2011_repartido_08_ soluciones

Física I para Licenciaturas de Física y Matemáticas

Facultad de Ciencias - Instituto de Física

FÍSICA I -Licenciaturas de Física y Matemáticas

PRÁCTICO Nº 8 – Oscilaciones, movimiento armónico simple Ejercicio 1.- Un oscilador consta de un bloque de m = 512 g de masa unido a un resorte. En t = 0, se estira 34,7 cm respecto a la posición de equilibrio y se observa que repite su movimiento cada 0,484 segundos. Halle: a) el período, b) la frecuencia, c) la frecuencia angular, d) la constante de fuerza, e) la velocidad máxima, f) la fuerza máxima ejercida sobre el bloque, g) la ecuación de movimiento del oscilador (asumiendo que v(0) =0), y, h) ¿En qué factor debe aumentarse la masa del bloque para que se duplique el período de oscilación?

De la letra del problema tenemos: m = 512 g = 0,512 kg En t(0) x(0) = 34,7 cm = 0,347m y además v(0) =0 , por tanto con estas condiciones iniciales se tiene que x(0) = 0,347m = A y que el movimiento se repite cada 0,484s a) T = 0,484 s (por la propia definición de periodo) 1 1 b) f = = = 2,066Hz 0,484 T

c) ω = 2πf = 12,98 rad/s d) Como ω =

k ⇒ k = ω 2m = 86,2857 N/m m

T = 0,484 s f = 2,07Hz

ω = 13,0 rad/s k =86,3 N/m

e) vmax = A ω = 4,50406 m/s

vmax = 4,50 m/s

f) Fmax = kA = 29,941 N

Fmax = 29,9 N

g) Con las condiciones iniciales dadas (x(0) = A y v(0) = 0) la solución de la ecuación del M.A.S. es del tipo x(t) = Acos ω t = 0,347 cos(13,0 t) x(t) = 0,347 cos(13,0 t) Ejercicio 2.- Un cuerpo oscila con movimiento armónico simple de acuerdo con la ecuación: x(t) = 6,12 cos (8,38t +1,92) con x en metros y t en segundos. Halle: a) el desplazamiento, la velocidad, y la aceleración en el tiempo t = 1,90s y sus valores máximos, b) la frecuencia y el período del movimiento. c) Si la masa vale m = 0,350 kg, ¿Cuánto vale la energía cinética, y la energía mecánica?

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Ejercicio 3.- Si la posición, velocidad y aceleración iniciales de un objeto que se mueve con movimiento armónico simple son x0, v0 y a0, y si la frecuencia angular de la oscilación es ω, a) Demuestre que si la posición del objeto se describe como: x(t) = Acos(ωt +θ), entonces

A=

v  x 02 +  0  ω 

2

tgφ = −

y

v0 ωx 0

Si se describe como x(t) = B sen(ωt +θ), ¿cuánto valen B y

θ?

b) Demuestre que la posición y la velocidad del objeto para todo instante puede escribirse como:

v x (t ) = x 0 cos ωt +  0 ω

 senωt y, 

v (t ) = −x 0 ωsenωt + v 0 cos ωt 2

2

c) Si la amplitud del movimiento es A, demuestre que v − ax = v 0 − a 0 x 0 = A

a) x(t) = Acos(ωt +φ) ⇒ v(t) =

2

dx = -Aωsen(ωt +φ) dt

x(0) = Acos(φ) = x0 ; v(0) =

v dx = -Aωsen(φ) = v0 ⇒ Asen(φ ) = − 0 dt ω

Dividiendo miembro a miembro:

Asen(φ ) = −

tgφ = −

ω2

v0

(1) entre Acos(φ) = x0 (2)

ω

⇒

−v Asenφ = 0 ⇒ A cos φ ωx 0

v0 ωx 0  v 

2

Elevando (1) y (2) al cuadrado, y sumando miembro a miembro: A 2 sen 2φ + A 2 cos 2 φ =  − 0  + x 02  ω

 v0  ω

A 2 ( sen 2φ + cos 2 φ) =  −

b)

