2013 - Ejercicios - Ejercicios Resueltos
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRES DE FEBRERO
MECÁNICA DE LOS FLUIDOS GUÍA DE EJERCICIOS
PROFESORES
ING. NÉSTOR PAGANI ING. ARIEL FRAIDENRAICH
ALUMNOS
AGUSTÍN BENZI PABLO ULISES GONZÁLEZ BARRENA ARIEL TORNE
TRABAJO PRÁCTICO 1 1.1.
Explique la diferencia entre un fluido real y uno ideal.
La diferencia fundamental entre un fluido real y uno ideal, es que para los ideales se hace la suposición de que la viscosidad vale cero, es decir, no existen fuerzas tangenciales en ninguna superficie cuando el fluido se encuentra en movimiento.
1.2.
Describa en forma resumida en qué consiste la hipótesis del fluido como medio continuo.
Bajo ésta hipótesis, el estudio de las diferentes propiedades de los fluidos se realiza considerando sus valores medios, es decir, no se estudia por separado la conglomeración real de moléculas sino que se supone una distribución continua de materia sin espacios vacíos.
1.3. En el océano la presión a 8000 [m] de profundidad es de 1,030 × 108 [Pa]. Suponiendo un peso específico en la superficie de 10050 [N/m³] y que el módulo de elasticidad promedio es 2,26 × 109 [Pa] para ese intervalo de presiones, calcular: a) el cambio de densidad entre la superficie y esa profundidad, b) el volumen específico y la densidad a esa profundidad. a. Parto de: ⇒
Integrando obtengo: ∫
∫
⇒
⇒
Aplicando antilogaritmo en la última ecuación obtengo: ⇒
O en términos de peso específico: [
[
]
]
[ [
]
]
[
]
[
]
Por lo tanto:
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2
[
] [
[ ]
]
Y finalmente: [
] [
[ ]
]
De donde, variación de densidad es: [
]
[
]
[
]
b. [
]
[
]
1.4. Escribir la ley de Newton de la viscosidad describiendo sus variables y la interpretación de la misma. Hacer un esquema gráfico para ilustrarla.
La ley de Newton expresa el esfuerzo tangencial τ que se produce entre dos láminas separadas una distancia dy y que se desplazan con velocidades (v) y [v + (∂v/∂y) dy]. Se expresa según la siguiente ecuación: Según ésta ley, el esfuerzo tangencial es proporcional al gradiente transversal de velocidades ∂v/∂y. μ es una constante de proporcionalidad cuya magnitud es una característica de la viscosidad del fluido y se conoce como viscosidad dinámica o viscosidad.
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1.5. Estudiar las características de velocidad de deformación bajo esfuerzo cortante que se representan para diversos tipos de fluidos en la siguiente figura.
Fluidos newtonianos ( ⁄ ), por lo que la tensión de corte es proporcional al gradiente de Se comportan de acuerdo a velocidades. La pendiente de la recta determina la velocidad.
Fluido ideal La resistencia a la deformación cortante es nula. Aunque no existan realmente, se puede trabajar bajo ésta hipótesis para ciertos casos de análisis.
Sólido rígido ideal No hay deformación, independientemente de la carga aplicada. Sufren deformaciones, y mientras se mantenga dentro del límite de proporcionalidad, la gráfica de la recta es casi vertical.
Fluidos no newtonianos Se deforman de modo que la tensión no es proporcional a la velocidad de deformación tangencial. Se puede clasificar como deformación plástica.
Plásticos ideales Pueden soportar una tensión de corte sin deformarse, hasta un punto a partir del cual la velocidad de deformación es proporcional a la tensión.
1.6. Describir dimensionalmente la viscosidad dinámica e indique sus unidades en el Sistema Internacional (MKS absoluto), en el sistema técnico (MKS gravitacional) y en sistema CGS. VISCOSIDAD DINÁMICA MKS ABSOLUTO MKS GRAVITACIONAL CGS ABSOLUTO
DIMENSIONES [M L-1 T-1] [F L-2 T] [M L-1 T-1]
UNIDADES [Kg / m s] [Kg s / m2] [g / cm s]
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Para el sistema CGS absoluto, la equivalencia es [gm/cm s], que es utilizada como unidad de viscosidad cinemática en éste sistema y es conocida como poise en honor de Poiseouille: [
]
[
]
Para el sistema gravitacional, es más común la unidad: [
]
[
]
1.7. Escribir la ecuación de la viscosidad cinemática, sus dimensiones, y las unidades en los 3 sistemas mencionados en el punto 3. ¿Nota diferencia entre los dos primeros?
Ecuación de la viscosidad cinemática
VISCOSIDAD CINEMÁTICA MKS ABSOLUTO MKS GRAVITACIONAL CGS ABSOLUTO
DIMENSIONES [L2 T-1] [L2 T-1] [M L-1 T-1]
UNIDADES [m2 / s] [m2 / s] [cm2 / s]
Para el sistema CGS, es más común la unidad: [
]
[
]
[
]
La principal diferencia, es que con ésta propiedad nos independizamos de los conceptos de maza y fuerza.
1.8. Indicar en la siguiente figura el punto donde es máximo el esfuerzo cortante, justificando la afirmación.
La variación de la velocidad se produce por la existencia de esfuerzos cortantes en las capas de fluidos. En la proximidad de la pared sólida, el esfuerzo cortante será máximo, y disminuirá progresivamente a medida que nos alejemos. Por lo tanto, el esfuerzo máximo se dará en el origen del sistema coordenado.
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1.9. Fluye aire a 103460 [Pa] de presión absoluta a lo largo de una superficie de terreno plano, con un perfil de velocidades semejante al de la figura anterior, y que en la inmediata vecindad del terreno sigue la ecuación v = 40 y – 856 y³, donde y es el desnivel entre la superficie del terreno y el punto, en metros, y v es la velocidad en [m/s]. Determinar el esfuerzo cortante sobre el terreno.
⇒ De donde, para y=0:
Finalmente, el esfuerzo cortante sobre el terreno es: [
]
[ ]
[
[
]
]
1.10. Calcule las viscosidades dinámica y cinemática del agua a 27 [°C] usando la expresión de Poiseuille expresando los resultados en los sistemas internacional, técnico y CGS. La densidad relativa del agua a 27 [°C] es 0,99659. Exprese los resultados con 3 cifras significativas.
MKS ABSOLUTO MKS GRAVITACIONAL CGS ABSOLUTO
DINÁMICA 8,630 [kg / m s] 0,880 [Kg s / m2] 86,298 [Poise]
CINEMÁTICA 0,009 [m2 / s] 0,001 [m s] 86,593 [Stokes]
La viscosidad dinámica se calcula usando el esquema de dicha variable en función de la temperatura. La viscosidad cinemática se calcula usando la fórmula
.
1.11. Un fluido newtoniano está en el espacio libre entre un eje y una camisa concéntrica. Cuando una fuerza de 50 [kgf] se aplica a la camisa paralela al eje, la camisa adquiere una velocidad de 1 [m/s]. Si se aplica una fuerza de 150 [kgf] ¿Qué velocidad obtendrá la camisa? La temperatura del sistema permanece constante. Repita el cálculo para 600 [N] y 1500 [N] respectivamente, en el Sistema Internacional.
Para F = 50 [kgf] [
]
[ ]
⇒
[
] [ ]
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Para F = 150 [kgf] [
[ ]
]
[
⇒
]
Igualando ① y ② obtengo [
]
[
]
[ [
⇒
[ ]
] ]
[ ]
[ ]
Para F = 600 [N] [ ]
[ [ [
]
]
[ ]
]
[ ]
Para F = 1500 [N] [ ]
[ [
[
]
] [ ]
]
[ ]
1.12. Una placa situada a 0,5 [mm] de una placa fija se mueve a 0,25 [m/s] y requiere una fuerza por unidad de área de 2 [N/m²] para mantener esta velocidad. Determinar la viscosidad fluida de la sustancia entre las dos placas paralelas en el sistema internacional y en unidades CGS.
⇒
Por lo tanto [
[ ]
]
[
[ ]
]
En el sistema internacional absoluto [ ]
[
[
]
]
[
]
[
]
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En el sistema internacional gravitacional [
[
]
]
[
[ ]
]
En el sistema CGS [
]
[
]
[
[
]
]
1.13. Con referencia a la figura de siguiente, el líquido tiene una viscosidad absoluta de 4,88 × 10 -3 [kg s/m²] y una densidad relativa de 0,913. Calcular el gradiente de velocidades y el módulo de la tensión cortante en el contorno y en los puntos situados a 25, 50 y 75 [mm] del contorno suponiendo (a) una distribución de velocidades lineal y (b) una distribución de velocidades parabólica dada por: v = 1,125 – 200 (0,075 – y)²
Caso a) Cálculo del gradiente de velocidades (constante) [
]
[ ]
[ ]
Cálculo del módulo de las tensiones [
]
[ ]
[
]
Caso b) Cálculo del gradiente de velocidades
Cálculo del gradiente de velocidad y del módulo de las tensiones para las distintas alturas Para y = 0 [mm]
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[
]
[ ]
[
]
[
]
[ ]
[
]
[
]
[ ]
[
]
[
]
Para y = 25 [mm]
Para y = 50 [mm]
Para y = 75 [mm]
[ ]
[
]
1.14. Un eje de 15 [cm] de diámetro gira a 1800 [rpm] en un buje estacionario de 0,30 [m] de longitud y 15,05 [cm] de diámetro interior. El espacio uniforme entre el eje y el buje está ocupado por un aceite de viscosidad 1,755 . 10-3 [kp s/m²]. Determinar la potencia necesaria para vencer la resistencia viscosa en el buje. Nota: Potencia = fuerza × velocidad.
