[2016-02] ModelFunc

Calculo a´ lculo Diferencial - Taller sobre Modelamiento de Funciones - Semestre 2016-02 Escuela Escuela de Matem´aticas aticas - Universidad Nacional de Colombia, sede Medell´ın ın

1. Expr Expres esee el area ´ A   de un tri´ tri´angulo angulo equil´ equil´atero atero como como funci´ funcion o´ n de la altura h altura h del  del tri´ triangulo. a´ ngulo.

12. Se debe construir construir una pista de atletismo, con dos segmentos rectos y dos semicirculares, cuya longitud es 1 km:

2. Se va a construir una caja rectangular abierta con una  base cuadrada de longitud x longitud x y  y un volumen de 16000 cm 3 . Exprese el area A area ´  A de  de la caja como funci´on on de x de x.. 3. Considere Considere un un rect´ rect´angulo angulo inscrit i nscrito o en un c´ırculo ırculo de radio a radio  a cm. Exprese tanto el ´ el ´area A area  A como  como el per´ per´ımetro P ımetro P de  de dicho rect´ rectangulo a´ ngulo en funci on o´ n de la longitud de su base x base x.. 4. Un enva envase se cerr cerrad ado o de hoja hojala lata ta cuyo cuyo volu volume men n es de 60 cm3 tiene la forma de un cilindro circular circular recto. recto. Exprese Exprese el area A a´ rea  A de  de la superficie total del envase como funci´on on de (a) el radio r radio r de  de la base. (b) la altura h altura  h del  del cilindro. 5. Para el envase del ejercicio ejercicio anterior, anterior, si el precio del material que se usa para la base y la tapa es de $ 4 por cm 2 , mientras que el costo del material para la parte curva es de $ 2 por cm 2 , exprese el costo total C total  C  del material del envase como funci´on on del radio r radio r  de la base e indique el dominio dominio de la funci funcion ´ resultante. 6. Un fabricante de envases de cart´on on construye cajas sin tapa usando l´aminas aminas cuadradas de cart´on on de 120 cm de lado, lado, recort recortand ando o cuadra cuadrados dos iguale igualess de las cuatro cuatro esquina esquinass y doblando los lados hacia arriba. arriba. Si x Si x es  es la longitud del lado (en cm) del cuadrado que debe recortarse, exprese el ´ de x volumen V  volumen V  de  de la caja fabricada como funcion de  x.. Diga ´ resultante. cu´ cual a´ l es el dominio de la funci´ funcion 7. Un granjero tiene 750 pies de cerca, desea encerrar encerrar un lote rectangular y dividirlo en cuatro corrales, colocando cercas paralelas a uno de los lados del rect´angulo. angulo. Exprese Exprese el area a´ rea total A  del lote en t´erminos erminos de la longitud x  del lado del lote paralelo a las cercas interiores. interiores. Indique Indique el ´ dominio de la funci´ funcion. 8. Se bombea agua en un tanque c´onico onico invertido, cuya altura tura es de 1.2 m y cuyo radio radio es de 40 cm. Expre Exprese, se, en 3 m , el volumen del agua dentro del tanque, como una funci´on on del radio r radio r de  de la superficie de agua. 9. Exprese Exprese la distancia distancia del punto ( 0, 0) a un punto  ( x, y) so bre la recta y recta y = 2x 3, en t´erminos erminos de x de x  solamente.  solamente. Indique el dominio dominio de la funci funcion. ´

−

10. En el proyecto de una helader´ıa ıa se calcula que si se instalan sillas para ubicar entre 40 y 80 personas, la ganancia diaria ser´ sera´ de $ 8000 por silla, pero si la capacidad de sillas sobrepasa las 80, entonces la ganancia diaria por cada silla disminuye disminuye $40 por el numero ´ de sillas excedentes. Si x  es el n´umero umero de sillas y G y G la  la ganancia diaria, exprese a G como funci´on de x de x indicand  indicando o el dominio dominio de la funci´on resultante. 11. Cierta cantidad de agua fluye a una tasa de 2 m 3 /min hacia el interior de un dep´osito cuya forma es la de un cono invertido de 16 m de altura y 4 m de radio. Exprese

