20 Raices de Ecuaciones

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II.1 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA El teorema fundamental del álgebra  establece que un polinomio en una variable, no constante y con coeficientes complejos, tiene tantas raíces como su grado del polinomio, dado que las raíces se cuentan con sus multiplicidades. De manera equivalente, el cuerpo de los complejos es cerrado para las operaciones algebraicas. En otras palabras, dado un polinomio complejo  p   de grado n   > 0, la ecuación  p  (z ) = 0 tiene exactamente n  soluciones complejas, contando multiplicidades. El teorema se establece comúnmente de la siguiente manera: todo polinomio en una variable con coeficientes complejos de grado al menos uno tiene al menos una raíz compleja. Aunque ésta en principio parece ser una declaración más débil, implica fácilmente la forma completa por la división polinómica sucesiva por factores lineales. Actualmente el nombre “teorema”  es considerado un error por muchos matemáticos, puesto que es más un teorema en análisis que en álgebra.

HISTORIA Pedro Rothe (Petrus Roth), en su libro Arithmetica Philosophica   (publicado en 1608), escribió que una ecuación polinómica de grado n   (a coeficientes reales)  puede   tener n  soluciones. Alberto Girardo, en su libro L'invention nouvelle en l'Algebre   (publicado en 1629), aseveró que una ecuación de grado n   tiene n   soluciones, pero no menciona que dichas soluciones deban ser números reales. Más aún, él agrega que su aseveración es válida "salvo que la ecuación sea incompleta", con lo que quiere decir que ninguno de los coeficientes del polinomio sea igual a cero. Sin embargo, cuando explica en detalle a qué se está refiriendo, se hace evidente que el autor piensa que la aseveración siempre es cierta; en particular, muestra que la ecuación.

a pesar de ser incompleta, tiene las siguientes cuatro soluciones (la raíz 1 tiene multiplicidad 2)

Leibniz en 1702 y más tarde Nikolaus Bernoulli, conjeturaron lo contrario. Como se mencionará de nuevo más adelante, se sigue del teorema fundamental del algebra que todo polinomio con coeficientes reales y de grado mayor que cero se puede escribir como un producto de polinomios con coeficientes reales del cual sus grados son 1 ó 2. De todas formas, en 1702 Leibniz dijo que ningún polinomio de tipo x 4 + a 4 (con a  real y distinto de 0) se puede escribir en tal manera. Luego, Nikolaus Bernoulli hizo la misma afirmación concerniente al polinomio x 4 − 4x 3 + 2x 2 + 4x   + 4, pero él recibió una carta de Euler en 1742 en el que le decía que su polinomio pasaba a ser igual a:

Donde α es la raíz cuadrada de Mientras que: 55

El primer intento que se hizo para demostrar el teorema lo hizo d'Alambert en 1746. Su demostración tenía un fallo, en tanto que asumía implícitamente como cierto un teorema (actualmente conocido como el teorema de Puiseux) que no sería demostrado hasta un siglo más tarde. Entre otros Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772) y Laplace (1795) intentaron demostrar este teorema. A finales del siglo XVIII, se presentaron dos nuevas pruebas, una por James Wood y otra por Gauss (1799), pero ambas igualmente incorrectas. Finalmente, en 1806 Argand publicó una prueba correcta para el teorema, enunciando el teorema fundamental del álgebra para polinomios con coeficientes complejos. Gauss produjo otro par de demostraciones en 1816 y 1849, siendo esta última otra versión de su demostración original. El primer libro de texto que contiene la demostración de este teorema fue escrito por Cauchy. Se trata de Course d'anlyse de l'École Royale Polytechnique  (1821). La prueba es la debida a Argand, pero sin embargo en el texto no se le da crédito a Argand. Ninguna de las pruebas mencionadas más arriba son constructivas. Es Weierstass quien por primera vez, a mediados del siglo XIX, menciona el problema de encontrar una prueba constructiva del teorema fundamental del álgebra. En 1891 publica una demostración de este tipo. En 1940 Hellmuth Knesser consigue otra prueba de este estilo, que luego sería simplificada por su hijo Marin Kneser en 1981.