Cálculo de la aceleración angular:
Cálculo de la velocidad: [ ]
[ ]
Cálculo del espesor promedio: [ ]
[ ]
[ ]
Cálculo de la tensión: [
]
[ ] [ ]
[
]
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Cálculo de la fuerza [
[ ]
]
[ ]
[
]
Cálculo de la potencia [
]
[ ]
[
[ ]
]
0,1505 [m] 0,15 [m]
0,30 [m]
1.15. Un bloque cúbico de 0,20 [m] de arista y de 250 [N] de peso se deja resbalar sobre un plano inclinado de 20º respecto de la horizontal, sobre el cual existe una película de aceite de 0,0022 [kg/m s] de viscosidad y 0,025 [mm] de espesor. Determinar la velocidad a la que descenderá el bloque, considerando la hipótesis de distribución lineal de velocidades.
La superficie del bloque en contacto con el fluido será: [
]
[
]
La componente paralela al plano inclinado del peso es: [ ]
[ ]
[
]
Por lo tanto:
De donde [
[ ]
] [
]
[
]
[ ]
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1.16. Un tanque rígido de acero tiene un volumen de 5 [m³] ¿Cuántos kilogramos de agua puede contener el tanque a 150 [atm] de presión y 4 [°C] de temperatura? (Nota: 1 [atm] = 101325 [Pa]. Consultar el módulo de elasticidad en la bibliografía).
Según la tabla de la bibliografía, para 4 [°C]: [
]
Hacemos conversión de unidades para la presión: [
]
[
]⇒
[
]
[
]
Sabiendo que:
Entonces: [
](
[
]
[
[
])
[
]
]
Por lo tanto, el volumen final es: [
]
[
]
[
]
1.17. Determinar la constante universal de los gases en el S.I. sabiendo que uno de sus valores se expresa como R = 0,08205746 [l atm / mol K]. [
]
[
]
[
[
]
]
1.18. Considere que el aire seco se puede aproximar a una mezcla de nitrógeno (80%) y oxígeno (20%), cuyas masas atómicas son 14 y 16 aproximadamente. En base a esto determine su densidad a temperatura ambiente de 20 [°C] y presión atmosférica normal (101325 [Pa]).
⇒ [
]
[
]
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Por lo tanto: [
]
[
[
]
]
[ ]
[
]
1.19. Una fuerza expresada por F = 4 i + 3 j + 9 k actúa en un área de 2 × 2 en el plano xy. Descomponer esta fuerza en sus componentes normal y tangencial. ¿Cuáles son la presión y el esfuerzo cortante?
La componente tangencial al plano de la fuerza F, es: √
√
Por lo tanto, la fuerza cortante es:
La componente normal al plano es el valor de la fuerza en el sentido k, por lo tanto la presión vale:
1.20. Partiendo de la ecuación diferencial fundamental de la estática de los fluidos, deduzca la expresión que relaciona la presión con la profundidad en un líquido.
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El equilibrio de las fuerzas sobre el eje x implica que: (
)
(
)
De donde se obtiene la expresión:
Mediante un procedimiento análogo, se llega a:
Teniendo en cuenta que la única fuerza de cuerpo es la debida al campo gravitacional, entonces:
Por lo tanto:
(
)
De acuerdo a la última ecuación: De donde se deduce que la variación de la presión solo depende de la altura z.
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1.21. Partiendo del punto anterior arribe a una expresión plantee la comparación las presiones entre dos puntos. ⇒∫
∫
(
⇒
)
1.22. El recipiente de la figura de la derecha contiene agua y aire como se muestra ¿Cuál es la presión en A, B, C y D? Exprese el resultado en unidades técnicas, psi (lb/pie²) y en Pascales. Puede tomar: 100 psi ≈ 7 [kgf/cm²] y 1 pie (ft) ≈ 30 [cm].
Cálculo de la presión en B (
)
( [ ]
](
[
)
(
)
[ ])
[
[
]
]
[
]
Cálculo de la presión en A
[
]
[
]
[ ]
[
]
]
[
]
[
]
[
]
Cálculo de la presión en C [
[
]
Cálculo de la presión en D ( [
) ]
[
](
[ ]
[ ])
[
]
[
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]
[
]
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1.23. Hallar la presión manométrica en A en [kgf/cm²] debida a la columna del mercurio (densidad relativa 13,57) en el manómetro en U de la figura siguiente.
⇒ ( ](
[ [
[
]
) [
(
])
[
) ](
[
]
[
])
]
1.24. Por la boquilla de la figura siguiente está fluyendo aceite de densidad relativa 0,75 y esto desequilibra la columna de mercurio del manómetro en U. Se pide determinar el valor de h si la presión en A es de 137300 [Pa].
[
]
[
]⇒
[
]
[
[
]
[
]
[
] ]
[
]
⇒ (
)
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(
[
)
]
[
[
]
[ ]
] [
[ ]
]
1.25. El depósito de la figura siguiente tiene aceite de densidad 750 [kg/m³]. Determinar la lectura del manómetro en A en [kg/cm²], en atm y en Pa (Dr = 13,57 es la densidad relativa del mercurio).
[
[ [ [
] ]
] [
[ ]
[
]⇒ [
[ ]⇒
]
[
]
[ ]
]
[ [
] [
]
]
] [
]
1.26. El depósito de la figura siguiente tiene aceite y glicerina, siendo ésta la representada con tono más oscuro, en la parte inferior. Se indican las elevaciones o cotas de las superficies de separación de fluidos en el dibujo, y los pesos específicos de los líquidos son 832 y 1250 [kp/m³] ¿Qué presión manométrica en A hará que la glicerina suba al nivel B?
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⇒
[
[ ]
](
[ ])
](
[
[ ]
[ ])
[
]
1.27. Se quiere determinar la diferencia de presiones entre A y B en el manómetro diferencial de la figura siguiente. Expresar la respuesta en pascales. Las densidades relativas son las siguientes: Benceno 0,88; Kerosene 0,81; Mercurio 13,59.
[
[ ]
]
[
[
]
[ ]
[
]
[ ]
] [
[
[
]
[
]
]
[ [
]
[
]
[ ]
[
[ ]
] [
[
]
[ ]
]
[
[
]
] [
[
]
]
]
[
]
]
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1.28. Suponiendo que el aire atmosférico mantuviera su temperatura (T=constante) con la altura, al menos dentro de los primeros miles de metros, halle: a) la altura que tendría la atmósfera si se pudiera considerar el aire como un fluido incompresible; b) la ecuación de la variación de la presión con la altura, P = P(h), suponiendo que a nivel del mar se tiene una presión estándar de P0 = 101325 [Pa]. a) Por medio de lo planteado en el ejercicio 1.21. sabemos que: (
)⇒
Considerando que P=0 y z0=0, entonces: [ [
]
[ ]
]
b) De la ecuación general de los gases tenemos que:
Por medio del ejercicio 1.21. sabemos que:
Reemplazando la ecuación ① en ② obtenemos:
De donde: ⇒∫
∫
Bajo la suposición que T es constante y sabiendo que R0 también lo es, entonces: ∫
∫
Finalmente: (
)
De donde, con z0=0 obtenemos: (
)
Considerando que Po = 101325 [N/m2], entonces: [
]
(
)
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1.29. Deducir una expresión para el empuje y su localización sobre una placa rectangular de ancho b y longitud L, sumergida verticalmente en un líquido de peso específico γ, tal que b es paralela a la superficie libre y el borde superior de la placa está sumergido una profundidad h.
h
l
Cálculo del empuje sobre la placa Para una profundidad z determinada tenemos que:
De donde, el empuje del líquido sobre la placa es:
O en término de diferenciales:
Sabiendo que:
Entonces:
Integrando en el largo de la placa obtenemos: ∫
∫ ∫
∫ |
[(
)
]
(
)
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Por lo tanto el empuje sobre la placa será: (
)
Cálculo de la localización de la fuerza de empuje sobre la placa El empuje hidrostático es:
Las coordenadas del centro de presiones se obtienen cuando se iguala la suma de los momentos estáticos de áreas diferenciales respecto de los ejes x e y, con el producido por la fuerza resultante. Para el eje x se tiene que: ∬
Considerando que:
La ecuación anterior queda como: ∬
El momento de inercia respecto al eje x es: ∬
̅
̅
Donde ̅ representa el radio de giro de A respecto a un eje centroidal paralelo a x.
Con estas consideraciones llegamos a: ̅̅̅
Donde tanto ̅ como
se encuentran tabuladas para cada tipo de forma geométrica de pared.
De forma análoga, la coordenada en x para el centro de presiones será:
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1.30. Para la compuerta de la figura siguiente se desea conocer (a) cuál es el empuje sobre la misma; (b) el momento Mt necesario para mantener la compuerta cerrada; (c) cuál sería el momento Mt si hubiese agua hasta el nivel de A del otro lado de la compuerta.
a)
Cálculo del empuje del agua sobre la compuerta (
) [
b)
[ ](
]
[ ]
[ ]
[ ] )
[
]
Cálculo del momento
Cálculo de la ubicación del empuje
Por lo tanto:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Por lo tanto, el momento con respecto al eje x será: [ ] [ ] [ ]
c)
Cálculo del momento [
]
Por lo tanto: [
]
[ ]
[ ]
[
]
Y el momento valdrá: Guía de ejercicios - Mecánica de los fluidos - Universidad Nacional de Tres de Febrero
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[
]
[ ]
[
]
Por lo tanto la sumatoria de momentos con respecto al eje x será: [
∑
]
[
]
[
]
1.31. Si el tubo en U de la figura siguiente contiene aceite y agua, determinar la densidad relativa del aceite. Solución: 0,86
Como el fluido está en equilibrio, la sumatoria de presiones debe ser 0, por lo tanto: ∑
⇒
⇒
Sabiendo que:
Entonces:
La densidad relativa es:
Por lo tanto:
[ ] [ ]
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1.32. Tal como se muestra en la figura siguiente, existe una compuerta vertical rectangular sobre la que actúa agua por uno de sus lados. Determinar la fuerza resultante total que actúa sobre la compuerta y la situación del centro de presión. Solución: 84,59 [KN]; 3,633 [m] por debajo de la superficie del agua.
