2012-12-01-runge-kutta.pdf

Introducción Teoría Métodos Runge-Kutta Búsqueda de propiedades Aplic Aplicación ación a proble problemas mas físi físicos cos Matla Matlabb EDO solv solvers ers Actua Actualidad lidad

Ejemplos de aplica Ejemplos aplicación ción del método Runge-Kutta Runge-Kutta a la resolución de problemas físicos con Matlab Andrea Santamaría García Universidad Autónoma de Madrid

Diciembre 2012

Introducción Teoría Métodos Runge-Kutta Runge-Kutta Búsqueda de propiedades Aplicación a problemas fís físico icoss Mat Matlab lab EDO sol solve vers rs Act Actual ualida idadd

Outline 1

2 3

4 5

6

  Introducción Descripción Lista de métodos Runge-Kutta Concepto Base de los métodos Runge-Kutta   Teoría Definición teórica del método de Runge-Kutta Métodos Runge-Kutta Métodos de 1o orden Métodos de 2o orden Búsqueda de propiedades Integrador simpléctico Aplicación a problemas físicos Movimientos periódicos y cuasiperiódicos Ecuaciones no lineales Matlab EDO solvers

Introducción Teoría Métodos Runge-Kutta Búsqueda de propiedades Aplic Aplicación ación a proble problemas mas físi físicos cos Matla Matlabb EDO solv solvers ers Actua Actualidad lidad

Descripción El método de Runge-Kutta es un conjunto de métodos iterativos (implícitos y explícitos), cuyo objetivo es integrar ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO’s). Concretamente trata problemas de valor inicial.

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Descripción El método de Runge-Kutta es un conjunto de métodos iterativos (implícitos y explícitos), cuyo objetivo es integrar ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO’s). Concretamente trata problemas de valor inicial.

Desarrollado por los matemáticos alemanes C. Runge y W.H.Kutta en 1900

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Lista de métodos Runge-Kutta El método de Runge-Kutta no es sólo un único método, sino una importante familia de métodos iterativos: Métodos explícitos

Método de Euler hacia delante Runge-Kutta de 2o orden Runge-Kutta de 3o orden Clásico Runge-Kutta de 4o orden Métodos implícitos

Método de Euler hacia atrás Métodos de Lobatto (IIIA, IIIB, IIIC)

Métodos adaptativos o semi-implícitos

Euler modificado Heun Bogacki-Shampine Cash-Karp Dormand-Prince Fehlberg

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Concepto La resolución de EDOs se lleva a cabo reemplazando las derivadas por cocientes incrementales (diferencias finitas) con un paso temporal ∆t  = t n +1 − t n  =  τ   adecuado. EDO de orden s df s (t ) dt 

= F (t , y 1 , y 2 ,...y s )

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Concepto La resolución de EDOs se lleva a cabo reemplazando las derivadas por cocientes incrementales (diferencias finitas) con un paso temporal ∆t  = t n +1 − t n  =  τ   adecuado. EDO de orden s df s (t ) dt 

= F (t , y 1 , y 2 ,...y s )

El método de RK parte de unos valores iniciales e itera mediante una relación de recurrencia que podemos obtener con: Desarrollo de Taylor  1 2 ′′  1 3 ′′′ f (t  + τ ) =  f (t ) + τ f  (t ) + τ  f  (t ) + τ  f  (t ) + O (τ 4 ) 2 6  1 1 f (t  − τ ) =  f (t ) − τ f ′ (t ) + τ 2 f ′′ (t ) − τ 3 f ′′′ (t ) + O (τ 4 ) 2 6 ′

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Base de los métodos Runge-Kutta Diferencias hacia delante df (t ) f (t  + τ ) − f (t ) 1 ′′ = − τ f  (t ) + O (τ 3 ) τ  dt  2

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Base de los métodos Runge-Kutta Diferencias hacia delante df (t ) f (t  + τ ) − f (t ) 1 ′′ = − τ f  (t ) + O (τ 3 ) τ  dt  2 Diferencias hacia atrás df (t ) f (t ) − f (t  − τ )  1 ′′ = + τ f  (t ) + O (τ 3 ) 2 τ  dt 

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Base de los métodos Runge-Kutta Diferencias hacia delante df (t ) f (t  + τ ) − f (t ) 1 ′′ = − τ f  (t ) + O (τ 3 ) τ  dt  2 Diferencias hacia atrás df (t ) f (t ) − f (t  − τ )  1 ′′ = + τ f  (t ) + O (τ 3 ) 2 τ  dt  Diferencias centrales 1o orden:

df (t ) dt 

=

2o orden:

df (t ) dt 

=

f (t +τ )−f (t −τ )

2τ 

+ 16 τ 2 f ′′′ (t ) + O (τ 4 )

f (t +τ )−2f (t )+f (t −τ )

τ 2

1 2 (4) τ  f  (t ) + O (τ 5 ) + 12

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Base de los métodos Runge-Kutta Diferencias hacia delante df (t ) f (t  + τ ) − f (t ) 1 ′′ = − τ f  (t ) + O (τ 3 ) τ  dt  2 Diferencias hacia atrás df (t ) f (t ) − f (t  − τ )  1 ′′ = + τ f  (t ) + O (τ 3 ) 2 τ  dt  Diferencias centrales 1o orden:

df (t ) dt 

=

2o orden:

df (t ) dt 

=

f (t +τ )−f (t −τ )

2τ 

+ 16 τ 2 f ′′′ (t ) + O (τ 4 )

f (t +τ )−2f (t )+f (t −τ )

τ 2

1 2 (4) τ  f  (t ) + O (τ 5 ) + 12

La aproximación por desarrollos en serie de Taylor implica un error de truncamiento  O ( s +1 )

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Definición teórica del método de Runge-Kutta Sea una EDO de primer orden: r˙ (t ) =  f (t , r (t )) ; f  : Ω ⊂ R × Rn  → Rn 

con Ω  conjunto abierto

y la condición de que el valor inicial de f sea: (t 0 , r 0 ) ∈ Ω

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Definición teórica del método de Runge-Kutta Sea una EDO de primer orden: r˙ (t ) =  f (t , r (t )) ; f  : Ω ⊂ R × Rn  → Rn 

con Ω  conjunto abierto

y la condición de que el valor inicial de f sea: (t 0 , r 0 ) ∈ Ω Expresión general del método RK de orden s r n +1 − r n 

