 Escrevendo-se as equações de equilíbrio: ∑Fh=0

Nd + Rs1 + Rs2 + Rs3 = 0 Nd = - 57,26 – 2x106,70 = - 270,66 kN

∑MCG=0

Md + Rs1(h/2 – d’) + Rs2(0) - Rs3(h/2 – d’’) = 0 Md = - 57,26x(20 - 4) + 106,70 x(20 - 4) = 791,04 kNcm

Dividindo-se os valores de cálculo por f = 1,4 obtém-se os valores das solicitações de serviço N e M para X = 0. N = Nd / 1,4 = -270,66 / 1,4 ≈ - 193 kN (tração) M = Md / 1,4 = 1615,52 / 1,4 ≈ 565 kNcm 2.52

(X = 0)

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 ___________________________________________________________________________

3) Profundidade X = X2L = 0,259d = 0,259x36 = 9,33 cm (final domínio 2)  A figura 2.18 ilustra essa situação em que se têm comprimidas, a região do concreto com hachuras e a armadura A s1. A seção deformada passa por dois dos pontos (A e B), que caracterizam o dimensionamento no ELU. Embora existam na mesma seção transversal alongamentos (região tracionada) e encurtamentos (região comprimida), os valores das deformações calculadas a seguir, estão desacompanhados de sinais, portanto em valores absolutos. Qualquer dúvida sobre a natureza das deformações, tensões ou resultantes pode ser tirada na figura 2.18.

Figura 2.18 – Seção com ELU correspondente a X2L = 9,33 cm y = 0,8X = 0,8 x9,33 = 7,46 cm

ε s3 

d



X



10

36 9,33 



Rcc = f cby = 1,518x20x7,46 = 226,67 kN

ε s1

X d' 9,33 4 







ε s2

(h/2)



X



20 9,33 

 Alternativamente nesse caso as deformações podem ser calculadas a partir da outra deformação prescrita, εc,max = εcu = 3,5‰. ε cu 

3,5

X  9,33



ε s1

X  d'  9,33  4

εs1 = 2‰ < εyd = 2,07‰



ε s2

(h/2)  X  20  9,33 σs1 = Esεs1=21000 x2‰ = 21x2 = 42 kN/cm2 (compressão) 2.53

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 ___________________________________________________________________________

σs2 = σs3 = f yd = 43,48 kN/cm2 (tração)

εs2 = 4‰ > εyd = 2,07‰

Rs1 = 2,454x42 = 103,07 kN (C), ∑Fh = 0

Rs2 = Rs3 = 106,70 kN (T)

Nd - Rcc - Rs1 + Rs2 + Rs3 = 0

Nd = 266,67 + 103,07  – 2x106,70 = 156,34 kN ∑MCG=0

N ≈ 112 kN (Compressão)

Md – Rcc(h/2 - y/2) - Rs1(h/2 – d’) + Rs2(0) - Rs3(h/2 – d’’) = 0

Md = 266,67(20 - 7,46/2) + 103,07(20 - 4) + 106,70(20 - 4) = 7695,20 kNcm M ≈ 5497 kNcm

4) Profundidade X = X3L = 0,628d = 0,628x36 = 22,62 cm (final domínio 3)

Figura 2.19 – Seção com ELU correspondente a X3L = 22,62 cm  A figura 2.19 ilustra essa situação, em que se têm além da região comprimida do concreto (parte com hachuras da seção transversal), as armaduras A s1 e As2. y = 0,8X = 0,8 x22,62 = 18,10 cm

ε cu

X





3,5

22,62



ε s1

X d' 22,62 4 







Rcc = f cby = 1,518x20x18,09 = 549,33 kN

ε s2

X (h/2) 



22,62 20

2.54



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 ___________________________________________________________________________

 Alternativamente nessa situação as deformações poderiam ser calculadas a partir da outra deformação prescrita, εs3 = εyd = 2,07‰. εs1 = 2,88‰ > εyd = 2,07‰

σs1= f yd = 43,48 kN/cm2 (Compressão)

εs2 = 0,41‰  εyd = 2,07‰

σs1= f yd = 43,48 kN/cm2 

εs2 = 1,56‰ < εyd = 2,07‰

σs2 = 21x1,75 = 36,75 kN/cm 2  (compressão)

εs3 = 0,35‰ < εyd = 2,07‰

σs3 = 21x0,35 = 7,35 kN/cm 2 

2.56

(compressão) (compressão)

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 ___________________________________________________________________________

Figura 2.21 – Seção com ELU correspondente a X 4aL = 40 cm Rs1=106,70 kN (C), Rs2=2x1,227x36,75=90,18 kN (C), Rs3=2x1,227x7,35=18,04 kN ∑Fh=0

Nd - Rcc - Rs1 - Rs2 - Rs3 = 0 Nd = 971,43 + 106,70 + 90,18 + 18,04 = 1186,35 kN

∑MCG=0

N ≈ 847 kN (C)

Md – Rcc(h/2-y/2) - Rs1(h/2 – d’) + Rs2(0) + Rs3(h/2 – d’’) = 0 Md = 971,43(20-32/2)+106,70(20-4) –18,04(20-4) = 5881,56 kNcm M ≈ 4201 kNcm

7) Profundidade X = X5L = ∞ (final domínio 5)  A seção está uniformemente comprimida, com a mesma deformação tanto para o concreto quanto para o aço, εc = εs = 2 ‰, conforme figura 2.22, correspondendo à reta “b” dos domínios de deformações (figura 2.3).

y>h

Rcc = f cby = f c Ac = 1,518x20x40 = 1214,29 kN

εs1 = εs2 = εs3 = 2‰ < εyd,

σs1 = σs2 = σs3 = 21x2 = 42 kN/cm 2

2.57

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 ___________________________________________________________________________

Figura 2.22 – Seção com ELU correspondente a X 5L = + ∞ Rs1 = Rs2 = Rs3 = 2x1,227x42 = 103,07 kN (C) ∑Fh=0

Nd - Rcc - Rs1 - Rs2 - Rs3 = 0 Nd = 1214,29 + 3x103,07 = 1523,49 kN

∑MCG=0

N ≈ 1088 kN (C)

Md – Rcc(0) - Rs1(h/2 – d’) + Rs2(0) + Rs3(h/2 – d’’) = 0 Md = 103,07(20 - 4) – 103,07(20 - 4) = 0 M=0

Com os pares (N, M) calculados nos itens 1 a 7 traça-se o diagrama de interação mostrado na figura 2.23 em linha mais grossa. Foram traçados, de forma análoga com linha fina, os outros diagramas para a mesma seção transversal de concreto com 6 16 mm, 6  10 mm e sem armação (A s = 0). Nota-se que os quatros diagramas de interação são semelhantes, sendo que o diagrama para a seção sem armadura só apresenta trecho comprimido. Os domínios de deformação 1 a 5 só foram marcados, nessa figura, para a seção com 6   12.5 mm. Olhando os gráficos da figura 2.23 nota-se que para um mesmo valor de força normal N só existe um único valor correspondente de momento M, que a seção suporta no estado limite último. Já para um mesmo valor de M existem dois valores de 2.58

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 ___________________________________________________________________________

N que podem solicitar a seção no ELU. Assim, fixando-se N = 750 kN (compressão), para a seção com 6    12.5 mm, existe apenas o valor M ≈ 4760 kNcm, obtido na escala. Fixando-se para essa mesma seção M = 4000 kNcm, existem dois valores possíveis de força normal que a seção suporta, N ≈  1 9 kN e N ≈ 859 kN, ambos de compressão e obtidos na escala.

Figura 2.23 – Diagramas de interação (N, M) Para uma força normal N = 750 kN (C) os valores de momentos no ELU para seções sem armadura, com 6   10 mm e com 6   16 mm são respectivamente, M ≈ 1885 kNcm, M ≈ 4000 kNcm e M ≈ 5675 kNcm (valores obtidos na escala). Na figura 2.23 estão traçados quatro diagramas de interação de forma simplificada para a mesma seção transversal, um sem armadura e três com seis barras de bitolas variadas localizadas nas mesmas posições, formando um ábaco. O comum é que esses ábacos sejam construídos para uma seção retangular (b xh) genérica com relação (d’/h) prefixada, para um determinado tipo de aço e para uma quantidade e

distribuição das barras preestabelecidas. 2.59

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 ___________________________________________________________________________

Nesse exemplo essa relação é igual a (d’/h) = (4/40) = 0,10, o aço é CA 50, e as seis barras dão as seguintes taxas mecânicas de armação, [  = (As f yd / Ac f cd)]: 

=

0

para a seção sem armadura;



 =

[4,71x43,5 / 800x(2,5/1,4)]



 =

[7,362x43,5 / 800x(2,5/1,4)] = 0,224

para 6 12,5 mm;



 =

[12,066x43,5 / 800x(2,5/1,4)] = 0,367

para 6 16 mm.

= 0,143

para 610 mm;

Nos ábacos usualmente publicados a taxa  varia de zero, com intervalos ∆ = 0,10, até a taxa máxima, ρmax = (As/Ac)max = 4%, permitida pela NBR 6118:2014 (item 17.3.5.2.4). Nesses ábacos entra-se com os valores de M e N e encontra-se um ponto, que por interpolação fornecerá taxa . Com essa taxa encontra-se a armadura A s = [ (Ac f cd) / f yd] que resistirá ao par (N, M) solicitante. Com o valor de A s escolhe-se a bitola que satisfaça o mesmo número de barras e o detalhamento da seção transversal que originou o ábaco.

2.7.2 – Exemplos de flexão normal simples com seção retangular Calcular as armaduras de flexão para a viga da figura 2.24 abaixo solicitada por alguns valores de momento fletor M. Para f ck  = 20 MPa, f c  = 0,85x2 / 1,4 = 1,214 kN/cm2; para aço CA 50, f yd = 50 / 1,15 = 43,48 kN/cm 2 ≈ 43,5 kN/cm2.

1) M = 2000 kNcm a) Pela equação de equilíbrio Supondo armadura simples a equação de equilíbrio ∑ M As = 0, fica: Md = Rcc z = f cby(d – y/2) 2800 = 1087,7X  – 7,77X2

 

2000x1,4 = 1,214x20x0,8X (56 – 0,8X / 2) 7,77X2 – 1087,7X + 2800 = 0

2.60

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Flexão Normal Simples

 ___________________________________________________________________________

Figura 2.24 – Seção retangular do exemplo 2.7.2 Resolvendo essa equação do segundo grau encontram-se as duas raízes X’ = 137,76 cm e X’’ = 2,62 cm. Como X tem de ser menor que XL= 0,45 d = 25,2 cm, a raiz possível

é X = 2,62 cm. Para X = 2,62 cm a profundidade relativa vale ξ = 2,62 / 56 = 0,047 < ξ2L= 0,259, portanto a seção se encontra no domínio 2.

Rcc = 1,214x20x0,8x2,62 = 50,89 kN = Rst = Asf yd

 As = 50.89 / 43,5 = 1,17 cm 2

b) Pelas fórmulas da flexão simples

K



Md 2

f c bd



 A s   A s1 

2000x1,4 1,214x20x56

f c bd f yd

1 

2



0,0368  K L



1  2K' 



0,295

K’ = K = 0,0368

1,214x20x56   1  1  2x0,0368  1,17cm2 43,5



 A’s = As2 = 0

2.61



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 ___________________________________________________________________________

 A armadura de tração calculada (A s,cal) tem de ser maior ou igual a armadura mínima (As,min) dada na tabela 2.7. Para (d/h) = (56 / 60) = 0,93 ≈ 0,95 e aço CA 50, ρmin = 0,15%:  As,min= ρmin Ac = 0,15% (20x60) = 1,8 cm2 > As,cal = 1,17 cm2

 As = As,min = 1,80 cm2

Para atender a armadura final pode-se usar uma das duas hipóteses de bitolas abaixo: 4 8 mm

 As,e = 4x0,503 = 2,01 cm 2 > As = 1,80 cm2

3 10 mm

 As,e = 3x0,785 = 2,36 cm 2 > As = 1,80 cm2

onde As,e é a armadura efetivamente colocada ou existente. Com o valor de K = 0,0368 calcula-se o valor de  = (y/d) pela equação (2.17):

α



1



1 2K' 





1





1 2x0,0368   0,0375 



y = d = 0,0375x56 = 2,10 cm

X = (y/λ ) = (y / 0,8) = (2,10 / 0,8) = 2,62 cm (mesmo valor encontrado anteriormente) ξ=

(X / d) = (2,62 / 56) = 0,0468 < ξ 2L= 0,259

Como X = 2,62 cm < X 2L = 0,259x56 = 14,52 cm, a seção trabalha no domínio 2 para o dimensionamento com M = 2000 kNcm.  Apenas para efeito de verificação das fórmulas de dimensionamento para uma profundidade X = 2,62 cm no ELU, a seção resiste a um momento (M Res= MRes,d / f ):

MRes 

   

f cby d  1,4

y   2 

   

1,214x20x0,8x2,62 56 



1,4

2.62

0,8x2,62   2  



2797  2000kNcm 1,4

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 ___________________________________________________________________________

2) M = 6000 kNcm K = 0,134 < KL = 0,295

K’ = K = 0,134

 As = As1 = 4,51 cm2 > As,min = 1,8 cm2

A’s = 0

Para atender a armadura final pode-se usar uma das hipóteses de bitolas abaixo: 6 10 mm

 As,e = 6x0,785 = 4,71 cm 2 > As = 4,51 cm2

4 12,5 mm

 As,e = 4x1,227 = 4,98 cm 2 > As= 4,51 cm2

3 16 mm

 As,e = 3x2,011 = 6,03 cm 2 > As = 4,51 cm2

Considerando-se um cobrimento c = 2,5 cm (tabela 2.8) e estribo com t = 5 mm, o número máximo de barras longitudinais de flexão com  = 12,5 mm que a seção pode ter em uma única camada é dada pela equação (2.55), com b útil dada por (2.54) e ah = 2 cm: bútil = bw – 2(c + t) = 20 – 2 (2,5 + 0,5) = 14 cm

nΦ/cam 

bútil  ah ah  



14  2 2  1,25

4 barras  = 12,5 mm / camada (OK)

 4,9

K = 0,174;  = 0,144; X = (0,144x56) / 0,8 = 10,10 cm < X2L = 14,52 cm; domínio 2

3) M = 15000 kNcm K=0,276 < KL = 0,295

K’ = K = 0,276

 As = As1 = 10,33 cm2 > As,min = 1,8 cm2

A’s = 0

Para atender a armadura final pode-se usar uma das hipóteses de bitolas abaixo: 2.63

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 ___________________________________________________________________________

9 12,5 mm

 As,e = 9x1,227 = 11,04 cm 2

> As = 10,33 cm2

6 16 mm

 As,e = 6x2,011 = 12,07 cm 2

> As = 10,33 cm2

4 20 mm

 As,e = 4x3,142 = 12,57 cm 2

> As = 10,33 cm2

Considerando-se os mesmos valores calculados no item anterior tem-se (ver figura 2.24): N=12,5/cam = 4,9

4 12,5 mm (1a e 2a camadas), 1Φ12,5 mm (3a camada)

n=16/cam = 4,4

4 16 mm (1a camada), 2Φ16 mm (2a camada)

n=20/cam = 4

4 20 mm (só uma camada)

Nota-se pela figura 2.25 que a distância da borda mais tracionada até o centro da primeira camada para o detalhamento com 9   12,5 mm é dado por [(2,5 + 0,5 + (1,25/2)] = 3,625 cm. Para as outras duas camadas, considerando o espaçamento vertical (ah = 2,0 cm), determinam-se os valores 6,975 cm para a segunda camada e 10,125 cm para a terceira. O centro geométrico das nove barras distribuídas em três camadas, d’’ = h – d, é dado por:

d' ' 

4x3,625  4x6,875  1x10,125 9



5,8cm

Dessa forma a altura útil fica: d = h  – d’’ = (60  – 5,8) = 54,2 cm, menor que o valor adotado d = 56 cm. Para os outros detalhamentos, de forma análoga, determinam-se os valores de d = 55 cm e d = 56 cm, para 6 16 mm e 4 20 mm, respectivamente. Redimensionando apenas para os dois valores diferentes da altura útil adotada, encontra-se:  12,5 mm

dreal = 54,2 cm Kreal = 0,294 < KL = 0,295

 As,real = 10,86 cm2 < As,e = 11,04 cm2  (OK)

2.64

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 ___________________________________________________________________________

 16 mm

dreal = 55 cm

Kreal = 0,286 < K L = 0,295

 As,real = 10,62 cm2 < As,e = 12,07 cm2  (OK)

Figura 2.25 – Detalhamento da Seção transversal para M = 15000 kNcm Embora diferentes, os novos valores das armaduras calculadas para os valores corrigidos de “d” atendem aos detalhamentos para a altura útil adotada d = 56 cm. Com  12,5 mm

K = 0,294

α = 0,358

X = (0,358x54,2) / 0,8 = 24,3 cm 2 <

X3L = 0,628x54,2 = 34,0 cm Com  16 mm

K = 0,286

α = 0,346

K = 0,276

α = 0,331

= (24,3 / 54,2) = 0,448.

X = (0,346x55,0) / 0,8 = 23,8 cm 2 <

X3L = 0,628x55,0 = 34,5 cm Om  20 mm

ξ

ξ

= (23,8 / 55,0) = 0,433.

X = (0,331x56,0) / 0,8 = 23,1 cm 2 <

X3L = 0,628x56,0 = 35,2 cm

ξ

= (23,1 / 56,0) = 0,413

Como todos os valores calculados de ξ  estão no intervalo, ξ 2L= 0,259 ≤ ξ ≤ ξ 3L= 0,628, a seção dimensionada para esse momento, com os detalhamentos da figura 2.25, encontra-se no domínio 3. 2.65

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 ___________________________________________________________________________

4) M = 20000 kNcm K = 0,381 > KL = 0,295

 A s1 

 A s2

K’ = KL = 0,295

f cbd f  bd 1,214x20x55 0,8x0,45  0,36  11,05cm2 1  1  2K'  c αL    f yd f yd 43,5





f cbd K K' d' f yd 1 d 



dadot = 55 cm

1,214x20x55 0,381 0,295   4 43,5 1 55 







2,85cm2



 As = As1 + As2 = 11,05 + 2,85 = 13,90 cm2 > As,min (d / d’) = (55 / 4) = 13,75 > 5,439 ou (d’ / d) = (4 / 55) = 0,073 < 0,184 Pela tabela 2.4

φ = 1 (tabela 2.4)

 A' s



 A s2   1



2

2,85cm

Para atender a armadura final de tração As pode-se usar uma das hipóteses de bitolas abaixo: 7 16 mm

 As,e = 7x2,011 = 14,08 cm 2 > As = 13,90 cm2 (3 na 2a camada)

5 20 mm

 As,e = 5x3,142 = 15,71 cm 2 > As = 13,90 cm2 (2 na 2a camada)

3 25 mm

 As,e = 3x4,909 = 14,71 cm 2 > As = 13,90 cm2 (só uma camada)

Para atender a armadura de compressão  A’s pode-se usar uma das hipóteses de bitolas abaixo: 4 10 mm

 A’s,e = 4x0,785 = 3,14 cm 2 >  A’s = 2,85 cm 2

3 12,5 mm

 A’s,e = 3x1,227 = 3,68 cm 2 >  A’s = 2,85 cm 2

n/cam 

n/cam 

bútil  ah ah  Φ bútil  ah ah  Φ





14  2 22

4 barras  = 20 mm / camada

4

14  2,5 2,5  2,5

3 barras  = 25 mm / camada

 3,3

2.66

(OK)

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs)

Flexão Normal Simples

 ___________________________________________________________________________

O detalhamento com 5  20 mm poderia ter apenas 1  20 mm na segunda camada, mas da forma como foi detalhado na figura 2.26 é mais comum.

Figura 2.26 – Detalhamento da Seção transversal para M = 20000 kNcm Os valores de d, d’ e d” para os três detalhamentos estão mostrados na figura 2.26.

Como todos os valores de d são maiores e os de d’ são menores que os valores adotados (d = 55 cm e d’ = 4 cm), o cálculo efetuado das armaduras com esses últimos, está a favor da segurança. Fazendo-se o dimensionamento considerando-se K L = 0,376, como já discutido anteriormente, obtém-se As = 15,41 cm2 e A’s = 0,17 cm2 cuja soma dá As,total = 15,41 + 0,17 = 15,58 cm 2 (< 4% Ac = 48 cm2). Comparando-se com a soma das armaduras obtidas para KL = 0,295, As,total = 13,90 + 2,85 = 16,75 cm2, observa-se que a diferença entre ambas é menor que 7% e que ambas são menores que a armadura total existente em qualquer um dos detalhamentos da figura 2.26. Portanto, do ponto de vista do consumo de aço os dois dimensionamentos são equivalentes sendo que no dimensionamento com K L = 0,295 chega-se à armadura dupla para momentos menores, melhorando assim a dutilidade da seção. 2.67

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Flexão Normal Simples

 ___________________________________________________________________________

KL = 0,295

L =

0,8 (X/d)L= 0,8x0,45 = 0,36

XL = 0,45x55 = 24,75 cm

O valor da profundidade relativa da LN ξ = ξ L= 0,45 está no intervalo ξ 2L= 0,259 ≤ ξ ≤ ξ = 0,628, portanto no domínio 3. 3L

5) Determinar o valor do momento interno resistente para a seção detalhada do exemplo anterior com 3 25 mm (As) e 3 12,5 mm (A’s). Dados: As = 14,71 cm 2, A’s = 3,68 cm 2, d = 55,75 cm, d’ = 3,625 cm. Como as armaduras existentes, ou efetivamente colocadas, devem ser maiores ou iguais às armaduras calculadas, o momento interno resistente será sempre maior ou igual ao momento externo solicitante. Supondo inicialmente que as armaduras A s e  A’s trabalhem com tensões σs = σ’s = f yd = 43,5 kN/cm 2, a equação de equilíbrio de

forças horizontais fornece, para N d = 0: Rcc + A’s σ’s = As σs,

f c b y = (As - A’s) f yd

y = [(14,71 - 3,68)x43,5] / (1,214x20) = 19,8 cm X = y / 0,8 = 24,7 cm ξ2L =

0,259 < ξ = X / d = 24,7 / 55,75 = 0,443 < ξ3L = 0,628

domínio 3.

Nesse domínio a tensão na armadura A s é igual a f yd e a deformação máxima do concreto é igual a εcu = 3,5 ‰ (ponto B do dos domínios de deformação, figura 2.3). A deformação ε’s é obtida por semelhança de triângulos no diagrama de deformações

da seção no ELU: (ε cu  3,5) ε's   ε's  2,99‰  ε yd (X  24,7) (X  d'  24,7  3,625)



2,07‰ ,

portanto σ’s = f yd

Como os valores inicialmente supostos das tensões nas armaduras se confirmaram, o valor de X é o correto para o equilíbrio. O valor do momento interno resistente será dado por: 2.68

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Flexão Normal Simples

 ___________________________________________________________________________

Md,Resist = Rcc(d –y/2)+A’sf yd(d-d’) = 1,214x20x19,8(55,75 –19,8/2) + 3,68x43,5(55,75-3,625) = 30386 kNcm MResist = (Md,Resist / 1,4) = 21704 kNcm  > Msolic = 20000 kNcm

2.7.3 – Exemplos de flexão normal simples com seção T ou L EXEMPLO 1 - Calcular os valores da mesa colaborante bf  para as vigas da forma apresentada na figura 2.27.

Figura 2.27 – Forma para o exemplo 1, seção T ou L 2.69

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Flexão Normal Simples

 ___________________________________________________________________________

Nessa forma todas as vigas têm dois tramos ou vãos. Nas vigas V1, V2 e V3 o primeiro vão tem comprimento (295 + 20/2 + 20/2) = 315 cm e o segundo (365 + 20/2 + 20/2) = 385 cm. Nas vigas V3, V4 e V5 o primeiro vão tem comprimentos 315 cm e o segundo 400 cm. O diagrama genérico de momentos fletores para todas as vigas está apresentado na figura 2.28. Nessa figura M 1 e M2 são os momentos positivos (tracionam a parte inferior da viga) e X é o momento negativo (traciona a parte superior da viga). Os pontos de momentos nulos do diagrama estão indicados na figura com as distâncias x 1 e x2, referenciadas ao apoio central. Viga V1 – A mesa está comprimida para os momentos M 1 e M2 e tracionada para o momento negativo X. Essa viga apenas funciona como T, ou no caso viga L, nos trechos positivos do diagrama de momentos porque só existe laje em um dos lados da viga. Os valores de a 1 e a2 não estão disponíveis no diagrama de momentos, portanto serão obtidos pela recomendação da NBR 6118:2014. Para M1 a parcela da largura colaborante do lado da nervura em que a laje tem continuidade, b1, é dada por: 1 =

315 cm

2 =

a1 = 0,75 1 = 0,75x315 = 236,25 cm

385 cm

a2 = 0,75 2= 0,75x385 = 288,75 cm

b1 ≤ 0,10 a1 = 0,10x236 ≈ 24 cm b1 = 24 cm b1 ≤ (b2/2) = (380/2) = 190 cm

2.70

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Flexão Normal Simples

 ___________________________________________________________________________

Figura 2.28 – Diagrama genérico de momentos fletores O lado oposto a b 1 não tem laje, portanto: b 3 = b4 = 0 bf  = bw + b1 + b3 = 20 + 24 + 0 = 44 cm



b3 = 0

(nesse caso a viga tem seção L)

Para M2 a parcela da largura colaborante do lado da nervura em que a laje tem continuidade, b1, é dada por: b1 ≤ 0,10 a2 = 0,10x289 ≈ 29 cm b1 = 29 cm b1 ≤ (b2/2) = (380/2) = 190 cm b3 = b4 = 0



(não tem laje do lado oposto à b1)

bf  = bw + b1 + b3 = 20 + 29 + 0 = 49 cm

2.71



b3 = 0

(nesse caso a viga tem seção L)

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Flexão Normal Simples

 ___________________________________________________________________________

Para o momento negativo X a seção só pode funcionar como seção retangular 20/40. Viga V2 – De forma análoga ao calculado para V1, obtém-se: 1 =

315 cm

a1 = 0,75

1=

2 =

0,75x315 = 236,25 cm

385 cm

a2 = 0,75 2 = 0,75x385 = 288,75 cm

Para M1 as parcelas da largura colaborante dos lados Esquerdo e Direito da nervura, são dadas por: b1,E ≤ 0,10 a1 = 0,10x236 ≈ 24 cm b1,E = 24 cm b1,E ≤ (b2/2) = (295/2) = 147,5 cm b1,D ≤ 0,10 a1 = 0,10x236 ≈ 24 cm b1,D = 24 cm b1,D ≤ (b2/2) = (380/2) = 190 cm bf  = bw + b1,E + b1,D = 20 + 24 + 24 = 68 cm Para M2 tem-se: b1,E ≤ 0,10 a2 = 0,10x289 ≈ 29 cm b1,E = 29 cm b1,E ≤ (b2/2) = (295/2) = 147,5 cm b1,D ≤ 0,10 a2 = 0,10x289 ≈ 29 cm b1,D = 29 cm b1,D ≤ (b2/2) = (380/2) = 190 cm bf  = bw + b1,E + b1,D = 20 + 29 + 29 = 78 cm

2.72

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Flexão Normal Simples

 ___________________________________________________________________________

Para o momento negativo X a seção só pode funcionar como seção retangular 20/40. Viga V3 – Os valores de b 1 e b 3 são os mesmos já calculados para a viga V1. A diferença deve-se ao novo valor de b 2 = 295 cm, que não interfere nos resultados finais de b1. Para M1 tem-se: bf  = bw + b1 + b3 = 15 + 24 + 0 = 39 cm Para M2 tem-se: bf  = bw + b1 + b3 = 15 + 29 + 0 = 44 cm Para o momento negativo X a seção só pode funcionar como seção retangular 15/40. Viga V4  – Essa viga tem um balanço do lado esquerdo da nervura, que está 30 cm abaixo do nível das demais lajes. Para os momentos positivos a viga funciona como viga de seção L, pois a região comprimida (mesa) existe apenas no lado superior direito da viga. Para o momento negativo a viga também funciona como viga de seção L, só que nesse caso, é o lado inferior esquerdo da viga que está comprimido.  = 315 cm

 = 400 cm

1

2

a1 = 0,75 1 = 0,75x315 = 236,25 cm

a2 = 0,75 2 = 0,75x400 = 300 cm

x1 = 0,25 1= 0,25x315 = 78,75 cm

x2 = 0,25 2 = 0,25x400 = 100 cm

Para M1 tem-se: b1 ≤ 0,10 a1 = 0,10x236 ≈ 24 cm b1 = 24 cm b1 ≤ (b2/2) = (295/2) = 147,5 cm

2.73

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Flexão Normal Simples

 ___________________________________________________________________________

b3 = b4 = 0

(a laje L1 está invertida, portanto tracionada)



b3 = 0



b3 = 0

bf  = bw + b1 + b3 = 15 + 24 + 0 = 39 cm Para M2 tem-se: b1 ≤ 0,10 a2 = 0,10x300 = 30 cm b1 = 30 cm b1 ≤ (b2/2) = (295/2) = 147,5 cm b3 = b4 = 0

(a laje L1 está invertida, portanto tracionada) bf  = bw + b1 + b3 = 15 + 30 + 0 = 45 cm

Para o momento negativo X, como a única laje comprimida (L1) está do lado do balanço, sem continuidade, tem-se: b3 ≤ 0,10 (x1 + x2) = 0,10 (78,75 + 100) ≈ 18 cm b3 = 18 cm b3 ≤ b4 = 30 cm b1 = 0 (a laje L2 está tracionada) bf  = bw + b1 + b3 = 15 + 0 + 18 = 33 cm Viga V5 – De forma análoga ao calculado para V2, obtém-se: 1 =

315 cm

2 =

a1 = 0,75 1 = 0,75x315 = 236,25 cm

400 cm

a2 = 0,75 2 = 0,75x400 = 300 cm

Para M1 as parcelas da largura colaborante dos lados Esquerdo e Direito da nervura, são dadas por: 2.74

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Flexão Normal Simples

 ______________________  _________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ____________________ _________

b1,E ≤ 0,10 a1 = 0,10x236 ≈ 24 cm b1,E = 24 cm b1,E ≤ (b2/2) = (295/2) = 147,5 cm b1,D ≤ 0,10 a1 = 0,10x236 ≈ 24 cm b1,D = 24 cm b1,D ≤ (b2/2) = (380/2) = 190 cm bf  =  = bw + b1,E + b1,D = 20 + 24 + 24 = 68 cm Para M2 tem-se: b1,E ≤ 0,10 a2 = 0,10x300 = 30 cm b1,E = 30 cm b1,E ≤ (b2/2) = (295/2) = 147,5 cm b1,D ≤ 0,10 a2 = 0,10x300 = 30 cm b1,D = 30 cm b1,D ≤ (b2/2) = (380/2) = 190 cm bf  =  = bw + b1,E + b1,D = 20 + 30 + 30 = 80 cm Para o momento negativo X a seção funciona como retangular 20/40. Viga V6 1 =

315 cm

2 =

a1 = 0,75 1 = 0,75x315 = 236,25 cm

400 cm

a2 = 0,75 2 = 0,75x400 = 300 cm

Para M1 b1 ≤ 0,10 a1 = 0,10x236 ≈ 24 cm b1 = 24 cm b1 ≤ (b2/2) = (365/2) = 182,5 cm

2.75

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Flexão Normal Simples

 ______________________  _________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ____________________ _________

b3 ≤ 0,10 a1 = 0,10x236 ≈ 24 cm b3 = 24 cm b3 ≤ b4 = 50 cm bf  =  = bw + b1 + b3 = 20 + 24 + 24 = 68 cm Para M2 b1 ≤ 0,10 a2 = 0,10x300 = 30 cm b1 = 30 cm b1 ≤ (b2/2) = (370/2) = 185 cm b3 ≤ 0,10 a2 = 0,10x300 = 30 cm b3 = 30 cm b3 ≤ b4 = 50 cm bf  =  = bw + b1 + b3 = 20 + 30 + 30 = 80 cm Para o momento negativo X a seção só pode funcionar como seção retangular 20/40. EXEMPLO 2

Calcular as armaduras para uma viga T, com b f  =  = 90 cm, bw = 20 cm, h = 50 cm, d = 45 cm, hf  =  = 10 cm. Concreto f ck ck = 30 MPa, aço CA 50. f c=0,85x3 / 1,4 = 1,821 kN/cm 2 (tabela 1.11) f yd yd=50 / 1,15 = 43,48 kN/cm 2 (tabela 1.11) 

K

M = 15000 kNcm

  bf    hf    hf    15000x1,4 10    90   10     1        1 1 1      2 d 2d 20 45 2x45 f cbw d2  bw 1,821x20x4 5               Md

2.76

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Flexão Normal Simples

 ______________________  _________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ____________________ _________

K  0,285  0,691 0

K90x50 

 A s



Md 2

f cbf d

 A s1





f c b f d f yd



seção retangular  bf h  90x50

15000x1,4 1,821x90x452

1



1 2K' 





 0,0632 

1,821x90x45   1 43,5



K < KL = 0,295  K’ = K = 0,0632



1 2x0,0632 





11,09cm2

 A armadura As tem que ser maior ou igual a armadura mínima A s,min. Como os valores das tabelas 2.6 e 2.7 só valem para seções retangulares, o valor mínimo da armação em viga de seção T, deve ser calculado como aquela necessária para combater o momento mínimo dado na equação (2.49). O valor de f ctk,sup ctk,sup é dado na equação (2.50). Md,min = 0,8 W 0 f ctk,sup ctk,sup,

W0 = (Ix,cg / ymax,trac),

f ctk,sup ctk,sup = 0,39 (f ck ck)2/3 (f ck ck < 50 MPa)

O centro geométrico para a seção T de concreto em relação ao limite inferior da nervura, cuja largura vale b w = 20 cm e altura (50 ( 50 -10) = 40 cm, é dado por: ycg = (90x10x45 + 20x40x20) / (90x10 + 20x40) = 33,24 cm Ix,cg = [(90x503)/12+90x50x(33,24-25)2 – ] –[(70x403)/12+70x40x(33,24-20)2]=378873 cm 4 f ctk,sup ctk,sup = 0,39x302/3 = 3,77 MPa ≈ 0,38 kN/cm2 Md,min = 0,8x[(378873) / 33,24] x0,38 = 3443 kNcm

Mmin = 2452 kNcm

Para esse valor de M min o coeficiente K para seção T é negativo e, portanto, o dimensionamento será como seção retangular b f x h = 90x50. Assim: KT < 0, K90x50 = 0,0104 < KL = 0,295, As,min = 1,77 cm 2 < As,cal = 11,09 cm2.  A taxa geométrica para a armadura armadura mínima encontrada acima acima vale: 2.77

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Flexão Normal Simples

 ______________________  _________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ____________________ _________ ρ

 A s,min  A c



1,77 90x10  20x40



0,00104  0,104%  ρmin



0,15%

Portanto atendendo a recomendação do item 17.3.5.2 da NBR 6118:2014 que deve ser “respeitada a taxa mínima absoluta de 0,15%” além de observar o escrito na NBR

6118:2003 em que “Nas seções tipo T, a área da seção a ser considerada deve ser caracterizada pela alma acrescida da mesa colaborante ” a armadura mínima final

deve ser:  As,min = 0,15%(90x10 + 20x40) = 2,55 cm2 < As,cal = 11,09 cm2 Para M = 15000 kNcm e com K 90x50 = 0,0632 , α = 0,0654, X = 0,0654 x45/0,8 = 3,68 cm < hf  =  = 10 cm (como esperado). Outra forma mais simples de dimensionar essa viga T é determinar o momento de referência, equação 2.47, e compará-lo com o valor de M d.    

