200 Problemas de algo

1.

2.

Un herrero con 80 kgs. de acero y 120 kgs. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a 2000 y 1500 cada una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 kg. De acero y 3 kgs de aluminio, y para la de montaña 2 kgs. de ambos metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña venderá? Un pastelero fabrica dos tipos de tartas T1 y T2, para lo que usa tres ingredientes A, B y C. Dispone de 150 kgs. de A, 90 kgs. de B y 150 kgs. de C. Para fabricar una tarta T1 debe mezclar 1 kgs. de A, 1 kgs. de B y 2 kgs. de C, mientras que para hacer una tarta T2 se necesitan 5 kgs. de A, 2 kgs. de B y 1 kgs. de C. a. Si se venden las tartas T1 a 1. dolar la unidad y las T2 a 2.3 dolares. ¿Qué cantidad debe fabricar de cada clase para maximizar sus ingresos? b. Si se fija el precio de una tarta del tipo T1 en 1.5 dolares. ¿Cuál será el precio de una tarta del tipo T2 si una solución óptima es fabricar 60 tartas del tipo T1 y 15 del tipo T2?

3.

Una fábrica de carrocerías de automóviles y camiones tiene 2 naves. En la nave A, para hacer la carrocería de un camión, se invierten 7 días-operario, para fabricar la de un auto se precisan 2 días-operario. En la nave B se invierten 3 días-operario tanto en carrocerías de camión como de auto. Por limitaciones de mano de obra y maquinaria, la nave A dispone de 300 díasoperario, y la nave B de 270 días-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada camión son de 6 millones de Bs. .y de 3 millones por cada auto. ¿Cuántas unidades de cada clase se deben producir para maximizar las ganancias?

4.

Un autobús Cuenca - Quito ofrece plazas para fumadores al precio de 10.000 y a no fumadores al precio de 6.000. Al no fumador se le deja llevar 50 kgs. de peso y al fumador 20 kgs. Si el autobús tiene 90 plazas y admite un equipaje de hasta 3.000 kg. ¿Cuál ha de ser la oferta de plazas de la compañía para cada tipo de pasajeros, con la finalidad de optimizar el beneficio?

5.

A una persona le tocan 10 millones en una lotería y le aconsejan que las invierta en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo pero producen un beneficio del 10 %. Las de tipo B son más seguras, pero producen sólo el 7% anual. Después de varias deliberaciones decide invertir como máximo 6 millones en la compra de acciones A y por lo menos, 2 millones en la compra de acciones B. Además, decide que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. ¿Cómo deberá invertir 10 millones para que el beneficio anual sea máximo?

6.

Cierta persona dispone de 10 millones como máximo para repartir entre dos tipos de inversión (A y B). En la opción A desea invertir entre 2 y 7 millones. Además, quiere destinar a esa opción, como mínimo, tanta cantidad de dinero como a la B. ¿Qué cantidades debe invertir en cada una de las dos opciones? Sabiendo que el rendimiento de la inversión será del 9 % en la opción A y del 12 % en la B, ¿Qué cantidad debe invertir en cada una para optimizar el rendimiento global?

7.

Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120 y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos

como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿Cuántos impresos habrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo? 8.

Un comerciante acude al mercado popular a comprar naranjas con 50.000. Le ofrecen dos tipos de naranjas: las de tipo A a 50 el kg. y las de tipo B a 80 el kg. Sabiendo que sólo dispone de su camioneta con espacio para transportar 700 kg. de naranjas como máximo y que piensa vender el kg. de naranjas tipo A a 58 . y el kg. de tipo B a 90: ¿Cuántos kg. de naranjas de cada tipo deberá comprar para obtener máximo beneficio? ¿Cuál será ese beneficio máximo?

9.

Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodón y 120 m2 de tela de lana. Un traje requiere 1 m2 de algodón y 3 m2 de lana, y un vestido de mujer requiere 2 m 2 de cada una de las dos telas. Calcular el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios si un traje y un vestido se venden al mismo precio.

10. Un constructor va a edificar dos tipos de viviendas A y B. Dispone de 600 millones y el costo de una casa de tipo A es de 13 millones y 8 millones una de tipo B. El número de casas de tipo A ha de ser, al menos, del 40 % del total y el de tipo B, el 20 % por lo menos. Si cada casa de tipo A se vende a 16 millones y cada una de tipo B en 9. ¿Cuántas casas de cada tipo debe construir para obtener el beneficio máximo? 11. Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de petróleo crudo: crudo ligero, que cuesta 35 dólares por barril y crudo pesado a 30 dólares el barril. Con cada barril de crudo ligero, la refinería produce 0,3 barriles de gasolina (G), 0,2 barriles de combustible para calefacción (C) y 0,3 barriles de combustible para turbinas (T), mientras que con cada barril de crudo pesado produce 0,3 barriles de G, 0,4 barriles de C y 0,2 barriles de T. La refinería ha contratado el suministro de 900 barriles de G, 800 barriles de C y 500 barriles de T. Hallar las cantidades de crudo ligero y pesado que debe comprar para poder cubrir sus necesidades al costo mínimo. 12. Podemos comprar paquetes de abono A o B. Cada paquete contiene las unidades de potasio (K), fósforo (P) y nitrógeno (N) indicadas en la tabla, donde se da el precio del paquete. Marca A B

K 4 1

P 6 10

N 1 6

Precio 15 24

¿En qué proporción hay que mezclar ambos tipos de abono para obtener al mínimo precio un abono que contenga, al menos, 4 unidades de K, 23 de P y 6 de N?. 13. Las enfermeras de un hospital llegan cada 4 horas y trabajan en turnos de 8 horas continuas. La administración ha decidido definir 6 cambios de turno al día para minimizar las distracciones y los problemas de comunicación que ocurren en los cambios de turno. El hospital ha realizado un análisis del trabajo requerido durante cada uno de los seis períodos del día. Las características de cada período son las siguientes: HORA DEL DIA 2 AM - 6 AM 6 AM - 10 AM 10 AM - 2 PM 2 PM - 6 PM 6 PM - 10 PM

Período 1 2 3 4 5

Número Mínimo de Enfermeras 25 60 50 35 55

10 PM - 2 AM

6

40

Las enfermeras que empiezan a trabajar en los períodos 2, 3 y 4 ganan US$ 40 al día, y aquellas que comienzan en los períodos 1, 5 y 6 ganan US$ 50 al día. ¿Cuántas enfermeras deben empezar a trabajar en cada turno para minimizar los costos por salarios? 14. Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de petróleo crudo: crudo ligero, que cuesta 35 dólares por barril y crudo pesado a 30 dólares el barril. Con cada barril de crudo ligero, la refinería produce 0,3 barriles de gasolina (G), 0,2 barriles de combustible para calefacción (C) y 0,3 barriles de combustible para turbinas (T), mientras que con cada barril de crudo pesado produce 0,3 barriles de G, 0,4 barriles de C y 0,2 barriles de T. La refinería ha contratado el suministro de 900 barriles de G, 800 barriles de C y 500 barriles de T. Hallar las cantidades de crudo ligero y pesado que debe comprar para poder cubrir sus necesidades al costo mínimo. 15. La empresa Sunco Oil produce dos tipos de gasolina (NORMAL y SUPER), cada una de ellas mezclando dos tipos de crudo (Liviano y Pesado). Los precios de venta de cada barril de gasolina son 7.000 y 6.000, respectivamente. Por su parte, los precios de compra de los dos tipo de crudo son de 4.500 y 3.500 por barril, respectivamente. Se pueden comprar hasta 5.000 barriles de cada crudo diarios. Los dos tipos de gasolina difieren en su índice de octano y en su contenido en azufre. La mezcla del petróleo crudo que se utiliza para obtener la gasolina SUPER ha de tener un índice de octano promedio de al menos 10 y a lo sumo un 1% de azufre. La mezcla que se obtiene para la gasolina NORMAL ha de tener un índice promedio de octano de por lo menos 8 y a lo sumo un 2% de azufre. Los índices de octano y el contenido en azufre de los dos tipos de crudo son Crudo LIVIANO: Octano=12 Azufre=0.5%. Crudo PESADO: Octano=6 Azufre=2%. La transformación de un barril de petróleo en un barril de gasolina cuesta 400, y la refinería de Sunco puede producir diariamente, hasta 9.000 barriles de gasolina. Los clientes de Sunco actualmente demandan 3.000 barriles de la gasolina Normal y 2.000 de la gasolina Super. Sin embargo, Sunco tiene la posibilidad de estimular la demanda mediante la publicidad, de modo que por cada unidad monetaria invertida en la publicidad de cada tipo de gasolina, aumenta la demanda diaria de ese tipo de gasolina en 0,1 barriles (si por ejemplo gasta 1000 en la gasolina Super, aumenta la demanda de gasolina Super en 1000*0,1=100 barriles). Formular el problema de programación lineal que permita a SUNCO OIL maximizar sus ganancias diarias. 16. La fábrica LA MUNDIAL S.A., construye mesas y sillas de madera. El precio de venta al público de una mesa es de 2.700 y el de una silla 2.100. LA MUNDIAL S.A. estima que fabricar una mesa supone un gasto de 1.000 de materias primas y de 1.400 de costos laborales. Fabricar una silla exige 900 de materias primas y 1.000 de costos laborales. La construcción de ambos tipos de muebles requiere un trabajo previo de carpintería y un proceso final de acabado (pintura, revisión de las piezas fabricadas, empaquetado, etc.). Para fabricar una mesa se necesita 1 hora de carpintería y 2 horas de proceso final de acabado. Una silla necesita 1 hora de carpintería y 1 hora para el proceso de acabado. LA MUNDIAL S.A. no tiene problemas de abastecimiento de materias primas, pero sólo puede contar semanalmente con un máximo de 80 horas de carpintería y un máximo de 100 horas para los trabajos de acabado. Por exigencias del marcado, LA MUNDIAL S.A. fabrica, como máximo, 40 mesas a la semana. No ocurre así con las sillas, para los que no hay ningún tipo de restricción en cuanto al número de unidades fabricadas. Determinar el número de mesas y de sillas que semanalmente deberá fabricar la empresa para maximizar sus beneficios.

17. Una campaña para promocionar una marca de productos lácteos se basa en el reparto gratuito de yogurt con sabor a limón o a fresa. Se decide repartir al menos 30.000 yogurt. Cada yogurt de limón necesita para su elaboración 0,5 gr. de un producto de fermentación y cada yogurt de fresa necesita 0,2 gr. de ese mismo producto. Se dispone de 9 kgs. de ese producto para fermentación. El costo de producción de un yogurt de fresa es el doble que el de un yogurt de limón. ¿Cuántos yogurt de cada tipo se deben producir para que el costo de la campaña sea mínimo? 18. Una fábrica de carrocerías de automóviles y camiones tiene 2 naves. En la nave A, para hacer la carrocería de un camión, se invierten 7 días-operario, para fabricar la de un auto se precisan 2 días-operario. En la nave B se invierten 3 días-operario tanto en carrocerías de camión como de auto. Por limitaciones de mano de obra y maquinaria, la nave A dispone de 300 díasoperario, y la nave B de 270 días-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada camión son de 6 millones y de 3 millones por cada auto. ¿Cuántas unidades de cada clase se deben producir para maximizar las ganancias? 19. Un pastelero fabrica dos tipos de tartas T1 y T2, para lo que usa tres ingredientes A, B y C. Dispone de 150 kg de A, 90 kg de B y 150 kg de C. Para fabricar una tarta T1 debe mezclar 1 kg de A, 1 kg de B y 2 kg de C, mientras que para hacer una tarta T2 se necesitan 5 kg de A, 2 kg de B y 1 kg de C. a. Si se venden las tartas T 1 a 1.000 la unidad y las T 2 a 2.300. ¿Qué cantidad debe fabricar de cada clase para maximizar sus ingresos? b. Si se fija el precio de una tarta del tipo T 1 en 1.500 ¿Cuál será el precio de una tarta del tipo T2 si una solución óptima es fabricar 60 tartas del tipo T 1 y 15 del tipo T2? 20. Una fábrica produce chaquetas y pantalones. Tres máquinas (de cortar, coser y teñir) se emplean en la producción. Fabricar una chaqueta representa emplear la máquina de cortar una hora, la de coser tres horas y la de teñir una hora; fabricar unos pantalones representa usar la máquina de cortar una hora, la de coser una hora y la de teñir ninguna. La máquina de teñir se puede usar durante tres horas, la de coser doce y la de cortar 7. Todo lo que se fabrica es vendido y se obtiene un beneficio de ocho euros por cada chaqueta y de cinco por cada pantalón. ¿Cómo emplearíamos las máquinas para conseguir el beneficio máximo? 21. Un supermercado quiere promocionar una marca desconocida D de aceites utilizando una marca conocida C. Para ello hace la siguiente oferta: "Pague sólo a 250 el litro de aceite C y a 125 el litro de aceite D siempre y cuando: 1) Compre en total 6 litros o más, y 2) La cantidad comprada de aceite C esté comprendida entre la mitad y el doble de la cantidad comprada de aceite D". Si disponemos de un máximo de 3.125 y acogiéndonos a la oferta, ¿Cuál el la mínima cantidad de aceite D que podemos comprar? ¿Cuál es la máxima de C? 22. La empresa FORD lanza una oferta especial en dos de sus modelos, ofreciendo el modelo A a un precio de 1,5 millones de y el modelo B en 2 millones. La oferta está limitada por las existencias, que son 20 autos del modelo A y 10 del B, queriendo vender, al menos, tantas unidades de A como de B. Por otra parte, para cubrir gastos de esa campaña, los ingresos obtenidos en ella deben ser, al menos de 6 millones ¿Cuántos automóviles de cada modelo deberá vender para maximizar sus ingresos? 23. En una explotación agrícola de 25 Ha pueden establecerse dos cultivos A y B. El beneficio de una Ha de A es de 20000 ptas. y el de una Ha de B de 30000 ptas. Las disponibilidades de trabajo de explotación son de 80 jornadas, una

Ha de A precisa 4 jornadas, mientras que una de B precisa sólo 2 jornadas. La subvención de la Unión Europea es de 5 euros por Ha. de A y de 10 euros por Ha. de B, siendo la subvención máxima por explotación agrícola de 200 euros. Calcular el beneficio máximo. 24. Las restricciones pesqueras impuestas por la CEE obligan a cierta empresa a pescar como máximo 2.000 toneladas de merluza y 2.000 toneladas de rape, además, en total, las capturas de estas dos especies no pueden pasar de las 3.000 toneladas. Si el precio de la merluza es de 1.000 $/kg y el precio del rape es de 1.500 $/kg, ¿qué cantidades debe pescar para obtener el máximo beneficio? 25. Dos pinturas A y B tienen ambas dos tipos de pigmentos p y q; A está compuesto de un 30% de p y un 40% de q, B está compuesto de un 50% de p y un 20% de q, siendo el resto incoloro. Se mezclan A y B con las siguientes restricciones: La cantidad de A es mayor que la de B. Su diferencia no es menor que 10 gramos y no supera los 30 gramos. B no puede superar los 30 gramos ni ser inferior a 10 gramos. a. ¿Qué mezcla contiene la mayor cantidad del pigmento p? b. ¿Qué mezcla hace q mínimo? 26. En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y cinco de B, y el tipo Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 1000 pesetas y el del tipo Y es de 3000 pesetas. Se pregunta: ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un costo mínimo? 27. La compañía ESPECIAS INDIAN S.A., tiene un stock limitado de dos hierbas que se utilizan en la producción de aderezos. INDIAN usa los dos ingredientes, HB1 y HB2, para producir ya sea curry o pimentón. El departamento de mercadotecnia informa que aunque la empresa puede vender todo el pimentón que pueda producir, sólo puede vender hasta un máximo de 1500 botellas de curry. Las hierbas no utilizadas se pueden vender a $375 la onza de HB1 y a $167 la onza de HB2. Determine el consumo de especias que maximice el ingreso de la Empresa. Aderezo Precio de Venta

Ingredientes HB1 ($) 5

Curry Pimentón 2 Disponibilidad (Onzas) 10000

HB2

Botellas)

3 8500

(Onzas/Bot) Demanda

1500 3

por botella

2750 Ilimitada 1300

28. Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120, y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿Cuántos impresos habrá de repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo? 29. Un fabricante de cemento produce dos tipos de cemento, a saber en gránulos y polvo. Él no puede hacer más de 1600 bolsas al día debido a una escasez de

vehículos para transportar el cemento fuera de la planta. Un contrato de ventas establece que él debe producir 500 bolsas al día de cemento en polvo. Debido a restricciones del proceso, se requiere el doble del tiempo para producir una bolsa de cemento granulado en relación al tiempo requerido por el cemento en polvo. Una bolsa de cemento en polvo consume para su fabricación 0.24 minutos/bolsa y la planta opera un 8 día de la hora. Su ganancia es 4 por la bolsa para el cemento granulado y 3 por la bolsa para el cemento en polvo. Formule el problema de decidir cuánto se debe producir de cada tipo de cemento para maximizar las ganancias de la Empresa. 30. SONY fabrica dos productos: (1) el Walkman un radiocasete portátil y (2) el Shader TV, un televisor en blanco y negro del tamaño de un reloj de pulsera. El proceso de producción de ambos productos se asemeja en que los dos necesitan un número de horas de trabajo en el departamento de electrónica, y un cierto número de horas de mano de obra en el departamento de montaje. Cada Walkman necesita cuatro horas de trabajo de electrónica y dos en el taller de montaje. Cada televisor necesita tres horas de electrónica y una en montaje. Durante el actual período de producción se dispone de doscientas cuarenta horas en el departamento de electrónica y de cien horas en el de montaje. Cada Walkman vendido supone un beneficio de 7 dólares, mientras que para un televisor el beneficio unitario es de cinco dólares. El problema de SONY es determinar la mejor combinación posible de Walkman y televisores que debe producir para alcanzar el máximo beneficio. 31. Un agricultor posee un campo de 70 hectáreas y puede cultivar ya sea trigo o cebada. Si siembra trigo gasta US$ 30 por cada hectárea plantada. En cambio si siembra cebada, su gasto es de US$ 40 por hectárea. El capital total disponible es de US$ 2.500. Por otra parte, también existen restricciones en la disponibilidad de agua para los meses de octubre y noviembre, según se indica: Mes Octubre Noviembre

Consumo m3 / Ha. Consumo m3 / Ha. Disponibilidad Trigo Cebada m3 900 650 57.900 1.200 850 115.200

Una hectárea cultivada rinde 30 Tm de trigo o 25 Tm de cebada según sea el caso. Los precios vigentes por Tm son de US$ 4,5 para el trigo y US$ 6,0 para la cebada. Determinar la cantidad de hectáreas de trigo y de cebada que debe sembrar el agricultor para que maximice su beneficio. 32. Una compañía de transportes posee 2 tipos de camiones. El camión tipo A tiene 20 m3 de espacio refrigerado y 40 m3 no refrigerado. El camión tipo B tiene 30 m3 refrigerados y 30 m3 no refrigerados. Una fábrica de productos alimenticios debe embarcar 900 m3 de productos refrigerados y 1200 no refrigerados. ¿Cuántos camiones de cada tipo debe alquilar la fábrica par minimizar costos si el tipo A se alquila a 0,3 US$/Km y el B a 0,4 US$/Km? Distancias????? 33. Una compañía de transportes tiene 10 camiones con capacidad 40.ton., y 5 camiones de 30.000 ton.. Los camiones grandes tienen un costo de 0,30 US$/Km y los pequeños de 0,25 US$/Km. En una semana debe transportar la empresa 400.000 ton. en un recorrido de 800 km. La posibilidad de otros compromisos recomienda que por cada dos camiones pequeños mantenidos en reserva debe quedarse por lo menos uno de los grandes. ¿Cuál es el número de camiones de ambas clases que deben movilizarse para ese transporte de forma óptima y teniendo en cuenta las restricciones descritas?

34. La empresa CHANNEL produce el perfume Versay. Este perfume requiere de químicos y trabajo para su producción. Dos procesos están disponibles. El proceso A transforma 1 unidad de trabajo y 2 unidades de químico en 3 onzas de perfume. El proceso B transforma 2 unidades de trabajo y 3 unidades de químico en 5 onzas de perfume. Cada unidad de trabajo le cuesta a CHANNEL 1.000 y cada unidad de químico le cuesta 1.500. Se tiene una disponibilidad máxima de 20.000 unidades de trabajo y un máximo de 35.000 unidades de químico para este período de planificación. En ausencia de publicidad CHANNEL cree que puede vender 1.000 onzas de perfume. Para estimular la demanda de ese perfume CHANNEL puede contratar una modelo famosa a quien se le pagará 50.000 la hora, hasta por un máximo de 25 horas. Cada hora que la modelo trabaje para la empresa se estima que incrementará la demanda de Versay en 200 onzas. Cada onza de Versay se vende a 60.500. Determine el volumen óptimo de la producción y venta del perfume. 35. Cada mes una empresa puede gastar. Como máximo, 1.000.000 en salarios y 1.800.000 en energía (electricidad y gasoil). La empresa sólo elabora dos tipos de productos A y B. Por cada unidad de A que elabora gana 80 y 50 por cada unidad de B. El costo salarial, y energético que acarrea la elaboración de una unidad del producto A y una del B aparece en la siguiente tabla: Costo Costo energético

A 200

B 100 100

300

Se desea determinar cuántas unidades de cada uno de los productos A y B debe producir la empresa para que el beneficio sea máximo. 36. La empresa de computadoras COMPAQ toma las decisiones trimestral sobre la fabricación de su mezcla de productos. Mientras todas sus líneas productivas incluyen una gran variedad de artículos de computación, solamente se considerará un problema más simple con sólo dos productos: las computadoras portátiles y las computadoras del escritorio. A COMPAQ les gustaría saber cuántos de dichos productos deben fabricar para obtener máximas ganancias en el primer trimestre. Hay varios límites del proceso que definen la capacidad productiva tanto de la computadora portátil como la de escritorio: 1.- Cada computadora (portátil o escritorio) requiere un microprocesador. Debido a la escasez de estos productos en el mercado, INTEL les ha asignado solamente 10,000 unidades trimestrales. 2.- Cada computadora requiere de memoria RAM. La memoria viene en 16 MB por tarjeta. Una computadora portátil requiere 16 MB de memoria instalada (es decir, necesita 1 tarjeta RAM) mientras una computadora de escritorio tiene 32MB (ó sea, requiere 2 tarjetas RAM). COMPAQ dispone en inventario 15.000 tarjetas RAM para el próximo trimestre. 3.- Cada computadora requiere un tiempo de ensamblaje. Debido a las estrechas tolerancias para ensamblar una computadora portátil, esta tarda un tiempo de 4 minutos contra 3 minutos para una computadora de escritorio. Hay 25,000 minutos disponibles de tiempo de ensamblaje para el próximo trimestre. Bajo las actuales condiciones del mercado, costos de los materiales y sistema productivo, la venta de cada computadora portátil genera US$ 750 de ganancia y cada computadora de escritorio produce $1000 ganancia. Determinar la respuesta a las siguientes preguntas: ¿Cuántas computadoras de cada tipo debe fabricar COMPAQ en el próximo trimestre para maximizar sus beneficios?, ¿Cuánto estaría dispuesta a pagar COMPAQ por una memoria RAM adicional?

¿Qué efecto tiene sobre la ganancia, la perdida de 1,000 minutos de tiempo de ensamblaje por fallas en una de sus máquinas? ¿Que ganancia se requiere para justificar la fabricación de una computadora portátil con 32 MB de RAM? 37. La empresa COMPAQ necesita satisfacer la demanda de computadores por parte de sus clientes (grandes corporaciones e instituciones educacionales) para los próximos 4 trimestres. Actualmente COMPAQ tiene 5000 computadores en inventario. La demanda esperada para los próximos trimestres son 7000, 15000, 10000 y 8000. COMPAQ tiene el material y la Capacidad de producir hasta 10000 computadores cada trimestre, a un costo de US$ 2000 por computador. Empleando sobre tiempo del personal se pueden producir hasta 2500 computadores más a un costo individual de US$ 2200. Los computadores producidos en un trimestre pueden ser usados para satisfacer la demanda de ese período, o bien quedar en inventario para ser usados posteriormente. Cada computador en inventario tiene un costo adicional de US$ 100 por período para reflejar los costos de almacenaje. ¿Como puede satisfacer COMPAQ su demanda a costo mínimo? 38. Un ejecutivo de una empresa tiene $100.000 para invertir. Tiene dos inversiones: A y B. El Plan A garantiza que por cada dólar invertido, se obtendrán $0,70 al final de un año (se entiende que no puede fraccionarse este lapso de tiempo). El Plan B garantiza que por cada dólar invertido, se obtendrán $2,00 al final de un período de dos años (se entiende que no puede fraccionarse este lapso de tiempo). Aplicando el método SIMPLEX, asesore al ejecutivo para obtener el mejor rendimiento por su dinero durante un período de tres años. 39. La empresa McDonald’s vende hamburguesas de un cuarto de libra y hamburguesas con queso. La hamburguesa de un cuarto de libra obviamente utiliza ¼ de libra de carne y la hamburguesa con queso sólo utiliza 0,2 libras. El restaurante empieza cada día con 200 libras de carne. La utilidad neta es la siguiente: $ 0,20 por cada hamburguesa de cuarto de libra y $0,15 por cada hamburguesa con queso. El gerente estima además que no venderá más de 900 hamburguesas en total. Aplicando el método SIMPLEX, determine la máxima utilidad que obtiene McDonald's. 40. Los 400 alumnos de un colegio van a ir de excursión. Para ello se contrata el viaje a una empresa que dispone de 8 autobuses con 40 plazas y 10 con 50 plazas, pero sólo de 9 conductores para ese día. Dada la diferente capacidad y calidad, el alquiler de cada autobús de los grandes cuesta 8000 y el de cada uno de los pequeños, 6000 ¿Utilizando el Método SIMPLEX, cuantos autobuses de cada clase convendrá alquilar para que el viaje resulte lo más económico posible? 41. A una persona que quiere adelgazar se le ofrecen dos productos A y B para que tome una mezcla de ambos con las siguientes recomendaciones: No debe tomar más de 150 g de la mezcla ni menos de 50 g. La cantidad de A debe ser igual o superior a la de B. No debe incluir más de 100 g de A. Si 100g de A contiene 30 mg de vitaminas y 450 calorías y 100 g de B contienen 20 mg de vitaminas y 150 calorías, utilizando el método SIMPLEX: a) ¿Cuántos gramos de cada producto debe mezclar para obtener el preparado más rico en vitaminas? b) ¿Y el más pobre en calorías? 42. Los precios de venta de dos productos A y B están en la misma relación que 7 y 6. La producción de estos está definida por las siguientes condiciones:

La producción de A es mayor o igual que la mitad de B y menor o igual que el doble de B. La producción total es tal que si sólo se produce A, se producen 10 kg, y si sólo se produce B, se producen 15 kg. Y si se producen conjuntamente, la producción máxima se encuentra en la recta que une los puntos anteriores. Dar la función objetivo de la venta de ambos productos. Expresar mediante inecuaciones el recinto definido. Utilizando el Método SIMPLEX, determinar los kilos que se han de producir de cada producto para obtener el máximo beneficio. 43. Una compañía petrolífera requiere diariamente 9 Tm, 12 Tm y 24 Tm de petróleo de calidad alta, media y baja respectivamente. La compañía tiene dos refinerías. La refinería A produce diariamente 1 Tm, 3 Tm y 4 Tm de calidades alta, media y baja respectivamente. La refinería B produce 2 Tm de cada una de las tres calidades. El costo diario de cada una de las refinerías es de 20.000.000 ¿Utilizando el método SIMPLEX, cuántos días debe de trabajar cada refinería para que el costo sea mínimo?. 44. Un laboratorio farmacéutico desea elaborar un reconstituyente de manera que cada frasco contenga al menos 4 unidades de vitamina A, 23 unidades de vitamina B y 6 de vitamina C. Para suministrar estas vitaminas se emplea un aditivo M que cuesta 100 el gramo, el cual contiene 4 unidades de vitamina A, 6 de B y 1 de C y un aditivo H a un costo de 160 por gramo que contiene 1 unidad de vitamina A, 10 de B y 6 de C. ¿Utilizando el Método SIMPLEX, cuántos gramos de cada aditivo se deben incluir en cada frasco para minimizar el costo? 45. Un expendio de carnes acostumbra a preparar la carne para hamburguesas con una combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res contiene 80% de carne y 20% de grasa, y le cuesta a la tienda 800 por kilo. La carne de cerdo contiene 68% de carne y 32% de grasa, y le cuesta 600 el kilo. El expendio no desea que el contenido de grasa de un kilo de hamburguesa preparada sea superior al 25%. Aplicando el método SIMPLEX, ¿Qué cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda para preparar un kilo de hamburguesas a fin de minimizar los costos?. 46.

