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4: MOVIMIENTOS OSCILATORIOS AMORTIGUADO Y FORZADO 4.1 INTRODUCCIÓN Los movimientos oscilatorios armónicos hasta aquí considerados se refieren a sistemas ideales, que oscilan indefinidamente por la acción de una fuerza lineal de restitución, de la forma F = -ky. Pero en los sistemas reales están presentes fuerzas disipativas, como la fricción, las cuales retardan el movimiento del sistema. Por lo tanto la energía mecánica del sistema se va perdiendo conforme transcurre el tiempo, lo que hace que la amplitud del sistema disminuya con el tiempo, y se dice que el movimiento es amortiguado. En un oscilador amortiguado, la energía disminuye en el tiempo por efecto de la fuerza disipativa. Se puede compensar esta pérdida y entregar energía al sistema aplicando una fuerza externa que en cualquier instante actúe en la dirección del movimiento del oscilador; esto se conoce como un oscilador forzado 4.2 EL OSCILADOR ARMÓNICO AMORTIGUADO El amortiguamiento es causado por una fuerza de resistencia, ver figura 4.1. Para una resistencia viscosa tal como la fuerza amortiguadora del aire, la fuerza amortiguadora puede tomarse como proporcional a la velocidad. Luego, si la fuerza de amortiguamiento es Fb = -bv, donde el signo menos indica que esta fuerza tiene sentido opuesto al movimiento del cuerpo oscilante. El coeficiente b recibe el nombre de parámetro de amortiguamiento y en el S.I de unidades se expresa en Nsm-1.

La ecuación del movimiento es de la forma:

ky bv mg

Fig. 4.1 Oscilador amortiguado

- K y – bv = m a

(4.1)

d 2 y b dy k   y 0 dt 2 m dt m

(4.2)

k b 2 y haciendo: ω o  m , m  2γ

γ, se denomina coeficiente de amortiguamiento, se expresa en s-1 y sirve para determinar la velocidad de amortiguamiento de las vibraciones. La ec. (4.2) se puede escribir así:

d2y dt 2

 2γ

dy  ω o2 y  0 dt

(4.3)

La solución de ésta ecuación es de la forma y = eαt Reemplazando en la ecuación (4.3) obtenemos:

α 2  2α γ  ω o2  0

De donde, α1   γ  γ 2  ω o2

α 2   γ - γ 2  ω o2

CONSIDEREMOS LOS SIGUIENTES CASOS:

PRIMER CASO:

Si γ2 ˃ ωo2

En este caso las raíces αi son reales y distintas, esto es, α1 ≠ α2 y la solución de la ecuación diferencial del oscilador es:

y  A e α1 t  B e α 2 t γ 2  ω o2 t  γ 2  ω o2 t   y  e - γt A e  Be  

(4.4)

Este caso se denomina “MOVIMIENTO SOBRE AMORTIGUADO” y la ec. (4.4) proporciona la posición de la partícula en cualquier instante t. Las constantes A y B se determinan por las condiciones iniciales del movimiento. SEGUNDO CASO:

Si γ2 = ωo2

En este caso, las raíces son iguales y reales, esto es, α1 = α2 y la solución de la ecuación diferencial del oscilador es:

y  e-γ t A  B t Este

caso

se

(4.5) denomina

“MOVIMIENTO

CRÍTICAMENTE

AMORTIGUADO” y la ec. (4.5) proporciona la posición de la partícula en

cualquier instante t. Las constantes

A y B se determinan por las

condiciones iniciales del movimiento. TERCER CASO:

Si γ2 ˂ ωo2

En este caso las raíces son complejas de manera que:

α1   γ  i ω o2  γ 2 α 2   γ - i ω o2  γ 2 y haciendo,

ω  ω o2  γ 2 Encontramos que la solución de la ecuación diferencial del movimiento es:

y  A0 e-γ t Cos(ω t  o )

(4.6)

Dónde Ao, es la amplitud inicial, φo, es el ángulo de fase inicial que se determina por las condiciones iniciales del movimiento y ω es la frecuencia del movimiento oscilatorio. Este caso se denomina “MOVIMIENTO SUBAMORTIGUADO O MOVIMIENTO OSCILATORIO AMORTIGUADO”. El término A = Ao e –γt, se denomina amplitud del movimiento. Además, para este caso definimos:

PERIODO DEL MOVIMIENTO: T

2π  ω

2π

(4.7)

ω o2  γ 2

En la figura 4.2 se muestra la relación entre el desplazamiento y el tiempo para el oscilador amortiguado.

Fig. 4.2. Desplazamiento, amplitud y periodo en el movimiento oscilatorio amortiguado.

4.3 ENERGÍA EN AMORTIGUADO

EL

MOVIMIENTO

OSCILATORIO

La energía total es: 1 1 E  Ky 2  mv2 2 2 1 1 dy E  Ky 2  m( ) 2 2 2 dt

Para amortiguamientos pequeños, γ