20-Proporcionalidad Directa La Forma y El Número

tl

t' t5 6 6 4

PROPORCIONATIDAT) DIRECTA. LA FORMA Y EL NÚMERO

26. Funcionesy gráficas Jordi Deulofeu Piquet, Carmen Azcárate Giménez

27. Azar y probabilidad Juan Díaz Godino, Carmen Batanero Bernabéu, M." JesúsCañizares Castellano

28. Encuestasy precios Andrés Nortes Checa

29. Heurlstica

PROPORCIONALIDAD DIRECTA.

FernandoCerdánPérez,Luis PuigEspinosa

30. Ordenador y educación matemática: algunas modalidades de uso José A. Cajaraville Pegito

LA FORMA Y EL NÚMERO

31. Prensay matemáticas Cano,LuisRicoRomero AntonioFernández

M.u Lursn,Flor Mona Josrp M." FonruNy AyMEMÍ

32. Juegos y pasatiempos pera la enseñanzade la matemática elemental Josefa Fernández Sucasas,M." Inés Rodríguez Vela

33. Pensamiento algorítmico León Rodriguez Febles, Casiano Espinel Candelaria

34. Recursos en el aula de matemáticas ElisaCarrilloQuintela HernánSiguero, Francisco

Consejoeditor: Luis Rico Romero,JosepM." Fortuny Aymemi' Luis Puig Espinosa

EDTORNL

SINTESIS

lqr,+¿-r

fto- cooigb ¿e-¡arias I

Fcrmadeadquisición, l-tffi $mnra Fechade adqursrción

Índice Donación Día

Ítq¡eedon

lntroducción l.

Hablando de proporcionalidad 1.1. Las matemáticasy el lenguaje 1.2. La proporcionalidad y el lenguaje 1.3. Lenguaje de relación niño-adulto

2. Marco teóricode la proporcionalidadentre magnitudes . octubre2000 PrimerareimPresión: Diserlode cubierta:JuanJoséYázquez Estáprohibido'bajolas todoslosderechos' Reservados

S' A. EditorialSíntesis, @ M." LuisaFiol Mora JosePM.nFortunuyAymemí O EDITORIALSÍNTESIS,S.A. 34'28015Madrid Vallehermoso, Teléfono9159320 98 http://www.sintesis.com Depósitolegal:M-36'058-2000 ISBN:84-7738-081-3 Impresoen España- Printedin Spain

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7.

Magnitudesy medida Proporcionalidadentre magnitudes Constantede proporcionalidad Razonesentremagnitudes. Teoría de la proporción . Notas históricas. . y ejercicios.... Investigaciones

y aplicación :...".. Utilización 3.1. Geometria.Técnica.Economia 3.1.1. La proporcionalidadde segmentos. . . . . 3.1.2. Cálculode medidasindirectas 3.1.3. Cálculocomercial 3.2. Arte. Ciencia.Ecología 3.2.1. La divinaproporción 3.2.2. Las constantesfisicas 3.2.3. La densidadde población 3.3. Cálculonumérico.El númeroft . . . . 3.4. Astronomíay cálculosnuméricos Estimacióny cálculode dimensiones . .. .. . 3.5. Microcosmos. y ejercicios.... 3.6. Investigaciones 3.6.1. Talleresde medidasde distancias,inaccesibles ....

13 13 19 2l

29 29 31 33 36 38 40 4l 45 45 45 48 49 52 52 54 55 57 62 70 74 74

4.

Sintetizando fenómenos 4.1. El lenguaje funcional

4.2. Procesosde traslación 4.3. Gráltcaslineales 4.4. Dependencia lineal .

...' y ejercicios 4.5. Investigaciones 5.

