2014 Matematica Locala Bucuresti Clasa a Va Subiectebarem

OLIMPIADA DE MATEMATIC Bucuresti – ETAPA PE SECTOR, 23.02.2014 CLASA A V-A

Not : Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se puncteaz de la 0 la 7 puncte. Pe foaia de concurs se trec rezolv rile complete. Timp de lucru: 2 ore.

1. Determina i numerele ab tiind c împ r ind num rul ab5 la num rul ba ob inem câtul 5 i restul 25.

2. a) Determina i toate perechile de numere naturale ( n, p ) care verific egalitatea

( n + 1)( n + 2 p ) = 1 + 2 + 3 + 4 ; b) Determina i câte perechi de numere naturale ( n, p ) care verific egalitatea

( n + 1)( n + 2 p ) = 1 + 2 + 3 + ... + 2014 . 3. Se consider num rul n = 9 + 99 + 999 + ... + 99...99 + 2014. 2014 cifre

a) Ar ta i c num rul n este divizibil cu 10; b) Determina i câtul i restul împ r irii num rului n la 111 .

4. Se consider mul imea A care are ca elemente numere naturale scrise cu cinci cifre diferite care apar in mul imii {1, 3, 5, 7, 9} . a) Determina i câte numere din mul imea A au prima cifr 1 i ultima cifr 3; b) Determina i câte elemente con ine mul imea A ; c) Calcula i suma tuturor elementelor din mul imea A .

Problema 3 a fost selectat din Suplimentul Gazetei Matematice- Seria B, nr. 10/2013, publica ie lunar pentru tineret, fondat în anul 1895, editat de Societatea de tiin e Matematice din România

OLIMPIADA DE MATEMATIC – ETAPA PE SECTOR, 23.02.2014 CLASA A V-A SOLU II I BAREME ORIENTATIVE Not : Fiecare subiect se puncteaz de la 0 la 7 puncte. Se acord numai punctaje întregi. Orice alt rezolvare se asimileaz conform baremului. Subiectul 1. Determina i numerele ab tiind c împ r ind num rul ab5 la num rul ba ob inem câtul 5 i restul 25 . Prof. Cristian Mangra, Bucure ti Barem Detalii rezolvare asociat 2p Din teorema împ r irii cu rest avem ab5 = 5 ⋅ ba + 25 , cu ba > 25 . Folosind scrierea în baza 10 ob inem 19 ⋅ a = 8 ⋅ b + 4 . 2p Deoarece num rul din membrul drept se divide cu 4 deducem c a ∈ {4,8} . 2p Pentru a = 4 , ob inem b = 9 i num rul c utat este 49 . 1p Pentru a = 8 nu avem solu ie. Subiectul 2. a) Determina i toate perechile de numere naturale ( n, p ) care verific egalitatea

( n + 1)( n + 2 p ) = 1 + 2 + 3 + 4 ; b) Determina i câte perechi de numere naturale ( n, p ) care verific egalitatea

( n + 1)( n + 2 p ) = 1 + 2 + 3 + ... + 2014 . Prof. Ion Cicu, Bucure ti Barem Detalii rezolvare asociat a) Avem ( n + 1)( n + 2 p ) = 10 , deci n + 1 este divizor al lui 10, adic n + 1 ∈ {1, 2,5,10} 1p Ob inem n ∈ {0,1, 4,9} . Convin perechile n = 0, p = 5 i n = 1, p = 2 .

b) R spuns: 0 perechi Avem 1 + 2 + 3 + ... + 2014 = 1007 ⋅ 2015 care este num r impar. Numerele n + 1 i n + 2 p au parit i diferite deoarece 1 este impar, iar 2 p este par. Prin urmare, num rul ( n + 1)( n + 2 p ) este par. În concluzie ( n + 1)( n + 2 p ) ≠ 1 + 2 + 3 + ... + 2014 , oricare ar fi numerele naturale n i p.

2p 1p 2p 1p

Subiectul 3.

Se consider num rul n = 9 + 99 + 999 + ... + 99...99 + 2014. 2014 cifre

a) Ar ta i c num rul n este divizibil cu 10; b) Determina i câtul i restul împ r irii num rului n la 111 . Prof. Aurica Pîrvescu, Boto ani Barem asociat

Detalii rezolvare a) Num rul n are 2014 termeni forma i numai cu cifra 9 . Vom scrie termenul 2014 ca o sum format din 2014 de 1 . Avem n = 9 + 99 + 999 + ... + 99...99 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 = ( 9 + 1) + ( 99 + 1) + ( 999 + 1) + ... + ( 99...99 + 1) 2014 cifre

2014 termeni

sau n = 10 + 100 + 1000 + ... + 100...00 = 11...110 . 2014 cifre

3p

2014 cifre

Cum ultima cifr este 0 , num rul este divizibil cu 10 b) Vom scrie n = 111 ⋅102012 + 111 ⋅102009 + ... + 111⋅10 2 + 10 = = 111 ⋅ (1 ⋅102012 + 1 ⋅102009 + ... + 1 ⋅102 ) + 10

Câtul este 100100...100 , iar restul este 10 .

2p 2p

671 grupe

Subiectul 4. Se consider mul imea A care are ca elemente numere naturale scrise cu cinci cifre diferite care apar in mul imii {1, 3, 5, 7, 9} . a) Determina i câte numere din mul imea A au prima cifr 1 i ultima cifr 3; b) Determina i câte elemente con ine mul imea A ; c) Calcula i suma tuturor elementelor din mul imea A . Prof.Marius Perianu, Slatina Barem Detalii rezolvare asociat a) Numerele au forma 1abc3 . Cifra a poate lua 3 valori, cifra b poate lua 2 valori, iar 2p cifra c o valoare. Sunt 3 ⋅ 2 ⋅1 = 6 numere b) Numerele au forma abcde . Cifra a poate lua 5 valori, cifra b poate lua 4 valori, 3p cifra c poate lua 3 valori, cifra d poate lua 2 valori, iar cifra e o valoare. Sunt 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 = 120 de numere. c) Fiecare cifr apare, pe fiecare pozi ie, de 24 de ori i atunci suma numerelor are forma S = 24 ⋅ (1 + 3 + 5 + 7 + 9) ⋅104 + 24 ⋅ (1 + 3 + 5 + 7 + 9) ⋅103 + 24 ⋅ (1 + 3 + 5 + 7 + 9) ⋅102 + 2p +24 ⋅ (1 + 3 + 5 + 7 + 9) ⋅10 + 24 ⋅ (1 + 3 + 5 + 7 + 9) = 24 ⋅ 25 ⋅11111 = 6666600