MdRef   f cbf hf  d 

hf  

10      1,821x90x10x 45    65556kNcm 2   2    

MdRef  > Md = 15000x1,4 = 21000 kNcm



seção retangular bf x h = 90x50

Calculando essa exemplo como viga de seção retangular 20 x50, desprezando-se a contribuição da mesa, a armadura seria A s,20x50 = 12,96 cm2 > As,T = 11,09 cm 2 mostrando que quando possível, o cálculo como seção T é sempre mais econômico. 

M = 40000 kNcm

Md = 56000 kNcm < M d,Ref  =  = 65556 kNcm



seção retangular bf h = 90x50

K90x50 = 0,169 < KL=0,295  K’ = K = 0,169  As,90x50 = As1 = 31,54 cm 2  A’s = 0 Calculando-se com as fórmulas da seção T obtém-se: 2.78

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Flexão Normal Simples

 ______________________  _________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ____________________ _________

K0 = (hf /d)(1 - hf /2d) /2d) = (10 / 45)[1-(10 / 2 x45)] = 0,198 K = 0,759 – 0,691 = 0,068 < KL = 0,295

 K’ = K = 0,068

Como K < K 0 a seção deve ser calculada como seção retangular 90 x50, já calculada acima, com As,90x50 = 31,54 cm2. Com o valor de K > 0, a armadura calculada como seção T, será:

 A s,T   A s1 

1,821x20x45   90   10   1   31,97cm2 1  1   2x0,0683    43,5  20   45  

 A armadura calculada com as fórmulas da seção seção T (A s,T = 31,97 cm 2), embora errada nesse caso, dá praticamente o mesmo valor que a calculada como seção retangular 90/50 (As,90x50 = 31,54 cm 2), justificando pois a generalização adotada por Tepedino (1980) de dimensionar como seção retangular (b f h) apenas quando K < 0. OBSERVAÇÃO IMPORTANTE O cálculo como seção T consegue combater grandes momentos fletores apenas com armadura simples (sem armadura de compressão). Isso pode levar a falsa ideia que o simples atendimento ao ELU (dimensionamento) garanta também o estado limite de deformação excessiva excessiva (ELS-DEF) do elemento estrutural em análise. Justifica-se, pois a preocupação que se deve ter no cálculo de vigas de seção T com a verificação do ELS-DEF, preocupação redobrada no caso de se ter seção T com parte da nervura comprimida. Normalmente as vigas das estruturas usuais das edificações apresentam apenas a mesa parcialmente comprimida. Caso parte da nervura esteja comprimida ou em uma situação extrema, seja necessária armadura dupla no dimensionamento como T, deve-se redobrar a atenção com a verificação do ELS-DEF. A verificação do ELS-DEF será vista no capítulo 9 dessa apostila.

2.79

CONCRETO ARMADO I - CAPÍTULO 3 Departamento de Engenharia de Estruturas  – EE-UFMG Junho 2018

LAJES  ____________________________________________________________________________

3.1 – Definição Placa é um elemento estrutural laminar, uma dimensão (espessura) bem menor que as outras duas em planta, solicitada predominantemente por cargas normais ao seu plano. Quando a placa é de concreto armado ela normalmente recebe o nome de

laje. Como exemplo pode-se citar lajes de piso e forro dos edifícios, lajes de reservatórios, muros de contenção.

3.2 – Histórico  As placas devido a sua importância como elemento de piso, vedação e de transferência de cargas para a estrutura, tem merecido ao longo dos tempos grande destaque dos pesquisadores e constitui ainda hoje um tema inesgotável de pesquisas.  As placas podem ser classificadas segundo a relação entre sua espessura h e sua menor dimensão em planta a, como: 

Placas muito esbeltas, quando ( h/a)  (1/100)



Placas esbeltas, quando (1/100) < ( h/a)  (1/5)



Placas espessas, quando ( h/a) > (1/5)

 As placas de concreto, chamadas de lajes, se situam normalmente na faixa de variação das placas esbeltas, cujo teoria clássica ou de Kirchhoff, interpreta razoável-

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes  ___________________________________________________________________________

mente os seus resultados, que são baseados na solução da equação diferencial de quarta ordem (3.1). Uma apresentação detalhada da teoria de placas pode ser encontrada em TIMOSHENKO (1940).



4

w

x

4

2



4

w

2

x y

2





4



w

4



y

p D

(3.1)

onde: 

w é o deslocamento transversal (vertical) da placa;



p é a carga distribuída aplicada normalmente ao plano da placa;



D é a rigidez da placa à flexão, dada por:

D



Ecsh

3



12 1 -  ν

Na equação (3.2) Ecs e

2



 

(3.2)

são respectivamente, o módulo de elasticidade e o

coeficiente de Poisson do concreto, equações (1.6) e (1.7) respectivamente.  A solução analítica da equação (3.1) só é possível para situações particulares de carregamento e de condições de contorno. Para a maioria dos casos recorre-se aos métodos numéricos para a solução da placa baseada nos Método das Diferenças Finitas (MDF), Método dos Elementos Finitos ( MEF) e Método dos Elementos de Contorno (MEC). Normalmente as lajes dos edifícios residenciais são retangulares e para essas foram produzidas, desde o início, tabelas para cálculo de reações de apoio e de momentos fletores. Essas tabelas foram elaboradas baseadas na teoria da elasticidade usando-se integração numérica ou séries duplas de Fourier, para a solução da equação (3.1).  As primeiras tabelas utilizadas foram produzidas por Marcus, que resolveu o problema, substituindo a placa por uma grelha, com vigas ou faixas unitárias perpen-

3.2

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diculares e independentes entre si, introduzindo coeficientes semi-empíricos para levar em conta a torção entre as mesmas, contemplada na equação (3.1) pela derivada cruzada, ou seja, em x e y. Esse processo de cálculo para lajes retangulares desprezando-se a torção entre as faixas perpendiculares é normalmente conhecido como teoria da grelha ou dos quinhões de carga. Para o entendimento desse processo simples e normalmente utilizado para a solução de lajes nervuradas, seja a figura 3.1 onde tem-se uma laje retangular axb, simplesmente apoiada em todos os quatro lados e submetida a uma carga total p, distribuída uniformemente em toda a sua superfície. Essa carga será dividida em duas parcelas ou quinhões, pa e pb, que atuarão nas faixas das direções a e b respectivamente. As duas faixas perpendiculares estão representadas esquematicamente como duas vigas biapoiadas. Trata-se de um problema estaticamente indeterminado cuja única equação de equilíbrio é dada por:

p = pa + pb 

(3.3)

Para a solução desse problema cujas incógnitas são as parcelas ou quinhões de carga pa e pb, deve-se lançar mão de uma equação de compatibilidade geométrica, que nesse caso consiste em igualar as flechas

a e b no cruzamento das faixas (vgas)

nas direções a e b, respectivamente (ver figura 3.1), dadas por:

δa



5p a a 4



384EI

δb



5p b b 4 384EI

(3.4)

 A expressão genérica para a flecha máxima em uma viga sobre dois apoios submetida a uma carga vertical uniformemente distribuída é obtida da equação da linha elástica em vigas, dada por

δ

= k (pl4) / (384EI), onde k depende dos tipos de

apoios da viga. Para viga biapoiada k = 5, para viga apoiada-engastada k = 2,... (valor aproximado) e finalmente para viga biengastada, k = 1.

3.3

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Figura 3.1 – Quinhões de carga para lajes De (3.4) obtém-se:  b  pa  pb    a 

4

(3.5)

Levando-se (3.5) em (3.3) obtém-se a expressão da parcela de carga na direção b:

pb 

p

 b    a 

4

 k b p  

(3.6)

1

3.4

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes  ___________________________________________________________________________ k b



1

 b    a 

k a

4



1



k b

 

(3.7)

1

onde ka e kb são os coeficientes que determinam os quinhões de cargas, pa e pb, nas direções a e b respectivamente. Para a determinação das reações e momentos fletores da laje basta calcular isoladamente as vigas nas direções a e b, utilizando-se as parcelas ou quinhões de carga obtidos. Pela equação (3.7) para uma relação (b/a) = 2 o valor de kb = (1 / 17)  0,06 e consequentemente ka = 1  – kb  0,94, indicando que a laje funciona praticamente na direção menor “a”. Conforme será visto adiante, a partir da relação (b/a) > 2 a laje será considerada armada em uma direção, ou seja a menor dimensão, sendo que para relações menores, a laje será considerada armada nas duas direções ou em

cruz. Outras tabelas para o cálculo de reações e momentos em lajes bastante utilizadas são as tabelas de Kalmanock, que integrou numericamente a equação diferencial (3.1) e tabelou para diversos tipos de lajes retangulares e de relações (b/a), variando de 0,5 a 2. Essas tabelas, como outras baseadas na teoria da elasticidade, são utilizadas no cálculo de lajes em regime elástico. Existem também as tabelas baseadas no regime rígido-plástico, ou das linhas de ruptura, ou das charneiras plásticas ( Ingerslev, 1923 e Johansen, 1932), onde o diagrama tensão-deformação do material constituinte da laje é rígido-plástico per-

feito, com um trecho sem deformações (rígido), seguido por um trecho perfeitamente plástico. Esse processo extremamente simples de cálculo pode ser visto na apostila de lajes retangulares do Prof. José de Miranda Tepedino (1980). A tabela 3.9, mostrada adiante, para o cálculo de momentos fletores no regime rígido-plástico, foi transcrita dessa apostila. 3.5

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Essa análise plástica é também recomendada na NBR 6118:2014  no item 14.7.4: “Para a consideração do estado limite último, a análise de esforços pode ser realizada através da teoria das charneiras plásticas. Para garantia de condições apropriadas de dutilidade, dispensando a verificação ex plícita da capacidade de rotação plástica, prescrita prescrita em 14.6.4.4 deve-se ter a posição da linha neutra limitada em:

 x/  x /d

≤ 

0,25, 0,25,

s e f ck ck ≤ 50 MPa

 x/  x /d

≤

0,15, 0,15,

s e f ck  MP a ck  > 50 MPa

Deve ser adotada, para lajes retangulares, razão mínima de 1,5:1 entre momentos de borda (com continuidade e apoio indeslocável) e momentos no vão. Cuidados especiais devem ser tomados em relação à fissuração f issuração e verificação das flechas no ELS, principalmente quando se adota a relação entre momentos muito diferente da que resulta de uma análise elástica. As verificações de serviço e de fadiga devem ser feitas baseadas em uma análise elástica”. elástica ”.

Esse item da NBR 6118:2014 reduz drasticamente as profundidades relativas limites da linha neutra (X/d)L, em relação aos praticados no dimensionamento usando usando o regime elástico, (X/d)L = 0,45 para f ck ck ≤ 50 MPa e (X/d)L = 0,35 para f ck ck > 50 MPa. Caso o dimensionamento da laje seja feito considerando o regime rígido-plástico os novos valores de KL serão dados pelas equações (3.8) abaixo:    

0,8x0,25 

   

0,8x0,15 

K L  0,8x0,25 1 

K L  0,8x0,15 1 

2

2

  0,180  

  0,113  

3.6

Para f ck ck ≤ 50 MPa 

(3.8a)

Para f ck ck > 50 MPa

(3.8b)

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Deve-se ressaltar que no dimensionamento de lajes considerando o regime elástico os valores de KL continuam os mesmos, conforme a tabela 2.3.

3.3 – Laje retangular armada em uma direção Conforme visto no item anterior as lajes retangulares cuja relação entre os lados for maior que 2 (ou menor que 0,5), serão calculadas como laje armada em uma direção, no caso, a direção menor. Essas lajes são calculadas supondo vigas de largura unitária, com o vão correspondente ao lado menor da laje e com as condições de contorno iguais às do lado maior. Dessa forma as configurações possíveis para lajes retangulares armadas em uma direção estão indicadas na figura 3.2.

Figura 3.2 – Tipos de lajes armadas em uma direção

3.7

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Tabela 3.1 – Reações e momentos para laje armada em uma direção Tipo da laje

Regime elástico

Regime rígido-plástico

R = 0,5 pa

R = 0,5 pa

M = pa2 /8

M = pa2 /8

RA = 0,375 pa = (3/8) pa

RA = 0,387 pa

RE = 0,625 pa = (5/8) pa

RE = 0,613 pa

M = pa2 /14,22

M = pa2 /13,33

X = pa2 /8

X = 1,5 M

R = 0,5 pa

R = 0,5 pa

M = pa2 /24

M = pa2 /20

X = pa2 /12

X = 1,5 M

 Apoiada-apoiada

 Apoiada-engastada

Engastada-engastada

 As reações, RA (apoio) e RE (engaste), e os momentos, M (positivo) e X (negativo), para os três tipos de lajes da figura 3.2 estão apresentados na tabela 3.1 acima, uma coluna com os valores para o cálculo no regime elástico e outra para o regime rígido-plástico, ambas com a carga total p atuando na faixa unitária. Na tabela 3.1 os valores das reações e dos momentos da coluna correspondente ao regime elástico são os valores conhecidos da análise de estruturas, já os valores do regime rígido –plástico dependem da relação adotada entre o momento negativo (X) e o positivo ( M) atuantes em uma mesma direção. Essa relação para a tabela 3.1 vale 1,5 (valor recomendado na NBR 6118:2014) e é a mesma adotada na elaboração da tabela 3.9 de momentos fletores no regime rígido-plástico, para lajes retangulares armadas em duas direções. Assim, para a laje apoiada-engastada o momento máximo positivo M, que ocorre no ponto onde a força cortante se anula, dado por x0 = RA /p a partir do apoio simples, é dado por: 2

 pa X   pa 1,5M        2 px 0  R A 2   2 a     2 a   M  R A x 0     2

2p

2p

2p

2

(3.9)

Resolvendo-se a equação do segundo grau (3.9), chega-se à raiz possível de

M dada por: 3.8

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M

pa 2 

(3.10)

13,33

Para a placa engastada-engastada com a relação (X/M) = 1,5, tem-se: 2

 pa    R A2 pa 2 2     X X  1,5M M 2p

2p

8

(3.11)

De (3.11) obtém-se o valor de M:

M

pa 

2

(3.12)

20

3.4 – Laje retangular armada em duas direções ou em cruz Conforme visto anteriormente, quando a relação entre os lados de uma laje retangular é maior ou igual a 0,5 e menor ou igual a 2, considera-se a mesma, armada em duas direções ou em cruz.

3.4.1 – Tipos de lajes retangulares Os tipos possíveis de lajes retangulares estão mostrados na figura 3.3, onde “a” é o vão cuja direção tem o maior número de engastes. Caso nas duas direções o

número de engastes seja o mesmo, “a” será considerado o menor vão.

3.9

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Figura 3.3 – Tipos de lajes retangulares armadas em cruz 3.4.2 – Reações de apoio  As reações de apoio para lajes maciças retangulares com carga uniformemente distribuída podem ser calculadas, de acordo com o item 14.7.6 da NBR 6118:2014, com as seguintes aproximações: “a) as reações em cada apoio são as correspondentes às cargas atuant es es nos triângulos ou trapézios determinados através das charneiras plásticas correspondentes à análise efetivada com os critérios de 14.7.4, sendo que essas reações podem ser, de

3.10

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maneira aproximada, consideradas uniformemente distribuídas sobre os elementos estruturais que lhes servem de apoio; b) quando a análise plástica não for efetuada, as charneiras podem ser aproximadas  por retas inclinadas, a partir dos vértices com os seguintes ângulos: − 45 ° entre dois apoios do mesmo tipo; − 60°  a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado sim plesmente apoiado; − 90°  a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre”.

Figura 3.4 – Reações de apoio para lajes retangulares armadas em cruz 3.11

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Na laje superior da figura 3.4 uma laje do tipo C (ver figura 3.3), foi dividida em triângulos e trapézios formados com as retas, a partir dos vértices, com os ângulos definidos de acordo a NBR 6118:2014. A reação genérica R representa a reação por metro, no lado da laje que tem o comprimento (a ou b). Quando dois lados paralelos têm condições de apoios diferentes, R’ sempre representa a reação do lado apoiado e R’’ representa a do lado engastado. Conforme essa figura, as reações são calculadas dividindo-se a resultante do carregamento em cada triângulo ou trapézio pelo respectivo comprimento do lado a que essas figuras pertencem. Dessa forma foi produzida a tabela 3.8, para o cálculo das reações nos 6 tipos de lajes retangulares da figura 3.3, com relações b/a dentro da faixa de validade das lajes armadas em cruz. Os coeficientes r  , tabelados para cada tipo de laje e relação

b/a, foram definidos de tal forma que qualquer reação, tanto no lado “a” quanto no “b”, seja obtida multiplicando-se r  pelo produto pa, ou seja, R = r  pa.

3.4.3 – Momentos fletores Os momentos fletores em lajes retangulares são calculados também, por meio de tabelas produzidas tanto para o regime elástico como p ara o regime rígido-plástico. Na tabela 3.11, regime elástico, para a obtenção dos valores dos momentos atuantes nas duas direções, basta dividir o produto ( pa2) pelos valores tabelados para os momentos positivos ma, mb (armadura de flexão na parte inferior da laje - M = pa2 /m ) e para os momentos negativos na, nb (idem na parte superior -  X = pa2 /n ). Já para o regime rígido-plástico, tabela 3.9, apenas são tabelados os coeficientes ma, mb, com os quais se calculam os momentos positivos nas duas direções, da mesma forma que no regime elástico. Caso exista, o momento negativo em uma determinada direção será obtido multiplicando-se o momento positivo nessa direção pelo valor 1,5 (conforme recomendação da NBR 6118:2014 para a relação i = X/M = 1,5).  As tabelas 3.8 a 3.11 mostradas adiante, são as mesmas da apostila sobre lajes retangulares do Prof. José de Miranda Tepedino (1980), salientando-se que as 3.12

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do regime rígido-plástico foram produzidas para uma variação contínua do índice de ortotropia (relação entre os momentos de plastificação ou de ruptura nas duas direções ortogonais da laje) e para uma relação constante entre os momentos negativo e positivo em uma mesma direção, adotada igual a 1,5.

3.5 – Cálculo da flecha em lajes retangulares O cálculo da flecha em lajes retangulares deve naturalmente obedecer ao estado limite de serviço – ELS, nesse caso denominado ELS-DEF, ou seja, de deformações excessivas, definido no item 3.2.4 da NBR-6118:2014.  As cargas para o cálculo em serviço devem ser afetadas pelo coeficiente de ponderação, no caso minoração, das ações no ELS, correspondente às combinações

quase permanentes, f  =

f2 =

2,

terceira coluna da tabela 1.7.

Conforme essa tabela, para cargas acidentais em edifícios: 

2 =

0,3 - para edifícios residenciais;



2 =

0,4 - para edifícios comerciais, de escritório, estações e edifícios

públicos; 

2 =

0,6 - para bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens.

O momento de serviço Mserv é obtido somando-se a totalidade (100%) do momento devido às cargas permanentes ( Mg) e a parcela “quase permanente” ( 2 M q) do momento devido às cargas acidentais.

Mserv = Mg +

2 Mq 

(3.13)

Caso o momento de serviço dado em (3.13) seja menor que o momento de fissuração Mr , determinado conforme o item 17.3.1 da NBR-6118:2014, a laje estará trabalhando no Estádio I (concreto trabalhando simultaneamente à tração e compressão  – concreto não fissurado), caso contrário, no Estádio II (concreto trabalhando à compressão no regime elástico enquanto as tensões de tração são desprezadas  – 3.13

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concreto fissurado). O momento de fissuração pode ser calculado pela seguinte expressão aproximada (NBR 6118:2014):

Mr



f ct

Ic

(3.14)

yt

“ onde:

= 1,2 para seções T ou duplo T; = 1,3 para seções I ou T invertido; = 1,5 para seções retangulares; onde: é o fator que correlaciona aproximadamente a resistência à tração na flexão com a resistência à tração direta;

 y t  I c 

 f ct 

é a distância do centro de gravidade da seção à fibra mais tracionada; é o momento de inércia da seção bruta de concreto; é a resistência à tração direta do concreto, conforme 8.2.5, com o quantil apropriado a cada verificação particular.

Para determinação do momento de fissuração deve ser usado o f ctk,inf  no estado limite de formação de fissura e o f ctm no estado limite de deformação excessiva (ver 8.2.5).” 

Para o cálculo de lajes, cuja seção transversal para efeito de dimensionamento é dada por 100 h, o valor de yt no estádio I é aproximadamente igual a h/2, onde h é a altura da laje, ficando a relação Ic /yt  W0 (módulo de resistência à flexão) dada por:

W0

100h2 

(3.15)

6

O valor correto de yt é obtido do cálculo da seção homogeneizada, mas tendo em vista a pequena quantidade de armadura das lajes, esse valor é muito próximo ao da seção bruta de concreto, justificando-se adotar yt = h/2. 3.14

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Levando-se os valores de , f ct = f ctm dado nas equações (1.12), e W0 em (3.15) obtém-se finalmente o momento de fissuração para lajes maciças dado por:

Mr

Mr



150f ctmh

2 

6x10



150.f ctm .h 6x10

2

2/3

0,75h f ck  

2 

 

(kNcm)

2

5,3h ln1  0,11f ck     (kNcm)

para f ck ≤ 50 MPa

(3.16a)

para f ck> 50 MPa

(3.16b)

 As equações (3.16) foram desenvolvidas usando-se f ck em MPa para obter Mr  em kNcm (por isso a divisão por 10). Deve-se salientar que as equações (3.16) se referem a uma faixa de laje de largura b = 100 cm = 1 m.

3.5.1 – Flecha imediata em lajes retangulares armadas em uma direção Para essas lajes as flechas são calculadas com as expressões obtidas da equação da linha elástica em vigas, para os três tipos possíveis de condições de contorno ilustrados na figura 3.2, onde as flechas podem ser agrupadas em uma única expressão genérica dada por:

f i

com

(*) o



K 

pia4 384EI eq,t0

 

(3.17)

K=5

para laje apoiada-apoiada

K = 2*

para laje apoiada-engastada

K=1

para laje engastada-engastada

valor inteiro 2 foi adotado a partir do valor correto dado por K= 2,079....

onde: 

f i



pi = g +

é a flecha imediata; 2 q

é a carga imediata de serviço; 3.15

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a

é o vão da laje armada em uma direção;



(EI)eq,t0

é a rigidez equivalente para o tempo t0, de aplicação da carga de longa duração.

Normalmente as lajes em edifícios residenciais armadas em uma direção têm vãos pequenos e consequentemente momentos solicitantes em situação de serviço menores que o momento de fissuração (equações 3.16), trabalhando, portanto no estádio I. Nesse caso a rigidez equivalente é obtida considerando-se a seção homogeneizada, utilizando-se a relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto. Devido à pequena quantidade de armação utilizada nessas lajes, pode-se usar o momento de inércia da seção bruta de concreto em substituição ao da seção homogeneizada. Isso se justifica pela pequena diferença entre as duas. Caso o momento em serviço supere o momento de fissuração, deve ser considerado o estádio II. O item 19.3.1 da NBR-6118:2014, estado limite de deformação em lajes, estabelece que devam ser usados os mesmos critérios adotados para as vigas (item 17.3.2), tanto para o estádio I quanto para o estádio II. Os critérios para a flecha imediata em vigas se baseiam no cálculo da rigidez equivalente pela formulação de Branson (1966), dada na NBR-6118:2014 no item 17.3.2.1.1. Para lajes maciças, usuais dos edifícios residenciais, armadas em uma ou duas direções, pode-se ter momento máximo menor que o momento de fissuração, ou quando isso não ocorre apenas uma pequena área da laje, próxima ao momento máximo, encontra-se no estádio II. Grande parte da laje estará sempre no estádio I. Mesmo a região que se encontra fissurada, segundo alguns autores, tem uma contribuição mais efetiva para a rigidez equivalente que no caso das vigas, portanto não seria muito correto usar o mesmo modelo para vigas e lajes. No entanto, para efeito dessa apostila, deve-se considerar o estabelecido na NBR 6118:2014:

Estádio I -

EI eq,t0



E cs I c  

(3.18a)

3.16

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EI eq,t0

Estádio II -

 M   3   M   3     E cs  r  I c  1   r   I II   E cs I c   M a      M a     

(3.18b)

onde: 

Ecs

é o módulo de elasticidade secante do concreto;



I c

é o momento de inércia da seção bruta de concreto;



I II

é o momento de inércia da seção fissurada de concreto no está-

dio II, calculada com a relação entre os módulos ( n = Es / Ecs); 

Ma

é o momento fletor (serviço) na seção crítica do vão considerado,

momento máximo no vão para lajes biapoiadas ou contínuas e momento no apoio para lajes em balanço, para a combinação de ações considerada nessa avaliação; 

Mr 

é o momento de fissuração do elemento estrutural;



t0

é a idade em meses relativa à data de aplicação da carga de longa

duração.

3.5.2 – Momento de Inércia da seção fissurada (lajes) Na figura 3.5 apresenta-se uma seção transversal genérica 100xh de uma laje onde o diagrama de tensões de compressão no concreto é linear e o de tração é nulo, de acordo a premissa básica do Estádio II, seção fissurada. Para um mesmo ponto, concreto e aço têm a mesma deformação εc = εs, e consequentemente pela lei de Hooke εc = (σc /Ec) = εs = (σs /Es) de onde resulta σs = (Es /Ec) σc = n σc, com n =

(Es /Ec), relação entre os módulos de elasticidades do aço e do concreto. Com isso, no diagrama de tensões a linha tracejada representa em uma escala (1/ n) menor, as tensões no aço. Para homogeneizar a seção transversal genérica da laje apresentada nessa figura deve-se inicialmente transformar o material composto, concreto armado (concreto e aço), em um único material, normalmente no material com menor módulo de elasticidade: o concreto. A área de aço As transforma-se em uma área equivalente em 3.17

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concreto igual a (n As). O centro geométrico (CG) da seção homogeneizada encontrase a uma profundidade xII, obtida igualando-se o momento estático da área comprimida de concreto com o da área de aço homogeneizada (n As). Assim:

Figura 3.5 – Seção transversal para determinação de III em lajes

bx II

x II

2



2



nAs d



x II





100

x II



2



nAs d



xII



Resolvendo a equação do segundo grau em xII encontra-se:

x II

 A 

A

2



B

com:

A

1 

100

nA s

B

2 

100

ndA s  

(3.19a)

Calculando-se o momento em relação a LN obtém-se:

M LN

 σ 100xII   2x II    c    σ s nA s d  x II  2      3  

 A partir do diagrama de tensões da figura 3.5, por semelhança de triângulos, obtém-se

σ

c

x II

σ



s em

s

d  x II

função de

 σs 

d  x II x II

c,

σ

que levada na equação de MLN resulta:

c

3.18

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M LN

σ

c



100xII

σ

3



c



nA s d  x II

2

σ

x II

c

3  100xII  σc 2   nA s d  x II    3  x II

    M LN   (x II )   3  100xII   nA s d  x II 2    3 

M LN I

x II

II

3

I II



100xII 3





nA s d  x II

2

(3.19b)

 As equações (3.19) podem ser obtidas por simplificação das equações originalmente deduzidas para seções retangulares com armadura As e A’s, fazendo-se A’s =

0 e b = 100, conforme apresentado nos capítulos 4 e 9 dessa apostila. 3.5.3 – Flecha imediata em lajes retangulares armadas em duas direções Normalmente o valor da flecha imediata para essas lajes é obtido usando-se tabelas para cálculo de flechas em lajes retangulares, baseadas em Bares (1972). Tepedino (1980), por meio de regressão polinomial, ajustou para a flecha imediata f i, a seguinte expressão:

f i



f 1

pia4 Ecsh 3

 

(3.20a)

onde pi é o mesmo usado na equação (3.17) e f 1 é dado por: 3

2

 b   b   b  K 1    K 2    K 3    K 4  a   a   a  f 1    1000

3.19

(3.20b)

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com K1, K2, K3 e K4 fornecidos na tabela 3.2 abaixo, não se adotando para o cálculo valores de (b/a) fora do intervalo 0,5 ≤ (b/a) ≤2.

Tabela 3.2 – Valores dos coeficientes para cálculo das flechas (Tepedino) LAJE

K1

K2

K3

K4

A

0,4

-29,6

156,8

-79,8

B

-1,0

-16,0

79,3

-29,9

C

14,4

-84,3

182,1

-87,9

D

7,2

-42,1

83,8

-26,6

E

1,9

-21,2

60,9

-23,3

F

2,0

23,0

69,2

-33,3

Com os valores de K1 a K4, tabelados abaixo, organizou-se a tabela 3.10, mostrada adiante, para o cálculo de flechas nos seis tipos de lajes retangulares da figura 3.3. Nessa tabela, a partir do tipo de laje e da relação (b/a), obtém-se o coeficiente f 1 que permite o cálculo da flecha com o emprego da equação (3.20a).  A discussão sobre rigidez equivalente, feita anteriormente para lajes armadas em uma direção, é mais acentuada nas lajes armadas em cruz, tendo em vista que para as primeiras, o modelo estrutural aproxima-se mais do comportamento das vigas, onde se aplica efetivamente a formulação de Branson (1966), equação (3.18 b). 3.20

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Para efeito dessa apostila, quando o momento em serviço for menor que o de fissuração, ou seja, estádio I, deve-se adotar para a rigidez equivalente a mesma dada pela equação (3.18a), ou seja, rigidez bruta do concreto. Quando ocorrer o estádio II, mesmo com toda essa discussão sobre a validade da rigidez equivalente de Branson (1966) para lajes armadas em cruz, deve-se seguir a recomendação da NBR

6118:2014, ou seja, adotar Branson (1966) também para verificação de flechas nessas lajes.  Assim para lajes armadas em duas direções tem-se as mesmas equações (3.18a)* e (3.18b)* definidas anteriormente:

EI eq,t0

Estádio I -

EI eq,t0

Estádio II -



E cs I c  

(3.18a)*

 M   3   M   3    r  I c  1   r   I II   E cs I c    E cs    M a      M a     

(3.18b)*

 A equação (3.20a) que calcula a flecha em lajes retangulares, apresenta o valor do produto Ecsh3 e não a rigidez à flexão E . Portanto para levar em conta a rigidez equivalente, conforme equações (3.18a) e (3.18b), basta usar o próprio valor da altura

h da laje no estádio I, e o valor da altura equivalente heq em substituição a h, para o estádio II, dada por: 3

I eq

com

eq



100heq 12



h eq



3

12Ieq 100

(cm)

(3.21)

obtido de (3.18b) e os valores de h e dados em cm.

3.5.4 – Flecha diferida no tempo para lajes de concreto armado Segundo o item 17.3.2.1.2 da NBR-6118:2014, a flecha adicional diferida, decorrente das cargas de longa duração em função da fluência do concreto, pode ser 3.21

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calculada de maneira aproximada pelo produto da flecha imediata f i pelo fator f , dado pela expressão: f dif 



α

f  f i

 

(3.22)

com α f 

Δξ



1  50ρ

'

 

(3.23a)

para ρ'



A's

 

bd

(3.23b)

onde  é um coeficiente, função do tempo, que pode ser obtido diretamente na tabela 3.3 abaixo, ou ser calculado pelas expressões seguintes: Δξ



ξ(t)

ξ(t)



ξ(t)





ξ(t 0 )  

(3.24)

t   0,32

0,680,996 t

para t ≤ 70 meses

(3.25)

2

para t > 70 meses

(3.26)

onde:

t é o tempo em meses em que se deseja o valor da fl echa diferida; t0 é a idade em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa duração. No caso das parcelas das cargas de longa duração serem aplicadas em idades diferentes, pode-se tomar para t0 o valor ponderado a seguir:

t0



 Pi t 0i  Pi

 

(3.27)

(Pi representa a parcela de carga “i” aplicada no tempo t0i, em meses) 3.22

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Tabela 3.3 – Valores do coeficiente  em função do tempo Tempo (t) - meses-

0

0,5

1

2

3

4

5

10

20

40

 70

0

0,54

0,68

0,84

0,95

1,04

1,12

1,36

1,64

1,89

2

Coeficiente (t)

O valor da flecha total no tempo t é a soma da flecha imediata f i mais a parcela adicional diferida (f dif  = f  f i) resultando f tot = f i + αf fi  = (1 + αf ) f i. Assim para situações normais em que se deseja a flecha no tempo infinito, para cargas aplicadas a partir dos 14 dias (tempo mínimo para retirada do escoramento vertical), aproximadamente

t0 = 0,5 mês, com ’ = 0  (não se tem armadura dupla em lajes), obtém-se para

f  o

seguinte valor: f  =

( ) - (0,5) = 2 – 0,54 = 1,46

(3.28)

Portanto, a flecha total será dada por:

f total = (1 + f ) f i = 2,46 f i 

(3.29)

Na expressão (3.29) f i se refere à carga de serviço pi = g +

2q (parcela

per-

manente mais a parcela quase permanente da carga acidental da laje), ou seja, as parcelas afetadas pela fluência do concreto. Portanto, pode-se obter a f lecha total no tempo infinito f   usando-se a mesma equação (3.20a) da flecha imediata, substituindo o valor da carga pi por p  (recurso apenas matemático para simplificar o cálculo da flecha no tempo infinito) da seguinte forma: f 



1  α f  f i



f 1

p a 4 E csh

3

 

(3.30)

com

p  = (1 + f ) pi = (1 + αf ) (g + 3.23

2

. q)

(3.31)

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Para o valor (1 +

f )

= 2,46 e considerando-se edifícios residenciais,

2 =

0,3,

obtém-se:

p = 2,46 (g + 0,3 q) = 2,46 g + 0,738 q

(3.32)

3.6 – Prescrições da NBR 6118:2014 referentes às lajes 3.6.1 – Espessura mínima das lajes maciças Segundo o item 13.2.4.1 da NBR-6118:2014, “nas lajes maciças devem ser respeitados os seguintes limites mínimos para a espessura h :

a) 7 cm para lajes de forro não em balanço; b) 8 cm para lajes de piso não em balanço; c) 10 cm para lajes em balanço; d) 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 KN; e) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 KN; f) 15 cm para lajes com protensão apoiadas em vigas, (l/42) para lajes de piso bia poiadas e (l/50) para lajes de piso contínuas; g) 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes-cogumelo.