DEMOSTRACIÓN Sea  p  un polinomio de grado n .  p es una función entera. Para cada constante positiva m , existe un número real positivo r  tal que

Si  p   no tiene raíces, la función  f   = 1 /  p , es una función entera con la propiedad de que para cualquier número real ε mayor que cero, existe un número positivo r  tal que

Concluimos que la función  f   es acotada. Pero el teorema de Liouville dice que si f   es una función entera y acotada, entonces,  f  es constante y esto es una contradicción. De manera que  f   no es entera y por tanto  p   tiene al menos una raíz.  p   se puede escribir por tanto como el producto

Donde α1 es una raíz de  p  y q  es un polinomio de grado n  − 1. Por el argumento anterior, el polinomio q  a su vez tiene al menos una raíz y se lo puede factorizar nuevamente. Repitiendo este proceso n  − 1 veces, concluimos que el polinomio p puede escribirse como el producto

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Donde α1... αn  son las raíces de p  (no necesariamente distintas) y k  es una constante.

TEOREMA FUNDAMENTAL DE DESCARTES  Toda ecuación algebraica de grado n ≥ 1 tienen solución. Este teorema, cuyo enunciado es tan sencillo, es muy importante ya que nos asegura que siempre tendrá sentido tratar de resolver una ecuación algebraica; es decir, que siempre tiene solución, otro problema será determinarla. Una consecuencia del teorema anterior es el siguiente corolario. Corolario: Toda ecuación algebraica de grado n ≥ 1 tiene n raíces Por ejemplo de acuerdo al corolario la ecuación.

x 3 + 3x 2 + 3x + 1 = 0  Tiene tres raíces. La ecuación se puede rescribir como (x + 1)3 = 0 . En este caso, podemos concluir que la única raíz es -1 y pensar que el corolario falla. Sin embargo lo que sucede, es que aunque el corolario dice que tiene tres raíces, no se mencionan que deben ser diferentes, como es el caso. Así, para nuestro ejemplo r 1 = −1 r 2 = −1 r 3 = −1 . En este caso puesto que la raíz se repite tres veces, se dice que esta es de multiplicidad tres.

REGLA DE LOS SIGNOS DE DESCARTES Sea P (x ) = 0  una ecuación de la cual se han eliminado todas las raíces nulas. P (x ) = 0 debe estar escrito en potencias descendientes de x. Entonces, el número de raíces positivas de P (x ) = 0   es igual al número de cambios de signo en P (x ) , o es igual a ese número menos un número par. El número de raíces negativas es igual al número de cambios de signo en P (−x ) , o es igual a ese número menos un número par. Ejemplo Aplicando la regla anterior, determine el número de raíces positivas y negativas que puede tener las siguientes ecuaciones.

x 2 − 3x 4 + 2x 3

=

0

La ecuación se puede escribir como x 2 (−3x 2 + 2x  + 1) = 0 , y se observa que tiene una raíz nula con multiplicidad 2 ( o bien dos raíces nulas ): eliminando éstas, y ordenando el polinomio en potencias descendientes de x, observamos la ecuación

P (x ) = −3x 2 + 2x + 1 = 0 P (−x ) = −3x 2 − 2x + 1 = 0 Como P (x )  tiene un cambio de signo, la ecuación tiene una raíz positiva. cambio de signo, por lo tanto la ecuación tiene una raíz negativa.

P (−x )  tiene un

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Raíces Positivas Raíces Negativas Raíces Nulas

Caso 1 1 1 2

P (x ) = −x 5 + 4x 3 − 2x +  3 = 0 P (−x ) = x 5 − 4x 3 + 2x +  3 = 0 En este caso P (x )  tiene tres cambios de signo, por lo tanto P (x ) = 0  puede tener 3 raíces positivas 0 1. Como P (−x )  tiene dos cambios de signo, entonces P (x ) = 0  puede tener 2 raíces negativas o 0 y se pueden establecer dos casos: Raíces Positivas Raíces Negativas

Caso 1 3 2

Caso 2 1 0

Como la ecuación dada es de grado 5, se esperan 5 raíces, de ahí que usando el teorema para raíces complejas, podemos completar el cuadro anterior de la siguiente manera: Raíces Positivas Raíces Negativas Raíces Complejas

