2013 F 2 N 3

 

Importante: No publ publica icarr est est´ a pr ´ prueb ueba a en in inte tern rnet, et, u otro otro me medi dio, o, ha hast sta a el d´ıa 22 de setiembre. Para los encargados de tomar el examen:  Recordar que los alumnos no se pueden llevar los enunciados.

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Soci edad Matem´ atica Peruana

´ tica (ONEM 2013) X Olimpiada Nacional Escolar de Matematica a Segunda Fase - Nivel 3

13 de setiembre de 2013 Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organizaci´on las felicitacion felicitaciones es por estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matem´aatica. tica. Te recomendamos tener en consideraci´on on lo siguiente: - Tienes Tienes un tiempo tiempo m´ aximo aximo de 2 horas para resolver estos retos matem´aticos aticos que te planteamos. - Ten en cuenta cuenta que no est´ a permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como apuntes o libros. - Al momento que consideres consideres que has culminado culminado tu participaci´ participaci´ on, on, haz entrega de estas hojas  junto con la hoja de respuestas. En caso de ocurrir un empate se tomar´a en cuenta la hora de entrega. - Te recalcamos que no puedes llevarte estas ho jas que contienen los enunciados, as´ı nos ayudar´ as as a que la olimpiada se realize de la mejor forma posible.

ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS. ´ EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN N UMERO ENTERO POSITIVO.

1. Carlos escribi escribi´o´ tres n´ u umeros meros naturales consecutivos y se dio cuenta que el producto de esos tres n´ u umeros meros es igual a 35 veces uno de ellos. Determine la suma de esos tres n´u umeros. meros. Aclaraci´  on:  Considere que el conjunto de los n´ umeros umeros naturales es   {1, 2, 3, 4, . . .}.

 A, B , C   tres 2. Sean Sean  A, tres v´ertices ertices consecutivos consecut ivos de un pol´ıgono ıgono regular de   n  lados. Si   ∠BAC   = 12 , determine el valor de  n . ◦

3. Sean Sean  x  x,, y,z   n´ umeros umeros reales tales que

 Halla el valor de:

x + y  + z  = 2013, xy  + yz  + zx  =  xyz.

x + y   y + z   z  + x z   + x   + y   .

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Segunda Fase - Nivel 3

4. Antonio Antonio escribe escribe un n´ umero umero  N   de 10 d´ıgitos (todos distintos) alrededor de una circunferencia, en sentido horario, como se muestra en la figura. 5

1

2 8

6 sentido

sentido

horario

horario

7

9 3

0

4

Seg´ un un la figura no se puede distinguir donde empez´o Ant Antonio onio a escri escribir bir los d´ıgitos de su n´ umero umero   N . Lo que s´ı se sabe es que   N   no es m´ultiplo ultiplo de 4 ni de 5, y adem´as as   N   − 1 no es m´ultiplo ultiplo de 11, halla el d´ıgito de las decenas de   N .   f  n, x

x

◦

n

x

◦

 n

n

 x

5. Sea ( tenemos ) = (cosque)  f (2 −, (sen ) os , donde  es nun  un n´ umero uelmero valorreal. de: Por  −   43   = −y12 . Halla ejemplo, 60) = (cos (c 60 )2 − (se  (sen 60entero )2 =   41positivo ◦

◦

f (4, 23) . f (2, 11) · f (2, 34)

6. Los n´ u umeros meros 1, 2, 4, 6, 7, 10, 13, 21, 22 son distribuidos en las casillas de un tablero de 3 ×  3 (un n´u umero mero por casilla), de tal modo que la suma de los n´umeros umeros de cualesquiera dos casillas casill as con un lado en com´un un es un n´umero ume ro prim p rimo. o. ¿Qu´e n n´ umero u ´ mero est´a en el centro del tablero? 7. Se tiene un tablero de 5  ×   5 y en cada casilla est´a escrito uno de los signos + o   −, como on   consiste en elegir tres casillas que formen un trimin´ muestra la figura. Una   operaci´  o en forma de   L  y cambiar los signos de esas tres casillas. 









        

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

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  

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¿Cu´antas antas operaciones como m´ınimo ınimo se necesitan para que todas to das las casillas del tablero tengan signo +? Aclaraci´  on:  Los trimin´ os os en forma de   L  son:

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Segunda Fase - Nivel 3

8. Sea   ABC  un tri´angulo angulo y   D  un punto del lado   AC  tal   tal que   C D  = 2AB   y ∠BAC   =

2∠DB DBC  C   = 4 ∠ACB.

Halla la medida de   ∠BAC   en grados sexagesimales.  a,, b, c  tres n´ 9. Sean Sean  a umeros umeros   enteros  tales que   a2 + b2 + c2 = 2033 y   a +  b  +  c  es un cuadrado perfecto. Si el menor valor posible de  a es −n, donde n  es un entero positivo. Halla el valor de n.

 

10. Sabemos Sabemos que para todo   x   ∈ 0, 2  se cumple que sen x < x <   tan x. Halla el mayor entero positivo  n  que tiene la siguiente propiedad:  π

sen2x + tan tan 2x > nx, para todo   x  ∈ 0,

   π

4

.

´ GRACIAS POR TU PARTICIPACION

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