No dimensionamento das lajes em balanço, os esforços solicitantes de cálculo a serem considerados devem ser multiplicados por um coeficiente adicional

n de

acordo

com o indicado na tabela 13.2.” 

Segundo o item 14.7.8 da NBR 6118:2014 lajes-cogumelo são lajes apoiadas diretamente em pilares com capitéis, enquanto lajes lisas são as apoiadas nos pilares sem capitéis. Capitel é o engrossamento da espessura da laje na região dos pilares efetivando melhorar sua resistência à punção.

3.24

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Tabela 3.4 – Valores do coeficiente adicional

n para

lajes em balanço

Tabela 13.2 da NBR 6118:2014 h (cm) n

≥19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

1,00

1,05

1,10

1,15

1,20

1,25

1,30

1,35

1,40

1,45

onde n = 1,95  – 0,05

h;

h é a altura da laje, expressa em centímetros (cm). NOTA O coeficiente

n deve

majorar os esforços solicitantes finais de cálculo na

lajes em balanço quando de seu dimensionamento.

3.6.2 – Deslocamentos limites Segundo o item 13.3 da NBR-6118:2014, deslocamentos limites são valores práticos para verificação em serviço do estado limite de deformações excessivas da estrutura. Esses valores devem obedecer aos limites estabelecidos na tabela 13.3 da

NBR-6118:2014. Para o caso das lajes, a flecha máxima em serviço quando atuar a totalidade das cargas deve ser (  / 250), onde

é o menor vão da laje retangular.

Quando atuar apenas a carga acidental esse limite deve ser considerado igual a (  /

350). Para lajes em balanço o vão equivalente a ser considerado deve ser o dobro do comprimento do balanço, portanto a flecha na extremidade de um balanço com vão ( ) deve ser menor que ( “2 ” / 250 = / 125), quando atuar a carga total. “

Deslocamentos excessivos podem ser parcialmente compensados por contra-

flechas, entretanto a sua atuação isolada não pode ocasionar um desvio do plano da laje maior que (  / 350).

3.6.3 – Cobrimento nominal mínimo Segundo o item 7.4.7.2 da NBR-6118:2014, cobrimento nominal (cnom) é o co3.25

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brimento mínimo (cmin) acrescido da tolerância de execução ( c), que para obras correntes deve ser maior ou igual a 10 mm. Quando houver um adequado controle de qualidade e rígidos limites de tolerância da variabilidade das medidas durante a execução, pode ser adotado o valor c = 5 mm, mas a exigência de controle rigoroso deve ser explicitada nos desenhos de projeto. Nesse caso, permite-se então, a redução dos cobrimentos nominais dados na tabela 2.8 em 5 mm. Nessa tabela os cobrimentos nominais para as lajes variam de 5 mm em 5 mm, desde a classe de agressividade CAA I até a classe CAA IV. Segundo a tabela 7.2 da NBR 6118:2014, transcrita na tabela 2.8 dessa apostila “para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento tais como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos e outros tantos, as exigências desta tabela podem ser substituídas por 7.4.7.5, respeitado um cobrimento nominal ≥ 15 mm.” 

O item 7.4.7.5 da NBR 6118:2014 estabelece que o cobrimento nominal de uma barra deve sempre ser maior que o diâmetro da barra ( cnom

barra).

3.6.4 – Vãos efetivos de lajes Segundo o item 14.7.2.2 da NBR-6118:2014, quando os apoios puderem ser considerados suficientemente rígidos quanto à translação vertical, o vão efetivo deve ser calculado pela seguinte expressão: ef  =

0 +

a1 + a2 

(3.33)

onde:  

0 é

o vão livre, ou seja, distância entre as faces dos apoios;

a1 e a2 são em cada extremidade do vão, o menor entre os valores: 0,3h e t /2 i , sendo h a espessura da laje e ti a largura do apoio i.

3.26

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3.6.5 – Aproximações para o diagrama de momento fletor Esse é o item 14.7.6.2 da NBR-6118:2014, que trata da compensação de ne-

gativos entre lajes contíguas. “Quando houver predominância de cargas permanentes, as lajes vizinhas podem ser consideradas como isoladas, realizando-se compatibilização dos momentos sobre os apoios de forma aproximada. No caso de análise plástica, a compatibilização pode ser realizada mediante alteração das razões entre momentos de borda e vão, em procedimento iterativo, até a obtenção de valores equilibrados nas bordas. Permite-se, simplificadamente, a adoção do maior valor de momento negativo ao invés de equilibrar os momentos de lajes diferentes sobre uma borda comum.” 

Figura 3.6 – Compensação de momentos negativos – Regime elástico

3.27

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Na figura 3.6 está indicado esquematicamente o diagrama de momentos fletores de duas lajes contíguas calculadas isoladamente no regime elástico e representado pelo diagrama tracejado. Os valores máximos dos momentos fletores sobre o apoio central são respectivamente XL1 e XL2 para as lajes L1 e L2. Depois da compensação dos negativos o diagrama final, em linha cheia, apresenta sobre o apoio central o valor (XFinal compensado) dado pelo maior entre os valores:

XFinal ≥ 0,8 Xmax

ou

XFinal ≥ Xmed = (XL1 + XL2) /2

(3.34)

No caso das lajes no regime rígido-plástico deve ser feito o procedimento iterativo, para a obtenção dos valores equilibrados nos engastes. Por ser muito trabalhoso, normalmente esse procedimento é simplificado pela adoção do maior entre os momentos negativos das lajes que chegam ao mesmo apoio, conforme recomendado na NBR 6118:2014. Na figura 3.6, o momento negativo final compensado é menor que o momento negativo da laje L1 isolada e maior que o da laje L2. No primeiro caso, o diagrama final de momentos positivos da L1  apresenta momento máximo maior que o diagrama dessa laje isolada e no segundo caso ocorre exatamente o contrário. Dessa forma deve-se aumentar o momento positivo da laje L1 isolada da diferença ML1 e diminuir o da laje L2 em ML2. Na compensação dos momentos positivos das lajes no regime elástico costuma-se apenas aplicar a diferença

MLi quando há acréscimo do mo-

mento positivo. A redução normalmente não se aplica, como medida adicional de segurança. A diferença MLi é dada genericamente pelo valor aproximado e usual: MLi

= 0,3 XLi. 3.6.6 – Armadura longitudinal mínima Os princípios básicos para o estabelecimento da armadura mínima para lajes são os mesmos dados para elementos estruturais lineares, item 17.3.5.1 da NBR-

3.28

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6118:2014. Como as lajes armadas em duas direções têm outros mecanismos resistentes possíveis, os valores mínimos das armaduras positivas são reduzidos em r elação aos dados para elementos lineares (vigas). Para melhorar o desempenho e a dutilidade à flexão, assim como controlar a fissuração, são necessários valores mínimos de armadura passiva, dados na tabela 3.5. Essa armadura deve ser constituída preferencialmente por barras com alta aderência ou por telas soldadas. Nota-se na tabela 3.5 que os valores das taxas geométricas

s para momentos

negativos das lajes em geral e para momento positivo, apenas das lajes armadas em uma direção, obedecem aos mesmos valores mínimos

min que

os praticados nas vi-

gas. Já para os momentos positivos das lajes armadas em duas direções e para os momentos negativos de bordas sem continuidade, esse valor é reduzido em (2/3) = 0,67. Nas lajes armadas em duas direções isso se deve ao seu funcionamento, ou seja, quando uma direção sofre flexão a outra solidariamente sofre torção, contribuindo assim para um maior enrijecimento dessa laje e diminuição dos momentos fletores nas duas direções. Os valores de

min da

tabela 2.6 foram calculados para aços CA 50 e CA 60

(normalmente usados no dimensionamento das lajes) pressupondo coeficientes de minoração dos materiais c = 1,4 e s = 1,15. Caso haja mudança em um dos parâmetros que definem a tabela 2.6 ou que a relação (d/h) seja menor que 0,7 devem ser feitos novos cálculos dos valores de O valor mínimo possível de

s

min,

usando-se a equação (2.53c).

=

min =

0,15% também é válido para as lajes,

lembrando-se que no caso dos momentos positivos, daquelas armadas em duas direções, pode-se reduzir esse valor para

s = 0,67

a tabela 3.5.

3.29

min = 0,67 x 0,15% = 0,10%, conforme

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Tabela 3.5 – Valores mínimos para armadura passivas em lajes Adaptada da tabela 19.1 da NBR 6118:2014 Elementos estruturais sem armaduras

Tipo de armadura

ativas

Armaduras negativas

s

Armaduras negativas de bordas sem continuidade

min

s

≥ 0,67

min

s

≥ 0,67

min

Armaduras positivas de lajes armadas em duas direções

≥

Armadura positiva (principal) de lajes armadas em uma dire-

s

≥

min

ção Armadura positiva (secundária)

As,sec  0,20 As,princ

de lajes armadas em uma dire-

As,sec  0,9 cm2 /m

ção

s

 0,5

min

Onde: s



As bh



As 100h

 

(3.35)

é a taxa geométrica de armadura da seção transversal genérica das lajes ( 100xh). Os valores de

min estão apresentados na

tabela 2.6 (armadura mínima para vigas)

observando-se a relação (d/h) da laje considerada.

 Adicionalmente o item 19.3.3.2 da NBR NBR 6118:2014, 6118:2014, sobre sobre armadura armadura mínima mínima em lajes, descreve sobre a necessidade de armadura negativa nas bordas de lajes sem continuidade: “ Para Para melhorar o desempenho e a dutilidade à flexão, assim como controlar a fissuração, são necessários valores mínimos de armadura passiva definidos na Tabela 19.1

3.30

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(tabela 3.5 dessa apostila). Alternativamente, estes valores mínimos podem ser calculados com base no momento mínimo, conforme 17.3.5.2.1 . Essa armadura deve ser constituída preferencialmente por barras com alta aderência ou por telas soldadas.

N os apoios de lajes que não apresentem continuidade com planos de lajes ad jacentes  jac entes e que tenham lig ação com c om os elementos de apoio, apoi o, deve-s deve -s e dis di s por de armadura armadura neg ativa ativa de borda, borda, conforme c onforme Tabel Tabela a 19.1. 19.1. E s s a arma armadura dura deve se s e eses tender até até pelo menos 0,15 do v ão menor da laje laje a partir da face face do apoio .” 

3.6.7 – Prescrições gerais sobre detalhamento de lajes  As prescrições prescrições gerais sobre sobre o detalhamento de lajes encontram-se encontram-se no no item 20.1 da NBR 6118:2014: “As armaduras devem ser detalhadas no projeto de forma que, durante a execução, seja garantido o seu posicionamento durante a concretagem.

h/8. Qualquer barra da armadura de flexão deve ter diâmetro no máximo igual a h/8  As barras da armadura principal de flexão devem apresentar espaçamento no má ximo igual a 2h  ou 20 cm , prevalecendo o menor desses dois valores na região dos maiores momentos fletores.

Nas lajes maciças armadas em uma ou duas direções, em que seja dispensada armadura transversal de acordo com 19.4.1 (cisalhamento), e quando não houver avaliação explícita dos acréscimos das armaduras decorrentes da presença dos momentos volventes nas lajes, toda a armadura positiva deve ser levada até os apoios, não se permitindo escalonamento desta armadura. A armadura deve ser prolongada no mínimo 4 cm além do eixo teórico do apoio.

 A armadura secundária secundária de flexão deve ser ser igual ou superior a 20% da armadura principal, mantendo-se, ainda, um espaçamento entre barras de, no máximo,  33 c m. A

3.31

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes  ______________________  _________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ____________________ _________

emenda dessas barras deve respeitar os mesmos critérios de emenda das barras da armadura principal” (grifo nosso) .

3.7 – Cargas para o cálculo de estruturas de edificações (NBR-6120:1980) Essa norma tem como objetivo fixar as condições para determinar os valores das cargas que atuam nos projetos de estruturas de edificações. Essa norma que vale desde 1980, teve uma errata publicada em 2000.  A carga permanente, que é devida ao peso próprio da estrutura e de todos os elementos construtivos fixos, pode ser avaliada com os valores dos pesos específicos da tabela 1 da NBR 6120:1980, transcrita para a tabela 3.6 dessa apostila. O item 2.1.2 da NBR 6120:1980  descreve uma forma simplificada de como considerar as cargas das paredes apoiadas diretamente sobre as lajes armadas em duas direções: “ Quando Quando forem previstas paredes divisórias, cuja posição não esteja definida no pro jeto, o cálculo de pisos com suficiente capacidade capacidade de distribuição transversal de carga, quando não for feito por processo exato, pode ser feito admitindo, além dos demais carregamentos, uma carga uniformemente distribuída por metro quadrado de piso não menor que um terço do peso por metro linear de parede pronta, observado o valor mínimo de 1 KN/m2 .” 

Para as lajes armada em uma direção com parede paralela a essa direção, basta considerar na largura unitária onde a parede se apoia, o peso por metro linear dessa parede somado às demais cargas da laje. Se a parede é normal à direção principal da laje deve-se considerá-la no cálculo como uma carga concentrada igual ao seu peso por metro.

3.32

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes  ______________________  _________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ____________________ _________

 As cargas acidentais acidentais verticais que atuam nos nos pisos das edificações, edificações, referentes aos carregamentos devido a pessoas, móveis, utensílios e veículos, são supostas uniformemente distribuídas, com os valores mínimos indicados na tabela 3.6 abaixo, transcritos da tabela 2 da NBR 6120:1980. Tabela 3.6 – Peso específico de d e alguns materiais de construção Peso específico aparente KN/m3

Materiais

Rochas

Blocos artificiais

Revestimentos e concretos

Madeiras

Metais

 Arenito

26

Basalto

30

Gneiss

30

Granito

28

Mármore e calcáreo

28

Blocos de argamassa

22

Cimento amianto

20

Lajotas cerâmicas

18

Tijolos furados

13

Tijolos maciços

18

Tijolos sílico-calcáreos sílico-calcáreos

20

 Argamassa de cimento, cimento, cal e areia areia

19

 Argamassa de cimento cimento e areia

21

 Argamassa de gesso gesso

12,5

Concreto simples

24

Concreto armado

25

Pinho, cedro

5

 Angico, cabriúva, cabriúva, ipê róseo

10

 Aço

78,5

 Alumínio e ligas ligas

28

Bronze

85

Chumbo

114

3.33

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes  ___________________________________________________________________________ Tabela 3.7 –  Valores mínimos de carga vertical

Local 1- Arquibancadas 2- Balcões 3- Bancos

KN/m2

4

Mesma carga da peça com a qual se comunica e as previstas

-

para parapeitos e balcões (ver adiante) Escritórios e banheiros

2

Salas de diretoria e de gerência

1,5

Sala de leitura

2,5

Sala para depósito de livros 4- Bibliotecas

Carga

4

Sala com estantes de livro, a ser determinada em cada caso ou 2,5 kN/m2 por metro de altura observado, porém o valor mínimo

6

de 5- Casa de ma-

(incluindo o peso das máquinas) a ser determinada em caso,

quinas

porém com o valor mínimo de

6- Cinemas

7- Clubes

Platéia com assentos fixos

3

Estúdio e platéia com assentos móveis

4

Banheiro

2

Sala de refeição e assembléia com assentos fixos

3

Sala de assembléia com assentos móveis

4

Salão de danças e salão de esportes

5

Sala de bilhar e banheiro 8- Corredores

7,5

2

Com acesso ao público

3

Sem acesso ao público

2

9- Cozinhas não  A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo de

3

residenciais 10- Depósitos

 A ser determinada em cada caso e na falta de valores experi-

-

mentais conforme a tabela 1 da NBR-6120

11- Edifícios resi- Dormitório, sala, copa, cozinha e banheiro Despensa, área de serviço e lavanderia denciais

3.34

1,5 2

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12- Escadas

Com acesso ao público

3

Sem acesso ao público

2,5

 Anfiteatro com assentos fixos, corredor e sala de aula

3

Outras salas

2

14- Escritório

Salas de uso geral e banheiro

2

15- Forros

Sem acesso a pessoas

16- Galerias de

 A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo de

3

17- Galeria de lo-  A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo de

3

13- Escolas

0,5

arte  jas 18- Garagens e

Para veículos de passageiros ou semelhante com carga má-

estacionamento

xima de 25 kN. Valores de  indicados adiante

19- Ginásio de

3 5

esporte Dormitórios, enfermarias, sala de recuperação, saal de cirurgia, 20- Hospitais

21- Laboratórios 22- Lavanderias

sala de raio X e banheiro

2

Corredor

3

Incluindo equipamentos, a ser determinada em cada caso, porém com o mínimo de

3

Incluindo equipamentos

3

23- Lojas

4

24- Restaurantes

3

25- Teatros

Palco

5

Demais dependências: cargas iguais às especificadas para ci-

-

nemas

26- Terraços

Sem acesso ao público

2

Com acesso ao público

3

Inacessível a pessoas

0,5

Destinados a heliportos elevados: as cargas deverão ser fornecidas pelo órgão competente do Ministério da Aeronáutica 27- Vestíbulo

-

Sem acesso ao público

1,5

Com acesso ao público

3 3.35

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Os itens da NBR 6120:1980 abaixo, referem-se também às cargas sobre as lajes:  2.2.1.5  Ao “ 

longo dos parapeitos e balcões devem ser consideradas aplicadas uma

carga horizontal de 0,8 kN/m na altura do corrimão e uma carga vertical mínima de 2 kN/m.

 2.2.1.6 O valor do coeficiente ϕ de majoração das cargas acidentais a serem consideradas no projeto de garagens e estacionamentos para veículos deve ser determinado do seguinte modo: sendo

o vão de uma viga ou o vão menor de uma laje; sendo

= 3 m para o caso das lajes e

0 =

0

5 m para o caso das vigas, tem-se:

a) ϕ = 1 , 0 0 ....................................quando

≥

b) ϕ = (  0 /  ) ≤ 1,43 ......................... quando

≤ 0.

0

Nota: O valor de ϕ não precisa ser considerado no cálculo das paredes e pilares. ” 

3.8 – Tabelas para cálculo de reações de apoio e momentos fletores  A tabela 3.8 mostra os coeficientes para cálculo das reações de apoio, conforme a recomendação da NBR 6118:2014, figura 3.4. As reações em cada um dos quatro lados são calculadas multiplicando-se sempre o produto ( pa) pelo coeficiente tabelado para o tipo de laje e de relação ( b/a): Ri = r i  (pa). A representação das reações e a sua localização em planta estão indicadas, para uma laje genérica do tipo C, na figura 3.7. Os coeficientes para cálculo dos momentos fletores no regime rígido-plástico estão indicados na tabela 3.9. Nota-se que só aparecem os coeficientes ma e mb. Ao dividir o produto (pa2) por esses coeficientes obtém-se os momentos positivos na direção a e b, respectivamente. Caso a laje seja engastada, o momento negativo será obtido multiplicando-se o momento positivo nessa direção por 1,5. Assim: Mi = (pa2) /

mi e, se existir, Xi = 1,5 Mi. 3.36

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Uma forma de mostrar em planta os momentos fletores e as direções em que os mesmos ocorrem está mostrada na figura 3.7 em que a linha contínua representa momento positivo (tração na parte inferior da laje) e a tracejada, momento negativo (tração na parte superior da laje). As direções indicadas em planta dos momentos são na realidade a disposição das armaduras para combatê-los. As armaduras estão dispostas nas direções dos planos de atuação dos momentos, portanto perpendiculares aos vetores momento que as originaram.

Figura 3.7 – Representação genérica das reações e momentos nas lajes

3.37

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O cálculo da flecha no regime elástico f = f 1 (p a4) / (Ecs h3) depende do coeficiente f 1 dado na Tabela 3.10, para cada tipo de laje e relação (b/a). Os momentos no regime elástico são calculados com os coeficientes mi e ni da tabela 3.11, os primeiros para os momentos positivos, Mi = (pa2) / mi, e os segundos para os momentos negativos, Xi = (pa2) / ni.  As tabelas 3.8 a 3.11 foram construídas para lajes retangulares armadas em duas direções submetidas a uma carga constante, uniformemente distribuída. Já as tabelas 3.12 A e 3.12 B são utilizadas em lajes retangulares submetidas à carregamento linearmente distribuído (triangular), como é o caso de lajes verticais em caixas d’água ou em contenções (cortinas).

3.38

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Tabela 3.8 – Reações de apoio em lajes retangulares, carga uniforme (Tepedino)

Tipo

r’a=0,183 r’’a=0,317

r a=0,25

r a=0,144

b/a

r b

r a

r’b

r’’b

r’b

r’’b

r b

r’a

r’’a

r b

0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00

0,250 0,262 0,273 0,283 0,292 0,300 0,308 0,315 0,321 0,328 0,333 0,339 0,344 0,348 0,353 0,357 0,361 0,365 0,368 0,372 0,375

0,165 0,172 0,177 0,181 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183

0,125 0,138 0,150 0,163 0,175 0,187 0,199 0,208 0,217 0,225 0,232 0,238 0,244 0,250 0,254 0,259 0,263 0,267 0,270 0,274 0,277 0,280 0,282 0,285 0,287 0,289 0,292 0,294 0,296 0,297 0,299

0,217 0,238 0,260 0,281 0,302 0,325 0,344 0,361 0,376 0,390 0,402 0,413 0,423 0,432 0,441 0,448 0,455 0,462 0,468 0,474 0,479 0,484 0,489 0,493 0,497 0,501 0,505 0,509 0,512 0,515 0,518

0,183 0,192 0,200 0,207 0,214 0,220 0,225 0,230 0,235 0,240 0,244 0,248 0,252 0,255 0,258 0,261 0,264 0,267 0,270 0,272 0,275

0,317 0,332 0,346 0,358 0,370 0,380 0,390 0,399 0,408 0,415 0,423 0,429 0,436 0,442 0,448 0,453 0,458 0,463 0,467 0,471 0,475

0,217 0,238 0,259 0,278 0,294 0,308 0,320 0,330 0,340 0,348 0,356 0,363 0,369 0,374 0,380 0,385 0,389 0,393 0,397 0,400 0,404 0,407 0,410 0,413 0,415 0,418 0,420 0,422 0,424 0,426 0,428

0,125 0,131 0,136 0,140 0,143 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144

0,217 0,227 0,236 0,242 0,247 0,249 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250

0,158 0,174 0,190 0,206 0,222 0,238 0,254 0,268 0,281 0,292 0,303 0,312 0,321 0,329 0,336 0,342 0,348 0,354 0,359 0,364 0,369 0,373 0,377 0,381 0,384 0,387 0,390 0,393 0,396 0,399 0,401

O valor da reação é dado por: R = r (pa) a é o vão com o maior número de engaste. Caso o número de engaste seja o mesmo nas duas direções, a é o menor vão.

3.39

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Tabela 3.9 – Momentos fletores, regime rígido-plástico, carga uniforme (Tepedino)

Tipo

b/a

0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00

ma

24,0 21,8 20,1 18,6 17,4 16,4 15,5 14,8 14,2 13,6 13,1 12,7 12,4 12,0 11,7 11,5 11,2 11,0 10,8 10,7 10,5

mb

ma

122,1 92,2 72,6 -59,2 49,7 42,7 37,6 33,6 30,5 28,1 24,0 26,1 24,1 24,5 24,3 23,2 24,6 22,1 25,1 21,2 25,6 20,4 26,3 19,8 27,0 19,2 27,8 18,7 28,6 18,2 29,6 17,8 30,6 17,5 31,6 17,2 32,7 16,9 33,9 16,7 35,1 16,5 36,4 16,3 37,7 16,1 39,1 15,9 40,5 15,8 42,0 15,6

mb

50,9 46,5 43,6 41,7 40,6 40,1 40,1 40,5 41,2 42,3 43,6 45,1 46,8 48,8 50,9 53,2 55,6 58,2 61,0 63,9 66,9 70,1 73,4 76,8 80,3 84,0 87,8 91,7 95,8 99,9 104,

ma

40,0 36,4 33,5 31,0 29,0 27,3 25,9 24,7 23,6 22,7 21,9 21,2 20,6 20,0 19,5 19,1 18,7 18,4 18,0 17,8 17,5

mb

40,0 40,1 40,5 41,0 41,8 42,7 43,8 44,9 46,3 47,7 49,3 50,9 52,7 54,5 56,5 58,5 60,6 62,9 65,2 67,5 70,0

ma

103,2 81,4 66,9 56,9 49,7 44,3 40,3 37,2 34,8 32,8 31,2 29,9 28,8 27,9 27,1 26,4 25,9 25,4 24,9 24,5 24,2 23,9 23,6 23,4 23,2 23,0 22,8 22,6 22,5 22,3 22,2

mb

64,5 61,6 60,2 60,1 60,8 62,3 64,5 67,2 70,4 74,0 78,0 82,4 87,1 92,2 97,6 103, 109, 115, 122, 128, 136, 143, 151, 159, 167, 175, 184, 193, 202, 212, 222,

ma

215,6 161,2 125,6 101,4 84,2 71,8 62,5 55,5 50,0 45,7 42,2 39,4 37,1 35,2 33,5 32,2 31,0 30,0 29,1 28,4 27,7 27,1 26,6 26,1 25,7 25,3 25,0 24,7 24,4 24,1 23,9

mb

80,8 73,2 67,8 64,2 61,9 60,6 60,0 60,1 60,8 61,8 63,3 65,2 67,3 69,8 72,5 75,4 78,6 82,0 85,6 89,4 93,4 97,6 102, 106, 111, 116, 121, 126, 132, 137, 143,

ma

60,0 54,6 50,2 46,6 43,5 41,0 38,8 37,0 35,4 34,0 32,8 31,8 30,9 30,0 29,3 28,7 28,1 27,6 27,1 26,6 26,3

mb

60,0 60,2 60,7 61,6 62,7 64,4 65,6 67,4 69,4 71,6 73,9 76,4 79,0 81,8 84,7 87,8 91,0 94,3 97,7 101, 105,

O valor do momento fletor positivo é dado por: M = (pa2)/m O momento fletor negativo na direção a ou b, se tiver, será dado por: Xi = 1,5 Mi a é o vão com o maior número de engaste. Caso o número de engaste seja o mesmo nas duas direções, a é o menor vão.

3.40

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Tabela 3.10 – Flecha elástica em lajes retangulares, carga uniforme (Tepedino)

Tipo

b/a

f 1

f 1

f 1

f 1

f 1

f 1

0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00

0,048 0,053 0,057 0,062 0,066 0,071 0,075 0,079 0,083 0,087 0,090 0,094 0,097 0,100 0,103 0,106 0,109 0,112 0,114 0,116 0,119

0,0068 0,0090 0,011 0,014 0,017 0,020 0,022 0,025 0,028 0,030 0,033 0,035 0,037 0,039 0,041 0,043 0,044 0,046 0,047 0,049 0,050 0,051 0,052 0,053 0,053 0,054 0,055 0,056 0,056 0,057 0,058

0,025 0,027 0,029 0,032 0,034 0,036 0,038 0,040 0,041 0,043 0,045 0,046 0,047 0,048 0,049 0,050 0,050 0,051 0,052 0,054 0,055

0,0062 0,0080 0,0098 0,012 0,014 0,015 0,017 0,019 0,020 0,021 0,023 0,024 0,024 0,025 0,026 0,027 0,027 0,028 0,028 0,029 0,029 0,029 0,029 0,030 0,030 0,030 0,030 0,030 0,030 0,030 0,030

0,0033 0,0045 0,0058 0,0073 0,0090 0,011 0,012 0,014 0,015 0,017 0,018 0,020 0,021 0,022 0,023 0,024 0,025 0,026 0,026 0,027 0,027 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0,029 0,029 0,029 0029

0,015 0,016 0,018 0,019 0,020 0,021 0,022 0,023 0,024 0,025 0,026 0,027 0,027 0,027 0,028 0,028 0,028 0,029 0,029 0,029 0,029

O valor da flecha é dada por: f = f 1 (p.a4) / (Ecs h3) a é o vão com o maior número de engaste. Caso o número de engaste seja o mesmo nas duas direções, a é o menor vão.

3.41

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes  ___________________________________________________________________________ Tabela 3.11 A –   Momentos fletores, regime elástico, carga uniforme (Tepedino)

Tipo

b/a

ma

mb

ma

mb

na

ma

mb

na

nb

0,50

-

-

119,0

44,1

32,8

-

-

-

-

0,55

-

-

91,7

40,0

27,6

-

-

-

-

0,60

-

-

74,1

37,2

23,8

-

-

-

-

0,65

-

-

61,7

35,3

20,9

-

-

-

-

0,70

-

-

52,1

34,1

18,6

-

-

-

-

0,75

-

-

45,2

33,4

16,8

-

-

-

-

0,80

-

-

40,2

33,1

15,4

-

-

-

-

0,85

-

-

36,1

33,2

14,2

-

-

-

-

0,90

-

-

32,9

33,5

13,3

-

-

-

-

0,95

-

-

30,3

33,9

12,5

-

-

-

-

1,00

23,6

23,6

28,2

34,4

11,9

37,2

37,2

14,3

14,3

1,10

20,0

23,6

25,1

36,2

10,9

31,3

37,4

12,7

13,6

1,20

17,4

23,7

22,8

38,6

10,2

27,4

38,2

11,5

13,1

1,30

15,5

24,2

21,2

41,4

9,7

24,6

40,0

10,7

12,8

1,40

14,1

25,0

20,0

44,4

9,3

22,6

41,8

10,1

12,6

1,50

13,0

25,7

19,1

47,3

9,0

21,1

44,4

9,6

12,4

1,60

12,1

26,8

18,4

51,4

8,8

20,0

48,2

9,2

12,3

1,70

11,4

27,9

17,8

55,8

8,6

19,2

52,4

9,0

12,3

1,80

10,9

28,8

17,4

59,4

8,4

18,5

56,1

8,7

12,2

1,90

10,5

30,4

17,1

63,0

8,3

18,0

60,2

8,6

12,2

2,00

10,1

31,6

16,8

67,6

8,2

17,5

62,5

8,4

12,2

O valor do momento positivo é dado por: M = pa 2 /m e do negativo por X = pa2 /n a é o vão com o maior número de engaste. Caso o número de engaste seja o mesmo nas duas direções, a é o menor vão.

3.42

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes  ___________________________________________________________________________ Tabela 3.11 B –   Momentos fletores, regime elástico, carga uniforme (Tepedino)

Tipo

b/a

ma

mb

na

ma

mb

na

nb

ma

mb

na

nb

0,50 113,6

47,9

33,7 222,2

72,7

49,3 35,2

-

-

-

-

0,55

88,5

44,8

28,6 161,3

64,3

40,5 30,7

-

-

-

-

0,60

73,0

42,9

25,0 123,5

58,4

34,4 27,2

-

-

-

-

0,65

60,2

42,0

22,2

99,0

54,3

29,8 24,6

-

-

-

-

0,70

53,5

41,7

20,1

82,0

51,3

26,2 22,5

-

-

-

0,75

47,2

42,0

18,5

69,0

49,5

23,4 21,0

-

-

-

-

0,80

42,9

43,0

17,3

59,2

48,4

21,2 19,7

-

-

-

-

0,85

39,4

44,2

16,3

52,4

47,9

19,5 19,2

-

-

-

-

0,90

36,5

45,7

15,5

47,4

48,0

18,1 18,7

-

-

-

-

0,95

34,2

47,8

14,8

43,1

48,6

17,1 18,4

-

-

-

-

1,00

32,4

49,8

14,3

39,7

49,5

16,2 18,3 49,5

49,5

19,4 19,4

1,10

29,9

54,7

13,5

34,8

52,3

14,8 17,7 41,3

50,4

17,1 18,4

1,20

28,0

61,5

13,0

31,6

56,5

13,9 17,4 34,8

53,0

15,6 17,9

1,30

26,7

67,2

12,6

29,4

61,6

13,2 17,4 32,7

56,4

14,5 17,6

1,40

25,8

75,0

12,3

27,9

68,0

12,8 17,4 30,1

60,7

13,7 17,5

1,50

25,3

83,9

12,3

26,7

74,1

12,5 17,5 28,3

67,3

13,2 17,5

1,60

24,8

93,0

12,1

25,9

81,4

12,3 17,7 27,1

73,7

12,8 17,5

1,70

24,4

101,8 12,0

25,3

88,7

12,1 17,9 26,1

82,4

12,5 17,5

1,80

24,2

110,2 12,0

24,9

99,6

12,0 18,0 25,5

88,2

12,3 17,5

1,90

24,0 120,4 12,0 24,5 106,5 12,0 18,0 25,1 98,9 12,1 17,5

2,00

24,0

131,6 12,0

24,3

113,6 12,0 18,0 24,7 104,2 12,0 17,5

O valor do momento positivo é dado por: M = pa2 /m e do negativo por X = pa2 /n a é o vão com o maior número de engaste. Caso o número de engaste seja o mesmo nas duas direções, a é o menor vão.