2

  + x 02 ⇒ A = 

 v0  −  ω

2

  + x 02 

Veamos que esta expresión es solución de la ecuación del MAS

ω2 x +

d 2x dt 2

=0:

v x (t ) = x 0 cos ωt +  0 ω

 v  senωt ⇒ v(t ) = −x 0 ωsenωt +  0 ω cos ωt = −x 0 ωsenωt + v 0 cos ωt  ω v0  2 senωt  = - ω2 x (t ) a (t ) = −x 0 ω2 cos ωt − v 0 ωsenωt = ω  − x 0 cos ωt − ω   Por lo que verifica la ecuación del MAS, veamos si verifica las condiciones iniciales:

v x (0) = x 0 cos ω(0) +  0 ω

 senω(0) = x0 

v (0) = −x 0 senω(0) + v 0 cos ω(0) = v 0

Efectivamente verifica las condiciones iniciales, por tanto es solución.

v 2 − ax = v 02 − a 0 x 0 = A 2 ω 2

c)

(

)

2 2 2 2 2 2 2 v 2 − ax = ( Aωsen(ωt +φ) ) − − Aω2 cos(ωt +φ) A cos(ωt +φ) = A ω sen (ωt +φ) + A ω cos (ωt +φ) =

A ω 2

2

a (0) = a 0 = −ω 2 x 0

(

)

 v  2  0   + x 02 ω 2 = v 02 + x 02 ω 2 = v 02 − − ω 2 x 0 x 0 = v 02 − a 0 x 0 Por otro lado: A ω =   −   ω   2

2

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Ejercicio 4.- Existe una relación interesante entre un sistema masaresorte y un péndulo simple. Supongamos que se cuelga una masa M del extremo de un resorte, y que cuando la masa está en equilibrio, el resorte está estirado una distancia h. Demuestre que la frecuencia de este sistema masa-resorte es la misma que la de un péndulo simple de masa m y longitud h, aún cuando m ≠ M.

Constante del resorte k: Mg = kh ⇒ k =

Mg h

La frecuencia del sistema masa-resorte, está dada por

k ω M f = = = 2π 2π

Mg 1 g 1 h M h = = 2π 2π 2π

g h

Esta última expresión coincide con la frecuencia de un péndulo simple de longitud l = h.

Ejercicio 5.- Parcial de Ingeniería 2002 – Una partícula de masa 2,0 kg está unida a un resorte de constante elástica 72 N/m y se mueve a lo largo del eje x en un movimiento armónico simple. Se observa que en t = 0,0 s la velocidad de la partícula es máxima, igual a 4,2 m/s. Tomando x = 0,0 m como la posición de equilibrio del sistema, la ecuación de movimiento de la partícula es (con t medido en segundos y x medido en metros): a) x(t) = 1,4 sen (6,0 t) d) x(t) = 0,11cos (38 t)

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b) x(t) = 0,70 cos (6,0 t) e) x(t) = 0,70 sen (6,0 t)

c) x(t) = 0,11sen (38 t)

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Ejercicio 6.- Dos bloques (m = 1,22 kg y M = 8,73 kg) y un resorte (k = 344 N/m) están dispuestos sobre una superficie horizontal, sin fricción, como se muestra en la figura. El coeficiente de fricción estática entre los bloques es de 0,42. Halle la amplitud máxima posible del movimiento armónico simple sin que ocurra un desplazamiento entre los bloques.

Ejercicio 7.- Un bloque de masa M, en reposo sobre una mesa horizontal sin fricción, está unido a un soporte rígido por medio de un resorte de constante de fuerza k. Una bala de masa m y velocidad v golpea al bloque como se muestra en la figura. La bala se queda empotrada en el bloque. Determine la amplitud del movimiento armónico simple resultante en términos de m, M, v, y k.

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Ejercicio 8.- Un cilindro sólido está unido a un resorte horizontal sin masa de modo que puede rodar sin resbalar a lo largo de una superficie horizontal, como se ve en la figura. La constante de fuerza k del resorte es de 2,94 N/cm. Si el sistema parte del reposo desde una posición en que el resorte está estirado 23,9 cm, halle a) b)

c)

la energía cinética de traslación y la energía cinética de rotación del cilindro al pasar por la posición de equilibrio. Demuestre que en estas condiciones el centro de masa del cilindro efectúa un movimiento armónico simple con un período T = 2π

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3M , donde M es la masa del cilindro. 2k

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Ejercicio 9.- Un péndulo consta de un disco uniforme de 10,3 cm de radio y una masa de 488 g unido a una barra de 52,4 cm de longitud que tiene una masa de 272 g, según figura. a) Calcule la inercia rotatoria del péndulo respecto al pivote. b) ¿Cuál es la distancia entre el pivote y el centro de masa del péndulo? c) Calcule el período de oscilación para ángulos pequeños.