Cálculo del empuje (
) [ ]
[
[ ]
(
)
[ ] ]
[ ]
[
]
Cálculo del centro de presiones
Por lo tanto:
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
1.33. El depósito cuya sección recta se muestra en la figura siguiente tiene 1,2 [m] de longitud y está lleno de agua a presión. Determinar las componentes de la fuerza requerida para mantener el cilindro en su posición, despreciando el peso del mismo. Solución: 14 [KN] hacia abajo, 20 [KN] hacia la izquierda.
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Cálculo del empuje horizontal Para una profundidad z determinada tenemos que: (
)
O en término de diferenciales: (
)
(
)
Integrando obtenemos: ∫
∫ ∫
∫
Por lo tanto: [
[ ]
]
(
[ ])
[
]
[ ]
[ ]
[ ]
Cálculo del empuje vertical El empuje vertical es el peso del volumen desalojado por el cilindro, por lo tanto:
Donde el volumen del cilindro que desplaza al líquido, es la suma del volumen correspondiente a la proyección del área de la sección circular Asc y de la proyección del área triangular At. Por lo tanto: (
)
Donde: (
√
(
) (
)
√(
(
[ ])
[ ])
(
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] )
[ ]) (
[ ]
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[
[ ])
]
[
]
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[ ](
[
]
[
])
[
]
Finalmente el empuje vertical será: [
]
[
]
[ ]
1.34. Determinar las componentes horizontal y vertical, por metro de longitud, de la fuerza debida a la presión del agua sobre la compuerta del tipo Tainter mostrada en la siguiente figura. Solución: 4644 [KP] y 1682 [KP].
Cálculo del empuje horizontal
[
]
[ ]
( [ ])
[
]
Cálculo del empuje vertical
Donde el volumen vale: √
[
]
[
[ ] ( [ ])
]
[
[ ] √( [ ])
( [ ])
[
]
]
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1.35. En la siguiente figura, el cilindro de 1,22 [m] de diámetro y 1,22 [m] de longitud está sometido a la acción del agua por su lado izquierdo y de un aceite de densidad relativa 0,8 por su lado derecho. Determinar a) la fuerza normal en B si el cilindro pesa 1816 [KP] y b) la fuerza horizontal debida al aceite y al agua si el nivel del aceite desciende 0,305 [m]. Solución: 536 [KP], 1407 [KP] hacia la derecha.
a) Cálculo del empuje vertical ejercido por el agua [
[ ]
]
[ ])
(
[
]
Cálculo del empuje vertical ejercido por el aceite [
]
[ ]
(
[
]
[ ])
[
]
Cálculo del empuje total (
)
[
(
]
[
])
[
]
b) Cálculo del empuje horizontal ejercido por el agua (
)
[
[ ][
]
[ ]
[ ]
(
[
]
[ ]) ]
[
]
Cálculo del empuje horizontal ejercido por el aceite [
(
]
[ ]
[ ])
La resultante del empuje horizontal será [
]
[
]
[
]
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1.36. En el muro de retención de agua de mar mostrado en la figura siguiente, ¿qué momento respecto de A, por metro de longitud del muro se origina por la exclusiva acción de los 3 [m] de profundidad de agua (γ=1025 [Kp/m3])? Solución: 16200 [mKp] de sentido contrario a las agujas del reloj.
Cálculo del empuje vertical ejercido por el peso agua El volumen de agua por encima de la parábola, es igual al volumen del paralelepípedo (VP) de altura = 3 [m], base = 2,5 [m] y profundidad 1 [m] menos el volumen debajo de la parábola (VDP) hasta el eje x de coordenadas cuyo origen está considerado en el vértice de dicha parábola.
El volumen debajo de la parábola es: ∫
[
( )
]
El volumen del paralelepípedo es: [ ]
[ ] [ ]
[
]
Y el volumen de agua por encima de la parábola es: [
]
[
]
[
]
Finalmente, el empuje vertical del agua es: [
]
[
]
[
]
Ubicación del centro de empuje del agua La coordenada x del centro de empuje (respecto al eje de coordenadas ubicado en el vértice de la parábola), corresponde a la del centroide de la hemiparábola: ∫ ( ∫ (
|
) )
[ ]
|
Cálculo del momento respecto de A ( [ ]
)
[
]( [ ]
[ ])
[
]
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1.37. La figura siguiente muestra la sección de un barco cuyo casco es sólido. ¿Es estable el barco? Si el barco es estable, calcular el momento adrizante en el agua cuando el ángulo de escora es de 10°. Solución: Estable, 1728 [mKp].
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1.38. Un depósito rectangular abierto de 1,52 [m] de ancho, 3,05 [m] de longitud y 1,83 [m] de profundidad, que contiene 1,22 [m] de agua, se acelera horizontalmente, paralelamente a su longitud a 4,91 [m/s2]. ¿Qué volumen de agua se derrama? Solución: 0,708 [m3].
El ángulo de inclinación del líquido es: [ ] [ ]
La diferencia de niveles entre los extremos de la superficie es: [ ]
[ ]
El volumen de agua final será igual al volumen del paralelepípedo (VP) de largo 3,05 [m], profundidad 2 [m] y altura 1,83 [m] - 1,525 [m] = 0,305 [m], más el del prisma triangular (VT) de largo 3,05 [m], profundidad 2 [m] y altura 1,525 [m]. El volumen del paralelepípedo es [ ]
[ ]
[ ]
[
]
[
]
El volumen del prisma triangular es: [ ]
[ ]
[ ]
El volumen total es: [
]
[
]
[
]
El volumen original de líquido es: [ ]
[ ]
[ ]
[
]
Finalmente, el volumen de agua derramada (VD) será la diferencia entre el volumen de agua original y el volumen de agua luego de acelerar el recipiente, y vale: [
]
[
]
[
]
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29
1.39. Un depósito abierto cilíndrico de 122 [cm] de diámetro y 183 [cm] de profundidad se llena de agua y se hace girar a una velocidad de 60 [rpm]. ¿Qué volumen de líquido se derrama y cuál es la profundidad en el eje? Solución: 0,433 [m3], 1,083 [m].
Cálculo de la altura del agua en el centro del cilindro
Donde: [ ] [ [ ]
]
[ ]
[ ] [ ]
Por lo tanto: [ ])
[ ]) (
(
[ ]
[ ]
[ ]
Cálculo del volumen de agua derramado (
[ ]) (
[ ])
[
[ ]
]
1.40. ¿A qué velocidad debe girar el depósito del problema anterior para que en el centro del fondo del depósito la profundidad del agua sea nula? Solución: 9,83 [rad/s].
Para que en el fondo del depósito sea nula, se tiene que cumplir que: ⇒
⇒
De donde finalmente: √
√
[ ] (
[ ] [ ])
[
]
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30
1.41. Explique el funcionamiento de un viscosímetro de rotación, como el de la figura siguiente. El cilindro interior tiene una altura h, y la separación en la base de la parte interna del cuerpo giratorio es a, la cual supondremos suficientemente grande como para ignorar efectos de viscosidad en dicha cara. Deduzca una expresión para el coeficiente de viscosidad dinámica μ, llamando Mt al torque, N a la velocidad de giro en rpm y usando el resto de la nomenclatura en base a la figura.
El viscosímetro de rotación consta de un eje concéntrico dentro de una camisa fija, entre los cuáles se encuentra una película de un fluido cuya viscosidad se desea determinar. Sobre la pared de la camisa fija, la velocidad del fluido es nula, por acción de la viscosidad, mientras que sobre la pared del eje rotatorio es máxima. De acuerdo a esto, se obtiene un perfil de velocidades.
El esfuerzo cortante (la fuerza tangencial que el eje rotatorio efectúa sobre el fluido), es proporcional a la variación de la velocidad respecto al espesor de la película de fluido por una constante propia de cada fluido, denominada viscosidad dinámica. ⇒
También podemos escribir al esfuerzo cortante como:
Donde F es la fuerza tangente a la película de fluido y A es el área del eje en contacto con el mismo. Aplicado un torque al eje rotatorio, y en función de la viscosidad del fluido evaluado, el mismo girará a una velocidad determinada.
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31
El área del eje es:
El espesor de la película de fluido es:
La velocidad la podemos expresar como: [ ] [ ] ⇒ [ ] [ ]
Reemplazando ②, ③, ④ y ⑤ en ① tenemos que:
Sabiendo que:
Entonces finalmente:
Es decir, que aplicando un torque cuyo valor es conocido y observando la velocidad de giro del eje, se puede conocer el coeficiente dinámico de viscosidad.
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32
TRABAJO PRÁCTICO 2 2.1.
La ecuación de continuidad para un volumen de control puede escribirse de la forma:
∭
∬
⃗
Explicar: a.
Qué significa cada miembro;
El miembro del lado izquierdo de la igualdad expresa la rapidez del cambio de la masa de fluido con el tiempo. El miembro del lado derecho, expresa el flujo del campo de velocidades en la frontera (SC), es decir, la diferencia entre la masa entrante y la masa saliente por la frontera.
b.
A qué se reduce para régimen permanente y densidad ρ constante (fluidos incompresibles);
Para régimen permanente y fluidos incompresibles, se cumple que: ⇒
Por lo tanto: ∬
⃗⃗⃗⃗⃗
∬
⃗⃗⃗⃗⃗
c. Qué sucede en un tubo de corriente bajo las hipótesis de (b) donde las velocidades son tangenciales a las paredes laterales del tubo y en el cual consideramos una sección 1 de entrada y una sección 2 de salida, normales al flujo. Plantee la relación resultante entre las velocidades de ingreso (v 1) y egreso (v2) a la porción de tubo considerada y las respectivas áreas de las superficies (A1 y A2). Considerando régimen permanente y fluido incomprensible, entonces: ⇒
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33
d. Cómo se extendería esto a un conducto que puede subdividirse en muchos tubos de corriente paralelos.
En un tubo de corriente que se subdivide n tubos en paralelo se cumple que: ∑ Sabiendo que:
Entonces: ∑
2.2.
