2011-12_Mechanika II.SZILARDSAGTAN
September 11, 2017 | Author: Andor Kovács | Category: N/A
Short Description
Download 2011-12_Mechanika II.SZILARDSAGTAN...
Description
Mechanika II. SZILÁRDSÁGTAN
Dr. Legeza László - Dr. Goda Tibor Gépszerkezettani és Biztonságtechnikai Intézet
Irodalom: Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan, Műszaki könyvkiadó, Bp. 1981 Kósa Csaba: Rugalmas rendszerek mechanikája (Műszaki Mechanika II) 1. Szilárdságtani alapfogalmak 1.1. A szilárdságtan tárgya és feladata A szilárdságtan a szerkezetek és gépek méreteinek meghatározásához szükséges összefüggéseket kutatja. A terhelésnek kitett részek méreteinek számítással történő meghatározása a méretezés. A szilárdságtan feladata a méretezéshez szükséges eljárások és összefüggések kidolgozása. A statika merev testekkel foglalkozik, a szilárdságtan rugalmas szilárd testekkel. Csak a statikus terhelésről lesz szó. A szerkezeti elem anyaga feltételeink szerint • Folytonos tömegeloszlású (kontinuum) • Homogén (fizikai tulajdonságai minden pontban azonosak) • Izotróp (az anyag minden irányban azonosan viselkedik) Elemi szilárdságtan az egyenes tengelyű, állandó keresztmetszetű (prizmatikus) rudak tiszta húzásával, nyomásával, nyírásával, hajlításával és csavarásával foglalkozik. 1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
2
1.2. Az anyag szilárdsági tulajdonságai A szilárd testre ható terhelés alakváltozást eredményez. Húzókísérlet próbapálcával, húzódiagram: Az O-a szakasz az arányossági szakasz, melyre érvényes:
F = c0 ⋅ ∆l
Ezt a törvényszerűséget Hooke fedezte fel. Az elemi szilárdságtan az arányossági határon belül érvényes. Leterheléskor a diagram visszatér az origóba, ezt a tulajdonságot rugalmasságnak nevezzük. Fajlagos nyúlás az egységnyi hosszú rúddarab hosszváltozása:
l1 − l 0 ∆l ε= = l0 l0 1. változat
Δl az l0 hosszú rúd megnyúlása.
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
3
1.3. Fajlagos belső erő: feszültség A külső erők hatására belső erők keletkeznek. A próbapálcát képzeletben elvágva a külső erővel a belső erők tartanak egyensúlyt, melyek az elvágási keresztmetszetben egyenletesen oszlanak meg, intenzitásuk σ.
d B = σ ⋅ dA F + ∫ σ ⋅ dA = 0 ( A)
Ha a belső erők intenzitásfüggvénye állandó, akkor
− F + σ ⋅ A0 = 0
σ=
F A0
ahol σ a keresztmetszet felületegységére jutó erő, röviden feszültség. 1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
4
A σ -ε diagram csak a vizsgált anyag minőségétől függ.
- arányossági határ σP σF (ReH) - folyási határ σB (Rm) - szakítószilárdság
Megállapodásszerűen a rugalmassági határ az a feszültség, mely 0,02% maradó nyúlást okoz, jele σ0,02. Arányossági határ a 0,05% maradó nyúláshoz tartozó feszültség, jele σ0,05. A terhelt állapotban mért egyezményes folyáshatár nyúlása 0,2%, jele σ0,2 vagy RP0,2. 1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
5
1.4. Az egyszerű Hooke-törvény A rugalmas tartományban az egyenes szakaszban az iránytangens állandó.
F = áll. ∆l Mivel l0 és A0 is állandóak, ezért
F / A0 σ = = áll. ∆l / l 0 ε Az állandó értékét rugalmassági modulusnak nevezzük, jele: E. Az egyszerű Hooke-törvény:
σ = E ⋅ε Ez a szilárdságtan alaptörvénye. A rugalmassági modulus adott anyagra adott hőmérsékleten állandó.
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
6
1.5. A keresztirányú méretváltozás A húzott rúd keresztirányban is megváltozik. A kísérletek szerint a hossz- és keresztirányú nyúlások aránya állandó:
εK = ν (= µ ) = állandó ε A rövidülés miatt mínusz előjellel
ε K = −ν ⋅ ε Ahol υ a Poisson-tényező, értéke szerkezeti anyagoknál 0,25÷0,4. A rúdból az egységnyi elemi kocka térfogatváltozása:
∆V = (1 + ε )(1 − ε K )(1 − ε K ) − 1 = 1 − 2ε K + ε K + ε − 2εε K + εε K − 1 ≅ 2
2
≅ ε − 2ε K = ε (1 − 2ν )
Mivel a húzás térfogat növekedéssel (ΔV>0) jár, ezért ν < 0,5. Képlékeny alakváltozáskor ν ≈ 0,5 . 1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
(ε ⋅ ε ≈ 0) 7
1.6. A csúsztatófeszültségek és dualitásuk A σ feszültség merőleges a keresztmetszet síkjára. A keresztmetszet síkjában ébredő fajlagos belső erőt csúsztató vagy nyírófeszültségnek nevezzük, jele: τ, és
τ= V=
V A
∫ d B = ∫τ ⋅ dA
( A)
1. változat
( A)
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
8
Terhelje egy befogott kocka egyik lapját τ feszültség, mely szögváltozást okoz:
A nyírásra vonatkozó Hooke-törvény:
τ = G ⋅γ
ahol G - csúsztató rugalmassági modulus. 1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
9
Az A pontra felírható nyomatékegyensúlyi egyenlet:
− τ (dy ⋅ dz ) dx + τ 1 (dx ⋅ dz ) dy = 0
Amiből τ = τ1 adódik, ez a τ feszültségek dualitásának elve. Ha valamely síkban τ feszültség ébred, akkor az erre merőleges síkban is ébred ugyanakkora τ feszültség.
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
10
1.7. A rugalmas anyagjellemzők összefüggése Az anyag rugalmas viselkedését kifejező
σ = E ⋅ε τ = G ⋅γ ε K = −ν ⋅ ε egyszerű törvények anyagállandói nem függetlenek egymástól. Milyen összefüggés van köztük?
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
11
Az A1D1 jelű sík tiszta nyírásnak van kitéve.
F1 = F2 =
σ ⋅ l2 2
Az erőábráról:
V = 2 ⋅ F1 =
2 ⋅σ ⋅ l2 2
A V erő A0 felületen oszlik meg:
A0 =
2 2 ⋅l 2
Amit felhasználva a csúsztató feszültség:
1. változat
τ=
V =σ A0
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
12
Most az alakváltozást vizsgáljuk: A σ1 hatására az AD nyúlik, az AB csökken. A σ2 hatására az AD nyúlik, az AB csökken.
∆l1 = ∆l2 =
σ1 E
⋅ l −ν
σ2
⋅ l −ν
σ1
σ2 E
E
E
⋅l ⋅l
Mivel σ 2 = −σ 1 = −σ , ezért a fenti két egyenlet:
∆l1 =
1 +ν σ ⋅l E
1. változat
∆l2 = −
1 +ν σ ⋅l E
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
13
Látszik, hogy
′
∆l1 = ∆l2 := ∆l .