Para producir 2 toneladas de trigo se requieren 4 hectáreas, 2 bolsas de semillas de trigo por hectárea y 5 meses/hombre. Para producir 3 toneladas de centeno se requieren 2 hectáreas, 1.5 bolsas de semillas de centeno por hectárea y 9 meses/hombre. El precio del trigo y del centeno por tonelada asciende a $300 y $230 respectivamente. El costo de la bolsa de semillas de cada uno de estos productos es $20 la de trigo y $30 la de centeno. El empresario que espera maximizar sus beneficios dispone de 120 hectáreas y de 270 meses/hombre. Asimismo cuenta de un contrato que le otorga la opción de arrendar un campo lindero de 80 hectáreas a razón de $30 la hectárea utilizada. La ley laboral, por otra parte, le brinda el beneficio de contratar mano de obra adicional a un costo de $50 por meses/hombre, sin limitación. a) Formule el problema en términos de programación lineal. b) Utilizando el Método SIMPLEX, determine cuál será la solución óptima del empresario y el correspondiente nivel que adoptará cada una de las actividades. c) Formule el programa dual correspondiente.

47. Una ama de casa, típico ejemplo de la economía informal, hace en sus ratos domésticos libres dos tipos de salsa de tomate que vende en jarras de barro al supermercado de la zona. La primera salsa, requiere utilizar 3 Kg. de tomates y 4 tazas de vinagre por jarra de salsa. La segunda requiere 5 Kg. de tomates y 2 tazas de vinagre. La primera salsa le produce un beneficio de 40 por jarra y la

segunda 50. El supermercado que remite su producción casera hacia los circuitos comerciales (no sabemos con qué beneficio relativo) le impone a la ama de casa las siguientes condiciones: • Que produzca como mínimo 3 jarras de salsa a la semana. • Que le compre como máximo 24 kg de tomate y 3 botellas de vinagre a la semana. Sabiendo que una botella de vinagre equivale a 16 tazas y que el supermercado monopoliza la venta de tomate y vinagre en la región. Utilizando el método SIMPLEX, determinar los precios a los que estaría dispuesta a pagar el tomate y el vinagre la ama de casa a otro comerciante de la economía informal, para minimizar sus costos. 48. La compañía Minas Universal opera tres minas en Puerto Ordaz, el mineral de cada una se separa, antes de embarcarse, en dos grados. La capacidad diaria de producción de las minas así como sus costos diarios de operación son los siguientes:

Mina I Mina II Mina III

Mineral de Grado alto ton/día 4 6 1

Mineral de grado bajo ton/día 4 4 6

Costo de operación miles/día 20 22 18

La Universal se comprometió a entregar 54 toneladas de mineral de grado alto y 65 toneladas de mineral de grado bajo para fines de la siguiente semana. Además, tiene contratos que garantizan a los trabajadores de ambas minas el pago del día completo por cada día o fracción de día que la mina esté abierta. Utilizando el método SIMPLEX, determinar el número de días que cada mina debería operar durante la siguiente semana, si Minas Universal ha de cumplir su compromiso a un costo total mínimo. 49. La empresa Batisa S.A. fabrica camisas para ejes, estando especializada en dos productos: ¿Camisas con endurecimiento superficial mediante tratamiento térmico (Camisa tipo 1) y camisas con recubrimiento cerámico (Camisa tipo 2), productos de alta aceptación en el mercado por su alto rendimiento a la abrasión. Ambos productos se producen mediante el mecanizado de una aleación denominada Inconel, siendo necesario 1 kg de material para fabricar una camisa tipo 1 y 2 kg de aleación para las camisas tipo 2. Al ser necesario un mejor acabado superficial para recibir el tratamiento térmico, las camisas tipo 1 necesitan un tiempo de mecanizado de 4 horas por pieza mientras que las camisas tipo 2 se mecanizan en 2 horas. Tanto el tratamiento térmico como el recubrimiento cerámico se realizan en el mismo departamento (Departamento de Acabado), siendo necesarias 3 y 2 horas respectivamente. El acuerdo de suministro de material con nuestro proveedor garantiza el aprovisionamiento de 50 kg. de material a la semana. La plantilla de la empresa está compuesta por 4 personas que trabajan en conjunto 92 horas semanales. Las 92 horas se reparten 32 en el departamento de mecanizado y 60 en el departamento de Acabado. El coste de estas personas es de 400 € /hora siendo su contrato en función de la carga de trabajo pudiendo ser rescindido a discreción de la empresa Conociendo que el kg. de Inconel cuesta 800 $ ( 1$=1,25 €) y que los precios de venta de las camisas tipo 1 y 2 es 3920 € y 3700 € respectivamente: Se pide: a) Plantear y resolver el problema de Programación lineal que maximice el beneficio de la compañía. b) Plantear y resolver el problema dual en función del resultado del problema Primal. c) Justificar adecuadamente el valor del “costo de oportunidad” de las horas de mecanizado.

d) Indicar justificadamente cual sería el punto optimo de producción, si el precio de las camisas tipo 1 subiera 50 € y el de las camisas tipo 2 bajara 5 €. 50. La empresa Polipen S.A. tiene como objeto la fabricación de material de oficina, destacando su división de útiles de escritura. Su línea de fabricación contempla tres productos: Lápices, Bolígrafos y Plumas. El esquema de fabricación se indica a continuación: ALMACEN -----

ENSAMBLAJE

-----

EMPAQUETADO

La línea de ensamblaje está compuesta por 5 operarios a jornada completa y 15 operarios a media jornada, cuyos salarios son de 400 €/ hora y 450 €/hora respectivamente. Todo el personal de este departamento tiene un contrato de trabajo fijo. Se ha llegado a un acuerdo con el comité de empresa para dotar de flexibilidad a la plantilla de forma que se permite contratar al personal de la línea de empaquetado en función de la carga de trabajo. Su coste es de 500 €/hora para un máximo de 200 horas de trabajo contratadas por semana. El horario de la fábrica es de Lunes a Viernes de 8:30 a 13:30 por la mañana y de 15:00 a 18:00 por la tarde. La tabla siguiente indica el número de minutos necesarios para ensamblar y empaquetar cada uno de los productos: Ensamblaje Empaquetado

Lápices 300 60

Bolígrafos 240 240

Plumas 120 180

El precio de venta de los lápices, bolígrafos y plumas es respectivamente de 506 €/unidad, 2010 €/unidad y 1505 €/unidad respectivamente a.- Plantear el problema de Programación Lineal que optimice la producción de la compañía b.- Se quiere negociar el aumentar la capacidad de empaquetado hasta un máximo de 550 horas a la semana. ¿Cuántas horas aumentaría? ¿Cuál sería el punto óptimo en ese caso? ¿Cuál sería el salario máximo que estaría dispuesto a negociar? c.- ¿Cuál es el aumento de precio necesario para que merezca la pena invertir recursos en fabricar plumas? d.- Indicar cual es la bajada de precios que se puede soportar en los lápices sin que varíe el punto óptimo. 51. La Refinería Isla S.A., produce gasolina tipos regular y primera. La refinería fabrica los productos mezclando 3 componentes de petróleo. La empresa quiere determinar cómo mezclar los 3 componentes en los 2 productos de gasolina para alcanzar el máximo de ganancias. La gasolina regular se vende a $0.50 por el galón y la de primera se vende a $0.54 por el galón. Cinco mil galones están disponibles de Componente 1 cuyo costo es de $0.25 por el galón, 10000 galones están disponibles de Componente 2 con costo de $0.30 por el galón, y 10000 galones están disponibles de Componente 3 que cuesta $0.42 por el galón. Los compromisos actuales a distribuidores exigen a la compañía producir 10000 galones de gasolina regular por lo menos. Además, las especificaciones del producto requieren a lo siguiente: regular - a lo sumo 30% de Componente 1, por lo menos 40% de Componente 2, y a lo sumo 20% de Componente 3; la de primera - por lo menos 25% de Componente 1, a lo sumo 40% de Componente 2, y por lo menos 30% de Componente 3. 52. Una empresa proveedora de alimentos balanceados generadora de beneficios ha obtenido una orden de compra para producir un compuesto con, por lo menos, 100 gramos de fibras, 300 gramos de proteínas y 70 gramos de minerales. En el mercado puede obtener los siguientes productos con las siguientes características:

CONTENIDO DE: FIBRAS PROTEÍNAS MINERALES PRECIO POR KG.

1 20% 60% 9% $10

PRODUCTO 2 30% 50% 8% $15

3 5% 38% 8% $8

Determine: a) ¿Cuál será la proporción de cada producto en el compuesto óptimo? b) ¿A cuánto ascenderá el precio sombra (por gramo) de: Fibras, Proteínas y Minerales. 53. La empresa MADERAS S.A. es un fabricante de muebles independiente. Hace tres estilos diferentes de mesas, A, B, C. Cada modelo de mesa requiere de una cierta cantidad de tiempo para el corte de las piezas, su montaje y pintura. MADERAS S.A., puede vender todas las unidades que fabrica. Es más, el modelo B se puede vender sin pintar. Utilizando los datos indicados. Determine la máxima utilidad mensual que puede obtener la Empresa. Requerimiento de Horas Hombre por mesa Modelo Utilidad por mesa Corte Ensamblado Pintura A $ 17.500 1 2 4 B $ 20.000 2 4 4 B sin pintar$ 10.000 2 4 0 C $ 25.000 3 7 5 Disponibilidad mensual de HH 200 298 148 54. Una Empresa metalmecánica, puede fabricar cuatro productos diferentes (A, B, C, D) en cualquier combinación. La producción de cada producto requiere emplear las cuatro máquinas. El tiempo que cada producto requiere en cada una de las cuatro máquinas, se muestra en la tabla anexa Cada máquina está disponible 80 horas a la semana. Los productos A, B, C y D se pueden vender a $8, $6, $5 y $4 por kilogramo, respectivamente. Los costos variables de trabajo son de $3 por hora para las máquinas 1 y 2 y de $1 por hora para las máquinas 3 y 4. El costo del material para cada kilogramo de producto A es de $3. El costo de material es de $1 para cada kilogramo de los productos B, C y D. Determinar la máxima utilidad mensual que puede obtener la Empresa. Tiempo de máquina (Minutos por kilogramo de producto) Producto Máquina Demanda 1 2 3 4 Máxima A 10 5 3 6 100 B 6 3 8 4 400 C 5 4 3 3 500 D 2 4 2 1 150 55. DELL COMPUTER necesita satisfacer la demanda de computadoras portátiles de su Cliente Corporativo (PDVSA), así como de sus Clientes del Sector Educativo (USM), para los próximos cuatro trimestres. DELL COMPUTER dispone en inventario de 5,000 computadoras portátiles. La demanda esperada de computadoras portátiles para cada uno de los trimestres es la siguiente, 7,000; 15,000; 10,000; y 8,000 respectivamente. DELL COMPUTER tiene la capacidad productiva y los componentes requeridos para fabricar 10,000 computadoras portátiles en cada trimestre, a un costo unitario de $2000 por el computadora ensamblada. Usando horas extras de sobre tiempo, DELL COMPUTER, pudiera fabricar adicionalmente hasta 2,500 computadoras

portátiles trimestrales pero a un costo de $2200 cada una ó también pueden disponerse de computadoras fabricadas en un trimestre para satisfacer la demanda de otro trimestre, manteniendo las mismas en inventario. Cada computadora portátil en inventario genera un sobrecosto de almacenamiento y despacho de $100 la unidad almacenada. Indicar como puede DELL COMPUTER satisfacer la demanda de sus clientes al mínimo costo. 56. Una institución bancaria se encuentra en proceso de formular su política de préstamos para el próximo mes. Para este fin, se asigna un máximo de $12.000.000. Siendo una institución de servicios integrales, debe otorgar préstamos a todos los tipos de clientes. La tabla que sigue señala los tipos de préstamos, la tasa de interés que cobra el banco y la cantidad porcentual de pagos no cubiertos estimado por experiencia. TIPO DE PRÉSTAMO

TASA DE INTERÉS

Personal Automóvil Casa Agrícola Comercial

14%

PORCENTAJE DE PAGOS NO CUBIERTOS 10% 7% 3% 5% 2%

13%

12% 12,5% 10%

Se supone que los pagos no cubiertos son irrecuperables y por lo tanto no producen ingresos por concepto de interés. La competencia con otras instituciones bancarias exige que cuando menos el 40% de la asignación de fondos sea para préstamos agrícolas y comerciales. El banco tiene, así mismo, una política que especifica que el porcentaje total de pagos irrecuperables no debe exceder el 4%. Determinar las condiciones para las cuales se optimizan las ganancias netas de la institución bancaria. 57. Un restaurante de autoservicio, está abierto los siete días de la semana. Basado en la experiencia del pasado, el número de empleados requeridos en un día particular se da como sigue: DIA No. OBREROS

LUN. MAR. MIE. 14 13 15

JUE. 16

VIE. 19

SAB. DOM. 18 11

De acuerdo a la norma laboral, cada obrero trabaja cinco días consecutivos, con dos días de descanso, repitiéndose este proceso para todos los obreros. Indicar como se puede minimizar el número de obreros requeridos por el restaurante? 58. 55.- Una firma financiera tiene $500,000 disponible para invertir y busca determinar cuánto de esa cantidad debe ser invertida en cada una de las cuatro siguientes posibilidades: bolsa X, bolsa Y, bonos X y bonos Y, en el lapso de un año. Un máximo de $105,000 puede ser invertido en bonos de tipo X y un máximo de $100,000 puede ser invertido en bonos del tipo Y. La inversora sabe que existe un riesgo considerable asociado con la inversión en la bolsa X. Por lo tanto, ha determinado que no invertirá más de un cuarto de su inversión total en la bolsa X. También la cantidad total invertida en la bolsa Y debe ser al menos tres veces la cantidad invertida en la bolsa X. Además, la inversora requiere que la inversión en bonos sea al menos tan grande como la mitad de sus inversiones en las bolsas. Los retornos netos anuales son: Bolsa X Bolsa Y Bonos X Bonos Y

20% 10% 9% 11%

59. Una compañía de inversiones tiene que elegir entre cuatro proyectos que compiten por un presupuesto de inversión fijo de US$ 1,500,000. En la tabla anexa, se muestran la inversión neta y los rendimientos estimados de cada proyecto. A cada uno de estos proyectos se le pueden asignar fondos en cualquier nivel fraccional menor o igual al 100%. La compañía requiere de un rendimiento mínimo del 25% y desea minimizar el riesgo. Supóngase que el riesgo es aditivo. Por ejemplo, el riesgo de asignar fondos para aceites al 20% y para edificio de oficinas al 50% será (0,2)(9)+(0,5)(4)=3,8. Elabore un modelo de PL donde las variables de decisión sean las fracciones de cada proyecto que se debe llevar a cabo. Proyectos de inversión Proyecto Riesgo Centros Comerciales Aceite Edificios de Oficinas Viviendas para Bajos Ingresos

Monto de la inversión (US$) 550.000 400.000 450.000 500.000

Retorno estimado (US$) 700.000 900.000 550.000 600.000

6 9 4 2

60. En la empresa PROLINEAL S.A., el departamento de ingeniería señala que cuando se produce el bien 1 solamente, se obtiene como máximo una producción de 200 unidades del mismo; utilizando a pleno la capacidad instalada de máquinas del tipo A, no utilizando un 25% de la capacidad de las máquinas B y usando el 50% de las máquinas C. En cambio, cuando sólo se produce el bien 2 se utiliza el 100% de la capacidad instalada de máquinas C y sólo el 12.5% de la capacidad instalada de las A y el 75% de las B; obteniéndose un máximo de 100 unidades del bien en cuestión. El beneficio neto por unidad del bien 1 y del 2 es, respectivamente, $1 y $3. En base a los datos aportados por el departamento de ingeniería, el gerente de producción argumenta que como sobraría capacidad instalada del parque de maquinarias B, convendrá ofrecerlas en alquiler. El gerente técnico opina, en cambio, que bajo las circunstancias, lo que realmente conviene es introducir un nuevo producto, el bien 3, que requiere 2% de capacidad de A, 10% de B y 0.5% de C, para obtener una unidad de este bien; que puede venderse en el mercado con un beneficio neto unitario de $14. Como el presidente de la empresa sabe que usted tiene buenos conocimientos de programación lineal y que las condiciones en las que opera Prolineal son aptas a tal planteo, le pide que dé su opinión acerca del mejor curso de acción a seguir, respondiendo críticamente a los planteos de los dos gerentes. 61. La empresa avícola PROTINAL, desea alimentar a sus animales en forma tal que se cubran sus necesidades de nutrición a un costo mínimo. PROTINAL está estudiando el uso de maíz, soya, avena y alfalfa, cuya información dietética se muestra en la Tabla anexa, en miligramo por kg de oleaginosa. (por ejemplo, 1 kg de maíz proporciona 15 miligramos de proteína). Resuelva el modelo de programación lineal para determinar la mezcla dietética que satisfará los requisitos diarios a un costo mínimo. Nutriente diarias Proteína (mg) Calcio (mg) Grasas (mg) mg Calorías Costo por kg ($)

Maíz Soya Avena

Alfalfa

Necesidades

15 40 20

30 10 50

15 40 8

7 45 25

Mínimo 50 mg Mínimo 150 mg Mínimo 25 mg

850 70

1500 45

1200 40

4000 90

Mínimo 5000 calorías

Máximo 120

62. Al gerente de cartera de un fondo de pensiones se le ha pedido invertir $1.000.000 en un gran fondo de pensiones. El Departamento de Investigación de Inversiones ha identificado seis fondos mutuales con estrategias de inversión variables, resultando en diferentes rendimientos potenciales y riesgos asociados, como se resume en la tabla siguiente.

Retorno (%) Categoría de Riesgo

1 30

2 20

FONDOS 3 4 15 12

Alto

Alto

Alto

5 10

6 7

Medio Medio Bajo

La administración ha especificado las siguientes pautas: · La cantidad total invertida en fondos de alto riesgo debe estar entre el 50% y el 75% de la cartera. · La cantidad total invertida en fondos de mediano riesgo debe estar entre el 20% y el 30% de la cartera. · La cantidad total invertida en fondos de bajo riesgo debe ser de al menos el 5% de la cartera. · La cantidad invertida en los fondos de alto riesgo 1,2 debe estar en relación proporcional de 1:2. · La cantidad invertida en los fondos de mediano riesgo 4 y 5 debe estar en la proporción 1:2. Determine los fondos mutuales que maximicen el beneficio al final del período. 63. Una compañía petrolera produce dos tipos de gasolina, normal y super, que vende a sus estaciones de servicio a 120 y 140 por litro respectivamente. Ambos tipos de gasolina se realizan mezclando combustible nacional y extranjero de sus almacenes y debe cumplir las siguientes especificaciones:

NORMAL SUPER

Presión de Vapor Máxima 23 23

Octanaje Demanda Despachos Mínimo Máxima Mínimos (Lts/semana) (Lts/semana) 88 100.000 50.000 93 20.000 5.000

Las características del combustible disponible en el almacén son:

NACIONAL IMPORTADA

Presión de Vapor (Bs/Lit) 25 15

Octanaje Almacén Costo Mínimo (litros) 86 98

40.000 60.000

80 150

Determinar: ¿Qué cantidades de combustible nacional y extranjero deben mezclarse para producir las dos gasolinas y obtener los máximos beneficios semanales? NOTA: Los componentes de la mezcla contribuyen al octanaje (y a la presión de vapor) de acuerdo a su porcentaje en la mezcla. 64. Un industrial agrícola fabrica alimentos para vacas, ovejas y pollos. Esto se hace mezclando los siguientes ingredientes: maíz, piedra caliza, soja y harina de pescado. Estos ingredientes contienen los siguientes nutrientes: vitaminas, proteína, calcio y grasa. Los contenidos de los nutrientes en cada kg de los ingredientes se resumen en la tabla: Nutriente

Ingrediente Maíz Piedra caliza Soja Harina de Pescado

Vitamina 8 6 10 4

Proteína 10 5 12 8

Calcio 6 8 10 6 6 6 6 9

Grasa

El industrial es contratado para producir 10, 6 y 8 tons métricas de los tres tipos de alimentos. Debido a escasez, una cantidad limitada de los ingredientes está disponible, concretamente: 6 tons de maíz, 10 tons de piedra caliza, 4 tons de soja y 5 tons de harina de pescado. El precio por kilogramo de estos ingredientes es, respectivamente, $0,20, $0,12, $0,24 y $0,12. Las unidades máximas y mínimas de nutrientes permitidas por kg de alimento se detallan en la siguiente tabla:

PRODUCTO Al. vaca Al. oveja Al. pollo

Nutriente VITAMINA min max 6 6 4 6

PROTEÍNA min max 6 6 6

CALCIO min max 7 6 6

GRASA min max 4 8 4 6 4 6

Determinar la composición del alimento que minimice su costo total. 65. Una compañía produce tres tamaños de tubos: A, B y C, que son vendidos, respectivamente en $10, $12 y $9 por metro. Para fabricar cada metro del tubo A se requieren de 0.5 minutos de tiempo de procesamiento sobre un tipo particular de máquina de modelado. Cada metro del tubo B requiere de 0.45 minutos y cada metro del tubo C requiere 0.6 minutos. Después de la producción, cada metro de tubo, sin importar el tipo, requiere 1 kg de material de soldar. El costo total se estima en $3, $4 y $4 por metro de los tubos A, B y C respectivamente. Para la siguiente semana, la compañía ha recibido pedidos excepcionalmente grandes de sus clientes, que totalizan 2000 metros de tubo A, 4000 metros de tubo B y 5000 metros del tubo C. Como sólo se dispone de 40 hrs. Del tiempo de máquina esta semana y sólo se tienen en inventario 5,500 kgs de material de soldar el departamento de producción no podrá satisfacer la demanda la cual requiere de 11,000 kgs de material para soldar y más tiempo de producción. No se espera que continúe este alto nivel de demanda. En vez de expandir la capacidad de las instalaciones de producción, la gerencia esta considerando la compra de algunos de estos tubos a proveedores de Japón a un costo de entrega de $6 por metro del tubo A, $6 por metro del tubo B y $7 por metro del tubo C. Estos diversos datos se resumen en la tabla 1. A Usted como Gerente del Departamento de producción, se le ha pedido hacer recomendaciones respecto a la cantidad de producción de cada tipo de tubo y la cantidad de compra a Japón para satisfacer la demanda y maximizar las ganancias de la Compañía. Tabla 1: Datos referentes al problema: Tubo Precio de Demanda Tiempo de Costo Tipo Venta (metros) Máquina compra ($/metro) Japón A B C

10 12 9

Material

Costo

para soldar Producción a ($/metro)

(min/metro) (kg/metro) 2,000 4,000 5,000

0.50 0.45 0.60

de

1 1 1

3 4 4

($/m) 6 6 7

Formule el modelo de PL 66. La empresa REPSOL-YPF, obtiene 4 tipos de petróleo crudo de sus reservas en Argentina, Norte de África, Indonesia y Oriente Medio. La gasolina obtenida de estos petróleos crudos se mezcla junto con dos aditivos para obtener el producto final. Estos petróleos crudos y aditivos contienen azufre y fósforo, según se muestra en la tabla adjunta: Argentina Aditivo B Azufre (%) 0,07 Fósforo (%) Costo(/galon) 0,55 0,15

Indonesia

África

0,08 -

0,1 0,47

Oriente 0,06 0,33

Aditivo

0,025 0,45

A

0.020 0,08

Debido a los residuos e impurezas, cada galón de petróleo de Argentina da lugar a 0.35 galón de producto final, cada galón de Norte de África da lugar a 0.3 galón de producto final, cada galón de Indonesia da lugar a 0.4 galón de producto final y cada galón de Oriente Medio da lugar a 0.45 galón de producto final. La gerencia ha establecido las siguientes especificaciones técnicas para controlar las cantidades de azufre y fósforo en la gasolina: * Cada galón debe tener a lo más 0.07% de azufre. * Cada galón debe tener entre 0.0025 y 0.0045 gr. de fósforo. * La cantidad total de aditivos no puede exceder del 20% de la mezcla. Plantee un modelo de programación lineal que le permita determinar un plan de mezclado que produzca una gasolina aceptable al mínimo costo. 67. La empresa PARMALAT tiene dos máquinas distintas para procesar leche pura y producir leche descremada, mantequilla o queso. La cantidad de tiempo requerido en cada máquina para producir cada unidad de producto resultante y las ganancias netas se proporcionan en la siguiente tabla:

MAQUINA #1 (min/galón) MAQUINA #2 (min/galón) GANANCIA NETA (US$/Galon)

LECHE MANTEQUILLA DESCREMADA 0,2 0,5 0,3 0,7 0,22 0,38

QUESO

0,72

1,5 1.2

Suponiendo que se dispone de 8 horas en cada máquina diariamente, como Gerente del Departamento de Administración formule un modelo para determinar un plan de producción diaria que maximice las ganancias corporativas netas y produzca un mínimo de 300 galones de leche descremada, 200 libras de mantequilla y 100 libras de queso. 68. Considere un presupuesto de publicidad de $30,000 para un nuevo producto ligeramente caro. Por lo menos deben usarse 10 anuncios de la televisión, y por lo menos deben localizarse 50,000 compradores potenciales durante la campaña. También, un máximo de $18,000 pueden gastarse los anuncios en la televisión. ¿Dado los datos incluidos en la Tabla anexa determinar el plan de medios de comunicación de publicidad óptimo que aumentará al máximo las compras esperadas? Tipo de Medio compra

Familias Costo Máximo Expectativa Encuestadas Por aviso disponible de

TV-de día (1 min.) 65 TV-tarde. (30 sec.) Periódico semanal Periódico domingo Radio (30 sec.)

