2013 MP CCP Physique I-corrigé (1)

CCP – Physique I Proposition de corrigé Mécanique I Une moto et son conducteur 1) Roulement sans glissement : la vitesse des points de contact des roues avec le sol est égalé à celle du sol, donc nul. On exploite le torseur cinématique aussi connu sous le nom de relation ∧ ou 0 de Varignon : . Soit sous forme algébrique : Remarque : l’énoncé fait explicitement usage du vocabulaire de résultante et de moment qui sont spécifiques des torseurs, j’en use donc dans ce corrigé mais on peut bien sûr s’en passer, c’est-à-dire en faire sans le savoir tel un M. Jourdain moderne. 2) Le moment cinétique des roues est déterminé sur le barycentre, il se confond donc avec le moment cinétique barycentrique des roues dans leur référentiel barycentrique respectif. Référentiel dans lequel chaque roue est un solide en simple mouvement de rotation. Nous avons donc immédiatement : ∗ ∗ et . On peut aussi appliquer le th de Koenig, bien sûr..mais comme il ne sera bientôt plus au programme, n’en prenez pas l’habitude.. 3) Le moment cinétique en G de l’ensemble moto+conducteur+roues est la somme des moments cinétiques de trois solides distincts : le « solide » moto+conducteur et les « solides » roues. Pour l’ensemble moto+ conducteur que nous identifierons par l’indice 3, nous sommes en G, point qui est en translation par rapport au barycentre propre du dit solide, que nous nommerons . Le moment cinétique barycentrique de 3 est nul puisque ce solide ne tourne pas. Nous avons ∧ ∧ ∧ ∧ De même et On somme pour obtenir le moment cinétique global : ∧ On identifie sans peine le dernier terme à la somme des poids barycentrique qui est égale à 0, soit : 4) TRD(s) appliqués sur la roue 1+roue2+solide 3, on introduit les réactions des axes sur les pour chacune des roues, nous obtenons : roues que nous noterons roue 1 roue 2 Solide 3 On somme les trois TRD pour obtenir :

Soit le système algébrique : Résultat immédiat si on applique le TRD sur l’ensemble des trois systèmes, si toutefois on veut modéliser l’action motrice du moteur il est « bon » d’évoquer les actions sur les roues..

C. Caire

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5) On applique le TMD sur l’ensemble du système. ∑ L’ensemble des forces étant dans le plan (xOy) l’équation se résume à une équation scalaire sur l’axe Oz avec , il ne reste plus qu’à substituer les vitesses angulaires pour satisfaire les exigences de l’énoncé avec : 6) Roue avant en mode libre (pas de couple moteur). On applique le TMD :

∑

=>



« Logiquement », la roue arrière est motrice et il faut intégrer dans son bilan de TMD l’existence d’un couple moteur 7) Nous avons



Γ , nous aurions alors

et

=>

1

Γ





Il nous reste à résoudre le système

Soit :

8) Posons

0.1, la seule roue qui peut décoller du sol est la roue avant comme le confirme

l’approche analytique et la pratique usuelle si 0. Calculons 86.9 . 0, la valeur est positive, la roue avant restera donc collée au sol. 9) Calculons

24

et

790 , soit

|

|

0.3 quotient effectivement inférieur au coefficient

de frottement introduit, ce qui démontre le non glissement. 10) Cf question 6 0. 11) Nous avons Γ Pas de mise en forme requise, toute forme est donc acceptable… La puissance est le produit d’un terme constant et d’une fonction linéaire, elle croit donc linéairement avec le temps. 12) Changement de perspective : Le conducteur a soulevé sa moto, elle fait désormais un angle avec l’horizontale, bien que la chose ne soit pas claire dans l’énoncé, nous supposerons ici que l’angle évoqué est constant. Cette hypothèse implicite repose sur le fait que dans le cas contraire il nous faudrait connaître le moment d’inertie moto+conducteur qui n’est à aucun moment fourni dans l’énoncé. La pratique de ce genre de devinettes nuit à l’essence du problème, nous apprécierions l’oubli de cette « tradition » dans les futures épreuves. Le moment cinétique se résume à celui de la roue 2 : 13) Les forces de frottement de l’air étant toujours négligées, il ne reste que le poids et la réaction du sol au niveau de la roue 2, soit : ∑ cos sin . sin cos Les paramètres apparaissant dans les parenthèses sont les distances de « bras de levier », soit la distance horizontale sin et verticale cos séparant cos sin le point de contact du barycentre G.

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14) Le théorème du moment dynamique nous donne l’équation : cos sin cos Le TRD nous donne : Soit

et sin

sin

. cos



sin

cos

.