τ 

s 

�

s 

�

= ∑ b i k i  ; k i  = f  t n  + c i τ  , r n  + τ  ∑ a ij k  j  i =1

 j =1

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Definición teórica del método de Runge-Kutta Sea una EDO de primer orden: r˙ (t ) =  f (t , r (t )) ; f  : Ω ⊂ R × Rn  → Rn 

con Ω  conjunto abierto

y la condición de que el valor inicial de f sea: (t 0 , r 0 ) ∈ Ω Expresión general del método RK de orden s r n +1 − r n 

τ 

s 

�

s 

�

= ∑ b i k i  ; k i  = f  t n  + c i τ  , r n  + τ  ∑ a ij k  j  i =1

τ =paso de la iteración τ ) (t n +1 =  t n +  

 j =1

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Definición teórica del método de Runge-Kutta Sea una EDO de primer orden: r˙ (t ) =  f (t , r (t )) ; f  : Ω ⊂ R × Rn  → Rn 

con Ω  conjunto abierto

y la condición de que el valor inicial de f sea: (t 0 , r 0 ) ∈ Ω Expresión general del método RK de orden s r n +1 − r n 

τ 

s 

s 

�

= ∑ b i k i  ; k i  = f  t n  + c i τ  , r n  + τ  ∑ a ij k  j  i =1

τ =paso de la iteración τ ) (t n +1 =  t n +   k i =términos de aproximación

intermedios

�

 j =1

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Definición teórica del método de Runge-Kutta Sea una EDO de primer orden: r˙ (t ) =  f (t , r (t )) ; f  : Ω ⊂ R × Rn  → Rn 

con Ω  conjunto abierto

y la condición de que el valor inicial de f sea: (t 0 , r 0 ) ∈ Ω Expresión general del método RK de orden s r n +1 − r n 

τ 

s 

s 

�

= ∑ b i k i  ; k i  = f  t n  + c i τ  , r n  + τ  ∑ a ij k  j  i =1

τ =paso de la iteración τ ) (t n +1 =  t n +   k i =términos de aproximación

intermedios

�

 j =1

a ij ,  b i  y  c i  = coeficientes propios del  esquema numérico elegido

Introducción Teoría Métodos Runge-Kutta Búsqueda de propiedades Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Definición teórica del método de Runge-Kutta Sea una EDO de primer orden: r˙ (t ) =  f (t , r (t )) ; f  : Ω ⊂ R × Rn  → Rn 

con Ω  conjunto abierto

y la condición de que el valor inicial de f sea: (t 0 , r 0 ) ∈ Ω Expresión general del método RK de orden s r n +1 − r n 

τ 

s 

�

s 

�

= ∑ b i k i  ; k i  = f  t n  + c i τ  , r n  + τ  ∑ a ij k  j  i =1

 j =1

τ =paso de la iteración τ ) (t n +1 =  t n +  

a ij ,  b i  y  c i  = coeficientes propios del  esquema numérico elegido

k i =términos de aproximación

RK consistente si i −1 ∑ j =1 a ij  = c i , i  = 2...s 

intermedios

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Tabla de Butcher c 1 c 2

.. .

c s 

a 11 a 21

...

a s 1 b 1

...

··· ··· .. .

a 1s  a 2s 

a s 2 b 2

··· ···

a ss  b s 

a 12 a 22

...

=

⃗ c 

A ⃗ b T 

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Tabla de Butcher c 1 c 2

.. .

c s 

a 11 a 21

...

a s 1 b 1

...

··· ··· .. .

a 1s  a 2s 

a s 2 b 2

··· ···

a ss  b s 

a 12 a 22

...

=

⃗ c 

A ⃗ b T 

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Los esquemas de RK se dividen en:

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Los esquemas de RK se dividen en: Explícitos: si  a ij  es triangular inferior con  a i = j  = 0

�

�

1 k i  = f  t n  + c i τ  , r n  + τ ∑ j i − =1 a ij k  j  → evaluación explícita de  r n +1

usando r n 

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Los esquemas de RK se dividen en: Explícitos: si  a ij  es triangular inferior con  a i = j  = 0

�

�

1 k i  = f  t n  + c i τ  , r n  + τ ∑ j i − =1 a ij k  j  → evaluación explícita de  r n +1

usando r n  No puede solucionar ecuaciones "densas"(stiff), ya que su región de estabilidad es muy pequeña

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Los esquemas de RK se dividen en: Explícitos: si  a ij  es triangular inferior con  a i = j  = 0

�

�

1 k i  = f  t n  + c i τ  , r n  + τ ∑ j i − =1 a ij k  j  → evaluación explícita de  r n +1

usando r n  No puede solucionar ecuaciones "densas"(stiff), ya que su región de estabilidad es muy pequeña

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Los esquemas de RK se dividen en: Explícitos: si  a ij  es triangular inferior con  a i = j  = 0

�

�

1 k i  = f  t n  + c i τ  , r n  + τ ∑ j i − =1 a ij k  j  → evaluación explícita de  r n +1

usando r n  No puede solucionar ecuaciones "densas"(stiff), ya que su región de estabilidad es muy pequeña Implícitos:  a ij  = ̸  0 para  j  = i ,..., s  r n  + τ ∑ j s =1 a ij k  j 

→ en cada iteración hay que resolver un sistema de ecuaciones

�

k i  = f  t n  + c i τ  ,

�

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Los esquemas de RK se dividen en: Explícitos: si  a ij  es triangular inferior con  a i = j  = 0

�

�

1 k i  = f  t n  + c i τ  , r n  + τ ∑ j i − =1 a ij k  j  → evaluación explícita de  r n +1

usando r n  No puede solucionar ecuaciones "densas"(stiff), ya que su región de estabilidad es muy pequeña Implícitos:  a ij  = ̸  0 para  j  = i ,..., s  r n  + τ ∑ j s =1 a ij k  j 

→ en cada iteración hay que resolver un sistema de ecuaciones Aumenta el tiempo de computación

�

k i  = f  t n  + c i τ  ,

�

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Regiones de estabilidad para métodos Runge-Kutta explícitos e implícitos