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Ejercicio 10.- Parcial de Ingeniería 2002- Una barra de de masa m = 2 kg y longitud L = 1 m está sujeta

en uno de sus extremos de tal forma que puede pivotear alrededor del punto O (ver figura). Se sabe que su centro de masa está ubicado a 3L/4 respecto al extremo O. Se la aparta un ángulo pequeño de su posición de equilibrio y se verifica que su período de oscilación es de 2,0 s. ¿Cuánto vale el momento de inercia de la barra respecto del centro de masa? a) 0,96 kg.m2 c) 1,15 kg.m2 e) 0,17 kg.m2

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b) 0,51 kg.m2 d) 0,36 kg.m2

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Ejercicio 11.- La figura muestra un pequeño disco delgado de radio r y masa m que está rígidamente unido a la cara de un segundo disco delgado de radio R y masa M. El centro del disco pequeño se localiza en el borde del disco grande, el cual está montado en su centro sobre un eje sin fricción en un plano vertical. El conjunto se hace girar un ángulo θ a partir de su posición de equilibrio y se suelta. a) Pruebe que la velocidad del centro del disco pequeño cuando pasa por la posición de equilibrio es

v =2

Rg (1 − cosθ ) 2+

b)

M r +  m R

2

.

Muestre que el periodo del movimiento es T = 2π

( M + 2m) R 2 + mr 2 2mgR

Solución

a) El sistema es conservativo, por tanto E = K + U = cte. K0 +U0 =Kf +Uf Eligiendo como U = 0 en la parte inferior tenemos que: K0 = 0 (se lanza desde el reposo) U0 = mgh = mg(R-Rcosθ) = mgR(1-cosθ) Uf = 0 1 Kf = I 0ω 2 2 2 2 v MR mr con: I0 = + + mR 2 y ω = R 2 2 2 2 2   1 MR mr ( M + 2m) R 2 + mr 2 2 v + + mR 2   = v mgR(1-cosθ) =  2 2 2  R  4R 2 Rg (1 − cos θ ) 4 gR (1 - cosθ ) v=2 ( 4 R 2 )(mgR (1 - cosθ ) ) 2 2 2 v = =M ⇒  r M r + 2 + 2  2+ +  ( M + 2m) R 2 + mr 2 m R m  R b) T = 2π

mT = M + m

T = 2π

IO mT gd CM dCM =

M .0 + m.R mR = m +M m +M

MR 2 mr 2 + + mR 2 ( M + 2m) R 2 + mr 2 2 2 = 2π 2 gmR  mR  ( M + m) g   m+M 

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Ejercicio 12.- (Examen Marzo 2009) - Un péndulo se forma haciendo girar varilla homogénea larga y delgada, de longitud L y masa M, alrededor de un punto de ella que está a una distancia x

L   0 < x <  de su 2 

centro. Si se varía dicha distancia x, el período T para las oscilaciones de pequeña magnitud, varían. ¿Para qué valor de x, es mínimo el período T? Sugerencia: exprese el período en función de la distancia x, y luego calcule su derivada respecto a x.

Periodo de un péndulo físico:

T = 2π

ML2 L2 + Mx 2 + x2 L2 + 12 x 2 12 12 = 2π = 2π Mgx gx 12 gx

IO I + Mx = 2π CM = 2π Mgx Mgx 2

El período es mínimo, cuando T2, es mínimo, es decir tenemos que determinar el mínimo de la L2 +12 x 2 f ( x) = función 12 gx

f ' ( x) =

24 x(12 gx) − ( L2 +12 x 2 )12 g

(12 gx ) 2

⇔ 24 x 2 − L2 − 12 x 2 = 0 ⇔ x =

⇒ f ' ( x) = 0 ⇔

24 x (12 gx ) − ( L2 +12 x 2 )12 g =0 (12 gx ) 2

L2 L = 12 12

Ejercicio 13.-(S.4a. 15.55) Un péndulo de longitud L y masa M tiene un resorte de constante elástica k conectado a él a una distancia h debajo de su punto de suspensión. Encuentre la frecuencia de vibración del sistema para valores pequeños de la amplitud θ. Suponga que la suspensión vertical de longitud L es rígida, pero de masa despreciable.