Desarrollodel conocimiento . 5.1. Etapasen la psicologiagenética 5.2. La proporcionalidad.Un esquemaoperatorto 5.3. La investigaciónde Piagetsobreproporción. 5.4. Desarrollodel conocimientode proporcionalidad' posteriores.Una visión general' ' ' ' 5.5. Investigaciones

83 83 84 84 87 90 95 95 98 104

r 09 113

6. Aspectosdidácticos 6.1. ¿Por qué enseñarla proporcionalidad? 6.2. Propuestadidáctica 6.2.1. Partiendode aspectosgeométricos 6.2:2. Familiade rectángulos'.. 6.2.3. Compararotraslongitudes.. . 6.2.4. El PROP 6.2.5. Aplicaciones 6.3. Laboratorio de proPorcionalidad 6.4. Guia didáctica... 6.5. M apac on c e p tu a l ...... 6.6. Diagnósticode preconcePtos.

tt7 tt7 t2r r22 r24 t25 r27

Bibliografia

185

128 137 166 178 180

Introducción El trabajo de los que nos dedicamosa la Didácticade las Matemáticas tienedos aspectosbien diferenciados. En cierto aspectoesagradecido,ameno,agradable,instructivo,vivo, etc., puestoque para comprenderla relaciónenseñanza-aprendizaje nos vemos cadadía másy másabocadosa muchasy diversasreflexiones. Algunasveces centradasen el niño, otras en el concepto,su estructuramatemática,su estructurapsicológica,la utilizaciónque se hace del conceptoen la vida práctica,el lenguajeo los lenguajesutilizadosen la relaciónde transmisión de los alumnosentre sí o del maestro-alumno, la historia de las distintas situacionesa partir de la cual va tomandocuerpoel concepto,propuestas metodológicas a seguir,etc. En el polo opuestotenemosel otro aspecto.Son tantoslos cabosque hay que atar, tantasvariablesa teneren cuentaque a vecessetienela impresión que cuanto más se profundizaen el tema más preguntas-referidas sobre todo a la interrelaciónde las partes- van surgiendo.euedan así preguntas por contestar,temasintuidose insinuados,trabajospor realizar.Esperemos que, perfeccionando la investigación,ínsistiendoen el análisisy la síntesis podremosdesarrollary extenderalgunasde estascuestiones. Dicho esto,veamoscómo finalmenteha quedadoorganizadoel libro. Este,en realidad,tienesu célulaoriginariaen el capítulo6: y la , o sea que no dice nada, que no expresa nada. l4

. Como un sistemasemántico Todo lenguaje,como sistemasemántico,ha nacido para decir, contar, expresaralgo. En el fondo éste es el sentido cotidiano que damos a la palabra lenguaje,un sistema semánticodonde cada signo, ya sea oral o gráfico,escrito o dibujado, tiene asignadoun significado(a cada signifrcante su significado). lncluso más, y según Piaget, el lenguaje(en términos generalesahora) está íntimamenterelacionadocon la asimilaciónde la experiencia,con la estructuración de lo real.Así ahrmaque adquiriday el lengua-la la experiencia je son factóresque, a lo largo de maduraciónbiológica ei niño van estructurándose simultáneamente. No se puedehablar de causay efecto. Wartofsky llega a decir: Por lo tanto: conocimientode lo real y lenguajefrente a frente,influyéndosemutuamenteen una relaciónsimétricaen su desarrollo. Es interesanteconsiderarque el lenguajey el pensamiento(o cognición) están íntimamenterelacionados.En cierta forma la índole de esta relación puededehnirsecomo determinista,partiendo de la basede que el lenguaje determinael pensamieñto,y además,como comunicador,en el sentido de que el lenguajereflejaylo comunica el pensamiento. Desde ambos puntos de vista el lenguajees un elementoesencialdel conocimientoy, por tanto, es una herramientabásicaen la investigacióny reflexiónde los fenómenos, y problemasque senosplanteanen la situaciones enseñanza-aprendizaj e. Ya a finalesde la décadade los cincuenta,la psicologíacognoscitivase habíaconvertidoen un campo activo de la investigaciónen el que el paradigma del tratamientode la información-paralelamente a lo que estaba sucediendo en AI (inteligencia artificial)- constituíaun bueninstrumentoen la investigacióir de los procesosde conocimiento. Antes,el lenguaje,habíasido tradicionalmente temade estudiosólo para los lingüistas,quienescentrabansusesfuerzos en discernir,por una parte sus elementos,y por la otra las reglasque se utilizabanpara combinar estos elementosa fin de cgnseguirun conjuntoestructurado. El trabajo de Chomsky(1957)representóun importanteadelantoen la comprensiónde las interrelaciones entrelenguay psicología. Actualmentela cienciaque estudiaestainterrelación-la Psicolingüística- tienetres camposbásicosde investigación: . Los procesosde comprensión.