La ecuación general de Euler para el movimiento a lo largo de una línea de corriente es:
Donde la presión p, la velocidad v y la altura z varían a lo largo del recorrido s, pero además se considera v variable en el tiempo para una posición determinada. Explicar: a)
Qué hipótesis contempla esta ecuación en cuanto al rozamiento del fluido;
Esta ecuación considera que no hay esfuerzos viscosos, es decir, no hay rozamiento, y por lo tanto no hay pérdidas locales.
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34
b)
A qué se reduce para régimen permanente;
Para régimen permanente se cumple que no hay variación de la velocidad con el tiempo, por lo tanto:
Y la expresión se reduce a:
c)
Bajo qué condiciones se podría integrar la ecuación resultante del punto anterior;
La ecuación sólo es integrable si existe una única variable de integración. La diferencial total exacta debe depender del recorrido y no del tiempo.
d) Qué se obtiene integrando dicha ecuación bajo la hipótesis de que el fluido es incompresible. Muéstrelo y dé el nombre de dicha ecuación.
⇒
(
)
Integrando se obtiene:
La ecuación obtenida, es la ecuación de Bernoulli.
2.3. Escriba la ecuación de Bernoulli comenzando con el término z = altura geométrica, y señale las dimensiones y la interpretación de cada término ¿Cuáles son las hipótesis que convalidan esta ecuación?
Ecuación de Bernoulli
Término Z1 Un cuerpo de masa m situado a una altura z, posee una energía potencial o de posición, referida al plano de referencia situado en cota cero: . El término z representa por tanto la energía potencial del fluido por unidad de peso, y se le designa como altura de posición.
Término p1/ρg Guía de ejercicios - Mecánica de los fluidos - Universidad Nacional de Tres de Febrero
35
Representa la energía necesaria para elevar la unidad de peso del elemento de fluido hasta la altura p/ρg. Se le denomina altura de presión. A la suma de las alturas de potencial y de presión se le conoce como altura piezométrica, porque se corresponde con la altura de columna observada con un tubo piezométrico conectado a una conducción con un líquido. Término v12/2g Representa la energía cinética por unidad de peso del elemento de fluido y se le llama altura de velocidad.
Carga total Se denomina carga o altura de energía, H, a la suma de la altura de velocidad más la altura piezométrica, es decir, a la suma de los tres términos de cada miembro en la ecuación de Bernoulli:
Hipótesis para la ecuación de Bernoulli
Flujo permanente (no hay variaciones en el tiempo).
Fluido incompresible (densidad constante).
Fluido no viscoso (no existen pérdidas por rozamiento).
No hay intercambio de trabajo o calor con el exterior del flujo.
2.4. En el tubo Venturi de la figura siguiente se lee h = 5 [m], el diámetro de la sección 1 es de 30 [cm] y el de la sección 2 es 10 [cm]. Si se transporta agua ¿cuál es la velocidad en 1 y cuál el caudal medido?
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36
Planteamos ecuación de la energía entre 1 y 2
De donde: (
)⇒
Planteamos la ecuación de continuidad del tubo de corriente ⇒
⇒
Reemplazando ① en ② obtenemos (
)
De donde: √
(
)
Por lo tanto: [ ] √
(
[ ] [ [
] ) ]
[ ]
El caudal medio es: [ ]
[
]
[
]
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37
2.5. Determinar la velocidad de flujo de aire registrada con el tubo Pitot de la figura siguiente si el líquido manométrico es mercurio y la altura h es de 18 [cm].
V1 , P1 V2 , P2
Planteamos Bernoulli entre los puntos 1 y 2:
Para resolver el problema se efectúan las siguientes consideraciones:
Por lo tanto:
De donde: √
Y finalmente: √
[ ]
[ [
] ]
[ ]
[ ]
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38
2.6. Considerando las ecuaciones de Bernoulli y de la cantidad de movimiento de los líquidos, deducir la fórmula de Borda para el cálculo de la pérdida de energía debido al ensanchamiento brusco en una tubería. La ecuación a obtener es: (
)
Sugerencia: ver Streeter, capítulo 3, Pérdidas debido a expansión repentina en un tubo. Nota: J12 es la pérdida de energía por unidad de peso del fluido y se mide en unidades de longitud.
Planteamos la ecuación de la energía:
Donde:
De donde: (
)
Planteamos ecuación de continuidad: ⇒
Planteamos el flujo de la cantidad de movimiento:
De donde:
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39
2.7. La distribución de velocidades en un flujo laminar dentro de un conducto cilíndrico de radio r 0 es ( ) , donde v es la velocidad de un filete de corriente distante r del centro y K es del tipo: una constante que depende de la pérdida de energía por peso unitario y unidad de longitud, de la densidad y de la viscosidad del fluido. Encontrar las expresiones de: a)
La velocidad máxima;
La velocidad máxima se da para r = 0, por lo tanto: (
b)
)
(
)
La velocidad media V.
∫
∫
(
)
Para resolver la integral, se hace cambio de variable:
Por lo tanto: ∫
(
)
∫
|
2.8. Para el sistema de la figura adjunta encontrar las expresiones de las fuerzas dinámicas Fx y Fy considerando que el caudal entrante Q0 se desdobla en:
Suponer conocidos los datos indicados en la figura y que el coeficiente ß de corrección por velocidades no uniformes es 1 en todos los casos.
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40
(Nota: en clase se desarrolló con 1 y 2 suplementarios, o, si se quiere, marcando 2 como un único . También se consideró por aplicación de Bernoulli que V0 = V1 = V2, lo cual en el caso planteado no es necesario porque hay variaciones de sección de los chorros. Ud. puede optar por plantearlo en esas condiciones, aclarando tales hipótesis).
Planteamos la sumatoria de fuerzas en la dirección x: ∑ ∑
(
)
Planteamos la sumatoria de fuerzas en la dirección y: ∑ ∑
(
)
2.9. (R. Giles, 6-2, pág. 75). Si la velocidad en una tubería de 30 [cm] es de 0,50 [m/s], ¿cuál será la velocidad en el chorro de 7,5 [cm] de diámetro que sale por una boquilla unida al extremo de la tubería?
Suponiendo flujo permanente se tiene que:
De donde:
Por lo tanto: [
]
[ ] [
]
[ ]
2.10. (R. Giles, 6-11, pág. 78). Entre dos placas convergentes de 45 [cm] de anchura circula un fluido y la distribución de velocidades viene dada por la expresión: (
)
Para los valores n0 = 5 [cm] y vmax = 0,30 [m/s] determinar: a.
El caudal total en [m3/s];
b.
La velocidad media en la sección considerada;
c.
La velocidad media en la sección en la que n = 2 [cm].
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41
Cálculo de la velocidad media: La superficie definida por la curva de distribución de velocidades y la distancia entre las placas, dividida por dicha distancia, representa la velocidad media de esa distribución. La superficie planteada, es igual a la integral entre 0 y n0 de la función indicada, por lo tanto:
∫
(
)
∫
(
)
De donde: (
)
Por lo tanto:
La velocidad media, será finalmente el área dividida por la distancia entre las placas: [ ]
Cálculo del caudal: [ ]
[ ]
[ ]
[
]
Cálculo de la velocidad media para n=2: ⇒
Por lo tanto: [ [ ]
] [ ]
[ ]
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42
2.11. (R. Giles, 6-17, pág. 81). Un líquido está fluyendo a través de una tubería circular. Para una distribución de velocidades dada por la ecuación v = vmax (r02-r2)/ r02, calcular el coeficiente de corrección de la energía cinética .
∫
Para el caso planteado: ∫
(
)
Podemos expresar al coeficiente de corrección como: ∫(
)
Y para el caso planteado:
∫
∫ ( (
)
)
Hacemos cambio de variable:
⇒ ⇒
Por lo tanto: Guía de ejercicios - Mecánica de los fluidos - Universidad Nacional de Tres de Febrero
43
∫
(
)
[
]
2.12. (R. Giles, 6-19, pág. 82). Una turbina produce 600 [CV] cuando el caudal de agua a través de la misma es de 0,60 [m3/s]. Suponiendo un rendimiento del 87%, ¿qué altura actúa sobre la turbina?
Sabiendo que:
Entonces:
Por lo tanto: [ [
[
] ]
[
]
[
] ]
[ ] [
]
2.13. (R. Giles, 6-26, pág. 86). Una tubería de 15 [cm] de diámetro y 180 [m] de longitud transporta agua desde A, a una elevación de 24,0 [m], hasta B, a una elevación de 36,0 [m]. La tensión debida a la fricción entre el líquido y las paredes de la tubería es igual a 3,05 [Kg/m 2]. Determinar la variación de presión en la tubería y la pérdida de carga.
La superficie de la tubería para una longitud de 180 [m] será: [ ]
[ ]
[
]
La variación de fuerza debida a la fricción será: [
[
]
]
[
]
Por lo tanto, la variación de presión será: [
]
[ [
] ]
[
]
Para la pérdida de carga planteamos Bernoulli:
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44
De donde:
Bajo la suposición de flujo permanente, el caudal es constante, y a sección contante, la velocidad también lo es, por lo tanto:
De donde: [ ]
[ ]
[
]
[
]
[ ]
2.14. (R. Giles, 6-21, pág. 84). En la figura siguiente están circulando 0,37 [m3/s] de agua de A a B, existiendo en A una altura de presión de 6,6 [m]. Suponiendo que no existen pérdidas de energía entre A y B, determinar la altura de presión en B. Dibujar la línea de alturas totales.
Plantemos la ecuación de Bernoulli:
Teniendo en cuanta que no hay pérdidas de energía, entonces:
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45
Por lo tanto: [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
2.15. (R. Giles, 6-21, pág. 84). En el venturímetro mostrado en la figura siguiente la lectura del manómetro diferencial de mercurio es 35,8 [cm]. Determinar el caudal de agua a través del venturímetro si se desprecian las pérdidas entre A y B.