3.43

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes  ___________________________________________________________________________

Tabela 3.12 A - Momentos fletores em lajes com carga triangular (Bares)

Tipo

b/a

ma

mb

ma

mb

nb

ma

mb

nb

ma

mb

nbi

nbs

ma

mb

na

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

62,5

19,5

109

35,6

15,3

78,1

25,4

17,9

147

46,9

19,5

29,8

55,6

16,3

22,6

54,6

22,1

94,3

37,7

15,9

75,2

27,3

18,8

128

48,1

19,8

30,0

51,5

17,8

28,4

50,0

25,6

86,2

41,2

16,8

69,0

30,1

20,4

114

50,2

20,3

30,9

50,5

19,2

36,0

47,8

29,9

81,3

45,7

17,8

64,5

33,6

22,4

105

53,5

21,2

32,4

52,9

21,1

44,2

46,7

35,0

78,1

51,5

19,1

61,3

37,5

24,9

101

57,5

21,9

34,4

56,5

23,6

53,8

47,2

41,5

74,6

58,1

20,2

58,8

42,4

28,4

99,0

62,5

23,1

37,5

61,7

26,7

66,2

36,9

39,5

59,5

54,3

18,4

46,9

39,5

26,7

74,6

55,9

20,2

34,0

55,2

24,9

64,9

34,5

37,9

48,8

51,0

16,9

39,2

37,3

25,3

59,9

51,5

18,2

31,7

50,8

23,5

64,1

30,5

37,0

41,7

48,5

15,7

33,8

35,8

24,6

49,5

48,5

16,5

30,2

47,6

22,4

65,8

27,5

36,2

36,4

46,7

14,7

29,7

35,0

24,3

41,8

46,5

15,1

29,5

44,8

21,4

68,0

25,2

35,6

32,5

45,2

13,9

26,7

34,1

24,0

36,8

45,2

14,2

28,5

43,1

20,7

69,4

23,4

34,8

25,6

44,4

13,2

24,4

33,7

24,0

33,0

44,8

13,6

27,7

41,7

19,8

70,9

21,8

35,3

26,9

44,4

12,9

22,4

34,0

24,5

29,7

45,0

13,2

27,5

40,5

19,1

75,2

20,6

35,1

25,1

43,5

12,4

21,1

33,6

24,7

27,3

44,1

12,6

26,8

39,8

18,5

76,9

19,6

35,2

23,6

42,6

12,1

19,9

33,8

25,2

25,3

43,3

12,2

26,7

39,4

18,0

81,3

18,7

36,0

22,3

43,1

11,9

18,8

34,7

26,6

23,6

43,9

11,9

26,9

38,8

17,5

89,3

O valor do momento positivo é dado por: Mi = p 2 /mi e do negativo por Xi = p 2 /ni é o menor vão entre a (direção horizontal) e b (direção vertical). Tabela baseada em Bares (1972), apud  Pinheiro (2007) e adaptada pelo autor.

3.44

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes  ___________________________________________________________________________

Tabela 3.12 B - Momentos fletores em lajes com carga triangular (Bares)

b/a 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

ma

mb

na

nb

ma

mb

na

nb

ma

mb

na

nbi

nbs

104

38,6

27,8

16,3

86,2

27,6

21,6

19,5

125

48,3

34,2

20,2

31,0

112

44,1

27,9

17,7

76,3

31,9

21,8

22,1

128

52,4

33,7

21,1

32,5

86,2

52,1

28,8

19,8

68,0

37,5

22,4

26,2

122

58,8

33,6

22,5

36,0

80,0

63,7

30,5

22,5

64,1

44,1

23,9

31,9

109

65,4

34,4

24,5

40,8

81,3

75,2

32,7

25,7

64,9

53,2

26,0

39,2

99,0

74,6

35,0

27,0

47,4

84,0

90,1

35,1

29,4

67,1

64,5

27,7

48,8

97,1

87,7

37,0

30,3

56,8

72,5

87,0

31,2

27,8

58,5

62,5

25,7

51,8

80,0

83,3

32,4

28,1

57,1

64,9

86,2

28,5

26,5

52,9

62,9

23,9

53,8

70,4

82,0

29,2

26,6

57,8

59,9

85,5

26,5

25,4

48,8

63,7

22,4

56,8

63,3

82,0

26,7

25,5

59,9

55,9

84,0

24,7

24,7

45,7

64,5

21,1

61,3

57,5

83,3

24,7

24,8

62,9

52,6

82,6

23,4

23,9

43,5

64,5

20,1

64,9

53,2

82,0

23,4

23,9

65,4

49,5

81,3

22,4

23,4

41,7

64,5

19,3

69,9

49,8

81,3

22,3

23,4

69,0

46,9

81,3

21,6

23,1

40,2

65,3

18,6

75,2

46,9

81,3

21,5

23,1

74,1

44,8

79,4

21,1

22,5

39,5

65,8

18,0

76,9

45,2

79,4

21,0

22,5

76,9

42,9

79,4

20,6

22,2

38,8

69,4

17,5

81,3

43,7

79,4

20,5

22,2

81,3

41,1

80,6

20,1

22,3

38,0

73,5

16,9

89,3

42,2

80,6

20,0

22,3

92,6

O valor do momento positivo é dado por: Mi = p 2 /mi e do negativo por Xi = p 2 /ni é o menor vão entre a (direção horizontal) e b (direção vertical). Tabela baseada em Bares (1972), apud  Pinheiro (2007) e adaptada pelo autor.

3.45

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3.9 – Exemplos 3.9.1 – Exemplo 1 Para a forma abaixo de uma edificação residencial, pede-se:

Figura 3.8 – Forma para o exemplo 1  – Planta e Cortes 1- Determinar as reações de apoio das lajes, indicando-as em planta; 2- Determinar os momentos fletores no regime elástico, indicando-os em planta; 3.46

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3- Calcular as armaduras de flexão para os momentos positivos e negativos; 4- Calcular as flechas no tempo infinito; 5- Fazer o detalhamento completo das lajes, inclusive com lista e resumo dos ferros; 6- Fazer os itens 1,2,3 e 5 para o regime rígido-plástico.

DADOS:

f ck = 30 MPa (f c = 1,821kN/cm2) Brita Gnaisse Revestimento = 1 kN/m 2

CARGAS:

Peso próprio (pp)

Aço CA 60 / CA 50

Sobrecarga = 2 kN/m2 (todas as lajes)

pp = 1 x 1 x h x c = 1x1x0,10x25 = 2,5 kN/m 2 = 1,0 kN/m2

Revestimento Carga permanente

g = 3,5 kN/m2

Carga acidental (sobrecarga)

q = 2,0 kN/m2

Carga total

p = 5,5 kN/m2

p = g + q = 3,5 + 2,0

LAJE L1

Figura 3.9 – Laje L1 3.47

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Conforme a figura 3.9 essa laje em balanço suporta na sua extremidade um parapeito de alvenaria de tijolos furados ( alv = 13 kN/m3) com altura de 1,20 m e espessura de 15 cm. Além das cargas normais da laje devem ser aplicadas, segundo o item 2.2.1.5 da NBR 6120:1980 ao longo de parapeitos e balcões, uma carga horizontal de 0,8 kN/m na altura do corrimão e uma carga vertical mínima de 2 kN/m .  As cargas em um metro de largura de laje, conforme figura 3.9 a direita, são dadas por: P = 4,34 kN

M = 0,96 kNm

R = P + px1,025 = 4,34 + 5,5 x 1,025

p = 5,5 kN/m

R = 9,98 kN

X = Px1,025 + px(1,025)2 / 2 + 0,96 = 4,34x1,025 + 5,5x(1,025)2 / 2 + 0,96 X = 8,30 kNm Em algumas situações de projeto pode ser necessário determinar separadamente as reações e os momentos devidos às parcelas permanente (R g e Xg) e acidental (Rq e Xq). Rg = 2,34 + 3,5x1,025 = 5,93 kN R = Rg + Rq = 5,93 + 4,05 = 9,98 kN Rq = 2 + 2x1,025 = 4,05 kN Xg = 2,34x1,025+3,5x(1,025)2/2 = 4,24 kNm X = Xq+Xq = 4,24+4,06 = 8,30 kNm Xq = 2x1,025+2x(1,025)2/2 + 0,96 = 4,06 kNm O valor do momento de serviço no engaste é dado por: Xserv = Xg + 2 Xq = 4,24 + 0,3x4,06 = 5,46 kNm

(2 = 0,3 - tabela 1.7)

O dimensionamento à flexão em lajes se dá em uma seção retangular 100 xh, com a altura útil dada no mínimo por d = h  – 2,5 = 7,5 cm, para um cobrimento c = 2 cm 3.48

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(tabela 2.8 para CAA I). Nota-se que aqui não foi feita a compensação de momentos negativos por se tratar de uma laje em balanço. Além disso, em laje em balanço (conforme NBR 6118:2014), o dimensionamento deve ser feito para um momento final majorado por um coeficiente adicional n. X = 830 kNcm

Xd = n f  X

com f  = 1,4 e n = 1,45 (tabela 3.4)

Xd = 1,45x1,4x830 = 1685 kNcm

K



1685 1,821x100x7,52



0,164  K L

1,821x100x7,5

 A s



 A s1



 A s



 A s1



43,48

1,821x100x7,5 52,17

1 1



0,295  K'  K



1 2x0,164





1 2x0,164









0,164

2

CA 50

2

CA 60



5,68cm /m



4,73cm /m

Usando-se bitola  = 8 mm (0,503 cm 2, conforme tabela 1.4) tanto para aço CA 50 quanto para aço CA 60 obtém-se os seguintes espaçamentos: s = 100 / (5,68 / 0,503) = 8,9 cm

=

8 mm c/8 cm

CA 50 (*)

s = 100 / (4,73 / 0,503) = 10,6 cm

=

8 mm c/10 cm CA 60

Flecha  A flecha máxima na extremidade do balanço, segundo a teoria das estruturas, é dada por: f ∞ = p∞x4 / (8EIeq) + P∞x 3 / (3 EIeq) + M∞x 2 / (2EIeq), com  = 1,025 m.

3.49

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p∞ = 2,46 g + 0,738 q = 2,46x3,5 + 0,738 x2 = 10,09 kN/m P∞ = 2,46 G + 0,738 Q = 2,46x2,34 + 0,738x2 = 7,23 kN

equação (3.32)

M∞ = 2,46 Mg + 0,738 Mq = 2,46x0 + 0,738x0,96 = 0,71 kNm Para o cálculo de E Ieq compara-se o valor do momento negativo de serviço, X serv= 5,46 kNm, com o momento de fissuração M r  dado na equação (3.16a): Mr  = 0,75 h2 (f ck)2/3 = 0,75x102x(30)2/3 = 724 kNcm > Xserv = 5,46 kNm EIeq = Ecs Ic Ecs = i Eci

Estádio I

rigidez equivalente igual a rigidez da seção bruta de concreto 0,8 + 0,2 (f ck / 80) = 0,8 + 0,2x(30 / 80) = 0,875 ≤ 1,0

eq. (1.6b)

Eci = e 5600 (f ck)1/2 = 1,0x5600x(30)1/2 = 30672 MPa = 3,07 x107 kN/m2

eq. (1.5a)

e

= 1,0

i =

concreto com brita gnaisse

Ecs=0,875x3,07x107=2,69x107 kN/m2 Ecs Ic = 2,69x107x8,33x10-5 = 2238 kNm2 Ic =

(1,00x0,103 /12) = 8,33x10-5 m4

f ∞ = 10,09x1,0254 / (8x2238) + 7,23x1,0253 / (3x2238) + 0,71x1,0252 / (2x2238) f ∞ = 1,95x10-3 m = 1,95 mm ≈ 0,20 cm < f adm =  /125 = 102,5 /125 = 0,82 cm

OK!

LAJE L2  A laje L2 é uma laje alongada em que o vão menor vale 2,20 m e o maior 9,00 m, portanto uma laje armada em uma direção, conforme figura 3.10. O primeiro trecho do lado direito dessa laje (vão a da viga V5) pode ser considerado engastado (continui-

3.50

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dade com a laje L4), já o segundo, em função do vazado da fôrma, tem de ser considerado simplesmente apoiado (a viga V5 não teria rigidez suficiente à torção para engastar essa laje).

Figura 3.10 – Laje L2 Como o cálculo de uma laje armada em uma direção é equivalente ao de uma viga sobre dois apoios com largura b = 100 cm, o primeiro trecho dessa laje pode ser considerado apoiado sobre o vão a de V4 e engastado sobre o vão a de V5 (continuidade com a laje L4). Do lado esquerdo dessa laje tem-se continuidade com a laje em balanço L1, que normalmente é considerado como apoio simples. Pode-se, no entanto, considerar L2 engastada na laje em balanço L1, desde que o momento de engaste em L2 (com a totalidade das cargas) seja menor que o momento negativo de serviço da L1 (X serv,L1 = 5,46 kNm) , ou ainda mais a favor da segurança, seja menor que o devido apenas às cargas permanentes (X g,L1 = 4,24 kNm). Considerando nesse caso a pior situação de L2, ou seja, engastada em L1 e apoiada do outro lado, o seu momento de engaste seria máximo e igual a X max,L2 = 5,5x2,22/8 = 3,33 kNm. Esse valor é menor que X g,L1=4,24 kNm e portanto, poderia considerar a laje L2 engastada em L1. 3.51

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Um cálculo conservador para a laje L2 seria considerá-la simplesmente apoiada em toda a continuidade com a laje L1 e do lado direito, engastada em L4 (vão a da viga V5) e simplesmente apoiada no vão b da viga V5, devido ao vazado. Essa consideração será a adotada nesse exemplo, embora exista uma situação ainda mais conservadora que seria também considerar L2 simplesmente apoiada em toda a extensão da viga V5. O dimensionamento à flexão da laje L2 será realizado depois da compensação dos momentos, não realizada na laje L1, por ser uma laje em balanço. Flecha Como os momentos positivos acima calculados com a carga total são menores que o momento de fissuração, M r  = 724 kNcm, essa laje encontra-se no estádio I, sendo a rigidez equivalente E Ieq = EcIc = 2215 kNm 2, ambos já calculados no exemplo da laje L1.  As flechas calculadas para as duas situações da laje L2 são: (o valor de p ∞ é o mesmo da laje L1) Trecho apoiado-apoiado

f ∞ = 5x10,09x2,204 / (384 x 2238), eq. (3.17) com K=5 f ∞ = 1,4 x 10-3 m ≈ 0,14 cm < f adm = 220 / 250 ≈ 0,9 cm

Trecho apoiado-engastado f ∞ = 2x10,09x2,204 / (384x2238), eq. (3.17) com K = 2 f ∞ = 5,5x10-4 m ≈ 0,06 cm < f adm = 220 / 250 ≈ 0,9 cm Obs.: só precisa calcular a flecha no trecho apoiado-apoiado, por ser maior que a do trecho apoiado-engastado e ter sido atendido o ELS-DEF.

3.52

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LAJE L3

Figura 3.11 – Laje L3 pa = 5,5x4 = 22

pa2 = 5,5x42 = 88

Ra = r a pa = 0,183x22 = 4,03 kN/m

Ma = pa2 / ma = 88 / 25,1 = 3,51 kNm

R’b = r’b pa = 0,250x22 = 5,50 kN/m

Mb = pa2 / mb = 88 / 36,2 = 2,43 kNm

R’’b = r’’b pq = 0,432x22 = 9,50 kN/m

Xa = pa2 / na = 88 / 10,9 = 8,07 kNm

 Alternativamente, os coeficientes para os cálculos das reações, dos momentos poderiam ser linearmente interpolados nas tabelas correspondentes, resultando r a = 0,183, r’b = 0,249, r’’b = 0,430 (tab. 3.8), m a = 24,2, m b = 37,2, na = 10,6 (tab. 3.11A).

Flecha Como os momentos positivos acima calculados com a carga total são menores que o momento de fissuração M r   = 724 kNcm, essa laje encontra-se no estádio I, sendo o módulo Ecs = 2,66x107 kN/m2, ambos já calculados no exemplo da laje L1.

f 





p a4 f 1 Ecsh3 

10,09x44  0,039 2,66x107 x0,13



3,8x10 3 m  0,4cm 

3.53



400 250



1,6cm

OK

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O valor de f 1 interpolado linearmente na tabela 3.10 resulta f 1 = 0,0386 ≈ 0,039.

LAJE L4

Figura 3.12 – Laje L4 Conforme a figura 3.12 a laje L4 tem uma continuidade com L3, na borda superior, cuja extensão é de 457,5 cm, maior que (2/3) do comprimento do apoio, ou seja, 457,5 > 0,67x580 = 387 cm. Quando isso ocorre pode-se considerar a laje L4 engastada na sua borda superior comportando como uma laje do tipo C. pa = 5,5x5 = 27,5

pa2 = 5,5x52 = 137,5

= 0,183x27,5 = 4,03 kN/m

Ma = pa2/ma=137,5/27,4 = 5,02 kNm

R’’a = r’’a pa = 0,317x27,5 = 8,72 kN/m

Mb = pa2/mb=137,5/38,2 = 3,60 kNm

R’b = r’b pa = 0,207x27,5 = 5,69 kN/m

Xa = pa2/na=137,5/11,5 = 11,96 kNm

R’’b = r’’b pa = 0,358x27,5 = 9,85 kN/m

Xb = pa2/nb=137,5/13,1 = 10,50 kNm

R’a = r ’a pa

3.54

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Obs.: Considerando a direção horizontal, as duas lajes contínuas L2 e L4 têm os seguintes vãos:

L2 =

2,20 m e

L4 =

5,80 m. O valor do vão da

L2 é

maior que [(1/3)

L4]

= 1,93 m, valor

usualmente adotado para critério de engaste de duas lajes contínuas. Nesse caso, mesmo que o vão da L2 fosse menor que um terço do vão da L4, ainda assim, poderia considera-la engastada em L2, porque existe continuidade da L2 com a laje em balanço L1 (ver na figura 3.14 a posição N8, armadura negativa que se estende desde L1 até L4).

Flecha Como os momentos positivos acima calculados com a carga total são menores que o momento de fissuração M r   = 724 kNcm, essa laje encontra-se no estádio I, sendo o módulo Ecs = 2,66x107 kN/m2, ambos já calculados no exemplo da laje L1.

f 





p a4 f 1 Ecsh3 

10,09x54  0,032 2,66x107 x0,13



7,6x10 3 m  0,8cm  

500 250



2cm

OK!

COMPENSAÇÃO DOS MOMENTOS

Compensação dos negativos (Unidade kNcm) Entre

X1

X2

0,8 Xmax

Xmed

L2 – L4

333 (L2)

1050 (L4)

840*

692

L3 – L4

807 (L3)

1196 (L4)

957

1002*

(*) momentos finais compensados

Para as lajes L2 e L3, os momentos negativos finais compensados são maiores que os originais da condição de engaste perfeito. Portanto, os momentos positivos finais dessas lajes, nas mesmas direções dos negativos correspondentes, deverão ser reduzidos de ΔM = 0,3 ΔX em relação aos seus valores iniciais, mas por segurança eles serão mantidos sem redução. Para a laje L4 os dois momentos finais negativos compensados são menores que os de engaste perfeito, portanto, os positivos em cada uma das direções, deverão ser

3.55

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acrescidos do v alor ΔM = 0,3 (Xinicial - Xcompensado). Assim para as direções a e b os valores finais dos momentos positivos ficam: Ma,final = Ma,inicial + ΔM = 502 + 0,3 (1196 – 1002) = 560 kNcm Mb,final = Mb,inicial + ΔM = 360 + 0,3 (1050 – 840) = 423 kNcm

Figura 3.13 – Representação em planta das reações e momentos finais das lajes – Regime Elástico (R – kN/m e M – kNcm)

3.56

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Na figura 3.13 estão representadas as reações de apoio com os seus valores por metro e a sua localização em planta. Os valores dos momentos finais compensados, tanto os negativos quanto os positivos, estão também indicados em planta.

DIMENSIONAMENTO Os momentos finais que aparecem na figura 3.13 foram dimensionados em ordem decrescente conforme a tabela abaixo. Para os momentos negativos, que são os maiores, o dimensionamento foi obtido considerando-se tanto o aço CA 50, quanto o CA 60. O asterisco entre parênteses (*) indica a opção adotada no detalhamento desses momentos (a mesma usada para o dimensionamento do momento da l aje em balanço L1).

Dimensionamento à flexão h = 10 cm, d = 7,5 cm, KL = 0,295, (d/h) = 0,75 Momento kNcm X=1002

X=840

K

0,137

0,115

As,cal (cm2/m)

Bitola e espaçamento

Aço

4,65>(1,58)a

8 c/10 cm

CA 50(*)

3,87>(1,50)a

8 c/12,5 cm

CA 60

3,84>(1,58)a

8 c/13 cm

CA 50(*)

3,20>(1,50)a

6,4 c/10 cm

CA 60

5,68>(1,58)a

8 c/8 cm

CA 50(*)

4,73>(1,50)a

8 c/10 cm

CA 60

XBAL=830**

0,164

M=560

0,077

2,11>(1,00)b

6 c/13 cm

CA 60

M=423

0,058

1,56>(1,00)b

5 c/12,5 cm

CA 60

M=351

0,048

1,29>(1,00)b

5 c/15 cm

CA 60

M=333***

0,046

1,22(1,58)a

8 c/20** cm

CA 50

M=444

0,061

1,64>(1,00)b

5 c/11 cm

CA 60

M=398

0,054

1,47>(1,00)b

5 c/13 cm

CA 60

kNcm

3.64

Bitola e espaçamento

Aço

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M=335

0,046

1,23>(1,00)b

5 c/15 cm

CA 60

M=333***

0,046

1,22< (1,50)a

5 c/13 cm

CA 60

M=200***

0,027

0,73 f adm = 2,4 cm

Como a flecha ainda não foi atendida, pode-se adotar nesse caso uma contra-flecha de pelo menos (3,05  – 2,40 = 0,65 cm) que é menor que a c ontra-flecha máxima permitida pela

NBR 6118:2014 (cf max) =  / 350 = 1,71 cm.  Adotando-se por exemplo uma contraflecha de 1 cm, a flecha final fica: f final = 3,05 – 1 = 2,05 cm < f adm = 2,4 cm

3.69

OK!

CONCRETO ARMADO I - CAPÍTULO 4 Departamento de Engenharia de Estruturas  – EE-UFMG Junho 2018

CONTROLE DA FISSURAÇÃO  ____________________________________________________________________________

4.1 – Introdução Segundo o item 13.4.1 da NBR 6118:2014 a fissuração é um fenômeno inevitável no concreto armado (não protendido), devido à sua baixa resistência à tração, normalmente desprezada no projeto. Durante muito tempo a fissuração foi considerada uma desvantagem do concreto armado e responsável por uma parcela importante na corrosão das armaduras. Os estudos mais recentes atribuem à pequena espessura e à qualidade do concreto de cobrimento das armaduras, as parcelas mais importantes para a corrosão das armaduras, ficando a fissuração responsável por uma corrosão mais localizada.  A baixa resistência à tração do concreto faz com que as estruturas de concreto armado funcionem fissuradas já para baixos níveis de carregamento, reduzindo consideravelmente a rigidez da estrutura (estádio II). A partir do início da fissuração, a distribuição interna das tensões é bastante modificada e o concreto armado passa a apresentar comportamento não-linear mais acentuado.  A abertura das fissuras deve ser controlada adequadamente, visando um melhor desempenho na proteção das armaduras contra a corrosão e uma aceitabilidade sensorial dos usuários. Esse controle depende da classe de agressividade ambiental mostrado na tabela 4.1, respeitando os valores limites das fissuras da tabela 4.2.

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Tabela 4.1 – Classes de agressividade ambiental (Tab. 6.1 da NBR 6118:2014) Classe de agressivi-

Agressivi-

Classificação geral do tipo de

dade ambi-

dade

ambiente para efeito de projeto

ental I

Fraca

II

Moderada

III IV

(a)

Forte Muito forte

Rural Submersa Urbanaa,b Marinhaa Industriala,b Industriala,c Respingos de maré

Risco de deterioração da estrutura Insignificante Pequeno Grande Elevado

Pode-se admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda (uma classe acima) para ambientes internos secos (salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de apartamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura).

(b)

Pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (uma classe acima) em obras em regiões de clima seco, com umidade média relativa do ar menor ou igual a 65%,  partes da estrutura protegidas de chuva em ambientes predominantemente secos ou regiões onde raramente chove.

(c)

Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento em indústrias de celulose e papel, armazéns de fertilizantes, indústrias químicas.

4.2

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Tabela 4.2 – Exigências de durabilidade relacionadas à fissuração e à proteção da armadura passiva, em função das classes de agressividade ambiental. (Adaptada da tabela 13.4 da NBR 6118:2014)

Tipo de concreto estrutural

Classe de agressivi- Exigências relativas dade ambiental

à fissuração

Combinações de ações em serviço

(CAA) Concreto simples

a utilizar

CAA I a CAA IV

Não há ELS-W

CAA I Concreto armado

-

wk,lim ≤ 0,4 mm ELS-W

CAA II a CAA III

wk,lim ≤ 0,3 mm

Frequente

ELS-W

CAA IV

wk,lim ≤ 0,2 mm

 Ainda de acordo o item 13.4.1 da NBR 6118:2014: “ 

De uma maneira geral, a presença de fissuras com aberturas que respeitem os

limites dados em 13.4.2,”  (tabela 4.2) “em estruturas bem projetadas, construídas e submetidas às cargas previstas na normalização, não implicam em perda de durabilidade ou perda de segurança quanto aos estados limites últimos.”  “   As fissuras podem ainda ocorrer por outras causas, como retração plástica térmica ou devido a reações químicas internas do concreto nas primeiras idades, devendo ser evitadas ou limitadas por cuidados tecnológicos, especialmente na definição do traço e na cura do concreto”.

Segundo Tepedino (1980) “as aberturas máximas das fissuras, que se pode admitir sem detrimento à aparência de uma peça e sem acarretar sentimentos de alarma, depende da posição, profundidade, textura superficial e condições de iluminação das mesmas. Fatores tais como o tipo e a finalidade da estrutura, bem como o

4.3

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 próprio ponto de vista dos usuários e seu condicionamento psicológico face ao problema, influem decisivamente na fixação de limites de aceitabilidade das fissuras, sob o aspecto estético. A máxima abertura que em quaisquer condições jamais causaria impacto psicológico está provavelmente compreendida entre 0,1 mm a 0,3 mm”  (va-

lores 0,2 mm a 0,4 mm atualizados na NBR 6118:2014). Segundo o item 13.4.2 da NBR-6118:2014, desde que a abertura máxima característica wk,lim das fissuras não exceda valores da ordem de 0,2 mm a 0,4 mm, conforme a tabela 4.2, sob ação das combinações frequentes, isso não contribui significativamente na corrosão das armaduras passivas. Embora as estimativas de abertura de fissuras, feitas a seguir, devam respeitar os limites da tabela 4.2, não se deve esperar que as aberturas reais correspondam aos valores estimados, ou seja, fissuras reais podem ultrapassar eventualmente esses limites (item 13.4.2 da NBR 6118:2014). De uma maneira geral costumam-se aceitar valores estimados até 20% superiores aos limites normalizados.  A estanqueidade é um dos aspectos mais importantes nos projetos de reservatórios. Ela pode ser bastante prejudicada por fissuras maiores que os limites aceitáveis, em torno de 0,2 mm. Essa situação se agrava porque a percolação de água acelera a corrosão da armadura. Nesse caso pode-se até adotar o estado limite de formação de fissuras, que acarretaria paredes com espessuras maiores. Segundo o item 13.4.3 da NBR 6118:2014 para controle mais efetivo da fissuração nessas estruturas é conveniente o uso da protensão. Segundo a NBR-6118:2014, entende-se controle da fissuração quanto à aceitabilidade sensorial, a situação em que as f issuras passam a causar desconforto psicológico aos usuários sem, entretanto comprometer a segurança da estrutura. Limites mais severos de abertura de fissuras podem ser adotados, de comum acordo com o contratante.

4.4

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4.2 – Tipos de fissuras  As fissuras podem ser classificadas em dois grupos conforme elas sejam ou não produzidas pela ação de cargas:

4.2.1 – Fissuras não produzidas por cargas 

Fissuras devidas ao abatimento do concreto ainda plástico.



Fissuras devidas a alterações volumétricas (retração e efeitos térmicos), desde que a peça esteja restrita.



Fissuras devidas à corrosão das armaduras.

4.2.2 – Fissuras produzidas por cargas  A figura 4,1 mostra uma barra genérica submetida à esforços e as as correspondentes fissuras produzidas pelos mesmos.

Figura 4.1 – Fissuras produzidas por cargas 4.5

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4.3 – Estado limite de abertura das fissuras (ELS-W) 4.3.1 - Controle da fissuração através da limitação da abertura estimada das fissuras O item 17.3.3 da NBR-6118:2014 estabelece as condições necessárias para a verificação dos valores limites para abertura das fissuras (tabela 4.2) nos elementos estruturais lineares, analisados isoladamente e submetidos à combinação de ações conforme o item 11, dessa mesma norma. O valor final da abertura das fissuras pode sofrer a influência de fatores de difícil determinação, como por exemplo, as restrições às variações volumétricas e também as condições de execução da estrutura. Por essas razões os critérios definidos a seguir, devem ser encarados como uma avaliação aceitável para o comportamento geral do elemento estrutural, mas não garantem com precisão a abertura específica de uma fissura. Para cada elemento isolado ou grupo de elementos da armadura passiva que controlam a fissuração do elemento estrutural, deve ser considerada uma área Acr  do concreto de envolvimento, formada por um retângulo cujos lados não distam mais que

7,5 do eixo do elemento da armadura, conforme mostrado na figura 4.2. O valor estimado da abertura característica da fissura

k,

determinada para

cada parte da área de envolvimento, é a menor entre as obtidas pelas expressões abaixo:

k 



k  

i

σ si

3σ si

12,5η1 Esi f ctm

i

12,5η1

  4     45  Esi  ρri   σ si

Onde: 4.6

(4.1)

(4.2)

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i,

si,

Esi,



Acri

é a área da região de envolvimento protegida pela barra i;



Esi

é o módulo de elasticidade do aço da barra considerada;



ri

são definidos para cada área de envolvimento em exame;

ri

é a taxa de armadura passiva em relação à área da região de envolvimento Acri ( ri = Asi / Acri);



é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura consi-

si

derada, calculada no estádio II; 

é o coeficiente de aderência da armadura considerada;

1

( 

f ctm

1,CA 25 =

1,0 -

1,CA 50 =

2,25 -

1,CA 60 =

1,40) – tab. 1.5

é o valor da resistência média ou característica do concreto à tração dada nas equações (1.12).

Figura 4.2 – Concreto de envolvimento da armadura 4.3.1.1 – Cálculo da tensão  A tensão

si,

si de

forma aproximada

conforme a NBR 6118:2014, deve ser calculada no estádio II, ou

seja, seção fissurada (ver item 4.3.1.2). Uma maneira de se obter de forma simples e aproximada essa tensão é, segundo Tepedino (1980), dada por: 4.7

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σ

si,aprox



f yd

As,cal

f,real

(4.3)

Ase

Onde: 

f yd

é a tensão de cálculo ao escoamento da armadura; é o coeficiente de ponderação aproximado das ações;



f,real



As,cal

é a armadura (total) de tração calculada para a seção transversal;



Ase

é a armadura (total) de tração efetivamente colocada ou existente. Em (4.3) a armadura calculada foi obtida para o aço trabalhando com a tensão

f yd e a solicitação (momento) majorada com o coeficiente f . Normalmente o coeficiente f   é igual a 1,4. A solicitação de cálculo resulta Sd =

Sqk). A solicitação de serviço é dada por Sserv = Sgk +

1

f,real =

1,4 Sk = 1,4 (Sgk +

Sqk < Sk, conforme as tabelas

1.8 e 1.9. A solicitação de cálculo pode ser dada por Sd = de (

f  Sk =

f,real Sserv,

em que o valor

Sd / Sserv) é sempre maior que o de f .

 As parcelas, permanente ( Sgk) e acidental (Sgk) da solicitação ( Sk), devem ser previamente conhecidas, caso contrário, as mesmas podem ser estimadas a partir de percentuais usuais médios, como por exemplo: ( Sgk = 70% Sk) e (Sqk = 30% Sk). Considerando esses valores, a combinação frequente (combinação normalizada para ELS-W) e edifício residencial, onde o valor

f, aprox



Sd Sserv



1

= 0,4, o coeficiente (

1,4(Sgk   S qk  )  1,4Sk  S gk   0,4Sqk 



0,7Sk   0,4  0,3Sk 



1,4Sk  0,82Sk 



f,aprox)

fica:

(4.4)

1,7

No cálculo da abertura estimada das fissuras, deve-se adotar o menor valor entre as equações (4.1) e (4.2). Nas duas equações aparece a tensão

si,

que nesse

item é calculada de forma aproximada. Apenas na equação (4.2) aparece a t axa

ri =

Asi / Acri, que é obtida individualmente para cada área de envolvimento Acri com sua armadura Asi. No entanto, no cálculo aproximado da tensão

4.8

si,

equação (4.3), é

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usada a área total de aço Ase (somatório das áreas das barras isoladas Asi). Considerando que Acr  é o somatório das áreas de envolvimento Acri, pode-se de forma aproximada ter:

Acr  =  Acri 

ρr



Ase Acr



(4.5)

ρri



Asi

(4.6)

Acri

 Analogamente

ρ r,cal

A s,cal

(4.7)



A cr

Como consequência a equação (4.3) pode ser reescrita:

σ si



f yd

ρr,cal

γ f,real

ρr

(4.8)

Levando-se a equação (4.8) nas expressões das aberturas estimadas fissuras, equações (4.1) e (4.2), e substituindo

k por

k,lim (aberturas

k das

limites das fis-

suras da tabela 4.2), obtém-se duas novas equações onde a única incógnita será a relação (

rcal /

r ),

ou inversamente ( r  /

rcal)

= (Ase /As,cal).