1,000 2,000 1,500 2,500 300

$1,500 $3,000 $400 $1,000 $100

15 10 25 30

4

90 40

60

20

69. Knoxville Survey S.A. se ha contratado para dirigir la puerta-a-puerta las entrevistas personales para obtener la información de ambas casas con y sin niños para un estudio de mercado. Además, las entrevistas se realizaran mañana y tarde para permitir incluir una variedad de actividades de trabajo de la casa. La empresa debe dirigir 1,000 entrevistas bajo las pautas siguientes: 1. Por lo menos se entrevistarán 400 casas con los niños. 2. Por lo menos 400 casas se entrevistarán sin niños. 3. El número total de entrevistas de la tarde será por lo menos tan grande como el número total de entrevistas del día. 4. Por lo menos se dirigirán 40% de entrevistas para las casas con niños durante la tarde. 5. Por lo menos 60% de entrevistas para las casas sin niños durante la tarde. Los costos de la entrevista son $20 durante niño-día, $25 por niño-tarde, $18 durante ningún niño-día, y $20 durante ningún niño-tarde. ¿Determinar cuántas entrevista de cada tipo debe hacerse para minimizar los costos del estudio de mercado? 70. Una firma productora de detergentes cuenta con dos procesos productivos para fabricarlos. Cada actividad utiliza enzimas, capacidad de planta de producción y capacidad de planta de envasado. Las enzimas se pueden comprar en el mercado en cantidades ilimitadas a $100 por unidad. Las plantas de envasado y producción tienen una capacidad máxima de procesado fija. El precio del detergente es de $4 por unidad y se puede vender toda la cantidad que se pueda fabricar. El primero de los procesos utiliza dos unidades de enzimas, 4% de la capacidad de la planta de producción y 8% de la de envasado, por cada 100 unidades de detergente. El segundo proceso requiere dos unidades de enzimas, 2% de la capacidad de la planta de producción y 12% de la de envasado, por cada 100 unidades de detergente. Determine: a) ¿Cuál es el programa óptimo de producción y a cuánto ascenderá el beneficio esperado? b) ¿Cuál planta aconsejará usted ampliar, si ello fuera posible y de muy bajo costo, y en qué porcentaje? 71. Unos grandes almacenes necesitan entre 6 y 15 vigilantes cuando están abiertos al público y entre 4 y 7 vigilantes nocturnos. Por razones de seguridad, debe haber más vigilantes cuando están abiertos. Si el salario nocturno es un 60% más alto que el diurno, ¿cómo debe organizarse el servicio para que resulte lo más económico posible? 72. La Constructora Casas Ltda., se ha adjudicado la construcción de 100 casas. El contrato la obliga a construir dos tipos de casas. Para los beneficiarios las casas tienen el mismo costo, pero para Constructora Casas, éstas tienen un margen de utilidad diferente, así las casas tipo campo arrojan $5.100.000 y las de tipo rancho $ 5.000.000. El contrato obliga a entregar las casas dentro de los nueve meses de firmado el contrato. Otra información relevante se resume en la siguiente tabla: Requerimiento de horas

Disponibilidad de horas

por tipo de casa Campo Rancho 200 100 50 120

12000 13000

Carpintero Albañil

a) Formule el problema de programación lineal. b) Encuentre la solución óptima gráficamente. c) Suponga que se desea agregar un nuevo tipo de casa denominada “Colonial” que da un margen de utilidad de 4.900.000/casa y que requiere de 150 hr-carpintero/casa y 80 hr-albañil/casa. Explique si conviene o no fabricar las casas. 73. Una empresa proveedora de alimentos balanceados y maximizadora de beneficios ha obtenido una orden de compra para producir un compuesto con, por lo menos, 100 gramos de fibras, 300 gramos de proteínas y 70 gramos de minerales. En el mercado puede obtener los siguientes productos con las siguientes características: CONTENIDO DE: FIBRAS PROTEÍNAS MINERALES PRECIO POR KG.

1 20% 60% 9% $10

PRODUCTO 2 30% 50% 8% $15

3 5% 38% 8% $8

Conteste: a) ¿Cuál será la proporción de cada producto en el compuesto óptimo? b) ¿A cuánto ascenderá el precio sombra (por gramo) de: - Fibras, Proteínas y Minerales? c) ¿Cómo cambiaría su respuesta a cada uno de los puntos anteriores si se exige que cada unidad de compuesto pese un kilo exactamente? 74. En el zoológico municipal, se requiere un compuesto de carne para alimentar a los leones, que contenga igual cantidad de proteínas y de grasa. Según un estudio de mercado, los distintos tipos de carne tienen las siguientes características y los siguientes precios: CONTENIDO DE: GRASAS PROTEÍNAS PRECIO POR KG.

CARNE TIPO: A B C 16% 18% 25% 22% 20% 16% $70 $90 $100

Si se desea minimizar el costo de la alimentación de las fieras: a) Plantee el problema en términos de programación lineal. b) Plantear el programa dual al planteado por usted. c) Encontrar la combinación óptima de tipos de carne a adquirir que minimiza el costo de la dieta por kilogramo de ración. 75. En la empresa PROLINEAL, el departamento de ingeniería señala que cuando se produce el bien 1 solamente, se obtiene como máximo una producción de 200 unidades del mismo; utilizando a pleno la capacidad instalada de máquinas del tipo A, no utilizando un 25% de la capacidad de las máquinas B y usando el 50% de las máquinas C. En cambio, cuando sólo se produce el bien 2 se utiliza el 100% de la capacidad instalada de máquinas C y sólo el 12.5% de la capacidad instalada de las A y el 75% de las B; obteniéndose un máximo de 100 unidades del bien en cuestión. El beneficio neto por unidad del bien 1 y del 2 es, respectivamente, $1 y $3. En base a los datos aportados por el

departamento de ingeniería, el gerente de producción argumenta que como sobraría capacidad instalada del parque de maquinarias B, convendrá ofrecerlas en alquiler. El gerente técnico opina, en cambio, que bajo las circunstancias, lo que realmente conviene es introducir un nuevo producto, el bien 3, que requiere 2% de capacidad de A, 10% de B y 0.5% de C, para obtener una unidad de este bien; que puede venderse en el mercado con un beneficio neto unitario de $14. Como el presidente de la empresa sabe que usted tiene buenos conocimientos de programación lineal y que las condiciones en las que opera Prolineal son aptas a tal planteo, le pide que dé su opinión acerca del mejor curso de acción a seguir, respondiendo críticamente a los planteos de los dos gerentes. 76. En una economía lineal, se requiere por hectárea 2 hombres, 6 bolsas de semillas y 3 de fertilizantes; para obtener un rendimiento por hectárea de 3 toneladas de trigo candeal. Por otra parte, para obtener un rendimiento por hectárea de 2 toneladas de cebada se necesitan, en cambio, por hectárea; 4 bolsas de semillas, 2 de fertilizantes y 3 hombres. - (producción). Una vez cosechada la producción, ésta debe almacenarse en silos del tipo A, B y/o C, cuyas capacidades son de 100 toneladas de cereales cada uno (alternativamente, debe venderse a un precio de $100 la tonelada de cereal sea cual fuere el producto). Los silos del tipo A sólo almacenan trigo; los del tipo B sólo cebada, mientras que los del tipo C pueden almacenar ambos productos simultánea o indistintamente. - (almacenamiento). Los valores pertinentes a los enunciados anteriores son: - Costo por bolsa de semilla de trigo $5 - Costo por bolsa de semilla de cebada $10 - Costo por bolsa de semilla de fertilizantes $10 - Precio por tonelada de trigo $190 - Precio por tonelada de cebada $160 - Cantidad de silos: uno de cada tipo. - Cantidad de hombres: 320 - Cantidad de Hectáreas: 120 (Los precios rigen para la venta después del período de almacenamiento). a) Plantee el problema global (de producción y de almacenamiento) en términos de programación lineal, si el objetivo es maximizar los beneficios. b) Plantee y resuelva únicamente el problema de producción. c) Plantee el dual de a) y la primera tabla de simplex. 77. En una fábrica de guardapolvos se pueden producir tres tipos de prendas. - La primera de ellas requiere dos horas hombre del taller de cortado y cuatro horas hombre del taller de cosido. - El segundo artículo se fabrica utilizando una hora hombre del taller de cortado y cinco del de cosido. - La confección de la última especie de prenda requiere tres horas hombre de cada uno de los talleres señalados. Cada una de las prendas que es factible producir consume respectivamente, por unidad; dos, tres y cinco metros cuadrados de tela cuyo costo por metro cuadrado es de $3. Si la empresa dispone en cada taller respectivamente de 100 cortadores y de 350 cosedores, operarios que deben cumplir con 200 horas de trabajo mensual cada uno, y se verifican las condiciones necesarias para la aplicación de la programación lineal: a) Determine cuál será la asignación óptima de la mano de obra entre las distintas actividades si el precio de los tres tipos de guardapolvos -al que

pueden venderse cantidades ilimitadas de los mismos- es de $20, $26 y $40 cada uno, respectivamente. b) Conteste: ¿produciría una nueva prenda cuyo precio es de $52 y que requiere 4 horas hombre de cortado y 5 de cosido, consumiendo 6 metros cuadrados de tela? c) Plantee el problema en términos de programación lineal si cada operario del plantel de cortadores pudiera trabajar 20 horas extras mensuales a un costo de $4 la hora adicional. 78. Una firma productora de detergentes cuenta con dos procesos productivos para fabricarlos. Cada actividad utiliza enzimas, capacidad de planta de producción y capacidad de planta de envasado. Las enzimas se pueden comprar en el mercado en cantidades ilimitadas a $100 por unidad. Las plantas de envasado y producción tienen una capacidad máxima de procesado fija. El precio del detergente es de $4 por unidad y se puede vender toda la cantidad que se pueda fabricar. El primero de los procesos utiliza dos unidades de enzimas, 4% de la capacidad de la planta de producción y 8% de la de envasado, por cada 100 unidades de detergente. El segundo proceso requiere dos unidades de enzimas, 2% de la capacidad de la planta de producción y 12% de la de envasado, por cada 100 unidades de detergente. Conteste: a) ¿Cuál es el programa óptimo de producción y a cuánto ascenderá el beneficio esperado? b) ¿Cuál planta aconsejará usted ampliar, si ello fuera posible y de muy bajo costo, y en qué porcentaje? 79. En una economía lineal, para producir 3 unidades de trigo se requieren 6 unidades de tierra, $8 en semillas y 3 trabajadores. Para producir 4 unidades de centeno se requieren 5 unidades de tierra, $10 de semillas y 6 trabajadores. El precio por unidad de trigo y centeno es $15 y $20,5 respectivamente, siendo las cantidades disponibles de tierra y de trabajo de 100 y 130 unidades respectivamente. Si el empresario desea optimizar el resultado de su explotación, interprete la solución del dual. 80. Usted, como vendedor de FERRETERIA S.A. tiene que decidir cómo asignar sus esfuerzos entre los diferentes tipos de clientes de su territorio. Usted debe visitar comerciantes mayoristas y clientes que compran al detalle. Una visita a un comerciante mayorista usualmente le produce $20 en ventas, pero la visita en promedio dura 2 horas y debe manejar también en promedio 10 Km. En una visita a un comprador al detalle, le vende $50 requiere de unas 3 horas y 20 Km manejando su carro aproximadamente. Usted planifica viajar como máximo 600 Km por semana en su carro y prefiere trabajar no más de 36 horas a la semana. Encuentre la combinación óptima de visitas a comerciantes y clientes al menudeo que le permitan maximizar sus ganancias 81. El grupo ANTAR, S.A. está analizando la posibilidad de diversificar sus inversiones, hacia sectores diferentes de donde se encuentra operando actualmente. El presupuesto disponible para inversiones de esta naturaleza se ha fijado en $100,000,000. Tomando en cuenta las áreas de inversión actuales, el director de finanzas ha recomendado que las nuevas inversiones sean en la INDUSTRIA PETROLERA, LA INDUSTRIA SIDERÚRGICA Y EN CETES. Específicamente, el director ha identificado siete oportunidades de inversión, así como las tasas de rendimiento esperadas de las mismas. Dicha información se da a continuación. OPCIONES DE INVERSIÓN Petróleo y Derivados, S.A. Industria Petrolera, S.A.

TASA DE RENDIMIENTO (%) 50 75

Petróleos del Norte, S.A. Aceros Monclova, S.A. Siderúrgica Nacional, S.A. Hierro y Acero, S.A. CETES

40 70

45

55 60

El consejo de Administración ha impuesto, por su parte, la siguiente estrategia de inversión: 1. No se debe destinar más del 50% del total de la inversión a una industria en particular. 2. La inversión en CETES debe ser por lo menos el 25% del total invertido en siderurgia. 3. La inversión en Industria Petrolera S. A., la cual resulta ser la de mayor rendimiento aunque también la de más alto riesgo, no puede exceder al 50% del total a invertir en el sector petrolero. 4. El total a invertir en siderúrgica debe ser por lo menos igual al invertido en petróleo. 1. Formular el modelo como uno de PL 2. Desarrollar el modelo Matemático 82. Texas Instruments Inc. está estudiando la posibilidad de agregar nuevos minicomputadores a su línea con el fin de incrementar sus utilidades. Tres nuevos computadores han sido diseñados y evaluados. Cada uno requerirá de una inversión de $300,000. El computador 1 tiene un valor esperado en las ventas de 50,000 unidades por año, con una contribución en las utilidades de $20 por unidad. Los computadores 2 y 3 tienen un valor esperado de ventas de 300,000 y 100,000 unidades, respectivamente, con contribuciones en la utilidad de $5 y $10. La TEI ha asignado 800 horas mensuales de tiempo de planta técnica para estos nuevos productos. Los computadores 1, 2 y 3 requieren 1, 0.2 y 0.5 horas técnicas por unidad respectivamente. El sistema de empaque y despachos serán los usados actualmente por la compañía. Este sistema puede empacar y despachar como máximo 25,000 cajas de los minicomputadores 1, 2 y 3. El computador 1 es empacado en 1 caja; los computadores 2 y 3 son empacados, cada uno, 4 computadores por caja. Formule un modelo de programación lineal para determinar las decisiones que aporten la máxima utilidad a la TEI. 83. En un contexto que usted puede asumir como lineal, una fábrica de jeans produce varios modelos de pantalones: - El modelo "Basic" (B), que requiere 2 m2 de tela denim, 3 minutos hombre del taller de cortado para cortar las distintas piezas y 6 minutos hombre del taller de cosido. El empaque se hace en un minuto y cada prenda esta lista para ser despachada previo desembolso de tres pesos por prenda en concepto de caja de embalaje y apliques varios en cada pantalón. - El modelo "Basic plus" (BP) no es otra cosa que el modelo anterior al que se le agrega un bordado muy bonito cuya confección requiere de 1 minuto de la utilización del taller de bordado. - El modelo "Basic plus ultra" (BPU) es igual al modelo Basic plus pero esta confeccionado previo planchado de la tela -que requiere de un lapso de 2 minutos por prenda de la concurrencia de Juanita, la planchadora-. - Los modelos B largo, BP largo y BPU largo son variantes de los modelos comunes descriptos, pero requieren un 10% más de cada uno y de todos los insumos por prenda. Existe, sin embargo, una limitación dado que no es posible producir más de 30 de estas prendas en total, limitación que no rige para las prendas comunes. Los parámetros relevantes son los siguientes: - Costo de la tela por m2 $10.

- Capacidad máxima disponible mensual en horas hombre del taller de cortado 2000; del taller de cosido 800; del taller de bordado 250; del taller de empaque 70. Juanita sólo trabaja 100 horas efectivas mensuales. - Los jeans comunes B, BP y BPU se pueden colocar en cantidades ilimitadas a $30, $40 y $50 respectivamente y los modelos BL, BPL y BPUL de igual modo, a $34, $43 y $56 respectivamente. a) Formule el problema en términos de programación lineal. b) Si fuera posible obtener un 50% de horas adicionales del taller de cortado a un precio de $1 por minuto, ¿cómo modificaría su planteo? 84. Un complejo industrial produce dos productos, A y B, los que comercializa en mercados perfectamente competitivos a $120 y $630 por unidad respectivamente. Para producir cada uno de estos bienes se requieren respectivamente por cada 100 unidades, 4 y 8 horas/operario y, 1 y 3 horas/supervisor. También se necesita de máquinas tipo X y de tipo Y para el procesamiento de estos productos. El parque de máquinas tipo X tiene una capacidad para procesar 40 y 60 unidades de cada uno de los productos citados respectivamente por minuto y en forma simultánea. Mientras que el parque de máquinas de tipo Y utiliza igual tiempo de procesamiento por producto pero en forma secuencial, de modo que, por ejemplo, si se procesa A al máximo admisible por minuto no se puede procesar unidad de B alguna en igual lapso. El producto B requiere a su vez como insumo de 2 unidades de A por cada unidad de B. La materia prima indispensable para producir A es de 2 kg. por unidad cuyo costo por kg. es de $10, en la medida en que no se excedan las 10 toneladas de consumo por período y de $15 por el excedente de dicho tonelaje, si lo hubiera. La empresa considerada dispone de 10 operarios y de 3 supervisores y, en cada período, de 7 horas-máquina tipo X y de 13 horas-máquina del otro tipo. Las horas efectivas de trabajo suman 9 horas por período y por trabajador. Es posible disponer horas/operario extra a un costo de $60 la hora. El equipo de ventas puede comercializar hasta un máximo de 3000 y 8000 unidades de A y B respectivamente por período. Cuando no se especifica la duración, el período se asume de una duración de 9 horas. Suponiendo que se cumplen los supuestos para la aplicación de la programación lineal: a) Plantee en términos de programación lineal el problema de optimización que enfrenta la Dirección del complejo industrial. b) Plantee e interprete el problema dual si no existieran horas extras ni precios diferenciales por insumos, ni restricciones a la comercialización. 85. Si Q1, Q2; U1, U2, U3 denotan respectivamente a las variables funcionales y de holgura de un programa lineal y V 1, V2, V3; L1, L2 simbolizan respectivamente a las variables funcionales y de holgura del correspondiente programa dual, ¿puede el siguiente conjunto de valores constituir un par de soluciones óptimas? Q1=12, Q2=0, U1=3, U2=4, U3=0, L1=0, L2=4, V1=6, V2=0, V3=4. Fundamente su respuesta. 86. Una empresa productora de pepinos envasados que dispone de 100 horas operario y dos plantas ubicadas en distintos puntos geográficos del país debe satisfacer los pedidos diarios de tres comerciantes en distintas zonas. Los costos de transporte de cada planta a cada cliente por paquete de envasados se resume en la siguiente tabla : Tarifa por paquete desde planta hasta el comercio Comerciante A Comerciante B Comerciante C

Planta I

Planta II

$4 $6 $5

$7 $5 $8

La elaboración diaria de cada paquete de envasados en la planta I requiere de 1/2 hora operario, 4/3 % de utilización de la capacidad de la maquinaria para envasado y de $ 2 en concepto de insumos varios. La planta II (cuya tecnología es menos eficiente) requiere un 50% más de todos los insumos por unidad de producto. El precio uniforme por paquete es de $ 13 y las cantidades diarias requeridas por los tres clientes es respectivamente de 50, 60 y 40 paquetes. a) Plantee el problema de optimización que se le presenta al empresario en términos de PL. b) Si cada planta, en el planteo anterior, produjera 50 y 100 paquetes respectivamente, obtenga un plan de transporte óptimo, independientemente de los costos de producción. 87. Asuma que debe programar la producción de una empresa agrícola en cada uno de los siguientes cuatro periodos en los que son elegibles tres cultivos posibles- el A, el B y el C -, existe una restricción de tierra (T), los coeficientes de insumo producto son conocidos e iguales para cada cultivo en los distintos periodos pero diferentes entre sí (a, b y c) y los precios netos (Pat, Pbt y Pct) son datos en todos los periodos. Existen además las siguientes restricciones de rotación: i) no se puede cultivar el mismo producto en la tierra en que se lo cultivó en el periodo anterior y ii) no se puede cultivar C en más de dos periodos en la misma tierra. Formule el programa lineal a resolver. 88. Una empresa proveedora de alimentos balanceados y maximizadora de beneficios ha obtenido una orden de compra para producir un compuesto con, por lo menos, 100 gramos de fibras, 300 gramos de proteínas y 70 gramos de minerales pero que no excedan respectivamente de 150, 400 y 90 gramos. En el mercado puede obtener los siguientes productos con las siguientes características: CONTENIDO DE: FIBRAS PROTEÍNAS MINERALES PRECIO POR KG

PRODUCTO 1 2 20% 30% 60% 50% 9% 8% $10 $15

3 5% 38% 8% $8

Si el compuesto no puede pesar más de 500 gramos -o si lo hace se debe pagar una multa de 20 centavos por gramo excedente por los primeros 50 grs y de 30 centavos si excede de 50 grs- formule el problema de optimización que enfrenta el empresario en términos de PL si debe producir 10.000 unidades del compuesto. 89. Una persona tiene suficiente arcilla para hacer 24 vasos pequeños o 6 vasos grandes. Tiene suficiente de un compuesto especial (materia prima del vidrio) que le permitiría hacer 16 de los vasos pequeños u 8 de los vasos grandes. Haciendo X1 = número de vasos pequeños y X2 = el número de vasos grandes. Los vasos más pequeños se venden a $3 cada uno, y los más grandes a 9$. (a) Formular el problema (b) Resolver gráficamente 90. La empresa LAVAELECTRO S.A. es fabricante de dos componentes mecánicos para una gran compañía de lavadoras de ropa. La compañía fabricante de lavadoras hace pedidos trimestrales a LAVAELECTRO S. A. Los requerimientos mensuales varían de un mes a otro, dedo que a venta de lavadoras se ve afectada por cierta estacionalidad, LAVAELECTRO S. A. acaba de recibir una orden para el siguiente trimestre, la cual se detalla a continuación.