Caso 1 3 2 0

Caso 2 1 0 4

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES Las ecuaciones se clasifican en dos grandes grupos:

Ecuaciones Algebraicas  :

Son aquellas que se pueden expresar como un polinomio cociente o radical o una combinación de estos. Ejemplos:

1.5 - 2.37x + 7.5x² √(3x²+4)

5x+8 6x

Ecuaciones Trascendentales :

Son aquellas que representan funciones trigonométricas, Exponenciales, logarítmicas o una combinación de ellas. Es decir son aquellas que no son algebraicas Ejemplos: ex - x sen x + 2 ln x² + 1 ex + sen x- ln(x²+1)

Las raíces de las ecuaciones pueden ser reales o complejas por lo que los métodos estándar para encontrar raíces caen en las dos áreas del problema parecidos en principio, pero fundamentalmente diferentes. 58

1. La determinación de Raíces Reales de Ecuaciones Algebraicas y Trascendentales Estas técnicas se diseñaron para determinar el valor de una raíz simple de acuerdo a un conocimiento previo de su posición aproximada. 2. La determinación de todas las Raíces Reales y Complejas de un Polinomio. Estos métodos se diseñaron específicamente para polinomios. Determinan sistemáticamente todas las raíces del polinomio en lugar de simplemente una, dad una posición aproximada.

II.2. RAÍCES DE ECUACIONES En matemáticas un problema fundamental es la obtención de los valores que puede tomar la variable x tal que satisfaga la igualdad  f (x ) = 0 . En sus inicios se empleaba el método grafico en combinación con el método de prueba y error, lo cual solo se aproximaba al valor buscado, por lo que fue necesario que se desarrollaran métodos más poderosos de solución para obtener dichos valores. A estos métodos se les conoció como ecuaciones las cuales se resolvían a través de diferentes métodos ya preestablecidos ( de forma analítica ), obteniendo así los ceros de las ecuaciones. Posteriormente al desarrollar las ecuaciones polinomiales surgieron otro tipo de ecuaciones más complejas, como son las exponenciales, logarítmicas, trigonométricas o combinaciones de todas ellas, con lo que su solución analítica se complicaba aun más. Con esto surge la necesidad de desarrollar métodos numéricos con los cuales se pueden obtener las raíces de una ecuación. fx

En la figura a) y en la figura c) si f(xi) y f(xµ) tienen el mismo signo no hay raíces o hay un número par de raíces

a fx

En la figura b) si f(xi) y f(xµ) tienen signos opuestos, existe un número impar de raíces

 b)

Estas generalizaciones son por lo regular verdaderas aun que existen casos en que no se cumplen. Por ejemplo:

f  x

Las raíces múltiples (funciones tangenciales al eje x)  y las funciones discontinuas no pueden cumplir estos principios.

c)

Xi

Xµ

Entre los métodos numéricos que permiten calcular las raíces de una ecuación, se encuentran: a)

El Método de los Tanteos (Prueba y Error) 59

b) c) d) e) f) g)

El Método de Bisección El Método de la Regla Falsa El Método de Iteración de Punto Fijo El Método de Newton-Raphson El Método de la Secante El Método de Steffenson

Estos Métodos solo sólo permiten determinar una raíz real, por lo que al aplicar varias veces el método se pueden hallar todas las raíces reales que sean de interés para la función dada. h) i)  j) k)

El Método de Horner (Polinomios, todas las raíces reales) El Método de Lin (raíces complejas de polinomios) El Método de Bairstow (factores cuadráticos) El Método de Graeffe, etc.