t5

. La produccióndel lenguaje. . Su adquisición. Puntos que, desdela Didáctica de la Matemática resultan muy sugestivos, y más si se tiene en cuenta que en los procesosde comprensióndel lenguajehay que teneren cuentatres aspectos: . Entenderel lenguaje. . Comprenderla sintaxis. . Comprensiónsemántica,o sea,comprenderel signihcadodel lenguaje. Como preguntabásicanos queda,en estainterrelaciónentrelenguajey conocimiento,discerniren qué medidala formaciónde conceptosestárelacionadacon,y dependedel,desarrollodel lenguaje.Estapreguntaincluyeen sí misma otra: si el desarrollode la terminologíaes prerrequisito,o no, para el crecimientodel conocimiento. Es importantereflexionarsobre la manera cómo las matemáticasson y escritas. expresadas Si, volviendode nuevoal lenguajelógico-matemático, tenemosen cuenta que surgey es utilizado para descubrir,describirel mundo que nos rodea, propiedadesa partir no sólo de los objeque buscay estudiadeterminadas tos, sino especialmente de las accionesque se ejercensobre/entreellos, entoncesdesdela Didácticade las Matemáticasdeberemostrabajarenfatizando la relación entre el binomio experiencia-lenguaje. Pero además,no podemospretenderque surja un lenguajea partir de una experienciaen sentidopasivo,por ejemplomirar y manipular fisicamentediversosmateriales; sino más bien de una experiencia activaque uede pasa una forma constructiva,reflexivay que,por tanto pasapor expresarse, por un lenguajecomo sistemasemántico. Así que,resumiendo,debemosconsiderarlas matemáticas como un lenguajesintáctico,como un lenguajesemánticoy ademáshabrá que teneren cuentaque en la acciónenseñanza-aprendizaje utilizamosnuestrolenguaje cotidiano.Esto nos lleva a plantearnos,a dos nivelesdistintosy entreotros estosproblemas: e ¿Cómoorganizarel trabajo para que,por lo menosa nivel de hipótesis, la relaciónentre la experienciay la palabra o representación aseguremos simbólicaa fin de recorrerdiversostramosen el caminohaciala formalización? En realidad,la mayoría de laboratorios de matemáticas,tallereso rincones que proliferanestosúltimos años en primaria y secundariapretenden contestara esta pregunta a través de la utilizaciónde una metodología experimental(véaseesquema1.1). Hay que tener en cuenta que la estructura de laboratorio enfatiza el md. entonces nc : md. entonces nc < md.

Esta dehnición es equivalente a decir que (a, b; c, r/) son proporcionales, es decit, a y b tfcterminan la misma cortadura qw c y d. La cortadura determinada para dos cantidades a y ó sobre los números racionales positivos es: (P,, Pr), (véase[J Dhombres, 1978, págs. 28-56]) JI

esquema(algoritmode Euclides)que sirve para calcularel máximo común divisor de suscorrespondientes m;dida. u'r. " J1

t

s2

.t3

fl

r2

Sn- 2

J¡ -

fn- !

fn- 2

fn- 2

rn

J¡

1

fn-

J¡ *

I

rt

I

que cumple: L

P(a, b) :

,s,- cociente ri -

resto

Propiedad de simetría P(b, a), Para todo q, b e M.

Propiedad de semeianza

II.