Para calcular a abertura estimada das fissuras adota-se o menor valor de

k,

dado nas equações (4.1) ou (4.2). Da mesma forma, para atender a fissuração com a valor limite

k,lim, adota-se

a menor relação (Ase /As,cal), dado nas equações (4.13) ou

(4.16) a seguir, lembrando-se que em nenhuma hipótese essa relação poderá ser menor que um, como visto a seguir . Não se pode adotar uma relação menor que um porque isso significaria usar uma armadura inferior àquela calculada à flexão, que atende aos requisitos do estado limite último. Do exposto vem:

4.9

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k,lim

k,lim





  f yd   ρr,cal    f yd    3  f,real  r   f,real         

i

12,5

Esi

1

i

12,5η1

ρr,cal  ρr

   

f ctm

  f yd    ρr,cal       f,real   ρr    4             45  Esi  ρr  

Reescrevendo-se a equação (4.9) para (

r  / r,cal)

(4.9)

(4.10)

= (Ase /As,cal) e fazendo-se

conforme Tepedino (1980):

a



i f yd

12,5η1

f,realEsi

(4.11) k,lim

tem-se:

1

3a f yd  A s,cal  



2



(4.12)

  f, realf ctm   A se  

Portanto, pela primeira das equações de wk, equação (4.1), a relação entre as áreas efetivamente colocada ou existente  Ase e a calculada As,cal fica:

Ase As,cal

3a f yd



f, realf ctm

1

(4.13)

 Analogamente reescrevendo-se a equação 4.10 em função de aw, obtém-se:

1a

ρr,cal ρr

  4     45   a  ρr  

4.10

ρr,cal ρr

2

4  45ρr 

(4.14)

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Resolvendo-se a equação acima do segundo grau em sível para

r ,

obtém-se o valor pos-

r :

ρr



22,5a ρr,cal



22,5a ρr,cal 2



4a ρr,cal

 

(4.15)

ou ρr



ρr,cal

Ase As,cal



22,5a

22,5a 2 



4a



1

(4.16)

ρr,cal

Para atender a fissuração deve-se adotar a menor relação obtida nas equações (4.13) e (4.16). Caso uma delas inicialmente resulte em um número menor que 1, significa que a armadura já calculada à flexão As,cal, atende à fissuração e portanto,

Ase = As,cal, não precisando verificar a outra relação. Particularizando-se a verificação da fissuração para aço CA 50, o valor de a dado na equação (4.11) fica:

a





7,361 10

5

 

i f,real

(4.17)

k 

 As equações (4.13) e (4.16) representam a verificação da fissuração quando se usa de forma aproximada a tensão σsi. Caso essa tensão seja calculada com o coeficiente

f=

1,4, menor que

4.3.1.2 – Cálculo da tensão  A tensão de serviço

, a verificação ao ELS-W fica a favor da segurança.

f,real

si no

si foi

Estádio II

calculada no item anterior com o valor aproximado

dado pela equação (4.3). Essa tensão será calculada agora, como recomenda a NBR-

6118:2014, ou seja, no estádio II. Para isto seja a figura 4.3, onde uma seção transversal está apresentada com sua armadura de compressão A’s e de tração As, assim

4.11

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como a profundidade da linha neutra no estádio II, xII. O diagrama de tensões de compressão no concreto é linear (linha cheia) e na tração as tensões são desprezadas (linha tracejada).

Figura 4.3 – Seção retangular genérica para cálculo de xII Inicialmente deve-se homogeneizar a seção, isto é, transformá-la em um único material, normalmente no material com menor módulo de elasticidade, no caso o concreto, usando a seguinte relação entre os módulos:

n

Es 

Ecs

 

(4.18)

Em seguida obtém-se a profundidade da linha neutra xII, que passa pelo centro geométrico da seção homogeneizada, igualando-se por definição do CG, o momento estático das áreas acima da LN ( bxII e nA’s) com o da área abaixo (nAs).

bX II 

X II 2





A's X II



  nA' s X II  d'  nA s d  X II   

d'

(4.19)

O primeiro termo de (4.19) refere-se ao momento estático da área bXII (que contempla a área A’s) em relação à linha neutra. O segundo termo de (4.19) retira do primeiro, exatamente o momento estático da área A’s, ocupada pela armadura de 4.12

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compressão. Essa área transformada numa área equivalente em concreto resulta em (n A’s), cujo momento estático em relação a LN é igual ao terceiro termo de ( 4.19).  Agrupando-se o segundo e terceiro termo de (4.19) obtém-se:

(n – 1) A’s (XII – d’) = n’ A’s (XII – d’) 

com n’ = (n – 1)

(4.20)

Levando-se (4.20) em (4.19) obtém-se a seguinte equação do segundo grau em XII: 2

bX II 2



nAs  n' A's X II  nAs d  n' A's d'  0  

(4.21)

Que depois de resolvida fornece a profundidade da LN no estádio II:

XII

 A 

A

2



(4.22a)

B

Com A

B





nA s  n' A's  b

 

(4.22b)



2 nA s d  n' A's d' b



 

(4.22c)

O momento resistente interno das resultantes de compressão no concreto ( Rcc  – A’s σ ), da armadura comprimida R’s = A’s σ' , e da armadura de tração Rst = As σ '

c

s

s

, em relação à LN é dado por: 2

M LN



bXII 3

σc





  A'

A's σ'c XII d'

s



σ's XII



  A σ d  X   

d'

s

s

II

(4.23)

Por semelhança de triângulos no diagrama de tensões da figura 4.3, as tensões de compressão e de tração nas armaduras são obtidas em função da tensão máxima de compressão no concreto σc, resultando: 4.13

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Fissuração  ___________________________________________________________________________ σ'c

σc 

X II

σ'c



σ's



σ

s

σ's 

X II

X II

n







n







d'

d'

X II n X II

σs

σc



d'

X II





n d

 X II 



X II

 

(4.24a)

 

σc

σ

X II

d

c

(4.24b)  

(4.24c)

 

(4.24d)

Levando-se esses valores na equação (4.23) obtém-se:

M LN

2 2 2 2  bXII A's X II d' nA' s X II d' nA s d  X II       σ c  3 X X X II II II  

I II X II

σ

c

(4.25)

De onde se tira o valor do momento de inércia no estádio II ( III)

I II



bXII

3



nA s d  X II



3

  n' A's XII  d' 2

(4.26)

Para o concreto a tensão máxima de compressão no estádio II, é dada por:

σ

c 

M LN



M serv

I II

(4.27)

X II

 As tensões nas armaduras são dadas por:

σ's



n

M LN I II

x II



Armadura comprimida



d'

4.14

(4.28a)

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σ

s



σ

si



n

M LN I II

Armadura tracionada

d - x II 

(4.28b)

4.3.2 – Controle da fissuração sem a verificação da abertura das fissuras De acordo o item 17.3.3.3 da NBR 6118:2014, “Para dispensar a avaliação da grandeza da abertura de fissuras e atender ao estado limite de fissuração (para aberturas máximas esperadas da ordem de 0,3 mm para o concreto armado e 0,2mm para o concreto com armaduras ativas), um elemento estrutural deve ser dimensionado respeitando as restrições da tabela 17.2” , (4.4) abaixo, “ quanto ao diâmetro máximo   ax  ( m  ) e ao espaçamento máximo (smax   ) das armaduras passivas, bem como as exi-

gências de cobrimento (Seção 7) e de armadura mínima (ver 17.3.5.2). A tensão

 s

deve ser determinada no estádio II.” 

Tabela 4.4 – Valores máximos de diâmetro e espaçamento, com barras de alta aderência. – Tab. 17.2 da NBR 6118:2014 Tensão na barra s ou Δσpi

(MPa)

Valores máximos Concreto sem armaduras

Concreto com armaduras ati-

ativas

vas

max 

(mm)

smax  (cm)

max 

(mm)

smax  (cm)

160

32

30

25

20

200

25

25

16

15

240

20

20

12,5

10

280

16

15

8

5

320

12,5

10

6

-

360

10

5

-

-

400

8

-

-

-

 Δσpi é o acréscimo de tensão na armadura protendida aderente entre a total

obtida no estádio II e a protensão após as perdas.

4.15

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4.4 – Exemplos 4.4.1 – Exemplo 1 Estimar o valor da abertura de fissura para uma viga de seção retangular 20 X40 cm2, f ck = 20 MPa, aço CA 50, momento fletor solicitante M = 4000 kNcm, obra urbana, cobrimento c = 2,5 cm, para as seguintes bitolas: a)

 =

16 mm

b)

 =

12,5 mm



FLEXÃO - CÁLCULO E DETALHAMENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL

f ck = 20 MPa,  As,cal = 3,97 cm2

f c = 1,214 kN/cm2 2  16 mm

d = 36 cm (As,e = 4,02 cm2)

4  12,5 mm (As,e = 4,91 cm2)

k = 0,178 < KL = 0,295 7,5 = 12 cm 7,5 = 9,375 cm

Figura 4.4 – Opções de detalhamentos da seção transversal para o exemplo 1

4.16

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No detalhamento para 2  16 mm (figura 4.4) o valor correto para a distância d’’ seria (c + t + 0,5L) = (2,5 + 0,5 + 0,5x1,6) = 3,8 cm, mas foi adotado o valor d’’ = 4* cm, que implica em d = 36 cm, valor considerado no cálculo da armadura. O valor (7,5  = 12 cm) só pode ser aplicado para cima do eixo das duas barras. Para baixo o valor disponível é de 4* cm, mesmo valor adotado para as distâncias laterais. Entre os centros das duas barras resulta 12** cm, ficando para cada barra uma região de envolvimento Acr1 = Acr2 = (10x16 = 160 cm 2). Nessa situação ρr1 = ρr2 = Asi / Acri = 2,011 / 160 = 0,0126, mesmo valor para ρr  = Ase / Acr  = 4,02 / 320 = 0,0126.  Analogamente, no detalhamento para 4  12,5 mm, o valor 4* cm foi adotado tanto para d’’ quanto para as distâncias laterais. Dessa forma resulta para as barras laterais

 Acr1 = A cr4 = (4 + 0,5x4)(13,375) = 80,25 cm 2. Para as duas barras centrais A cr2 = A cr3 = (4)(13,375) = 53,5 cm 2. Assim ρr1 = ρr4 = 1,227 / 80,25 = 0,0153 e ρr2 = ρr3 = 1,227 / 53,5 = 0,0229. O valor de ρr  = Ase / Acr  = 4,91 / 267,5 = 0,0183.



DETALHAMENTO PARA BITOLA  = 16 mm ( σ si  de forma aproximada)

Nesse detalhamento tanto faz calcular as aberturas estimadas das fissuras para cada barra isoladamente ou para as duas conjuntamente, isso porque ρri = ρr  = 0,0126. Será adotada a tensão de serviço no estádio II de forma aproximada, conforme equação (4.3), com γf  = 1,7 (valor aproximado a ser usado quando não se conhece as parcelas permanente e acidental do carregamento). Pela equação (1.13a) para f ck = 20 MPa < 50 MPa a resistência média à tração é dada por: f ctm = 0,3 (f ck)2/3 = 0,3x(20)2/3 = 2,21 MPa = 0,221 kN / cm 2. De (4.3) a tensão de serviço aproximada fica (para f. = f,aprox. = 1,7):

σ si



f yd  A s,cal γ f 

 A se



 

43,48 3,97 1,7 4,02



25,26kN/cm2

Pela equação (4.1)

4.17

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Fissuração  ___________________________________________________________________________ k 

σ si 3σ si

i

12,5η1 Esi f ctm



16

25,26 3x25,26

12,5x2,25 21000 0,221

 0,24mm

Pela equação (4.2)

k 

  4   16 25,26   4   45    45   0,25mm  12,5η1 Esi  ρri     12,5x2,25 21000  0,0126 i

σ si

Como se deve adotar o menor dos valores, a abertura estimada da fissura é de k = 0,24 mm < k,lim = 0,3 mm (tabela 4.2 para CAA II, ambiente urbano). Nesse caso o estado limite de fissuração foi atendido. Obs. 1: - Como foi pedido o valor estimado da fissura, calculou-se os dois valores para k,

equações (4.1) e (4.2), e adotou-se o menor. Caso fosse pedido apenas a verifi-

cação do ELS-W (exemplo 2) e como já com a primeira equação (4.1), esse estado limite de utilização foi atendido, k = 0,24 mm < wk,lim, não é necessário calcular k pela segunda equação. Obs. 2: - A equação (4.1) não depende de ρr  e, portanto, do detalhamento da seção transversal. Depende apenas da relação (A s,cal / Ase), com a qual se obtém a tensão σ si

 de forma aproximada.



DETALHAMENTO PARA BITOLA  = 12,5 mm ( σ si  de forma aproximada)

Nesse detalhamento as áreas de envolvimento A cri das barras laterais e das barras internas são diferentes, assim como as taxas ρri. Essa diferença afeta apenas o cálculo da abertura estimada pela equação (4.2). Para f. = f,aprox.  = 1,7, obtém-se:

σ si



f yd  A s,cal γ f 

 A se



 

43,48 3,97 1,7

4,91



20,68kN/cm2

Pela equação (4.1) para as 4 barras 4.18

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Fissuração  ___________________________________________________________________________ k 

i

σ si 3σ si

12,5η1 Esi f ctm



12,5

20,68 3x20,68

12,5x2,25 21000 0,221

 0,12mm

Pela equação (4.2) para as barras laterais, ρr1 = ρr4 = 0,0153

k 

  4   12,5 20,26   4   45    45   0,13mm  12,5η1 Esi  ρri     12,5x2,25 21000  0,0153 i

σ si

Pela equação (4.2) para as barras internas, ρr2 = ρr3  = 0,0229

k 

  4   4   45   12,5 20,26    45   0,09mm  12,5η1 Esi  ρri     12,5x2,25 21000  0,0229 i

σ si

Entre os dois valores obtidos pela mesma equação (4.2), deve-se adotar, a favor da segurança ao ELS-W, o que conduz à maior abertura estimada da fissura (w k = 0,13 mm). Esse valor é sempre obtido para a barra com a menor taxa ρri, no caso, as barras 1 e 4 desse detalhamento. O valor final da abertura estimada da fissura é de w k = 0,12 mm < wk,lim = 0,3 mm. Esse valor é menor que o apresentado para  = 16 mm por dois motivos: 

primeiro, porque  = 12,5 mm <  = 16 mm e a bitola está no numerador nas duas equações (4.1) e (4.2);



segundo, porque a relação (As,cal/Ase)=12,5 = (3,97/4,91) = 0,81 < (As,cal/Ase) =16 = (3,97/4,02) = 0,99, que implica em tensão

σ si

também menor.

Considerando-se o valor total ρr  = (Ase / Acr ) = 4,91 / 267,5 = 0,0183, valor intermediário entre os dois anteriormente usados, resulta pela equação (4.2):

k 

  4   12,5 20,26   4   45    45   0,11mm  12,5η1 Esi  ρri     12,5x2,25 21000  0,0183 i

σ si

4.19

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 Analisando-se os três valores de abertura estimada da fissura dados pela equação (4.2), wk = 0,09 mm (ρr2 = ρr3), wk = 0,13 mm (ρr1 = ρr4) e wk = 0,11 mm (ρr ), notase que o menor valor, wk = 0,09 mm, é obtido para o maior valor da taxa ρri = ρr2 = ρr3 = 0,0229. Entre os três, deve ser usado o maior valor, por ser a favor da segurança ao ELS-W. Obs. 1: - Como comentado pela NBR 6118:2014, a abertura real pode eventualmente ser maior que a estimada e devido à grande variação dos fatores envolvidos, até 20% de diferença pode ser aceitável. Comparando as aberturas estimadas das fissuras com ρr1 = ρr4 = 0,0153 e com ρ r  = 0,0183 essa diferença fica em torno de 15%. Com

isso, quando se usa a tensão

σ si

 de forma aproximada, pode-se usar apenas a taxa

da armadura total, ρr  = (Ase / Acr ). Obs. 2: - Como nesse exemplo não foram fornecidas as parcelas permanente e acidental do momento M = 4000 kNcm, não é possível conhecer o momento de serviço Mserv = Mg + 1Mq, a não ser que se calculasse de forma aproximada M serv = (Mserv / ). Portanto esse exemplo não será avaliado com a tensão σ si  calculada no es-

γf,aprox.

tádio II (ver exemplo 3).

4.4.2 – Exemplo 2 Com os mesmos dados do exemplo 1, verificar a fissuração para a bitola  = 12,5 mm, usando-se as fórmulas (4.13) e (4.16). Como foi visto no exemplo 1, a bitola de 12,5 mm atende à fissuração para uma abertura limite k,lim = 0,3 mm para as duas equações de cálculo da abertura estimada das fissuras. Portanto ao se fazer a verificação pelas fórmulas (4.13) e (4.16), em ambas, a relação entre as áreas existente e calculada deve ser menor que 1, embora não se possa adotar essa relação para atender ao ELU de flexão. As equações (4.13) e (4.16) foram obtidas para a tensão

σ si

 calculada de forma aproximada.

Para f  = f,aprox = 1,7, aço CA 50, com k,lim = 0,3 mm de (4.17) resulta: 4.20

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Fissuração  ___________________________________________________________________________ a  7,361 10

i

5

γ f Wk

 7,361x105

12,5 1,7x0,3

 1,804x10 3

De (4.13):

 A se  A s,cal



3af yd γ f f ctm



3x1,804x10-3 x43,48 1,7x0,221

0,79  1 



 A se  A s,cal



1

Como a relação das áreas foi menor que 1, a fissuração é aceitável, não sendo necessário verificar pela segunda equação. Mesmo assim: 22,5 a = 22,5x1,804x10-3 = 0,0406

 A se  A s,cal



22,5a 

2

22,5a  



4a

ρr,cal = As,cal / Acr,=12,5 = 3,97 / 267,5 = 0,0148



0,0406 

ρr,cal

2

0,0406

-3



4x1,804x10 0,0148



0,74  1

Como esperado a relação também foi menor que 1, implicando em A se = A s,cal = 3,97 cm2. Portanto, o ELS-W é atendido com a armadura calculada, ou seja, o mesmo detalhamento da figura 4.4 à direita, resultando a armadura efetivamente colocada A se = 4,91 cm2 (4  12,5 mm).

4.4.3 – Exemplo 3 Verificar a fissuração para uma viga biapoiada com 6m de vão, carga total p = 40 kN/m, sendo a carga permanente g = 30 kN/m e a acidental q = 10 kN/m, seção de 20x60 cm 2, concreto f ck = 35 MPa, aço CA 50, destinada a edifício residencial em obra urbana. Adotar  = 20 mm (3,142 cm 2). Obra urbana  (CAA II)

 k,lim

= 0,3 mm Cobrimento  c = 3 cm.

Para o cálculo à flexão, considerando-se uma única camada com barras  = 20 mm, a altura útil será dada por: 4.21

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d = h - c - estribo - (0,5  ) = 60 - 3 - 0,5 - 0,5x2 = 55,5 cm 

CÁLCULO À FLEXÃO f c = 0,85x3,5 / 1,4 = 2,125 kN / cm2 M = 40x62 / 8 = 30x62 / 8 + 10x62 / 8 = 135 (Mg) + 45 (Mq) = 180 kN.m

K

 A s

18000x1,4 2,125x20x55,5

2,125x20x55,5 

 0,192  KL  0,295

2

43,5

 1





1 2x0,192 



 K'  K  0,192

2

11,71cm

 A’s = As2 = 0

 Usando-se 4  20



mm

CÁLCULO DO VALOR

γ f  

Fd Fserv



Md Mserv



Ase = 12,57 cm2



f 

γ gMgk  γ qMqk

Mgk

 1Mqk



1,4x135  1,4x45 135  0,4x45



252 153

 1,65

Os valores de g = 1,4 e q = 1,4 para combinação última normal no ELU, estão apresentados na tabela 1.6 e o valor de 1 = 0,4, para combinação frequente no ELS, na tabela 1.7. De qualquer forma o valor final de M d é sempre 252 kNm, ou seja: Md = 1,4xMk = f x M,serv = 1,4x180 = 1,65x153 = 252 KN.m

4.22

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Fissuração  ___________________________________________________________________________ 

DETALHAMENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL bútil = b – 2(c +  ) = 20 – 2x(3 + 0,5) = 13 cm 3  20 mm na 1a camada nΦ/cam 

bútil  ah 13  2   3,75 ah  long 22

1  20 mm na 2a camada

Figura 4.5 – Detalhamento da seção transversal para o exemplo 3  A armadura, conforme detalhada na fig. 4.5, mostra que os valores corretos de d’’ = (3x4,5 + 1x8,5) / 4 = 5,5 cm e d = 60  – 5,5 = 54,5 cm, são diferentes dos adotados, resultando um novo valor corrigido da armadura A s,corr  = 11,98 cm2 < Ase = 12,57 cm2 (OK). 

Verificação para si aproximado usando-se as equações (4.13) e (4.16)

Conforme a equação (4.8) a tensão

si aproximada

4.23

é dada por:

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Fissuração  ___________________________________________________________________________

σ si,aprox



f yd  A s,cal γ f   A s,e

 



43,5 11,85 1,65 12,57



24,85kN/cm2

Para f ck = 35 MPa, f  = 1,65, aço CA 50, com k,lim = 0,3 mm e f ctm = 0,3 (f ck)2/3 = 0,3x(35)2/3 = 3,21 MPa = 0,321 kN / cm 2, tem-se:

a  7,361 10

 A se  A s,cal



i

5

3af yd

γ f  k



γ f  f ctm

 7,361x105

20 1,65x0,3

3x2,974x10-3 x43,48 1,65x0,321



 2,974x103

0,86  1



 A se  A s,cal



1

Portanto a fissuração é aceitável, evitando-se assim a verificação pela segunda equação. Mesmo assim a verificação será feita, usando-se nesse cálculo simplificado o valor de ρr,cal = As,cal / Acr   = 11,85 / 470 = 0,0252. Com (22,5 a ) = 22,5x2,97x10-3 = 0,0668, obtém-se:

 A se  A s,cal



22,5a 

2

22,5a  



4a



0,0668 

ρr,cal

2

0,0668

-3



4x2,974x10 0,0252



0,76  1

Mesmo se nessa segunda equação a relação fosse maior que 1, o ELS-W já foi atendido na primeira. 

Verificação para

si no

estádio II

Nesse caso não se usam as equações (4.13) e (4.16). O cálculo da tensão

si

no

estádio II, depende do detalhamento final da armadura (f igura 4.5). Conforme o cálculo à flexão, A’s = 0, mas para a montagem das barras transversais (estribos), deve-se ter em cada um dos seus vértices uma barra longitudinal, mesmo quando não exigida pelo cálculo. Nesse caso as duas barras longitudinais superiores , denominadas “porta 4.24

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Fissuração  ___________________________________________________________________________

estribos” ou “monta estribos”, foram adotadas com bitola no mínimo igual à dos estribos, ou seja,  ≥ 5 mm (procedimento usual). Usando-se então, 2  5 mm, como “porta estribos”, o valor de A’se = 2x0,196 = 0,39 cm2.

Para f ck ≤ 50 MPa e concreto produzido com brita gnaisse (αe = 1,0) vem: Eci

αe



αi 

0,8  0,2

Com

 A

B

1 

XII

III

20

2 

5600 f ck

20

80



1,0x5600   35

0,8  0,2x

35 80





33130MPa



Ecs

0,89

2

3313kN/cm



αiEci



2

0,89x3313   2940kN/cm 

n = 21000 / 2940 = 7,14, n’ = n – 1 = 6,14,

As = Ase = 12,57 cm2,

 A’s = A’se = 0,39 cm 2,

d’ = (3 + 0,5 + 0,5/2) = 3,75 cm.

d = 54,5 cm,

7,14x12,57  6,14x0,39   4,61 7,14x12,57x54,5  6,57x0,39x3,75   490,09

 A 

 



f ck



 A 2  B  4,61 4,612  490,09  18,00cm  

20x18,003 3



2

7,14x12,5754,5  18,00



6,14x0,39(18,00  3,75)2



158935 cm4

Para Mserv = 153 kNm obtém-se:

σ si



n

Mserv III

(d



XII )



7,14x 

15300 54,5 18,00 158935 



25,09kN/cm2

si = 25,09 kN/cm 2 ≈ si,aprox = 24,85 kN/cm 2

Pela equação (4.1) a abertura estimad a da fissura independe da taxa ρ ri de cada barra da armadura de flexão, tendo um valor único:

4.25

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Fissuração  ___________________________________________________________________________ k 

i

σ si 3σ si

12,5η1 Esi f ctm



20

24,85 3x24,85

12,5x2,25 21000 0,321

 0,20mm  w k,lim  0,3mm

Como k < k,lim, o ELS-W foi atendido. Mesmo assim, será feita uma nova verificação pela equação (4.2). Nessa verificação a barra que tiver a menor taxa ρri terá o maior valor da abertura estimada da fissura, k. Se todas as barras de flexão têm a mesma bitola, a que apresenta a menor taxa ρri é aquela que tem a maior área de envolvimento Acri. No detalhamento da figura 4.5 essa barra é a da segunda camada (barra 4), cujo valor de ρri = ρr4 = 0,0207.

k,4 

  4   20 25,09   4     45    45   0,20mm  w k,lim  0,3 mm  12,5η1 Esi  ρri     12,5x2,25 21000  0,0207 i

σ si

 Apenas como exemplo, seja a barra central 2 da primeira camada, que tem a menor área de envolvimento, portanto, a maior taxa ρr2 = 0,0879 e consequentemente a menor abertura k,2, dada por:

k,2 

4    45   0,08mm  12,5x2,25 21000  0,0879   20

25,09  

 A segurança ao estado limite de fissuração, ELS-W, será tanto maior quanto maior for a abertura estimada da fissura, portanto, a verificação deve sempre ser feita para a barra que apresentar a menor taxa ρri, ou seja, a barra 4. Obs.: - Conforme visto acima, a barra 2 é a que individualmente apresenta a maior abertura estimada da fissura. Usando a forma simplificada e a taxa geométrica total de armadura ( ρr  = 0,0267), como feito no cálculo de σsi aproximado, obtém-se o valor k =

0,16 mm. Esse valor é menor que k,4 = 0,20 mm, portanto contra a segurança

com uma diferença de 20%, ainda considerada aceitável.

4.26

CONCRETO ARMADO I - CAPÍTULO 5 Departamento de Engenharia de Estruturas – EE-UFMG Junho 2018

CISALHAMENTO  ____________________________________________________________________________

5.1 – Tensões de cisalhamento Considere, apenas por simplicidade, uma seção retangular submetida à f lexão simples inicialmente no Estádio I, ou seja, o concreto ainda não fissurado (fig. 5.1). Conforme as hipóteses da Resistência dos Materiais, o diagrama das tensões de cisalhamento (ou tangenciais) e o diagrama das tensões normais estão indicados respectivamente nas fig. 5.1b e fig.5.1c. Na fig. 5.1b,  representa a tensão de cisalhamento para pontos distantes y da linha neutra LN, dada por:

  V   b w  τ    b w I  b w I  2 VQ

 h  2     y 2   2  

(5.1)

Onde V é a força cortante atuante (solicitante) na seção transversal, Q e I são, respectivamente, o momento estático da área A1 acima de y e o momento de inércia da seção, ambos em relação à linha neutra LN.

O valor de  atinge o seu valor máximo

0, quando

y = 0, ou seja, na linha neutra,

onde Qmax = Q0 = (bw h2 / 8). Nessas condições, a relação (I / Qo) = (2/3) h = Z, representa o braço de alavanca entre as resultantes de compressão Rcc e de tração

Rtc no concreto, para o diagrama linear de tensões normais, conforme a fig. 5.1c, podendo a equação (5.1) ser reescrita como:

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Cisalhamento  ___________________________________________________________________________

Figura 5.1 – Viga com seção retangular submetida à flexão simples (Estádio I)

τ

0



VQ 0 bwI

V 

bw

V I



bwZ

 

(5.2)

Q0

 As equações (5.1) e (5.2) foram obtidas com as hipóteses da Resistência dos Materiais considerando-se material homogêneo, ou seja, concreto não fissurado, sendo, portanto, só aplicáveis no Estádio I, situação de ocorrência pouco comum para peças de concreto armado.

Considerando-se agora o concreto já fissurado, funcionando no Estádio II, as equações (5.1) e (5.2) serão válidas desde que se despreze a resistência do concreto tracionado abaixo da LN, considere distribuição linear de tensões de compressão no concreto e, além disso, que a seção seja homogeneizada. A área da armadura de tração As se transformará em uma nova área equivalente de concreto igual a (nAs), com “n” igual a relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto. Nesse caso, ainda conforme as hipóteses da Resistência dos Materiais para materiais compostos, a determinação da LN, que coincide com a profundidade da área comprimida, é obtida pela igualdade entre os momentos estáticos dessa área e da área tracionada

(n As) em relação à LN. 5.2

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O dimensionamento no estado limite último para flexão simples, Estádio III, pressupõe diagrama parábola-retângulo (simplificado em retangular) de tensões de compressão no concreto, produzidas pelo momento fletor de cálculo Md, de modo que não valem mais as equações (5.1) e (5.2), caso se pretenda obter com as mesmas o braço de alavanca Z, como relação entre

e Qo. No entanto a equação (5.2) continua

válida desde que se adote para Z, no estado limite último, o mesmo valor já obtido no dimensionamento à flexão, ou seja:

Z = d – 0,4 x = Kz d

(5.3)

No intuito de simplificar o cálculo adota-se um valor médio para Kz, que conforme a NBR 6118:2014  pode ser igual a 0,9. A tensão máxima de cisalhamento, equação (5.2), agora na situação de cálculo é dada por:

τ

Onde

0d e Vd

0d



Vd b w 0,9d



1,11 Vd bw d

(5.4)

são, respectivamente a tensão máxima de cisalhamento e a força

cortante de cálculo. Define-se a partir da equação (5.4) uma tensão convencional de cisalha-

mento de cálculo, dada por:

τ

Vd wd

(5.5)



bw d

Essa tensão não tem significado físico, apenas servirá de referência para verificações futuras da resistência da peça ao cisalhamento. Já a tensão dada pela equação (5.4) tem significado físico, representa a máxima tensão de cisalhamento na seção transversal, que pode ser reescrita conforme (5.5) como:

0d =

1,11

wd 

(5.6) 5.3

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5.2 – Elementos lineares sujeitos à força cortante (Item 17.4 da NBR 6118:2014) 5.2.1 – Hipóteses básicas (17.4.1 da NBR 6118:2014) 

As prescrições que se seguem aplicam-se a elementos lineares, armados ou protendidos, submetidos à força cortante, eventualmente combinada com outros esforços.



Não se aplicam, portanto, a elementos de volume (ex.: bloco de fundação), lajes (tratada separadamente), vigas parede e consolos curtos (ver figura 5.2).

Figura 5.2 – Elementos estruturais que não atendem as prescrições regulamentares da NBR 6118:2014 (item 17.4.1)  As condições fixadas pela NBR-6118:2014 pressupõem a analogia com o modelo em treliça de banzos paralelos, conforme fig. 5.3, e admitem dois modelos de cálculo em função da inclinação “ ” das “bielas” de compressão. Associados a esses modelos de treliça existem ainda, mecanismos internos resistentes, complementa-

res aos modelos de treliça, representado por uma componente adicional denominada Vc (força cortante interna, resistida pelos mecanismos complementares).

5.4

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Figura 5.3 – Modelo de funcionamento de viga ao cisalhamento como treliça 5.2.2 – Condições gerais (item 17.4.1.1.1 da NBR 6118:2014) Todos os elementos lineares submetidos à força cortante, com exceção dos casos indicados no item seguinte, devem conter armadura transversal mínima Asw,min constituída por estribos com taxa geométrica dada por:

sw, min 

Asw, min b w s sen



0,2 f ctm f ywk 

(5.7)

onde:

bw - é a largura média da alma; s - é o espaçamento longitudinal da armadura transversal (estribos);  - é ângulo de inclinação dos estribos em relação ao eixo da barra; f ctm - é a resistência média à tração do concreto; f ywk - é a resistência característica ao escoamento do aço dos estribos.  A resistência média à tração f ctm é dada nas equações (1.12a), para f ck ≤ 50 MPa e (1.12b) para f ck > 50 MPa (item 8.2.5 da NBR 6118:2014).

5.5

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f ctm = 0,3 (f ck)2/3 (MPa) f ctm = 2,12 ln(1+0,11f ck)

P/ concretos de classes até C50 (MPa) P/ concretos de classes C55 até C90

(1.12a)* (1.12b)*

 A resistência de cálculo do aço da armadura transversal passiva f ywd = f ywk / s, segundo o item 17.4.2.2 da NBR 6118:2014, é limitada ao valor f yd para estribos e a

70% desse valor no caso de barras dobradas. Em nenhum dos dois casos admite-se valores superiores a 435 MPa. Na prática, isso significa que a armadura transversal calculada, será a mesma para aços CA 50 ou CA 60.

f ywd = f yd

estribos

(5.8)  435 MPa

f ywd = 0,7 f yd

barras dobradas

(5.9)

 A partir das equações (5.7), (1.12a) e (1.12b) para espaçamento s = 100 cm e estribos verticais,  = 90o, obtém-se:

A sw,min 

2/3   b w 100 sen90 0,2x0,3f ck  500

 ρ w, min b w

(5.10a) Para f ck ≤ 50 MPa

w,min

A sw,min



= 0,012 f ck (2/3) 

(5.10b)

b w 100 sen900,2x2,12ln1  0,11f ck   500



(5.11a)

ρ w, min b w

Para f ck > 50 MPa w,min =

Onde

0,0848 ln (1 + 0,11 f ck )

w,min é

(5.11b)

a taxa mínima de armadura transversal, constituída por estribos

verticais, em um metro de viga.  A partir das equações (5.10b) e (5.11b), com f ck expresso em MPa, pode-se tabelar o valor de

w,min para

as classes do concreto, conforme tabela 5.1:

5.6

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TABELA 5.1 – Valores de

w,min

Grupo I – f ck ≤ 50 MPa

Grupo II – f ck > 50 MPa

ρw,min = 0,012 f ck(2/3)

ρw,min = 0,0848 ln(1+0,11f ck)

f ck (MPa)

f ck (MPa)

w,min

w,min

20

0,088

55

0,166

25

0,103

60

0,172

30

0,116

65

0,178

35

0,128

70

0,183

40

0,140

75

0,189

45

0,152

80

0,194

50

0,163

85

0,198

-

-

90

0,203

5.2.3 – Exceções às condições gerais (item 17.4.1.1.2 da NBR 6118:2014) 

a) Os elementos estruturais lineares com bw     5d (em que d é a altura útil da seção), caso que deve ser tratado como laje (ver item 19.4 da NB R 6118 );



b) As nervuras de lajes nervuradas, descritas em 13.2.4.2-a) e b), que também  podem ser verificadas como lajes. Nesse caso deve ser tomada como base a soma das larguras no trecho considerado, podendo ser dispensada a armadura transversal, quando atendido o disposto em 19.4.1;



c) Os pilares e elementos estruturais de fundação submetidos predominantemente à compressão, que atendam simultaneamente, na combinação mais desfavorável das ações em estado limite último, calculada a seção em estádio I, às condições seguintes: - nenhum ponto deve ser atingida a tensão f ctk ; - V sd  ≤ V c,  sendo V c   definido em 17.4.2.