′
Az A1 OD1 ∆ -ből:
∆l l ∆l 1+ + π γ l tg + = 2 2 = 4 2 l − ∆l 1 − ∆l l 2 2 A két szög összegének tangensére vonatkozó trigonometrikus összefüggés alapján, és mert γ szög igen kicsi, tehát tg
tg
π
+ tg
γ
1+
γ
γ 2
≈
γ 2
, így:
π γ 4 2 ≅ 2 tg + = 4 2 1 − tg π tg γ 1 − γ 4 2 2 A két eredmény jobb oldalának egyenlősége alapján:
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
∆l γ = 2 l 14
Előző eredmények voltak:
∆l 1 + ν = σ; l E
τ =σ;
γ=
τ G
Ezeket is felhasználva:
1 +ν τ σ = σ= E 2G 2G Amiből
E = 2G (1 +ν ) A Poisson-tényező kísérleti meghatározása körülményes, ezért a másik kettőből számolják.
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
15
2. Bevezetés a rugalmasságtanba 2.1. Az általános feszültségállapot A külső terhelések a test P pontjában az n normálisú felületelemen ρn feszültséget ébresztenek.
∆B d B = ∆A → 0 ∆A dA
ρ n = lim
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
16
Azaz
ahol ρn az n normálisú felületelemhez tartozó feszültségvektor (fajlagos belső erő). A ρn és n vektorok szöge ϑ :
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
17
σ n = ρ n cosϑ τ n = ρ n sin ϑ
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
18
A P ponthoz tartozó feszültségvektorok összessége a feszültségállapotát jelenti, ez kétváltozós vektor-vektor függvény:
P
pont
ρ = ρ (r, n ) Chauchy-féle reciprocitási tétel: ρ nm = ρ mn Vektoriálisan: ρ n ⋅ m = ρ m ⋅ n 1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
19
Azaz ha egy n irányú egységvektorhoz ρn feszültségvektor tartozik, m-hez ρm, akkor a feszültségvektoroknak a másik egységvektorra eső derékszögű vetületeik nagyságra és előjelre nézve egyenlők. Például a ρn feszültségvektornak az n normálisra eső vetülete σn:
ρ nn = ρ n ⋅ n = σ n
ρ x = ρ xx = σ x ρ τ xy xy ρ xz τ xz ρ y = ρ yx = τ yx ρ yy σ y ρ yz τ yz ρ z = ρ zx = τ zx ρ τ zy zy ρ zz σ z 1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
20
A reciprocitási tétel értelmében ρxy=ρyx, azaz τxy=τyx, visszakaptuk a dualitási tételt. A P pont feszültségállapotának jellemzésére hat skalár szükséges:
σ x , σ y , σ z , τ xy , τ yz , τ zx
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
21
Ha egy tetszőleges irányú n egységvektor az xyz koordináta rendszerben a tengelyekkel α, β, γ szöget zár be, akkor
cos α n = cos β cos γ
Az n normálisú felületelemhez tartozó ρn feszültségvektor:
ρ n = ρ nx i + ρ ny j + ρ nz k
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
22
A reciprocitási tétel értelmében
ρ nx = ρ n ⋅ i = ρ x ⋅ n ρ ny = ρ n ⋅ j = ρ y ⋅ n ρ nz = ρ n ⋅ k = ρ z ⋅ n Ezzel
ρ n = ρ x ⋅ n ⋅ i + ρ y ⋅ n ⋅ j + ρ z ⋅ n ⋅ k = ρ x ⋅ cos α + ρ y ⋅ cos β + ρ z ⋅ cos γ =
[
= ρx
ρy
ρz
]
cos α σ x τ yx τ zx cos α = T ⋅n cos β = τ cos σ τ β xy y zy cos γ τ xz τ yz σ z cos γ
Ahol T a P pontbeli feszültségtenzor. A feszültségállapot a feszültségtenzor mátrixával adható meg. 1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
23
A feszültségtenzor ismeretében egy tetszőleges n normálisú síkhoz tartozó feszültségvektor:
ρn = T ⋅n A ρn vektornak n normálisú síkra ┴ összetevője:
σ n = n ⋅ ρ n = n ⋅ (T ⋅ n ) A felületelem síkjában ébredő τn feszültség legegyszerűbben Pithagorasztételével számolható:
τ n = ρ n2 − σ n2 ahol
ρ n2 = ρ nx2 + ρ ny2 + ρ nz2
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
24
2.2. A főfeszültségek Az n normálisú felületelemhez tartozó ρn feszültségvektor ϑ szöget zár be n irányával. Kérdés, hogy van-e olyan helyzetű felületelem a pont környezetében, amelyre ϑ =0. E speciális felületelemre τn=0, tehát
ρn = σn ⋅ n Az előzőek alapján
ρn = T ⋅ n azaz
T ⋅ n = σn ⋅ n Továbbiakban az n indexet elhagyjuk:
( T − σ E )n = 0 1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
25
(A lineáris egyenletrendszer ismeretlenjei σ és az n három eleme (l, m, n). Negyedik egyenlet, hogy l 2 + m 2 + n 2 = 1 .) Az egyenletrendszernek triviálistól különböző megoldása akkor van, ha
det ( T − σ E ) = 0 azaz
(σ x −σ ) τ yx τ zx
(σ
τ xy y
−σ
τ zy
)
τ xz τ yz
(σ z −σ )
=0
A determináns karakterisztikus egyenlete:
σ 3 − TI σ 2 + TIIσ − TIII = 0 ahol TI, TII és TIII a T feszültségtenzor skalár invariánsai, értékük nem függ a koordinátarendszer felvételétől.
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
26
TI = σ x + σ y + σ z TII = σ x τ xy + σ y τ yz + σ z τ zx = τ τ σ σ σ x y zy z τ xz yx = σ xσ y + σ yσ z + σ zσ x − τ xy2 + τ yz2 + τ zx2
(
)
(
TIII = σ x τ xy τ xz = σ xσ yσ z + 2τ xyτ yzτ zx − σ xτ yz2 + σ yτ zx2 + σ zτ xy2 τ σ τ y yz yx τ zx τ zy σ z
)
Bebizonyítható, hogy a karakterisztikus egyenlet mindhárom gyöke valós:
σ1 > σ 2 > σ 3 A feszültségtenzor sajátértékei a főfeszültségek, a sajátértékhez tartózó sajátvektorok pedig a főirányok. Meghatározásuk alapegyenlete:
( T − σ i E )⋅ ni = 0 1. változat
( i = 1, 2, 3 ) Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
27
Mivel a zárójelben lévő mátrix determinánsa zérus, a fenti egyenlet csak két egymástól független egyenletet jelent, fel kell használni az n i = 1 egyenletet is. Az n1 , n 2 és n 3 jelentik a főfeszültségek irányait. Ezek merőlegesek egymásra. Bizonyítása:
ρ 1 = σ 1 ⋅ n1 ρ 2 = σ 2 ⋅ n2 A reciprocitási tétel:
ρ 1 ⋅ n 2 = ρ 2 ⋅ n1 Behelyettesítve:
( σ 1 ⋅ n1 ) ⋅ n 2 = ( σ 2 ⋅ n 2 ) ⋅ n1 ( σ 1 − σ 2 ) ⋅ n1 ⋅ n 2 = 0 Ez csak akkor lehet, ha síkok.