P(ra, rb) :, P(a, b), Para todo r > 0 Y a, b e M

l P(a, a) :

P(a, b) : P16,o¡

I

tenemos

rr -F _ como valor aproximado de la razón. s2

a

2.5. TEORIA DE LA PROPORCIÓN a ( b,a { c P(a, b) + P(a, c) :

Dadas dos cantidades a y á, se define la proporción de (a,ó) como el cociente

P(a,b): '

m4x(s'4

(a, b) -+

38

Iv

min (s, l)

siendos, r las medidasrespectivas de a y á en una unidad determinada. La proporciónes unaaplicaciónp qúe,a todo par de cantidades, asigna un númeromayor o igual que 1, es decir.P:M x M-

P(a, b + c)

¡¡.n--

P(d- b,) :

P(a, b)

(1, +o) p(a, b)

Figura 2.1.

39

En efecto,si se define: p(a, b') : máx (s, /)/min (s, t) 2 l. l. p(a, b) : máx (r, ,)/mín (s, r) : máx(t, s)/min (1,s¡ : p@, a) máx (rs, rt) max (s, t) rr tl. plra, rb) : :Z:- -: : p(a, b) si r > 0 min (rs, rt) mín (s, t) III. Si a ( mín (á, c) entoncesresulta

:t'l *Ít'1 ) + p ( a , b*) p ( a,c) =' r *rnír6,r) :;+;: mr"(rJ) -1 *Í" '1 )

t r r :P(a'b * c) "

si m(a) : s, m(b) : t, m(c) : y

tv.

lim p(an, bn) :

¡-@

n) 1i^máx !sn'

^ e*(n ^sn, \r+@

mln l.tr?,n)

(r-in

\ r +@

t i- r) r+@

/

,n, tim ,) 4r@

/

t?^ t) : : p@,b) Ít' mín (s, l) De hechoes.tas propiedades geométricas de la proporciónson esenciales, es decir, caracterizanla fórmula usual del cocientedi la dimensiónmayoi por la menor (véaseV. Alsina y E. Trillas, 1984,pág.259-260). Asi podemosconcluir que la proporciónde dos magnitudeses la razón entrela mayor y la menor. 2.6. NOTAS HISTÓRICAS La noción de proporción vieneasociadadesdela antiguedadcon la idea de precisarcuantitativamente la noción de semejanza, la cual bajo la forma del teoremade Thales(636 a 546a de c.) se remonta ala más alta antigüedady es de uso corrienteentrelos arqultectos. Estanociónvagade semejanza tienesusantecedentes en la de comparar cosasde la mismaespecie, de hallar sus razonesen el sentidocorrientedel término,es decir,de querermedir susmagnitudes. En los documentosbabilónicos,egipciosy chinos,seencuentransiempre las razonesy las proporcionesen situacionesparticulares,eventualmente llamadasmedidas(peoórr1g): - La proporciónde la medidageométrica(aual"oyr-a). a-b b-c

40

- La proporciónarmónica(de origenmusical): =

:

a b

- La proporción aritmé ri"ut fi Las,basesde la idea generalde raz6n son expuestosen el libro V de los Elementosde Euclides(300 a. de C.) utilizandoel método axiomáticodel y proporciones. Estametodoloencadenamiento de las axiomas,definiciones gía permitehacer una descripcióngeneralde las proporcionessin utilizar las nocionesaritméticasde los númerosracionalese irracionadirectamente les y las geométricasde la semejanza.Se obvian las nocionesde limite o de continuopara salvarsede las paradojasde Zen6n. La deliniciónesencialdel libro V es la núm. 6 transcritaen el lenguaje actual en la sección3 del presentecapítulo, que describela noción de proporción(i"óyoq).Esta complicadadeliniciónse mantienehastael siglo xx. Al final de la Edad Media sele da una connotaciónpráctica,entendiendo que hay proporción cuando existeuna misma parte .Esta versiónprácticaes retomadaen el inicio del sigloxx afirmandoque(a, b, c, d) forma una proporciónsi se cumpleque:

entonces fi4 :

t/t'