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Métodos de 1o orden Método de Euler explícito (o hacia delante) ⃗ r (t  + τ ) −⃗ r (t ) ⃗ v (t  + τ ) −⃗ v (t ) F (⃗ r (t ),⃗ v (t ), t )   ⃗ = v (t ) ; = m  τ  τ 

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Métodos de 1o orden Método de Euler explícito (o hacia delante) ⃗ r (t  + τ ) −⃗ r (t ) ⃗ v (t  + τ ) −⃗ v (t ) F (⃗ r (t ),⃗ v (t ), t )   ⃗ = v (t ) ; = m  τ  τ 

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Solución del o.armónico, N=1000 8 Euler explícito Solución exacta 6

    n      ó      i     c      i     s     o      P

Espacio de fases o.armónico, N=1000 8 Euler explícito Solución exacta 6

4

4

2

2     o      t     n     e     m     o      M

0

0

−2

−2

−4

−4

−6

−6

−8

0

20

40

60

80

−8 −10

−5

0

5

10

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Solución del o.armónico, N=30000 1.5 Euler explícito Solución exacta

    n      ó      i     c      i     s     o      P

Espacio de fases o.armónico, N=30000 1.5 Euler explícito Solución exacta

1

1

0.5

0.5     o      t     n     e     m     o      M

0

0

−0.5

−0.5

−1

−1

−1.5

0

20

40

60

80

−1.5 −2

−1

0

1

2

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Métodos de 1o orden Método de Euler implícito (o hacia atrás, o de Euler-Cromer) ⃗ r (t  + τ ) −⃗ r (t ) ⃗ v (t  + τ ) −⃗ v (t ) F (⃗ r (t ),⃗ v (t ), t )   ⃗ = v (t  + τ ) ; = m  τ  τ 

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Métodos de 1o orden Método de Euler implícito (o hacia atrás, o de Euler-Cromer) ⃗ r (t  + τ ) −⃗ r (t ) ⃗ v (t  + τ ) −⃗ v (t ) F (⃗ r (t ),⃗ v (t ), t )   ⃗ = v (t  + τ ) ; = m  τ  τ 

Conocido por ser mucho más estable que el método de Euler

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Solución del o.armónico, N=1000 1.5 Euler−Cromer Solución exacta

    n      ó      i     c      i     s     o      P

Espacio de fases o.armónico, N=1000 1.5 Euler−Cromer Solución exacta

1

1

0.5

0.5     o      t     n     e     m     o      M

0

0

−0.5

−0.5

−1

−1

−1.5

0

20

40

60

80

−1.5 −2

−1

0

1

2

Introducción Teoría Métodos Runge-Kutta Búsqueda de propiedades Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Métodos de 2o orden: Método del punto medio Objetivo ⃗ r (t  + τ ) −⃗ r (t )  τ  = ⃗ v  t  + 2 τ 

� �

⃗ v (t  + τ ) −⃗ v (t ) F (⃗ r  t  + τ 2 ,⃗ v (t ), t ) ; = m  τ 

� �

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Métodos de 2o orden: Método del punto medio Objetivo ⃗ r (t  + τ ) −⃗ r (t )  τ  = ⃗ v  t  + 2 τ 

� �

⃗ v (t  + τ ) −⃗ v (t ) F (⃗ r  t  + τ 2 ,⃗ v (t ), t ) ; = m  τ 

� �

Obtención de los pasos mitad τ 

⃗ r  t  + 2 −⃗ r (t )  ⃗v  t  + τ 2 −⃗ v (t ) F (⃗ r (t ),⃗ v (t ), t ) = ⃗ v (t ) ; = τ /2 τ /2 m 

� �

� �

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Métodos de 2o orden: Método del punto medio Objetivo ⃗ r (t  + τ ) −⃗ r (t )  τ  = ⃗ v  t  + 2 τ 

� �

⃗ v (t  + τ ) −⃗ v (t ) F (⃗ r  t  + τ 2 ,⃗ v (t ), t ) ; = m  τ 

� �

Obtención de los pasos mitad τ 

⃗ r  t  + 2 −⃗ r (t )  ⃗v  t  + τ 2 −⃗ v (t ) F (⃗ r (t ),⃗ v (t ), t ) = ⃗ v (t ) ; = τ /2 τ /2 m 

� �

� �

Resultado ⃗ r (t  + τ ) −⃗ r (t )  r (t ),⃗ v (t ), t ) τ   F (⃗ = ⃗ v (t ) + τ  m  2

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Métodos de 2o orden: Método del punto medio

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Métodos de 2o orden: Método del punto medio

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Solución del o.armónico, N=1000 1.5 Punto medio Solución exacta

    n      ó      i     c      i     s     o      P

Espacio de fases o.armónico, N=1000 1.5 Punto medio Solución exacta

1

1

0.5

0.5     o      t     n     e     m     o      M

0

0

−0.5

−0.5

−1

−1

−1.5

0

20

40

60

80

−1.5 −2

−1

0

1

2

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Conservación de la energía Conservación de la energía, N=1000 30 Euler explícito Euler implícito Punto medio

25

20      a        í      g      r      e      n        E

15

10

5

0

0

10

20

30

40

50

60

70

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Conservación de la energía, N=1000 Conservación de la energía, N=1000 0.525 0.5025 Euler implícito Punto medio 0.52 0.502

0.515 0.51

0.5015      a        í      g      r      e      n        E

0.505

     a        í      g      r      e      n        E

0.5

0.501 0.495 0.49

0.5005

0.485 0.48

0

20

40

60

80

0.5

0

20

40

60

80

Introducción Teoría Métodos Runge-Kutta Búsqueda de propiedades Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

¿Qué métodos... ...preservan qué propiedades del sistema?, conservación de la energía, del momento, del momento angular, de la reversibilidad temporal, de la estructura simpléctica etc.