1. változat
n1 ⊥ n 2 . A főirányokra merőlegesek a főfeszültségi
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
28
A főirányok koordinátarendszerében a feszültségi tenzor mátrixa:
T = σ1 0 0 0 σ 0 2 0 0 σ 3
A legáltalánosabb feszültségállapot térbeli, ezt háromtengelyű feszültségállapotnak nevezik. A főfeszültségekkel a feszültségtenzor skalár invariánsai:
TI = σ 1 + σ 2 + σ 3 TII = σ 1 ⋅ σ 2 + σ 2 ⋅ σ 3 + σ 3 ⋅ σ 1 TIII = σ 1 ⋅ σ 2 ⋅ σ 3
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
29
A vizsgált test egy adott pontján átfektetett minden síkhoz tartozik egy feszültségvektor, amit síkra merőleges σ és síkba eső τ összetevőre lehet bontani. Vagyis minden síkhoz tartozik egy (σ,τ) értékpár. Ezek alapján egy σ-τ koordinátarendszerben minden síknak megfelel egy pont.
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
30
Az adott ponton átfektetett különböző állású síkoknak megfelelő pontok három körív által határolt tartományon helyezkednek el. A körök középpontjai rajta vannak a σ tengelyen; a pontok, amelyeknél a körök metszik a tengelyt feszültségi fősíkoknak felelnek meg, mivel τ koordinátájuk zérus.
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
31
Ha a feszültségi állapot megadásához felhasznált három sík közül valamelyik sík feszültségi fősík, akkor a körök megszerkeszthetők és a másik két főfeszültség meghatározható. Példa: t.f.h. σ y < σ z < σ x és a z normálisú sík feszültségi fősík.
σ ( x, y, z )
1. változat
σ x τ yx 0 = τ xy σ y 0 0 0 σ z
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
32
σO =
σx + σy 2
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ3 1. változat
σ1 = σ0 + R σ2 = σz σ3 = σ 0 − R Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
33
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
34
2.3. A feszültségállapot Mohr-féle ábrázolása Ha ismerjük a főfeszültségeket és a főirányokat, akkor egy tetszőleges n normálisú felületelemhez tartozó ρn feszültségvektor:
ρ n = T ⋅ n = σ 1 0 0
0
σ2 0
0 cos α = σ 1 cos α 0 cos β σ 2 cos β σ 3 cos γ σ 3 cos γ
Speciális esetben n vektor az xy síkban van, tehát
γ = 90
⇒ cos γ = 0
β = 90 − α ⇒ cos β = sin α
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
35
σ n = ρ n ⋅ n = σ 1 cos α cos α = σ 1 cos 2 α + σ 2 sin 2 α σ sin α ⋅ sin α 2
0
0
τ n = ρ − σ = ( σ cos α + σ sin α − σ cos α − 2σ 1σ 2 sin α cos α − σ sin α 2 n
(
2 n
2 1
2
2 2
2
2 1
4
2
= σ sin α cos α − 2σ 1σ 2 sin α cos α + σ sin α cos α =
2 1
2
2
2
2
2 2
2
2
)
1 2
2
2 2
4
)
=
( σ 1 − σ 2 )2 sin 2 α cos 2 α = ( σ 1 − σ 2 )sin α cos α
Trigonometrikus azonosságok felhasználásával és az n index elhagyásával:
σ=
σ1 + σ 2
+
σ1 − σ 2
2 2 σ −σ τ = 1 2 sin 2α 2
1. változat
cos 2α
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
36
1 2
=
Felhasznált összefüggések:
1 − cos 2α 1 + cos 2α ; cos 2 α = 2 2 sin 2 α − cos 2 α = − cos 2α sin 2 α =
Átrendezve, négyzetre emelve és összeadva:
σ +σ2 σ −σ2 2 +τ = 1 σ − 1 2 2 2
1. változat
2
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
37
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
38
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
39
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
40
2.4. A térbeli alakváltozás
Elmozdulás-függvények:
u = u ( x, y , z ) v = v ( x, y , z ) z = z ( x, y , z )
Feltételezzük, hogy az alakváltozás során nem keletkezik lyuk, repedés, az elmozdulás-függvények folytonosak.
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
41
Taylor-sor:
f ( x ) = f (0 ) + f
' (0)
x+ f
'' (0)
n x2 (n) x + ... + f ( 0 ) n! 2!
Az N pont elmozdulásvektora u ( r + a n ) sorbafejtve az első két tag megtartásával:
u ( r + an ) ≈
( )
∂u ∂u ∂u ≈u r + a l+ m+ n ∂z ∂y ∂x ahol
n = l m n
Mivel u = u i + v j + wk , ezért:
1. változat
∂u ∂u ∂v ∂w = i+ j+ k ∂x ∂x ∂x ∂x
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
42
Ezekkel a szögletes zárójelben lévő kifejezés:
∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂v ∂v ∂v l m n l m n i l m n j+ + + = + + + + + ∂x ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y ∂y ∂z ∂w ∂w ∂w l+ m+ n k = ∂u + ∂x ∂z ∂y ∂x ∂v ∂x ∂w ∂x
∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y
∂u l = D ⋅ n ∂z ∂v m ∂z ∂w n ∂z
azaz ezzel
( )
u ( r + an ) ≈ u r + a D n ahol D az u elmozdulásvektor szimmetrikus tenzor. 1. változat
derivált
tenzora.
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
Általában
nem
43
P pontból kétféle vektorösszegzéssel juthatunk N’-be:
u ( r ) + a' n = an + u ( r + an) '
u ( r )+ a D n
azaz
a' n = an + a D n '
Az a-val osztva rendezés után:
a' ' n − n = D n = tn a ahol tn az n irányhoz tartozó alakváltozás vektora. A derivált tenzor ( D ) felbontható egy szimmetrikus és egy antiszimmetrikus tenzor összegére:
(
) (
)
1 1 T T D = D+D + D−D 2 2 S
1. változat
T
Ahol D a D transzponáltja (sorok és oszlopok felcserélve!)
V
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
44
S az alakváltozási tenzor, V a forgástenzor v. verzor. Igazolható, hogy a V tenzorral leképzett vektorok hossza és egymással bezárt szöge nem változik, azért az origó P pontba helyezésével figyelmen kívül hagyható V . Ezzel az alakváltozás vektora:
tn = S ⋅ n
a' a' − a n t n = lim − 1 = lim = εn a→0 a → 0 a a
és n n = cos ϑ ≅ 1 '
Az n irányú fajlagos nyúlás:
εn = n ⋅tn = n ⋅ S ⋅ n
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
45
Legyen m az n-re ┴ egységvektor.