de alb, lo cual represenLo queconducea aceptarsólolos valoresracionales es Dedeta una seriaincomprensióndel texto de Euclides.Posteriormente quien dará su formulaciónactual vía las cortaduras,tal kind (1831-1916) como se describeen las anterioressecciones. En este rápido recorrido histórico sobre la evoluciónde las ideas de proporciónhay que mencionarlos tratadosmedievalesde Nicole Oresme (1323-1382) Algorismusproportionumy las de Lucas Pacioli (1,145-1514) Summade Arithmetica,Geometria,Proportioneet Proportionalitay De Diuina Proportioneespeciede enciclopediadel saber matemático de la época, donde se recogela teoria de las proporcionesde Euclides.

2.7. INVESTIGACIONES Y EJERCICIOS l. Comentar lassiguientes defrniciones de magnitud:

ab

b

b-

¿

a) .schoor sciencic ád Marhematics,

OTRAS COLECCIONES DE EDITORIAL SINTESIS

TRABAJOS PRACTICOS DE GEOGRAFIA Director: Rafael Puyol Antolln

U

74{7), se3-6r3.

APLICACIONES DE LA INFORMATICA A LA GEOMETRIA Y CIENCIAS SOCIALES I J. Bosque¡ J.A. Cebrián I B.C. Jiménezr A. Moreno r C. Muguruza r V. Rodríguezr F. Rojo ¡ J.M. Santos¡ M.J. Vidal

WorrunN, W., y LnwsoN, A. E. (197g):.Journarof Researchin science r"iriiríi,istrl, zzl232.

2l

TRABAJOS PRACTICOS DE GEOGRAFIA HUMANA ¡ C. del Canto I C. Carreras¡ J. Gutiérrez ¡R. MéndeztC.Pérez

ANALISIS DEL DESARROLLO DE LA POBLACION ESPAÑOLA EN EL PERIODO 1970-1986 ¡ Grupo de poblaciónde la A.G.E.

t88

Colección: CIENCIAS DE LA VIDA

Colección Geografía de EsPatña

Directon Carlos VicenteCórdoba

t. El conocimientogeográficode España

Tltulos publicados

Juan Vilá Valenti

z. Españl, país de contr¡stes geográficos

l. Fuxolrmvros DEBIoToGIACELULAR BenjamínFernándezRuiz Enrique Muñiz Hernando

Alfredo Floristán Samanes

t. El relieve Miguel Yetano Ruiz

EN EL ORGANISMO 2. LOS GENES QUE SON Y QUÉ' HACEN

¿. El clima y las aguas

Julián Rubio Cardiel

Luis AlbentosaSánchez

s. Biogeogralla.Paisajesvegetalesy vida animal

DE FISIOLOGTA VEGETAL

4. PNO¡I¡UIS

Carlos Vicente Córdoba M." Estrella l-egaz González

J. Manuel Rubio Recio

o. La población esPañola

Y SIMULACIÓN 8. PRACTICAS DE BIOQUTMICA: EXPERIMENTACIÓN

Rafael Puyol Antolín

Coordinadores: JoséA. Lozano Teruel JoséTudela Serrano

z. Geograflaagraria. Introduccióna los paisajesrurales Manuel SáenzLorite

8. La pesca

9. ZOOLOGIA DE LOS VERTEBR'ADOS

Pere Salvá Tomás

JoséLuis Tellería Jorge

9. Fuentesde energíay materiasprimas MercedesMolina lbáñez,Elena Chicharro Fernández

10. NUTVM

lo. Las actividadesindustriales

TECNOLOGIAS DE BIOMEDICINA

JoséG. GavilanesFranco RosalíaRodríguezGarcía

Ricardo Méndez Gutiérrezdel Valle

tl. ComercioY transPortes

12. Flslot oclA ANIMAL.FuNcIoNEsvEGETATIVAS FranciscoPonz Piedrafita Ana María Barber Cárcamo

Rosario Piñeiro Peleteiro

t2. Geografíadel turismo José R. Diaz Alvatez

13. NnunorsloloclA FranciscoPonz Piedrafita Ana María Barber Cárcamo

13.Las ciudadesmorfologla y estrutura José EstébanezAlvarez t4. Geografía de la pobreza y la desigualdad Juan Córdoba Ordóñea JoséM." García Alvarado