Neste caso, a armadura transversal mínima é a definida na seção 18. (NBR 6118) 5.7

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5.2.4 – Verificação do estado limite último (item 17.4.2 da NBR 6118:2014) 5.2.4.1 – Cálculo da resistência  A resistência do elemento estrutural, numa determinada seção transversal, deve ser considerada satisfeita quando são verificadas simultaneamente a ruína por esmagamento da biela comprimida (eq. 5.12) e pela ruptura da armadura transversal tracionada (eq. 5.13), traduzidas pelas seguintes condições:

VSd ≤ VRd2 

(5.12)

VSd ≤ VRd3 = Vc +Vsw 

(5.13)

onde:

VSd - é a força cortante solicitante de cálculo, na seção; VRd2 - é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas, obtida de acordo o modelo de cálculo I ou II, descritos adiante;

VRd3 = Vc + Vsw - é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração diagonal, onde Vc é a parcela da força cortante resistida por mecanismos complementares ao da treliça e Vsw é a parcela resistida pela armadura transversal, ambas obtidas de acordo o modelo de cálculo I ou II, descritos adiante.

5.2.4.2 – Modelo de cálculo I O modelo de cálculo I admite diagonais de compressão inclinadas de um ângulo

= 45o em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural, e ainda que, a

parcela complementar Vc tenha também valor constante, independente de VSd.

a) Verificação da compressão diagonal do concreto: VSd ≤ VRd2 = 0,27

v2 f cd bw d

=

5.8

wd2 bw

d

(5.14)

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onde: α

v2



τ wd2

1



f ck  

(f ck em MPa)

250

VRd2 b wd



0,27α v2 f cd  

obs.: - embora para o cálculo de

v2

(5.16)

a unidade utilizada seja o MPa, para a obten-

ção do esforço VRd2 em kN, deve-se calcular

 A tensão

(5.15)

wd2

em kN/cm2.

wd2 representa a tensão máxima convencional de cisalhamento, aná-

loga à tensão convencional de cisalhamento

wd =

(Vd / bwd), de tal forma que para se

verificar a resistência da diagonal comprimida, equação (5.12) escrita em termos de esforços (força cortante), basta atender a expressão (5.17), escrita em termos de valores convencionais de tensões de cisalhamento, ou seja:

VSd ≤ VRd2

 (VSd / bw d) ≤ (VRd2 / bw d)

wd2 

 wd

 A tensão máxima convencional de cisalhamento

wd2,

(5.17)

será usada para verificar

a compressão diagonal do concreto, de forma indireta, e os seus valores encontramse tabelados na tabela 5.2 para todas as classes de concreto.

 A figura 5.4 representa o mesmo modelo de funcionamento de viga como treliça da figura 5.3, particularizado para o modelo de cálculo I. A resultante resistente máxima na diagonal comprimida, Rcc,max, é dada por:

Rcc,max =

cc,max bw z

(1 + cotg ) sen  

(5.18)

Onde: cc,max -

é a tensão normal máxima na diagonal comprimida de concreto;

z(1+cotg )sen - é a projeção do comprimento do painel da treliça na direção normal à essa diagonal. 5.9

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TABELA 5.2 – Valores de Grupo I – f ck ≤ 50 MPa

wd2 (Modelo

I)

Grupo II – f ck > 50 MPa

f ck  (MPa)

wd2 (kN/cm2)

f ck  (MPa)

20

0,355

55

0,827

25

0,434

60

0,879

30

0,509

65

0,928

35

0,581

70

0,972

40

0,648

75

1,013

45

0,712

80

1,049

50

0,771

85

1,082

-

-

90

1,111

wd2 (kN/cm2)

Figura 5.4 – Resultante resistente máxima da diagonal comprimida Fazendo-se o equilíbrio no “nó” da treliça correspondente ao apoio, resulta:

Vsd = VRd2 = Rcc,max sen  =

cc,max bw 0,9d

5.10

(1 + cotg ) sen2  

(5.19)

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De (5.14) e (5.19) com  = 45o, obtém-se:

VRd2 = wd2 =

wd2 (bw d)

0,45

=

cc,max (1

cc,max (1

+ cotg ) 0,45 (bw d)

(5.20)

+ cotg )

Perpendicularmente à tensão

(5.21)

cc,max atua

uma tensão máxima de tração (es-

tado duplo de tensões produzido pela flexão nas vigas). Nessa situação não se pode considerar para

cc,max  o

mesmo valor obtido nos ensaios de compressão simples

(estado simples de tensão), ficando o seu valor reduzido para

cc,max

= 0,6

(segundo o CEB). Com esse valor e considerando-se estribos verticais,

v2 f cd

 = 90o, ob-

tém-se:

VRd2 =

wd2 bw d

= 0,45x0,6

v2 f cd bw d

= 0,27

v2 f cd b w d

(5.14)

Que é o mesmo valor dado na equação (5.14), definida pela NBR 6118:2014.

b) Cálculo da armadura transversal Na equação (5.13) VRd3 = Vc + Vsw, a primeira parcela corresponde a força cortante resistente absorvida por mecanismos complementares ao da treliça, que é dada no Modelo I por:



Vc = 0

nos elementos estruturais tracionados quando a LN se situa fora da seção;



Vc = Vc0

na flexão simples e na flexo-tração com a LN cortando a seção;



Vc = Vc0 (1 + M0 / MSd,max)  2 Vc0

na flexo-compressão

Com 5.11

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Vc0 = 0,6 f ctd bw d = c0 =

f ctd 

c0 bw

d

(5.22a)

0,6 f ctd 

f ctk,inf 



0,7f ctm

γc

(5.22b)

 

(5.23)

γc

0,21 (f ck)2/3 (MPa)

f ck ≤ 50 MPa

f ctk,inf  = 0,7 f ct,m =

(1.13a)* 1,484 ln (1 + 0,11f ck)

(MPa)

f ck > 50 MPa

Onde f ctk,inf é a resistência característica inferior à tração, equações (1.13a). Tomando-se para o coeficiente de ponderação do concreto

c=

1,4, a tensão conven-

cional de cisalhamento correspondente aos mecanismos complementares, (

c0),

pode

ser dada pela seguinte expressão:

τ

c0



0,6f ctd 10

0,6x0,21 2/3 2/3 f ck   0,009f ck  1,4x10

  

f ck≤50 MPa (5.24)

τ

c0 

0,6f ctd 10



0,6x1,484 ln1   0,11f ck    0,0636ln1  0,11f ck   1,4x10

Nas equações (5.24) a unidade da tensão

c0

f ck>50 MPa

é kN/cm2, motivo pelo qual as

expressões foram divididas por 10. Portanto nas equações (5.24) deve-se usar f ck em

MPa, para se obter

c0 em

kN/cm2. Os valores de

c0 para

os dois grupos de classe

de concreto estão apresentados na tabela 5.3.

Cabe salientar que as tensões convencionais de cisalhamento

wd,

wd2

e

c0

servem apenas de referência e devem ser usadas para a determinação das resultantes das forças cortantes Vsd =

wd (bwd), VRd2 = wd2 (bwd) e Vc0 = c0 (bwd).

5.12

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TABELA 5.3 – Valores de Grupo I c0 =

f ck (MPa)

Grupo II

0,009f ck2/3 c0 

c0

c0 =

(kN/cm2)

0,0636ln(1+0,11f ck)

f ck (MPa)

c0 

(kN/cm2)

20

0,0663

55

0,124

25

0,0769

60

0,129

30

0,0869

65

0,133

35

0,0963

70

0,138

40

0,105

75

0,141

45

0,114

80

0,145

50

0,122

85

0,149

-

-

90

0,152

Da equação (5.13) a parcela resistida pela armadura transversal tracionada (Vsw = Rst sen ) é determinada conforme o esquema mostrado na fig. 5.5.

Figura 5.5 – Resultante resistente da diagonal tracionada  A resultante Rst na direção da diagonal tracionada pode ser obtida pelo produto da área total da armadura transversal, no trecho correspondente ao painel z(1+cotgα), 5.13

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pela tensão de escoamento de cálculo dessa armadura. Considerando que área de uma barra da armadura transversal vale Asw e que o número de barras no comprimento do painel é nb = [z(1+cotgα) / s], com s igual ao espaçamento das barras, a resultante Rst é dada por:

R st



Vsw



z1  cotgα s

R st senα

(5.25)

A sw f ywd

z1  cotgα 



s

A sw f ywd senα



A sw s

z1  cotgα f ywd senα

(5.26)

Dividindo-se os termos da equação (5.13) por  (bw d), para transformar as resultantes em tensões convencionais de cisalhamento, fazendo-se z = 0,9 d e considerando-se estribos (CA 50 ou CA 60) verticais (

= 90o) em vigas submetidas à f lexão

simples, onde Vc = Vc0, obtém-se:

Vsd bwd



Vc0 bwd

 A sw     s    



τ wd

Vsw

 τ wd  τ c0

b wd

 τ c0

39,15



(5.27)

(cm2 /cm)

(5.28)

*

bw  ρw bw

Para s = 100 cm, a taxa

ρw

 A sw    0,9d(43,5) s     

*

100 ρw

* w



b wd

em (5.28) se transforma na taxa

100

τ wd



τ c0

39,15

w

dada por  :

(5.29)

e finalmente

Asw

w

bw

(cm2 / m)

5.14

(5.30)

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Cisalhamento  ___________________________________________________________________________ w =

Fazendo na equação (5.29) o valor mínimo

Asw,min =

wd,min,

w,min bw,

w,min,

equações (5.10b) e (5.11b), obtém-se

para o modelo I, abaixo do qual a adoção da armadura mínima

absorve a totalidade do esforço de cisalhamento. Assim

τ wd, min

Com os valores de



39,15ρ w, min 100

w,min,



(5.31)

τ c0

equações (5.10b) e (5.11b), e

c0,

equação (5.24),

dados em função do grupo de resistência dos concretos, obtém-se duas expressões para o valor mínimo da resistência convencional de cisalhamento: Para o grupo I, ou seja, f ck ≤ 50 MPa

2/3

τ

wd, min



39,15x0,012f ck    100



2/3

0,009f ck 



2/3

(5.32)

0,0137f ck 

Para o grupo II, ou seja, f ck > 50 MPa

τ

wd, min



39,15x0,0848ln1  0,11f ck   100



 0,0636ln1  0,11f ck    0,0968ln1  0,11f ck  

(5.33) Nas equações (5.32) e (5.33) a unidade de

wd,min é kN/cm2 enquanto

a unidade

do f ck é o MPa, ou seja, entra-se com a resistência do concreto em MPa para obter a tensão convencional mínima de cisalhamento em kN/cm2. Os valores de apresentados na tabela 5.4.

5.15

wd,min estão

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Cisalhamento  ___________________________________________________________________________

Tabela 5.4 – Valores de

wd,min para

o Modelo I

Grupo I

Grupo II

wd,min=0,0137f ck2/3

f ck  (MPa)

wd,min 

wd,min=0,0968ln(1+0,11f ck)

(kN/cm2)

f ck  (MPa)

wd,min 

(kN/cm2)

20

0,101

55

0,189

25

0,117

60

0,196

30

0,132

65

0,203

35

0,147

70

0,209

40

0,160

75

0,215

45

0,173

80

0,221

50

0,186

85

0,226

-

-

90

0,231

c) decalagem do diagrama de força no banzo tracionado (item 17.4.2.2 da NBR 6118:2014) “ Quando

a armadura longitudinal de tração (flexão) for determinada através do equilí-

brio de esforços na seção normal ao eixo do elemento estrutural, os efeitos provocados pela fissuração oblíqua podem ser substituídos no cálculo pela decalagem do diagrama de força no banzo tracionado, dada pela expressão:

  VSd,max   a l   d  1  cotgα  cotgα  d  2VSd,max  Vc  

onde:

a =d

para VSd,max ≤ Vc (em módulo)

a

  0,5 d

no caso geral

a

  0,2 d

para estribos inclinados a 45º

5.16

(5.34a)

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Essa decalagem pode ser substituída, aproximadamente, pela correspondente decalagem do diagrama de momentos fletores.” 

Particularizando a equação (5.34a) para estribos verticais (

= 90 o) a decala-

gem do diagrama de momentos fletores pode ser dada, em função das tensões convencionais de cisalhamento, por: 0,5 

a d



τ wd, max



2

τ

wd, max

 τ c0 



1

  τ   2 1  c0  τ wd, max   

1

(5.34b)

(Para wd,max = wd2 a relação a /d é mínima, 0,61 para f ck = 20 MPa e 0,59 para f ck = 50 MPa. Para wd,max < 2c0 como a relação a /d fica maior que 1, deve-se ter a /d = 1)

 A “ 

decalagem do diagrama de força no banzo tracionado pode também ser obtida

simplesmente empregando a força de tração, em cada seção, dada pela expressão: 1  M Sd,max M FSd,cor   Sd  VSd cotgθ  cotgα    2 Z  Z

(5.35)

Onde M Sd,Max  é o momento fletor de cálculo máximo no trecho em análise.” 

5.2.4.3 – Modelo de cálculo II O modelo de cálculo II admite diagonais de compressão inclinadas de

, em

relação ao eixo longitudinal da peça, variando livremente entre 30o e 45o. Admite ainda que a parcela complementar Vc sofra redução com o aumento de VSd.

a) verificação da compressão diagonal do concreto:  A partir da equação (5.19) para valores de  entre 30o e 45o e com v2 f cd a

cc,max

= 0,6

expressão para VRd2 fica:

Vsd = VRd2 = Rcc,max sen  = (0,6

v2 f cd)

bw 0,9d (cotg  + cotg ) sen2   5.17

(5.36a)

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VRd2 = 0,54 Com

wd2 =

v2 f cd bw d

v2 dado

0,54

sen2  (cotg  + cotg ) =

na equação (5.15) e

v2 f cd sen2

wd2

wd2 bw

d

(5.36b)

dado por:

 (cotg  + cotg )

(5.37)

Para estribos verticais, ou seja,  = 90o, e para  = 45o, os valores de

wd2 são

os mesmos do modelo I, dados na tabela 5.2.

b) – cálculo da armadura transversal VRd3 = Vc + Vsw  

Vc = 0

(5.38)

nos elementos estruturais tracionados quando a LN se situa fora da seção



Vc = Vc1

na flexão simples e na flexo-tração com a LN cortando a seção



Vc = Vc1 (1 + M0 / MSd,max)  2 Vc1

na flexo-compressão

Com

Vc1 = Vc0 Vc1 = 0

quando VSd

 Vc0

quando VSd = VRd2, interpolando-se linearmente para valores intermediários

Definindo-se analogamente uma tensão convencional de cisalhamento proveniente de Vc1, tem-se:

5.18

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Cisalhamento  ___________________________________________________________________________

τ

Vc1 c1



(5.39)

bwd

Os valores de Vc1, ou os correspondentes valores de

c1,

estão representados

na figura 5.6.

Figura 5.6 – Valores de Conforme figura 5.6 os valores de wd2

c1

c1 (ou

Vc1) quando [

c0

(Vc0) ≤

wd

(VSd) ≤

(VRd2)], variam de acordo uma reta (interpolação linear). Portanto, os valores de

c1 entre

esses limites (

τ c1

c0 e wd2),

   τ c0  1   

são dados por:

 τ c0     τ τ wd2 c0   τ

(5.40)

wd

 A parcela de tração absorvida pela armadura transversal Vsw, conforme equação (5.26), é dada no modelo II por:

Vsw



R st senα 

zcotgθ  cotgα  s

Aswf ywd senα  5.19

Asw s

z cotgθ  cotgα f ywd senα

(5.41)

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 Analogamente ao desenvolvido no modelo I, dividindo-se a equação (5.13), VSd ≤ Vc + Vsw, por bw d, fazendo-se em (5.41) z = 0,9 d,

 = 90o e s = 100 cm, obtém-se

a equação para a armadura transversal Asw no modelo II.

Asw ρw



(cm2 / m)

w bw

100

τ wd



τ c1

(5.42) (5.43)

39,15cotg θ

c) – deslocamento do diagrama de momentos fletores: Se forem mantidas as condições estabelecidas no modelo I, o deslocamento do diagrama de momentos fletores no modelo II deve ser:

a = 0,5 d (cotg  - cotg )

(5.44)

onde:

a

  0,5 d

caso geral

a

  0,2 d

para estribos inclinados de 45º.

5.2.5 – Cargas próximas aos apoios Para o cálculo da armadura transversal, no caso de apoio direto, quando a carga e a reação de apoio estão aplicadas em faces opostas do elemento estrutural, comprimindo-o, valem as seguintes prescrições:



no trecho entre o apoio e a seção situada a uma distância (d / 2) da face do apoio, a força cortante oriunda da carga distribuída pode ser considerada constante e igual à dessa seção;



a força cortante devida a uma carga concentrada a uma distância (a  2d ) do eixo teórico do apoio pode, nesse trecho de comprimento “a”, ser reduzida multiplicando-a por [a / (2d)]. 5.20

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Cisalhamento  ___________________________________________________________________________

Figura 5.7 – Redução do cortante próximo aos apoios O valor final da força cortante com as reduções devidas à carga concentrada e à carga distribuída deve ser dado por:

VS, Red  VS,eixo  p

cd 2

-P

 l  - a  l 

a     1   2d    

(5.45)

5.2.6 – Prescrições complementares da NBR 6118:2014 

Item 18.3.3.2 t

5 mm

t

bw / 10

Diâmetro da armadura transversal Asw

5.21

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Cisalhamento  ___________________________________________________________________________ wd

 0,67

wd2

smax = 0,6 d  30 cm

wd 

0,67

wd2

smax = 0,3 d  20 cm

Espaçamento máximo dos estribos



Item 17.4.1.1.3  A armadura transversal Asw pode ser constituída por estribos ou pela com-

binação de estribos e barras dobradas , entretanto essas últimas não devem suportar mais do que 60% do esforço total resistido pela armadura.

5.3 – Força cortante em lajes e elementos lineares com bw ≥ 5d (item 19.4 da NBR 6118:2014) 5.3.1 – Lajes sem armadura para força cortante Dispensa-se armadura transversal para resistir às forças de tração oriundas da força cortante em lajes maciças ou nervuradas, quando a força cortante de cálculo a uma distância d da face do apoio, obedecer à expressão:

VSd ≤ VRd1

ou

wd

≤

wd1 

(5.46)

Sendo VRd1 a força cortante resistente de cálculo dada por:

VRd1 = [ Onde

Rd k

(1,2 + 40 ρ1)] bw d = (

wd1)

bw d

(5.47)

Rd é

a tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento, dada

Rd =

0,25 f ctd = 0,25 (f ctk,inf  / γc)

por:

Para γc = 1,4 e f ctk,inf  conforme equação (1.13a), obtém-se:

5.22

(5.48)

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0,0375 (f ck)2/3 (MPa) Rd =

f ck ≤ 50 MPa

0,179 f ctk,inf  =

(5.49) 0,265 ln (1 + 0,11f ck) (MPa)

f ck > 50 MPa

ρ1 é a taxa da armadura de tração As1 que se estende até não menos que (d + b,nec), além da seção considerada. ( b,nec é o

comprimento necessário de ancoragem,

definido no próximo capítulo). ρ1 = As1 / (bw d) ≤ 0,02 

(5.50)

k é um coeficiente que tem os seguintes valores: k = 1 - para elementos onde 50% da armadura inferior não chega até o apoio;

k = (1,6 – d) ≥ 1 - para os demais casos, com d em metros. Segundo o item 20.1 da NBR 6118:2014, em laje em que seja dispensada a armadura transversal, toda a armadura positiva deve ser levada até os apoios. Nesse caso, só a segunda opção para o valor de k deve ser usada.

bw é a largura mínima da seção ao longo da altura útil d. 5.3.2 – Lajes com armadura para força cortante  Aplicam-se os mesmos critérios estabelecidos para vigas, considerando-se para a resistência de cálculo ao escoamento no cisalhamento (f ywd) os seguintes valores máximos: - 250 MPa, para lajes com espessura até 15 cm; - 435 MPa, para lajes com espessura maior que 35 cm.

5.23

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Cisalhamento  ___________________________________________________________________________

Para valores intermediários de espessura permite-se a interpolação linear resultando: f ywd



250 

435  250 20

h  15

(MPa)

(5.51)

5.4 – Exemplos 5.4.1 - Exemplo 1 Calcular a armadura de cisalhamento para uma viga biapoiada de 4 m de vão, carga distribuída p = 25 kN/m, seção de 20X40 cm2, d = 36 cm, f ck = 20 MPa, aço CA-60. A largura dos apoios na direção do eixo da viga é c = 20 cm.





R=p

Modelo de cálculo I Verificação do concreto

/ 2 = 25x4 / 2 = 50 kN

VS,max = VS,face = R – p c / 2 = 50 – 25x0,20 / 2 = 47,5 kN (A força cortante máxima deve ser calculada na face do apoio)

wd  wd,max 

VSd,max bwd



47,5x1,4  0,092  wd2   20x36



0,355 kN/cm

2

Como o valor da tensão convencional máxima de cisalhamento dado na tabela 5.2,

wd2 = 0,355 kN/cm2, é maior que o valor de wd = 0,092 kN/cm2, o concreto foi verificado, ou seja, a biela comprimida de concreto não romperá.



Cálculo da armadura

 Asw = w bw,

com

ρw



100

 wd  c0

39,15



100

5.24

0,092  0,0663 39,15



0,066  ρw, min



0,088

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Os valores de ρw,min e c0 são fornecidos nas tabelas 5.1 e 5.3, respectivamente. Como o valor de ρw < ρw,min, isso implica em armadura transversal mínima, ou seja, Asw,min = w,min bw = 0,088x20 = 1,76 cm2/m. Usando-se estribos simples (com dois ramos), a

armadura será dada por:

(Asw)/2 = 1,76 / 2 = 0,88 cm2/m → s = 100 / (0,88 / 0,196) = 22,2 cm

 5 c/ 22 cm

Como wd = 0,092 kN/cm2  wd,min = 0,101 kN/cm2 (tabela 5.4), w = w,min, o que implica em Asw = Asw,min = w,min bw, sem necessidade de calcular A sw.

Como (wd / wd2) = 0,092 / 0,355 = 0,26  0,67, o espaçamento máximo dos estribos fica:





wd

(  = 30o)

Modelo de cálculo II





smax = 0,6d = 0,6x36  22 cm (OK!)

Verificação do concreto

 

wd, max



VSd,max

47,5x1,4 

bw d



20x36

0,092

Pela equação (5.37) para  = 30o, α = 90o e f ck = 20 MPa, obtém-se:

20   20   sen2 30o (0  cotg30o ) wd2  0,54αv2f cdsen2θcotgα  cotgθ   0,541     250  1,4

wd2 = 3,07 MPa = 0,307 kN/cm2

wd = 0,092 kN/cm2 < wd2 = 0,307 kN/cm2



Cálculo da armadura

5.25

OK!

concreto verificado

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Cisalhamento  ___________________________________________________________________________

wd = 0,092 kN/cm2 >

Como

c0 =

0,0663 kN/cm2

    c0     0,092  0,0663    0,06631  c1  c0 1  wd   0,0592     0,307 0,0663     wd2 c0    

 Asw = w bw, com

ρw



100

 wd  c1

39,15cotg30

o



100

0,092  0,0592  0,048  ρ w, min 39,15x1,732



0,088

 Asw = Asw,min = w,min bw = 0,088 x 20 = 1,76 cm2/m

Para estribos simples (dois ramos)

Asw/2 = 0,88 cm2/m

 5 mm c/ 22 cm

Como wd / wd2 = 0,092 / 0,307 = 0,30 < 0,67 smax = 0,6d = 0,6 x 36  22 cm (OK!)





Modelo de cálculo II

(  = 45o)

verificação do concreto

wd  wd,max 

VSd,max bwd



47,5x1,4    0,092  wd2  0,355 kN/cm2 20x36

Pela equação (5.37) para  = 45o, α = 90o e f ck = 20 MPa, ou simplesmente pela tabela 5.2, obtém-se wd2 = 0,355 kN/cm2.



Como

Cálculo da armadura

wd = 0,092 kN/cm2 > c0 = 0,0663 kN/cm2

  0,092  0,0663  c1  0,06631    0,0604 0,355 0,0663      5.26

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Cisalhamento  ___________________________________________________________________________

 Asw = w bw 

com

ρw



100

0,092  0,0604 39,15x1



0,047  ρ w,min



0,088

 Asw = Asw,min = w,min bw = 0,088 x 20 = 1,76 cm2/m

Para estribos simples (dois ramos)

Asw/2 = 0,88 cm2/m

 5 mm c/ 22 cm

Como wd / wd2 = 0,092 / 0,355 = 0,26 < 0,67 smax = 0,6d = 0,6 x 36  22 cm (OK!)

Observa-se nesse exemplo que o valor calculado de ρw = 0,047 para

= 45o e α =

90o, é menor que o valor calculado nas mesmas condições considerando-se o modelo de cálculo I, ρw = 0,066. Isso se deve à diferença das teorias adotadas para os dois modelos.

No modelo II a taxa ρw é menor e consequentemente a armadura também será menor. O cálculo da armadura transversal de cisalhamento pelo modelo II é sempre mais econômico, desde que se verifique a tensão no concreto da biela comprimida, uma vez que a tensão convencional máxima de cisalhamento é menor no modelo II (wd2 = 0,307 no modelo II < wd2 = 0,355 no modelo I, para f ck = 25 MPa).

5.4.2 - Exemplo 2 Mesmos dados do exemplo I, com carga distribuída p = 50 kN/m



Modelo de cálculo I (sem redução da força cortante no apoio)



verificação do concreto

R=p

/ 2 = 50x4 / 2 = 100 kN

wd  wd,max 

VSd,max bwd



VS,max = R – p c / 2 = 100 – 50 x 0,20 / 2 = 95 kN

95x1,4    0,185  wd2  0,355 kN/cm2   20x36

5.27

OK!

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Cisalhamento  ___________________________________________________________________________ 

Cálculo da armadura

Como wd = 0,185 kN/cm2 > wd,min = 0,101 kN/cm2 (tabela 5.4)

 Asw = w bw,

com

ρw



100

 wd  c0

39,15



100

0,185  0,0663



39,15

0,302  ρw, min



0,088

 Asw = 0,302x20 = 6,04 cm2/m

Para estribos simples (dois ramos)

 Asw/2 = 3,02 cm2/m

 5 mm s = 100 / (3,02/0,196) = 6,4

→  5 mm c/ 6 cm

 6 mm s = 100 / (3,02/0,283) = 9,4

→  6 mm c/ 9 cm

 8 mm s = 100 / (3,02/0,503) = 16,6 →  8 mm c/ 16 cm

Como wd / wd2 = 0,185 / 0,355 = 0,52  0,67 smax = 0,6d = 0,6x36 = 22 cm (OK!)





R=p

Modelo de cálculo I (com redução da força cortante no apoio) Verificação do concreto

/ 2 = 50 x 4 / 2 = 100 kN

VS,max = R – p c / 2 = 100 – 50 x 0,20 / 2 = 95 kN

VS,Red = R – p (c + d) / 2 = 100 – 50x(0,20 + 0,36) / 2 = 86 kN

wd  wd,max 

VSd,max bwd



95x1,4    0,185  wd2  0,355 kN/cm2   20x36

OK!

Obs.: a verificação do concreto deve ser feita com a força cortante SEM REDUÇÂO.



Cálculo da armadura

O cálculo da armadura pode ser feito com o cortante reduzido, VS,Red. 5.28

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Cisalhamento  ___________________________________________________________________________

wd,Red 

VSd,Red

 Asw = w bw,



bw d

ρw

86x1,4



20x36



100

0,167 kN/cm

 wd, Red  c0

39,15



100

2

 wd,min 

0,101 kN/cm

0,167  0,0663 39,15



2

0,257  ρw, min



0,088

 Asw = 0,257x20 = 5,14 cm2/m

Para estribos simples (dois ramos)  5 mm s = 100 / (2,57/0,196) = 7,6

 Asw/2 = 2,57 cm2/m

→  5 mm c/ 7 cm

 6 mm s = 100 / (2,57/0,283) = 11,0 →  6 mm c/ 9 cm  8 mm s = 100 / (2,57/0,503) = 19,6 →  8 mm c/ 19 cm

Como wd / wd2 = 0,185 / 0,355 = 0,52  0,67 smax = 0,6d = 0,6 . 36 = 22 cm (OK!)





Modelo de cálculo II

(  = 30o)

Verificação do concreto

20   20   sen2 30o (0  cotg30o )  3,07MPa  0,307 kN/cm 2 wd2  0,541     250  1,4

 wd   wd, max 

VSd,max bw d



95x1,4  0,185   wd2  0,307 kN/cm 2     20x36

b) cálculo da armadura

Como

wd = 0,185 kN/cm2 > c0 = 0,0663 kN/cm2

    c0     0,185  0,0663    0,06631  c1  c0 1  wd   0,0336 0,307 0,0663         wd2 c0    

5.29

OK!

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Cisalhamento  ___________________________________________________________________________

 Asw = w bw,

ρw



0,185  0,0336

100

39,15xcotg30o



0,223  ρ w,min



0,088

 Asw = 0,223x20 = 4,46 cm2/m

Para estribos simples (dois ramos)

 Asw/2 = 2,23 cm2/m

 5 mm s = 100 / (2,23/0,196) = 8,8

→  5 mm c/ 8 cm

 6 mm s = 100 / (2,23/0,283) = 12,7

→  6 mm c/ 9 cm

 8 mm s = 100 / (2,23/0,503) = 22,6

→  8 mm c/ 22 cm

Como wd / wd2 = 0,185 / 0,307 = 0,60 < 0,67 smax = 0,6d = 0,6x36  22 cm (OK!)





Modelo de cálculo II (ângulo qualquer, por exemplo  = 35o) Verificação do concreto

20   20   sen2 35o (0  cotg35o )  3,33 MPa  0,333 kN/cm 2  wd2  0,541     250  1,4

 wd   wd, max 



VSd,max bw d



95x1,4   20x36



0,185 

 wd2 

2

0,333 kN/cm  

Cálculo da armadura

Como wd = 0,185 kN/cm2 > c0 = 0,0663 kN/cm2

  0,185  0,0663  c1  0,06631    0,0368 0,333 0,0663     

 Asw = w bw,

ρw



100

0,185  0,0368 39,15xcotg35o

5.30



0,265  ρ w,min



0,088

OK!

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Cisalhamento  ___________________________________________________________________________

 Asw = 0,265x20 = 5,30 cm2/m

Para estribos simples (dois ramos)  5 mm s = 100 / (2,65/0,196) = 7,4

 Asw/2 = 2,65 cm2/m

→  5 mm c/ 7 cm

 6 mm s = 100 / (2,65/0,283) = 10,7 →  6 mm c/ 10 cm  8 mm s = 100 / (2,65/0,503) = 19,0 →  8 mm c/ 19 cm

Como wd / wd2 = 0,185 / 0,333 = 0,56  0,67 smax = 0,6d = 0,6x36 = 22 cm (OK!)

Obs.: Nesse capítulo apenas as áreas das armaduras transversais ao cisalhamento foram calculadas. No capítulo 6 serão calculados os comprimentos de ancoragem das barras e dos ganchos dos estribos. No capítulo 7 serão detalhadas vigas de concreto armado contemplando tanto as barras da armadura de fl exão quanto os estribos (comprimentos retos e dobras, espaçamentos, quantidades e distribuiçao no sentido longitudinal das vigas).

5.31

CONCRETO ARMADO I - CAPÍTULO 6 Departamento de Engenharia de Estruturas – EE-UFMG Junho 2018

VERIFICAÇÃO DA ADERÊNCIA  ____________________________________________________________________________

Segundo o capítulo 9 da NBR 6118:2014, devem ser obedecidas no projeto as exigências relativas à aderência, ancoragem e emendas das barras das armaduras.

6.1 – Posição da barra durante a concretagem  A aderência entre o aço e o concreto depende fundamentalmente da posição que a barra ocupa durante a concretagem. Considera-se em boa situação quanto à aderência os trechos das barras que estejam em uma das posições seguintes: a) com inclinação superior a 45o sobre a horizontal, independente da altura do elemento estrutural. Caso h ≤ 30 cm, todas as barras estão numa zona de Boa aderência (figura 6.1a); b) horizontais ou com inclinação menor que 45o sobre a horizontal, desde que: 

para elementos estruturais com h < 60 cm, localizados no máximo 30 cm acima da face inferior do elemento ou da junta d e concretagem mais próxima (figura 6.1b);



para elementos estruturais com h  60 cm, localizados no mínimo 30 cm abaixo da face superior do elemento ou da junta de concretagem mais próxima (figura 6.1c).

Os trechos das barras em outras posições e quando do uso de formas deslizantes devem ser consideradas em má situação quanto à aderência.