(
)
a' a' ' m t n = m S n = m n = cos 90 − ϑmn = a a a' = sin ϑmn ≈ ϑ a a' mert m n = 0 és lim = 1 a →0 a Az n egységvektorhoz tartozó alakváltozási vektor m irányú vetülete:
ϑnm = m ⋅ t n = m ⋅ S ⋅ n Hasonlóan
ϑmn = n ⋅ t m = n ⋅ S ⋅ m 1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
46
Az egymásra ┴ n és m szögváltozása:
γ mn = ϑmn + ϑnm = 2ϑmn = γ nm azaz
1 1 γ nm = m ⋅ t n = n ⋅ t m = γ mn 2 2 Most térjünk vissza az S tenzorra:
(
)
∂u 1 T S = D+ D = ∂x 2 1 ∂v ∂u 2 ∂x + ∂y 1 ∂w ∂u 2 ∂x + ∂z 1. változat
1 ∂u ∂v + 2 ∂y ∂x ∂v ∂y 1 ∂w ∂v + 2 ∂y ∂z
1 2 1 2
∂u ∂w + ∂z ∂x ∂v ∂w + ∂z ∂y ∂w ∂z
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
47
Az x tengely irányába eső alakváltozás vektora:
tx = S i =
∂u 1 ∂v ∂u 1 ∂w ∂u j + + i + + ∂x 2 ∂x ∂y 2 ∂x ∂z
k
Az x-irányú nyúlás:
εx = i ⋅tx =
∂u ∂x
Az i és j derékszögben álló vektorok szögváltozása:
1 1 ∂v ∂u γ xy = j ⋅ t x = + 2 2 ∂x ∂y Az i és k vektorok szögváltozása:
1 1 ∂w ∂u γ xz = k ⋅ t x = + 2 2 ∂x ∂z 1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
48
Hasonlóan számolható az S tenzor többi eleme, így
S = εx 1 γ xy 2 1 γ 2 xz
1 γ yx 2
εy 1 γ yz 2
1 γ zx 2 1 γ zy 2 εz
Szimmetrikus mátrix. A P pont alakváltozási állapotát hat adat jellemzi:
ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
49
2.5. Az alakváltozás főtengelyei, főnyúlások Kérdés: van-e P körül olyan irány, amely az alakváltozás során változatlan marad? Ha van, akkor
tn = ε n Másrészt viszont t n = S n , ezzel:
S ⋅n =ε ⋅n
( S − ε E )n = 0 det ( S − ε E ) = ε
−ε
1 γ xy 2 1γ 2 xz
1. változat
x
1 γ yx 2
εy −ε 1 γ yz 2
= 0 εz −εy 1 γ zx 2 1 γ zy 2
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
50
A karakterisztikus polinom:
ε 3 − S I ε 2 + S II ε − S III = 0 ahol
SI = ε x + ε y + ε z S II = ε x 1 γ yx 2 S III = det ( S
1 + γ xy εy 2 1 ε y γ zy 2
1 + γ yz εz 2 1 ε z γ xz 2
1 γ zx 2 εx
)
A gyökök a főnyúlások:
ε1 ≥ ε 2 ≥ ε 3
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
51
A főnyúlások irányába eső egységvektorok meghatározása:
( S − ε i E )ni = 0 li2 + mi2 + ni2 = 1 n i = li m i ni A főtengelyek koordináta-rendszerében az alakváltozási tenzor mátrixa:
S = ε1 0 0 0 ε 0 2 0 0 ε 3
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
52
2.6. A feszültség- és alakváltozási állapot kapcsolata A rugalmas anyagok jellemzői közötti kapcsolat:
E = 2G ( 1 + υ ) Elemi szilárdságtanban, egytengelyű húzás esetén a feszültségtenzor mátrixa:
T = σ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 azaz σ 2 = σ 3 = 0 Érvényes, hogy
ε1 =
σ1 E
; ε 2 = ε 3 = −υε1 = −υ
1. változat
σ1 E
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
53
Ezekkel az alakváltozási tenzor:
S = ε1 0 0 ε 2 0 0
σ
1 0 = 1 0 E 0 0 − υ 0 0 ε 3
0 = 0 − υ
υσ 1 1+υ + − 1 0 0 = σ 0 0 E 1 E 0 −1 0 0 0 0 0 0 − 1 0 0 0 υσ 1+υ = T− 1E E E =
Mivel a feszültségtenzor első skalár invariánsa TI = σ 1 , ezért ( 1 + υ ) / E kiemelése után:
S=
1+υ υ T − T E I 1+υ E
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
54
Ha az x és y normálisú síkon csak τ feszültség ébred, akkor
T = 0 τ yx τ xy 0 0 0
0 0 0
τ xy = γ A τ feszültségek xy szögtorzulást okoznak, így az alakváltozási tenzor G
mátrixa:
S = 0 1 γ xy 2 0
1. változat
1 γ yx 2 0 0
= 1 0 τ yx 0 2G τ xy 0 0 0 0 0
0 = 1 T 2G 0 0
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
55
Mivel 1 / 2G = ( 1 + υ ) / E , és most TI = 0 , ezért most is igaz, hogy
S=
1+υ υ T − T E I E 1+υ
Ez az általános Hooke-törvény. (A szuperpozíció elve miatt általánosítható az alkalmazott levezetés.) Szokásos még az
S=
1 υ T − T E I 2G 1+υ
felírás is. Az általános Hooke-törvény másik alakja:
T=
υ E S + S E I 1 + υ 1 − 2υ
illetve
υ T = 2G S + SI E 1 − 2υ
Fő alkalmazás: feszültség mérése nyúlásmérő bélyeggel. 1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
56
Pl.: A z irányban nincs szögváltozás, de van fajlagos nyúlás.
S = εa 1 γ xy 2 0
1 γ yx 2
εc 0
0 0 εz
(ε x = εa ; ε y = εc ) T = σ 1 0 0 σ 2 0 0 υ ( ε1 + ε 2 + ε 3 ) 0 0 E ε 1 + = 1 − 2υ 1+υ υ (ε1 + ε 2 + ε 3 ) ε2 + 0 0 1 − 2υ υ ( ε3 + ε1 + ε 2 + ε 3 ) 0 0 1 − 2υ υ E S S E = + = I 0 1 + υ 1 − 2υ 0 0
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
57
A b irányba mutató egységvektor:
nb =
2 2 i+ j 2 2
A hozzá tartozó alakváltozás vektora:
t b = S ⋅ nb = ε a 1 γ xy 2 0
1 γ yx 2
εc 0
2 / 2 = 2 / 2 1 0 ε γ yx + a 2 0 2 / 2 1 ε z 0 γ ε + xy c 2
A b irányú nyúlás:
ε b = nb ⋅ t b = 1. változat
εa + εc 2
+
γ xy 2
ahonnan
ε +ε 1 1 γ xy = γ yx = ε b − a c 2 2 2
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
58
Ezzel
S = εa εa + εc ε b − 2 0
εb −
εa + εc 2
εc 0
0 0 εz
Célunk a főnyúlások meghatározása:
det ( S − ε E ) = 0 εa − ε ε +ε ε b − a c 2 0 1. változat