15. Cnlrroclrvrll Javier FernándezDiez

15. La nueva situación regional

20. ECOIOG¡AI FranciscoDíaz Pineda

Julián Alonso Fernández

16.El reto de Europa:Españaen la CEE Fernando ArroYo Ilera

Tttulos ile preParación

lz. Geografíaelectoral Joaquín Bosque Sendra

6. BIOFÍSICA

Carlos Vicente Córdoba M." Estrella Legaz González

18.La red urbana Andrés Precedo Ledo

Director: Rafael Puyol Antolín

7. Foro¡IoQI'IlMIcA Manuel Losada Villasante

13. Simetría dinámica

Colección: MATEMATICAS: CULTURA Y APRENDIZAJE

RafaelPérezGómez,ClaudiAlsinaCatalá,CeferinoRuizGarrido

14. Semejanza Ricardo Luengo González

l.

Area de conocimiento:didáctica de las matemáticas EnriqueVidalCosta

15. Poliedros Gregoria Guillén Soler, Angel Salar Gálvez

2. Números y operaciones Luis Rico Romero, Encarnación Castro Martínez, Enrique Castro Martínez

3. Numeracióny cálculo GómezAlfonso Bernardo

4. Fracciones La relación parte-todo Salvador Llinares Ciscar, M.' Victoria Sánchez García f,.

Números decimales

16. Metodologfa activa y lúdica de la geometrfa AngelMartínezRecio,Francisco JuanRivaya,Francisco JavierAguilaRuiz

17. El problema de la medida Carmen Chamorro Plaza, Juan M. Belmonte Gómez

18. Circunferenciay cfrculo Francisco Padilla Diaz, Arnulfo Santos Hernández, Fidela yelázquez Manuel, Manuel Fernández Reyes

Julia Centeno Pérez

6. Númerosenteros JoséL. GonzálezMari, M., DoloresIriarte Bustos,Alfonsoortiz comas, Inmaculada ManuelaJimenoPérez,Antonio Ortiz Villarejo,EstebanSanzJiménez Vargas-Machuca,

7. Divisibilidad Modesto Sierra Vázquez, Andrés Sánchez García, M." T. González Astudillo, Mario González Acosta

8. Problemasaritméticosescolares Luis Puig Espinosa,FernandoCerdánPérez

9.

Estimación

en cálculo y medida

castro Martínez,Enriquecastro Martínez,Luis Rico IsidoroSegoviaAlex,Encarnación Romero

10. Aritmética y calculadora

19. Superficie.Volumen M.' Angeles delOlmoRomero, Francisca MorenoCar¡etero, Francisco Gil Cuadra

20. Proporcionalidad directa. La forma y el número M." LuisaFiol Mora,JosepM." FortunyAymemi

21. Nudos y nexos: grafos en la escuela MoisésCoriatBenarroch, JuanaSanchoGil, AntonioMaríndel Moral,pilar GonzalvoMartinez

22. Por los caminos de la lógica InésSanzLerma,ModestoArrietaLiarramendi, ElisaPardoRuiz

23. Iniciación al álgebra Manuel Ma¡tín Socas Robayna,Matias Camacho Machín, M." Mercedespalarea Medina, JosefaHernándezDomingue?

FredericUdinai Abelló ll.

Materiales para construir la geometría ClaudiAlsinaCatalá,JosepM'" FortunyAymemi Flamerich, CarmeBurgués

t2. Invitación a la didáctica de la geometria Flamefich carmeBurgués claudiAlsinacatalá.JosepM." FortunyAymemi,

24. Ordenar y clasificar Gaspar Mayor Fort"eza,TeresaRiera Madurell

25. Códigm, símbolos,representación y coordenadas Francisco Vecino Rubio, Gerardo Montero García, Tomás Sierra Delgado