Solución

2da. Cardinal aplicada al punto de suspensión O: IOα = ∑τ O  = −MgLsenθ − kxh cos θ I Oθ x = hsenθ IO = ML2  = −MgLsenθ −kh 2 senθ cos θ ML2θ

Con la aproximación de pequeñas oscilaciones: sen θ ≈θ y cosθ ≈ 1  = −MgLθ −kh 2θ = −( MgL + kh 2 )θ ML2θ 2

MgL + kh θ = − θ = - ω2θ ML2

Por tanto

f=

ω 1 = 2π 2π

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MgL + kh 2 ML2

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Ejercicio 14.-Una esfera sólida de masa m y radio R rueda sin deslizar en un canal cilíndrico de radio 5R, como se muestra en la figura. 2

a) Pruebe que la energía cinética de la esfera vale K =

112mR 2  dθ    . 10  dt 

b) Demuestre que para pequeños desplazamientos θ desde el punto de equilibrio perpendicular a la longitud del canal, la esfera realiza un movimiento armónico simple con un periodo T = 2π

28R . 5g

Sugerencia: Exprese la energía mecánica para una posición genérica teniendo en cuenta que para pequeños desplazamientos angulares se verifica:

1 − cos θ ≈ que:

θ2 2

, y luego como la misma es constante, su derivada respecto al tiempo debe ser nula. Tenga en cuenta

( )

d 2 dθ θ = 2θ dt dt

2

y

d  dθ  dθ d 2θ   =2 dt  dt  dt dt 2

Solución a) Como rueda sin deslizar, la energía cinética tiene una componente de traslación y otra de rotación, con ω = K=

v R

v CM 2 1 1 1 2 mv CM 2 + I CM ω 2 =  mv CM + I CM 2  2 2 R2

 1  =  m + I CM  2  R2 

 v CM 2 

El centro de masa se mueve en una cfa. de radio igual a 4R ds dθ = 4R Por lo tanto s = 4Rθ ⇒ vCM = dt dt 2 2 El momento de inercia de la esfera vale I CM = mR 5 2  mR 2  1 5 m + K= 2 R2  

 2  2 2 dθ  112mR 2  dθ 1 2  1 7   dθ   dθ   4R  =  m + m 16 R 2  =  m 16 R 2  =     dt  2 5  2 5  10  dt   dt   dt  

  

2

b) El sistema es conservativo por tanto: K + U = E = cte Consideramos que en el punto más bajo la energía potencial es nula, por tanto la energía potencial para un punto genérico a un ángulo θ vale: U(θ) = mgh con h = 4R(1-cosθ), por otro lado la energía cinética en ese punto genérico vale: K( θ)= 2

112mR 2  dθ  112mR 2  dθ      , por tanto E = 4mgR (1-cosθ) + 10 10  dt   dt  Para pequeñas oscilaciones: 1 − cos θ ≈

θ2 2

θ 2 ⇒ E= 4mgR   2

2

 112mR 2  dθ  2 +    10  dt  

56 mR 2θ 2 + 2mgRθ2 5 56  + 2mgR 2θθ = 0 ⇒ 112 Rθ + 4 gθ = 0 ⇒ θ + 5 g θ = 0 ⇒ mR 2 2θθ Derivando respecto al tiempo 5 5 28 R 28 R 2π 5 g Por tanto T = ⇒ T = 2π θ + ω 2θ = 0 con ω = 5g ω 28 R cambiando la notación E=

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Ejercicio 15.- (Examen Agosto 2008)- La figura muestra un disco uniforme de radio R = 0,800 m y masa M = 6,00 kg, con un pequeño agujero a una distancia d del centro que puede servir de centro de pivote. Para un d particular, el período del péndulo físico es mínimo. ¿Cuánto debe valer la distancia d, para que el período valga T = 2,40 s?