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¿Qué métodos... ...preservan qué propiedades del sistema?, conservación de la energía, del momento, del momento angular, de la reversibilidad temporal, de la estructura simpléctica etc. Los métodos de Runge-Kutta están definidos para sistemas con espacio de fases lineal Rn  y son independientes de la base en Rn 

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¿Qué métodos... ...preservan qué propiedades del sistema?, conservación de la energía, del momento, del momento angular, de la reversibilidad temporal, de la estructura simpléctica etc. Los métodos de Runge-Kutta están definidos para sistemas con espacio de fases lineal Rn  y son independientes de la base en Rn  Conservación de las integrales primeras (ctes del movimiento)

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¿Qué métodos... ...preservan qué propiedades del sistema?, conservación de la energía, del momento, del momento angular, de la reversibilidad temporal, de la estructura simpléctica etc. Los métodos de Runge-Kutta están definidos para sistemas con espacio de fases lineal Rn  y son independientes de la base en Rn  Conservación de las integrales primeras (ctes del movimiento) Todos los métodos de RK preservan invariantes lineales I (y ) =  y 1 + y 2  (Ejemplo: masa total)

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¿Qué métodos... ...preservan qué propiedades del sistema?, conservación de la energía, del momento, del momento angular, de la reversibilidad temporal, de la estructura simpléctica etc. Los métodos de Runge-Kutta están definidos para sistemas con espacio de fases lineal Rn  y son independientes de la base en Rn  Conservación de las integrales primeras (ctes del movimiento) Todos los métodos de RK preservan invariantes lineales I (y ) =  y 1 + y 2  (Ejemplo: masa total) Sólo si b i a ij  + b  j a  ji  = b i b  j    se preservan  invariantes cuadráticas I (y ) =  y 1 2 + y 2 2 (Ejemplo: energía)

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¿Qué métodos... ...preservan qué propiedades del sistema?, conservación de la energía, del momento, del momento angular, de la reversibilidad temporal, de la estructura simpléctica etc. Los métodos de Runge-Kutta están definidos para sistemas con espacio de fases lineal Rn  y son independientes de la base en Rn  Conservación de las integrales primeras (ctes del movimiento) Todos los métodos de RK preservan invariantes lineales I (y ) =  y 1 + y 2  (Ejemplo: masa total) Sólo si b i a ij  + b  j a  ji  = b i b  j    se preservan  invariantes cuadráticas I (y ) =  y 1 2 + y 2 2 (Ejemplo: energía) Ninguno de los métodos preserva  invariantes cúbicas o no lineales

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Reversibilidad temporal y simetría Un método numérico de un paso es simétrico y reversible en el tiempo si cambiando  r n  ↔ r n +1 y τ  ↔ −τ  el método queda inalterado. Esto impone las condiciones: a ij  + a s +1−i ,s +1− j  = b  j  ; b −i  = b s +1−i  ; c i  = 1 − c s +1−i 

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Simplecticidad y conservación del volumen

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Simplecticidad y conservación del volumen Simpléctico:

T 

� � � � ∂ r n +1 ∂ r n 

J 

∂ r n +1 ∂ r n 

= J 

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Simplecticidad y conservación del volumen Simpléctico:

T 

� � � �  � ∂ r n +1 ∂ r n 

J 

∂ r n +1 ∂ r n 

= J 

Conservación del volumen: det 

∂ r n +1 ∂ r n 

�

= 1

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Simplecticidad y conservación del volumen Simpléctico:

T 

� � � �  � ∂ r n +1 ∂ r n 

J 

∂ r n +1 ∂ r n 

= J 

Conservación del volumen: det 

∂ r n +1 ∂ r n 

�

= 1

Para ello el método tiene que preservar invariantes cuadráticas

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Simplecticidad y conservación del volumen Simpléctico:

T 

� � � �  � ∂ r n +1 ∂ r n 

J 

∂ r n +1 ∂ r n 

= J 

Conservación del volumen: det 

∂ r n +1 ∂ r n 

�

= 1

Para ello el método tiene que preservar invariantes cuadráticas Propiedad necesaria para integrar sistemas Hamiltonianos → espacio de fases=variedad simpléctica

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Simplecticidad y conservación del volumen Simpléctico:

T 

� � � �  � ∂ r n +1 ∂ r n 

J 

∂ r n +1 ∂ r n 

= J 

Conservación del volumen: det 

∂ r n +1 ∂ r n 

�

= 1

Para ello el método tiene que preservar invariantes cuadráticas Propiedad necesaria para integrar sistemas Hamiltonianos → espacio de fases=variedad simpléctica Teorema de Liouville: una región conexa del espacio fásico que evoluciona en el tiempo matiene su volumen constante si los puntos frontera evolucionan siguiendo transformaciones canónicas → volumen invariante bajo un flujo Hamiltoniano

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Simplecticidad y conservación del volumen Simpléctico:

T 

� � � �  � ∂ r n +1 ∂ r n 

J 

∂ r n +1 ∂ r n 

= J 

Conservación del volumen: det 

∂ r n +1 ∂ r n 

�

= 1

Para ello el método tiene que preservar invariantes cuadráticas Propiedad necesaria para integrar sistemas Hamiltonianos → espacio de fases=variedad simpléctica Teorema de Liouville: una región conexa del espacio fásico que evoluciona en el tiempo matiene su volumen constante si los puntos frontera evolucionan siguiendo transformaciones canónicas → volumen invariante bajo un flujo Hamiltoniano Como {H , H } = 0 el flujo Hamiltoniano también se conserva Noether  −→   simetría → el generador de la simetria es el Hamiltoniano

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Integrador simpléctico Método "leapfrog" ⃗ r (t  + 2τ ) −⃗ r (t ) ⃗ v (t  + τ ) −⃗ v (t  − τ ) F  (⃗ r (t ),⃗ v (t ), t ) = ⃗ v (t  + τ ) ; = 2τ  2τ  m 

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Integrador simpléctico Método "leapfrog" ⃗ r (t  + ⃗ v (t  +  + 2τ ) −⃗ r (t )  + τ ) −⃗ v (t  − τ ) F  (  (⃗ r (t ),⃗ v (t ), t ) = ⃗ v (t  +  + τ ) ; = 2τ  2τ  m 

Utiliza diferencias centradas. Tiene paso ∆t  = 2τ  pero   pero con la malla de velocidades y posiciones intercalada. Si empezamos en  t  − τ  = 0: Calculamos velocidades en  t  +  + (2n − 1)τ 

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Integrador simpléctico Método "leapfrog" ⃗ r (t  + ⃗ v (t  +  + 2τ ) −⃗ r (t )  + τ ) −⃗ v (t  − τ ) F  (  (⃗ r (t ),⃗ v (t ), t ) = ⃗ v (t  +  + τ ) ; = 2τ  2τ  m 