L’équation est unique et admet une solution, toutefois ce n’est pas celle que suggère d’utiliser l’énoncé. cos sin . sin cos Il préfère se servir de Soit cos sin . sin cos Moment 100

50

17

18

19

20

21

22

Q en degrés

- 50

- 100

Une recherche numérique nous donne un zéro pour 19.10°, ce qui est conforme au graphe fourni dans l’énoncé. Le zéro nous assure d’une vitesse angulaire de la roue constante…ce qui est en conflit avec l’hypothèse d’accélération constante. Il faut en fait coupler cette courbe avec celle obtenu par le TRD : D’où la figure : Moment 100

50

17

18

19

20

21

22

Q en degrés

- 50

- 100

Le point d’intersection correspond à un angle C’est la valeur recherchée.

17.9°.

15) Nouveau changement de perspective : On revient à l’état de la question 11 et on ajoute une force de frottement . L’étudiant avisé saura, bien sûr, s’y retrouver et évitera de confondre les résultats établis des q1à11 avec ceux des 12à14, n’est-il pas ? Nous avons : La remarque sur la « ligne d’action » horizontale permet de s’affranchir du moment de cette force de frottement en G (il est nul) soit : et



avec

Γ



si on considère que le frottement a un moment nul sur les

roues. Quelques substitutions plus tard nous obtenons : 1

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16) S’il existe une vitesse limite elle vérifie :

0, soit

ℓ

Pour démontrer qu’il existe une vitesse limite, le moyen le plus rapide est de résoudre l’équation, ce qui est fait par la suite. 17) On normalise l’équation précédente => On identifie :



ℓ

0



18) On résout par séparation de variable :

ℓ

ℓ

ℓ

La partie de gauche se décompose en élément simple reconnaitre la fonction arcth u, soit Soit en variables réduites :

ℓ



, on pourra aussi

ℓ

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

1

II

2

3

4

5

Point matériel dans un fluide 1) On étudie une particule dans un fluide et dans un référentiel non galiléen. L’inventaire des forces correspond à la prise en compte des forces d’inertie d’entrainement, de la poussée d’Archimède et du poids. Dans l’inventaire sont absentes les forces de trainée et la force de Coriolis, nous en déduisons donc, de nouveau « implicitement », que la particule est immobile dans le référentiel lié au fluide dénommé … ′. Le mouvement de la particule sera donc circulaire uniforme… Respectons l’énoncé, dans

nous ne tenons compte que de F et du poids, soit le système : Ω où on pose Ω

Ω



1 Vu l’implicite et l’explicite, nous sommes probablement ici confrontés à un œuvre digne du regretté festival d’Avoriaz (Coriolis négligé, pas de trainée etc...) Pour information, F n’est autre que la surpression différentielle créé par le mouvement du fluide « immobile dans le référentiel tournant » autour de la particule, elle génère une composante supplémentaire de la poussée d’Archimède. La considérer seule sans la cause source (l’entrainement du fluide) est une aberration… Les équations I et II identifient l’objet comme un oscillateur spatial, décrit par une trajectoire elliptique s’il se limitait à un plan, la III se résout par un mouvement uniformément accéléré verticalement.

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2) Etude de quelques cas (très) particuliers cos Ω et sin Ω , les équations rendent compte d’un a) La solution est mouvement hélicoïdale, circulaire dans sa restriction au plan et ascensionnel. Idem pour le référentiel non galiléen si ce n’est que la vitesse angulaire y vaut alors Ω ω. En gros, la particule décrit un mouvement dont la trace est circulaire dans le plan horizontal, tout en se déplaçant verticalement, c’est une hélice à pas variable (mvt acceléré sur l’axe vertical). Bien sûr, elle tourne plus vite que le fluide, et se déplace donc dans le fluide, sans aucune interaction tangentielle avec le dit fluide, sans effet de trainée etc… La probabilité de la crédibilité de la chose appartient à un ensemble de mesure nulle… b) Subtile différence…

cos Ω

sin Ω et

0

Soit un mouvement oscillant sur l’axe X, avec toujours le mouvement ascensionnel ! Tout aussi crédible que le cas précédent sauf en cas d’ingestion de substances hallucinogènes, ce que nous déconseillons sincèrement. 3) On se place désormais dans le référentiel non galiléen…et on se rappelle qu’il existe des forces de trainée dans un mouvement de ce type (ouf !). On supposera que le terme accélération relative désigne l’accélération dans ′. Nous avons : 2 2 ∧ 2 ∧ ∧ , , 0 0 4) Ecrivons le PFD dans le RNG en intégrant les forces d’inertie et la force de frottement : 2 2 Ω Ω 2 2 1