Periodo de un péndulo físico:

T2 2 gd = R 2 + 2d 2 2 4π  gT 2 gT 2  2 ± 4π 2  4π d= 2

T = 2π ⇒

I0 = 2π Mgd

d2 −

MR 2 R 2 + 2d 2 + Md 2 T = 2 π ⇒ 2 2 gd Mgd

gT 2 R 2 + =0 2 4π 2

2

 R2  − 4 2 

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⇒

d=

 gT 2 gT 2  2 − 8π 2  8π

2

 R2  − = 0,278m 2 

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Ejercicios Opcionales 0.1.- Considere un resorte sin masa de constante de fuerza k en un campo gravitatorio uniforme y unamos a él un objeto de masa m. a) Demuestre que si x=0 marca la posición relajada del resorte, la posición de equilibrio estático está dada por x = mg/k (véase la figura) b) Demuestre que la ecuación de movimiento del sistema masa-resorte es

m

d2x + kx = mg dt 2

y que la solución para el desplazamiento en función del

tiempo es x=xmcos(ω t+φ )+mg/k, donde ω2=k/m como anteriormente. c) Demuestre por lo tanto que el sistema tiene las mismas ω, v, a ν y T en un campo gravitatorio uniforme y en ausencia de tal campo, con el único cambio de que la posición de equilibrio se ha desplazado en mg/k. d) Considere ahora la energía del sistema como ½ mv2 + ½kx2 + mg(h-x) = constante; y demuestre que la diferenciación respecto al tiempo conduce a la ecuación de movimiento de la parte (b). e) Demuestre que cuando el objeto cae desde x = 0 a la posición de equilibrio estático, x = mg/k, la pérdida de energía potencial gravitatoria va: una mitad a una ganancia en energía potencial elástica y la otra mitad a una ganancia en energía cinética. f) Por último, considérese al sistema en movimiento respecto a la posición de equilibrio estático. Calcule por separado el cambio de energía potencial gravitatoria y de la energía potencial elástica cuando el objeto se mueve hacia arriba con un desplazamiento xm, y cuando el objeto se mueve hacia abajo con un desplazamiento xm. Demuestre que el cambio total de la energía potencial es el mismo en cada caso, es decir, ½kxm2. A la vista de los resultados (c) y (f), podemos simplemente despreciar el campo gravitatorio uniforme en el análisis haciendo el cambio de la posición de referencia de x = 0 a x0 = x- mg/k = 0. La curva de la nueva energía potencial (U (x0)= ½kx02 + constante) tiene la misma forma parabólica que la curva de la energía potencial en ausencia de campo gravitatorio (U (x)= ½kx02).

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O.2.- En el ejercicio anterior, se suelta el objeto desde la posición del resorte relajado. Encontrar la velocidad en función de la posición. Hallar a velocidad máxima. Considere la longitud natural del resorte como l0.

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O.3.- Dos resortes están unidos a un bloque de masa m que puede deslizar libremente sobre una superficie horizontal sin fricción, como se muestra en la figura. Demuestre que la frecuencia de oscilación del bloque vale:

ν=

1 2π

k1 + k2 = ν 12 + ν 2 2 m

, donde ν1 y ν2 son las frecuencias a las

que oscilaría el bloque si se uniera solamente al resorte 1 o al resorte 2.

O.4.- (Parcial de Ingeniería 1998)-Un resorte colgado del techo tiene una longitud L0. Cuando se cuelga del mismo una masa m, el resorte adquiere un longitud L1. El período de las oscilaciones que verifica otra masa M = 2m, colgada del mismo resorte es: a) T = 2π

2 2π

L0 g

b) Faltan datos

c) T = 2π

L1 g

d) T = 2 2

π

L1 g

e) T =

L1 − L0 g

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O5.- (Examen Marzo 2005)- Una bala de m = 6,00 g se dispara horizontalmente contra un bloque de madera de M = 0,500 kg inicialmente en reposo, apoyado en e una mesa sin fricción. El bloque está conectado a un extremo de un resorte, cuyo otro extremo se apoya en una pared. La bala penetra el bloque, moviéndolo y comprime el resorte, de modo que el sistema bloque (con la bala) y resorte entra en un movimiento armónico simple, con una frecuencia f = 6,00 Hz y una amplitud A = 13,5 cm. ¿Cuánto vale la velocidad de la bala antes de penetrar el bloque?