Utiliza diferencias centradas. Tiene paso ∆t  = 2τ  pero   pero con la malla de velocidades y posiciones intercalada. Si empezamos en  t  − τ  = 0: Calculamos velocidades en  t  +  + (2n − 1)τ  Calculamos posiciones en  t  +  + 2n τ  τ 

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Integrador simpléctico Método "leapfrog" ⃗ r (t  + ⃗ v (t  +  + 2τ ) −⃗ r (t )  + τ ) −⃗ v (t  − τ ) F  (  (⃗ r (t ),⃗ v (t ), t ) = ⃗ v (t  +  + τ ) ; = 2τ  2τ  m 

Utiliza diferencias centradas. Tiene paso ∆t  = 2τ  pero   pero con la malla de velocidades y posiciones intercalada. Si empezamos en  t  − τ  = 0: Calculamos velocidades en  t  +  + (2n − 1)τ  Calculamos posiciones en  t  +  + 2n τ  τ 

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Integrador simpléctico Método "leapfrog" ⃗ r (t  + 2τ ) −⃗ r (t ) ⃗ v (t  + τ ) −⃗ v (t  − τ ) F  (⃗ r (t ),⃗ v (t ), t ) = ⃗ v (t  + τ ) ; = 2τ  2τ  m 

Utiliza diferencias centradas. Tiene paso ∆t  = 2τ   pero con la malla de velocidades y posiciones intercalada. Si empezamos en  t  − τ  = 0: Calculamos velocidades en  t  + (2n − 1)τ  Calculamos posiciones en t  + 2n τ  En t=0 necesitamos conocer ⃗ v (−τ ) para conocer ⃗ v (τ ) → diferencias hacia atrás:  r (t ),⃗ v (t ), t ) F  (⃗ ⃗ v (−τ ) = ⃗ v (0) − τ  m 

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Leapfrog en forma del método de paso mitad ⃗ v  t  + τ 2 −⃗ v  t  − τ 2  r (t ),⃗ v (t ), t ) F  (⃗ ; = τ  m 

� � � � � �

⃗ r (t  + τ ) −⃗ r (t )  τ  =⃗ v  t  + τ  2

 r (0),⃗ v (0), 0) τ  τ  F  (⃗ ⃗ v (− ) = ⃗ v (0) − 2 2 m 

Es reversible en el tiempo

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Leapfrog en forma del método de paso mitad ⃗ v  t  + τ 2 −⃗ v  t  − τ 2  r (t ),⃗ v (t ), t ) F  (⃗ ; = τ  m 

� � � � � �

⃗ r (t  + τ ) −⃗ r (t )  τ  =⃗ v  t  + τ  2

 r (0),⃗ v (0), 0) τ  τ  F  (⃗ ⃗ v (− ) = ⃗ v (0) − 2 2 m 

Es reversible en el tiempo Para un potencial con simetría esférica conserva el momento angular exactamente

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Leapfrog en forma del método de paso mitad ⃗ v  t  +  + τ 2 −⃗ v  t  − τ 2 F  (  (⃗ r (t ),⃗ v (t ), t ) ; = τ  m 

� � � � � �

⃗ r (t  +  + τ ) −⃗ r (t )  τ  =⃗ v  t  +  + τ  2

 (⃗ r (0),⃗ v (0), 0) τ  τ  F  ( ⃗ v (− ) = ⃗ v (0) − 2 2 m 

Es reversible en el tiempo Para un potencial con simetría esférica conserva el momento angular exactamente Es simpléctico: no conserva la energia exactamente, pero es muy estable → bueno para tiempos largos

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Órbitas planetarias con diferentes potenciales Utilizaremos el  método del punto medio.

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Órbitas planetarias con diferentes potenciales Utilizaremos el  método del punto medio.

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Órbitas planetarias con diferentes potenciales Utilizaremos el método del punto medio. ¿Simpléctico? b i a ij  + b  j a  ji  = b i b  j 

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Órbitas planetarias con diferentes potenciales Utilizaremos el método del punto medio. ¿Simpléctico? i = j =1

b i a ij  + b  j a  ji  = b i b  j  →

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1 × 12 + 1 × 12 = 1 =  b 1 b 1

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Órbitas planetarias con diferentes potenciales Utilizaremos el método del punto medio. ¿Simpléctico? i = j =1

b i a ij  + b  j a  ji  = b i b  j  →

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1 × 12 + 1 × 12 = 1 =  b 1 b 1 

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Órbitas planetarias con diferentes potenciales Utilizaremos el método del punto medio. ¿Simpléctico? i = j =1

b i a ij  + b  j a  ji  = b i b  j  →

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1 × 12 + 1 × 12 = 1 =  b 1 b 1 

¿Reversibilidad temporal? a ij  + a s +1−i ,s +1− j  = b  j 

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Órbitas planetarias con diferentes potenciales Utilizaremos el método del punto medio. ¿Simpléctico? i = j =1

b i a ij  + b  j a  ji  = b i b  j  →

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1 × 12 + 1 × 12 = 1 =  b 1 b 1 

¿Reversibilidad temporal? i = j =1 a ij  + a s +1−i ,s +1− j  = b  j  → 12 + 12 = 1 =  b 1

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Órbitas planetarias con diferentes potenciales Utilizaremos el método del punto medio. ¿Simpléctico? i = j =1

b i a ij  + b  j a  ji  = b i b  j  →

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1 × 12 + 1 × 12 = 1 =  b 1 b 1 

¿Reversibilidad temporal? i = j =1 a ij  + a s +1−i ,s +1− j  = b  j  → 12 + 12 = 1 =  b 1 

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Órbitas planetarias con diferentes potenciales Utilizaremos el método del punto medio. ¿Simpléctico? i = j =1

b i a ij  + b  j a  ji  = b i b  j  →

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1 × 12 + 1 × 12 = 1 =  b 1 b 1 

¿Reversibilidad temporal? i = j =1 a ij  + a s +1−i ,s +1− j  = b  j  → 12 + 12 = 1 =  b 1  b −i  = b s +1−i 

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Órbitas planetarias con diferentes potenciales Utilizaremos el método del punto medio. ¿Simpléctico? i = j =1

b i a ij  + b  j a  ji  = b i b  j  →

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1 × 12 + 1 × 12 = 1 =  b 1 b 1 