εb −
εa + εc 2
εc − ε 0
0 = 0 0 εz −ε Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
59
Az utolsó sor eleme szerint kifejtve: 2 2 εa + εc ( ε z − ε ) ε − ε ( ε a + ε c ) + ε aε c − ε b − 2
= 0
A minket érdeklő főnyúlások:
ε1 = A + B ε2 = A − B
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
60
Elrendezés
A és B
A=
εa + εc
2 2 B= 2 A= B=
1. változat
1 és „a” szöge
( ε a − ε b )2 + ( ε c − ε b )2
tg 2ϕ =
2ε b − ε a − ε c εa − εc
tg 2ϕ =
3 ( εb − εc ) 2ε a − ε b − ε c
εa + εb + εc 3 1 3
( 2ε a − ε b − ε c )2 + 3 ( ε b − ε c )2
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
61
A test felszínén a harmadik főnyúlás:
ε3 = −
T=
υ 1−υ
( ε1 + ε 2 )
υ E E (ε1 + ε 2 + ε 3 ) 1 0 0 + ⋅ ε1 0 0 1+υ 1 + υ 1 − 2υ 0 1 0 ε 0 0 2 0 0 1 0 0 ε 3
ε1 + ε 2 + ε 3 = ε1 + ε 2 −
1. változat
υ 1 −υ
(ε1 + ε 2 ) = (ε1 + ε 2 )1 −
υ 1 − 2υ (ε1 + ε 2 ) = 1−υ 1−υ
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
62
Ezekkel:
E Eυ (ε1 + ε 2 ) 1 0 + ε1 0 0 2 1+υ 1−υ 0 1 0 ε 0 2 υ 0 0 0 0 − ( ε1 + ε 2 ) 1−υ E = ε ( 1 − υ ) + υ (ε1 + ε 2 ) 0 1 − υ 2 1 ε 2 ( 1 − υ ) + υ (ε1 + ε 2 ) 0 0 0 E = ε + υε 2 0 0 = σ 1 0 0 1 − υ 2 1 0 σ 0 ε υε + 0 0 2 1 2 0 0 0 0 0 0
T=
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
0 = 0 1 0 = 0 0
63
azaz
σ1 =
E ( ε1 + υε 2 ) 2 1−υ
σ2 =
E ( ε 2 + υε1 ) 1−υ 2
Mivel σ3=0, ezért sík feszültségállapotról beszélünk. Az ehhez tartozó alakváltozási állapot nem sík. Sík alakváltozási állapot feszültség és alakváltozás tenzora:
S = ε x 1 γ xy 2 0
1 γ yx 2
εy 0
0 0 0
T = σ x τ yx 0 τ 0 σ xy y 0 0 σ z
Ez akkor lehet, ha a test mérete z irányban nem változhat meg. 1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
64
2.7. Az alakváltozási energia A rugalmas alakváltozáskor a külső erőrendszer által végzett munka a testben belső energiaként halmozódik fel, ez az alakváltozási energia. Ha a ΔV térfogatelemben felhalmozódott energia ΔU, az energiasűrűség:
∆U dU = ∆V →0 ∆V dV
u = lim
Tiszta húzás esetén:
1 u = σ ⋅ε 2 Tiszta nyírás esetén:
1 u = τ ⋅γ 2 Általánosan:
1. változat
1 (σ xε x + σ yε y + σ zε z + τ xyγ xy + τ yzγ yz + τ zxγ zx 2 1 u = T ⋅ ⋅S 2 u=
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
) 65
Két tenzor skaláris szorzatát kaptuk:
S=
υ 1 T − T E I 2G 1+υ
Ezzel
u=
1 υ 2 T T TI ⋅ ⋅ − 4G 1+υ
mivel
T ⋅ ⋅E = σ x + σ y + σ z = TI Kifejtve:
u=
υ 1 2 2 2 2 2 2 (σ x + σ y + σ z σ σ σ τ τ τ 2 + + + + + − x y z xy yz zx 4G 1+υ
1. változat
(
) (
)
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
)
2
66
A főfeszültségekkel ugyanez, felhasználva, hogy E = 2G ( 1 + υ )
u=
[(
)
1 σ 12 + σ 22 + σ 32 − 2υ ( σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1 ) 2E
1. változat
]
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
67
3. Húzó és nyomó igénybevétel 3.1. A feszültségek vizsgálata
F − ∫ σ z dA = 0 Feltételezzük, hogy σz=állandó, így
F = σ z ∫ dA = σ z A azaz
σz =
F A
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
68
A feszültségtenzor:
(σ
x
=σy = 0)
T = 0 0 0 0 0 0 0 0 σ z
Mohr-kör:
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
69
Nyomó igénybevételnél a σz feszültség negatív, ezért a Mohr-kör:
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
70
3.2. Az alakváltozás vizsgálata
1+υ υ 1+υ υσ z T T E − = I 0 0 0 − E 1+υ E E 0 0 0 0 0 σ z = = − υσ z 0 0 E υσ z 0 − 0 E 1 υ υ + 0 0 σz − σz E E
S=
=
σz
− υ E 0 0
azaz ε1 = 1. változat
1 0 0 = 0 1 0 0 0 1
0 = ε 3 0 0 − υ 0 0 ε 2 0 0 1 0 0 ε 1 0
σz E
; ε 2 = ε 3 = −υε1 = −υ
σz E
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
71
3.3. A rugalmas alakváltozási energia Az energiasűrűség:
u=
[(
)
1 σ 12 + σ 22 + σ 32 − 2υ ( σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1 ) 2E
]
Mivel σ 1 = σ z és σ 2 = σ 3 = 0 , ezért
u=
1 2 σz 2E
Behelyettesítve, hogy ε 1 = σ z , vagy σ z = F , a következőket kapjuk:
E
A
1 1 1 σ z2 2 u = ⋅ ε1 ⋅ σ z = ⋅ E ⋅ ε1 = 2 2 2 E A V térfogatban felhalmozódott energia:
∆l 1 1 1 1 U = ∫ u dV = uV = σ zε1V = σ zε1 A ⋅ l = F ⋅ l = F ⋅ ∆l l 2 2 2 2 1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
72
3.4. Az önsúlyával terhelt rúd
σ0 =
F A
F + Gz F + ρ g A z F = = +ρgz A A A σ = σ0 + ρ g z
σ=
σ max = σ 0 + ρ g l Egy elemi dz hossz fajlagos nyúlása:
ε=
σ E
=
∆dz dz
azaz
∆dz = ε dz =
σ E
dz = ( σ 0 + ρ g z )
1 dz E
σ0 1 ρ g l2 1 ∆l = lim ∑ ∆dz = ∫ ( σ 0 + ρ g z ) dz = l + n→∞ E0 E 2 E i =1 n
1. változat
l
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
73
A szakítóhosszúság mellett a huzal külső erő nélkül is, a saját súlyától elszakad.
( σ 0 = 0 ill. F = 0 )
σ max = σ B = ρ g Lsz σ Lsz = B ρg Egyenszilárdságú a rúd, ha valamennyi keresztmetszetében azonos feszültség ébred.