2

5) Vu l’introduction tardive de l’énoncé, nous conservons l’usage de la notation Ω et nommons Ω Ω , les équation se résument alors à : 0 et 2 Ω 0 2 Ω Plusieurs possibilités s’offrent à nous pour résoudre ces équations, vu le couplage antisymétrique nous utiliserons la réduction complexe en posant . Nous sommons la première équation avec la deuxième après l’avoir multiplié par . 0 Nous obtenons : 2 Ω Nous reconnaissons une équation homogène d’ordre deux, l’espace des solutions est généré où p vérifie l’équation : 2 Ω 0 par les fonctions propres de type Les racines de cette équation sont complexes et dépendent dans leur forme des valeurs affectées aux paramètres. Ω Ω 2 . Elles vérifient ∆ avec ∆ Bien que solvable formellement, le processus est long et laborieux, qui plus est l’absence de conditions initiales rend impossible la détermination des solutions exactes, nous « tablons » sur une plaisanterie de fin de sujet que le concepteur a voulu imposer aux étudiants. Son sens de l’humour aura été apprécié. Le mouvement traduit des termes oscillants (valeurs imaginaires) et des termes réels (dissipatifs),le « bidule » va tourner en spiralant vers le centre tout en montant.

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Bien sûr, on pourrait là aussi suivre l’énoncé et négliger Coriolis… Amusons nous, l’équation serait alors : 2 Ω 0, d’où des racines Les solutions générales seront du type





Ω



Φ

de même sur





Ω



Φ

aux constantes près

x et y ont donc même pulsation, négliger Coriolis n’est possible que si ailleurs Ω

Ω

≫



or on a par

1 qui est supérieur à . Le paramètre doit dont vérifier : 1

≫

Vu la plage de variation classique des masses volumiques, c’est pratiquement impossible. Autre plaisanterie sans doute ? 6) On cherche le régime permanent de ces équations, on obtient valeur maximale en altitude dans le récipient.

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0,

0 et

où

est la

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Thermodynamique III

Comparaison des fenêtres à double vitrage

L’appellation infrarouge lointain est maladroite, elle correspond aux longueurs d’ondes de 15 μ à 100 μ , une vitre est opaque à l’infrarouge thermique, l’auteur a visiblement confondu ces deux domaines. 1) Questions préliminaires a) Loi de Wien Apparemment l’énoncé n’a pas jugé bon de fournir la constante de Wien, facheux ! On peut l’estimer avec le Soleil (5000 ∗ 600 3 10 . ). Gageons que la mémoire de silicium de nombreuses machines fut ici mise à contribution. Conséquence sans doute d’une période de crise : la prime à la pompe ! b) 300 Infrarouge Thermique aux alentours des 10μ 5800 K domaine visible aux alentours des 600 . c) Une question à l’emporte-pièce. Considérons 600 comme la longueur d’onde d’émissivité maximale, le rayonnement s’étend donc jusqu’à 600 ∗ 8 4.8 μ . Sans doute le résultat attendu par le concepteur. Si on prend l’IR thermique à 10 μ , la même analyse cette fois en marge inférieure nous dit qu’il descend jusqu’à 10 μ ∗ 0.5 5 μ . Bref un seuil aux environs de 5 μ est à prévoir ce qui est conforme aux prescriptions constructeurs. 2) Comparaison simple et double vitrage a) On a le schéma suivant

v/2

s

Verre

v/2

r

Corps Noir

ϕ : flux incident solaire, ϕ : flux renvoyé par le corps noir dans l’IR, ϕ :flux émis par la vitre. Le système étant en régime stationnaire les bilans de flux sont à somme nulle, nous avons donc : ϕ ϕ ϕ et ϕ ϕ Soit :

ϕ

2

Rapportons au flux surfacique et utilisons la loi de Stefan :

433 .

La température est extrêmement élevée en raison des hypothèses simplistes du modèle et du flux solaire « équatorial ». b) Le schéma est désormais celui-ci :

d/2 s

v/2

d/2

Verre

v/2

r

Corps Noir

Avec les équations : ϕ

ϕ

Nous en déduisons ϕ

2 ϕ ,

ϕ ,ϕ 4 ϕ et ϕ

ϕ et

ϕ .

3

Rapportons au flux surfacique et utilisons la loi de Stefan : C. Caire

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480 . 7/10

c) Le flux solaire est interrompu. La capacité thermique des vitres étant négligeable, on considère qu’elles sont en permanence à l’équilibre thermique ϕ , Nous avons donc pour la vitre : ϕ ϕ ϕ ϕ Le flux perdu par le corps noir vaut donc Un bilan d’énergie nous donne



On intègre pour obtenir :

.

1.17 10 19 30 Nous en déduisons Remarque : La précision est ici illusoire car les données sont fournies avec des chiffres significatifs variant de 1 à 3, le souci de l’énoncé d’avoir des secondes dans ce cadre relève de l’acte de foi, puisqu’on fournit des secondes à …10 mn près ! Le concepteur n’a probablement pas lu le chapitre incertitudes et mesures de nos nouveaux programmes de lycée…. d) On reprend mais cette fois ci avec deux vitres. ϕ et vitre v : ϕ ϕ , soit vitre d : L’intégration nous donne : : Nous en déduisons

ϕ

ϕ

ϕ

.