¿Reversibilidad temporal? i = j =1 a ij  + a s +1−i ,s +1− j  = b  j  → 12 + 12 = 1 =  b 1  b −i  = b s +1−i  → b −1  =  b 1  =  1

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Órbitas planetarias con diferentes potenciales Utilizaremos el método del punto medio. ¿Simpléctico? i = j =1

b i a ij  + b  j a  ji  = b i b  j  →

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1 × 12 + 1 × 12 = 1 =  b 1 b 1 

¿Reversibilidad temporal? i = j =1

a ij  + a s +1−i ,s +1− j  = b  j  → 12 + 12 = 1 =  b 1  b −i  = b s +1−i  → b −1  =  b 1  =  1

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Órbitas planetarias con diferentes potenciales Utilizaremos el método del punto medio. ¿Simpléctico? i = j =1

b i a ij  + b  j a  ji  = b i b  j  →

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1 × 12 + 1 × 12 = 1 =  b 1 b 1 

¿Reversibilidad temporal? i = j =1

a ij  + a s +1−i ,s +1− j  = b  j  → 12 + 12 = 1 =  b 1  b −i  = b s +1−i  → b −1  =  b 1  =  1 c i  = 1 − c s +1−i 

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Órbitas planetarias con diferentes potenciales Utilizaremos el método del punto medio. ¿Simpléctico? i = j =1

b i a ij  + b  j a  ji  = b i b  j  →

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1 × 12 + 1 × 12 = 1 =  b 1 b 1 

¿Reversibilidad temporal? i = j =1

a ij  + a s +1−i ,s +1− j  = b  j  → 12 + 12 = 1 =  b 1  b −i  = b s +1−i  → b −1  =  b 1  =  1 c i  = 1 − c s +1−i → 1 − 12 = 12 = c 1

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Órbitas planetarias con diferentes potenciales Utilizaremos el método del punto medio. ¿Simpléctico? i = j =1

b i a ij  + b  j a  ji  = b i b  j  →

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1 × 12 + 1 × 12 = 1 =  b 1 b 1 

¿Reversibilidad temporal? i = j =1

a ij  + a s +1−i ,s +1− j  = b  j  → 12 + 12 = 1 =  b 1  b −i  = b s +1−i  → b −1  =  b 1  =  1 c i  = 1 − c s +1−i → 1 − 12 = 12 = c 1 

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Órbitas planetarias con diferentes potenciales Utilizaremos el método del punto medio. ¿Simpléctico? i = j =1

b i a ij  + b  j a  ji  = b i b  j  →

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1 × 12 + 1 × 12 = 1 =  b 1 b 1 

¿Reversibilidad temporal? i = j =1

a ij  + a s +1−i ,s +1− j  = b  j  → 12 + 12 = 1 =  b 1  b −i  = b s +1−i  → b −1  =  b 1  =  1 c i  = 1 − c s +1−i → 1 − 12 = 12 = c 1 

Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticas

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Órbitas planetarias con diferentes potenciales Utilizaremos el método del punto medio. ¿Simpléctico? i = j =1

b i a ij  + b  j a  ji  = b i b  j  →

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1 × 12 + 1 × 12 = 1 =  b 1 b 1 

¿Reversibilidad temporal? i = j =1

a ij  + a s +1−i ,s +1− j  = b  j  → 12 + 12 = 1 =  b 1  b −i  = b s +1−i  → b −1  =  b 1  =  1 c i  = 1 − c s +1−i → 1 − 12 = 12 = c 1 

Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticas Utilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:

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Órbitas planetarias con diferentes potenciales Utilizaremos el método del punto medio. ¿Simpléctico? i = j =1

b i a ij  + b  j a  ji  = b i b  j  →

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1 × 12 + 1 × 12 = 1 =  b 1 b 1 

¿Reversibilidad temporal? i = j =1

a ij  + a s +1−i ,s +1− j  = b  j  → 12 + 12 = 1 =  b 1  b −i  = b s +1−i  → b −1  =  b 1  =  1 c i  = 1 − c s +1−i → 1 − 12 = 12 = c 1 

Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticas Utilizado para simular movimientos de cuerpos celestes: Precesión del perihelio de Mercurio

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Órbitas planetarias con diferentes potenciales Utilizaremos el método del punto medio. ¿Simpléctico? i = j =1

b i a ij  + b  j a  ji  = b i b  j  →

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1 × 12 + 1 × 12 = 1 =  b 1 b 1 

¿Reversibilidad temporal? i = j =1

a ij  + a s +1−i ,s +1− j  = b  j  → 12 + 12 = 1 =  b 1  b −i  = b s +1−i  → b −1  =  b 1  =  1 c i  = 1 − c s +1−i → 1 − 12 = 12 = c 1 

Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticas Utilizado para simular movimientos de cuerpos celestes: Precesión del perihelio de Mercurio Ec. de Henon- Heiles

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Órbitas planetarias con diferentes potenciales Utilizaremos el método del punto medio. ¿Simpléctico? i = j =1

b i a ij  + b  j a  ji  = b i b  j  →

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1 × 12 + 1 × 12 = 1 =  b 1 b 1 

¿Reversibilidad temporal? i = j =1

a ij  + a s +1−i ,s +1− j  = b  j  → 12 + 12 = 1 =  b 1  b −i  = b s +1−i  → b −1  =  b 1  =  1 c i  = 1 − c s +1−i → 1 − 12 = 12 = c 1 

Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticas Utilizado para simular movimientos de cuerpos celestes: Precesión del perihelio de Mercurio Ec. de Henon- Heiles Problema de los 3 cuerpos

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Órbitas planetarias con diferentes potenciales Utilizaremos el método del punto medio. ¿Simpléctico? i = j =1

b i a ij  + b  j a  ji  = b i b  j  →

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1 × 12 + 1 × 12 = 1 =  b 1 b 1 

¿Reversibilidad temporal? i = j =1

a ij  + a s +1−i ,s +1− j  = b  j  → 12 + 12 = 1 =  b 1  b −i  = b s +1−i  → b −1  =  b 1  =  1 c i  = 1 − c s +1−i → 1 − 12 = 12 = c 1 

Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticas Utilizado para simular movimientos de cuerpos celestes: Precesión del perihelio de Mercurio Ec. de Henon- Heiles Problema de los 3 cuerpos Rotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno

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Órbitas planetarias con diferentes potenciales Utilizaremos el método del punto medio. ¿Simpléctico? i = j =1

b i a ij  + b  j a  ji  = b i b  j  →

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1 × 12 + 1 × 12 = 1 =  b 1 b 1 

¿Reversibilidad temporal? i = j =1

a ij  + a s +1−i ,s +1− j  = b  j  → 12 + 12 = 1 =  b 1  b −i  = b s +1−i  → b −1  =  b 1  =  1 c i  = 1 − c s +1−i → 1 − 12 = 12 = c 1 

Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticas Utilizado para simular movimientos de cuerpos celestes: Precesión del perihelio de Mercurio Ec. de Henon- Heiles Problema de los 3 cuerpos Rotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno

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Órbitas planetarias con diferentes potenciales n =3.5, v =0 AU/yr, v =5 AU/yr x

y

1 0.8 0.6 0.4 0.2       )       U       A       (      y

0

−0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 −1

−0.5

0

0.5

1

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Órbitas planetarias con diferentes potenciales n =4, v =0 AU/yr, v =5 AU/yr x

y

1 0.8 0.6 0.4 0.2       )       U       A       (      y

0

−0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 −1

−0.5

0

0.5

1

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Órbitas planetarias con diferentes potenciales n =2, v =0 AU/yr, v =5 AU/yr x

y

1 0.8 0.6 0.4 0.2       )       U       A       (      y

0

−0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 −1

−0.5

0

0.5

1

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Ecuaciones de Lotka-Volterra (ecs. predador-presa) dx  dt 

= x α − β xy  ;

dy  dt 

= δ xy  − y γ 

Con  y  = no de predadores,  x  = no de presas xy= probabilidad de encontrarse

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Ecuaciones de Lotka-Volterra (ecs. predador-presa) dx  dt 

= x α − β xy  ;

dy  dt 

= δ xy  − y γ 

Con  y  = no de predadores,  x  = no de presas xy= probabilidad de encontrarse

Presas

α = nacimiento medio -

muerte media

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Ecuaciones de Lotka-Volterra (ecs. predador-presa) dx  dt 

= x α − β xy  ;

dy  dt 

= δ xy  − y γ 

Con  y  = no de predadores,  x  = no de presas xy= probabilidad de encontrarse

Presas

α = nacimiento medio -

muerte media β   = interacción (eficiencia de caza del depredador)

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Ecuaciones de Lotka-Volterra (ecs. predador-presa) dx  dt 

= x α − β xy  ;

dy  dt 

= δ xy  − y γ 

Con  y  = no de predadores,  x  = no de presas xy= probabilidad de encontrarse

Presas

α = nacimiento medio -

muerte media β   = interacción (eficiencia de caza del depredador)

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Ecuaciones de Lotka-Volterra (ecs. predador-presa) dx  dt 

= x α − β xy  ;

dy  dt 

= δ xy  − y γ 

Con  y  = no de predadores,  x  = no de presas xy= probabilidad de encontrarse

Presas

Depredadores

α = nacimiento medio -

y γ = muerte natural

muerte media β   = interacción (eficiencia de caza del depredador)

(depredadores = competencia)

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Ecuaciones de Lotka-Volterra (ecs. predador-presa) dx  dt 

= x α − β xy  ;

dy  dt 

= δ xy  − y γ 

Con  y  = no de predadores,  x  = no de presas xy= probabilidad de encontrarse

Presas

Depredadores

α = nacimiento medio -

y γ = muerte natural

muerte media β   = interacción (eficiencia de caza del depredador)

(depredadores = competencia) δ xy = tasa de reproducción por presa comida

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Ecuaciones de Lotka-Volterra (ecs. predador-presa) dx  dt 

= x α − β xy  ;

dy  dt 

= δ xy  − y γ 

Con  y  = no de predadores,  x  = no de presas xy= probabilidad de encontrarse

Presas

Depredadores

α = nacimiento medio -

y γ = muerte natural

muerte media β   = interacción (eficiencia de caza del depredador)

(depredadores = competencia) δ xy = tasa de reproducción por presa comida

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Ecuaciones de Lotka-Volterra (ecs. predador-presa) dx  dt 

= x α − β xy  ;

dy  dt 

= δ xy  − y γ 

Con  y  = no de predadores,  x  = no de presas xy= probabilidad de encontrarse

Presas

Depredadores

α = nacimiento medio -

y γ = muerte natural

muerte media β   = interacción (eficiencia de caza del depredador)

(depredadores = competencia) δ xy = tasa de reproducción por presa comida

Parámetros para la simulación α  = 1 ; β  = 0. 5 ; γ  = 0. 25 ; δ  = 0. 2

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Ecuaciones de Lotka-Volterra Presas iniciales=5, Predadores iniciales=4 12 Predadores Presas 10   s   e   r   o    d   a    d   e   r   p   y   s   a   s   e   r   p   e    d    º    N

8

6

4

2

0

0

5

10

15

20

25

30

35

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Ecuaciones de Lotka-Volterra Presas iniciales=5, Predadores iniciales=4 12

10

  s   e   r   o    d   a    d   e   r   p   e    d    º    N

8

6

4

2

0

0

1

2

3 Nº de presas

4

5

6

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Ec. de Schrödinger dependiente del tiempo 2D Utilizaremos el método "leapfrog"

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Ec. de Schrödinger dependiente del tiempo 2D Utilizaremos el método "leapfrog" Paquete de ondas: Ψ

−(x −x 0 )2 −(y −y 0 )2 = C exp ( σ 2 ) exp ( σ 2 ) exp (ik 0 x )

C  =  10 ; x 0  =  0. 025 ; y 0  =  0. 5 ; σ 2 = 0. 01 ; k 0  =  40

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Ec. de Schrödinger dependiente del tiempo 2D Utilizaremos el método "leapfrog" Paquete de ondas: Ψ

−(x −x 0 )2 −(y −y 0 )2 = C exp ( σ 2 ) exp ( σ 2 ) exp (ik 0 x )

C  =  10 ; x 0  =  0. 025 ; y 0  =  0. 5 ; σ 2 = 0. 01 ; k 0  =  40

Pozo de potencial:  V  = 0 x   0. 5

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Ec. de Schrödinger dependiente del tiempo 2D Utilizaremos el método "leapfrog" Paquete de ondas: Ψ