Planteamos la ecuación de continuidad para flujo permanente: ⇒
Planteamos el equilibrio de las presiones entre A y B: [ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
Plantemos la ecuación de Bernoulli:
Reemplazando ① y ② en ③ obtenemos:
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46
[ ]
(
[ ]
)
Sabiendo que: [ ]
Entonces: [ ]
[ ]
(
[ ]
)
De donde: (
[ ]
[ ]
[ ]
)
√ (
)
Por lo tanto: [ ](
[ ]
[ ]
[
[ ]
] [
(
√
[ [
]
[
]
)
] ) ]
[ ]
Suponiendo flujo permanente: [ ]
[
]
[
]
2.16. (R. Giles, 6-28, pág. 87). En el sistema mostrado en la figura siguiente, la bomba BC debe producir un caudal de 160 [l/s] de aceite de una Dr = 0,762 hacia el recipiente D. Suponiendo que la pérdida de energía entre A y B es de 2,5 [Kgm/Kg] y entre C y D es de 6,5 [Kgm/Kg]: a.
¿Qué potencia en CV debe suministrar la bomba a la corriente?
b.
Dibujar la línea de alturas totales.
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47
Planteamos Bernoulli entre A y D:
Considerando que:
Entonces:
De donde:
Por lo tanto: [ ]
[ ]
Donde:
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48
[ ]
(
[ ])
]
[
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[ ]
(
[
[ ])
[
]
[
]
[ [ [
]
]
] ] [
]
Por lo tanto: [
]
[
]
[
]
[
]
[
]
Sabiendo que: [ [
[ ]
] ]
[ ]
Entonces: [
]
[
]
2.17. (R. Giles, 6-32, pág. 89). La carga extraída por la turbina CR de la figura siguiente es de 60 [m] y la presión en T es de 5,10 [Kg/cm2]. Para unas pérdidas entre W y R de 2,0 (V602/2g) y de 3,0 (V602/2g) entre C y T, determinar: a.
El caudal de agua que circula.
b.
La altura de presión en R.
c.
Dibujar la línea de alturas totales.
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49
a.
CÁLCULO DEL CAUDAL
Considerando flujo permanente: ⇒
Planteamos Bernoulli entre T y W:
Considerando que:
Entonces:
Reemplazando ① en ②, obtenemos: (
)
De donde: (
)
(
(
)
)
√ (
)
Finalmente:
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50
[ ]
[ ](
[ ] [ [
(
√
[
]
[
]
[ ]) [ ]
] ) ]
Y el caudal es: [
[ ]
b.
]
[
]
CÁCULO DE LA ALTURA DE PRESIÓN EN R
Aplicamos Bernoulli entre T y R:
De donde:
La velocidad en T vale: [
[ ] [
]
[ ]
]
Sabiendo que:
Entonces: [ ]
[
]
[
]
(
[ ]) [ ]
(
[ ]) [ ]
[ ]
[ ]
(
[ ]) [ ]
Y finalmente: [ ]
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51
2.18. (R. Giles, 6-51, pág. 93). A través de una tubería de 15 [cm] de diámetro fluye agua a una presión 4,20 [Kg/cm2]. Suponiendo que no hay pérdidas, ¿cuál es el caudal si en una reducción de 7,5 [cm] de diámetro la presión es de 1,40 [Kg/cm2]? Solución: Q = 107 [l/s].
Planteamos Bernoulli:
Sabiendo que: ⇒
Entonces: (
)
(
)
Por lo tanto: (
√
)
Finalmente: (
√ (
)
(
[
]
[ [
)
]
]
)
[
]
[ ]
2.19. (R. Giles, 6-52, pág. 93). Si en el problema anterior fluye un aceite de densidad relativa 0,752 calcular el caudal. Solución: 123 [l/s].
A partir de la última ecuación del ejercicio anterior tenemos que: (
√ (
)
(
)
[
]
[ [
]
]
)
[
]
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[ ]
52
2.20. (R. Giles, 6-52, pág. 93). Una tubería de 30 [cm] de diámetro tiene un corto tramo en el que el diámetro se reduce gradualmente hasta 15 [cm] y de nuevo aumenta a 30 [cm]. La sección de 15 [cm] está 60 [cm] por debajo de la sección A, situada en la tubería de 30 [cm], donde la presión es de 5,25 [Kg/cm2]. Si entre las dos secciones anteriores se conecta un manómetro diferencial de mercurio, ¿cuál es la lectura del manómetro cuando circula hacia abajo un caudal de agua de 120 [l/s]? Supóngase que no existen pérdidas. Solución: 17,6 [cm].
Sabiendo que el caudal es contante, calculamos las velocidades: [
]
[
]
[
] [
[ ]
[ ]
]
Planteamos Bernoulli:
Sabiendo que las pérdidas son despreciables entonces:
Planteamos el equilibrio de presiones en el manómetro: (
)
De donde: (
)
Igualando ① y ② obtenemos: (
)
De donde:
Entonces finalmente:
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53
[
]
[
] [ ]
[
]
[
]
2.21. (R. Giles, 6-56, pág. 93). Una tubería de 30 [cm] de diámetro transporta aceite de densidad relativa 0,811 a una velocidad de 24 [m/s]. En los puntos A y B las medidas de la presión y elevación fueron, respectivamente, 3,70 [Kg/cm2] y 2,96 [Kg/cm2], y 30 [m] y 33 [m]. Para un flujo permanente, determinar la pérdida de carga entre A y B. Solución: 6,12 [m].
Planteamos Bernoulli:
Sabiendo que el flujo es permanente y la sección es constante, entonces la velocidad también es constante, por lo tanto:
Por lo tanto: [ ]
[
[ ]
]
[ [
]
[ ]
]
2.22. (R. Giles, 6-57, pág. 93). Un chorro de agua de 7,5 [cm] de diámetro, descarga en la atmósfera a una velocidad de 24 [m/s]. Calcular la potencia, en caballos de vapor del chorro, utilizando como plano de referencia el horizontal que pasa por el eje del chorro. Solución: 41,6 [CV].
Cálculo de la altura de pérdida: [
]
[ ]
[ ]
Cálculo de la potencia: [
]
[
]
[ ]
[ ]
[
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]
[
]
54
2.23. (R. Giles, 6-64, pág. 94). Un venturímetro horizontal tiene diámetros de 60 y 45 [cm] en la entrada y garganta, respectivamente. La lectura de un manómetro diferencial de agua es de 10 [cm] cuando está conectado entre la entrada y la garganta y fluye aire a través del aparato. Considerando constante e igual a 1,28 [Kg/m3] el peso específico del aire y despreciando la fricción, determinar el caudal en [m3/s]. Solución: 6,66 [m3/s].
Considerando flujo permanente: ⇒
La diferencia de presiones entre entrada y garganta será:
Planteamos Bernoulli entre la entrada y la garganta:
Considerando que:
Entonces:
Reemplazando ① y ② en ③, obtenemos: (
)
De donde: (
)
[(
)
]
(
√ (
(
)
) )
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55
Por lo tanto: (
√
(
[ ]
[ [
[
[
]
]
] ) [ ]
] )
El caudal será: [
[ ]
]
[
]
2.24. (R. Giles, 6-72, pág. 93-94). Prandt ha sugerido que la distribución de velocidades, para flujo turbulento en conductos, viene representada muy aproximadamente por la expresión v = v max (y/r0)1/7, donde r0 es el radio de la tubería e y la distancia media a partir de la pared. Determinar la expresión de la velocidad media en función de la velocidad en el eje vmax. Solución: v = 0,817 vmax. La distribución de velocidades viene dada por: ( )
Calculamos el área de la distribución de velocidades: ∫
∫
( )
( ) ∫
De donde: ( )
[
]
Finalmente: ( )
La velocidad media, es el área dividida por el diámetro:
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56
2.25. (R. Giles, 6-73, pág. 94). Determinar cuál es el coeficiente de corrección de la energía cinética para la distribución de velocidades del problema anterior. Solución: = 1,06.
El coeficiente de corrección vale: ∫(
)
Para el caso planteado será: ( )
∫ (
∫ ( ) )
( ) ∫
( )
∫
( )
2.26. La expresión vectorial de la ecuación de la cantidad de movimiento de un fluido en régimen permanente es:
∑
∫
(
)
Donde los parámetros en negritas son vectores, en particular el paréntesis refleja el flujo elemental a través de la superficie de control, siendo V la velocidad en cada elemento dA de área, y la cantidad de movimiento está dado por este caudal elemental, que al quedar multiplicado por la densidad da el flujo másico elemental, y la masa por la velocidad es la cantidad de movimiento. Explique qué representa el primer miembro y demuestre que la ecuación es dimensionalmente correcta.
Análisis dimensional: [ ]
[
[ ]
[
[ ]
]
[ ]
]
[
]
Por lo tanto: ∑
∫
(
)
∫
[
] ([
]
[
])
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[
]
57
2.27. En el punto 6 se ha demostrado la expresión de Borda para un fluido incompresible en régimen permanente, considerando que el ß de Bousinesq es aproximadamente igual a 1: (
)
(
)
¿Qué sucede con la energía cinética cuando se produce el ingreso de una tubería a un tanque según esta fórmula?
La energía cinética se reduce a cero por pérdidas locales debido al cambio de sección. Esto se debe principalmente a la separación del líquido de las paredes que originan grandes turbulencias, de naturaleza diferente a la fricción. En la siguiente figura se indica el efecto mencionado.
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58
TRABAJO PRÁCTICO 3 3.1.
Sean dos tanques como se indica en la siguiente figura se pide:
a. Dibujar la línea de energía total (o plano hidrodinámico de carga) y la línea de alturas motrices (o línea de niveles piezométricos) en el flujo por la tubería que los une. La altura del tanque A se mantiene en 22 [m] por sobre el nivel de referencia y la del tanque F a 5 [m] sobre el mismo nivel, que es su fondo. Considere la altura de velocidad en la sección gruesa de la tubería circular de 1 [m]. La sección es la misma en los tramos 1, 3, y 4 (es decir, entre O y B, y entre C y E), y el tramo 2 tiene una sección de ⅔ de la sección de mayor diámetro.