σ0 =
F = állandó A0
Alulról z távolságban a feszültség:
σ0 =
F + Gz A
azaz
σ 0 A = F + Gz 1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
74
A (z+dz) távolságban:
σ0 =
F + Gz + ρ g ( A + dA ) dz A + dA
azaz
σ 0 ( A + dA ) = F + Gz + ρ g ( A + dA ) dz A két egyenlet együtt:
σ 0 dA = ρ g ( A + dA ) dz
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
75
Mivel dA ⋅ dz ≅ 0 , ezért
σ 0 dA = ρ g A dz 1 ρg = dA dz ∫A A ∫ σ 0 0 0 A
z
[ ln A ] AA ln
=
0
ρg z [z ] 0 σ0
A ρg = z A0 σ 0
A = A0 e
A=
F
σ0
1. változat
ρg z σ0
e
ρg z σ0
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
76
Pl.: Statikailag határozatlan tartószerkezet
∆t = 30C
α = 11,5 ⋅10 −6
1 C
A hőtágulás:
∆lt = α l 0 ∆t
A merev fal miatt:
azaz ∆lt = α ∆t = ε t l0
ε + εt = 0 σ + α ∆t = 0 E
σ = −α E ∆t σ = −11,5 ⋅10 −6
1. változat
N 1 5 N ( MPa ) C ⋅ 2 , 1 ⋅ 10 ⋅ 30 = − 72 , 45 2 2 C mm mm
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
77
4. A nyíró igénybevétel 4.1. A feszültségek vizsgálata
∫( τ) dA − F
T
=0
A
Mivel jó közelítéssel τ = állandó, ezért
τ=
FT A
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
78
T = 0 τ yx τ xy 0 0 0
0 0 0
A főfeszültségek leolvashatók a Mohr-körről:
σ 1 = τ xy σ2 = 0 σ 3 = −τ xy
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
79
4.2. A rugalmas alakváltozás
S=
1 υ T − T E I 2G 1+υ
Mivel TI=0, ezért
S=
1 2G 0 τ yx τ xy 0 0 0
0 = 0 1 0 γ xy 2 0 0
Felhasználtuk, hogy
1. változat
1 γ yx 2 0 0
0 0 0
τ yx = G γ yx Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
80
4.3. A rugalmas alakváltozási energia Az energiasűrűség:
u=
υ 1 2 2 2 2 2 2 (σ x + σ y + σ z + + + + + − σ σ σ τ τ τ 2 x y z xy yz zx 4G 1+υ
(
) (
)
)
2
1 1 τ xy 2 2τ xy = u= 4G 2 G
[
]
2
Az alakváltozási energia:
1τ2 1 1 FT2 U = ∫ u dV = uV = Al = τ γ Al = ⋅l 2G 2 2GA
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
81
5. A hajlító igénybevétel 5.1. A tiszta, egyenes hajlítás Tiszta a hajlítás, ha a rudat más igénybevétel nem terheli. Egyenes a hajlítás, ha valamennyi terhelőerő és erőpár a hajlított rúd szimmetriasíkjában működik. A rúd súlyponti hossztengelye a geometriai tengely. Jacob Bernoulli és Navier feltevései: •A rúd geometriai tengelyére merőleges sík keresztmetszetek a hajlítás után is síkok és önmagukkal egybevágóak maradnak; •A rúd geometriai tengelye és az azzal párhuzamos síkok merőlegesek maradnak az elfordult keresztmetszetek síkjára. 1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
82
Erőegyensúlyi egyenlet:
∫( )σ dA = 0 A
Nyomatékegyensúlyi egyenlet:
y tengely körül:
∫ x σ dA = 0 ∫
x tengely körül: M − y σ dA = 0
A dz hosszú elem fajlagos nyúlása:
1. változat
( ρ + y ) dϕ − dz σ ε= = dz
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
E
83
Rendezés után
(*)
σ dϕ dϕ +y −1 = dz E dz 1 dϕ dϕ ρ σ dA + − = y dA dA dA ∫ ∫ ∫ ∫ dz dz E ρ
S s =0 statikai nyomaték a súlypontra
ρ
/⋅ ∫ dA
=0
dϕ A− A = 0 dz 1 dϕ = ρ dz
Azaz ρ dϕ = dz , jelentése: a súlyponti szál hossza nem változott, a súlyponti szál semleges, neutrális.
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
84
A fenti eredményt behelyettesítve a (*)-gal jelölt egyenletbe:
ρ⋅
1
ρ
+y
1
ρ
−1 =
σ=
σ E E
ρ
y
Ezt beírjuk a harmadik egyensúlyi egyenletbe:
M−
E
2 y dA = 0 ∫ ρ I x =I
M− M−
EI
ρ σI y
=0 =0
σ ( y) = 1. változat
M y I
(Navier-képlet) Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
85
σ max =
M M e= I K
ahol K =
I keresztmetszeti tényező. e
A hajlításra történő méretezés alapegyenlete: σ meg ≥ σ max = 1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
M max K min 86
5.2. A hajlított tartókban fellépő nyírófeszültségek A tartószerkezetekben a hajlító és nyíró igénybevétel együtt lép fel. A tartó egy elemi darabját kirajzoljuk:
σ=
M y Ix
Deriváljuk z szerint:
1. változat
dσ d M y y = = − FT dz dz I x Ix
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
87
τ = τ zy = τ yz
A kis elem erőegyensúlyi egyenlete z irányban:
η
η
e
e
− ∫ ( σ + d σ ) dA + ∫ σ dA − τ s dz = 0 azaz η
− ∫ d σ dA = τ s dz
/ : dz
e
η
−∫ e
1. változat
dσ dA = τ s dz
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
88
dσ dz
A
η
∫
FT
e
FT Ix
értékét beírva:
y dA = τ s Ix
η
∫ y dA = τ s e
Az integrál a vonalkázott síkrész statikai nyomatéka az x tengelyre: η
S = ∫ y dA ' x
e
Ezzel
FT S x' τ= s ⋅ Ix
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
89
Pl.:
1 h h ys = + y ; As' = b − y 2 2 2 1 h h S x' = As' ⋅ ys = b − y + y = 2 2 2 b h2 = − y 2 2 4 b h2 2 − F y T 2 4 FT S x' τ= = b h3 s ⋅ Ix ⋅b 12 6 FT h 2 2 = − y 3 bh 4
=
Ha
b , akkor τ = 0. 2 y = 0 , akkor τ = τ max . y=±
τ max =
Az átlagos nyírófeszültség: τ átl . = 1. változat
Ha
FT A
3 FT 3 FT = 2 bh 2 A
Ezzel
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
3 2
τ max = τ átl . 90
Pl.:
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
91
5.3. Az egyenszilárdságú hajlított rúd
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
92
5.4. A hajlított rúd alakváltozása Előzőekben levezettük, hogy a hajlított rúdra érvényes:
1
ρ
=
M IE
Az analitikus geometriában akkor tekintjük a ρ értékét pozitívnak, ha a görbén a rúd irányában haladva (z irány) a görbületi középpont balra esik. Mivel a balra eső +M hatására ρ negatív, ezért előjelet váltunk:
1
ρ
=−
M IE
Az analitikus geometria szerint a görbületi sugár:
1
ρ
=
y ''
(1 + y )
1. változat
'2
3 2
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
93
A két egyenlet együtt adja a differenciálegyenletét. ' Ha figyelembe vesszük, hogy y = tgϕ még kisebb, így jó közelítéssel:
y '' ≅ −
rugalmas
szál
alakváltozásának
kis érték, ez ui. a lehajlás szöge, y’2
M IE
azaz
M (z ) d2y = − dz 2 IE Ez a rugalmas szál differenciálegyenlete. A tartó szögelfordulása:
dy = tgϕ ≅ ϕ dz
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
94
Pl. 1.:
M A = lF FA = F
M = − M A + zFA = −lF + zF = − F ( l − z ) d2y I E 2 = F (l − z ) dz dy z2 IE = ∫ F ( l − z ) dz = F lz − dz 2 IEy
z2 = ∫ F lz − 2
+ C1
z2 z3 + C1 dz = F l − + C1 z + C2 2 6
A C1 és C2 integrálási állandókat a peremfeltételekkel határozzuk meg:
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
95
A C1 és C2 integrálási állandókat a peremfeltételekkel határozzuk meg: I. z=0 helyen φ=0, azaz
I E y ' = 0 = C1 II. z=0 helyen y=0, azaz
I E y = 0 = C2
Minimális értékek z=l helyen:
Ezekkel a lehajlás tetszőleges z helyen:
F y= IE
z2 z3 l − 2 6
ymax
Fl3 = f = 3I E
ymax
Fl2 = 2I E
A szögelfordulás:
ϕ=
F IE
1. változat
z lz − 2 2
A fenti képletek járulékegyenletek. Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
a
96
Pl. 2.:
M = −M A = −M 0
d2y I E 2 = M0 dz dy IE = ∫ M 0 dz = M 0 z + C1 dz z2 I E y = ∫ ( M 0 z + C1 ) dz = M 0 + C1 z + C2 2 Peremfeltételek: I.