Halle el area a´ rea limitada por la pista como funci´on del radio r de cada segmento semicircular. 13. Suponga que una farola se encuentra en el extremo superior de un poste de 15 pies de altura, situado en una calle calle horizont horizontal al y recta. recta. Si un hombre hombre de 6 pies de estatura camina por dicha calle, alej´andose andose del poste, exprese la longitud de sus sombra s sombra  s  (en cualquier instante t) en t´erminos erminos de la distancia x distancia x del  del hombre al poste. 14. 14. Una Una vent ventan anaa rect rectan angu gula larr est´ est´a rematada por un semic´ırculo. ırculo. El per´ımetro ımetro de la ventana ventan a es 200 cm. cm . Exprese el area a´ rea A  de la ventana como funci´on del radio x  del semic´ırculo ırculo e indique i ndique el dominio de la funcion ´ resultante. 15. Un avi´on de una compa compan´ ˜ ıa ıa tiene cupo para 100 pasajeros. pasa jeros. Para una excursi´on, on, la compa˜n´ıa ıa cobra $ 800,000 a cada pasajero m´as as $ 10,000 por cada puesto que quede vac´ıo. ıo. Si viajan x viajan  x pasajeros,  pasajeros, (a) exprese cu´anto anto dinero D dinero D pagar´  pagar´a cada uno; ´ de x (b) exprese, mediante una funci funci´on de x,, el ingreso T  ingreso T  que  que recibe la compan˜ ´ıa ıa por todos los pasajeros. 16. Los arboles a´ rboles de naranja que crecen en La Pintada pro˜ cada uno, si no se plantan ducen 600 naranjas por ano mas a´ s de 20 arboles a´ rboles por hect´ hectarea. a´ rea. Por cada arbol a´ rbol plantado adicional por hect´area area el rendimiento por arbol a´ rbol decrece en 15 naran naranjas jas.. Expre Exprese se el numero ´ de naranjas N  proN  producidas en cada hect´ hectarea a´ rea por ano ˜ como una funcion ´ del numero ´ de ´ de  ´arboles x arboles x plantados  plantados por hect´ hectarea. a´ rea. 17. Losv´erti e rtice cess de un rect´ rect´angulo angulo est´an a n uno uno sobr sobree el eje eje x,  x, otro 2 sobre el eje y eje y,, otro sobre la gr´ grafica a´ fica de y de  y  =  4 x y el otro es el origen. Exprese el area A a´ rea  A  del rect´ rectangulo a´ ngulo en funci on o´ n de uno de sus lados.

−

18. Dos lados lados de un tri´ tri´angulo angulo tienen 4 y 5 metros de longitud y el ´ el  ´angulo angulo entre ellos es θ . Exprese ´ de  θ . (a) el ´ el  ´area A area A de  de dicho tri´ triangulo a´ ngulo como funcion (b) la longitud longitud del tercer lado lado z  z en  en terminos e´ rminos de θ . 19. Un equipo de f´utbol juega en un estadio con una capacidad de 15,000 espectado espectadores. res. Con el precio de la boleta fijado en 12 dolares, olare ´ s, la asistencia promedio promedio a un partido es de 11,000 espectadores. Un estudio de mercado indica que por cada d´olar que disminuya el precio de la boleta, boleta, la asistencia promedio aumentar´a 1000 espectadores. Ex-

20. Se circunscribe un cono circular recto alrededor de un cilindro circular recto de 2 cm de radio y 3 cm de altura:

√ 

3. A( x) =  x 4a2 x2 , 0 < x < 2a. P( x ) =  2 x + 2 4a2 x2 , 0 < x < 2a. 4.

(a) A(r )

√ −

=  2 π r2

−

+  120 r ,0

6. 7. 8.

−

A( x) = 52 x(150 V (r ) =  π r 3 , 0 <

(a) del radio r de la base del cono; (b) de la altura h del cono.

18.

16. 17.

√  , h > 0.

19. 20.

2. A( x ) =  x 2 +  64000 x ,  x

>

0.

<

.

<

∞

.

150.

0,4. R.

si si

− 40(x − 80)] x

40 x x > 80.

≤ ≤ 80,

.

2 x, 0 3

<

− 2π r)r, 0

x

<

∞

<

r

<

1 2π  .

,0

<

.

− π x − 2x)x +

π x 2

2

x < π 200 +2 . x ).

− (b) T ( x) = [ 800000 + 10000(100 − x)] x.  600x si 0 ≤ x ≤ 20, N ( x ) = 2 900x − 15x si 20 x ≤ 60. A( x) =  x (4 − x2 ), 0 x 2. (a) A(θ ) =  10 sen θ , 0 θ π . √  (b) z(θ ) = 41 − 40cos θ , 0 θ π . I ( x) = ( 23000 − 1000x) x, 8 ≤ x ≤ 23. <

<

<

<

(a) V (r ) = (b) V (h) =

22.

3

∞

(a) D( x) =  800000 + 10000(100

<

(a) (b)

π r3 r 2 , r

−

4h3 π 

>

3( h 3)2

−

<

2.

, h

>

3.

1 x2 x )2 , 0 x 4π  + 16 (10 V (r ) = 13 π r2 R2 r2 , 0 < r V (h) = 13 π ( R2 h2 )h, 0 < h

21. A( x) = h2

<

<

(b) de la altura h del cono.

1. A(h) =

π 

14. A( x) = ( 200

22. Se elabora un cono a partir de un trozo circular de papel de radio R, al recortar un sector circular y unir los bordes. Exprese la capacidad V  del cono como funci´on

Respuestas

96t

13. s( x ) =

15.

(a) del radio r del cono;

[8000

12. A(r ) =  π r2 + (1

21. Un trozo de alambre de 10 pies de longitud se corta en dos partes. Con una parte se hace una circunferencia y la otra se dobla en forma de cuadrado. Si x  es la longitud del trozo de alambre usado para construir la circunferencia, exprese el area ´ total A de las dos figuras como una funci´on de x. Indique el dominio de la funci´on.

<

x

   8000− x12x + 9, x ∈

  3

r

<

5x2

10. G( x) = 11. h  =

− x ), 0

√ 

9. d( x) =

Exprese el volumen V  del cono en funci´on

r

120 +  4 15π h, 0 < h h C (r ) =  8 π r2 +  240 r , 0 < r < ∞. V ( x) = ( 120 2x)2 x, 0 < x < 60.

(b) A(h) =

5.

<

√ 

− √ 

−

≤ ≤ 10.

−

<

R.

<

R.