1.75 10

20 .

29

Même remarque sur la précision.

3) Amélioration par métallisation externe a) Intéressante hypothèse dans ce paragraphe : la métallisation n’a aucun effet sur le rayonnement visible mais agit sur le rayonnement IR, nous sommes là en présence d’un traitement très très spécial ! Il y a un ratio de deux entre les émissivités propres à chaque surface, le bilan est donc le suivant sur le flux total :

s

v/2

d

Métal

d

Verre

v/2

r

Corps Noir

Avec les équations : ϕ

ϕ

Nous en déduisons ϕ

3 ϕ ,

ϕ ,ϕ

ϕ et

6 ϕ et ϕ

4

ϕ .

.

Rapportons au flux surfacique et utilisons la loi de Stefan :

515 .

b) On reprend la démarche sauf que le facteur de réduction est cette fois ci de 4. , nous en déduisons 2 . Soit : 4) Prise en compte des échanges diffusifs dans le double vitrage. a) Question de cours de Sup : Pression cinétique d’un gaz parfait mono-atomique. L’évocation des trois directions à vitesse identique et dans les deux sens n’a du éclairer que les exégètes… 3 en raison de l’isotropie. Nous avons ∗ Nous introduisons la densité particulaire n, considérons les particules qui vont frapper une paroi de surface S orienté selon x pendant dt, elle se trouve dans le volume . Elles sont au nombre de ,mais seule la moitié se dirige selon x, nous avons donc un . nombre de particules avec : Le modèle est celui du choc élastique, chaque particule passe de l’impulsion soit une variation d’impulsion de 2 . => Au niveau de l’ensemble nous aurons 2 L’identification avec la pression nous donne b) Nous avons par ailleurs C. Caire

, soit

∗

à ∗

,

.

∗

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c) On remplace simplement :

√



La conductivité varie donc en fonction de la température. d) Aucune démonstration requise, c’est le classique résultat : e) Cf. Cours. 7.37 , f) Le ratio des conductivités vaut 1.35, la distance avec l’argon vaudra donc précision illusoire comme précédemment. Non la différence n’est pas importante si on peut négliger les phénomènes de convection. g) Le flux entre les deux vitres est la somme des flux de rayonnement et des flux de conduction. Soit : Φ En linéarisant

4

Φ

h) On en déduit la résistance thermique correspondante : sans rayonnement : 42 10 . avec rayonnement :

4

12 10 .

Oui la contribution du rayonnement est importante. i) C’est la convection… Si la distance devient trop grande entre les deux plaques, des cellules de type RayleighBénard se forment et assurent le transfert thermique. j) Justification délicate (impossible) sans une estimation des coûts des procédés. La seule évidence est que le gain relatif est le plus important lorsqu’on passe d’un simple vitrage à un double. Vu que le ratio surface vitres/mur n’est pas donné le bilan de transfert par unité de surface à travers un mur est décoratif…

IV

Bilan thermique d’une maison climatisée en été

Les préliminaires signalent la machine comme idéale, il s’agit donc d’une machine de Carnot. 1) Maison sans circulation d’air a) Sur un cycle, la variation d’une fonction d’état est nulle donc : Δ 0 b) La machine étant réversible, nous avons : Δ éé

0

c) Le cop s’obtient par le quotient : AN = 29.3. Très large surestimation des COP en vigueur mais c’est le prix de l’idéal ! d) La puissance électrique vaut

34.1 .

e) On reprend la précédente avec un COP de 3, soit

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333 .

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2) Prise en compte de la circulation d’air sec a) Le volume massique de l’air entrant vaut

.

On supposera que le volume massique de l’air sortant correspond à un air à la température , et vaut donc . Le système étant en régime stationnaire, la masse se conserve nous avons : or

,

/

31.9 .

,

.

,

b) Ecriture malheureuse, la puissance thermique reçue eut été préférable à cette écriture pseudo-différentielle. Nous avons , , c) Le climatiseur doit compenser les pertes initiale et le réchauffement du à l’apport d’air sec. Soit AN : 1320 . d) On divise par le COP :

414

e) L’air est saturé en eau, la pression de vapeur saturante chutant environ de moitié, la moité de l’eau vapeur va se transformer en eau liquide provoquant un dépôt d’humidité (c’est le phénomène responsable de l’apparition d’une grande quantité d’eau sur la surface d’une bouteille très fraiche et étanche). Cette transformation libère de l’énergie qui augmente le réchauffement de la pièce et qu’il faut donc compenser.

Fin

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