II.2.1. MÉTODO DE BISECCIÓN  También se le conoce como método de bolzano, partición o de corte binario, es un método de búsqueda incremental donde el intervalo inicial se parte en dos y se comprueba en que mitad del intervalo cae la raíz, en base a esto se cambia la posición de la raíz. ALGORITMO DEL MÉTODO 1. Se prueba si dentro del intervalo existe una raíz y se verifica mediante

 f ( x i  ) * f ( x  ) < 0 μ 

Donde

x i  → Limite Inferior del intervalo x  → Limite Superior del intervalo μ 

2.- Se calcula la primera aproximación a la raíz mediante.

x r 

=

x i  + x  2

μ 

3.- Se realizan las siguientes comprobaciones. a) Si  f ( x i ) * f ( x r  ) < 0 Entonces existe una raíz en el primer subintervalo y haga que x = x r  μ 

b) Si  f ( x i ) * f ( x r  ) > 0 Entonces existe una raíz en el segundo subintervalo y haga que x i = x r  c) Si  f ( x i ) * f ( x r  ) = 0 Entonces existe la raíz es x i 

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=

x 

μ 

4.- Calcule los errores pertinentes E a  , E ra  , E rv  5.- Verificar si la aproximación es tan exacta como se desea, de ser así se termina, de lo contrario se regresa al paso 2 y se repite el procedimiento.

II.2.2. MÉTODO DE LA REGLA FALSA Este esta basado en una idea para acercarse mas eficientemente a la raíz. Un defecto del método anterior es que no toma en cuenta la magnitud de la función evaluada en x i  y x  . El método de la regla falsa aprovecha esta idea de unir los puntos con una línea recta el cual al cruzar el eje de las X se proporciona de una aproximación a la raíz la cual empieza a calcular las demás aproximaciones. μ 

Basándose en la figura siguiente y usando los triángulos semejantes podemos obtener la formula del método.

ALGORITMO DEL MÉTODO 1. Se prueba si dentro del intervalo existe una raíz y se verifica mediante

 f ( x i  ) * f ( x  ) < 0 μ 

Donde

x i  → Limite Inferior del intervalo x  → Limite Superior del intervalo μ 

2.- Se calcula la primera aproximación a la raíz mediante.  X r 

=

 X μ  −

 f  ( X μ  ) − ( X i

−

 X μ  )

 f  ( X i ) −  f  ( X μ  )

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3.- Se realizan las siguientes comprobaciones. a) Si  f ( x i ) * f ( x r  ) < 0 Entonces existe una raíz en el primer subintervalo y haga que x = x r  μ 

b) Si  f ( x i ) * f ( x r  ) > 0 Entonces existe una raíz en el segundo subintervalo y haga que x i = x r  c) Si  f ( x i ) * f ( x r  ) = 0 Entonces existe la raíz es x i 

=

x 

μ 

4.- Calcule los errores pertinentes E a  , E ra  , E rv  5.- Verificar si la aproximación es tan exacta como se desea, de ser así se termina, de lo contrario se regresa al paso 2 y se repite el procedimiento.

II.2.3. MÉTODO DE ITERACIÓN DE PUNTO FIJO Los métodos abiertos emplean una formula que predicen una aproximación a la raíz. Esta formula se puede desarrollar para el método de interacción de punto fijo reareglando la ecuación  f (x ) = 0   de manera tal que la variable x   quede del lado izquierdo de la ecuación esto es:

x

=

g (x )

este arreglo se puede llevar a cabo mediante operaciones algebraicas Ejemplo: a) x 2

+

5x − 3 = 0

b) senx  = 0

x 2 + 5x  = 3

senx + (x − x ) 

3 − x 2 x  = 5

x

=

senx

+

x 

La ecuación x = g ( x ) proporciona una formula que permite predecir un valor de x  en la función de x , por lo tanto, dada una aproximación inicial, x i   de la raíz, dicha ecuación se puede usar para obtener una nueva aproximación. Esto es:

xi

+

1 =

g ( x i  )

Los errores se calculan igual que en los métodos anteriores Obtener la aproximación de la raíz y sus errores EJERCICIO 7 62

F(x)= ex –X Vv = 0.56714329 Xi=0

II.2.4. MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON Este método es uno de los más usados y toma en consideración un punto inicial x i  y se extiende una tangente desde el punto (x i f (x i ))   y donde se cruza con el eje x   es una aproximación mejorada de la raíz. Este método se puede derivar geométricamente de la serie de Taylor y en base a esta se obtiene la siguiente formula.

xi

= +1

x i  −

 f (x i )  f '(x i )

(EJERICICO 8) F(x)= ex –X

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