z=0 helyen φ=0, ⇒ C1=0 II. z=0 helyen y=0, ⇒ C2=0
A maximumok z=l helyen:
Ezekkel
y (z ) =
M0l2 M l f = ; ϕ max = 0 IE 2 IE
M0 2 M z ; ϕ (z ) = 0 z 2 IE IE
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
97
Pl. 3.:
FA = FB =
ql 2
ql −qz 2 z2 q l z − z2 = + FA z − q = 2 2
FT = FA − q z = M (z )
d2y q IE 2 = dz 2 dy q = ∫ IE dz 2 q = 2
(
(z
2
−lz
(z
2
− l z dz =
)
) )
z3 l z2 + C1 − 3 2
q z3 l z2 + C1 dz = − I E y = ∫ 2 2 3 q z4 l z3 = − 2 12 6 1. változat
+ C1 z + C2 Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
98
remfeltételek:
0 helyen y=0, ⇒ C2=0 A maximális lehajlás z=l/2 helyen:
z=l helyen y=0
0=
q l l − 2 12 6 4
4
5 ql 4 f = 384 I E
+ l C1
q l3 C1 = 24
A legnagyobb szögelfordulás A és B helyeken (z=0 ill. z=l helyen):
Ezzel a lehajlás:
(
q y= l 3 z − 2l z 3 + z 4 24 I E
)
A szögelfordulás:
ϕ=
(
q l 3 − 6l z2 + 4z3 24 I E
1. változat
)
ϕ max
ql 3 = 24 I E
Alkalmazható a szuperpozíció elve, mert a rugalmasságtan összefüggései lineárisak. Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
99
5.5. A hajlított rúd feszültségi állapota
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
100
5.6. A rugalmas alakváltozási energia A fajlagos alakváltozási energia:
1 1σ2 u = σε = 2 2 E A dV=dA dz elemben felhalmozódott energia:
1σ2 dU = u dV = dV 2 E Behelyettesítve, hogy
σ=
M y I
ezzel
1 M2 2 dU = y dV 2 2 EI 1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
101
Az l hosszúságú rúdban felhalmozódott energia:
1 M2 1 M2 2 U = ∫ ∫ dU = ∫ y dA dz = ∫ dz 2 ∫ 2 2 E I E I (l ) ( A ) (l ) (l ) A) ( I
A korábbiak alapján:
1
ρ
=
dϕ M = dz I E
Ezzel
1 M dϕ ∫ 2 1 dU = M dϕ 2
U=
Az alakváltozási energia megegyezik a tartót terhelő hajlítónyomatékok munkájával.
U=
1 M 2 dz ∫ 2 I E (l )
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
102
Pl.:
M=-F (l-z) 3 ( ) 1 F l z F2 l3 − 2 2 U= F ( l − z ) dz = − = 2I E ∫ 2I E 3 0 6 I E 2
1. változat
l
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
103
6. A csavaró igénybevétel
6.1. Kör keresztmetszetű rudak csavarása A csavaró igénybevételt okozó nyomatékot T csavaró- (torziós) nyomatéknak nevezzük.
A keresztmetszetek elfordulnak, de alakjuk nem változik. Vizsgáljuk meg a dz szélességű korong egyensúlyát.
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
104
∩
A BB′ ív kétféleképpen számolható: ∩
BB′ = ρ dϕ = γ dz amiből
γ =ρ
dϕ dz
A keresztmetszet egységes egészként fordul el, így
dϕ = állandó , tehát γ a dz sugárral együtt nő. A Hooke-törvény szerint:
τ =γ G = ρG 1. változat
dϕ dz Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
105
A τ feszültségek szintén a ρ sugárral lineárisan változnak, arra merőlegesek. A ΔdA felületelemhez tartozó elemi erő nyomatéka:
d T = ρ dF = ρ τ ∆dA A nyomatékegyensúlyi egyenlet:
T − ∫ dT = 0 ( A)
T−
∫G
( A)
T −G
dϕ 2 ρ dA = 0 dz
dϕ 2 dA = 0 ρ ∫ dz ( A ) Ip
T −G
1. változat
dϕ Ip = 0 dz dϕ T G = dz I p Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
106
Mivel G
dϕ τ = , ezért dz ρ
τ T = ρ Ip τ (ρ ) =
T ρ Ip
τ (max ) =
T r Ip
dϕ T = dz I p G A csavart rúd alakváltozásának egyenlete:
dϕ =
T dz Ip G
ϕ
l
0
0
∫ dϕ = ∫ ϕ=
T dz Ip G
T ⋅l Ip ⋅G
ahol ϕ az l hosszúságú rúd két végső keresztmetszetének elfordulása. 1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
107
A méretezés alapja:
τ T meg ≥ τ max =
Tmax T ⋅ r = max I p min Kp
ahol a poláris keresztmetszeti tényező:
Kp =
Ip r
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
108
6.2. A rugalmas alakváltozási energia A fajlagos alakváltozási energia:
1 1τ2 u = τγ = 2 2G A dV térfogatban felhalmozódott energia:
1τ2 1 T2 2 ρ dV dU = u dV = dV = 2 2G 2 G Ip Az l hosszúságú rúdban felhalmozódott energia:
1 T2 U = ∫ ∫ dU = ∫ 2 G I 2 p (l ) ( A ) (l )
1 T2 1 2 2 dz = T dz ∫ ρ dA dz = ∫ ∫ G I G I 2 2 p p ( A ) (l ) Ip
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
109
Mivel
dϕ =
T dz Ip G
ezzel
U=
1 T dϕ ∫ 2 (l )
Az alakváltozási energia a tartót terhelő csavarónyomaték munkájával azonos:
1 dU = T dϕ 2 Számolásra alkalmas összefüggés:
U=
1 2 T dz ∫ 2G I p (l )
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
110
6.3. Vékony falú csövek csavarása Közelítés:
τ ( ρ ) = τ = állandó
Az egyensúlyi egyenlet:
T − ∫ dT = 0 (A )
T − ∫ rk ⋅ τ ⋅ dA = 0 (A )
A közelítés szerint rk ⋅ τ = állandó , ezért kiemelhető:
T − rk ⋅ τ ∫ dA = 0 (A )
T − rk ⋅ τ ⋅ A = 0
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
111
Mivel A ≅ 2 π rk v , ezért
T − 2 π rk2 vτ = 0
τ=
T T = 2 π rk2 v 2 Ak v
ahol Ak = π rk az rk sugarú kör területe. Ez a Bredt-féle formula. Előnye, hogy nem kör keresztmetszetű, változó falvastagságú csövekre is alkalmazható. 2
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
112
6.4. A csavart rúd feszültségi állapota
Csavarás esetén a rúd a főfeszültségekre merőleges síkban törik el. 1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
113
7. A kihajlás 7.1. Az egyensúlyi állapot vizsgálata Ha valamely nyugalomban lévő merev testre ható erők [ F R ; M 0 ] = [ 0 ; 0 ] eredője zérus, akkor a test egyensúlyi állapotban van. Az egyensúlyi állapot lehet:
Minden irányfüggő:
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
114
Energetikai szempontból: • stabilis (Up=min. a környezetben) • indifferens (Up=áll.) • labilis (Up=max.) A rugalmasságtan alaptétele, hogy a test alakja a terhelés következtében alig változik, a test stabil egyensúlyban marad. Előfordul, hogy a kis alakváltozás után a test labilis egyensúlyi helyzetbe kerül, a terhelés növelésével nagy alakváltozás vagy törés keletkezik. Ennek leggyakoribb fajtája a hosszú, nyomott rudak kihajlása.