Además se tienen las siguientes pérdidas: He = 0,5 V1²/2g => a la entrada de la tubería (de O a 1). hL = 0,015 m/m=>pérdidas de energía por unidad de peso y longitud en las secciones de diámetro mayor. hL’ = 0,02 m/m => pérdida de energía por unidad de peso y longitud en la sección de menor diámetro. HB = (1/CC -1) V2²/2g, donde CC = 0,742 => pérdida por reducción. Hc => la pérdida de energía se determina por la ecuación de Borda (ref. probl.6 del TP2). HD = 0,10 V²/2g => pérdida por cambio de dirección. HE => pérdida a la entrada del segundo tanque. Aplicar Borda considerando A4/AF ≈ 0 (Recomendación: graficar en una hoja A4 apaisada utilizando una escala vertical adecuada, no inferior a 1 [m/cm], y una de longitudes horizontales mucho más comprimida, adaptada al espacio disponible). b. Señale las pérdidas sobre el dibujo y plantee la ecuación de Bernoulli para líquidos reales entre los puntos O y E explicando qué es cada término.
Se plantea Bernoulli entre A y F:
Sabiendo que:
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59
(
) ⇒
(
(
)
(
(
)
(
) (
[ ]
[ ]
)
(
)
[ ])
) (
(
)
[ ]
(
[ ]
) ( )
)
(
)
Entonces: [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
(
)
[ ]
De donde: √
[ ]
[ ]
Finalmente, las pérdidas valen: (
[ ]) [ ]
[ ] (
[ ] [ ]) [ ]
[ ] [ ]
[ ]
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60
[ ]
[ ] (
[ ]
[ ])
[ ]
[ ] [ ]
[ ] (
[ ])
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] (
[ ]
[ ])
[ ]
[ ]
[ ]
Altura total en A: [ ]
[ ]
Altura piezométrica en A: [ ]
[ ]
Altura total en O: [ ]
[ ]
[ ]
Altura piezométrica en O: [ ]
(
[ ]) [ ]
[ ]
Altura total en B: [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Altura piezométrica en B: [ ]
(
[ ]) [ ]
[ ]
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61
Altura total en C: [ ]
[ ]
(
[ ])
[ ]
[ ]
Altura piezométrica en C: [ ]
[ ]
[ ]
Altura total en D: [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Altura piezométrica en D: [ ]
(
[ ])
[ ]
[ ]
Altura total en E: [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Altura piezométrica en E: [ ]
(
[ ]) [ ]
[ ]
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62
3.2. En una tubería circular de diámetro interno D y radio interno r = D/2 en la que circula un líquido en régimen laminar la velocidad de los filetes alejados a una distancia y del eje es: (
)
Donde hL es la pérdida (energía por unidad de peso) por unidad de longitud de tubería, γ es el peso específico y μ la viscosidad dinámica del líquido. a. Obtener la expresión del caudal Q en función del radio y del diámetro internos (o sea 2 versiones), y de los restantes parámetros arriba indicados (ecuación de Hagen-Poiseuille). b. Partiendo de la anterior obtener la expresión de la pérdida por unidad de longitud en función de la velocidad, también en dos versiones: en función del radio y del diámetro.
a. Sabiendo que:
Entonces: (
)
El área se puede expresar como:
Entonces: (
)
Integrando se obtiene: (
∫ [
) ]
∫ (
)
En función del radio:
En función del diámetro: ( )
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63
b. En función del radio:
De donde:
Sabiendo que:
Entonces:
En función del diámetro:
( )
3.3. Demostrar que el factor de fricción de la fórmula de Darcy-Weisbach, HL = f (L/D) V²/2g , para régimen laminar está dado por: f = 64/ Re.
Fórmula de Hagen – Poiseuille:
Fórmula de Darcy – Waisbach:
Igualando las últimas dos fórmulas se obtiene:
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64
De donde:
Sabiendo que:
Entonces:
3.4. (FR) Se tiene un conducto circular recto de diámetro interior 30 [cm] por el que circulan 100 [m³/h] de fuel-oil. Este líquido tiene una densidad de 940 [Kg/m³] y una viscosidad dinámica de 1,765 [N s/m²]. Calcular la pérdida de carga, la resistencia opuesta al escurrimiento en un tramo de 400 [m] de tubería y la potencia consumida en la circulación por dicha longitud de conducto.
Se hace el cambio de unidades del caudal: [
]
[
]
Se calcula la velocidad del fluido: [ (
]
[ ]
[ ])
Se calcula el número de Reynolds: [ ]
[ ]
[
[
]
]
Como el número de Reynolds es muy bajo (62,8 < 4000), el flujo es laminar, por lo cual se puede utilizar la fórmula de Hagen – Poiseuille para calcular la pérdida por fricción: [ [
]
] [ ](
[ ] [ ])
[ ]
Por lo tanto, la pérdida para el total de la tubería es:
Guía de ejercicios - Mecánica de los fluidos - Universidad Nacional de Tres de Febrero
65
[ ]
[ ]
[ ]
Se calcula la resistencia al movimiento, sabiendo que:
Por lo tanto: [
]
[ ])
(
[ ]
[ ]
[ ]
Se calcula la potencia: [
]
[ ]
[ ]
[
]
[ ]
3.5. (FR) Un conducto para provisión de agua tiene 0,50 [m] de diámetro y requiere, al año de instalado, 20 [CV] en 400 [m] de longitud para que circule un caudal de 0,4 [m³/s]. A los 3 años de servicio la potencia necesaria aumenta un 8%. Calcular la potencia que se requerirá al cabo de 10 años de servicio suponiendo que al finalizar los mismos debe mantenerse el caudal que circula y que el rendimiento de la instalación de bombeo es del 80%.
Sabiendo que:
Entonces:
Se calcula la velocidad: [
]
[ ]
[ ])
(
Se procede a la conversión de unidad de potencia: [
]
[ ]⇒
[
]
[ ]
Por lo tanto, la potencia al año de instalado es: [ ]
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66
Se calcula la pérdida por fricción al año de instalado: [ ] [
]
[ ]
[
]
Sabiendo que: ⇒
Se calcula el factor de fricción para la tubería al año de instalado: [ ]
[ ]
[ ](
[ ] [ ])
Se calcula la potencia a los tres años de instalado: [ ]
[ ]
Se calcula la pérdida por fricción a los tres años de instalado: [ ] [
]
[ ]
[
]
Se calcula el factor de fricción para la tubería a los tres años de instalado: [ ]
[ ]
[ ](
[ ] [ ])
La variación del factor de fricción por año es:
Sabiendo que la variación es lineal, se calcula el factor de fricción al décimo año:
Se calcula la pérdida por fricción a los diez años de instalado: [ ]( [ ]
[ ]) [ ]
[ ]
Se calcula la potencia requerida a los diez años: Guía de ejercicios - Mecánica de los fluidos - Universidad Nacional de Tres de Febrero
67
[
[ ]
]
[
]
[ ]
Teniendo en cuenta el rendimiento de la instalación de bombeo, se calcula la potencia requerida: →
[ ]
→
[ ]
De donde: [ ]
[ ]
Por lo tanto: [ ]
3.6. Partiendo de la expresión de Hazen-Williams: V = 0,8494 α R0,63 hL0,54, donde α es un coeficiente que depende de las características de la tubería y R es el radio hidráulico de la sección de la misma, obtenga las fórmulas de V = f(α, D, hL) y Q=f(α, D, hL) según estos investigadores. La fórmula de Hazen – Williams es:
Sabiendo que:
Entonces: (
)
Sabiendo que:
Entonces:
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68
3.7. Determinar la pérdida de energía cuando fluyen 8000 [l/min] de aceite de 8 [cP] y densidad de 800 [Kg/m³] por una tubería de fundición de 200 [m] de longitud y diámetro 200 [mm]. Resolver con el diagrama de Moody y con la fórmula de Swamee-Jain, indicando claramente los pasos seguidos.
Se procede a la conversión de unidades del caudal: [
[
]
]
Se calcula la velocidad: [
]
[ ]
[ ])
(
Se procede a la conversión de unidades de la viscosidad: [
]
[
]⇒ [
]
[
]
[
]
Se calcula la rugosidad relativa: [ [
] ]
Se calcula el número de Reynolds: [ ]
[ ]
[
[
]
]
Usando el diagrama de Moody se obtiene el siguiente valor de f:
Se calcula f usando la fórmula de Swamee-Jain:
[
(
)]
[
(
[
[
]
]
(
)
)]
Por lo tanto, las pérdidas son: [ ]( [ ]
[ ]) [ ]
[ ]
Guía de ejercicios - Mecánica de los fluidos - Universidad Nacional de Tres de Febrero
69
3.8. Por una tubería de acero roblonado fluye agua a 15 [°C]. Su diámetro es 30 [cm] y la pérdida de energía en 300 [m] es de 6 [m]. Determinar el caudal. Resolver con el diagrama de Moody y con la fórmula de Swamee-Jain, indicando claramente los pasos seguidos.
De tablas se obtiene la rugosidad absoluta, considerando un tubo de acero con remaches transversales: [
]
Se calcula la rugosidad relativa: [ [
] ]
Suponiendo flujo turbulento, se utiliza el diagrama de Moody para calcular el factor de fricción:
Sabiendo que:
Entonces: [ ]
√
√
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Se calcula el caudal: [ ]
(
[ ])
[
]
Se procede a realizar una iteración, para lo cual se calcula la viscosidad cinemática para la temperatura indicada, y con ella, el número de Reynolds. La viscosidad cinemática para la temperatura indicada, de acuerdo a las tablas es: [
]
Se calcula el número de Reynolds: [ ]
[ ] [
]
Se calcula nuevamente el factor de fricción, utilizando el diagrama de Moody:
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70
Entonces: √
√
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Se calcula el caudal: [ ]
(
[ ])
[
]
Se calcula nuevamente el factor de fricción, utilizando la fórmula de Sawamee - Jain:
[
(
)]
[
(
(
)
)]
Entonces: √
√
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Se calcula el caudal: [ ]
(
[ ])
[
]
3.9. (FR) Determinar el diámetro de una tubería galvanizada para que circule un caudal de agua a 20 [°C] de 0,020 [m³/s] con una pérdida de carga máxima de 0,02 [m/m]. Utilizar la fórmula de Hazen – Williams e indicar claramente los pasos seguidos.