−(x −x 0 )2 −(y −y 0 )2 = C exp ( σ 2 ) exp ( σ 2 ) exp (ik 0 x )

C  =  10 ; x 0  =  0. 025 ; y 0  =  0. 5 ; σ 2 = 0. 01 ; k 0  =  40

Pozo de potencial:  V  = 0 x   0. 5

Paso de iteración: τ  = 0. 00001 , No de iteraciones=200 , resolución espacial ∆x  = 1/200

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Ec. de Schrödinger dependiente del tiempo 2D Utilizaremos el método "leapfrog" Paquete de ondas: Ψ

−(x −x 0 )2 −(y −y 0 )2 = C exp ( σ 2 ) exp ( σ 2 ) exp (ik 0 x )

C  =  10 ; x 0  =  0. 025 ; y 0  =  0. 5 ; σ 2 = 0. 01 ; k 0  =  40

Pozo de potencial:  V  = 0 x   0. 5

Paso de iteración: τ  = 0. 00001 , No de iteraciones=200 , resolución espacial ∆x  = 1/200 Separamos la función de onda en sus partes real e imaginaria

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Ec. de Schrödinger dependiente del tiempo 2D Utilizaremos el método "leapfrog" Paquete de ondas: Ψ

−(x −x 0 )2 −(y −y 0 )2 = C exp ( σ 2 ) exp ( σ 2 ) exp (ik 0 x )

C  =  10 ; x 0  =  0. 025 ; y 0  =  0. 5 ; σ 2 = 0. 01 ; k 0  =  40

Pozo de potencial:  V  = 0 x   0. 5

Paso de iteración: τ  = 0. 00001 , No de iteraciones=200 , resolución espacial ∆x  = 1/200 Separamos la función de onda en sus partes real e imaginaria Función creada previamente calcula la parte imaginaria en τ  t  = t  + τ  , t    + 3 2 2 ...

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Ec. de Schrödinger dependiente del tiempo 2D Utilizaremos el método "leapfrog" Paquete de ondas: Ψ

−(x −x 0 )2 −(y −y 0 )2 = C exp ( σ 2 ) exp ( σ 2 ) exp (ik 0 x )

C  =  10 ; x 0  =  0. 025 ; y 0  =  0. 5 ; σ 2 = 0. 01 ; k 0  =  40

Pozo de potencial:  V  = 0 x   0. 5

Paso de iteración: τ  = 0. 00001 , No de iteraciones=200 , resolución espacial ∆x  = 1/200 Separamos la función de onda en sus partes real e imaginaria Función creada previamente calcula la parte imaginaria en τ  t  = t  + τ  , t    + 3 2 2 ... Función creada previamente calcula la parte real en t  = t  + τ , t  + 2τ ...

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Ec. de Schrödinger dependiente del tiempo 2D Utilizaremos el método "leapfrog" Paquete de ondas: Ψ

−(x −x 0 )2 −(y −y 0 )2 = C exp ( σ 2 ) exp ( σ 2 ) exp (ik 0 x )

C  =  10 ; x 0  =  0. 025 ; y 0  =  0. 5 ; σ 2 = 0. 01 ; k 0  =  40

Pozo de potencial:  V  = 0 x   0. 5

Paso de iteración: τ  = 0. 00001 , No de iteraciones=200 , resolución espacial ∆x  = 1/200 Separamos la función de onda en sus partes real e imaginaria Función creada previamente calcula la parte imaginaria en τ  t  = t  + τ  , t    + 3 2 2 ... Función creada previamente calcula la parte real en t  = t  + τ , t  + 2τ ... Calculamos |Ψ|2

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Ec. de Schrödinger dependiente del tiempo 2D

Pozo de potencial

Pared de potencial

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Matlab EDO solvers

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Matlab EDO solvers

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Aplicaciones actuales (las guays)

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Aplicaciones actuales (las guays)

Quantum Chromodynamics

Hybrid Monte Carlo (HMC)→ Molecular Dynamics → Leapfrog http://arxiv.org/pdf/1109.3030.pdf

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Aplicaciones actuales (las guays)

Quantum Chromodynamics

Hybrid Monte Carlo (HMC)→ Molecular Dynamics → Leapfrog http://arxiv.org/pdf/1109.3030.pdf

Quantum Field Theory

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Aplicaciones actuales (las guays)

Quantum Chromodynamics

Hybrid Monte Carlo (HMC)→ Molecular Dynamics → Leapfrog http://arxiv.org/pdf/1109.3030.pdf

Quantum Field Theory

El grupo de Butcher (relacionada con el álgebra de Hopf) fue formulado para describir los métodos de Runge-Kutta

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Aplicaciones actuales (las guays)

Quantum Chromodynamics

Hybrid Monte Carlo (HMC)→ Molecular Dynamics → Leapfrog http://arxiv.org/pdf/1109.3030.pdf

Quantum Field Theory

El grupo de Butcher (relacionada con el álgebra de Hopf) fue formulado para describir los métodos de Runge-Kutta Hoy en día estos conceptos se usan en teoría de renormalización de QFT perturbativas y geometría no conmutativa

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Aplicaciones actuales (las guays)

Quantum Chromodynamics

Hybrid Monte Carlo (HMC)→ Molecular Dynamics → Leapfrog http://arxiv.org/pdf/1109.3030.pdf

Quantum Field Theory

El grupo de Butcher (relacionada con el álgebra de Hopf) fue formulado para describir los métodos de Runge-Kutta Hoy en día estos conceptos se usan en teoría de renormalización de QFT perturbativas y geometría no conmutativa

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Aplicaciones actuales (las guays)

Quantum Chromodynamics

Hybrid Monte Carlo (HMC)→ Molecular Dynamics → Leapfrog http://arxiv.org/pdf/1109.3030.pdf

Quantum Field Theory

El grupo de Butcher (relacionada con el álgebra de Hopf) fue formulado para describir los métodos de Runge-Kutta Hoy en día estos conceptos se usan en teoría de renormalización de QFT perturbativas y geometría no conmutativa http://www.impmc.upmc.fr/~brouder/BIT.pdf http://arxiv.org/pdf/hep-th/9904044.pdf