Solución Velocidad máxima en el M.A.S.: Choque: mv =(M+m) vMAX Por tanto: v =

v MAX = Aω = 2π fA

siendo vMAX la velocidad luego del choque

M +m 500 + 6 2π fA = 2π 6(0,135) = 429 m/s m 6

Respuesta d) 429 m/s.

O.6.-(Examen Diciembre 2007) - Un objeto de masa m = 4,00 kg unido a un resorte oscila con un movimiento armónico simple en un plano horizontal con una amplitud A = 4,00 cm y con un periodo T = 1,50 s. ¿Cuánto vale la fuerza que ejerce el resorte, en la posición en que el objeto tiene una velocidad igual a la mitad de su valor máximo?

2

1 1 1 1  2 mv MAX = kx 2 + m v MAX  ⇒ 2 2 2 2 

entonces x = ± F=

1 2 13 2 3 31  kx =  mv MAX = E =  kA 2  2 24 4 42 

4π 2 k = mω = 2 m T

3 3 A=± A 4 2

2

4π 2 m 3 A = 2,43 N 2 T2

m (kg)

T (s) 4 4 4 4 4

A (cm) F (N) 1,5 4 1,5 3 1,2 4,8 1 4 1 6

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2,431V1 1,823V2 4,559V3 5,470V4 8,205

B A C

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P O.7.-(Examen Agosto 2006) Un disco de masa M = 2,10 kg y radio R = 20,0 cm está rígidamente unido a una masa puntual de valor m = 0,200 kg por una barra de masa despreciable y longitud a = 50,0 cm con extremos en el centro del disco y en dicha masa puntual. Todo el sistema está contenido en un plano vertical como se muestra en la figura, y puede girar libremente alrededor de ejes normales al plano por Q o por P, siendo Q el punto del borde del disco ubicado sobre la barra y P el punto diametralmente opuesto. ¿Cuánto vale el cociente entre los períodos de las pequeñas oscilaciones del sistema en torno a los dos ejes mencionados por P y Q respectivamente

Periodo para un péndulo físico: T = 2π

TP = TQ

IP mT gd CMP IQ

=

M R

TP ? TQ

Q

IO mT gd CM

a m

I P d CMQ I Q d CMP

mT gd CMQ Sea dCM la posición del CM del conjunto medida desde el centro: ( M + m) d CM = ma ⇒ d CM =

0,200 10 m (50,0) = a= cm 2,10 +0,200 2,30 M +m

Sea dCMP la distancia del centro de masa al punto P: dCMP = R + dCM Análogamente: dCMQ = R - dCM MR 2 3MR 2 + MR 2 + m( R + a ) 2 = + m( R + a ) 2 2 2 MR 2 3MR 2 = + MR 2 + m( a − R) 2 = + m( a − R ) 2 2 2

IP = IQ

TP = TQ

I P d CMQ I Q d CMP

 3MR 2   + m( R + a ) 2 ( R − d CM  2   =  2  3MR   + m(a − R ) 2 ( R + d CM  2   

) )

=

 3( 2,10)(20,0) 2  10   + (0,200)(20,0 + 50,0) 2  20,0 −     2 2,30     2  3( 2,10)(20,0)  10   + (0,200)(50,0 − 20,0) 2  20,0 +     2 2,30    

 (1260 + (0,200)(70,0) ) 20,0 − 210  ,30  2

TP = TQ

  = 10  2  1260 + (0,200)(30,0)   20,0 + 2,30    

(

Repartidos de ejercicios -2011 rev1

)

35060,8696 35060,8696

=1

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Física I para Licenciaturas de Física y Matemáticas

Repartidos de ejercicios -2011 rev1

Facultad de Ciencias - Instituto de Física

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Física I para Licenciaturas de Física y Matemáticas

Facultad de Ciencias - Instituto de Física

O.8.- Un leño (cilindro de madera) lleva una carga de plomo en un extremo de modo que flota en posición erecta en el agua. La longitud de la parte sumergida es L = 2,56 m. El leño es puesto a oscilar verticalmente (se lo hunde un poco de su posición de equilibrio). Pruebe que la oscilación es armónica simple y halle el período de las oscilaciones. Desprecie el hecho de que el agua tiene un efecto amortiguador y considere que el leño se mantiene siempre vertical

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