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Aderência  ___________________________________________________________________________

Figura 6.1 – Zonas de Boa e Má aderência 6.2 – Valor da resistência de aderência (item 9.3.2.1 da NBR 6118:2014)  A resistência de aderência de cálculo entre armadura e o concreto na ancoragem de armaduras passivas  deve ser obtida pela seguinte expressão:

f bd =

1

2

3 f ctd 

(6.1)

onde: 1,

2,

3 – são

coeficientes para cálculo da tensão de aderência da armadura

passiva conforme a seguir:



1 =

1,0

para barras lisas (CA 25);



1 =

1,4

para barras entalhadas (CA 60);



1 =

2,25

para barras nervuradas (CA 50);



2 =

1,0

para situações de boa aderência;



2 =

0,7

para situações de má aderência;



3 =

1,0 

para  < 32 mm;



3 =

(132 - ) / 100 

para  ≥ 32 mm ( em mm). 6.2

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Aderência  ___________________________________________________________________________

0,21 (f ck)2/3 / f ctd = f ctk,inf  /

c

c

(MPa)

=

(6.2a) 1,484 ln (1 + 0,11f ck) /

Para

f ck ≤ 50 MPa

c =

c

(MPa)

f ck > 50 MPa

1,4, tem-se:

0,15 (f ck)2/3

(MPa)

f ck ≤ 50 MPa

f ctd =

(6.2b) 1,06 ln (1 + 0,11f ck)

(MPa)

f ck > 50 MPa

TABELA 6.1 – Valores da resistência de aderência f bd Aço CA 50, boa aderência,  < 32 mm Grupo I – f ck ≤ 50 MPa

Grupo II – f ck > 50 MPa

f bd = [0,3375 f ck(2/3) / 10

f bd = [2,385 ln(1+0,11f ck) / 10]

f ck (MPa)

f bd (kN/cm2)

f ck (MPa)

f bd (kN/cm2)

20

0,249

55

0,466

25

0,289

60

0,484

30

0,326

65

0,500

35

0,361

70

0,516

40

0,395

75

0,531

45

0,427

80

0,544

50

0,458

85

0,557

-

-

90

0,570

Segundo o item 9.3.2.3 da NBR 6118:2014:

No escorregamento da armadura, em elementos estruturais fletidos, devem

“  

ser adotados os valores da tensão de aderência dada acima multiplicada por 1,75. 6.3

”  

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6.3 – Ancoragem das armaduras (item 9.4 da NBR 6118:2014) Todas as barras das armaduras devem ser ancoradas de forma que os esfor-

“  

ços a que estejam submetidas sejam integralmente transmitidos ao concreto, seja por meio de aderência ou de dispositivos mecânicos ou combinação de ambos.

”  

6.3.1 – Ancoragem por aderência  Acontece quando os esforços são ancorados por meio de um comprimento

“  

reto ou com grande raio de curvatura, seguido ou não de gancho.

Com exceção das regiões situadas sobre apoios diretos, as ancoragens por aderência devem ser confinadas por armaduras transversais ou pelo próprio concreto, considerando-se este caso quando o cobrimento da barra ancorada for maior ou igual a 3  e a distância entre barras ancoradas for maior ou igual a 3  .

”  

6.3,2 – Ancoragem por meio de dispositivos mecânicos  Acontece quando as forças a ancorar são transmitidas ao concreto por meio

“  

de dispositivos mecânicos acoplados à barra.

”  

6.3.3 – Ancoragem de armaduras passivas por aderência  As barras tracionadas podem ser ancoradas ao longo de um comprimento retilíneo ou com grande raio de curvatura em sua extremidade, de acordo com as condições seguintes: 

as barras lisas obrigatoriamente devem ter ganchos;



as barras que tenham alternância de solicitação, tração e compressão, não devem ter ganchos



com ou sem gancho, nos demais casos, não sendo recomendado o gancho para barras de  > 32 mm ou para feixe de barras. 6.4

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 As barras comprimidas devem ser ancoradas sem ganchos.

6.3.4 – Ganchos das armaduras de tração Os ganchos das extremidades das barras da armadura longitudinal de tração podem ser: 

semicirculares, com ponta reta de comprimento não inferior a 2 ;



em ângulo de 45o (interno), com ponta reta de comprimento não inferior a

4 ; 

em ângulo reto, com ponta reta de comprimento não inferior a 8 .

Para as barras lisas, os ganchos devem ser semicirculares.

O diâmetro interno de curvatura dos ganchos das armaduras longitudinais de tração deve ser pelo menos igual ao estabelecido na tabela 6.2.

Tabela 6.2 – Diâmetro dos pinos de dobramento (D) Tipo de aço Bitola

CA - 25

CA - 50

CA - 60

< 20

4

5

6

 20

5

8

-

mm

6.4 – Comprimento de ancoragem básico Define-se comprimento de ancoragem básico como o comprimento reto, em barras da armadura passiva, necessário para ancorar a força limite Fd = Asf yd aplicada a essa barra, admitindo-se ao longo desse comprimento uma tensão de aderência constante e igual a f bd, conforme apresentado na figura 6.2.

6.5

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Figura 6.2 – Comprimento de ancoragem reto Para determinar o comprimento reto básico de ancoragem ( b) de uma barra com diâmetro , basta igualar a força máxima de tração Fd com a força interna produzida pelas tensões de aderência f bd, resultando:

2

Fd



b 

4

f yd

f yd 4 f bd





(6.3)

b f bd

(6.4)

25

 A partir da equação (6.4) pode-se tabelar os valores do comprimento de ancoragem básico para o aço CA-50, situação de boa aderência, s = 1,15, c = 1,4 e  < 32 mm, para concreto com f ck ≤ 50 MPa (tabela 6.3). Calculando-se o valor do comprimento de ancoragem para f ck = 50 MPa obtémse

b = 23,73

 < 25 , contrariando a prescrição da NBR 6118:2014, ver equação (6.4).

Portanto, na coluna correspondente ao f ck = 50 MPa é esse o valor, com asterisco (*), 6.6

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tabelado. Dessa maneira não é necessário calcular os valores dos comprimentos básicos para os concretos do grupo II, pois o maior comprimento será para f ck = 55 MPa, com

b

= 23,35 < 25 . Portanto para concretos do grupo II (f ck > 50 MPa), aço CA-

50, s = 1,15, c = 1,4, boa aderência e  < 32 mm, o valor do comprimento básico é constante e igual a 25 .

Tabela 6.3 – Valores de

b para

aço CA-50, s = 1,15, c = 1,4, boa aderência,

 < 32 mm e concretos com f ck ≤ 50 MPa (p/ f ck > 50 MPa

Valores de

b em

b

= 25 ).

função do diâmetro

(arredondados para o múltiplo de 5 cm, imediatamente superior)

Bitola

Concreto Classe I (f ck ≤ 50 MPa)

(mm)

C 20

C 25

C 30

C 35

C 40

C 45

(43,71 ) (37,67 ) (33,36 ) (30,10 ) (27,54 ) (25,46 )

C 50 (25 )*

10

45 cm

40 cm

35 cm

35 cm

30 cm

30 cm

25 cm

12,5

55 cm

50 cm

45 cm

40 cm

35 cm

35 cm

35 cm

16

70 cm

65 cm

55 cm

50 cm

45 cm

45 cm

40 cm

20

90 cm

80 cm

70 cm

65 cm

60 cm

55 cm

50 cm

22

100 cm

85 cm

75 cm

70 cm

65 cm

60 cm

55 cm

25

110 cm

95 cm

85 cm

80 cm

70 cm

65 cm

65 cm

6.5 – Comprimento de ancoragem necessário O comprimento de ancoragem necessário é um valor menor ou igual ao comprimento de ancoragem básico que pode ser calculado por:

b, nec 

A s, cal b

A se



(6.5)

b,min

onde:

6.7

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Aderência  ___________________________________________________________________________ 

= 1,0

- para barras sem gancho;



= 0,7

- para barras tracionadas com gancho, com cobri-

mento no plano normal ao do gancho ≥ 3; 

α = 0,7

- quando houver barras transversais soldadas, con-

forme item 9.4.2.2 da NBR 6118:2014; 

α = 0,5

- quando houver barras transversais soldadas, con-

forme item 9.4.2.2 da NBR 6118:2014 e gancho com cobrimento no plano normal ao do gancho ≥ 3; 

b

- é calculado conforme equação (6.4);



b,min

- é o comprimento mínimo de ancoragem, dado por:

0,3 b,min

>

b

10  

(6.6)

10 cm 6.6 – Armadura transversal na ancoragem Para efeito desse item, observado o item 6.3.1, consideram-se as armaduras transversais existentes ao longo do comprimento de ancoragem, caso a soma das áreas dessas armaduras seja maior ou igual às especificadas abaixo:



Barras com  < 32 mm

ao longo do comprimento de ancoragem deve ser

prevista armadura transversal capaz de resistir a 25% da força longitudinal de uma das barras ancoradas. Se a ancoragem envolver barras diferentes, prevalece para esse efeito, a barra de maior diâmetro.



Barras com

 32 mm

deve ser verificada a armadura em duas direções

transversais ao conjunto de barras ancoradas. Essas armaduras transversais devem suportar os esforços de fendilhamento segundo os planos críticos, respeitando espaçamento máximo de 5 .

6.8

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Aderência  ___________________________________________________________________________

6.7 – Ancoragem de feixes de barras, por aderência Considera-se o feixe como uma barra de diâmetro equivalente igual a:

n

Onde

n



f 

(6.7)

n

é o diâmetro equivalente do feixe constituído de n barras com diâmetro

f .

6.8 – Ancoragem de estribos (item 9.4.6 da NBR 6118:2014)  A ancoragem dos estribos deve necessariamente ser garantida por meio de ganchos ou barras longitudinais soldadas.

Os ganchos dos estribos (com diâmetro 

podem ser:

Semicirculares  ou em ângulo de 45o  (interno), com ponta reta de comprimento igual a 5



t)

t,

porém não inferior a 5 cm;

Em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a 10

t,

porém

não inferior a 7 cm (este tipo de gancho não deve ser utilizado para barras e fios lisos).

O diâmetro interno da curvatura dos estribos deve ser, no mínimo, igual aos estabelecidos na tab. 6.3.

Tabela 6.3 – Diâmetro dos pinos de dobramento para estribos Bitola (mm)

 10 10 <  < 20  20

Tipo de aço CA - 25

CA - 50

CA - 60

3 t

3 t

3 t

4 t

5 t

-

5 t

8 t

-

6.9

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Aderência  ___________________________________________________________________________

6.9 – Emendas das barras 6.9.1 – Tipos  As emendas podem ser: 

Por traspasse (transpasse ou trespasse);



Por luvas com preenchimento metálico, rosqueadas ou prensadas;



Por solda;



Por outros dispositivos devidamente justificados.

6.9.2 – Emendas por traspasse Esse tipo de emenda não é permitido para barras com bitola superior a 32 mm. Cuidados especiais devem ser tomados na ancoragem e na armadura de costura dos tirantes e pendurais (elementos estruturais lineares de seção inteiramente tracionada).

No caso de emenda de feixe de barras, o diâmetro equivalente não deve ser superior a 45 mm.

6.9.2.1 – Proporção das barras emendadas na mesa seção São consideradas emendadas numa mesma seção transversal, as barras cujas emendas superponham efetivamente nessa seção ou cujas extremidades mais próximas estejam afastadas a menos de 20% do comprimento do trecho do traspasse, conforme mostrado na figura 6.3.

Quando as barras têm diâmetros diferentes, o comprimento de traspasse deve ser calculado pela barra de maior diâmetro.

6.10

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Aderência  ___________________________________________________________________________

Figura 6.3 – Emendas consideradas na mesma seção transversal  A proporção máxima de barras tracionadas da armadura principal, emendadas por traspasse na mesma seção transversal do elemento estrutural, está indicada na tabela 6.4 abaixo:

Tabela 6.4 – Proporção máxima de barras tracionadas emendadas em uma mesma seção Tipo de Tipo de barra

Situação

Estático

Dinâmico

100 %

100 %

50 %

50 %

 < 16 mm

50 %

25 %

  16 mm

25 %

25 %

Em uma camada  Alta resistência

Em mais de uma camada

Lisa

carregamento

Quando se tratar de armadura permanentemente comprimida ou de distribuição, todas as barras podem ser emendadas na mesma seção.

6.11

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6.9.2.2 – Comprimento de traspasse para barras tracionadas isoladas Quando a distância livre entre barras emendadas for menor que 4 , o comprimento do trecho de traspasse para barras tracionadas deve ser:

0t =

0t

b,nec

≥

0t,min 

(6.8)

onde:

0,3 0t,min

>

0t

15  

(6.9)

20 cm

0t é

o coeficiente em função da porcentagem de barras emendadas na

mesma seção, conforme a tabela 6.5.

Quando a distância livre entre barras emendadas for maior que 4 , ao comprimento calculado acima, deve ser acrescida a distância livre entre barras emendadas.  A armadura transversal na emenda deve ser justificada, atendendo ao estabelecido em 6.9.2.4.

Tabela 6.5 – Valores do coeficiente

0t

Porcentagem de barras emendadas na mesma seção (%) Valores de

0t

 20 1,2

25

33

50

> 50

1,4

1,6

1,8

2,0

6.9.2.3 – Comprimento de traspasse para barras comprimidas isoladas Quando as barras estiverem comprimidas, adota-se a seguinte expressão para o cálculo do comprimento de traspasse:

6.12

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Aderência  ___________________________________________________________________________ 0c =

0c,min 

b,nec

(6.10)

onde:

0,6 0c,min

>

b

15  

(6.11)

20 cm 6.9.2.4 – Armadura transversal nas emendas por traspasse, em barras isoladas

Figura 6.4 – Armadura transversal nas emendas 6.9.2.4.1 – Emendas de barras tracionadas da armadura principal (ver figura 6.4) Quando  < 16 mm ou a proporção de barras emendadas na mesma seção for menor que 25 %, a armadura transversal deve satisfazer ao item 6.6.

Nos casos em que  ≥ 16 mm ou quando a proporção de barras emendadas na mesma seção for maior ou igual a 25 %, a armadura transversal deve:



Ser capaz de resistir a uma força igual à de uma barra emendada, considerando os ramos paralelos ao plano da emenda;

6.13

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Aderência  ___________________________________________________________________________ 

Ser constituída por barras fechadas se a distância entre as duas barras mais próximas de duas emendas na mesma seção for < 10 ( = diâmetro da barra emendada);



Concentrar-se nos terços extremos das emendas.

6.9.2.4.2 – Emendas de barras comprimidas (ver figura 6.4) Devem ser mantidos os critérios estabelecidos para o caso anterior, com pelo menos uma barra da armadura transversal posicionada a 4 , além das extremidades da emenda.

6.14

CONCRETO ARMADO I - CAPÍTULO 7 Departamento de Engenharia de Estruturas – EE-UFMG Junho 2018

DETALHAMENTO DE VIGAS  ____________________________________________________________________________

7.1 - Introdução O detalhamento de elementos lineares constitui o capítulo 18 da NBR

6118:2014. No intuito de fixar os conceitos para o cálculo das armaduras longitudinais (destinadas a resistir às forças de tração, produzidas pela flexão) e das armaduras transversais (para combater a força cortante), são calculadas e detalhadas, nesse capítulo, vigas biapoiadas e contínuas em concreto armado. O correto detalhamento dessas armaduras longitudinais e transversais é uma tarefa importante no projeto de vigas de concreto armado.

Segundo o item 18.2.1 da NBR 6118:2014 “o arranjo das armaduras deve atender não só à sua função estrutural como também às condições adequadas de execução, particularmente com relação ao lançamento e ao adensamento do concreto. Os espaços devem ser projetados para a introdução do vibrador e de modo a impedir a segregação dos agregados e a ocorrência de vazios no interior do elemento estrutural.

”  

 Algumas barras da armadura longitudinal, tracionadas pela flexão, podem ser dobradas para resistir à força cortante ou são necessárias em nós de pórticos. Os diâmetros internos mínimos de dobramento dessas barras (diâmetro dos pinos de dobramento para barras curvadas) estão listados na tabela 7.1 (item 18.2.2 da NBR

6118:2014). Esses diâmetros de curvatura podem ser reduzidos proporcionalmente à redução da tensão de cálculo nessas armaduras, em relação à tensão de escoamento

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de cálculo f yd, mas nunca a valores inferiores aos exigidos para os ganchos (ver tabela 6.2).

Tabela 7.1 – Diâmetro mínimo dos pinos de dobramento para barras curvadas Tipo de aço CA - 25

CA - 50

CA - 60

10 

15 

18 

 As prescrições que se seguem são válidas para vigas isostáticas com relação

(  /h) ≥ 2 e para vigas contínuas com relação (  /h) ≥ 3, em que é o comprimento do vão teórico (ou o dobro do comprimento teórico, no caso de balanço) e h é a altura total da viga. Vigas com relações (  /h) menores devem ser tratadas como viga parede.

7.2 – Armadura de tração na flexão simples, ancoradas por aderência Segundo o item 18.3.2.3.1 da NBR 6118:2014, o trecho adicional da extremidade da barra de tração, considerado como de ancoragem, tem início na seção teórica onde sua tensão σs começa a diminuir, ou seja, a força de tração da armadura começa a ser transferida para o concreto. Esse trecho deve se prolongar pelo menos 10  além do ponto teórico de tensão σs nula, não podendo em caso algum, ser inferior ao comprimento de ancoragem necessário,

b,nec,

dado na equação (6.5).

 Assim, na armadura longitudinal de tração dos elementos estruturais solicitados por flexão simples, o trecho de ancoragem da barra deve ter início no ponto A (figura 7.1) do diagrama de forças RSd = [(Md) / z] deslocado (decalado) do comprimento

a ,

conforme equações (5.34) (para modelo I) e (5.44) (para modelo II). Esse diagrama deslocado equivale ao diagrama de forças corrigido FSd,cor , equação (5.35). Se a barra

7.2

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não for dobrada, o trecho de ancoragem deve prolongar-se além do ponto B (onde teoricamente começa o trecho de ancoragem da próxima barra), no mínimo 10 .  A partir do ponto A, que pertence ao diagrama de forças de tração decalado, acrescenta-se o comprimento necessário de ancoragem,

b,nec,

dado na equação

(6.5). A extremidade dessa barra ancorada deve prolongar-se até pelo menos 10 além do ponto teórico de tensão σs nula, ponto B. Para garantir a perfeita ancoragem, o trecho além do ponto A não pode em caso algum, ser inferior ao comprimento necessário de ancoragem.

Figura 7.1 – Cobertura do diagrama de força de tração solicitante pelo diagrama resistente (Adaptado da figura 18.3 da NBR 6118:2014) Nos pontos intermediários entre A e B, o diagrama resistente linearizado (tracejado) deve cobrir o diagrama solicitante (ver figura 7.1). Se o ponto A estiver na face do apoio ou além dela e a força FSd diminuir em direção ao centro do apoio, o trecho 7.3

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de ancoragem deve ser medido a partir dessa face e deve obedecer ao disposto no item 7.3-b, mais adiante.

Na figura 7.1 o apoio da esquerda, em destaque, tem inicialmente um momento fletor nulo. Considerando o diagrama deslocado de a , esse apoio estará submetido a

M = RSdZ. O valor médio de Z = 0,9d, já utilizado no

um pequeno momento fletor

cálculo da armadura de cisalhamento (capítulo 5), pode ser tomado como aproximadamente igual a d (z ≈ d), devido ao pequeno valor de

M. A armadura de tração

devido à flexão deve sempre trabalhar com σsd = f yd,, que implica em:

RSd = As f yd

(7.1)

No triangulo formado pelos catetos

e M, o ângulo

a

representa a inclinação

do diagrama de momentos na seção do apoio, cuja tangente dá a derivada desse diagrama em relação ao eixo longitudinal da viga (x). A partir das relações diferenciais relacionando os esforços solicitantes tem-se:

tg

dMSd, 

apoio

dx



VSd,apoio



ΔMd

a



R Sd Z a



R Sdd

(7.2)

a

De (7.1) e (7.2) calcula-se a armadura de tração necessária no apoio:

VSd,apoio



R Sdd a

apoio



As,cal f ydd



a

apoio

As,cal



a VSd,apoio d

f yd

(7.3)

7.3 – Armadura de tração nas seções de apoio Segundo o item 18.3.2.4 da NBR 6118:2014, os esforços de tração junto aos apoios de vigas simples ou contínuas devem ser resistidos por armaduras longitudinais, que satisfaçam a mais severa das seguintes condições:

7.4

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a) no caso de ocorrência de momentos positivos, as armaduras obtidas através do dimensionamento da seção; b) em apoios extremos, para garantir ancoragem da diagonal de compressão, armaduras capazes de resistir a uma força de tração FSd = (a /d) Vd + Nd, onde Vd é a força cortante no apoio e Nd é a força de tração eventualmente existente, mesma equação (7.3) para N = 0; c) em apoios extremos e intermediários, por prolongamento de uma parte da armadura de tração do vão ( As,vão), correspondente ao máximo momento positivo do tramo (Mvão), de modo que: - As,apoio ≥ (1/3) (As,vão) se (Mapoio ≤ 0) e de valor absoluto Mapoio ≤ 0,5 Mvão; (na prática válido para apoios extremos) - As,apoio ≥ (1/4) (As,vão) se (Mapoio < 0) e de valor absoluto Mapoio > 0,5 Mvão. (na prática válido para apoios intermediários)

7.4 – Ancoragem da armadura de tração no apoio Quando se tratar do caso de 7.3-a, as ancoragens devem obedecer aos critérios da figura 7.1. Para os casos de 7.3-b e 7.3-c as barras das armaduras devem ser ancoradas a partir da face do apoio, com comprimentos iguais ou superiores ao maior dos seguintes valores: -

b,nec

conforme equação (6.5);

- (r + 5,5 ), onde r é o raio de curvatura dos ganchos, conforme tabela 6.2; - 60 mm.

Quando houver cobrimento da barra no trecho do gancho, medido normalmente ao plano do gancho, de pelo menos 70 mm, e as ações acidentais não ocorrerem com grande frequência com seu valor máximo, o primeiro dos três valores anteriores pode ser desconsiderado, prevalecendo as duas condições restantes.

7.5

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Detalhamento  ___________________________________________________________________________

Para os casos de 7.3-b e 7.3-c, em apoios intermediários, o comprimento de ancoragem pode ser igual a 10 , desde que não haja qualquer possibilidade da ocorrência de momentos positivos na região dos apoios, provocados por situações imprevistas, particularmente por efeitos de vento e eventuais recalques. Quando essa p ossibilidade existir, as barras devem ser contínuas, ou emendadas sobre os apoios.

7.5 - Viga 1 Calcular e detalhar uma viga biapoiada com vão

= 5 m, seção 20x50 cm2 (d

= 46 cm), f ck = 25 MPa (brita calcaria), aço CA 50 (flexão) e/ou CA 60 (cisalhamento), apoio da esquerda com largura cesq = 20 cm e da direita cdir  = 30 cm, obra residencial urbana (

k,lim =

0,3 mm, cnom = 3 cm), reação das lajes RL = GL + QL = 22 + 8 = 30

kN/m, alvenaria de tijolos furados com espessura de 25 cm e altura de 2,8 m sobre a viga.

7.5.1 – Carga sobre a viga Peso próprio

pp = 0,2x0,5x25 = 2,5 kN/m

Peso da alvenaria palv = 0,25x2,80x13 = 9,1 kN/m

g = 2,5 + 9,1 + 22 = 33,6 kN/m

Reação das lajes

parcela permanente = 22 kN/m

Reação das lajes

parcela acidental

q = 8 kN/m

Carga total

p = g + q = 33,6 + 8

p = 41,6 kN/m

7.5.2 – Esforços R = p / 2 = 41,6x5 / 2 = 104 kN MS,max = p 2 / 8 = (33,6 + 8 = 41,6) 52 / 8 = 105 (Mg) + 25 (Mq) = 130 kNm

7.6

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Detalhamento  ___________________________________________________________________________

7.5.3 – Cálculo da armadura de flexão f c = 1,518 kN/cm2 K

Tabela 1.11

13000x1,4



1,518x20x46

 A s  A s1 

2



0,283  KL

1,518x20x46



43,5

1





0,295



1 2x0,283 





K'  K



0,283

10,96 cm2 -  A's  A s2 0 



(d/h) = 46 / 50 ≈ 0,90 ρmin = 0,15% (tabela 2.7)  As,min = 0,15%x20x50 = 1,5 cm2 < As = 10,96 cm2 Usando  = 16 mm (2,011 cm 2)

6  16 mm

Ase = 6x2,011 ≈ 12,1 cm2

usando 2  5 mm como “porta-estribo”  A’se = 0,39 cm2

 As2 = A’s = 0

7.5.4 – Verificação da fissuração f ctm = 0,3x(25)2/3 = 2,56 MPa = 0,256 kN/cm2 f2 =

γ

f 



1

= 0,4

combinação frequente, edifício residencial

1,4x130 105  0,4x25



1,58  1,4

Usando-se a equação (4.1), que não depende do detalhamento, para

i =

16

mm, e tensão σsi calculada de forma aproximada:

σ si



k 

f yd  A s,cal γ f 

i

 A se

σ si



43,48 10,96   1,58 12,1

3σ si

12,51 Esi f ctm



16



24,93kN/cm2

24,93 3x24,93

12,5x2,25 21000 0,256

 0,20mm  0,3mm

(OK!)

 Alternativamente a verificação da fissuração pode ser feita pela equação (4.13), originada da equação (4.1) acima, resultando:

7.7

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Detalhamento  ___________________________________________________________________________ a



7,361 10



5

Φi





7,361x10

γ f k

 A se  A s,cal

3a f yd



 f f ctm

16

5

1,58x0,3

3x2,483x10 3 x43,48 1,58x0,256









2,483x10

0,9   A se

3

  A s,cal  10,96cm

2

7.5.5 – Cálculo da armadura de cisalhamento Para o cálculo da tensão convencional máxima de cisalhamento ( wd,max) a força cortante máxima deve ser obtida na face do apoio:

VS,max = R - p cesq / 2 = 104 - 41,6x0,2 / 2 = 99,84 kN 

wd, max



VSd,max bwd



99,8x1,4   20x46



0,152 kN/cm

2

Verificação do esmagamento da biela comprimida de concreto wd,max < wd2 = 0,434 kN/cm2,

(tabela 5.2)

( concreto OK!)

Cálculo da armadura de cisalhamento (modelo I) c0 = 0,0769 kN/cm2,

 w  100

(tabela 5.3)

0,152 - 0,0769  0,192   w, min 39,15

 0,103

(tabela 5.1)

 Asw = 0,192x20 = 3,84 cm2/m Considerando estribo simples (dois ramos) Asw / 2 = 1,92 cm2/m Usando t = 5 mm (0,196 cm2)

s = 100 / (1,92 / 0,196) = 10,2 cm

Espaçamento máximo wd,max / wd2 = 0,152 / 0,434 = 0,35 < 0,67

Estribo final

 5 c/10 cm 7.8

smax = 0,6 d = 0,6x46 ≈ 27 cm (OK!)

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Detalhamento  ___________________________________________________________________________

7.5.6 – Detalhamento da seção transversal bútil = 20 – 2 (3 + 0,5) = 13 cm n,cam 

13  2 1,6  2

 4,2

4 16 mm na 1a e 2 16 mm na 2a camada



3  0,5    1,6 2   23  0,5  1,6  2    1,6 2             5,5 cm  d' 'adotado  4 cm d' 'real  4

6

dreal = 50 – 5,5 = 44,5 cm < d adot = 46 cm,

Kcorrigido = 0,303 > KL = 0,295  A s1



 A s2

1,518x20x46 43,5

1

K’ = KL = 0,295

1 2x0,295





1,518x20x46 0,303  0,295 43,5

1     3,75

 

d’ = 3 + 0,5 + 0,5 / 2 = 3,75 cm

 





32,10x0,8x0,45



32,10x0,36



2

11,56 cm

 0,28 cm2

44,5 

 As,real = As1 + As2 = 11,56 + 0,28 = 11,84 cm2 < Ase = 12,1 cm2 

(OK!)

(d’/d)=(3,75/44,5) = 0,084 < 0,184 =1  A’s = As2 = 0,28 cm2 < A’se = 0,39 cm2  (OK!)

 As armaduras efetivamente adotadas ou existentes, calculadas com o valor adotado dadot = 46 cm, atendem às armaduras corrigidas, calculadas com os valores reais de dreal = 5,5 cm e d’real = 3,75 cm.

7.5.7 – Cálculo dos comprimentos de ancoragem por aderência De acordo a tabela 6.3 o comprimento básico de ancoragem para situação de boa aderência (armadura no fundo da viga) é

b =

37,67  = 37,67x1,6 = 60,3 cm (na

tabela 6.3 considera-se o primeiro múltiplo de 5 acima, portanto b = 65 cm).



Ancoragem no vão De acordo a equação (6.5) o comprimento de ancoragem necessário sem gan-

cho (1 = 1), para As,cal = As,real = 11,84 cm2, é dado por: 7.9

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Detalhamento  ___________________________________________________________________________ b,nec =

b,min =

1x60,3(11,84 / 12,1) = 59 cm >

0,3x60,3 ≈ 18 cm

(OK!)

Ancoragem nos apoios



Conforme equação (5.34a), com VSd,max = R = 104 kN (wd,max=1,4x104 / 20x44,5 = 0,164 kN/cm2) nesse caso calculado no eixo do apoio, onde M S = 0, para estribos verticais ( = 90o), Vc = Vc0 = c0(bwd) = 0,0769x20x44,5 = 68,44 kN, tem-se:





VSd,max

a d

 2VSd,max  Vc 



 104x1,4 1  0  0  2104x1,4  68,44 

1  cotgα  cotgα  44,5 

a = 44,5x0,94 = 42 cm < d

(a / d) = 0,94

 Alternativamente a relação (a / d) pode ser obtida pela equação (5.34b), para

 = 90o: a

 



wd, max

2  wd, max

 A apoio s,cal



 

c0



d

0,164 20,164  0,0769

a VSd,apoio 104x1,4   0,94 d f yd 43,5 



44,5  0,94x44,5  42 cm , (a

/ d) = 0,94

3,15cm2

Levando-se 2  16 mm, (1/3) das 6 barras do vão, até os apoios e considerando

gancho (1 = 0,7 – cesq = 20 cm – cdir  = 30 cm), resulta:

b,nec =

0,7x60,3(3,15 / 4,02) ≈ 33 cm >

b,min =

0,3x60,3 ≈ 18 cm

(OK!)

 Além disso, conforme 7.4, o comprimento necessário de ancoragem no apoio deve ser maior que (r + 5,5 ) ou 60 mm. De acordo a tabela 6.2, o diâmetro do pino de dobramento dos ganchos para  = 16 mm < 20 mm e aço CA 50, é D = 5. Dessa forma, o raio de curvatura dos ganchos deve ser:

r = D/2 + /2 = 5/2 + /2 = 3

(r + 5,5) = 8,5 = 8,5x1,6 ≈ 14 cm

7.10

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Detalhamento  ___________________________________________________________________________

Portanto o valor

b,nec =

33 cm, calculado acima, é maior que todos os demais,

atendendo a NBR 6118:2014. Esse comprimento foi calculado com o número mínimo de barras levadas até o apoio (duas). No detalhamento final das armaduras de f lexão pode acontecer que mais barras sejam levadas até os apoios, diminuindo esse valor.

7.5.8 - Comprimento das barras, para cobrir o diagrama de momentos fletores Na figura 7.2 está traçado o diagrama de momentos fletores, em escala, sobre a vista lateral da viga. Nessa figura o momento máximo no meio do vão representa em outra escala, a resultante de tração RSd,max = (MSd,max / Z). Como foi adotado 6 16 mm para resistir a esse momento, divide-se o comprimento máximo RSd,max em 6 partes iguais, uma para cada barra do vão. Tem-se então 6 comprimentos em escala no diagrama de momentos (sem decalagem), variando desde 500 cm (vão teórico da viga) até 204 cm, para a menor (valores marcados na figura 7.2).

Figura 7.2 – Diagrama de M e comprimento das barras tracionadas 7.11

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Detalhamento  ___________________________________________________________________________

Os números circundados representam as barras conforme recomendado na figura 18.3 da NBR 6118:2014 (adaptada na figura 7.1), ou seja,

6 =

0. Já os inscritos

em retângulos representam as barras detalhadas de forma mais simplificada, adotando-se para a a metade da altura h, portanto maior que d/2, e considerando-se como comprimento da barra maior, a distância entre os pontos de momentos nulos (no caso

1 =

500 cm), e da barra menor, o comprimento

6 =

204 cm (ver figura 7.2).

Teoricamente a barra 6 circundada, tem comprimento inicial “0” (zero), acrescido de cada lado, do valor a = 42 cm (ponto A da figura 7.2) e do comprimento necessário de ancoragem

b,nec =

59 cm, resultando

6 =

0 + 2(42 + 59) = 202 cm. Essa

barra, calculada inicialmente com 202 cm, deve ultrapassar em 10  = 16 cm o ponto B da barra 5, de cada lado do eixo da viga, onde teoricamente a tensão nessa barra começa a diminuir. Portanto, o comprimento final de

6 =

6 fica:,

204 + 2(42 + 16) = 320* cm > 202 cm.

 Analogamente os comprimentos das outras barras circundadas ficam:

5 =

204 + 2(42 + 59) = 406* cm > 289 + 2(42 + 16) = 405 cm.

4 =

289 + 2(42 + 59) = 491* cm > 354 + 2(42 + 16) = 470 cm.

(*) valor adotado das barras.

O comprimento da barra 4, as faces internas dos apoios,

0  =

4 =

491 cm, já é maior que a distância livre entre

500  –  (20 + 30) / 2 = 475 cm. Portanto, não é

necessário calcular os comprimentos das outras três barras (1, 2 e 3), porque elas são também maiores que o comprimento

0 =

475 cm. Dessa forma serão levadas quatro

7.12

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Detalhamento  ___________________________________________________________________________

barras até os apoios, resultando em um novo comprimento necessário de ancoragem nos apoios, dado por: (r + 5,5) = 8,5 = 8,5 x 1,6 ≈ 14 cm b,nec,novo =

0,7x60,3 (3,15 / 8,04) ≈ 17 cm >

b,min =

0,3x60,3 ≈ 18* cm (OK!)

6 cm

O comprimento das barras inscritas em retângulos, calculadas de forma simplificada com a = h/2 = 25 cm, fica:

6 =

204 + 2(25 + 59) = 372* cm > 320 cm (valor da barra circundada).