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
115
7.2. A rugalmas kihajlás A karcsú, rugalmas rúd a nyomóerő hatására a Hooke-törvény szerint rövidül, de a tapasztalat szerint egy kritikus erő (Fk) hatására labilis helyzetbe (egyensúlyi állapotba) kerül.
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
116
M = y Fk A rugalmas szál differenciálegyenlete:
d2y M Fk = − = − y dz 2 I2 E I2 E ahol I2 a kisebbik fő másodrendű nyomaték, tehát a legkisebb a súlyponti tengelyre számítottak közül. Átrendezve:
d2y +α 2y = 0 2 dz ahol
α2 =
Fk I2E
Az Euler (1707-1783)-féle differenciálegyenlethez jutottunk. 1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
117
Homogén, lineáris, másodrendű differenciálegyenlet megoldása:
y = A sin ( α z ) + B cos ( α z )
Peremfeltételek: I.
z=0 helyen y=0, ⇒ B=0 II. z=l helyen y=0, ⇒ Asin(α l)=0 sin(α l)=0 α l=nπ ;
n=0, ±1, ±2, …
A negatív és 0 értékű n nem értelmezhető.
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
118
A legegyszerűbb és leggyakoribb esetben n=1, ekkor:
αl = π
/2
Fk 2 l =π2 I2E Fk =
π 2E I2 l2
Ez az Euler-féle kritikus erő. A kritikus feszültség:
Fk π 2 E I 2 = σk = A Al 2
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
119
i2 =
Bevezetve az inerciasugarat:
λ=
és a karcsúsági tényezőt:
a kritikus feszültség ezekkel:
I2 A
l i2
π 2E σk = 2 λ
Mindez csak a rugalmassági határon, az arányossági feszültségen belül érvényes, tehát σk< σA. Az ehhez tartozó karcsúsági tényező:
λ0 =π
E
σA
A rugalmas tartományban beszélünk rugalmas kihajlásról.
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
120
Ha a rúd megfogása az előzőektől eltér, akkor azt egy β tényezővel vesszük figyelembe, amivel a rúd hossza: l= βL
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
121
7.3. A plasztikus kihajlás Tetmajer Lajos (1850-1909) kísérletei bizonyították, hogy a rugalmas tartományon túl az Euler-képletből számított feszültségnél kisebb feszültség mellett is kihajlik a rúd. A kritikus feszültség számítása szerinte λ< λ0 esetén:
σ k = a − bλ Acélra:
λ 0 = 105; σ k = ( 310 − 1,14λ ) MPa
Fára:
λ 0 = 100; σ k = ( 29,3 − 0,194λ ) MPa
(
)
2 Öntöttvasra: λ 0 = 80; σ k = 776 − 12λ + 0,053λ MPa
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
122
Kármán Tódor (1881-1963) a jelenséget vizsgálva az eredményeket pontosította.
A méretezés szokásos biztonsági tényezői: Acélra:
b=1,7÷3,5
Fára:
b=4÷5
Öntöttvasra: b=6
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
123
Pl.:
FB = FA =
ql = 2
100
kN ⋅ 3m m = 150 kN 2
A rúd szükséges keresztmetszete:
Asz = 1. változat
F
σ meg
=
150000 N = 1250 mm 2 = 12,5 cm 2 N 120 mm 2
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
124
Táblázatból: I 140:
A = 18,3 cm 2 ; i y = i 2 = 1,40 cm F 150000 N N 81 , 86 = = A 1830 mm 2 mm 2 l = βL = 2 ⋅ 0,9 m = 1,8 m l 180 cm λ= = = 128,57 > λ 0 = 105 i 2 1,4 cm
σ=
σ k meg
N N π2 E 81 , 86 < σ = = 2 = 50,15 bλ mm 2 mm 2
Tehát kihajlásra nem felel meg!
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
125
I 180:
A = 27,9 cm 2 ; i y = i2 = 1,71cm F 150000 N N 53 , 76 = = A 2790 mm 2 mm 2 l 180 cm λ= = = 105,25 > λ 0 = 105 i2 1,71cm
σ=
σ k meg
π 2E N N 74 , 82 σ 53 , 76 = = > = b λ2 mm 2 mm 2
Tehát a rúd megfelel!
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
126
8. Egyirányú összetett igénybevételek 8.1. Az összetett igénybevételek áttekintése Egyszerű igénybevételek: húzó-nyomó, hajlító, nyíró, csavaró. Ha az egyszerű igénybevételek közül egyszerre több is fellép, összetett igénybevételről beszélünk. Egyirányú összetett igénybevétel, ha a vizsgált keresztmetszet síkjára ┴ σ feszültségek keletkeznek, ekkor ezek algebrailag összegezhetők.
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
127
8.2. A külpontos húzás és nyomás
[ F ; 0 ] D = [ F ; M ]S M = k⋅F F σ húzó = A M Fk σ hajlító = y = y Ix Ix Az eredő feszültség a keresztmetszet egy pontjában:
σ e = σ húzó + σ hajlító =
F M y + A Ix
F Fk F e k e1 = 1 + 12 + A Ix A ix F e2 k σ B = 1 − 2 A ix
σA =
1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
128
A semleges szál helyének meghatározása:
F k 1 + 2 y0 = 0 A ix ix2 y0 = − k
σe =
Ha a húzó (vagy nyomó-) erő nem esik az egyik főtengelyre: Ha x és y tengely szimmetriatengely (főtengely), akkor
σ ( x, y ) =
F F xD F yD + x+ y A Iy Ix
A semleges tengely helyzetét jelző koordináták:
x0 = −
i y2 xD
1. változat
;
ix2 y0 = − yD Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
129
Pl.: Mekkora a láncszem terhelhetősége, ha anyaga A42 (húzásra σmeg=125 MPa)
σ max =
F ek 1 ≤ σ meg + 2 A i
d d 2π e eA 2 4 8 = = = d 4π i2 I d 64 F 8k σ meg = 1 + A d F=
Aσ meg = 8k 1+ d
N mm 2 = 392,7 N 8 ⋅15 mm 1+ 8 mm
50,26 mm 2 ⋅125
Tehát a lánc kb. 800 N erővel terhelhető. 1. változat
Mechanika II. (SZILÁRDSÁGTAN)
130
Ellenőrzés a másik szélső szálban:
σ=
F 8k 392,7 N N ( ) 1 − 15 = − 109 , 4 1− = A d 50,26 mm 2 mm 2
Tehát megfelel (|σ|
View more...
Comments