MES Componente X-126 A X-112 C

Enero 30,000 10,000

Febrero 20,000 20,000

Marzo

40,000 30,000

Después que se procesa la orden, se envía una requisición al departamento de control de producción, en donde elaboran una programación trimestral para ambos componentes. El gerente de producción opina que lo mejor es fabricar en promedio 30,000=(30,000+20,000+40,000)/3 unidades por mes del primer componente, y 20,000=(10,000+20,000+30,000)/3 unidades por mes del segundo componente, con lo cual se tendría un nivel de producción constante. Por otra parte, el gerente de finanzas no opina lo mismo que el de producción, dado que con una producción constante, el nivel de inventarios para los componentes sería alto, redundando en un alto costo financiero. Específicamente, el inventario que se generaría con una producción constante es: Mes Final X-126A 0 1 10,000 2 0 Y-112C 1 10,000 2 3

Inventario Inicial

Producción Ventas

0

30,000

30,000

0

30,000

20,000

10,000 0 10,000

30 ,000 20,000

Inventario

40,000 10,000

10,000

20,000

20,000

10,000

20,000

30,000

0 Por tanto, el gerente de finanzas sugiere que se produzca únicamente lo que se va a vender en cada mes. A esta sugerencia, el gerente de producción ha contestado que sería muy costoso para la compañía tener tiempo ocioso en la maquinaria durante ciertos meses al variar el nivel de producción; y además, que sería aún más costoso para la empresa, disponer de diferentes niveles de mano de obra de un mes a otro. El gerente de control de la producción ha decidido conciliar los objetivos en conflicto de los gerentes de producción y de finanzas, para la cual ha obtenido la siguiente información: Mes Capacidad en maquinaria Capacidad en Capacidad en (horas) mano de obra almacén (horas) Enero 800 1,000 300 Febrero 1,000 1,000 300 Marzo 1,500 1,000 300 Componente Horas-máquina por Espacio unitario Unidad X-126A 0.10 0.05 Y-112C 0.15 0.05

(m2)

Horas-hombre por unidad

0.30 0.25

(m2)

Adicionalmente, se sabe que el costo de producción es $3,000 para el primer componente y $2,000 para el segundo; el costo de mantener una unidad en inventario se estima en 5% del costo de producción y actualmente se tienen en inventario 10,000 unidades del primer componente y 5,000 unidades del segundo; el costo por hora-hombre contratada adicionalmente es $1,000 y por hora-hombre no utilizada es $500. ¿Qué programa de producción debe establecer el gerente de control de producción? 91. Una hiladora ha recibido una orden para producir un hilo que debe contener al menos 45 onzas de algodón y 25 onzas de seda. La orden puede ser conformada para cualquier mezcla posible de dos tipos de Hilo (A y B). El Material A cuesta $3 por onza y el B cuesta $2 por onza. Contienen las proporciones de algodón y seda que se presentan en la siguiente tabla: Algodón Seda A 30 % 50 % B 60 % 10 % ¿Qué cantidades (onzas) de hilos A y B deberían ser usadas para minimizar el costo de esta orden? 92. Una persona acaba de heredar $6000 y que desea invertirlos. Al oír esta noticia dos amigos distintos le ofrecen la oportunidad de participar como socio en dos negocios, cada uno planeado por cada amigo. En ambos casos, la inversión significa dedicar un poco de tiempo el siguiente verano, al igual que invertir efectivo. Con el primer amigo al convertirse en socio completo tendría que invertir $5000 y 400 horas, y la ganancia estimada (ignorando el valor del tiempo) sería $4500. Las cifras correspondientes a la proposición del segundo amigo son $4000 y 500 horas, con una ganancia estimada de $4500. Sin embargo, ambos amigos son flexibles y le permitirían entrar en el negocio con cualquier fracción de la sociedad; la participación en las utilidades será proporcional a esa fracción. Como de todas maneras esta persona está buscando un trabajo interesante para el verano (600 horas a lo sumo), ha decidido participar en una o ambas propuestas, con la combinación que maximice la ganancia total estimada. Es necesario resolver el problema de obtener la mejor combinación. a) Formule el modelo de programación lineal para este problema. b) Resuelva este modelo con una gráfica. ¿Cuál es la ganancia total estimada? c) Indique por qué parece que cada una de las cuatro suposiciones de programación lineal se satisface razonablemente en este problema. ¿Está en duda alguna de las suposiciones? Si así es, ¿Qué puede hacerse para tomar en cuenta esto? 93. Una compañía manufacturera descontinuó la producción de cierta línea de productos no redituable. Esto creó un exceso considerable en la capacidad de producción. La gerencia quiere dedicar esta capacidad a uno o más de tres productos, llámense productos 1, 2 y 3. En la siguiente tabla se resume la capacidad disponible de cada máquina que puede limitar la producción. Tipo de máquina

Tiempo disponible (en horas-máquina por semana) Fresadora 500 Torno 350 Rectificadora 150 El número de horas-máquina que se requiere para cada producto es: Coeficiente de productividad (en horas-máquina por unidad) Tipo de máquina

Producto 1 Producto 2 Producto 3

Fresadora Torno Rectificadora

9 5 3

3 4 0

5 0 2

El departamento de ventas ha indicado que las ventas potenciales para los productos 1 y 2 exceden la tasa máxima de producción y que las ventas potenciales del producto 3 son 20 unidades por semana. La ganancia unitaria sería de $50, $20 y $25, respectivamente, para los productos 1, 2 y 3. El objetivo es determinar cuántos productos de cada tipo debe producir la compañía para maximizar la ganancia. Formule y resuelva el modelo de programación lineal para este problema. 94. Un granjero cría cerdos para venta y desea determinar qué cantidades de los distintos tipos de alimento debe dar a cada cerdo para cumplir requisitos nutricionales a un costo mínimo. En la siguiente tabla se dan las unidades de cada clase de ingrediente nutritivo básico contenido en un kg. de cada tipo de alimento, junto con los requisitos nutricionales diarios y los costos de los alimentos: Ingrediente nutricional Requerimiento

Maíz (Kg)

Grasas (Kg) Alfalfa(Kg.)

Carbohidratos Proteínas Vitaminas Costo (US$)

90 30 10 42

20 80 20 36

40 60 60 30

(mín./dia) 200 180 150

Formule y resuelva el modelo de programación lineal. 95. La compañía UNITECH tiene tres plantas con un exceso en su capacidad de producción. Las tres pueden fabricar un determinado producto y la gerencia ha decidido usar parte de la capacidad adicional para esto. El producto puede hacerse en tres tamaños: grande, mediano y chico, que darán una ganancia neta de $420, $360 y $300, respectivamente. Las plantas tienen capacidad de mano de obra y equipo para producir 750, 900 y 450 unidades diarias cada una, sin importar el tamaño o la combinación de tamaños de que se trate. La cantidad de espacio disponible para almacenar material en proceso impone también una limitación en las tasas de producción del nuevo producto. Se cuenta con 13000, 12000 y 5000 pies cuadrados de espacio en las plantas 1, 2 y 3, para los materiales en proceso de la producción diaria de este producto. Cada unidad grande, mediana y chica que se produce requiere 20, 15 y 12 pies cuadrados, respectivamente. Los pronósticos de mercado indican que se pueden vender 900, 1200 y 650 unidades diarias, correspondientes a los tamaños grandes, mediano y chico. Con el fin de mantener una carga de trabajo uniforme entre las plantas y para conservar alguna flexibilidad, la gerencia ha decidido que la producción adicional que se les asigne emplee el mismo porcentaje de la capacidad adicional con que cuentan. El gerente quiere saber cuántas unidades de cada tamaño debe producir en cada planta para maximizar la ganancia. Formule y resuelva el modelo de programación lineal. 96. Una familia campesina es propietaria de 125 acres y tiene fondos por $40,000 para invertir. Sus miembros pueden producir un total de 3500 horas-hombre de mano de obra durante los meses de invierno (mediados de Mayo a mediados de Septiembre) y 4000 horas-hombre durante el verano. En caso de que no se necesite una parte de estas horas-hombre, los jóvenes de la familia las emplearán para trabajar en un campo vecino por $5. la hora durante los meses

de invierno y por $6 la hora en el verano. Pueden obtener el ingreso en efectivo a partir de tres tipos de cosecha y dos tipos de animales de granja: vacas lecheras y gallinas ponedoras. Para las cosechas no se necesita inversión, pero cada vaca requerirá un desembolso de $1,200 y cada gallina costará $9. Cada vaca necesita 1.5 acres, 100 horas-hombre durante el invierno y otras 50 horas-hombre en el verano; cada una producirá un ingreso anual neto de $1000 para la familia. Las cifras correspondientes para cada gallina son nada de terreno, 0.6 horas-hombres en el invierno, 0.3 horashombre en el verano y un ingreso anual neto de $5. Caben 3000 gallinas en el gallinero y el corral limita el ganado a un máximo de 32 vacas. Las estimaciones de las horas-hombres y el ingreso por acre plantado con cada tipo de cosecha son: Horas-hombre en invierno Horas-hombre en verano Ingreso neto anual ($)

Soya 600

20 50

Maíz 900

35 75

Avena 450

10 40

La familia quiere determinar cuántos acres debe sembrar con cada tipo de cosecha y cuántas vacas y gallinas debe mantener para maximizar su ingreso neto. Formule el modelo de programación lineal para este problema. 97. Un avión de carga tiene tres compartimientos para almacenar: delantero, central y trasero. Estos compartimientos tienen un límite de capacidad tanto en peso como en espacio. Los datos se resumen enseguida: Compartimiento Capacidad de pesoCapacidad de espacio (toneladas) (pies cúbicos) Delantero 12 7000 Central 18 9000 Trasero 10 5000 Para mantener el avión balanceado, el peso de la carga en los respectivos compartimientos debe ser proporcional a su capacidad. Se tienen ofertas para los siguientes envíos en un vuelo próximo ya que se cuenta con espacio: Carga 1 2 3 4

Peso Volumen (toneladas) (pies cúbicos/tonelada) 20 500 16 700 25 600 13 400

Ganancia ($/tonelada) 320 400 360 290

Se puede aceptar cualquier fracción de estas cargas. El objetivo es determinar qué cantidad de cada carga debe aceptarse (si se acepta) y cómo distribuirla en los compartimientos para maximizar la ganancia del vuelo. Formule y resuelva el modelo de programación lineal. 98. Se va a mezclar mineral proveniente de 4 minas diferentes para fabricar bandas para un nuevo producto de la GMC. Los análisis han demostrado que para producir una banda con las cualidades adecuadas de tensión y los requerimientos mínimos se debe contar con 3 elementos básicos: A, B, C. En particular, cada tonelada de mineral debe contener, por lo menos, 5 libras de elemento básico A, por lo menos 100 libras del elemento B y al menos 30 libras del elemento C. El mineral de cada una de las 4 minas contiene los 3 elementos básicos, pero en distintas proporciones. Sus composiciones en libras/toneladas, y los costos de extracción de los minerales de cada mina son:

Elemento de

MINA

Básico A B C

1 10 90 45

2 3 150 25

3 8 75 20

4 2 175 37

MINA

Costos en U$/Ton

1 2 3 4

mineral 800 400 600 500

GMC desea hallar la combinación (mezcla) de costo mínimo para fabricar la banda. 99. Un proveedor debe preparar con 5 bebidas de fruta en existencias, al menos 500 galones de un ponche que contenga por lo menos 20% de jugo de naranja, 10% de jugo de toronja y 5% de jugo de arándano. Si los datos del inventario son los que se muestran en la tabla siguientes, indicar ¿Qué cantidad de cada bebida deberá emplear el proveedor a fin de obtener la composición requerida a un costo total mínimo? Jugo de Jugo de Jugo de Existencia Naranja Toronja Arándano [gal] Bebida A 40 40 0 200 Bebida B 5 10 20 400 Bebida C 100 0 0 100 Bebida D 0 100 0 50 Bebida E 0 0 0 800 Nota: Las tres primeras columnas indican el porcentaje de un dentro de una determinada bebida.

Costo [$/gal] 1,50 0,75 2,00 1,75 0,25 tipo de jugo

100. Un pequeño taller arma dispositivos mecánicos, ya sea como un producto terminado que entrega al mercado, o como un proceso intermedio para entregar a una gran fábrica. Trabajan 3 personas en jornadas de 40 horas semanales. Dos de estos obreros no calificados reciben $0.4 por hora, y el tercero, un obrero calificado, recibe $0.6 por hora. Los tres están dispuestos a trabajar hasta 10 horas adicionales a la semana con un salario 50% superior durante este período. Los costos fijos semanales son de $800. Los gastos de operación variables son de $1.0 por hora de trabajo de obrero no calificado y $2.4 por hora de obrero calificado. Los dispositivos mecánicos sin acabar son vendidos a la planta a $6.5 cada uno. El taller tiene un contrato bajo el cual debe entregar 100 de estos dispositivos semanalmente a la empresa. El dueño del taller tiene como política el producir no más de 50 dispositivos a la semana por sobre el contrato. Los dispositivos terminados se venden a $15 cada uno sin restricciones de mercado. Se requieren 0.5 horas de obrero no calificado y 0.25 horas de obrero calificado para producir un dispositivo sin acabar listo para entregar a la empresa. Uno de estos dispositivos puede ensamblarse y dejarlo terminado agregándole 0.5 horas de trabajador calificado. Un dispositivo acabado listo para entregar al mercado se puede producir con 0.6 horas de obrero no calificado y 0.5 horas de obrero calificado. Plantear el modelo de programación lineal que permita responder la consulta e indicar ¿cómo y cuánto producir para cumplir el contrato de modo de maximizar las utilidades? 101. Un producto se puede formar de 4 unidades del componente A1 junto con 3 unidades del componente B1, o se pueden utilizar 3 unidades del componente A2 junto con 4 unidades del componente B2. En cualquiera de las dos opciones, usted puede suponer que la calidad del producto es la misma. Las componentes A1 y B1 se fabrican en la Fábrica UNO y las componentes A2 y B2 se fabrican en la Fábrica DOS. Cada componente necesita 3 materiales P, Q

y R. Sin embargo, se utilizan en diferentes proporciones. Las cantidades usadas dependen del lugar y del tipo de componente a elaborar. Actualmente se dispone de 400 unidades de P, 300 de Q y 500 de R. Plantear el problema de programación lineal asociado que permita determinar el número de corridas de producción en cada fábrica, tal que maximice la producción total del producto terminado, si se conoce la siguiente tabla: Fábrica Material UNO DOS

Unidades requeridas por Unidades producidas por Corrida Corrida P Q R A1 B1 A2 B2 7 3 10 5 6 0 0 5 6 5 0 0 7 8

102. Un inversionista tiene oportunidad de realizar las actividades A y B al principio de cada uno de los próximos 5 años (llámense años 1 al 5). Cada dólar invertido en A al principio de cualquier año retribuye $1.40 (una ganancia de $0.40) 2 años después (a tiempo para la reinversión inmediata). Cada dólar invertido en B al principio de cualquier año retribuye $1.70, 3 años después. Además, la actividad C estará disponible para inversión una sola vez en el futuro. Cada dólar invertido en C al principio del año 2 da $1.90 al final del año 5. La actividad D estará disponible sólo 2 veces, al inicio del año 1 y del año 5. Cada dólar invertido en D al principio de año retribuye $1.30 al final de ese año. El inversionista tiene $60000 para iniciar y desea saber ¿cuál plan de inversión maximiza la cantidad de dinero acumulada año principio del año 6? 103. Una compañía química produce cuatro productos químicos diferentes (A, B, C y D) usando dos procesos de reacción diferentes (1 y 2). Por cada hora que se realiza el proceso 1 éste entrega 400 lbs de A, 100 lbs de B y 100 lbs de C. El proceso 2 entrega 100 lbs de A, 100 lbs de B y 100 lbs de D por hora. El departamento de marketing ha especificado que la producción diaria debe ser no más de 500 lbs de B y 300 lbs de C y al menos 800 lbs de A y 100 lbs de D. Una corrida del proceso 1 tiene un costo de US$ 500 y una corrida del proceso 2 tiene un costo de US$ 100. Suponga que una libra da cada químico A, B, C y D se pueden vender en 1, 5, 5 y 4 dólares, respectivamente. Formule un modelo de programación lineal y encuentre la solución óptima (todas en caso de existir óptimos alternativos). 104. Una empresa de arriendo de vehículos desea establecer la flota de automóviles, camionetas y jeeps para el presente año. Para tales efectos, estudia la adquisición de vehículos de los tres tipos. Todos los vehículos comprados son depreciados y pagados en un período de 2 años, después del cual son vendidos. La tabla siguiente muestra el precio de compra y los ingresos del período para los tres tipos de vehículos (los ingresos para el segundo año incluyen el valor de salvamento). Vehículo Ingresos año 2

Costo [US$]

Automóvil Camioneta Jeep

7000

6500 5800

Ingresos año 1 [US$] 2300 2100

[US$] 3000

5300 5000

5400

Aún cuando la empresa puede pagar el costo de los vehículos inmediatamente, puede también decidir diferir parte del costo de los vehículos al final del primer o segundo año. El costo del crédito es de 14% anual. La empresa debe pagar por lo menos el 20% de la inversión inicial al recibir un vehículo y por lo menos el 50% de la inversión inicial más los intereses del crédito deben haber sido pagado al final del primer año. La empresa dispone

de US$ 2’000.000 para la compra de vehículos este año. La compañía usa una tasa de descuento del 15% para efectos de financiamiento (es decir, US$ 100 hoy valen US$ 85 dentro de un año). Todo excedente en cualquier año es invertido en otros rubros y, por lo tanto, no puede considerarse en pagos futuros. Formule un modelo de programación lineal para el problema y resuelva. 105. Un fabricante tiene cuatro órdenes de producción: A, B, C y D. La tabla que se incluye indica el número de horas-hombre que se requieren para fabricar estas órdenes en cada uno de los tres talleres (X, Y, Z) de la industria. Es posible dividir una orden entre varios talleres, por ejemplo, parte de la orden A puede ser procesada en X, parte en Y, y parte en Z. Así mismo, cualquier taller puede ejecutar fracciones de varias órdenes. Taller Horas-Hombre necesarias Costo por A B C D Hora-Hombre X 71 298 133 144 89 Y 39 147 61 126 81 Z 46 155 57 121 84

Horas-Hombre Disponibles 320 160 160

Si el fabricante desea minimizar los costos de producción, establezca el planteamiento del problema (Función objetivo y restricciones). Defina las variables a emplear y explique su significado. 106. Un granjero puede criar ovejas, cerdos y ganado vacuno. Tiene espacio para 30 ovejas, o 50 cerdos, o 20 cabezas de ganado vacuno, o cualquier combinación de éstos (con la relación siguiente: 3 ovejas, 5 cerdos o dos vacas usan el mismo espacio). Los beneficios (utilidades) dadas por animal son 5, 4, 10 pesos para ovejas, cerdos y vacas respectivamente. El granjero debe criar, por ley, al menos tantos cerdos como ovejas y vacas juntas. 107. La compañía Tejas Ltda., es un contratista grande que realiza trabajos de techos. Puesto que el precio de las tejas varía con las estaciones del año, la compañía trata de acumular existencias cuando los precios están bajos y almacenarlas para su uso posterior. La compañía cobra el precio corriente en el mercado por las tejas que instala, sin importar cuando las haya adquirido. La tabla que aparece al final refleja lo que la compañía ha proyectado como costo, precio y demanda para las tejas durante las próximas cuatro temporadas. Cuando las tejas se compran en una temporada y se almacenan para su uso posterior, se incurre en un costo de manejo de $6 por millar de piezas, así como también en un costo de almacenamiento de $12 por millar de piezas por cada temporada en la que se almacena. Lo máximo que se puede guardar en el almacén son 220.000 piezas, esto incluye el material que se compra para utilizarlo en el mismo período. La compañía ha fijado como política no conservar materiales más de cuatro temporadas. Plantee un modelo para el problema que permita a Tejas Ltda. maximizar sus utilidades para un período de cuatro temporadas. Temporada Temporada 1 Temporada 2 Temporada 3 Temporada 4

Precio compra ($/pieza) 21 22 26 24

Precio mercado ($/pieza) 22 23.25 28.50 25.50

Ventas (demanda) (millones piezas) 100 140 200 160

108. Un fabricante de muebles tiene tres plantas que requieren semanalmente 500, 700 y 600 toneladas de madera. El fabricante puede comprar la madera a tres (3) compañías madereras. Los primeros dos fabricantes de madera tienen virtualmente un suministro ilimitado mientras que, por otros compromisos, el tercer fabricante no puede surtir más de 500 toneladas por semana. La primera fábrica de madera usa el ferrocarril como medio de transporte y no hay un límite al peso que puede enviar a las fábricas de muebles. Por

otra parte, las otras dos compañías madereras usan camiones, lo cual limita a 200 toneladas el peso máximo que puede enviar a cualquiera de las fábricas de muebles. En la siguiente tabla se da el costo de transporte de las compañías madereras a las fábricas de muebles ($/Tonelada). Compañía Maderera 1 2 3

Planta 1 2.0 2.5 3.0

Planta 2 3.0 4.0 3.6

Planta 3 5.0 4.9 3.2

Formular y resolver el problema sabiendo que se quiere minimizar los costos de transporte. 109. Un cierto fabricante de tornillos, ha constatado la existencia de un mercado para paquetes de tornillos a granel en distintos tamaños. Los datos de la investigación de mercados han demostrado que se podrían vender cuatro clases de paquetes con mezclas de los tres tipos de tornillos (1, 2 y 3), siendo los de mayor aceptación por el público. Los datos de la investigación realizada indicaron las especificaciones y los precios de venta siguientes: Mezcla de Tornillos ($/kg) A B C D

Especificaciones

Precio de venta

No menos del 40% Tipo 1 No más del 20% Tipo 2 Cualquier cantidad Tipo 3 No menos del 20% Tipo 1 No más del 40% Tipo 2 Cualquier cantidad Tipo 3 No menos del 50% Tipo 1 No más del 10% Tipo 2 Cualquier cantidad Tipo 3 Sin restricciones

60 25 35 20

Para estos tornillos la capacidad de la instalación y los costos de fabricación se indican a continuación: Tipo de Tornillo 1 2 3

Capacidad Máxima de Producción (Kg) 100 100 60

Costo fabricación ($/Kg) 50 30 18

¿Cuál sería la producción que debe programar este fabricante para obtener la ganancia máxima, suponiendo que puede vender todo lo que fabrique? 110. En una industria pequeña de fabricación de cocinas de gas se debe programar la producción por un período de seis meses. Teniendo en cuenta que la producción es eminentemente manual, no existe gran ventaja en producir en grandes cantidades, sino más bien evitar gastos excesivos de almacenaje. Por consiguiente, se ha visto la conveniencia de acompasar, en lo posible, la producción a las necesidades mensuales de la demanda. Se empieza en el período con un stock de 60 unidades y se desea que al final del período quede una existencia de por lo menos 50 unidades como stock de seguridad. Las ventas realizadas en promedio en los cinco últimos años es - mes a mes – la señalada en la tabla. Después de estudiar las tendencias presentadas, se tiene la seguridad de que las ventas van a experimentar un 8% de incremento. El costo unitario de producción es de $1,000 (mil pesos) y los costos de almacenamiento por unidad y

mes (teniendo en cuenta la obsolescencia, alquileres de bodega, etc.) de $100 (cien pesos). La capacidad de producción para cada mes se señala a continuación: Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio

Demanda 166.67 74.08 222.23 268.52 250.00 120.38

Capacidad de producción 150 195 210 255 190 220

Con los datos anteriores, establecer la programación óptima para el período de seis meses y calcular el costo total. 111. Un contratista está considerando una propuesta para la pavimentación de una carretera. Las especificaciones requieren un espesor mínimo de doce pulgadas (12"), y un máximo de 18". La carretera debe ser pavimentada en concreto, asfalto, gravilla, o cualquier combinación de estos tres elementos. Sin embargo, las especificaciones requieren una consistencia final igual o mayor que la correspondiente a una superficie de concreto de 9" de espesor. El contratista ha determinado que 3" de su asfalto son tan resistentes como 1" de concreto, y 6" de gravilla son tan resistentes como 1" de concreto. Cada pulgada de espesor por yarda cuadrada de concreto le cuesta $10, el asfalto $3.80, y la gravilla $1.50. Determine la combinación de materiales que el contratista debería usar para minimizar su costo. 112. Una empresa estima que la demanda de un determinado producto en los primeros cinco meses del año será como la que se muestra en la tabla. El costo unitario de producción es de $3. El costo unitario de almacenaje en un período es $2. La capacidad de producción durante los cinco períodos es de: Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Total

Demanda 16 16 12 10 12 66

Capacidad de Producción 36 12 4 12 4 68

Establecer la programación óptima para el período de cinco meses y calcular el costo total. 113. Un productor de aluminio fabrica una aleación especial que el garantiza que contiene un 90% o más de aluminio, entre 5% y 8% de cobre y el resto de otros metales. La demanda para esta aleación es muy incierta de modo que el productor no mantiene un stock disponible. El ha recibido una orden de 1.000 kg. a $450/kg. La aleación debe hacerse a partir de barras de dos tipos de materiales de desecho, de cobre puro y de aluminio puro. El análisis de los materiales de desecho es el siguiente: Material de desecho 1 Material de desecho 2

Al 95% 85%

Cu 3% 1%

Otros 2% 14%

Los respectivos costos son: Material de desecho 1 = $150/kg; Material de desecho 2 = $50/kg; Cobre puro = $150/kg; y Aluminio puro $500/kg. Cuesta $50 fundir un kilogramo de metal. Se tienen más de 1.000 kg. de cada tipo de metal disponible. Como debe el productor cargar su horno de manera que maximice sus utilidades?