Sabiendo que:
Y que:
Entonces:
De donde:
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71
(
)
De tabla se obtiene que:
Por lo tanto:
(
[
]
)
[ ]
3.10. Se quiere calcular el caudal de una tubería cuya representación gráfica se muestra en la figura siguiente para H=10 [m] y determinar la pérdida total de altura HL (energía por unidad de peso) para Q=50 [l/s].
Los coeficientes de las pérdidas locales son
Se calcula usando la tabla de rugosidad absoluta el valor para tubería de fundición nueva:
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72
[
]
Se calcula la rugosidad relativa: [ [
] ]
Se calcula el factor de fricción usando el diagrama de Moody, considerando flujo turbulento:
Se calcula la pérdida total: (
)
Por lo tanto: [ ]
(
[ ] [ ]
[ ]
)
Se plantea Bernoulli entre 1 y 2:
Sabiendo que: (
) [ ]
Entonces: [ ]
De donde: √
[ ]
√
[ ]
[ ]
[ ]
[
[ ]
Se calcula el caudal: ]
[
]
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73
La pérdida total de altura es: (
)
(
[ ]) [ ]
[ ]
3.11. Justificar que la potencia necesaria para hacer circular un fluido incompresible está dada por: P = Q γ HL = Q γ hL L Donde: P = potencia necesaria para el flujo; Q = caudal o gasto volumétrico; γ = peso específico del fluido; HL = energía perdida por unidad de peso del fluido; hL = pérdida en unidades de energía por unidad de peso, por unidad de longitud de tubería; L = largo o recorrido considerado en el conducto.
3.12. Determinar las alturas totales y piezométricas en los puntos A, B, C, D y E de la figura siguiente.
Se plantea Bernoulli entre la superficie del tanque y la salida en la boquilla:
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74
Las pérdidas son: (
)
[ ]
[
[ ]
(
[ ]
)]
Sabiendo que: [ ]
Entonces: [ ]
De donde: [ ]
√
[ ]
[ ]
√
[ ]
Altura total en A (superficie): (
[ ]
)
[ ]
Altura piezométrica en A (superficie): (
[ ]
)
[ ]
Altura total en A (entrada):
(
)
(
)
(
[ ]
[ ])
[ ]
[ ]
Altura piezométrica en A (entrada):
(
)
(
)
[ ]
(
[ ]) [ ]
[ ]
Altura total en B:
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75
(
[ ] ( [ ]
[ ]
)
[ ])
[ ]
[ ]
Altura piezométrica en B: (
[ ]
[ ])
[ ]
[ ]
Altura total en C: [ ]
(
[ ])
[ ]
[ ]
Altura piezométrica en C: [ ]
(
[ ])
[ ]
[ ]
Altura total en D: [ ] ( [ ]
[ ]
[ ])
[ ]
[ ]
Altura piezométrica en D: [ ]
(
[ ])
[ ]
[ ]
Altura total en E: [ ]
(
[ ]) [ ]
[ ]
Altura piezométrica en E: [ ]
(
[ ]) [ ]
[ ]
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76
3.13. Determinar el caudal Q en la tubería de la figura siguiente suponiendo los siguientes datos: Ke = 0,5; L1 = 300 [m]; L2 = 240 [m]; ε1 = 0,0015 [m]; ε2 = 0,0003 [m]; D1 = 0,6 [m]; D2 = 0,9 [m]; ν = 10-6 [m²/s]; H = 6 [m].
Las pérdidas en la entrada son:
Se calcula la rugosidad relativa para el tramo 1: [ ] [ ]
Suponiendo régimen turbulento, se calcula f1:
Las pérdidas por fricción en el tramo 1 son: [ ] [ ]
Las pérdidas por ampliación de sección (Borda) son: (
)
(
)
(
( (
[ ]) [ ])
)
Se calcula la rugosidad relativa para el tramo 2: [ ] [ ]
Suponiendo régimen turbulento, se calcula f2:
Las pérdidas por fricción en el tramo 2 son: [ ] [ ]
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77
Las pérdidas a la entrada del estanque 2 son:
Se calculan las pérdidas totales:
Sabiendo que: ⇒
⇒
(
)
Entonces: [ ] ) [ ]
(
Por lo tanto: [
(
]
)
[
(
]
)
Aplicando Bernoulli entre A y B obtenemos:
Sabiendo que: [ ] (
)
Guía de ejercicios - Mecánica de los fluidos - Universidad Nacional de Tres de Febrero
78
Entonces: [ ]
De donde: √
[ ]
√
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Se calcula el caudal: [ ])
(
[ ]
[
]
Por lo tanto: [
]
Se procede a realizar una iteración usando diagrama de Moody. Se calcula el número de Reynolds para el tramo 1: [ ]
[ ] [
]
Se calcula f1 usando Swamee - Jain:
[
(
)]
[
(
(
)
)]
Las pérdidas por fricción en el tramo 1 son: [ ] [ ]
Sabiendo que:
Entonces:
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79
(
)
Se calcula el número de Reynolds para el tramo 2: [ ]
[ ] [
]
Se calcula f2 usando Swamee - Jain:
[
(
)]
[
(
(
)
)]
Las pérdidas por fricción en el tramo 2 son: [ ] [ ]
Las pérdidas totales son:
Aplicando Bernoulli entre A y B obtenemos:
Sabiendo que: [ ] (
)
Entonces: [ ]
De donde:
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80
√
[ ]
√
[ ]
[ ]
[ ]
Se calcula el caudal: [ ]
(
[ ])
[
]
Por lo tanto: [
]
3.14. Hallar el caudal del problema anterior utilizando el concepto de tuberías equivalentes.
Para el caso planteado, se hallará la longitud equivalente del tramo 2, llevándolo al mismo diámetro que el tramo 1.
Las pérdidas para el tramo 1 son: [ ] [ ]
Se calcula la longitud equivalente para el tramo 1:
De donde: [ ]
[ ]
Las pérdidas para el tramo 2 son:
Se calcula la longitud equivalente para el tramo 2:
Sabiendo que:
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81
Entonces: (
)
(
)
De donde: (
[ ](
)
[ ] ) [ ]
[ ]
Por lo tanto, se puede reemplazar la tubería anterior, por con las siguientes características: [ ] [ ]
[ ]
[ ]
Aplicando Bernoulli entre A y B obtenemos:
Sabiendo que: [ ] (
) [ ] [ ]
Entonces: [ ]
De donde: √
[ ]
√
[ ]
[ ]
[ ]
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82
Se calcula el caudal: [ ]
(
[ ])
[
]
Por lo tanto: [
]
3.15. Resolver el problema 3.13 pero suponiendo invertidos los tubos conductores (1 = mayor diámetro; 2 = menor diámetro) usando los mismos datos asociados.
Las pérdidas en la entrada son:
Se calcula la rugosidad relativa para el tramo 1: [ ] [ ]
Suponiendo régimen turbulento, y usando el diagrama de Moody, se calcula f1:
Las pérdidas por fricción en el tramo 1 son: [ ] [ ]
Se calcula la rugosidad relativa para el tramo 2: [ ] [ ]
Suponiendo régimen turbulento, y usando el diagrama de Moody, se calcula f2:
Las pérdidas por fricción en el tramo 2 son: [ ] [ ]
Las pérdidas a la entrada del estanque 2 son: Guía de ejercicios - Mecánica de los fluidos - Universidad Nacional de Tres de Febrero
83
Se calculan las pérdidas totales:
Sabiendo que: ⇒
⇒
(
)
Entonces: [ ] ) [ ]
(
Por lo tanto: (
)
(
)
Aplicando Bernoulli entre A y B obtenemos:
Sabiendo que: [ ] (
)
Entonces: [ ]
De donde: √
[ ]
√
[ ]
[ ]
[ ]
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84
[ ]
[ ]
Se calcula el caudal: [ ])
(
[ ]
[
]
Por lo tanto: [
]
Se procede a realizar una iteración. Se calcula el número de Reynolds para el tramo 1: [ ]
[ ] [
]
Se calcula f1 usando Swamee - Jain:
[
(
[
)]
(
(
)
)]
Las pérdidas por fricción en el tramo 1 son: [ ] [ ]
Sabiendo que: [ ] ) [ ]
(
Entonces: (
)
Se calcula el número de Reynolds para el tramo 2: [ ]
[ ] [
]
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85
Se calcula f2 usando Swamee - Jain:
[
(
)]
[
(
(
)
)]
Las pérdidas por fricción en el tramo 2 son: [ ] [ ]
Las pérdidas a la entrada del estanque 2 son:
Las pérdidas totales son:
Aplicando Bernoulli entre A y B obtenemos:
Sabiendo que: [ ] (
)
Entonces: [ ]
De donde: √
[ ]
√
[ ]
[ ]
[ ]
Se calcula el caudal:
Guía de ejercicios - Mecánica de los fluidos - Universidad Nacional de Tres de Febrero
86
[ ]
(
[ ])
[
]
Por lo tanto: [
]
3.16. Para el sistema de la figura siguiente determinar el caudal en cada tubería sabiendo que el caudal total en A y B (antes y después de la ramificación, respectivamente) es Q = 0,34 [m³/s]. Determinar también la presión en el punto B si en A es de PA = 6 [Kgf/cm²]. El líquido tiene las siguientes propiedades: densidad ρ = 1028 [Kg/m³], viscosidad cinemática ν = 3 . 10 -6 [m²/s], y que las dimensiones y características de las conducciones son: L1 = 900 [m] ; D1 = 0,3 [m] ; ε1 = 0,00030 [m] ; zA = 30 [m] L2 = 600 [m] ; D2 = 0,2 [m] ; ε2 = 0,00003 [m] ; zB = 25 [m] L3 = 1200 [m] ; D3 = 0,4 [m] ; ε3 = 0,00024 [m]
Se calculan los valores de rugosidad relativa para cada tramo: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
Utilizando el diagrama de Moody, y suponiendo flujo turbulento, se calculan los factores de fricción para cada tramo:
Guía de ejercicios - Mecánica de los fluidos - Universidad Nacional de Tres de Febrero
87
Sabiendo que en tuberías en paralelo se cumple que:
Teniendo en cuenta que:
Entonces: (
)
(
)
(
)
De donde:
De la ecuación anterior se obtiene que:
√
√
√
√
√
√
(
[ ])
[ ] [ ]
(
[ ])
[ ] [ ]
(
[ ])
[ ] [ ]
√
[
]
√
[
]
√
[
]
Se plantea la ecuación de continuidad:
Por lo tanto: √
[
]
√
[
]
√
[
]
[
]
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88
De donde:
[
(
[
]
[
]
]
[ ] [
]
)
Se plantea Bernoulli entre A y B:
De donde:
Sabiendo que: (
) [ ] [ ] [
[ ]
[ ]
] [
[ ]
]
[
[ ]
]
Entonces: [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
De donde: [ ]
[
[ ]
]
[
]
Se procede a realizar una iteración utilizando el diagrama de Moody para obtener los nuevos valores de los factores de fricción. Se calcula el caudal para cada uno de los tramos: √
[
]
√
[ ][
]
[
]
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89
√
[
]
√
[ ][
]
[
]
√
[
]
√
[ ][
]
[
]
Se calculan las velocidades para cada tramo: [ (
]
[ ]
[ ])
[ (
[ ]
[ ])
[ (
]
]
[ ]
[ ])
Se calcula los números de Reynolds para cada tramo: [ ]
[ ] [
]
[ ]
[ ] [
]
[ ]
[ ] [
]
Utilizando la fórmula de Swamee – Jain, se calcula el factor de fricción de cada tramo:
[
(
)]
[
(
(
)
)]
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90
[
(
)]
[
(
[
(
)]
[
(
(
)]
)
(
)]
)
Utilizando las ecuaciones ①, ② y ③ se obtiene: √
√
√
√
√
√
[ ])
(
[ ] [ ]
[ ])
(
[ ] [ ]
[ ])
(
[ ] [ ]
√
[
]
√
[
]
√
[
]
Se plantea la ecuación de continuidad:
Por lo tanto: [
√
]
√
[
]
√
[
]
[
]
De donde: [
(
[
]
] [
[ ] ]
[
] )
De la ecuación ④ (y teniendo en cuenta las consideraciones ya indicadas) se obtiene que:
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91
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
De donde: [ ]
[
]
[ ]
[
]
Finalmente: [
]
3.17. El sistema de tanques interconectados por tuberías ramificadas mostrado en la figura siguiente transporta agua a 15 [°C]. Las dimensiones y propiedades son: L 1 = 3000 [m] ; L2 = 600 [m]; L3 = 1200 [m]; D1 = 1 [m]; D2 = 0,5 [m]; D3 = 0,75 [m]; ε1/D1 = 0,0002; ε2/D2 = 0,002; ε3/D3 = 0,001; z1 = 30 [m]; z2 = 18 [m]; z3 = 9 [m]; zN = 11 [m].
Se calcula los factores de fricción para cada tramo usando el diagrama de Moody. ⇒ ⇒ ⇒
Se calcula la altura de líneas piezométricas del nodo: [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
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92
Se plantea Bernoulli entre el vaso 1 y el nodo: Teniendo en cuenta que el vaso está por encima de la línea piezométrica del nodo (30 [m] y 20 [m] respectivamente), las pérdidas se suman a la energía del nodo y el flujo va del vaso 1 hacia el nodo.
Se plantea Bernoulli entre el vaso 2 y el nodo: Teniendo en cuenta que el vaso está por debajo de la línea piezométrica del nodo (18 [m] y 20 [m] respectivamente), las pérdidas se suman a la energía del vaso y el flujo va del nodo hacia el vaso 2.
Se plantea Bernoulli entre el vaso 3 y el nodo: Teniendo en cuenta que el vaso está por debajo de la línea piezométrica del nodo (11 [m] y 20 [m] respectivamente), las pérdidas se suman a la energía del vaso y el flujo va del nodo hacia el vaso 3.
Sabiendo que:
(
)
Entonces:
(
[
⇒
√
(
)⇒
√
(
)⇒
√
)
(
)]
[(
)
]
[(
)
]
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Por lo tanto: ( √
[ ]
( √
[ ]
( √
[ ]
[ ])
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ])
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ])
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Se calcula los caudales para cada tramo: [ ]
[
]
[
]
[ ]
[
]
[
]
[ ]
[
]
[
]
Se procede a realizar una iteración utilizando el diagrama de Moody para obtener los nuevos valores de los factores de fricción. Se calcula (utilizando las tablas) el valor de la viscosidad cinemática: [
]
Se calcula el número de Reynolds para cada tramo: [ ]
[ ] [
]
[ ]
[ ] [
]
[ ]
[ ] [
]
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Utilizando la fórmula de Swamee – Jain, se calcula el factor de fricción de cada tramo:
[
(
)]
[
(
[
(
)]
[
(
[
(
)]
[
(
(
)]
)
(
)
(
)
)]
)]
De las ecuaciones ①, ② y ③ se obtiene: √
[
√
√
[(
[(
(
)]
)
)
]
]
( √
[ ]
( √
[ ]
( √
[ ]
[ ])
[ ]
[ ]
[ ]
[ ])
[ ]
[ ]
[ ]
[ ])
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Se calcula los caudales para cada tramo: [ ]
[
]
[
]
[ ]
[
]
[
]
[ ]
[
]
[
]
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95
3.18. ¿Cuáles son las condiciones que deben cumplirse en una red de tuberías por las que circula un líquido con distintos caudales por cada rama?
a)
Ecuación del nudo.
Por razones de continuidad se debe satisfacer que: ∑
Donde: es el caudal que va del nudo j al nudo i (negativo si llega al nudo i y positivo si sale). es el caudal que sale o entra al nudo i (con la misma convención de signos).
El símbolo “j s i”, se debe interpretar como: “para todos los nudos j conectados al i a través de un tubo”.
b)
Ecuación de pérdida.
La pérdida por fricción en cada tramo está dada por la fórmula de fricción correspondiente.
3.19. Resumir los pasos del método de Hardy Cross para la solución de redes de tuberías. En la red de la figura obtener los caudales por cada una de las 5 ramas si al circuito entran y salen 60 litros/s. (Nota: las flechas que valen son la de entrada y salida, las demás son sugerencias. Donde dice 1500 0,5 significa: largo 1500 m, diámetro 0,5 m. Así con cada una de las ramas. El coeficiente C1 de la ecuación de Hazen-Williams es 120 para todas las tuberías, al mismo yo lo había llamado α. Los números en rojo son la numeración de cada tramo, optativa).
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Descripción del método 1) Numerar los tramos de tuberías y asignarles un sentido (esta elección es arbitraria). 2) Elegir las mallas y un sentido de recorrido (ya hecho en el dibujo). 3) Asignar un valor numérico a cada caudal de forma que se cumpla la conservación de la masa en cada nodo. El signo del caudal es negativo si se opone al sentido de recorrido de la malla. 4)
Calcular el coeficiente Ci de cada línea: (
5)
)
Calcular la corrección a los caudales de cada malla: ∑ | | ∑ | |
6) Aplicar la corrección de cada malla a los caudales que la componen. En el caso de que un caudal pertenezca a dos mallas, la corrección de otras mallas tendrá signo negativo si el recorrido de la malla tiene distinto sentido que en la primera malla. Esta situación ocurre con la línea 1. 7)
Repetir la iteración.
Resolución del problema
Sabiendo que la sumatoria de pérdidas por una malla cualquiera que llega al mismo nodo del que salió es cero, entonces se plantean las ecuaciones.
Las constantes se calculan de acuerdo a las siguientes fórmulas. (
) ∑ | |
Los circuitos considerados son los que se indican en el gráfico siguiente:
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CÁLCULOS PARA EL CIRCUITO I Se procede a calcular los caudales suponiendo los caudales iniciales que se indican en la tabla siguiente: Rama 1 3 2
a
Q 66 634 234
30,0 -10,0 -20,0
a|Q| 1978 6342 4690
aQ2 59348 -63423 -93795
Q 4,06 4,06 4,06
Con los caudales supuestos más la diferencia de caudales, se calcula un nuevo caudal para realizar una iteración del procedimiento, obteniendo los resultados de la siguiente tabla: Rama 1 3 2
a 65,94 634,22 234,48
Q 34,1 -5,9 -15,9
a|Q| 2246 3765 3737
aQ2 76517 -22348 -59549
Q 0,30 0,30 0,30
a|Q| 2266 3576 3667
aQ2 77862 -20159 -57342
Q -0,02 -0,02 -0,02
Se procede a una nueva iteración: Rama 1 3 2
a 65,94 634,22 234,48
Q 34,4 -5,6 -15,6
Los caudales finales obtenidos son: Rama 1 3 2
Q 34,3 -5,7 -15,7
CÁLCULOS PARA EL CIRCUITO II Se procede a calcular los caudales suponiendo los caudales iniciales que se indican en la tabla siguiente: Rama 4 3 5
a 88 634 287
Q 32,3 -5,7 -22,0
a|Q| 2840 3615 6305
aQ2 91730 -20606 -138712
Q 2,86 2,86 2,86
Con los caudales supuestos más la diferencia de caudales, se calcula un nuevo caudal para realizar una iteración del procedimiento, obteniendo los resultados de la siguiente tabla:
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Rama 4 3 5
a
Q 88 634 287
35,2 -5,7 -19,1
a|Q| 3092 3615 5485
aQ2 108703 -20606 -104973
Q 0,75 0,75 0,75
a|Q| 3157 3615 5271
aQ2 113376 -20606 -96930
Q 0,19 0,19 0,19
Se procede a una nueva iteración: Rama 4 3 5
a
Q 88 634 287
35,9 -5,7 -18,4
Los caudales finales obtenidos son: Rama 1 3 2
Q 36,1 -5,5 -18,2
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