5 =

289 + 2(25 + 59) = 457* cm > 405 cm (valor da barra circundada).

4 =

354 + 2(25 + 59) = 522* cm (>

0)

> 491 cm (valor da barra circundada).

(*) valor adotado das barras

 Aqui também não será necessário calcular os comprimentos das outras três primeiras barras, resultando no valor já calculado, para o comprimento necessário de ancoragem nos apoios,

b,nec =

18* cm (4 barras levadas até aos apoios).

7.5.9 – Detalhamento da viga 7.5.9.1 – Barras de flexão (longitudinais) O detalhamento inicial será feito considerando as quatro primeiras (maiores) barras levadas até aos apoios e as outras duas (da segunda camada) com os comprimentos já calculados anteriormente, conforme recomendação da NBR 6118:2014 (figura 7.1). O detalhamento das barras da armadura de flexão da viga V1 está apresentado na figura 7.3, que mostra também o detalhamento e distribuição dos estribos (apresentado no próximo item). 7.13

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Figura 7.3 – Viga V1 detalhada  As quatro barras da primeira camada, posição N4 da figura 7.3, foram levadas até os apoios onde foram ancoradas com ganchos em ângulo reto, portanto com ponta reta não inferior a 8  = 8 x1,6 ≈ 13 cm. O novo comprimento de ancoragem com gancho, calculado depois do detalhamento final das barras longitudinais, foi = 17 cm, substituído por

b,min =

b,nec,c/ gancho

18* cm.

Essas barras apresentam um trecho maior reto, dois trechos curvos do desenvolvimento dos ganchos, cujo diâmetro interno do pino de dobramento vale DINT.  = 5 (tabela 6.2) e as duas pontas retas dos ganchos (13 cm). Considerando o eixo da barra longitudinal, o raio de dobramento do gancho vale r gancho = 5 / 2 +  / 2 = 3 = 3x1,6 = 4,8 cm ≈ 5 cm. O trecho curvo dos ganchos tem o comprimento igual a um 7.14

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quarto do círculo com raio r gancho = 3 , resultando [(1/4) 2 (3)] = 0,25x2x3x1,6 ≈ 8 cm. Como o apoio da esquerda tem uma largura cesq = 20 cm, o comprimento do trecho reto da barra N4 dentro desse apoio (a partir da sua face interna) vale (20 – 3  – 0,8 – 4,8) ≈ 11 cm. Somando a esse valor o comprimento do trecho curvo do gancho que é de 8 cm, resulta (11 + 8) = 19 cm, que já é maior que o

b,min =

18* cm, mas

mesmo assim, a NBR 6118:2014 obriga o uso da ponta reta de 13 cm na sua extremidade. Dessa forma o comprimento final, a partir da face interna do apoio esquerdo, é dado por (11 + 8 + 13) = 32 cm.

No apoio da direita, com cdir  = 30 cm, a ancoragem pode ser reta sem gancho resultando o valor

b,nec,s/ gancho =

(

b,nec,c/ gancho)

/ 0,7 = 17 / 0,7 = 24 cm < (30 -3 ) = 27

cm (comprimento máximo possível da ancoragem reta, sem gancho, dentro desse apoio). Adotou-se, no entanto, por analogia ao apoio esquerdo, o mesmo detalhamento com gancho, ficando o comprimento ancorado dentro desse apoio i gual a [(30  – 3 – 0,8 - 4,8) + 8 + 13] ≈ 42 cm. Finalmente as barras da posição N4 tem o comprimento final dado por:

reto,N4

≤ (500+20/2+30/2) –2c –2( /2) – 2r gancho = 525 –2x3 –2x1,6/2 –2x4,8 = 507,8 cm reto,N4,adotado =

N4 = reto,N4 +

2(

curvo,ganc + ponta,ganc)

507 cm

= 507 + 2(8 + 13) = 549 cm

Os comprimentos das barras correspondentes às posições N2 e N3 foram calculadas anteriormente, respectivamente as barras circundadas

6 =

320 cm e 5 = 406

cm, da figura 7.2. 7.5.9.2 – Barras da armadura transversal (estribos)  A armadura de cisalhamento foi calculada anteriormente para o máximo valor da força cortante (na face do apoio), que ocorre no apoio da esquerda (cesq < cdir ). O 7.15

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Detalhamento  ___________________________________________________________________________

valor desse cortante (99,84 kN) é um pouco maior que o da face do apoio da direita (104 – 41,6x0,15 = 97,76 kN), podendo-se considerar a mesma taxa ρw = 0,192, já calculada para o apoio da esquerda (  5 c/10 cm). Esses dois valores são os extremos do diagrama de cortante da viga. Na região central a força cortante diminui, em módulo, até um valor correspondente ao cortante mínimo, abaixo do qual a utilização do estribo mínimo absorve o cisalhamento (ver figura 7.4).

Figura 7.4 – Diagrama de V com trechos de estribos máximos e mínimos Para concreto f ck = 25 MPa as tabelas 5.1 e 5.4 fornecem respectivamente os valores:

w,min =

0,103 e

wd,min =

0,117 kN/cm2. O cortante VSd,min =

wd,min (b w d)  =

0,117x20x44,5 = 104,1 kN resultando no valor VS,min = (VSd,min /1,4) = 104,1 / 1,4 = 74,4 kN. A distância, a partir do eixo do apoio, que a força cortante assume esse valor mínimo, é dada por:

VS,min= 74,4 = R – p x = 104 – 41,6x x = (104 – 74,4) / 41,6 = 0,71 m = 71 cm.

7.16

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Para

w,min =

0,103 a armadura Asw,min = 0,103x20 = 2,06 cm2/m. Considerando

estribo simples r(dois ramos), vem:

(Asw,min)/2 = 1,03 cm2/m

s = 100 / (1,03 / 0,196) = 19 cm

 5 c/19 cm

7.5.9.3 – Desenho da viga Na figura 7.3 a viga biapoiada desse exemplo é desenhada mostrando-se os detalhes das armaduras longitudinais e transversais. Para resistir ao momento máximo foi requerida uma armadura tracionada, As,cal = 11,84 cm2 (barras N2 a N4, já detalhadas) e outra comprimida A’s,cal = 0,26 cm2, resultando a posição N1, com 2 5mm corridos (A’se = 0,39 cm2). Mesmo que a armadura de compressão não fosse necessária, deve-se usar, por motivos construtivos, duas barras superiores corridas como “porta-estribos”, que normalmente têm no mínimo a bitola do estribo, portanto, as mesmas barras da posição N1. O estribo, posição N5, foi considerado com gancho em ângulo reto que deve ter ponta reta de comprimento maior ou igual a 10 t = 10x0,5 = 5 cm, porém não inferior a 7 cm, conforme item 9.4.6 da NBR 6118:2014. Assim o comprimento final do estribo será: 2x(44 + 14) + 2x7 = 130 cm

O detalhamento da figura 7.3 foi feito considerando comprimentos distintos para as duas barras da segunda camada, posições N2 e N3. Opcionalmente pode-se detalhar essas barras, usando-se duas barras com o mesmo comprimento e alternadas em relação às faces internas dos pilares, conforme posição N6* do desenho 7.3.  A barra N3 está a 35 cm da face do apoio esquerdo e a (475  – 35 – 406) = 34 cm da face direita. A barra N4 está a (35 + 43) = 78 cm da face do apoio esquerdo e a (475  – 78  –  320) = 77 cm do direito. As duas barras alternadas opcionais, N6*, devem afastar 35 cm, uma de cada lado das faces dos apoios. Para que elas tenham

7.17

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Detalhamento  ___________________________________________________________________________

o mesmo comprimento as duas tem que se defasar 35 cm, conforme o detalhamento alternativo. Dessa forma o comprimento de N6* fica (475 - 3x35) = 370 cm.

7.6 - Viga 2 Calcular e detalhar uma viga contínua de 3 vãos, de um pavimento intermediário, com pé-direito (distância entre as faces das lajes de piso e forro de um mesmo pavimento) de 2,80 m, concreto f ck = 35 MPa (f c = 2,125 kN/cm2), aços CA 50 / CA 60, cobrimento adotado cadot = cnom - 0,5 = 2,5 cm. A seção transversal da viga é de 15x50 cm2, d = 45 cm (prevendo armadura tracionada em duas camadas), os pilares (apoios) são todos de 20 x20 cm2. As cargas, vãos e diagramas de força cortante e momento fletor estão apresentados na figura 7.5.

7.6.1 - Correções no modelo de viga contínua Conforme o item 14.6.7.1 da NBR 6118:2014 o modelo clássico de viga contínua, simplesmente apoiada nos pilares, para o estudo das cargas verticais, pode ser utilizado observando-se a necessidade das seguintes correções adicionais:

a) não devem ser considerados momentos positivos menores que os que se obteriam se houvesse engastamento perfeito da viga nos apoios internos; b) quando a viga for solidária com o pilar intermediário e a largura do apoio, medida na direção do eixo da viga, for maior que a quarta parte da altura do pilar, não pode ser considerado momento negativo de valor absoluto menor do que o de engastamento perfeito nesse apoio; c) quando não for realizado o cálculo exato da influência da solidariedade dos pilares com a viga, deve ser considerado, nos apoios extremos, momento fletor igual ao momento de engastamento perfeito multiplicado pelos coeficientes estabelecidos nas seguintes relações: - na viga: Mvig



r sup r sup





r inf 

r inf   r vig

Meng

7.18

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Detalhamento  ___________________________________________________________________________

- no lance (vão) superior do pilar: Msup



r sup r sup



r inf   r vig

Meng

- no lance (vão) inferior do pilar: Minf 



r sup

r inf  Meng r   r   inf  vig

Onde r i = (Ii / i) é a rigidez do elemento “i” do nó extremo analisado.

Figura 7.5 – Viga 2, cargas e diagramas de esforços solicitantes  Alternativamente, o modelo de viga contínua pode ser melhorado, considerando-se a solidariedade dos pilares com a viga, mediante a introdução da rigidez à flexão dos pilares extremos e intermediários (pórtico plano).

7.19

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Detalhamento  ___________________________________________________________________________

Os momentos negativos sobre os apoios extremos para a viga contínua acima, calculados considerando-se o item de correção “c", são obtidos conforme:

Apoio extremo da esquerda



r sup = r inf  = Isup /

sup =

(20x203/12) / 280 = 48

r vig = Ivig / vig = (15x503/12) / 600 = 260 Meng

Meng



p1x

2 

p2  p1c cd

12 

20x62 12

12x 

2

12a

cdbcd

40  20x2 12x5x12 12x62

2





c cd 





3bcd 



2

2 6  3x1





Paccbcc

2

2

40x4x22 62



84,4 kNm

(obtido das tabelas de momentos de engastamento perfeito de barras biengastadas) 48  48 84,4  22,8 kNm 48  48  260

Mvig 

(cc – carga concentrada,

cd – carga distribuída)

Apoio extremo da direita



r sup = r inf  = Isup /

sup =

(20 x 203/12) / 280 = 48

r vig = Ivig / vig = (15 x 503/12) / 500 = 313

Meng



25x52 12



10x3,5 12x52

12x1,75 x3,25 2



2



3,5 5  3x1,75



40x1,752 x3,25 52



69,6 kNm

(obtido das tabelas de momentos de engastamento perfeito de barras biengastadas)

Mvig



48  48 69,6  16,3 kNm 48  48  313

Segundo a correção “a” o momento positivo máximo no segundo vão considerando engaste perfeito nos apoios é M*max = 30x4,52 / 24 = 25,3 kNm (diagrama trace jado na figura 7.5). Esse é o valor a ser dimensionado, que além de posit ivo é maior que o encontrado no diagrama de M da figura 7.5, M = - 14,4 kNm (negativo). Para o primeiro e terceiro vãos não será necessário fazer essa verificação, pois com os mo-

7.20

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Detalhamento  ______________________  _________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ____________________ _________

mentos de extremidades nulos os diagramas de momentos positivos nesses dois trechos resultam em valores maiores que os encontrados na situação de engaste perfeito (Meng,esq = - 84,4 kNm e M eng,dir  =  = - 69,6 kNm calculados acima).

7.6.2 - Dimensionamento à flexão 2 Para f ck ck = 35 MPa e (d/h) = (45/50) = 0,9, As,min = 0,15% Ac = 1,13 cm  (tab. 2,7)

X (momento negativo) X*esq = 22,8 kNm

K = 0,049 < KL

adotar 3 10mm X1 = 109,4 kNm

X* = 14,4 kNm

X*dir  = 16,3 kNm

A’s =

0

As = 1,05 cm2 < As,min = 1,13 cm2 A’s =

0

As = 5,77 cm2 > As,min = 1,13 cm2 (OK!)

Ase = 6,03 cm2

K = 0,035 < KL

adotar 2 10mm

0

As = 9,07 cm2 > As,min = 1,13 cm2 (OK!)

Ase = 1,57 cm2

K = 0,160 < KL

adotar 3 16mm

A’s =

Ase = 10,06 cm2 (2 na segunda camada)

K = 0,031 < KL

adotar 2 10mm X2 = 73,6 kNm

Ase = 2,36 cm2

K = 0,237 < KL

adotar 5 16mm

As = 1,67 cm2 > As,min = 1,13 cm2

A’s =

0

As = 1,19 cm2 > As,min = 1,13 cm2

Ase = 1,57 cm2

A’s =

0

M (momento positivo) M1 = 95,5 kNm

K = 0,207 < KL

adotar 4 16mm M*2 = 25,3 kNm

M3 = 115,3 kNm

Ase = 8,04 cm2 (1 na segunda camada)

K = 0,055 < KL

adotar 3 10mm

A’s =

0

As = 1,86 cm2 > As,min = 1,13 cm2 (OK!)

Ase = 2,36 cm2

K = 0,250 < KL

adotar 5 16mm

As = 7,74 cm2 > As,min = 1,13 cm2 (OK!)

A’s =

0

As = 9,66 cm2 > As,min = 1,13 cm2 (OK!)

Ase = 10,06 cm2 (2 na segunda camada)

7.6.3 – Verificação da fissuração f ctm ctm = 0,3x(35)2/3 = 3,21 MPa = 0,321 kN/cm2 7.21

A’s =

0

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Detalhamento  ______________________  _________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ____________________ _________ γf  =

1,4 (como não foram for am fornecidas as parcelas permanente e acidental das cargas,

adota-se esse valor mínimo, a favor da segurança, na previsão da abertura estimada das fissuras).

(As,cal = 7,74 cm2 Ase = 8,04 cm2 4 16mm)

M1 = 95,5 kNm σ si

43,5 7,74 

1,4 8,04



29,9 kN/cm

43,5 9,66 

1,4 10,06



43,5 9,07 

1,4 10,06



43,5 5,77 1,4 6,03

2

29,8 kN/cm

k = 0,28mm < 0,3mm

(OK!)

2

k = 0,25mm < 0,3mm

28,0 kN/cm

(OK!)

(As,cal = 5,77 cm2 Ase = 6,03 cm2 3 16mm)

X2 = 73,6 kNm σ si 

(OK!)

(As,cal = 9,07 cm2 Ase = 10,06 cm2 5 16mm)

X1 = 109,4 kNm σ si

k = 0,28mm < 0,3mm

(As,cal = 9,66 cm2 Ase = 10,06 cm2 5 16mm)

M3 = 115,3 kNm σ si

2



29,7 kN/cm

2

k = 0,28mm < 0,3mm

(OK!)

Todas as aberturas estimadas das fissuras acima f oram obtidas com tensão de serviço na armadura calculada de forma simplificada, usando apenas a equação (4.1), que não depende do arranjo usado no detalhamento. Embora essa equação forneça normalmente aberturas estimadas maiores que as obtidas com a equação (4.2), todos os valores k calculados acima foram aceitáveis. Portanto, não será necessário fazer a verificação pela equação (4.2), que depende também da taxa ρri, função da área de envolvimento Acri, ou seja, do detalhamento.

 Alternativamente a verificação da fissuração, para a tensão de serviço calculada de forma aproximada, pode ser feita usando-se a equação (4.13), que não depende do detalhamento, resultando para os três momentos acima:

7.22

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Detalhamento  ______________________  _________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ____________________ _________ a



7,361 10

 A se



16

5



1,4x0,3



2,804x10

3

 , e

-3



3x2,804x10 x43,5

 A s,cal



1,4x0,321

0,90  1 *



Ase



As,cal

7.6.4 - Dimensionamento ao cisalhamento (Modelo I) w,min = wd2 =

Asw,min = 0,128x15=1,92 cm2/m

0,128 (Tab. 5.1),

0,581 kN/cm2 (tab. 5.2),

wd,min =

c0 =

0,0963 k /cm2 (tab. 5.3),

Vmin = 0,147x15x45 / 1,4 = 70,9 kN

0,147 kN/cm2 (tab. 5.4),

Verificação do concreto



VS,max = 138,2 - (40 x 0,20 / 2) = 134,2 kN wd,max 

134,2x1,4 2  0,209 kN/cm 20x45



wd,2 

0,581kN/cm2 (tabela 5.2)



Cálculo de Asw para cortantes máximos dos vãos

 

Vão1

V = 61,8 kN < Vmin = 70,9 kN w =

(estribo mínimo, ver diagrama de V na figura 7.5)

Asw,min /2 = 0,96 cm2/m

w,min

OK!

 5 c/20

V = 138,2 kN wd,face = (138,2 – (138,2 – 40x0,1)  40x0,1) x1,4 / (15x45) = 0,209 kN/cm2 > wd,min ρw





100

0,209 - 0,0963 43,5



0,465 kN/cm

2



ρ w,min

Asw /2 = 3,49 cm2/m

 8 c/14

Vão 2

V = 75,3 kN ρw



100

wd,face = (75,3 – (75,3 – 30  30x0,1) x1,4 / (15x45) = 0,150 kN/cm2 > wd,min

0,150 - 0,0963 39,15



0,137 kN/cm

2



ρw,min

Asw /2 = 1,03 cm2/m

 5 c/19

V = 59,5 kN < Vmin = 70,9 kN w =

w,min

Asw,min /2 = 0,96 cm2/m 7.23

 5 c/20

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Detalhamento  ______________________  _________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ____________________ _________

 A força cortante reduzida no apoio da esquerda fica Vred = 75,3 - 30(0,20 + 0,45) / 2 = 65,6 kN < V min, portanto, pode-se ter estribo mínimo em todo o segundo vão.



Vão 3

V = 115 kN ρw



100

0,231- 0,0963 39,15

V = 95 kN ρw



w =

100

wd,face = (115 – (115 – 35  35x0,1) x1,4 / (15x45) = 0,231 kN/cm2 > wd,min 

0,345 kN/cm

2

Asw /2 = 2,59 cm2/m

 ρ w,min

 8 c/19

wd,face = (95 – (95 – 25  25x0,1) x1,4 / (15x45) = 0,192 kN/cm2 > wd,min

0,192 - 0,0963 39,15



0,244 kN/cm

100x(0,192-0,0963)/39,15 = 0,244

2



Asw /2 = 1,83 cm2/m

ρw,min

Asw/2= 1,83 cm2/m

 5 c/10

 5 c/10

Em todos os vãos foram determinados os trechos t rechos com estribos mínimos, representados na figura 7.5 com hachuras menos densas.

7.6.5 – Cálculo dos comprimentos de ancoragem por aderência O comprimento básico de ancoragem para situação de boa aderência, para f ck ck = 35 MPa, é igual a

b,boa =

30,10 , ou podem ser usados os comprimentos arredon-

dados (múltiplos de 5 cm) para as diversas bitolas bitolas da tabela 6.3. Para situação de má aderência

=

b (As,cal /

b,má = b,boa /

0,7 = 30,10  / 0,7 = 43 . Os comprimentos necessários

b,nec

Ase) para os vãos (positivos), e apoios (negativos) ficam: b, 16 =

50 cm,



b,nec =

50x7,74 / 8,04 = 48 cm

M3 = 115,3 kNm (As,cal=9,66 cm2 Ase=10,06 cm2) 

b,nec =

50x9,66/10,06 = 48 cm



Momentos positivos (região de boa aderência -

M1 = 95,5 kNm (As,cal=7,74 cm2 Ase 8,04 cm2)

7.24

b, 10 =

35 cm)

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Detalhamento  ______________________  _________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ____________________ _________ 

Momentos negativos (região de má aderência (As,cal=9,07 cm2 Ase=10,06 cm2) 

X1 = 109,4 kNm

(As,cal=5,77 cm2 Ase=6,03 cm2) 

X2 = 73,6 kNm





d

b,nec =

b,nec =

70 cm,

b, 10 =

45 cm)

70x9,07/10,06 = 63 cm

70x5,77 / 6,03 = 67 cm

Vão 1 - Apoio da esquerda - Levando-se 3  16mm até os apoios (1a CAM)

VSd,max = 61,8x1,4 = 86,52 kN a

b, 16 =

86,52 286,52  65



2,01  1 *

Vc = Vc0 = 0,0963x15x45 = 65,0kN 

a = d = 45 cm

2  As,cal = FSd / f yd yd = 86,52 / 43,5 = 1,99 cm

b,min

Como

b,nec =

FSd = (a/d) VSd = 86,52 kN 50x1,99 / 6,03 ≈ 17 cm >b,min

> (0,3 b = 0,3x50 = 15 cm, ou 10  = 16 cm, ou 10 cm)

b,nec calculado

sem gancho é menor que a largura do apoio menos o co-

brimento (20 - 2,5) = 17,5 cm, pode-se ancorar as 3 barras no apoio, sem dobra.



Vão 1 - Apoio da direita

VSd,max = 138,2x1,4 = 193,48 kN a d

193,48 

2193,48



65

  0,75



Vc = 65 kN a = 0,75 x 45 = 34 cm < d

Conforme figura 7.5, o ponto de momento nulo do diagrama de M (positivo) do primeiro vão está a 91 cm do eixo do segundo apoio. Deslocando-se esse diagrama de a = 34 cm, no sentido do apoio, a distância do diagrama decalado até a face desse apoio fica a (91 – (91  – 34  34 - 10) = 47 cm. Nesse caso, de acordo 7.4, o comprimento de ancoragem a partir da face do apoio deve ser de 10  = 16 cm, desde que se leve (1/4) das barras do vão (no mínimo 2 barras) até o apoio (o ponto A está antes do apoio e não há possibilidade do momento ser positivo nesse apoio).

 Além do diagrama deslocado deve deve ser acrescentado acrescentado o comprimento comprimento

b,nec =

48

cm. Com isso, a primeira (maior) barra positiva desse vão deve entrar no apoio (48 47) = 1 cm, menor que 10 = 16 cm, mencionado acima. Assim, no detalhamento do 7.25

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primeiro vão, são levadas três barras até o apoio interno, entrando no mínimo 16 cm a partir da face.



Vão 3 - Apoio da direita - Levando-se 3  16 mm até os apoios

VSd,max = 95x1,4 = 133 kN a d



45

133 2133



65

Vc = 65 kN

  0,98 < 1 - a = 0,98 x 45 =



 As,cal = 130,3 / 43,5 = 2,99 cm2

44 cm - FSd = 0,98x133 = 130,3 kN

b,nec =

50x2,99 / 6,03 ≈ 25 cm (OK!)

Esse comprimento é maior que (20 – 2,5) = 17,5 cm, devendo a ancoragem no apoio ser feita com gancho  (ver barra N11  da figura 7.6), cujo comprimento vale b,nec,gancho =



0,7x25 = 17 cm, com ponta reta não inferior a 8  = 13 cm.

Vão 3 - Apoio da esquerda - Levando-se 3  16 mm até os apoios

VSd,max = 115x1,4 = 161 kN

Vc = 65 kN

a

a = 0,84 x 45 = 38 cm

d



45

161 2161 65

  0,84 < 1





Conforme figura 7,5 o ponto de momento nulo no terceiro vão está a 72 cm do eixo do apoio da esquerda. Deslocando-se o diagrama no sentido do apoio de um valor a = 38 cm, a face desse apoio fica a uma distância (72 - 38 - 10) = 24 cm, do diagrama decalado. Com isso a ancoragem a partir da face do apoio pode ser de 10

= 16 cm (o ponto A está antes do apoio e não há possibilidade do momento ser positivo nesse apoio). Como b,nec = 48 cm, a barra positiva mais comprida desse terceiro vão pode entrar no apoio (48 - 24) = 24 cm, conforme N11 da figura 7.6.

No segundo vão o diagrama real de momentos é negativo, devendo para efeito de dimensionamento ser substituído pelo diagrama na situação de engastamento perfeito (diagrama tracejado na figura 7.5). As três barras positivas N9 da figura 7.6 devem ser levadas até os apoios entrando 10 = 10 cm nos mesmos.

7.26

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 As correções adicionais do diagrama de momentos, para o modelo clássico de viga contínua simplesmente apoiada sobre os apoios, foram feitas na f igura 7.5, conforme NBR 6118:2014. O ponto de momento nulo, para o diagrama de momento negativo sobre o apoio extremo esquerdo, fica a 41 cm a partir do seu eixo e a 18 cm, para o apoio extremo da direita. O comprimento de ancoragem necessário no apoio esquerdo (região de má aderência,  = 10 mm, As,cal = 1,67 cm2 e A s,e = 2,36 cm2 ) é b,nec

= (43x1,0)x(1,67/2,36) = 30 cm e no direito é

b,nec

= (43x1,0) x (1,19/1,57) = 33

cm. Como os dois valores são maiores que a largura dos apoios (20 cm) essas duas armaduras (posições N2 e N6 da figura 7.6) devem ser ancoradas com gancho a partir das suas faces, com ponta reta igual a 8  = 8 cm. No apoio extremo esquerdo cho =

0,7x30 = 21 cm e no direito

b,nec,gancho =

b,nec,gan-

0,7x33 = 23 cm. A decalagem do dia-

grama, para detalhamento do trecho reto em ambas posições, foi adotada com o máximo valor a = d = 45 cm (a/d = 1 para V = 68,1 kN e a/d = 0,98 para V= 95 kN).

7.6.6 – Desenho da viga  A figura 7.6 apresenta a viga V2 detalhada mostrando as barras longitudinais da armadura positiva e negativa e as transversais (estribos). As barras detalhadas devem satisfazer aos cálculos à flexão e ao cisalhamento cobrindo com segurança os diagramas desses esforços solicitantes.

Normalmente as curvas do diagrama de momentos para o trecho negativo é bem próxima da reta que liga o ponto de momento nulo com o ponto de momento máximo, sobre o apoio. A consideração dessa reta, em substituição ao diagrama curvo real, além de ser a favor da segurança na cobertura do diagrama, facilita o cálculo dos comprimentos das barras negativas. Dessa forma foram calculadas as barras das armaduras negativas N2, N3, N4 e N6.

Valores usados no detalhamento das barras longitudinais 

Cobrimento c = 2,5 cm

7.27

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Detalhamento  ___________________________________________________________________________ 

Ganchos (raio interno r i = 2,5, raio eixo r = 3, raio externo r e = 3,5, trecho curvo

c =

1,5, ponta reta

p =

8)

Barra 2 (  = 10mm) distância do eixo ao ponto de momento nulo = 41 cm, b,nec,vão=

30 cm, b,nec,apoio= 21 cm, a = 45 cm, c = 5 cm, p = 8 cm

Trecho reto

41 + [(20/2)-c] - r e + a + b,nec = 41 + 7,5 - 3,5 + 45 + 30 = 120 cm

Comp. total

N2

= 120 + c + p = 120 + 5 + 8 = 133 ≈ 135 cm

Verificação do trecho efetivamente ancorado a partir da face do apoio: apoio

= (20 - c - r e) + c + p = 14 + 5 + 8 = 27 cm > b,nec,apoio = 21 cm

OK!

Barra 6 (  = 10mm) distância do eixo ao ponto de momento nulo = 18 cm b,nec,vão=

33 cm, b,nec,apoio= 23 cm, a = 45 cm, c = 5 cm, p = 8 cm

Trecho reto

18 + [(20/2)-c] - r e + a + b,nec = 18 + 7,5 - 3,5 + 45 + 33 = 100 cm

Comp. total

N6

= 100 + c + p = 100 + 5 + 8 = 113 ≈ 115 cm

apoio

= 27 cm > b,nec,apoio= 23 cm

OK!

Barra 3 ( = 16mm) distância entre pontos de momentos nulos (91+450+72 = 613 cm) a,ap 2 = 34 cm, b,nec,ap 2= 63 cm, a,ap 3 = 38 cm, b,nec,ap 3= 67 cm

Como o diagrama de momento negativo se estende até o próximo apoio, onde são necessárias 3 16 mm, prolongam-se as três barras da primeira camada do segundo apoio, pelo trecho total de 613 cm. Dessa forma o comprimento fica:

N3

= 613 + a, 2 + b,nec 2 + a, 3 + b,nec 3 = 613 + 34 + 63 + 38 + 68 = 815 cm 7.28

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 A barra negativa N3 começa a (91 + 34 + 63 = 188) ≈ 190 cm a esquerda do eixo do segundo pilar e prolonga-se até (72 + 38 + 67 = 177) ≈ 175 cm, a direita do terceiro pilar (ver figura 7.6).

Barra 4 (  = 16mm) a,ap 1 = 34 cm, b,nec,ap 1= 63 cm

 A posição N4 da figura 7.6, corresponde às duas barras da segunda camada da armadura negativa do segundo apoio. A distância onde o diagrama de momento se anula está a 91 cm à esquerda desse apoio. Retificando o diagrama e dividindo-se em cinco partes iguais (quantidade de barras) a distância fica dividida em cinco comprimentos de (91 / 5) = 18 cm. Como as três barras maiores (N3, primeira camada) já foram detalhadas, as duas menores ficam com (18x2) = 36 cm, detalhadas para a maior das duas, do lado esquerdo do segundo apoio.

Do lado direito o diagrama de momento não se anula. Nesse caso, não é possível determinar, de forma simplificada (diagrama retificado), os comprimentos das cinco barras. A partir do diagrama de M do segundo vão, em escala, obtém-se o comprimento da segunda menor barra, resultando 78 cm, conforme figura 7.5.

N4

= (36 + 78) + 2x34 + 2x63 = 308 cm ≈ 310 cm

Essa barra começa a (36 + 34 + 63) = 133 ≈ 135 cm a esquerda do segundo pilar.

Barras 1 e 5 (  = 5mm) Os comprimentos das barras para “porta-estribos” N1 e N5 são obtidas com a distância livre entre barras consecutivas das armaduras negativas, prolongadas de cada lado, do comprimento de traspasse

b =

7.29

(43) = 43x0,5 ≈ 22 cm (25*). Conforme

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Detalhamento  ___________________________________________________________________________

visto acima a armadura negativa N3 começa a 190 cm a esquerda do segundo apoio e termina a 175 cm a direita do terceiro apoio.

N1

= 600 + [10 - (2,5 + 3,5)] - 120 - 190 + 2x25 = 344 cm (adotar 345 cm)

N5

= 500 + [10 - (2,5 + 3,5)] - 100 - 175 + 2x25 = 279 cm (adotar 280 cm)

Barras 7 e 8 (  = 16mm) a,esq = 45 cm, a,dir = 34 cm, b,nec,vão = 48 cm

São as barras positivas do primeiro vão. A barra N7 está na segunda camada e as três da primeira camada, N8, são levadas até os apoios. O comprimento das barras N8 obtém-se somando-se à distância livre entre os apoios (600 - 10 - 10) = 580 cm, os valores 17 cm e 16 cm, que essas barras devem entrar nos apoios da esquerda e da direita, respectivamente. A menor barra positiva desse vão, N7, segundo o diagrama em escala da figura 7.5, está a 154 cm do eixo do apoio da esquerda e a 178 cm do eixo da direita. Os comprimentos dessas duas posições da figura 7.6 ficam:

N7

= 600 - 154 - 178 + 45 + 34 + 2x48 = 443 cm

(começa a 154 - 45 - 48 = 61 ≈ 60 cm do eixo do apoio esquerdo, ver figura 7.6) N8

= 580 + 17 + 16 = 613 cm

Barra 9 (  = 10mm)

N9

= (450 – 2x10) + 2x10 = 450 cm

Barras 10 e 11 (  = 16mm) a,esq = 38 cm, a,dir = 44 cm, b,nec,vão = 48 cm (N11)

r e = 3,5 = 5,6 cm, c = 1,5  = 8 cm, p = 13 cm, b,nec esq = 24 cm, b,nec dir =

23 cm (c/ gancho), reto,N11 = 480 + 24 + (20 - 2,5 - 5,6) ≈ 515 cm 7.30

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Detalhamento  ___________________________________________________________________________ N10

= 500 - 166 - 82 + 38 + 44 + 2x48 = 430 cm

(166 e 82 obtidos, em escala, para a maior das duas barras da segunda camada, no diagrama de M do vão 3 da figura 7.5) N11

= reto,N11 + c + p = 515 + 8 + 13 = 536 cm

Estribos  Analisando o diagrama de força cortante da figura 7.5 notam-se dois trechos distintos para os dois primeiros vãos e três trechos no terceiro vão. Isso ocorre em função dos trechos com armadura transversal (estribo) mínima, onde V < V min = 70,9 kN, e trechos com armadura maior. O segundo vão, embora com dois trechos, pode ficar com estribo mínimo em toda sua extensão, conforme mostrado no dimensionamento ao cisalhamento.

Posição N12 – estribo com bitola  = 5mm Comprimento do gancho N12

g =

10 = 10x0,5 = 5 cm < 7 cm

= 2 [(15 – 2x2,5) + (50 – 2x2,5)] + 2x7 = 124 cm

Posição N13 – estribo com bitola  = 8mm Comprimento do gancho N13

g =

10 = 10x0,8 = 8 cm > 7 cm

= 2 [(15 – 2x2,5) + (50 – 2x2,5)] + 2x8 = 126 cm



Vão 1

Trecho com estribo mínimo (5 c/20)

600 - 10 - 168 = 422 cm 422 / 20 = 21,1

Trecho com estribo 8 c/14

168 - 10 = 158 cm 158 / 14 = 11,3



22 N12 c/20 12 N13 c/14

Vão 2

Trecho com estribo mínimo (5 c/20)

450 - 10 - 10 = 430 cm 430 / 20 = 21,5 7.31

22 N12 c/20