114. Un comando estratégico de bombardeo recibe instrucciones de interrumpir la producción de tanques del enemigo. El enemigo tiene cuatro plantas claves situadas en diferentes ciudades y la destrucción de una de ellas produce efectivamente la paralización de la producción de tanques. Existe una aguda escasez de combustible que limita la cantidad a 48.00 galones para esta misión. Cualquier bombardeo debe tener, en caso de ser mandado a una ciudad, una cantidad suficiente de combustible para ir y volver más 100 galones de reserva. Tipo Descripción 1 2

Pesado Liviano

Miles de galones consumidos por uno de los aviones en ir y volver 2 3

Cantidad de bombarderos disponibles 48 32

La ubicación de las plantas y su vulnerabilidad al ataque para bombardeos del tipo 1 y 2 es: Planta 1 2 3 4

Cantidad de Tanques Construidos 450 480 540 600

Probabilidad de destrucción bombardeo pesado 0.10 0.20 0.15 0.25

probabilidad de destrucción bombardeo liviano 0.08 0.16 0.12 0.20

¿Cuántos bombarderos de cada tipo deben despacharse y como deben ser distribuidos en cada planta maximizar la probabilidad de éxito? 115. Un taller mecánico tiene que fabricar seis pedidos en las cantidades que se detallan en la tabla. Los tiempos necesarios para la fabricación de piezas de cada pedido en las distintas máquinas también aparecen en la tabla. Debe tenerse en cuenta que los tiempos de preparación son muy pequeños y se consideran incluidos como suplemento en los tiempos. En la misma tabla, se muestran las horas disponibles para cada máquina. Pedido No. 1 2 3 4 5 6 Horas por máquina:

Cantidad A Producir 10 40 60 50 20 30

Máq. 1 3 3 2 5 2 1 80

Máq. 2 4 1 1 2 2 1 30

Máq. 3 2 2 5 1 1 2 200

Realizar la programación del trabajo en las tres máquinas, de forma que se obtenga el tiempo mínimo. 116. Se hace un pedido a una fábrica de papel, de 800 bobinas de papel corrugado de 30 pulgadas de ancho, 500 bobinas de 45 pulgadas de ancho y 1000 de 56 pulgadas. La fábrica de papel tiene bovinas de 108 pulgadas de ancho. ¿Cómo deben cortarse las bobinas para suministrar el pedido con el mínimo de recortes o desperdicios? 117. El pronóstico de ventas mensuales para un cierto producto está presentado en el siguiente cuadro: UNIDADES Enero 2.000

Julio

10.000

Febrero

3.000

Agosto 6.000 Abril 6.000 Noviembre 2.000

Marzo Octubre Junio

4.000 3.000 10.000

Septiembre Mayo Diciembre

4.000 8.000 2.000

El costo unitario de aumentar o disminuir la producción de un mes a otro es de $1.00 y de $0.50, respectivamente. La producción programada para el mes de diciembre de este año es de 2.000 unidades, y está calculado que el nivel de inventario en enero 1 será de 1.000 unidades. La capacidad de almacenaje está limitada a 5.000 unidades. Obtener la programación de la producción para el año entrante que minimice el costo producido al cambiar tasas de producción y asegure al mismo tiempo la disponibilidad de un stock suficiente para cubrir el pronóstico de ventas en cualquier momento. (Supóngase que la programación de la producción durante un mes esté disponible justo en el momento de cubrir la demanda de ventas en el mes corriente). 118. A Tomás le gustaría tomar exactamente 1½ litros de cerveza casera hoy, y al menos 2 litros más mañana. Ricardo desea vender un máximo de 2 litros en total a un precio de $1.54 medio litro hoy y a $1.50 medio litro mañana. Enrique desea vender un máximo de 2½ litros en total a un precio $1.60 medio litro hoy y a $1.44 medio litro mañana. Tomás desea saber como debe realizar sus compras para minimizar su costo, satisfaciendo sus requerimientos mínimos de sed. Plantee el modelo de P.L. para este problema, y obtenga la respuesta por medio del paquete LINGO. 119. Una corporación ha decidido producir tres productos nuevos. En este momento, cinco de sus plantas tienen capacidad de producción en exceso. El costo unitario de fabricación del primer producto sería de $90, $82, $92, $84 y $86, en las plantas 1, 2, 3, 4 y 5, respectivamente. El costo unitario de fabricación del segundo producto sería $62, $58, $64, $56 y $58, en las plantas 1, 2, 3, 4 y 5, respectivamente. El costo unitario de fabricación del tercer producto sería $76, $70, $80, en las plantas 1, 2, y 3, respectivamente, mientras que las plantas 4 y 5 no tienen la capacidad para elaborar este producto. Los pronósticos de ventas indican que deben producirse al día 5000, 3000 y 4000 unidades de los productos 1, 2 y 3, respectivamente. Las plantas 1, 2, 3, 4 y 5 tienen capacidad para producir 2000, 3000, 2000, 3000 y 5000 unidades cada día, respectivamente, sin importar el producto o la combinación de productos de que se trate. Supóngase que cualquier planta que tenga los elementos y la capacidad necesarias puede producir cualquier combinación de los productos en cualquier cantidad. El gerente desea saber como asignar los nuevos productos a las plantas para minimizar el costo total y requerimientos. 120. Supóngase que Inglaterra, Francia y España producen todo el trigo, la cebada y la avena del mundo. La demanda mundial de trigo requiere que se dediquen 125 millones de acres de tierra a la producción de este cereal. Análogamente, se requieren 60 millones de acres de tierra para cebada y 75 millones de acres para avena. La cantidad total de tierra para este fin en Inglaterra, Francia y España es de 70 millones de acres, 110 millones de acres y 80 millones de acres, respectivamente. El número de horas de trabajo necesarias en Inglaterra, Francia y España para producir un acre de trigo es de 18 horas, 13 horas y 16 horas, respectivamente. El número de horas de trabajo necesarias en Inglaterra, Francia y España para producir un acre de cebada es de 15 horas, 12 horas y 12 horas, respectivamente. El número de horas de trabajo necesarias en Inglaterra, Francia y España para producir un acre de avena es de 12 horas, 10 horas y 16 horas, respectivamente. El costo de la mano de obra por hora para producir trigo es de $3.00, $2.40 y $3.30 en Inglaterra, Francia y España, respectivamente. El costo de la mano de obra por hora para producir cebada es de $2.70, $3.00 y $2.80 en Inglaterra, Francia y España, respectivamente. El costo de la mano de obra por hora para producir avena es de $2.30, $2.50 y $2.10 en Inglaterra, Francia y España, respectivamente. El problema es asignar el uso de la tierra en cada país de manera que se satisfagan los requerimientos de alimentos y se minimice el costo total de la mano de obra.

a) Plantéese el problema como un problema de transporte, construyendo la tabla apropiada de costos y requerimientos. b) Use el método de la esquina "noroccidental" para resolver el problema. 121. El entrenador de cierto equipo de natación necesita asignar nadadores para formar un equipo de relevo combinado para 200 m. Con el fin de asistir a una competencia. Como la mayoría de sus mejores nadadores son muy rápidos en más de un estilo, no es obvio cual nadador debe ser asignado a cada uno de los cuatro estilos. Los cinco nadadores más rápidos y los “mejores tiempos” (en segundos) que han logrado en cada uno de los estilos (en 50 metros) son: Estilo Dorso Pecho Mariposa Libre

Carlos 37.7 43.4 33.3 29.2

Christian 32.9 33.1 28.5 26.4

David 33.8 42.2 38.9 29.6

Antonio 37.0 34.7 30.4 28.5

Pedro 35.4 41.8 33.6 31.1

122. Una cooperativa tiene una finca de 300 hectáreas que puede bombear un millón de metros cúbicos del acuífero adyacente. La cooperativa quiere usar la totalidad de la finca con fines agropecuarios y proyecta producir plátano y maíz y también sembrar pasto de pastoreo para la cría de ganado. Una hectárea de plátano requiere 10 mil metros cúbicos de agua y 40 horas de mano de obra. Una hectárea de maíz requiere cuatro mil metros cúbicos de agua y 12 horas de mano de obra. Una cabeza de ganado requiere media hectárea de pasto, 100 metros cúbicos de agua (incluyendo el agua para el pasto) y ocho horas de mano de obra. La cooperativa dispone de un capital de 100 millones de pesos y un total de ocho mil horas de mano de obra. Los costos de producción de una hectárea de plátano y de una de maíz son $500.000 y $100.000 respectivamente, mientras que la producción de ganado cuesta $70.000 por cabeza. El ingreso bruto anual de la cooperativa es de $1.100.000 por hectárea de plátano y de $300.000 por hectárea de maíz. Una cabeza de ganado después de un año de engorde vale $130.000. Determinar el número máximo de cabezas de ganado y las hectáreas de plátano y maíz que maximizan la ganancia neta de la cooperativa. 123. Se está estudiando la factibilidad de la ejecución de cinco proyectos durante los próximos 3 años. En la tabla que se presenta a continuación, se dan los siguientes datos: - Ingresos brutos de cada proyecto actualizados al final del tercer año. - Gastos ocasionados por los proyectos en cada uno de los tres años. - Cantidad máxima de fondos disponibles cada año. PROYECTO 1 2 3 4 5 Fondos Disponibles

Gastos Año 1 5 4 3 7 8 25

Ingreso Bruto Año 2 1 7 9 4 6 25

Año 3 8 10 2 1 10 25

20 40 20 15 30

Se desea seleccionar los proyectos a ejecutar en cada año, de modo que sean maximizados los ingresos netos (un proyecto por año) 124. Un taller mecánico tiene tres (3) máquinas disponibles A, B y C, para hacer unos productos de los tipos 1 y 2, y que se desea programar de la forma económicamente más favorable, en este caso, que la utilidad sea la máxima posible. Para hacer este trabajo, se dispone de un número determinado de horas en cada máquina, que se señalan en la tabla siguiente:

Máquina A B C

Tiempo Disponible (en Horas) 72 162 100

Los tiempos que emplea cada lote de 100 unidades de cada producto de los tipos 1 y 2, en cada una de las máquinas se indica en el cuadro siguiente: Máquina Lotes Pieza 1 Lotes Pieza 2

A 12

B 9 12

C 20 36

10

Las ganancias o utilidades que proporcionan cada lote de 100 unidades del tipo 1 es de $10, y $7 los del tipo 2. 125. Una fábrica de plásticos planea obtener un nuevo producto mezclando 4 compuestos químicos. Estos compuestos consisten principalmente de 3 elementos químicos A, B y C. A continuación se muestra la composición y el costo por unidad de estos compuestos. Compuesto Químico Porcentaje de A Porcentaje de B Porcentaje de C Costo/Kilogramo

1 30 20 40 60

2 20 60 15 30

3 40 30 25 20

4 20 40 30 15

El nuevo producto consiste del 20% del elemento A, al menos 30% del elemento B y al menos el 20% del elemento C. Debido a los efectos laterales de los compuestos 1 y 2, no deben de exceder el 30% y del 40% del contenido del nuevo producto. Formular como un programa lineal el problema de encontrar la forma menos costosa de obtener el nuevo producto. 126. Una compañía dispone de $30 millones para distribuirlos el próximo año entre sus tres sucursales. Debido a compromisos de la estabilidad del nivel de empleados y por otras razones, la compañía ha establecido un nivel mínimo de fondos para cada una de las sucursales. Estos fondos mínimos son de $3, $5 y $8 millones, respectivamente. Debido a la naturaleza de su operación, la sucursal 2 no puede utilizar más de $17 millones sin una expansión de capital grande. La compañía no está dispuesta a efectuar tal expansión en este momento. Cada sucursal tiene la oportunidad de dirigir distintos proyectos con los fondos que recibe. Para cada proyecto se ha establecido una tasa de ganancia (como un porcentaje de la inversión). Por otra parte, algunos de los proyectos permiten solo una inversión limitada. A continuación se dan los datos para cada proyecto. Sucursal

Proyecto

Tasa de Ganancia

1

1 2 3

8% 6% 7%

Límite Superior de la Inversión (Millones de $) 6 5 9

2

4 5 6

5% 8% 9%

7 10 4

7 8

10% 6%

6 3

3

Formule este problema como un programa lineal.

127. Una refinería puede comprar dos tipos de petróleo: petróleo crudo ligero y petróleo crudo pesado. El costo por barril de estos tipos de petróleo es $ 11 y $9 respectivamente. De cada tipo de petróleo se producen por barril las siguientes cantidades de gasolina, kerosene, y combustible para reactores:

Petróleo crudo ligero Petróleo crudo pesado

Gasolina

Kerosene

0.4 0.32

0.2 0.4

Combustible para Reactores 0.35 0.2

Obsérvese que durante el proceso de refinamiento se pierden el 5% y el 8% del crudo, respectivamente. La refinería tiene un contrato para entregar un millón de barriles de gasolina, 400.000 barriles de kerosene, y 250.000 barriles de combustible para reactores. Formular como un programa lineal el problema de encontrar el número de barriles de cada tipo de petróleo crudo que satisfacen la demanda y minimizan el costo total. 128. Un barco tiene 3 bodegas: en la proa, en la popa y en el centro. La capacidad de cada bodega aparece en la siguiente tabla: BODEGA Proa Centro Popa

Capacidad en Peso 2000 Ton 3000 Ton 1500 Ton

Capacidad en Volumen 100000 m³ 135000 m³ 30000 m³

Se han ofrecido para transportar los siguientes cargamentos. Los diseños del barco permiten cargar el total o una porción cualquiera de cada artículo: Artículo

Cantidad (Ton)

A B C

Volumen por Tonelada 60 50 25

6000 4000 2000

Ganancia por Tonelada ($/Ton) 6 8 5

Para preservar el equilibrio del barco, el peso en cada bodega debe ser proporcional a la capacidad en toneladas. ¿Cómo debe ser distribuida la carga para obtener máximas ganancias? 129. Una firma de café produce dos tipos de mezclas: suave y suavísimo. En la planta se cuenta con: Café Colombiano Brasileño Mexicano

Costo por Libra ($) 52 50 48

% de Cafeína Cantidad Disponible (libras) 2.5 20.000 2.0 25.000 1.5 15.000

Los productos que salen al mercado son: Mezcla

Precio venta % máximo por libra ($) de cafeína Suave 72 2.2 Suavísimo 75 2.0 Como se obtiene la máxima ganancia en ventas?

Demanda (libras) 35.000 25.000

130. Una compañía de artículos electrónicos produce tres líneas de productos para venderlos al gobierno: transistores, micromódulos y circuitos armados. Cuenta con cuatro áreas de

proceso: producción de transistores, ensamblaje de circuitos, control de transistores y módulos, y prueba de circuitos y embalaje. La producción de un transistor requiere: 0.1 horas de trabajo en producción de transistores. 0.5 horas de trabajo en control de transistores. $0.7 en costo directo. La producción de un micromódulo requiere: 0.4 horas de trabajo en el área de ensamblaje del circuito. 0.5 horas en el área de control de transistores y módulo. 3 transistores $0.5 en costo directo. La producción de un circuito armado requiere: 0.1 horas de trabajo en el área de ensamblaje de circuitos. 0.5 horas en el área de prueba de circuitos y embalaje. 1 transistor 3 micromódulos $0.2 en costo directo Cualquiera de los tres (3) productos se puede vender en cantidades ilimitadas con los precios de $2.0, $8.0, $25.0, respectivamente. Si hay 200 horas de producción en cada una de las áreas en el mes próximo ¿cuál deberá ser el programa de producción a fin de obtener una ganancia máxima? 131. Un empacador de nueces dispone de 150 libras de cacahuetes, 100 libras de nuez de la India y 50 libras de almendras. El empacador puede vender tres tipos de mezclas de estos productos: una mezcla barata que consiste en 80% de cacahuetes, 30% de nuez de la India y 20% de almendras; una mezcla para fiestas que consiste en 50% de cacahuetes, 40% de nuez de la India y 20% de almendras y una mezcla de lujo con 20% de cacahuetes, 50% de nuez de la India y 30% de almendras. Si la lata de 12 onzas de la mezcla barata, la mezcla para fiestas y la mezcla de lujo se pueden vender en $0.90, $1.10 y $1.30, respectivamente, ¿cuántas latas de cada tipo debe producir el empacador para maximizar su ganancia? 132. Un fabricante de whisky importa tres tipos de licores A, B y C. Los mezcla de acuerdo con especificaciones que limitan el máximo y el mínimo de A y C en cada mezcla: Mezcla Blue Dot

Especificaciones No más de 60% de A No menos de 20% de C Highland Fling No más de 60% de C No menos de 15% de A Old Freny No más de 50% de C

Precio Unitario $6.80 $5.70 $4.50

Las cantidades disponibles de cada uno y sus precios son: Clase A B C

Cantidad máxima en unidades/día 2000 2500 1200

Costo unitario $7.00 $5.00 $4.00

Establezca el programa de producción que maximiza las utilidades. 133. Un carpintero fabrica dos productos: sillas y marcos. Su producción está limitada por las disponibilidades en listones de madera (36 semanales), por las horas de mano de obra contratada (48 semanales) y por las horas de trabajo disponibles en la máquina

cepilladora automática (70 semanales). Cada silla requiere 4 listones de madera, 3 horas de mano de obra y 10 horas de cepilladora. Cada marco requiere 4 listones, 6 horas hombre y 5 horas de cepilladora. El carpintero obtiene $300 y $200 de utilidades por cada silla y marco respectivamente. Formule el problema y encuentre por medios gráficos el programa de fabricación que haga máximas las utilidades. 134. Un alumno que repite el curso de Investigación de Operaciones acude al psiquiatra y este le informa que su falta de entusiasmo se debe a un déficit de tiamina y niacín prescribiéndole un mínimo de 1 mg y 10 mg diarios, respectivamente. El doctor le sugiere que obtenga la mitad de la dosis mediante un desayuno a base de cereales. El alumno, que no cuenta con demasiados recursos económicos, trata de hacer mínimo el costo de las vitaminas. Una vez en el supermercado, se informa acerca de los dos únicos desayunos que le agradan: A y B. Cereal A B

Tiamina por Onza 0.12 mg. 0.13 mg.

Niacín por Onza 0.60 mg. 1.59 mg.

Costo por Onza $ 14 $ 24

Determinar geométricamente la mezcla a realizar para que el costo sea mínimo y asegure la mitad de la dosis de vitaminas prescritas por el psiquiatra. 135. Un granjero tiene 100 acres de terreno que puede dedicar a cultivar trigo o maíz o ambos en cualquier proporción. La cosecha anual es de 60 fanegas por acre de trigo y de 95 fanegas por acre de maíz. Las necesidades de mano de obra son anualmente de cuatro (4) horas por acre cultivado mas 0.15 horas por fanega de trigo y 0.70 horas por fanega de maíz. El costo de las semillas, fertilizantes, etc. es de $20 por fanega de trigo y de $12 por fanega de maíz. El trigo puede venderse a $175 por fanega y el maíz a $95. Además, el granjero quiere criar cerdos o gallinas o ambos, en cualquier proporción, disponiendo para ello de un terreno de 10000 pies cuadrados. Los cerdos se venden al cabo de un año a $4000 por unidad. Las aves se miden en proporción a la venta porcina, esto es, se considera como unidad avícola de venta el número de gallinas necesario para una venta de $4000. Cada cerdo requiere $2000 en alimentos preparados, 25 pies cuadrados de espacio y 25 horas de mano de obra. La unidad avícola de venta requiere $1000 en alimentos, 15 pies cuadrados de espacio y 40 horas de mano de obra. El granjero dispone anualmente de 2000 horas de su propio tiempo y otras 2000 horas de su familia. Puede contratar mano de obra aun precio de $150 por hora, pero cada hora contratada requiere de 0.15 horas de su propio tiempo para supervisión. Se pide plantear el problema como un problema de programación lineal, para hallar los acres dedicados a trigo y a maíz, el número de cerdos y unidades avícolas a criar y las horas de mano de obra a contratar el próximo año para que los beneficios del granjero sean máximos. 136. Una compañía extrae tres tipos de mineral en tres pozos distintos. Para esto cuenta con tres equipos de las siguientes características: Capacidad de trabajo (rendimiento) en Ton/día Equipo P1 E1 E2 E3

Pozos P2 90 65 50

P3 70 80 70

78 65 85

Días de mantenimiento por mes (30 días) 5 2 2

Por compromisos adquiridos anteriormente, debe arrendarse otro equipo de las siguientes características Equipo

Pozos P1 P2

P3

Días de mantenimiento por mes (30 días)

E4

90

72

58

1

que está disponible los 30 días del mes, pero no se arrienda por menos de 10 días/mes. La empresa que recibe le material admite las capacidades siguientes: Mineral Pozo P1 Mineral Pozo P2 Mineral Pozo P3

2500 Ton/mes 2300 Ton/mes 2250 Ton/mes

Los costos de operación que tiene cada equipo están en el cuadro siguiente ($/día): Equipo

Pozos P1 12 4 9 15

E1 E2 E3 E4

P2 25 17 20 30

P3 22 20 21 25

Los gastos de salario y jornales de la mano de obra asociada a cada equipo son: Equipo ($/día)

E1

E2 20

E3 35

E4 30

40

Suponiendo que los pozos deben explotarse los 30 días del mes, plantee el problema de programación lineal, de manera que el programa de explotación produzca máximas utilidades. 137. Una empresa ha adquirido cuatro nuevas máquinas A, B, C y D diferentes a un precio de $21000, $24000, $27000 y $28000, respectivamente, de acuerdo a un plan de expansión de la producción. Sin embargo, solo tres de estas máquinas pueden funcionar inmediatamente por disponer únicamente de tres lugares adecuados. La máquina no seleccionada deberá permanecer inactiva alrededor de un mes. Existen distintas posibilidades de ubicación para cada máquina según su proximidad a las cuatro cadenas de producción en la planta fabril. El transporte de materiales hacia y desde el lugar donde está ubicada cada máquina se estima en costos por unidad de tiempo (día) para cada máquina y lugar, de acuerdo con el siguiente cuadro Máquina Lugar 1 Lugar 2 Lugar 3 A 11 9 13 B 17 16 C 8 12 15 D 16 6 12 Nota: el lugar 2, no es adecuada para la máquina B. Encuentre la asignación que haga mínimo el costo total de transporte, incluyendo el valor de las máquinas. 138. La gerencia de una empresa enfrenta la necesidad de trasladar a tres de sus empleados a tres diferentes lugares de trabajo. Se han hecho estimaciones del costo del traslado de cada empleado a cada lugar. Estos costos se dan en el cuadro en miles de pesos. Se supone que los tres se pueden desempeñar con igual eficiencia en los tres lugares.

A B C

Costo Empleado A B C 2 1 4 3 4 1 5 6 2

Encuentre un asignación de los empleados a los trabajos que minimice el costo total.

139. Una tienda desea comprar las siguientes cantidades de vestidos de mujer: Modelo Cantidad

A 150

B 100

C 75

D 250

E 200

La tienda se abastece de cuatro fabricantes cuyas disponibilidades (de todos los vestidos combinados) se indican a continuación: Fabricante Cantidad

W 300

X 250

Y 150

Z 200

La tienda estima que sus utilidades por vestido varían de acuerdo con cada fabricante en la forma que se indica:

W X Y Z

VESTIDO A B 28 35 30 32 25 35 33 27

C 43 45 48 40

D 22 18 20 25

E 15 10 13 27

Encuentre las utilidades máximas. 140. Un fabricante de acero produce cuatro (4) tamaños de vigas en I: pequeña, mediana, grande y extragrande. Estas vigas se pueden producir en cualquiera de tres tipos de máquinas: A, B y C. A continuación se indican las longitudes (en pies) de las vigas I que pueden producir las máquinas por ahora. Viga Pequeña Mediana Grande Extragrande

Máquina A B 300 600 250 400 200 350 100 200

C 800 700 600 300

Supóngase que cada máquina se puede usar hasta 50 horas por semana y que los costos de operación por hora de estas máquinas son de $30, $50 y $80 respectivamente. Supóngase, además, que semanalmente se requieren 10000, 8000, 6000 y 6000 pies de los distintos tamaños de las vigas I. Formular el problema de programación de máquinas como un problema de programación lineal. 141. Un agricultor tiene 200 hectáreas y dispone de 18000 horas-hombre. El desea determinar el área (en hectáreas) que asignará a los siguientes productos: maíz, trigo, quimbombó, tomate y ejotes. El agricultor debe producir al menos 250 toneladas de maíz para alimentar a sus puercos y ganado, y debe producir al menos 80 toneladas de trigo, debido a un contrato que firmó previamente. A continuación se resumen el tonelaje y la mano de obra en horas-hombre por hectárea para diferentes productos: Ton/hectarea Horas-hombre/hectarea

Maíz 10 120

Trigo 4 150

Quimbombó 4 100

Tomate 8 80

Ejote 6 120

El maíz, trigo, quimbombó, tomate y ejote se venden, respectivamente, en $120, $150, $50, $80 y $55 por tonelada. Encontrar la solución óptima. 142. Para efectuar ciertas tareas se dispone de un carpintero, un plomero y un ingeniero. Cada persona puede realizar una sola tarea en el tiempo permitido. Existen cuatro tareas

disponibles, de las cuales es necesario efectuar tres. A continuación se proporciona la matriz de ineficiencia para la persona i asignada a la tarea j. Carpintero Plomero Ingeniero

SOLDAR 2 3 2

ENMARCAR 6 4 5

TRAZAR 4 4 6

CABLEAR 4 3 5

¿A qué persona debe asignarse qué tarea? ¿Qué tarea no se realizará? Ahora suponga que cada persona puede efectuar hasta dos tareas y que todas las tareas deben realizarse. ¿Qué deben hacer?. 143. Reep Construction acaba de obtener un contrato para la excavación y preparación del terreno en una nueva área de descanso sobre la supercarretera. Al preparar su licitación para el trabajo, Bob Reep, fundador y presidente de Reep Construction, estimó que llevar a cabo el trabajo tomaría cuatro meses y que se necesitarían 10, 12, 14 y 8 camiones en cada uno de los meses 1 hasta el 4, respectivamente. Actualmente la empresa tiene 20 camiones del tipo necesario para trabajar en este nuevo proyecto. Estos camiones se obtuvieron el año pasado, cuando Bob firmó un arrendamiento a largo plazo con PennState Leasing. A pesar de que la mayor parte de sus camiones están siendo utilizados en tareas existentes, Bob estima que un camión estará disponible para su uso en el nuevo proyecto durante el mes 1, dos estarán disponibles durante el mes 2, tres disponibles durante el mes 3 y un camión estará disponible durante el mes 4. Por lo que, para terminar el proyecto, Bob tendrá que arrendar camiones adicionales. El contrato de arrendamiento a largo plazo con PennState tiene un costo mensual de 600 dólares por camión. Reep Construction le paga a sus choferes 20 dólares la hora, y los costos diarios de combustible son de aproximadamente 100 dólares por camión. Todos los costos de mantenimiento son pagados por PennState Leasing. Para efectos de planeación, Bob estima que cada camión utilizado en el nuevo proyecto estará operando 8 horas al día, 5 días a la semana durante aproximadamente 4 semanas por mes. Bob no cree que la situación actual de los negocios justifique comprometer a la empresa a arriendos adicionales a largo plazo. Al analizar con PennState Leasing las posibilidades de arriendos a corto plazo, Bob ha sido informado de que puede obtener arriendos a corto plazo de 1 a 4 meses. Los arriendos a corto plazo difieren de los arriendos a largo plazo en que los planes de las primeras incluyen el costo tanto del camión como de un chofer. Los costos de mantenimiento para arriendos a corto plazo también son pagados por Penn State Leasing. Los costos siguientes para cada uno de los 4 meses cubren el arriendo de un camión con su chofer. Duración de la Renta 1 2 3 4

Costo Mensual $4000 $3700 $3225 $3040

Bob Reep desearía contratar un arriendo que minimizara el costo de llenar las necesidades mínimas mensuales de camiones para su nuevo proyecto, pero por otra parte también está muy orgulloso de que su empresa jamás haya tenido que despedir empleados. Bob está comprometido en mantener su política de no despidos; esto es, que utilizará sus propios choferes, incluso si los costos resultan más elevados 144. Recientemente recibió usted una herencia de $100.000 de su tío abuelo Pancracio. Usted y su cónyuge se han puesto a considerar que les conviene hacer con su dinero. Salarios

Los salarios combinados de usted y su cónyuge suman $80.000 y esperan con la mayor confianza que ese total aumente 15% cada año, por lo que deciden atenerse a un presupuesto riguroso y limitar los gastos de la familia a un porcentaje fijo de sus salarios (provisionalmente al 75%). Por supuesto, a medida que sus salarios aumenten, los gastos aumentarán también. Obsérvese que estos datos están basados en salarios brutos (no son salarios netos después de impuestos). Impuestos El congreso acaba de aprobar un nuevo proyecto de ley fiscal. Basado en una tasa fija de acuerdo con esa ley, las parejas (como la de usted y su cónyuge) tienen derecho a una deducción de $15.000, y la tasa combinada de impuestos estatales y federales es equivalente al 35% de todos sus ingresos por encima de esa cifra base de $15,000. También se ha instituido un impuesto sobre ganancias de capital: 40% del total de las ganancias de capital será gravado como ingresos regulares. Inversión al abrigo de impuestos Usted tiene la opción de invertir la parte que desee de sus fondos en la compra de bienes raíces. Una ventaja de esa inversión es que disfruta de ciertas reducciones fiscales (rebajas al impuesto por concepto de depreciación) en cada uno de los próximos cinco años, al tiempo que reditúa (le pagan o devuelven a usted) un pequeño pago en efectivo el cual es libre de impuestos. Al final de los 5 años, usted podrá vender la propiedad, participará en los beneficios económicos y pagará impuestos sobre sus ganancias de capital por esos beneficios. Estos son algunos de los factores que debe considerar por cada $1.000 invertidos en el proyecto: Reducción fiscal anual Pago anual en efectivo que usted recibe Monto de los réditos al final del año 5 Adeudo de impuestos por ganancias de capital en el año 5

$200 $40 (no gravables) $1800 $2300

Inversión en un fondo mutualista La única inversión alternativa que ha considerado usted es un fondo en el mercado de dinero. Dicho fondo paga interés a razón del 14% anual y el ingreso que proviene de esos intereses es gravable. En ese fondo usted puede invertir cualquier cantidad en el momento que lo desee. Por comodidad supongamos que los intereses de cualquier año se pagan sobre el saldo existente al principio de ese año (al final del año anterior). En plan de prueba la herencia de $100.000 ha sido colocada en un fondo del mercado de dinero, pero puede retirarse de inmediato en caso necesario. Usted y su cónyuge desean construir un modelo de finanzas personales que les permita observar como crecerá su riqueza (saldo de un fondo de mercado) al cabo de cinco años. En realidad ustedes quieren usar este modelo para decidir que suma les convendría invertir en bienes raíces exentos de impuestos y para examinar hasta que punto es sensible su plan para algunas de las suposiciones que se han hecho. 145. Una compañía produce un ensamblado que consta de un bastidor, una barra y un cojinete. La compañía fabrica las barras y los bastidores, pero tiene que comprar los cojinetes a otro fabricante. Cada barra debe procesarse en una máquina de forja, un torno y un esmeril. Estas operaciones requieren de 0.5 horas, 0.2 horas y 0.3 horas por barra, respectivamente. Cada bastidor requiere de 0.8 horas de trabajo de forja, 0.1 horas en el taladro, 0.3 horas en la fresadora y 0.5 horas en el esmeril. La compañía tiene 5

tornos, 10 esmeriles, 20 máquinas de forja, 3 taladros y 6 fresadoras. Suponga que cada máquina opera un máximo de 2400 horas al año. Formule y resuelva como un programa lineal el problema de encontrar el número máximo de componentes ensamblados que es posible producir. 146. Harley Davidson Motorcycles está determinando su programa de producción para los cuatro trimestres siguientes. La demanda de motocicletas será como sigue: trimestre 1, 40; trimestre 2, 70; trimestre 3, 50; trimestre 4, 20. Harley Davidson tiene cuatro tipos de costos: 1. La fabricación de cada motocicleta le cuesta a Harley Davidson 400 dólares. 2. Al final de cada trimestre, se incurre en un costo de mantenimiento del inventario de 100 dólares, por cada motocicleta. 3. El aumento de la producción de un trimestre al siguiente, ocasiona costos de entrenamiento a empleados. Se estima que el costo es de 700 dólares por motocicleta, al incrementar la producción de un trimestre al siguiente. 4. La disminución de la producción de un trimestre la siguiente, provoca costos de indemnización por despido, una baja en el estado de ánimo, etc. Se estima que el costo es de 600 dólares por motocicleta, si se disminuye la producción de un semestre al siguiente. Hay que cumplir con todas las demandas a tiempo, y se puede usar la producción de un trimestre solamente para satisfacer la demanda del trimestre actual. Se produjeron 50 Harleys en el trimestre anterior al trimestre 1. Supóngase que al inicio del trimestre 1, el inventario es de cero Harleys. Formule un PL que minimice el costo total de Harley Davidson, durante los próximos cuatro trimestres. Pista: Este problema utiliza variables sin restricción de signo. 147. Una fábrica de queso produce dos tipos de quesos: queso suizo y queso holandés. La empresa cuenta con 60 trabajadores experimentados y desea aumentar su fuerza de trabajo a 90 trabajadores durante las siguientes 8 semanas. Cada obrero experimentado puede entrenar a 3 nuevos empleados en un período de 2 semanas, durante las cuales los obreros que participan en la capacitación no producen virtualmente nada. Cada trabajador necesita 1 hora para producir 10 libras de queso suizo y una hora para producir 6 libras de queso holandés. Una semana de trabajo es de 40 horas. A continuación se resumen (en miles de libras) las demandas semanales: Tipo Suizo Holandés

1 12 8

2 12 8

Semana 3 12 10

4 16 10

5 16 12

6 20 12

7 20 12

8 20 12

Suponga que un empleado en entrenamiento percibe el salario completo, como si fuese un obrero experimentado. Además, suponga que el sabor del queso desaparece con el tiempo, de modo que el inventario se limita a una semana. Si desea minimizar el costo de la mano de obra, ¿cómo debe la compañía contratar y capacitar a sus nuevos empleados? Formule el problema como un programa lineal y resuélvalo. 148. Todo el acero producido por Simesa debe cumplir con las siguientes especificaciones: 3.2 a 3.5% de carbono, 1.8 a 2.5% de silicio; 0.9 a 1.2% de níquel; resistencia a la tracción de por lo menos 45000 lb/pulg². Simesa produce acero mezclando dos aleaciones. El costo y las propiedades de cada aleación vienen dadas por: Aleación 1

Aleación 2

Costo por tonelada (Dólares) Porcentaje de Silicio Porcentaje de Níquel Porcentaje de carbono Resistencia a la tensión

190 200 2% 2.5% 1% 1.5% 3% 4% 42000 lb/pulg² 50000 lb/pulg²

Supóngase que se puede determinar la resistencia a la tracción de una mezcla promediando las resistencias de las aleaciones que se mezclan. Utilice la programación lineal para determinar como minimizar los costos de producción de una tonelada de acero. Resuelva el problema GRÁFICAMENTE y luego computacionalmente. 149. Ecopetrol tiene refinerías en Cartagena y en Barrancabermeja. La refinería de Cartagena puede refinar hasta dos millones de barriles de petróleo por año; la refinería de Barrancabermeja puede refinar hasta 3 millones de barriles de petróleo por año. Una vez refinado, se envía el petróleo a dos puntos de distribución: Cartagena y Santa Marta. Ecopetrol estima que cada punto de distribución puede vender hasta 5 millones de barriles de petróleo refinado al año. Debido a diferencias en los costos de envío y de refinación, la ganancia obtenida (en dólares) por millón de barriles de petróleo enviado, depende del lugar de refinación y del punto de distribución, así: Utilidad por millón de Barriles (dólares) A Cartagena A Santa Marta 20000 15000 18000 17000

De Cartagena De Barrancabermeja

Ecopetrol considera aumentar la capacidad de cada refinería. Cada aumento en la capacidad anual de refinación de un millón de barriles, cuesta 120000 dólares para la refinería de Cartagena y 150000 dólares para la refinería de Cartagena. Utilice la programación lineal para determinar como Ecopetrol puede maximizar sus ganancias, menos los costos de ampliación, en un período de 10 años. 150. 147.- La cervecería Bloomington produce cerveza común y la de tipo ale. La cerveza se vende a 5 dólares el barril, y el de ale a 2 dólares el barril. La producción de un barril de cerveza requiere de 5 libras de cebada y 2 libras de lúpulo. La producción de un barril de ale requiere de 2 libras de cebada y 1 libra de lúpulo. Se dispone de 60 libras de cebada y de 25 libras de lúpulo. Formule un PL que se pueda utilizar para maximizar los ingresos. Resuelva el problema GRÁFICAMENTE y luego computacionalmente. 151. Una compañía marítima requiere de una flota de barcos para dar servicios de transporte de carga entre 6 ciudades. Hay 4 rutas especificadas que deben ser atendidas diariamente. Estas rutas y el número de barcos requeridos para cada ruta son los siguientes: RUTA # 1 2 3 4

ORIGEN

DESTINO

Dhahram Marsella Nápoles Nueva York

Nueva York Estambul Bombay Marsella

NÚMERO DE BARCOS REQUERIDO POR DÍA 3 2 1 1

Todos los cargamentos son compatibles, de manera que solo se requiere un tipo de barco. A continuación se muestra la matriz de tiempos de viaje (en días) entre las distintas ciudades:

Nápoles Marsella

Nápoles

Marsella

Estambul

0 1

1 0

2 3

Nueva Dhahram Bombay York 14 7 7 13 8 8

Estambul Nueva Cork Dhahram Bombay

2 14 7 7

3 13 8 8

0 15 5 5

15 0 17 20

5 17 0 3

5 20 3 0

Se requiere un día para descargar cada barco y un día para cargarlo. ¿Cuántos barcos debe comprar la compañía marítima? 152. El personal técnico de un hospital desea elaborar un sistema computarizado para planear diversos menús. Para empezar, deciden planear el menú de la comida. El menú se divide en tres grandes categorías: legumbres, carne y postre. Se desea incluir en el menú por lo menos el equivalente a una porción de cada categoría. A continuación se resume el costo por ración de algunos de los alimentos sugeridos, así como su contenido de carbohidratos, vitaminas, proteínas y grasas.

Carbohidratos Vitaminas LEGUMBRES Fríjoles Tomates Zanahoria Maiz Habichuela Arroz CARNES Pollo Res Pescado POSTRES Naranja Manzana Pudín Gelatina

Proteínas Grasa

Costo en $ por Ración

1 1 1 2 4 5

3 5 5 6 2 1

1 2 1 1 1 1

0 0 0 2 1 1

0.10 0.12 0.13 0.09 0.10 0.07

2 3 3

1 8 6

3 5 6

1 2 1

0.70 1.20 0.63

1 1 1 1

3 2 0 0

1 0 0 0

0 0 0 0

0.28 0.42 0.15 0.12

Suponga que los requerimientos por comida mínimos de carbohidratos, vitaminas, proteínas y grasas son 5, 10, 10 y 2, respectivamente. a. Resuelva el problema de planeación de menúes como un problema de P.L. b. En el modelo anterior se han excluido muchos aspectos prácticos. Por ejemplo, la planeación conjunta de los menús del desayuno, el almuerzo y la comida, la planeación semanal se modo que sea posible incluir distintas variedades de alimentos, y menús especiales para pacientes que siguen dietas especiales. Explique en detalle como es posible incorporara estos aspectos en un sistema completo de planeación de menúes. 153. Alfredo tiene US$ 2200 para invertir durante los próximos cinco años. Al principio de cada año puede invertir su dinero en depósitos a plazo fijo de 1 o 2 años. El banco paga el 8% de interés en depósitos a plazo fijo de un año y el 17% (total) en depósitos a plazo fijo de dos años. Además, al principio del segundo año, Corfinsura ofrecerá certificados a tres años. Estos certificados tendrán una ganancia del 27% (total). Si Alfredo reinvierte su dinero disponible cada año, formule un programa lineal que muestre como maximizar su ganancia total al final del quinto año. 154. En la ciudad de Armenia se va a demoler un barrio de 10 acres y la alcaldía debe decidir sobre el nuevo plan de desarrollo. Se van a considerar dos proyectos habitacionales: viviendas a bajo costo y viviendas a medio costo. Se pueden construir 20 y 15 unidades de cada vivienda por acre, respectivamente. Los costos por unidad de las viviendas a

bajo y medio costo son 13 millones y 18 millones, respectivamente. Los límites superior e inferior establecidos por la alcaldía sobre el número de viviendas de bajo costo son 60 y 100 respectivamente. De igual manera, el número de viviendas de costo medio debe estar entre 30 y 70. Se estima que el mercado potencial combinado máximo para las viviendas es de 150 ( que es menor que la suma de los límites de los mercados individuales debido al translapo entre los dos mercados). Se desea que la hipoteca total comprometida al nuevo plan de desarrollo no exceda los 2.000 millones. Finalmente, el asesor de la obra sugirió que el número de viviendas de bajo costo sea por lo menos de 50 unidades mayor que la mitad del número de viviendas de costo medio. Formule y resuelva el problema GRAFICAMENTE y luego computacionalmente. 155. Un gerente de producción está planeando la programación de tres productos en cuatro máquinas. Cada producto se puede manufacturar en cada una de las máquinas. A continuación se resumen los costos de producción por unidad (en $) PRODUCTO 1 2 3

MÁQUINA 1 2 4 4 6 7 12 10

3 5 5 8

4 7 6 11

A continuación se resume el tiempo (en horas) requerido para producir cada unidad de producto en cada una de las máquinas. PRODUCTO 1 2 3

MÁQUINA 1 2 0.3 0.25 0.2 0.3 0.8 0.6

3 0.2 0.2 0.6

4 0.2 0.25 0.5

Suponga que se requieren 4000, 5000 y 3000 unidades de los productos, y que las horas-máquina disponibles son 1500, 1200, 1500 y 2000, respectivamente. Formule y resuelva el problema como un programa lineal. 156. Una compañía ha sido contratada para realizar cinco trabajos. Estos trabajos pueden efectuarse en seis de sus plantas de manufactura. Debido a la magnitud de los trabajos, no es factible asignar más de un trabajo a una planta de manufactura particular. También, el segundo trabajo no puede asignarse a la tercera planta de manufactura. Los costos estimados, en miles de dólares, para la ejecución de los trabajos en las distintas plantas de manufactura se resumen a continuación TRABAJO 1 2 3 4 5

PLANTA 1 2 50 55 66 70 81 78 40 42 62 55

3 42 72 38 58

4 57 68 80 45 60

5 48 75 85 46 56

6 52 63 78 42 65

Plantee y resuelva el problema de asignar los trabajos a las plantas de forma que el costo total sea mínimo. 157. Sofía, Susana y Sandra salen a un compromiso con Daniel, Guillermo y Andrés. A Sofía le gusta Guillermo dos veces más que Daniel y tres veces más que Andrés. A Susana le gusta Guillermo tres veces más que Daniel y cinco veces más que Andrés (Andrés es un perdedor!). A Sandra le gusta tanto Daniel como Guillermo, ¿y ambos le gustan aproximadamente cinco veces más que Andrés. ¿Cómo es posible formar las parejas de

modo que las chicas estén lo más contentas posible? Si una chica desea permanecer en casa, ¿cuál debe ser?. ¿Que chico perderá el compromiso? 158. El Martes, la empresa Metro de Medellín dispondrá cuatro locomotoras en la Estación Niquía, una locomotora en la Estación Itaguí y dos locomotoras en la Estación San Javier. En la Estación Hospital, Parque Berrío, Industriales y Estadio habrá vagones cada uno requiriendo una locomotora. El mapa local proporciona las siguientes distancias: Niquía Itaguí San Javier

Hospital 13 6 15

Estadio 35 61 10

Industriales 42 18 5

Parque Berrío 9 30 9

¿Cómo debe asignar la compañía las locomotoras de modo que la distancia recorrida total sea mínima? 159. Para

hacer keroseno de aviación de tipo A y B y gasolina de automóvil con y sin plomo, en una refinería se usan alquilatos, gasolina básica y gasolina crakeada adecuadamente mezcladas. Las propiedades físicas y la producción diaria de cada de estas son: Producto PVR Alquilato 5 Gasolina 4 básica Gasolina 8 crakeada

Nº de Octano (0) 94 74

Nº de Octano (250) 108 86

Producción m3/dia

84

94

2500

4000 4000

Las dos columnas de índice de octano corresponden gasolinas con o sin 250 mg/m3 de tetraetil plomo añadido. Los productos de la mezcla deben tener las siguientes propiedades:

Producto PVR

TEL 0

Nº de octano  80

Ganancia €/ m3 100

Keroseno 7 A Keroseno 7 B Gasolina --con plomo Gasolina --sin plomo

250

 91

110

250

 87

95

0

 91

95

Plantear y resolver el problema utilizando el entrono GAMS ¿Como cambiaría la solución optima si se produjeran 100 m3 /dia mas de alquilato? Adicionalmente, el alumno puede resolver el problema con el entorno de Excel e interpretar las soluciones e información del mismo.

160. Una

compañía química tiene varias plantas conectadas por oleoductos cuya capacidad máxima en m3/min, dirección y arquitectura están indicadas en la figura. Desea enviar un flujo de 11 m3/min desde la planta 1 a la 6. Los costos de envio de un flujo unitario de cada oleoducto están indicados en rojo en la figura. ¿Como debe organizar el envío para realizarlo con los menores costos posibles? Se supone que no hay acumulación ni generación de producto en las plantas intermedias

5

2

4

9

4

2

1

3 3 8

3

6

5 5

8

6

Plantear el problema y resolverlo con el entorno GAMS interpretando la solución. ¿Cuál es el costo mínimo y la ruta óptima? ¿Cómo se modifica la solución si aumentamos la capacidad del oleoducto de 3 a 5 en dos unidades? 161. Para

la red anterior, ¿Cuál es el flujo máximo que puede enviarse de la planta 1 a la 6? ¿Cuál es la ruta óptima? ¿Cómo se modifica la solución si aumentamos la capacidad del oleoducto de 3 a 4 en dos unidades? Plantear el problema y resolverlo con el entorno GAMS interpretando la solución.

162. Un fabricante tiene cuatro órdenes de producción: A, B, C y D. La tabla que se incluye indica el número de horas-hombre que se requieren para fabricar estas órdenes en cada uno de los tres talleres (X, Y, Z) de la industria. Es posible dividir una orden entre varios talleres, por ejemplo, parte de la orden A puede ser procesada en X, parte en Y, y parte en Z. Así mismo, cualquier taller puede ejecutar fracciones de varias órdenes. Taller Horas-Hombre necesarias A B C D X 71 298 133 144 Y 39 147 61 126 Z 46 155 57 121

Costo por Hora-Hombre 89 81 84

Horas-Hombre Disponibles 320 160 160

Si el fabricante desea minimizar los costos de producción, establezca el planteamiento del problema (Función objetivo y restricciones). Defina las variables a emplear y explique su significado. 163. Un granjero puede criar ovejas, cerdos y ganado vacuno. Tiene espacio para 30 ovejas, o 50 cerdos, o 20 cabezas de ganado vacuno, o cualquier combinación de éstos (con la relación siguiente: 3 ovejas, 5 cerdos o dos vacas usan el mismo espacio). Los beneficios (utilidades) dadas por animal son 5, 4, 10 pesos para ovejas, cerdos y vacas

respectivamente. El granjero debe criar, por ley, al menos tantos cerdos como ovejas y vacas juntas. 164. La compañía Tejas Ltda., es un contratista grande que realiza trabajos de techos. Puesto que el precio de las tejas varía con las estaciones del año, la compañía trata de acumular existencias cuando los precios están bajos y almacenarlas para su uso posterior. La compañía cobra el precio corriente en el mercado por las tejas que instala, sin importar cuando las haya adquirido. La tabla que aparece al final refleja lo que la compañía ha proyectado como costo, precio y demanda para las tejas durante las próximas cuatro temporadas. Cuando las tejas se compran en una temporada y se almacenan para su uso posterior, se incurre en un costo de manejo de $6 por millar de piezas, así como también en un costo de almacenamiento de $12 por millar de piezas por cada temporada en la que se almacena. Lo máximo que se puede guardar en el almacén son 220.000 piezas, esto incluye el material que se compra para utilizarlo en el mismo período. La compañía ha fijado como política no conservar materiales más de cuatro temporadas. Plantee un modelo para el problema que permita a Tejas Ltda. maximizar sus utilidades para un período de cuatro temporadas. Temporada Temporada 1 Temporada 2 Temporada 3 Temporada 4

Precio compra ($/pieza) 21 22 26 24

Precio mercado ($/pieza) 22 23.25 28.50 25.50

Ventas (demanda) (millones piezas) 100 140 200 160

165. Un fabricante de muebles tiene tres plantas que requieren semanalmente 500, 700 y 600 toneladas de madera. El fabricante puede comprar la madera a tres (3) compañías madereras. Los primeros dos fabricantes de madera tienen virtualmente un suministro ilimitado mientras que, por otros compromisos, el tercer fabricante no puede surtir más de 500 toneladas por semana. La primera fábrica de madera usa el ferrocarril como medio de transporte y no hay un límite al peso que puede enviar a las fábricas de muebles. Por otra parte, las otras dos compañías madereras usan camiones, lo cual limita a 200 toneladas el peso máximo que puede enviar a cualquiera de las fábricas de muebles. En la siguiente tabla se da el costo de transporte de las compañías madereras a las fábricas de muebles ($/Tonelada). Compañía Maderera 1 2 3

Planta 1 2.0 2.5 3.0

Planta 2 3.0 4.0 3.6

Planta 3 5.0 4.9 3.2

Formular y resolver el problema sabiendo que se quiere minimizar los costos transporte.

de

166. Un cierto fabricante de tornillos, ha constatado la existencia de un mercado para paquetes de tornillos a granel en distintos tamaños. Los datos de la investigación de mercados han demostrado que se podrían vender cuatro clases de paquetes con mezclas de los tres tipos de tornillos (1, 2 y 3), siendo los de mayor aceptación por el público. Los datos de la investigación realizada indicaron las especificaciones y los precios de venta siguientes: Mezcla de Tornillos A B

Especificaciones No menos del 40% Tipo 1 No más del 20% Tipo 2 Cualquier cantidad Tipo 3 No menos del 20% Tipo 1 No más del 40% Tipo 2 Cualquier cantidad Tipo 3

Precio de venta ($/kg) 60 25

C D

No menos del 50% Tipo 1 No más del 10% Tipo 2 Cualquier cantidad Tipo 3 Sin restricciones

35 20

Para estos tornillos la capacidad de la instalación y los costos de fabricación se indican a continuación: Tipo de Tornillo 1 2 3

Capacidad Máxima de Producción (Kg) 100 100 60

Costo fabricación ($/Kg) 50 30 18

¿Cuál sería la producción que debe programar este fabricante para obtener la ganancia máxima, suponiendo que puede vender todo lo que fabrique? 167. En una industria pequeña de fabricación de cocinas de gas se debe programar la producción por un período de seis meses. Teniendo en cuenta que la producción es eminentemente manual, no existe gran ventaja en producir en grandes cantidades, sino más bien evitar gastos excesivos de almacenaje. Por consiguiente, se ha visto la conveniencia de acompasar, en lo posible, la producción a las necesidades mensuales de la demanda. Se empieza en el período con un stock de 60 unidades y se desea que al final del período quede una existencia de por lo menos 50 unidades como stock de seguridad. Las ventas realizadas en promedio en los cinco últimos años es - mes a mes – la señalada en la tabla. Después de estudiar las tendencias presentadas, se tiene la seguridad de que las ventas van a experimentar un 8% de incremento. El costo unitario de producción es de $1,000 (mil pesos) y los costos de almacenamiento por unidad y mes (teniendo en cuenta la obsolescencia, alquileres de bodega, etc.) de $100 (cien pesos). La capacidad de producción para cada mes se señala a continuación: Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio

Demanda 166.67 74.08 222.23 268.52 250.00 120.38

Capacidad de producción 150 195 210 255 190 220

Con los datos anteriores, establecer la programación óptima para el período de seis meses y calcular el costo total. 168. Un contratista está considerando una propuesta para la pavimentación de una carretera. Las especificaciones requieren un espesor mínimo de doce pulgadas (12"), y un máximo de 18". La carretera debe ser pavimentada en concreto, asfalto, gravilla, o cualquier combinación de estos tres elementos. Sin embargo, las especificaciones requieren una consistencia final igual o mayor que la correspondiente a una superficie de concreto de 9" de espesor. El contratista ha determinado que 3" de su asfalto son tan resistentes como 1" de concreto, y 6" de gravilla son tan resistentes como 1" de concreto. Cada pulgada de espesor por yarda cuadrada de concreto le cuesta $10, el asfalto $3.80, y la gravilla $1.50. Determine la combinación de materiales que el contratista debería usar para minimizar su costo. 169. Una empresa estima que la demanda de un determinado producto en los primeros cinco meses del año será como la que se muestra en la tabla. El costo unitario de producción

es de $3. El costo unitario de almacenaje en un período es $2. La capacidad de producción durante los cinco períodos es de: Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Total

Demanda 16 16 12 10 12 66

Capacidad de Producción 36 12 4 12 4 68

Establecer la programación óptima para el período de cinco meses y calcular el costo total. 170. Un productor de aluminio fabrica una aleación especial que el garantiza que contiene un 90% o más de aluminio, entre 5% y 8% de cobre y el resto de otros metales. La demanda para esta aleación es muy incierta de modo que el productor no mantiene un stock disponible. El ha recibido una orden de 1.000 kg. a $450/kg. La aleación debe hacerse a partir de barras de dos tipos de materiales de desecho, de cobre puro y de aluminio puro. El análisis de los materiales de desecho es el siguiente: Material de desecho 1 Material de desecho 2

Al 95% 85%

Cu 3% 1%

Otros 2% 14%

Los respectivos costos son: Material de desecho 1 = $150/kg; Material de desecho 2 = $50/kg; Cobre puro = $150/kg; y Aluminio puro $500/kg. Cuesta $50 fundir un kilogramo de metal. Se tienen más de 1.000 kg. de cada tipo de metal disponible. Como debe el productor cargar su horno de manera que maximice sus utilidades? 171. Un comando estratégico de bombardeo recibe instrucciones de interrumpir la producción de tanques del enemigo. El enemigo tiene cuatro plantas claves situadas en diferentes ciudades y la destrucción de una de ellas produce efectivamente la paralización de la producción de tanques. Existe una aguda escasez de combustible que limita la cantidad a 48.00 galones para esta misión. Cualquier bombardeo debe tener, en caso de ser mandado a una ciudad, una cantidad suficiente de combustible para ir y volver más 100 galones de reserva. Tipo Descripción 1 2

Miles de galones consumidos por uno de los aviones en ir y volver Pesado 2 Liviano 3

Cantidad de bombarderos disponibles 48 32

La ubicación de las plantas y su vulnerabilidad al ataque para bombardeos del tipo 1 y 2 es: Planta 1 2 3 4

Cantidad de Tanques Construidos 450 480 540 600

Probabilidad de destrucción bombardeo pesado 0.10 0.20 0.15 0.25

Probabilidad de destrucción bombardeo liviano 0.08 0.16 0.12 0.20

¿Cuántos bombarderos de cada tipo deben despacharse y como deben ser distribuidos en cada planta maximizar la probabilidad de éxito? 172. Un taller mecánico tiene que fabricar seis pedidos en las cantidades que se detallan en la tabla. Los tiempos necesarios para la fabricación de piezas de cada pedido en las distintas máquinas también aparecen en la tabla. Debe tenerse en cuenta que los tiempos de preparación son muy pequeños y se consideran incluidos como suplemento en los tiempos. En la misma tabla, se muestran las horas disponibles para cada máquina. Pedido No. A Producir 1 10 2 40 3 60 4 50 5 20 6 30 Horas por máquina:

Cantidad Máquina 1 Máquina 2 3 4 3 1 2 1 5 2 2 2 1 1 80 30

Máquina 3 2 2 5 1 1 2 200

Realizar la programación del trabajo en las tres máquinas, de forma que se obtenga el tiempo mínimo. 173. Se hace un pedido a una fábrica de papel, de 800 bobinas de papel corrugado de 30 pulgadas de ancho, 500 bobinas de 45 pulgadas de ancho y 1000 de 56 pulgadas. La fábrica de papel tiene bovinas de 108 pulgadas de ancho. ¿Cómo deben cortarse las bobinas para suministrar el pedido con el mínimo de recortes o desperdicios? 174. El pronóstico de ventas mensuales para un cierto producto está presentado en el siguiente cuadro: UNIDADES Enero Agosto Abril Noviembre

2.000 6.000 6.000 2.000

Julio Marzo Octubre Junio

10.000 4.000 3.000 10.000

Febrero Septiembre Mayo Diciembre

3.000 4.000 8.000 2.000

El costo unitario de aumentar o disminuir la producción de un mes a otro es de $1.00 y de $0.50, respectivamente. La producción programada para el mes de diciembre de este año es de 2.000 unidades, y está calculado que el nivel de inventario en enero 1 será de 1.000 unidades. La capacidad de almacenaje está limitada a 5.000 unidades. Obtener la programación de la producción para el año entrante que minimice el costo producido al cambiar tasas de producción y asegure al mismo tiempo la disponibilidad de un stock suficiente para cubrir el pronóstico de ventas en cualquier momento. (Supóngase que la programación de la producción durante un mes esté disponible justo en el momento de cubrir la demanda de ventas en el mes corriente). 175. A Tomás le gustaría tomar exactamente 1½ litros de cerveza casera hoy, y al menos 2 litros más mañana. Ricardo desea vender un máximo de 2 litros en total a un precio de $1.54 medio litro hoy y a $1.50 medio litro mañana. Enrique desea vender un máximo de 2½ litros en total a un precio $1.60 medio litro hoy y a $1.44 medio litro mañana. Tomás desea saber como debe realizar sus compras para minimizar su costo, satisfaciendo sus requerimientos mínimos de sed. Plantee el modelo de P.L. para este problema, y obtenga la respuesta por medio del paquete LINGO. 176. Una corporación ha decidido producir tres productos nuevos. En este momento, cinco de sus plantas tienen capacidad de producción en exceso. El costo unitario de fabricación del primer producto sería de $90, $82, $92, $84 y $86, en las plantas 1, 2, 3, 4 y 5,

respectivamente. El costo unitario de fabricación del segundo producto sería $62, $58, $64, $56 y $58, en las plantas 1, 2, 3, 4 y 5, respectivamente. El costo unitario de fabricación del tercer producto sería $76, $70, $80, en las plantas 1, 2, y 3, respectivamente, mientras que las plantas 4 y 5 no tienen la capacidad para elaborar este producto. Los pronósticos de ventas indican que deben producirse al día 5000, 3000 y 4000 unidades de los productos 1, 2 y 3, respectivamente. Las plantas 1, 2, 3, 4 y 5 tienen capacidad para producir 2000, 3000, 2000, 3000 y 5000 unidades cada día, respectivamente, sin importar el producto o la combinación de productos de que se trate. Supóngase que cualquier planta que tenga los elementos y la capacidad necesarias puede producir cualquier combinación de los productos en cualquier cantidad. El gerente desea saber como asignar los nuevos productos a las plantas para minimizar el costo total y requerimientos. 177. Supóngase que Inglaterra, Francia y España producen todo el trigo, la cebada y la avena del mundo. La demanda mundial de trigo requiere que se dediquen 125 millones de acres de tierra a la producción de este cereal. Análogamente, se requieren 60 millones de acres de tierra para cebada y 75 millones de acres para avena. La cantidad total de tierra para este fin en Inglaterra, Francia y España es de 70 millones de acres, 110 millones de acres y 80 millones de acres, respectivamente. El número de horas de trabajo necesarias en Inglaterra , Francia y España para producir un acre de trigo es de 18 horas, 13 horas y 16 horas, respectivamente. El número de horas de trabajo necesarias en Inglaterra, Francia y España para producir un acre de cebada es de 15 horas, 12 horas y 12 horas, respectivamente. El número de horas de trabajo necesarias en Inglaterra, Francia y España para producir un acre de avena es de 12 horas, 10 horas y 16 horas, respectivamente. El costo de la mano de obra por hora para producir trigo es de $3.00, $2.40 y $3.30 en Inglaterra, Francia y España, respectivamente. El costo de la mano de obra por hora para producir cebada es de $2.70, $3.00 y $2.80 en Inglaterra, Francia y España, respectivamente. El costo de la mano de obra por hora para producir avena es de $2.30, $2.50 y $2.10 en Inglaterra, Francia y España, respectivamente. El problema es asignar el uso de la tierra en cada país de manera que se satisfagan los requerimientos de alimentos y se minimice el costo total de la mano de obra. a) Plantéese el problema como un problema de transporte, construyendo la tabla apropiada de costos y requerimientos. b) Use el método de la esquina "noroccidental" para resolver el problema. 178. El entrenador de cierto equipo de natación necesita asignar nadadores para formar un equipo de relevo combinado para 200 mts. Con el fin de asistir a una competencia. Como la mayoría de sus mejores nadadores son muy rápidos en más de un estilo, no es obvio cual nadador debe ser asignado a cada uno de los cuatro estilos. Los cinco nadadores más rápidos y los “mejores tiempos” (en segundos) que han logrado en cada uno de los estilos (en 50 metros) son: Estilo Dorso Pecho Mariposa Libre

Carlos 37.7 43.4 33.3 29.2

Christian 32.9 33.1 28.5 26.4

David 33.8 42.2 38.9 29.6

Antonio 37.0 34.7 30.4 28.5

Pedro 35.4 41.8 33.6 31.1

179. Una cooperativa tiene una finca de 300 hectáreas que puede bombear un millón de metros cúbicos del acuífero adyacente. La cooperativa quiere usar la totalidad de la finca con fines agropecuarios y proyecta producir plátano y maíz y también sembrar pasto de pastoreo para la cría de ganado. Una hectárea de plátano requiere 10 mil metros cúbicos de agua y 40 horas de mano de obra. Una hectárea de maíz requiere cuatro mil metros cúbicos de agua y 12 horas de mano de obra. Una cabeza de ganado requiere media hectárea de pasto, 100 metros cúbicos de agua (incluyendo el agua para el pasto) y ocho horas de mano de obra. La cooperativa dispone de un capital de 100 millones de pesos y un total de ocho mil horas de mano de obra. Los costos de producción de una hectárea de plátano y de una

de maíz son $500.000 y $100.000 respectivamente, mientras que la producción de ganado cuesta $70.000 por cabeza. El ingreso bruto anual de la cooperativa es de $1.100.000 por hectárea de plátano y de $300.000 por hectárea de maíz. Una cabeza de ganado después de un año de engorde vale $130.000. Determinar el número máximo de cabezas de ganado y las hectáreas de plátano y maíz que maximizan la ganancia neta de la cooperativa. 180. Se está estudiando la factibilidad de la ejecución de cinco proyectos durante los próximos 3 años. En la tabla que se presenta a continuación, se dan los siguientes datos: - Ingresos brutos de cada proyecto actualizados al final del tercer año. - Gastos ocasionados por los proyectos en cada uno de los tres años. - Cantidad máxima de fondos disponibles cada año. PROYECTO 1 2 3 4 5 Fondos Disponibles

Año 1 5 4 3 7 8

Gastos Año 2 1 7 9 4 6

Año 3 8 10 2 1 10

Ingreso Bruto

25

25

25

20 40 20 15 30

Se desea seleccionar los proyectos a ejecutar en cada año, de modo que sean maximizados los ingresos netos (un proyecto por año) 181. Un taller mecánico tiene tres (3) máquinas disponibles A, B y C, para hacer unos productos de los tipos 1 y 2, y que se desea programar de la forma económicamente más favorable, en este caso, que la utilidad sea la máxima posible. Para hacer este trabajo, se dispone de un número determinado de horas en cada máquina, que se señalan en la tabla siguiente: Máquina A B C

Tiempo Disponible (en Horas) 72 162 100

Los tiempos que emplea cada lote de 100 unidades de cada producto de los tipos 1 y 2, en cada una de las máquinas se indica en el cuadro siguiente: Máquina Lotes Pieza 1 Lotes Pieza 2

A 12 12

B 9 36

C 20 10

Las ganancias o utilidades que proporcionan cada lote de 100 unidades del tipo 1 es de $10, y $7 los del tipo 2. 182. Una fábrica de plásticos planea obtener un nuevo producto mezclando 4 compuestos químicos. Estos compuestos consisten principalmente de 3 elementos químicos A, B y C. A continuación se muestra la composición y el costo por unidad de estos compuestos. Compuesto Químico Porcentaje de A Porcentaje de B Porcentaje de C Costo/Kilogramo

1 30 20 40 60

2 20 60 15 30

3 40 30 25 20

4 20 40 30 15

El nuevo producto consiste del 20% del elemento A, al menos 30% del elemento B y al menos el 20% del elemento C. Debido a los efectos laterales de los compuestos 1 y 2, no deben de exceder el 30% y del 40% del contenido del nuevo producto. Formular como un programa lineal el problema de encontrar la forma menos costosa de obtener el nuevo producto. 183. Una compañía dispone de $30 millones para distribuirlos el próximo año entre sus tres sucursales. Debido a compromisos de la estabilidad del nivel de empleados y por otras razones, la compañía ha establecido un nivel mínimo de fondos para cada una de las sucursales. Estos fondos mínimos son de $3, $5 y $8 millones, respectivamente. Debido a la naturaleza de su operación, la sucursal 2 no puede utilizar más de $17 millones sin una expansión de capital grande. La compañía no está dispuesta a efectuar tal expansión en este momento. Cada sucursal tiene la oportunidad de dirigir distintos proyectos con los fondos que recibe. Para cada proyecto se ha establecido una tasa de ganancia (como un porcentaje de la inversión). Por otra parte, algunos de los proyectos permiten solo una inversión limitada. A continuación se dan los datos para cada proyecto. Sucursal

Proyecto

Tasa de Ganancia

1

1 2 3

8% 6% 7%

Límite Superior de la Inversión (Millones de $) 6 5 9

2

4 5 6

5% 8% 9%

7 10 4

7 8

10% 6%

6 3

3

Formule este problema como un programa lineal. 184. Una refinería puede comprar dos tipos de petróleo: petróleo crudo ligero y petróleo crudo pesado. El costo por barril de estos tipos de petróleo es $ 11 y $9 respectivamente. De cada tipo de petróleo se producen por barril las siguientes cantidades de gasolina, kerosene, y combustible para reactores:

Petróleo crudo ligero Petróleo crudo pesado

Gasolina

Kerosene

0.4 0.32

0.2 0.4

Combustible para Reactores 0.35 0.2

Obsérvese que durante el proceso de refinamiento se pierden el 5% y el 8% del crudo, respectivamente. La refinería tiene un contrato para entregar un millón de barriles de gasolina, 400.000 barriles de kerosene, y 250.000 barriles de combustible para reactores. Formular como un programa lineal el problema de encontrar el número de barriles de cada tipo de petróleo crudo que satisfacen la demanda y minimizan el costo total. 185. Un barco tiene 3 bodegas: en la proa, en la popa y en el centro. La capacidad de cada bodega aparece en la siguiente tabla: BODEGA Capacidad en Peso Proa 2000 Ton Centro 3000 Ton Popa 1500 Ton

Capacidad en Volumen 100000 m³ 135000 m³ 30000 m³

Se han ofrecido para transportar los siguientes cargamentos. Los diseños del barco permiten cargar el total o una porción cualquiera de cada artículo:

Artículo A B C

Cantidad (Ton) Volumen por Tonelada 6000 60 4000 50 2000 25

Ganancia por Tonelada ($/Ton) 6 8 5

Para preservar el equilibrio del barco, el peso en cada bodega debe ser proporcional a la capacidad en toneladas. ¿Cómo debe ser distribuida la carga para obtener máximas ganancias? 186. Una firma de café produce dos tipos de mezclas: suave y suavísimo. En la planta se cuenta con: Café Colombiano Brasileño Mexicano

Costo por Libra ($) 52 50 48

% de Cafeína 2.5 2.0 1.5

Cantidad Disponible (libras) 20.000 25.000 15.000

Los productos que salen al mercado son: Mezcla

Precio venta % máximo por libra ($) de cafeína Suave 72 2.2 Suavísimo 75 2.0 Como se obtiene la máxima ganancia en ventas?

Demanda (libras) 35.000 25.000

187. Una compañía de artículos electrónicos produce tres líneas de productos para venderlos al gobierno: transistores, micromódulos y circuitos armados. Cuenta con cuatro áreas de proceso: producción de transistores, ensamblaje de circuitos, control de transistores y módulos, y prueba de circuitos y embalaje. La producción de un transistor requiere: 0.1 horas de trabajo en producción de transistores. 0.5 horas de trabajo en control de transistores. $0.7 en costo directo. La producción de un micromódulo requiere: 0.4 horas de trabajo en el área de ensamblaje del circuito. 0.5 horas en el área de control de transistores y módulo. 3 transistores $0.5 en costo directo. La producción de un circuito armado requiere: 0.1 horas de trabajo en el área de ensamblaje de circuitos. 0.5 horas en el área de prueba de circuitos y embalaje. 1 transistor 3 micromódulos $0.2 en costo directo Cualquiera de los tres (3) productos se puede vender en cantidades ilimitadas con los precios de $2.0, $8.0, $25.0, respectivamente. Si hay 200 horas de producción en cada una de las áreas en el mes próximo ¿cuál deberá ser el programa de producción a fin de obtener una ganancia máxima? 188. Un empacador de nueces dispone de 150 libras de cacahuetes, 100 libras de nuez de la India y 50 libras de almendras. El empacador puede vender tres tipos de mezclas de estos productos: una mezcla barata que consiste en 80% de cacahuetes, 30% de nuez de la India y 20% de almendras; una mezcla para fiestas que consiste en 50% de

cacahuetes, 40% de nuez de la India y 20% de almendras y una mezcla de lujo con 20% de cacahuetes, 50% de nuez de la India y 30% de almendras. Si la lata de 12 onzas de la mezcla barata, la mezcla para fiestas y la mezcla de lujo se pueden vender en $0.90, $1.10 y $1.30, respectivamente, ¿cuántas latas de cada tipo debe producir el empacador para maximizar su ganancia? 189. Un fabricante de whisky importa tres tipos de licores A, B y C. Los mezcla de acuerdo con especificaciones que limitan el máximo y el mínimo de A y C en cada mezcla: Mezcla Blue Dot Highland Fling Old Freny

Especificaciones No más de 60% de A No menos de 20% de C No más de 60% de C No menos de 15% de A No más de 50% de C

Precio Unitario $6.80 $5.70 $4.50

Las cantidades disponibles de cada uno y sus precios son: Clase A B C

Cantidad máxima en unidades/día 2000 2500 1200

Costo unitario $7.00 $5.00 $4.00

Establezca el programa de producción que maximiza las utilidades. 190. Un carpintero fabrica dos productos: sillas y marcos. Su producción está limitada por las disponibilidades en listones de madera (36 semanales), por las horas de mano de obra contratada (48 semanales) y por las horas de trabajo disponibles en la máquina cepilladora automática (70 semanales). Cada silla requiere 4 listones de madera, 3 horas de mano de obra y 10 horas de cepilladora. Cada marco requiere 4 listones, 6 horas hombre y 5 horas de cepilladora. El carpintero obtiene $300 y $200 de utilidades por cada silla y marco respectivamente. Formule el problema y encuentre por medios gráficos el programa de fabricación que haga máximas las utilidades. 191. Un alumno que repite el curso de Investigación de Operaciones acude al psiquiatra y este le informa que su falta de entusiasmo se debe a un déficit de tiamina y niacín prescribiéndole un mínimo de 1 mg y 10 mg diarios, respectivamente. El doctor le sugiere que obtenga la mitad de la dosis mediante un desayuno a base de cereales. El alumno, que no cuenta con demasiados recursos económicos, trata de hacer mínimo el costo de las vitaminas. Una vez en el supermercado, se informa acerca de los dos únicos desayunos que le agradan: A y B. Cereal A B

Tiamina por Onza 0.12 mg. 0.13 mg.

Niacín por Onza 0.60 mg. 1.59 mg.

Costo por Onza $ 14 $ 24

Determinar geométricamente la mezcla a realizar para que el costo sea mínimo y asegure la mitad de la dosis de vitaminas prescritas por el psiquiatra. 192. Un granjero tiene 100 acres de terreno que puede dedicar a cultivar trigo o maíz o ambos en cualquier proporción. La cosecha anual es de 60 fanegas por acre de trigo y de 95 fanegas por acre de maíz. Las necesidades de mano de obra son anualmente de cuatro (4) horas por acre cultivado mas 0.15 horas por fanega de trigo y 0.70 horas por fanega de maíz. El costo de las semillas, fertilizantes, etc. es de $20 por fanega de trigo y de $12 por fanega de maíz. El trigo puede venderse a $175 por fanega y el maíz a $95. Además, el granjero quiere criar cerdos o gallinas o ambos, en cualquier proporción, disponiendo para ello de un terreno de 10000 pies cuadrados. Los cerdos se venden al cabo de un año a $4000 por unidad. Las aves se miden en proporción a la venta porcina,

esto es, se considera como unidad avícola de venta el número de gallinas necesario para una venta de $4000. Cada cerdo requiere $2000 en alimentos preparados, 25 pies cuadrados de espacio y 25 horas de mano de obra. La unidad avícola de venta requiere $1000 en alimentos, 15 pies cuadrados de espacio y 40 horas de mano de obra. El granjero dispone anualmente de 2000 horas de su propio tiempo y otras 2000 horas de su familia. Puede contratar mano de obra aun precio de $150 por hora, pero cada hora contratada requiere de 0.15 horas de su propio tiempo para supervisión. Se pide plantear el problema como un problema de programación lineal, para hallar los acres dedicados a trigo y a maíz, el número de cerdos y unidades avícolas a criar y las horas de mano de obra a contratar el próximo año para que los beneficios del granjero sean máximos. 193. Una compañía extrae tres tipos de mineral en tres pozos distintos. Para esto cuenta con tres equipos de las siguientes características: Capacidad de trabajo (rendimiento) en Ton/día Equipo E1 E2 E3

Pozos P1 90 65 50

P2 70 80 70

Días de mantenimiento por mes (30 días) 5 2 2

P3 78 65 85

Por compromisos adquiridos anteriormente, debe arrendarse otro equipo de las siguientes características Equipo E4

Pozos P1 P2 90 72

Días de mantenimiento por mes (30 días) 1

P3 58

que está disponible los 30 días del mes, pero no se arrienda por menos de 10 días/mes. La empresa que recibe le material admite las capacidades siguientes: Mineral Pozo P1 Mineral Pozo P2 Mineral Pozo P3

2500 Ton/mes 2300 Ton/mes 2250 Ton/mes

Los costos de operación que tiene cada equipo están en el cuadro siguiente ($/día): Equipo Pozos P1 P2 P3 E1 12 25 22 E2 4 17 20 E3 9 20 21 E4 15 30 25 Los gastos de salario y jornales de la mano de obra asociada a cada equipo son: Equipo E1 ($/día) 20

E2 35

E3 30

E4 40

Suponiendo que los pozos deben explotarse los 30 días del mes, plantee el problema de programación lineal, de manera que el programa de explotación produzca máximas utilidades. 194. Una empresa ha adquirido cuatro nuevas máquinas A, B, C y D diferentes a un precio de $21000, $24000, $27000 y $28000, respectivamente, de acuerdo a un plan de expansión de la producción. Sin embargo, solo tres de estas máquinas pueden funcionar inmediatamente por disponer únicamente de tres lugares adecuados. La máquina no seleccionada deberá permanecer inactiva alrededor de un mes.

Existen distintas posibilidades de ubicación para cada máquina según su proximidad a las cuatro cadenas de producción en la planta fabril. El transporte de materiales hacia y desde el lugar donde está ubicada cada máquina se estima en costos por unidad de tiempo (día) para cada máquina y lugar, de acuerdo con el siguiente cuadro Máquina Lugar 1 Lugar 2 Lugar 3 A 11 9 13 B 17 16 C 8 12 15 D 16 6 12 Nota: el lugar 2, no es adecuada para la máquina B. Encuentre la asignación que haga mínimo el costo total de transporte, incluyendo el valor de las máquinas. 195. La gerencia de una empresa enfrenta la necesidad de trasladar a tres de sus empleados a tres diferentes lugares de trabajo. Se han hecho estimaciones del costo del traslado de cada empleado a cada lugar. Estos costos se dan en el cuadro en miles de pesos. Se supone que los tres se pueden desempeñar con igual eficiencia en los tres lugares. Costo Empleado A B C 2 1 4 3 4 1 5 6 2

A B C

Encuentre un asignación de los empleados a los trabajos que minimice el costo total. 196. Una tienda desea comprar las siguientes cantidades de vestidos de mujer: Modelo A Cantidad 150

B 100

C 75

D 250

E 200

La tienda se abastece de cuatro fabricantes cuyas disponibilidades (de todos los vestidos combinados) se indican a continuación: Fabricante Cantidad 300

W 250

X 150

Y 200

Z

La tienda estima que sus utilidades por vestido varían de acuerdo con cada fabricante en la forma que se indica:

W X Y Z

VESTIDO A B 28 35 30 32 25 35 33 27

C 43 45 48 40

D 22 18 20 25

E 15 10 13 27

Encuentre las utilidades máximas. 197. Un fabricante de acero produce cuatro (4) tamaños de vigas en I: pequeña, mediana, grande y extragrande. Estas vigas se pueden producir en cualquiera de tres tipos de máquinas: A, B y C. A continuación se indican las longitudes (en pies) de las vigas I que pueden producir las máquinas por ahora. Viga Pequeña

Máquina A B 300 600

C 800

Mediana Grande Extragrande

250 200 100

400 350 200

700 600 300

Supóngase que cada máquina se puede usar hasta 50 horas por semana y que los costos de operación por hora de estas máquinas son de $30, $50 y $80 respectivamente. Supóngase, además, que semanalmente se requieren 10000, 8000, 6000 y 6000 pies de los distintos tamaños de las vigas I. Formular el problema de programación de máquinas como un problema de programación lineal. 198. Un agricultor tiene 200 acres y dispone de 18000 horas-hombre. El desea determinar el área (en acres) que asignará a los siguientes productos: maíz, trigo, quimbombó, tomate y ejotes. El agricultor debe producir al menos 250 toneladas de maíz para alimentar a sus puercos y ganado, y debe producir al menos 80 toneladas de trigo, debido a un contrato que firmó previamente. A continuación se resumen el tonelaje y la mano de obra en horas-hombre por acre para diferentes productos: Ton/acre Horas-hombre/acre

Maíz 10 120

Trigo 4 150

Quimbombó 4 100

Tomate 8 80

Ejote 6 120

El maíz, trigo, quimbombó, tomate y ejote se venden, respectivamente, en $120, $150, $50, $80 y $55 por tonelada. Encontrar la solución óptima. 199. Para efectuar ciertas tareas se dispone de un carpintero, un plomero y un ingeniero. Cada persona puede realizar una sola tarea en el tiempo permitido. Existen cuatro tareas disponibles, de las cuales es necesario efectuar tres. A continuación se proporciona la matriz de ineficiencia para la persona i asignada a la tarea j. Carpintero Plomero Ingeniero

SOLDAR 2 3 2

ENMARCAR 6 4 5

TRAZAR 4 4 6

CABLEAR 4 3 5

¿A qué persona debe asignarse qué tarea? ¿Qué tarea no se realizará? Ahora suponga que cada persona puede efectuar hasta dos tareas y que todas las tareas deben realizarse. ¿Qué deben hacer?. 200. Reep Construction acaba de obtener un contrato para la excavación y preparación del terreno en una nueva área de descanso sobre la supercarretera. Al preparar su licitación para el trabajo, Bob Reep, fundador y presidente de Reep Construction, estimó que llevar a cabo el trabajo tomaría cuatro meses y que se necesitarían 10, 12, 14 y 8 camiones en cada uno de los meses 1 hasta el 4, respectivamente. Actualmente la empresa tiene 20 camiones del tipo necesario para trabajar en este nuevo proyecto. Estos camiones se obtuvieron el año pasado, cuando Bob firmó un arrendamiento a largo plazo con PennState Leasing. A pesar de que la mayor parte de sus camiones están siendo utilizados en tareas existentes, Bob estima que un camión estará disponible para su uso en el nuevo proyecto durante el mes 1, dos estarán disponibles durante el mes 2, tres disponibles durante el mes 3 y un camión estará disponible durante el mes 4. Por lo que, para terminar el proyecto, Bob tendrá que arrendar camiones adicionales. El contrato de arrendamiento a largo plazo con PennState tiene un costo mensual de 600 dólares por camión. Reep Construction le paga a sus choferes 20 dólares la hora, y los costos diarios de combustible son de aproximadamente 100 dólares por camión. Todos los costos de mantenimiento son pagados por PennState Leasing. Para efectos de planeación, Bob estima que cada camión utilizado en el nuevo proyecto estará operando 8 horas al día, 5 días a la semana durante aproximadamente 4 semanas por mes. Bob no cree que la situación actual de los negocios justifique comprometer a la empresa a arriendos adicionales a largo plazo. Al analizar con PennState Leasing las posibilidades

de arriendos a corto plazo, Bob ha sido informado de que puede obtener arriendos a corto plazo de 1 a 4 meses. Los arriendos a corto plazo difieren de los arriendos a largo plazo en que los planes de las primeras incluyen el costo tanto del camión como de un chofer. Los costos de mantenimiento para arriendos a corto plazo también son pagados por Penn State Leasing. Los costos siguientes para cada uno de los 4 meses cubren el arriendo de un camión con su chofer. Duración de la Renta 1 2 3 4

Costo Mensual $4000 $3700 $3225 $3040

Bob Reep desearía contratar un arriendo que minimizara el costo de llenar las necesidades mínimas mensuales de camiones para su nuevo proyecto, pero por otra parte también está muy orgulloso de que su empresa jamás haya tenido que despedir empleados. Bob está comprometido en mantener su política de no despidos; esto es, que utilizará sus propios choferes, incluso si los costos resultan más elevados 201. Recientemente recibió usted una herencia de $100.000 de su tío abuelo Pancracio. Usted y su cónyuge se han puesto a considerar que les conviene hacer con su dinero. Salarios Los salarios combinados de usted y su cónyuge suman $80.000 y esperan con la mayor confianza que ese total aumente 15% cada año, por lo que deciden atenerse a un presupuesto riguroso y limitar los gastos de la familia a un porcentaje fijo de sus salarios (provisionalmente al 75%). Por supuesto, a medida que sus salarios aumenten, los gastos aumentarán también. Obsérvese que estos datos están basados en salarios brutos (no son salarios netos después de impuestos). Impuestos El congreso acaba de aprobar un nuevo proyecto de ley fiscal. Basado en una tasa fija de acuerdo con esa ley, las parejas (como la de usted y su cónyuge) tienen derecho a una deducción de $15.000, y la tasa combinada de impuestos estatales y federales es equivalente al 35% de todos sus ingresos por encima de esa cifra base de $15,000. También se ha instituido un impuesto sobre ganancias de capital: 40% del total de las ganancias de capital será gravado como ingresos regulares. Inversión al abrigo de impuestos Usted tiene la opción de invertir la parte que desee de sus fondos en la compra de bienes raíces. Una ventaja de esa inversión es que disfruta de ciertas reducciones fiscales (rebajas al impuesto por concepto de depreciación) en cada uno de los próximos cinco años, al tiempo que reditúa (le pagan o devuelven a usted) un pequeño pago en efectivo el cual es libre de impuestos. Al final de los 5 años, usted podrá vender la propiedad, participará en los beneficios económicos y pagará impuestos sobre sus ganancias de capital por esos beneficios. Estos son algunos de los factores que debe considerar por cada $1.000 invertidos en el proyecto: Reducción fiscal anual Pago anual en efectivo que usted recibe Monto de los réditos al final del año 5 Adeudo de impuestos por ganancias de capital en el año 5

$200 $40 (no gravables) $1800 $2300

Inversión en un fondo mutualista La única inversión alternativa que ha considerado usted es un fondo en el mercado de dinero. Dicho fondo paga interés a razón del 14% anual y el ingreso que proviene de esos

intereses es gravable. En ese fondo usted puede invertir cualquier cantidad en el momento que lo desee. Por comodidad supongamos que los intereses de cualquier año se pagan sobre el saldo existente al principio de ese año (al final del año anterior). En plan de prueba la herencia de $100.000 ha sido colocada en un fondo del mercado de dinero, pero puede retirarse de inmediato en caso necesario. Usted y su cónyuge desean construir un modelo de finanzas personales que les permita observar como crecerá su riqueza (saldo de un fondo de mercado) al cabo de cinco años. En realidad ustedes quieren usar este modelo para decidir que suma les convendría invertir en bienes raíces exentos de impuestos y para examinar hasta que punto es sensible su plan para algunas de las suposiciones que se han hecho. 202. Una compañía produce un ensamblado que consta de un bastidor, una barra y un cojinete. La compañía fabrica las barras y los bastidores, pero tiene que comprar los cojinetes a otro fabricante. Cada barra debe procesarse en una máquina de forja, un torno y un esmeril. Estas operaciones requieren de 0.5 horas, 0.2 horas y 0.3 horas por barra, respectivamente. Cada bastidor requiere de 0.8 horas de trabajo de forja, 0.1 horas en el taladro, 0.3 horas en la fresadora y 0.5 horas en el esmeril. La compañía tiene 5 tornos, 10 esmeriles, 20 máquinas de forja, 3 taladros y 6 fresadoras. Suponga que cada máquina opera un máximo de 2400 horas al año. Formule y resuelva como un programa lineal el problema de encontrar el número máximo de componentes ensamblados que es posible producir. 203. Harley Davidson Motorcycles está determinando su programa de producción para los cuatro trimestres siguientes. La demanda de motocicletas será como sigue: trimestre 1, 40; trimestre 2, 70; trimestre 3, 50; trimestre 4, 20. Harley Davidson tiene cuatro tipos de costos: 1. La fabricación de cada motocicleta le cuesta a Harley Davidson 400 dólares. 2. Al final de cada trimestre, se incurre en un costo de mantenimiento del inventario de 100 dólares, por cada motocicleta. 3. El aumento de la producción de un trimestre al siguiente, ocasiona costos de entrenamiento a empleados. Se estima que el costo es de 700 dólares por motocicleta, al incrementar la producción de un trimestre al siguiente. 4. La disminución de la producción de un trimestre la siguiente, provoca costos de indemnización por despido, una baja en el estado de ánimo, etc. Se estima que el costo es de 600 dólares por motocicleta, si se disminuye la producción de un semestre al siguiente. Hay que cumplir con todas las demandas a tiempo, y se puede usar la producción de un trimestre solamente para satisfacer la demanda del trimestre actual. Se produjeron 50 Harleys en el trimestre anterior al trimestre 1. Supóngase que al inicio del trimestre 1, el inventario es de cero Harleys. Formule un PL que minimice el costo total de Harley Davidson, durante los próximos cuatro trimestres. Pista: Este problema utiliza variables sin restricción de signo. 204. Una fábrica de queso produce dos tipos de quesos: queso suizo y queso holandés. La empresa cuenta con 60 trabajadores experimentados y desea aumentar su fuerza de trabajo a 90 trabajadores durante las siguientes 8 semanas. Cada obrero experimentado puede entrenar a 3 nuevos empleados en un período de 2 semanas, durante las cuales los obreros que participan en la capacitación no producen virtualmente nada. Cada trabajador necesita 1 hora para producir 10 libras de queso suizo y una hora para producir 6 libras de queso holandés. Una semana de trabajo es de 40 horas. A continuación se resumen (en miles de libras) las demandas semanales: Semana

Tipo Suizo Holandés

1 12 8

2 12 8

3 12 10

4 16 10

5 16 12

6 20 12

7 20 12

8 20 12

Suponga que un empleado en entrenamiento percibe el salario completo, como si fuese un obrero experimentado. Además, suponga que el sabor del queso desaparece con el tiempo, de modo que el inventario se limita a una semana. Si desea minimizar el costo de la mano de obra, ¿cómo debe la compañía contratar y capacitar a sus nuevos empleados? Formule el problema como un programa lineal y resuélvalo. 205. Todo el acero producido por Simesa debe cumplir con las siguientes especificaciones: 3.2 a 3.5% de carbono, 1.8 a 2.5% de silicio; 0.9 a 1.2% de níquel; resistencia a la tracción de por lo menos 45000 lb/pulg². Simesa produce acero mezclando dos aleaciones. El costo y las propiedades de cada aleación vienen dadas por: Aleación 1 Costo por tonelada (Dólares) Porcentaje de Silicio Porcentaje de Níquel Porcentaje de carbono Resistencia a la tensión

Aleación 2

190 200 2% 2.5% 1% 1.5% 3% 4% 42000 lb/pulg² 50000 lb/pulg²

Supóngase que se puede determinar la resistencia a la tracción de una mezcla promediando las resistencias de las aleaciones que se mezclan. Utilice la programación lineal para determinar como minimizar los costos de producción de una tonelada de acero. Resuelva el problema GRÁFICAMENTE y luego computacionalmente. 206. Ecopetrol tiene refinerías en Cartagena y en Barrancabermeja. La refinería de Cartagena puede refinar hasta dos millones de barriles de petróleo por año; la refinería de Barrancabermeja puede refinar hasta 3 millones de barriles de petróleo por año. Una vez refinado, se envía el petróleo a dos puntos de distribución: Cartagena y Santa Marta. Ecopetrol estima que cada punto de distribución puede vender hasta 5 millones de barriles de petróleo refinado al año. Debido a diferencias en los costos de envío y de refinación, la ganancia obtenida (en dólares) por millón de barriles de petróleo enviado, depende del lugar de refinación y del punto de distribución, así:

De Cartagena De Barrancabermeja

Utilidad por millón de Barriles (dólares) A Cartagena A Santa Marta 20000 15000 18000 17000

Ecopetrol considera aumentar la capacidad de cada refinería. Cada aumento en la capacidad anual de refinación de un millón de barriles, cuesta 120000 dólares para la refinería de Cartagena y 150000 dólares para la refinería de Cartagena. Utilice la programación lineal para determinar como Ecopetrol puede maximizar sus ganancias, menos los costos de ampliación, en un período de 10 años. 207. La cervecería Bloomington produce cerveza común y la de tipo ale. La cerveza se vende a 5 dólares el barril, y el de ale a 2 dólares el barril. La producción de un barril de cerveza requiere de 5 libras de cebada y 2 libras de lúpulo. La producción de un barril de ale requiere de 2 libras de cebada y 1 libra de lúpulo. Se dispone de 60 libras de cebada y de 25 libras de lúpulo. Formule un PL que se pueda utilizar para maximizar los ingresos. Resuelva el problema GRÁFICAMENTE y luego computacionalmente. 208. El personal técnico de un hospital desea elaborar un sistema computarizado para planear diversos menús. Para empezar, deciden planear el menú de la comida. El menú se divide

en tres grandes categorías: legumbres, carne y postre. Se desea incluir en el menú por lo menos el equivalente a una porción de cada categoría. A continuación se resume el costo por ración de algunos de los alimentos sugeridos, así como su contenido de carbohidratos, vitaminas, proteínas y grasas. Carbohid. LEGUMBRES Fríjoles 1 Tomates 1 Zanahoria 1 Maiz 2 Habichuela 4 Arroz 5 CARNES Pollo 2 Res 3 Pescado 3 POSTRES Naranja 1 Manzana 1 Pudín 1 Gelatina 1

Vitaminas

Proteínas

Grasa

Costo en $ por Ración

3 5 5 6 2 1

1 2 1 1 1 1

0 0 0 2 1 1

0.10 0.12 0.13 0.09 0.10 0.07

1 8 6

3 5 6

1 2 1

0.70 1.20 0.63

3 2 0 0

1 0 0 0

0 0 0 0

0.28 0.42 0.15 0.12

Suponga que los requerimientos por comida mínimos de carbohidratos, vitaminas, proteínas y grasas son 5, 10, 10 y 2, respectivamente. a. Resuelva el problema de planeación de menúes como un problema de P.L. b. En el modelo anterior se han excluido muchos aspectos prácticos. Por ejemplo, la planeación conjunta de los menús del desayuno, el almuerzo y la comida, la planeación semanal se modo que sea posible incluir distintas variedades de alimentos, y menús especiales para pacientes que siguen dietas especiales. Explique en detalle cómo es posible incorporara estos aspectos en un sistema completo de planeación de menúes. 209. Alfredo tiene US$ 2200 para invertir durante los próximos cinco años. Al principio de cada año puede invertir su dinero en depósitos a plazo fijo de 1 o 2 años. El banco paga el 8% de interés en depósitos a plazo fijo de un año y el 17% (total) en depósitos a plazo fijo de dos años. Además, al principio del segundo año, Corfinsura ofrecerá certificados a tres años. Estos certificados tendrán una ganancia del 27% (total). Si Alfredo reinvierte su dinero disponible cada año, formule un programa lineal que muestre como maximizar su ganancia total al final del quinto año. 210. En la ciudad de Armenia se va a demoler un barrio de 10 acres y la alcaldía debe decidir sobre el nuevo plan de desarrollo. Se van a considerar dos proyectos habitacionales: viviendas a bajo costo y viviendas a medio costo. Se pueden construir 20 y 15 unidades de cada vivienda por acre, respectivamente. Los costos por unidad de las viviendas a bajo y medio costo son 13 millones y 18 millones, respectivamente. Los límites superior e inferior establecidos por la alcaldía sobre el número de viviendas de bajo costo son 60 y 100 respectivamente. De igual manera, el número de viviendas de costo medio debe estar entre 30 y 70. Se estima que el mercado potencial combinado máximo para las viviendas es de 150 ( que es menor que la suma de los límites de los mercados individuales debido al translapo entre los dos mercados). Se desea que la hipoteca total comprometida al nuevo plan de desarrollo no exceda los 2.000 millones. Finalmente, el asesor de la obra sugirió que el número de viviendas de bajo costo sea por lo menos de 50 unidades mayor que la mitad del número de viviendas de costo medio. Formule y resuelva el problema GRAFICAMENTE y luego computacionalmente.

211. Un gerente de producción está planeando la programación de tres productos en cuatro máquinas. Cada producto se puede manufacturar en cada una de las máquinas. A continuación se resumen los costos de producción por unidad (en $) PRODUCTO 1 2 3

MÁQUINA 1 2 4 4 6 7 12 10

3 5 5 8

4 7 6 11

A continuación se resume el tiempo (en horas) requerido para producir cada unidad de producto en cada una de las máquinas. PRODUCTO 1 2 3

MÁQUINA 1 2 0.3 0.25 0.2 0.3 0.8 0.6

3 0.2 0.2 0.6

4 0.2 0.25 0.5

Suponga que se requieren 4000, 5000 y 3000 unidades de los productos, y que las horas-máquina disponibles son 1500, 1200, 1500 y 2000, respectivamente. Formule y resuelva el problema como un programa lineal. 212. Una compañía ha sido contratada para realizar cinco trabajos. Estos trabajos pueden efectuarse en seis de sus plantas de manufactura. Debido a la magnitud de los trabajos, no es factible asignar más de un trabajo a una planta de manufactura particular. También, el segundo trabajo no puede asignarse a la tercera planta de manufactura. Los costos estimados, en miles de dólares, para la ejecución de los trabajos en las distintas plantas de manufactura se resumen a continuación TRABAJO 1 2 3 4 5

PLANTA 1 2 50 55 66 70 81 78 40 42 62 55

3 42 72 38 58

4 57 68 80 45 60

5 48 75 85 46 56

6 52 63 78 42 65

Plantee y resuelva el problema de asignar los trabajos a las plantas de forma que el costo total sea mínimo. 213. Sofía, Susana y Sandra salen a un compromiso con Daniel, Guillermo y Andrés. A Sofía le gusta Guillermo dos veces más que Daniel y tres veces más que Andrés. A Susana le gusta Guillermo tres veces más que Daniel y cinco veces más que Andrés (Andrés es un perdedor!). A Sandra le gusta tanto Daniel como Guillermo, ¿y ambos le gustan aproximadamente cinco veces más que Andrés. ¿Cómo es posible formar las parejas de modo que las chicas estén lo más contentas posible? Si una chica desea permanecer en casa, ¿cuál debe ser?. ¿Que chico perderá el compromiso? 214. El Martes, la empresa Metro de Medellín dispondrá cuatro locomotoras en la Estación Niquía, una locomotora en la Estación Itaguí y dos locomotoras en la Estación San Javier. En la Estación Hospital, Parque Berrío, Industriales y Estadio habrá vagones cada uno requiriendo una locomotora. El mapa local proporciona las siguientes distancias: Niquía Itaguí San Javier

Hospital 13 6 15

Estadio 35 61 10

Industriales 42 18 5

Parque Berrío 9 30 9

¿Cómo debe asignar la compañía las locomotoras de modo que la distancia recorrida total sea mínima?

METODO GRAFICO

Minimizar la función f(x, y)=2x+8y sometida a las restricciones:

PROBLEMAS RESUELTOS 215. Reddy Mix Company prepara pinturas para exteriores e interiores y sus directivos han pedido asesoramiento acerca del plan de producción diario, informando además lo que continúa: Exteriores Interiores Disponibilidad A 2 1 6 B 1 2 8 Utilidades 3000 2000 Finalmente se informa que la historia de los productos enseña que la venta diaria de pintura para interiores nunca supera en más de 1 tonelada a la venta de la otra y a su vez tampoco se espera que sea superior a las 2 toneladas por día. Si completando los datos que Ud. averigua que las utilidades son $3000 por cada tonelada de pintura para exteriores y de $2000 para la otra que sugeriría. XE: XI:

toneladas de pintura a producir por día (exterior) toneladas de pintura a producir por día (interior)

MAX Z= 3000 XE + 2000 XI S.A. 2 XE + XI = 8 8-->12) X4 + X8 >= 10 12-->16) X8 + X12 >= 7 16-->20) X12 + X16 >= 12 20-->00) X16 + X20 >= 4 END 219. Dos aleaciones A y B están hechas de 4 metales distintos I, II, III, IV según las especificaciones siguientes: ALEACIÓN A B

ESPECIFICACIÓN A lo sumo 80% de I A lo sumo 30% de II Al menos 50 % de IV Entre 40% y 60% de II Al menos 30% de III A lo sumo 70% de IV

Si los cuatros metales se extraen de 3 minerales diferentes Mineral 1 2 3

Disponibilidad (Tn) 1000

I 20 2000 3000

Constituyentes (%) II III IV Otros 10 30 30 10 10 20 30 30 5 5 70 20

Precio ($ / Tn) 30 10 40 0 50

Suponiendo que los precios de ventas de las aleaciones son $200 y $300 por toneladas respectivamente. Qué sugeriría? XMA = cantidad de Toneladas del mineral para fabricar la aleación

maximizar utilidades=(vtas Aleac.A + vtas Aleac.B)-(costo Min.1 + costo Min.2 + costo Min.3) =Sum(j)[sum(i)Xij precioj] - sum(i)[sum(j)Xij precio(i)] MAX 170 XM1A1 + 160 XM2A1 + 150 XM3A1 + 270 XM1A2 + 260 XM2A2 + 250 XM3A2 S.A. Restricciones de la Aleación A 0.6 XM1A1 + 0.7 XM2A1 + 0.75 XM3A1 >= 0 0.2 XM1A1 + 0.1 XM2A1 + 0.25 XM3A1 >= 0 0.2 XM1A1 + 0.2 XM2A1 + 0.3 XM3A1 >= 0 Restricciones de la Aleación B 0.3 XM1A2 + 0.2 XM2A2 + 0.35 XM3A2 = 0 Restricciones de Disponibilidad XM1A1 + XM1A2 = 2 0.2 X1 + 0.1 X2 >= 1.7 END 221. Florida Citrus, Inc., procesa jugo de naranja y lo transforma en concentrado congelado en tres plantas localizadas en Tampa, Miami y Jacksonville. De cualquiera de los dos huertos ubicados cerca de Orlando y Gainesville se pueden enviar libras de naranja hacia cualquier planta. Dado el costo de embarque y el precio de venta del concentrado, el objetivo, sujeto a ciertas restricciones de oferta y demanda, es determinar cómo embarcar estas naranjas desde los dos huertos a las tres plantas procesadoras para maximizar la ganancia total. El huerto que está cerca de Orlando tiene 200000 libras de naranjas y el huerto cercano a Gainesville tiene 12000 libras de naranjas. La planta de Tampa requiere al menos 8000 libras de naranjas para cumplir su cuota de producción. Las plantas de Miami y Jacksonville requiere cada una al menos 11000 libras de naranjas. Use la técnica de

descomposición para expresar la función objetivo de maximización de ganancias dados los siguientes datos de costo e ingresos: COSTO DE EMBARQUE ( $ / TON ) A INGESOS ( $ / TON de naranjas procesadas) DESDE TAMPA MIAMI JACKSONVILLE TAMPA 550 Orlando 50 75 60 MIAMI 750 Gainesville 60 90 45 JACKSONVILLE 600 XHP= toneladas de naranja a enviar desde el huerto a la planta maximizar Ganancias (Vtas - Costo de transporte) MAX 500 XH1P1 + 490 XH2P1 + 675 XH1P2 + 660 XH2P2 + 540 XH1P3 + 555 XH2P3 S.A. XH1P1 + XH1P2 + XH1P3 = 5.5 XH1P3 + XH2P3 >= 5.5

!restricciones de demanda

222. Pension Planners, Inc.,administra una cartera particular de acciones que consiste en 1800, 1000 y 500 acciones de fondos mutuos. Dadas ciertas suposiciones sobre las condiciones económicas en los siguientes 2 meses, el administrador de la agenda desea determinar el número de acciones de cada fondo por vender o comprar en casa uno de los siguientes dos meses, para maximizar el valor esperado de la agenda. Al determinar el número de acciones por comprar o vender, la administración nunca !desearía vender más acciones de las que tiene. Asi mismo el fondo 1 en ningún caso debe !tener más del doble de acciones del fondo 2, y este último tampoco debe tener más del !doble del número de acciones del fondo 3.Finalmente, la cantidad total invertida en cada fondo no debe exceder los $75000. Suponga que la final del segundo mes se espera que el precio por acción de fondo 1 sea $28, que el del fondo 2 sea $60 y el del fondo 3, $45.Formule una restricción para asegurar que con estos precios, el valor de la cartera al final del segundo mes sea al menos $125000. X= número de acciones del fondo a vender durante los 2 meses. i=1,2,3 X= número de acciones del fondo a comprar durante los 2 meses. i=4,5,6 X0= variable utilizada por necesidades del lenguaje para realizar el modelo maximizar Ganancias (compra y ventas de acciones) MAX 504000 X0 + 28 X4 - 28 X1 + 60000 X0 + 60 X5 - 60 X2 + 22500 X0 + 45 X6 - 45 X3 S.A. X0 = 1 X1 = 0.5 227. Rich Oil Company, cerca de Cleveland, suministra gasolina a su distribuidores en camiones. La compañía recientemente recibió un contrato para iniciar el suministro de 800000 galones de gasolina por mes a distribuidores de Cincinnati. La compañía tiene $500000 disponibles para crear una flota consistente en tres tipos diferentes de camiones. En la siguiente tabla se muestra la capacidad relevante, costo de compra, costo operativo y número máximo de viajes por cada tipo de camión: TIPO DE CAMION 1 2 3

CAPACIDAD MAXIMO DE (galones) 6000 3000 2000

COSTO DE COMPRA COSTO DE OPERACIONES ($) 50000 40000 25000

( $ / mes ) 800 650 500

VIAJES / MES 20 25 30

Sobre la base del mantenimiento y la disponibilidad de conductores, la compañía no desea comprar más de 10 vehículos para su flota. Así mismo, la compañía desearía asegurarse que se compren al menos tres de los camiones del tipo 3 (se requieren para se uso en las rutas de trayecto corto/baja demanda).Finalmente, la compañía no desea que más de la mitad de la flota sea de camiones del tipo 1.Como gerente de operaciones, formule un modelo para determinar la composición de la flota que minimice los costos operativos mensuales al tiempo que satisfaga las demandas, no saliéndose del presupuesto y satisfaciendo los requerimientos de las otras compañías. X1= número de camiones del tipo 1 a comprar X2= número de camiones del tipo 2 a comprar X3= número de camiones del tipo 3 a comprar MIN 800 X1 + 650 X2 + 500 X3

!minimizar Costos opertivos

S.A. 50000 X1 + 40000 X2 + 25000 X3 = 800000 !restricciones de demanda X1 + X2 + X3 = 3 !restricciones de tipo X1 X2 X3 = 1 230. Tres divisiones de Twinsburg Company fabrican un producto en el que cada unidad completa consiste en cuatro unidades del componente A y tres unidades del componente B. Los dos componentes (A y B)se fabrican a partir de dos materias primas diferentes. Existen 100 unidades de la materia prima 1 y 200 unidades de la materia prima 2 disponibles. Cada una de las tres divisiones usa un método diferente para fabricar los componentes, dando como resultados distintos requerimientos de materia prima y productos. La tabla muestra los requerimientos de materia prima por corrida de producción en cada división y el número de cada componente producido por esa corrida. ENTRADA / CORRIDA SALIDA / CORRIDA (unidades) (unidades) MATERIA PRIMA DIVISION 1 2 3

1 8 5 3

2 6 9 8

COMPONENTE A B 7 5 6 9 8 4

Por ejemplo, cada corrida de producción de la división 1 requiere 8 unidades de la materia prima 1 y 6 unidades de la materia prima 2.El producto de esta corrida es 7 unidades de A y 5 unidades de B. Como gerente de producción, formule un modelo para determinar el número de corridas de producción para cada división que maximice el número total de unidades terminadas del producto final. XC= número de corridas en la división . i=1,2,3 XA= número del componente A

XB= número del componente B XUC= número de unidades completas MAX XUC

!maximizar utilidades (nro. de unidades completas)

S.A. 8 XC1 + 5 XC2 + 3 XC3 dispositivo 2 MAX X11 + X12 + X21 + X22

!maximizar la producción diria

S.A. A) B) C)

!restricciones de requerimiento 25 X11 + 0.6 X11 + 25 X12 + 0.7 X12 + 40 X21 + 0.6 X21 + 40 X22 + 0.8 X22